Einführung in die Geostatistik

Einführung in die
Geostatistik (2)
Fred Hattermann (Vorlesung), [email protected]
Michael Roers (Übung), [email protected]
Gliederung
2 Allgemeine Statistik
2.1 Deskriptive Statistik
2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
2.3 Statistische Tests
Was ist die Aufgabe der
Statistik?
Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren
Darstellung, Analyse und Interpretation. Sie müssen schon bei
der Planung eines Versuches berücksichtigt werden.
Man unterscheidet zwischen beschreibender oder deskriptiver und
schließender oder analytischer Statistik.
Statistik und Stochastik: Statistik ist die Methodik, Daten nach
einem Zufallsverfahren zu gewinnen und zu analysieren, um zu
neuen Erkenntnissen zu gelangen. Stochastik ist die
wissenschaftliche Disziplin, die sich mit der Behandlung von
Zufallsereignissen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst.
Die Notwendigkeit zur Anwendung statistischer Methoden ergibt
sich immer dann, wenn die Datengrundlage für numerische
Analysen nicht vollständig ist, d.h. wenn nur eine Stichprobe
anstelle der eigentlich interessierenden Grundgesamtheit zur
Verfügung steht.
Warum Statistik?
Ein
statistisches
Modell
beschreibt
die
Eigenschaften
Zufallsprozesses.
Fallhöhe [m]
Beispiel für deterministisches
Ereignis:
Fallhöhe eines Balles.
Zeit [t]
Niederschlag [mm]
Augenzahl
Beispiel für unkorreliertes
stochastisches (stat.) Ereignis:
Würfeln.
Zeit [t]
Beispiel für korreliertes
stochastisches (stat.) Ereignis :
Zeit [t]
Niederschlagshöhe.
eines
2 Allgemeine Statistik
- Einführung 1 –
Es ist grundsätzlich unmöglich, die Umwelt vollständig zu beschreiben,
vielmehr werden Realitätsausschnitte oder Merkmale untersucht. Die
konkrete Merkmalsausprägung ist messbar und wird für die
mathematische (statistische) Analyse in Zahlwerte kodiert.
In der Mathematik bezeichnet man die Merkmale als Variablen und die
durch Zahlwerte kodierten Merkmalsausprägungen als Werte.
Beispiel:
Beobachtungsvariable = Stoffkonzentration;
Wert der Beobachtungsvariable = X [mg/l].
Es gibt unabhängige und abhängige Variablen. Z.B. ist die Temperatur
von der Höhe abhängig, die Höhe aber nicht von der Temperatur.
Diese Abhängigkeit kann man sich bei der Interpolation zunutze
machen.
Weiter gibt es kategorische oder qualitative Variablen wie z.B.
geologische Einheiten und metrische oder quantitative Variablen wie
z.B. Konzentrationen.
2 Allgemeine Statistik
- Einführung 1 –
Beispiel: Hinzunahme von Höheninformation zur Interpolation
von Temperaturen (links ohne, rechts mit).
2 Allgemeine Statistik
2.1 Einführung (2)
Die
deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativempirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde
liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen.
Beispiele sind:
•
Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen);
•
Grafiken (z.B. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme,
Liniendiagramme);
•
Statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte, Streuungsmaße).
Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der
analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die
Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen:
•
Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die (räumliche)
Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen;
•
Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen
(ist z.B. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts
signifikant höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests
2 Allgemeine Statistik
2.1 Deskriptive Statistik
Häufigkeitsverteilung:
Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist
mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man
meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet
werden.
Das
Ergebnis
ist
in
beiden
Fällen
eine
Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich
tabellarisch oder grafisch darstellen:
1
2
3
4
5
6
7
Klassengrenzen
1.0 - 2.0
2.0 - 3.0
3.0 - 4.0
4.0 - 5.0
5.0 - 6.0
6.0 - 7.0
7.0 - 8.0
Anzahl Werte
1
4
6
11
7
3
2
12
10
Anzahl Werte
Klasse
8
6
4
2
Tabelle
0
1
Histogramm
2
3
4
Klasse
5
6
7
2 Allgemeine Statistik
2.1 Deskriptive Statistik
Z.B. Temperaturen
[°C]
Klimastationen
2 Allgemeine Statistik
2.1 Lagemaße
Lagemaße:
Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert;
Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes
liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird deshalb auch
Zentralwert genannt;
Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe
der Werte xi durch die Anzahl n der Werte:
x
1
n
n
xi
i 1
2 Allgemeine Statistik
2.1 Streuungsmaße
Dispersions- oder Streuungsmaße:
Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität
der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte eng um
den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind:
Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und
dem kleinsten Wert.
Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion
von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je stärker die
Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto
größer ist die Varianz s2 der Variablen. In die Berechnung der
empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der
einzelnen Werte xi von ihrem Mittelwert ein:
s2
1
n 1i
2
n
( xi
x)
1
Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz.
2 Allgemeine Statistik
2.1 Beispiel Lagemaße und Streuungsparameter
Mittelwert
x
1
n
n
1
Varianz s 2
xi
n 1i
i 1
2
n
( xi
x)
1
Errechnung Varianz s2
Meßwerte
5
(x- x )2 = (5-4)2 = 1
3
1
4
0
3
1
5
1
4
0
Summe
Summe
4
Mittelwert
Varianz
0.8
Was ist ein statistisches Modell?
Ein
statistisches
Modell
beschreibt
die
Eigenschaften
Zufallsprozesses.
Fallhöhe [m]
Beispiel für deterministisches
Ereignis:
Fallhöhe eines Balles.
Zeit [t]
Niederschlag [mm]
Augenzahl
Beispiel für unkorreliertes
stochastisches (stat.) Ereignis:
Würfeln.
Zeit [t]
Beispiel für korreliertes
stochastisches (stat.) Ereignis :
Zeit [t]
Niederschlagshöhe.
eines
2 Allgemeine Statistik
2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion:
Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines
Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die
Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit
welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X innerhalb
von a und b liegt:
b
P(a
X
b)
f ( x)dx
a
Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf 1 normiert:
f ( x)dx 1
2 Allgemeine Statistik
2.2 Eintrittswahrscheinlichkeiten
Unterschreitungswahrscheinlichkeit
Zwischenwahrscheinlichkeit
Überschreitungswahrscheinlichkeit
2 Allgemeine Statistik
2.2 Verteilungsmodelle
2 Allgemeine Statistik
2.2 Verteilungsmodelle
Verteilungsmodelle:
Die
meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle
beschrieben
werden,
wobei
für
stetige
und
diskrete
Zufallsvariablen unterschiedliche Modelle Anwendung finden.
Gleichverteilung:
Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie
gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. xi-Werte
gleich wahrscheinlich sind:
f(xi) = 1/k für alle i = 1, ..., k
Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie
gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen
konstanten Wert hat und parallel zur x-Achse verläuft.
2 Allgemeine Statistik
2.2 Normalverteilung
Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung
Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ2 und
Standardabweichung σ.
Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ = 1.
)2
-σ
µ
+σ
-1
0
1
Normalverteilung
2
0.50
0.40
0.30
y
y
1
e
2
1 (x
2
0.20
0.10
0.00
-3
-2
x
2
3
2 Allgemeine Statistik
2.2 Normalverteilung
Normalverteilung:
Die
Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige
Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt ->
„Gaußsche Glockenkurve“.
Wichtig:
•
Die Normalverteilung ist symmetrisch
(Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ.
•
Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung.
•
Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch.
•
Modalwert = Median = Mittelwert
•
Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte.
•
Im Bereich µ - 2σ bis µ + 2σ liegen ca. 95.5 % der Werte.
um
den
Mittelwert
2 Allgemeine Statistik
2.2 Vertrauensbereiche
Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert:
•
Im Bereich µ - 1.96*σ bis µ + 1.96*σ liegen ca. 95 % der Werte.
•
Im Bereich µ - 2.58*σ bis µ + 2.58*σ liegen ca. 99 % der Werte.
•
Im Bereich µ - 3.29*σ bis µ + 3.29*σ liegen ca. 99.9 % der Werte.
Beispiel: µ = 3, σ = 1 =>
95% der Werte liegen zwischen 3 +/- 1.96 * 1
2 Allgemeine Statistik
2.2 Vertrauensbereiche
Vertrauensbereich für den wahren Mittelwert µ:
Gibt das Intervall an, das den wahren Mittelwert µ mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit einschließt. Vorraussetzung ist,
dass die Verteilung der für eine Stichprobe errechneten Mittelwerte
eine Normalverteilung ist.
Formel:
Vertrauensbereich
x
s
z*
n
Dabei ist z für z.B. einen Vertrauensbereich von 95% = 1.96.
x
2 Allgemeine Statistik
2.2 Zentrale Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz:
Wenn man eine Serie von Zufallsstichproben gleicher Größe aus
derselben Grundgesamtheit zieht und die Mittelwerte berechnet,
dann tendiert die Verteilung der Mittelwerte zur Normalverteilung.
Durch welche Parameter wird ein
statistisches Modell beschrieben?
1. Moment: Erwartungswert von Z:
E[ Z ]
x
z f ( z )dz
1
n
n
Für Normalverteilung
gleich dem Mittelwert
xi
i 1
2. Moment: Varianz von Z
2
s
Var[Z ] E[(Z E[Z ]) ]
2
1
n 1i
n
x )2
( xi
1
Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z1 und Z2:
Cov[Z1Z 2 ] E[(Z1 E[ Z1 ])(Z 2
E[Z 2 ])]
Korrelation zweier Zufallsvariablen:
Kor[ Z1Z 2 ]
Cov( Z1Z1 )
Var[ Z1 ] Var[ Z 2 ]
Cov( Z1 , Z 2 )
1
n
n
( z1,i
i 1
z1 )( z2,i
z2 )
2 Allgemeine Statistik
2.2 Unterschiedliche Normalverteilungen
y1
Gleiche Varianz,
unterschiedliche
Mittelwerte
5
2.
6
3.
2
3.
8
4.
4
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
y1
5
2.
6
3.
2
3.
8
4.
4
2
0.
2
0.
8
1.
4
y2
-1
-0
.4
-4
-3
.4
-2
.8
-2
.2
-1
.6
Gleiche Mittelwerte
unterschiedliche Varianz
2
0.
2
0.
8
1.
4
y2
-1
-0
.4
-4
-3
.4
-2
.8
-2
.2
-1
.6
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
2 Allgemeine Statistik
2.2 Verteilungsmodelle – Z-Transformation
Die Z-Transformation
Für viele biometrische Verfahren wird die Umwandlung der
untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die
Standard-Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch:
z
( xi
f ( z)
x)
mit
s
1
e
2
z2
2
x = Mittelwert und s = Standardabweichung
2 Allgemeine Statistik
2.2 Analytische Statistik
Aber:
Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine
häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler,
welche per Definition nur positiv sein ykönnen (z.B. der
Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung:
y
1
x
1
e
2
1 (ln x
2
)2
2
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2 Allgemeine Statistik
2.2 Verteilungstransformation
Transformation in eine Normalverteilung:
Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der
untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können
verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe
Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln:
Logarithmische Transformation:
y
log x, y
ln x
y
1
oder y
x
1
x
Beispiel: Linkssteile Verteilungen
Kehrwerttransformation:
Beispiel: Rechtssteile Verteilungen
Quadratwurzeltransformation:
y
x
Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung
Potenztransformation:
Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit
y
xn
2 Allgemeine Statistik
2.3 Statistische Tests
Vertrauensbereich:
Der aus der Stichprobe berechnete Mittelwert µ ist nur ein Schätzwert
für den Mittelwert (man kennt normalerweise nicht die gesamte
Zufallsfunktion). Mit bestimmter statistischer Sicherheit lässt sich
allerdings ein Vertrauensbereich +/- µ bis zu einem Schwellenwert
α angeben, der den Parameter mit einschlisst.
Nullhypothese und Alternativhypothese:
Ho: Die Nullhypothese ist die Behauptung, dass beobachtete
Unterschiede zwischen zwei Verteilungen rein zufällig sind.
Ha: Durch Ausschluss von Ho wird die Alternativhypothese
angenommen, welche bedeutet, dass ein Effekt vorhanden ist.
Fehler 1. und 2. Art:
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wurde unberechtigt abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wurde unberechtigt beibehalten.
T-Verteilung
Tabellenwerte
H0 -> Unterschiede
sind zufällig
Ha -> Unterschiede
sind nicht zufällig
T - test für gleichgroß e Stichprobe n : t
Prüfhypoth esen :
Ho : a µb
Ha :
a
µb
http://www.faes.de/Basis/Basis-Statistik/Basis-Statistik-Tabelle-Studen/basis-statistik-tabelle-studen.html
| x1 - x 2 |
s12 s 22
n
2 Allgemeine Statistik
2.3 Statistische Tests
Zur Erläuterung Vertrauensbereich:
Der aus der Stichprobe berechnete Mittelwert µ ist nur ein
Schätzwert für den Mittelwert (man kennt normalerweise nicht die
gesamte Zufallsfunktion). Mit bestimmter statistischer Sicherheit
lässt sich allerdings ein Vertrauensbereich +/- µ bis zu einem
Schwellenwert α angeben, der den Parameter mit einschlisst.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Statistische Tests:
Statistische Test liefern Kriterien, um ausgehend von den Messwerten
aus den Stichproben die aufgestellte Hypothesen (Ho bzw. Ha)
anzunehmen oder abzulehnen. Dazu wird meist eine Prüfgröße
errechnet.
Anpassungstests ermitteln, ob die Werte der Stichprobe einer
theoretischen Verteilung, z.B. der Normalverteilung, gehorchen.
Sie selbst sind verteilungsfreie Verfahren.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Konservative Tests:
Fest vorgegebene Fehlerwahrscheinlichkeiten α für den Fehler 1. oder
2. Art zugunsten der Nullhypothese (halten länger als geboten an
der Nullhypothese fest, darum ist ein relativ großer
Stichprobenumfang nötig, um Ho zu verwerfen).
Einseitige und zweiseitige Tests:
Die Nullhypothese lautet meist, dass zwei Parameter einer gleichen
Grundgesamtheit entstammen. Die Alternativhypothese kann
alternativ lauten „die Parameter sind ungleich“ (zweiseitige
Alternativhypothese, da der Parameter 1 größer oder kleiner als
Parameter 2 sein kann). Man müsste einen zweiseitigen Test
anwenden.
Weiß man allerdings schon die Richtung der Änderung (größer oder
kleiner), muss man einen einseitigen Test anwenden.
Beim einseitigen Test ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (α/2) kleiner als beim
zweiseitigen Test. Daher hat der einseitige eine höhere Teststärke und
deckt bestehende Unterschiede eher auf.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Statistische Tests:
Parametrische Tests (Vergleich von Parametern) setzten im
allgemeinen Normalverteilung und Varianzhomogenität voraus.
Bei den parameterfreien oder verteilungsfreien Verfahren werden
anstelle der Messwerte Rankzahlen verwendet. Sie haben
allerdings eine geringere Teststärke.
Z.B. werden beim Kolmorogoff-Smirnoff-Test (K-S-Test) nur die
Summenkurven der Normalverteilung und die der empirischen
Daten auf ihre Abstände überprüft.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Beispiel 1: Es soll untersucht werden, ob die Werte einer Stichprobe
Normalverteilt sind.
Anwendbare Tests:
- graphisch durch Wahrscheinlichkeitsnetz
- Chi2-Test als Anpassungstest
- G-Test als Anpassungtest
- Test nach Kolmogoroff-Smirnoff
- Schnelltest nach David und Mitarbeitern
- Prüfung auf Schiefe und Excess
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Beispiel 1: Test auf Normalverteilung.
Schnelltest nach David und Mitarbeitern:
Man errechnet die Spannweite (den Range) und die Standardabweichung der Verteilung und vergleicht deren Quotient mit
tabellierten Werten. Liegt er oberhalb einer kritischen Grenze, wird
Ho abgelehnt.
Prüfgröße:
Spannweite (Range)
Streuung
R
s
Spannweite (Range)
Streuung
10
1.36
Mit R = 10.0, s = 1.36:
7.35
Man liest dann aus einer Tabelle ab, ob der Wert 7.35 bei einer
bestimmten Fehlerwahrscheinlichkeit (z.B. N = 280, α = 5%) den
oberen Grenzwert überschreitet. Ist dies der Fall, wird die
Hypothese der Normalverteilung abgelehnt.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Beispiel 2: Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte
Stichproben signifikant unterscheiden.
y1
5
2.
6
3.
2
3.
8
4.
4
2
0.
2
0.
8
1.
4
y2
-1
-0
.4
-4
-3
.4
-2
.8
-2
.2
-1
.6
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Beispiel 2: Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte
Stichproben signifikant unterscheiden (hier: Eiergröße bei Fischen
verschiedenen Alters).
A
B
40
38
38
40
33
41
37
39
34
43
36
42
39
37
35 40
x
36.5 40.0
s
6.0 4.0
n
8
8
Freiheitsg rade 8 8 2
T - test für gleichgroß e Stichprobe n : t
Prüfhypoth esen :
Ho : a µb
Ha : a µb
Irrtumswah rscheinlic hkeiten :
0.025 (Test einseitig)
t
| 36.5 - 40.0 |
6 4
8
3.13
| x1 - x 2 |
s12 s 22
n
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Beispiel 2: Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte
Stichproben signifikant unterscheiden (hier: Eiergröße bei Fischen
verschiedenen Alters).
Ergebnis:
Der errechnete Wert für den einseitigen T-Test ist 3.13 . Er liegt damit
über dem tabellierten Wert von 2.15 für 14 Freiheitsgrade und ein
Signifikanzniveau von 2.5%.
Daraus folgt, dass Ho (µa=µb) abgelehnt werden muss, die
Verteilungen sind also ungleich, und die Eier jüngerer Fische
kleiner als die älterer Fische.
2 Allgemeine Statistik
2.3 Analytische Statistik – statistische Tests
Trenduntersuchung
Strahlung Mann/Kendall
Test (Zeitreihen gehen von
1951-2003).
2 Allgemeine Statistik
2. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsexperiment:
Die Wahrscheinlichkeit P (probabilité) ist ein quantitatives Maß, das
die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses ausdrückt.
Ein Zufallsexperiment ist ein reales oder gedachtes Experiment, das
theoretisch beliebig oft wiederholt werden kann, nach einer
bestimmten Vorschrift durchgeführt wurde und dessen Ergebnis
nicht mit Sicherheit vorhersehbar ist. Beispiel: Würfeln.
Das Ergebnis eines Zufallsexperiments heißt Ereignis. Der
Ereignisraum S ist die Grundgesamtheit oder Menge aller
möglichen Elementarereignisse (nicht mehr in weitere Ereignisse
zu unterteilen).
Beispiel: „Werfen eines Würfels“ ist das Zufallsexperiment, {6},
{gerade Augenzahl}, {<4} sind Ereignisse, {6} und {5} sind
Elementarereignisse, S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ist der Ereignisraum.
Jedes Ereignis ist also eine Teilmenge des Ereignisraums und setzt
sich aus einem oder mehreren Elementarereignissen zusammen.
2 Allgemeine Statistik
2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Rechenregeln:
Komplementärereignis: Ist B das Komplementärereignis von A, so ist die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von B:
P( B) 1 P( A)
Beispiel: Ist P(A) = 0.7, dann ist P(B) = 0.3
Additionssatz: Für zwei sich ausschließende Ereignisse A und B eines
Zufallsexperiments gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B auftritt,
folgendermaßen errechnet werden kann:
P( A
B)
P( A) P( B)
Beispiel: Ist P(A) = 0.11 und P(B) = 0.14, dann
ist P(A U B) = 0.25
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A), dass
das Ereignis B eintritt, obwohl das Ereignis A bereits eingetroffen ist, ist:
P( B | A)
P( A B)
P( A)
Multiplikationssatz: Für zwei voneinander unabhängige Ereignisse A und B
eines Zufallsexperiments gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als
auch B eintreten, ist:
P( A
B)
P( A) P( B)
2 Allgemeine Statistik
2.2 Analytische Statistik
Zufallsvariable:
Man
erhält
eine
Zufallsvariable,
indem
man
jedem
möglichen
Elementarereignis des Ereignisraums eine reelle Zahl zuordnet. Die
Zahlwerte stehen für einzelne Elementarereignisse, man nennt sie
Realisation der Zufallsvariablen.
Beispiel für Zufallsvariable: Körpergröße, Niederschlag, Konzentrationen …
Zufallsvariablen werden mit großen, die tatsächlichen Realisationen mit
Kleinbuchstaben gekennzeichnet.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X ordnet jeder
möglichen Realisation xi eine Wahrscheinlichkeit P zu:
Zum Beispiel beim Würfeln:
f(xi) = P(X=xi)
(f(5) = P(x=5) = 1/6 = 0.1667)