Kapitel 3 – Schließende Statistik - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

TU Dortmund
Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen
Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.46: Gauß-Test
uiv
Es seien X1, X2, . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2) mit bekannter Varianz σ 2 > 0. Zu überprüfen sei eines der folgenden Testprobleme:
Dr. Karsten Webel
H0
gegen
H1
(1)
µ ≤ µ0
gegen
µ > µ0
(2)
µ = µ0
gegen
µ 6= µ0
(3)
µ ≥ µ0
gegen
µ < µ0
357
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.46: Gauß-Test (Fortsetzung)
Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße
√ X̄ − µ0
T = n
σ
³ H
´
0
T ∼ N (0, 1)
in folgendem kritischen Bereich liegt:
(1)
(u1−α, ∞)
(2)
(−∞, −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 , ∞)
(3)
(−∞, −u1−α)
Dabei ist uγ das γ-Quantil der Standardnormalverteilung.
Dr. Karsten Webel
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.47: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung Bsp. 3.39)
zur Erinnerung:
uiv
X1, X2, . . . , X16 ∼ N (µ, 25)
mit Xi = Wartezeit des i-ten Studierenden (in Minuten)“
”
Testproblem:
H0 : µ ≤ 10 gegen
Dr. Karsten Webel
H1 : µ > 10.
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Beispiel 3.47: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung)
hier:
√ X̄ − µ0 √ 12, 25 − 10
T = n
= 16
= 1, 8
σ
5
und
u1−α = u0.95 = 1, 645,
da α = 0, 05.
Testentscheidung:
T = 1, 8 ∈ (1, 645; ∞) = (u1−α, ∞),
also wird H0 zum 5%-Niveau abgelehnt.
Dr. Karsten Webel
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.48: t-Test
uiv
Es seien X1, X2, . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2) mit unbekannter Varianz σ 2 > 0. Zu
überprüfen sei eines der folgenden Testprobleme:
Dr. Karsten Webel
H0
gegen
H1
(1)
µ ≤ µ0
gegen
µ > µ0
(2)
µ = µ0
gegen
µ 6= µ0
(3)
µ ≥ µ0
gegen
µ < µ0
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.48: t-Test (Fortsetzung)
Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße
√ X̄ − µ0
T = n
S̃X
³
H0
T ∼ tn−1
´
in folgendem kritischen Bereich liegt:
(1)
(tn−1,1−α, ∞)
(2)
(−∞, −tn−1,1− α2 ) ∪ (tn−1,1− α2 , ∞)
(3)
(−∞, −tn−1,1−α)
Dabei ist tn−1,γ das γ-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
Dr. Karsten Webel
362
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Beispiel 3.49: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung Bsp. 3.47)
zur Erinnerung:
X1, X2, . . . , X16
uiv
¢
¡
2
∼ N µ, σ ,
σ 2 > 0 unbekannt,
mit Xi = Wartezeit des i-ten Studierenden (in Minuten)“
”
Testproblem:
H0 : µ ≤ 10 gegen
Dr. Karsten Webel
H1 : µ > 10.
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Beispiel 3.49: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung)
hier:
√ X̄ − µ0 √ 12, 25 − 10
T = n
= 16 √
= 1, 076
69, 933
S̃X
und
tn−1,1−α = t15,0.95 = 1, 753,
da n = 16 und α = 0, 05.
Testentscheidung:
T = 1, 076 ∈
/ (1, 753; ∞) = (tn−1,1−α, ∞),
also wird H0 zum 5%-Niveau nicht abgelehnt.
Dr. Karsten Webel
364
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Beispiel 3.50: Kündigungsschutz (Fortsetzung Bsp. 3.31)
Bei einer Umfrage unter 65 mittelständischen Unternehmen geben 26 Betriebe an,
zusätzliche Mitarbeiter einstellen zu wollen, falls der Kündigungsschutz gelockert
wird.
Einige Gewerkschaftsführer behaupten, dass der Anteil der mittelständischen
Unternehmen, die nach einer Gesetzesänderung zusätzliche Mitarbeiter einstellen
wollen, höchstens 30% beträgt. Wie ist diese Behauptung zu beurteilen?
Dr. Karsten Webel
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.51:
uiv
Es seien X1, X2, . . . , Xn ∼ Bin (1, p). Zu überprüfen sei eines der folgenden
Testprobleme:
Dr. Karsten Webel
H0
gegen
H1
(1)
p ≤ p0
gegen
p > p0
(2)
p = p0
gegen
p 6= p0
(3)
p ≥ p0
gegen
p < p0
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Satz 3.51: (Fortsetzung)
Unter den Voraussetzungen von Bemerkung 2.88 wird die Nullhypothese zum
Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße
T =
√
np
p̂ − p0
p0 (1 − p0)
µ
¶
H0
T ≈ N (0, 1)
in folgendem kritischen Bereich liegt (vgl. Satz 3.32):
Dr. Karsten Webel
(1)
(u1−α, ∞)
(2)
(−∞, −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 , ∞)
(3)
(−∞, −u1−α)
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.52: Kündigungsschutz (Fortsetzung Bsp. 3.50)
zur Erinnerung:
uiv
X1, X2, . . . , X65 ∼ Bin (1, p)
mit
Xi =


1, i-ter Betrieb möchte zusätzliche Mitarbeiter einstellen
.

0, sonst
Testproblem:
H0 : p ≤ 0, 3 gegen
H1 : p > 0, 3.
Die Voraussetzungen aus Bemerkung 2.88 sind erfüllt, vgl. Bsp. 3.33.
Dr. Karsten Webel
368
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.52: Kündigungsschutz (Fortsetzung)
hier:
T =
und
√
p̂ − p0
np
=
p0 (1 − p0)
√
0, 4 − 0, 3
65 √
= 1, 759
0, 3 · 0, 7
u1−α = u0.99 = 2, 326,
da α = 0, 01.
Testentscheidung:
T = 1, 759 ∈
/ (2, 326; ∞) = (u1−α, ∞),
also wird H0 zum 1%-Niveau nicht abgelehnt.
Dr. Karsten Webel
369
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.53: Zwischenfazit zu statistischen Signifikanztests
• Fehler 1. Art = H0 ablehnen, obwohl H0 richtig
• Fehler 2. Art = H0 nicht ablehnen, obwohl H0 falsch
• Gauß-Test = Test auf unbekannten Erwartungswert einer Normalverteilung
mit bekannter Varianz
• t-Test = Test auf unbekannten Erwartungswert einer Normalverteilung mit
unbekannter Varianz
• approximativer Test auf unbekannten Anteil über Standardnormalverteilung
möglich
• Testentscheidung sagt nichts über die Richtigkeit von H0 aus
Dr. Karsten Webel
370
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Motivation
• bisher Konstruktion von Konfidenzintervallen und Signifikanztests, dabei
wichtige Voraussetzungen
– Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn
– Unterstellung einer bestimmten Verteilung an X1, X2, . . . , Xn
• jetzt: Test auf Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen
• später: Test auf eine bestimmte Verteilung einer Zufallsvariablen
Dr. Karsten Webel
371
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.54: Ladenöffnungszeiten
Ein Marktforschungsinstitut behauptet, dass erwerbstätige Personen eher eine
Verlängerung der Ladenöffnungszeiten befürworten als nicht erwerbstätige. Angenommen, eine entsprechende Umfrage ergibt folgendes Meinungsbild:
Verlängerung der Ladenöffnungszeiten
Erwerbstätigkeit
befürwortet
nicht befürwortet
ja
200
100
nein
100
100
Spricht diese Umfrage für die Behauptung des Marktforschungsinstituts?
Dr. Karsten Webel
372
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Bemerkung 3.55: allgemeine Kontingenztafel (Hij = # {X = i, Y = j})
Y
X
Dr. Karsten Webel
P
1
2
···
l
1
H11
H12
···
H1l
H1•
2
..
H21
..
H22
..
···
...
H2l
..
H2•
..
k
Hk1
Hk2
···
Hkl
Hk•
P
H•1
H•2
···
H•l
n
373
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.56: χ2-Unabhängigkeitstest
Es sei X eine Zufallsvariable mit k möglichen Ausprägungen und Y eine Zufallsvariable mit l möglichen Ausprägungen. Zu überprüfen sei das Testproblem
H0 : X und Y sind stochastisch unabhängig
gegen H1 : ¬H0.
Weiter sei
H̃ij =
Dr. Karsten Webel
Hi• · H•j
,
n
i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l.
374
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.56: χ2-Unabhängigkeitstest (Fortsetzung)
Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße
V =
l
k X
X
(Hij − H̃ij )2
i=1 j=1
H̃ij
µ
¶
H0 2
V ≈ χ(k−1)(l−1)
in dem folgenden kritischen Bereich liegt:
(χ2(k−1)(l−1),1−α, ∞).
Dabei ist χ2n,γ das γ-Quantil der χ2-Verteilung mit n Freiheitsgraden.
Dr. Karsten Webel
375
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.57:
Die Approximation in Satz 3.56 ist akzeptabel, wenn die Bedingung
H̃ij ≥ 5,
für alle i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l,
erfüllt ist.
Dr. Karsten Webel
376
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.58: Ladenöffnungszeiten (Fortsetzung Bsp. 3.54)
X = Erwerbstätigkeit (1 = ja, 2 = nein), Y = Verlängerung der Ladenöffnungszeiten (1 = befürwortet, 2 = nicht befürwortet)
Y
X
Y
P
1
2
1
200
100
300
2
100
100
P
Dr. Karsten Webel
300
200
P
1
2
1
180
120
300
200
2
120
80
200
500
P
300
200
500
X
377
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.58: Ladenöffnungszeiten (Fortsetzung)
Berechnung der unter H0 erwarteten Häufigkeiten:
H̃11 =
300·300
500
= 180,
H̃12 =
300·200
500
= 120,
H̃21 =
200·300
500
= 120,
H̃22 =
200·200
500
= 80.
Also:
(200 − 180)2
(100 − 120)2 (100 − 80)2
V =
+2·
+
= 13, 889.
180
120
80
Dr. Karsten Webel
378
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.58: Ladenöffnungszeiten (Fortsetzung)
Für α = 5% folgt weiter:
χ2(k−1)(l−1),1−α = χ21;0,95 = 3, 841.
Insgesamt:
V = 13, 889 ∈ (3, 841; ∞) = (χ2(k−1)(l−1),1−α, ∞),
so dass die Nullhypothese zum 5%- Niveau verworfen wird.
Dr. Karsten Webel
379
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.59:
Gilt in der Situation von Satz 3.56 k = l = 2, so vereinfacht sich die Prüfgröße
des χ2-Unabhängigkeitstests zu
(H11 H22 − H12 H21)2
.
V =n
H1• H2• H•1 H•2
Dr. Karsten Webel
380
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.60: Ladenöffnungszeiten (Fortsetzung Bsp. 3.58)
Mit Satz 3.59 ergibt sich alternativ:
(200 · 100 − 100 · 100)2 500
V = 500 ·
=
= 13, 889.
300 · 200 · 300 · 200
36
Dr. Karsten Webel
381
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.61:
Für stetige Zufallsvariablen X und Y ist der χ2-Unabhängigkeitstest nach einer
geeigneten Klassierung ebenfalls anwendbar.
Dann ist Hij die Anzahl der Beobachtungen, für die X in seine i-te und
gleichzeitig Y in seine j-te Klasse fällt.
Dr. Karsten Webel
382
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Motivation
• bisher Konstruktion von Konfidenzintervallen und Signifikanztests, dabei
wichtige Voraussetzungen
– Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn
– Unterstellung einer bestimmten Verteilung an X1, X2, . . . , Xn
• bisher Test auf Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen
• jetzt: Test auf eine bestimmte Verteilung einer Zufallsvariablen
Dr. Karsten Webel
383
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.62: Krankmeldungen
Der Personalchef eines großen Unternehmens vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Krankmeldung im Unternehmen montags bis donnerstags gleich und
freitags doppelt so groß ist wie an einem der übrigen Wochentage. Innerhalb
eines Jahres registriert er folgende Häufigkeiten von Krankmeldungen:
Wochentag
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Anzahl der Krankmeldungen
70
40
40
50
100
Stützen diese Beobachtungen seine Vermutung?
Dr. Karsten Webel
384
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.63: χ2-Anpassungstest
Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit
k möglichen Ausprägungen. Zu überprüfen sei das Testproblem
H0 : P (Xj = i) = pi
Dr. Karsten Webel
für alle i = 1, . . . , k
gegen
H1 : ¬H0.
385
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Satz 3.63: χ2-Anpassungstest (Fortsetzung)
Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße
V =
k
X
(Hi − n pi)2
i=1
n pi
µ
H0
V ≈ χ2k−1
¶
in dem folgenden kritischen Bereich liegt:
(χ2k−1,1−α, ∞).
Dabei ist χ2k−1,γ das γ-Quantil der χ2-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden.
Dr. Karsten Webel
386
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.64:
Die Approximation in Satz 3.63 ist akzeptabel, wenn die Bedingungen
(1)
n pi ≥ 1 für alle i = 1, . . . , k,
(2)
n pi ≥ 5 für mindestens 80% aller Klassen i,
erfüllt sind.
Dr. Karsten Webel
387
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.65: Krankmeldungen (Fortsetzung Bsp. 3.62)
Aufstellen des Testproblems:
p1 = p2 = p3 = p4
Weiter:
1=
5
X
und p5 = 2p1
(1 = Mo, 2 = Di, usw.)
pi = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 6p1
i=1
Testproblem:
1
H0 : p1 = p2 = p3 = p4 =
6
Dr. Karsten Webel
1
und p5 =
3
gegen
H1 : ¬H0
388
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.65: Krankmeldungen (Fortsetzung)
Prüfgröße:
V
=
(70 − 300 · 16 )2
(40 − 300 · 16 )2
+2·
300 · 16
300 · 16
(50 − 300 · 16 )2 (100 − 300 · 31 )2
+
+
1
300 · 6
300 · 31
=
(40 − 50)2
(70 − 50)2
+2·
+0+0
50
50
= 12
Dr. Karsten Webel
389
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Beispiel 3.65: Krankmeldungen (Fortsetzung)
Für α = 1% folgt weiter:
χ2k−1,1−α = χ24;0,99 = 13, 28.
Also:
V = 12 ∈
/ (13, 28; ∞) = (χ2k−1,1−α, ∞),
so dass die Nullhypothese zum 1%-Niveau nicht verworfen wird.
Dr. Karsten Webel
390
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.66:
Für stetige Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn ist der χ2-Anpassungstest nach einer
geeigneten Klassierung ebenfalls anwendbar.
Die in H0 spezifizierten Wahrscheinlichkeiten pi lassen sich dann über die an
X1, X2, . . . , Xn unterstellte Dichte bestimmen.
Dr. Karsten Webel
391
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Kapitel 3 – Schließende Statistik
Bemerkung 3.67: Zweites Zwischenfazit zu statistischen Signifikanztests
• χ2-Unabhängigkeitstest als Test auf Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen
• χ2-Anpassungstest als Test auf eine bestimmte Verteilung einer Zufallsvariablen
Dr. Karsten Webel
392
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Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen
Ende
Dr. Karsten Webel
393