Vorlesung 20.01.00

2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 69
Die Anordnung der Flußfäden läßt sich in einem Phasendiagramm (Fig. 2.64)
darstellen. Die „melting line“ oder „irreversibility line“ trennt den Bereich mit
beweglichen Flußschläuchen (vortex liquid) ab. Hier ist die kritische Stromdichte
Null. In dem von der Meissner Phase und der „melting line“ begrenzten Bereich
werden die Flußfäden gepinnt, weshalb hier Ic≠0 ist. Mögliche Anordnungen der
Fäden sind in der Abbildung gezeigt.
Fig. 2.64: Phasendiagramm. Gezeigt sind die unterschiedlichen Zustände der Flußfäden
Wir wollen nun eine zweite Begründung für den Widerstand im gemischten Zustand
geben. Dazu betrachten wir eine Probe mit nur einem Flußfaden. Für die
Phasendifferenz ∆θ zwischen den Enden a und b (s. Fig 2.65) gilt (vgl. Kap. 2.2.2.4):
b r
r
∆Θ = ∫∇ Θ ds
a
Fig. 2.65: Gezeigt ist eine Probe, die von einem Flußfaden durchdrungen wird. Für die Berechnung
der Phasendifferenz zw. a und b sind zwei unterschiedliche Wege möglich.
Dabei können wir entweder entlang des Weges 1 oder 2 gehen. Die Phasendifferenz
entlang des Weges 2 können wir angeben mit:
b r
b r
b r
r r br r
r r
r
r
r
∆Θ 2 = ∫∇ Θ ds − ∫∇ Θ ds + ∫∇ Θ ds = ∫∇ Θ ds + ∫∇ Θ ds = ∫∇ Θ ds + ∆Θ 1 = 2π + ∆Θ 1
a ,2
a ,1
a ,1
a ,1
wobei das Ringintegral um einen Flußfaden gemäß der Flußquantisierung 2πist.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 70
Nun betrachten wir die Bewegung eines Flußfadens quer zur Stromrichtung durch
die Probe (Fig. 2.66):
Fig. 2.66: Bewegung eines Flußfadens durch die Probe
Je nach Ort des Flußfadens ist die Integration nur über Weg 2, über beide Wege, oder
nur über Weg 1 möglich. Ist der Flußfaden komplett quer durchgelaufen, so hat sich
die Phasendifferenz zwischen a und b von ∆Θ 2 um 2πnach ∆Θ 1 verschoben.
Diese zeitliche Phasenänderung wollen wir im folgenden berechnen:
Die Zeit für einen Durchlauf ist gegeben mit: ∆t =
b
(b = Breite der Probe)
v FF
Enthält die Probe N Flußfäden, so ändert sich in der Zeit ∆t die Phase der
supraleitenden Wellenfunktion um ∆θ=2πN.
Die zeitliche Ableitung ist dann gegeben mit (l = Länge der Probe):
dΘ ∆Θ 2πNv 2πv F
2πvBl
=
=
=
=
dt
∆t
b
b F0
F0
Ist die zeitliche Änderung der Phase bekannt, erhalten wir mit der 2. JosephsonGleichung (s. später)
dΘ
h
= 2eU
dt
die Spannung am SL:
U = vBl
Der Spannungsabfall am SL ist also eine Folge der Phasenänderung auf Grund der
Flußfadenbewegung.
Da die Reibungskraft F∝ v ist und außerdem F ∝ I ist (s. St. 67), folgt damit U ∝ I,
also eine Ohmsche Charakteristik.
Das Pinning bewirkt allerdings, daß sich die Flußfäden anfangs nicht bewegen. Aus
diesem Grund ist ihre Geschwindigkeit und damit der Spannungsabfall Null. Die sich
daraus ergebende Strom-/Spannungscharakteristik wurde bereits anhand Fig. 2.61
verdeutlicht. Der darin gegebene kritische Strom Ic nimmt mit steigender Temperatur
ab, da aufgrund der steigenden thermischen Aktivierung die Flußfäden abreißen
können. Dies wird bei HTSL besonders deutlich.
Bei steigendem Magnetfeld steigt die Flußfadendichte, also die Fadenzahl pro Zahl
der Pinningzentren. Das Pinning des einzelnen Fadens wird entsprechend schwächer,
weshalb ebenfalls der kritische Strom abnimmt.
Der Einfluß des Magnetfeldes und der Temperatur auf den kritischen Strom des
HTSL YBa2Cu3O7-δ(YBCO) ist in Fig. 2.67 gezeigt.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 71
Fig. 2.67: Einfluß der Temperatur und des Magnetfeldes auf die kritische Stromdichte von YBCO.
Die in Figur 2.67 gezeigten Stromdichten sind sehr hoch. Um einen Vergleich zu
geben: die Stromtragfähigkeit von Schmelzsicherungen liegt bei 104 A/cm2.
Bei 10T und 50K ist in diesem Beispiel die kritische Stromdichte bereits um mehr als
eine Größenordnung kleiner als bei 0 T.
Deutlich ist die Abnahme von jc mit steigender Temperatur zu erkennen.
Anmerkung: HTSL müssen nicht unbedingt bei 77K (Siedepunkt des
flüssigen Stickstoffs) eingesetzt werden. Bei tiefen
Temperaturen
weisen
sie
eine
deutlich
höhere
Magnetfeldverträglichkeit als Niedertemperatur-SL auf.
Pinning wird nicht nur bei Stromdurchgang durch die Probe beobachtet, sondern
zeigt sich auch in der Magnetisierungskurve. Dazu betrachten wir Figur 2.68.
Anmerkung: Da das Pinning das Wandern der Flußfäden in die Probe
behindert, erhalten wir keine homogene Dichte der Flußfäden in
der Probe. Aus diesem Grund geben wir ein mittleres Feld
Bi an.
Die schwarze Kurve entspricht dem Verlauf von Bi für einen idealen Supraleiter
2. Art – d.h. ohne Pinning. Nun wollen wir das Pinning (graue Kurve) mit
berücksichtigen. Dazu beginnen wir im Nullpunkt. Solange das äußere Feld kleiner
als Bc1 ist, dringen keine Flußfäden ein. Dringen ab Bc1 Flußfäden ein (jungfräuliche
Fig. 2.68: Hysterese Kurve eines SL 2. Art aufgrund des Pinnings
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 72
Kurve), so verzögert das Pinning deren Bewegung in das Innere der Probe. Das
mittlere Feld Bi bleibt daher kleiner als im idealen SL ist. Nähern wir uns dem
kritischen Feld Bc2, überlappen sich die Fäden und das Pinning des einzelnen Fadens
nimmt ab. Daher wird Bi homogener und nähert sich dem Gleichgewichtswert. Bei
Bc2 tritt Normalleitung ein, mit überall homogenen Bi=Ba.
Nun wollen wir abmagnetisieren. Jetzt verzögert das Pinning das Austreten der
Fäden. Ist das äußere Feld Ba=0, so ist noch Fluß im Supraleiter gepinnt (Remanenz).
Man spricht von „eingefrorenem Fluß“ (frozen in flux). Erst durch eine Feldumkehr,
wenn Fäden mit umgekehrter Richtung in die Probe geschoben werden, die dann mit
den Fäden im Inneren rekombinieren, ist es möglich, das Feld auch im Inneren
umzupolen. Insgesamt erhalten wir eine Hysterese.
Die örtliche Flußverteilung im Inneren der Probe ist in Fig. 2.69 für steigende äußere
Felder gezeigt. Die Flächennormale der Probe liegt in x-Richtung, das Magnetfeld in
z-Richtung. Das Eindringen der Flußfäden beginnt von der Oberfläche. Aufgrund des
Pinnings nimmt die Dichte der Fäden nach innen ab. Als mittlere Dichte der Fäden
erhalten wir daher einen Feldgradienten. Mit steigendem äußeren Feld Ba werden
von außen mehr Fäden nachgeliefert. Die gegenseitige Abstoßung schiebt daher die
Fäden weiter in das Innere der Probe. Direkt an der Oberfläche wirkt das Pinning
noch nicht. Daher stellt sich dort stets das Bi des idealen Supraleiters ein. Dies
bestimmt den Sprung des Feldes direkt an der Oberfläche.
Fig. 2.69: Flußverteilung in der Probe für den 1-Dimensonalen Fall
Dem mittleren Feldgradienten entspricht ein Abschirmstrom.
Ampereschen Gesetz gilt:
r
r
∇ ×Bi = µ 0 j
bzw. hier
Nach
dem
dBz
= µ0 j y
dx
Der Abschirmstrom fließt also nicht nur innerhalb der Eindringtiefe λ wie beim
Meißnereffekt, sondern überall, wo ein Feldgradient vorhanden ist.
-
Ist
dB
dx
klein, dann ist j<jc, d.h. alle Flußfäden sind gepinnt
groß, dann ist j>jc, d.h. die Lorentzkraft überwiegt die Pinningkraft, und
die Fäden können sich bewegen und weiter in die Probe laufen.
Im stationären Zustand ist also die Flußverteilung so, daß überall in der Probe der
Feldgradient genau der kritischen Stromdichte entspricht:
dB
- z = µ 0 jc
dx
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 73
Diesen Zusammenhang bezeichnet man als „kritischen Zustand“ oder „critical state“.
Die einfachste Annahme (Bean-Modell) ist konstantes jc innerhalb der Probe. Dies
bedeutet, daß der Feldgradient stets gleich ist, so daß wir Geraden erhalten.
Tatsächlich sinkt aber die kritische Stromdichte mit dem Magnetfeld. Statt Geraden
erhalten wir in der Probe also Kurven, die bei größerem Feld flacher werden (s. Fig.
2.69).
Bis jetzt haben wir den Feldverlauf beim Aufmagnetisieren betrachtet. Nun wollen
abmagnetisieren. Der entsprechende Verlauf ist in Fig. 2.70 gezeigt.
Fig. 2.70: Feldverlauf während des Abmagnetisierens.
Das äußere Feld sei zunächst größer als das kritische Feld Bc2, so daß der gesamte SL
homogen mit Fluß durchsetzt ist. Die Richtung des äußeren Feldes sei wieder in
z-Richtung. Bei Ba=Bc2 wird der Fluß im SL eingefroren. Wird Ba reduziert,
verlassen die Fäden vom Rand her die Probe. Direkt an der Oberfläche der Probe ist
Bi wieder kleiner als Ba entsprechend dem idealen SL. Allerdings verhindert das
Pinning im Inneren, daß die Fäden den SL verlassen, so daß dort Bi größer als Ba ist.
Der Sprung Bi/Ba an der Oberfläche nimmt wieder entsprechend kleinerem Ba zu.
Bei Ba=0 ist in der Probe aufgrund des Pinning noch immer Fluß vorhanden. Beim
Umpolen von Ba enthält die Probe also noch Gegen-Magnetisierung, die erst bei
größerem Ba (in entgegengesetzter Richtung) verschwindet.
Auf Grund der Hysteresekurve entstehen in einem magnetischen Wecheselfeld
Verluste, die sog. Wechselstromverluste. Diese sind nachteilig für den Bau von
Transformatoren und Wechselstromkabeln aus Typ 2 SL.
Ein weiteres wichtiges Phänomen der Supraflüssigkeit ist der sog. Josephson Effekt.
Auf diesen soll im nächsten Kapitel eingegangen werden.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.4
2.2.4. Josephson-Effekte
74
Josephosn – Effekte:
Der Josephson Effekt tritt an schwachen Verbindungen (sog. weak links) zwischen
zwei Supraleitern auf. Dafür gibt es verschiedene Ausführungsformen:
a) SIS – Tunneldiode: (SIS=SL-Isolator-SL)
Hier sind zwei SL mit einer dünnen Barriere (Isolator, z.B. Oxid) voneinander
getrennt (Fig. 2.71).
Fig. 2.71: Schematische Darstellung einer SIS-Tunneldiode
Ist der Isolator dünn genug, oder die Potentialbarriere nicht zu hoch, können
Elektronen durch diesen tunneln. Innerhalb der Barriere (s. Fig. 2.72) fällt die
Wellenfunktion exponentiell ab.
Fig. 2.72: Wellenfunktion für ein tunnelndes Elektron
Es stellt sich die Frage, ob auch ein Paar tunneln kann, und ob dieses nach dem
Tunnelvorgang noch ein Paar ist? Dies ist in der Tat so. Zunächst wollen wir
jedoch noch weiter Möglichkeiten für Josephson-Kontakte aufzeigen.
b) SNS – Diode: (SNS=SL-NL-SL)
Hier wird, wie in Fig. 2.73 gezeigt, statt des Isolators ein Normalleiter oder ein
hoch dotierter Halbleiter verwendet. Diese Anordnung ist nur noch eine Barriere
für die Paare, nicht mehr für die einzelnen Elektronen.
Fig. 2.73: Schematische Darstellung eines SNS-Kontaktes
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.4. Josephson-Effekte
75
c) Querschnittsverengung:
Der SL wird an einer Stelle verengt (Fig. 2.74). Liegt diese Engstelle (Dayem
bridge) in der Größenordnung der Kohärenzlänge, so wirkt sie wie ein
Josephson Element.
Fig. 2.74: Schematische Darstellung einer Engstelle
Da die Kohärenzlänge von HTSL 1-2nm beträgt ist diese Methode etwas
problematisch. Besser ist hier die Korngrenzendiode.
d) Korngrenzendiode:
Künstlich wird ein Bikristall (Fig. 2.75) aus zwei Kristallen mit
unterschiedlichen Orientierungen hergestellt. Anschließend wird ein HTSL-Film
auf dem Bikristall epitaktisch abeschieden. Dann weist er ebenfalls die
Korngrenze auf. An dieser Korngrenze passen die CuO-Ebenen des HTSL nicht
mehr zusammen, so daß diese wie eine Barriere wirkt. Je größer der Winkel der
Korngrenze ist, desto schlechter passen die Ebenen zusammen, und desto größer
wird die Barriere.
Fig. 2.75: Schematische Darstellung einer Korngrenzendiode
Die gemeinsame Eigenschaft all dieser schwachen Verbindungen ist, daß an der
Engstelle oder Barriere eine große Drehung der Phase auftritt. Dies sei nachfolgend
verdeutlicht.
Für den Suprastrom galt (vgl. Kap. 2.2.2.4 – St. 48):
r q ph r
js =
ns ∇ T
mp
r
r
m p js
∇T =
q p h ns
d.h.
Bei einer Barriere ist ns klein – entsprechend ist die Phasenänderung groß.
Bei einer Engstelle ist js groß – ebenfalls ist die Phasenänderung groß.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.4. Josephson-Effekte
76
2.2.4.1. Der Josephson Gleichstrom:
Wir wollen nun das Beispiel der Engstelle genauer betrachten (Fig. 2.76).
Fig. 2.76: Schematische Darstellung der Engstelle
Weit genug links (Punkt 1) bzw. rechts (Punkt 2) von der Engstelle liegt eine
konstante Phase vor:
Punkt 1 : ? = ? 1 ≡ ? 1 e iT 1
Punkt 2 : ? = ? 2 ≡ ? 2 e iT 2
Zwischen diesen beiden Punkten ändert sich die Phase schnell. Dort haben wir in
erster Näherung eine Linearkombination aus beiden Wellenfunktionen:
? = a ( x) ? 1 e iT 1 + b( x) ? 2 e iT 2
Um die Normierung zu erfüllen, gilt: a²+b²=1
Im Gegensatz zu Θ 1 und Θ 2 hängen a und b von x ab. Dieser Zusammenhang ist in
Fig. 2.77 gezeigt.
Fig. 2.77: x-Abhängigkeit von a und b
Wir können z.B. annehmen: (Vorfaktoren werden nicht benötigt)
a ∝ cosα
px
b ∝ sin α , mit a =
2 x0
Mit der kombinierten Wellenfunktion berechnen wir den Stromausdruck:
j s ∝ ? * ∇ ? − ? ∇ ? * ∝ Im (? * ∇ ? )
wegen z-z * = 2i Im (z)
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.4. Josephson-Effekte
77
Im 1-Dimensionalen gilt mit ∇ ? = ? ' :
? *? ' = ? (ae − iT 1 + be − iT 2 )(a'e iT 1 + b'e iT 2 )
2
= ? (aa' + bb' + ab'e i(T 2 − T 1 ) + a'be i(T 1 − T 2 ) )
2
Wegen a 2 + b 2 = 1 => Ableitung : 2aa' + 2bb' = 0, so daß mit ϕ = T 2 -T 1 folgt :
? *? ' = ? (ab'e iϕ + a'be − iϕ ) ⇒
2
Im? *? ' = ? (ab' − a'b) sin ϕ
2
Somit folgt für die Stromdichte:
j s = j0 sin ϕ
Dies ist die „1. Josephson-Gleichung“
Die Stromdichte ist also proportional zum Sinus der Phasendifferenz. Zu beachten ist
hierbei, daß der Ausdruck (ab/-a/b) von x unabhängig sein muß. Dies ist für die
gemachte Annahme a∝ cosα bzw. b∝ sinα der Fall.
Die Abhängigkeit des Suprastroms von der Phasendifferenz ist in Fig. 2.78 gezeigt.
Der maximale Strom j0 ist erreicht, wenn ϕ=π/2 ist. Er entspricht der maximalen
Suprastromdichte in der Engstelle, also der kritischen Stromdichte jc.
Ist ϕ zeitlich konstant, ist der Strom konstant, und man spricht vom Josephson
Gleichstrom.
Fig. 2.78: Abhängigkeit des Suprastromes vom Phasenwinkel ϕ
2.2.4.2 Josephson Wechselstrom
Wenn die kritische Stromdichte j0 überschritten wird, tritt ein Spannungsabfall am
weak link auf. Wir wollen zeigen, daß sich dann die Phasendifferenz zeitlich ändert.
Der Spannungsabfall bedeutet, daß sich die SL links und rechts von der Engstelle auf
unterschiedlichem Potential (s. Fig. 2.79) befinden, also die jeweiligen Paare eine
Energiedifferenz E2-E1=qpU aufweisen.
Fig. 2.79: Potentialdifferenz zwischen den beiden Supraleitern.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.4. Josephson-Effekte
78
Betrachten wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für ψ 1 auf der linken Seite:
∂? 1
= H? 1 = E1? 1
∂t
Da ψ 1 Eigenzustand von H ist, ist ψ zeitunabhängig. Damit ist
− ih
∂? 1
dT
dT
= ? 1 e iT 1 i
= i? 1
,
∂t
dt
dt
Einsetzen in die Schrödingergleichung ergibt:
h
dT 1
= E1
dt
Entsprechend gilt für den zweiten Supraleiter auf der rechten Seite:
dT
h 2 = E2
dt
Damit erhalten wir für die Energiedifferenz:
dϕ
E 2 − E1 = h
= q pU = 2eU
dt
Dies ist die 2. Josephson-Gleichung.
Eine konstante Spannung führt zu einer zeitlich veränderlichen Phase und
umgekehrt. Dies gilt für jeden SL auch für den SL 2. Art. Daher hatten wir oben die
2. Josephsongleichung bereits verwendet.
Wir betrachten den Fall, daß die Spannung zeitlich konstant gehalten wird. Dann
folgt durch Integration:
2e
ϕ = Ut ≡ ω J t
ω J : Josephson - Frequenz
h
Setzen wir dies in die erste Josephson-Gleichung ein, so erhalten wir:
j s = j0 sin ω j t
Es fließt also ein Wechselstrom, dessen Frequenz proportional zur Spannung ist.
Dann stellt das Josephson-Element einen Spannugns-Frequenz-Wandler dar.
Frequenzen lassen sich durch Abzählen der Schwingungen sehr genau messen, viel
genauer als Spannungen. Daher wird heute im SI-System die Einheit Volt dadurch
definiert, daß der Quotient e/h durch Konvention festgelegt wird. Deshalb lassen sich
Spannungsmeßgeräte direkt mit Hilfe des Josephsoneffekts eichen.