3. Übung Automatentheorie

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, Dipl. Inf. F. Abu Zaid
SS 2017
3. Übung Automatentheorie
Aufgabe 1
(a) Beweisen Sie Lemma 1.13 (2): Aus einem gewichteten Automaten A kann ein finalnormalisierter gewichteter Automat B mit ||A|| = ||B|| berechnet werden.
(b) Zeigen Sie, dass aus der Konstruktion im Beweis von Lemma 1.13 (3) ein final-normalisierter
gewichteter Automat hervorgeht.
(c) Sei Γ ein Alphabet und S = (S, +, ·, 0, 1) ein Semiring. Zeigen Sie, dass die Funktion
s : Γ∗ → S mit s(w) = 1 für alle w ∈ Γ∗ über S realisierbar ist, aber nicht durch einen
normalisierten gewichteten Automaten.
Aufgabe 2
Sei S = (N, +, ·, 0, 1) und sei r =
n
n≥1 a .
P
(a) Berechnen Sie rk (an ) für k = 1, 2, 3, n = 1, . . . , 5.
, wobei
n
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass
k > 0 gilt.
Pn
(b) Beweisen Sie ∀k ≥ 1∀n ≥ 0 : rk (an ) =
n−1
k−1
k
=


n!
k!(n−k)!
0
i
i=0 k
0≤k≤n
sonst
=
n+1
k+1
.
für alle n und alle
Aufgabe 3
Sei Γ ein Alphabet und S ein Semiring.
(a) Weisen Sie nach, dass (ShhΓ∗ ii, +, ·, 0, 1{ε} ) ein Semiring ist.
(b) Weisen Sie nach, dass (ShΓ∗ i, +, ·, 0, 1{ε} ) ein Semiring ist.
(c) Das Hadamard-Produkt ist definiert durch (r1 r2 )(w) = r1 (w) · r2 (w) für alle s1 , s2 ∈
ShhΓ∗ ii, w ∈ Γ∗ . Weisen Sie nach, dass (ShhΓ∗ ii, +, , 0, 1{Γ∗ } ) ebenfalls ein Semiring ist.
Aufgabe 4
(a) Zeigen Sie (P(Γ∗ ), ∪, ·, ∅, {ε}) ∼
= (BhhΓ∗ ii, +, ·, 0, 1{ε} ).
(b) Zeigen Sie (P(Γ∗ ), ∪, ∩, ∅, Γ∗ ) ∼
= (BhhΓ∗ ii, +, , 0, 1Γ∗ ).
Aufgabe 5
Geben Sie jeweils einen Semiring S und r1 , r2 ∈ ShhΓ∗ ii an, sodass
(a) supp(r1 + r2 ) ( supp(r1 ) ∪ supp(r2 )
(b) supp(r1 · r2 ) ( supp(r1 ) · supp(r2 )
(c) supp(r1 r2 ) ( supp(r1 ) ∩ supp(r2 )
Für welche Semiringe sind jeweils die obigen Ungleichungen nicht lösbar?
http://www.tu-ilmenau.de/al/lehre/ss-2017/automatentheorie/