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Vorlesung Hydrodynamik (Mechanik der Fluide)
R. Folk
Institut für Theoretische Physik, Universität Linz
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines
6
1.1
Die Flüssigkeit als Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Beschreibung der Dynamik der Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1
Lagrange’sche Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Euler’sche Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Stromlinien und Bahnlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.1
Ansatz für die Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.2
Die übrigen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4.3
Grenzfälle der Navier-Stokes’schen Gleichungen . . . . . .
19
2 Hydrostatik
21
2.1
Die barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Stabiblität eines Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3
Sternentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Gleichgewicht in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4.1
Der rotierende Eimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4.2
Der rotierende Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3 Astrophysikalische Probleme
3.1
42
Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
42
3
23. Juni 2008
3.2
Die Eulergleichungen in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
Druckloser Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.4
Die Bonnor-Ebert Sphäre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.5
Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.6
Akkretionsscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.7
Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4 Die Eulerschen Gleichungen
4.0.1
4.1
4.2
4.3
Analogie der Wirbeldynamik zur Elektrodynamik . . . . .
52
Stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.1.1
Ausfluß eines Gases aus einem Überdruckkessel . . . . . .
55
Allgemeine Untersuchung der Euler’schen Gleichungen . . . . . .
62
4.2.1
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.2.2
Impuls- und Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.3
Erhaltung der Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Wirbeldynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.3.1
Der einzelne Wirbelfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.3.2
Geradlinige Wirbelfäden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.3.3
Kreisförmige Wirbelfäden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.3.4
Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.3.5
Wirbelröhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5 Potentialströmungen
5.1
49
74
Ebene Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.1.1
Konforme Abbildungen und einfache Beispiele . . . . . . .
77
5.1.2
Zirkulation, Kraft und Drehmoment einer allgemeinen Strömung
um einen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3
Strömung um einen Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.1.4
Ausfluß aus einem Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4
23. Juni 2008
5.2
Strömung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.3
Das D’Alembertsche Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.4
Diskontinuitätsflächen und Totwasser . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.4.1
Einige weitere Beispiele konformer Abbildungen . . . . . .
96
5.4.2
Platte mit Totwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.4.3
Ausfluß durch ein Loch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5
Potentialströmung um zwei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Zähe Flüssigkeiten
107
6.1
Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2
Laminarströmung durch ein Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3
Laminarströmung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4
Die Zähigkeit einer Suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5
Stabilität der Laminarströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.6
6.5.1
Allgemeine Vorgangsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5.2
Ebene Probleme und die Orr-Sommerfeld Gleichung . . . . 116
Kinetische Gastheorie und Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . 119
7 Kompressible Fluide
7.1
7.2
120
Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.1
Linearisierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.2
Eindimensionale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Stoßwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.1
Spezielle Lösungen p=h(v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.2
Allgemeine Lösung nach Riemann . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Wärmeleitungsgleichung
134
8.1
Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2
Wärmeleitung in der inkompressiblen Flüssigkeit . . . . . . . . . . 135
5
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9 Chaos und Fraktale Attraktoren
136
9.1
Die Rayleigh-Benard Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.2
Der Lorenzattraktor und das Phasendiagramm . . . . . . . . . . . 140
10 Magnetohydrodynamik
10.1 Herleitung der Gleichungen
148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.2 Magnetische Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.3 Magnetohydrodynamische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11 Literatur
153
Kapitel 1
Allgemeines
1.1
Die Flüssigkeit als Kontinuum
Die Newton’sche Mechanik beschreibt die Bewegung von Teilchen im klassischen
Sinne unter dem Einfluß der gegenseitigen Wechselwirkung (im allgemeinen Zweiteilchenkräfte) und äußeren Kräften. Typischerweise behandelt man Probleme,
bei denen nur wenige Teilchen vorkommen (etwa das Planetensystem). Wird die
Bewegung von makroskopischen Körpern betrachtet, so werden diese als starr
angenommen, dh. die relativen Lagen der Teilchen zueinander bleiben fest (feste
Phase).
Solch wechselwirkende Teilchen einer Substanz kommen aber nicht nur in
festen Phasen vor sondern, je nach Wert der thermodynamischen Felder, wie
Druck und Temperatur (siehe Fig. 1.1), auch in einer flüssigen und gasförmigen
Phase. Auch wenn sich die Abstände der Teilchen ändern können (dies ist auch
in der festen Phase so, man sagt der Körper ist elastisch) so ist das Verhalten
der vielen Teilchen doch in einer gewissen Weise geordnet (man denke z.b. an
das Verhalten des Rauchs einer Zigarette, in Aufwärtsströmung oder bei der
Ringbildung).
Um das dynamische Verhalten solcher Phasen zu beschreiben muß man eine Kontinuumstheorie entwickeln, die die Beschreibung der Substanz durch makroskopisch viele Bewegungsgleichungen für die Teilchen (1 mol einer Substanz
enthält 1023 Teilchen !) ersetzt durch wenige Gleichungen, die das kollektive Verhalten beschreiben. Der Preis der dafür zu zahlen ist, ist das Auftreten von
phänomenologischen Konstanten für die Substanz (Materialkonstanten), die von
anderswoher (zB. dem Experiment, oder einer mikroskopischen Theorie) genommen werden müssen. Diese Konstanten beschreiben die Substanz in ihrer Phase
und enthalten die Wechselwirkungen der Teilchen untereinander (wie zB. die
6
7
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Abbildung 1.1: Typisches Phasendiagramm
Kompressibilität oder der Schermodul). Diese mikroskopischen Wechselwirkungen kommen in den Bewegungsgleichungen für das Kontinuum nicht mehr vor
(man denke an die Elektrodynamik in Materie, wo die mikroskopischen Wechselwirkungen in der Substanz ebenfalls in Konstanten wie Dielektrizitätskonstante
oder Permeabilität versteckt wurden).
Solche Materialkonstanten werden im Rahmen einer Herleitung aus den mikroskopischen Gleichungen berechnet (mit mehr oder weniger Näherungen) siehe dazu Statistische Mechanik VL: Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen aus kinetischen Gleichungen über die Boltzmanngleichung mittels der
Chapman-Enskog Entwicklung.
Die Hydrodynamik beschäftigt sich nur mit fluiden (also flüssigen und
gasförmigen) Phasen sie enthält also auch die Aerodynamik. Feste Phasen werden in der Elastizitätstheorie (VL) behandelt. Der wesentliche Unterschied im
Sinne der Kontinuumstheorie zu den festen Phasen ist das Fehlen der Quersteifigkeit in den fluiden Phasen (keine transversalen Wellen in Fluiden).
Die Beschreibung des Zustands eines Kontinuums erfolgt durch die Angabe
gewisser Felder, wie etwa der Dichte (skalares Feld) oder des Geschwindigkeitsfeldes (Vektorfeld). Diese Felder sind lokal definiert durch einen Mittelungsprozeß
über ein den betrachteten Punkt umgebendes Volumen, das noch immer viele
mikroskopische Teilchen enthält. In dieser Weise werden makroskopische Flüssigkeitsteilchen definiert (im Unterschied zu den Molekülen). Diese Vorgangsweise
gibt nun an wie man etwa durch Lösung der mikroskopischen Bewegungsgleichungen (Molekulardynamik) zu den hydrodynamischen Gleichungen bzw. den
Feldern kommt.
8
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Eine weitere Vorausetzung der Kontinuumsbeschreibung ist die lokale Gültigkeit der thermodynamischen Relationen. Dh. es existieren lokale thermodynamische Potentiale zB. die innere Energie pro Masse (~r, t) die eine Funktion der
Entropie pro Masse s(~r, t) und des Volumens pro Masse ρ(~r1,t) ist. Dann gilt
d(~r, t) = T (~r, t)ds(~r, t) +
p(~r, t)
dρ(~r, t)
ρ(~r, t)2
und als Konsequenz
~ r , t)
~ r , t) = T (~r, t)∇s(~
~ r , t) + p(~r, t) ∇ρ(~
∇(~
ρ(~r, t)2
und
∂
∂
p(~r, t) ∂
(~r, t) = T (~r, t) s(~r, t) +
ρ(~r, t)
∂t
∂t
ρ(~r, t)2 ∂t
Diese thermodynamischen Größen beinhalten die mikroskopischen Wechselwirkungen und tragen dem Umstand Rechnung, daß das Kontinuum eine Substanz
im Sinne der Thermodynamik ist.
Unter einer hydrodynamischen Beschreibung können wir noch allgemeiner eine Beschreibung irgendeiner Substanz verstehen, solange sie nur als Kontinuum
betrachtet werden kann. Also z.b. auch einer magnetischen Substanz. Es ist dann
die Magnetisierung ebenfalls eine hydrodynamische Variable, die durch eine hydrodynamische Gleichung (z.Bsp. Diffusionsgleichung) beschrieben wird. Wichtig
für die Gültigkeit der hydrodynamischen Beschreibung ist, daß die räumlichen
und zeitlichen Änderungen die die Dynamik beschreibt über große Distanzen
(kleine Wellenzahlen) und lange Zeiten (niedrige Frequenzen) erfolgen.
Anwendungen findet die Hydrodynamik auch in Gebieten wie der Kernphysik (Tröpfchenmodell) in der Astrophysik (da meist die relativistische Verallgemeinerung), in der Plasmaphysik ( als Magnetohydrodynamik), in der Medizin
(Stömung des Blutes in Aterien, Sedimentation) und vielen anderen Gebieten.
Die mathematische Formulierung der mechanischen Gesetzte für fluide Systeme in Form
von partiellen Differentialgleichungen wurde von L. Euler in der 2. Hälfte des 18. Jahrhunderts
entwickelt. Diese Formulierung war aber für die technischen Probleme zu Eulers Zeiten weniger
brauchbar. Die Anwender (Wie ist eine Springbrunnen zu bauen, wieviel Wasser strömt durch
eine Röhre, wie sind Pumpen zu konstruieren etc)) verließen sich eher auf die Erfahrung, und
einfache Rechnungen. Die Darstellung ihrer Kenntnisse wurde unter dem Begriff Hydraulik
zusammengefaßt. Der anspruchsvollere mathematische Teil wurde in der angewandten Mathematik vorgetragen (z.Bsp. das Lehrbuch von A. Kästner). Aber in Gehler Physicalisches
Wörterbuch aus dem Jahre findet man :”In der gemeinen Hydraulik begnügt man sich, Werkzeuge zu beschreiben, womit das Wasser theils zum wirklichen Nutzen in der Oekonomie, dem
Bergbaue, verschiedenen Künsten u. s. w., theils auch zum Vergnügen, gehoben und bewegt
9
23. Juni 2008
werden kan. Man ist aber ohne Beyhülfe der höhern Mathematik nicht einmal im Stande, die
Wirkungen dieser Werkzeuge gehörig zu berechnen; ein gründliches Studium der Hydraulik
muß daher stets mit Anwendungen der höhern Mathematik oder mit Hydrodynamik begleitet
werden.”
Hinweis auf andere Vorlesungen SS2008:
• Strömungsmechanik I (Mechatronik)
• Numerische Methoden der Strömungsmechanik (Mechatronik)
• Mathematische Methoden der Kontinuumsmechanik (Mathematik)
1.2
Beschreibung der Dynamik der Flüssigkeit
1.2.1
Lagrange’sche Beschreibung
Es wurde bereits bei der Einführung der Felder der Begriff Flüssigkeitsteilchen
verwendet. Das Kontinuum ist dann die Gesamtheit aller Flüssigkeitsteichen zu
einem bestimmten Zeitpunkt. Man kann nun die Zeitentwicklung des Zustands
des Kontinuums angeben indem man die einzelnen Flüssigkeitsteilchen und deren
Bahnkurve betrachtet. Dazu muß das Flüssigkeitsteilchen eindeutig identifiziert
werden. Ein Flüssigkeitsteilchen befinde sich am Ort ~r0 zur Zeit t0 (meist t0 = 0)
in einem festen Koordinatensystem.
Ein Vektor in diesem Koordinatensystem wird mit
~r ≡ (x, y, z) ≡ (x1 , x2 , x3 )
dargestellt.
Diesen Ort ~r0 als Index genommen identifiziert das Teilchen. Die unabhängigen Variablen der Beschreibung seien nun dieser Index des Flüssigkeitsteilchens
~r0 und die Zeit t.
Dann ist der Ort dieses Teilchens zur Zeit t
~r = ~r(~r0 , t)
mit
r~0 = ~r(~r0 , t0 ) .
Das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich aus der Zeitabhängigkeit der Position des
Teilchens zur Zeit t
∂
~v (~r0 , t) =
~r(~r0 , t) .
∂L t
Der Index L soll dabei erinnern, daß bei der Zeitableitung ~r0 festgehalten wird
(Lagrangesche Ableitung) Das Beschleunigungsfeld ist entsprechend
~b(~r0 , t) = ∂ ~v (~r0 , t)
∂L t
10
23. Juni 2008
und die Bewegungsgleichung für das Kontinuum lautet
ρ(~r0 , t)
∂2
~r(~r0 , t) = ~k(~r0 , t)
∂L2 t
Hier tritt rechts die Kraftdichte ~k(~r0 , t) auf (Dimension [dyn/cm3 ]). Daß hier
nicht wie bei der Raketengleichung die Zeitableitung von ρ~v auftritt liegt daran
daß die Dichte sich nur dadurch ändert, daß sich die Ausgangsmasse auf eine
größeres Volumen verteilt, aber nicht ’vernichtet’ wird.
Die Dichte am Ort (~r sei ρ(~r, t). Es gilt der Erhaltungssatz für die Gesamtmasse (globaler Erhaltungssatz)
Z
V
Z
3
ρ(~r, t) d x =
V0
ρ(~r0 , t0 ) d3 x0
Wegen des eindeutigen Zusammenhangs zwischem ~r und ~r0 (jedes Teilchen ~r0
befindet sich zum Zeitpunkt t an einem von den anderen Teilchen verschiedenen
Ort) ist die Funktionaldeterminante
|∆| = |
∂~r
|=
6 0
∂~r0
von Null verschieden. Man hat danach
Z
V0
3
ρ(~r(~r0 , t), t) |∆|d x0 =
Z
V0
ρ(~r0 , t0 ) d3 x0
und weil das Volumen V0 beliebig war, gilt die Relation für die Integranden
ρ(~r0 , t) |∆|(~r0, t) = ρ(~r0 , t0 )
oder anders ausgedrückt
∂
(|∆|(~r0 , t) ρ(~r0 , t)) = 0 .
∂L t
Dies ist die differentielle Form des Erhaltungssatzes der Masse.
1.2.2
Euler’sche Beschreibung
Die Wahl von ~r0 als unabhängige Variable erweist sich als umständlich. Der Zustand des Kontinuums wird ja eher so beobachtet, daß an festen Raumpunkten ~r
die zeitliche Änderung der einzelnen Größen, die nun Felder sind, verfolgt wird.
11
23. Juni 2008
Abbildung 1.2: Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens
Es werden daher nun ~r und t als unabhängige Variablen eingeführt. Ein beliebiges
Feld F(~r, t) = F(~r(~r0 , t), t) hat in dieser Darstellung die Zeitableitung
∂F
∂F
~ F
=
+ ~v ∇
∂L t
∂E t
wobei die Eulersche Ableitung (Index E) bei festem ~r zu nehmen ist. Man bezeichnet die Lagrangsche Ableitung auch als totale oder substantielle Ableitung
und die Eulersche als lokale Ableitung. Der erste Term rechts entspricht physikalisch der Änderung des Feldes für ein Flüssigkeitsteilchen und der zweite resultiert
aus der Bewegung der Flüssigkeitsteilchen.
Das Geschwindigkeitsfeld ist definiert durch die Geschwindigkeit am Ort ~r
zur Zeit t und das ist die Geschwindigkeit desjenigen Flüssigkeitsteilchens, das
sich gerade zur Zeit t bei ~r befindet, wobei unberücksichtigt bleibt auf welcher
Bahnkurve sich das Flüssigkeitsteilchen bewegt. Also ist
~v (~r, t) =
∂
~r0 (~r, t) = ~v(~r0 (~r, t), t)
∂t
Wir wollen nun die Kontinuitätsgleichung ins Eulerbild umschreiben. Dazu
braucht man die Zeitableitung der Funktionaldeterminante. Diese kann durch
das Geschwindigkeitsfeld ausgedrückt werden.
Mathematischer Einschub (siehe Gröbner,
Matrizenrechnung, BI-Taschenbuch Seite 122ff):
P
a
(A
Entwicklung einer
Determinante:
|A|
=
ij
d )ji wo Ad die Adjunkte zum Element (ij) (i
j
P
fest) ist. Es gilt j Akj Ad jl = |A|δkl . Damit folgt für die Ableitung einer Determinante
∂|A|
= (Ad )ji
∂aij
Anwendung dieser Formeln auf die Funktionaldeterminante gibt
X
∂|∆| X ∂|∆| ∂∆ij
∂ ∂xi
=
= (∆d )ji
=
∂t
∂t ∂x0j
ij ∂∆ij ∂t
ij
12
23. Juni 2008
X
(∆d )ji
ij
X
(∆d ∆)li
li
Also
X
∂xl ∂vi
∂vi
= (∆d )ji
=
∂x0j
∂x0j ∂xl
lij
X
∂vi
∂vi
=
= |∆| div ~v
|∆| δil
∂xl
∂xl
li
∂|∆|
= |∆| div ~v
∂t
Damit kann man die Gleichung für die Masseerhaltung umschreiben in
"
#
∂ρ
∂(ρ |∆|)
= |∆|
+ ρ div ~v = 0
∂L t
∂L t
Verwenden wir nun noch die Umschreibung in das Eulerbild
∂ρ
∂ρ
~
=
+ ~v ∇ρ
∂L t
∂E t
so folgt
∂ρ
~ + ρ div ~v = 0
+ ~v ∇ρ
∂E t
oder
∂ρ
+ div(ρ~v ) = 0
∂E t
Dies ist die differentielle Form des Masseerhaltungssatzes. Die lokale Änderung
der Dichte erfolgt nur dadurch daß der Strom ~j = ρ~v , der durch die Dichte mal
Geschwindigkeit gegeben ist, eine lokale Quelle oder Senke hat; also lokal ein Zuoder Abfluß erfolgt. Einem Quellterm in der Dichte würde ein positiver Term auf
der rechten Seite der Gleichung entsprechen. Betrachtet man ein zeitlich festes
Volumen V und integriert, so wird die Bedeutung der Terme sichtbar. Man hat
∂
∂E t
Z
V
ρ(~r, t)d3 x +
Z
V
div~j(~r, t) d3 x = 0
oder nach Anwendung des Gaußschen Satzes
I
∂ Z
ρ(~r, t)d3 x = − df~~j(~r, t)
∂E t V
O
Der Term links mißt die Änderung der Masse im Volumen der Term rechts mißt
das, was netto aus dem Volumen ausströmt (wenn Integral positiv) bzw. was
reinströmt (wenn Integral negativ).
Die Bewegungsgleichung im Eulerbild folgt analog durch Umschreiben der
substantiellen Ableitung
∂
∂~v
ρ(~r, t)
~v (~r, t) + vi
∂E t
∂xi
!
= ~k(~r, t)
13
23. Juni 2008
Verläuft die Bewegung adiabatisch, so ist die Entropie pro Masse für jedes
Flüssigkeitsteilchen während seiner Bewegung erhalten, d.h.
∂s
=0
∂L t
und Umschreiben ins Eulerbild
∂s
~ =0
+ ~v ∇s
∂E t
Man bezeichnet die Strömung als isentropisch. Man beachte den Unterschied
zu der Gleichung für die Dichte, die aus einem globalen Erhaltungssatz abgeleitet wurde und die Form einer Kontinuitätsgleichung hat. In einer nicht idealen
Flüssigkeit ist zwischen adiabatisch und isentropisch eine Unterschied. Adiabatisch verläuft eine Strömung wenn der Wärmestrom Null ist, sie muß aber nicht
isentropisch sein weil es noch andere dissipative Prozesse gibt. Erst wenn diese keine Rolle spielen ist die Strömung isentropisch. Ist außerdem die Entropie
für alle Flüssigkeitsteilchen dieselbe so spricht man von einer homoentropischen
Strömung. Es ist dann grads = 0.
1.3
Stromlinien und Bahnlinien
Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) und es sollen nun die Bahnkurven
der einzelnen Flüssigkeitsteilchen berechnet werden. Nach dem vorher Gesagten
erhält man die Bahnkurven aus der Differentialgleichung
∂~r
= ~v (~r, t)
∂L t
mit der Anfangsbedingung ~r(t = t0 ) = ~r0 . Aus der Eindeutigkeit der Lösung
folgt, daß Bahnlinien sich nicht schneiden. Im Eulerbild betrachtet man das Geschwindigkeitsfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Linien zu denen in jedem
Punkt des Raumes das Geschwindigkeitsfeld tangential ist, heißen Stromlinien.
Sie ändern sich mit der Zeit. Stromlinie zu verschiedenen Zeitpunkten können
aus verschiedenen Flüssigkeitsteilchen bestehen. Die Bestimmungsgleichung für
die Stromlinien lautet
d~s × ~v (~r, t) = 0
wo d~s ein Linienelement der Stromlinie ist. Die Bahnlinien berühren also zum
betrachteten Zeitpunkt die Stromlinie an dem Ort wo sich das Flüssigkeitsteilchen
gerade befindet. Ist das Geschwindigkeitsfeld zeitunabhängig, dann berührt die
Bahnlinie eines Flüssigkeitsteilchens immer die entsprechende Stromlinie, also
sind die Bahnlinien und Stromlinien identisch.
14
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3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Abbildung 1.3: Bahnkurven (volle) und Stromlinien (strichlierte)
Beispiel: Betrachten wir die ebene Strömung, die durch das Geschwindigkeitsfeld
~v (~r, t) =
a
[at + r0 ] ~er + b~eφ
r
gegeben ist. Zum Zeitpunkt t = 0 sollen sich die Flüssigkeitsteilchen auf einem Kreis mit Radius
r0 befinden. Nun ist für Polarkoordinaten
x = r cos(φ)
y = r sin(φ)
und somit sind die entsprechenden Einheitsvektoren
~er = ~ex cos(φ) + ~ey sin(φ)
und
~eφ = ~ey cos(φ) − ~ex sin(φ)
also
r~er
∂x
∂y
1 ∂r2
∂~r
=x
+y
=
= a2 t + ar0
∂L t
∂L t
∂L t
2 ∂L t
15
23. Juni 2008
und analog
∂y
∂x
∂φ
∂~r
=x
−y
= r2
= rb
∂L t
∂L t
∂L t
∂L t
Das führt durch Integration auf die Lösung (unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung)
r~eφ
r2 (t) = a2 t2 + 2ar0 t + r02 = (at + r0 )2
und damit
r(t) = at + r0
∂φ
b
=
∂L t
at + r0
mit der Lösung
b
a
φ(t) = ln 1 + t + φ0
a
r0
Eliminiert man t so findet man als Bahnkurve logarithmische Spiralen
i
ha
r = r0 exp (φ − φ0 )
b
Die Stromlinien folgen aus
d~s = ~er dr + ~eφ rdφ
und somit
~ez [bdr − a(at + r0 )dφ] = 0
woraus als Lösungen Archimedische Spiralen folgen
r=
a
[at + r0 ] φ + k
b
Die Werte k indizieren zu einem festen Zeitpunkt, die verschiedenen Stromlinien (siehe Fig.1.3).
1.4
Die Grundgleichungen
Ziel aller hydrodynamischen Probleme ist es im wesentlichen das Geschwindigkeitsfeld ~v(~r, t) aus den gegebenen Gleichungen zu berechnen. Die Newtonsche
Gleichung enthält aber neben dem Geschwindigkeitsfeld auch noch die Dichte
ρ(~r, t) und wie wir gleich sehen werden den Druck p(~r, t). Für diese beiden Größen
stehen die Kontinuitätsgleichung und die Zustandsgleichung zur Verfügung. Dazu
kommen dann noch die Randbedingungen und Anfangsbedingungen.
1.4.1
Ansatz für die Kräfte
Die Newton’schen Gleichungen für das Geschwindigkeitsfeld enthalten die Kräfte
die für die Bewegung der Flüssigkeit verantwortlich sind. Diese müssen nun spezifiziert werden. Einfach ist dies für die Volumskräfte, die an der Flüssigkeit
angreifen wie etwa die Schwerkraft. Es ist
~k(~r, t) = −ρ(~r, t)∇Φ(~
~ r , t)
16
23. Juni 2008
mit dem Gravitationspotential Φ. Für die Schwerkraft an der Erdoberfläche ist
die Kraftdichte dann einfach ~k = ρ~g . Betrachtet man aber eine Flüssigkeit unter
der Einwirkung ihrer eigenen Schwerkraft (Sternmodell in der Astrophysik) so
folgt das Potential aus der Laplacegleichung mit der Dichte als Quelle (gilt im
nichtrelativistischen Grenzfall, für nicht zu hohe Dichten)
∆Φ(~r) = 4πGρ(~r)
Greift man ein Volumselement aus der Flüssigkeit heraus, so können Kräfte
auf das Volumselement wirken, die an der Oberfläche angreifen. Ein Beispiel sind
die Druckkräfte. Kennzeichen dieser Druckkräfte ist, daß sie nur in Richtung der
Oberflächennormale wirken können. Deren Gesamtkraft auf ein Volumselement
ist (siehe Fig.1.4)
~p = −
K
I
O
p df~ = −
Z
V
gradp d3 x .
Damit ist die Druckkraftdichte ~kp = −gradp Daneben gibt es aber auch Rei-
Abbildung 1.4: Kraft auf Volumen
bungskräfte, die über die Oberfläche am Volumselement angreifen. Diese Kräfte
können allgemein gerichtet sein, also auch Scherungen enthalten, man setzt daher
für die Kraft auf ein Oberflächenelement an (siehe Fig.1.5)
dKi = σij dfj
Die Gesamtkraft ist dann
Ki =
I
O
σij dfj =
Z
V
∂
σik d3 x =
∂xk
Z
V
σik,k d3 x
wobei der Spannungstensor eingeführt wurde. Damit ist die Kraftdichte dieser
Oberflächenkräfte
∂
σik
ki = σik,k =
∂xk
17
23. Juni 2008
Abbildung 1.5: Bedeutung des Spannungstensors
Dem Spezialfall von Druckkräften entspricht dem Spannungstensor σik = −pδik .
Um die Gestalt des Spannungstensors zu finden ist folgendes zu berücksichtigen:
• in ruhenden Flüssigkeiten tritt keine Kraftwirkung durch Reibung auf,
• nur an Flüssigkeitsflächen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten tritt eine Kraftwirkung auf,
• allerdings tritt keine Kraftwirkung auf, wenn das Geschwindigkeitsfeld einer
Rotation entspricht.
Als Ansatz wird der erste Term in einer Entwicklung des Spannungstensors in
den räumlichen Ableitungen der Geschwindigkeit genommen (kleine Geschwindigkeiten)
∂vi
∂vk
∂vj
σik = α
+β
+ γδik
∂xk
∂xi
∂xj
Dieser Ansatz muß aber zu σik = 0 führen wenn das Geschwindigkeitsfeld einer
Rotation entspricht, also für ~v = ~ω × ~r
vx = ωy z − ωz y
vy = ωz x − ωx z
vz = ωx y − ωy x
∂vx
= −ωz
∂y
∂vy
= ωz
∂x
∂vz
= ωx
∂y
∂vx
= ωy
∂z
∂vy
= ωx
∂z
∂vz
= −ωy
∂x
18
23. Juni 2008
Einsetzen zeigt, daß die Bedingung für α = β erfüllt ist. Es ist vi = imn ωm xn
σik
also Null für α = β.
= α∂k ωm xn imn + β∂i ωm xn kmn + γ∂j ωm xn jmn
(1.1)
= αωm imk + betaωm kmi
(1.2)
= (α − β)ωm imk
(1.3)
Also lautet der gesuchte allgemeinste Spannungstensor für die
Reibungskraft
∂vk
∂vi
+
σik = η
∂xk
∂xi
!
+ η̄δik
∂vj
∂xj
Die Invarianz gegenüber Rotationen hat also zu einem symmetrischen Spannungstensor geführt. Es ist üblich diesen Tensor noch in einen spurlosen Teil und den
Einheitstensor zu zerlegen
∂vk 2 ∂vj
∂vi
+
− δik
σik = η
∂xk
∂xi
3 ∂xj
!
+ ζδik
∂vj
∂xj
Die Koeffizienten heißen die Scherviskosität η und die Kompressionsviskosität
oder zweite Zähigkeit ζ. Beide sind größer Null, was aus der Entropiezunahme
beim irreversiblen Reibungsvorgang folgt (wird hier nicht explizite gezeigt, siehe
z.b. Landau, Lifshitz Hydrodynamik Seite 210ff.).
Die vollständige Bewegungsgleichung für eine zähe Flüssigkeit lautet damit
∂
∂
1 ∂
η
∂
vi = −
Φ−
p+
vi + vk
∂t
∂xk
∂xi
ρ ∂xi
ρ
!
ζ ∂ ∂
1 ∂ ∂
∂ ∂
vi +
vk +
vk
∂xk ∂xk
3 ∂xi ∂xk
ρ ∂xi ∂xk
oder in anderer Schreibweise
ρ
∂
~ ~v = −ρgradΦ − gradp + η∆~v + ζ + 1 η graddiv~v
~v + ρ ~v ∇
∂t
3
Historisches: 1822 fügte L. Navier zu den von L. Euler aufgestellten Gleichungen einen
Reibungsterm hinzu, der allerdings nur proportional zu ∆~v war (korrekt für inkompressible
Flüssigkeiten). 1845 Stokes.
1.4.2
Die übrigen Gleichungen
Dazu kommt die Gleichung die die Masseerhaltung ausdrückt, die Kontinuitätsgleichung (wir vermerken im Folgenden nicht explizit, daß wir die Gleichungen in
der Eulerschen Beschreibung verwenden)
∂ρ
+ div(ρ~v ) = 0
∂t
19
23. Juni 2008
und die Zustandsgleichung
p = p(ρ, T )
die man aus der Thermodynamik entnimmt. Für Gase nimmt man meist ideale
Gase bzw. wenn γ = cp /cv unabhängig von der Temperatur ist perfekte Gase. Es
fehlt noch eine Gleichung so daß auch das Temperaturfeld bestimmt werden kann.
Diese Gleichung wäre die Wärmeleitungsgleichung. Bis auf das letzte Kapitel
werden wir aber Wärmeleitungseffekte vernachlässigen. Eine andere Möglichkeit
ist es die Gleichung für die Entropiedichte
∂s
~ =0
+ ~v ∇s
∂t
bei adiabatischen Vorgängen heranzuziehen.
Für isotherme Vorgänge kann man die ideale Gasgleichung nehmen
p = RT ρ/m
m...Molgewicht
oder für adiabatische Vorgänge die Adiabatengleichung
p = cργ
γ=
Cp
Cv
Ganz wesentlich werden die Lösungen der Gleichungen durch die vorgegebenen
Randbedingungen bestimmt. Betrachtet man ein unendlich ausgedehntes Gebiet
so stellen sich Randbedingungen im Unendlichen, etwa daß das Geschwindigkeitsfeld dort durch einen konstanten Vektor gegeben ist. Bei Randbedingungen im
Endlichen unterscheiden wir zwischen drei Fällen.
• Offenen Rändern oder auch freien Oberflächen. Dort muß p = 0 sein (sonst
würde sich der Rand ja bewegen, weil ein Druck ausgeübt wird).
• Festen Rändern. Dort muß die Geschwindigkeit senkrecht zur Wand verschwinden, also (~v~n) = vn = 0 sein.
• Ist die Flüssigkeit zähe so verschwindet wegen der Reibung an der Wand
auch die zur Wand parallele Komponente der Geschwindigkeit vk = 0, und
man hat ~v = 0 an der Wand.
1.4.3
Grenzfälle der Navier-Stokes’schen Gleichungen
Numerische Lösung der Gleichungen: Methoden:
Lit.:
C.A.J.Fletcher, Computational Techniques for Fluid Dynamics, 2nd ed. 2Vol. Springer Series
20
23. Juni 2008
Näherung
Ideal
Inkompressibel
Statisch
Stationär
Wirbelfrei
Linearisiert
Zeitableitung
Dichte
Viskosität
Null
Geschwindigkeit
konstant
Null
Null
Null
div~v = 0
Null
6= Null
rot~v = 0
Tabelle 1.1: Vereinfachungen der Navier Stokes’schen Gleichungen
in Computational Physics, Berlin 1991
20. IFF Ferienkurs, Computersimulation in der Physik, 1989 bes. Kap. 32
Zellulare Automaten, Gittergasmodelle
Lit.:
U.Frisch, B.Haslacher, Y.Pomeau, Phys. Rev. Lett. (56),1505 (1986)
D.d’Humieres, B.Haslacher, P.Lallemand, Y.Pomeau, J.-P.Rivet, Complex Syst. 1, 649 (1987)
Was numerische Simulationen heute imstande sind zu leisten zeigen die Simulationen von Tröpfchenkollisionen (siehe Spektrum der Wissenschaft Januar
1999, Seite 72).
Abbildung 1.6: Ein Tropfen fällt auf eine Fläche, die mit einem dünnen Flüssigkeitsfilm benetzt ist. Es wurde auch berechnet, wie das Licht an den - computersimulierten - Flüssigkeitsoberflächen reflektiert und gebrochen wird.
Kapitel 2
Hydrostatik
In diesem Fall sind die Zeitableitungen und die Geschwindigkeit Null.
~v = 0
d
=0
dt
∂
=0
∂t
Es ist die Dichte und Druckverteilung unter dem Einfluß einer äußeren Kraft
(konservativ) zu finden. Dazu stehen die Bewegungsgleichung
ρ(~r)grad Φ(~r) + grad p(~r) = 0
und die Zustandsgleichung zur Verfügung. Wir setzten hier eine Zustandsgleichung der allgemeinen Form
p = cργ
voraus, wobei γ = cp /cv = 1+ f2 ist (f ist die Zahl der Freiheitsgrade des Moleküls
der Substanz die das Fluid bildet).
Beispiele:
• Die barometrische Höhenformel
• Stabiblität eines Sterns
• Die gleichförmig rotierende Flüssigkeit (Newton’scher Eimer)
• Der rotierende Himmelskörper
2.1
Die barometrische Höhenformel
Φ = gz
→
21
p = p(z)
22
23. Juni 2008
p 1/γ
dp
= −ρ(z)g = −
g
dz
c
g
dp
= − 1/γ dz
1/γ
p
c
1
1
1−
γ
g
p1− γ − p0 γ = 1 (z0 − z)
γ−1
cγ
Mit z0 = 0 löst man nach p auf (p0 = cργ0 )
p(z) = p0
"
ρ(z) = ρ0
"
gρ0 γ − 1
1−z
p0 γ
#
und für die Dichte
gρ0 γ − 1
1−z
p0 γ
#
γ
γ−1
1
γ−1
Der Parameter γ ist für eine isotherme Atmosphäre γ = 1, für eine adiabatische
γ = ccVp = 1 + f2 wo f die Anzahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle ist (1-atomig
f = 3, 2-atomig f = 5). An der Oberfläche der Atmossphäre ist p(h0 ) = 0 (und
dann ρ(h0 ) = 0 woraus die Dicke h0 der Atmosphäre zu
h0 =
p0 γ
gρ0 γ − 1
folgt. Die isotherme Atmosphäre ist also unendlich ausgedehnt. Die inkompressible Atmosphäre ergibt sich als Limes γ → ∞. (Fig.2.3)
Abbildung 2.1: Zur barometrischen Höhenformel
23
23. Juni 2008
2.2
Stabiblität eines Sterns
Die Gleichgewichtsbedingung lautet (Druckdifferenz hält Gewicht)
gradp(r) = −ρ(r)gradφ(r)
wo das Potential der Gravitationskraft aus der Poissongleichung
∆φ(r) = 4πGρ(r)
folgt. Kombination beider Gleichungen liefert
div
gradp(r)
= −4πGρ(r)
ρ(r)
In Kugelkoordinaten nimmt diese Gleichung folgende Gestalt an
1 d
r 2 dr
r 2 dp(r)
ρ(r) dr
!
= −4πGρ(r)
Einmal integrieren gibt die Veränderung des Drucks als Funktion des Abstands
dp
GM(r)
=−
ρ(r)
dr
r2
mit
dM
= 4πρr 2
dr
0
Dazu kommt noch die Zustandsgleichung p = p(ρ, T ) und eine Gleichung für die
Temperatur. Ohne Zustandsgleichung, bei vorgegebenen Radius und Gesamtmasse kann man schon eine Aussage über den minimalen Druck im Zentrum des
Sterns, p(0) machen. Man bildet
M(r) = 4π
Z
r
s2 ρ(s)ds
dp
=
dM
dp
dr
dM
dr
oder
=−
GM
4πr 4
24
23. Juni 2008
Abbildung 2.2: Druck und Dichte für Sonne und Erde (Sexl Weiße Zwerge-Rote
Riesen)
Daraus folgt durch integrieren über M (man beachte p(M) = 0 da Oberfläche)
p(0) − p(M) =
Z
0
M
GMdM
G
>
4
4πr (M)
4πR4
Z
M
0
MdM =
GM 2
8πR4
Man sucht nun eine Lösung bei der die Dichte konstant ist, also ρ(r) = ρ0 .
Dann ist
r3
M(r) = 4πρ0
3
und
dp(r)
4πGρ20 r
=−
dr
3
oder
2πGρ20 r 2
p(r) = p(0) −
3
Der Stern hat einen endlichen Radius R, der sich aus der vorgegebene Masse
ergibt (M0 = 4πR3 ρ0 /3). Der Druck im Zentrum ist
p(0) =
2πGρ20 R2
3
Verwendet man für den inneren Druck die ideale Gasgleichung (Temperatur konstant), so ist (m mittlere Masse eines Teilchens)
p0 = ρ0 kB T /m
Setzt man die beiden Drücke gleich erhält man den Jeans Radius
RJ2 =
3kB T
2πGρ0 m
25
23. Juni 2008
für eine vorgegebene Massendichte ρ0 und mittlere Molekülmasse m. Die Gaswolke kollabiert wenn der innere Druck kleiner ist als der Gravitationsdruck, oder
anders formuliert, wenn der Radius R der ’Gaswolke’ größer als der Jeans Radius
RJ ist (bei fester Massendichte). Eine andere Formulierung folgt aus der Definition der Gesamtmasse, sie kollabiert wenn sie die Jeans Masse MJ = 4πRJ3 ρ0 /3
übersteigt. Dies sieht man auch aus der Stabilitätsbetrachtung für die eben gefundene Lösung.
Die zeitliche Entwicklung von Fluktuationen um eine Lösung zeigen ob diese
Lösung stabil ist oder nicht. Wachsen sie an so ist die Lösung instabil. Dazu
entwickelt man in den Abweichungen von der Lösung (p0 und φ0 sind die Lösungen
die für feste ρ = ρ0 gefunden wurde)
p = p0 + δp
ρ = ρ0 + δρ
φ = φ0 + δφ
Das führt ausgehend von den Navier Stokes’schen Gleichungen auf das in den
Abweichungen lineare Gleichungssystem
ρ0
∂~v
= −gradδp + ρ0 gradδφ
∂t
∂δρ
= −ρ0 div~v
∂t
∆δφ(r) = 4πGδρ(r)
Es wird nun angenommen, daß die Druck und Dichtefluktuationen adiabatisch
vor sich gehen und daß damit gilt
δp = c20 δρ
mit c0 der adiabatischen Schallgeschwindigkeit (c0 =
q
∂p0 /∂ρ0 =
q
γp0 /ρ0 ).
Durch Kombination der Kontinuitätsgleichung mit der Impulsgleichung, deren
Divergenz man bildet
∂div~v
ρ0
= −∆δp + ρ0 ∆δφ
∂t
und einsetzen für δp bekommt man
∂2
δρ = c20 ∆δρ + ρ0 ∆δφ
2
∂t
Nun wird noch das Potential ersetzt und man findet
∂2
δρ = c20 ∆δρ + 4πGρ0 δρ
∂t2
Zerlegung der Fluktuation in Fourierkomponenten δρ ∼ exp(i~k~x − iωt) gibt
ω 2 = c20 k 2 − 4πGρ0
26
23. Juni 2008
Die Fluktuationen nehmen zeitlich zu wenn ω imaginär werden, wenn also
√
2π
c0
γkB T
4πGρ0
= kJ =
oder
λ2J =
=
k<
c0
λJ
2Gρ0
2Gρ0 m
Störungen großer Wellenlängen sind immer instabil. λJ /2 ist mit RJ zu vergleichen. Die Stabilitätsüberlegung ist ebenfalls eine Formulierung des Jeans Kriteriums. Aus der kleinsten instabilen Wellenlänge kann man ebenfalls eine kritische
Jeans-Masse berechnen
MJ0
4π
=
3
1
λJ
2
3
4π
ρ0 =
3
γkB T
8Gρ0 m
!3/2
ρ0
(2.1)
Das Jeans-Kriterium ist eine Bedingung für die Stabilität, ob eine kosmische
Gaswolke kollabiert und aus ihr letztendlich ein Stern entstehen kann. Es besagt,
dass eine Gaswolke zu kollabieren beginnt, falls die kontrahierenden Gravitationskräfte stärker als die stabilisierenden Kräfte sind. Stabilisierende Kräfte sind
vor allem der Gasdruck aber auch die Zentrifugalkraft, der magnetischer Druck
und der Strahlungsdruck. Turbulenzen spielen ebenfalls eine Rolle.
Üblicherweise erhält man das Jeanskriterium aus dem Verhältnis von Gravitationsenergie zu thermischer Energie (Virialsatz: 2Ekin = 3kB T M/m; Epot =
3GM 2 /5R). Es muß die Gravitationsenergie groß genug sein damit die Gasmasse
kollabieren kann, oder
5kB T R
(2.2)
M>
2Gm
wo m die mittlere Masse eines Teilchens in der Gaswolke. Umformen M =
4πρR3 /3 gibt
!3/2
4π 15kB T
M>
(2.3)
3 8πGρ0 m
Berechnung der potentiellen Energie: (Mr = 4πρ0 r3 /3, dMr = 4πρr2 dr)
Z R
Z M
14π 2 Gρ20 R5
3 GM 2
14π 2 Gρ20 r4
GMr
dMr = −
dr = −
=−
Φ=−
r
3
15
5 R
0
0
2.3
Sternentwicklung
Die Zustandsgleichung der Materie in einer Kugel, die unter dem Einfluß der
Gravitation kollabiert (siehe nächstes Kapitel) definiert einen möglichen Gleichgewichtszustand, Umfang, den die Kugel erreichen kann. Dies hängt von der Masse der Materie ab. Ob das ’Lebensende’ der Kugel ein ’Schwarzes Loch’ ist, ein
23. Juni 2008
27
Abbildung 2.3: Schicksal einer Kugelmasse (Thorne, Gekrm̈mter Raum und verbogene Zeit, Seite 229). Im weißen Gebiet wandert die Kugelmasse mit schrumpfenden Umfang nach links bis sie in einem stabilen Gleichgewicht endet. Im schraffierten Gebiet bläht sich die Kugelmasse auf und bewegt sich nach rechts bis sie in
einem stabilen Gleichgewicht endet. Ist die Masse zu groß für den gegebenen Umfang endet die Kugel in einem Schwarzen Loch. [Die gestrichelte Kurve, die von
der Neutronensternkurve nach links abzweigt ergibt sich unter Vernachlässigung
der Kernkräfte]
Neutronenstern oder ein weißer Zwerg hängt von der verwendeten Zustandsgleichung ab.
Eine dieser Zustandsgleichungen ist die Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung.
Beginnend bei niedrigen (’normalen’)Dichten besteht die Materie aus Eisen [Endresultat nuklearer Prozesse]. Weitere Verdichtung dr¨’uckt die Elektronenbehnen
der Eisenatome zusammen, bis sie, delokalisiert, ein Elektronengas bilden. Die Zustandsgleichung dafür wurde von Chandrasekhar, Anderson und Stoner angegeben. Relativistische Effekte beginnen eine Rolle zu spielen, da sich die Elektronen
mit hoher Geschwindigkeit bewegen. Weitere Kompression drückt die Elektronen
in die Atomkerne, Neutronen entstehen, es bildet sich eine Neutronengas.
2.4
Gleichgewicht in rotierenden Systemen
Für ein rotierendes System ist natürlich im stationären Zustand das Geschwindigkeitsfeld ~v = ~ω ×~r. Da die Stömung stationär ist, verschwindet die Zeitableitung,
aber es verschwinden auch die Zähigkeitsterme, da die Flüssigkeit als ganzes rotieren soll. Man setzt also das Geschwindigkeitsfeld lediglich in den Term rechts
28
23. Juni 2008
~ v ein.
(~v ∇)~
vl
∂
∂
vi = lmn ωm xn
ipq ωp xq = lmn ipl ωm xn ωp =
∂xl
∂xl
(δmi δnp − δmp δni ) ωm xn ωp = ωi xn ωn − ω 2 xi
Es ist
∂
lmn ωm xn lpq ωp xq =
∂xi
∂
xn xq =
(δmp δnq − δmq δnp ) ωm ωp
∂xi
∂
∂
ωm ωm
xn xn − ωm ωn
xn xm = −2 ωi xn ωn − ω 2xi
∂xi
∂xi
grad (~ω × ~r)2 =
Das Problem der Gleichgewichtskonfiguration des rotierenden Systems bedeutet, daß zum Potential der Schwerkraft noch das Potential der Zentrifugalkraft
hinzu kommt
1
Φges = Φgrav − (~ω × ~r)2 .
2
2.4.1
Der rotierende Eimer
Betrachten wir einen zylindrischen Eimer (Fig.2.4) dessen Achse die z-Achse ist
Abbildung 2.4: Der rotierende Eimer
29
23. Juni 2008
√
und der um diese rotiert (~ω in z-Richtung r = x2 + y 2 ist der Abstand senkrecht
darauf), dann gilt
1 2 2
p = ρ −gz + r ω + const.
2
da die Oberfläche frei ist, muß auf ihr p = 0 sein. Sei ρ = const. also die Flüssigkeit
inkompressibel, dann ist die Gleichung der Oberfläche
(z − z0 ) = r 2
ω2
.
2g
z0 ist dadurch festgelegt, daß das Flüssigkeitsvolumen unverändert bleibt.
Der rotierende Eimer hat eine wichtige Bedeutung für das Verständnis der klassischen
Mechanik und ihre Weiterentwicklung durch die allgemeine Relativitätstheorie (ART).
• Newton glaubte durch den rotierenden Eimer die Existenz eines absoluten Raumes (gegen den der Eimer rotiert beweisen zu können. Dem hat schon Berkley widersprochen.
Nach Newton resultiert die Zentrifugalkraft (Trägheit) aus der Rotation gegenüber dem
absoluten Raum. Die Gravitationskraft ist davon verschieden. Siehe:
Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687; Die mathematischen Prinzipien der Physik: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Gruyter (1999)
Berkeley, A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge, London (1710)
• Mach widersprach dem mit dem Argument, dass von einer Rotation des Eimers nur
gesprochen werden kann, wenn andere Körper (mindestens einer) vorhanden sind gegen
die der Eimer (genauer das Wasser) rotiert. Er war der Meinung, dass auch die Rotation
(so wie die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) nur relativ und nicht absolut
verstanden werden kann. Er nahm als solche, relativ zum Eimer ruhenden Körper, die
Sterne des Fixsternhimmels (vereinfacht als Schale) gegen die der Eimer rotiert und
behauptete in einem Gedankenexperiment, dass das Wasser im Eimer ebenfalls eine
parabolische Oberfläche zeigen würde, wenn der Eimer ruht und der Fixsternhimmel
sich um den Eimer dreht (eigentlich braucht man für diese Überlegung drei Körper).
Nach Mach resultiert die Zenrifugalkraft aus der gravitativen Wechselwirkung zwischen
den beiden Masen die gegeneinander rotieren.
Siehe:
Mach, Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von der Erhaltung der Arbeit, Prag
(1872); Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig (1883)
• Dieses Argumentation hat Einstein mit zur Entwicklung der ART angeregt.
Siehe:
Einstein, Vierteljahrschrift für gerichtliche Medizin und öffentliches Sanitätswesen 44,
37 (1912); Phys. Z. 14, 1249 (1913)
• Im Rahmen der ART kann man die Raum-Zeit für die Fälle wo ein massiver Körper
rotiert bzw eine massive Schale rotiert berechnen. In der ART beeinflußt alle vorhande
Materie das lokale Trägheitsverhalten, aber es scheint nicht die einzige Ursache für das
Trägheitsverhalten zu sein.
Siehe:
Thirring, Phys. Z. 19, 33 (1918); 22, 29 (1921)
Pfister and Brown, Class. Quantum Grav. 2, 909 (1985)
Rindler, Relativity. Special, General, and Cosmological. Oxford2nd (2006)
23. Juni 2008
30
Eine Diskussion dazu findet man in B. Green, Der Stoff, aus dem der Kosmos ist, Siedler
Verlag 2004. Dort heißt es unter anderem: Nach der ART würde das Wasser in Newton’s
Eimer, auch wenn es in einem ansonsten leeren Universum rotierte, eine konkave Form
annehmen, was, da sich daraus eine absoluter Beschleunigungsbegriff ergibt, nicht mit
Machs rein relationistischer Sichtweise in Einklang steht (Bemerkung: Ist das nicht eine
Konsequenz der Randbedingungen im Unendlichen?).
Um Machs Idee zu testen betrachtet man eine massereiche rotierende Kugelschale mit
dem ruhenden (!) Newton’schen Eimer im Zentrum(Bemerkung: jedenfalls rotiert die
Kugelschale relativ zum Eimer). Die Rechnung von Pfister und Brown zeigt, daß die
Wasseroberfläche eine konkave Form annehmen würde. Für eine hinreichend große Masse
der Kugelschale ist die Form der Wasseroberfläche unabhängig davon ob der Eimer oder
die Kugelschale rotiert.
2.4.2
Der rotierende Stern
Die Lösung diese Problems trägt auch zur Beantwortung der Frage nach der
Gestalt der Erde bei.
Newton schloß aus hydrostatischen Überlegungen, daß die Erde die Gestalt eines an den Polen
abgeplatteten Ellipsoids haben müßte und gab auch einen Wert für die Achsenverhältnisse
an. Andere Wissenschafter behaupteten gerade das Gegenteil. Dies artete zu einem nationalen
Streit zwischen der Londoner Royal Society und der Pariser Akademie der Wissenschaft aus.
Entschieden wurde der Streit durch die Lapplandexpedition von Maupertuis im Jahre 1736
zugunsten Newtons. Die Gestalt der Erde war dann später, 1790, auch für die Definition des
Meters als zehnmillionster Teil eines Meridianquadranten von Bedeutung. Lit.: J. Teichmann,
Abbildung 2.5: Die Gestalt der Erde wie sie noch 1744 dargestellt wurde obwohl
der Nachweis eines abgeplatteten Ellipsoids bereits geführt war.
Wandel des Weltbildes, rororo7721 Seite 131ff.
Eratosthenes (300 vor Chr) hatte als erster eine halbwegs richtige Vorstellung von der
Größe (heute: Rk = 6 378 km am Äquator) und Form der Erde (Kugel). Allerdings konnte
31
23. Juni 2008
sich sein Weltmodell nicht durchsetzen. Die tatsächliche und erfolgreiche Erkundung der Erde
beginnt erst mit Kolumbus. Damit war auch die Frage des sich Zurechtfindens auf dem Globus von fundamentalem (Überlebens)Interesse. Die moderne Geodäsie geht auf Snellius (1617)
zurück. Dabei wird eine (kurze) Strecke genau vermessen. Der Rest sind Winkelmessungen (incl. Polhöhendifferenz). Daß die Erde aufgrund ihrer Rotation ein (an den Polen) abgeplattetes
Ellipsoid (Newton: Gleichgewicht von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft liefert 230:229)
sein müsse, sagten erstmals Huygens und Newton voraus. Picard führte 1669/70 bei Paris die
erste moderne Gradmessung der Erde durch. Diese Messungen wurden von Jaques Cassini (und
anderen) in Europa fortgesetz mit dem Ergebnis (1720), daß die Erde die Gestalt einer Zitrone
hatte. Es entspann sich dann ein Steit zwischen Newtonianern (England) und Kartesianern
(Frankreich — Descartes hatte eine eigene Theorie mit Wirbelkräften). Um die Form der Erde endgültig zu bestimmen, sah man ein, mußten weiter auseinanderliegende Meridiangrade
gemessen werden und so wurden im Auftrag Ludwig XV. von der Pariser Akademie zwei Expeditionen ausgerüstet, eine nach Peru (1736-1743), die andere nach Lappland (unter der Leitung
von Maupertuis 1736/37). Das Ergebnis bestätigte die Newtonsche Gravitationstheorie: Die
Abplattung war unstrittig, der Wert leider nicht (Um den Ruhm einheimsen zu können, wurden die Messungen in Lappland von Maupertuis in größter Eile — gemeinsam mit Clairault
und Celsius — durchgeführt und ergaben einen Wert für die Abplattung, der doppelt so groß
wie der aus der Peru Expedition war). Endgültig wurde er (nach einer Wiederholung der Messungen in Lappland, wobei sich die Richtigkeit der sorgfältigeren Messung in Peru ergab) 1803
bestimmt. Heute erhält man aus Satelliten-Messungen : (Re - Rp)/Re = 1/298,25 mit Index e
für Äquator und p für Pol.
Basierend auf den topographischen Daten einer Triangulationskette in Frankreich (Längenunterschiede waren mittels Triangulation erstmalig sicher zu bestimmen) und den astronomischen Daten aus einer Breitenbestimmung an den Endpunkten der Kette schloß JEAN PICARD
(1620-1682) im Jahre 1670 die erste neuzeitliche Berechnung des Erdradius zu R = 6275 km
ab.
Das neue Konzept einer (näherungsweise) ellipsoidisch geformten Meeresoberfläche (seit
Kepler waren Ellipsen “in”) erforderte allerdings die Bestimmung zweier Größen, der großen
Halbachse a der Meridianellipse und deren Abplattung f (oder der numerischen Exzentrizität
e=a/E). Der mit der Ausbreitung des französischen Triangulationsnetzes beauftragte königliche
Astronom GIOVANNI CASSINI (1625-1712) erhielt als überraschendes Ergebnis ein verlängertes Rotationsellipsoid. Heute wissen wir, daß er das Ergebnis durch einen methodischen Fehler
erzeugt hat, durch die Nichtberücksichtigung lokaler Lotabweichungen. Jedenfalls stand es im
Gegensatz zu der Schlußfolgerung der damals noch nicht akzeptierten Newtonschen Theorie.
Zur endgültigen Klärung der Form der Meridianellipse organisierte die Französische Akademie der Wissenschaften in den Jahren 1735-43 zwei Meßexpeditionen nahe des Äquators
(Ecuador) bzw. nahe des Pols (Lappland) unter Leitung von PIERRE BOUGUER (1698-1758)
bzw. von PIERRE DE MAUPERTUIS (1698-1759), letzterer begleitet von dem jungen ALEXIS CLAIRAUT (1713-1765). Das Resultat der Datenauswertung (siehe Tabelle 1) bestätigte
Newtons Theorie und seine Prognose eines abgeplatteten Erdellipsoids.
Analog zum rotierenden Eimer lautet auch hier die Gleichgewichtsbedingung
2
~ =0
~ v − Φ − ∇p
ρ∇
2
"
#
Allerdings liegt die Schwierigkeit nun in der Berechnung des Potentials Φ. Unter
der Annahme einer konstanten Dichte (Inkompressibilität, das heißt das Volumen
32
23. Juni 2008
bleibt gleich nur die Form ändert sich) folgt, daß sich die Zenrtifugalkraft, die
Druckkraft und die Gravitationskraft im Gleichgewicht befinden müssen.
ρ
ρΦ + p − (~ω × ~r)2 = C
2
Daraus ist sofort zu sehen, daß eine Kugel keine Fläche konstanten Drucks sein
kann, wenn die Rotationsgeschwindigkeit ungleich Null ist. Denn das Potential
3M
einer Kugel vom Radius R wäre (die Dichte sei konstant ρ = 4πR
3 ) innerhalb der
Kugel im Abstand r vom Zentrum (Φ dort auf Null normiert)
2πGρr 2
Φ(r) =
3
was aus der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten folgt
dΦ
1 d
r2
2
r dr
dr
!
= 4πGρ
Dann ist eine Fläche konstanten Drucks
2
const. = x
4πρG
4πρG
4πρG
ω −
+ y2 ω2 −
− z2
3
3
3
2
und das ist keine Kugelfläche. Also kann die Gleichgewichtsform keine Kugel sein.
Es muß also nach einer anderen Gleichgewichtsform gesucht werden. Hier sind
wir mit einem häufig auftretenden Problem konfrontiert, daß nämlich eine explizite Berechnung der Flächen konstanten Drucks nur unter der Annahme eine
bestimmten Gleichgewichtsform des Körpers möglich ist. Am Ende der Rechnung wird die Konsistenz überprüft. Es wird deshalb als nächstes die Form eines
Ellipsoids angenommen. D. h. es muß das Gravitationspotential innerhalb eines
Rotationsellipsoids
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a2 a2 c2
berechnet werden. Die Lösung kann als Integral hingeschrieben werden
Φ(~r) = −ρG
d3 x0
r − ~r0 |
Ellipsoid |~
Z
(I)
Übung: Die Rechnung für die Kugel führt auf
Z
0
R
02
r dr
0
Z
1
−1
d cos θ
Z
0
2π
1
= 4π
dφ √
2
02
r + r − 2rr0 cos θ
Z
0
R
02
r dr
0
1
1
0 1
0
Θ(r − r ) + Θ(r − r) 0
r
r
−1
Z
Für das Ellipsoid (siehe Greiner, Hydrodynamik 1978, Seite 66 oder Trefil, Introduction to the
Physics of Fluids and Solids, Seite 20) kann das Integral ebenfalls ausgewertet werden. Dazu
33
23. Juni 2008
führt man die Koordinatentransformation auf verschobene Kugelkoordinaten durch (~r ist ein
Punkt aus dem Inneren des Ellipsoids)
x0 = x + r00 sin Θ cos φ
y 0 = y + r00 sin Θ sin φ
z 0 = z + r00 cos Θ
Damit wird das Integral (I)
dV 00
=
r00
Z
π
2
Z
d(cos Θ)
−π
2
Z
2π
dφ
0
Z
rO (Θ,φ)
r00 dr00
0
rO (Θ, φ) ist der Abstand zur Oberfläche des Ellipsoids für eine feste Wahl von Θ und φ. Diese
Funktion bekommt man wenn man in die Oberflächengleichung die transformierten Koordinaten
einsetzt. Damit gehen die Aufpunktkoordinaten ~r als Parameter in die Funktion rO (Θ, φ) ein.
Für rO erhält man die quadratische Gleichung
2
ArO
+ 2BrO + C = 0
mit
1
1
1
sin2 Θ cos2 φ + 2 sin2 Θ sin2 φ + 2 cos2 Θ
a2
b
c
x
y
z
B = 2 sin Θ cos φ + 2 sin Θ sin φ + 2 cos Θ
a
b
c
A=
y2
z2
x2
+
+
−1
a2
b2
c2
und der Lösung (Wahl der Vorzeichen so daß Punkt im Innern des Ellipsoids liegt)
C=
rO =
Die r00 Integration gibt
1
2
Z
π
2
d(cos Θ)
−π
2
Z
p
1 −B + B 2 − AC
A
2π
dφ
0
p
1 2
2B − AC − 2B B 2 − AC
2
A
Bevor man weiterrechnet ist es nützlich Symmetrieüberlegungen anzustellen. B ändert das
Vorzeichen unter φ in π + φ und Θ in π − Θ. Das heißt der Wurzelterm trägt insgesamt nichts
bei. Ferner erwartet man, daß die Kreuzterme xy, xz, usw. nichts beitragen. Als Resultat solcher
Betrachtungen ergibt sich (noch wird der allgemeine Fall mit a 6= b 6= c behandelt)
Φ(~x) =
Z
π
d(cos Θ)
0
Z
0
2π
dφ
y2
z2
x2
2
2
2
2
sin
Θ
cos
φ
+
sin
Θ
sin
φ
+
cos2 Θ
a4
b4
c4
−
Z
π
2
−π
2
d(cos Θ)
Z
0
2π
dφ
1
−
A2
C
2A
Die Integrale sind kompliziert, doch kann man alle Integrale durch eines und seine Ableitungen
ausdrücken. Dieses ist
Z π2
Z 2π
1
W =
d(cos Θ)
dφ
π
2A
−2
0
34
23. Juni 2008
Damit wird das Potential
Φ(~x) =
das ist von der Form
1 ∂W
W
W
1 ∂W
− 3 x2 +
− 3 y2+
a ∂a
a
b ∂b
b
W
1 ∂W
− 3 z2 + W =
+
c ∂c
c
= αx2 + βy 2 + γz 2 + χ
Um die Koeffizienten zu bekommen ist W zu berechnen. Zuerst wird die φ-Integration ausgeführt. Dazu schreibt man
A = M cos2 φ + N sin2 φ
mit
M=
Es ist
W =
1
2
Z
π
2
sin2 Θ cos2 Θ
+
a2
c2
d(cos Θ)
−π
2
2π
Z
N=
dφ
=2
2
M cos φ + N sin2 φ
0
Die Transformation von Θ auf λ
sin Θ = √
führt auf
W = πabc
Z
sin2 Θ cos2 Θ
+
b2
c2
∞
Z
π
2
−π
2
d(cos Θ)
√
MN
c
+λ
c2
dλ
p
2
(a + λ)(b2 + λ)(c2 + λ)
0
Setzt man das in obige Formel ein so stellt sich das Potential dar als
Z ∞
dλ
y2
z2
x2
+
+
−
1
Φ(~x) = πabc
2
2
2
a +λ b +λ c +λ
∆
0
mit
∆=
Die Koeffizienten α etc. sind also
p
(a2 + λ)(b2 + λ)(c2 + λ)
α = abc
Z
∞
0
dλ
∆(a2 + λ)
etc.
Die Flächen konstanten Drucks sind dann
const. = x2 ω 2 − 2πρGα + y 2 ω 2 − 2πρGα + z 2 2πρGγ
α und γ sind geometrische Konstanten die von den Halbachsen des Rotationsellipsoids abhängen (wir haben schon zwei Halbachsen gleich gesetzt)
2
α=a c
Z
∞
Z
∞
0
und analog für γ
2
γ=a c
0
(a2
dλ
√
+ λ)2 c2 + λ
dλ
(a2
3
+ λ)(c2 + λ) 2
35
23. Juni 2008
Konsistenz verlangt daß die Oberfläche eine Fläche konstanten Drucks ist. Sind
die Halbachsen des Rotationsellipsoids
√ 2
ξ +1
0≤ξ≤∞
a=c
ξ
(die Parametrisierung garantiert, daß die Kreise für jedes ξ einen größeren Radius haben als c, charakterisiert also die Abplattung. Für ξ → 0 erhält man eine
unendlich ausgedehnte Scheibe, für ξ → ∞ eine Kugel) dann ist
α = (ξ 2 + 1)ξarccotξ − ξ 2
γ = 2(ξ 2 + 1)(1 − ξarccotξ)
und es folgt aus der Bedingung
ω 2 − 2πρGα a2 = 2πρGγc2
ω2
= ξ(3ξ 2 + 1)arccot(ξ) − 3ξ 2 ,
2πρG
die die Abplattung als Funktion der Rotationsgeschwindigkeit gibt. Die rechte Seite dieser Gleichung hat ein Maximum (siehe Fig.2.6), d. h. für zu große
Werte von ω ist keine konsistente Lösung dieser Gestalt möglich. Die Gravitati-
Abbildung 2.6: Konsistenzbedingung
36
23. Juni 2008
onskraft ist dann zu schwach um den Körper zusammenzuhalten. Diese kritische
Rotationsgeschwindigkeit liegt bei
ω̄c =
q
0.448πρG
Ist ω kleiner so gibt es eine Gleichgewichtslösung, es gibt sogar zwei Lösungen
(wie es zu genau einer Lösung kommt siehe weiter unten). Man kann für eine
beliebige Gestalt zeigen daß
q
ωc = 2πρG
also kein inkompressibler flüssiger Körper kann mit einer größeren Winkelgeschwindigkeit stabil rotieren. Dies ist mit Hilfe des Green’schen Satzes (siehe
Elektrodynamik) möglich
Z
V
[φ∇2 ψ − ψ∇2 φ]dV =
I
O
[φ
∂ψ
∂φ
− ψ ]dO
∂n
∂n
Spezialisiert man auf φ = 1 und ψ = p(~r) so folgt die Beziehung
Z
V
2
∇ pdV =
I
O
∂p
dO
∂n
Setzt man nun für p ein, so folgt
Z
V
2
∇ p dV =
Z
V
∇
2
("
ρω 2 2
(x + y 2) − ρΦ dV = 2ρV (ω 2 − 2πρG)
2
#
)
wobei ∇2 Φ = 4πGρ, die Laplacegleichung für das Gravitationspotential benutzt
wurde. Nun ist der Druck auf der Oberfläche der rotierenden Flüssigkeit konstant
also die rechte Seite der Gleichung eine Konstante. Wenn nun ω > ωc ist, so muß
jedes Integral über eine Oberfläche in der Flüssigkeit positiv sein, d.h. der Druck
nimmt nach außen hin zu (das Integeral geht mit dem eingeschlossenen Volumen), die Druckkraft weist also zum Zentrum so wie die Gravitationskraft (das
gilt für die Kräfte entlang der z-Achse, da entlang dieser keine Zentrifugalkraft
wirkt). Damit ist aber Stabilität nicht mehr möglich. Man sieht daraus, daß der
Deformationsprozeß so erfolgt, daß die Flüssigkeit in der z-Richtung kollabiert
und am Äquator auseinanderfliegt.
Im allgemeinen betrachtet man folgendes Problem, eine Gaswolke zieht sich
unter dem Einfluß der Schwerkraft zusammen und findet eine Gleichgewichtskonfiguration. Unter der Annahme der Inkompressibilität ist schon der Prozess
der Kondensation geschehen nur die Form kann sich noch ändern. Die Gaswolke
kann anfangs rotieren, d.h. sie hat einen bestimmten Drehimpuls, neben einer
bestimmten Masse. Beide Größen bleiben konstant, auch wenn sich die Gestalt
ändert. Dies hat aber zur Folge, daß sich die Rotationsgeschwindigkeit ändert.
Läßt man den Stern Formen charakterisiert durch ξ durchlaufen, so durchläuft
23. Juni 2008
37
man verschiedene Trägheitmomente. Also im betrachteten Beispiel wird die Rotationsgeschwindigkeit über das Trägheitsmoment eine Funktion des Parameters ξ.
Das führt zu einer Lösung; sofern allerdings, dabei ω unter der Stabilitätsgrenze
für die betrachtete Geometrie bleibt.
Einige Werte:
Erde: ρ = 5.52 g cm−3 daraus folgt mit G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 der kritische Wert
ωc = 1.5×10−3 sec−1 oder Tc = 2π
ωc = 1.8h. aus der Abplattung (ξ = 12.6) folgt (ω/ωc ) = 0.059;
die tatsächliche Rotationsgeschwindigkeit ist (ω/ωc ) = 0.048
Für die Sonne ergib sich keine zufriedenstellende Übereinstimmung.
Wir haben eine Gleichgewichtsform (das abgeplattete Ellipsoid) gefunden. Ist
diese Form auch stabil gegen kleine Störungen der Form? Man kann zeigen, daß
das Ellipsoid gegenüber allen Störungen die die Achsenlängen ändern stabil ist
(bei konstanter Dichte). Es sind dann Oszillationen um die Gleichgewichtsform
möglich.
Es sei noch vermerkt, daß auch eine Gleichgewichtskonfiguration möglich ist
für die alle drei Achsen des Ellipsoids verschieden sind.
Abbildung 2.7: Gestalten der Erde: Kugelgestalt, Mc Laurin’s Rotationsellipsoid,
Jacobi’s Ellipsoid, Poincare’s Birnenellipsoid
23. Juni 2008
38
The shape of planet Earth by Jos Leys/Etienne Ghys
Introduction
The shape of the Earth has intrigued scientists throughout history. The general acceptance
of the fact that the Earth is round came about in the first century A.D., although Pythagoras
had already postulated a spherical Earth 600 years earlier. The flat Earth concept resurfaced
now and again in the Middle Ages, sometimes on religous grounds, but it is safe to say that
mankind has known for 2000 years that we live on a sphere. We know also that it is not a
perfect sphere: the diameter from pole to pole is shorter than the diameter at the equator. The
difference is small: the equatorial diameter is about 12,700 kilometers, and the pole to pole
diameter is only about 40 km shorter.
The reason for this difference is the Earth’s rotation, wich creates a centrifugal force perpendicular to the rotation axis. If the Earth consisted of solid material, then there would be
no effect on the shape. Suppose the Earth was like a solid billiard ball. The rotation would put
a strain on the material but there would be no deformation. Our Earth has a molten interior,
it has tectonic plates on the thin crust that can move slowly, and so it is certainly not a solid
ball. The Earth is ”viscous” and this accounts for the slight flattening at the poles. Because
of the rotation, the Earth has an angular momentum, L. One can look at the Earth as a huge
flywheel. The energy stored in a rotating mass is L*ω/2, where ω is the rotation speed of 2π
radians per day. The value for L is 5.86.1033 kJoule.sec. To put this in perspective: if we could
harness the rotational energy of the Earth, then it would take 5.108 years to use it all up. (at
the current worldwide energy use of 10,000 million tonnes of oil equivalent per year). The snag
is that in 500 million years, the Earth would stand still! We will be discussing what happens
if the value of L changes, so keep in mind the colossal scale of the energy associated with the
Earth’s rotation.
The theoretical shape of the Earth has been studied by mathematicians over the past 4
centuries (although the interest has waned the last 40 years or so). The list of people who have
contributed to this topic sounds like an all-time hall of fame of mathematicians: Newton (1689),
Huygens (1690), Cassini (1701), Maupertuis (1732), Clairaut (1733), Euler (1740), MacLaurin
(1742), D’Alembert (1756), Lagrange (1759), Laplace (1772), Legendre (1784), Monge (1787),
Poisson (1811), Gauss (1813), Cauchy (1815), Jacobi (1834), Dirichlet (1857), Dedekind (1860),
Riemann (1860), Poincare (1885), Darwin (1906, the son of Charles Darwin), Jeans (1917),
Cartan (1924), Chandrasekhar (1960), and others. It was Isaac Newton who first claimed that
the Earth is not spherical, but ”oval”. Newton imagined two wells going down to the center
of the Earth: one drilled from the North Pole, and one drilled from the equator, both filled
with water. The water in the equatorial well is subject to the centrifugal force, and the water
in the Polar well is not. For the two columns of water to be in equilibrium, it follows that
the equatorial well must be longer.. In what follows we will discuss the theoretical shapes the
Earth could take at a higher angular momentum, through the milestone discoveries of Colin
MacLaurin, Carl Jacobi, and Henri Poincar. Clicking the image above will bring up a film of the
Earth as we all know it, only it turns about 800 times faster than it does in reality (otherwise
the film would have to last for 24 hours for one full turn). In all the films on this page, rotation
speed is the only item that has been scaled. The dimensions have been calculated with exact
formulas.
McLaurin’s flat Earth
Setting up a mathematical model of the Earth, taking into account all its properties, is
extremely complicated: the Earth has a non-homogeneous interior, there are internal flows of
the molten material, there is a relatively thin crust, etc. A mathematical model is only feasible
23. Juni 2008
39
if the question at hand is simplified. Studying a mass of an ideal fluid (ie. with zero viscosity),
floating in the vacuum of empty space, and subject to a rotation, yields calculable results
that should at least give a reasonable indication on what would happen in reality. In 1742,
the Scotsman Colin MacLaurin published ”A Treatise on Fluxions”, a milestone in the history
of calculus. Amidst items for which he is better kownn (eg.the MacLaurin series), the book
also contains a study on the shape of rotating bodies. MacLaurin shows that, as the angular
momentum increases, the Earth will get ever more flat. The shape is an ellipsoid with two
equal axes, rotating around the short axis. The ellipsoid becomes a disc with an ever increasing
radius. The rotation speed first increases, but the speed reaches a maximum and will then
decrease. As the radius of the disc continues to grow and tends toward infinity, the rotation
speed will tend toward zero: L can be expressed as L=ω.I, where I is the moment of inertia. For
a constant mass, the moment of inertia of any object will get larger and larger as the object
takes on a shape where a radial dimension becomes larger and larger. Therefore the rotation
speed ω must go to zero for a finite L and an ever increasing radius. The images below show
consecutive stages of the shape of the Earth as the angular momentum increases. The numbers
on the images for the rotation speed and angular momentum are dimensionless values, and
thus do not represent the actual rotation speed in radians per second or angular momentum in
Joule.sec. One should look at the relative values between stages. One point of reference is that
the actual rotation speed of the Earth corresponds to a value ω of approximately 0.06, and that
the actual angular momentum corresponds to a value L of about 0.024.
The maximum rotational speed is reached when the radius is only about 20This speed is
then about 11 times the current speed, so that our days at this point would last 2 hours and 8
minutes! Beyond that point, the days will get longer again, as the speed decreases. However, we
may not notice as now the Earth is getting flat, and depending on where we are on the globe,
the sun may never set or never rise. In the situation of the last image on the right above, the
kinetic energy of the Earth is 200 times bigger than it currently is. The Earth is a disc with a
diameter of 50,000 km, about four times the current equatorial diameter, and a Pole to Pole
distance of only about 800 km.
Jacobi’s ellipsoidal Earth
In 1834, Carl Jacobi got interested in the problem. Through his deep knowledge of elliptic
functions, he was able to prove that there can be stable configurations that are ellipsoids, just
like the MacLaurin shapes, but that these can transition to an ellipsoid shape with 3 unequal
axes. The images and movie below show the transition to the ’Jacobi ellipsoids’. Note that, just
like the MacLaurin nearly flat Earth, the speed of rotation diminishes as the excentricity of the
ellipsoid increases. We will discuss the phenomenon of transition between the MacLaurin and
Jacobi shapes in the next section.
Forks in the road: bifurcations
We have seen that the theoretical shape of the Earth changes to an ellipsoid as the angular
momentum increases.The mathematical formulas that describe this change are quite complicated. The fact is that, as of a certain point, they yield more than one solution. This is illustrated
below. In the picture on the left, the ball is in a stable position in the bottom of the curve.
In the picture on the right, the curve has changed its shape, and there are now two stable
positions, and one instable one.
Below are two 3D versions of this situation: in the picture on the left (click on it for a movie)
the surface has a single valley on the back end, but has two symmetric valleys as we move to
the front. Beyond the point where the surface has an inflection point, the balls on the surface
have two stable positions and one instable one. This is the fork in the road: a bifurcation. In
23. Juni 2008
40
Abbildung 2.8: Bifurkationen der verschiedenen Lösungen
the picture on the right (click on it for a movie), the ball is at rest in the bottom of a cup. The
film shows how the surface evolves into a ”Mexican hat”, which has one instable position and
a ring of stable positions around it.
Coming back to our model of the Earth as a rotating mass of an ideal fluid with angular
moment L, the ”surface” is the graph of a function U representing the interaction of the gravitational attraction and the centrifugal repulsionäs the total energy of the system. If the second
derivative of this function is zero, we have an inflection point, and the path followed by the
shape of our ”Earth” splits up: it may follow the MacLaurin route or the Jacobi route.
Ellipsoid geography
Following the path of possible Jacobi ellipsoids, further bifurcations are possible, as we shall
see in the next section. This requires the calculation of the second derivative of our function U
in the neighbourhood of the ellipsoids. This leads to doing harmonic analysis on the ellipsoid,
analogous to spherical harmonics on the sphere. We will then encounter the functions of Lam:
(a¡b¡c)
y2
z2
x2
+
+
=1
a2 − λ2
b2 − λ2
c2 − λ2
This formula describes an ellipsoid for λ¡a, a one-sheeted hyperboloid for a¡λ¡b and a twosheeted hyperboloid for b¡λ¡c. We get a family of surfaces for a given a, b and c that are all
perpendicular to each other. The picture on the right (click on it for a movie) shows how the
two families of hyperboloids would form a latitude/longitude grid on an elliptical world. (We
have humoured the British by leaving the zero meridian going through Greenwich.)
Poincare’s pear
In 1885, the great Henri Poincar published an article in Acta Mathematica entitled ”Sur
l’quilibre d’une masse fluide anime d’un mouvement de rotation” (”on the equilibrium of a
fluid mass in rotation”). Here he described how the path of the Jacobi ellipsoids encounters
multiple bifurcation points. (Illustrated in the picture below on the left) However, the shape of
the mass of fluid after that bifurcation is not an ellipsoid anymore. Poincar called it piriforme
( pear shaped ). He made a drawing of what he thought the shape would be (below on the
right), which as it turns out, was wrong. Poincar was a genius mathematician, but had problems
making accurate drawings, probably due to his bad eyesight.
23. Juni 2008
41
The true image stemming from his formulas is shown on the right. This is the shape after
the first bifurcation on the Jacobi path. For lack of a better name, and in honour of Poincar,
the name piriform has persisted. The movie shows the full transition, starting from the current
shape of the Earth. As the angular momentum increases, the shape becomes an ellipsoid with
two equal axes: the MacLaurin ellipsoid. It then reaches a bifurcation point and turns into a
Jacobi ellipsoid. At the first bifurcation point on the Jacobi path, we get Poincar’s ’pear’.
Poincare also came up with the idea that this shape could explain the formation of planets.
Imagine that part of the pointed end of the ’pear’ (where centrifugal forces are the highest)
gets pinched off, and is sent into orbit. However, this is a mechanism that was never confirmed
by other studies.
Closing remarks
Poincar’s paper of more than a hundred years ago was the last major milestone in the
study of this topic. Chandrasekhar wrote on Poincar’s work: The grand mental panorama that
was thus created was so intoxicating that those following Poincar were not to recover from its
pursuit...and at this point the subject quietly went into a coma.Ön the other hand, it seems
that good math breeds new good math and science in general: The principle of bifurcation
has become an important concept in science. Catastrophe theory for instance, pioneered by
R.Thom in the 1960’s, studies bifurcations between different equilibria, and has been applied
to a wide variety of fields: from the study of a dripping faucet to the dynamics of the capsizing
of ships. There has been no recent work on the theoretical shape of an Earth that has a higher
angular momentum. On the other hand, the study of the actual shape of the Earth, Geodesy,
is a well-practised branch of geology. Nevertheless, it might be a good idea to try and produce
a real Poincar pear shape. If NASA is running out of ideas for test work during space missions,
then this good be a good candidate.
Reference and further reading
Vincent Deparis Quelle est la forme de la Terre : plate, oblongue ou aplatie aux ples ?
A historical overview of the evolution of ideas around the shape of the earth.(in French) An
introduction to Geodesy. Isaac Todhunter: A history of the mathematical theories of attraction
and the figure of the earth., published in 1873, so before the work of Poincar. Available as an
online book at the Gallica online library
Lit.: H. Lamb, Hydrodynamics, Dover Publ., New York 1945 Kapitel XII
Kapitel 3
Astrophysikalische Probleme
3.1
Allgemeine Bemerkungen
Das größte ungelöste Rätsel in der Astrophysik ist wohl, wie aus einer Molekülwolke ein Stern entsteht, der unserer Sonne entspricht (Konstanze Zwintz, Astrophysikerin, Universität Wien in heureka 4-07). ...insbesondere ist unklar, wie sich
nach den ersten Kollisionen stabile, größere Objekte bilden konnten, ohne einfach
wieder als Fragmente auseinanderzudriften (R. Jauman).
Lit.: Spektrum Spezial 2/07, R. Jaumann, Geburt im Trümmerhagel
Spektrum Dossier 5/07, G. P. Laughlin, Von der Staubmaus zur Erde: Die heutigen Computersimulationen bestätigen die allgemeinen Vorstellungen von Kant
und Laplace - und schließen deren Lücken.
3.2
Die Eulergleichungen in Kugelkoordinaten
Voraussetzung ist daß nur eine radiale Abhängigkeit der Größen vorliegt. Die
Kontinuitätsgleichung lautet
∂ρ
1 ∂ 2 r ρvr = 0
+ 2
∂t r ∂r
(3.1)
∂vr
∂
1 ∂p GM(r)
+ vr (ρvr ) = −
−
∂t
∂r
ρ ∂r
r2
(3.2)
Die Bewegungsgleichung lautet (schon durch ρ dividiert)
und die Masse M(r) ist durch das räumliche Integral über die Dichte gegegben
M(r) =
Z
r
0
42
ρ(s)s2 ds
(3.3)
43
23. Juni 2008
Die Bewegungsgleichung enthält auf der rechten Seite den Druckterm und den
Gravitationsterm. Der Druck resultiert aus den nicht gravitativen Wechselwirkungen der mikroskopischen Teilchen und ist durch eine Zustandsgleichung definiert, der gravitative Term ist durch die Gravitation der Flüssigkeit (des Gases)
innerhalb des Radius r hervorgerufen.
3.3
Druckloser Kollaps
Annahmen: Kein innerer Druck in der Gaswolke mit der Gesamtmasse M0 ; Ausgangsradius R0 zum Zeitpunkt t = 0; der Radius schrumpft die Dichte erhöht
sich. Ferner nimmt man an dass die Dichte räumlich konstant bleibt aber ihr Wert
mit der Zeit ansteigt, dann ist die Masse M(r) durch M(r) = 4πρr 3 /3 gegeben.
Geht man damit in die Gleichungen (3.1) und (3.2) und sucht eine Lösung mit
den Ansatz
ρ(r, t) = ρ0 f (t)
und
vr (r, t) = −g(t)r
(3.4)
- letzteres sagt der Kollaps stoppt bei r = 0 - so folgen die Gleichungen
df
− 3ρ0 f g = 0
dt
dg
4π
−r + g 2 r = − Gρ0 f r
dt
3
ρ0
(3.5)
(3.6)
Kürzen führt auf
df
− 3f g = 0
dt
4π
dg
− + g 2 = − Gρ0 f
dt
3
(3.7)
(3.8)
Man führt nun den dimensionslosen Radius X(t) zur Zeit t ein, R(t) = R0 X(t),
dann ist M = 4πρ0 R03 f (t)X 3 (t)/3 oder
f X3 = 1
und
1 df
1 dX
= −3
f dt
X dt
(3.9)
Die Geschwindigkeit der Kontraktion am Außenrand ist dann
vr (R(t), t) =
also
dX
dR
= R0
= −g(t)R0 X(t)
dt
dt
1 dX
= −g
X dt
(3.10)
(3.11)
44
23. Juni 2008
Leitet man eine der beiden Gleichungen für f und g nach der Zeit ab und benützt
die Relationen zu X ergibt sich für X die Differentialgleichung zweiter Ordnung
A
d2 X
+ 2 =0
2
dt
X
(3.12)
mit A = 4πGρ0 /3. Durch Multiplikation der Gleichung mit der Zeitableitung von
X kann integriert werden. Da x(0) = 1 und dX/dt(0) = 0 ergibt sich
1
2
dX(t)
dt
!2
1
=A 1−
X(t)
!
.
(3.13)
Die daraus resultierende Differentialgleichung erster Ordnung löst man durch
Variablentransformation X = cos2 α (Die Werte von X liegen zwischen 0 und 1);
das führt auf die Gleichung
dα
=
dt
s
A 1
2 cos2 α
(3.14)
mit der Lösung
Z
α sin 2α
=
cos2 αdα = (Dwight 440.20) = +
2
4
s
A
t
2
(3.15)
Aus der Lösung dieser transzendenten Gleichung findet man die Werte von ρ und
vr zu
s
A sin α
−6
ρ(r, t) = ρ0 cos α
und
vr (r, t) = −2r
(3.16)
2 cos3 α
Das System ist kollabiert wenn der Radius Null erreicht. Dies geschiet in der
endlichen Zeit τf f , der sogenannten Freifallzeit. Sie ist durch α = π/2 gegeben
also nach Gleichung (3.15)
τf f =
r
π
=
8A
s
3π
32Gρ0
(3.17)
Daraus ergeben sich die Zeiten von etwa 2x109 Jahre, 7x104 Jahre und 1/2 Minute
für eine Protogalaxie (heiße Gaswolke aus He und Wasserstoff), einen Prototern
(der Kern der sich in der Protogalaxie durch Kollaps bildet [höhere Dichte])
und die Sonne. Aufgehalten wird der freie (drucklose) Kollaps dadurch daß die
Teilchenwolken einen inneren Druck besitzen der gegen den Druck der Gravitation
wirkt.
45
23. Juni 2008
Abbildung 3.1: Bok Globul B(arnard)68: Solche Dunkelwolken werden als Vorstufe der Sternentstehung betrachtet. Es sind relativ scharf begrenzte dunkle
Regionen interstellaren Gases und Staubes, die im Verdacht stehen, zu kollabieren, und auf dem Weg sind, einen neuen Stern zu bilden, wie Bart Bok 1947
vorschlug. [Bartholomeus ’Bart’ Jan Bok (1906-1983) Astronom]
3.4
Die Bonnor-Ebert Sphäre
Lit.: Sterne und Weltraum Januar 2006 Seite 20 und 100
Gleichgewicht einer Gaswolke bei r-abhängiger Dichte (Bonnor-Ebert-Sphäre)
1 dp
GM(r)
=−
ρ dr
r2
(3.18)
Mit der isothermen Zustandsgleichung in der Form p = ρc2 , wo die Schallgeschwindigkeit c konstant ist, folgt
c2
GM(r)
d ln ρ
=−
dr
r2
(3.19)
46
23. Juni 2008
Multiplizieren mit r 2 und Ableiten nach r gibt
d ln ρ
d
r2
dr
dr
also
!
G dM
G
= − 2 4πr 2 ρ
2
c dr
c
=−
d ln ρ
1 d
r2
2
r dr
dr
!
=−
(3.20)
4πG
ρ
c2
(3.21)
Diese Gleichung wird durch den Ansatz ρ ∼ r −2 gelöst
c2 1
2πG r 2
ρ(r) =
(3.22)
Das heißt die Dichte ist im Zentrum singulär (isotherme singuläre Sphäre). Suchen
aber eine Lösung, die eine endliche Dichte, ρc , im Zentrum hat (die aber erst
gefunden werden muß) und nach außen abfällt. Der neue Ansatz q
lautet ρ(r)/ρc =
exp(−Ψ(r)). Das liefert mit dem dimensionslosen Abstand ξ = 4πGρc /c2 r die
Lane-Emden Gleichung
1 d
2 dΨ
ξ
ξ 2 dξ
dξ
!
= exp(−Ψ)
(3.23)
Die Randbedingungen sind:
Ψ(0) = 0
dΨ
|ξ=0 = 0
dξ
und
(3.24)
Vorgegeben sind die Gesamtmasse M und der äußere Druck p0 . Die Lösung der
Gleichung liefert die Dichte und damit den Druck (der proportional zur Dichte
ist). Der Rand der Wolke (ξmax ) befindet sich dort, wo der innere Druck gleich
dem äußeren Druck p0 = ρ0 c2 = ρ(ξmax )c2 ist. Gegeben ist p0 und c. Die Gleichung
wird numerisch gelöst, Die Gesamtmasse folgt aus der Lösung zu
M = 4π
Z
rmax
0
2
ρ(r)r dr = 4πρc
c2
4πGρc
!3/2 Z
0
ξmax
e−Ψ ξ 2 dξ
(3.25)
Mit der Differentialgleichung ergibt sich
M = 4πρc
c2
4πGρc
!3/2 Z
0
ξmax
dΨ
d
c2
ξ2
dξ = 4πρc
dξ
dξ
4πGρc
!
!3/2
ξ
2 dΨ
dξ
!
ξ=ξmax
(3.26)
Daraus findet man den Zusammenhang zwischen dem äußeren Druck po und der
Dichte im Zentrum bei fester Masse M und Schallgeschwindigkeit c.
p0 G3/2 M
ρc
=
π
c4
ρ0
!−1/2
ξ
2 dΨ
dξ
!
= f (ρc /ρ0 )
ξ=ξmax
(3.27)
47
23. Juni 2008
Abbildung 3.2: numerische Lösung der Lane-Emden Gleichung und eine Familie
von Lösungen
Eine stabile Lösung folgt aus der graphischen Darstellung der numerischen Lösung
solange
ρc
ξmax < 6.5
< 14.1
(3.28)
ρ0
Experimentell findet man ξmax = 6.9
3.5
Stabilität
3.6
Akkretionsscheibe
Endliche Ausdehnung in z-Richtung. Dichte Verteilung aus
∂Φ
∂p
=ρ
∂r
∂z
(3.29)
Mit der idealen Gasgleichung p = ρkB T /m und der Entwicklung des Gravitationspotential
GM z 2
GM
GM
√
− 3
≈−
Φ(r, z) = − 2
r
r 2
r + z2
folgt
!
Ω(r)z 2
ρ(r, z) = ρ0 (r) exp −
(3.30)
2c0
mit Ω(r) =
q
GM/r 3 die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe
23. Juni 2008
3.7
48
Simulation
Mathew Bate, Ian Bonnel, Volker Bromm vorgestellt 2002: 100.000 CPU Stunden
= 101 6 Flops; 3.5x106 Partikel
Parameter: M = 50Msonne , T = 10K; R = 1.5ly
Resultat: chaotisch Turbulente Sternentstehung, 50% braune Zwerge; Sterne
verlassen Entstehungsort
Kapitel 4
Die Eulerschen Gleichungen
Das System der Euler’schen Gleichungen erhält man aus den Navier-Stokes’schen
Gleichungen durch Vernachlässigung der Zähigkeitsterme.
Die Eulerschen Gleichungen wurden in Memoire de l’Acad. des sciences de Berlin, 11,
274 (1755) von Euler aufgestellt. Truesdell schreibt: Diese Eulersche Theorie der Flüssigkeiten
besitzt eine kaum zu überschätzende Wichtigkeit.. . . Erstens war es die erste Formulierung einer
Teilerfassung der Erfahrungswelt mit Hilfe des Modells des kontinuierlichen Feldes. Zweitens
hat die ideale Flüssigkeit als Musterbeispiel oder Ausgangspunkt für viele spätere physikalische
Modelle bis zur heutigen Zeit gedient. Drittens ist ein ganz neuer Zweig der reinen Analysis,
die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, daraus entstanden.
Also
∂
ρ + div (ρ~v ) = 0
∂t
∂
~ v = −grad Φ − 1 grad p
~v + (~v ∇)~
∂t
ρ
Machen wir die weitere Annahme, daß die Bewegung der Flüssigkeit isentrop
erfolgt, d.h. ds(~r, t) = 0, so kann man schreiben
∂
~ v = −grad (Φ + w)
~v + (~v ∇)~
∂t
mit der Enthalpie pro Masse w(s, p) = (s, ρ) + pρ . Für die Enthalpie gilt
1
dw = T ds + dp =
ρ
und
isentrop
1
= dp
ρ
1
~
~ = 1 ∇p
dw = dp bzw. ∇w
ρ
ρ
49
50
23. Juni 2008
Verläuft die Strömung adiabatisch (die Entropiedichte ist ortsabhängig, bleibt aber bei der
Bewegung mit dem Flüssigkeitsteilchen konstant), so gilt für die Entropie pro Volumen ρs (s
war die Entropie pro Masse)
∂(ρs)
= −ρ~v grads − sdiv(ρ~v ) = −div(ρs~v )
∂t
Das Produkt ρs~v ist die Dichte des Entropiestroms. In beiden Fällen isentrop und adiabatisch
lassen wir keinen Wärmeaustausch zwischen den Flüssigkeitselementen zu, können also von den
Wärmeleitungseffekten absehen.
Für reversible Vorgänge bezeichnen isentropisch und adiabatisch dieselben Vorgänge. Für irreversible Vorgänge kann aber ein Vorgang adiabatisch aber nicht isentrop sein. Strömt etwa ein
Gas aus einem Überdruckkessel in einen Vakuumkessel, ohne Wärme ab- und zuzuführen, so ist
das eine adiabatische Expansion. Es wird aber keine Arbeit geleistet und es entstehen im Gas
Ströme, die erst abklingen müssen, bis wieder ein Gleichgewichtszustand erreicht wird. Dieser
Vorgang ist irreversibel. Die innere Energie bleibt dabei unverändert, da weder Wärme noch
Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht wird. Die Entropie aber wird erhöht. Für ein ideales
Gas ist
ρi
> 0 wegen ρi > ρf
sf − si = cv (γ − 1) ln
ρf
Lit.: Wieghart Seite 115
Aus den Eulergleichungen leitet man eine Gleichung für die Rotation der
Geschwindigkeit her. Man nimmt die Rotation beider Seiten (rotgrad = 0)
∂
εijk ∇j vk = −εijk ∇j vn ∇n vk =
∂t
= −εijk δnm δkl ∇j vn ∇m vl + εijk ∇j vn ∇k vn
= −εijk δnm δkl ∇j vn ∇m vl + εijk δnl δmk ∇j vn ∇m vl
Der letzte Term in der zweiten Zeile ist Null da j und k vertauscht werden können.
Nun ist
εnkp εmlp = δnm δkl − δnl δmk
und somit
∂
εijk ∇j vk = −εijk ∇j εnkpεmlp vn ∇m vl = εijk ∇j εknp εmlp vn ∇m vl
∂t
oder
∂
rot ~v = rot (~v × rot ~v)
∂t
Somit bleibt die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes Null, falls sie bei t0 Null
war. In Abschnitt 3.2.3 wird dieser Sachverhalt in integraler Form dargestellt.
Bemerkenswert ist jedenfalls, daß für isentropische Strömungen unter dem Einfluß
konservativer Kräfte sich eine Gleichung für Geschwindigkeitsfeld ergibt, die keine
weiteren Felder enthält.
51
23. Juni 2008
Definiert man ein Wirbelfeld ~ω (wofür man Wirbellinien als Stromlinien des
Wirbelfeldes zeichnen kann)
1
rot~v = ω
~
2
(der Faktor 12 ist deshalb gewählt um die Analogie zur Elektrodynamik, dh dem
Biot-Savart’schen Gesetz zu wahren, [Stromstärke=Wirbelstärke, Strom=Wirbelfeld,
magnetisches Feld= Gesamtströmung, lineare Leiter=Wirbelfaden] Greiner Seite
80, Sommerfeld Seite 115, 131. siehe auch Guyon et al Seite 105 und Kapitel 7))
so folgt aus obiger Gleichung
∂~ω
= rot (~v × ~ω ) .
∂t
~ω gibt die Winkelgeschwindigkeit der lokalen Rotation eines Flüssigkeitselements. Das Doppelte der Wirbelstärke ~ω wird auch als Wirbeldichte bezeichnet.
Lit.: H. Helmholtz, Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. (1858)Ostwald’s Klassiker der exakten
Wissenschaften Nr. 79 (siehe auch schon Euler 1755)
Übung: Zeichnen Sie die Stromlinien für das Geschwindigkeitsfeld und die Wirbellinien für
das Wirbelfeld.
1
~v = ~
ω × ~r
w
~ = rot~v = ~ω
2
Stromlinien Kreise um die z-Achse, Wirbellinien Parallelen zur z-Achse.
Übung: Zeichnen Sie die Wirbellinien für das Geschwindigkeitsfeld (ρ Abstand von der ~ω-Achse)
~v = ~
ω × ~rf (ρ)
f (ρ) = exp((ρ − 1)2 /2 )
Da div~ω = 0 (Wirbellinien könne nirgends in der Flüssigkeit anfangen, noch
enden; also nur am Rand, oder sind geschlossene Linien) folgt
∂~ω
~ ω + (~ω ∇)~
~ v
= ~vdiv~ω − ~ω div~v − (~v∇)~
∂t
Also
∂~ω
~ ω = (~ω ∇)~
~ v
+ (~v ∇)~
∂t
oder in der Lagrange’schen Beschreibung
∂~ω
~ v
= (~ω ∇)~
∂L t
Daraus folgert man Wirbel können nicht vergehen und entstehen. Die Wirbelung
wird mit den Flüssigkeitsteilchen transportiert, sie haftet ihnen an.
Wie können also Wirbel überhaupt entstehen? Eine Möglichkeit wäre die Reibungskräfte dafür verantwortlich zu machen. Man kann aber auch für die Navier Stokes’schen Gleichungen zeigen, das Wirbel nicht entstehen und vergehen
52
23. Juni 2008
können. Bei zähen Flüssigkeiten können Wirbel nur über die Wandflächen in die
Flüssigkeit einwandern (tangentiale Haftkräfte).
Nichtkonservative Kräfte können eine Zirkulation erzeugen: Corioliskräfte,
magnetohydrodynamische Kräfte (Lorentz-Kräfte, Dynamoeffekt).
Nicht barotrope Fluide: Barotrope Fluide haben eine Zustandsgleichung ρ =
f (p), also Flächen konstanten Drucks sind auch Flächen konstanter Dichte. Ist
dies nicht der Fall so läßt sich (gradp)/ρ nicht aus einem Potential herleiten. wenn
der Druckterm aus einem Potential ableitbar ist so muß gelten
1
rot(gradp/ρ) = 0 = − gradρ × gradp
ρ
also die Gradienten der Dichte und des Drucks parallel sind.
In einer zähen Flüssigkeit leitet man für konservative Kräfte und konstanter
Massendichte analog die Gleichung fßür die Wirbelstärke her
∂~ω
= rot (~v × ~ω ) + ν∆ω .
∂t
4.0.1
Analogie der Wirbeldynamik zur Elektrodynamik
Hauptsatz der Vektorrechnung; Berechnung eines Vektorfeldes aus der Divergenz
und Rotation; einführung des skalaren Potentials und Vektorpotentials.
Analogie: Wirbelfaden - Stromfaden; Geschwindigkeit - Magnetfeld (Achtung
auch die Ransbedingungen müssen bei der Analogie gleich sein).
Stromstärke im Draht entspricht Wirbeldichte integriert b̈er den Querschnitt
der Wirbelröhre. Rechte Handregel: konstante Wirbelstärke
~v ∼ ~ω × ~r/r 2
Das Geschwindigkeitsfeld liegt in den Ebenen senkrecht zum Wirbelfaden und
nimmt mit 1/r ab.
4.1
Stationäre Strömungen
Im stationären Zustand sind die Zeitableitungen Null, somit lautet die Bewegungsgleichung
~ v = −grad (Φ + w)
(~v ∇)~
53
23. Juni 2008
Abbildung 4.1: Das Prandtl’sche Staurohr
Nun gilt (Übung)
~ v = 1 grad (v 2 ) − ~v × rot ~v
(~v∇)~
2
so daß,
1
~v × rot ~v = grad (Φ + w + v 2 )
2
Betrachtet man diese Gleichung entlang einer Stromlinie (diese bleiben ja zeitlich
fest) so gilt für eine Änderung entlang der Stromlinie
1
~
d~s ∇(Φ
+ w + v2) = 0
2
da d~s k~v ⊥ ~v × rot ~v. Es ist also die Änderung der Größe in der Klammer Null,
also
1
Φ + w + v 2 = konst.
2
für einen Stromfaden der stationären Strömung. Diese Gleichung heißt Bernoulli
Gleichung. Ist die stationäre Strömung auch noch inkompressibel (w = pρ ) dann
gilt für den Druck
ρ
p = konst. − ρΦ − v 2
2
Beispiele:
54
23. Juni 2008
• Die gleichförmig rotierende Flüssigkeit: ~v = ~ω × ~r
• Das Bernoulli’sche Paradoxon:
ρ
konst. = −p(~r) − v 2 (~r)
2
Dort wo die Geschwindigkeit größer ist, ist der Druck kleiner. Der letzte
Term heißt auch Staudruck.
• Das Prandtl’sche Staurohr Es ist interessant den Fehler zu berechnen den
man macht wenn man die Formel für den Druck unter der Ananhme der
Inkompressibilität auf eine kompressible Flüssigkeit anwendet (Sommerfeld
v2
Seite 90). Er geht mit 4c
2 , dem Quadrat des Verhältnisses der gemessenen
Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit.
• Das Ausfließen aus einem Gefäß: Die Bewegungsgleichung gibt
Abbildung 4.2: Ausfluß aus einem Gefäß
ρ 2
ρ 2
vh + ρgh + po = vaus
+ po
2
2
Die Kontinuitätsgleichung gibt
ρFh vh = ρFaus vaus
Es folgt
ρ 2
Faus
ρ 2
+ ρgh = vaus
vaus
2
Fh
2
√
Fh ist vaus = 2gh.
Wenn nun Faus
55
23. Juni 2008
Abbildung 4.3: Ausströmen aus einem Überdruckkessel, p0 Druck am Düsenanfang im Innern, pA Außendruck, p∗ Druck im kleinsten Düsenquerschnitt (gerade
kritischer Druck und dort v = c d.h Ma=1)
4.1.1
Ausfluß eines Gases aus einem Überdruckkessel
Laval Düse nach Carl Gustaf de Laval (1845 - 1930) schwedischer Ingenieur.
Wiederholung ideales Gas: Zustandsgleichung
p
= kB T
ρ
innere Energie und Enthalpie (γ = cp /cv )
= cv T =
p
ρ(γ − 1)
w = cp T =
γp
(γ − 1)ρ
Entropie
s = cv ln
adiabatische Schallgeschwindigkeit
p1/γ
c2
p
=
c
ln
=
p
ργ
ρ
γ−1
2
c =
∂p
∂ρ
s
Nun gilt (Maxwellrelation)
∂p
∂ρ
s
=
cp
cv
∂p
∂ρ
T
=γ
p
ρ
und
cp − cv = kB
Wir betrachten den Fluß eines kompressiblen Fluids (Gas) durch eine Röhre
unterschiedlichen Querschnitts. Dabei soll der Querschnitt sich so stark verengen können, dass die Geschwindigkeit der Strömung die Schallgeschwindigkeit
56
23. Juni 2008
erreicht. Dort ist das Gas weniger dicht und kälter als überall sonst. Die Schallgeschwindigkeit ist nicht konstant entlang eines Stromfadens aber die Größen
sind konstant über den Querschnitt (Zähigkeit ist ja Null).
Abbildung 4.4: Laval und Laval Düse
Es gilt der Zusammenhang zwischen ρ0 , ρ, p0 und p gemäß der Adiabatengleichung
!1/γ
p
ρ
=
ρ0
p0
Man kann damit den Druck Term als Gradienten Schreiben

Z
dp
γ p0
1
gradp = grad
= grad 
ρ
ρ
γ − 1 ρ0
p
p0
!(γ−1)/γ 

Die Bernoulli-Gleichung lautet damit (~v Geschwindigkeit in der Düse, p der Druck
dort, p0 ist der Innendruck, dort ist die Geschwindigkeit des Gases gleich Null)
v2
γ p0
+
2
γ − 1 ρ0
p
p0
!(γ−1)/γ
Kompatibel mit
v 2 + w = 0 + w0
v2 +
=0+
γ p0
γ − 1 ρ0
γp
γp0
=
(γ − 1)ρ
(γ − 1)ρ0
57
23. Juni 2008
wenn ρ durch Adiabatengleichung eliminiert.
Im limes γ → ∞ (inkompressibles Gas) erhält man
p0
p
v2
=
+
2
ρ0
ρ0
und somit die Ausflußgeschwindigkeit
s p0 − p
v= 2
ρ0
Das ist das Bunsen’sche Ausströmgesetz das Gas könnte beliebig schnell ausströmen und die
Durchflußmenge könnte beleibig groß gemacht werden durch geeignete Wahl des Druckunterschieds.
Man bemerkt folgendes: Mit wachsender Geschwindigkeit
• sinkt der Druck p, die Dichte ρ, die Enthalpie w, die Temperatur T , die
Schallgeschwindigkeit c und es
• steigt die Machzahl Ma = v/c
Aus der Bernoulli-Gleichung läßt sich die Geschwindigkeit v im Mündungsquerschnitt (Fläche F ) und die Durchflußmenge Q als Funktion des Drucks p
berechen
Q = F ρv = F
p
p0
v
!1/γ u
u
u
t

2γ
p
p0 ρ0 1 −
γ−1
p0
!(γ−1)/γ 

Diese Menge ist keine monotone Funktion des Drucks. Im limes γ → ∞ findet
man
v
!
u
u
p
−
p
0
Q = F ρ0 t2
ρ0
Für p = 0 und p = p0 ist die Durchflußmenge Null. Letzteres is klar, weil kein
Druckunterschied. Ersteres ?
Daher gibt es ein Maximum für einen bestimmten Druck im Mündungsquerschnitt, dem kritischen Druck. Aus
p
p0
1
dρv
=0=
dp
γ
!1/γ−1
√
γ −1
.. −
2γ
p
p0
!1/γ
folgt

1 p
γ
p0
!(1−γ)/γ

− 1 −
γ−1
=0
2γ
cx(γ−1)/γ−1
√
..
58
23. Juni 2008
also
p
p0
!(1−γ)/γ
=
γ+1
γ−1
+1=
2
2
und somit der Maximalwert bei dem Druck
p∗
=
p0
2
γ+1
!
γ
γ−1
Dieser Druck wird an der engsten Stelle (kleinstes F) angenommen, da sonst für
den kleineren Querschnitt ρv größer als das Maximum sein müßte, was unmöglich
ist. p0 ist der Druck im Gefäß. Die dazugehörige Austrittsgeschwindigkeit
v∗ =
s
2γ p0
γ + 1 ρ0
ist dann gerade gleich der örtlichen Schallgeschwindigkeit (c20 = γp0 /ρ0 )
c=
s
dp
=
dρ
und der Strom
∗
∗ ∗
v
u
u γp
t 0
ρ0
j = ρ v = ρ0
p
p0
!(γ−1)/γ
2
γ+1
∗
= (für p = p∗ ) = v =
!1/(γ−1) s
s
2
2
c0 = ρ0 c0
γ+1
γ+1
2
c0
γ+1
!
γ+1
2(γ−1)
Auch wenn der Außendruck kleiner als der kritische Druck ist, kann nicht
mehr durch die Düse fließen. Der Druckabfall im Rohr kann p0 − p∗ nicht überschreiten, sondern er erfolgt außerhalb des Rohres. Also wird die Durchflußmenge
für pA < p∗ unabhängig von pA . Die Form des austretenden Gasstrahls und dessen Geschwindigkeit wird jedoch von pA abhängen. Will man ein geregeltes Ausströmen (keinen flatternder Strahl) erreichen schließt man an die engste Stelle der
Mündung eine sich erweiternde Düse an (Lavaldüse). Die Querschnittserweiterung
ist notwendig weil dies die Kontinuitätsgleichung für eine Überschallströmung
verlangt. Es gilt
F vρ = konst., also vρ
dF
dρ
+ Fρ + Fv
=0
dv
dv
Also in der Lavaldüse kann Überschallgeschwindigkeit erreicht werden. Andererseits ist
!
v2
dv
v dρ
v dρ
2
2 dρ
(Ma) = 2 = v
vρ
=−
=
c
dp
ρ dv
dp
ρ dv
wobei letzteres aus der differentiell Form der Bernoulli-Gleichung folgt
vdv +
dp
=0
ρ
59
23. Juni 2008
Einsetzen gibt den Zusammenhang
vρ
dF
+ F ρ − F ρ(Ma)2 = 0
dv
oder
v dF
= (Ma)2 − 1
F dv
d.h., daß der Querschnitt für Ma > 1 mit der Geschwindigkeit der Strömung
größer werden muß (und kleiner für Ma < 1); und die Geschwindigkeit wächst
weil pA < p∗ . Die Durchflußmenge durch so eine Düse ist konstant. So kann man
eine maximale Geschwindigkeit für pA = 0 von (aus dem Ausdruck für v)
vmax =
s
2γ p0
=
γ − 1 ρ0
s
2
c0
γ−1
erreichen, über das doppelte der Schallgeschwindigkeit im Kessel.
Übung: Es soll der Druck p2 am Ende der Überschalldüse (Lavaldüse) bestimmt werden auf
den expandiert werden muß, um die maximale Schubkraft zu erzielen. Größen mit Index 1 am
Anfang der Lavaldüse, mit Index 2 am Ende. Anleitung: (i) Impulsbilanz enthält Schubkraft
Ks
KS = v12 ρ1 F1 + p1 F1 − v22 ρ2 F2 − p2 F2 + pa (F2 − F1 )
(ii) Die Durchflußmenge ist konstant
Q = ρ1 F1 v1 = ρ2 F2 v2
(iii) Bernoulli- mit Adiabatengleichung Die Schubkraft ist eine Funktion des Enddrucks, Ableitung muß null sein.
dFS
=0
dp2
Beachten sie, dass die Größen mit Index 1 und der Außendruck pa nicht von p2 abhängen. Also
ist zu berechnen
d
(−F2 (p2 − pa + ρ2 v22 ) = 0
dp2
Die auftretenden Ableitungen holt man sich aus der Kontinuitäts- und Bernoulligleichung. Man
findet
dFS
dA2
=−
(p2 − pa ) = 0
dp2
dp2
also muß der Enddruck gleich dem Aussendruck sein. Die maximale Schubkraft ist dann
FS,max = Q(v1 − v2 ) + F1 (p1 − pa )
alledings muß v2 gegeben sein
60
23. Juni 2008
Abbildung 4.5: Laval Düse und Schwarzes Loch
Laval Düse und Schwarzes Loch
Das Verhalten von Schallwellen in Füssigkeiten und Lichtwellen in der gekrümten
Raumzeit weist gewisse Ähnlichkeiten auf. Die Verengung in einer Laval Düse
wirkt wie der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs. Schall kann in die Überschallregion der Lavaldüse eindringen, aber sie nicht verlassen. Licht ist eine transversale Welle, Schall eine longitudinale Welle. Dennoch kann man aus dem Vergleich der beiden Wellen und ihren quantenmechanischen Pendants den Photonen
und den Phononen Erkenntnisse gewinnen.
Abbildung 4.6: Licht und Schall
61
23. Juni 2008
Ausgangspunkt sind die Eulerschen Gleichungen für eine rotationsfreie Strömung.
Das Geschwindigkeitsfeld kann als Gradient eines Potentials geschrieben werden,
~
~v = gradΦ,
der Druckterm ebenfalls, ρ−1 gradp = gradg(ln ρ). Sei ln ρ = ξ und
φ das Potential einer äußeren Kraft, dann lauten die beiden Gleichungen für die
Dichte und das Geschwindigkeitspotential
∂Φ 1 2
+ ~v + g(ξ) + φ = 0
∂t
2
∂ξ
+ ~v gradξ + div~v = 0
∂t
Diese Gleichungen kann man um eine Lösung linearisieren, wenn man sich für das
Verhalten eienr Störung (Phonon) interessiert. Also man entwickelt ξ = ξ0 + ξ¯ und
Φ = Φ0 + Φ̄. Die beiden linearen Gleichungen kann man dann, nach Elimination
¯ als eine Gleichung für die Störung im Geschwindigkeitspoder Dichtestörung ξ,
tential Φ̄ schreiben,
"
1 ∂ ρ0 ∂ Φ̄
∂ ρ0~v0
ρ0~v0 ∂ Φ̄
+
grad
Φ̄
+
div
ρ0 ∂t g 0 (ξ0 ) ∂t
∂t g 0 (ξ0)
g 0(ξ0 ) ∂t
!#
ρ0~v0
(~v0 gradΦ̄)) = 0 .
−div(ρ0 gradΦ̄) + div 0
g (ξ0 )
!
Sei g 0 (ln ρ0 ) = c2 (ρ0 ) die lokale Schallgeschwindigkeit, dann ist diese Gleichung
nichts anderes als eine ”Wellengleichung” in einer Metrik der Form
i
ρ0 h 2
c − v02 dt2 + 2dt~v0 d~x − d~x2 .
ds2 =
c
Sei die Strömung ~v0 sphärisch symmetrisch (mit der Radialkomponente v0 (r)),
stationär und convergent; definiert man eine neue ’Zeitvariable’,
τ =t+
Z
v0 (r)dr
− v02 (r)
c2
so läßt sich die Metrik in folgender Form schreiben
ρ0 2
cdr 2
ds2 =
c − v02 (r) dτ 2 − 2
− r 2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) .
c
c − v02 (r)
"
#
Nimmt man nun an dass das stationäre Geschwindigkeitsfeld v0 (r) beim Radius
R die Schallgeschwindigkeit erreicht und für kleinere Radien übertrifft, also
v0 (r) = −c + α(r − R) + O((r − R)2 )
dann hat die Metrik genau die Form der Schwarzschild Metrik in der N¨he des
Schwarzen Lochs (der Winkelanteil wird hier fallen gelassen)
ρ0
dr 2
ds =
2cα(r − R)dτ 2 −
c
2α(r − R)
2
"
#
62
23. Juni 2008
oder al la Schwarzschild (G = 1 und c = 1)
dr̂ 2
r̂ − 2M 2
dt̂ − 2M
ds =
2M
(r̂ − 2M)
"
2
#
Die Schwarzschildlösung lautete aber
2
ds =
"
2M
dr 2
1−
dt̂2 −
r
1 − 2M
r
#
doch diese Lösung ist um den Schwarzschild Radius zu entwickeln (r̂ ∼ 2M)
ds
2
=
"
=
"
r̂ − 2M
r̂
!
r̂ − 2M
2M
!
2
dt̂ −
dt̂2 −
dr̂ 2
r̂−2M
r̂
2
dr̂
r̂−2M
2M
#
#
Lit.: Spektrum der Wissenschaft April 2006 Seite 40
W. G. Unruh, Phys. Rev. Lett. 46 1351 (1981) (in dieser Publikation wird die
Analogie präsentiert)
R. Schützhol and W. G. Unruh, Phys. Rev. Lett. 95 031301 (2005) (in dieser
Publikation wird ein analoges elektromagnetisches Experiment dargestellt)
4.2
Allgemeine Untersuchung der Euler’schen
Gleichungen
Ganz allgemein gilt, daß die Dichten von Erhaltungsgrößen Kontinuitätsgleichungen erfüllen. Grundlage für diese Überlegungen ist die Extensivität der Erhaltungsgröße. Solche extensiven Größen sind die Energie, der Impuls, der Drehimpuls und wie schon behandelt die Masse. Bezeichnet man die Erhaltungsgröße
mit A und ihre Dichte mit a(~r, t) also
A=
Z
a(~r, t)d3 x
so erfüllt die Dichte die Gleichung
∂
a + div ja = 0
∂t
Es kann sich nämlich A zeitlich nur dadurch ändern, daß aus dem Volumen etwas
hinaus- bzw. hineinströmt, also
Z
Z
dA Z ∂a 3
~
=
d x = − ja df = − div ja d3 x
dt
∂t
63
23. Juni 2008
Dabei kann a ein Tensor beliebiger Stufe sein, jedenfalls ist der Strom ein
Tensor der um eine Stufe höher ist als die Dichte der Erhaltungsgröße.
Ziel dieser Überlegungen ist die Berechnung der Ströme aus den dynamischen Gleichungen, die die Flüssigkeit beschreiben. Ist das betrachtete System
nicht abgeschlossen so können Quellen und Senken durch entsprechende Terme
Qa berücksichtigt werden so daß man allgemeiner erhält
∂
a + div ja = Qa
∂t
Auf diese Weise kann man das System der hydrodynamischen Gleichungen als
System der Gleichungen für die Dichten der Erhaltungsgrößen sehen, ein Gesichtspunkt der wichtig für die Herleitung aus den mikroskopischen Gleichungen
ist und der für andere physikalische Systeme anwendbar ist (zB. magnetische
Systeme, zweiter Schall in Festkörpern)
4.2.1
Energieerhaltung
Die Energie besteht aus mehreren Anteilen, der kinetischen Energie, der inneren Energie (siehe Thermodynamik) und eventuell der potentiellen Energie bei
konservativen Kräften (lassen wir jetzt der Einfachheit halber weg), also
1
e(~r, t) = ρ(~r, t)v 2 (~r, t) + ρ(~r, t)(~r, t)
2
Die innere Energie (pro Masse) hängt mit der Enthalpie (pro Masse) folgendermaßen zusammen
+
p
=w
ρ
d = T ds − pdv = T ds +
p
dρ
ρ2
wo v das spezifische Volumen bedeutet, dann ist
p
d(ρ) = dρ + ρd = dρ + ρT ds + dρ = wdρ + ρT ds
ρ
Unter adiabatischen Bedingungen ist die Entropiedichte im Lagrange’schen Sinn
zeitunabhängig, also
∂
∂
s=
s + ~v grad s = 0
∂L t
∂E t
Daraus folgt für die Dichte der inneren Energie
∂
∂
∂
(ρ) = w ρ + ρT s = −wdiv (ρ~v ) − ρT~v grad s
∂t
∂t
∂t
64
23. Juni 2008
Für die Dichte der kinetischen Energie folgt (ohne äußeres Potential)
∂ 1 2
1 ∂
∂
( ρv ) = v 2 ρ + ρ~v ~v =
∂t 2
2 ∂t
∂t
1
~ v − ~v grad p = − 1 v 2 div (ρ~v ) − 1 ρ~v grad v 2 − ~v grad p
= − v 2 div (ρ~v ) − ρ~v (~v∇)~
2
2
2
1
2
Man benützt vi vn ∇n vi = 2 vn ∇n vi . Aus
1
dw = T ds + dp
ρ
folgt
~v grad p = −T ρ ~v grad s + ρ~v grad w
Alles zusammengenommen führt auf
1
1
1
∂
e = −( v 2 + w)div (ρ~v ) − ρ~v grad ( v 2 + w) = −div [ρ~v ( v 2 + w)]
∂t
2
2
2
Der Energiestrom lautet also
~je = ρ~v ( 1 v 2 + w)
2
Das kann man, mit der Definition für w (isentrop) noch umschreiben auf
~je = ~v e + ~v p
Man könnte erwarten daß der Strom einfach die Energiedichte mit der Geschwindigkeit ~v aus dem (in das) Volumen transportiert. Es gibt aber noch einen Zusatzterm, der berücksichtigt, daß der Druck Arbeit in der Oberfläche leistet. Das sieht
man wenn man zur Integralen Formulierung übergeht. Integration und Gauß’scher
Satz führen auf den gesamten Strom durch die Oberfläche
J~e = −
I
~v e df~ −
I
~vp df~
Der erste Term entspricht dem physischen Abtransport von Energie (pro Zeiteinheit), der zweite der Arbeit die von den Druckkräften normal auf die Oberflche
geleistet wird (Kraft mal Weg pro Zeit).
Bei Anwesenheit von konservativen Kräften kommt zum kinetischen Anteil
links noch ein Term vom Potential zum Strom
~je0 = ~je + ρ~v Φ
65
23. Juni 2008
4.2.2
Impuls- und Drehimpulserhaltung
Die Impulsdichte ist ~j = ρ~v und die zeitliche Änderung
∂
∂
∂
(ρ~v ) = ρ ~v + ~v ρ
∂t
∂t
∂t
Unter Benutzung der Bewegungsgleichung und der Kontinuitätsgleichung folgt
"
#
1
∂
(ρvi ) = ρ −vj ∇j vi − ∇i p + vi [−vj ∇j ρ − ρ∇j vj ] = −∇i p − ∇j ρ vi vj
∂t
ρ
∂~
~ Π
j = −∇
∂t
mit dem Impulsstromtensor
Πij = p δij + ρ vi vj
Durch ein Flächenelement fließt dann
~jf = Πdf~ = pdf~ + ρ~v ~v df~
Die Drehimpulsdichte ist ~l = ρ (~r × ~v ) und die Zeitableitung
∂
∂~
l = ~r × ~j
∂t
∂t
oder mit der Impulsstromdichte
∂
∂
∂
li = −εijk xj
Πkl = −
εijk xj Πkl
∂t
∂xl
∂xl
die Ableitung kann herausgezogen werden da der Impulsstromtensor ein symmetrischer Tensor ist
εijk δjl Πkl = εilk Πkl = 0
Es folgt also keine neue unabhängige Gleichung. Die Drehimpulsstromdichte lautet also Λ = ~r × Π.
4.2.3
Erhaltung der Zirkulation
Wir definieren die Zirkulation, als das Kurvenintegral in einem Strömungsfeld
über eine geschlossene Kurve (Fig. 4.7)
Γ=
I
C
~v d~s
66
23. Juni 2008
Abbildung 4.7: Zur Definition der Zirkulation
(Thomson (1869) eingeführt zur Vereinfachung der Helmholtzschen wirbeltheorie)
Die Kurve wird aus Flüssigkeitsteilchen gebildet und wir verfolgen diese Teilchen
im Laufe der Zeit, so daß wir zu jedem Zeitpunkt die Kurve, über die integriert
wird, definiert haben. Zu jedem Zeitpunkt können wir den Stoke’schen Satz anwenden
I
Z
~v d~s =
rot~v df~
C(t)
F (t)
Ist daher die Strömung wirbelfrei rot~v = 0 in dem einfach zusammenhängenden Gebiet, so verschwindet die Zirkulation.
Die Zeitableitung der Zirkulation berechnen wir im Lagrangebild
I
I
∂~v
∂
∂
Γ=
d~s + ~v
d~s
∂L t
C ∂L t
C ∂L t
Die Zeitableitung im ersten Term rechts ist, da wir nur konservative Kräfte betrachten, ein Gradient und das Integral daher Null. Nur der zweite Term ist
näher zu betrachten. Die Kurve entlang der integriert wird ist verschoben durch
das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r), und dabei wird d~s in d~s 0 transformiert
~v(~r)dt + d~s 0 = ~v (~r + d~s)dt + d~s =
~ v (~r)dt + d~s
= ~v (~r)dt + (d~s∇)~
Daraus folgt
und somit
~ v (~r)dt
d~s 0 (t + dt) = d~s(t) + (d~s∇)~
∂
~ v
d~s = (d~s∇)~
∂L t
67
23. Juni 2008
Abbildung 4.8: Zur zeitlichen Entwicklung der Zirkulation
Weiters folgt
∂
v2
~
~
~v
d~s = ~v(d~s∇)~v = (d~s∇)
∂L t
2
Damit wird
∂
d~s =
C ∂L t
Es folgt der Satz von Thomson
I
~v
I
C
d~sgrad
v2
=0
2
∂
Γ=0
∂L t
dieser Satz gilt in isentropen Flüssigkeiten unabhängig davon ob die Strömung rotationsfrei ist oder nicht. Bei der Herleitung hat man die Eulerschen Gleichungen
für isentropische Strömungen benutzt. Ist die Strömung nicht isentropisch, besteht aber ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Dichte ρ und dem Druck
p, so kann man den Druckterm ebenfalls als Gradient einer Funktion schreiben,
1
gradp = gradP
ρ
mit P =
Z
dp
ρ
und die Wirbelsätze gelten ebenfalls. Für eine isentrope Strömung ist dieser Eindeutige Zusammenhang durch s(ρ, p) = konst. gegeben.
Betrachten wir das Wirbelfeld ~ω , so bilden die Stromlinien des Wirbelfeldes die Wirbellinien. Aus diesen Wirbellinien können wir nun Wirbelröhren, fäden(Röhren mit kleinem Durchmesser) oder -schichten bilden. Betrachten wir
68
23. Juni 2008
eine Wirbelröhre endlicher Länge, so gilt wegen div~ω = 0
Z
div~ω dV =
I
~ω df~ = 0
Da nur die Deckflächen etwas zum Oberflächenintegral beitragen (am Mantel ist
ja ~ω senkrecht auf df~) gilt für eine Wirbelfaden (Wirbelfeld konstant über die
Fläche)
|~ω1 |F1 = |~ω2|F2
Je kleiner der Querschnitt eines Wirbelfadens desto größer die Rotationsgeschwindigkeit. Da aber
I
Γ
~ω df~ =
2
heißt das auch: die Zirkulation um eine Wirbelröhre ist an allen Stellen gleich
groß.
Aus der Betrachtung zweier Wirbellinien kann man schließen (Greiner Seite
79), daß Wirbelfäden, etc immer aus den gleichen Flüssigkeitsteilchen gebildet
werden. Bei Inkompressibilität heißt das, daß das Volumen einer Wirbelröhre
unveränderlich ist.
4.3
Wirbeldynamik
Interessant ist das dynamische Verhalten von Wirbeln (siehe Sommerfeld Seite
138), Grundlage dafür sind die Helmholtzschen Wirbelsätze, kurz die Wirbelung
haftet den Flüssigkeitsteilchen an und schwimmt mit ihnen fort.
In Analogie zu den Stromlinien kann man nun Wirbelfäden definieren als
Linien, die überall Tangenten an die lokale Wirbelstärke sind.
4.3.1
Der einzelne Wirbelfaden
Geschwindigkeitsfeld eines Wirbelfadens im Ursprung (Stromlinien sind Kreise
in der x − y-Ebene)
vx ∼
−y
+ y2
x2
vy ∼
x2
x
+ y2
vz = 0
das dazugehörige Wirbelfeld (dessen Stromlinie eine Gerade durch den Ursprung
in z-Richtung) lautet
ωx = 0
ωy = 0
ωz ∼ δ(x)δ(y)
Das Geschwindigkeitsfeld fällt in x-Richtung bei z = 0 wie 1/x ab.
69
23. Juni 2008
• Ein geradliniger Wirbelfaden kann keine Geschwindigkeit auf sich selbst
induzieren.
• Ein gekrümmter Wirbel induziert ein Geschwindigkeitsfeld auf sich selbst
• Die Gleichung für die Wirbelröhre
∂vz
∂v⊥
d~ω
= (~ω grad)~v = ω
~ez + ω
~e⊥
dt
∂z
∂z
zeigt, dass in einem nicht gleichförmigen Geschwindigkeitsfeld die Wirbelröhre gedehnt und/oder gekippt (stretching/tilting) wird.
4.3.2
Geradlinige Wirbelfäden
• Zwei gleichsinnige gerade Wirbelfäden laufen diametral zueinander auf einem Kreis. Das Geschwindigkeitsfeld zweier Wirbelfäden in (−L, 0) und
(+L, 0, ) ist durch die Superposition gegeben
vy (x, 0) ∼
1
2x
1
+
= 2
x−L x+L
x − L2
und fällt für große Abstände (x >> L) wie 1/x ab, wie das Feld eines
doppelt so starken Wirbels.
• Zwei entgegengesetzt gleiche parallele Wirbelfäden schreiten mit eine gemeinsamen Geschwindigkeit fort. Das Geschwindigkeitsfeld zweier Wirbelfäden
in (−L, 0) und (+L, 0, ) ist durch die Superposition gegeben
vy (x, 0) ∼
1
2L
1
−
= 2
x−L x+L
x − L2
und fällt für große Abstände (x >> L) wie 1/x2 ab.
4.3.3
Kreisförmige Wirbelfäden
• Der Kreiswirbel driftet in eine ansonsten ruhenden Flüssigkeit vorwärts.
Elktrodynamisches Analogon: Der Kreisstrom erzeugt ein Magnetfeld senkrecht zur Kreisfläche.
• Der Kreiswirbel erweitert sich bei Annäherung an eien Wand und wird
langsamer
• Zwei hintereinander herlaufende Kreiswirbel schlüpfen abwechselnd dureinander hindurch
70
23. Juni 2008
In Analogie zu den Stromlinien kann man nun Wirbelfäden definieren als
Linien, die überall Tangenten an die lokale Wirbelstärke sind, und Wirbelröhren
als Bündel von Wirbelfäden (Gebiete mit einer Mantelfläche aus Wirbelfäden)
4.3.4
Wirbelschichten
Durch Superposition von Wirbelfäden können ausgedehnte Wirbelschichten erzeugt werden.
Z
(−y, x − x0 )
dx0
~v (x, y) ∼ γ(x0 )
(x − x0 )2 + y 2
Achtung, die endlich ausgedehnte Wirbelschicht induziert ein Aufrollen der Schicht
(analog zu zwei gleichen Wirbelfäden; die unendlich ausgedehnte Wirbelschicht
erzeugt einen Sprung in der Geschwindigkeit über die Schicht (analog zu einer
Stromschicht für das Magnetfeld). Sei γ = konst. dann ist für eine 2L breite
Wirbelschicht
L−x
L+x
vx ∼ arctan(
) + arctan(
)
y
y
und
vy ∼ ln
(L − x)2 + y 2
(L + x)2 + y 2
und somit
vy (x, 0) ∼ ln
4.3.5
|L − x|
|L + x|
Wirbelröhren
Wirbelröhren sind Bündel von Wirbelfäden (Gebiete mit einer Mantelfläche aus
Wirbelfäden) oder in einer Dimension geschlossene (ev. zylindrische) Wirbelschichten.
Die Kondensation der aufsteigenen Luft setzt gleichzeitig Wärme frei (Kondensationswärme als Gegenstück zur Verdunstungskälte), so dass sich die aufsteigende Warmluft sehr stark nach oben beschleunigt. Nun wirkt die Corioliskraft
(Erdrotation). Durch die Corioliskraft erhält bewegte Luft auf der Nordhalbkugel
einen Drall nach links. Der äußere aufsteigende Luftschlauch beginnt sich immer
schneller zu drehen. Die Fliehkraft erzeugt im Schlauch einen sehr hohen Unterdruck, der eine Zerstörungskomponente eines Tornados ist und Häuser zerbersten
lässt. Die hohe Drehbewegung der aufsteigenden Luft ist die zweite Zerstörungskomponente. Je enger der Schlauch umso höher die Drehgeschwindigkeit. Die
Zerstörungskraft ist also am Erdboden am größten.
23. Juni 2008
71
Der äußere Schlauch ist in seinem unteren Teil nur durch aufgewirbelte Materialien sichtbar. Die Cumulonimbuswolke ist der Oberteil des Wirbels, durch den
großen Durchmesser ist dort die Drehgeschwindigkeit wesentlich geringer.
Da sich die kalte Höhenluft über der nahezu horizontalen Luftmassengrenze (Front) nach Osten oder Nordosten bewegt, erhält der Tornado eine schräge
Vertikallage.
23. Juni 2008
72
Abbildung 4.9: Zwei Rauchringe bewegen sich von links nach rechts und schlüpfen
dabei alternierend durch den vorderen hindurch
Abbildung 4.10: Aufrollen der endlichen Wirbelschicht
73
23. Juni 2008
Abbildung 4.11: Auflösung der Unstetigkeitsfläche einer Wirbelschicht
Abbildung 4.12: Modell eines Tornados
Kapitel 5
Potentialströmungen
Setzt man vorraus, daß rot~v = 0 für das Geschwindigkeitsfeld gilt (das heißt nicht
daß Γ = 0, das würde nur für ein einfach zusammenhängendes Gebiet gelten), so
läßt sich das Geschwindigkeitsfeld als Gradient eines Potentials Φ schreiben
~ .
~v = gradΦ = ∇Φ
Man achte auf das Vorzeichen. Damit geht die Eulergleichung für das Geschwindigkeitsfeld in eine Gleichung für das Potential über, die im isentropischen Fall
lautet
∂Φ
1
2
grad
= −grad φ + w + (gradΦ)
∂t
2
Ein allgemeines Integral ist
∂Φ
1
+ φ + w + (gradΦ)2 = f (t)
∂t
2
Durch die Umeichung von Φ auf Φ0 = Φ+ t f (τ )dτ kann man rechts Null erhalten
also
1
∂Φ
+ φ + w + (gradΦ)2 = 0
∂t
2
Ist die Strömung stationär, erhält man die Bernoulli-gleichung, aber es mußte
früher rot~v nicht Null sein. Dafür gilt die Bernoulli-gleichung aber jetzt im ganzen
Raum und nicht nur längs eines Stromfadens.
R
Aus der Rotationsfreiheit folgt für ein einfach zusammenhängendes Gebiet,
daß es in ihm keine geschlossenen
Stromfäden geben kann, denn dann wäre d~sk~v
H
und somit die Zirkulation Γ = ~v d~s 6= 0.
Wir machen nun eine weitere Einschränkung, nämlich die der Inkompressibilität dann ist auch div~v = 0 also folgt mit ~v = gradΦ
∆Φ = 0
74
75
23. Juni 2008
die Laplace-gleichung. Dazu kommen noch die geeigneten Randbedingungen.
• feste Wand ~vn =
∂Φ
∂n
=0
• bewegliche Wand ~vn =
∂Φ
∂n
= f (~r, t)
Die Parallelströmung ist rotationsfrei, d.h. für eine stationäre Strömung, die
im unendlichen eine Parallelströmung ist und einen Körper umströmt, daß entlang einer Stromlinie die Rotationsfreiheit erhalten bleibt. Für eine nicht stationäre Strömung gilt dies für die Bahnlinie. Die Euler’schen Gleichungen lassen
aber auch Lösungen zu, wo sich Stromlinien von der Oberfläche des umströmten
Körpers in das Innere der Flüssigkeit erstrecken (wo die Strömung ablöst). Ein
Beginn einer Stromlinie an der Oberfläche bedeutet eine Unstetigkeit der tangentialen Geschwindigkeit an dieser Stelle. Ein Sprung in der tangentialen Geschwindigkeitskomponente stellt aber eine Flächenrotation der Geschwindigkeit
dar (siehe dazu Kapitel 4.3).
Bewegt sich ein fester Körper durch eine Flüssigkeit und ist die dabei auftretende Strömung eine Potentialströmung, so hängt diese Strömung zu einem
betrachteten Augenblick, nur von der Geschwindigkeit und nicht von der Beschleunigung ab. Die Laplace-gleichung enthält die Zeit nicht explizit, sie geht
nur über die Randbedingungen ein, und damit nur über die Geschwindigkeit.
5.1
Ebene Potentialströmungen
Lit.: Curle, Davies, Modern fluid dynamics Vol.1
Wir betrachten nun Strömungen in einer Ebene, bzw. dreidimensionale Strömungen die unabhängig von der z-Koordinate sind (d.h. mit einer Strömung um eine
Kreis ist eine Strömung um einen unedlich langenen Zylinder gemeint) Sei die
Flüssigkeit inkompressibel, so erfüllt das Geschwindigkeitsfeld die Bedingung
∂vx ∂vy
+
=0
∂x
∂y
Man kann eine skalare Funktion Ψ(x, y), die Stromfunktion, definieren, derart daß
die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes automatisch erfüllt ist (Vektorfeld ist durch Divergenz und Rotation bestimmt). Denn ist
vx =
∂Ψ
∂y
vy = −
∂Ψ
∂x
so folgt sofort div~v = 0. Setzt man diese Darstellung in die Eulergleichung
∂rot~v
− rot(~v × rot~v) = 0
∂t
76
23. Juni 2008
ein (rot~v ist dabei senkrecht zur Ebene, in der die Strömung stattfindet), so folgt
aus
!
∂vy ∂vx
~ez = −∆Ψ~ez
−
rot~v =
∂x
∂y
und
−rot(~v × ∆Ψ~ez ) = −~v × rot(∆Ψ~ez ) =
!
∂Ψ ∂∆Ψ ∂Ψ ∂∆Ψ
~ez .
+
= −
∂y ∂x
∂x ∂y
Also folgt die Gleichung für die Stromfunktion
!
∂
∂Ψ ∂
∂Ψ ∂
∆Ψ = 0 .
−
+
∂t
∂x ∂y
∂y ∂x
Dazu kommen die Randbedingungen.
Aus der Kenntnis der Stromfunktion sind die Stromlinien einfach zu konstruieren. Die Stromlinien findet man aus
dx
dy
=
vx
vy
und somit aus
∂Ψ
∂Ψ
dx −
dy = dΨ = 0
∂x
∂y
Also sind die Stromlinien die Linen auf denen die Stromfunktion konstant ist.
vy dx − vx dy = −
Nun ist aber die ebene Potentialströmung natürlich auch rotationsfrei. Daher
folgt für die Stromfunktion die Laplacegleichung
rot~v = 0
∆Ψ = 0
und das Geschwindigkeitsfeld ist auch durch ein skalares Potential Φ darstellbar.
vx =
∂Ψ
∂Φ
=
∂x
∂y
vy =
∂Φ
∂Ψ
=−
∂y
∂x
Damit haben wir die Cauchy Riemann’schen Bedingungen für die Analytizität
einer komplexen Funktion F (z) in der komplexen Ebene erhalten, wenn wir diese
Funktion wie folgt definieren
F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y)
z = x + iy
F (z) heißt das komplexe Potential. Seine komplexe Ableitung gibt das Geschwindigkeitsfeld,
dF
= vx − ivy .
dz
77
23. Juni 2008
Aus der Definition der komplexen Ableitung folgt:
1 ∂F
∂F
dF
=
≡
−i
dz
2 ∂x
∂y
1 ∂Φ
∂Ψ
∂Ψ
∂Φ ∂Ψ
∂Ψ
=
=
+i
−i
+
+i
2 ∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
∂x
Wir können also den Geschwindigkeitsvektor schreiben als ~v = (<F 0 , −=F 0 ).
Die Kurvenschar der Linien Φ = const. steht senkrecht auf die Kurvenschar der
Stromlinien (klar aus der Konstruktion der Stromlinien). Die beiden Kurvenschare sind auch isometrisch zueinander, d.h. die Maßstäbe die für das Anwachsen
von Φ und Ψ gelten sind dieselben. Legt man in der xy-Ebene zwei orthogonale
Linienelemente fest (~n und ~t = ~ez × ~n) und betrachtet den Zuwachs von Φ und
Ψ längs dieser Linienelemente so gilt
∂Ψ
∂Φ
=
∂n
∂t
denn
∂Ψ
∂Ψ
− ny
= ~ez × ~ngradΨ
∂y
∂x
Wächst also Φ und Ψ um den gleichen Betrag so auch die n- bzw. t-Koordinate.
~ngradΦ = nx
Die Oberfläche (das ist eine Kurve) muß eine Stromlinie sein, also Ψ = const.
(nochmals die tangentiale Komponente von ~v darf unstetig sein; z.Bsp. Kreisströmung um Kugel). Diese Konstante wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit Null, also Ψ = 0. D.h. aber daß auf der Oberfläche F reell ist.
Mit diesen Überlegungen stellt sich das Strömungsproblem als die Bestimmung einer analytischen Funktion F dar, die auf einer Kontur bestimmte reelle
Werte annimmt.
5.1.1
Konforme Abbildungen und einfache Beispiele
Als Lösung des Strömungsproblems (Angabe des Geschwindigkeitsfeldes) sucht
man eine geeignete konforme Abbbildung, F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y), die die
Stromlinien in der z-Ebene in der F -Ebene auf Parallele Ψ = konst. abbildet.
Meist trifft man die Wahl so, daß dabei die Berandung des umströmten Körpers
auf Ψ = 0 abgebildet wird. Als konforme Abbildung ist sie maßstabsgetreu und
winkeltreu und in den kleinsten Teilen ähnlich. Infinitesimale Dreiecke gehen in
ähnliche infinitesimale Dreiecke über. Die Φ und Ψ Linien bleiben orthogonal
(Mercatorprojektion).
Beispiele für konforme Abbildungen
78
23. Juni 2008
(i) Die Parallelströmung
Sie ist durch
F (z) = vz
gegeben.
F 0 (z) = vx − ivy = v
∂Φ
∂Φ
=v
vy =
=0
∂x
∂y
∂Ψ
∂Ψ
Ψ = vy
vx =
=v
vy = −
=0
∂y
∂x
Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. y = konst (siehe Fig.7.5).
Φ = vx
vx =
Abbildung 5.1: Die konforme Abbildung für die Parallelströmung. In allen folgenden Abbildungen in der F-Ebene Φ und Ψ vertauschen!
(ii) Die Strömung im rechten Winkel
Sie ist durch
F (z) = z 2
F 0 (z) = vx − ivy = 2z = 2x − i(−2y)
gegeben.
∂Φ
∂Φ
= 2x
vy =
= −2y
∂x
∂y
∂Ψ
∂Ψ
= 2x
vy = −
= −2y
Ψ = 2xy
vx =
∂y
∂x
Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. xy = konst (siehe Fig.5.2). Auf
der x-Achse ist vy = 0, auf der y-Achse vx = 0 also tatsächlich am Rand Ψ = 0 und
damit F reell. Die Tangentialgeschwindigkeit ist aber am Rand diskontinuierlich.
Φ = x2 − y 2
vx =
(iii) Quelle oder Senke
Sie sind durch
Q
Q
ln z =
(ln r + iφ)
F (z) =
2π
2π
z = r exp(iφ)
79
23. Juni 2008
Abbildung 5.2: Die konforme Abbildung für die Strömung im rechten Winkel
gegeben.
Q
ln r
2π
Q
Q
x
y
vy =
2
2
2
2π x + y
2π x + y 2
Q
Ψ=
φ
2π
Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. φ = konst (siehe Fig.5.3).
Sie entspringen dem Ursprung in dem das Geschwindigkeitsfeld singulär ist. Die
Φ=
vx =
Abbildung 5.3: Die konforme Abbildung für die Strömung aus einer Quelle, oder
in eine Senke
Ergiebigkeit der Quelle findet man durch Integration der Divergenz über ein
Volumen, das den Ursprung enthält
Z Z
div~v dxdy =
I
~v df~ =
Z
dφ
Q
=Q
2π
80
23. Juni 2008
Im Gebiet z − {0} ist die Divergenz des Vektorfeldes Null.
(iv) Kreisströmung
Sie ist durch
F (z) = −
gegeben.
Φ=
Γ
φ
2π
vx =
Γ
i ln z
2π
Γ −y
2π x2 + y 2
vy =
Γ
x
2
2π x + y 2
Γ
ln r
2π
Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. r = konst (siehe Fig.5.4).
Es sind Kreise um den Ursprung in dem das Geschwindigkeitsfeld singulär ist.
Ψ=−
Abbildung 5.4: Die konforme Abbildung für die Kreisströmung
Die Zirkulation der Kreisströmung findet man durch Integration der Rotation
über eine Oberfläche, die den Ursprung umschließt (mathematisch positiv im
Gegenuhrzeigersinn)
I
rot~v df~ =
I
~v d~s =
Z
dφ
Γ
=Γ
2π
Im Gebiet z − {0} ist die Rotation des Vektorfeldes Null.
Man kann die Zirkulation des Geschwindigkeitsfeldes als komplexes Integral
schreiben
I
I
I
Γ = ~v d~s = (vx dx + vy dy) = < F 0 (z)dz
Beweis: Es ist dz = dx + idy und F 0 (z) =
Realteil.
∂Φ
∂x
+ i ∂Ψ
∂x = vx − ivy . Produktbildung und davon der
Das komplexe Integral wird mit dem Residuensatz gelöst. Im Beispiel ist F 0 (z) =
81
23. Juni 2008
i
z
hat also eine einfache Singularität im Ursprung. Nach dem Residuensatz ist das
Integral
I
i
dz = 2πiResiduum = 2πi × i = −2π
z
(v) Quelle und Senke, Dipolströmung
Befindet sich eine Quelle bei −z0 und eine Senke bei z0 so ist das komplexe
Potential durch
m
F (z) =
(ln(z + z0 ) − ln(z − z0 ))
2π|z0 |
gegeben. Führt man nun den Limes |z0 | → 0 durch so erhält man das komplexe
Potential für die Dipolströmung. Man setzt z0 = |z0 | exp(iφ) ein und entwickelt)
F (z) =
meiφ
z
gegeben. Das Geschwindigkeitpotential und die Stromfunktion lauten
Abbildung 5.5: Die konforme Abbildung für die Dipolströmung
Φ=
mx
x2 + y 2
Ψ=−
my
x2 + y 2
Daraus folgt das Geschwindigkeitsfeld
vx =
2mx2
m
−
x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
vy = −
2mxy
(x2 + y 2 )2
82
23. Juni 2008
(vi) Die Strömung um einen Kreis
Dieses Beispiel ist schon komplizierter. Es gibt jetzt in der z-Ebene Bereiche
in denen sich keine Stromlinien befinden (im Kreis). Der Kreis muß aber eine
Stromlinie sein (jedenfalls ein Halbkreis). Es wird das Kreisloch auf einen Schlitz
in der F -Ebene abgebildet. Im Unendlichen liegt eine Parallelströmung vor (mit
der Geschwindigkeit v). Ansatz daher:
F (z) = v z +
1
F (z) = v x + iy +
x + iy
!
1
z
x − iy
= v x + iy + 2
x + y2
x
Φ = <F = v x + 2
x + y2
x2 − y 2
vx = v 1 − 2
(x + y 2)2
!
!
!
vy = −2v
(x2
xy
+ y 2 )2
Punkte an denen die Geschwindigkeit Null ist, ~v = 0, heißen Staupunkte. Sie sind
bei x = ±1; y = 0. Man findet die Staupunkte aus
dF
=0
dz
1−
1
=0
z2
z2 = 1
Dort herrscht maximaler Druck. Im Unendlichen ist der Druck kleiner da dort v
endlich ungleich Null ist. Aus F folgt die Stromfunktion Ψ
y
Ψ=v y− 2
x + y2
!
= vy
x2 + y 2 − 1
x2 + y 2
und auf der Kontur Ψ = 0. Tatsächlich ist der Kreis x2 + y 2 = 1 eine Stromlinie
(siehe Fig.5.6).
Übung: (siehe Lighthill 9.4) Diskussion der Abbildung F (z) = z +
a2
z
(Kreis mit Radius a)
(vii) Die Strömung um einen Kreis mit Zirkulation
Γ
1
+
ln z
z
2πi
!
x
Γ
y
Φ = <F = v x + 2
+
arctan
2
x +y
2π
x
F (z) = v z +
x2 − y 2
vx = v 1 − 2
(x + y 2 )2
!
−
Γ
y
2
2π x + y 2
vy = −2v
(x2
xy
Γ
x
+
2
2
2
+y )
2π x + y 2
Die Staupunkte sind
dF
=0
dz
v
Γ
v− 2 +
=0
z
2πiz
z1,2
Γ
=−
±
4πiv
s
1−
Γ2
16π 2v 2
83
23. Juni 2008
Abbildung 5.6: Die konforme Abbildung für die Strömung um einen Kreis
2
Für 16πΓ2 v2 < 1 gibt es zwei Staupunkte (siehe Fig.). Durch die asymmetrische
Lage der Staupunkte (beide in der unteren Halbebene) kommt es zu einer resultierenden Kraft auf den Kreis. Wir führen die komplexe Kraft K ein (siehe
Fig.5.7),
Abbildung 5.7: Die Lage der Staupunkte für eine Strömung um einen Kreis mit
Zirkulation
K = Ky + iKx =
I
U mrandung
p(dx − idy) =
I
pdz ?
84
23. Juni 2008
Nach Bernoulli findet man den Druck aus
ρ
p∞ = p(~x) + v 2 (~x)
2
Also
ρ
ρ dF
p = p∞ − v 2 (~x) = p∞ −
2
2 dz
dF
dz
!?
Man definiert einen Druckkoeffizienten Cp
Cp =
|F 0|2
p
=1− 2
p∞
v∞
Am Staupunkt ist der Wert des Koeffizienten +1, ist null dort wo die Strömungsgeschwindigkeit gleich v∞ ist und nimmt negative Werte dort an wo die Strömungsgeschwindigkeit größer als die Anströmgeschwindigkeit ist.
Setzt man den Druck in das Integral ein, so sieht man daß der konstante Term
nichts beiträgt, es bleibt
I
ρ
dz ? F 0? F 0
K=−
2
Nun gilt entlang einer Stromlinie dz ? F 0? = dF ? = dΦ − idΨ = dΦ = dzF 0 , also
können wir schreiben
I
ρ
K=−
dzF 02
2 U mrandung
Beiträge zum Integral kommen nur von den 1z -Termen. Man entwickelt F (z)
F (z) ∼ vz +
1
Γ
ln z + O( )
2πi
z
F 0 (z) ∼ v +
Γ 1
1
+ O( 2 )
2πi z
z
dann ist
und
F 02 (z) ∼
Damit wird die Kraft
vΓ 1
πi z
1
ρvΓ
dz = −ρvΓ
2πi
z
Nur die Ky -Komponente ist von Null verschieden, da reell. Ferner sind die Staupunkte unten wenn Γ < 0, dann ist die Kraft nach oben, also Ky > 0. Es gilt
allgemein das Kutta-Joukowski Theorem: die Kraft ist senkrecht auf die freie
Strömungsgeschwindigkeit und positiv wenn die Zirkulation im Uhrzeigersinn
(math. negativer Sinn) umläuft. Das gilt unabhängig von der geometrischen Form
des umströmten Körpers. Es wirkt keine Kraft parallel zur Strömungsgeschwindigkeit (Keine Reibung, kein Totwasser). Anwendung: Magnuseffekt (1851) Abweichung von Geschoßen, Flettner Rotator (1924) vertikale Zylinder an Stelle von
Segeln.
K=−
I
85
23. Juni 2008
Abbildung 5.8: Das Rotatorschiff
Am 31. Mai 1926 startete tatsächlich ein Rotorschiff, die Baden-Baden über den Ozean via
Südamerika nach New York. Trotz des Erfolgs scheiterte diese Anwendung an dem Nachteil,
daß bei Windstille natürlich kein Magnus-Effekt auftrat.
Zur Erklärung siehe Bild 69 Seite 180 in Lighthill
(viii) Die Joukowski Abbildung
Die konforme Abbildung
exp(2iα)
z
bildet den Einheitskreis (Durchmesser 2) auf einen schrägen Schlitz der Länge 4
ab.
F (z) = z +
z = exp(iφ)
F (z) = exp(iφ) + exp(2iα − iφ) = 2 cos(φ − α) exp(iα)
Folgt man in der z-Ebene am Einheitskreis den Punkten 1-4 wieder nach 1, so
bewegt man sich in der F -Ebene auf dem Schlitz auf der oberen Seite nach unten
und auf der unteren wieder nach 1 zurück. Es wird ein Kreis vom Radius 1 auf eine
Gerade der Länge 4 abgebildet. Der Spezialfall α = 0 entspricht der Strömung
um eine Kreis (siehe Punkt (vi)). Dann ist der Einheitskreis eine Stromlinie. Ist
etwa α = π2 , so ist der Einheitskreis keine Stromlinie.
(ix) Die Strömung um eine Platte
Hier machen wir uns unmittelbar die Youkowski Abbildung zu nutze indem wir
86
23. Juni 2008
Abbildung 5.9: Die Joukowski Abbildung
Punkt
1
2
3
4
φ
cos(φ − α)
α
1
α + 90
0
α + 180
−1
α + 270
0
F
2 exp(iα)
0
−2 exp(iα)
0
Tabelle 5.1: Abbildung einzelner Punkte
sie umkehren und die Platte (in der z-Ebene) auf einen Kreis (in einer t-Ebene)
abbilden und diesen dann auf einen Schlitz in der F -Ebene (siehe Fig.5.10)
Abbildung 5.10: Die Strömung um eine Platte
exp(−2iα)
z =t+
t
1
F (t) = v t +
t
Wir finden die Staupunkte aus
dF dt
dF
dF
=
=
F =
dz
dt dz
dt
0
1
=v 1− 2
t
exp(−2iα)
1−
t2
!−1
=v
dz
dt
!−1
=
t2 − 1
(t + exp(−iα))(t − exp(−iα))
23. Juni 2008
87
Daraus findet man die Staupunkte bei t = ±1, d.h. z = ±1 ± exp(−2iα) =
±2 cos α exp(−iα). Man findet aber nun auch Unendlichkeitsstellen, wo |F 0 | =
∞. Die sind bei t = ± exp(−iα) und das ist genau an den Spitzen der Platte,
z = ±2 exp(−iα). Dort ist der Druck −∞ was natürlich unphysikalisch ist.
Zum Strömungsbild. Die =t = 0 Achse ist die Stromlinie, die in der z-Ebene auf der x-Achse
im (-) Unendlichen beginnt, im oberen Staupunkt auf die Platte auftrifft, dann um die Platte
läuft und am unteren Staupunkt die Platte wieder verläßt und im Unendlichen wieder auf die
x-Achse trifft. Sie ist durch =Ψ = 0 gegeben.
Abbildung 5.11: Die Strömung um eine Platte mit Zirkulation
Abbildung 5.12: Der Auftrieb als Funktion des Anstellwinkels für eine Platte
theoretisch und experimentell (strichliert)
88
23. Juni 2008
~ auf die Platte.
Wir berechnen nun noch das Drehmoment M
~ = [~r, K]
~ = M~ez
M
M = xKy − yKx
Nun ist Kx = −pdy und Ky = pdx so daß
M=
I
p(xdx + ydy) =
I
ρ
<(dz ? z)(konst − F 0? F 0 )
2
Da das Ringintegral über die Konstante Null ist ergibt sich die geschlossene Darstellung
I
ρ
M = − < dzzF 02
2
Der von Null verschiedene Beitrag kommt von dem 1/z 2 -Beitrag in F 02 , den man
durch entwickeln findet (große t, dann t ∼ z)
1
F =v 1− 2
t
0
=v+
!
exp(−2iα)
1+
+ ... =
t2
v
(cos(2α) − 1 − i sin(2α)) + . . .
t2
Nun gilt t = z + O( z1 ) also
ρ
M =− <
2
I
2v 2 i sin(2α)
ρ
dzz . . . −
. . . = − 2v 2 2π sin(2α)
2
z
2
!
M = −4πρv 2 cos α sin α
dM
= −4πρv 2 cos(2α)
dα
Daraus folgt daß die lage α = 0 labil und α = π2 stabil ist. Die Kraft in den
Staupunkten richtet die Platte auf.
(x) Die Strömung um eine Platte mit Zirkulation
Der nächste Schritt ist es um die Platte eine Zirkulationsströmung hinzuzufügen.
Dann haben wir schon so etwas wie einen Tragflügel.
F (t) = v t +
1
Γ
+
ln t
t
2πi
z =t+
exp(−2iα)
t
Die Staupunkte sind nun verschoben, wie oben nun bei
iΓ
±
t=
4πv
s
1−
Γ
4πv
2
Die Spitzen sind nach wie vor Unendlichkeitspunkte, sie liegen bei
t = ± exp(−iα)
89
23. Juni 2008
Durch geeignete Wahl von Γ verschieben wir die Staupunkte so, daß der untere Staupunkt auf die Spitze zu liegen kommt. Dann erfolgt dort ein glattes
Abströmen. Dazu muß (Kuttasche Bedingung)
Γ
= exp(−iα) − exp(iα)
2πiv
denn dann liegen die Staupunkte bei
1
t = − (exp(−iα) − exp(iα)) ±
2
s
1+
1
1
1
exp(2iα) + exp(−2iα) −
4
4
2
also bei
1
1
tU = − (exp(−iα) − exp(iα)) + (exp(−iα) + exp(iα)) = − exp(−iα)
2
2
der untere Staupunkt und bei
1
1
tO = − (exp(−iα) − exp(iα)) − (exp(−iα) + exp(iα)) = exp(iα)
2
2
der obere Staupunkt Das Strömungsbild sieht dann etwa so aus: Fig.5.11
Neben einem Drehmoment gibt es jetzt auch einen Auftrieb
Γ = 2πiv (2i sin α) = −4πv sin α
K = −4πρv 2 sin α
Also Auftrieb für α < 0, aber es wäre auch auch für α = π2 der Auftrieb maximal,
was unphysikalisch ist. Trotzdem ist das Ergebnis wichtig weil es linear im Sinus
ist und nicht quadratisch wie es Newton vorhergesagt hat (auf Grund vom Imgcm
cm2
pulsübertrag beim Anströmen des Flügels. Dimensionsbetrachtung: Kraft [ sec
2 ]; Γ [ sec ];
g
ρ [ cm
2 ]; in Γ ist eine Länge verborgen, da wir den Einheitskreis betrachtet haben. Allgemein
würde noch der Radius auftauchen.
5.1.2
Zirkulation, Kraft und Drehmoment einer allgemeinen Strömung um einen Körper
Allgemeine Formeln
F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y)
F 0 (z) = vx (x, y) − ivy (x, y)
Γ = Re
I
dzF 0 (z)
90
23. Juni 2008
ρ
dzF 02 (z)
K = Ky + iKx = −
2
I
ρ
Mz = − Re dzzF 02 (z)
2
m
Γ
ln(z) −
F (z) = vz +
2πi
2z
Γ
m
F 0 (z) = v +
+ 2
2πiz 2z
Ky = −ρvΓ
Mz = 2πρvIm(m)
I
5.1.3
Strömung um einen Tragflügel
Literatur: A. Pope, Basic Wing and Airfoil Theory, McGraw Hill 1951
J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Clarendon
Press 1986
Um aus der Platte einen schmalen Tragflügel zu konstruieren, muß man die
konforme Abbildung von z nach t ändern. Dies geschieht durch Hinzufügen von
Termen einer Laurentreihenentwicklung, die die Lage der bisher gefundenen Staupunkte und Spitzen im wesentlichen unverändert lassen.
z =t+
1 a
b
− + 2
t
t t
Es bleibt F = v(t + 1/t) + (Γ/2πi) ln t. Dann ist
Γ
1
F =v 1− 2 +
t
2πivt
0
1
a
2b
1− 2 + 2 − 3
t
t
t
!−1
Γ
t2 − 1 + t 2πiv
= vt 3
t − t + at − 2b
Die Nullstellen des Zählers liefern die Staupunkte, die Nullstellen des Nenners
die Unendlichkeitspunkte. Einer dieser Unendlichkeitspunkte soll mit einem Staupunkt (der sei bei t = 1) kompensiert werden, die anderen Unendlichkeitspunkte
sollen in das Tragflügelprofil gelegt werden, also bei |t| < 1 liegen. Eine geeignete
Wahl dafür ist a = 2b = − iδ (durch den Imaginärteil δ wird das Tragflügelprofil
unsymmetrisch um die x-Achse), wo und δ kleine Größen sein sollen (schmaler
Flügel).
Berechnung der Unendlichkeitspunkte:
t3 − t + at − a = (t − 1)(t2 + t + a) = 0
Also liegen die Unedlichkeitspunkte bei
t=1
1
t=− ±
2
r
1
−a
4
91
23. Juni 2008
Einer wie gewünscht, die beiden anderen müssen erfüllen
1 r1
− + iδ < 1
− ±
2
4
Es ist
Abbildung 5.13: Die Wirbelbildung um eine Flügel
Abbildung 5.14: Das Tragflügelprofil
1
|...| = +
4
2
Also muß ( 14 − )2 + δ 2 <
r
1
16
1
1
( − )2 + δ 2 ±
4
2
r
1
− + iδ +
4
r
1
− − iδ
4
!
sein. Das ist erfüllt, wenn etwa = δ < 41 .
Das Flügelprofil erhalten wir durch einsetzen von t = eiφ in die z → t Abbildung
z = 2 cos φ + (cos2 φ − cos φ) + δ(sin φ − sin φ cos φ)+
Es ist
h
i
1
+i (1 − cos φ) sin φ + δ(cos φ − cos2 φ) − ( + iδ)
2
1
3
<z(0) = 2 − <z(π) = −2 + 2
2
Also
<(z(0) − z(π)) = 4 − 2
1
=z(0) = − δ
2
5
=z(π) = − δ
2
=(z(0) − z(π) = 2δ
> 0 Breite kleiner; δ > 0 Nase nach unten. Das Anstellen des Flügels erfolgt
durch Drehung wie bei der Platte also
e−2iα ae−2iα be−3iα
1
a
b
z =t+
−
+
= e−iα teiα + iα − iα + 2 2iα
2
t
t
t
te
te
te
"
#
92
23. Juni 2008
Die konforme Abbildung ist so konstruiert, daß die Spitze und der hintere Staupunkt immer zusammenfallen, also erst durch eine Drehung um α ein Auftrieb
zustande kommt. Die Nase des Flügels zeigt für α = 0 aber nach unten (siehe
Fig.5.14).
Abbildung 5.15: Die Strömung um den Tragflügel
Resumee: Die Auftriebskraft geht mit dem sin α. Newton aber argumentierte daß der Auftrieb nur mit sin2 α geht. Sein Argument war folgendes: Die Platte wird angeströmt und die
Luft an der Platte reflektiert. Dabei wird Impulsübertragen.
K=
(Impulsdichte) (Volumen pro Zeit) (Komponente aufwärts)
K = (ρv)(vL sin α)(sin 2α) ∼ sin2 α
Das entmutigte und man dachte Flugmaschinen sind nicht möglich. Erst 1790 wurde die Argumentation überdacht. Erst für sehr hohe Geschwindigkeiten (Überschall) gilt K ∼ sin2 α
Historische Daten:Kutta (1902), Youkowski (1902-09), Prandtl (1918). Weitere Entwicklung
Flugzeug
Boeing 747
Startgeschw.
300 km/h
Breite
9m
Spannweite
60 m
Anstellwinkel
10
Auftrieb
3 107 N
Gewicht
300 t
in den 20er und 30er Jahren. Fig.66 im Sommerfeld.
Webseite:http://www.monmouth.com/ jsd/how/htm/
Der erste motorgetriebene Flug erfolgte 1903 durch die Gebrüder Wright in einem Doppeldecker-Flugkörper mit einem 12 PS Benzinmotor für 12 Sekunden
und eienr maximalen Flughöhe von 3 Metern.
93
23. Juni 2008
15
10
5
-15
-10
-5
5
10
-5
-10
-15
Abbildung 5.16: Ausfluß aus einem Rohr
5.1.4
Ausfluß aus einem Rohr
z-Ebene auf einen Streifen abbilden.
Ψ
0
±π
± π2
y
0
±π
± π2 ± exp(Φ)
x
Φ + exp(Φ)
Φ − exp(Φ)
Φ
Tabelle 5.2: Abbildung einzelner Punkte
z = F + exp(F )
x = Φ + exp(Φ) cos(Ψ)
y = Ψ + exp(Φ) sin(Ψ)
15
94
23. Juni 2008
1
1
|=|
|
1 + exp(F )
1 + exp(Φ) exp(iΨ)
Die Geschwindigkeit im Rohr ist für z = −∞ oder Φ = −∞ v = 1, außerhalb im
unendlichen Null (Φ = ∞).
|F 0 | = |
v2 =
~v =
1
1 + 2 exp(Φ) cos(Ψ) + exp(2Φ)
(1 + exp(Φ) cos(Ψ), exp(Φ) sin(Ψ)
1 + 2 exp(Φ) cos(Ψ) + exp(2Φ)
In den Limiten wie oben im Rohr ~v k(1, 0), aßerhalb ~v k(cos(Ψ), sin(Ψ))
5.2
Strömung um eine Kugel
Die Kugel habe den Radius R. Es ist die Laplace Gleichung im Gebiet außerhalb
der Kugel zu lösen
∆Φ = 0
umschreiben in Kugelkoordinaten
!
∂Φ
1
1 ∂
r2
+ 2
2
r ∂r
∂r
r
∂Φ
1 ∂2Φ
1 ∂
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
!
!
=0
die Randbedingungen lauten im unendlichen
Φ∞ = v∞ z = v∞ r cos θ
Ferner muß auf der Kugeloberfläche die radiale Komponente der Geschwindigkeit
verschwinden
∂Φ
=0
∂r
Es bietet sich die Entwicklung nach Kugelfunktionen an (siehe Elektrodynamik),
q
wegen der Bedingung im Unendlichen braucht man nur Y10 (θ, φ) = 21 π3 cos θ.
Also macht man den Ansatz
Φ = Aχ(r)Y10 (θ, φ)
wobei χ(r) die Differentialgleichung
!
dχ
d
r2
− 2χ = 0
dr
dr
erfüllen muß. Die Lösung besitzt zwei Integrationskonstante in die A absorbiert
werden kann
a
χ(r) = 2 + br
r
95
23. Juni 2008
Vergleich von Φ bei großen r gibt bA = 2
q
π
v .
3 ∞
dχ
=
dr
Es bleibt die Randbedingung
an der Kugeloberfläche zu erfüllen auf der
0 sein muß. Also ergibt sich
q
3 π
aA = R 3 v∞ . Somit ist die Lösung Das Resultat ist
R2
Φ = r + 2 v∞ cos θ
2r
!
~
die Geschwindigkeit ist dann ∇Φ
~v = v∞
"
R3
3R3 z
1 + 3 ~ez −
~er
2r
2r 4
!
#
Reduziert man das Ergebnis auf die Kugeloberfläche und integriert v 2 ∼ sin2 θ
über die Kugeloberfläche, kann man zeigen, daß die Kraft auf die Kugel Null ist.
Übung: Was ist df~ in Kugelkoordinaten?
5.3
Das D’Alembertsche Paradoxon
In §70 des Essai d’une Nouvelle Theorie de la Resistance des Fluides Paris 1752
von d’Alembert formuliert er das Paradoxon
5.4
Diskontinuitätsflächen und Totwasser
Das Strömungsbild um eine Platte sieht tatsächlich anders aus als wir es im Kapitel 4.2 gefunden haben. Grund ist die Nichtlinearität und die Zähigkeit die in
den vollen hydrodynamischen Gleichungen enthalten sind. Man bemerkt daß hinter der Platte ein Gebiet entsteht das relativ träge ist und an dem die Strömung
fast reibungslos vorbeigleitet. Dieses Gebiet heißt Totwasser und wir nehmen in
diesem Gebiet an, daß die Geschwindigkeit der Strömung ~v = 0 ist und der Druck
konstant und per Definition p = 0 ist. Die Form der Berandung dieses Gebiets
ist unbekannt und wird sich als ein Resultat der Lösung der Laplacegleichung
im Gebiet außerhalb des Totwassers ergeben. Es ist aber dazu die Frage wie die
Randbedingungen auf der Totwasserbegrenzung aussehen zu beantworten.
Auf der Begrenzung ist ~vn = 0 aber ~vt 6= 0. Das heißt, die tangentiale Geschwindigkeit ist unstetig und dies führt wiederum dazu, daß an der Begrenzung
die Rotation der Geschwindigkeit eine δ-Singularität besitzt. Es gilt für


vΘ(z)
0 
~v = 


0
96
23. Juni 2008
div~v = 0


0


rot~v =  vδ(z) 
0


0


0
~v × rot~v = 

2
v Θ(z)δ(z)
Also ist dieses Geschwindigkeitsfeld eine stationäre Lösung im inkompressiblen
reibungsfreien Fall, wobei der Druck konstant ist. Der Reibungsterm geht mit ∆~v
und das ist ungleich Null. Der Reibungsterm löst die Diskontinuitätsfläche in eine
Wirbelfläche auf. Diese ersetzen wir durch die Randbedingung
vn = 0
5.4.1
δp = 0
δvt 6= 0
Einige weitere Beispiele konformer Abbildungen
Wir untersuchen nun spezielle einfache Beispiele von konformen Abbildungen in
denen ein Bereich in der F -Ebene auf einen Bereich in der w-Ebene abgebildet
wird. Die Lösung eines Potentialproblems geschieht dann durch geeignete Hintereinanderschachtelung solch einfacher Abbildungen.
Abbildung des 1. Quadranten auf eine Halbebene
Abbildung 5.17: Die konforme Abbildung eines Winkelbereichs auf eine Halbebene (z-Ebene in Abb. ist F-Ebene im Text, w-Ebene ist z-Ebene)
Die Abbildung
z = F2
bildet den 1. Quadranten (m = 2) der F -Ebene auf den oberen Halbraum der
z-Ebene ab (siehe Fig. 5.17). Wegen (1 + i)2 = 2i wird die 45-Grad Gerade in
der F -Ebene auf die positive imaginäre Achse in der z-Ebene abgebildet.
Abbildung eines Streifens auf eine Halbebene
Die Abbildung
z = exp(F ) = exp(Φ) (cos Ψ + i sin Ψ)
97
23. Juni 2008
Abbildung 5.18: Die konforme Abbildung eines Streifen auf eine Halbebene (zEbene in Abb. ist F-Ebene im Text, w-Ebene ist z-Ebene; im Text ist a = π)
bildet den Streifen − π2 ≤ Ψ ≤ π2 in der F -Ebene auf den rechten Halbraum in
der z-Ebene ab (siehe Fig. 5.18).
Abbildung der halbseitig geschlitzten Ebene auf eine Halbebene
Abbildung 5.19: Die konforme Abbildung der halbseitig geschlitzten Ebene auf
eine Halbebene
Die Abbildung
z=
√
F
bildet die entlang der positiven
Φ-Achse geschlitzte F -Ebene
auf den oberen
√
√
π
π
Halbraum der z-Ebene ab. ±i = cos( 4 ) ± i sin( 4 ) und 1 = 1.
Abbildung eines auf der x-Achse liegenden Halbkreises auf den 1. Quadranten
Die Abbildung
z=
1 + Φ + iΨ
1+F
=
1−F
1 − Φ − iΨ
(I)
98
23. Juni 2008
bildet das Innere des Halbkreises in der obere F -Ebene auf den 1. Quadranten
der z-Ebene ab.
x=
1 − (Φ2 + Ψ2 )
(1 − Φ)2 + Ψ2
y=
2Ψ
(1 − Φ)2 + Ψ2
Auf dem Halbkreis gilt Φ2 + Ψ2 = 1 daher immer x = 0 und y =
F
i
−1
0
1
√
1−Φ2
.
1−Φ
z
i
0
1
∞
Tabelle 5.3: Abbildung einzelner Punkte; zu (I)
Abbildung 5.20: Die konforme Abbildung eines Halbkreises auf den 1. Quadranten
gemäß (I)
Der Punkt i/2 in der F -Ebene wird in den 1. Quadranten ((3 + i)/5) in der
z-Ebene abgebildet.
Abbildung eines auf der y-Achse liegenden Halbkreises auf den 3. Quadranten
Die Abbildung
F −i
Φ + iΨ − i
=
(I)
F +i
Φ + iΨ + i
bildet den Halbkreis der F -Ebene auf den 3. Quadranten der z-Ebene ab. Das
kann man aus dem vorhergehenden Beispiel durch eine Spiegelung von z in −z
z=
99
23. Juni 2008
Abbildung 5.21: Die konforme Abbildung eines Halbkreises auf den 3. Quadranten
gemäß (I)
und eine Drehung um 90 Grad im F -Raum, F in iF erhalten. Explizite ist
x=
Φ2 + Ψ2 − 1
Φ2 + (1 + Ψ)2
y=−
2Φ
Φ2 + (1 + Ψ)2
Die imaginäre Achse Φ = 0 wird auf die x-Achse abgebildet.
x=
Ψ−1
Ψ+1
Auf dem Halbkreis gilt Φ2 + Ψ2 = 1 daher immer x = 0 und y = −
F
0
i
−i
1
√
1−Ψ2
.
1+Ψ
z
−1
0
−∞
−i
Tabelle 5.4: Abbildung einzelner Punkte; zu (II)
Der Punkt 1/2 in der F-ebene wird in den 3. Quadranten (−(2 + i)/5) abgebildet.
5.4.2
Platte mit Totwasser
Wird eine Platte von links angeströmt, so bildet sich hinter der Platte eine Region ohne Fluid aus, in der der Druck Null (ohne Beschränkung der Allgemeinheit)
herrscht. Dieser Druck herrscht auch im Unendlichen rechts, auf der das Totwasser begrenzenden Stromlinie. Im Unendlichen ist aber die Geschwindigkeit des
Fluids v. Nun ist aber auf der ganzen Stromlinie p = 0, also auch der Betrag der
100
23. Juni 2008
Abbildung 5.22: Totwasser hinter einer Platte
Geschwindigkeit gleich v. Es gilt also |F 0 | = v auf der Berandung des Totwassers
(die Richtung der Geschwindigkeit ergibt sich erst aus der Form der Berandung).
Das Strömungsproblem ist gelöst, wenn wir die konforme Abbildung der zEbene auf die geschlitzte F -Ebene gefunden haben, wobei die Berandung des
Totwassers auf den Rändern des Schlitzes liegt. Eine wichtige Information ist
dabei, daß die Geschwindigkeit außerhalb der Totwasserregion überall endlich
aber ungleich Null ist. Ferner, daß der Betrag der Geschwindigkeit auf der Berandung konstant ist und auf der Platte Re(F 0 ) = vx = 0. D. h. für die Abbildung
der F -Ebene auf die F 0 -Ebene, daß der Schlitz in der F Ebene auf einen Halbkreis in der F 0 Ebene abgebildet wird, wobei das Innere des Halbkreises auf die
geschlitzte Ebene abgebildet wird. Dabei spielen die bilinearen Abbildungen eine
wichtige Rolle.
z
F
F0
φF
φF 0
S
0
0
0
360
=2
180
O
ir
F0
−iv
180
=2
90
U
−ir
F0
iv
180
=2
90
∞
∞
∞
v
360
=2
180
−∞
−∞
−∞
v
Tabelle 5.5: Abbildung ausgezeichneter Punkte. In der letzten Zeile ist das
Verhältnis der Phasen in der Abbildung angegeben
Ein Ansatz für die Abbildung von F 0 auf F lautet nun folgendermaßen (es ist
immer die positive Wurzel gemeint, F0 reelle Konstante)
√
√
(F 0 − iv)2
F0 + F
0
√ = B(F )
A(F ) =
=√
(F 0 + iv)2
F0 − F
dabei ist√zu beachten welche
gibt immer zwei Möglich√ wird (es
√ Wurzel genommen
√
keiten, F0+ = lim→0 F0 + i = lim→0 (± F0 ± i 2 F0 ). Löst man nach F 0 auf,
101
23. Juni 2008
Abbildung 5.23: Die Abbildung a) der z-Ebene auf b) die F’-Ebene und auf c)
die F-Ebene. In der Abbildung a) auf b) liegt U oberhalb O weil =F 0 = −vy .
so erhält man (s = F0 /F und geeignete Vorzeichenwahl schon getroffen)
v
u√
0
u s+1
F − iv
t√
=
±
F 0 + iv
s−1
q√
q√
√
√
√
s
−
1
−
s+1
s−1+ s+1−2 s−1
0
q√
√
√
= iv
F = iv q√
s − 1 − ( s + 1)
s−1+
s+1
s
F0
−
= −iv 
F
s

F0
dF
− 1 =
F
dz
Eine Überprüfung der Abbildung gibt die Zuordnung gemäß Tab.5.6 in Übereinstimmung mit Tab.5.5. Es gilt
dz =
und rational machen liefert
i
dF
q
q
F
F0
0
v
−
−1
F
F
s
i
F0
dz = 
+
v
F
s

F0
− 1 dF
F
102
23. Juni 2008
S
z
0
F
0
F0
0
B(F) 1
A(F’) 1
O
ir
F0+
−iv
∞
∞
U
−ir
F0−
iv
0
0
∞
∞
∞
v
−1
−1
−∞
−∞
−∞
v
−1
−1
Tabelle 5.6: Abbildung ausgezeichneter Punkte
q
√
Führt man geeignete Variable ein, sin α = FF0 mit dF = 2 F F0 cos αdα, so
folgt aus
2iF0 dz =
cos α + cos2 α dα
v
die Lösung (Dwight 440.20)
1
2iF0
sin α + (sin α cos α + α)
v
2
Die Integrationskonstante wurde Null gesetzt, da damit die Bedingung der Abbildung α(z = 0) = F (z = 0) = 0 erfüllt ist. Die noch unbestimmte Konstante
F0 kann nun ebenfalls bestimmt werden. Es muß F (ir) = F0 also α(ir) = π2 sein
z=
3
2
1
4
2
6
8
10
-1
-2
-3
Abbildung 5.24: Totwasser hinter einer Platte
woraus F0 =
2rv
π+4
folgt. Somit lautet die vollständige Lösung
1
α
ir
sin α +
sin α cos α +
z =
1 + π/4
2
2
=
v
u 2
uF
t
s
2rF
2rF
2ir
−
+
2i
+
arcsin
v2
v(π + 4)
v(π + 4) (π + 4)
s
F (π + 4)
2rv
103
23. Juni 2008
Diese Lösung ist mit der Lösung ohne Totwasser zu vergleichen. Diese lautet
(z = t − 1/t, F = v(t + 1/t)) (siehe Kapitel 4.1.1. (ix) mit α = π2 )
z=
s
F2
−4
v2
Die Begrenzung des Totwassers ist die Kurve y(x) die sich aus <(z) und =(z)
nach Elimination von F (reel, es ist die Stromlinie Ψ = 0) ergibt (siehe Fig.5.24).
Für große F ergibt sich ein Parabelstück
y=
s
8r √
x
π+4
F
<(z) =
v
=(z) = 2
s
2rF
v(π + 4)
Für |z| → ∞ ist die Abbildung durch F = vz gegeben.
Der wichtige Unterschied zum Fall ohne Totwasser ist nun der, daß auf die
Platte ein Druck ausgeübt wird. Hinter der Platte ist der Druck Null, da im
Unendlichen der Druck Null gesetzt wurde. Daher ist wird der lokale Druck nach
Bernoulli erhalten aus
ρ 2
ρ
v = p + vy2
2
2
Es ist also der Gesamtdruck auf die Platte durch das Integral
Z r
ρ
P =
dy (v 2 − |F 0 |2 )
2
−r
2 Z ir
ρv
=
dz(1 − |F 0|2 /v 2 )
2i −ir
1
ρv 2 Z ir
dzF 0 ( 0 − (F 0 )∗ /v 2 )
=
2i −ir
F
!
Z F0
1
(F 0 )∗
2
= iρv
dF
− 2
F0
v
0
= 2ρv
Z
F0
0
dF
s
F0
2rπ
−1=
ρv 2
F
π+4
gegeben. Im letzten Rechenschritt wurde F 0 über die Differentialgleichung elimiP
= 0.88 ρ2 v 2 ändert sich noch wenn die Wirbel berücksichniert. Das Ergebnis 2r
tigt werden die verhindern, daß sich das Totwasser bis ins Unendliche erstreckt;
das ändert den Faktor 0.88 auf 2. Wesentliches Resultat ist aber, daß der Luftwiderstand wie v 2 geht. Ferner sieht man, daß tatsächlich die stabile Lage des
Rayleighschen Scheibchens senkrecht zum Wind ist.
Notation Sommerfeld x und y vertauscht(!), ζ = (i/F 0 )∗ , damit schreibt sich die konforme
Abbildung von Sommerfeld
√
√
0∗
2
F0 − F
F − iv
√
=
√
F 0 + iv ∗
F0 + F
Eine Drehung um 90 Grad auf der rechten Seite liefert die Übereinstimmung mit der hier
verwendeten Abbildung
104
23. Juni 2008
5.4.3
Ausfluß durch ein Loch
Abbildung 5.25: Die Abbildung a) der z-Ebene auf b) die F’-Ebene und auf c)
die F-Ebene. In der Abbildung a) auf b) liegt U oberhalb O weil =F 0 = −vy .
In der F -Ebene wird auf einen Streifen F20 π ≤ Ψ ≤ − F20 π abgebildet. Setzen
wir an
(F 0 − iv)2
1+w
=
(F 0 + iv)2
1−w
Diese Abbildung erfüllt die in Tab. 5.7 Zuordnungen. Daran schließen wir noch
z
F
F0
w
O
ir
i F20 π
iv
−1
U
−ir
−i F02π
−iv
1
∞
∞
∞
v
i∞
−∞
−∞,±i∞
−∞
0
0
Tabelle 5.7: Abbildung ausgezeichneter Punkte
die Abbildung einer Halbebene (w) auf einen Streifen (F )
w = i exp(
F
)
F0
105
23. Juni 2008
Die Differenzialgleichung lautet

s

s
1
F 0 = −iv  −
w
oder
Mit
1
iw
1
i
dz = dF  +
v
w
= − exp(− FF0 ) = i sin α wird daraus
dz = −

1
− 1
w2

1
− 1
w2
F0
cos α
exp(−iα)
dα
v
sin α
Mit Dwight 453.21 ist die Lösung
1 1 + cos α
F0
exp(−iα) − ln
+ konst.
z=−
v
2 1 − cos α
Es muß gelten z = ir, F = i F20 π , sin α = 1 also muß die Konstante gleich i sein.
z=−
F0
1 1 + cos α
exp(−iα) + i − ln
v
2 1 − cos α
Daraus findet man die Parameterdarstellung der gesuchten Kurve
1 1 + cos α
F0
F0
cos α − ln
y=r−
[1 − sin α]
x=−
v
2 1 − cos α
v
Es bleibt noch F0 zu bestimmen. Es wurde noch nicht benutzt die Bedingung
im ∞. Dort muß die Geschwindigkeit in x-Richtung weisen. Also cos α = 1 und
sin α = 0 dann x → ∞ und y = r − Fv0 = b. b ist die Breite des Stahls im
Unendlichen. Es ist vx = ∂Ψ
also
∂y
v=
oder
r−
Ψ
F0 π
|∞ =
y
2b
F0
F0 π
rv
=
→ F0 =
v
2v
1 + π/2
Daraus findes man die Kontraktion des Strahls zu
b=
π
r
F0 π
=
= 0.611 r
2v
2 1 + π/2
106
23. Juni 2008
Abbildung 5.26: Strömung um zwei Kugeln (a) Strömung senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Kugel, (b) parallel dazu
5.5
Potentialströmung um zwei Kugeln
Befinden sich mehrere Kugeln (hier zwei) in einer Strömung, so kommt es zu einer
Kraft zwischen diesen Kugeln, die von der Lage der Verbindungslinie der beiden
Kugeln abhängt. Ist diese Verbindungslinie senkrecht zur Richtung der Strömung
ist die Kraft anziehend, da die Stromlinien zwischen den Kugeln enger als außerhalb aneinander liegen. Ist die Verbindungslinie parallel zur Strömungsrichtung,
so ist die Kraft abstoßend, da die Kraftlinien zwischen den Kugeln weiter auseinander liegen. Diese Kraft ist klein und proportional zu
K
∝
(Abstand)−4
(5.1)
Es wird auch eine Kugel die sich parallel zu einer Wand bewegt von dieser angezogen. Dies folgt aus der Existenz der Symmetriachse für die in Fig. 5.26(a)
gezeigten Strömung.
Diese Kraft ist z.B. wichtig für die Sedimentation des Blutes, und der Bewegung der Blutkörperchen in den Adern.
Kapitel 6
Zähe Flüssigkeiten
Ausgehend von den allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen wird nun nur verlangt daß die Strömung inkompressibel ist (div~v = 0) und kein äußeres Potential
vorhanden ist. Dann lauten die Gleichungen
1 ∂
η ∂ ∂
∂
∂
vi = −
p+
vi
vi + vk
∂t
∂xk
ρ ∂xi
ρ ∂xk ∂xk
Daraus kann man durch Rotationsbildung den Druck eliminieren
∂
η
rot~v = rot(~v × rot~v) + ∆rot~v
∂t
ρ
oder
∂
~
~ v = η ∆rot~v
rot~v + (~v ∇)rot~
v − (rot~v∇)~
∂t
ρ
Durch Divergenzbildung der Navier-stokes Gleichungen findet man den Druck
∆p = −ρ
∂vi ∂vk
∂xk ∂xi
Die Randbedingung an der Wand lautet nun ~v = 0.
Wir werden im folgenden einen speziellen Typ von Strömung betrachten, bei
der die Strömung so erfolgt als ob Fäden glatt aneinander vorbeigleiten. Eine
solche Strömung heißt Laminarströmung. Sie ist im allgemeinen nicht stabil sondern geht unter bestimmten Bedingungen in die turbulente Strömung, bei der die
Fäden aufgelöst werden, über. Somit ist ein Stabilitätsproblem gegeben, das sehr
schwierig zu lösen ist. Um eine Übersicht darüber zu erhalten, ob eine Strömung
bei Änderung der Flüssigkeitsparameter laminar bleibt, betrachtet man ähnliche
Strömungen indem man die Koordinaten und die Zeit skalt.
107
108
23. Juni 2008
6.1
Ähnlichkeitsgesetze
Versucht man aus experimentellen Untersuchungen Aussagen über den Strömungsverlauf zu erhalten, so muß man Ordnung in die anfallenden Daten bringen. Änderungen der in den hydrodynamischen Gleichungen auftretenden Parameter führen
unter den hier zu besprechenden Gründen zu gleichartigen Strömungsbildern. Der
in den Gleichungen auftretende Parameter ist die kinematische Zähigkeit ν = ηρ .
Für die stationäre Strömung werden die Geschwindigkeit ~v und das Verhältnis
p
bestimmt. Durch die Randbedingungen gehen Gestalt und Abmessungen der
ρ
jeweiligen Körper ein. Sei die Gestalt fest so bleibt eine typische Abmessung des
Körpers als Parameter über. Es sind also ν, u, die Anströmgeschwindigkeit und
L die Abmessung die drei vorhanden Parameter. Deren Dimensionen sind
ν=[
cm2
]
s
u=[
cm
]
s
L = [cm]
Daraus kann man gerade eien dimensionslose Größe bilden, nämlich die Reynoldsche Zahl
Lu
Re =
ν
ν x uy Lz soll dimensionslos sein. Daraus folgt 2x + y + z = 0 und −x − y = 0. Also 2x − x + z = 0.
Eine Lösung erhält man für z = 1 mit x = −1 und y = 1. Alle weiteren Lösungen sind Potenzen
der gefundenen Kombination.
Allgemein geht man so vor: Man führt dimensionslose Variable ein indem man
durch typische Geschwindigkeit u und typische Länge L dividiert. Dann schreibt
sich die Lösung
~v = uf~v (~x/L; Re)
und ebenso für den Druck
p = ρu2 fp (~x/L; Re)
Das führt auf das Ähnlichkeitsprinzip, daß nämlich bei gleichem Wert von Re
ähnliche Strömungen vorliegen sie unterscheiden sich nur durch Maßstabsänderungen.
Ähnliche Überlegungen gelten aber auch für andere aus der Strömung abgeleiteten Größen, wie etwa die Widerstandskraft F . Dividiert man die Widerstandskraft durch eine aus den drei Parametern aufgebaute Größe der Dimension einer
Kraft so kann dann diese nur mehr eine Funktion der Reynoldschen Zahl sein,
also
F = ρu2 L2 fF (Re)
Ist noch die Schwerkraft von Bedeutung so tritt ein weiterer dimensionsloser Parau2
. Ferner tritt für nichtstationäre Strömunmeter auf die Froudsche Zahl F r = Lg
gen noch eine Zeitskala τ auf. Dies führt zur Strouhalschen Zahl St = uτ
.
L
109
23. Juni 2008
Die Reynolsche Zahl kann auch als Maß für das Verhältnis von dynamischer
2
~ v ) zu Reibungskraft η v2 (von η∆~v ) verstanden werden.
Kraft ρ vL (von ρ(~v ∇)~
L
Wird die Reynoldsche Zahl groß so gewinnt der nichtlineare Term an Bedeutung,
Turbulenz tritt auf.
6.2
Laminarströmung durch ein Rohr
Daß die wichtigsten Dinge durch Röhren getan werden. Beweise erstlich die Zeugungsglieder, die Schreibfeder und unser Schießgewehr, ja was ist der Mensch
anders als ein verworrenes Bündel Röhren? Lichtenberg, Sudelbücher E35.
Die stationäre Strömung durch ein Rohr (Achse in z-Richtung) wird durch
eine Druckdifferenz aufrecht erhalten. Aus geometrischen Gründen ist der Ansatz
für das Geschwindigkeitsfeld
~v = ~ez vz (x, y)
~ v = 0 und (~v∇)~
~ v = 0. Also lauten die Navier Stokes’schen GleiDeshalb ist ∇~
chungen
~ = η~ez ∆vz
∇p
mit der Randbedingung vz (r = a) = 0 (a ist der Radius der Röhre). Daraus folgt
daß der Druck nur von z abhängen kann. In Zylinderkoordinaten also
dp
dvz
1 d
r
=η
dz
r dr
dr
!
Die recht Seite ist aber von z unabhängig daher ist der Druckgradient eine Kon`
stante. Der Druck nimmt in Richtung der Strömung ab daher negativ, − p0 −p
.
`
Es ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zu lösen.
Abbildung 6.1:
p0 − p`
dvz
1 d
−
r
=η
`
r dr
dr
!
110
23. Juni 2008
Die spezielle Lösung ist
p0 − p` 2
r
4`η
wie sofort zu sehen ist. die homogene Lösung lautet
vzsp = −
vzh = c1 ln r + c2
mit zwei Integrationskonstanten. Dies werden durch die Randbedingungen bestimmt. Es muß natürlich vz (r = 0) endlich sein, also c1 = 0 ferner vz (r = a) = 0
also
p0 − p` 2
vz (r = a) = −
a + c2 = 0
4`η
somit lautet die Lösung
p0 − p` 2
a − r2
vz =
4`η
Dies ist das Hagen Poiseuill’sche Gesetz. Das Geschwindigkeitsprofil entspricht
einer Parabel.
Abbildung 6.2: Gotthilf Hagen, Jean Louis Marie Poiseuille, Osborne Reynolds
Die in der Zeiteinheit durch den Querschnitt strömende Flüssigkeitsmenge ist
Q = 2π
Q=
Z
vz rdr =
πa4 (p0 − p` )
8`η
Das ist die Hagen-Poiseuille Formel an der die a4 -Abhängigkeit bemerkenswert
ist. Aus den Eulerschen Gleichungen würde folgen, dass die Durchflußmenge mit
dem Radius geht.
111
23. Juni 2008
Anwendung: In Bezug auf das Asthma bronchiale interessiert uns jedoch nur die folgende Quintessenz: Wird das Rohr verlängert, so führt dies zu einem proportionalen Druckverlust. Wird jedoch der Rohrdurchmesser verkleinert, so ändert sich der Druck sehr viel stärker,
nämlich mit der vierten Potenz des Rohr-Radius. Würde man also einen Bronchus hypothetisch
um das Doppelte verlängern, so müsste der treibende Druck, der das ursprüngliche Luftvolumen
transportiert, auch nur doppelt so stark sein. Die Halbierung seines Radius erforderte hingegen
einen 16fachen höheren Anfangsdruck zum Transport der ursprünglichen Luftmenge.
Die laminare Strömung schlägt in eine turbulente Strömung um, wenn die
einen kritischen Wert Recr = 1160 überschreitet (schon
Reynoldszahl Re = ρav
η
1883 gefunden).
Schaum, Prozeß des Befeuchtens
Weaire et al. Phys. Rev. Let. 71, 2670 (1993)
Gasanteil im Schaum Φ, dann in den ’pipes’ 1 − Φ der Flüssigkeitsanteil und Q ∼ (1 − Φ)2 die
Durchflussmenge.
Bewegt sich eine Platte mit v über eine Flüssigkeitsschicht der Höhe h so ergibt sich ein lineares
Geschwindigkeitsprofil v(x) = v hx
6.3
Laminarströmung um eine Kugel
Die Strömungsgeschwindigkeit um die Kugel (oder die Geschwindigkeit der Kugel
in der Flüssigkeit) darf nicht zu groß sein um im laminaren Bereich zu bleiben.
Unter diesen Vorraussetzungen lösen wir die stationären Gleichungen. Ausgangspunkt sind die Navier-Stokes Gleichungen, wobei wir die in ~v quadratischen Terme
vernachlässigen,
~ = η∆~v .
∇p
Die Randbedingungen an der Kugeloberfläche (der Radius der Kugel sei a) lauten
~n~v (a, θ, φ) = 0 und im Unendlichen liegt eine zu z parallele Strömung vor ~v =
(0, 0, v). Ferner sei die Flüssigkeit inkompressibel, also div~v = 0. Das führt auf
die Laplacegleichung für den Druck ∆p = 0. Wir versuchen eine Lösung durch
eine Ansatz (Entwicklung in Kugelfunktionen)
p=
X
`,m
c`,m Y`m (θ, φ)r −`−1
112
23. Juni 2008
wobei man sich auf negative Potenzen beschränken kann, da der Druck im Unendlichen Endlich sein soll. Wir werden sehen daß man mit dem niedrigsten Term
(` = 1) auskommt, also (bis auf eine Konstante)
p = ηA
cos θ
r2
wobei A noch zu bestimmen ist.
Abbildung 6.3: Strömung um eine Kugel ?
Das Geschwindigkeitsfeld ~v zerlegen wir in einen rotationsfreien Anteil und
einen Wirbelanteil
~ +w
~v = ∇Φ
~
Aus der Divergenzfreiheit von ~v folgt
~w
∆Φ + ∇
~ =0
und aus der Navier-Stokes Gleichung folgt
~ (p − η∆Φ) − η∆w
∇
~ =0
Diese Gleichung ist erfüllt wenn man fordert ∆w
~ = 0 und (bis auf eine Konstante)
~w
p = η∆Φ = −η ∇
~
∂ A
θ
Aus dem Ansatz für p ergibt sich ( ∂z
= − rA2 zr = − A cos
)
r
r2
w
~ = (0, 0,
A
)
r
113
23. Juni 2008
Also ist noch zu lösen
∂ 1
∂z r
also lesen wir sofort die spezielle Lösung der inhomogenen Laplace
∆Φ = −A
Nun ist ∆r =
Gleichung ab
2
r
Az
A ∂
r=−
2 ∂z
2r
Dazu kommt die homogene Lösung, die einsteils die Strömumg im Unendlichen,
vz, enthält und einen im Unendlichen verschwindenden Anteil, wiederum die
niedrigste Kugelfunktion mit ` = 1. Also es ist die gesamte Lösung für Φ
Φ̄ = −
Φ = vz −
Az
z
+B 3
2r
r
Wir haben die offenen Konstanten A und B durch die Randbedingungen an der
Kugel zu bestimmen
~ +w
~v = ∇Φ
~ =0
für r = a und alle θ und φ. Die x-Komponente liefert
0=0−
−3z x
A −z x
+
B
2 r2 r
r4 r
oder
3B
A
= 2
2
a
Die y-Komponente liefert dieselbe Beziehung und aus der z-Komponente ergibt
sich
A −z z 1
−3z z
1
A
+ 3)
0 = + v − ( 2 + ) + B( 4
r
2 r r r
r r r
oder
A
1
+v+B 3 =0
2a
a
und wiederum dieselbe Relation wie oben. Also man kann die Randbedingungen
erfüllen und erhält
3
A = − av
2
und somit
B=
Aa2
1
= − a3 v
6
4
3 az 1 a3 z
−
Φ=v z+
4 r
4 r3
!
Damit kennen wir das Geschwindigkeitsfeld um die Kugel
3
a2
vx = −v a 1 − 2
4
r
!
xz
r3
114
23. Juni 2008
3
a2
vy = −v a 1 − 2
4
r
!
yz
r3
a2
z2
3 a 1 a3 3
−
+
a
−
1
vz = v 1 −
4 r 4 r3 4
r2
r3
!
"
#
dieses Geschwindigkeitsfeld können wir nun mit dem einer idealen Flüssigkeit
3
vergleichen (Zähigkeit Null). Es ist das Potential Φη=0 = v(z + a2r3z ) und somit
vx,η=0 = −v
3 a3 xz
2 r5
3 a3 yz
2 r5
"
#
1 a3 3 a3 z 2
=v 1+
−
2 r3 2 r5
vy,η=0 = −v
vz,η=0
Natürlich ist nun das Geschwindigkeitsfeld an der Kugel (r = a) von Null verschieden.
In der zähen Flüssigkeit wird auf die Kugel eine Kraft ausgeübt. Diese ist
nach den Überlegungen in Abschnitt 1.4.1 gegeben durch den Spannungstensor
Ki =
I
σij dfj
und
σij = η (vi,j + vj,i) − pδij
Der Druck p ist bekannt (wir berücksichtigen nun die Konstante obwohl die zur
Kraft nichts beiträgt)
~w
p = p0 − η ∇
~ = p0 + ηA
3aηv z
z
=
p
−
0
r3
2 r3
Aus Symmetriegründen ist die Kraft in z-Richtung gerichtet. Ferner kann man
zwei Kugeln betrachten, eine innere und eine äußere
I
Oi
+
I
Oa
=
Z
σij,j dV =
Z
[η (vj,ij + vi,jj ) − p,i ] dV = 0
denn der letzte Term hebt den vorletzten weg und der erste verschwindet wegen
div~v = 0. Wir schieben nun die äußere Kugel ins Unendliche dann tragen zur
Kompensation auf Null nur die Terme des Spannungstensors proportional r12 bei
(die gehen ja gerade invers zur Größe der Oberfläche). Also
Kz =
I
(σzx dfx + σzy dfy + σzz dfz )
115
23. Juni 2008
Wir brauchen nur
9 xz 2
vz,x + vx,z = . . . + va 5 + . . .
2
r
9 yz 2
vz,y + vy,z = . . . + va 5 + . . .
2 r
9 z3
2vz,z − p,z = . . . + va 5
2 r
Damit wird die Kraft
Kz =
I
2
2
~x 9 aηv z = 2πaa2 sin θdθ 9 aηv cos θ
df~
2
r5
2
a3
Z 1
9
Kz = aηv2π
d cos θ cos2 θ
2
−1
Kz = 6πηva
Z
das ist das Stokes’sche Gesetz. Es gibt den Widerstand einer Kugel in einer
Flüssigkeit an und geht linear mit der Geschwindigkeit, während der Luftwiderstand (Totwasser) mit dem Quadrat der Geschwindigkeit geht. Dieselbe Rechnung für eine Zylinder führt auf ein unmögliches Resultat. Der Grund ist die
Vernachlässigung der in v quadratischen Terme in den Navier-Stokes Gleichungen. Das Ergebnis für die Kugel ist nur zufällig richtig (im Unterschied zur Kugel
ist der Zylinder ins Unendliche ausgedehnt)! Oseen hat die vollständige Rechnung
durchgeführt, das gibt eine Korrektur für die Kugel
3ρva
Kz = 6πηva 1 +
8η
!
also (1 + 83 Re), und für den Zylinder (Kraft pro Längeneinheit) bekommt er
Kz =
π(ln
2ηv
− 0.0772)
4η
ρva
was nicht in Re entwickelt werden kann. Die Formel gilt nur für kleine Geschwindigkeiten
Lit.: N. J. Kotschin, I. A. Kibel, N.W. Rose, Theoretische Hydromechanik II
Akademie-Verlag 1955
6.4
Die Zähigkeit einer Suspension
Lit.: Landau Lifschitz VI Seite 85
Flüssigkeiten in denen feste kleine Teilchen suspendiert sind, kann man als
homogene Medien mit einer effektiven Zähigkeit betrachten, solange man Phänomene auf einer Längenskala studiert, die groß ist gegenüber der Dimension der
Teilchen.
23. Juni 2008
116
Abbildung 6.4: Strömung um eine Zylinder bei verschiedenen Reynoldszahlen
6.5
6.5.1
Stabilität der Laminarströmung
Allgemeine Vorgangsweise
Die Stabilität untersucht man durch Linearisieren der allgemeinen Gleichungen
um die stationäre Laminarströmung. Man setzt in die Gleichungen am Anfang
von Kapitel 5 ~v = ~v0 + δ~v und p = p0 + δp ein mit der Bedingung daß δ~v = 0 am
Rand. Es gilt
∂
∂
1 ∂
η ∂ ∂
∂
δvi + v0k
δvi + δvk
v0i = −
δp +
δvi
∂t
∂xk
∂xk
ρ ∂xi
ρ ∂xk ∂xk
und divδ~v = 0. Genauso wie die allgemeinen Gleichungen kann man auch hier in
den Wirbel- und Quellenanteil zerlegen. Das geschieht in der nächsten Sektion. Da
obiges Gleichungssystem linear ist und die Koeffizienten zeitunabhängig sind kann
man Fouriertransformieren und die Eigenwerte der Frequenz ω suchen. Solche mit
positivem Imaginärteil führen zu einer Instabilität, da die Störung exponentiell
anwächst.
6.5.2
Ebene Probleme und die Orr-Sommerfeld Gleichung
Für Strömungen in einer Ebene kommt es zu weiteren Vereinfachungen, da dann
~v = ~ex vx (x, y) + ~ey vy (x, y) ist und somit alle Ableitungen nach z verschwinden.
117
23. Juni 2008
Beispiele sind die ebene Couette Strömung (zwei Platten die untere ruht die obere bewegt sich
mit v0 , es ergibt sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil) und die ebene Poiseuille Strömung
zwischen zwei festen Platten (Parabelprofil).
Für rot~v vereinfacht sich die allgemeine Gleichung dann auf
η
∂
~
rot~v + (~v∇)rot~
v = ∆rot~v
∂t
ρ
Daraus folgt die Gleichung für die Störung
η
∂
~
~
rotδ~v + (~v0 ∇)rotδ~
v + (δ~v ∇)rot~
v0 = ∆rotδ~v
∂t
ρ
Man führt nun ein Vektorpotential ein
δ~v = −rot~a
über dessen Quellenstärke frei verfügt werden kann (Eichfreiheit einen beliebigen
Gradienten hinzuzufügen); die sei Null. Dann ist rotrot~a = −∆~a. Die Gleichung
für das Vektorpotential mit dieser Eichung ist die Orr-Sommerfeldsche Gleichung
∂
η
~ a − ((rot~a)∇)rot~
~
∆~a + (~v0 ∇)∆~
v0 = ∆∆~a
∂t
ρ
Da die Strömung eben ist kann man auch für das Vektorpotential den Ansatz
machen (gibt für die Geschwindigkeit nur x und y Komponenten)
~a = ~ez a(x, y, t)
Damit vereinfacht sich die Gleichung für a(x, y, t) zu
∂
~
~ ez rot~v0 ) = η ∆∆a
∆a + (~v0 ∇)∆a
+ ~ez ((grada) × ∇)(~
∂t
ρ
Für die Kanalströmung zwischen zwei ebenen Platten (im Abstand 2h) kommt
es zu weiteren Vereinfachungen. Es ist
~v0 = ~ex v0 (y)
y2
v0 (y) = u 1 − 2
h
!
Mit c = −2u/h2 lautet die Orr-Sommerfeldsche Gleichung
∂
∂
∂a
η
∆a + v0 (y) ∆a − c
= ∆∆a
∂t
∂x
∂x
ρ
Die Randbedingungen für das Vektorpotential lauten
∂a
|±h = 0
∂x
∂a
|±h = 0
∂y
118
23. Juni 2008
Abbildung 6.5: Stabilitätsbereich für die ebene Kanalströmung
Skalt man in der x und y-Richtung mit h, und skalt man die Geschwindigkeit
mit u, führt noch Fouriertransformationen bezüglich x und t (eine Fourierreihe)
durch so bleibt letztlich die Differentialgleichung
 "
 h2
i

ν
ωn + (1 − y 2 )Re k
#
∂2
∂2
2
+
2iRe
k
−
−
k
− k2
∂2y
∂2y
!
mit den Bedingungen
a(k, y = ±1, n) = 0
!2 

a(k, y, n) = 0

∂a(k, y, n)
|y=1 = 0
y
(ν kinematische Zähigkeit). Diese Gleichung besitzt Eigenwerte ωn
und Re = hu
ν
die komplex sind
ν
ωn = 2 gn (k, Re)
h
Es ist die Frage zu beantworten für welchen Wert von k wird die Strömung zuerst
instabil. Also gesucht ist
Rekrit = min Re(k)
k
für das
=ωn = 0
also die in h gemessene Wellenzahl, k =
Führt man den Parameter α = 2hπ
λ
so sieht man daß die Strömung bei Re ∼ 5800 instabil wird.
α
,
h
119
23. Juni 2008
Lit.: P.G.Drazin and W.H.Reid, Hydrodynamic Stability Cambridge Univ.
Press 1982
6.6
Kinetische Gastheorie und Navier-Stokes Gleichungen
Die Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen im Rahmen der kinetischen
Theorie geht von der Boltzmann-Gleichung
!
p~ ∂
∂
∂
f (~r, ~p, t) = Stoßterm
+
+ F~
∂t m ∂~r
∂~p
(6.1)
aus. Es ist eine Gleichung für die Verteilungsfunktion f (~r, p~, t) von Ort und Impuls der Teilchen. Diese enthält einen Stoßterm (dieser Term enthält die Wechselwirkung der Teilchen) der für Erhaltungsgrößen beim Stoß gemittelt über die
Impulse der Teilchen verschwindet. Mittelt man also die Erhaltungsgrößen über
die Verteilung der Impulse erhält man Gleichungen für diese Mittelwerte als Funktion des Ortes und der Zeit.R Dies sind die hydrodynamischen Gleichungen
für die
R
Massendichte ρ(~r, t) = m d~pf (~r, ~p, t), Impulsdichte m~u(~r, t) = d~pp~f (~r, p~, t)
R
und thermische Energie kT (~r, t) = ρ/3 d~p|~p − m~u|2 f (~r, p~, t). Der Drucktensor,
die Temperatur und der Wärmestrom sind durch die Mittelung entsprechender
Größen über die noch unbekannte Verteilungsfunktion f (~r, ~p, t) definiert. In nullter Ordnung, wenn die Verteilung durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben ist, werden die Eulerschen Gleichungen und die Gleichung für die Temperatur
erhalten (siehe Huang, Statistical Mechanics, chapter 5.4).
Die Näherung erster Ordnung (die kleine Größe ist die Abweichung der Maxwellverteilung von der exakten Verteilung) liefert die Navier-Stokes Gleichungen und die Wärmeleitungsgleichung (siehe Huang, Statistical Mechanics, chapter
5.5). Dies wurde bereits 1866 von Maxwell gezeigt [?], der damit die Gleichungen
von Poisson und Stokes reproduzierte (Brush70,Brush76). Allerdings unter der
Annahme, dass die Volumsviskosität Null ist.
Die Herleitung aus der kinetischen Theorie fürt auf die Navier-Stokes Gleichungen allerding für verdünnte Gase, doch ist ihre Form dieselbe wie sie phenomenologisch aus allgemeinen Prinzipien in Kapitel 1 begründet wurden.
Kapitel 7
Kompressible Fluide
7.1
7.1.1
Schallwellen
Linearisierte Gleichungen
Volle Gleichungen aber linearisieren, ohne äußeres Potential
ρ = ρ0 + δρ(~x, t) vi = δvi (~x, t) p = p(ρ0 ) + c2 δρ(~x, t)
wobei c2 =
lauten
∂p
|
∂ρ ρ=ρ0
die longitudinale Schallgeschwindigkeit ist. Die Gleichungen
ρ̇ + div(ρ~v ) = 0
~ v = −gradp + η∆~v + (ζ + 1 η)graddiv~v
ρ~v˙ + ρ(~v ∇)~
3
Einsetzen und nur die in δ linearen Terme mitnehmen führt auf
δ ρ̇ + ρ0 δvi,i = 0
1
ρ0 δ v̇i = −c2 δρ,i + ηδvi,kk + (ζ + η)δvk,ik
3
Man zerlegt die Geschwindigkeit in einen transversalen (divδ~v T = 0) und longitudinalen Anteil (rotδ~v L = 0). Die Bezeichnung wird im Fourier Raum klar,
senkrecht auf und parallel zu der ~k Richtung.
Man kann für den longitudinalen Anteil der Geschwindigkeit ein Potential
~
einführen, δ~v L = ∇Φ.
Leitet man außerdem die 2. Gleichung nach der Zeit ab
und setzt in die 1. Gleichung ein so folgt
4
T
ρ0 (δv̈iT + Φ̈,i ) = c2 ρ0 Φ,ikk + η v̇i,kk
+ (ζ + η)Φ̇,kik
3
120
121
23. Juni 2008
Damit ergeben sich für die beiden Anteile
Φ̈,i = c2 Φ,ikk + η̄0Φ̇,ikk
oder
L
L
δv̈iL = c2 vi,kk
+ η̄0δ v̇i,kk
T
δv̈iT = η̄δ v̇i,kk
mit den Zähigkeiten η̄0 = (ζ + 34 η)/ρ0 und η̄ = η/ρ0 . Durch Fouriertransformation
δviL ∼ A exp(i~k~x − iωt)
erhält man die Dispersion der gedämpften longitudinalen Schallwellen
ω 2 = c2 k 2 − iη̄0ωk 2
oder
 s

k2
k2
ω = ck ± 1 − η̄02 2  − iη̄0
4c
2
Für die transversalen Geschwindigkeitskomponenten ergibt sich eine reine diffusive Mode
δviT ∼ i exp(i~k~x − iωt)
i ki = 0 (divδ~v T = 0)
ω 2 = −iω η̄k 2
ω = −iη̄k 2
Schall in bewegten Medien: Gruppengeschwindigkeit
~k
~vg = c + ~v
k
Doppler Effekt. Beobachter bewegt
ω = ω0 (1 −
Quelle bewegt
ω=
~v~k
)
ck
ω0
~
1 − ~vckk
Es gibt ein ausgezeichnetes Bezugssystem in dem die Geschwindigkeit der Schallwelle c ist. Dieses Bezugsystem gibt es für die Ausbreitung der Lichtwellen nicht
(Suche nach dem Äther). Weiters gibt es keinen transversalen (θ = 90) Dopplereffekt (die Frequenz bleibt unverändert, relativistisch aber schon).
Die Schallgeschwindigkeit die wir bisher betrachtet haben ist die adiabatische
Schallgeschwindigkeit (Konstanz der Entropie, kleine Wärmeleitfähigkeit). Ist jedoch die Wärmeleitfähigkeit groß, muß man die Wärmeleitungsgleichung mitberücksichtigen. Dadurch kommt es zu einer Kopplung zwischen der Gleichung
122
23. Juni 2008
für die Temperatur und dem Druck und im Endeffekt zu einer Schallausbreitung
mit der isothermen Schallgeschwindigkeit für größere Frequenzen. Die isotherme
Schallgeschwindigkeit ist immer kleiner als die adiabatische
c2ad =
∂p
∂ρ
!
∂p
∂ρ
c2iso =
s
!
c2iso =
T
c2ad
γ
γ=
cp
>1
cv
Abbildung 7.1: Schallgeschwindigkeiten als Funktion der Temperatur bei verschiedenem Druck
7.1.2
Eindimensionale Wellen
Spezialisiert man die Navier Stokes Gleichungen für den eindimensionalen Fall so
lautet die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
∂v
= −ρ0
∂t
∂x
und die Bewegungsgleichung (ohne Zähigkeit)
∂v
1 ∂p
=−
∂t
ρ0 ∂x
Gemäß der Zustandsgleichung gilt der Zusammenhang
∂ρ
=
∂i
∂ρ
∂p
!
0
1 ∂p
∂p
= 2
∂i
c ∂i
i = t, x
123
23. Juni 2008
Daraus folgt durch Ableiten der Kontinuitätsgleichung nach t die Wellengleichung
für den Druck
2
∂2p
2∂ p
−c
=0
∂t2
∂x2
Die Geschwindigkeit ist dann durch Integration aus der Lösung für p(x, t) zu
finden:
Z
Z
Z
∂p
∂v
1
1 ∂p
∂v
( dt + 2 dx)
dx) = −
v = dv = ( dt +
∂t
∂x
ρ0
∂x
c ∂t
Analog findet man durch Ableiten der Bewegungsgleichung nach der Zeit dieselbe
Wellengleichung für die Geschwindigkeit
2
∂2v
2∂ v
−
c
=0
∂t2
∂x2
Der Druck ergibt sich dann durch Integration der Lösung für v(x, t)
p=
Z
dp =
Z
(
∂p
∂p
dt +
dx) = −ρ0
∂t
∂x
Z
(c2
∂v
∂v
dt +
dx)
∂x
∂t
Das Anfangswertproblem kann allgemein gelöst werden nach D’Alembert (siehe
die Elektrodynamikvorlesung). Dazu führt man statt x, t die charakteristischen
Variablen r, s ein
x − ct = r
x + ct = s
Die Kurven r = const bzw. s = const nennt man Charakteristiken. Es sind dies
Gerade mit der Steigung c. Die Wellengleichung lautet in den charakteristischen
Variablen
∂2v
=0
∂r∂s
und wird durch
v = f (r) + g(s)
mit beliebigen Funktionen f und g allgemein
gelöst.
diese Funktionen sind durch
∂v(x,t)
bestimmt. Geht man zurück
die Anfangsfunktionen v(x, t = 0) und
∂t
t=0
zu den ursprünglichen Variable x, t so erhält man die Lösung in Form einer Überlagerung zweier Wellen
v = f (x − ct) + g(x + ct).
Für eine einfache fortschreitende Welle v = f (x−ct) ist der Druck ist dann durch
p(x, t) = ρ0 cv(x, t) + p0 = p(v) gegeben.
Allgemein findet man
Z
Z
Z
2 0
0
0
0
p = dp = −ρ0 (c (f + g )dt + c(−f + g )dx) = −ρ0 c (f 0 (cdt − dx) + g 0 (cdt + dx)) =
= ρ0 c
Z
(f 0 dr + g 0 ds) = ρ0 c(f + g) + p0
124
23. Juni 2008
’ bedeutet Ableitung nach dem Argument. Integrieren nach dem Argument gibt p und die
Proportionalität für den einfachen Fall.
Die Bedeutung der beiden Charakteristiken ergibt sich nun als diejenigen Kurven
auf denen ein bestimmter Wert f (r = const) bzw. g(s = const) der jeweiligen
Wellen mit der Geschwindigkeit c fortschreitet (nach links oder rechts). Definiert
= ±c so kann man die Charakteristiken auch als die
man noch die Geraden dx
dt
Kurven interpretieren längs denen sich eine Störung von den gerade definierten
Kurven wegbewegen.
7.2
Stoßwellen
Es soll nun das eindimensionale nichtlineare Sytem der Navier Stokes’schen Gleichungen gelöst werden. Es lautet die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
∂v
∂ρ
+ρ
+v
=0
∂t
∂x
∂x
und die Bewegungsgleichung
ρ(
∂v
∂v
∂p
+v )+
=0
∂t
∂x
∂x
Die Zustandsgleichung sei allgemein und speziell die adiabatische
p
ρ = φ(p) =
A
7.2.1
1
γ
Spezielle Lösungen p=h(v)
Im linearisierten Fall konnte man den Druck p(x, t) durch die Geschwindigkeit
v(x, t) ausdrücken. Es soll nun nach solchen exakten Lösungen gesucht werden
für die ebenfalls so ein Zusammenhang, p = h(v), besteht. Im allgemeinen wird
dies nicht der Fall sein. Berücksichtigt man, daß nun
∂ρ
=
∂i
dρ
dp
!
∂p
∂p
∂v
= φ0 (p)
= φ0 (p)p=h(v) h0 (v)
∂i
∂i
∂i
so lautete die Kontinuitätsgleichung
φ0 h0
∂v
∂v
∂v
+φ
+ vφ0 h0
=0
∂t
∂x
∂x
und die Bewegungsgleichung
φ
∂v
∂v
∂v
+ φv
+ h0
=0
∂t
∂x
∂x
i = t, x
125
23. Juni 2008
Für eine nichttriviale Lösung müssen die beiden Gleichungen linear abhängig sein,
also die Systemdeterminante verschwinden. Das liefert die Bedingung
φ0 h0 (φv + h0 ) − φ(φ + φ0 h0 v) = 0
oder
φ2
φ0
Dann lautet die Bestimmungsgleichung für die Geschwindigkeit
h02 =
h0 ∂v
∂v
+ (v + )
=0
∂t
φ ∂x
oder
∂v
∂v
+ (v + c)
=0
∂t
∂x
mit der Schallgeschwindigkeit c, die nun von x und t über v(x, t) abhängt,
c=
1
0
φ (p)p=h(v)
!1
2
Eine Gleichung der Gestalt
∂v
∂v
+ F (v)
=0
∂t
∂x
läßt sich mit Hilfe der Charakteristiken, die durch
dt
dt
dx
= (v + c) = F (v)
dr
dr
dr
definiert sind lösen. Längs der Charakteristik gilt v = const. Daher sind die
Charakteristiken die Lösungen von
dx
= F (v)
dt
also die Geraden (eine Integrationskonstante)
x = F (v)t + G(v)
Die Auflösung dieser Gleichung nach v gibt die gesuchte Lösung v(x, t). Dies ist
aber problematisch. Dennoch die implizite Lösung lautet
v(x, t) = V (x − F (v)t)
Die Funktion F (v) ist durch die Zustandsgleichung und die Bedingung daß die
Systemdeterminante verschwindet bestimmt, die Funktion G(v) V (v) durch die
126
23. Juni 2008
x
x
t
G(v)
t
Abbildung 7.2: Die Charakteristik
Geschwindigkeit v(x, t = 0) bei t = 0, bzw. deren Umkehrfunktion gegeben. Es
gilt für t = 0
x = G(v)
oder
v = V (x)
Z.B. eine Gaußkurve g(x) wie in Fig. 7.6. Mit wachsendem x wird v kleiner. Die
Umkehrfunktion G(v) ist eine mit v fallende Funktion. Für verschiedene v können
sich die Geraden schneiden. Das wird der Fall sein da sonst nur F = const in Frage
käme. Dann wird der Zusammenhang zwischen v und x und t uneindeutig, denn
es existieren zwei Werte von v zu einem x, t-Wert. Ein solcher Schnitpunkt tritt
genau dann auf, wenn mit wachsendem G(v) die Steigung F (v) kleiner wird. Das
tritt aber für den adiabatischen Fall genau dann auf wenn zum Zeitpunkt t = 0
die Geschindigkeit mit wachsenden x kleiner wird. Die Schallgeschwindigkeit c
wächst mit v, F (v) wächst mit v, und G(v) fällt mit v; was umgekehrt heißt F
sinkt mit wachsendem G.
Explizite Rechnung für adiabatische Zustandsgleichung
γ
p = Aρ
p
φ(p) =
A
h0 =
φ2
φ0
1
1
φ(p) =
Aγ
γ
!1
2
0
1
1
= γ 2 A− 2γ p
γ+1
2γ
=
p
A
1 −1
dp
dv
γ
1
γ≥1
Integration liefert (v = 0 dann p = 0)
v=γ
− 21
A
1
2γ
Z
1
p
− γ+1
2γ
1
c = γ 2 A 2γ p
2γ 2 2γ1 γ−1
A p 2γ + konst.
dp =
γ−1
γ−1
2γ
127
23. Juni 2008
c=
γ −1
v + c0
2
1
p = h(v) = A 1−γ (
γ−1
2γ
1
2
2γ
v) γ−1 + konst.
γ+1
v + c0
2
Man sieht F (v) ist linear in v. Der Druck p wächst mit der Geschwindigkeit v.
Was also für die Geschwindigkeit v gesagt wurde gilt auch für den Druck p.
F (v) = v + c =
Damit wird die spezielle Lösung
v(x, t) = V
x − c0 t −
γ+1
v(x.t)t
2
Ein spezielles Beispiel:
Sei γ = 3 für die betrachtete Sustanz und die Mitschwimmkoordinate y = x − c0 t
(nach rechts) so gilt
v(y, t) = V (y − 2vt)
Es verändert sich das Profil V im Laufe der Zeit so daß
V0
∂v
=
∂y
1 + 2tV 0
bei
1
2V 0
wird v,y unendlich, dh. das Profil von v hat eine senkrechte Tangente.
Beispiel:
 b

für x < −b
 τ
v(x, 0) = − τx für −b < x < 0


0
für x > 0
tc = −
Berechnen v,y (y, t)
Abbildung 7.3: Anfangsgeschwindigkeit und Zeitentwicklung für das Beispiel
− τ1
v,y =
1 + 2t(− τ1 )
128
23. Juni 2008
Es entsteht eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt t =
explizit angeben
v(y, t) =







b
τ
y
τ
− 1−2 t
τ
0
τ
.
2
Die Lösung läßt sich
für y < −b(2 τt − 1)
für −b(2 τt − 1) < y < 0
für y > 0
denn es läßt sich für v = τb die Ungleichung y − 2 τb < −b in y < −b(2 τt − 1) umschreiben. Die
Gleichung v = (−y + 2vt)/τ läßt sich nach v auflösen.
Eine Stufe bleibt eine Stufe und bewegt sich nach rechts. Eine um x = 0 reflektierte Geschwindigkeitsverteilung löst die Kante auf. Problem: Was war vor der
Stufe?
Eine Geschwindigkeitsverteilung
x2
v(x, 0) = exp(− 2 )
b
ist schwer zu diskutieren. um v(y, t) zu finden ist die Gleichung
v = exp(−
(y − 2vt)2
)
b2
aufzulösen.
Abbildung 7.4: Zeitliche Entwicklung einer Welle für verschieden Werte von Γ =
(γ + 1)/2
Anwendungen: Explosionen, Schockwellen in Röhren, Kolben Problem
Andere Methoden: Numerische Lösung, Analog-Experimente, Formulierung als
selbstähnliches Problem
7.2.2
Allgemeine Lösung nach Riemann
Literatur: Thompson, Compressible-fluid dynamics, Kapitel 8
129
23. Juni 2008
Abbildung 7.5: Die Lavaldüse
Abbildung 7.6: Verzerrung einer Verdichtungswelle
Wir beschränken uns auf die adiabatische Zustandsgleichung, ρ = (p/A)1/γ ,
(Bildung einer Schockwelle im ’perfekten’ Gas) und führen statt p und v die
Variablen c und v ein. Es gilt
1
2
ρ = (Aγ)− γ−1 c γ−1
1
c = (Aγ) 2 ρ
γ−1
2
dρ
2 ρ
=
dc
γ−1c
Damit wird aus der Kontinuitätsgleichung
∂v
dρ ∂c
dρ ∂c
+ρ
+v
=0
dc ∂t
∂x
dc ∂x
∂c γ − 1 ∂v
∂c
+v
+
c
=0
∂t
∂x
2
∂x
und mit (∂p/∂ρ = c2 )
1 ∂p
1 dp ∂ρ
1
2
∂c
2 ρ ∂c
=
= c2
=
c
ρ ∂x
ρ dρ ∂x
ρ γ − 1 c ∂x
γ − 1 ∂x
130
23. Juni 2008
die Bewegungsgleichung
∂c γ − 1
+
c
∂x
2
∂v
∂v
+v
∂t
∂x
!
=0
Bildet man die Summe und Differenz der beiden Gleichungen, so erhält man
∂c γ − 1 ∂v
∂v
∂c
+ (v ± c)
±
[ + (v ± c) ] = 0
∂t
∂x
2 ∂t
∂x
oder noch kompakter
∂
∂
+ (v ± c)
∂t
∂x
!
γ−1
c±
v =0
2
In dieser Form enthält jede Gleichung einen Differentialoperator. Dieser hat jeweils eine einfache Interpretation: es ist die zeitliche Änderung für eine Beobachter der sich mit der Geschwindigkeit v ± c bewegt. Analog zum Sonderfall sucht
man eine Lösung mit Hilfe von Charakteristiken. Da es sich um zwei Gleichungen
handelt (jetzt ist keine Beziehung wie vorher zwischen den Lösungen gefordert)
Abbildung 7.7: Die Charakteristik (a) für c = c0 = konst. (S zeigt die Geschwindigkeit bei t = 0; PP die dazugehörige Auslenkung [die Steigung von x gibt die
Geschwindigkeit]) und (b) im allgemeinen Fall (u ≡ v). Die Charakteristiken sind
nun keine Geraden, sondern von vorn herein erstmal unbekannte Kurven.
braucht man nun zwei Kurvenscharen. Die erste ist definiert durch
dt
dx
= (v + c)
ds
ds
131
23. Juni 2008
v s-unabhängig,
Längs der Charakteristik ist die Riemann’sche Invariante c + γ−1
2
denn
d
γ−1
∂c dt
∂c dx γ − 1 ∂v dt ∂v dx
[c +
v] =
+
+
[
+
]=0
ds
2
∂t ds ∂x ds
2 ∂t ds ∂x ds
γ − 1 ∂v ∂v
dt ∂c ∂c
[ +
(v + c) +
(
+
(v + c))] = 0
=
ds ∂t ∂x
2
∂t ∂x
die zweite Charakteristik ist definiert durch
dx
dt
= (v − c)
dr
dr
v r-unabhängig.
Längs der Charakteristik ist die Riemann’sche Invariante c − γ−1
2
Die Charakteristiken haben eine einfache Interpretation. Es sind dies die Ausbreitungskurven von Wellen in und gegen die Flußrichtung des Fluids. Sie gehen für
v klein gegen c und c = konst in die Charakteristiken der linearisierten Theorie
über. Im allgemeinen Fall sind es keine Geraden für die Vorraussetzungen eines
perfekten Gases sind es jedoch Gerade.
In einem typischen Anfangswertproblem sind die Riemann’schen Invarianten
zur Zeit t = 0 gegeben, woraus sich v und c zu einem späteren Zeitpunkt berechnen lassen. Allerdings zerfällt die Raum-Zeit-Welt in verschiedene Gebiete.
Solche in denen die Werte von v und c eindeutig bestimmt sind, nämlich dort,
wo sich die vom Anfangsgebiet in x ausgehenden Charakteristiken schneiden
γ−1
γ−1
va = cd +
vd
2
2
cb −
γ−1
γ−1
vb = cd −
vd
2
2
γ−1
1
(va − vb )
cd = (ca + cb ) +
2
2
vd =
1
1
(ca − cb ) + (va − vb )
γ−1
2
ca +
woraus
folgt. Es gibt noch Gebiete, die von den Charakteristiken nicht erreicht werden,
sowie solche wo nur eine Charakteristikenschar hinkommt.
v eine beliebige Funktion von
Aus den Invarianzgleichungen folgt, daß c + γ−1
2
r ist bzw. daß c − γ−1
v
eine
beliebige
Funktion
von
s ist. Diese Funktionen seien
2
lineare Funktionen (es sind die Gleichungen für die Charakteristiken invariant
unter Transformationen s → s0 (s) und r → r 0 (r)) und zwar
c+
γ −1
v = (γ − 1)r
2
oder
c=
γ−1
(r + s)
2
c−
γ−1
v = (γ − 1)s
2
v =r−s
132
23. Juni 2008
Abbildung 7.8: Die verschiedenen Gebiete und die Konvektion einer Druckstörung
(M = v/c)
Daraus berechnet man
v+c=
γ+1
γ−3
r+
s
2
2
v−c=−
γ−3
γ+1
r−
s
2
2
Das setzt man in die Charakteristiken ein.
γ − 3 dt
dx
γ+1
=
r+
s
ds
2
2
ds
γ − 3 dt
dx
γ+1
=−
s+
r
dr
2
2
ds
und t,rs = t,sr
Es gilt x,rs = x,sr
x,sr =
γ+1
γ+1
γ−3
t,s +
rt,sr +
st,sr
2
2
2
x,rs = −
also
x,sr − x,rs =
γ+1
γ−3
γ+1
t,r −
st,rs −
rt,rs
2
2
2
γ+1
(t,s + t,r ) + (γ − 1)(r + s)t,rs = 0
2
133
23. Juni 2008
oder
2
γ−1
(r + s)t,rs + t,s + t,r = 0
γ+1
Einfachster Fall für γ = 3
(r + s)t,rs + t,s + t,r = 0
Allgemeine Lösung
[(r + s)t],rs
(r + s)t = f¯(r) + ḡ(s)
Analoges gilt für x. Weitere Lösungen können durch Ableiten gefunden werden.
Beschränkt man sich auf γ = 3 so findet man mit
2r = c + v
2s = c − v
r+s=c
und die Lösungen
(x − (c + v)t),s = 0
x − (c + v)t = f (r)
(x + (c − v)t),r = 0
x + (c − v)t = g(s)
kompatibel mit der schon hergeleiteten Form von oben für t. Umkehren der Lösungen gibt
c + v = F (x − (c + v)t)
c − v = G(x + (c − v)t)
daraus
1
1
(F + G)
v = (F − G)
2
2
Mit den Anfangsbedingungen v(x, 0) = V (x) und c(x, 0) = C(x) folgt
c=
v(x, t) =
1
{V (x − (v + c)t) + C (x − (v + c)t) + [V (x + (c − v)t) − C (x + (c − v)t)]}
2
1
{V (x − (v + c)t) + C (x − (v + c)t) − [V (x + (c − v)t) − C (x + (c − v)t)]}
2
Für s = const ist G = const = c0 und man erhält eine Welle nach rechts. Dann
sind die Anfangsbedingungen c = c0 + v (wegen G = c − v) und F = c0 + 2v also
lautet die Lösung (die Anfangsbedingungen müssen kompatibel sein, erfüllen also
auch diese Relationen, also V + c0 = C)
c(x, t) =
v(x, t) = V (x − c0 t − 2vt)
denn
v(x, t) =
1
{V (x − (c0 + 2v)t) + c0 + V (x − (c0 + 2v)t) + [V (x + c0 )t) − c0 − V (x + c0 )t)]}
2
Kapitel 8
Wärmeleitungsgleichung
Bisher wurden die Phänomene die mit der Zeitentwicklung der Temperatur zusammenhängen ausgespart.
Der vollständige Satz von Gleichungen, die eine ideale Flüssigkeit beschreiben
besteht aus fünf Gleichungen, für ~v , p und ρ. Wir haben für eine ideale Flüssigkeit
4 Erhaltungssätze
• Masseerhaltung
• Energieerhaltung
• Impulserhaltung
• Entropieerhaltung
von denen der Masseerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz verwendet wurde. Der Entropieerhaltungssatz wurde in der Form verwendet, daß die Strömung
adiabatisch verlief. Das kann in der Zustandsgleichung formuliert werden.
In einer dissipativen Flüssigkeit, geht die Erhaltung der Entropie verloren,
es kommt aber die Wärmeleitungsgleichung hinzu, die aus dem Energiesatz gewonnen wird. Die restlichen Gleichungen sind die Kontinuitätsgleichung und die
Navier-Stokes’sche Gleichung.
8.1
Energiebilanz
Nach wie vor gilt der Energiesatz, doch der Energiestrom sieht unter dissipativen
Bedingungen anders aus, weil es noch einen Energiestrom infolge der Prozesse
134
135
23. Juni 2008
der inneren Reibung gibt (Reibung erzeugt Wärme). Dieser kommt zu dem vi pδik
Term hinzu und enthält den Scheranteil des Spannungstensors vi σikdiss . Außerdem
gibt es einen Wärmestrom infolge der Wärmeleitung. Dieser Strom fliest nur wenn
ein Temperaturgradient vorhanden ist und der Strom kann in diesem entwickelt
werden, so daß man in einfachster Näherung
~q = κgradT
schreiben kann. κ ist dabei die Wärmeleitfähigkeit.
Die Energierhaltung sieht jetzt so aus
1
∂
e = −div ρ~v ( v 2 + w) − ~vσdiss − κgradT
∂t
2
In dieser Form wird die Gleichung aber nicht verwendet, sondern noch mit Hilfe
der Navier Stoke’schen Gleichung umgeschrieben. Dabei geht man für die innere
Energie wieder auf die ursprünglichen thermodynamischen Variablen s und ρ
über und kann so eine Gleichung für die Entropie pro Masse herleiten
ρT
!
∂s
~
~ v + div(κ∇T
~ ).
+ ~v ∇s
= (σdiss ∇)~
∂t
Setzt man für den dissipativen Reibungsteil ein, lautet die Gleichung
ρT
!
∂s
~
~ )+ η
+ ~v ∇s
= div(κ∇T
∂t
2
∂vi
∂vk 2 ∂vl
+
− δik
∂xk
∂xi
3 ∂xl
!2
+ ζ(div~v )2 .
Die Entropie wächst, weil die irreversiblen Prozesse der Wärmeleitung und ReiR
bung ablaufen. Das betrifft die Gesamtentropie, dies ist ρsdV . Da die Entropie
nur zunehmen kann, sieht man aus der Zeitableitung der Gesamtentropie, daß
die Wärmeleitungskonstante κ, und die Viskositäten η und ζ positiv sein müssen.
~ Term zum Wärmestrom nicht möglich ist, da
Man sieht ferner noch daß ein ∇p
dann die Entropieänderung nicht mehr positv definit wäre.
8.2
Wärmeleitung in der inkompressiblen Flüssigkeit
∂T
~ = DT ∆T + ν
+ ~v∇T
∂t
2cp
∂vk 2 ∂vl
∂vi
+
− δik
∂xk
∂xi
3 ∂xl
!2
.
Kapitel 9
Chaos und Fraktale Attraktoren
Lit.: KFA-Ferienkurs 83; J.M.T. Thompson, H.B. Stewart, Nonlinear Dynamics
and Chaos, Wiley 1986; G. Nicolis, Introduction to Nonlinear Science, Cambridge
1995; P. Berge, Y. Pomeau, C. Vidal, Order within chaos, Wiley 1984
9.1
Die Rayleigh-Benard Instabilität
Man Betrachte die Navier Stokes Gleichungen für folgende Anordnung: eine zweidimensionale Flüssigkeitsschicht der Dicke H und unter dem Einfluß der Schwerkraft (senkrecht zur Schicht) wird an der Unterseite auf einer höheren Temperatur, T = T0 + ∆T , gehalten als auf der Oberseite, T = T0 . Man hat folgende
Abbildung 9.1: Die Geometrische Anordnung bei der Benard Instabilität
Gleichungen: (keine y-Abhängigkeit und keine Geschwindigkeitskomponente in
y-Richtung)
136
137
23. Juni 2008
Kontinuitätsgleichung:
∂ρ ∂ρvx ∂ρvz
+
+
=0
∂t
∂x
∂z
Bewegungsgleichungen:
ρ
∂vx
∂vx
∂p
∂ 2 vx ∂ 2 vx
∂vx
+ ρ(vx
+ vz
)+
− η( 2 +
) = Fx
∂t
∂x
∂z
∂x
∂x
∂z 2
∂vz
∂vz
∂p
∂ 2 vz ∂ 2 vz
∂vz
+ ρ(vx
+ vz
)+
− η( 2 +
) = Fz
∂t
∂x
∂z
∂z
∂x
∂z 2
(die Dichte vor den Geschwindigkeitstermen wird im folgenden durch eine konstante Dichte ρ0 ersetzt [~v klein], nur im Gravitationsterm wird die Temperaturabhängigkeit mitgenommen) und die Wärmeleitungsgleichung:
ρ
∂T
∂T
∂T
∂2T
∂2T
+ vx
+ vz
= DT ( 2 + 2 )
∂t
∂x
∂z
∂x
∂z
Der zusätzliche dissipative Term wurde im Vergleich zum Wärmeleitungsterm
weggelassen. Dazu kommen noch geeignete Randbedingungen: (i): starre Oberflächen; keine Geschwindigkeit parallel (endliche Zähigkeit) und senkrecht zur
Oberfläche (merke für alle x)
vz (x, 0) = vz (x, H) = vx (x, 0) = vx (x, H) = 0
Dazu kommt noch (folgt aus der Kontinuitätsgleichung): ρ = konstant auf der
Oberfläche
∂vz (x, z)
∂vz (x, z)
|z=0 =
|z=H = 0
∂z
∂z
denn (konstante Temperatur und daher konstante Dichte)
div~v |z=0,H = 0 =
∂vx ∂vz
+
∂x
∂z
Nun ist z.Bsp. vx (x, 0) = 0 (für alle x) auf der starren Oberfläche, also auch
∂vx
= 0 und es folgen die angegebenen Randbedingungen für die Ableitungen.
∂x
(ii): freie Oberflächen; keine Scherkräfte an der Oberfläche (endliche Zähigkeit)
σxz = σyz = 0 (letzteres ist klar laut Vorr.)
∂vz (x, 0)
∂vx (x, z)
|z=0 +
=0
∂z
∂x
und
∂vx (x, z)
∂vz (x, H)
|z=H +
=0
∂z
∂x
138
23. Juni 2008
sowie, da keine Strömung durch die Wand erfolgt
vz (x, 0) = vz (x, H) = 0
Daraus folgt aber für alle x
∂vz (x, 0)
=0
∂x
∂vz (x, H)
=0
∂x
und aus der Kontinuitätsgleichung, nach nochmaligem Differenzieren
∂ 2 vz (x, z)
∂div~v
|z=0 =
|z=0 = 0
∂z
∂z 2
Zur Vereinfachung nimmt man an daß die Temperaturabhängigkeit aller Koeffizienten vernachlässigt werden kann, bis auf die der Dichte ρ = ρ0 (1 − α∆T (z − H))
(α thermische Ausdehnung. Ferner sei die Flüssigkeit inkompressibel (dies ist für
kleine Temperaturunterschiede approximativ erfüllt; die sogenannte Boussinesq
Näherung nimmt die Dichteänderung mit der Temperatur nur dort mit wo sie
für Gravitationseffekte wichtig ist, also nur im Gravitationsterm, wie schon vorher erwähnt). Dann kann man die Geschwindigkeit durch die Stromfunktion ψ
ausdrücken
∂ψ
∂ψ
vz =
vx = −
∂z
∂x
Weiters führt man die Abweichung vom linearen Temperaturprofil ein (bei z = 0
die höhere Temperatur T0 + ∆T , bei z = H die niedrigere Temperatur T0 )
T = T0 + ∆T −
∆T
z + Θ(x, z, t)
H
Θ = 0 ist die Lösung wenn die Flüssigkeit ruht (~v ≡ 0). Es ist dann der Druck
gegeben durch
~ = −ρ(z)g~ez
∇p
mit
ρ(z) = ρ0
z
1 − α∆T 1 −
H
Allgemein erhält man zwei Gleichungen für ψ und Θ. Als Randbedingungen
wurden von Lorenz die für freie Oberflächen oben und unten gewählt. Da die
Temperaturen der Platte festgehalten werden gilt
Θ(x, 0, t) = Θ(x, H, t) = ψ(x, 0, t) = ψ(x, H, t) =
∂2ψ ∂2ψ
∂2ψ ∂2ψ
= ( 2 + 2 )(x,0,t) = ( 2 + 2 )(x,H,t) = 0
∂x
∂z
∂x
∂z
Diese Randbedingungen legen es nahe die Funktionen ψ und Θ geeignet anzu-
139
23. Juni 2008
Abbildung 9.2: Die X, Y und Z Mode
setzen und zwar
πa
π
ψ ∼ X(t) sin( x) sin( z)
H
H
Θ ∼ Y (t) cos(
2π
πa
π
1
x) sin( z) − Z(t) √ sin( z)
H
H
H
2
wo das dimensionslose a die Periodizität in x-Richtung festlegt (Struktur der
’Rollen’). Es ist dann
π
πa
π
πa
vz ∼ −X(t) cos( x) sin( z)
vx ∼ −X(t) sin( x) cos( z)
H
H
H
H
Für die Amplituden X, Y, Z erhält man dann folgendes nichtlineare System von
Differentialgleichungen erster Ordnung, die Lorenz Gleichungen,
Ẋ = −σX + σY
Ẏ = −XZ + rX − Y
Ż = XY − bZ
Die Gleichungen beschreiben auch andere physikalische Situtationen zb. den Dynamo. sie treten
auch in der Laserphysik auf.
Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der geskalten Zeit τ = π 2 H −2 (1 +
4
R
a )κt, σ = DνT ist die Prandtl-Zahl, b = 1+a
∼ ∆T der äußere
2 und r = R
c
Kontrollparameter als Verhältnis der Rayleigh-Zahl und der kritischen RayleighZahl
π4
gαH 3
∆T
Rc = 2 (1 + a2 )3
R=
DT ν
a
Es gibt nun in Abhängigkeit von dem Parameter r verschiedene Regionen in
denen unterschiedliche stationäre Lösungen stabil sind
2
• Wärmediffusion, keine Flüssigkeitsbewegung
X=Y =Z =0 0<r<1
140
23. Juni 2008
• Konvektion, die wärmere Flüssigkeit steigt auf. Es entsteht eine dissipative
Struktur (Rollen)
q
X = Y = ± 2 b(r − 1) Z = r − 1 1 < r < rc = σ(σ+b+3)
σ−b−1
Abbildung 9.3: Die Konvektionslösung
Weiter stationäre Lösungen gibt es nicht und die Konvektion wird instabil für
r > rc .
Lit.: P.Berge and M. Dubois, Contemp. Phys. 25, 535 (1984)
Stabilitätsanalyse um den konduktiven Zustand: Die Eigenwerte folgen aus
(λ + b)(λ2 + (σ + 1)λ + σ(1 − r)) = 0
Stabilitätsanalyse um den konvetiven Zustand:
λ3 + (σ + b + 1)λ2 + (r + σ)bλ + 2σb(r − 1) = 0
Drei Nullstellen entweder drei negative reele, zwei konjugiert komplexe mit negativen Realteil und eine reele negative. Bei rc wird der Realteil der komplexen
Nullstellen positiv.
σ(σ + b + 3)
rc =
σ−b−1
9.2
Der Lorenzattraktor und das Phasendiagramm
Das System der Lorenzgleichungen ist dissipativ, das heißt das Phasenraumvolumen eines Ensembles von Anfangsbedingungen schrumpft im Laufe der Dynamik.
Das heißt aber nicht, daß die Trajektorien auf einen Punkt zusammenschrumpfen
müßen sonder nur auf ein Objekt mit Volumen Null (eine Oberfläche, eine Kurve
oder ein Objekt mit fraktaler Dimension). Schreibt man das Gleichungssystem
allgemein in der Form
~
dX
~
= F~ (X)
dt
141
23. Juni 2008
~ und F~ ) so ist die Änderung eines kleine Volu(mit N-dimensionalen Vektoren X
~0
mens im N-dimensionalen Phasenraum um X
~ 0 , t) =
∆V (X
N
Y
~ 0 , t) =
∆Xi (X
i
1 ∂V
V ∂t
=
=
N
X
i
N
X
i
N
Y
i
∂Xi (X~i0 )
∆Xi0
∂Xi0
~ 0 , t)
1 ∂∆Xi X 1
∂ ∂∆Xi (X
=
∆Xi0 =
∆Xi ∂t
∂t
i ∆Xi ∂X0i
∂Fi
= divF~
∂Xi
Für das Lorenz-System ist divF~ = −(σ + b + 1) < 0.
Für ein dissipatives System ist die Summe der Ljapunov Exponenten kleiner als Null. Ein
Ljapunov Exponent ist immer Null, das ist der längs der Trajektorie. Also kann ein positiver
Exponent erst ab 3 Gleichungen auftreten. Den positiven braucht man um Chaos zu erzeugen.
(eponentielles Auseinanderlaufen zweier benachbarter Anfangswerte)
Stationäre Lösungen sind Punkte im Phasenraum (Fixpunkte). Die Dimension des Attraktors ist D = 0. Neben diesen Fixpunkten gibt es aber andere
Attraktoren, etwa periodische Lösungen, wo im Limes großer Zeiten eine Kurve
im Phasenraum periodisch durchlaufen wird. Die Dimension dieser Attraktoren
ist D = 1. Wenn nun die Bewegung im Phasenraum innerhalb eines endlichen
Volumens verläuft so muß es wenn die bereits erwähnten Attraktoren instabil
sind einen weiteren endlichdimensionalen (D < 3) Attraktor geben.
Eine weitere Eigenschaft der Lorenzgleichungen ist die Begrenzheit des Attraktors, d.h. die Trajektorie bleibt in einem endlichen Gebiet. Man definiere den
Radius R eienr Kugel um den Punkt (0,0,r + σ)
X 2 + Y 2 + (Z − r − σ)2 = R2
Es gilt für die zeitliche Entwicklung des Radius
r + σ 2 b(r + σ)2
dR
= −σX 2 − Y 2 − b(Z −
) +
dt
2
4
Daraus erkennt man, dass der Radius startet man knapp unterhalb der Kugelschale einer Kugel mit Radius r + σ um den Punkt (0,0,r + σ) dann nimmt der
Radius ab.
R
Der Lorenz Attraktor lässt sich als Cantor Menge von zweidimensionalen
Schichten verstehen. Seine Hausdorff Dimension D liegt nahe bei zwei, nämlich
D = 2.06 für σ = 16 b = 4 und r = 40. Der Attraktor hat zwei Löcher um den
konvektiven Zustand (dieser ist instabil). Dei Bewegung erfolgt um eiens der beiden Löcher wobei sie chaotisch zwischen den zu den Löchern gehörenden Blättern
hin und her springt.
23. Juni 2008
142
Abbildung 9.4: Das Phasendiagramm für das Lorenz System mit den Parametern
σ = 10 und b = 8/3
• Phasenraum: dreidimensional (X, Y, Z)
• Attraktoren: Fixunkte (nulldimensional), Spiralpunkt (Zentrum einer Spirale), Grenzzyklus (eindimensional), seltsame Attraktoren (Lorenz Attraktor), Sattelpunkte
• Stabile und instabile Attraktoren nebeneinander, Einzugsgebiete,
• Seperatrix: trennt Einzugsgebiete wenn mehrere Attraktoren vorhanden
sind, kann fraktal ineinandergeschachtelt sein
• Linearisierung um Fixpunkte: stabile und instabile Richtungen (es muss
Sysem Matrix nicht symmetrisch sein, also komplexe Eigenwerte und nicht
orthogonale eigenvektoren möglich)
Die folgenden Abbildungen sind Projektionen in den zweidimensionalen Z-XUnterraum. Die Parameter σ = 10 und b = 8/3 bleiben fix. Dann ist rc = 24.74
143
23. Juni 2008
Abbildung 9.5: Das Bifurkationsdiagramm
r
Attraktor
0
Konduktion
1
Konvektion
25 Chaos (Lorenz Attraktor)
145
Periodisches Verhalten
166
Chaos
235
Periodisches Verhalten
Ursache
Einfache Instabilität
homokliner Punkt
umgekehrte Bifurkation
Intermittenz
Tabelle 9.1: Phasendiagramm
23. Juni 2008
Abbildung 9.6: Lorenz Attraktor für r = 26, r = 28 und r = 30
144
145
23. Juni 2008
Abbildung 9.7: Zwei stabile Fixpunkte
146
23. Juni 2008
Abbildung 9.8: Spiralpunkte
147
23. Juni 2008
Abbildung 9.9: Lorenz Attraktor und Grenzzyklus
Kapitel 10
Magnetohydrodynamik
10.1
Herleitung der Gleichungen
Betrachten eine elektrisch neutrale, leitende Flüssigkeit. Eine Flüssigkeitsströmung
stellt dann einen Strom dar, der ein Magnetfeld erzeugt unter dem sich die
Strömung wieder verändert (Wirbelstrombremse). Relevante Flüssigkeiten sind
• Flüssigmetalle wie Hg, Fe, Na,...
• Halbleiterschmelzen wie Ga, Si,...
• Elektrolyte wie Seewasser,...
• Plasmen in Planeten oder Sternen
Die Grundgleichungen, die eine solche Flüssigkeit beschreiben sind die Navier
Stokes’schen Gleichungen erweitert um einen der Lorentz Kraft entsprechenden
Term und den Maxwellschen Gleichungen zusammen mit dem Ohm’schen Gesetz.
Um die Gleichungen zu vereinfachen machen wir von Anfang an folgende
Annahmen:
1. Die Flüssigkeit ist inkompressibel. Dann vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung auf
div~v = 0
und es bleibt als Zähigkeitsterm nur η∆~v .
2. Die Geschwindigkeiten der Strömung sollen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sein, v << c. Dann kann man in den Maxwellgleichungen den Verschiebungsstrom vernachlässigen.
148
149
23. Juni 2008
3. Der Gravitationsterm wird vernachlässigt.
4. µ ∼ 1
Das Gleichungssystem lautet also
(0)
ρ
∂
~ ~v = 1~j × B
~ − gradp + η∆~v
~v + ρ ~v ∇
∂t
c
Hinzugefügt wurde der Wechselwirkungsterm zwischen dem Strom (das ist die
bewegte Flüssigkeit als Leiter, die zu unterscheiden ist von der Strömung beschrieben durch ~v) und dem durch die Strömung hervorgerufene Magnetfeld.
Diese wiederum ergibt sich aus der inhomogene Maxwell Gleichung (die zeitliche Ableitung des elektrischen Feldes tritt nicht auf, es muß auch div~j = 0 sein)
(1)
~ =
rotB
4π ~
j
c
~ =0
divB
Der Strom wiederum hängt von den Feldern über das Ohm’sche Gesetz ab
(2)
~
~ + ~v × B
~j = σ E
c
!
Wir haben benützt, daß sich das leitende Medium mit der Geschwindigkeit ~v (
<< c) bewegt und keine freien Ladungen vorhanden sind. Im Ruhsystem des
~ 0 im Laborsystem aber der obige Ausdruck. RelativistiMediums wäre ~j 0 = σ E
sche
q Terme wurden vernachlässigt (siehe Lorentztransformation des Viererstroms,
1 − v 2 /c2 ∼ 1).
Nimmt man die effektive Leitfähigkeit als undendlich an (keine Dissipation),
so verlangt die Bedingung, daß ein endlicher Strom vorhanden ist, daß das elektrische Feld die Gleichung
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
erfüllt.
Dazu kommen noch die Maxwellgleichungen für das elektrische Feld
(3)
~ =−
rotE
~
1 ∂B
c ∂t
~ =0
divE
Eliminiert man nun mit dem Ohm’schen Gesetz das elektrische Feld, so erhält
man
~
∂B
~ = − c rot~j − rot(~v × B)
~
= −c rotE
∂t
σ
150
23. Juni 2008
Nun ist mit der Maxwell Gleichung (1)
c
~ = − c ∆B
~
rotrotB
rot~j =
4π
4π
mit
~ =0
divB
und
~ = (∇
~ B)~
~ v + (B
~ ∇)~
~ v − (∇~
~ v )B
~ − (~v ∇)
~ B
~ = (B
~ ∇)~
~ v − (~v∇)
~ B
~
rot(~v × B)
wenn beide Felder Divergenzfrei sind. Alles zusammen führt auf
(I)
2
~
∂B
~ ∇)~
~ v − (~v ∇)
~ B
~ + c ∆B
~
= (B
∂t
4πσ
~ siehe (1),
Die erweiterte Navier Stokes Gleichung lautet (~j in (0) durch rotB,
ersetzen)
∂
~ ~v = 1 (rotB)
~ ×B
~ − gradp + η∆~v
ρ ~v + ρ ~v∇
∂t
4π
dies kann man noch sinnfälliger schreiben, wenn man benützt
1
~ ∇)
~ B
~ + (rotB)
~ ×B
~
gradB 2 = (B
2
Dann ist
(II)
ρ
∂
~ ~v = −grad(p + 1 B 2 ) + 1 (B
~ ∇)
~ B
~ + η∆~v
~v + ρ ~v ∇
∂t
8π
4π
Der Term, der zum Druck dazugekommen ist wird als magnetischer Druck inter~ und ~v gegeben.
pretiert. Damit sind zwei Gleichungen (I) und (II) für B
10.2
Magnetische Diffusion
Für eine ruhende Flüssigkeit reduziert sich die Gleichung für das Magnetfeld auf
eine Diffusionsgleichung
~
∂B
c2
~
=
∆B
∂t
4πσ
2
c
. Das heißt eine Konfiguramit der magnetischen Diffusionskonstante Dm = 4πσ
tion mit einem Anfangsmagnetisierungsfeld, das sich über die Länge L ändert,
zefällt in der Zeit
τ=
4πσL2
c2
= 1s,104 J,1010 J für Kupferkugel (R = 1cm), Erde und Sonne
Der Gleichgewichtszustand ist ein homogenes Magnetfeld.
151
23. Juni 2008
Andererseits für Zeiten klein gegenüber τ (oder unendlicher Leitfähigkeit)
kann man den Diffusionsterm vernachlässigen und man erhält
~
∂B
~ ∇)~
~ v − (~v ∇)
~ B
~
= (B
∂t
oder
~
dB
~ ∇)~
~ v
= (B
dt
Wie bei der Definition der Zirkulation betrachtet man ein Linienelement das sich
mit den Flüssigkeitsteilchen bewegt. Dann ist nach Kapitel 4.2.3 die Änderung
von d~s
d d~s
~ v
= (d~s∇)~
dt
~ durch dieselbe Gleichung beschrieben werden. Sind beide
Das zeigt daß d~s und B
Vektoren paralell, so bleiben sie das auch in der Strömung. Ihre Beträge ändern
sich so daß ihr Verhältnis gleich bleibt, denn
2
∂ a2
a2
~ v − 2 a b2~n(~n∇)~
~ v=0
=
2
~
n
(~
n
∇)~
∂t b2
b2
b4
Zwei infinitesimal benachbarte Flüssigkeitsteilchen auf einer Magnetfeldlinie bleiben auf ihr. Also jede Magnetfeldlinie bewegt sich mit den Flüssigkeitsteilchen,
die auf ihr liegen. Das Magnetfeld bewegt sich also mit der Flüssigkeit, sie ’kleben’ an der Flüssigkeit. Das heißt aber auch, daß der magnetische Fluß durch eine
Kontur die mit der Flüssigkeit strömt (wie bei der Definition der Wirbelstärke)
konstant bleibt.
10.3
Magnetohydrodynamische Wellen
Durch die Kopplung der Gleichungen zwischen dem Magnetfeld und Strömungsfeld kommt es zu neue Moden des Systems. Betrachten wir den einfachsten Fall
einer inkompressiblen Flüssigkeit ohne die dissipativen Terme, also Scherviskosität und Leitfähigkeit sind Null. Keine weiteren äußere Kräfte. Dann lauten die
Gleichungen, die zu lösen sind
~
∂B
~ ∇)~
~ v − (~v ∇)
~ B
~
= (B
∂t
~ =0
divB
∂
~ ~v = − 1 grad(B 2 ) + 1 (B
~ ∇)
~ B
~
~v + ρ ~v ∇
∂t
8πρ
4πρ
div~v = 0
152
23. Juni 2008
Ohne Magnetfeld existieren keine Wellen in der Flüssigkeit, mit einem Magnetfeld
aber kommt es zu transversalen (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingenden) Wellen. Man findet die Wellengleichung durch Entwicklung um den
Gleichgewichtszustand.
~ =B
~ 0 + ~b
B
~v = ~0 + ~v
Linearisieren führt auf
∂~b
~ 0 ∇)~
~ v
= (B
∂t
und
div~b = 0
∂
1
~ 0~b) + 1 (B
~ 0 ∇)
~ ~b
~v = −
grad(B
∂t
4πρ
4πρ
div~v = 0
Man leitet die Gleichung für ~v nochmals nach der Zeit ab und setzt für die zeitliche
Ableitung des Magnetfelds ein Sei das Magnetfeld in z-Richtung so vereinfacht
sich die Gleichung auf
∂2
B02
∂
B02 ∂ 2
~
v
=
−
grad(
v
)
+
~v
z
∂t2
4πρ
∂z
4πρ ∂z 2
oder
∂2
vz = 0
∂t2
∂2
B02 ∂ 2
~
v
=
~v⊥
⊥
∂t2
4πρ ∂z 2
Das ist eine Wellengleichung für transversale Wellen (Schwingung ~v⊥ senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung ~ez ) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
B0
cA = √
πρ
Sie heißen Alfven Wellen. Ist die Flüssigkeit kompressibel, so bleibt die Geschwindigkeit unverändert. Die Geschwindigkeit der Alfven Wellen ist üblicherweise viel
kleiner als die Schallgeschwindigkeit, allerdings in astrophysikalischen Systemen,
wo die Dichte sehr klein werden kann, ist sie sehr groß.
Kapitel 11
Literatur
J. D. Anderson, Jr., A History of Aerodynamics, Cambridge Univ. Press. (1997)
N. Curle and H.J. Davies, Modern Fluid Dynamics, 2 Vol. Van Nostrand (1968)
T. E. Faber, Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge Uni. Press, Cambridge
(2 1997)
W. Greiner und H. Stock, Theoretische Physik, Band 2a, Verlag Harry Deutsch
(1991)
E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, Hydrodynamik, Vieweg 1997
E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, Physical Hydrodynamics, Oxford 2001
G. Hamel, Mechanik der Kontinua, Teubner (1955)
N.J. Kotschin, I.A. Kibel und N.W. Rose, Theoretische Hydrodynamik, Band II,
Akademie Verlag (1955)
C. Lamb, Hydrodynamics, Dover Publication, New York (1945)
L. D. Landau und E. M. Lifshitz, Theoretische Physik, Band IV, Akademie Verlag
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J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Clarendon
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W. Macke, Mechanik der Teilchen, Akademie Verlag
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L. Prandtl and O. G. Tietjens, Applied Hydro- and Aerodynamics, Dover Publ.
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G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover (1971)
J. S. Trefil, Introduction to Physics of Fluids and Solids, Pergamon Press (1975)
D. J. Triton, Physical fluid Dynamics, Van Nostrand Reinhold (1977)
K. Wieghardt, Theoretische Strömungslehre, Teubner (1974)

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