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Prof. Dr. J. Heber
M. Kliemann
Wintersemester 2015/16
Übungen zu Differentialgeometrie“
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Serie 2
4. Es bezeichne O(n) := {A ∈ Rn×n : A · AT = E} ≤ GL(n, R) die orthogonale Gruppe
des Rn . Zeigen Sie:
2
(a) O(n) ist eine n2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn×n ∼
= Rn .
(b) Bestimmen Sie den Tangentialraum TE O(n) ⊂ Rn×n .
(c) O(n) ⊂ Rn×n ist kompakt.
(d) Die spezielle orthogonale Gruppe
SO(n) ist offen in O(n) (bzgl. der Relativn
topologie), also ebenfalls eine 2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit.
(Hinweis: Determinante.)
(Hinweise: (a), (b): Stellen Sie O(n) als reguläre Urbildmenge eines h : Rn×n → Rn×n
sym
dar; berechnen Sie DhA in Termen von Richtungsableitungen. (d): det : Rn×n → R
ist stetig. (c): Man versehe den Rn×n mit geeigneter Norm, z. B. der Operatornorm
T
oder
P der euklidischen Norm, induziert vom Skalarprodukt hA, Bi = Spur(A · B ) =
i,j aij bij .)
5. Gegeben seien drei Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume M, N, O und C ∞ h
k
differenzierbare Abbildungen M → N → O . Zeigen Sie:
(a) Die Verknüpfung k ◦ h ist differenzierbar.
(b) Für die Differentiale gilt die Kettenregel, d. h. d(k ◦ h)p = dkh(p) ◦ dhp gilt für
alle p ∈ M .
(Hinweis: Aufgabe 3.)
6. Gegeben sei die Menge X := {a, b, c} mit der Topologie T := {∅, X, {a, b}, {b, c}, {b}} .
Zeigen Sie:
(a) (X, T ) ist kein Hausdorffraum.
(b) Es gibt eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → X mit γ(0) = a , γ(1) = c .
(Hinweis: In (b) ist [0, 1] mit der Standard-Topologie, d. h. der von R induzierten
Relativtopologie, versehen.)
7. (Diffeomorphe, nicht C ∞ -verträgliche Atlanten) Zeigen Sie:
(a) Auf R (mit der Standard-Topologie) werden zwei differenzierbare Atlanten
A1 = {(R , x1 )}, A2 = {(R , x2 )} definiert durch
xi : R → R ,
x1 (t) = t ,
x2 (t) = t5 .
(b) Die Atlanten A1 und A2 sind nicht C ∞ -verträglich.
(c) Die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (R , A1 ) und (R , A2 ) sind zueinander
diffeomorph. (Hier ergänzt man wie üblich die Atlanten auf eindeutige Art zu
maximalen C ∞ -Atlanten.)
Abgabe: Bis Do, 12.11.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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Serie 3
8. (Maximale Atlanten) Es sei M ⊂ Rn+k eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit,
versehen mit dem C ∞ -Atlas
A := {(M ∩ V , f −1 ) | f : U → M ∩ V ist Parametrisierung für M } .
Es sei x : M ⊃ M 0 → U 0 ⊂ Rn eine Karte, die C ∞ -verträglich ist mit A . Zeigen
Sie, dass f˜ := x−1 Parametrisierung für M ist, d. h. dass der Atlas A maximal ist.
(Hinweis: Lokal ist f˜ von der Gestalt f ◦ (f −1 ◦ x−1 ) für geeignetes f .)
9. (Stereographische Projektionen) Es bezeichne S n := {x ∈ Rn+1 : kxk = 1} die
euklidische Sphäre im Rn+1 mit der Relativtopologie und p± = ±en+1 den Nordbzw. Südpol auf der S n . Zeigen Sie für die beiden Abbildungen
1
· (x1 , . . . , xn )T :
P± : S n \{p± } → Rn , P± (x1 , . . . , xn , xn+1 ) =
1 ∓ xn+1
(a) Für x ∈ S n \{p± } liegen die drei Punkte p± , x und (P± (x), 0) auf einer Geraden
im Rn+1 . (Skizze !)
(b) Die Abbildung P± ist invertierbar mit der Umkehrabbildung
kxk2 − 1
2x
n
n
n
,±
f± : R → S \{p± } ⊂ R × R , f (x) =
.
kxk2 + 1
kxk2 + 1
(c) Die Abbildungen P+ und P− bilden einen differenzierbaren Atlas der S n .
10. (Wegzusammenhang) Es sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und zusammenhängend
(d. h. nicht als disjunkte Vereinigung nicht-leerer offener Teilmengen darstellbar).
Zeigen Sie:
(a) Punktepaare in M sind durch stückweise C ∞ -Kurven c : [0, 1] → M miteinander verbindbar. Insbesondere ist jede zusammenhängende C ∞ -Mannigfaltigkeit
auch wegzusammenhängend. (Hinweis: Stückweise C ∞ -Verbindbarkeit ist eine
Äquivalenzrelation auf M ; Äquivalenzklassen sind offen [Beweis !].)
(b) Ist h : M → R eine C ∞ -Funktion und hat in q ∈ M ein lokales Extremum, so
gilt (für das Differential von h in q zwischen geometrischen Tangentialräumen)
fq = 0 .
dh
f = dh
f p für alle p ∈ M , so ist
(c) Sind g, h : M → R zwei C ∞ -Funktionen mit dg
p
g − h konstant.
Abgabe: Bis Do, 19.11.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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Serie 4
11. Zeigen Sie, dass jede Karte des C ∞ -Atlas einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
ein Diffeomorphismus ist.
12. (Produktmannigfaltigkeiten) Gegeben seien C ∞ -Mannigfaltigkeiten M , N1 und N2
der Dimensionen m, n1 bzw. n2 . Zeigen Sie:
(a) Auf N1 × N2 wird eine Topologie, die sogenannte Produkttopologie, definiert
gemäß der Vorschrift: Offen sind die leere Menge, kartesische Produkte offener
Teilmengen von N1 und N2 sowie beliebige Vereinigungen solcher Produkte.
(b) Der euklidische Ball {(x, y) ∈ R × R : x2 + y 2 < 1} ist offen im Sinne von (a).
(c) N1 × N2 ist C ∞ -Mannigfaltigkeit der Dimension n1 + n2 . (Hinweis: Betrachten
Sie kartesische Produkte von Kartenumgebungen N10 bzw. N20 .)
(d) Die Projektionen πi : N1 × N2 → Ni , πi (p1 , p2 ) = pi , i = 1, 2 , sind differenzierbar.
(e) Eine Abbildung f = (f1 , f2 ) : M → N1 × N2 ist genau dann differenzierbar,
wenn f1 : M → N1 und f2 : M → N2 differenzierbar sind.
13. (Matrixdarstellung von Differentialen) Es seien M, N C ∞ -Mannigfaltigkeiten der
Dimensionen m und n, f : M → N differenzierbare Abbildung und p ∈ M. Ferner
seien (M 0 , x) und (N 0 , y) Karten um p bzw. f (p) mit f (M 0 ) ⊂ N 0 . Zeigen Sie:
Die darstellende Matrix des Differentials dfp : Tp M → Tf (p) N bezüglich der Basen
∂
n
( ∂x∂ j |p )m
j=1 für Tp M und ( ∂yi |f (p) )i=1 für Tf (p) N ist gegeben ist durch die Jacobimatrix
D(y ◦ f ◦ x−1 )x(p) ∈ Rn×m .
Abgabe: Bis Do, 26.11.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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Serie 5
14. (Produktmannigfaltigkeiten, Teil 2) Es seien N1 , N2 differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ferner N = N1 × N2 die Produktmannigfaltigkeit mit den Projektionsabbildungen πi : N → Ni , πi (p1 , p2 ) = pi , i = 1, 2 (siehe Aufgabe 12). Zeigen Sie:
(a) Für feste p ∈ N1 , q ∈ N2 sind die Abbildungen f (·, q) : N1 → N , f (p,·) : N2 → N
mit f (·, q) (p̃) = (p̃ , q) , f (p,·) (q̃) = (p , q̃) differenzierbar.
(b) T(p ,q) N ∼
= Tp N1 × Tq N2 für alle p ∈ N1 , q ∈ N2 .
(c) Ist f : M → N differenzierbar, so auch F : M → M × N , F (p) = (p, f (p)) ,
die Graphenabbildung von f .
(Hinweise: Konstruieren Sie in (b) den Vektorraumisomorphismus und seine Umkehrung mit Hilfe der πi , f (·, q) und f (p,·) .)
15. (Integralkurven) Für differenzierbare Kurven c : I → M definiert man die Geschwindigkeitsvektoren c0 (s) ∈ Tc(s) M = D(M, c(s)) durch c0 (s)(h) = dtd |t=0 h(c(s + t)) für
alle Funktionskeime h ∈ C ∞ (M, c(s)) .
Die Kurve heißt Integralkurve eines Vektorfeldes Y ∈ VM , falls für alle s ∈ I gilt
c0 (s) = Y (c(s)). Zeigen Sie:
P
(a) Gilt Bild (c) ⊂ M 0 für eine Karte x : M 0 → U und Y |M 0 = i αi ∂x∂ i , so ist
c̃ := x ◦ c : I → U Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
c̃0 (s) = Ỹ (c̃(s)) mit Ỹ := (α̃1 , . . . , α̃n )T : U → Rn , α̃i := αi ◦ x−1 .
(b) Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung von (a).
(c) Es sei U ⊂ Rn+k offen und M ⊂ U eine Untermannigfaltigkeit. Ein C ∞ -Vektorfeld Y : U → Rn+k sei tangential längs M (d. h. Y (p) ∈ Tp M gilt für p ∈ M ).
Zeigen Sie, dass jede Integralkurve c von Y mit c(s0 ) ∈ M ganz in M verläuft.
16. (Tangentialbündel einer Untermannigfaltigkeit) Für eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit M des Rn+k bezeichne
T M := {(p, v) ∈ Rn+k × Rn+k | p ∈ M, v ∈ Tp M } ⊂ R2n+2k
das Tangentialbündel von M und π : T M → M, π(p, v) = p die kanonische Projektion (auch Fußpunktabbildung“) auf M . Zeigen Sie:
”
(a) T M ist eine 2n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R2n+2k .
(b) Die kanonische Projektion ist differenzierbar.
(c) Jede differenzierbare Abbildung g : M → N zwischen Untermannigfaltigkeiten
euklidischer Räume induziert eine differenzierbare Ableitung
dg : T M → T N ,
(p, v) 7→ (g(p), dgp (v)) .
(Hinweis zu (a): Konstruieren Sie aus jeder Parametrisierung f : U → M 0 ⊂ M eine
Parametrisierung fˆ : U ×Rn → π −1 (M 0 ) ⊂ T M, unter Verwendung der Differentiale
Dfu : Rn → Tf (u) M .)
Abgabe: Bis Do, 03.12.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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Serie 6
17. (f -Verwandtschaft von Vektorfeldern) Es sei f : M → N eine differenzierbare Abbildung. Gegeben seien differenzierbare Vektorfelder X1 , X2 ∈ VM und Y1 , Y2 ∈ VN ,
welche f -verwandt sind, d. h. für alle p ∈ M gelte dfp (Xi (p)) = Yi (f (p)). Zeigen Sie:
Auch die Lieklammern [X1 , X2 ] und [Y1 , Y2 ] sind f -verwandt.
18. (Matrixgruppe SO(n) und 1-Parameter-Untergruppen) Nach Aufgabe 4 (d) ist die
-dimensionale
Matrixgruppe M := SO(n) = {A ∈ O(n) : det(A) = 1} eine n(n−1)
2
Untermannigfaltigkeit des Rn×n mit TE M = {V ∈ Rn×n : V = −V T }. Zeigen Sie:
(a) Für A ∈ SO(n) definieren Rechtsmultiplikation RA : B 7→ B · A und Linksmultiplikation LA : B 7→ A · B Diffeomorphismen der SO(n).
(b) Für jedes V ∈ TE M werden durch XVR (A) := V · A und XVL (A) := A · V
tangentiale Vektorfelder längs SO(n) (s. Aufgabe 15 (c)) definiert. (Hinweis:
(a) verwenden.)
(c) Für V ∈ TE M ist XVR zu sich selbst RA -verwandt, XVL zu sich selbst LA verwandt für jedes A ∈ SO(n) (s. Aufgabe 17); solche Vektorfelder auf SO(n)
nennt man rechts - bzw. linksinvariant.
(d) Jede Lieklammer zweier rechts- [bzw. links-] invarianter Vektorfelder ist ebenfalls rechts- [bzw. links-] invariant (Aufgabe 17). Die rechtsinvarianten Vektor-dimensionale Liealgebra,
felder bilden mit der Lieklammer versehen eine n(n−1)
2
ebenso die linksinvarianten.
(e) Versieht man Rn×n mit dem Skalarprodukt hV, W i := Spur(V ·W T ) und SO(n)
mit der 1. Fundamentalform, so sind alle RA und LA Isometrien.
(f) Ist ϕ : I → SO(n) Integralkurve des Vektorfeldes XVL ∈ V(SO(n)) mit ϕ(0) =
E, so folgt ϕ(s + t) = ϕ(s) · ϕ(t) für alle s, t ∈ R mit s, t, s + t ∈ I (Hinweis:
Betrachten Sie die Integralkurve ϕ̃ mit ϕ̃(0) = ϕ(s).)
Da SO(n) kompakt ist, folgt für die maximale Integralkurve I = R . Nach (b) ist
ϕ : (R, +) → (SO(n), ·) Gruppenhomomorphismus, eine sogenannte 1-ParameterUntergruppe der SO(n). Diese lässt sich mit der Matrix-Exponentialabbildung an∞
X
1 i i
s V für s ∈ R .
geben: ϕ(s) = exp(s · V ) :=
i!
i=0
19. (Pullback-Metriken) Es seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei
f : M → N eine Immersion, d. h. für alle p ∈ M ist das Differential dfp : Tp M →
Tf (p) N injektiv. Zeigen Sie: Ist g̃ eine Riemannsche Metrik auf N , so wird eine Riemannsche Metrik g =: (f ∗ g̃) auf M (die Pullback-Metrik von g̃ unter f“) definiert
”
durch die Identität
gp (v, w) := g̃f (p) (dfp (v), dfp (w)) für p ∈ M, v, w ∈ Tp M.
(Hinweis: Berechnen Sie für geeignete Karten (M 0 , x) und (N 0 , y) mit f (M 0 ) ⊂ N 0
die gij : M 0 → R aus den g̃kl : N 0 → R .)
Abgabe: Bis Do, 10.12.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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20. Die Umkehrung der stereographischen Projektion der n-Sphäre vom Nordpol aus
(s. Aufgabe 9) ist die Abbildung
kxk2 − 1
2x
n
n
,
∈ Rn × R .
f : R → S \{en+1 } , f (x) =
kxk2 + 1 kxk2 + 1
Zeigen Sie, dass die Pullback-Metrik der 1. Fundamentalform g0 von der Form
gx (v, w) = λ(x) · hv, wi0 ist für alle x ∈ Rn , v, w ∈ Tx Rn ∼
= Rn .
k ∼
2k
21. (Linsenräume)
Skalarprodukt
PkWir versehen den C = R2k−1mit dem euklidischen
= {u ∈ Ck : hu, ui = 1} mit der
hu, vi = Re j=1 uj vj und die Sphäre S
1. Fundamentalform. Es seien 1 ≤ q1 , . . . , qk < p natürliche Zahlen und jedes qi zu
p teilerfremd. Dann operiert die Gruppe der p-ten Einheitswurzeln Ep := {w ∈ C :
wp = 1} ⊂ S 1 ⊂ C auf S 2k−1 durch
w.u = w.(u1 , . . . , uk ) = (wq1 u1 , . . . , wqk uk ) .
Zeigen Sie, dass die Gruppenwirkung eigentlich diskontinuierlich, fixpunktfrei und
isometrisch ist.
Nach Vorlesung gibt es auf dem Bahnenraum S 2k−1 /Ep = {[u] : u ∈ S 2k−1 } (der Ep Bahnen [u] := {w.u : w ∈ Ep }) genau eine differenzierbare Struktur und Riemannsche Metrik, so dass die kanonische Projektion π : S 2k−1 → S 2k−1 /Ep , π(u) = [u]
differenzierbar wird und eine lokale Isometrie. Die Riemannsche Mannigfaltigkeit
L(p, q1 , . . . , qk ) := S 2k−1 /Ep heißt Linsenraum vom Typ (p; q1 , . . . , qk ).
22. Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, dim M = n , mit Karten (M 0 , x)
und (M̄ , x̄), und auf M 0 ∩ M̄ den zugehörigen Koeffizientenmatrizen der Riemannschen Metrik, G(p) = (gij (p))i,j bzw. Ḡ(p) = (ḡkl (p))k,l . Zeigen Sie:
(a) Ist Φ := x ◦ x̄−1 der Kartenwechsel und A(p) := DΦx̄(p) die Jacobimatrix im
Punkt x̄(p), so gilt
Ḡ(p) = A(p)T · G(p) · A(p) .
(b) Für f : M → R definiert man den Träger supp(f ) ⊂ M von f als Abschluss
von {p ∈ M : f (p) 6= 0}. Liegt der Träger im Definitionsbereich der Karte
x : M 0 → U , so definiert man das Integral über f mittels f˜ := f ◦ x−1 , g̃ij :=
gij ◦ x−1 : U → R als
Z
Z
q
˜
f (p) dvol(p) :=
f (u) det (g̃ij (u))i,j d(u1 , . . . , un ) ,
M
U
falls das Integral rechts existiert. Zeigen Sie, dass diese Definition von der Wahl
der Karte unabhängig ist. (Hinweis: Transformationsformel.)
Abgabe: Bis Do, 17.12.2015, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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23. (SO(n) als symmetrischer Raum) Zeigen Sie für SO(n) ⊂ (Rn×n , h·, ·i) (s. Aufg. 18):
Für jedes A0 ∈ SO(n) definiert
σA0 : SO(n) → SO(n) ,
σA0 (A) = A0 · AT · A0
eine Punktspiegelung an A0 , d. h. eine Isometrie mit σA0 (A0 ) = A0 und Differential
(dσA0 )A0 = −idTA0 SO(n) .
Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Punktspiegelungen um jeden Punkt nennt man
symmetrische Räume. Sie wurden durch E. Cartan klassifiziert und gehören zu den
wichtigsten Beispielklassen der Riemannschen Geometrie.
24. (Der n-dimensionale Torus) Für n ∈ N sei M = (Rn , h·, ·i0 ) und G ∼
= (Zn , +) die
n
Gruppe der ganzzahligen Translationen des R , d. h. die Menge aller Abbildungen
τz : Rn → Rn ; x 7→ x + z für z ∈ Zn . Zeigen Sie:
(a) Der Bahnenraum T n = Rn /Zn ist n-dim. Riemannsche Mannigfaltigkeit.
(b) T 2 ist isometrisch zur Produktmannigfaltigkeit Sr1 × Sr1 , wobei Sr1 ⊂ R2 den
Kreis vom Radius r = 1/2π um (0, 0) bezeichnet. (Hinweis: f : R2 → Sr1 × Sr1 ,
f (s, t) = (r cos 2πs, r sin 2πs, r cos 2πt, r sin 2πt)T ist G-invariant.)
25. Es sei c : [a, b] → (M, g) eine C ∞ -differenzierbare Kurve in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit und ϕ : [c, d] → [a, b] ein Diffeomorphismus (d. h. bijektiv, ϕ, ϕ−1
differenzierbar). Zeigen Sie:
(a) (c ◦ ϕ)0 (s) = ϕ0 (s) · c0 (ϕ(s)) ∈ Tc(ϕ(s)) M
für s ∈ [c, d] .
(b) Die Kurvenlängen L(c) und L(c ◦ ϕ) sind gleich. (Hinweis: Substitutionsregel.)
26. Es sei c : [0, L] → (M, g) eine C ∞ -Kurve konstanter Geschwindigkeit kc0 (t)k = 1 und
Kürzeste zwischen ihren Endpunkten, d. h. es gilt d(c(0), c(L)) = L(c) = |L − 0| .
Zeigen Sie:
d(c(t), c(t0 )) = L(c|[t,t0 ] ) = |t0 − t| für alle 0 ≤ t ≤ t0 ≤ L .
Abgabe: Bis Do, 14.01.2016, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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27. Es seien (M, g) und (N, g̃) zusammenhängende n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit induzierten Abstandsfunktionen d bzw. d˜. Ferner sei f : (M, g) →
(N, g̃) eine lokale Isometrie. Zeigen Sie:
˜ (p), f (q)) ≤ d(p, q) .
(a) Für alle p, q ∈ M gilt: d(f
(b) Jedes p ∈ M besitzt eine Umgebung U ⊂ M , so dass für alle q, q̃ ∈ U gilt:
˜ (q), f (q̃)) = d(q, q̃) . (Hinweis: Ist f | Diffeomorphismus auf sein Bild und
d(f
Ũ
d
d
BR (p) ⊂ Ũ , so betrachte man U = Br (p) , r = R/2 .)
28. (Kovariante Ableitungen) Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) bezeichne
∇ : VM × VM → VM ; (X, Y ) 7→ ∇X Y die Levi-Civita-kovariante Ableitung und
e eine weitere kovariante Ableitung auf M . Zeigen Sie:
∇
e − ∇ definiert einen (1, 2)-Tensor.
(a) S := ∇
e ist genau dann torsionsfrei, wenn S symmetrisch ist.
(b) ∇
e
e X∇
eY Z −∇
eY ∇
e XZ − ∇
e [X,Y ] Z definiert einen (1, 3)-Tensor, den
(c) R(X,
Y, Z) := ∇
e
sogenannten Krümmungstensor der kovarianten Ableitung ∇.
e = ∇ erhält man R , den Riemannschen Krümmungstensor.)
(Im Falle ∇
29. (Gradient und Hessesche) Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, (M 0 , x)
eine Karte und f : M → R eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie:
(a) Durch
∇f ∈ VM 0 , ∇f (p) :=
(
X X
i
k
)
−1
∂
∂(f
◦
x
)
(x(p))
|p
g ki (p)
∂uk
∂xi
wird ein differenzierbares Vektorfeld auf M 0 definiert mit (∗) h∇f, vip = v(f )
für alle p ∈ M 0 , v ∈ Tp M (wie üblich mit (g kl )k,l = (gij )−1
i,j ).
(b) ∇f ist das einzige Vektorfeld auf M 0 , das (∗) erfüllt.
(c) Es gibt genau ein differenzierbares Vektorfeld auf ganz M , das (∗) für alle
v ∈ T M , p = π(v) erfüllt. Man nennt dieses den Gradienten von f und
schreibt hierfür ebenfalls ∇f oder grad f .
(d) Durch Hf : VM × VM → C ∞ (M ) , Hf (X, Y ) = h∇X (∇f ), Y i wird ein (0, 2)Tensor definiert, der symmetrisch in (X, Y ) ist, der sogenannte Hessetensor
von f .
(e) Ist p ∈ M ein lokales Minimum von f , so ist (∇f )(p) = 0 ∈ Tp M und (Hf )p :
Tp M × Tp M → R positiv semidefinit. (Hinweis: Für X ∈ VM betrachte man
eine Integralkurve c ab c(0) = p und bestimme (f ◦ c)0 (0) und (f ◦ c)00 (0).)
Abgabe: Bis Do, 21.01.2016, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.
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Serie 10
30. Es sei M differenzierbare Mannigfaltigkeit und f ∈ C ∞ (M ) eine Funktion. Beachten
Sie, dass das Gradientenvektorfeld grad f = ∇f und der Hessetensor Hf von f erst
nach Wahl einer Riemannschen Metrik definiert sind (siehe Aufgabe 29). Zeigen Sie:
Falls f in p ∈ M ein lokales Extremum annimmt, so ist Hf (X, Y )(p) von der Wahl
der Metrik unabhängig.
31. (Skalierung von Metriken) Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, ferner
X, Y, Z ∈ V(M ) und f ∈ C ∞ (M ) gegeben. Für λ > 0 definiert auch gλ := λ2 · g eine
Riemannsche Metrik auf M , etwa mit Levi-Civita-Zusammenhang ∇λ , Krümmungstensor Rλ , etc. Untersuchen Sie auf mögliche Abhängigkeit von λ:
∇λX Y
Rλ (X, Y )Z
gradλ f
Hfλ (X, Y ) .
32. (Kovariante Ableitung längs Kurven) Es sei c : I → (M, g) differenzierbare Kurve
und t0 ∈ I. Zeigen Sie:
= 0 , bilden einen
(a) Die parallelen Vektorfelder X ∈ Vc längs c , d. h. mit DX
dt
par
par
Untervektorraum Vc ⊂ Vc . Die Abbildung et0 : Vc → Tc(t0 ) M , X 7→ X(t0 )
ist ein Vektorraum-Isomorphismus.
(b) Ist t1 ∈ I, so ist die Abbildung Pt0 , t1 = et1 ◦ e−1
t0 : Tc(t0 ) M → Tc(t1 ) M (die
Parallelverschiebung längs c“) eine lineare Isometrie bzgl. gc(t0 ) und gc(t1 ) ,
”
d. h. Pt0 , t1 ist Vektorraum-Isomorphismus und erhält Skalarprodukte. (Hinweis:
Für X, Y ∈ Vpar
leite man t 7→ hX(t), Y (t)ic(t) ab.)
c
(c) Ist c Punktkurve in (M, g), d. h. c(t) ≡ p0 , so gilt für jedes X ∈ Vc die
= X 0 (= gewöhnliche Ableitung im Vektorraum Tp0 M ).
Identität DX
dt
33. (Killing-Vektorfelder) Gegeben sei eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g), ferner ein Fluss auf M , d. h. eine differenzierbare Abbildung
φ : R × M → M, (t, p) 7→ φt (p) mit φ0 = idM , φs+t = φs ◦ φt für alle s, t ∈ R.
Sei X ∈ VM das Flussvektorfeld von φ, also X(p) = dtd |t=0 φt (p) ∈ Tp M , p ∈ M .
Zeigen Sie:
(a) Die Flusslinien“ t 7→ φt (p) sind Integralkurven des Vektorfeldes X .
”
1 d
(b) h∇v X, vi = · |t=0 h(dφt )(v), (dφt )(v)i für alle p ∈ M, v ∈ Tp M (Hinweis:
2 dt
2
∂
∂
0
).
Mit einer Darstellung v = c (0) berechne man |t=0 |
φ
(c(s))
s=0
t
∂s
∂t
(c) Die φt sind genau dann Isometrien, wenn für jedes p ∈ M der Endomorphismus
v 7→ ∇v X von Tp M schiefsymmetrisch ist bzgl. h , ip (in diesem Fall heißt X
ein Killing-Vektorfeld oder eine infinitesimale Isometrie).
(d) Ist X ein Killing-Vektorfeld, so ist für jede Geodätische c die Funktion t 7→
hX(c(t)), c0 (t)i konstant.
Abgabe: Bis Do, 28.01.2016, vor der Vorlesung: M. Kliemanns Postfach, LMS4, 3. Stock.