Medianoid Probleme - ZAIK

Universität zu Köln
Zentrum für angewandte Informatik Köln
WS 2007/08
Seminar:
Ausgewählte Kapitel des Operations Research
Dozent:
Prof. Dr. R. Schrader
Referent:
Markus Hartmann
6. Februar 2008
________________________________________________________________________
Über die Standortwahl zweier konkurrierender Duopolisten.
- Das (r|Xp)-Medianoid Problem ________________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
1.
Einleitung ..................................................................................................................2
2.
Notation und Vorüberlegung .....................................................................................3
3.
Existenz einer optimalen Lösung ..............................................................................4
4.
Herleitung eines Algorithmus für das (1|Xp)-Medianoid Problem ..............................5
5.
Zusammenfassung und Ausblick ..............................................................................7
1
1.
Einleitung
Der Titel des Papers von Dasci, Eiselt und Laporte, auf das sich diese Arbeit bezieht, lautet „On the (r|Xp)-Medianoid Problem on a Network with Vertex and Edge Demands“.
In diesem ersten Abschnitt soll erläutert werden, worum es bei einem (r|Xp)-Medianiod
Problem geht, des weiteren wird eine Abgrenzung zu anderen Problemen vorgenommen.
Außerdem werden einige Grundannahmen festgehalten und es wird ein Beispiel vorgestellt, das später auch gelöst werden soll. Im zweiten Abschnitt werden die Notationen eingeführt, die benötigt werden, um das Problem zu modellieren und es werden einige Vorüberlegungen getroffen. Abschnitt drei beschäftigt sich mit der Existenz einer optimalen
Lösung eines (r|Xp)-Medianoid Problems. In Abschnitt vier wird es dann um die zentrale
Aussage dieser Arbeit gehen, hier wird ein Algorithmus zur Lösung eines (1|Xp)-Medianoid
Problems vorgestellt, bevor in Abschnitt fünf die Ergebnisse zusammengefasst werden
und ein Ausblick gewagt wird.
Die Standortwahl konkurrierender Duopolisten läuft im Allgemeinen folgendermaßen ab.
Zwei „Spieler“ wählen abwechselnd Standorte für neue Einrichtungen aus, mit dem Ziel,
möglichst viel Kunden-Nachfrage auf diese neue Einrichtung zu ziehen. Genauer gesagt:
der „Startspieler“ beginnt damit, p≥1 Einrichtungen zu platzieren, in dem Wissen, dass
nach ihm sein Konkurrent seinerseits r ≥1 Einrichtungen platzieren wird. Ein solches
Problem heißt (r|p)-Centroid Problem. Nun wird der „Folgespieler“ in Abhängigkeit von den
bereits bestehenden Einrichtungen, die in der Menge Xp erfasst sind, seinerseits r ≥1
Einrichtungen platzieren, wodurch ein (r|Xp)-Medianoid Problem gegeben ist.
Um dieses Problem modellieren zu können, müssen einige Grundannahmen getroffen
werden.
Es wird ein ungerichtetes Netzwerk zugrunde gelegt, das aus Knoten und Kanten besteht,
wobei man sich die Kanten als Straßen und die Knoten als Kreuzungen vorstellen kann.
Der Standort von Einrichtungen wird auf Knoten modelliert, d. h., dass das Platzieren von
Einrichtungen auf Kanten die Entstehung eines neuen Knotens verursacht. Mit anderen
Worten: ein Punkt auf einer Straße wird als Kreuzung definiert, wenn dort eine Einrichtung
steht. Es wird davon ausgegangen, dass alle Einrichtungen beider Konkurrenten die gleiche Attraktivität auf ihre Kunden ausüben sowie die gleichen Leistungen zu gleichen Preisen angeboten werden. Die logische Konsequenz dieser Annahmen ist, dass sich jeder
Kunde für die nächstgelegene Einrichtung entscheidet, was im Folgenden als Grundannahme vorausgesetzt wird. Befinden sich zwei Einrichtungen auf dem gleichen Punkt des
2
Netzwerks (im gleichen Gebäude), so wird die zugehörige Nachfrage gleichmäßig auf beide verteilt. Im Gegensatz zu vielen anderen Arbeiten, wird in dem Modell von Dasci, Eiselt
und Laporte, welches hier vorgestellt wird, die Nachfrage nicht nur auf die Knoten, sondern auf Knoten und Kanten modelliert. Hierbei wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage entlang einer Kante gleich verteilt ist, d. h. die Nachfrage ist entlang einer Kante konstant.
Das folgende Beispiel in Abb. 1 zeigt, wie ein solches Netzwerk mit Nachfragewerten auf
Knoten und Kanten aussehen kann. In Abschnitt vier werde ich auf dieses Beispiel zurückkommen und mit Hilfe des dort vorgestellten Algorithmus eine Lösung präsentieren.
0
5
1
5
1
1
0
2
0
3
2
3
1
4
Abb. 1: Beispiel für Netzwerk mit Knoten 1, 2, 3, 4 und 5, Kanten (1,2) und (2,3) mit der Länge 2 sowie
Kanten (3,4) und (3,5) mit der Länge 1. Auf den Knoten 2 und 4 wurde bereits eine Einrichtung platziert. Die Nachfragewerte sind jeweils oberhalb der Knoten und Kanten eingezeichnet.
2.
Sei
Notation und Vorüberlegungen
N =V , E
ungerichtetes Netzwerk
V =1,... , n
Menge der Knoten
E={i , j ; i , j∈V }
Menge der Kanten
d Vi
nicht-neg. Nachfrage auf Knoten i
ce
Länge der Kante e=i , j∈E
d eE =d ijE
Einheits-Nachfrage-Dichte (Einheits-Nachfrage pro
Einheits-Länge auf der Kante e=i , j )
Seien p Einrichtungen an p verschiedenen Knoten von V gegeben.
Xp
Menge der besetzten Knoten
Aufteilung des Netzwerks in Voronoi-Regionen:
Jeder Punkt wird der nächstgelegenen Einrichtung zugeordnet.
3
So entstehen in Abhängigkeit von X p Teilnetzwerke, sog. Voronoi-Regionen.
N k ⊂N
k =1,... , p
Menge der Voronoi- Regionen
Punkte, die auf der Grenze zweier Voronoi-Regionen liegen, d. h. dort, wo sich zwei Regionen berühren, heißen Grenzpunkte. Solche Grenzpunkte liegen entweder auf einem
Knoten, oder auf einer Kante zwischen zwei Knoten.
Betrachtet man nun eine Kante mit Endknoten i , j , wobei i , j∈ N k , so gilt:
i , j ∈N k
Ist i ∈ N k und j ∈ N l mit
k ≠l , so existiert auf der Kante i , j  ein eindeutig be-
stimmter Grenzpunkt bij .
Sei
c ij
die kürzeste Entfernung von i und j und
x
die Strecke von i nach bij
Dann gilt:
c ik x=c jl c ij −x 
⇔
x=c jl −cik c ij / 2
(1)
Wird nun die Einrichtung k um die Strecke  von i wegbewegt, so rückt dadurch der
Grenzpunkt bij um /2 näher an i heran. Analog entfernt sich bij um /2 von i ,
falls sich k um  auf i zu bewegt. D. h. für
c ik ´ ≝cik  gilt:
x ´ =x−/ 2
3.
Existenz einer optimalen Lösung
Die Existenz einer optimalen Lösung kann im Allgemeinen nur für nicht-entartete (r|X p)Medianoid Probleme gezeigt werden. Ein Problem heißt nicht-entartet, falls es keine Unstetigkeitsstellen aufweist. Ansonsten heißt es entartet. Für entartete Probleme hilft die
Einführung des Begriffs der ε-Optimalität. Dies soll an einem einfachen Beispiel demonstriert werden.
1
1
2
1
3
2
4
Abb. 2: Beispiel für ein (r|Xp)-Medianoid, dass keine optimale Lösung besitzt. Die Kanten haben die Einheitslänge 1, auf den Knoten 2 und 3 befinden sich bereits Einrichtungen. Die Nachfrage ist auf allen Knoten Null, auf den Kanten (1,2) sowie (2,3) ist sie 1 und auf der Kante (3,4) ist sie 2.
4
In diesem Beispiel ist 2 eine obere Schranke für die maximal zu erzielende Nachfrage.
Diese obere Schranke kann aber nicht erreicht werden, da auf dem Knoten 3 eine Unstetigkeitsstelle vorliegt. Platziert man die neue Einrichtung direkt auf dem Knoten 3, beträgt
die Nachfrage 2[ Kante 3,4]0,5 [Kante  2,3]/2=1,25 . Nähert man sich hingegen von
rechts an den Knoten 3 an, geht die Nachfrage gegen 2. Folglich existiert für dieses Beispiel keine optimale Lösung. Es kann aber eine ε-optimale Lösung bestimmt werden.
Def.: Sei D die zu erzielende Nachfrage und S eine obere Schranke von D.
Dann ist D eine ε-optimale Lösung, falls für alle ε 0 gilt: D≥S −ε
Platziert man in obigem Beispiel die neue Einrichtung  Längeneinheiten rechts von
Knoten 3, so beträgt die erzielte Nachfrage 2−/2 . Nun wählt man z. B. =ε und erhält damit die ε-optimale Lösung
4.
D=2−ε /22−ε .
Herleitung eines Algorithmus für das (1|Xp)-Medianoid Problem
Für die Herleitung des Algorithmus betrachte man eine Einrichtung, die auf einer Kante
e
und nicht auf einem Knoten platziert wird, d. h. auf einem Punkt x aus dem offenen
Intervall 0, c e  . Die Funktion f  x  beschreibe nun die Nachfrage, die die Einrichtung
N x
auf diesem Punkt erzielt; die Voronoi-Region, der x zugeordnet wird sei mit
be-
zeichnet. Seien weiter v i ∈N  x  die Knoten, sowie e k ∈N  x die Kanten, die in der
Voronoi-Region N  x  enthalten sind. Wird x nun entlang der Kante e um eine Strecke  auf den Punkt x ´ verschoben, so verursacht dies, wie in (1) gezeigt, eine Verschiebung der Grenze von N  x  um /2 zur Grenze von N  x ´  .
Die veränderte Nachfrage, die nun auf dem Punkt x ´ erzielt wird lässt sich durch folgende Funktion beschreiben.
f  x ´ = f  x 
∑
v i ∈ N  x ´ ∖ N  x
d Vi 
∫ d Ee −
∑
e k ∈ N  x´ ∖ N  x ek
k
∑
d Vi −
v i ∈ N  x∖ N  x ´
∑
∫ d eE
ek ∈ N  x ∖ N  x ´ e k
k
(2)
Hierbei gibt die erste Summe den Nachfrage-Anteil an, der durch die Verschiebung auf
den Knoten gewonnen wird, die zweite Summe den Anteil, der auf den Kanten gewonnen
wird, die dritte, welcher auf den Knoten und die vierte, welcher auf den Kanten verloren
wird.
Bei dieser Funktion treten Unstetigkeitsstellen nur dort auf, wo die Grenze der Voronoi-Region N  x  mit einem Knoten des Netzwerks N zusammenfällt.
5
Zur Veranschaulichung der Ergebnisse soll nun noch einmal das anfängliche Beispiel betrachtet werden, auf das dann die Funktion angewandt wird.
0
5
1
5
1
0
2
1
f(x´)
0
3
2
3
1
4
f(x´)
7
6
5
5
4
3,5
3
3
4,5
4,5
3
2
1,5
0
1
1
2
3
2
a)
4
5
3
4
x´
0
1
3
5
x´
b)
Abb. 3: Nachfrage-Funktion in Abhängigkeit von der Standortwahl für eine neue Einrichtung.
In a) werden die Kanten (1,2), (2,3) und (3,4) durchlaufen, in b) die Kante (3,5).
Wie in Abb. 3 zu sehen ist, konvergiert die Funktion gegen ein Maximum von 7, wenn x
von links gegen den Knoten 2 strebt. Da an diesem Knoten eine Unstetigkeitsstelle vorliegt, existiert für das Problem keine optimale Lösung. Es existiert aber eine ε-optimale Lösung mit Nachfrage 7−ε für ein x , das ε Längeneinheiten links von Knoten 2 liegt.
Die Funktion weist in a) Unstetigkeitsstellen für x ´=2 , x ´=3 und x ´=5 sowie in b)
für
x ´=1 auf. In den Fällen x ´=3 in a) und x ´=1 in b) fällt jeweils die Grenze der
neuen Voronoi-Region N  x ´  mit dem Knoten 3 zusammen. Der „Sprung“ in der Funktion kommt hier anschaulich dadurch zu Stande, dass in dem Moment, in dem die Grenze
von N  x ´  einen Knoten erreicht, ein Teil der Nachfrage, der vorher eindeutig zuzuordnen war, jetzt geteilt werden muss. In den Fällen x ´=2 und x ´=5 wird die neue Einrichtung genau „auf“ einer bereits bestehenden platziert. Betrachtet man hier den Prozess,
in dem x ´ gegen den Knoten strebt, wird ersichtlich, dass die Grenze von N  x ´  ebenfalls gegen den Knoten konvergiert. Anschaulich lässt sich der „Sprung“ hier dadurch erklären, dass sich mit Erreichen des Knotens zwei vorher verschiedene Voronoi-Regionen
jetzt zu einer vereinen und die Nachfrage dementsprechend geteilt werden muss.
6
Unstetigkeitsstellen treten also entweder auf „besetzten“ Knoten auf, oder dort, wo die
Grenze der neuen Voronoi-Region mit anderen Knoten zusammenfällt.
5.
Zusammenfassung und Ausblick
Das in dieser Arbeit beschriebene Modell zur konkurrierenden Standortwahl von Duopolisten ist eines von wenigen, das Nachfrage nicht nur auf Knoten, sondern auch auf Kanten
zulässt. Dies führt zu einer genaueren Nachfrage-Funktion und so im Allgemeinen zu einer
besseren Lösung. Da die Nachfrage-Dichte auf den Kanten konstant ist, ist die hergeleitete Funktion eine stückweise lineare Funktion. Ein Modell ohne Kanten-Nachfrage hingegen hätte eine Treppenfunktion mit identischen Unstetigkeitsstellen zur Folge. Gleichung
(2) zeigt, dass in gleicher Weise eine Funktion für andere Nachfrage-Dichten auf den Kanten formuliert werden könnte. Z. B. eine lineare Verteilung der Nachfrage-Dichten auf den
Kanten hätte eine stückweise nicht-lineare Nachfrage-Funktion mit quadratischen Stücken
zur Folge. In diesem Fall würde die Erweiterung der Lösungsmenge um die lokalen Extrema zu einer optimalen Lösung führen. Der allgemeine Fall erweist sich jedoch als ungleich
schwieriger, da die stetigen Stücke der Funktion nicht-konkav sowie nicht-konvex sein
können.
7