Wellen - HTW Saar

Wellen
1.
Longitudinale Wellen
2.
Transversale Wellen
3.
Druck- und Dichtewellen
4.
Akustische Größen
5.
Stehende Wellen
6.
Spektralanalyse
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
Literatur
M. Alonso, E.J. Finn, Physik, Oldenbourg Verlag, 3. Auflage, 2000.
Demtröder, Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, Springer Verlag, 6.
Auflage 2013.
H. Stöcker, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch Verlag, 5. Auflage, 2005.
U. Michels, dtv-Atlas zur Musik, Tafeln und Texte, Band 1, dtv Verlag, 11
Auflage, 1987.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
1. Wellen, Longitudinalwelle im festen Körper
Allgemeine Wellengleichung
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x
2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
v=
E
: Scheitelwerte
ξ : Veränderliche
ρ
: Ausbreitungsgeschw.,
: Effektivwerte
Phasengeschwindigkeit
E : Elastizitätsmodul
ρ : Dichte des Mediums
v
Elastische Wellen in longitudinaler Richtung in einem Stab:
Störung am Ende eines Stabes durch einen Hammerschlag
Störung läuft fort entlang des Stabes und breitet sich innerhalb
dieses aus. Der Stab wird elastisch verformt.
Die veränderliche Größe in diesem Fall in Ort und Zeit
ist die Verformung.
Longitudinalwelle in einem Stab
Lineare Verformung eines
Stabes bei kleiner Belastung
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
1. Wellen, Longitudinalwelle im festen Körper
Beweis:
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
v=
E
ξ :
ρ
v
E :
ρ :
σ :
Wegen den auftretenden Spannungen gilt:
σ=
F
A
(i)
Normalspannung
Das Hoocksche Gesetz besagt, dass die mechanische Spannung
proportional zur Verformungsänderung im Ort sein muss:
σ = E⋅
∂ξ
∂x
(ii)
Hooksche Gesetz
∂ξ
Ausserdem gilt: ξ + dξ = ξ +
dx
∂x
und
σ + dσ = σ +
:
∂σ
dx
∂x
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
: Scheitelwerte
Veränderliche
: Effektivwerte
Ausbreitungsgeschw.,
Phasengeschwindigkeit
Elastizitätsmodul
Dichte des Mediums
Mechanische Spannung,
Normalspannung
Longitudinalwelle
1. Wellen, Longitudinalwelle im festen Körper
F = m⋅
d 2ξ
dt
Mit
2
σ = E⋅
und dF = dm ⋅
dt
∂ξ
∂x
Aus (iii) und (iv)
2
ρ ⋅ A⋅
d ξ
dt
v=
2
d 2ξ
= A⋅ E
und
σ=
dF = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅
2
d 2ξ
dt 2
∂ξ
F
= E⋅
A
∂x
F
A
d 2ξ
dF
= ρ ⋅ A ⋅ 2 (iii)
dx
dt
dF
∂ 2ξ
= A⋅ E ⋅ 2
dx
∂x
Allgemeine Wellengleichung
∂ 2ξ
ρ d 2ξ
2
E dt 2
∂x
=
∂ 2ξ
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t ) ∂ 2ξ ( x ,t )
=
⋅
2
2
v
∂x 2
∂t
E
ρ
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
(iv)
2. Transversale Welle im festen Körper
Allgemeine Wellengleichung
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
v=
G
ρ
Elastische transversale Wellen in einem Stab:
Der Stab wird durch eine Kraft in transversaler Richtung angeregt.
Dadurch verformt sich der Stab wie im Bild gezeigt.
Sei ξ eine transverale Verschiebung innerhalb eines kleinen
Bereiches dx zum Zeitpunkt dt.
∂ξ
Scherung
ξ :
v
:
G :
ρ :
τ :
: Scheitelwerte
Veränderliche
: Effektivwerte
Ausbreitungsgeschw.,
Phasengeschwindigkeit
Scher- oder Schubmodul
Dichte des Mediums
Scherspannung
∂x
Scherwelle in einem Stab
Die örtliche Änderung der transversalen
Verschiebung heißt Scherung.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
2. Transversale Wellen im festen Körper
Beweis:
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
v=
G
ξ :
ρ
v
G :
ρ :
τ :
Wegen den auftretenden Spannungen gilt:
τ=
F
A
(i)
Scherspannung
Das Hoocksche Gesetz besagt, dass die mechanische Spannung
proportional zur Verformungsänderung im Ort sein muss:
τ = G⋅
∂ξ
∂x
(ii)
Hooksche Gesetz
∂ξ
Ausserdem gilt: ξ + dξ = ξ +
dx
∂x
und
τ + dτ = τ +
:
∂τ
dx
∂x
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
: Scheitelwerte
Veränderliche
: Effektivwerte
Ausbreitungsgeschw.,
Phasengeschwindigkeit
Scher- oder Schubmodul
Dichte des Mediums
Scherspannung
Transversalwelle
2. Transversale Welle im festen Körper
F = m⋅
d 2ξ
dt
2
τ = G⋅
Mit
und dF = dm ⋅
dt
∂ξ
∂x
Aus (iii) und (iv)
2
ρ ⋅ A⋅
d ξ
dt
v=
2
d 2ξ
= A⋅G
und
τ=
dF = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅
2
d 2ξ
dt 2
∂ξ
F
= G⋅
A
∂x
F
A
d 2ξ
dF
= ρ ⋅ A ⋅ 2 (iii)
dx
dt
dF
∂ 2ξ
= A⋅G ⋅ 2
dx
∂x
Allgemeine Wellengleichung
∂ 2ξ
ρ d 2ξ
2
G dt 2
∂x
=
∂ 2ξ
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t ) ∂ 2ξ ( x ,t )
=
⋅
2
2
v
∂x 2
∂t
G
ρ
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
(iv)
2. Transversale Welle
Ein weiteres Beispiel für eine Transversale Welle ist eine Seilwelle.
Transversale Seilwelle:
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Allgemeine Wellengleichung
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x
2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
v=
K
: Scheitelwerte
ξ : Veränderliche
ρ0
: Ausbreitungsgeschw.,
: Effektivwerte
Phasengeschwindigkeit
K : Kompressionsmodul
ρ : Dichte des Mediums
Elastische Wellen in einem Gas:
Die Druck- und Dichteschwankungen breiten sich im Gas wie eine
Welle aus.
Schall ist eine Druckwelle im Gas (Luft).
v
Aufgrund der Komprimierbarkeit in einem Gas, ändern sich Druck
und Dichte gleichermaßen.
Kompressionswelle in einer Gassäule
Kompressionsmodul
K = ρ0
∂p
∂ρ
[ K ] = Pa
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Die Druck- und Dichteschwankungen breiten sich im Gas wie eine Welle aus. Deshalb ist die
Veränderliche ξ innerhalb der Wellengleichung der Druck oder die Dichte. Da in einem Gas
(kompressible Flüssigkeit), Dichte und Druck miteinander zusammenhängen unterliegen beide
Größen den gleichen Schwankungen.
∂ 2ξ ( x ,t )
∂x 2
1 ∂ 2ξ ( x ,t )
∂ 2 p( x ,t ) 1 ∂ 2 p( x ,t )
= 2⋅
= 2⋅
;
2
2
v
∂t
v
∂t 2
∂x
;
∂ 2 ρ ( x ,t )
∂x 2
1 ∂ 2 ρ ( x ,t )
= 2⋅
v
∂t 2
Mit Hilfe der Eulerschen Bewegungsgleichung und der Kontinuitätsgleichung, kann
die Wellengleichung für eine Druckwellenausbreitung bewiesen werden. Aufgrund
der Komplexität des Beweises, wird hier drauf verzichtet und auf passende Literatur
verwiesen [E. Meyer,E. Neumann: Physikalische und Technische Akustik].
v=
K
ρ0
Allgemeine Wellengleichung
2
2
1 ∂ p( x ,t ) ∂ p( x ,t )
=
⋅
2
2
v
∂x 2
∂t
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Ausserdem gilt für die Schallgeschwindigkeit auch v:
v=
κ⋅p
= κ ⋅ RS ⋅ T
ρ
wegen
p
ρ
p
v
= RS ⋅ T
K
Beweis:
Mit
∂p
K = ρ0
∂ρ
Weil
ρ=
m
V
und
ρ~
pV κ = const
1
V
κ
1
p = const 
V 
p = C ⋅ ρκ
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
ρ
κ
RS
T
V
C
: Scheitelwerte
Mediums
: Druck des
: Ausbreitungsgeschw.,
: Effektivwerte
Phasengeschwindigkeit
: Kompressionsmodul
: Dichte des Mediums
: Adiabatenkoeff.
: spez. Gaskonstante
: Temperatur
: Volumen
: Konstante
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Durch Ableitung von p nach ρ
∂p
= κ ⋅ C ⋅ ρ κ −1
∂ρ
p
v
K
κ
Durch Vergleich mit der Gleichung für K und mit p = C ⋅ ρ
ρκ
∂p
= ρ0 ⋅ κ ⋅ C ⋅
K = ρ0
K = ρ0 ⋅ κ ⋅ C ⋅ p
ρ
∂ρ
In v =
K
ρ0
ρ0 ⋅ κ ⋅ p
v=
ρ0 ⋅ ρ
κ⋅p
v=
ρ
ρ
κ
RS
T
V
C
qed.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
: Scheitelwerte
Mediums
: Druck des
: Ausbreitungsgeschw.,
: Effektivwerte
p
Phasengeschwindigkeit
K = ρ0 ⋅ κ ⋅
: Kompressionsmodulρ
: Dichte des Mediums
: Adiabatenkoeff.
: spez. Gaskonstante
: Temperatur
: Volumen
: Konstante
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Hinweis:
Bei der Aufstellung der Wellengleichung wurden alle möglichen
Verluste vernachlässigt. Nur dann gilt die allgemeine
Wellengleichung wie hier diskutiert. Ansonsten muss der
Verlustfaktor durch einfache Ableitung der veränderlichen Größe
nach der Zeit ergänzt werden.
Ein Beispiel hierfür zeigt die untere Gleichung für die Ausbreitung
von Schall in einer porösen Keramik.
ρ
c
Ξ
χ
v
p
P
: Dichte des Mediums
: Schallgeschwindigkeit
: Strömungswiderstand
: Strukturfaktor
: Schnelle der Welle
: Druck der Welle
: Porosität
Wellengleichung mit Verlusfaktor
∂2 p
∂2 p
P Ξ ∂p
= 2 ⋅χ 2 + 2
2
∂x
∂t
c
ρc ∂t
1
Pore
∆p
Schalldruck
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
∆p
3. Druckwellen und Dichtewellen in Fluide (Gase und Flüssigkeiten)
Im Fall von Wellen in Gasen (kompressible Medien) oder Flüssigkeiten (inkompressible Medien),
fehlt das Schermodul G. Deshalb existieren hier nur Longitudinalwellen!
Die Schallgeschwindigkeit ist an die Druck- und Dichteänderung im Medium gebunden.
Gehört zur Druckstörung ∆p eine kleine Dichteänderung ∆ρ dann ist das Medium inkompressibel
und die Schallgeschwindigkeit ist groß. Gehört dagegen zur Druckstörung eine große
Dichteänderung, dann ist das Medium kompressibel und die Schallgeschwindigkeit ist klein.
Im Fall einer Wellenbewegung werden Impuls und Energie übertragen.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
4. Wichtige akustische Größen
Schallwellendruck:
 2π

p( x,t ) = ξ0 ⋅ sin ( x − vt )
λ

mit
k=
2π
λ
p( x,t ) = p0 ⋅ sin(kx − ω t )
Hörbare Frequenzen für das menschliche Gehör:
16 Hz
bis ca. 16 kHz
Schallpegel:
Druckänderung aufgrund der Bewegung, Schwingung von Gasmolekülen im Bereich von:
 p
2 ⋅ 10−5 Pa bis 20 Pa
  dB
L
20
log
=
Schalldruckpegel LW:
für 1000 Hz
W
 p0 
0 dB
120
dB
bis
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
4. Wichtige akustische Größen
Ton:
Harmonische Schwingung mit nahezu konstanter Amplitude.
Tonhöhe:
Ist durch die Frequenz bestimmt. Zum Beispiel wurde der Kammerton a1 auf 440 Hz bei 20°C
festgelegt (Stimmtonkonferenz in London 1937).
Stärke eines Tons:
Bestimmt durch die quadrierte Amplitude (maximale Auslenkung).
Klang:
Besteht aus der Summe von Sinustönen oder Kosinustönen. Deshalb ist der Klang kein reiner Ton.
Die Teiltöne können mit einer Fourier-Zerlegung bestimmt werden.
Auf der Abzisse wird der Schalldruck aufgetragen, damit die Lautstärke ermittelt werden kann.
Auf der Ordinate wird die Frequenz aufgetragen, die den Ort des Teiltons angibt.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
4. Wichtige akustische Größen
Geräusch:
Die Schwingungen sind unharmonisch. Außerdem sind sie unregelmäßig in der Periode.
Ihre Amplituden und auch ihre Frequenzen ändern sich statistisch.
Knall:
Unperiodische kurze Schwingungsimpulse (Quelle: dtv-Atlas zur Musik).
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
4. Wichtige akustische Größen
Quelle: U. Michels, dtv-Atlas zur Musik
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
5. Stehende Wellen
Stehende Wellen, entstehen durch Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz,
gleicher Amplitude und gleichem Phasenwinkel, aber entgegengesetzter Laufrichtung.
Die Wellenzahlvektoren beider Wellen sind betragsgleich und antiparallel.
Erzeugung von stehenden Wellen zum Beispiel:
Kundtsches Rohr:
Erzeugung von longitudinalen, stehenden Wellen.
Die Wellen werden innerhalb eines Glasrohrs sichtbar gemacht.
An einem Ende des Rohrs befindet sich ein Lautsprecher. Am anderen Ende wird das Rohr durch
einen Stempel abgeschlossen.
Der Lautsprecher bringt die Luftsäule zum Schwingen. Durch die Änderung der Lage des
Stempels, kann die Länge der Luftsäule variiert werden.
Erzeugung von Klangfiguren auf eine Membran:
Eine dünne Membran oder Metallplatte die mit feinem Sand versehen wird.
Durch das Anstreichen eines Geigenbogens am Rande der Membran, wird diese zum Schwingen
angeregt. Dabei entstehen verschiedene Oberschwingungen.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
λn : Wellenlänge
l :
n :
5. Stehende Wellen, Eigneschwingungen
Saitenlänge
Knotenzahl
zwei feste Enden
λn =
n=0
n=1
2l
n+1
Grundschwingung
λ0 = 2l
Saite
v
2l
Grundfrequenz
f0 =
Grundschwingung
λ0 = 4l
n=2
ein freies, ein festes Ende
λn =
n=0
n=1
4l
2n + 1
n=2
Stab
v
4l
Grundfrequenz
f0 =
Grundschwingung
λ0 = 2l
zwei freie Enden
λn =
n=0
n=1
n=2
2l
n+1
Grundfrequenz
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
f0 =
v
2l
Kundtsche
Rohr
5. Stehende Wellen
Erzeugung von Klangfiguren auf eine Membran:
Eine dünne Membran oder Metallplatte die mit feinem Sand versehen wird.
Durch das Anstreichen eines Geigenbogens am Rande der Membran, wird diese zum Schwingen
angeregt. Dabei entstehen verschiedene Oberschwingungen.
Zweidimensionale Eigenschwingungen von Membranen
2
2
2
∂ ξ
1 ∂ ξ ( x ,t )
∂ ξ
=
⋅
+
2
2
2
v
∂t 2
∂x
∂x
Lösung der Wellengleichung:
ξ( x, y,t ) = ξ0( x, y ) ⋅ sin(ω t )
ξ
k
λ
:
:
:
m,n :
a,b :
σ
:
ρ
:
Veränderliche
Wellenzahl
Wellenlänge
Knotenzahlen
Begrenzungen
Zugspannung
Dichte Membran
Amplitudenfunktion ξ0(x,y) ist abhängig von Randbedingungen.
Mögliche Eigenschwingungen für:
ξm ,n ( x , y ) = ξ0 ⋅ sin
( m + 1 )π x
( n + 1 )π y
⋅ sin
⋅ cos( ωmnt )
a
b
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
Quelle: Stöcker: Taschenbuch der Physik
5. Stehende Wellen
Für die Wellenzahl k gilt:

1 
2
2
2 1
k = k x + k y = 4π
+
 λ2 λ2 
y
 x
ξ
2
k
λ
Für die Kreisfrequenz ω gilt:
σ  m + 1   n + 1  

ωm ,n = π
 +
 
ρ  a   b  


2
:
:
2
:
m,n :
a,b :
σ
:
ρ
:
Veränderliche
Wellenzahl
Wellenlänge
Knotenzahlen
Begrenzungen
Zugspannung
Dichte Membran
Klangfiguren einer quadratischen, eingespannten Platte
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik,
SS 2017
Cladnische
Kangfigur 161Hz
Cladnische Kangfigur 564Hz
Cladnische Kangfigur 1060Hz
Cladnische Kangfigur 1307Hz
5. Stehende Wellen
Für eine kreisförmige Einspannung einer Membran, gilt:
1 1  ∂ξ  1 ∂ 2ξ
1 ∂ 2ξ
= 2 2
r  + 2
2
r ∂r  ∂r  r ∂ϕ
v ∂t
Lösung der Wellengleichung:
 rn, p 
 ⋅ [ξ1 cos( pϕ ) + ξ2 sin( pϕ )]⋅ cos(ωn, pt )
ξn, p( r ,ϕ ,t ) = J p  r
 R 
rn , p σ
ωn , p =
R ρ
Frequenz der Eigenschwingung
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
ξ
N
p
Jp
R
σ
ρ
rn,p
:
:
:
:
:
:
:
:
Veränderliche
Radialknoten
Azimutknoten
Besselfunktion p-ter O.
Radius Membran
Zugspannung
Dichte Membran
n-te Nullstelle der Besselfkt.
6. Spektrale Darstellung von Zeitfunktionen , Fourier-Reihe
Die mathematische Darstellung einer periodischen Zeitfunktion u(t):
An(nω)
u( t ) = u( t + kT ); k = 0 , ± 1, ± 2 , ...; T : Periodendauer
Eine periodische Funktion, die in ihrem Grundintervall 0 < t < T beschränkt
und stückweise stetig ist, läßt sich in eine konvergente Fourier-Reihe
entwickeln:
a0 ∞
b
u( t ) =
+ ∑ An cos( nω t − ϕ n ) ; An = an2 + bn2 ; ϕ n = arctan n
2 n =1
an
Für die Koeffizienten a0, an, bn gilt:
T
0
T
2
an = ∫ u( t ) cos nω t dt ;
T
0
ω 2ω 3ω 4ω
Oberwellen,
Harmonische
Grundschwingung
a0 ∞
2π
u( t ) =
+ ∑ ( an cos nω t + bn sin nω t ); ω =
2 n =1
T
a0 1
=
u( t )dt ;
2 T∫
ω
T
2
bn = ∫ u( t ) sin nω t dt
T
0
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017
Gleichanteil
6. Spektrale Darstellung von Zeitfunktionen , Fourier-Reihe
Jede periodische Zeitfunktion läßt sich als Überlagerung darstellen eines
Gleichanteils a0/2 (zeitlicher Mittelwert), einer Grundschwingung (n = 1), die
die gleiche Periodendauer wie die ursprüngliche Funktion hat, und
Oberschwingungen (Harmonische) (n = 2, 3, ...), deren Frequenzen
ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.
Beispiele:
Überlagerung von harmonischen Schwingungen mit verschiedener
Phasenverschiebung.
An(nω)
ω
ω 2ω 3ω 4ω
Oberwellen,
Harmonische
Grundschwingung
Gleichanteil
Eine periodische Zeitfunktion besteht aus ein Spektrum An(nω), das aus
diskreten, äquidistanten Linien mit den Kreisfrequenzen nω besteht, es
handelt sich um ein Linienspektrum.
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, SS 2017