Moderne Experimentalphysik II

Moderne Experimentalphysik II
Festkörperphysik
Patrick Schönfeld;Marcel Walter
KIT Karlsruhe – Prof. Wegener
WS 2013/2014
Keine Garantie auf Vollständigkeit und korrekte Formeln!
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................. 1
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper .................................................... 3
1.1 Das periodische Gitter im Ortsraum ............................................................................................................. 3
1.1.1 Einführung .............................................................................................................................................. 3
1.1.2 Einfache Kristallstrukturen und ihre Bindung ........................................................................................ 7
1.2 Das reziproke Gitter und Methoden der Strukturbestimmung .................................................................. 11
1.2.1 Die Analyse der Basis-Strukturfaktoren ............................................................................................... 17
1.2.2 Der Debye-Waller-Faktor ..................................................................................................................... 18
1.3 Amorphe und quasi-kristalline Festkörper .................................................................................................. 20
2. Die Dynamik des Kristallgitters .................................................................................... 23
2.1. Phononen und ihre Dispersionsrelation ..................................................................................................... 23
2.2 Spezifische Wärme des Kristallgitters ......................................................................................................... 28
2.3 Thermische Ausdehnung ............................................................................................................................. 34
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper ................................................................. 36
3.1 Das Bloch-Theorem ..................................................................................................................................... 37
3.2 „Tight-Binding“-Modell ............................................................................................................................... 38
3.3 Die Näherung fast freier Elektronen ........................................................................................................... 41
4. Metalle ....................................................................................................................... 44
4.1 Das Modell effektiver Massen ..................................................................................................................... 44
4.3 Spezifische Wärme des Quantengases aus 𝑒 − .......................................................................................... 47
4.4 Optik (dielektrische Funktion, Plasmonen) ................................................................................................. 49
4.5 Bloch-Oszillationen und Wannier-Stark-Leiter ............................................................................................ 51
4.6. Klassischer Transport ................................................................................................................................. 54
4.7. Experimentelle Bestimmung von Fermi-Flächen ....................................................................................... 59
5. Halbleiter und Isolatoren ............................................................................................ 62
5.1 Einführung ................................................................................................................................................... 62
5.2 Transport durch Elektronen und Löcher ..................................................................................................... 69
5.3 Der pn-Übergang ......................................................................................................................................... 69
5.4 Der Halbleiter-Metall-Übergang ................................................................................................................. 74
5.5 Halbleiter-Solarzellen .................................................................................................................................. 78
1
Inhaltsverzeichnis | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.6 Kohärenter Transport .................................................................................................................................. 81
5.7 Quanten-Hall-Effekt .................................................................................................................................... 85
6. Magnetische Eigenschaften ......................................................................................... 88
6.1 Einführung ................................................................................................................................................... 88
6.2 Para- und Diamagnetismus ......................................................................................................................... 88
6.3 Ferro- und Antiferromagnetismus .............................................................................................................. 94
7. Supraleitung ..............................................................................................................100
7.1 Experimentelle Evidenzen ......................................................................................................................... 100
7.2 Theoretische Ansätze ................................................................................................................................ 103
7.3 Der Josephson-Kontakt ............................................................................................................................. 106
Der Mitschrieb wird noch ergänzt und korrigiert
2
Inhaltsverzeichnis | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1. KRISTALLINE, QUASI-KRISTALLINE UND AMORPHE FESTKÖRPER
1.1 DAS PERIODISCHE GITTER IM ORTSRAUM
1.1.1 EINFÜHRUNG
Primitiv
Primitiv
Nicht primitiv
d.h. von den Punkten 𝑟⃗, ⃗⃗⃗⃗
𝑟 ′ sieht das Gitter gleich aus wenn gilt
⃗⃗⃗⃗
𝑟 ′ = 𝑟⃗ + 𝑢
𝑎1 + 𝑣 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 + 𝑤 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3
⏟⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℤ
⃗⃗
𝐺𝑖𝑡𝑡𝑒𝑟𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑇
⃗⃗ alle
Die Wahl von ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3 ist nicht eindeutig. Man bezeichnet die Wahl als primitiv, wenn durch 𝑇
gleichartigen Punkte dargestellt werden können.
Eine primitive Elementarzelle hat das kleinste Volumen des aufgespannten Parallelepipeds
𝑉 = |(𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑎3
Die Wigner-Seitz-Zelle ist eine spezielle primitive Elementarzelle. Sie hat folgende Konstruktionsvorschrift:
Verbindungslinie
Mittelsenkrechte
3
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Jeder Gitterpunkt kann mit einer Basis von Atomen besetzt werden
Kristallstruktur = Gitter + Basis
Raumgitter
Basis
Kristallstruktur
Ein Kristall zeichnet sich durch seine Symmetrien aus:



Translationen (siehe oben)
Spiegelungen
Drehungen
DEFINITION: Eine Drehachse, bei der der Kristall nach Drehung um den Winkel
2𝜋
𝑛
(𝑛 ∈ ℕ) in sich selbst
übergeht heißt n-zählige Drehachse.
BEHAUPTUNG: 𝑛 = 1,2,3,4,6; sonst keine Werte möglich
BEWEIS:
4
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1
𝑎⃗ = 𝑎 ( ) ist Translationsvektor
0
2𝜋
cos ( )
𝑛 )
𝑎+ = 𝑎 (
⃗⃗⃗⃗⃗
2𝜋
sin ( )
𝑛
2𝜋
cos ( )
𝑛 )
𝑎− = 𝑎 (
⃗⃗⃗⃗⃗
2𝜋
− sin ( )
𝑛
Gedachte Translationsvektoren aber auch Gittervektoren
⇒ auch ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎+ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎− ist Gittervektor
2𝜋
= 𝑎 (2 ⋅ cos ( 𝑛 )) ∥ 𝑎⃗
0
Wenn 𝑎⃗ kleinster Translationsvektor ist, muss gelten
𝑎+ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎− = 𝑚 ⋅ 𝑎⃗
⇒
𝑚∈ℤ
2𝜋
2 𝑐𝑜𝑠 ( )
⏟
𝑛
=𝑚
𝑤𝑎𝑛𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑧𝑒 𝑍𝑎ℎ𝑙?
Graphisch:
𝒏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
⋮
𝟐𝝅
𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( )
𝒏
2
−2
−1
0
0,618 …
1
1.246
⋮
⇒ 𝑛 ∈ {1,2,3,4,6} q. e. d
In 3D ∃ 14 verschiedene Raumgitter, die als Bravais-Gitter bezeichnet werden. Diese können in sieben
verschiedene Kristallsysteme eingeordnet werden.
Häufig möchte man Netzebenen bzw. Netzebenenscharen benennen.
⇒ Millersche Indizes
5
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
DEFINITION:
Gegeben seien die Kristallachsen ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3 (nicht unbedingt kartesisch, nicht unbedingt primitiv)
Die Ebene sei aufgespannt durch die drei Vektoren 𝑛1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 𝑛2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 𝑛3 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗;
𝑎3 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 ∈ ℤ
Die (kleinsten) ganzen Zahlen, die sich verhalten wie die Kehrwerte von 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 , bilden die Millerschen
Indizes.
BEISPIEL:
1 1 1
( , , ) ⇒ (3,2,6)
2 3 1
Meist lässt man die Kommata weg, also "(326)". Negative Werte werden durch Balken notiert, also z.B. (326̅).
Wird eine Achse nicht geschnitten (ist also der Achsenabschnitt = ∞), so ist der zugehörige Millersche Index =
0.
BEISPIEL:
(100)
6
(110)
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1.1.2 EINFACHE KRISTALLSTRUKTUREN UND IHRE BINDUNG
NATRIUMCHLORIDSTRUKTUR:
Beispiele:
𝑁𝑎𝐶𝑙, 𝐾𝐶𝑙, 𝑀𝑎𝑂, 𝐾𝐵𝑟, …
Bravais-Gitter:
Kubisch flächenzentriert (fcc)
Basis:
ein 𝑁𝑎 mit einem 𝐶𝑙
Bindung:
ionisch
𝑁𝑎 hat die 𝑒 − -Konfiguration 1𝑠 2 2𝑠 2 2𝑝6 3𝑠1 , für 𝐶𝑙 ist sie 1𝑠 2 2𝑠 2 2𝑝6 3𝑠 2 3𝑝5 ⇒ gibt das 𝑁𝑎 ein 𝑒 − an das 𝐶𝑙
ab, so weisen beide abgeschlossene Schalen auf. Es entsteht ein 𝑁𝑎 + und 𝐶𝑙 − Ion, die sich auf Grund der
Coulombwechselwirkung anziehen.
Wir betrachten N ≈ NA Ionenpaare. Es resultiert die Coulombenergie
𝑈𝐶 = 𝑁 ⋅
±𝑒 2
4𝜋𝜖0 𝑟𝑖𝑗
∑
𝑗,𝑗≠
⏟𝑖
𝑓𝑒𝑠𝑡,𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑖𝑒𝑏𝑖𝑔
+=
̂ Abstoßung 𝑁𝑎+ 𝑁𝑎 + (𝑖 in 𝑁𝑎 + gewählt)
−=
̂ Anziehung 𝑁𝑎+ 𝐶𝑙 −
Mit der Definition 𝑟𝑖𝑗 = 𝑝𝑖𝑗 ⋅ 𝑟0 , 𝑟0 ist der Abstand nächster Nachbarn, wird hieraus
𝑈𝐶 =
𝑁𝑒 2
1
∑±
4𝜋𝜖0 𝑟0
𝑝𝑖𝑗
𝑗,𝑗≠𝑖
⏟
=:−𝛼
[𝛼] = 1, 𝛼 > 0 sonst 𝑈 𝐶 > 0, d.h. Kristall würde explodieren.
𝛼 =
̂ Madelung-Konstante
⇒ 𝑈𝐶 =
𝑁𝑒 2
⋅𝛼
4𝜋𝜖0 𝑟0
BEISPIEL: (1D-Kette)
"𝑖", Ursprung
1 1 1 1 1
𝛼 = 2( − + − + …)
1 2 3 4 5
Mit ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+
𝑥2
3
−
𝑥4
4
+
𝑥5
5
…
𝛼 = 2 ⋅ ln(2) ≈ 1,386
In 3D ist die Summation i.A. viel schwieriger. Reihen konvergieren oft schlecht ⇒ „geschickte Umgruppierung.
7
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
BEISPIEL: 𝑁𝑎𝐶𝑙
Ionen
𝑵𝒂+
𝟔𝑪𝒍−
𝟏𝟐𝑵𝒂+
𝟖𝑪𝒍−
𝟔𝑵𝒂+
…
⇒𝛼=
Abstand
0 Ursprung
𝑟0
√2𝑟0
√3𝑟0
√4𝑟0
…
6 12
8
6
−
+
−
… = 1,7475
1 √2 √3 √4
∑ = 6, −2.48,2.133, −0.86
!∃ auch eine abstoßende Wechselwirkung aufgrund der sich überlappenden 𝑒 − Hüllen und des Pauliverbotes.
Dies ist ein quantenmechanischer Effekt. Man setzt phänomenologisch an
𝑈𝑖𝐵 = +𝐵𝑒
−
𝑟𝑖𝑗
𝜌
Born-Mayer-Potential
𝐵 und 𝜎 sind materialspezifische Konstanten.
Summation also nur über nächste Nachbarn (NN)
𝐵
𝑈 =𝑁⋅𝑧⋅𝐵⋅
𝑁: Zahl der Ionenpaare
𝑟
− 0
𝜌
𝑒0
𝑧: Zahl der NN (Koordinationszahl), für 𝑁𝑎+ 𝑧 = 6
Die gesamte Energie ist
𝑈 = 𝑈 𝐶 + 𝑈 𝐵 = −𝑁 (
𝑟
𝑒2
− 0
𝛼 − 𝑧 ⋅ 𝐵𝑒 𝜌 )
4𝜋𝜖0 𝑟0
GRAPHISCH:
Gleichgewichtslage bei
8
𝑑𝑈
𝑑𝑟0
=0
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ 0 = −𝑁(−
𝑧𝐵𝑒
𝑒2
1 −𝑟0
𝜌
2 𝛼 − 𝑧 ⋅ 𝐵 (− ) 𝑒
𝜌
4𝜋𝜖0 𝑟0
𝑟
− 0
𝜌
=
𝜌
𝑒2
⋅
𝛼
𝑟0 4𝜋𝜖0 𝑟0
Einsetzen:
⇒𝑈=−
𝑁𝑒 2
𝜌
𝛼 (1 − )
4𝜋𝜖0 𝑟0
𝑟⏟0
≪1
Die Bindungsenergie pro Ionenpaar 𝑁 ist
𝐸𝐵 ≔
𝑈
𝑁
Beispiel: 𝑁𝑎𝐶𝑙
𝑟0 = 0,28𝑛𝑚
} 𝐸 = 8,23𝑒𝑉 (starke Bindung)
𝜌 = 0,03𝑛𝑚 𝐵
CAESIUMCHLORID
Beispiele:
𝐶𝑠𝐶𝑙, 𝐶𝑎𝑃𝑑, 𝐴𝑙𝑁𝑖, 𝐴𝑔𝑀𝑔
Bravais-Gitter:
Einfach kubisch
Basis:
Ein 𝐶𝑠 und ein 𝐶𝑙 Ion
Bindung:
Ionisch
𝐶𝑠 hat 𝑒 − -Konfiguration … 6𝑠1 , 𝐶𝑙 … 3𝑝5 ⇒ Analog zum 𝑁𝑎𝐶𝑙
HEXAGONAL DICHTESTE KUGELPACKUNG
Beispiele:
𝐻𝑒, 𝑍𝑛, 𝐶𝑜, Opale, …
Bravais-Gitter:
∃ zwei Möglichkeiten dichtester Kugelpackung (= 74%)
1. Hexagonal dichteste Packung (hcp)
2.
Schichtfolge 𝐴𝐵𝐴𝐵 … ⇒ hexagonal primitive Elementarzelle mit Basis aus
zwei Atomen
Kubisch flächenzentriert dichteste Packung (fcc)
Schichtfolge 𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 … ⇒ fcc Elementarzelle mit einer einatomigen Basis
9
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Bindung:
Van der Waals Wechselwirkung:
Edelgasatome (z.B. 𝐻𝑒, 𝑁𝑒) besitzen bereits abgeschlossene Schalen. Die
𝑒𝑉
Bindungsenergie durch vdW WW ist sehr klein, z.B. 𝑁𝑒: 𝐸𝐵 = 0,02
Atom
EINFACHES MODELL:
Näherungen: 𝑀 ≫ 𝑚, 𝑟 ≫ |𝑥1 |, |𝑥2 |
⇒ quantenmechanische Grundzustandsenergie
2
=
ℏ
𝐷 2 2𝑒 2 𝑚
1
(2√ − (
) )~ 6
3
2
𝑚 8 4𝜋𝜖0 𝑟
𝑟
⇒ ℏ = 0 ⇒ keine Wechselwirkung
DIAMANTSTRUKTUR
Beispiele:
𝐶, 𝑆𝑖, 𝐺𝑒, …
Bravais-Gitter:
fcc
Basis:
Zwei identische Atome bei (0,0,0) und ( , , )
1 1 1
4 4 4
Die Raumausfüllung ist sehr schlechte mit 34% (vgl. 74% bei hcp)
Bindung:
Kovalent:
Die 𝑒 − -Konfiguration des 𝐶-Atoms ist 1𝑠 2 2𝑠 2 2𝑝2 , d.h. es fehlen 4𝑒 − um die Schale
zu schließen.
⇒ tetraedrische Bindung mit 4 NN.
Typische Bindungsenergien:
𝐶: 𝐸𝐵 = 3,6𝑒𝑉
𝑆𝑖: 𝐸𝐵 = 1,8𝑒𝑉
Zwischen der kovalenten und der ionischen Bindung gibt es einen kontinuierlichen Übergang. Elemente der
Hauptgruppen 𝐼𝐼𝐼, 𝐼𝑉, 𝑉 tendieren zur kovalenten Bindung (z.B. 𝐺𝑎𝐴𝑠), Elemente mit fast abgeschlossenen
Schalen zur ionischen Bindung. Bei der metallischen Bindung werden die 𝑒 − völlig delokalisiert, d.h. feste
Ionenrümpfe und ein Se freier 𝑒 − (⇒ gute Leitfähigkeit).
KUBISCHE ZINKSULFIDSTRUKTUR
𝐶𝑑𝑆, 𝑍𝑛𝑆, 𝑆𝑖𝐶
Beispiele:
Bravais-Gitter:
fcc
Basis:
Ein 𝑍𝑛 und ein 𝑆
⇒keine Inversionssymmetrie (𝑟⃗ ↛ −𝑟⃗)
10
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1.2 DAS REZIPROKE GITTER UND METHODEN DER STRUKTURBESTIMMUNG
Beugung der Röntgenstrahlung am Kristall:
BEHAUPTUNG: Die Beugungsamplitude ist proportional zur Fouriertransformierten der Elektronendichte 𝜌(𝑟⃗).
BEWEIS: Voraussetzungen:
⃗⃗ | = |𝑘
⃗⃗⃗⃗′ |
1) Elastische Beugung ⇔ Energieerhaltung ⇔ |𝑘
2) Einmalige Streuung im Kristall
3) Lokale Amplitude ∼ 𝜌(𝑟⃗)
Δ = cos 𝜑 ⋅ |𝑟⃗|, Δ𝜑 =
11
2𝜋Δ
𝜆
=
̂ Phasenverschiebung
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ Δ𝜑 =
2𝜋
⃗⃗| ⋅ |𝑟⃗| ⋅ cos 𝜑 = 𝑘
⃗⃗ ⋅ 𝑟⃗
cos 𝜑 ⋅ |𝑟⃗| = |𝑘
𝜆
Δ′ = sin 𝛼 ⋅ |𝑟⃗| = sin(𝜑 ′ − 90°) ⋅ |𝑟⃗| = − cos(𝜑 ′ ) ⋅ |𝑟⃗|
⇒ Δ𝜑 ′ = −
2𝜋
⋅ |𝑟⃗|
𝜆 cos 𝜑 ′
⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ ⋅ 𝑟⃗
Δ𝜑𝑔𝑒𝑠 = (𝑘
𝑘 ′ ) ⋅ 𝑟⃗ =: Δ𝑘
Summiere über alle Orte 𝑟⃗
⇒ Beugungsamplitude
+∞
⃗⃗ ) ∼ ∫ 𝜌(𝑟⃗)𝑒 −𝑖𝛥𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥
𝐴(𝛥𝑘
−∞
Oder umgekehrt
+∞
⃗⃗ ) ⋅ 𝑒 (+𝑖𝛥𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗) 𝑑 3 (𝛥𝑘)
𝜌(𝑟⃗) ∼ ∫ 𝐴(𝛥𝑘
−∞
-
i.A. werden jedoch Intensitäten gemessen (Betrag des Poynting-Vektors)
Messung ⇒ |𝐴|2 =
̂ Intensität ⇏ 𝐴 ∈ ℂ ⇒ 𝜌(𝑟⃗) kann nicht ohne weiteres bestimmt werden
𝐴 ist Funktion von
o Richtungsänderung
o Wellenlänge
Die Ladungsdichte 𝜌(𝑟⃗) ist eine Gitterfunktion und bzgl. Translation um Gittervektoren invariant, d.h. 𝜌(𝑟⃗) =
⃗⃗) mit 𝑇
⃗⃗ = 𝑢𝑎
𝜌(𝑟⃗ + 𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑣𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑤𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗;
3 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℤ.
+∞
+∞
+∞
⃗⃗ ) ∼ ∫ 𝜌(𝑟⃗)𝑒 −𝑖Δ𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥 = ∫ 𝜌 (𝑟⏟
⃗⃗) 𝑒 −𝑖Δ𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥 = ∫ 𝜌(𝑟̃⃗)𝑒 −𝑖Δ𝑘⃗⃗⋅(𝑟̃⃗−𝑇⃗⃗) 𝑑 3 𝑥̃
𝐴(Δ𝑘
⃗+𝑇
−∞
−∞
≔𝑟̃⃗
−∞
+∞
⃗⃗
⃗⃗ ⃗
=⏟
𝑒 +𝑖Δ𝑘⋅𝑇⃗⃗ ∫ 𝜌(𝑟̃⃗)𝑒 −𝑖Δ𝑘⋅𝑟̃ 𝑑 3 𝑥̃
=1
−∞
⃗⃗ ) ≠ 0 muss gelten (notwendige Bedingung)
⇒ Damit 𝐴(Δ𝑘
⃗⃗ ⋅ 𝑇
⃗⃗ = 𝑚 ⋅ 2𝜋
𝛥𝑘
Also nur in bestimmten Richtungen kann die Beugungsamplitude von Null verschieden sein.
⃗⃗ = ℎ𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑘𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑙𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗3
ANSATZ: 𝛥𝑘
ℎ, 𝑘, 𝑙 ∈ ℤ
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑘𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑙𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗3 ) ⋅ (𝑢𝑎
⇒ (ℎ𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑣𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑤𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗)
3 = 𝑚 ⋅ 2𝜋
⇒ ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑖 ⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑗 = 2𝜋𝛿𝑖𝑗
12
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
ERLÄUTERUNG:
BEISPIEL:
1. ALTERNATIVE:
̃ ⋅ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝐴
𝑖 𝑎𝑗 = 2𝜋 ∀𝑖, 𝑗
⇒ ⃗⃗⃗⃗
𝐴̃𝑖 spannen nicht den Raum auf.
2. ALTERNATIVE:
̃ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
1 𝑎1 = 2𝜋
̃ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
1 𝑎2 = 2𝜋
̃ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
1 𝑎3 = 0
BEHAUPTUNG:
⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑖 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 ⋅ 2𝜋 ⋅
13
(𝑎
⃗⃗⃗⃗𝑗 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 ⋅ (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
bzw.
𝑎𝑖 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 ⋅ 2𝜋 ⋅
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗𝑗 × ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝐴
𝐴𝑘 )
⃗⃗⃗⃗⃗1 ⋅ (𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
𝐴3 )
BEWEIS:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 = 2𝜋 ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 = 2𝜋 ̌
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎
𝑎3
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 ⋅ (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = 0 ̌
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = 0 ̌
Die ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑖 spannen das reziproke Gitter auf.
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑙𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗3
𝐺⃗ = ℎ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 + 𝑘𝐴
[𝐺⃗ ] = 𝑚−1
𝐺⃗ ist der reziproke Gittervektor.
Damit können wir die Beugungsbedingung schreiben:
⃗⃗ = 𝐺⃗
𝛥𝑘
oder durch Multiplikation von links
⃗⃗ = 2𝜋ℎ
𝑎1 ⋅ 𝛥𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = 2𝜋𝑘 𝐿𝑎𝑢𝑒 − 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 ⋅ 𝛥𝑘
⃗⃗ = 2𝜋𝑙
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3 ⋅ 𝛥𝑘
⃗⃗ = 𝐺⃗ und |𝑘
⃗⃗ | = |𝑘
⃗⃗ ′ |
oder auch mit Δ𝑘
⃗⃗ = 𝑘
⃗⃗ − 𝑘
⃗⃗ ′ ⇔ 𝑘
⃗⃗ ′ = 𝑘
⃗⃗ − 𝐺⃗
𝐺⃗ = Δ𝑘
2
⃗⃗ ′2 = (𝑘
⃗⃗ − 𝐺⃗ ) = 𝑘
⃗⃗ ′2 − 2𝑘
⃗⃗𝐺⃗ + 𝐺⃗ 2
⇒𝑘
⃗⃗ 𝐵𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜𝑢𝑖𝑛 − 𝐵𝑒𝑑𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔
⇒ 𝐺⃗ 2 = 2𝐺⃗ ⋅ 𝑘
⃗⃗| ⋅ cos ∢(𝐺⃗ , 𝑘
⃗⃗)
⇒ |𝐺⃗ | ⋅ |𝐺⃗ | = 2 ⋅ |𝐺⃗ | ⋅ |𝑘
𝐺⃗ ⊥ Ebene (ℎ𝑘𝑙) ⇒ Übungen
14
|𝐺⃗ | = 𝑚 ⋅
2𝜋
𝑑(ℎ𝑘𝑙)
⇒ Übungen
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⃗⃗| ⋅ sin 𝜗 = 𝑚 ⋅
⇒ |𝐺⃗ | = 2 ⋅ |𝑘
2𝜋
2𝜋
=2⋅
⋅ sin 𝜗
𝑑(ℎ𝑘𝑙)
𝜆
⇒ 2 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜗 = 𝑚 ⋅ 𝜆 𝐵𝑟𝑎𝑔𝑔𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐵𝑒𝑢𝑔𝑢𝑛𝑔
Mögliche Darstellungen der Beugungsbedingung:
𝑚𝜆 = 2𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜗
⃗⃗ = 𝐺⃗
𝛥𝑘
⃗⃗ = 2𝜋ℎ𝑖
𝑎𝑖 ⋅ 𝛥𝑘
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝐺⃗ 2 = 2𝐺⃗ ⋅ 𝑘
Geometrische Interpretation der Brillouin-Bedingung
⇒
⃗⃗ ⋅ 𝐺̂⃗
1 𝑘
=
2
|𝐺⃗ |
𝐺̂⃗ =
𝐺⃗
|𝐺⃗ |
BEISPIEL: sc (Ortsraum und im reziproken Raum)
⃗⃗ erfüllen die obige Beugungsbedingung. Bilden wir alle Mittelsenkrechten zu
Die eingezeichneten 𝑘
allen 𝐺⃗ entsteht eine Zone, die wir als 1. Brillouin-Zone bezeichnen wollen.
Die 1. Brillouin-Zone ist die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters.
⃗⃗, die die Beugungsbedingungen
Vom Ursprung aus gesehen ist ihre Brandung die Menge aller kleinsten 𝑘
erfüllen.
BEISPIEL: einfach kubisches Raumgitter (sc)
𝑎1 = 𝑎 ⋅ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒̂𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = 𝑎 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒̂𝑦
𝑎3 = 𝑎 ⋅ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒̂𝑧
Einsetzen in allgemeine Vorschrift:
⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑖 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 ⋅ 2𝜋 ⋅
15
⃗⃗⃗⃗𝑗 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎
𝑎𝑘
𝑎1 ⋅ (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 = 1 ⋅ 2𝜋 ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎
𝑎3
𝑎2 ⃗⃗⃗⃗
𝑒̂𝑥 2𝜋 ̂
= 2𝜋 ⋅
=
⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑥
𝑎1 ⋅ (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3
𝑎3
𝑎
analog dazu erhält man
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 =
2𝜋 ̂
⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑦
𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 =
2𝜋 ̂
⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑧
𝑎
⇒ Das reziproke Gitter ist wieder einfach kubisch.
BEISPIEL: Reziprokes Gitter des kubisch raumzentrierten Gitters (bcc)
1
𝑎1 = 𝑎(𝑒̂𝑥 + 𝑒̂𝑦 − 𝑒̂𝑧 )
⃗⃗⃗⃗⃗
2
1
𝑎2 = 𝑎(−𝑒̂𝑥 + 𝑒̂𝑦 + 𝑒̂𝑧 )
⃗⃗⃗⃗⃗
2
1
𝑎3 = 𝑎(𝑒̂𝑥 − 𝑒̂𝑦 + 𝑒̂𝑧 )
⃗⃗⃗⃗⃗
2
⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑖 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 ⋅ 2𝜋 ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 = 1 ⋅ 2𝜋 ⋅
𝑎𝑗 × ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗(𝑎
𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
×
𝑎3
⃗⃗⃗⃗⃗)
1 2
⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎
𝑎3
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗(𝑎
𝑎3
1
1
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = 𝑎2 ⋅ (𝑒̂𝑧 + 𝑒̂𝑦 − 𝑒̂𝑧 + 𝑒̂𝑥 + 𝑒̂𝑦 + 𝑒̂𝑧 ) = 𝑎2 (𝑒̂𝑥 + 𝑒̂)
𝑦
4
2
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑎
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗2 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3 =
𝑎
𝑎2 𝑎3
(𝑒̂𝑥 + 𝑒̂𝑦 − 𝑒̂𝑧 )(𝑒̂𝑥 + 𝑒̂)
=
⋅2
𝑦 ⋅
2
2
4
⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 =
2𝜋
(𝑒̂ + 𝑒̂)
𝑦
𝑎 𝑥
Analog dazu für ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 und ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 :
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 =
Raumgitter
sc
bcc
fcc
16
2𝜋
(…
𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 =
2𝜋
(…
𝑎
Reziprokes Gitter
sc
fcc
bcc
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1.2.1 DIE ANALYSE DER BASIS-STRUKTURFAKTOREN
Wir hatten
∞
⃗⃗) ∼ ∫ 𝜌(𝑟⃗) ⋅ 𝑒 −𝑖𝐴𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥 I
𝐴(Δ𝑘
−∞
⃗⃗
⃗⃗) ∼ 𝑁 ∫ 𝜌(𝑟⃗)𝑒 −𝑖𝐴𝑘⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥
⇒ 𝐴(Δ𝑘
⏟
𝐸𝑍
Strukturfaktor 𝑆𝐺
⃗⃗⃗
Enthält die Elementarzelle weiterhin 𝑠 Atome, können wir 𝜌(𝑟⃗) schreiben als
𝑠
𝜌(𝑟⃗) = ∑ 𝜌𝑗 (𝑟⃗ − ⃗𝑟⃗)
𝑗
𝑗=1
wobei ⃗𝑟⃗𝑗 das Zentrum des 𝑗-ten Atoms ist.
𝑠
𝑠
𝑆𝐺⃗ = ∑ 𝜌𝑗 (𝑟⃗ − ⃗𝑟⃗)𝑒
𝑗
𝑗=1
𝑗 𝑑3 𝑥
𝑑 𝑥 = ∑ 𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗⃗⃗⃗𝑗 ⋅ ∫ 𝜌𝑗 (𝑟⃗ − ⃗𝑟𝑗⃗)𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅(𝑟⃗−𝑟⃗⃗⃗⃗)
𝑗=1
⏟
𝐸𝑍
−𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗ 3
Atomformfaktor 𝑓𝑗
𝑠
⇒ 𝑆𝐺⃗ = ∑ 𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗⃗⃗⃗𝑗 ⋅ 𝑓𝑗
(∗)
𝑗=1
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑘𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑙𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗3 )(𝑥1𝑗 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
oder mit 𝐺⃗ ⋅ ⃗𝑟𝑗⃗ = (ℎ𝐴
𝑎1 + 𝑥2𝑗 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 + 𝑥3𝑗 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑎3 = 2𝜋(…
𝑠
𝑆𝐺⃗ (ℎ𝑘𝑙) = ∑ 𝑓𝑗 ⋅ 𝑒 −2𝜋𝑖(ℎ𝑥𝑖𝑗 +𝑘𝑥2𝑗 +𝑙𝑥3𝑗 )
𝑗=1
! Selbst wenn die Beugungsbedingung erfüllt ist, kann der Strukturfaktor und damit die Beugungsintensität Null
sein.
BEISPIEL: Strukturfaktoren des kubisch raumzentrierten Gitters (bcc), bei z.B. metallischem 𝑁𝑎
Betrachte kubische Einheitszelle, je ein identisches Atom bei
1
2
1
⃗⃗⃗⃗
𝑟2 =
2
1
( 2)
0
𝑟1 = (0)
0
1
⇒ 𝑆𝐺⃗ (ℎ, 𝑘, 𝑙) = 𝑓 (1 + 𝑒 −2𝜋𝑖⋅2
(ℎ+𝑘+𝑙)
)={
0
2𝑓
ℎ + 𝑘 + 𝑙 ungerade
ℎ + 𝑘 + 𝑙 gerade
also z.B. keine „Reflexe“ (1 0 0), (3 0 0), (1 1 1)
I
Eigentlich Integral über endlichen Kristall mit 𝑁 Zellen
17
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1.2.2 DER DEBYE-WALLER-FAKTOR
Bei endlichen Temperaturen sind die Orte 𝑟𝑗 nicht fest, sondern fluktuieren zeitlich, also
⃗𝑟𝑗⃗ → ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑗0 + 𝑢
⃗⃗(𝑡)
Einsetzen in (∗)
𝑠
0
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⇒ 𝑆𝐺⃗ = ∑ 𝑒 −𝑖𝐺 ⋅𝑟𝑗 𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑢⃗⃗ 𝑓𝑗
𝑗=1
In die Messung geht der Mittelwert ein, also
𝑠
⃗⃗⃗⃗⃗
0
⟨𝑆𝐺⃗ ⟩ = ∑ 𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟𝑗 𝑓𝑗
𝑗=1
⟨𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ⟩
⏟
kleine Fluktuation
→Taylor
1
2
𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ≈ 1 − 𝑖𝐺⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗ − (𝐺⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗) + ⋯
2
1
2
⇒ ⟨𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ⟩ = ⟨1⟩ − 𝑖 ⟨𝐺
⃗⃗⟩ I − ⟨(𝐺⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗) ⟩
⏟⃗ ⋅ 𝑢
2
=0
2
⟨(𝐺⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗) ⟩ = ⟨𝐺⃗ 2 ⟩ ⋅ ⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩ ⋅ cos
⏟ 2 (𝜃)
=
1
3
1 ⃗2 2
1
⟨𝑢 ⟩
⟨𝑒 −𝑖𝐺⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ⟩ = 1 − ⟨𝐺⃗ 2 ⟩⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩ + ⋯ ≈ 𝑒 −6𝐺 ⃗⃗
6
⇒ mit steigendem Schwankungsquadrat ⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩ sinkt die Beugungsintensität.
ANNAHME: Schwingungen wie harmonischer Oszillator.
⇒ Mittlere kinetische Energie = mittlere potentielle Energie und 3 Freiheitsgrade
3
1
1
𝑘𝐵 𝑇 = 𝐷⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩ = 𝑚𝜔2 ⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩
2
2
2
⇒ ⟨𝑢
⃗⃗2 ⟩ =
⇒ 𝐼 = 𝐼0 𝑒
3𝑘𝐵
𝑇
𝑚𝜔 2
𝑘 𝑇
− 𝐵 2𝐺2
𝑚𝜔
2
=
̂ Beugungsintensität = 𝑓(𝑇) ∼ |𝑆𝐺⃗ |
I
entspricht nur korrelierten Fluktuationen
18
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
EXPERIMENTELLE METHODEN
LAUE-VERFAHREN:
Einfallswinkel 𝜃 fest und 𝜆 polychromatisch
⇒ Orientierung bekannter Kristallstrukturen
DREHKRISTALLVERFAHREN:
⇒ Bestimmung von Gitterkonstanten
PULVERMETHODE:
keine Einkristalle, sondern Pulver (⇒ beliebig orientiert) – 𝜆 fest.
19
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1.3 AMORPHE UND QUASI-KRISTALLINE FESTKÖRPER
Kristalle haben sowohl eine Nahordnung als auch eine Fernordnung.
QUASI-KRISTALLE:
? ∃ Laue-Beugungsbilder mit 5- bzw. 10-zähligen Drehachsen ∉ {1,2,3,4,6}?
1984 fand Daniel Shechtman Festkörper mit 5- bzw. 10-zähligen Drehachsen.
3𝐷 Quasi-Kristalle kann man erzeugen durch einen 6𝐷 sc Kristall, der im Raum gedreht und dann auf 3𝐷
„projiziert“ wird.
VERANSCHAULICHUNG MIT 1𝐷 QUASI-KRISTALL:
tan 𝛼 =
𝑛
𝑚
𝑛, 𝑚 ∈ ℕ
mit 1𝐷-Periode 𝑎′ = 𝑎√𝑛2 + 𝑚2 , falls 𝑛, 𝑚 teilerfremd sind.
Idee: 𝑎′ → ∞ für irrationale Werte von tan(𝛼)
? Was ist eine besonders irrationale Zahl ? - ! goldene Zahl ϕ !
𝜙=
20
𝐴 𝐴 + 𝐵 1 + √5
=
=
≈ 1,618 …
𝐵
𝐴
2
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
=1+
𝐵
1
1
=1+ =1+
𝐴
𝐴
𝜙
𝐵
𝜙 =1+
1
=
𝜙 1+
1
1
1+
1
1+⋯
oder über Fibonacci-Folge
𝑓𝑛+1 = 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1
⇒ 𝜙 = lim
𝑛→∞
⇒
𝑓𝑛+1
1
= 1+
𝑓
𝑓𝑛
𝑛
𝑓𝑛−1
𝑓𝑛+1
2 3 5 8 13
= 1; ; ; ; ; ; …
𝑓𝑛
1 2 3 5 6
𝑓𝑛 = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, …
⇒ tan(𝛼) =
1
= 0.618 …
𝜙
⇒ 𝛼 ≈ 31,7175 … °
Quasi-Kristalle haben eine Fernordnung, die aber nicht periodisch ist.
AMORPHE FESTKÖRPER:


Die Atompositionen sind nicht ganz zufällig, bzw. es gibt Korrelation.
Es gibt eine Nahordnung, aber keine Fernordnung
Die Nahordnung kann man quantifizieren durch die Paarverteilungsfunktion 𝑔(𝑟)
Volumen−Teilchendichte;[ρ]=m−3
⏞
𝜌
⋅ 𝑔(𝑟) ⋅ 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ;
[𝑔] = 1
sei die (mittlere) Teilchenzahl in einer Kugelschale mit Radius 𝑟 und Dicke 𝑑𝑟 wenn bei 𝑟 = 0 bereits ein
Teilchen sitzt.
BEISPIEL: streng zufällige homogene Verteilung
21
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
BEISPIEL: 1𝐷-Kette mit Periode 𝑎
BEISPIEL: amorpher Festkörper aus harten Kugeln mit Radius 𝑅, 𝑎 = 2𝑅
hier kann keine harte Kugel sein
⇒ Beugungsbild zeigt schwach ausgeprägte Ringe um die 0-te Ordnung.
22
1. Kristalline, quasi-kristalline und amorphe Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
2. DIE DYNAMIK DES KRISTALLGITTERS
2.1. PHONONEN UND IHRE DISPERSIONSRELATION
1𝐷-MODELL, EINATOMIGE BASIS:
2 transversale Schwingungen
𝑀𝑢𝑛̈ = 𝐷((𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ) − (𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 )) = 𝐷(𝑢𝑛+1 − 2𝑢𝑛 + 𝑢𝑛−1 )
𝐷 kann für longitudinal/transversal verschieden sein.
ANSATZ:
𝑢𝑛 = 𝑢 ⋅ 𝑒 𝑖𝑘𝑎⋅𝑛 ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
⇒ −𝜔2 𝑚𝑢 ⋅ 𝑒 𝑖𝑘𝑎𝑛 ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 𝐷(𝑢𝑒 𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒 𝑖𝑘𝑎 − 2𝑢𝑒 𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + 𝑢𝑒 𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒 −𝑖𝑘𝑎 )
𝐷
𝐷
𝐷
1
𝜔2 = (2 − (𝑒 𝑖𝑘𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑎 )) = 2 (1 − cos(𝑘𝑎)) = 4 sin2 ( 𝑘𝑎)
𝑀
𝑀
𝑀
2
𝐷
1
⇒ 𝜔 = (+ −)2√ |𝑠𝑖𝑛 ( 𝑘𝑎)|
𝑀
2
+ wegen 𝑘 → −𝑘 Symmetrie
PHONON-DISPERSIONSRELATION
GRAPHISCH:
1.Brillouin-Zone (=Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters)
23
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Für |𝑘| ≪
𝜋
𝑎
⇒
𝜔
𝑘
𝐷
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = √ 𝑎 = Schallgeschwindigkeit
𝑀
Die 1. Brillouin-Zone enthält alle Information
|𝑘| <
𝜋
𝑎
|𝑘| >
𝜋
𝑎
Physikalisch ist die Auslenkung nur an den Gitterpunkten relevant! Phononen sind die Quanten der klassischen
(harmonischen) Gitterschwingungen.
1𝐷-MODELL, ZWEIATOMIGE BASIS:
… (längere Rechnung)
1
1
1
1 2
4
1
⇒ 𝜔2 = 𝐷 ( + ) ± √( + ) −
⋅ 𝑠𝑖𝑛2 ( 𝑘𝑎)
𝑀1 𝑀2
𝑀1 𝑀2
𝑀1 𝑀2
2
VERANSCHAULICHUNGEN:

Betrachte M2 ≫ M1 ⇒ 𝑀2 fest: alle 𝑀1 schwingen im Gleichtakt gegen 𝑀2 ⇒ endliche Frequenz 𝜔 bei
𝑘 = 0.
24
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik

Betrachte M1 = M2 ⇒ wie einatomige Kette nur 𝑎 → 2𝑎 (nicht-primitive Einheitszelle) ⇒ Rand der 1.
𝜋
𝜋
𝑎
2𝑎
Brillouin-Zone →

Betrachte M1 ≠ M2 , 𝑀2 > 𝑀1
TRANSVERSAL OPTISCHE (TO) PHONONEN
25
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
TRANSVERSAL AKUSTISCHE (TA) PHONONEN
Man hat „TO,TA,LO,LA“ Phononen.
ZWEIATOMIGE BASIS:


3 akustische Zweige
3 optische Zweige
(1 LA, 2TA)
(1 LO, 2TO)
𝑝-ATOMIGE BASIS:


3 akustische Zweige
3𝑝-3 optische Zweige
EXPERIMENTELLE BESTIMMUNG DER PHONONDISPERSIONSRELATION
INELASTISCHE NEUTRONENSTREUUNG:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗
Δ𝑘
𝑛 = 𝐺 ± 𝑘 (inelastisch)
+=
̂ Emmision eines Phonons
−=
̂ Absorption eines Phonons
Energiebilanz des Neutrons:
⃗⃗)
𝐸 ′ = 𝐸 ± ℏ𝜔(𝑘
INELASTISCHE LICHTSTREUUNG (RAMAN-STREUUNG)
⃗⃗⃗⃗𝑙 = 𝐺 ± 𝑘
⃗⃗
Δ𝑘
= 0 , denn keine Beugung
⃗⃗)
ℏ𝜔𝑙′ = ℏ𝜔𝑙 ± ℏ𝜔(𝑘
26
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝜔𝑙
𝑘𝑙
= 𝑐0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit
⃗⃗ = 0)
𝑐0 ≫ Schallgeschwindigkeit ⇒ Photon 𝑘𝑙 sehr klein ⇒ messe näherungsweise ω(k
(Analog Brillouin-Streuung für akustische Phononen.)
ELASTISCHE WECHSELWIRKUNG MIT LICHT (TRANSMISSION, REFLEXION)
⃗⃗⃗⃗𝑙 | ≪ 𝜋 ⇒ Wechselwirkung näherungsweise mit optischen Phononen bei 𝑘
⃗⃗ = 0 =
Wegen |𝑘
̂ homogene
𝑎
Anregung im Ortsraum ⇒ Lorentz-Oszillator-Modell (Siehe Klassische Experimentalphysik II + III)
⃗⃗ = 0 ⇒ optische dielektrische Funktion 𝜖(𝜔)
𝜔0 =
̂ optische Phononenergie bei 𝑘
𝑓
𝜖𝑏
𝜖( 𝜔
⏟ ) = 𝜖𝑏 (1 + 2
)
𝜔0 − 𝜔 2 − 𝑓𝑖𝛾𝜔
Licht 𝜔
keine optische Wellenausbreitung ⇒ Reflexion = 100%
⃗⃗ = 0 = 𝑑𝑖𝑣 (𝜖𝐸⃗⃗ ) auch für longitudinale Polarisation erfüllt.
𝜔𝑙 : longitudinal Frequenz mit 𝜖(𝜔) = 0 ⇒ 𝑑𝑖𝑣 𝐷
27
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
2.2 SPEZIFISCHE WÄRME DES KRISTALLGITTERS
In der Festkörperphysik interessiert man sich oft für die Temperaturabhängigkeit von Größen, d.h. für den
thermischen Erwartungswert.
Hier innere Energie 𝑈(𝑇) ⇒ spezifische Wärme
𝜕𝑈
𝐶𝑉 = ( )
𝜕𝑇 𝑉
⇒ siehe klassische Experimentalphysik III
ERINNERUNG:
Würfel: < 𝐴 > Erwartungswert Augenzahl
< 𝐴 >=
∑6𝑛=1 𝐴𝑛 ⋅ 𝑝𝑛
=3
∑6𝑛=1 𝑝𝑛
𝐴𝑛 = 1,2,3,4,5,6
𝑝𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Physik:
< 𝐴 >=
∑𝑛 𝐴 𝑛 ⋅ 𝑒
∑𝑛 𝑒
𝑒
𝐸
− 𝑛
𝑘𝐵 𝑇
: Boltzmann-Faktor ∑𝑛 𝑒
𝐸
− 𝑛
𝑘𝐵 𝑇
𝐸
− 𝑛
𝑘𝐵 𝑇
𝐸
− 𝑛
𝑘𝐵 𝑇
: „Zustandssumme“ =
̂ Normierung
⃗⃗
BEISPIEL: Erwartungswert Zahl der Phononen 𝑛𝑘⃗⃗ bei Wellenvektor 𝑘
< 𝑛𝑘⃗⃗ >=
∑∞
𝑛=0 𝑛 ⋅ 𝑒
∑∞
𝑛=0 𝑒
mit 𝑋 ≔ 𝑒
−
−
𝑛⋅ℏ𝜔𝑘
⃗⃗
−
𝑘𝐵 𝑇
𝑛⋅ℏ𝜔𝑘
⃗⃗
𝑘𝐵 𝑇
ℏ𝜔⃗⃗
𝑘
𝑘𝐵 𝑇
𝑥
𝑛
∑∞
𝑥
1
(1 − 𝑥)2
𝑛=0 𝑛 ⋅ 𝑋
=
=
=
= −1
∞
𝑛
1
∑𝑛=0 𝑋
1−𝑥 𝑥 −1
1−𝑥
⇒< 𝑛𝑘⃗⃗ >=
1
ℏ𝜔⃗⃗
− 𝑘
𝑒 𝑘𝐵𝑇
−1
Bose-Faktor
28
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
EINSTEIN-MODELL
Näherungen:
 Berücksichtige nur optische Phononen
⃗⃗) = 𝜔⃗⃗ = 𝜔0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
 Dispersionslos, d.h. 𝜔(𝑘
𝑘

Polarisationsunabhängig
⇒< 𝑈 >=< ∑ 𝑛𝑘⃗⃗ ⋅ ℏ𝜔𝑘⃗⃗ >= 3 ⋅ ℏ𝜔0 ⋅< 𝑛⃗𝑘⃗ >⋅ (∑ )
⃗⃗ , 𝜎
𝑘
⏟
⏟ 𝑘⃗⃗
3 𝑃𝑜𝑙.
≔𝑁
⃗⃗
𝑁 =
̂ Zahl der möglichen Werte von 𝑘
= 3 ⋅ 𝑁 ⋅ ℏ𝜔0 ⋅
mit Θ𝐸 ≔
ℏ𝜔0
𝑘𝐵
1
ℏ𝜔
− 0
𝑒 𝑘𝐵𝑇
=< 𝑈 >
−1
=
̂ Einstein-Temperatur
𝜕𝑈
𝛩𝐸 2
⇒ 𝐶𝑉 = ( ) = 3 ⋅ 𝑁 ⋅ ( ) 𝑘𝐵 ⋅
𝜕𝑇 𝑉
𝑇
𝛩𝐸
𝑒𝑇
𝛩𝐸
2
(𝑒 𝑇 − 1)
⇒ 𝐶𝑉 (𝑇 → 0) = 0
⇒ 𝐶𝑉 (𝑇 → ∞) = 3𝑁𝑘𝐵 =
̂ klassischer Grenzfall bzw. Gesetz von Dulong-Petit
GRAPHISCH:
Für einen unendlich großen Kristall ist 𝑁 = ∞. Was ist 𝑁 = ∑𝑘⃗⃗ für einen endlichen Kristall?
Wir hatten in 1𝐷
𝑢(𝑛 ⋅ 𝑎) = 𝑢𝑛 = 𝑢𝑒 𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
Fordere periodische Randbedingung, d.h.
𝑢(𝑛 ⋅ 𝑎 + 𝐿) = 𝑢(𝑛 ⋅ 𝑎)
mit 𝐿: Länge des Kristalls <Kristallbild>
29
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ 𝑒 𝑖𝑘𝐿 = 1
2𝜋 2𝜋
𝑀𝜋
⇒ 𝑘 = 0, ±
,±
,…,+
𝐿
𝐿
𝐿
mit 𝑀: gerade, 𝑀 =
𝐿
𝑎
oder übertragen auf 2𝐷
𝐿
= 4 ⇒ 4 ⋅ 4 = 16
𝑎
3D:
2𝜋 3

⃗⃗-Raum-Volumen ( ) liegt ein Zustand.
Im 𝑘

Gesamtes Volumen der 1. Brillouin-Zone = ( )

𝐿
2𝜋 3
𝐿 3
𝑎
⇒ Zahl der Zustände 𝑁 = ( )
𝑎
DEBEYE-MODELL
NÄHERUNGEN:


Berücksichtige nur akustische Phononen
⃗⃗ ) = 𝜔(𝑘) = 𝑣I ⋅ 𝑘
Nähere Dispersion 𝜔⃗⃗ = 𝜔(𝑘

Polarisationsunabhängigkeit
𝑘
∞
𝑈 = ⟨∑ 𝑛𝑘⃗⃗ ⋅ ℏ 𝜔𝑘⃗⃗ ⟩ = 3 ⋅ ∑⟨𝑛𝑘⃗⃗ ⟩ ⋅ ℏ𝜔𝑘⃗⃗ = 3 ⋅ ∑⟨𝑛𝑘⃗⃗ ⟩ ⋅ ℏ𝜔𝑘⃗⃗ ⋅ ∫ 𝛿(𝐸 − ℏ𝜔𝑘⃗⃗ ) ⋅ 𝑑𝐸
⃗⃗ ,𝜎
⃗⃗
⃗⃗
⏟
−∞
𝑘
𝑘
𝑘
=1
∞
∞
= 3 ∫ ∑(⟨𝑛𝑘⃗⃗ ⟩ℏ𝜔𝑘⃗⃗ ⋅ 𝛿(𝐸 − ℏ𝜔𝑘⃗⃗ )II) 𝑑𝐸 = 3 ∫ (∑ 𝛿(𝐸 − ℏ𝜔𝑘⃗⃗ )) 𝑛(𝐸) ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐸
⃗⃗
⃗⃗
−∞ 𝑘
−∞ ⏟ 𝑘
=:𝐷(𝐸) =
̂ Zustandsdichte
I
II
𝑣: Schallgeschwindigkeit
! Nur Summanden mit ℏ𝜔𝑘⃗⃗ = 𝐸 sind von Null verschieden!
30
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
∞
⇒ 𝑈 = 3 ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ 𝑛(𝐸) ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐸
−∞
𝑁(𝐸) =
1
𝑒
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1
=
̂ Bose-Faktor
ZUSTANDSDICHTE
MATHEMATISCH:
𝐷(𝐸) = ∑ 𝛿(𝐸 − ℏ𝜔𝑘⃗⃗ )
⃗⃗
𝑘
≈
1
2𝜋 3
( )
𝐿
⋅ ∫ 𝛿(𝐸 − ℏ𝜔𝑘⃗⃗ ) ⋅ 𝑑 3 𝑘
(makroskopischer Festkörper, d.h. 𝐿 ≫ 𝑎)
ANSCHAULICH:
𝐸
̂ Zahl der Zustände mit Energien [0, 𝐸] =: 𝑁(𝐸)
∫0 𝐷(𝐸̃ )𝑑𝐸̃ =
4 3
𝜋𝑘 (𝐸)
𝑁(𝐸) = 3
2𝜋 3
( )
𝐿
Dreisatz – mit 𝐸 = ℏ𝜔𝑘⃗⃗ = ℏ𝑣𝑘 folgt:
=
4
𝐸 3 2𝜋 −3
𝑉
𝜋( ) ( ) =
𝐸3
3 ℏ𝑣
𝐿
3 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 2 ℏ2 𝑣 3
⇒ 𝐷(𝐸) =
⇒ 𝐷(𝐸) =
𝑑𝜔
𝑑𝐸
𝑉
𝐸2I ∼ 𝐸2
2𝜋 2 ℏ3 𝑣 3
ZUSTANDSDICHTE DER AKUSTISCHEN PHONONEN IN 3D
! ∃ maximales 𝑘 ⇒ maximales 𝐸!
𝐿 3
Zahl der Zustände: 𝑁 = ( )
𝑎
⇒ 𝑁(𝐸) ≤ 𝑁 !
⇒ 𝐸𝑚𝑎𝑥 = ℏ ⋅
⇒
𝑉
𝐿 3
3
𝐸
≤
(
)
6𝜋 2 ℏ𝑣 3
𝑎
𝐿3 = 𝑉
1
1
⋅ (6𝜋 2 ⋅ 𝑣 3 )3 = ℏ𝜔𝑚𝑎𝑥 = ℏ𝑣𝑘𝑚𝑎𝑥
𝑎
1
⇒ 𝑘𝑚𝑎𝑥
I
(6𝜋 2 )3
𝜋 𝜋
=
≈ 0,68 ⋅ <
𝑎
𝑎 𝑎
formal ⋅ 𝜃(𝐸)
31
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝑘𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐷 =
̂ Debeye-Wellenvektor genannt
𝐸𝑚𝑎𝑥
𝑉
𝑈 = 3⋅ 2 3 3⋅ ∫
2𝜋 ℏ 𝑣
0
Substitution mit 𝑥 ≔
𝐸
𝑘𝐵 𝑇
𝐸3
𝑑𝐸
𝐸
(∗)
𝑒 𝑘𝐵𝑇 − 1
⇒ 𝑑𝐸 = 𝑘𝐵 𝑇:
𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑉
𝑥3
⇒ 𝑈 = 3 ⋅ 2 3 3 (𝑘𝐵 𝑇)4 ⋅ ∫
𝑑𝑥
2𝜋 ℏ 𝑣
𝑒𝑥 − 1
0
GRENZFALL:
𝑇 → 0 ⇒ 𝑥𝑚𝑎𝑥 → ∞
∞
mit ∫0
𝑥3
𝑒 𝑥 −1
𝑑𝑥 =
𝜋4
15
⇒𝑈=
9𝜋 4
𝑇 3
𝑁𝑘𝐵 𝑇 ( )
15
𝜃𝐷
mit der Debeye-Temperatur 𝜃𝐷
ℏ𝜔𝑚𝑎𝑥 =: 𝑘𝐵 𝜃𝐷
1
ℏ𝑣 6𝜋 2 𝑁 3
⇒ 𝜃𝐷 =
(
)
𝑘𝐵
𝑉
typische Werte liegen bei 100 − 400𝐾
𝜕𝑈
12𝜋 4
𝑇 3
⇒ 𝐶𝑣 = ( ) =
𝑁𝐾𝐵 ( )
𝜕𝑇 𝑉
5
𝜃𝐷
Debeyesches T 3 -Gesetz (𝑇 → 0), analog zum Stefan-Boltzmann-Gesetz
Für beliebige Temperaturen kann (∗) nur numerisch gelöst werden.
GRAFISCH:
32
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
„ANSCHAULICH“:
𝑘𝐵 𝑇 ⇒ ℏ𝜔 𝑇 = 𝑘𝐵 𝑇 ⇒ ℏ𝜔 𝑇 = ℏ𝑣𝑘 𝑇
𝑘𝑇 3
𝑇 3
⇒ 𝑈 ∼ 𝑘𝐵 𝑇 (
) ∼ 𝑘𝐵 𝑇 ( )
𝑘𝑚𝑎𝑥
𝜃𝐷
⇒ 𝐶𝑣 ∼ 𝑇 3
33
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
2.3 THERMISCHE AUSDEHNUNG
ERINNERUNG:
Energie eines Atoms/Ions 𝑼
1
𝑈 = 𝐷𝑢2 mit der Auslenkung aus der Ruhelage 𝑢 (Energienullpunkt auf 𝑈(0) gesetzt.
2
THERMISCHER ERWARTUNGSWERT VON U?
∞
< 𝑢 >=
∫−∞ 𝑢 ⋅ 𝑒
𝑈(𝑢)
−
𝑘𝐵 𝑇 𝑑𝑢
(∗)
𝑈(𝑢)
∞ −
∫−∞ 𝑒 𝑘𝐵𝑇 𝑑𝑢
U(U) IN PARABOLISCHER NÄHERUNG



Integrand im Zähler antisymmetrisch
< 𝑢 >= 0
keine Längenänderung des Festkörpers 𝐵𝐿𝐼𝑇𝑍 Experiment
BESSERE NÄHERUNG
1
𝑈(𝑢) = 𝐷𝑢2 −
2
𝑔
⏟
⋅ 𝑢3 + ⋯
>0 im Bild
Zähler von (∗)
∞
∫𝑢⋅
−∞
∞
𝑈(𝑢)
−
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 𝑑𝑢
≈
⏟
∫𝑢⋅
1 2
𝐷𝑢
−2
𝑒 𝑘𝐵𝑇
⋅ (1 +
𝑒−Fkt. entwickelt −∞
OK für 𝑇→∞
∞
1
2
1
𝑔𝑢3 + ⋯ ) 𝑑𝑢
𝑘𝐵 𝑇
5
𝐷𝑢
3
𝑔
3
2 2
−2
=
∫ 𝑢4 𝑒 𝑘𝐵𝑇 𝑑𝑢 = √𝜋 ⋅ 𝑔 ⋅ ( ) ⋅ (𝑘𝐵 𝑇)2
𝑘𝐵 𝑇
4
𝐷
−∞
Nenner von (∗)
34
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
∞
∫
𝑈(𝑢)
−
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 𝑑𝑢
−∞
∞
≈ ∫
−∞
1 2
𝐷𝑢
−2
𝑒 𝑘𝐵 𝑇 𝑑𝑢
2
= √𝜋 ⋅ √𝑘𝐵 𝑇 ⋅ √
𝐷
5
3
3
2 2
𝜋 ⋅ 𝑔 ⋅ ( ) ⋅ (𝑘𝐵 𝑇)2
√
𝐷
⇒< 𝑢 > = 4
2
√𝜋 ⋅ √𝑘𝐵 𝑇 ⋅ √𝐷
⇒< 𝑢 > =
Anharmonizität 𝑔:
35
3
2 2
⋅ 𝑔 ⋅ ( ) 𝑘𝐵 𝑇 ~ 𝑇
4
𝐷
𝑔 > 0: Expansion
𝑔 < 0: Kontraktion
2. Die Dynamik des Kristallgitters | Moderne Experimentalphysik II - Optik
3. ELEKTRONISCHE ENERGIEBÄNDER IM FESTKÖRPER
NÄHERUNG: Vernachlässige die Wechselwirkung der 𝑒 − untereinander
⇒ 𝑒 − bewegen sich im Potential der Kerne
̂ 𝜓 = 𝐸𝜓
⇒𝐻
̂=−
𝐻
ℏ2
△ +𝑉(𝑟⃗)
2𝑚
EINDIMENSIONAL:
Schwieriges Problem! Können wir die Gitterperiodizität ausnutzen?
36
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
3.1 DAS BLOCH-THEOREM
Wir definieren den Translationsoperator 𝑇̂
⃗⃗)
𝑇̂ 𝜓(𝑟⃗) ≔ 𝜓(𝑟⃗ + 𝑇
⃗⃗ = 𝑢𝑎
Gittertranslation 𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝑣𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 𝑤𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗,
3 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℤ
̂ , 𝑇̂] = 0 ∀ 𝑇
⃗⃗ (wegen 𝑇̂ 𝑉(𝑟⃗) = 𝑉(𝑟⃗)𝑇̂)
! [𝐻
̂ und 𝑇̂ haben ein gemeinsames Eigenfunktionssystem
⇒𝐻
̂:
EIGENWERTGLEICHUNG FÜR T
⃗⃗) 𝜓(𝑟⃗) = 𝜓(𝑟⃗ + 𝑇
⃗⃗)
𝑇̂ 𝜓(𝑟⃗) = 𝑓(𝑇
⏟
Eigenwert
⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗1 )𝜓(𝑟⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗1 )𝑓(𝑇
⃗⃗⃗⃗2 )𝜓(𝑟⃗)
⇒ 𝜓(𝑟⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝑇1 + ⃗⃗⃗⃗
𝑇2 ) = 𝑓(𝑇
𝑇2 )𝜓(𝑟⃗) = 𝑓(𝑇
𝑇2 ) = 𝑓(𝑇
⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗1 )𝑓(𝑇
⃗⃗⃗⃗2 )
⇒ 𝑓(𝑇
𝑇2 ) = 𝑓(𝑇
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗
∀𝑇
𝑇2
⃗⃗
⇒ 𝑓 ist Exponentialfunktion in 𝑇
⃗⃗
⃗⃗) = 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑇⃗⃗
⇒ 𝑓(𝑇
⃗⃗ dabei zunächst mathematischer Parameter
𝑖𝑘
⃗⃗
⃗⃗) = 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑇⃗⃗ 𝜓𝑘⃗⃗ (𝑟⃗)
⇒ 𝜓𝑘⃗⃗ (𝑟⃗ + 𝑇
Blochsches Theorem
Diese Bedingung wird von den Bloch-Funktionen erfüllt
⃗⃗
𝜓𝑘⃗⃗ (𝑟⃗) = 𝑢𝑘⃗⃗ (𝑟⃗)𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟⃗
Hierbei sind die 𝑢𝑘⃗⃗ (𝑟⃗) gitterperiodisch, d.h.
⃗⃗) = 𝑢𝑘⃗⃗ (𝑟⃗)
𝑢𝑘⃗⃗ (𝑟⃗ + 𝑇
BEISPIEL: 𝑉(𝑟⃗) = 0
⃗⃗
⇒ 𝜓𝑘⃗⃗ (𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟⃗ (nicht normiert) =
̂ ebene Welle
⃗⃗ bedeutet physikalisch Wellenvektor
⇒𝑘
OHNE BEWEIS
Dies ist auch schon die allgemeinste Lösung.
37
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
3.2 „TIGHT-BINDING“-MODELL
ZUR ERINNERUNG: gekoppelte Potentialtöpfe
Schrödinger-Gleichung in Matrixschreibweise und Diagonalform:
̂ 𝜑 = 𝐸𝜑
𝐻
mit
̂ = (𝐸1
𝐻
0
0
)
𝐸2
Betrachte nun die Wechselwirkung zwischen Töpfen
̂→𝐻
̂=(
⇒𝐻
̂ − 𝐸) = 0
𝑑𝑒𝑡(𝐻
𝐸1
𝑊
𝑊
)
𝐸2
𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸0
Diagonalisierung:
⇒ (𝐸0 − 𝐸)2 − 𝑊 2 = 0
⇒ 𝐸0 − 𝐸 = ±𝑊
𝜓1 =
1
√2
(𝜙1 + 𝜙2 )
𝜓2 =
1
√2
(𝜙1 − 𝜙2 )
ANALOGIEN:


gekoppelte klassische harmonische Oszillatoren
Hybridisierung (Chemie)
38
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
BETRACHTE EINFACHES 1D MODELL:
Die Funktionen 𝜙(𝑥 − 𝑛𝑎) seien die Wellenfunktion der ungekoppelten Töpfe
NÄHERUNG:
Betrachte nur die Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn (plausibel wegen exponentiellem Abklingen
der Wellenfunktion in Barrieren)
⋱
⋱
̂= ⋱
⇒𝐻
⋱
(⋱
⋱
𝑊
0
0
⋱
⋱
𝐸0
𝑊
0
⋱
⋱
𝑊
𝐸0
𝑊
⋱
⋱
0
𝑊
𝐸0
⋱
⋱
0
0
𝑊
⋱
⋱
0
0
0
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱)
ANSATZ:
periodische Randbedingungen, 𝑁 Gitterzellen
𝜓𝑘 (𝑥) =
1
√𝑁
⋅ ∑ 𝑒 𝑖𝑘𝑛𝑎 ⋅ 𝜙(𝑥 − 𝑛𝑎)
𝑛
Bloch-Theorem erfüllt?
𝜓𝑘 (𝑥 + 𝑎) =
1
√𝑁
(𝑥 + 𝑎 − 𝑛𝑎) =
⋅ ∑ 𝑒 𝑖𝑘𝑛𝑎 ⋅ 𝜙 ⏟
𝑥−(𝑛−1)
𝑎
⏟
1
√𝑁
⋅ ∑ 𝑒 𝑖𝑘(𝑚+1)𝑎 ⋅ 𝜙(𝑥 − 𝑚𝑎)
𝑚
𝑚
= 𝑒 𝑖𝑘𝑎 ⋅
1
√𝑁
⋅ ∑ 𝑒 𝑖𝑘𝑚𝑎 ⋅ 𝜙(𝑥 − 𝑚𝑎) = 𝑒 𝑖𝑘𝑎 𝜓𝑘 (𝑥) ̌
𝑚
Einsetzen in Schrödingergleichung (𝑛-te Zeile)
𝐸0 𝜓𝑘 + 𝑊(𝑒 𝑖𝑘𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑎 ) ⋅ 𝜓𝑘 = 𝐸(𝑘 )𝜓𝑘
⇒ 𝐸(𝑘) = 𝐸0 + 2𝑊 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎)
analog in 2D-Quadratgitter:
⃗⃗) = 𝐸0 + 2𝑊 ⋅ (cos(𝑘𝑥 𝑎) + cos(𝑘𝑦 𝑎))
𝐸(𝑘
bzw. in 3D
𝐸(𝑘) = 𝐸0 + 2𝑊 ⋅ (cos(𝑘𝑥 𝑎) + cos(𝑘𝑦 𝑎) + cos(𝑘𝑧 𝑎))
39
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
GRAPHISCH: (W < 0)
Im endlichen Kristall mit Kantenlänge 𝐿 sind wieder (siehe Phononen) nur ganzzahlige Vielfache von
2𝜋
𝐿
möglich.
−
Bei 𝑁 Elementarzellen im Kristall und unter Berücksichtigung der Einstellung des 𝑒 -Spins hat man 2𝑁
Zustände (Band)
Beispiel:
1 Atom/Elementarzelle, das 1𝑒 − zum Band beiträgt ⇒ Band halb besetzt
𝑇=0 =
̂ Metall
Beispiel:
𝑇=0 =
̂ Halbleiter bzw. Isolator
𝜋
Taylorentwicklung von 𝐸(𝑘) für |𝑘| ≪ :
𝑎
1
ℏ2
𝐸(𝑘) = 𝐸0 + 2𝑊 ⋅ cos(𝑘𝑎) ≈ 𝐸0 + 2𝑊 (1 − (𝑘𝑎)2 + ⋯ ) = 𝐸0′ − 𝑊𝑎2 𝑘 2 =: 𝐸0′ +
𝑘2
2
2𝑚𝑒𝑓𝑓
 effektive Masse 𝑚𝑒𝑓𝑓 = −
ℏ2
2𝑊𝑎2
∼
1
𝑊
 Masse kann positiv oder negativ sein
 |𝑊| klein ⇒ Masse groß, |𝑊| groß ⇒ Masse klein
40
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
3.3 DIE NÄHERUNG FAST FREIER ELEKTRONEN
„Ganz“ freie Elektronen:
𝜓𝑘 (𝑥) = 𝑒 𝑖𝑘𝑥
𝐻𝜓𝑘 (𝑥) =
ℏ2 𝑘 2
𝜓
2𝑚 𝑘
𝑉(𝑟⃗) ist gitterperiodisch → Fourierentwicklung möglich
ZUR ERINNERUNG: 1D
𝑉(𝑥) = ∑ 𝑉̃𝑛 ⋅ 𝑒
2𝜋
𝑖𝑛⋅ ⋅𝑥
⏟
𝑎
𝐺
̃𝐺 ⋅ 𝑒 𝑖𝐺𝑥
= ∑𝑉
𝑛
𝐺
̃
⃗ ) ⋅ 𝑒 𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗
𝑉(𝑟⃗) = ∑ 𝑉(𝐺
𝐺
𝜓𝑘 (𝑟⃗) genügen dem Blochschen Theorem, 𝑢𝑘 (𝑟⃗) ist gitterperiodisch ⇒ Fourierreihenentwicklung
𝑢𝑘 (𝑟⃗) = ∑ 𝑢̃𝑘 (𝐺⃗ ) ⋅ 𝑒 𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗
𝐺⃗
⇒ 𝜓𝑘 (𝑟⃗) =
1
√𝑉
⃗⃗
⃗⃗)𝑒 𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗
𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟⃗ ⋅ ∑ 𝑢̃𝐺̃ (𝑘
𝐺⃗
Eigenfunktion des „leeren“ Kristalls:
(−
mit 𝐸0 (𝑘) = 𝑉0 +
41
ℏ2
△ +𝑉0 ) 𝜓𝑘0 (𝑟⃗) = 𝐸0 𝜓𝑘0 (𝑟⃗)
2𝑚
ℏ2 𝑘 2
2𝑚
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝜓𝑘 (𝑟⃗) IN SCHRÖDINGERGLEICHUNG EINSETZEN:
(−
𝑘2
1 𝑖𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗
1 𝑖𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗
′′
⃗ ′ )𝑒 𝑖𝐺⃗ ′⋅𝑟⃗ = 𝐸(𝑘) ⋅
⃗ ′ )𝑒 𝑖𝐺⃗ ′⋅𝑟⃗
△ + ∑ 𝑉̃ (𝐺⃗ ′′ )𝑒 𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗ ) ⋅
𝑒
⋅∑𝑢
̃(𝐺
𝑒
⋅ ∑𝑢
̃(𝐺
𝑘
𝑘
2𝑚
√𝑉
√𝑉
𝐺⃗ ′′
⇔
1
√𝑉
𝐺⃗ ′
⋅ ∑(
𝐺⃗ ′
ℏ2
2
1
′′
⃗⃗ + 𝐺⃗ ′ ) − 𝐸(𝑘)) 𝑢
⃗⃗ + 𝐺⃗ ′ ) ⋅ 𝑟⃗ +
⃗ ′ ) − 𝑒^(𝑖(𝑘
(𝑘
̃(𝐺
⋅ ∑ 𝑉̃ (𝐺⃗ ′′ )𝑒 𝑖𝐺⃗ ⋅𝑟⃗
𝑘
2𝑚
√𝑉
𝐺⃗ ′′
𝐺⃗ ′
⃗′
⋅ ∑𝑢
̃(𝐺
)⋅𝑒
𝑘
⃗⃗ +𝐺⃗ ′ )𝑟⃗
𝑖(𝑘
=0
𝐺⃗ ′
1 −𝑖(𝑘
⃗⃗ +𝐺⃗ )𝑟⃗
𝑒
√𝑉
∞
∞
⃗
∫−∞ 𝑑 3 𝑥 , mit ∫−∞ 𝑒 𝑖𝐺 ⋅𝑟⃗ 𝑑 3 𝑥

multipliziere

integriere
⇒(
= 𝛿(𝐺⃗ )(2𝜋)3
ℏ2
2
⃗⃗ + 𝐺⃗ ) − 𝐸(𝑘)) ⋅ 𝑢
⃗ ′ ) + ∑ 𝑉̃ (𝐺⃗ − 𝐺⃗ ′ )𝑢
⃗′) = 0
(𝑘
̃(𝐺
̃(𝐺
𝑘
𝑘
2𝑚
𝐺⃗ ′
⃗)
Hauptgleichung zur Bestimmung der 𝑢
̃(𝐺
𝑘
⃗ ) fallen ab für große |𝐺⃗ |, hoffentlich schnell
JEDE NÄHERUNG: 𝑉̃ (𝐺⃗ ) und 𝑢
̃(𝐺
𝑘
ℏ2
2
⃗⃗ + 𝐺⃗ ) −
⋅ (𝑘
2𝑚
⇒
(
⃗ ) + 𝑉̃ (0)𝜇̃(𝐺
⃗ ) + 𝑉̃ (𝐺⃗ )𝜇̃(0)
⋅ 𝜇̃(𝐺
=0
𝑘
𝑘
𝑘
𝐸(𝑘)
⏟
ℏ2 𝑘 2
𝐸0 (𝑘)= 𝑉
⏟
0 + 2𝑚
̃ (0)
=𝑉
⃗) =
⇒ 𝜇̃(𝐺
𝑘
)
𝑉̃ (𝐺⃗ )𝜇̃(0)
𝑘
ℏ2
2𝑚
2
⃗⃗ 2 − (𝑘
⃗⃗ + 𝐺⃗ ) )
(𝑘
2
⃗⃗ 2 = (𝑘
⃗⃗ + 𝐺⃗ ) und 𝐺⃗ 2 = 2𝑘
⃗⃗ 𝐺⃗ =
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⇒ groß für 𝑘
̂ Brillouin-Beugungsbedingung ⇒ wir beschränken uns auf 𝑘
𝑘𝐵
⃗
Gleichungen für die dominanten Beiträge 𝜇̃
𝑘𝐵 (0), 𝜇̃
𝑘𝐵 (𝐺 )
2
ℏ2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ 𝑘 (𝐺⃗ ) = 0
̃
̃
(
− 𝐸(𝑘
𝐵 )) 𝜇̃
𝑘𝐵 (0) + 𝑉 (0)𝜇̃
𝑘𝐵 (0) + 𝑉 (−𝐺 )𝜇̃
𝐵
2𝑚
(
ℏ2 𝑘𝐵2
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
̃ ⃗ 𝑘 (0) + 𝑉̃ (0)𝜇̃
− 𝐸(𝑘
𝐵 )) ⋅ 𝜇̃
𝑘𝐵 (𝐺 ) + 𝑉 (𝐺 )𝜇̃
𝑘𝐵 (𝐺 ) = 0
𝐵
2𝑚
2
ℏ2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
̃
− 𝐸(𝑘
𝐵 ) + 𝑉 (0)
2𝑚
⇒
𝑉̃ (−𝐺⃗ )
2
(
𝑉̃ (𝐺⃗ )
ℏ2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
̃
− 𝐸(𝑘
𝐵 ) + 𝑉 (0)
)
2𝑚
(
𝜇̃
𝑘𝐵 (0)
)=0
⃗
𝜇̃
𝑘 (𝐺 )
𝐵
2
2 ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
̃
⇒ nichttriviale Lösung für det( ) = 0 mit 𝐸0 (𝑘
𝐵 ) = ℏ 𝑘𝐵 + 𝑉 (0)
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗
⇒ (𝐸(𝑘
𝐵 ) − 𝐸0 (𝑘𝐵 )) = |𝑉 (𝐺 )|
42
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗
⇒ 𝐸(𝑘
𝐵 ) = 𝐸0 (𝑘𝐵 ) ± |𝑉 (𝐺 )|
ANSCHAULICHE INTERPRETATION:
𝜋
𝜋
𝑎
𝑎
Elektron mit 𝑘 = wird Bragg-reflektiert zu 𝑘 = − ⇒ stehende Welle
𝜋
𝜋
𝑎
𝑎
⇒ 𝜓𝑘 (𝑥) ∼ sin ( 𝑥) oder cos ( 𝑥)
Konstruktion von Isoenergieflächen ⇒ Folien
43
3. Elektronische Energiebänder im Festkörper | Moderne Experimentalphysik II - Optik
4. METALLE
4.1 DAS MODELL EFFEKTIVER MASSEN
⇒ siehe 3.2 „Tight-Binding“-Modell: per Definition ist das oberste Band halb gefüllt
𝐸𝐹 = Fermi-Energie bei 𝑇 = 0
⟨𝑓𝑘 ⟩ sei der thermische Erwartungswert der Zahl der 𝑒 − bei 𝑘. Pendant zu ⟨𝜇𝑘 ⟩ bei Phononen


𝑒 − sind Fermionen ⇒ bei 𝑇 = 0 ist ⟨𝑓𝑘 ⟩ entweder 0 oder 1
Die Elektronenzahl ist erhalten ⇒ 𝑁𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = ⏟
2 ⋅ ∑𝑘⃗⃗⟨𝑓𝑘⃗⃗ ⟩ (∗)
𝑆𝑝𝑖𝑛
⟨𝜇𝑘 ⟩ =
∑∞
𝑛=0 𝑛 ⋅ 𝑒
∑∞
𝑛=0 𝑒
𝑛𝐸(𝑘)
−
𝑘𝐵 𝑇
𝑛𝐸(𝑘)
−
𝑘𝐵 𝑇
⟨𝑓𝑘 ⟩ =
∑1𝑓=0 𝑓 ⋅ 𝑒
∑1𝑓=0 𝑒
−
𝑓𝐸(𝑘)
−
𝑘𝐵 𝑇
𝑓𝐸(𝑘)
𝑘𝐵 𝑇
… OHNE BEWEIS:
⟨𝑓𝑘 ⟩ =
1
𝐸(𝑘)−𝜇
𝑒 𝑘𝐵𝑇
=: 𝑓𝑘⃗⃗
⟨𝑛𝑘 ⟩ =
+1
1
𝐸(𝑘)−𝜇
𝑒 𝑘𝐵𝑇
=: 𝑛𝑘⃗⃗
−1
mit dem chemischen Potential 𝜇, [𝜇] = 𝐽. ! 𝜇 = 𝜇(𝑇) aus Nebenbedingung (∗)!
⇒ i.A. 𝜇(𝑇) ≠ 𝐸𝐹 = 𝜇(𝑇 = 0)
44
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝐸𝐹 bei Metallen typischerweise einige 𝑒𝑉:
𝑇 = 300𝐾
⇒ 𝑘𝐵 𝑇 = 26𝑚𝑒𝑉
𝐸𝐹 kann bei Halbleitern einige 𝑚𝑒𝑉 sein, somit kann gelten:
𝑘𝐵 𝑇
𝐸𝐹
⇒
𝑘𝐵 𝑇
≪1
𝐸𝐹
>1
AUSARBEITUNG DER NEBENBEDINGUNG (∗):
𝑁𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 2 ⋅ ∑⟨𝑓𝑘⃗⃗ ⟩ = ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ 𝑓(𝐸) ⋅ 𝑑𝐸
⃗⃗
𝑘
Zustandsdichte 𝐷(𝐸) der 𝑒 − in effektiver Massennäherung und 3𝐷:
𝑁(𝐸) =
̂ Anzahl der Zustände mit Energie ∈ [0, 𝐸]
4 3
𝜋𝑘
I
= 𝑁𝑘 (𝐸) = ⏟
2 ⋅3
3
Spin (2𝜋 )
𝐿
(mit 𝐸(𝑘) =
ℏ2 𝑘 2
2𝑚
⇒𝑘=
√2𝑚𝐸
)
ℏ
3
(2𝑚𝐸)2
𝐿 3 4
=2⋅( ) ⋅ 𝜋⋅
2𝜋
3
ℏ3
3
(2𝑚)2 3
𝑑𝑁(𝐸)
𝐿 3 4
⇒ 𝐷(𝐸) =
=2⋅( ) ⋅ 𝜋⋅
⋅ √𝐸
𝑑𝐸
2𝜋
3
ℏ3
2
3
𝑉
2𝑚 2
⇒ 𝐷(𝐸) = 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ √𝐸 ⋅ 𝜃(𝐸)
2𝜋
ℏ
Effektivmassennäherung in 3𝐷
∞
3
𝑉
2𝑚 2
𝑁𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = ∫ 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ √𝐸 ⋅
2𝜋
ℏ
0
Auflösen nach 𝜇(𝑇) nicht analytisch möglich.
I
4
3. Potenz und 𝜋𝑘 3 wegen 3𝐷
3
45
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1
𝐸−𝜇(𝑇)
𝑒 𝑘𝐵 𝑇
𝑑𝐸
+1
46
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
4.3 SPEZIFISCHE WÄRME DES QUANTENGASES AUS 𝑒 −
INNERE ENERGIE:
∞
𝑈 = ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ 𝑓(𝐸) ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐸
0
ANNAHME: 𝜇(𝑇) = 𝜇(0) = 𝐸𝐹
∞
∞
𝑈 = ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ 𝑓(𝐸) ⋅ (𝐸 − 𝐸𝐹 ) ⋅ 𝑑𝐸 + 𝐸𝐹 ⋅ ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ 𝑓(𝐸) ⋅ 𝑑𝐸
⏟
0
0
=𝑁𝑒
⏟
≠𝑔(𝑇)
∞
𝜕𝜇
𝜕𝑓
⇒ 𝐶𝑉 = ( ) = ∫ 𝐷(𝐸) ⋅ ( ) ⋅ (𝐸 − 𝐸𝐹 ) ⋅ 𝑑𝐸
𝜕𝑇 𝑉
𝜕𝑇
0
𝜕𝑓
𝜕
=
(
𝜕𝑇 𝜕𝑇
1
𝐸−𝐸𝐹
𝑒 𝑘𝐵 𝑇
) = −(
+1
2
1
𝐸−𝐸𝐹
𝑒 𝑘𝐵 𝑇
) ⋅𝑒
𝐸−𝐸𝐹
𝑘𝐵 𝑇
⋅ (−
+1
∞
⇒ 𝐶𝑉 = 𝐷(𝐸𝐹 ) ⋅
∫
⏟
0
𝐸 − 𝐸𝐹 1
⋅ 2)
𝑘𝐵
𝑇
𝐸 − 𝐸𝐹
(𝐸 − 𝐸𝐹 ) ⋅
⋅
𝑘𝐵 𝑇 2
𝑘𝐵 𝑇≪𝐸𝐹 : −∞
Substitution:
𝐸−𝐸𝐹
𝑘𝐵 𝑇
𝑒
𝐸−𝐸𝐹
𝑘𝐵 𝑇
𝐸−𝐸𝐹
(𝑒 𝑘𝐵𝑇
2
⋅ 𝑑𝐸
+ 1)
= 𝑥 ⇒ 𝑑𝐸 = 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ 𝑑𝑥
∞
= 𝐷(𝐸𝐹 ) ⋅
𝑘𝐵2 𝑇
𝑒𝑥
⋅ ∫ 𝑥2 ⋅ 𝑥
⋅ 𝑑𝑥
(𝑒 + 1)2
⏟
−∞
=
⇒ 𝐶𝑉 = 𝐷(𝐸𝐹 ) ⋅
𝜋2
3
𝑘𝐵2 𝜋 2
⋅𝑇 ∼𝑇
3
spezifische Wärme des Elektronengases bei tiefen Temperaturen
In 3D und in Effektivmassennäherung gilt weiterhin
𝑘𝐵 𝑇≪𝐸𝐹
⏞𝐹
𝐸
𝑁𝑒 =
∫
0
3
𝐸𝐹
3
𝑉
2𝑚 2
𝑉
2𝑚 2 2 3
𝐷(𝐸)𝑑𝐸 = 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ ∫ √𝐸 ⋅ 𝑑𝐸 = 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ ⋅ 𝐸𝑓2
2𝜋
ℏ
2𝜋
ℏ
3
0
3
𝑁𝑒 2 𝑉
2𝑚 2
⇒
= ⋅ 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ √𝐸𝐹
𝐸𝐹 3 ⏟
2𝜋
ℏ
=:𝐷(𝐸𝐹 )
⇒ 𝐷(𝐸𝐹 ) =
47
3 𝑁𝑒
⋅
2 𝐸𝐹
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ 𝐶𝑉 =
3 𝑁𝑒 𝑘𝐵2 𝜋 2
⋅
⋅
⋅𝑇
2 𝐸𝐹
3
Für die Elektronen gilt:
𝐶𝑉 = 𝑎𝑇
Für die akustischen Phononen gilt:
𝐶𝑉 = 𝑏𝑇 3
Daraus folgt zusammen:
𝐶𝑉 = 𝑎𝑇 + 𝑏𝑇 3
⇒
48
𝐶𝑉
= 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑇2
𝑇
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
4.4 OPTIK (DIELEKTRISCHE FUNKTION, PLASMONEN)
Im Bild freier klassischer 𝑒 − erhält man das Lorentz-Oszillatormodell ohne Rückstellkraft, also 𝐷 = 0 oder Ω =
0 (siehe Klassische Experminentalphysik II + III) =
̂ Drude-Modell
⇒ optische dielektrische Funktion (für 𝜖𝑏 = 1, 𝛾 = 0)
𝜖(𝜔) = 1 +
𝑁𝑒 𝑒 2
1
⋅ 2
𝑉𝑚𝜖0 Ω − 𝜔 2
𝜖(𝜔) = 1 −
2
𝜔𝑝𝑙
𝜔2
mit der Plasmafrequenz 𝜔𝑝𝑙
2
𝜔𝑝𝑙
=
𝑁𝑒 𝑒 2
𝑉𝑚𝜖0
keine propagierenden Wellen ⇒ 𝑅 = 100%
Ohne äußeres Feld schwingt das Elektronen-Gas gegen den positiven Ladungshintergrund mit der
Plasmafrequenz.
𝑢 sei die Auslenkung aus der Ruhelage

Dipolmoment eines 𝑒 − = −𝑒 ⋅ 𝑢

Polarisation 𝑃 = −
49
𝑁𝑒
𝑉
⋅ 𝑒𝑢
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Mit 𝐷 = 𝜖0 𝐸 + 𝑃 = 0 =
̂ kein äußeres Feld
⇒𝐸=−
Mit 𝑚 ⋅ 𝑢̈ = −𝑒 ⋅
𝑁𝑒 𝑒
𝑉𝜖0
𝑃
𝑁𝑒 𝑒
=+
⋅𝑢
𝜖0
𝑉𝜖0
⋅𝑢
⇒ 𝑢 = 𝑢0 ⋅ cos(𝜔𝑝𝑙 ⋅ 𝑡)
2
⇒ 𝜔𝑝𝑙
=
𝑁𝑒 𝑒 2
𝑉𝑚𝜖0
Die Quanten der Plasmaschwingungen heißen Plasmonen.
ZUR FRAGE, 𝜔 → 0:
Betrachte freie 𝑒 im endlich großen Festkörper mit Kantenlänge 𝐿 in 1𝐷
Jeder Übergang entspricht einer Lorentz-Resonanz mit Frequenz Ω𝑛𝑚 , ℏΩ𝑛𝑚 = Δ𝐸𝑛𝑚
Δ𝐸𝑛𝑚
𝜋 2
ℏ2 ( )
𝐿 (𝑛2 − 𝑚2 ) ∼ 𝐿−2
=
2𝑚
𝑛>𝑚
! Für endliches 𝐿 ∃ kleinste Übergangsfrequenz unterhalb derer gilt 𝜖(𝜔) > 0
⇒ 𝜖(0) > 0
! Diese Betrachtung
50
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
4.5 BLOCH-OSZILLATIONEN UND WANNIER-STARK-LEITER
Was passiert wenn wir ein konstantes und homogenes elektrisches Feld an einem Festkörper anlegen?
Betrachte wieder 1𝐷-Modell
+𝑒 ⋅ 𝐸𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑉(𝑥)
SEMIKLASSISCHE BETRACHTUNG:
ℏ𝑘𝑥 ist Impuls des 𝑒 −
Ansatz: Impuls gemäß Newtonschem 2. Axiom
⇒ ℏ𝑘𝑥̇ = −𝑒𝐸𝑥
𝐸𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝑘𝑥 (0) = 0
⇒ 𝑘𝑥 (𝑡) = −
𝑒𝐸0
⋅𝑡
ℏ
𝑇
𝜋
2
𝑎
Zum Zeitpunkt 𝑡 = erreicht das 𝑒 − den Rand der 1. Brillouin-Zone bei 𝑘𝑥 = (für 𝐸𝑥 < 0)
51
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝜋 𝑒|𝐸𝑥 | 𝑇
=
⋅
𝑎
ℏ
2
⇒ Bragg-Reflektion zu 𝑘𝑥 = −
𝜋
𝑎
𝑇
Nach einer weiteren Zeitspanne kehrt das 𝑒 − zu 𝑘𝑥 = 0 zurück. Periode 𝑇:
2
⇒ 𝑇 = 2𝜋 ⋅
ℏ
2𝜋
=
𝑎𝑒|𝐸𝑥 | 𝜔𝐵
mit der Bloch-Oszillationsfrequenz
𝜔𝐵 =
𝑎 ⋅ 𝑒 ⋅ |𝐸𝑥 |
ℏ
WIE BEWEGT SICH DAS WELLENPAKET? - Betrachte Gruppengeschwindigkeit:
𝑣𝑔𝑟 =
𝑑𝜔
1 𝑑𝐸
= ⋅
𝑑𝑘𝑥 ℏ 𝑑𝑘𝑥
mit 𝐸(𝑘𝑥 ) = 𝐸0 + 2𝑊 ⋅ cos(𝑘𝑥 ⋅ 𝑎)
1
2𝑊𝑎
𝑣𝑔𝑟 = − ⋅ 2𝑊𝑎 ⋅ sin(𝑘𝑥 ⋅ 𝑎) = −
⋅ sin(𝜔𝐵 ⋅ 𝑡)
ℏ
ℏ
Daher oszilliert auch der Schwerpunkt des Wellenpaketes („das Elektron“) harmonisch mit der Bloch-Frequenz.
QUANTENMECHANISCHE SICHTWEISE?
Betrachte großen Abfall der potentiellen Energie über einer Einheitszelle: 𝑒𝐸𝑥 ⋅ 𝑎 > 4𝑊
WANNIER-STARK-LEITER
⇒ Wieder lokalisierte Zustände
Bei einem Wellenpaket aus zwei benachbarten Topfwellenfunktionen tritt Schwebungsfrequenz
𝜔𝐵 =
52
Δ𝐸 𝑒𝐸𝑥 ⋅ 𝑎
=
ℏ
ℏ
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
auf. ! Gleiches Resultat wie semiklassisch!
WO IST OHMSCHES GESETZ?
Dämpfung bzw. Streuung spielen meist eine entscheidende Rolle.
SEMIKLASSISCH, PHÄNOMENOLOGISCH:
ℏ𝑘𝑥̇ = −𝑒𝐸𝑥 − ℏ𝛾𝑘𝑥
1
⏟
𝜏
𝛾=
𝑡𝑦𝑝.𝑆𝑡𝑜ß𝑧𝑒𝑖𝑡
= 0 im statischen Fall
⇒ 𝑘𝑥 = −
𝑒𝐸𝑥
⋅𝜏
ℏ
Damit haben wir auch die Geschwindigkeit und die Stromdichte ∼ 𝐸𝑥 𝜏 ⇒ Ohmsches Gesetz
3𝐷 & ELEKTRONENGAS MIT FERMI-ENERGIE 𝐸𝐹 :
Fermi-Kugel wird leicht verschoben entlang der Achse des elektrischen Feldes:
BEISPIEL:
𝑒 = 1,6 ⋅ 10−14 𝐶
ℏ = 1,05 ⋅ 10−34 𝐽𝑠
100𝑓𝑠 (typischerweise eher noch weniger)
⇒ |𝑘𝑥 | =
𝐸𝑥 ≈ 106
𝑉
𝑚
𝑎 = 0,5𝑛𝑚
𝑒𝐸𝑥
𝜋
𝜏 ≈ 0,02
⏟
ℏ
𝑎
winzig!
53
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
=1
𝑉
𝜇𝑚
=
̂ sehr groß
𝜏=
4.6. KLASSISCHER TRANSPORT
Elektrische Felder, also Gradienten des elektrostatischen Potentials, wie auch Temperaturgradienten führen zu
einem Teilchentransport. Über die Ladung der Elektronen bzw. über ihre kinetische Energie ist dies verknüpft
mit einem elektrischen Strom und einem Wärmestrom.
Für eine konstante Geschwindigkeit 𝑣⃗ hätten wir:
𝑗⃗ = 𝜌 ⋅ 𝑣⃗ = −
𝑄
⋅ 𝑣⃗ ⋅ 𝑁𝑒
𝑉
Mit dem Spin 𝜎 verallgemeinern wir zu:
𝑗⃗ = −
𝑒
⋅ ∑ 𝑣⃗ ⋅ 𝑓⃗𝑘⃗
𝑉
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
𝐴
Stromdichte ⃗j mit [𝑗] = 𝑚2
Für eine konstante Geschwindigkeit hätten wir:
𝑤
⃗⃗⃗ =
1
⋅ 𝐸 ⋅ 𝑣⃗ ⋅ 𝑁𝑒
𝑉 𝑘𝑖𝑛
Wir verallgemeinern wieder zu:
𝑤
⃗⃗⃗ =
1
⃗⃗ ) ⋅ 𝑣⃗ ⋅ 𝑓⃗⃗
⋅ ∑ 𝐸𝑘𝑖𝑛 (𝑘
𝑘
𝑉
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
𝑊
Wärmestromdichte w
⃗⃗⃗⃗ mit [𝑤] = 2
𝑚
Es gelten die Kontinuitäts- bzw. Bilanzgleichungen
𝜕𝜌
+ 𝛻⃗⃗ ⋅ 𝑗⃗ = 0
𝜕𝑡
𝜕𝜇
+ 𝛻⃗⃗ ⋅ 𝑤
⃗⃗⃗ = +𝑗⃗ ⋅ 𝐸⃗⃗
𝜕𝑡
𝜇 ist dabei die Energiedichte, [𝜇] =
𝐽
𝑚3
BEISPIEL: 𝑓𝑘⃗⃗ sei Gleichgewichts-Fermiverteilungsfunktion = 𝑓0
 𝑗⃗ = 𝑤
⃗⃗⃗ = 0 (Symmetrie)
 Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion wichtig
⃗⃗, 𝑡)
? Bestimmung der 𝑓(𝑟⃗, 𝑘
54
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Anzahl der 𝑒 − bleibt gleich,
nur die Form ändert sich
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 0 ohne Streuung
𝑑𝑓 𝜕𝑓
= |
=?
𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑢
mit Streuung
𝑑𝑓
𝜕
⃗⃗̇ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
= ( +𝑘
∇𝑘 + 𝑟⃗̇ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
∇𝑟 ) ⋅ 𝑓
𝑑𝑡
𝜕𝑡
= totale Zeitableitung
Dabei gilt:
⃗⃗̇ = −∇
⃗⃗⃗⃗⃗𝑟⃗ ⋅ 𝑉(𝑟⃗) − 𝑒 ⋅ 𝑟⃗̇ × 𝐵
⃗⃗
 klassisch: 𝑝⃗̇ = ℏ 𝑘
2𝑘
⃗⃗
⃗⃗ 2
⃗
𝑝
ℏ𝑘
1
ℏ
⃗⃗ ) mit 𝐸(𝑘
⃗⃗ ) =
 𝑟⃗̇ = = = ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
∇⃗⃗ ⋅ 𝐸(𝑘
𝑚
𝑚
𝑘
ℏ
(
2𝑚
⃗⃗
𝜕 ℏ𝑘
𝜕𝑓
⃗⃗⃗⃗𝑟⃗ ⋅ 𝑉(𝑟⃗)) ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+
⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝛻𝑟⃗ − (𝛻
𝛻ℏ𝑘⃗⃗ ) ⋅ 𝑓 = |
𝜕𝑡 𝑚
𝜕𝑡 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑢
Boltzmann-Gleichung
Annahme: Abweichung vom Gleichgewicht klein, d.h.:
𝑓 = 𝑓0 + 𝛿𝑓
𝛿𝑓 ≪ 𝑓0
mit der Fermi-Verteilungsfunktion 𝑓0
RELAXATIONSZEITNÄHERUNG:
𝜕𝑓
𝛿𝑓
|
=−
𝜕𝑡 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑢
𝜏
⃗⃗, 𝑇, … ), oft 𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. beschreibt Elektron-Elektron- und Elektron-Phonon-Stöße
𝜏 = 𝜏(𝑘
BEISPIEL: statisches 𝐸⃗⃗ -Feld, Stationarität, d.h.
𝜕
𝜕𝑡
= 0:
⃗⃗⃗⃗⃗
∇𝑟⃗ ⋅ 𝑉(𝑟⃗) = −𝐹⃗ = +𝑒𝐸⃗⃗
55
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Boltzmann-Gleichung:
𝛿𝑓
 −𝑒𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∇ℏ𝑘⃗⃗ (𝑓𝑛 + 𝛿𝑓) = −
𝜏
 𝛿𝑓 = 𝜏 ⋅ 𝑒 ⋅ 𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∇ℏ𝑘⃗⃗ ⋅ 𝑓0
GRAFISCH:
⇒ Verschiebung der Fermikugel
Für den elektrischen Strom 𝑗𝑥 folgt:
𝑗𝑥 = −
𝑒
𝑒2
𝜏
𝜕𝑓0
⃗⃗ ⋅
⋅ ∑ 𝑣⃗ ⋅ 𝛿𝑓 = − ⋅ 𝐸𝑥 ⋅ ⋅ ∑ ℏ𝑘
𝑉
𝑉
𝑚
𝜕(ℏ𝑘𝑥 )
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
partielle Integration ∫ 𝑢𝑣 ′ = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′ 𝑣
=−
𝑒2
𝜏
𝑒2
𝜏
⃗⃗ ) = 𝜎𝐸𝑥
⋅ 𝐸𝑥 ⋅ ⋅ ⏟
(ℏ𝑘𝑥 𝑓0 (𝑘𝑥 ))|∞
⋅ 𝐸 ⋅ ⋅ ∑ 𝑓0 (𝑘
−∞ +
𝑉
𝑚
𝑉 𝑥 𝑚
=0
⃗⃗ ,𝜎
⏟
𝑘
𝑁𝑒 =:𝑉𝑛𝑒
⇒𝜎=
𝑒 2 𝜏𝑛𝑒
𝑚
elektrische Leitfähigkeit
Häufig führt man noch die Beweglichkeit μe ein
𝜎 =: 𝑛𝑒 𝑒𝜇𝑒
⇒ 𝜇𝑒 =
56
𝑒𝜏
𝑚
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
BEISPIEL:
𝜕
𝜕𝑡
⃗⃗ = 0
= 0, 𝐵
Boltzmann-Gleichung: ⇒ 𝛿𝑓 ⇒ 𝑗⃗, 𝑤
⃗⃗⃗ …
𝜂
𝑗⃗
𝛻⃗⃗ ⋅ ( ) = + 𝜖 ⋅ 𝛻⃗⃗ ⋅ 𝑇
𝑒
𝜎I
𝑤
⃗⃗⃗ = 𝛱 ⋅ 𝑗⃗ − 𝜅 ⋅ 𝛻⃗⃗ ⋅ 𝑇
𝜂 ≔ 𝜇 − 𝑒𝜙 =
̂ elektrochemisches Potential
mit dem chemischen Potential 𝜇 und der elektrostatischen potentiellen Energie 𝑒𝜙



𝜖: Seebeck-Koeffizient (oder Thermokraft)
Π: Peltier-Koeffizient
𝜅: Wärmeleitfähigkeit
Es gilt:
𝜅 𝜋 2 𝑘𝐵 2
=
⋅( ) ⋅𝑇 =𝐿⋅𝑇
𝜎
3
𝑒
Wiedemann-Franzsches-Gesetz
d.h. Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit sind direkt verknüpft.
BEISPIEL: Thermoelement
messe stromlos, d.h. 𝑗⃗ = 0
𝜂
⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) = 𝜖 ⋅ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇)
𝑒
⃝ Wegintegral, 𝜂 = 𝜇 − 𝑒𝜙
I
Hier die elektrische Leitfähigkeit
57
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
2
𝜂
1
∫ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) 𝑑𝑟⃗ = (𝜇
⏟ − 𝜇1 ) − (𝜙2 − 𝜙1 )
𝑒
𝑒 2
=0
1
2
3
𝑑𝑇
∫ 𝜖⋅⏞
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇)𝑑𝑟⃗
4
2
∫1 + ∫3 + ∫4
𝜖𝐴 (𝑇? − 𝑇) + 𝜖𝐵 (𝑇0 − 𝑇? ) + 𝜖𝐴 (𝑇 − 𝑇0 ) = (𝜖𝐴 − 𝜖𝐵 )(𝑇? − 𝑇0 ) = −𝑈
=
⏞
1
⇒ 𝑈 = (𝜖⏟𝐵 − 𝜖𝐴 ) (𝑇? − 𝑇0 )
bekannt
z.B.
𝑁𝑖 − 𝐶𝑟𝑁𝑖
𝐹𝑒 − 𝐶𝑛𝑁𝑖
𝑁𝑖𝐶𝑟 − 𝐶𝑛𝑁𝑖
…
Typische Messbereiche: −200°𝐶 … 1000°𝐶
Typische Spannungen liegen ≈ 10
𝜇𝑉
𝐾
BEISPIEL: (Peltier-Element)
𝑤
⃗⃗⃗ = Π ⋅ 𝑗⃗ − 𝜅 ⋅ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇)
Zunächst gelte 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., d.h. 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇) = 0
Betrachte Volumen, das den Kontakt A/B einschließt.
𝜕𝜇
+ 𝑑𝑖𝑣(𝑤
⃗⃗⃗) = 𝑗⃗ ⋅ 𝐸⃗⃗ = 0
𝜕𝑡
⇒
𝜕𝑈
𝜕
= ⋅ ∫ 𝜇𝑑𝑉 = − ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝑤
⃗⃗⃗)𝑑𝑉 = − ∫ 𝑤
⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴⃗ = −(Π𝐵 − Π𝐴 ) ⋅ 𝐼
𝜕𝑡 𝜕𝑡
𝑉
𝑉
𝐴(𝑉)
⇒ je nach Vorzeichen von (Π𝐵 − Π𝐴 ) und 𝐼 wird Aufheizung bzw. Abkühlung erreicht. Beim anderen
Kontakt jeweils umgekehrt, sodass 𝑈 im gesamten Volumen = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
58
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
4.7. EXPERIMENTELLE BESTIMMUNG VON FERMI-FLÄCHEN
⃗⃗
ZUR ERINNERUNG: Klassisches 𝒆− im Magnetfeld ⃗𝑩
⃗⃗⃗ mit Zyklotronfrequenz 𝝎𝒄
⇒ Kreisbahnen ⊥ 𝑩
𝝎𝒄 =
𝒆𝑩
𝒎
„von oben“
„von der Seite“
„sieht aus wie harmonischer Oszillator“
Was ist das quantenmechanische Pendant?
Hamilton-Operator (minimale Kopplung)
̂=
𝐻
1 ̂
(𝑝⃗ − 𝑄
⏟ 𝐴⃗)
2𝑚
2
=−𝑒
⃗⃗ = (0,0, 𝐵𝑧 ) = 𝑟𝑜𝑡(𝐴⃗)
mit 𝐵
⇒ 𝐴⃗ = (0, 𝐵𝑧 ⋅ 𝑥, 0)
𝑑𝑖𝑣(𝐴
⏟ ⃗) = 0
Landau−Eichung
̂=
⇒𝐻
1
̂𝑥 2 + (ℏ𝑘̂𝑦 + 𝑒 ⋅ 𝐵𝑧 ⋅ 𝑥)2 + ℏ2 𝑘
̂𝑧 2 )
(ℏ2 𝑘
2𝑚
mit der Koordinatentransformation
𝑥=𝑞−
1
ℏ𝑘̂
𝑚𝜔𝑐 𝑦
𝜕𝑥
̂𝑥 = 𝑘
̂𝑞 )
( =1⇒𝑘
𝜕𝑞
ℏ2 𝜕 2
1
̂=−
⇒𝐻
⋅ 2 + 𝑚𝜔𝑐2 𝑞 2 −
2𝑚
𝜕𝑞
2
⏟
1𝐷 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟 𝑂𝑠𝑧𝑖𝑙𝑙𝑎𝑡𝑜𝑟
ℏ2 𝜕 2
⋅
⏟
2𝑚 𝜕𝑧 2
⃗⃗)
𝑓𝑟𝑒𝑖𝑒 𝐵𝑒𝑤𝑒𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑧−𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔 (∥𝐵
1
ℏ2 𝑘𝑧2
⇒ 𝐸𝑛 (𝑘𝑧 ) = ℏ𝜔𝑐 (𝑛 + ) +
2
2𝑚
59
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Landau-Niveaus oder Landau-Leiter
BEISPIEL: 𝐵 = 10𝑇, 𝑚 = 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔
⇒ ℏ𝜔𝑐 = 1,2𝑚𝑒𝑉 ≪ 𝐸𝐹 bei Metallen
ZUSTANDSDICHTE 𝐷(𝐸) IN 3D
ZUSTANDSDICHTE 𝐷(𝐸) IN 2D:
60
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
BEISPIEL: 𝐵 = 10𝑇, 𝑚 = 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔
⇒ ℏ𝜔𝑐 = 1,2𝑚𝑒𝑉 ≪ 𝐸𝐹
Hierbei haben wir die Zeeman-Aufspaltung vernachlässigt.
B = 0:
𝐷(𝐸) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. =
2𝑚𝐿2
ℏ2 2𝜋
B ≠ 0: Alle Zustände im Energieintervall der breite ℏ𝜔𝑐 „kondensieren“ auf einem Landau-Niveau, d.h.
ℏ𝜔𝑐 ⋅ 𝐷(𝐸) = ℏ𝜔𝑐 ⋅
2𝑚𝐿2
𝑒𝐵 2𝑚𝐿2
=
ℏ
⋅
⋅
= 𝐿2 ⋅ ⏟
2 ⋅
ℏ2 2𝜋
𝑚 ℏ2 2𝜋
Spin
𝑒𝐵
⏟
ℎ
=𝑁∈ℕ
materialunabhängig
=
̂ Entartungsgrad des Landau-Niveaus
Der Kristall habe eine konstante Zahl von Elektronen 𝑁𝑒
𝑁𝑒 = ⏟
2 ⋅
Spin
𝜋𝑘𝐹2
𝑆𝐹
=: 2 ⋅
2
(2𝜋)
2𝜋 2
( )
𝐿
⃗⃗
Fläche 𝑆𝐹 des Schnittes durch die Fermi-Oberfläche ⊥ 𝐵
Bei 𝑁 vollständig besetzten Landau-Niveaus haben wir
𝑁 ⋅ 𝐿2 ⋅ 2 ⋅
⇒
𝑒𝐵
𝑆𝐹
= 2⋅
ℎ
2𝜋 2
( )
𝐿
1
1 2𝜋𝑒
= ⋅
⋅𝑁
𝐵𝑁 𝑆𝐹 ℏ
𝑁 = 1,2,3,4
Diese Beziehung bleibt auch jenseits der Effektiv-Massennäherung gültig (ohne Beweis). Vollständig besetzte
1
Landau-Niveaus ergeben sich also periodisch in ⇒ alle Observablen, z.B. spezifische Wärme, magnetisches
𝐵
1
Moment oder elektrische Leitfähigkeit, oszillieren periodisch mit .
𝐵
=
̂ de Haas van Alphen Oszillationen
Messe Periode ⇒ 𝑆𝐹
61
4. Metalle | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5. HALBLEITER UND ISOLATOREN
5.1 EINFÜHRUNG
DEFINITION: Das höchste besetzte Band ist vollständig besetzt bei 𝑇 = 0
Bandlücke Eg
⇒ bei 𝑇 = 0 ist ein Halbleiter elektrisch isolierend.
Wir unterscheiden direkte und indirekte Halbleiter.
direkt
indirekt
BEISPIELE:
𝑺𝒊
𝑮𝒆𝑨𝒔
𝑪𝒅𝑺
𝑻𝒆
𝑬𝒈 (𝑻 = 𝟎)
1,17𝑒𝑉
1,52𝑒𝑉
2,58𝑒𝑉
0,53𝑒𝑉
Typ
indirekt
direkt
direkt
direkt
Wir wollen im Folgenden wieder die Effektivmassennäherung für die Leitungsbandelektronen verwenden und
Valenzbandelektronen mit den Massen mc > 0 und mv < 0; |𝑚𝑣 | ≫ |𝑚𝑐 |.
Entsprechend seien fc und fv die Besetzungsfunktionen. Hierbei ist häufig das Lochbild nützlich und wir
definieren
62
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⃗⃗ ) ≔ 1 − 𝑓𝑣 (−𝑘
⃗⃗ )
𝑓ℎ (𝑘
𝑚ℎ ≔ −𝑚𝑣
𝑚ℎ in der Regel > 0
Bestimme das chemische Potential
⃗⃗)
𝑁𝑐 = ∑ 𝑓𝑐 (𝑘
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
! 𝑁𝑐 jetzt Zahl der 𝑒 − im Leitungsband
⃗⃗)
𝑁ℎ = ∑ 𝑓ℎ (𝑘
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
Zahl der Löcher, d.h. fehlende 𝑒 − im Valenzband
⇒ 𝑁𝑐 = 𝑁ℎ
∞
⃗⃗ ) = ∫ 𝐷𝑐 (𝐸)𝑓𝑐 (𝐸) ⋅ 𝑑𝐸
𝑁𝑐 = ∑ 𝑓𝑐 (𝑘
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
𝐸𝑐
ZUR ERINNERUNG: (Metalle)
3
𝑉
2𝑚 2
𝐷(𝐸) = 2 ⋅ ( 2 ) √𝐸
2𝜋
ℏ
⇒ 𝐷𝑐 (𝐸) =
𝐸≥0
𝑉 2𝑚𝑐
(
) √𝐸 − 𝐸𝑐
2𝜋 2 ℏ2
𝐸 ≥ 𝐸𝑐
Analog für die Löcher
3
𝑉 2𝑚ℎ 2
𝐷ℎ (𝐸) = 2 ( 2 ) √𝐸ℎ − 𝐸
2𝜋
ℏ
63
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
3 ∞
𝑉 2𝑚𝑐 2
⇒ 𝑁𝑐 = 2 ( 2 ) ∫ √𝐸 − 𝐸𝑐 ⋅
2𝜋
ℏ
𝐸𝑐
1
𝐸⋅𝜇
𝑒 𝑘𝐵𝑇
𝑑𝐸
+1
! Für normale Temperatur wird nur ein sehr kleiner Bruchteil der 𝑒 − vom Valenz- in das Leitungsband aktiviert
⇒ 𝑓 wird Boltzmann-Verteilung
3
∞
𝐸̃
𝑉
2𝑚𝑐 2 𝜇−𝐸𝑐
−
⇒ 𝑁𝑐 = 2 ⋅ ( 2 ) 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ ∫ √𝐸̃ ⋅ 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ 𝑑𝐸̃
2𝜋
ℏ
substituiere 𝑥 =
0
𝐸̃
𝑘𝐵 𝑇
3
∞
3
𝑉 2𝑚𝑐 2 𝜇−𝐸𝑐
⇒ 𝑁𝑐 = 2 ( 2 ) 𝑒 𝑘𝐵𝑇 (𝑘𝐵 𝑇)2 ⋅ ∫ √𝑥 ⋅ 𝑒 −𝑥 ⋅ 𝑑𝑥
2𝜋
ℏ
⏟
0
√𝜋
2
analog für Löcher
3
Gleichsetzen für 𝑁𝑐 = 𝑁ℎ
3 √𝜋
𝑉 2𝑚ℎ 2 −𝜇−𝐸𝑣
⇒ 𝑁ℎ = 2 ( 2 ) 𝑒 𝑘𝐵𝑇 (𝑘𝐵 𝑇)2 ⋅
2𝜋
ℏ
2
3
𝜇−𝐸𝑐
3
⇒ 𝑚𝑐2 ⋅ 𝑒 𝑘𝐵𝑇 = 𝑚ℎ2 ⋅ 𝑒
⇒𝜇=
𝜇−𝐸𝑣
−
𝑘𝐵 𝑇
𝐸𝑐 + 𝐸𝑣 3
𝑚ℎ
+ 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ 𝑙𝑛 ( )
2
4
𝑚𝑐
=: 𝐸𝑖 =
̂ intrinsische Fermi-Energie
𝑇=0
𝑇≠0
oder für die Dichte
𝑛𝑐 ≔
𝑁𝑐
𝑉
𝑛𝐻 ≔
𝑁ℎ
𝑉
𝐸𝑔
3
𝑘𝐵 𝑇 3
−
⇒ 𝑛𝑐 ⋅ 𝑛ℎ = 4 (
) (𝑚𝑐 𝑚ℎ )2 ⋅ 𝑒 𝑘𝐵 𝑇
2𝜋ℏ
=: 𝑛𝑖2 =
̂ intrinsische Ladungskonzentration
gehört zur intrinsischen Fermi-Energie
! Hängt nicht vom chemischen Potential ab!
64
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
DOTIERTE HALBLEITER:
da Arsen ein Element der Hauptgruppe 𝑉 ist, wurde ein zusätzliches 𝑒 − eingebaut ⇒ Donator
Die Bindungsenergie des Elektrons
𝐸𝑑 =
𝑒 4 𝑚𝑐
2(4𝜋𝜖0 𝜖ℏ)2
≪Rydberg-Energie des H-Atoms
a) Elektronen des 𝑆𝑖 schirmen Kernladung fast ab ⇒ 𝑍𝑒𝑓𝑓 = 1
b) 𝑚𝑐 ≪ 𝑚0 für „freies“ Elektron
c) 𝜖 ≫ 1, typischerweise 𝜖 ≈ 10
ZAHLENBEISPIELE: 𝐸𝑑 Donatoren
𝑺𝒊
𝑮𝒆
𝑷
45𝑚𝑒𝑉
12𝑚𝑒𝑉
𝑨𝒔
49𝑚𝑒𝑉
13𝑚𝑒𝑉
𝑺𝒃
39𝑚𝑒𝑉
10𝑚𝑒𝑉
𝑩
45𝑚𝑒𝑉
10𝑚𝑒𝑉
𝑨𝒍
57𝑚𝑒𝑉
10𝑚𝑒𝑉
𝑰𝒏
16𝑚𝑒𝑉
11𝑚𝑒𝑉
ZAHLENBEISPIELE: Akzeptoren
𝑺𝒊
𝑮𝒆
! Bild nur für niedrige Dotierkonzentrationen richtig (1015 − 1016 𝑐𝑚−3 ). Bei höheren Konzentrationen bilden
sich Bänder, die mit dem Leitungsband überlappen können =
̂ Mott-Übergang ⇒ metallisches Verhalten, d.h.
17
18
−3
𝜎(𝑇 = 0) ≠ 0, typischerweise 10 − 10 𝑐𝑚 .
Bei diesen Dichten kann die Boltzmann-Näherung
𝑛𝑒 ∼ 𝑒
𝜇𝑒 −𝐸𝑐
𝑘𝐵 𝑇
nicht mehr angewendet werden. Näherung des „entarteten“ 𝑒 − -Gases“ wie bei Metallen
3
𝑛𝑒 ∼ (𝜇𝑒 − 𝐸𝑐 )2
65
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
HALBLEITERSTRUKTUREN
Halbleiter A
Halbleiter B
TYP I:
Beispiele: 𝐺𝑎𝐴𝑠/𝐴𝑙1−𝑥 𝐺𝑎𝑥 𝐴𝑠
66
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
TYP II:
Beispiele: 𝐼𝑛𝑃/𝐴𝑙1−𝑥 𝐺𝑎𝑥 𝐴𝑠
HETEROSTRUKTUREN
=
̂ „Teilchen-im-Topf“-Problem
MODULATIONSDOTIERTE HETEROSTRUKTUREN
⇒ 𝑒 − bewegen sich in Potentialtöpfe ⇒ negative Ladung ⇒ positive Ladung bleibt zurück in Barrieren
POISSON-GLEICHUNG:
△𝜙 =−
67
1
𝜌
𝜖0 𝜖
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
POTENTIALTÖPFE:
𝜌 < 0 ⇒ Krümmung von 𝜙 ist positiv ⇒ potentielle Energie 𝑉 = −𝑒𝜙 weist negative Krümmung auf
! Räumliche Trennung von freien 𝑒 − und Donatorrümpfen. ⇒ hohe Beweglichkeit
ANDERE MÖGLICHKEIT
Halbleiter A,dotiert
Halbleiter B, undotiert
⇒ hochbewegliche 2𝐷 Elektronengase (Siehe Quanten-Hall-Effekt)
68
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.2 TRANSPORT DURCH ELEKTRONEN UND LÖCHER
Transportgleichungen siehe Kapitel 4.6.
1) 𝑗⃗ = 𝑗⃗𝑒 + 𝑗⃗ℎ
𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑤
⃗⃗⃗𝑒 + 𝑤
⃗⃗⃗ℎ
Die Relaxationszeiten 𝜏 sind im Allgemeinen unterschiedlich. Wegen der Beweglichkeit 𝜇̃ =
𝑒𝜏
𝑚
tragen
−
die 𝑒 oft mehr bei zum Transport.
2) Durch die Dichteabhängigkeit aller Transportgrößensind sie im Halbleiter stärker Temperaturabhängig
als bei Metallen.
5.3 DER PN-ÜBERGANG
VOR KONTAKT
A) 𝑈 = 0
Es gilt 𝑗⃗ = 𝑗⃗𝑒 + 𝑗⃗ℎ = 0. Im stationären Zustand gilt weiterhin 𝑗⃗𝑒 = 𝑗⃗ℎ = 0 (sonst würden sich mehr und mehr 𝑒ℎ-Paare an einer Seite ansammeln).
Mit (siehe Kapitel 4.6)
𝜂𝑒
𝜂
𝜇 − 𝑒𝜙
⃗⃗ ( 𝑒 ) = 𝑛𝑒 ⋅ 𝜇̃ ⋅ ∇
⃗⃗ ( 𝑒
𝑗⃗𝑒 = 𝜎 ⋅ ⃗∇⃗ ( ) = 𝑛𝑒 ⋅ 𝑒 ⋅ 𝜇
̃𝑒 ⋅ ∇
)=0
𝑒̃
𝑒̃
𝑒
⃗(𝜙)) + ⏟
= +𝑛𝑒 ⋅ 𝑒 ⋅ 𝜇̃ ⋅ (− ⃗∇⏟
𝑛𝑒 𝜇
̃𝑒 ⋅ ⃗∇⃗(𝜇𝑒 ) = 0
=
̂ Diffusionsstrom
⏟
𝐸⃗⃗
=
̂ Driftstrom
69
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Bestimmung der sogenannten EINGEBAUTEN SPANNUNG 𝑈𝑏𝑖 :
𝑒𝑈𝑏𝑖 = (𝐸𝑖 − 𝜇ℎ ) + (𝜇𝑒 − 𝐸𝑖 )
𝑥 = +∞:
𝑛𝐷 = 𝑛𝑒 = 𝑛𝑖 𝑒
𝜇𝑒 −𝐸𝑖
𝑘𝐵 𝑇
𝑛𝐴 = 𝑛ℎ = 𝑛𝑖 𝑒
𝐸𝑖 −𝜇ℎ
𝑘𝐵 𝑇
𝑥 = −∞:
𝑛𝐷
)
𝑛𝑖
⇒{
𝑛𝐴
(𝐸𝑖 − 𝜇ℎ ) = 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ ln ( )
𝑛𝑖
(𝜇𝑒 − 𝐸𝑖 ) = 𝑘𝐵 𝑇 ⋅ ln (
⇒=
𝑘𝐵 𝑇
𝑛𝐷 ⋅ 𝑛𝐴
⋅ 𝑙𝑛 (
)
𝑒
𝑛𝑖2
=
̂ eingebauter Spannung
Grob gilt
𝑈𝑏𝑖 =
70
𝐸𝑔
𝑒
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Δ𝑥 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑝
=
̂ Breite der Verarmungszone
Idealisiert: „abrupt depletion layer approximation“
Lösung der Poissongleichung + Randbedingungen + Ladungsneutralität:
⇒ 𝛥𝑥 = √
BEISPIEL: 𝑛𝐴 = 𝑛𝐷 = 𝑛 ⇒ Δ𝑥 ∼
2𝜖0 𝜖 𝑛𝐴 + 𝑛𝐷
⋅
⋅ 𝑈𝑏𝑖
𝑒
𝑛𝐴 ⋅ 𝑛𝐷
1
√𝑛
d.h. Δ𝑥 wird mit steigender Dotierung kleiner
𝑛𝐴 = 𝑛𝐷 = 1018 𝑐𝑚−3
𝜖 = 12,6
𝑈𝑏𝑖 = 1𝑉
⇒ Δ𝑥 = 52𝑛𝑚
B) 𝑈 ≠ 0
𝑈>0 =
̂ „+ an p-Seite“ und „− an n-Seite“, d.h. bei fast gehaltener p-Seite (links) wird die n-Seite (rechts)
hochgezogen. =
̂ „Vorwärtsrichtung“
GRUNDPROBLEM DER BAUELEMENTSIMULATION:
KONTINUITÄTSGLEICHUNG:
𝑑𝑖𝑣 ⃗⃗⃗
𝑗𝑒 +
71
𝜕𝜌𝑒
=0
𝜕𝑡
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝑑𝑖𝑣 ⃗⃗⃗⃗
𝑗ℎ +
𝜕𝜌ℎ
=0
𝜕𝑡
? → Rekombination/Generation
⃗∇⃗ ⋅ 𝑗⃗ +
𝜕𝜌
= 0 ⇒ 𝑗⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
⏟
𝜕𝑡
=0
mit
=𝜇𝑒 −𝑒𝜙
𝑗𝑒 = 𝑒 ⋅
⃗⃗⃗
𝜂⏞𝑒
)
𝑒
⋅𝜇
̃𝑒 ⋅ ⃗∇⃗ (
𝑛
⏟𝑒
=𝑛𝑒 (𝜇𝑒 )
POISSON-GLEICHUNG:
△𝜙 =−
𝜌
𝜖0 𝜖
RANDBEDINGUNGEN:
−𝑒𝑈 = ⏟
𝜂𝑒 (−∞) − ⏟
𝜂𝑒 (+∞)
p
n
! Selbstkonsistente Lösung ! im Allgemeinen nicht analytisch exakt möglich.
QUALITATIV: 𝑈 > 0
72
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⃗⃗-RAUM:
IM 𝑘
BREITE DER VERARMUNGSZONE 𝛥𝑥:
ersetze 𝑈𝑏𝑖 → 𝑈𝑏𝑖 − 𝑈, ansonsten analog zu 𝑈 = 0
⇒ Δ𝑥 = √
2𝜖0 𝜖 𝑛𝐴 + 𝑛𝐷
⋅
⋅ (𝑈𝑏𝑖 − 𝑈)
𝑒
𝑛𝐴 ⋅ 𝑛𝐷
für 𝑈 < 𝑈𝑏𝑖 , sonst Diode „kaputt“
In Vorwärtsrichtung schrumpft die Verarmungszone.
Die Strom-Spannungskennlinie 𝑗(𝑈) folgt der Shockley-Diodenformel
𝑒𝑈
𝑗(𝑈) = 𝑗𝑠 (𝑒 𝜂𝑘𝐵𝑇 − 1)
mit dem „Idealitätsfaktor“ 𝜂 und der temperaturabhängigen Sättigungsstromdichte 𝑗𝑠 = 𝑗𝑠 (𝑇)


𝜂 = 1: keine Rekombination in Verarmungszone
𝜂 = 2: Rekombination in Verarmungszone dominiert
GRAFISCH:
Δ𝑈 = 26𝑚𝑉 @ 𝑇 = 300𝐾 ⇒ 𝑘𝐵 𝑇 = 26𝑚𝑒𝑉
𝜂=1
⇒
73
𝑗 → 𝑗 ⋅ 𝑒 = 𝑗 ⋅ 2,7
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.4 DER HALBLEITER-METALL-ÜBERGANG
VOR KONTAKT



𝑒𝜙𝑚 =
̂ Austrittsarbeit des Metalls
𝑒𝜙𝑠 =
̂ Austrittsarbeit des Halbleiters
𝑒𝜒𝑠 =
̂ Elektronenaffinität
A) EXTERNE SPANNUNG 𝑈 = 0
⇒ 𝜂𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
! Vakuumniveau stetig!
QUALITATIV:
74
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
mit der Barrierenhöhe 𝑒𝜙𝐵 = 𝑒(𝜙𝑚 − 𝜒𝑠 )
mit der eingebauten Spannung Ubi
𝑒𝑈𝐵𝑖 = 𝑒𝜙𝐵 + (𝜂𝑒 − 𝐸𝑐 )
mit der Schottky-Barriere eϕB
BREITE DER VERARMUNGSZONE 𝛥𝑥 (analog 𝑝 + 𝑛 Diode, d.h. 𝑛𝐴 ≫ 𝑛𝐷 )
Δ𝑥 = √
2𝜖0 𝜖
⋅ 𝑈𝑏𝑖
𝑒𝑛𝐷
B) 𝑈 ≠ 0
𝑈>0
75
𝑈<0
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
analog zum 𝑝𝑛-Übergang: 𝑈𝑏𝑖 → 𝑈𝑏𝑖 − 𝑈
⇒ Δ𝑥 = √
2𝜖0 𝜖
⋅ (𝑈𝑏𝑖 − 𝑈)
𝑒𝑛𝐷
STROM-SPANNUNGSKENNLINIE 𝑗(𝑈)
Beitrag der Löcher ist vernachlässigbar.
𝑗⃗ = ⃗⃗⃗
𝑗𝑒 + ⃗⃗⃗⃗
𝑗ℎ
Elektronen die aus dem Metall kommen sehen für 𝑈 = 0 und 𝑈 ≠ 0 die Potentialbarriere eϕB . Elektronen die
aus dem Halbleiter kommen sehen die Potentialbarriere (𝑒𝜙𝐵 − 𝑒𝑈).
𝑗 = 0 = 𝑗𝑒𝑚→𝑠 + 𝑗𝑒𝑠→𝑚
𝑈 = 0:
mit 𝑗𝑒𝑠→𝑚 = 𝑐 ⋅ 𝑛𝑒 , 𝑐: Proportionalitätskonstante und 𝑛𝑒 an Grenzfläche
und 𝑛𝑒 = 𝑛𝑖 𝑒
𝜇𝑒 −𝐸𝑖
𝑘𝐵 𝑇
=: 𝑛𝑐 𝑒
𝜇𝑒 −𝐸𝑐
𝑘𝐵 𝑇
⇒ 𝑗𝑒𝑠→𝑚
𝑒𝜙
− 𝐵
𝑈=0
− 𝑗𝑒𝑚→𝑠 = 𝑐𝑛𝑒 𝑒 𝑘𝐵 𝑇
=
𝑈 = 0 und 𝑈 ≠ 0
Der Strom 𝑗𝑒𝑠→𝑚 ist hingegen spannungsabhängig weil die Barriere = 𝑒𝜙𝐵 − 𝑒𝑈 ist.
⇒ 𝑗𝑒𝑠→𝑚 = 𝑐 ⋅ 𝑛𝑒 ⋅ 𝑒
mit der Sättigungsstromdichte 𝑗𝑠 ≔ 𝑐 ⋅ 𝑛𝑒 ⋅ 𝑒
−
𝑒𝜙𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝑒𝜙 −𝑒𝑈
− 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
folgt:
⇒ 𝑗 = 𝑗𝑒𝑚→𝑠 + 𝑗𝑒𝑠→𝑚 = 𝑗𝑠 (𝑒
+
𝑒𝑈
𝑘𝐵 𝑇
− 1)
Das reale Verhalten kommt diesem idealen Verhalten sehr nahe.
Für viele Anwendungen ist das Schottky-Verhalten 𝑗(𝑈) unerwünscht. Man möchte ohmsches Verhalten mit
kleinem spezifischem Widerstand 𝑅𝑐
𝑗=
mit Diodenformel für
𝑒𝑈
𝑘𝐵 𝑇
𝑈
; [𝑅𝐶 ] = Ω𝑚2
𝑅𝐶
≪1
⇒ 𝑅𝐶 ∼ 𝑒
𝑒𝜙
+ 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
d.h. man möchte kleinen Barrierenhöhen 𝜙𝐵 . Wählt man weiterhin hohe 𝑛-Dotierung wird Δ𝑥 klein (Δ𝑥 ∼
und quantenmechanisches Tunneln wird möglich.
Oft Metall-𝑛+ -𝑛 Kontakt
76
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
1
√𝑁𝐷
)
77
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.5 HALBLEITER-SOLARZELLEN
mit Einstrahlen von Licht
=
̂ Vorwärtsrichtung, 𝑈 > 0
Bei konstanter Beleuchtung ergibt sich bei offenen Klemmen („open circuit“, oc) die Spannung 𝑈𝑜𝑐 . Schließt
man den 𝑝𝑛-Übergang kurz („short circuit“, sc), d.h. 𝑈 = 0, ergibt sich der Kurzschlussstrom 𝐼𝑠𝑐 . In beiden
Fällen ist die dissipierte Leistung 𝑃 = 𝐼 ⋅ 𝑈 = 0
=
̂
KNOTENREGEL:
𝐼𝐿 = 𝐼𝑝𝑛 (𝑈) + 𝐼 = 𝐼𝑝𝑛 (𝑈) +
⇒ 𝐼𝑝𝑛 (𝑈) − 𝐼𝐿 = −
78
𝑈
𝑅
𝑈
𝑅
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Wäre die Kennlinie rechteckig, so könnte die Leistung
𝑃 = 𝑈𝑜𝑐 ⋅ 𝐼𝑠𝑐
entnommen werden. Für einen bestimmten Verbraucher 𝑅 resultiert die maximale Leistung
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 ⋅ 𝐼𝑚𝑎𝑥
Die Konversionseffizienz reduziert sich also um den „Füllfaktor“ 𝐹𝐹
𝐹𝐹 ≔
𝑈𝑚𝑎𝑥 ⋅ 𝐼𝑚𝑎𝑥
𝑈𝑜𝑐 ⋅ 𝐼𝑠𝑐
Für eine ideale Solarzelle (keine parasitären Kontaktwiderstände) gilt typischerweise
𝐹𝐹 = 0,8 − 0,9
Der Gesamtwirkungsgrad 𝜂 der Solarzelle lässt sich darstellen wie
𝜂 = 𝜂𝑎𝑏𝑠 ⋅ 𝜂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 ⋅ 𝜂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠𝑐ℎ ⋅ 𝐹𝐹
Für eine gute 𝑆𝑖-Solarzelle gilt
𝜂 = 0,74 ⋅ 0,67 ⋅ 0,64 ⋅ 0,89 = 0,28 = 28%
79
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
-
-
Der Absorptionswirkungsgrad 𝜂𝑎𝑏𝑠 beschreibt, dass nicht jedes Photon absorbiert wird (nur ℏ𝜔 ≥ 𝐸𝑔 ).
Bemerkung: Für 𝜂𝑎𝑏𝑠 = 1 möchte man 𝐸𝑔 = 0.
Der Thermalisierungswirkungsgrad 𝜂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙 beschreibt, dass die 𝑒 − und ℎ bei ihrer Thermalisierung
Energie abgeben an das Kristallgitter (Phononen).
Bemerkung: Für 𝜂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙 möchte man ℏ𝜔 = 𝐸𝑔 also großes 𝐸𝑔 → Widerspruch 𝜂𝑎𝑏𝑠 = 1 ⇒ ∃
optimales 𝐸𝑔 (nahe 𝑆𝑖).
Der thermodynamische Wirkungsgrad 𝜂𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜 beschreibt, dass nicht die gesamte (verbliebene)
Elektronenenergie in Form von chemischer Energie = −𝑒𝑈𝑜𝑐 zur Verfügung steht.
Der Füllfaktor 𝐹𝐹 beschreibt, dass auf Grund der Form der Diodenkennlinien nicht die gesamte
chemische Energie in elektrisch nutzbare Leistung umgewandelt werden kann.
80
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.6 KOHÄRENTER TRANSPORT
Zur Erinnerung: Boltzmann-Transport
freie Weglänge ≪ Bauelementabmessung 𝐿
„MESOSKOPISCHER TRANSPORT“:
Gitterkonstante 𝑎 ≪ 𝐿 ≪ freie Weglänge
NÄHERUNG: Streuung vernachlässigen
⇒ Teilchen bewegen sich gemäß der Schrödingergleichung. Aber! Messung des Stroms zerstört Kohärenz!
Widerspruch?
Quantenmechanischer Transmissionskoeffizient
Kontakte mit Fermiverteilungsfunktion 𝑓𝑒𝐿 und 𝑓𝑒𝑅
Strom von links nach rechts (𝑘𝑧 ≥ 0)

⃗⃗)I ⋅ 𝑇(𝑘
⃗⃗ )
∼ 𝑓𝑒𝐿 (𝑘

Strom von rechts nach links
⃗⃗) ⋅ 𝑇(𝑘
⃗⃗)
∼ 𝑓𝑒𝑅 (𝑘
Folglich:
𝑒
⃗⃗) ⋅ 𝑇(𝑘
⃗⃗ ) + ∑ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗) ⋅ 𝑇(𝑘
⃗⃗))
𝑗𝑒 = − ( ∑ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑣𝑒 ⋅ 𝑓𝑒𝐿 (𝑘
𝑣𝑒 ⋅ 𝑓𝑒𝑅 (𝑘
𝑉
⃗⃗ ,𝑘𝑧 ≥0,𝜎
𝑘
⃗⃗ ,𝑘𝑧 ≤0,𝜎
𝑘
⃗⃗) = 𝑇(𝑘𝑧 )
Für effektive 1𝐷-Probleme gilt 𝑇(𝑘
⃗⃗ = 0 gilt 𝑇(𝑘𝑧 ) = 𝑇(−𝑘𝑧 )
Für Bauelemente mit 2 Kontakten und für 𝐵
⇒ ⃗⃗⃗
𝑗𝑒 = −
𝑒
⃗⃗ ) − 𝑓𝑒𝑅 (𝑘
⃗⃗)) ⋅ 𝑇(𝑘
⃗⃗)
∑ ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑒 ⋅ (𝑓𝑒𝐿 (𝑘
𝑉
⃗⃗ ,𝑘𝑧 ≥0,𝜎
𝑘
𝑒
⃗⃗ )
𝑗𝑒 = − ∑ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑣𝑒 ⋅ 𝑓𝑒 (𝑘
𝑉
⃗⃗ ,𝜎
𝑘
I
besetzter Anfangszustand
81
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Beispiel: dünner Draht zwischen zwei Kontakten
̂=
Hamilton-Operator 𝐻
𝑝̂⃗2
2𝑚
+ 𝑉𝑥 (𝑥) + 𝑉𝑦 (𝑦)
Es bleibt eine freie 1𝐷-Bewegung in 𝑧-Richtung mit der Energie 𝐸𝑧 . 𝐸 sie die Gesamtenergie. ⃗⃗⃗
𝑗𝑒 hat nur
Komponenten ≠ 0 in 𝑧-Richtung:
𝑗𝑒2 = −
𝑒
⃗⃗ ) − 𝑓𝑒𝑅 (𝑘
⃗⃗ )) ⋅
⋅ ∑ ∑ 𝑣𝑒2 (𝑓𝑒𝐿 (𝑘
𝑉
𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧 ≥0,𝜎
Annahme∶=1
mit Spin
∞
=−
𝑒
1 ⏞
⋅ ∑ ∫
⋅⏟
𝐷𝑒 (𝐸𝑧 ) ⋅ 𝑉𝑒𝑧 (𝐸𝑧 ) ⋅ (𝑓𝑒𝐿 (𝐸) − 𝑓𝑒𝑅 (𝐸)) ⋅ 𝑑𝐸𝑧
⏟
𝑉
2
1
𝑘𝑥 ,𝑘𝑦 0
𝑘𝑧 ≥0
mit 𝐷𝑒 (𝐸𝑧 ) =
𝐿𝑧 ⋅2√2𝑚
ℎ⋅√𝐸𝑧
⃗⃗ )
𝑇(𝑘
⏟
sowie 𝐸𝑙 = 0 und 𝑉𝑒𝑧 (𝐸𝑧 ) = √
1:
2𝐸𝑧
𝑚
𝐷𝑒 (𝐸𝑧 ) ⋅ 𝑉𝑒𝑧 (𝐸𝑧 ) =
4𝐿𝑧
ℎ
! Keine Funktion von Materialparametern
Im Limes tiefer Temperaturen werden die Fermi-Verteilungsfunktionen Sprungfunktionen mit
𝑓𝑒𝐿 (𝐸) = 𝜃(𝜂𝑒𝐿 − 𝐸)
82
𝑓𝑒𝑅 (𝐸) = 𝜃(𝜂𝑒𝑅 − 𝐸)
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
(𝜂𝑒𝐿 − 𝜂𝑒𝑅 ) ≪ Subbandabstand, d.h. kleine 𝑈
∑𝑘𝑥𝑘𝑦 (𝑓𝑒𝐿 − 𝑓𝑒𝑅 ) =: 𝑁 =
̂ Anzahl der beitragenden Subbänder
𝑒 1 4𝐿𝑧
𝑗𝑒𝑧 = − ⋅ ⋅
⋅𝑁⋅
𝑉 2 ℎ
𝜂𝑒𝐿
∫ 𝑑𝐸𝑧
𝜂
⏟𝑒𝑅
𝜂𝑒𝐿 −𝜂𝑒𝑅 =−𝑒𝑈
mit dem Strom 𝐼 = 𝐿𝑥 𝐿𝑦 ⋅ 𝑗𝑒𝑧 und 𝑉 = 𝐿𝑥 𝐿𝑦 𝐿𝑧
𝑆𝑝𝑖𝑛𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑡𝑢𝑛𝑔
⇒𝐼=
⏟
⏞
2
⋅
𝑒2
⋅𝑁⋅𝑈
ℎ
𝑁∈ℕ
1
= =𝐺 =
̂ 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑤𝑒𝑟𝑡
𝑅
⇒ Leitwert ist quantisiert
𝑒2
≈ (25,8128 … 𝑘Ω)−1
ℎ
⇒ Jedes Subband trägt
83
𝑒2
ℎ
zum Leitwert bei
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
84
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
5.7 QUANTEN-HALL-EFFEKT
2𝐷 Elektronengas wie in Kapitel 5.6
Seitenansicht:
Aufsicht (schematisch):
Zur Erinnerung: klassischer Hall-Effekt
𝑈𝐻 =
mit der Flächenladungsdichte 𝑛𝑒2𝐷 mit [𝑛𝑒2𝐷 ] =
𝐵
⋅ 𝐼 =: 𝑅𝐻 ⋅ 𝐼
𝑒𝑛𝑒2𝐷
12
𝑚
⇒ 𝑅𝐻 =
𝐵
2𝑛𝑒2𝐷
In Hochreinen Proben, bei tiefen Temperaturen und hohen Magnetfelden beobachtet man
𝑅𝐻 =
ℎ 1
⋅
⏟
𝑒2 𝑉
→5.6
wobei gilt:

𝑉 = 𝑁 ∈ ℕ bei normalem Quanten-Hall-Effekt

𝑉=
𝑁
𝑀
mit 𝑁, 𝑀 ∈ ℕ bei fraktionalem Quanten-Hall-Effekt
Die Modulationsdotierung reduziert Stöße mit Donatorrümpfen. Es bleibt aber ein Unordnungspotential durch
die langreichweiten Coulomb-Wechselwirkung
85
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⇒ kein Transport „im Vakuum“.
ZYKLOTRONRADIUS DES 1. LANDAU-NIVEAUS:
𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝜔𝑐 × 𝑟⃗ ⇒ 𝑣 = 𝜔𝑐 ⋅ 𝑟
kinetische Energie:
1
1
𝑚𝐷2 = ℏ𝜔𝑐
2
2
⇒𝑣=√
⇒√
ℏ𝜔𝑐
𝑚
= 𝜔𝑐 ⋅ 𝑟𝑐 mit 𝜔𝑐 =
ℏ𝜔𝑐
𝑚
𝑒𝐵
𝑚
⇒ 𝑟𝑐 = √
ℏ
𝑒𝐵
BEISPIEL: 𝐵 = 10𝑇
⇒ 𝑟𝑐 = 8𝑛𝑚
≪ 100𝜇𝑚 − 1𝑚𝑚 typische Bauelementabmessungen
In y-Richtung Quantisierung durch Heterostruktur, lateral durch Landau-Niveaus.
Quantenmechanisch entspricht dies einer bestimmten Zahl von Randkanälen 𝑁 ∈ ℕ.
86
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
! Rückstreuung wird durch große Separation der Randkanäle stark unterdrückt!
! Spin-Entartung wird durch den Zeeman-Effekt aufgehoben!
ZUR ERINNERUNG: (KAPITEL 4.7)
In 2𝐷 hat jedes Landau-Niveau
𝐿2 ⋅ 2I ⋅
𝑒𝐵
ℎ
Zustände
ELEKTRONENDICHTE IN 2𝐷:
𝑛𝑒2𝐷 = 𝜈 ⋅
𝑒𝐵
ℎ
mit dem Füllfaktor 𝜈 und dem klassischen Hall-Widerstand:
𝑅𝐻 =
𝐵
ℎ 1
ℎ 1
=
⋅ =
⋅
𝑒𝑛𝑒2𝐷 𝑒 2 𝜈 𝑒 2 𝑁
Die quantisierten Werte entsprechen also vollständig gefüllten Landau-Niveaus ⇔ 𝜈 ∈ ℕ
I
durch Spin-Entartung
87
5. Halbleiter und Isolatoren | Moderne Experimentalphysik II - Optik
6. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN
6.1 EINFÜHRUNG
MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN
⃗⃗ = 𝜇0 (𝐻
⃗⃗ + 𝑀
⃗⃗⃗)
𝐵
⃗⃗⃗
mit der Magnetisierung 𝑀
[𝑀] =
magnetisches Dipolmoment 𝐴𝑚2 𝐴
= 3 =
Volumen
𝑚
𝑚
⃗⃗⃗ hängt von 𝐵
⃗⃗ bzw. 𝐻
⃗⃗ ab. Im einfachsten Fall ist 𝑀
⃗⃗⃗ proportional
𝑀
⃗⃗⃗ = 𝜒𝐻
⃗⃗
𝑀
mit der magnetischen Susziptibilität 𝜒, [𝜒] = 1
⃗⃗ = 𝜇0 ⋅ (𝐻
⃗⃗ + 𝜒𝐻
⃗⃗) = 𝜇0 (1 + 𝜒)𝐻
⃗⃗ =: 𝜇0 𝜇𝐻
⃗⃗
⇒𝐵
6.2 PARA- UND DIAMAGNETISMUS
Ein klassischer Drehimpuls 𝐿⃗⃗ ist mit einem magnetischen Moment 𝜇⃗ verknüpft (siehe Moderne Physik I)
𝜇⃗ = −
𝑒
𝐿⃗⃗
⋅ 𝐿⃗⃗ =: −𝑔 ⋅ 𝜇𝐵 ⋅
2𝑚
ℏ
mit dem 𝑔-Faktor 𝑔 = 1 und dem Bohrschen Magneton 𝜇𝐵
𝜇𝐵 =
𝑒⋅ℏ
2𝑚
⃗⃗-Feld ∥ ⃗⃗⃗⃗
Die Energie des magnetischen Moments 𝜇⃗ im 𝐵
𝑒̂𝑧
⃗⃗
𝐸 = −𝜇⃗ ⋅ 𝐵
quantenmechanisch ist die 𝑧-Komponente des Drehimpulses quantisiert
𝐿𝑧 = 𝑚 ⋅ ℏ
𝑚 = −𝑙, … ,0, … , +𝑙
damit wird
𝜇𝑧 = −𝑔 ⋅ 𝜇𝐵 ⋅ 𝑚
Für den quantenmechanischen Spin 𝑆⃗ ist es ähnlich
𝜇⃗ = − 𝑔
⏟ ⋅ 𝜇𝐵 ⋅
=2
𝑆⃗
ℏ
1
⇒ 𝜇𝑧 = −𝑔 ⋅ 𝜇𝐵 ⋅ (± )
2
88
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Hier gibt es nur zwei Einstellmöglichkeiten, nämlich ↑ und ↓ mit Energie
𝐸 = ±𝜇𝐵 ⋅ 𝐵
𝑁 sei die Gesamtzahl der Spins im Volumen 𝑉, 𝑁↑ sei die Zahl der Spins ↑ (magnetisches Moment ↓), 𝑁↓ sei die
Zahl der Spins ↓ (magnetisches Moment ↑).
Wir betrachten zunächst Elektronenspins in tief liegenden Orbitalen, d.h. große effektive Masse ⇒ klassisches
Verhalten ⇒ Boltzmann-Statistik
𝑒
𝑁↓
=
𝑁
𝑒
𝑒
𝐸
𝑘𝐵 𝑇
−
=
̂ Boltzmann-Faktor
𝜇 ⋅𝐵
+ 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝜇 ⋅𝐵
+ 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
+𝑒
𝑁↑
=
𝑁
𝜇 ⋅𝐵
− 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
⇒ 𝑀𝑧 = 𝑀 =
⇒𝑀=
Betrachte Limes
𝜇𝐵 ⋅𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝑒
𝑒
𝜇 ⋅𝐵
− 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝜇 ⋅𝐵
+ 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
+𝑒
𝜇 ⋅𝐵
− 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝑁↓ − 𝑁↑
⋅ 𝜇𝐵
𝑉
𝑁
𝜇𝐵 ⋅ 𝐵
⋅ 𝜇 ⋅ tanh (
)
𝑉 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
≪ 1 ⇒ tanh(𝑥) ≈ 𝑥
⇒𝑀=
𝑁
𝜇𝐵 ⋅ 𝐵
1
𝜇 ⋅
=: 𝜒 ⋅ 𝐵
𝑉 𝐵 𝑘𝐵 𝑇
𝜇0
𝜒 = 𝜇0 ⋅
𝑁 𝜇𝐵2
𝐶I
⋅
=:
𝑉 𝑘𝐵 𝑇
𝑇
Curie-Gesetz
I
𝐶: Curie-Konstante
89
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Betrachte jetzt Elektronenspins der Leitungsbandelektronen (z.B. in einem Metall). Hier kommt die FermiStatistik zum Tragen.
𝐵 = 0: (siehe Kapitel 4.1)
∞
𝑁𝑒 = ∫ 𝑓(𝐸) ⋅ 𝐷(𝐸)𝑑𝐸 = 𝑁↓ + 𝑁↑
0
𝐵 ≠ 0:
1
𝑁↓ = I
2
∞
∫ 𝑓(𝐸) ⋅ 𝐷(𝐸 + 𝜇𝐵 ⋅ 𝐵)𝑑𝐸
−𝜇𝐵 ⋅𝐵
KURZE ZUSAMMENFASSUNG:
𝜇⃗ = −
𝑒
𝐿⃗⃗
⋅ 𝐿⃗⃗ = −𝑔 ⋅ 𝜇𝐵 ⋅
2𝑚
ℏ
𝜇𝐵 =
𝑒⋅ℏ
2𝑚
⃗⃗
𝜖 = −𝜇⃗ ⋅ 𝐵
Spin
𝜖 = ±𝜇𝐵 ⋅ 𝐵
⃗⃗⃗ = 𝜒 ⋅ 𝐵
⃗⃗
𝑀
𝜒=
𝐶
𝑇
𝐶 = 𝜇𝐵 ⋅
𝑁 𝜇𝐵2
⋅
𝑉 𝑘𝐵 𝑇
PARAMAGNETISMUS 𝜒 > 0
𝜇 = (1 + 𝜒) ⇒ 𝐵 = 𝜇0 ⋅ 𝜇 ⋅ 𝐻
I
𝜇>1
da wir den Spin mit in 𝐷(𝐸) definiert hatten
90
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
NÄHERUNG: 𝜖𝐹 ≫ 𝑘𝐵 𝑇 ⇒ „tiefe“ Temperaturen =
̂ Raumtemperatur
𝜖𝐹
𝜖𝐹 +𝜇𝐵 𝐵
1
1
𝑁↓ ≈
∫ 𝐷 (𝜖⏟+ 𝜇𝐵 𝐵 ) 𝑑𝜖 =
∫
2
2
−𝜇𝐵
=:𝜖̃
0
𝜖𝐹
𝜖𝐹 +𝜇𝐵 𝐵
0
∫
⏟𝜖𝐹
1
𝐷(𝜖̃)𝑑𝜖̃ =
∫ 𝐷(𝜖̃)𝑑𝜖̃ +
2
(
𝐷(𝜖̃)𝑑𝜖̃
𝐷(𝜖𝐹 )⋅𝜇𝐵 ⋅𝐵
)
analog 𝑁↑ :
𝜖𝐹
1
𝑁↑ ≈
∫ 𝐷(𝜖̃)𝑑𝜖̃ −
2
0
𝜖𝐹
∫ 𝐷(𝜖̃)𝑑𝜖̃
𝜖𝐹 −𝜇𝐵 𝐵
⏟
(
𝐷(𝜖𝐹 )⋅𝜇𝐵 ⋅𝐵
𝑀𝑍 = 𝑀 =
3
𝑁𝑒
2
𝜖𝐹
und mit 𝐷(𝜖𝐹 ) = ⋅
)
𝑁↓ − 𝑁↑
𝜇𝐵2 𝐷(𝜖𝐹 )
⋅ 𝜇𝐵 =
⋅𝐵
𝑉
𝑉
(Kapitel 4.3) sowie 𝑘𝐵 𝑇𝐹 ≔ 𝜖𝐹
𝑁 2
⋅𝜇
𝑉 𝐵⋅𝐵 = 1 ⋅𝜒⋅𝐵
⇒𝑀=
2𝑘𝐵 𝑇𝐹
𝜇0
3⋅
folgt die Suszeptibilität χ:
𝑁 2
⋅𝜇
𝑉 𝐵
𝜒 = 𝜇0 ⋅
2𝑘𝐵 𝑇𝐹
3⋅
Betrachte jetzt Diamagnetismus auf Grund des Bahndrehimpulses (nach klassischer Physik)
⃗⃗
𝐿⃗⃗̇ = 𝜇⃗ × 𝐵
Analog zum Kreisel resultiert eine Präzessionsbewegung mit der Präzessionsfrequenz bzw. Lamorfrequenz ωL
𝜔𝐿 =
91
|𝐿⃗⃗̇|
|𝐿⃗⃗| ⋅ sin 𝛼
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝐿⃗⃗ ∥ −𝜇⃗
𝑒ℏ
⃗⃗|
|𝜇⃗| ⋅ 𝐵 ⋅ sin 𝛼 𝜇𝐵
|𝜇⃗ × 𝐵
2𝑚
⇒ 𝜔𝐿 =
=
=
⋅𝐵 =
⋅𝐵
ℏ
ℏ
|𝐿⃗⃗| ⋅ sin 𝛼
|𝐿⃗⃗| ⋅ sin 𝛼
⇒ 𝜔𝐿 =
𝑒⋅𝐵
2𝑚
Lamorfrequenz
! Präzessionsbewegung ist für 𝐿⃗⃗ und −𝐿⃗⃗ gleich!
ANNAHMEN:



Atom habe abgeschlossene Schalen (⇒ kein Paramagnetismus)
𝜔𝐿 sei klein im Vergleich zur „Orbitalbewegung“
𝑍 sei die Kernladungszahl
𝐼=
Ladung
𝑍⋅𝑒
𝑍 ⋅ 𝑒2 ⋅ 𝐵
=−
=−
2𝜋
Zeiteinheit
4⋅𝜋⋅𝑚
𝜔𝐿
𝜇 = Strom × Fläche
⃗⃗ ∥ ⃗⃗⃗⃗
(𝐵
𝑒̂𝑧 )
= 𝐼 ⋅ 𝜋 ⋅ ⟨𝑥 2 + 𝑦 2 ⟩
mit ⟨𝑥 2 + 𝑦 2 ⟩ = ⟨𝑥 2 ⟩ + ⟨𝑦 2 ⟩ = 2⟨𝑥 2 ⟩ und ⟨𝑟 2 ⟩ = ⟨𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ⟩ = 3⟨𝑥 2 ⟩ folgt
⇒𝜇=−
𝑍 ⋅ 𝑒2 ⋅ 𝐵 2
⋅ ⋅ ⟨𝑟 2 ⟩
4𝑚
3
Damit wird die Magnetisierung
𝑀=
𝑁
𝑁 𝑍𝑒 2
⋅𝜇 =− ⋅
⋅ 𝐵 ⋅ ⟨𝑟 2 ⟩
𝑉
𝑉 6𝑚
=
⇒𝜒=−
1
⋅𝜒⋅𝐵
𝜇0
𝜇0 ⋅
𝑁
⋅ 𝑍𝑒 2
𝑉
⋅ ⟨𝑟 2 ⟩
6𝑚
Langevin-Diamagnetismus
92
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Diamagnetismus tritt in allen Festkörpern auf, er ist jedoch sehr schwach. Falls paramagnetische Beiträge
existieren, dominieren dies in der Regel.
ZUSAMMENFASSUNG 6.2
93
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
6.3 FERRO- UND ANTIFERROMAGNETISMUS
⃗⃗ = 0 ⇔ 𝑀
⃗⃗⃗ = 0
Beim Paramagnetismus und Diamagnetismus galt 𝐵
⃗⃗⃗ ≠ 0 für 𝐵
⃗⃗ = 0, d.h. spontane Magnetisierung
? ∃𝑀
ANSCHAULICH:
Ein Spin erzeugt Magnetfeld ↷ anderer Spin wird ausgerichtet ↷ dieser erzeugt seinerseits Magnetfeld,…
HEURISTISCHER ANSATZ:
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵
𝐵0 I + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐿 II
⃗⃗⃗
mit 𝐵𝐿⃗⃗ = 𝜆𝑀
⃗⃗⃗ = 1 ⋅ 𝜒̃III ⋅ 𝐵
⃗⃗
1) hohe Temperaturen, D.H. 𝜇𝐵 𝐵 ≪ 𝑘𝐵 𝑇 ⇒ 𝑀
𝜇
0
⃗⃗⃗ =
⇔𝑀
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗0 + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗0 + 𝜆 ⋅ 𝑀
⃗⃗⃗)
⋅ 𝜒̃ ⋅ (𝐵
𝐵𝐿 ) =
⋅ 𝜒̃ ⋅ (𝐵
𝜇0
𝜇0
1
⋅ 𝜒̃ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵0
𝜇
0
⃗⃗⃗
⇔𝑀=
𝜒̃
1−𝜆⋅
𝜇0
𝐶2
𝑀
𝜒̃
𝐶2
𝐶
𝑇
⇒ 𝜒 = 𝜇0 ⋅
=
=
=
=:
2
𝜆
𝜆 𝐶
𝐵0 1 − 𝜆 ⋅ 𝜒̃
𝑇
−
𝑇𝐶
𝑇−
𝜇𝐵 1 − 𝜇𝐵 ⋅ 𝑇
𝜇0
𝜒=
𝐶
𝑇 − 𝑇𝐶
𝑇𝐶 =
𝜆
⋅𝐶
𝜇𝐵
Curie-Weiß-Gesetz
Genauere Rechnungen für Temperaturen nahe 𝑇𝐶 ergeben:
𝜒∼
1
(𝑇 − 𝑇𝐶 )1,33
I
externes Feld
internes Feld, „Lokalfeld“, „Molekularfeld“
III
paramagnetische Suszeptibilität (ohne Lokalfeld)
II
94
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
In der Molekularfeldtheorie erhält man
𝜆=
𝑇𝐶
3𝑘𝐵 𝑇
=
2
𝐶
𝑁𝑔 ⋅ 𝑆(𝑆 + 1) ⋅ 𝜇𝐵2
BEISPIEL: Eisen
𝑇𝐶 =
̃ 1000𝐾
𝑔=2
𝑆=1
⇒𝜆 =
̃ 5000
Sättigungsmagnetisierung: 𝑀𝑆 ≈ 0,17𝑇
⇒ 𝐵𝐿 ≈ 103 𝑇
Das Lokalfeld 𝐵𝐿 ist sehr viel stärker als das tatsächliche Feld von den magnetischen Atomen im Kristall. Das
⃗⃗⃗⃗𝑖 und 𝑆
⃗⃗⃗⃗𝑗 aufgefasst
Lokalfeld kann näherungsweise als Folge der Austauschwechselwirkung benachbarter Spins 𝑆
werden.
ENERGIETERM: (Heisenberg-Modell)
𝑈 = −2𝐽 ⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑆𝑖 ⋅ ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑗
mit dem Austauschintegral 𝐽 (Überlapp der Ladungsverteilungen)
Die Ladungsverteilung(Ortswellenfunktion²) hängt von der Orientierung der Spins zueinander ab.
TEMPERATURABHÄNGIGKEIT DER SÄTTIGUNGSMAGNETISIERUNG
𝜇 0 𝐵 ⇒ 𝑘𝐵 𝑇
1
⃗⃗⃗ ≈ 𝜒𝐵
⃗⃗ nicht mehr möglich, daher vollständig (𝑠 = )
Näherung 𝑀
2
𝑀=
⃗⃗ = 𝜆𝑀
⃗⃗⃗. Setze 𝑚 =
A) 𝐵0 = 0 ⇒ 𝐵
𝜇𝐵
𝑁
𝑁
𝜇𝐵 𝐵
⋅ 𝜇𝐵 ⋅ tanh (
)
𝑉
𝑘𝐵 𝑇
⋅ 𝑀 und 𝑡 =
𝑘𝐵
2𝜆
𝑁𝜇𝐵
⋅ 𝑇:
𝑚
⇒ 𝑚 = tanh ( )
𝑡
GRAFISCHE LÖSUNG:
95
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Bei Steigung > 1 ist 𝑚 = 0 eine instabile Lösung (Banachscher Fixpunktsatz).
Temperaturabhängigkeit (𝐵0 = 0)
Phasenübergang 2. Ordnung beim Übergang ferromagnetisch/paramagnetisch.
b) 𝐵0 ≠ 0. Setze 𝑏 =
𝜇𝐵
𝑁
⋅ 𝐵0
⇒ 𝑚 = tanh (
𝑚+𝑏
)
𝑡
GRAFISCHE LÖSUNG:
96
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
IM EXPERIMENT:
Aufzuwendende Energie pro Zyklus ist proportional zur eingeschlossenen Fläche der Hysterese.
FERROMAGNETISCHE DOMÄNEN
Die gesamte Magnetisierung ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑔𝑒𝑠 setzt sich zusammen aus einer Anzahl kleiner Bereiche (Domänen, Weißsche
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bezirke), innerhalb derer die lokale Magnetisierung 𝑀
𝑙𝑜𝑘 gesättigt ist. Die Richtungen von 𝑀𝑙𝑜𝑘 verschiedener
Domänen müssen nicht parallel sein.
Zwei Mechanismen der Zunahme von ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑔𝑒𝑠 :


𝐵0 klein: Volumen „günstig“ orientierter Domänen wächst auf Kosten „ungünstig“ orientierter
Domänen (Wandverschiebungen).
𝐵0 groß: Magnetisierung dreht sich innerhalb einer Domäne.
97
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
ANTIFERROMAGNETISMUS
Austauschwechselwirkung bevorzugt antiparallele Orientierung benachbarter Spins
𝜆<0
Austauschintegral
𝐽>0
↑↑↑↑
Ferromagnetismus
𝐽<0
↑↓↑↓
Antiferromagnetismus
1) HOHE TEMPERATUREN, 𝜇𝐵 𝐵 ≪ 𝑘𝐵 𝑇
wie gehabt:
𝜒=
𝐶
𝜆
𝑇− 𝐶
⏟𝜇0
>0
𝜒=
𝐶
𝑇 + 𝑇𝑁
𝑇𝑁 = −
𝜆
⋅𝐶
𝜇0
Néel-Temperatur
98
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
2) „TIEFE“ TEMPERATUREN, 𝜇𝐵 𝐵 ≥ 𝑘𝐵 𝑇
wie gehabt (𝐵0 = 0)
𝑀=
𝑁
𝜇𝐵
𝜇 ⋅ tanh (
⋅ 𝜆 ⋅ 𝑀)
𝑉 𝐵
𝑘𝐵 𝑇
𝑚
⇒ 𝑚 = − tanh ( )
|𝑡|
Bei welcher Temperatur findet der Phasenübergang statt?
|𝑡| = 1
⇒𝑀=−
𝑁 𝜇𝐵2 𝜆
⋅
⋅ ⋅𝑀
𝑉
⏟ 𝑘𝐵 𝑇
𝐶
𝑇
⇒𝑇=−
𝐶⋅𝜆
= 𝑇𝑁
𝜇𝐵
ZUSAMMENFASSUNG
Paramagnetismus
99
Ferromagnetismus
Antiferromagnetismus
6. Magnetische Eigenschaften | Moderne Experimentalphysik II - Optik
7. SUPRALEITUNG
W. Buckel: Supraleitung; Wiley-VCK 2004, 6. Auflage
7.1 EXPERIMENTELLE EVIDENZEN
- ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT
ERWARTUNG: Bei tiefen Temperaturen „frieren“ die Schwingungsfreiheitsgrade des Gitters ein, wodurch die
Streuung der Elektronen an Phononen stark abnimmt, 𝜌(𝑇) ∼ 𝑇 5 . Es verbleibt ein Restwiderstand durch
Verunreinigungen und Fehlstellen.
BEOBACHTUNG (KAMERLINGH-ONNES, 1911):
Der elektrische Widerstand 𝜌 = 𝜎 −1 von vielen Metallen und Legierungen verschwindet sprunghaft unterhalb
einer kritischen Temperatur 𝑇𝐶 .
𝑇 > 𝑇𝐶 : Ring normalleitend
𝑇 < 𝑇𝐶 : Magnet wird herausgezogen und induziert
Strom
𝑅
𝐼(𝑡) = 𝐼0 ⋅ 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡
100
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
ERGEBNIS: Widerstand sinkt bei 𝑇𝑆 um mindestens 14 Größenordnungen!
- SUPRALEITER SIND IDEALE DIAMAGNETEN, D.H. Χ = −1
VORSTELLUNG: Vorhandene Magnetfelder werden beim Übergang in den supraleitenden Zustand
„eingefroren“. FALSCH!
- MEIßNER-OCHSENFELD-EFFEKT (1933)
Bei Abkühlung unter 𝑇𝑆 werden vorhandene 𝐵-Felder aus dem Inneren des Supraleiters verdrängt.
𝑇 > 𝑇𝐶
𝑇 < 𝑇𝐶
⇒ Das Ohmsche Gesetz ist nicht mehr gültig!
Beweis: Supraleiter sei ein idealer Leiter mit 𝑗⃗ = 𝜎 ⋅ 𝐸⃗⃗ mit 𝜎 → ∞
𝑗 𝑒𝑛𝑑𝑙𝑖𝑐ℎ
⇒
⃗⃗×𝐸⃗⃗=−𝐵
⃗⃗̇
∇
⇒
𝐸⃗⃗ = 0
⃗⃗̇ = 0 ⇒ 𝐵
⃗⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (im Supraleiter)
𝐵
Experiment
- ES EXISTIEREN SUPRALEITER 1. ART UND 2. ART
Oberhalb einer kritischen Magnetfeldstärke 𝐻𝐶 (𝑇) bricht die Supraleitung zusammen.
Supraleiter 1. Art
101
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
Supraleiter 2.Art
Einzelne Flusslinien des angelegten 𝐵-Feldes durchdringen den Supraleiter für 𝐻𝐶2 > 𝐻 > 𝐻𝐶1 . Längs dieser
Linien ist die Supraleitung aufgehoben (Flussschläuche). Zwischen 𝐻𝐶1 und 𝐻𝐶2 wächst die Zahl der
Flussschläuche bis für 𝐻 > 𝐻𝐶2 keine Supraleitung mehr existiert (Shubikov-Phase). Jeder Flussschlauch ist mit
einem elementaren Flussquant von
𝜙0 = 2,07 ⋅ 10−15 𝑇𝑚2 =
ℎ
2𝑒
verknüpft!
⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑓⃗ DURCH EINEN „DICKEN“ SUPRALEITENDEN RING IST
- DER MAGNETISCHE FLUSS 𝜙 = ∫𝑇 𝐵
QUANTISIERT
𝜙 =𝐿⋅𝐼
𝜙 = 𝑛 ⋅ ϕ0
mit 𝜙0 =
ℎ
2𝑒
n∈ℤ
(Fluxoid)
Hinweis auf makroskopische Wellenfunktion in der Paare von 𝑒 − eine Rolle spielen!
- ISOTOPENEFFEKT
Die Sprungtemperatur 𝑇𝐶 hängt von der Kernmasse der Gitteratome ab.
𝑇𝐶 ∼
1
√𝑀
Folgerung: Kopplung an Phononen spielt eine wichtige Rolle.
102
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
7.2 THEORETISCHE ANSÄTZE
Schlussfolgerung aus der Quantisierung des Magnetischen Flusses:
⃗⃗ erfüllt Quantisierungsbedingung.
IDEE: makroskopische Wellenfunktion (kohärent) mit Wellenvektor 𝑘
⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
𝑘
𝑛 ⋅ 2𝜋 = ∮
𝑅𝑖𝑛𝑔
KANONISCHER IMPULS:
⃗⃗
𝑝𝑘𝑎𝑛 = 𝑚𝑣⃗ + 𝑞𝐴⃗ = ℏ𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = ∇
⃗⃗ × 𝐴⃗
mit Vektorpotential 𝐴⃗ ⇐ 𝐵
⇒ 𝑛 ⋅ 2𝜋 =
𝑚
𝑞
⋅ ∮ 𝑣⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗ + ⋅ ∮ 𝐴⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗
ℏ
ℏ
⃗⃗ = ⃗∇⃗ × 𝐴⃗ folgt
Mit ⃗⃗⃗
𝑗𝑠 = 1 ⋅ 𝑛𝑠 ⋅ 𝑣⃗ und 𝐵
𝑛⋅
ℏ
𝑚
⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑓⃗ = 𝜇0 𝜆2𝐿 ⋅ ∮ ⃗⃗⃗
= 2
⋅ ∮ ⃗⃗⃗
𝑗𝑠 ⋅ 𝑑𝑟⃗ + ∫ 𝐵
𝑗 ⋅ 𝑑𝑟⃗ + 𝜙
𝑞 𝑞 ⋅ 𝑛𝑠
⏟ 𝑠
𝑇
≈0
Mit 𝑞 = 2𝑒 − und der Londonschen Eindringtiefe 𝜆𝐿 = √
𝑚
𝜇0 ⋅𝑞 2 ⋅𝑛𝑠
Supraleiter ohne „Loch“ (kein Ring) ⇒ 𝑛 = 0
⇒ 𝜇0 ⋅ 𝜆2𝐿 ⋅ ∮ ⃗⃗⃗
𝑗𝑠 ⋅ 𝑑𝑟⃗
<Hier fehlt noch etwas, wird noch ergänzt>
Stokesscher Satz
⃗⃗ = −𝜇0 𝜆2𝐿 ⋅ ⃗∇⃗ × ⃗⃗⃗
⇒𝐵
𝑗𝑠
oder
𝑗𝑠 = −
⃗⃗⃗
1
⋅ 𝐴⃗
𝜇0 ⋅ 𝜆2𝐿
2. Londonsche Gleichung (1935)
((London-Eichung, d.h. 𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 0; 𝐴𝑛 = 0) mit Normalkomponente 𝐴𝑛 auf Oberfläche des Supraleiters)
⇒ ersetzt ohmesches Gesetz
BEMERKUNG:
⃗⃗⃗ = 0 (𝐵
⃗⃗ = 𝜇0 ⋅ 𝐻
⃗⃗). Mit
Bewegung der 𝑒 − beschreiben wir jetzt durch 𝑗⃗, d.h. 𝑀
⃗⃗ × 𝐻
⃗⃗ = 𝑗⃗ + 𝐷
⃗⃗̇
∇
⏟
=0
103
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
⃗⃗ × 𝐵
⃗⃗ = −
⇒∇
⃗⃗ × 𝐵
⃗⃗) =
⇒ ⃗∇⃗ × (∇
1
𝐴⃗
𝜆2𝐿
⃗⃗ ×
|∇
1
⃗⃗ × 𝐴⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑑𝑖𝑣(𝐵
⃗⃗
∇
⏟
⏟ ⃗⃗)) − 𝑑𝑖𝑣
⏟ (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐵 ))
𝜆2𝐿
⃗⃗
=𝐵
=0
⃗⃗ = +
⇒△ 𝐵
=0
1
⃗⃗
𝐵
𝜆2𝐿
BEISPIEL: 1D
⇒
𝑑2
1
𝐵 = 2𝐵
2
𝑑𝑥
𝜆𝐿
⇒ 𝐵(𝑥) = 𝐵(0) ⋅ 𝑒
𝑥
±
𝜆𝐿
 Erklärung des Meißner-Effekts
 Meißner-Effekt tritt bei sehr dünnen Proben nicht auf
 typische 𝜆𝐿 = einige 10𝑛𝑚
2) WARUM VERHALTEN SICH DIE E − SO ANDERS?
⇒ BCS-Theorie: Bardeen, Cooper und Shriefer formulierten eine Theorie der Elektron-Phonon-Wechselwirkung,
die zu einer effektiv anziehenden Wechselwirkung führt (Analogie zu Kugeln auf einer Gummihaut).
⇒ Es bilden sich Cooper-Paare, ein 𝑒 − ↑ paart sich mit einem 𝑒 − ↓ zum Gesamtspin 0.Diese Paare verhalten
sich wie Bosonen.
3) KÖNNEN WIR HIERMIT DIE FLUSSQUANTISIERUNG VERSTEHEN?
Ansatz für bes. Wellenfunktion:
𝜓(𝑟⃗) = √𝑛𝑐 ⋅ 𝑒 𝑖𝜃(𝑟⃗)
104
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
𝑛𝑐 ≠ 𝑛𝑐 (𝑟⃗) ist Dichte der Cooper-Paare = |𝜓|2
mit der Stromdichte 𝑗⃗ (aus QM), dabei ist 𝑞 die Ladung eines Cooper-Paares
𝑗⃗ = 𝑞 ⋅ 𝜓 ∗ ⋅ 𝑣⃗𝜓
𝑣⃗ erhalten wir aus dem quantenmechanischen Impulsoperator
⃗⃗ − 𝑞𝐴⃗
𝑝⃗̂ → 𝑝⃗̂ − 𝑞𝐴⃗ = −𝑖ℏ∇
𝑖ℏ
𝑞
⇒ 𝑣̂⃗ = − ⃗∇⃗ − 𝐴⃗
𝑚
𝑚
𝑖ℏ
𝑞
⃗⃗ − 𝐴⃗) ⋅ √𝑛𝑐 ⋅ 𝑒 𝑖𝜃(𝑟⃗)
⇒ 𝑗⃗ = 𝑞 ⋅ √𝑛𝑐 ⋅ 𝑒 −𝑖𝜃(𝑟⃗) (− ∇
𝑚
𝑚
⇒ 𝑗⃗ =
𝑞𝑛𝑐
⃗⃗𝜃 − 𝑞𝐴⃗)
⋅ (ℏ∇
𝑚
𝑟𝑜𝑡(𝑗⃗) = −
⃗⃗ ×
|∇
𝑞 2 𝑛𝑐
⋅ 𝑟𝑜𝑡(𝐴⃗)
𝑚
mit London-Gleichung (Rotation)
⇒ 𝑟𝑜𝑡(𝑗⃗) = −
⇒ 𝜆2𝐿 =
1
⋅ 𝑟𝑜𝑡(𝐴⃗)
𝜇0 𝜆2𝐿
𝑚
𝑞2𝑛
𝑐 𝜇0
BEISPIEL: „dicker“ supraleitender Ring
Integrationsweg
Im Inneren: 𝑗⃗ = 0
⇒0=∮
⇒
𝑞𝑛𝑐
⃗⃗𝜃 − 𝑞𝐴⃗)𝑑𝑟⃗
(ℏ∇
𝑚
𝑞𝑛𝑐
𝑞 2 𝑛𝑐
⃗⃗𝜃𝑑𝑟⃗ I =
⋅ ∮∇
⋅
𝑚 ⏟
𝑚
=𝑛⋅2𝜋 ; 𝑛∈ℤ
⇒Φ=𝑛⋅
I
∮ ⃗∇⃗ × 𝐴⃗ ⋅ 𝑑𝐹⃗
⏟
magnetischer Fluss Φ
ℎ
ℎ
=𝑛⋅
𝑞
2𝑒
Wegen Eindeutigkeit von 𝜓(𝑟⃗⃗⃗⃗)
0
105
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
7.3 DER JOSEPHSON-KONTAKT
Falls die beiden Supraleiter isoliert wären, dann würde gelten:
𝑇=
̂ Tunnelrate, [𝑇] =
1
𝑠
𝑖ℏ ⋅
𝜕𝜓1
̂ 𝜓1 = 𝐸1 𝜓1 + ℏ𝑇𝜓2
=𝐻
𝜕𝑡
𝑖ℏ ⋅
𝜕𝜓2
̂ 𝜓2 = 𝐸2 𝜓2 + ℏ𝑇𝜓1
=𝐻
𝜕𝑡
Phänomenologisch: 𝑇 = 𝑓(Isolatordichte)
ANSATZ: (analog Flussquantisierung)
𝜓1 = √𝑛1 𝑒 𝑖𝜃1
⏟
𝜓2 = √𝑛2 𝑒 𝑖𝜃2
alle Größen: 𝑓(𝑡)
EINSETZEN: …
Zerlegen in Amplitude und Phase
⇒
1
𝑛 ̇ = 2𝑇 √𝑛1 𝑛2 ⋅ sin(𝜃2 − 𝜃1 )
2 1
𝜃1̇ = −𝑇 ⋅ √
𝑛2
𝐸1
⋅ cos(𝜃2 − 𝜃1 ) −
𝑛1
ℏ
1
𝑛 ̇ = 2𝑇 √𝑛1 𝑛2 ⋅ sin(𝜃1 − 𝜃2 )
2 2
𝜃2̇ = −𝑇 ⋅ √
𝑛1
𝐸2
⋅ cos(𝜃1 − 𝜃2 ) −
𝑛2
ℏ
Es gelte 𝑛1 = 𝑛2
Teilchenstrom ∼ elektrischem Strom ∼ 𝑛1̇ = −𝑛2̇
𝜕
𝐸2 − 𝐸1
(𝜃2 − 𝜃1 ) = −
𝜕𝑡
ℏ
1) GLEICHSTROM JOSEPHSON-EFFEKT
d.h. keine externe Spannung 𝐸2 − 𝐸1 = 0
 𝜃2 − 𝜃1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
106
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik
 𝑛1̇ = −𝑛2̇ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ 0 i. A.
 Strom ohne externe Spannung (𝑈 = 0)
 Aufladung
2) WECHSELSTROM-JOSEPHSON-EFFEKT
externe Spannung: 𝐸2 − 𝐸1 = −2𝑒 ⋅ 𝑈

𝜕
𝜕𝑡
(𝜃2 − 𝜃1 ) =
 (𝜃2 − 𝜃1 ) =

1
2
2𝑒𝑈
2𝑒𝑈
ℏ
ℏ
⋅ 𝑡 + 𝜙0
𝑛1̇ = 2𝑇𝑛1 ⋅ sin (
2𝑒𝑈
ℏ
⋅ 𝑡 + 𝜙0 )
2𝑒𝑈
⇒ 𝐼 = 𝐼0 ⋅ sin (
⋅ 𝑡 + 𝜙0 )
ℏ
 Oszillation des Stroms bei konstanter angelegter Spannung
𝑒
 Präzisionsbestimmung von
ℏ
 z.B. 𝑈 = 1𝑚𝑉 ⇒ 0,5𝑇𝐻𝑧 Frequenz
107
7. Supraleitung | Moderne Experimentalphysik II - Optik