Übungsblatt 06 Theoretische Physik mit Sage WiSe 2013/14

Übungsblatt 06
load '/media/sf_Sage/MyHead.sage'
Head ('Schrödinger-Gleichung')
Theoretische Physik mit Sage
WiSe 2013/14
- Schrödinger-Gleichung x,t,m,hbar,b,rho=var('x','t','m','hbar','b','rho',domain='real')
V=function('V',x)
S=function('S',x,t)
R=function('R',x,t)
psi=function('psi',x,t)
b_t=function('b_t',t)
print 'Parameter'
Par=m==1,b==1,hbar==1;Par
Parameter
(m = 1, b = 1, hbar = 1)
ATU(1,'Wellengleichung der klassischen statistischen Mechanik')
Aufgabenteil 1) Wellengleichung der klassischen statistischen Mechanik
Tex('Hamilton-Jacobi und Kontinuität: ${\partial S \over \partial t}=-{1 \over 2m}
({\partial S \over \partial x})^2-V,\ {\partial R^2 \over \partial t}=-{1 \over m}
{\partial \over \partial x}{\partial S \over \partial x}R^2 $')
ä
Hamilton-Jacobi und Kontinuit t:
∂S
∂t
= −
1
2m
(
∂S
∂x
)
2
− V,
∂R
2
∂t
= −
∂
1
∂S
m ∂x ∂x
R
2
e1_1=S.diff(t)==-1/(2*m)*S.diff(x)^2-V,R.diff(t)==-S.diff(x)*R.diff(x)/mR*S.diff(x,x)/(2*m);e1_1
(D[1](S)(x, t) = −
D[0](S)(x,t)
2m
2
− V(x), D[1](R)(x, t) = −
D[0](R)(x,t)D[0](S)(x,t)
m
−
R(x,t)D[0,0](S)(x,t)
2m
)
Tex('Wellenfunktion $\psi=R*e^{iS/\hbar}$ und Ableitungen')
Wellenfunktion ψ = R ∗ e
iS/ℏ
und Ableitungen
s=psi==R*exp(I*S/hbar)
e1_2=s,s.diff(t),s.diff(x,x);e1_2
⎛
⎛
i S
(
x ,t
)
(
⎜
⎜ψ(x, t) = R(x, t)e
⎜
i S
)
hbar
(
x ,t
)
(
, D[1](ψ)(x, t) = e
hbar
i S
(
x ,t
)
⎜
)
D[1](R)(x, t) +
i R(x,t)e
⎝
⎞
⎟
hbar
⎠
D[1](S)(x,t)
hbar
, D[0, 0](ψ)(x, t) =
⎝
Tex('Elimination von $S$ und $R$:')
Elimination von S und R:
s1=e1_2[2].solve(diff(S,x,x))[0];
s2=e1_2[0].solve(exp(i*S/hbar))[0]
e1_3=
(e1_2[1].subs_expr(e1_1[0],e1_1[1]).subs(s1).expand().subs(s2)*hbar*i).expand();e1_3
i hbarD[1](ψ)(x, t) = V(x)ψ(x, t) +
hbar
2
ψ (x,t)D[0,0](R)(x,t)
2 mR(x,t)
−
hbar
2
D[0,0](ψ )(x,t)
2m
Tex('also: $-{\hbar \over i}{\partial \psi \over \partial t}=({\hbar^2 \over 2m}(-
{\partial ^2 \over \partial x^2}+{\partial ^2 R\over R\partial x^2})+V)\psi$')
also: −
ℏ
∂ψ
i
= (
∂t
ℏ
2
(−
2m
2
∂
∂x
2
+
2
∂ R
R∂x
2
) + V)ψ
ATU(2,'Quantenmechanik')
Aufgabenteil 2) Quantenmechanik
Tex('Elimination von $R$ (Quantisierung) führt auf die Schrödinger-Gleichung der
Quantenmechanik')
ü
Elimination von R (Quantisierung) f hrt auf die Schr
ödinger-Gleichung der Quantenmechanik
Tex('also :$-{\hbar \over i}{\partial \psi \over \partial t}=(-{\hbar^2 \over 2m}
{\partial ^2 \over \partial x^2}+V)\psi$')
also :−
ℏ ∂ψ
i
= (−
∂t
ℏ
2
∂
2
2m ∂x
2
+ V)ψ
e2_1=e1_3.subs(diff(R,x,x)==0);e2_1
i hbarD[1](ψ)(x, t) = V(x)ψ(x, t) −
hbar
2
D[0,0](ψ )(x,t)
2m
ATU(3,'Gauß-Packet als Lösung der freien Schrödinger-Gleichung')
Aufgabenteil 3) Gauß-Packet als Lösung der freien Schrödinger-Gleichung
print 'Freie Schrödinger-Gleichung'
e3_1=e2_1.subs(V==0);e3_1
Freie Schrödinger-Gleichung
i hbarD[1](ψ)(x, t) = −
hbar
2
D[0,0](ψ )(x,t)
2m
print 'Lösungs-Versuch mit Ansatz'
e3_2=psi==sqrt(b/sqrt(pi))*exp(x^2/(2*b_t^2))/b_t,b_t==b*sqrt(1+i*hbar*t/b^2/m);e3_2
Lösungs-Versuch mit Ansatz
⎛
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ψ(x, t) =
⎜
⎜
⎜
b
√
√π
e
x
⎝
2 bt
2
⎞
⎟
⎟
⎟
2 ⎟
( )
t
⎟
−
−−−
−−
−−
−⎟
⎠
, b t (t) = b√
bt (t)
i
⎟
+ 1⎟
⎟
⎟
⎟
hbar t
2
b m
⎝
⎠
print 'Einsetzen der Lösung'
s=e3_2[0].subs(e3_2[1])
s=e3_1.subs_expr(s,diff(psi,t)==diff(s.rhs(),t),diff(psi,x,x)==diff(s.rhs(),x,x))
e3_3=s.expand();e3_3
Einsetzen der Lösung
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
hbar
2
b
√
√π
e
⎝
x
2
2 b
2
hbar t
⎛ i
⎝
b
2
m
3
2b
3
m(
i
hbar t
b
2
+1
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞ ⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
⎠ ⎠
hbar
2
x
2
b
√
√π
e
⎝
x
2
⎛ i
b2
⎝
2
hbar t
2
b m
−
5
2
5
+1)
2 b m(
i
hbar t
b
m
2
2
+1)
+1
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞ ⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
⎠ ⎠
hbar
2
b
√
√π
e
⎝
x
2
2 b
⎛ i
⎝
2
hbar t
b
2
m
=
⎞
+1
⎠
3
3
2 b m(
m
i
hbar t
b
2
2
+1)
m
print 'also'
(e3_3-e3_3.lhs())
also
0 = 0
ATU(4,'Zerfließen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit')
Aufgabenteil 4) Zerfließen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
print 'Lösung der freien SG'
e4_1=e3_2[0].subs(e3_2[1]);e4_1
Lösung der freien SG
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
⎠
hbar
2
x
2
b
√
√π
e
⎝
x
2
2 b
⎛ i
⎝
2
b m
−
5
2 b m(
i
hbar t
b
2
m
2
hbar
+1)
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
b
√
√π
e
⎝
x
2
2 b
ψ(x, t) =
√
b
i
⎛ i
hbar t
⎝
b
2
hbar t
b
2
2
⎞
+1
⎠
m
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+1
m
print 'Wahrscheinlichkeitsdichte rho'
Wahrscheinlichkeitsdichte rho
e4_2=rho==abs(psi)^2;e4_2
ρ = |ψ(x, t)|
2
e4_3=e4_2.subs(e4_1).simplify();e4_3
⎛
∣
∣
∣
∣
∣

∣
i
∣
⎷
∣
2
∣
1
∣
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎜
⎜
⎜
∣
hbar t
b 2m
e
⎞
x
b
⎛
hbar
⎝
b4 m2
2
⎝
2
2
t
⎞
2
+1
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∣
+1
∣
∣
ρ =
√π b
print 'mit Parametern'
e4_4=SubsPar(e4_3);e4_4
mit Parametern
∣
∣
∣ √i
ρ =
1
t+1
∣
∣
∣
⎛
2
e
⎝
x
−
2
t 2 +1
⎞
⎠
√π
N=10
def f(n):
s=e4_4.rhs().subs(t=n).simplify()
return plot(s,-15,15,legend_label='t=%d'%(n),rgbcolor=(n*(N-n)/25,n/N,(Nn)/N))
s=[f(t) for t in range(N)]
sum(s).show(figsize=4)