Darstellungstheorie: Grundbegriffe

Darstellungstheorie: Grundbegriffe
Jan Feldmann
18. April 2017
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Definitionen
Sei V ein Vektorraum über dem Körper C der komplexen Zahlen, Aut(V ) die Gruppe der
Automorphismen auf V , also der linearen Abbildungen von V nach V , die ein (lineares)
Inverses besitzen. Sei (G, ·) stets eine endliche Gruppe.
Definition 1.1 (Lineare Darstellung). Eine lineare Darstellung ist ein Gruppenhomomorphismus % : G → Aut(V ), d.h. eine Abbildung, die der Gleichung %(s · t) = %(s) ◦ %(t) genügt.
Ist % gegeben, nennen wir V Darstellungsraum (oder ungenauer Darstellung) von G.
Bemerkung 1.2. Insebesondere folgt
%(1G ) = id, %(s−1 ) = %(s)−1 .
Überwiegend werden wir uns endlichdimensionalen Vektorräumen widmen. Sei n also die
Dimension von V ; wir nennen n dann auch den Grad einer Darstellung
Bemerkung 1.3. Wir notieren häufig %s für %(s). Im endlichdimensionalen Fall können wir
Aut(V ) mit GL(dim(V ), C) identifizieren. Sei (ei ) eine Basis von V und Rs die Darstellungsmatrix von %s bzgl. dieser Basis. Es gelten:
det(Rs ) 6= 0, Rst = Rs · Rt .
Definition 1.4 (Äquivalente Darstellungen). Wir nennen zwei Darstellungen % : G → V
und %0 : G → V 0 äquivalent, wenn ihre Darstellungsmatrizen ähnlich sind, d.h. es einen
Isomorphismus τ : V → V 0 gibt, so dass τ ◦ %(s) = %0 (s) ◦ τ für alle s ∈ G.
Beispiel 1.5 (Reguläre Darstellung). Sei g die Ordnung von G und (et )t∈G eine Basis des
Vektorraums V . Für s ∈ G sei %s der Automorphismus, so dass %s (et ) = es·t . Dies definiert
in der Tat eine lineare Darstellung der Ordnung g; wir nennen sie die reguläre Darstellung.
Offenbar bilden die Bilder von e1 eine Basis (%t (e1 ))t∈G . Sei nun umgekehrt W eine Darstellung von G, die einen Vektor w ∈ W besitzt, so dass (%t (w))t∈G eine Basis bildet, so ist W
zur regulären Darstellung äquivalent: wir definieren einen Isomorphismus τ : V → W , indem
wir τ (es ) = %s (w) setzen.
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Teildarstellungen
Zu verlangen, dass V endlicher Dimension sei, bedeutet keine gravierende Einschränkung:
da wir uns meist für das Verhalten einer endlichen Zahl von Elementen eines Vektorraums
interessieren, können wir stets auf den durch die Bilder unter % erzeugten linearen Unterraum
zurückgreifen.
Definition 2.1 (Teildarstellung). Sei % : G → Aut(V ) eine lineare Darstellung und W ⊆ V
ein Unterraum, der stabil (auch ”invariant”) unter der Wirkung von G ist, d.h. es gelte
x ∈ W ⇒ %s (x) ∈ W für alle s ∈ G. Nun kann %s zu einem Automorphismus auf W
eingeschränkt werden; wir erhalten also mit %W : G → Aut(W ) eine lineare Darstellung von
G in W . Wir nennen W eine Teildarstellung von V .
Satz 2.2 (Maschke). Sei % : G → Aut(V ) eine lineare Darstellung von G in V und W ⊆ V
ein unter G stabiler Unterraum. Es gibt dann ein Komplement W 0 von W in V , das unter
G stabil ist.
Beweis: Sei π : V → V eine beliebige Projektion auf W . Wir erhalten mit
π0 =
1 X
%t ◦ π ◦ %−1
t
|G|
t∈G
eine weitere Projektion auf W und ker π 0 ist stabil unter G.
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Irreduzible Darstellungen
Definition 3.1 (Irreduzibilität). Eine lineare Darstellung % : G → Aut(V ) von G heißt
irreduzibel, wenn es außer 0 und V keinen Untervektorraum von V gibt, der unter G stabil
ist.
Satz 3.2. Jede Darstellung ist direkte Summe irreduzibler Darstellungen.
Beweis: Sei V eine lineare Darstellung einer endlichen Gruppe G. Der Beweis erfolgt induktiv nach dim(V ): falls dim(V ) = 0, ist V direkte Summe der leeren Familie irreduizibler
Darstellungen, und offensichtlich ist jede Darstellung vom Grad 1 irreduzibel; sei nun also
dim(V ) ≥ 2. Ist V irreduzibel,
so ist nichts zu zeigen. Andernfalls können wir stets eine diL 00
0
rekte Summe V = V
V betrachten, so dass dim(V 0 ) < dim(V ) und dim(V 00 ) < dim(V ).
Nach Induktionsvoraussetzung gilt die Aussage für V 0 und V 00 , mithin auch für V .
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Literatur
[1] J.-P. Serre: Linear Representations of Finite Groups, Springer (1977)