4 Endogenität, Simultanität, IV und GMM

4
4.1
Endogenität, Simultanität, IV und
GMM
Fälle, in denen OLS konsistent bleibt
Die OLS-Schätzung für das lineare Regressionsmodell
y = Xβ + ε,
ε ∼ IN D(0, σ 2 I)
ist erwartungstreu (d.h. nicht verzerrt), wenn X und ε gemeinsam
voneinander unabhängig sind, E {X ′ ε} = 0, impliziert E {ε|X} = 0.
Dies ist bei exogenen Regressoren gegeben.
Gerade bei Zeitreihen kann es allerdings vorkommen, dass yt von
der eigenen Vergangenheit abhängt, die Matrix X also eine
endogene Variable enthält:
yt = βyt−1 + εt
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
43
Die Eigenschaft E {ε|X} = 0 ist dann nicht mehr gegeben, da yt−1
selbst ein geometrisch gewichteter Durchschnitt vergangener
Fehlerterme enthält. yt kann ja dargestellt werden als:
t
yt = β y0 +
t
X
β j εt−j
j=0
Wenn die mildere Anforderung
xt (hier yt−1 ) und εt unabhängig verteilt, also E {xt εt } = 0 ∀t
mit εt ∼ IID(0, σ 2 )
erfüllt ist, dann ist der OLS-Schätzer b konsistent und
asymptotisch normalverteilt mit Kovarianzmatrix σ 2 Σ−1
XX , wobei
ΣXX
Formal:
√
T
1X
xt x′t
= p limT →∞
T t=1
¡
¢
T (b − β) −→ N 0, σ 2 Σ−1
XX
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
44
Bei beschränkter Beobachtungsanzahl gilt approximativ:
a
´
³
−1
2
′
∼
b
N β, σ (X X)
Für Zeitreihen ist dies ein wichtiges Resultat. Der OLS-Schätzer für
β kann zwar in kleinen Stichproben verzerrt sein, die Verzerrung
verschwindet aber mit steigender Beobachtungsanzahl.
Die Konsistenz bringt es mit sich, dass herkömmliche
Teststatistiken ihren Standardverteilungen folgen. Daraus ergibt
sich auch, dass bei Verdacht auf Heteroskedastizität und
Autokorrelation die Parameterkovarianzmatrix nach White und
Newey-West geschätzt werden kann.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
45
Beispiel: Die Effizienzhypothese besagt, dass Aktienrenditen nicht
prognostizierbar sind. Die Hypothese kann überprüft werden
aufgrund der Schätzung:
yt = β1 + β2 yt−1 + β3 yt−2 + εt ,
εt ∼ N (0, σt2 )
H0 : β2 = β3 = 0
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
46
Abbildung 8: Regression der Aktienrendite auf zwei verzögerte Werte
Dependent Variable: DLCH_SPI
Method: Least Squares
Date: 02/26/09 Time: 14:30
Sample (adjusted): 1989Q4 2008Q4
Included observations: 77 after adjustments
Newey-West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=3)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
DLCH_SPI(-1)
DLCH_SPI(-2)
C
0.345221
-0.003157
1.051967
0.092283
0.120096
0.961634
3.740892
-0.026284
1.093936
0.0004
0.9791
0.2775
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.108920
0.084837
7.519583
4184.265
-263.0766
4.522647
0.014025
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
1.817669
7.860397
6.911080
7.002397
6.947606
1.842117
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
4.2
47
Fälle, in denen OLS inkonsistent ist
Falls die mildere Annahme E{xt εt } 6= 0 nicht erfüllt ist, dann ist
OLS inkonsistent, d.h. die Schätzung des Koeffizienten ist verzerrt
und bleibt es auch bei steigender Beobachtungsanzahl.
4.2.1
Residuenautokorrelation bei endogenen
Regressoren
Nehmen wir an, im Modell mit verzögerter abhängiger Variable
seien die Residuen autokorreliert:
¢
¡
yt = β1 + β2 xt + β3 yt−1 + εt , εt ∼ N 0, σε2
¢
¡
εt = ρεt−1 + νt , νt ∼ N 0, σν2
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
48
yt−1 ist zwangsläufig mit εt korreliert:
yt
=
β1 + β2 xt + β3 yt−1 + ρεt−1 + νt
yt−1
=
β1 + β2 xt−1 + β3 yt−2 + εt−1
Cov{yt−1 , εt } =
E {εt−1 (ρεt−1 + νt )} = ρσ 2
In diesem Fall ist auch der Durbin-Watson Test nicht mehr gültig,
man wendet den Durbin-h Test an. Beim Breusch-Godfrey
LM -Test müssen in der Hilfsregression der Residuen auf eigene
verzögerte Werte auch alle Rechthandvariablen einbezogen werden.
Die Statistik ist χ2 -verteilt mit p Freiheitsgraden, wobei p die
Anzahl verzögerter Residuen ist.
4.2.2
Messfehler in den Variablen
Messfehler führen auch zu Korrelation zwischen Regressor und
Fehlerterm und daher zu einer verzerrten Schätzung. Nehmen wir
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
49
an, yt sei von der Variablen wt abhängig, welche allerdings nur mit
einem Fehler gemessen werden kann:
yt
=
β1 + β2 wt + νt
xt
=
wt + ut
In der Regression mit beobachteten Variablen wird der Fehlerterm
den Messfehler in wt aufnehmen:
yt
→
= β1 + β2 xt + εt
= β1 + β2 (wt + ut ) + νt − β2 ut
Cov {xt , εt } = −β2 σu2
Wenn β2 > 0 sind also xt und εt negativ korreliert.
Wenn wir die Variablen um ihren Mittelwert bereinigen, y = Y − Ȳ
und x = X − X̄, dann erhalten wir eine Gleichung ohne Konstante:
yt − Ȳ = β2 (xt − X̄) + εt
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
50
Die OLS-Schätzung b2 von β2 ist inkonsistent:
b2
=
p lim b2
=
E{xt εt } =
V {xt } =
p lim b2
=
−1
−1
(x′ x)
x′ y = β2 + (x′ x)
E{xt εt }
β2 +
V {xt }
x′ ε
−β2 σu2
2
σw
+ σu2
µ
β2 1 −
σu2
2 + σ2
σw
u
¶
Je grösser die Varianz der Messfehler umso grösser fällt die
Verzerrung der Schätzung aus. Die Verzerrung überträgt sich auch
auf die übrigen Koeffizienten. Für b1 = Ȳ − b2 X̄ erhalten wir
¡
¢
p lim (b1 − β1 ) = p lim Ȳ − b2 X̄ − E{yt } + β2 E{xt }
=
−p lim (b2 − β2 ) E{xt }
Eine Überschätzung des Steigungskoeffizienten geht einher mit
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
51
einer Unterschätzung des Achsenabschnitts.
4.2.3
Simultaneität, invertierte Kausalität
Diese Situation tritt oft auf, wenn Regressand und Regressoren
gleichzeitig determiniert sind. Beispiele sind:
Keynesianische Konsumfunktion: Das Volkseinkommen bestimmt
den Konsum, während der Konsum ein Bestandteil des
Volkseinkommens ist.
Das BIP-Wachstum wird durch das Zinsniveau bestimmt, während
die Geldpolitik auf Inflationsrisken durch Konjunkturüberhitzung
reagiert.
Wir nehmen folgende Strukturform an:
yt
=
β1 + β2 xt + εyt
xt
=
γ1 + γ2 yt + γ3 zt + εxt
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
52
wobei die Variable zt als exogen betrachtet wird. Im
Konsumfunktionsbeispiel wäre sie z.B. die Investitionen oder die
Staatsausgaben. Daher ist sie auch unkorreliert mit εyt ,
E{zt εyt } = 0.
Durch entsprechende Umformung erhalten wir die reduzierte Form
des Systems, in dem die endogenen Variablen nur noch durch die
exogene erklärt werden:
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
yt
=
=
yt
=
xt
=
=
xt
=
53
β1 + β2 (γ1 + γ2 yt + γ3 zt + εxt ) + εyt
β 2 γ3
β2
β1 + β2 γ1
+
zt +
εxt + εyt
1 − β2 γ2
1 − β2 γ2
1 − β2 γ2
φ0 + φ1 zt + ν1t
γ1 + γ2 (β1 + β2 xt + εyt ) + γ3 zt + εxt
γ1 + γ2 β 1
γ3
γ2
+
zt +
εyt + εxt
1 − γ2 β2
1 − γ2 β2
1 − γ2 β2
ψ0 + ψ1 zt + ν2t
Daraus ergibt sich
Cov {xt , εyt } =
=
E
½µ
¶ ¾
γ2
εyt + εxt εyt
1 − γ2 β2
γ2
σy2
1 − γ2 β2
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
54
Zudem können aus der reduzierten Form, in der 4 Parameter
geschätzt werden, nicht die strukturellen Parameter, 5 an der Zahl,
abgeleitet werden. Sie brauchen dazu noch eine Restriktion, z.B.
γ2 = 1.
Wenn yt auf xt ohne Berücksichtigung der Simultaneität regressiert
wird, ist OLS inkonsistent:
p lim b2 = β2 +
cov{xt , εt }
V {xt }
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
4.3
55
Instrumentalvariablenschätzung
Aus der Strukturform des letzten Abschnitts (wobei x1t = 1
eingesetzt wurde)
yt
=
β1 x1t + β2 x2t + εt
x2t
=
γ1 + γ2 yt + γ3 z1t + εxt
ist ersichtlich, dass x2t mit z1t korreliert, dass z1t als exogene
Variable jedoch nicht mit εt korreliert. Wir können diese Variable
also als Instrument für x2t einsetzen.
Der Kleinsquadratschätzer b für β = (β1 , β2 )′ ist konsistent, wenn
die Momentbedingungen E {xjt εt } = 0, j = 1, 2 erfüllt sind. Er
kann hergeleitet werden, wenn die Populationsmomente mit den
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
56
Stichprobenmomenten substituiert werden.
E {xt εt } =
X ′ (y − Xb) =
−→ b =
0
0
(X ′ X)
−1
X ′y
Wenn eine Variable mit dem Fehlerterm korreliert, dann ist eine
der Momentbedingungen verletzt, E {xjt εt } 6= 0, für ein j. Sie wird
deshalb durch ein Instrument ersetzt, in unserem Beispiel durch
z1t , was zur Instrumentenmatrix Z mit den Beobachtungen
zt = (x1t , z1t )′ führt.
Z′
³
E {zt εt } = 0
´
y − X β̂IV
= 0
−→ β̂IV
−1
= (Z ′ X)
Z ′y
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
57
Im multiplen Regressionsmodell muss für jede Variable, die mit
dem Fehlerterm korreliert ist, mindestens ein Instrument eingesetzt
werden, die Dimension der Instrumentenmatrix ist dann gleich der
Anzahl Parameter, die geschätzt werden (R = K). In diesem Fall,
sind die Momentbedingungen der Stichprobe exakt erfüllt.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
58
4.4
Generalisierte IV-Schätzung
Diese Schätzung wird angewandt, wenn die Instrumentenanzahl
grösser ist als die Anzahl der mit dem Fehlerterm korrelierten
Variablen (R > K). Zur Schätzung von β können die
Populationsmomente E {zt ε} = 0 nicht durch die
Stichprobenmomente ersetzt werden, da mehr Gleichungen als
Parameter vorhanden sind. Von den R Stichprobenmomenten
Z ′ (y − Xβ) werden höchstens K null sein, während die restlichen
R − K, auch wenn minimal, verschieden von null sein werden.
Damit alle Instrumente berücksichtigt werden können, wird β so
festgelegt, dass die gewichtete Quadratform der
Stichprobenmomente minimiert wird. Dies führt zum
generalisierten Kleinstquadratschätzer:
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
min Q(β)
β
−→ β̂IV
=
59
′
(Z ′ (y − Xβ)) W Z ′ (y − Xβ)
= (X ′ ZW Z ′ X)
−1
X ′ ZW Z ′ y
Verschiedene Gewichtungsmatrizen W führen zu unterschiedlichen
(konsistenten) Schätzungen für β, mit unterschiedlichen
asymptotischen Kovarianzmatrizen.
Die optimale Gewichtungsmatrix berücksichtigt die (Ko)Varianz in
den Stichprobenmomenten. Momente mit hoher Varianz, welche die
Schätzung unpräziser machen, werden dementsprechend
heruntergewichtet, Momente mit geringer Varianz werden stärker
gewichtet.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
60
W opt
=
=
−→ β̂IV
=
−1
(E {Z ′ εε′ Z})
µ
¶−1
2 1 ′
σ ZZ
T
³
´−1
−1 ′
−1
′
′
X Z (Z Z) Z X
X ′ Z (Z ′ Z) Z ′ y
Die Kovarianzmatrix der Parameter ist
o
³
´−1
n
−1 ′
′
′
ˆ
2
V̂ β̂IV = σ X Z (Z Z) Z X
wobei σˆ2 die Varianz der IV-Residuen, ε̂t = yt − x′t β̂IV , ist :
T
1X 2
ˆ
2
ε̂
σ =
T t=1 t
Bei homoskedastischen Residuen, ist die GIV-Schätzung gleich der
Zwei-Schritt-Kleinstquadratschätzung (siehe unten). Bei
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
61
heteroskedastischen und/oder autokorrelierten Fehlern werden die
Gewichtungsmatrix und die Kovarianzmatrix der Parameter nach
White oder Newey-West geschätzt.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
62
4.5
Diagnose der Instrumentengüte
Die Konsistenz des GIV-Schätzers und dessen asymptotische
Verteilung hängen davon ab, ob die Momentbedingungen
tatsächlich erfüllt sind. Im Falle exakter Identifikation (R = K)
PT
sind die Stichprobenmomente 1/T t=1 zt ε̂t = 0,
konstruktionsmässig bedingt, erfüllt. Die Güte der Instrumente
kann somit nicht überprüft werden.
Anders im Falle der Überidentifikation, R > K. Ohne genau zu
wissen welche, sind in dem Falle K Momentbedingungen erfüllt.
Falls die Güte der Instrumente hoch ist, sollten die restlichen
Momentbedingungen ebenfalls nahe null sein. Auf dieser Basis lässt
sich ein Test herleiten, welcher die Güte der überidentifizierten
Momentbedingungen (Restriktionen) testet (overidentifying
restrictions test, Sargan test). Die Statistik
¢−1 ′
′¡
(Z ε̂)
ξ = (Z ′ ε̂) σ̂ 2 Z ′ Z
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
63
is asymptotisch χ2 -verteilt mit R − K Freiheitsgraden.
Eine Möglichkeit, die Teststatistik einfach zu berechnen, basiert auf
dem R2 der Hilfsregression
(H) ε̂t = zt γ + νt
2,(0.05)
Die Teststatistik berechnet sich als ξ = T R2 . Falls ξ > χR−K ,
wird die Modellspezifikation verworfen. Das heisst, dass die
Instrumente (Datenevidenz) die Momentbedingungen nicht
erfüllen. Der Test sagt allerdings nichts darüber aus, welche
Instrumente ungültig bzw. schlecht sind.
Der Test kann benützt werden, um zusätzliche Instrumente
(R − R1 ) zu validieren, falls wir mindestens R1 ≥ K gültige
Instrumente kennen. Dazu berechnen wir die Statistiken ξ und ξR1
für die Modelle mit R bzw. R1 Instrumenten und bilden die
Differenz ξ − ξR1 . Diese Grösse ist approximativ χ2 -verteilt mit
R − R1 Freiheitsgraden.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
64
4.6
Relation zur
Zwei-Schritt-Kleinstquadratschätzung
Die GIV-Schätzung ist bei homoskedastischen Fehlern mit der
Zwei-Schritt-Kleinsquadratschätzung identisch. Im ersten Schritt
werden die endogenen Regressoren auf die Instrumente regressiert,
aus der wir die gefitteten Werte für die Regressoren erhalten. Mit
diesem Schritt extrahieren wir aus X denjenigen Teil, der mit Z
korreliert und mit ε unkorreliert ist, X̂. Im zweiten Schritt
regressieren wir die abhängige Variable y auf X̂ und erhalten damit
β̂IV .
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
(I)
xk
= Zγk + νk , k = 1, . . . , K
−→ x̂k
= Z γ̂k = Z (Z ′ Z)
(II)
= X̂β + ε
³
´−1
′
X̂ ′ y
=
X̂ X̂
y
−→ β̂IV
65
−1
Z ′ xk
−1
wobei X̂ = Z (Z ′ Z) Z ′ X, die Projektion der Datenmatrix X in
den Raum, der durch die Instrumente aufgespannt wird, ist.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
66
4.7
GMM – Generalisierte
Momentbedingungen-Methode
IV und GIV sind Spezialfälle von GMM (Generalized Method of
Moments), da die Momentbedingungen linear in den Parametern
sind. GMM verallgemeinert das Prinzip auf nichtlineare
Momentbedingungen. Die GMM-Schätzung minimiert die
gewichtete Quadratform der Momentbedingungen, wobei die
optimale Gewichtung gleich der Inversen der Kovarianzmatrix der
Stichprobenmomente ist. Da diese im nicht-linearen Fall von den
Parametern abhängen kann, muss zuerst eine “naive”
Gewichtungsmatrix angenommen werden, um einen ersten
konsistenten Schätzer zu erhalten. Mit diesem kann die optimale
Gewichtungsmatrix aktualisiert werden. Die asymptotische
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
67
Verteilung des Schätzers ist
´
√ ³
T β̂GMM − β −→ N (0, V )
wobei V mittels der Delta-Methode berechnet wird
¡
¢−1
V = DW opt D′
In D finden sich die K × R Ableitungen der K
Momentbedingungen nach den R Parametern.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
68
4.8
Beispiel: Taylor-Regel für die Schweiz
Die Taylor-Regel ist eine einfache Darstellung, um das
Zinsfestsetzungsverhalten der Schweizerischen Nationalbank zu
beschreiben. Zinsen reagieren demnach auf Abweichungen der
Inflation von ihrem Zielniveau und, je nach Gewichtung in der
Verlustfunktion der Nationalbank, auf Abweichungen der
Produktion von ihrem langfristigen Trend.
r∗ + πt + β1∗ (πt − π ∗ ) + β2∗ (yt − yt∗ ) + εt
it
=
it
= (r∗ − β1∗ π ∗ ) + (1 + β1∗ ) πt + β2∗ (yt − yt∗ ) + εt
Da die Auswirkungen geldpolitischer Aktionen, d.h. von
Zinsänderungen, erst nach einer gewissen Zeit eintreten, integriert
eine vorausschauende Geldpolitik Inflationserwartungen und
erwartete Produktionsschwankungen in ihre Politikmassnahmen.
¢
¡
∗
it = (r∗ − β1∗ π ∗ ) + (1 + β1∗ ) E (πt+4 |Ωt ) + β2∗ E yt+4 − yt+4
|Ωt + εt
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
69
Um die Volatilität in den Zinssätzen gering zu halten, werden
Zinsänderungen meist in kleinen Schritten durchgeführt,
it = (1 − ρ)i∗t + ρit−1
Dies führt zu einer Persistenz in der Zinsdynamik, die in die
Schätzgleichung eingebunden wird:
it
it
it
= (1 − ρ) (r∗ − β1∗ π ∗ ) + (1 − ρ) (1 + β1∗ ) E (πt+4 |Ωt ) + . . .
¢
¡
∗
+(1 − ρ)β2∗ E yt+4 − yt+4
|Ωt + ρit−1 + εt
¢
¡
∗
= β0 + β1 E (πt+4 |Ωt ) + β2 E yt+4 − yt+4
|Ωt + ρit−1 + εt
¢
¡
∗
+ ρit−1 + εt
= β0 + β1 πt+4 + β2 yt+4 − yt+4
wobei wir die erwarteten Werte durch die aktuellen ersetzen
können, wenn wir den Marktteilnehmern rationale Erwartungen
unterstellen.
Da die Rechthandvariablen mit dem Fehlerterm korrelieren (eine
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
70
unerwartete Zinsänderung wirkt sich auf Inflations- und
Produktionserwartungen aus), muss die Gleichung mit GIV oder
mit GMM geschätzt werden.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
71
Abbildung 9: Taylor-Regel für
Kleinstquadratschätzung (2SLS)
die
SNB,
Zwei-Schritt-
Dependent Variable: CH_IR3M
Method: Two-Stage Least Squares
Date: 03/26/09 Time: 10:40
Sample (adjusted): 1989Q3 2007Q3
Included observations: 73 after adjustments
Instrument list: C CH_IR3M(-1) CH_IR3M(-2) LCH_CPI-LCH_CPI(-4)
LCH_CPI(-1)-LCH_CPI(-5) LCH_GDPRGAP-LCH_GDPRGAP(-4)
LCH_GDPRGAP(-1)-LCH_GDPRGAP(-5)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
LCH_CPI(4)-LCH_CPI
LCH_GDPRGAP(4)-LCH_GDPRGAP
CH_IR3M(-1)
C
0.376328
-0.259966
0.750703
0.117744
0.126070
0.148349
0.060773
0.132288
2.985069
-1.752391
12.35251
0.890061
0.0039
0.0841
0.0000
0.3765
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
F-statistic
Prob(F-statistic)
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
0.959788
0.958040
0.562834
562.2330
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Durbin-Watson stat
Second-Stage SSR
3.278785
2.747652
21.85797
0.907282
9.254481
72
Abbildung 10: Taylor-Regel für die SNB, generalisierte Momentenschätzung (GMM)
Dependent Variable: CH_IR3M
Method: Generalized Method of Moments
Date: 03/26/09 Time: 10:42
Sample (adjusted): 1989Q3 2007Q3
Included observations: 73 after adjustments
Kernel: Bartlett, Bandwidth: Fixed (3), No prewhitening
Simultaneous weighting matrix & coefficient iteration
Convergence achieved after: 9 weight matrices, 10 total coef iterations
Instrument list: C CH_IR3M(-1) CH_IR3M(-2) LCH_CPI-LCH_CPI(-4)
LCH_CPI(-1)-LCH_CPI(-5) LCH_GDPRGAP-LCH_GDPRGAP(-4)
LCH_GDPRGAP(-1)-LCH_GDPRGAP(-5)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
LCH_CPI(4)-LCH_CPI
LCH_GDPRGAP(4)-LCH_GDPRGAP
CH_IR3M(-1)
C
0.455253
-0.221883
0.722691
0.009436
0.127969
0.113001
0.071514
0.140683
3.557539
-1.963542
10.10553
0.067072
0.0007
0.0536
0.0000
0.9467
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
0.958020
0.956195
0.575073
0.857066
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
J-statistic
3.278785
2.747652
22.81894
0.030281
73