2 Grundlagen

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2 Grundlagen
2.1 Maxwell-Gleichungen
2.1.1 Integralform
Ausgangspunkt. Licht lässt sich bei seiner Ausbreitung als elektromagnetische Welle auffassen [2.1]. Elektromagnetische Wellen genügen den aus der Feldtheorie bekannten MaxwellGleichungen in Integral- oder Differenzialform.
Feldbegriff. Unter einem Feld versteht man dabei die Gesamtheit der allen Punkten des leeren
oder stofferfüllten Raumes zugeordneten Werte einer physikalischen Größe, der Feldgröße. Als
Feldgrößen verwendet man orts- und zeitabhängige Vektoren der elektrischen und magnetischen Feldstärke sowie der elektrischen Verschiebungsflussdichte, der magnetischen Flussdichte und der elektrischen Stromdichte.
Gleichungssystem. Die Maxwell-Gleichungen charakterisieren ein elektromagnetisches Feld
vollständig und lauten:
• Integrales Induktionsgesetz
G
G G
∂B G
∫v r E ⋅ dr = −∫ F ∂t ⋅ dF
(2.1)
G
In Worten: Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke E über die geschlossene Kurve r
ist gleich dem
G Flächenintegral über die negative zeitliche Änderung der magnetischen
Flussdichte B , wobei F die von der geschlossenen Kurve r eingespannte Fläche darstellt.
• Integrales Durchflutungsgesetz
G
⎛ G ∂D ⎞⎟ G
G G
⎜⎜
∫v r H ⋅ dr = ∫ F ⎜⎜⎝S + ∂t ⎠⎟⎟⎟⎟⋅ dF
(2.2)
G
In Worten: Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke H über die
G geschlossene Kurve r ist gleich dem Flächenintegral über die elektrische
Stromdichte
S
plus der zeitlichen
G
Änderung der elektrischen Verschiebungsflussdichte D , wobei F die von der geschlossenen Kurve r eingespannte Fläche bezeichnet.
• Grundgesetz der Elektrostatik in integraler Form
G
G
∫v D ⋅ d F = ∫ ρdV
F
V
(2.3)
G
In Worten: Das Hüllenintegral der elektrischen Verschiebungsflussdichte D über die Hüllfläche F ist gleich dem Volumenintegral über die Raumladungsdichte ρ , wobei V das von
der Hüllfläche F eingeschlossene Volumen darstellt.
2.1 Maxwell-Gleichungen
3
• Grundgesetz der Magnetostatik in integraler Form
G G
∫v B ⋅ dF = 0
F
(2.4)
G
In Worten: Das Hüllenintegral der magnetischen Flussdichte B über die Hüllfläche F ist
gleich Null.
• Materialgleichungen
G
G
S=κE
(2.5)
G
G
D=εE
G
G
B =µ H
(2.6)
(2.7)
Gleichung 2.5 beschreibt die leitenden Eigenschaften eines Stoffes mit dem Leitfähigkeitstensor κ , der vorerst Diagonalform besitzen soll. 2.6 ist die Materialgleichung für die
dielektrischen Eigenschaften eines Stoffes mit dem Dielektrizitätstensor ε , hier ebenfalls in
Diagonalform. Diese Tensoren sind in 2.8 für das kartesische x, y, z-Koordinatensystem
gezeigt.
⎛κx
⎜
κ=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎝
0
κy
0
0 ⎞
⎛εx
⎜
⎟
⎟
, ε=⎜ 0
0
⎜
⎟
⎜ 0
⎟
κz ⎠
⎝
0
εy
0
0⎞
⎟
0⎟
⎟
ε z ⎟⎠
(2.8)
G
2.8 beschreibt
isotrope Stoffe, bei denen dieGStromdichte S bzw. die VerschiebungsflussG
dichte D mit der elektrischen Feldstärke E jeweils ein Paar gleichgerichteter Vektoren
bilden, falls für die Hauptleitfähigkeiten und Hauptdielektrizitäten gilt:
G G
κx = κ y = κz = κ → S E
(2.9)
G G
εx = ε y = εz = ε → D E
G
G
In allen
G anderen Fällen kennzeichneten κ und ε anisotrope Stoffe, bei denen S bzw. D
und E unterschiedliche Richtungen aufweisen. 2.7 beschreibt die magnetischen Materialeigenschaften, vermittelt durch die Permeabilität µ. Es wird vorausgesetzt, dass µ gleich der
Induktionskonstanten µ o für die zu behandelnden optischen Netzwerke sei:
µ = µo
(2.10)
Außerdem sollen die Voraussetzungen
κ = const .
ε = const .
(2.11)
µ = const .
für lineare und homogene Stoffe gelten. Bei linearen Stoffen hängen κ, ε und µ nicht von
den jeweiligen Feldstärken in 2.5 bis 2.7 ab. Homogenität bedeutet, dass κ, ε und µ nicht
von den Ortskoordinaten abhängen.
4
2 Grundlagen
2.1.2 Differenzialform
Integralsätze. Ausgangspunkt zur Ableitung der Maxwell-Gleichungen in Differenzialform
sind die Integralsätze von Gauß und Stokes.
Der Integralsatz von Gauß ermöglicht die Umformung zwischen Hüllen- und Volumenintegral
in der Form
G G
G
(2.12)
∫v A ⋅ dF = ∫ div A dV ,
F
V
G
G
G
wobei A einen beliebigen Vektor und div A die Divergenz von A im jeweiligen Raumpunkt
darstellt [2.2].
Der Integralsatz von Stokes gestattet die Umformung zwischen Umlauf- und Flächenintegral in
folgender Form:
G G
G G
(2.13)
∫v A ⋅ dr = ∫ rot A ⋅ dF
r
F
G
G
rot A ist die Rotation des Vektors A im entsprechenden Raumpunkt [2.2].
Gleichungssystem. Mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes erhält man die MaxwellGleichungen in Differenzialform [2.3].
• Induktionsgesetz in Differenzialform
G
G
∂B
rot E = −
∂t
(2.14)
Beweis:
∫v r
G G
E ⋅ dr = ∫
F
G G
rot E ⋅ dF = −∫
G
∂B
F
∂t
G
⋅ dF
Die beiden Flächenintegrale sind identisch für gleiche Integranden. Daraus folgt 2.14.
G
In Worten: In jedem Punkt des Raumes ist der Wirbel der elektrischen
Feldstärke E gleich
G
der negativen zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte B .
• Durchflutungsgesetz in Differenzialform
G
G G ∂D
rot H = S +
∂t
Beweis:
(2.15)
G
G ∂D
G
→ rot H = S +
∫v r
F
∂t
G
In Worten: Der Wirbel der magnetischen
Feldstärke H ist in jedemGPunkt des Raumes
G
gleich der Leitungsstromdichte S plus der Verschiebungsstromdichte D .
G G
H ⋅ dr = ∫
G G
rot H ⋅ dF = ∫
G
⎛ G ∂ D ⎞⎟ G
⎜⎜
⎟⎟⎟⋅ dF
⎜S +
F ⎜⎜⎝
∂ t ⎠⎟
• Grundgesetz der Elektrostatik in Differenzialform
G
div D = ρ
(2.16)
2.2 Grenzflächenbedingungen
5
Beweis:
G
G
G
∫v F D ⋅ dF = ∫ V div D dV = ∫ V ρ dV
Die beiden Volumenintegrale sind gleich für identische Integranden. Daraus folgt 2.16.
G
In Worten: Die Divergenz der Verschiebungsflussdichte D ist an jedem Ort gleich der
Raumladungsdichte ρ.
• Differenzialform des Grundgesetzes der Magnetostatik
G
div B = 0
(2.17)
Beweis:
G
G
G
∫v F B ⋅ dF = ∫ V div B dV = 0
G
→ div B = 0
G
In Worten: Das Feld der magnetischen Flussdichte B ist überall quellenfrei.
2.2 Grenzflächenbedingungen
2.2.1 Grenzflächen
In Bild 2.1 sind die zu untersuchenden Grenzflächen gezeigt. Es wird für beide Medien die
Permeabilität µ o vorausgesetzt. Die Leitfähigkeits- und Dielektrizitätstensoren sollen unterschiedlich sein und sind mit κ1 , ε1 , κ 2 , ε 2 bezeichnet.
a)
b)
z
y
x
z
G
dF1
G
n
y
x
Medium 1
G
dr
κ1, ε1, µo
d
G
dF2
G
t
κ 2 , ε2 , µ o
κ1, ε1, µo
κ 2 , ε2 , µo
d
G
dF
G
dr2
Grenzfläche
Medium 2
Bild 2-1
Medium 1
Grenzfläche
Medium 2
Zu den Stetigkeitsbedingungen
a) Normalkomponenten
b) Tangentialkomponenten
2.2.2 Normalkomponenten [2.3]
Magnetische Flussdichte. Aus 2.4 folgt, angewandt auf den im Bild 2-1a gezeigten Bereich,
G G
G
G
G
G
G
G G
Aim ∫
(2.18)
v B ⋅ dF = ∫ B1 ⋅ dF1 + ∫ B2 ⋅ dF2 = ∫ B1 − B2 ⋅ n dF = 0 ,
d →0
(
)
6
2 Grundlagen
G
G
G
G
wenn man beachtet, dass dF1 = − dF2 = n dF gesetzt werden darf, wobei n die Flächennormale bezeichnet. Da 2.18 für beliebige Oberflächen gilt, muss der Integrand verschwinden.
Damit besteht die Bedingung
G
G G
B1 − B2 ⋅ n = 0 oder Bn1 = Bn 2
(2.19)
G G
G G
mit Bn1 = B1 ⋅ n und Bn 2 = B2 ⋅ n .
G G
In Worten: An der Grenzfläche zwischen zwei Stoffen ist die Normalkomponente Bn = B ⋅ n
der magnetischen Flussdichte stetig.
(
)
Magnetische Feldstärke. Da entsprechend 2.7 und Bild 2-1a
G
G G
G
B1 = µ o H1,B2 = µ o H 2
gelten soll, folgt aus 2.19 auch die Stetigkeit der Normalkomponenten der magnetischen Feldstärke.
G G
G G
H n1 = H 1 ⋅ n = H n 2 = H 2 ⋅ n
(2.20)
Verschiebungsflussdichte. Aus 2.3 ergibt sich bei Anwendung des Grundgesetzes der Elektrostatik auf die Anordnung nach Bild 2-1a:
G G
G
G G
Aim ∫
v D ⋅ dF = ∫ D1 − D2 ⋅ n dF = Aim ∫ ρ dV = Aim ∫ dQ = ∫ ∆σ dF (2.21)
(
d →0
)
d →0
d →0
Hierbei ist ∆σ = dQ / dF die Flächenladungsdichte. Damit folgt in Analogie zu 2.19:
G
G
G
D1 − D2 ⋅ n = ∆σ oder Dn1 = Dn 2 + ∆σ
G G
G G
mit Dn1 = D1 ⋅ n und Dn 2 = D2 ⋅ n .
(
)
(2.22)
Im Fall einer verschwindenden Grenzflächenladung gilt:
G
G
G
D1 − D2 ⋅ n = 0 oder Dn1 = Dn 2
(
)
(2.23)
G G
In Worten: Bei fehlender Grenzflächenladung ist die Normalkomponente Dn = D ⋅ n der elektrischen Verschiebungsflussdichte an der Grenzfläche stetig.
2.2.3 Tangentialkomponenten [2.3]
Elektrische Feldstärke. Aus Bild
2-1b und 2.1 folgt für die Tangentialkomponenten der elekG
E t
trischen Feldstärke Et
2.2 Grenzflächenbedingungen
7
Aus 2.25 erkennt man: AnG einer
Grenzfläche zwischen verschiedenen Stoffen bleibt die TanG
gentialkomponente E t = E ⋅ t der elektrischen Feldstärke stetig.
Magnetische Feldstärke. Für 2.2 und Bild 2-1b führen die gleichen Überlegungen mit
G G
G
G
G
Aim ∫
v H ⋅ dr = ∫ H1 − H 2 ⋅ t dr
(
d →0
)
∫
d →0
= Aim
= Aim
d →0
∫
⎛ G G ⎞⎟ G
⎜⎜ D + S ⎟⋅ dF
⎝
⎠⎟
G G
D ⋅ dF + Aim
d →0
(2.26)
∫ dI
= 0 + ∫ ∆Sσ dr
zu der Bedingung
G
G
G
H 1 − H 2 ⋅ t − ∆S σ dr = 0
∫ [(
)
]
bzw.
(HG 1 − HG 2 )⋅ tG = ∆S σ
oder H t1 = H t 2 + ∆S σ ,
G G
G G
wobei H t1 = H 1 ⋅ t , H t 2 = H 2 ⋅ t gilt.
(2.27)
Dabei bezeichnet ∆S σ = dI / dr die Flächenstromdichte.
Somit Ggilt:
G Bei verschwindender Flächenstromdichte ∆S σ ist die Tangentialkomponente
H t = H ⋅ t der magnetischen Feldstärke an der Grenzfläche stetig.
Magnetische Flussdichte. Wegen Bild 2-1b und
G
G
G
G
B1 = µ o H 1 , B2 = µ o H 2
G
folgt dann auch die Stetigkeit der Tangentialkomponenten von B in der Form
G G
G G
Bt1 = B1 ⋅ t = Bt 2 = B2 ⋅ t
(2.28)
2.2.4 Stetigkeitsbedingungen in Differenzenform
Flächenladungsdichte und Flächenstromdichte. Die grundsätzlichen Stetigkeitsbedingungen
lauten also:
G
G G
B1 − B2 ⋅ n = 0
G
G
G
D1 − D2 ⋅ n = ∆σ
(2.29)
G
G G
E1 − E 2 ⋅ t = 0
G
G
G
H 1 − H 2 ⋅ t = ∆S σ
(
(
(
(
)
)
)
)
Nun werden die Flächenladungsdichte ∆σ und die Flächenstromdichte ∆S σ aufgeteilt in die
Größen σ1 , S σ1 unmittelbar oberhalb der Grenzflächen nach Bild 2-1 und σ 2 , S σ2 unmittelbar unterhalb davon.
8
2 Grundlagen
∆σ = σ1 − σ 2
∆S σ = S σ1 − S σ2
Mit den Vektoren
G
G
G
G G
G
∆σ = ∆σ n = σ1 n − σ 2 n = σ1 − σ 2
G
G
G
G
G G
∆S σ = ∆S σ t = S σ1 t − S σ2 t = S σ1 − S σ2
(2.30)
(2.31)
kann man eine Differenzenform der Stetigkeitsbedingungen angeben.
Differenzenform. Die Grenzflächenbedingungen 2.29 lauten nun mit 2.30 und 2.31:
G G
G G
∆ E1 ⋅ t = ∆ E 2 ⋅ t
G G
G G
∆ D1 ⋅ n = ∆ D2 ⋅ n
G G
G G
∆ H1 ⋅ t = ∆ H 2 ⋅ t
G G
G G
∆ B1 ⋅ n = ∆ B2 ⋅ n
(2.32)
Dabei gilt:
G
G
G
σ
∆ Eν = Eν − ν
ε nν
G
G
G
∆ Dν = Dν − σ ν
G
G
G
∆ H ν = H ν − S σν
G
G
G
∆ Bν = Bν − µ o S σν
(2.33)
für ν = 1,2 .
Die ε nν sind die Dielektrizitäten in Normalenrichtung zur Grenzfläche.
2.2.5 Feldgleichungen an Grenzflächen
2.2.5.1 Grundzusammenhänge
Ausgangspunkt. Bisher wurde für die gezeigten Ansätze das Kollektiv von Photonen und
Ladungsträgern gemeinsam betrachtet. Die Maxwellsche Theorie sagt aus, dass die Feldgleichungen sowohl für
G die
G Photonen
G G als auch für die Ladungsträger gelten. In 2.33 beschreiben
Nimmt man Felder auf oder durch Flächen
die Feldvektoren E ν , Dν , H ν , Bν das Gesamtfeld.
G
G
σ
und
S
das
an, so kennzeichnen die Terme
mit
ν
σν
G
G
G
G elektromagnetische Feld der Ladungsträger und die Differenzen ∆E ν , ∆Dν , ∆H ν und ∆Bν das elektromagnetische Feld der Photonen. Die Überlagerung der einzelnen Anteile in 2.33 ist zulässig, da lineare Stoffe vorausgesetzt werden. Bei alleiniger Anwesenheit der Ladungsträger sind die in 2.33 gebildeten Differenzen Null.
2.2 Grenzflächenbedingungen
9
Gleichungssystem für die Photonen. Die Feldgleichungen für die Photonen lauten:
G
G
∂∆B
rot ∆ E = −
∂t
G
G ∂∆D
G
rot ∆ H = ∆ S +
∂t
G
div ∆ D = 0
G
div ∆ B = 0
G
G
∆ D = ε∆ E
G
G
∆S = κ∆E
G
G
∆ B = µo ∆ H
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
Gleichungssystem für die Ladungsträger. Für die Ladungsträger gelten die Feldgleichungen:
G
∂ Sσ
G
rot σ = −µ o ε n
∂t
G
G
κ G ∂σ
rot S σ = n σ +
εn
∂t
G
div σ = ρ
G
div S σ = 0
.
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
In 2.34 bis 2.44 ist dabei der Index ν aus 2.33 weggelassen. Zu diesen Gleichungssystemen
gelangt man wie folgt:
• Induktionsgesetz:
G
G
∂B
rot E = −
∂t
G
G
G 1
G
∂ Sσ
∂∆B
rot ∆E +
rot σ = −
− µo
εn
∂t
∂t
G
G
Mit rot ∆ E = − ∆ B erhalten Sie:
G
G
∂ Sσ
rot σ = −µ o ε n
∂t
10
2 Grundlagen
• Durchflutungsgesetz:
G
G G ∂D
rot H = S +
∂t
G
G
G
G
G
G ∂∆D ∂σ
G
G ∂∆D ∂σ
+
= κE +
+
rot ∆ H + rot S σ = S +
∂t
∂t
∂t
∂t
G
G
G
G
G
G ∂ ∆ D κn G ∂ σ
G κσ
∂∆D ∂σ
= κ∆E +
+
+
= ∆S +
+
σ+
εn
∂t
∂t
∂t
εn
∂t
G
∆ S
G
G
G
Mit rot ∆ H = ∆ S + ∆ D gilt:
G
G
κ G ∂σ
rot Sσ = n σ +
εn
∂t
κ n ist die Leitungsfähigkeit in Normalenrichtung zur Grenzfläche.
• Grundgesetz der Elektrostatik:
G
div D = ρ
G
G
→ div ∆ D + div σ = ρ .
Mit σ = ∂ 2 Q / ∂ F und ρ = ∂ 3 Q / ∂ V sieht man ein, dass
G ∂σ
∂3 Q
∂3 Q
div σ =
=
=
=ρ,
∂z ∂z ∂F
∂V
wobei ∂ V = ∂ z ∂ F gilt. Daraus folgt
G
div ∆ D = 0 .
• Grundgesetz der Magnetostatik:
G
div B = 0
G
G
→ div ∆ B + µ o div S σ = 0
G
G
→ div ∆ B + µ o div S σ = 0
Wegen 2.34 gilt
G
G
div rot ∆ E = 0 = div ∆ B
Damit ergibt sich auch
G
div S σ = 0
Die Lösung der Feldgleichungen für die Ladungsträger ist für einen Spezialfall Gegenstand
der Aufgabe A 2.1.
2.2 Grenzflächenbedingungen
11
Punktladung und Punktphoton. Führt man als Modelle für die Ladungsträger und Photonen
die Punktladung und das Punktphoton ein, so lassen sich beide Felder nach Bild 2-2 veranschaulichen.
a)
b)
G
G
+ S σ , − Sσ
+
G
G
− ∆B , ∆H
G
G κ G ∂σ
σ, n σ +
εn
∂t
G
G G ∂ ∆D
∆D , ∆S +
∂t
Punktladung
Punktphoton
Bild 2-2
Feldbilder
a) Punktladung
b) Punktphoton
Das Punktphoton kann dabei in der Bewegung als Vereinigung von Elektron und Loch aufgefasst werden. Aus Punktladungen und Punktphotonen kann man kompliziertere Ladungs- und
Photonenverteilungen im Raum zusammensetzen. Für die nachfolgenden Betrachtungen werden grundsätzlich Punktladungen und Punktphotonen vorausgesetzt. Damit befindet sich an
einem Ort entweder eine Punktladung oder ein Punktphoton, und es wird nur die Wirkung der
zugehörigen Felder auf die Emissions-, Transmissions- und Absorptionseigenschaften untersucht.
2.2.5.2 Photonenstromdichte
G
Divergenz. Die Divergenz der Photonenstromdichte ∆ S erhalten Sie aus 2.35:
G ∂
G
G
div rot ∆ H = div ∆ S +
div ∆ D = 0
∂t
G
→ div ∆ S = 0
=0
G
In Worten: Die Divergenz von ∆ S ist überall gleich Null.
(2.45)
Stetigkeitsbedingung. Mit dem Integralsatz von Gauß nach 2.12 gilt unter Beachtung von 2.45
und Bild 2-1 a:
G G
G
∫v ∆ S ⋅ d F = ∫ div ∆ S dV = 0
G
G G
(
∆
S
−
∆
S
1
2 )⋅ n dF = 0
∫
G G
G G
→ ∆ S1 ⋅ n = ∆ S 2 ⋅ n
(2.46 a)
G G
In Worten: Die Normalkomponente der Photonenstromdichte ∆ S n = ∆ S ⋅ n ist an der Grenzfläche zweier Medien stetig.