Unscharfe Maße

Unscharfe Maße — Motivation II
Begriﬀsdeutung:
1. Ereignis A ist plausibel:
⇒ Unter der Annahme von x ∈ A sind keine Widersprüche erkennbar
⇒
“Es spricht nichts dagegen, x ∈ A anzunehmen.”
2. Ereignis A ist glaubwürdig:
⇒ Die Annahme von x ∈ A ergibt zusätzliche Konsistenzen
⇒
Unscharfe Maße
“ Es spricht etwas dafür, x ∈ A anzunehmen.”
3. Ereignis A ist wahrscheinlich:
⇒ Die statistische Untersuchung einer Fülle von Beobachtungen spricht
für die Annahme von x ∈ A.
⇒ Die statistische Untersuchung einer Fülle von Beobachtungen widerspricht der Annahme von x ∈ A nicht.
Wir werden tatsächlich feststellen, daß ein Wahrscheinlichkeitsmaß zugleich Glaubwürdigkeitsund Plausibilitätsmaß ist.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
167
Unscharfe Maße — Motivation III
Unscharfe Maße — Motivation I
Konzepte der Unschärfe:
Zusammenhang:
A ist glaubwürdig gdw. das komplementäre Ereignis A von A nicht
plausibel ist.
“Es spricht etwas für die Annahme x ∈ A gdw. etwas gegen die Annahme x ∈ A
µA : U → [0, 1] mit µA(x): Grad, zu dem x ∈ A
spricht.”
A ist plausibel gdw. das komplementäre Ereignis A von A nicht glaubwürdig
ist.
“Es spricht nichts gegen die Annahme x ∈ A gdw. nichts für die Annahme x ∈ A
2. präzise Prädikate; unvollständiges, unsicheres Wissen:
⇒ unscharfe Maße
⇒ mit Unsicherheit behaftete, präzise Aussagen
U : 2U → [0, 1] mit U(B): Unsicherheit, daß gesuchter Wert x ∈ B.
spricht.”
Bemerkung: Wenn wir unvollständiges Wissen über die Identität eines
Elementes x ∈ U geeignet formalisieren, läßt sich immer ein zugehöriges
Glaubwürdigkeits- bzw. Plausibilitätsmaß konstruieren.
Prof. Dr. Gerhard Goos
1. unpräzise Prädikate; qualitative Aussagen; qualitatives, aber vollständiges Wissen:
⇒ unscharfe Mengen
⇒ graduelle Zugehörigkeit
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
168
Plausibilität, Glaubwürdigkeit, Möglichkeit, Notwendigkeit bzw. Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses B:
Belegung von B mit einer Maßzahl U(B) ∈ [0, 1], die das Maß der Unsicherheit angibt,
daß x ∈ B gilt.
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
166
Definitionen II
Unscharfe Maße — Motivation IV
Deﬁnition: (Unscharfes Maß)
Sei M eine σ-Algebra in U. Eine Abbildung u : M → [0, 1] heißt (reguläres) unscharfes Maß auf M, falls gilt:
u(∅) = 0
u(U) = 1
(U3) ∀A, B ∈ M : A ⊆ B ⇒ u(A) ≤ u(B)
(U1)
(U2)
(U4)
{An} ⊂ M, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ,
⇒
(U5)
n
{An} ⊂ M, A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ,
⇒
n
∞
n=1
n=1
Qx : 2U → {0, 1}
(Qx ist also die charakteristische Funktion der Menge aller Teilmengen von U,
die x enthalten)
∞
An).
(3) sei nun x ∈ U nur ungefähr bekannt.
⇒ nur unscharfe Bewertung aller A ∈ 2U möglich:
(Stetigkeit von unten)
Qx : 2U → [0, 1]
An ∈ M
u(An) = u(
∞
An).
n=1
(Stetigkeit von oben)
Prof. Dr. Gerhard Goos
(2) sei ein x ∈ U gegeben. Qx gebe für jedes B ∈ 2U an, ob x in B
enthalten ist:
(Monotonie)
n=1
∞
µA : U → {0, 1}
(Grenzbedingungen)
An ∈ M
u(An) = u(
(1) charakteristische Funktion µA einer scharfen Menge A ⊂ U:
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
171
Durch das unscharfe Maß aus (3) läßt sich unser Wissen über x beschreiben.
Außerdem verdeutlicht (3), daß die folgende Deﬁnition des unscharfen
Maßes sinnvoll ist:
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Definitionen III
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
169
Definitionen I
zur Erinnerung:
Weiterhin:
• gilt (U2) nicht, so ist U nicht regulär .
• gilt (U4), aber nicht (U5), so nennt man u halbstetig bzw. nur stetig
von oben.
• gilt (U5), aber nicht (U4), so nennt man u halbstetig bzw. nur stetig
von oben.
Wir betrachten i.f. ausschließlich reguläre unscharfe Maße, i.e. Maße u
mit u(U) = 1.
Deﬁnition: (σ-Algebra)
Ein System M von Teilmengen einer nicht-leeren Menge U heißt σAlgebra in U, falls gilt:
• ∅∈M
• A ∈ M ⇒ A ∈ M
• sei (An) eine Folge von Mengen aus M
⇒
An ∈ M
n
Ist M eine σ-Algebra in U, so heißt (U, M) ein Meßraum. Die Elemente von M heißen σ-meßbare Mengen oder auch Ereignisse.
Aus der Monotonie von u folgt:
u(A ∩ B) ≤
u(A ∪ B) ≥
Bemerkung 1:
Mit A, B ∈ M gilt somit A ∈ M, A ∪ B ∈ M, A ∩ B ∈ M
[u(A), u(B)] sowie
[u(A), u(B)]
Bemerkung 2:
Die Potenzmenge 2U einer Grundmenge U ist eine σ-Algebra.
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
172
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
170
Konstruktion unscharfer Maße III
Konstruktion unscharfer Maße I
Beachte: m ist kein unscharfes Maß!
Mit
G(A) :=
m(B)
Wie läßt sich unvollständiges Wissen bzgl. der Identität eines gesuchten
Elementes x ∈ U formalisieren?
Pl(A) :=
⇒ Festlegung einer Maßbasis m:
m(B)
B∩A=∅
B⊆A
wird jedoch unserem intuitiven Verständnis von Glaubwürdigkeit und
Plausibilität Genüge getan, und es ergeben sich zwei unscharfe Maße.
Deﬁnition: (Maßbasis m)
Eine Maßbasis (body of evidence) m zu einer σ-Algebra M ist eine
Abbildung
m : M → [0, 1],
wobei m(∅) = 0 und
m(A) = 1.
[Beweis:] Übung!
Jedes Glaubwürdigkeitsmaß G bzw. Plausibilitätsmaß Pl deﬁniert umgekehrt genau eine Maßbasis m via
m(A) =
(−1)|A\B|G(B)
B⊆A
m(A) =
(−1)|A\B|(1 − Pl(B)).
B⊆A
[Beweis:] Übung!
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A∈M
Interpretation: m(A) bezeichnet den Grad des Zutrauens, den wir der
Aussage beimessen, das gesuchte x gehöre zur Menge A, aber zu keiner
der Untermengen A ∈ M, A ⊂ A.
Man “verteilt” die “Gesamtheit” des Zutrauens auf Teilmengen A ∈ M.
Beispiel: Setzen von Jetons am Roulette-Tisch.
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
175
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
173
Konstruktion unscharfer Maße II
⇒
⇒
Maßbasis m beschreibt all unser Wissen über x.
Maßbasis m läßt die Formulierung jedes beliebigen Wissensstandes
zu.
Beispiele:
völliges Unwissen:
m(U) = 1 und ∀A = U : m(A) = 0
Possibilität und Evidenz
vollständiges Wissen:
m({x}) = 1 und ∀A = {x} : m(A) = 0
Deﬁnition: (fokales Element)
Eine Menge A ∈ M heißt fokales Element von m
⇔
m(A) > 0.
Die fokalen Elemente eines Maßbasis m sind demnach die Teilmengen von U, auf die
unser Zutrauen, sie könnten x enthalten, “fokussiert” ist.
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Maße
174
Glaubwürdigkeit und Plausibilität III
Glaubwürdigkeit und Plausibilität I
Bezeichnung:
• G : M → [0, 1] heißt Glaubwürdigkeitsmaß
(belief measure) zur Maßbasis m.
• Pl : M → [0, 1] heißt Plausibilitätsmaß
(plausibility measure) zur Maßbasis m.
Mit
∀A ∈ M : G(A) =
m(B) =
B⊆A
m(B) = Pl(A)
B∩A=∅
besitzen wir ein unscharfes Maß P, das zugleich Glaubwürdigkeit und
Plausiblität ist, d.h.:
Aufgrund ihrer Konstruktion genügen G und Pl einer verschärften Monotonie-Bedingung:
G(A1 ∪ A2) ≥ G(A1) + G(A2) − G(A1 ∩ A2)
⇔
G(A1 ∩ A2) ≥ G(A1) + G(A2) − G(A1 ∪ A2)
Glaubwürdigkeit:
P(A1 ∪ A2) ≤ P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2)
Pl(A1 ∩ A2) ≤ Pl(A1) + Pl(A2) − Pl(A1 ∪ A2)
⇔
Pl(A1 ∪ A2) ≤ Pl(A1) + Pl(A2) − Pl(A1 ∩ A2)
Plausibilität:
P(A1 ∪ A2) ≥ P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2)
[Beweis:] Übung!
damit
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2).
Dualität:
falls G und Pl dieselbe Maßbasis m besitzen, gilt:
⇒ Maß P ist Wahrscheinlichkeitsmaß.
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∀A ∈ M : Pl(A) := 1 − G(A).
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
179
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Wahrscheinlichkeit I
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Glaubwürdigkeit und Plausibilität II
Deﬁnition: (Wahrscheinlichkeitsmaß auf M)
Sei M eine σ-Algebra in U. Eine Abbildung P : M → [0, 1] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf M, falls gilt:
• P(∅) = 0 und
P(U) = 1
(Grenzbedingungen)
• ∀A, B ∈ M : A ∩ B = ∅
⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(Additivität)
• für jede abzählbar unendliche Familie (Ai) paarweise fremder Mengen aus M:
P( Ai) =
P(Ai)
(Stetigkeit)
Man sieht leicht, daß ein Wahrscheinlichkeitsmaß stets ein unscharfes Maß ist:
Deﬁnition: (minimale Elemente einer σ-Algebra M)
Die minimalen Elemente Xi einer σ-Algebra M über einem Universum U werden
deﬁniert durch:
Xi, Xj = ∅ ⇒ Xi ∩ Xj = ∅
∀X ∈ M ∃i1, . . . , iX :
Xj = X .
j=i1 ,...,iX
Lemma:
Zu jeder endlichen σ-Algebra M auf einem Universum U1 existiert ein isomorphes
Universum U2:
• |U2| ≤ |U1|
∼ 2U2
• M=
etwa: U2 := Menge der minimalen Elemente von M.
⇒
Sätze auf der Potenzmenge endlicher Universen lassen sich somit stets auch auf
endliche σ-Algebren anwenden.
Sind alle fokalen Elemente einer Maßbasis m minimale Elemente von
M, so fallen Glaubwürdigkeits- und Plausibilitätsmaß zu m zusammen:
Additivität und Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes sind Verschärfungen der Mo∀A ∈ M : G(A) =
notonie und Stetigkeit unscharfer Maße.
B⊆A
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
177
180
Prof. Dr. Gerhard Goos
m(B) =
m(B) = Pl(A),
B∩A=∅
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
178
Möglichkeit und Notwendigkeit II
Wahrscheinlichkeit II
Somit gilt das folgende
Theorem:
Ein Glaubwürdigkeitsmaß G ist konsonant genau dann, wenn gilt:
∀A, B ∈ M : G(A ∩ B) =
Theorem:
Ein Maß P auf der Potenzmenge 2U eines endlichen Universums U ist ein
Wahrscheinlichkeitsmaß genau dann, wenn alle fokalen Elemente der
zugehörigen Maßbasis m Elemente von U sind: ∀u ∈ U : m({u}) = P({u})
sowie: ∀A ∈ 2U : |A| > 1 ⇒ m(A) = 0,
[G(A), G(B)]
Ein Plausibilitätsmaß Pl ist konsonant genau dann, wenn gilt:
∀A, B ∈ M : Pl(A ∪ B) =
(d.h.: die fokalen Elemente von m sind einelementig.
Beweis s. Klir & Folger 1988, S.119)
[Pl(A), Pl(B)]
Sind aber die fokalen Elemente einelementig, so gilt:
G(A) =
m(B) =
m({u})
B
⊆A
u
∈A
m(B)=
m({u})
Pl(A)=
[Beweis: (Klir & Folger 1988, S.121f.)
Man nennt derartige Glaubwürdigkeits- bzw. Plausibilitätsmaße
B∩A=∅
Notwendigkeits- bzw. Möglichkeitsmaße
(necessity and possibility measures)
Damit ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Glaubwürdigkeits- und Plausibilitätsmaß zugleich.
P(A) =
p(u) mit p(u) := m({u})
und bezeichnet sie mit N(A) bzw. Π(A).
Es handelt sich ebenfalls um zueinander duale Maße.
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
u∈A
u∈A
183
Möglichkeit und Notwendigkeit III
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
181
Möglichkeit und Notwendigkeit I
Beispiel: (Möglichkeitsmaß Π)
Sei B ⊆ U ein für sicher gehaltenes Ereignis. Damit folgt für die Maßbasis m auf
2U
Eine Maßbasis m kann sich auch dadurch auszeichnen, daß ihre fokalen
Elemente eine monotone Mengenfamilie bilden:
A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An
∀A = Ai,i=1,...,n : m(A) = 0.
m(B) = 1 und ∀B ∈ 2U, B = B : m(B ) = 0
Die fokalen Elemente von m sind somit trivialerweise monoton, B ist i.a. jedoch kein
minimales Element.
m(A 2)
m(A 3)
m(A4 )
m(A n)
m(A 1)
Somit ist das zugehörige Plausibilitätsmaß ein Möglichkeitsmaß Π:
1 wenn A ∩ B = ∅
Π(A) =
0 sonst
x1
x2
x3
x4
xn
Es gilt also beispielsweise:
Π(A ∪ A) =
[Π(A), Π(A)] = 1,
was bedeutet, daß von zwei konträren Ereignissen immer mindestens
eines vollständig möglich ist. Diese Möglichkeit hat jedoch keinen Einﬂuß auf das andere der beiden Ereignisse.
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
184
Deﬁnition: (konsonante Maße)
Wenn die fokalen Elemente einer Maßbasis m monoton sind (d.h. A1 ⊂
A2 ⊂ · · · ⊂ An), heißen die entsprechenden Maße konsonant.
(⇒ Wissen ohne Widersprüche)
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
182
Möglichkeit I
Unscharfe Maße — Übersicht
Theorem:
[Beweis: (Klir & Folger 1988, S.122f.)
Jedes Möglichkeitsmaß Π auf 2U ist durch eine Möglichkeits-Verteilung
πx
Klassiﬁkation unscharfer Maße:
Glaubwürdigkeitsmaße
πx : U → [0, 1] mit ∃u0 ∈ U : πx(u0) = 1
unscharfe Maße
eindeutig bestimmt:
∀A
∈ 2U
: Π(A) :=
πx(u)
u∈A
Notwendigkeitsmaße
Es gilt damit: πx(u) = Π({u}).
Wahrscheinlichkeitsmaße
Plausibilitätsmaße
Bemerkung: Es gibt Maße, die Notwendigkeit und Möglichkeit zugleich,
und damit auch Wahrscheinlichkeit
sind:
∃1x ∈ U : m({x}) = 1 ∧ ∀A ∈ 2U \{x} : m(A) = 0.
⇒ vollständiges Wissen, keinerlei Un-
Interpretation:
πx(u) beschreibt den Grad der Möglichkeit, daß x = u gilt.
Oder: Der Wertebereich der Variablen x wird auf U ﬂexibel eingeschränkt (elastic constraint).
⊆ U mit µ ≡ π .
Formal: x ∈ B
x
B
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
187
Möglichkeit II
m(A 2)
m(A 3)
m(A4 )
x1
m(A3 )=0.4
m(A2 )=0.3
x2
x3
x4
xn
x1
x2
x3
m(A6 )=0.1
x4
x5
m(A7 )=0.2
x6
x7
pi(x 1) =1
pi(x 1)
pi(x 3)
Vollständige
pi(x7 )=0.2
pi(x 2) =1
pi(x 2)
pi(x n)
pi(x 4)
Folge
Teilmengen Ai eines Universums
U = {x1, x2, . . . , xn}
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pi(x 6)=0.3
pi(x 3) =0.7 pi(x 4) =0.3 pi(x 5)=0.2
monotoner
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
185
Möglichkeit vs. Wahrscheinlichkeit
m(A n)
m(A 1)
Möglichkeitsmaße
sicherheit!
Möglichkeitsmaß
Π(A) =
m(B).
Π
auf
U:
Diskussion bzgl. der Maßbasis:
1. Wahrscheinlichkeit:
fokale Elemente der Maßbasis sind einelementig, Dissonanz
⇒ es liegt genaue, aber diﬀerenzierte Information vor
⇒ Eignung für objektive, sorgfältige Beobachtung physikalischer Erscheinungen (Experimente)
2. Möglichkeit:
fokale Elemente sind monoton, Konsonanz
⇒ es liegt ungenaue, aber kohärente Information vor
⇒ Eignung für subjektive Einschätzungen (Befragung)
B∩A=∅
I.a. sind Informationen natürlich weder genau noch völlig kohärent,
d.h., es liegen i.a. Glaubwürdigkeiten bzw. Plausibilitäten vor.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
188
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
186
Fehlerdiagnose II
Möglichkeit III
Aufgabe: Aus der Beobachtung von Symptomen soll auf mögliche Fehler als deren Ursache geschlossen werden.
• Menge möglicher Fehler (Ursachen)
F = {f1, f2, . . . fn}
• Menge möglicher Symptome S = {s1, s2, . . . sm}
Idee: Verbindung von positivem und negativem Wissen zur expliziten
Modellierung von Unwissen
Wissensbasis:
+ auf S beschreibt die Sicherheit, mit der Sym• unscharfe Menge R
f
ptom s auftritt, falls ausschließlich Fehler f vorliegt
− auf S beschreibt die Sicherheit, mit der Sym• unscharfe Menge R
f
ptom s nicht auftritt, falls ausschließlich Fehler f vorliegt
Beobachtung:
+ auf S beschreibt die Sicherheit, daß Symptom
• unscharfe Menge S
s beobachtet wurde
− auf S beschreibt die Sicherheit, daß Symptom
• unscharfe Menge S
s nicht beobachtet wurde
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
191
Beispiel:
Betrachte Maßbasis m von Folie 188:
m = (0, 0.3, 0.4, 0, 0, 0.1, 0.2)
Mit
π(xi) = Π({xi}) =
n
m(Ak)
k=i
folgt für die Möglichkeitsverteilung π
π = (1, 1, 0.7, 0.3, 0.3, 0.3, 0.2).
Nun läßt sich für beliebiges A ⊂ U = {x1, . . . , x7} Π(A) bestimmen, etwa:
Π({x1, . . . , xk}) =
Π({x3, x5}) =
Prof. Dr. Gerhard Goos
[π(x1), . . . , π(xk)] = 1
[π(x3), π(x5)] = 0.7
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
189
Fehlerdiagnose I
Theoretischer Hintergrund der Modellierung
+ und S
+ als Notwendigkeitsmaße auﬀassen:
• positive Aussagen R
f
µR+ (s) = NRf (s) und µS+ (s) = NS(s)
f
− und S
− als Möglichkeitsmaße auﬀassen:
• negative Aussagen R
f
µR− (s) = 1 − ΠRf (s) und µS− (s) = 1 − ΠS(s)
f
Damit gelten insbesondere
• NRf (s) > 0 ⇒ ΠRf (s) = 1 und
ΠRf (s) < 1 ⇒ NRf (s) = 0
(analog für NS,ΠS)
+ ∩ R
− = ∅ und S
+ ∩ S
− = ∅
⇒R
f
f
Bemerkung: Verschiedene Informationsquellen könnten inkonsistentes
Wissen liefern (gleichzeitiges Ausschließen und Unterstützen von Aussagen) → diese Modellierung ist dann ungeeignet (vgl. Possibilitätsund Evidenzverteilungen)
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
m(B) =
B∩{xi}=0
Fehlerdiagnose III
Prof. Dr. Gerhard Goos
192
Beispiel: Expertensystem zur unscharfen Fehlerdiagnose an Satelliten
(Cayrac, Dubois, Prade 1996). Aus Erfahrungen beim Bau des Satelliten werden Zusammenhänge zwischen Fehlern und ihren Symptomen
hergestellt. Aus diesen Zusammenhängen und tatsächlich am Satelliten
im Orbit beobachteten Symptomen soll auf mögliche Fehler geschlossen werden.
Probleme:
• Meßmöglichkeiten an Bord des Satelliten sind eingeschränkt
• oft nur indirekte Schlüsse auf Symptome möglich
• Übermittlung der Meßdaten fehlerbehaftet und evtl. unvollständig
• Wissen über Zusammenhänge zwischen Fehlern ihren Symptomen
unvollständig und unsicher
→ Verarbeitung unvollständiger, unsicherer Daten nötig
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
190
Fehlerdiagnose VI
Fehlerdiagnose IV
, B
auf einem
Die unscharfe Konsistenz zweier unscharfer Mengen A
Universum U wird gemessen mit
B)
:=
kons (A,
u∈U
{µA(u), µB(u)} .
Vorgehen: Eingrenzen der möglichen Ursachen in vier Schritten
B)
mißt, mit welchem Grad der Schnitt A
∩B
nichtleer ist. A
∩B
kons (A,
B)
leer.
ist also mit Grad 1 − kons (A,
A
Schritt 1: Bestimmung der Fehler, die den beobachteten Symptomen
nicht widersprechen (konsistente Fehler)
B
Deﬁnition: (scharfer Fall)
Ein Fehler f ∈ F ist konsistent mit den Beobachtungen S+ und S− gdw.
B)
kons (A,
−
+
S− ∩ R +
f = ∅ und S ∩ Rf = ∅ ,
Deﬁnition: (unscharfer Fall)
Der Grad der Konsistenz eines Fehlers f ∈ F mit den unscharfen Be+ und S
− wird über die unscharfe Menge F
deﬁniert:
obachtungen S
−, R
+), 1 − kons (S
+, R
−)}
{1 − kons (S
f
f
−, R
+), kons (S
+, R
−)} .
=1−
{kons (S
µF(f) :=
f
Prof. Dr. Gerhard Goos
d.h. wenn
• keines der durch f verursachten Symptome s ∈ R+
f mangels Beobachtung durch S− ausgeschlossen wird und
• keines der durch f ausgeschlossenen Symptome s ∈ R−
f beobachtet
wurde, also in S+ liegt.
f
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
195
Prof. Dr. Gerhard Goos
Fehlerdiagnose VII
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
193
Fehlerdiagnose V
Schritt 2: Bestimmung der konsistenten Fehler, die mit den Symptomen in Zusammenhang stehen (relevante Fehler)
Deﬁnition: (scharfer Fall)
Ein Fehler f ∈ F ist relevant hinsichtlich der Beobachtungen S + und
S− gdw. er konsistent ist und
S+
R+
f
−
−
S+ ∩ R +
f = ∅ oder S ∩ Rf = ∅
gilt, d.h.
• ein durch f verursachtes Symptom s ∈ R+
f tatsächlich beobachtet
+
wird, also in S liegt, oder
• ein durch f ausgeschlossenes Symptom s ∈ R−
f mangels Beobachtung durch S− ausgeschlossen wird.
S−
S−
R+
f
R−
f
S
S+
R−
f
S
Fehler konsistent mit Beobachtung
Fehler inkonsistent mit Beobachtung
Bemerkung: In der Praxis wird die zweite Bedingung (S− ∩ R−
f = ∅) u.U.
weggelassen.
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
196
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
194
Fehlerdiagnose X
Fehlerdiagnose VIII
Schritt 3: Bestimmung der konsistenten Fehler, die die beobachteten
Symptome überdecken
Deﬁnition: (scharfer Fall)
Ein Fehler f ∈ F überdeckt die Beobachtungen S+ und S− gdw. er
konsistent ist und
S+
R+
f
−
−
S+ ⊆ R +
f und S ⊆ Rf
gilt, d.h.
• jedes beobachtete Symptom s ∈ S+ durch f verursacht wird, also
s ∈ R+
f , und
• jedes nicht beobachtete Symptom s ∈ S− durch f ausgeschlossen
wird, also s ∈ R−
f.
S+
S−
R−
f
R+
f
R−
f
S
S
relevanter Fehler:
einige der durch R+
f vorhergesagten Symptome wurden tatsächlich beobachtet
S−
konsistenter nicht relevanter Fehler:
−
keiner der durch R+
f oder Rf vorhergesagten Eﬀekte wurde beobachtet
Bemerkung: In der Praxis wird die zweite Bedingung (S− ⊆ R−
f ) u.U.
weggelassen.
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
199
Prof. Dr. Gerhard Goos
Fehlerdiagnose XI
S+
R+
f
R−
f
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
197
Fehlerdiagnose IX
S−
Deﬁnition: (unscharfer Fall)
Der Grad der Relevanz eines Fehlers f ∈ F bzgl. der unscharfen Beob+ und S
− wird über die unscharfe Menge F
∗ deﬁniert:
achtungen S
S
−
überdeckende Fehler: die Vorhersagen R+
f und Rf überdecken die zugehörigen Beob-
achtungen S+ und S− .
Deﬁnition: (unscharfer Fall)
Der Grad der Überdeckung eines Fehlers f ∈ F der unscharfen Beob+ und S
− wird über die unscharfe Menge F
∗∗ deﬁniert:
achtungen S
µF∗∗ (f) :=
µF∗ (f) :=
{µF(f),
+, S
+), kons (R
−, S
−)}}
{kons (R
f
f
+), inkl (S
−, R
−)} .
{µF(f), inkl (S+, R
f
f
mit einem Maß inkl für den Wahrheitsgehalt der unscharfen Inklusion
zweier Mengen.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
200
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
198
Fehlerdiagnose XIV
Fehlerdiagnose XII
Schritt 4: Bestimmung der überdeckenden Fehler, deren vorhergesagte
Symptome alle beobachtet werden (hinreichende Fehler)
Deﬁnition: (scharfer Fall)
Ein Fehler f ∈ F heißt hinreichend bzgl. der Beobachtungen S + und S−
gdw. er konsistent ist und
−
−
S+ = R+
f und S = Rf
gilt, d.h.
• die beobachteten Symptome s ∈ S+ mit den durch f verursachten
Symptomen s ∈ R+
f identisch sind und
• die nicht beobachteten Symptome s ∈ S− mit den durch f ausgeschlossenen Symptomen s ∈ R−
f übereinstimmen.
Bemerkung:
• In der Praxis wird die zweite Bedingung (S− ⊆ R−
f ) u.U. weggelassen.
• Dieser 4. Schritt wird in der Praxis ausgelassen, falls die Forderung
nach Gleichheit der Mengen wegen der Unsicherheit und Unvollständigkeit des Wissen zu stark ist.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
203
⊆
auf Universum U wird
B
Maß für den Grad der unscharfen Inklusion A
aus dem Wahrheitsgehalt I(A ⊆ B) des scharfen Falls abgeleitet:
I(A ⊆ B) = I(∀u ∈ U [u ∈ A ⇒ u ∈ B])
[u ∈ A ⇒ u ∈ B]) .
= I(
u∈U
unscharfe Modellierung:
= µ (u), analog für B
• unscharfe Zugehörigkeiten I(u ∈ A)
A
• Gödelrelation als unscharfe Implikation:
I(a⇒b)
= aαb
Prof. Dr. Gerhard Goos
Fehlerdiagnose XV
Deﬁnition: Der Grad der Inklusion, mit dem eine unscharfe Menge A
enthalten ist, wird gemessen durch die Funktion
in der Menge B
B)
:=
inkl (A,
→ bessere Ergebnisse als mit vorhandenem klassischen Expertensystem
Bemerkungen zum praktischen Vorgehen:
• Als Zugehörigkeitswerte werden statt [0, 1] meist nur Ordinalskalen
wie {sicher, ziemlich sicher, möglicherweise, denkbar, keine Anzeichen dafür} benutzt
• Wegen der Unsicherheit und Unvollständigkeit des Wissens könnte
der tatsächliche Fehler in den Schritten 2-4 verloren gehen. Eine
sichere Aussage liefert nur Schritt 1.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
201
Fehlerdiagnose XIII
Ergebnis:
• natürliche Modellierung unscharfen Wissens
• mächtiger als binäre Logik
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
204
u∈U
{µA(u) α µB(u)} .
α
A
B
B
A
, inkl (A
B)
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Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
202
Possibilitäts-Theorie III
Possibilitäts-Theorie I
Possibilitätsmaß = Möglichkeitsmaß
Possibilitätsverteilung = Möglichkeitsverteilung
Eine Possibilitätsverteilung πx stellt eine elastische Beschränkung
(elastic constraint, (Zadeh)) des Wertebereiches der Variablen x dar:
πx beschränkt x.
Possibilitätstheorie: Formalismus zur Verarbeitung unsicheren Wissens.
Deuten wir die unscharfen Prädikate des unscharfen Schließens
Deﬁnition: (Possibilitätsverteilung)
Sei U das Universum der Variablen x. Eine Possibilitätsverteilung der
unscharfen Variablen x ist eine Funktion
x is A
als elastische Beschränkungen πx
πx : U → [0, 1].
:⇔ π :≡ µ ,
x is A
x
A
ist die Menge der für
ergibt sich eine intuitive und einfache Semantik: A
x möglichen Werte, d.h. der Werte, die nicht ausgeschlossen werden
können.
Die Regel
πx(u) gibt den Grad der Möglichkeit an, daß x = u.
πx(u) = 0
πx(u) = 1
⇔
⇔
x = u ist unmöglich.
x = u ist uneingeschränkt möglich.
Mit der Normalisierungsbedingung ist immer zumindest ein u ∈ U
uneingeschränkt möglich:
THEN y is B
IF x is A
bedeutet dann:
die Menge der für x möglichen Werte ist,
“Falls A
möglich.”
so sind für y die Werte aus B
∃u ∈ U : πx(u ) = 1.
Dies ist eine Folge der closed world assumption: Wenn x ∈ U, dann muß ein solches
⇒ possibilistisches Schließen
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
u existieren.
207
Prof. Dr. Gerhard Goos
Possibilitäts-Theorie IV
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
205
Possibilitäts-Theorie II
Deﬁnition: (Spezifität)
Seien πx, πx Possibilitätsverteilungen von x. πx heißt mindestens so
spezifisch wie πx gdw.
∀u ∈ U : πx(u) ≤ πx (u).
Beispiele:
“Peters Körpergröße x beträgt
etwa 175cm”
“Peters Körpergröße x ist völlig
unbekannt”
Kombination von Possibilitätsverteilungen:
• Semantik: ausgehend von Unwissen schränkt neue Information die
für x möglichen Werte weiter ein ⇒ negative Information: Ausschluß von Fakten
175
x
x
175
“Peter ist 175cm groß.”
• verschiedene Informationsquellen ergänzen sich
• suche die am meisten speziﬁsche Information, die aus der Wissensbasis ableitbar ist
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
208
175
Prof. Dr. Gerhard Goos
x
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
206
Possibilitäts-Theorie VII
Possibilitäts-Theorie V
Beispiel: Heidi und Ehemann Peter suchen in ihrem Garten nach einer
Quelle unglaublichen Gestanks. Heidi riecht im linken Teil, Peter rechts.
Beispiel: mobiler Roboter erstellt unsichere Karte der Umgebung
1
Peter
Heidi
• Position unsicher
• unsichere Sensordaten der Umgebung
• aktuelle Karte unsicher
→ Kombination der Informationen in einer neuen Information (Zugewinn an Wissen)
0
Peter
Heidi
Ort
Frage: Wie wird Wissen aus verschiedenen Quellen vereinigt?
Möglichkeit, daß sich Quelle an der Stelle u beﬁndet: πHeidi
(u) und
x
Peter
πx
(u).
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
211
Prof. Dr. Gerhard Goos
Possibilitäts-Theorie VIII
Possibilistisches Schließen = Sammeln und Zusammenfassen von possibilistischem Wissen, Extraktion von gesuchtem Teilwissen
Hier: Kombination von Possibilitätsverteilungen kann eindeutig als maxmin-Komposition identiﬁziert werden.
π1x, π2x
aus π1x und π2x ableitbare Verteilung πx
Aber: keine Kombination von Maßen bekannt, so daß das Diagramm
kommutiert!
Axiom p1:
∀u ∈ U : πx(u) ≤ π1x(u) ∧ πx(u) ≤ π2x(u)
⇒
⇒
209
Possibilitäts-Theorie VI
Kombination:
geg.:
ges.:
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Mit πx werden π1x und π2x redundant.
Gilt ∀u ∈ U : πx(u) < 1, so deutet dies auf Inkonsistenzen in π1x
und/oder π2x hin (⇒ unzuverlässige Quellen oder Verletzung der
closed world assumption, s. Beispiel)
?
Maße  Π1, Π2 −−−−−−−−−−→ Π


Verteil.
Implizite Annahme: x ist zeitinvariant
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie



π1, π2 −−−−−−−−−−→ π
Kombination
⇒ Zusammenfassen von Wissen auf der Basis von Verteilungen anstatt
Maßen
212
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
210
Possibilitäts-Theorie XI
Possibilitäts-Theorie IX
Beispiel:
• πK beschränke Peters Körpergröße:
πK(k) gibt den Grad der Möglichkeit an, daß Peter k cm groß ist.
Prinzip minimaler Spezifität (PmS): πx darf keine zusätzliche Information unterstellen, d.h. unzulässig speziﬁsch sein:
• analog beschränke πG Peters Gewicht:
πG(g) gibt den Grad der Möglichkeit an, daß Peter g kg wiegt.
• gesucht ist eine Aussage der Form:
“Peter ist k cm groß und wiegt g kg.”
• die Möglichkeit der Gesamtaussage kann die der Einzelaussagen
nicht übersteigen:
πK,G(k, g) ≤
Anwendung auf Axiom p1:
{πK(k), πG(g)}.
Prof. Dr. Gerhard Goos
{πK(k), πG(g)}.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
215
Prof. Dr. Gerhard Goos
Possibilitäts-Theorie XII
213
Gemeinsame Possibilitätsverteilungen:
Deﬁnition: (gemeinsame Possibilitätsverteilung)
Seien U und V die Universen der Variablen x und y. Eine gemeinsame Possibilitätsverteilung der zusammengesetzten unscharfen Variablen (x, y) ist eine Funktion
Verteilung πx auf U
ableitbare Verteilung πx,y für die zusammengesetzte Variable (x, y) aus U × V
πx,y : U × V → [0, 1].
πx,y(u, v) gibt den Grad der Möglichkeit an, daß
(x, y) = (u, v), d.h., daß x = u und y = v.
Der Wert von y ist völlig unbekannt: πy ≡ 1
{πx(u), 1}
⇒ ∀(u, v) ∈ U × V : πx,y(u, v) =
= πx(u)
Deﬁnition: (zylindrische Erweiterung)
Sei πx eine Possibilitätsverteilung auf U. Dann heißt die Possibilitätsverteilung [πx ↑ U × V ] mit
∀(u, v) ∈ U × V :
∀(u, v) ∈ U × V :
πx,y(u, v) ≤ πx(u)
πx,y(u, v) ≤ πy(v)
∀(u, v) ∈ U × V : πx,y(u, v) :=
zylindrische Erweiterung von πx auf U × V.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Kombination:
geg.: unscharfe Variablen x ∈ U und y ∈ V
mit Verteilungen πx und πy
ges.: gemeins. Verteilg. πx,y : U × V → [0, 1],
die πx und πy gerecht wird.
Axiom p2:
Anwendung des PmS:
∀(u, v) ∈ U × V : [πx ↑ U × V ](u, v) := πx(u)
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Possibilitäts-Theorie X
zylindrische Erweiterung:
geg.:
ges.:
{π1x(u), π2x(u)}
∀u ∈ U : πx(u) :=
• ohne Zusatzinformation gilt mit PmS:
πK,G(k, g) =
“More generally, when the available information stems from several
sources that can be considered as reliable, the possibility distribution
that accounts for it is the least speciﬁc possibility distribution that
satisﬁes the set of constraints induced by the pieces of information
given by the diﬀerent sources.” ( Dubois&Prade)
216
Prof. Dr. Gerhard Goos
{πx(u), πy(v)}.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
214
Possibilitäts-Theorie XV
Possibilitäts-Theorie XIII
Beispiel:
• πK,G(k, g) beschreibe den Grad der Möglichkeit, daß ein Mensch k
cm groß ist und g kg wiegt.
• Wie schwer können demnach Menschen sein?
⇒
Prof. Dr. Gerhard Goos
k∈K
• Peters Gewicht G sei uns unbekannt.
• unsere Gesamtaussage der Form
“Peter ist k cm groß und wiegt g kg.”
darf somit Peters Gewicht nicht einschränken:
Projektion von πK,G auf das Universum G der Gewichte:
[πK,G ↓ G ](g) =
Beispiel:
• πK beschränke wiederum Peters Körpergröße K.
{πK,G(k, g)}.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
πK,G(k, g) =
219
Prof. Dr. Gerhard Goos
Possibilitäts-Theorie XVI
{πK(k), 1} = πK(k).
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
217
Possibilitäts-Theorie XIV
Projektion:
geg.:
ges.:
Beispiel:
gemeinsame Verteilung πx,y auf U × V
ableitbare Verteilung πx für Variable x
• πx,y(u, v) gibt den Grad der Möglichkeit an, daß x = u und y = v.
• πK,G(k, g) beschreibe den Grad der Möglichkeit, daß Peter k cm
groß ist und g kg wiegt.
• πG,B(g, l) beschreibe den Grad der Möglichkeit, daß Peter g kg wiegt
und l Liter Bier am Abend trinkt.
Frage: Was kann daraus für πK,G,B, πG, πK,B usw. geschlossen werden?
Die Axiome p1 und p2 liefern keine Antwort!
• da πx die Variable y nicht einschränkt, darf y (im Rahmen von πx,y)
beliebig sein.
Mit dem PmS folgt
∀u ∈ U : πx(u) :=
v∈V
{πx,y(u, v)}.
Deﬁnition: (Projektion)
Sei πx,y eine Possibilitätsverteilung auf U × V. Dann heißt die Possibilitätsverteilung [πx,y ↓ U] mit
∀u ∈ U : [πx,y ↓ U](u) :=
v∈V
{πx,y(u, v)}
Projektion von πx,y auf U.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
220
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
218
Possibilitäts-Theorie XIX
Possibilitäts-Theorie XVII
Beispiel:
• πK,G(k, g) beschreibe wiederum den Grad der Möglichkeit, daß ein
Mensch k cm groß ist und g kg wiegt.
• Peters Körpergröße sei durch πK speziﬁziert.
• Was läßt sich nun über Peters Gewicht sagen?
Theorem: Seien U := U1 × U2 × · · · Un n-dimensionales Produktuniversum, π1, . . . πm Verteilungen auf Unterräumen Vi = Xi∈J ⊆{1,2,...n} Ui von
i
U. Dann ist die auf einem Unterraum V von U deﬁnierte Verteilung π
mit
π(v) =
u∈U\V i∈{1,2,...m}
{[πi ↑ U](u, v)}
Vorgehen:
die am meisten speziﬁsche Verteilung auf V, die aus den gegebenen
Verteilungen ableitbar ist.
(1) Kombination aller Information auf kleinstem gemeinsamen Universum (Vereinigung):
destens so speziﬁsch wie jedes πi.
∀(k, g) ∈ UK × UG : πK,G
(k, g) :=
Idee: Leite aus π1, . . . πm speziﬁschere Verteilungen ab. Benutze diese zur Berech-
{πK(k), πK,G(k, g)}.
nung von π.
(2) Projektion auf interessierendes Universum:
Anschaulich: Erfüllung der notwendigen Bedingung bedeutet nur, daß der gezogene
∀g ∈ UG : πG(g) := [πK,G
↓ UG](g)
(k, g)}
{πK,G
=
k∈U
=
Prof. Dr. Gerhard Goos
K
k∈UK
{
Schluß jeder einzelnen Information nicht widerspricht. Vorherige Kombination der
Informationen aber läßt präzisere Schlüsse zu.
{πK(k), πK,G(k, g)}}.
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Beweisskizze: Verallgemeinerung des Begriﬀes Speziﬁtät. Notwendige Bed.: π min-
Das Verfahren heißt
Prinzip von Kombination/Projektion
223
Possibilitäts-Theorie XX
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
221
Possibilitäts-Theorie XVIII
Anwendungen des Prinzips:
1. Gewinnung von Wissen als Lernvorgang
• Sammeln und Zusammenfassen von Informationen
Beispiele:
• Diagnosestellung:
Sammle Informationen über ein Krankheitsbild bei verschiedenen
Ärzten. Zugewinn von Wissen verfeinert die Gesamtinformation.
• adaptive Regler (spätere Vorlesung)
2. regelbasiertes possibilistisches Schließen:
- Aufstellen einer festen Regelbasis
- variable Prämissen als Eingabe
- Propagieren durch die Regelbasis
- Ausgabe von Konklusionen
Beispiel: klassische unscharfe Regler
Wir erhalten wieder die max-min-Komposition!
Unscharfe Mengen: Kompatibilität zu Komposition von scharfen Relationen als Motivation für max-min. War die Wahl wirklich eindeutig?
(betrachte max-Produkt-Komposition als Alternative)
Möglichkeitsverteilungen: Einfache, intuitive Semantik als Modellierung unsicherer Informationen führt zu eindeutiger Wahl der max-minKomposition!
In der Anwendung Mischformen von 1 und 2 (z.B. lernende Regler)
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
224
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
222
Evidenztheorie I
Possibilistische Regelwerke I
Beispiel: Quelle üblen Geruchs
Erinnerung: natürlichsprachliche Regeln
1
Peter
THEN y is B
,
IF x is A
i
i
Heidi
deren Prädikate mit Hilfe unscharfer Mengen beschrieben sind, d.h.
→B
]
[A
i
i
0
Ort
Possibilitätsverteilung: Keine Möglichkeit, zu erkennen, ob Ort mit hohem Möglichkeitsgrad die Quelle enthält (positive Argumente) oder
einfach nicht besucht wurde (Unwissen).
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
227
Evidenztheorie II
(i = 1, . . . , n).
Possibilistische Interpretation von Prädikaten:
” als π ≡ µ . Auf diese Weise schränkt A
die Variable
Deute “x is A
x
i
Ai
i
x ﬂexibel ein.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
225
Possibilistische Regelwerke II
Wahl der Inferenzrelation πR(x,y)
Idee: Ein Typ von Information, der Aussagen bei Vorhandensein von
Wissen unterstützt.
Deﬁnition: (Evidenzverteilung)
Sei x unscharfe Variable auf einem Universum U. Eine Evidenzverteilung
von x ist eine Funktion
σx : U → [0, 1].
Mindestanforderung:
πx ≡ µAi ⇒ πy ≡ µBi ,
wobei πy = πx ◦ πR(x,y).
Lösung ist bekannt! (vgl. unscharfe Relationengleichungen)
Falls eine Lösung existiert, so schreibt das PmS die Wahl der größten
Lösung — der Gödelrelation — vor:
σx(u) gibt den Grad der Unterstützung der Aussage x = u an.
σx(u) = 0
⇔
x = u wird nicht gestützt.
σx(u) = 1
⇔
x = u wird uneingeschränkt unterstützt.
R(x,
y) :=
n
αB
)
(A
i
i
i=1
∀(u, v) ∈ Ux × Uy : πR(x,y) (u, v) =
1,
falls µAi (u) ≤ µBi (v)
.
=
µBi (v), falls µAi (u) > µBi (v)
i=1,...,n
Völliges Unwissen über x: σx ≡ 0.
⇒ Die possibilistische Inferenzrelation ist eindeutig festgelegt.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
228
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
226
Evidenztheorie V
Evidenztheorie III
In der Possibilitätstheorie werden Verteilungen durch Hinzunahme von
Wissen speziﬁscher (kleiner). Im Gegensatz dazu werden in der Evidenztheorie positive Argumente gesammelt, die Verteilungen werden
kompletter (wachsen).
Allgemeine Kombination von Evidenzverteilungen:
geg.: σx, σx,y
ges.: ableitbare Verteilung σy
Mit ähnlicher Argumentation wie in der Possibilitätstheorie erhält man
den wegen des PmK eindeutigen Kombinationsmechanismus
∀v ∈ Uy : σy(v) =
u∈Ux
σx(u) ≥ σx‘(u) .
{σx(u), σx,y(u, v)}
kurz: σy = σx ◦ σx,y
Analog zum PmS wird in der Evidenztheorie die Gültigkeit des Prinzips
der minimalen Komplettierung (PmK) angenommen:
Trotz unterschiedlicher Semantik liefern Possibilitäts- und Evidenztheorie denselben Mechanismus zur Kombination von Verteilungen!
Prof. Dr. Gerhard Goos
Deﬁnition: (komplett)
Eine Evidenzverteilung σx einer unscharfen Variablen x auf dem Universum U heißt genau dann mindestens so komplett wie σx‘, wenn für
alle u ∈ U
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
231
Evidenzverteilungen sollten zwar immer so komplett wie möglich angegeben werden, aber nie kompletter, als es das vorhandene Wissen
erlaubt.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Evidenztheorie VI
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
229
Evidenztheorie IV
Kombination von Evidenzverteilungen:
geg.: σ1x, σ2x
ges.: aus σ1x und σ2x ableitbare Verteilung σx
Bedeutung
Bedeutung
Grenzfall
Bedeutung
Grenzfall
Unwissen
Aggregation I
Aggregation II
Possibilitätsverteilung
πx(u) ist Grad der
Möglichkeit, daß x = u
πx(u) = 0
x = u unmöglich
πx(u) = 1
x = u uneingeschränkt möglich
πx ≡ 1
π1x, π2x gegeben
⇒ πx ≤
{π1x, π2x}
πx, πy gegeben
⇒ πx,y ≤
{πx, πy}
Evidenzverteilung
σx(u) ist Grad der
Unterstützung, daß x = u
σx(u) = 0
x = u nicht unterstützt
σx(u) = 1
x = u uneingeschr. unterstützt
σx ≡ 0
σ1x, σ2x gegeben
⇒ σx ≥
{σ1x, σ2x}
σx, σy gegeben
⇒ σx,y ≥
{σx, σy}
Axiom e1:
∀u ∈ U : σx(u) ≥ σ1x(u) ∧ σx(u) ≥ σ2x(u)
mit PmK: σx(u) =
{σ1x(u), σ2x(u)}
geg.: σx, σy
ges.: aus σx und σy ableitbare gemeinsame Verteilung σx,y
Axiom e2: ∀(u, v) ∈ U × V
σx,y(u, v) ≥ σx(u) ∨ σx,y(u, v) ≥ σy(v)
mit PmK: σx,y(u, v) =
{σx(u), σy(v)}
⇒ Kein duales Konzept zu Possibilitätsverteilungen (sonst max in Axiom e2)!
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
232
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
230
Evidenzgestützte Regelwerke II
Possibilität und Evidenz I
Entstehen durch Kombination nicht normalisierte Möglichkeitsverteilungen, so weist dies auf inkonsistentes Wissen hin.
Beschränkung auf eine Regel:
und B
die Regel
Frage: Wie muß bei vorgegebenen A
σR(x,y) gewählt
⇒ An Möglichkeitsverteilungen kann der Grad der Konsistenz des Wissens abgelesen werden:
werden?
◦R
=B
.
Gesucht ist wieder eine Lösung der Relationengleichung A
πx ist *-konsistent :⇔ H(πx) = *
Das PmK schreibt als Wahl die kleinste Lösung der Gleichung vor.
Entstehen durch Kombination nicht normalisierte Evidenzverteilungen,
so weist dies auf unvollständiges Wissen hin.
Wiederholung: Es existieren im allgemeinen nur verschiedene minimale
Lösungen, die bzgl. ihrer Komplettheit nicht vergleichbar sind.
⇒ An Evidenzverteilungen kann der Grad der Vollständigkeit des Wissens abgelesen werden:
σx ist *-vollständig :⇔ H(σx) = *
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
235
Evidenzgestützte Regelwerke III
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
233
Evidenzgestützte Regelwerke I
Modellierung natürlichsprachlicher Regeln in der Evidenztheorie:
Beobachtung: Wenn σy die Unterstützung von Werten für y darstellt,
dann ist diese Aussage auch für alle σy richtig, die höchstens so komplett sind wie σy:
σy ⇒ σy , falls ∀v ∈ V
THEN y is B
,
IF x is A
i
i
deren Prädikate mit Hilfe unscharfer Mengen beschrieben sind, d.h.
→B
]
[A
i
i
σy (v) ≤ σy(v) .
Folge: Die Regel σx ⇒ σy enthält implizit die Regel σx ⇒ σy für alle
σy , die höchstens so komplett sind wie σy.
◦R
=
Die gesuchte Relation σR(x,y) muß damit auch alle Gleichungen A
für alle B
⊆ B
lösen.
B
(i = 1, . . . , n).
Evidenzgestützte Interpretation von x is A
i
als σx ≡ µAi
Folge: Modellierung der Regeln durch
σx ≡ µAi ⇒ σy ≡ µBi ,
wobei σy = σx ◦ σR(x,y).
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
236
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
234
Herleitung Minimum-Relation III
Herleitung Minimum-Relation I
◦R
=B
für R
Beispiele für minimale Lösungen von A
1
Ableitung der Minimum-Relation aus Relationengleichung:
aller Gleichungen
Satz: Die Vereinigung aller minimalen Lösungen für R
und B
. Sie löst
A ◦ R = B mit B ⊆ B ist die Minimum-Relation Rc aus A
◦R
=B
lösbar ist und ist dann auch minimal.
alle Gleichungen, wenn A
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0
2
2
4
4
10
x
10
x
8
6
8
6
6
y
4
8
6
4
8
2
10
y
2
10
0
Prof. Dr. Gerhard Goos
0
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Bedeutung: Wegen der Maximalitäts- und Minimalitätseigenschaft von
Gödel-Relation und Minimum-Relation werden diese in Possibilitätsund Evidenztheorie eindeutig als Inferenzrelationen für negative und
positive Regeln identiﬁziert.
239
Prof. Dr. Gerhard Goos
Herleitung Minimum-Relation IV
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
237
Herleitung Minimum-Relation II
Vereinigung der minimalen Lösungen für R
◦R
=B
von A
, B
Gegeben: Unscharfe Mengen A
A
B
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
10
x
8
6
6
4
8
y
2
10
Prof. Dr. Gerhard Goos
00
2
4
6
8
10
00
2
4
6
8
10
0
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
240
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
238
Herleitung Minimum-Relation VII
Herleitung Minimum-Relation V
, die alle Gleichungen A
◦R
= B
mit B
⊆ B
Die minimale Relation R
löst, ist die Vereinigung der Vereinigungen der minimalen Lösungen
jeder einzelnen obiger Gleichungen. Es gilt
µR(u, v) =
Vereinigung der minimalen Lösungen für R
von A ◦ R = B , wobei B ⊆ B
{µA(u), µB(v)} .
B’
1
0.8
1
0.8
0.6
1
0.4
0.6
0.8
0.2
0.6
0
0
0.4
0.4
0.2
2
0
0
4
10
x
2
8
6
0.2
6
4
8
4
10
x
10
6
4
8
y
2
8
6
00
2
4
6
8
0
10
y
2
10
Prof. Dr. Gerhard Goos
0
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
243
Prof. Dr. Gerhard Goos
Evidenzgestützte Regelwerke IV
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
241
Herleitung Minimum-Relation VI
Ergebnis:
∀(u, v) ∈ Ux × Uy : σR(x,y)(u, v) :=
von A
◦R
=B
, wobei B
⊆ B
Vereinigung der minimalen Lösungen für R
{µA(u), µB(v)}
B’
ist die kompletteste Lösung des Gleichungssystems
◦R
=B
A
für alle
1
⊆ B
,
B
0.8
1
0.8
0.6
die ohne Zusatzinformation abgeleitet werden darf.
0.4
0.6
0.2
0
0
Mehrere Regeln:
Sei σRi (u, v) :=
{µAi (u), µBi (v)} die Relation für die i-te Regel. Jede
Konsequenz σyi = σx ◦ σRi stellt eine gültige Information für y dar. Nach
Axiom e1 und PmK werden sie also kombiniert:
∀v ∈ Uy : σy(v) =
Prof. Dr. Gerhard Goos
i∈{1,2,...n}
0.4
2
4
10
x
8
6
0.2
6
4
8
y
2
10
00
2
4
6
8
0
10
{σyi (v)}
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
244
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
242
Unscharfes Schließen I
Evidenzgestützte Regelwerke V
Unscharfes Schließen: Konstruktion von Schlußfolgerungen aus unscharfen Wissensbasen, z.B. unscharfen Regelsystemen. Scharfes Schließen
als Spezialfall berücksichtigen!
THEN y is B
Regel
IF x is A
speziﬁziert Relation R[A→B] im Produktraum U × V.
Dabei sind x, y linguistische Variable, die
B
annehmen können.
linguistische Werte A,
Dies ist identisch mit [Übung]
∀(u, v) ∈ Ux × Uy : σR(u, v) :=
σy =
3 Betrachtungsebenen:
1. syntaktische Ebene:
Anwendung der Max-Min-Komposition auf R
[A→B] liefert zu Eingabe aus U eine Ausgabe aus V (und umgekehrt).
2. semantische Ebene:
Auf der syntaktischen Ebene berechnete Ergebnisse entsprechen
der Erwartung des Entwerfers.
i∈{1,2,...n}
σx ◦ σ R
{σRi (u, v)}
Anschaulich: Es macht keinen Unterschied, ob jede Regel einzeln angewendet und das Ergebnis kombiniert wird oder ob die Regeln zu einer
Metaregel kombiniert und diese angewendet wird.
Auf diese Weise wird der populäre Mamdani-Regler (s. spätere Vorlesung) auf das theoretische Fundament der Evidenztheorie gestellt.
3. Meta-Ebene:
Anwendung des Modus Ponens bzw.
Modus Tollens
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
247
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: Possibilitätstheorie
Unscharfes Schließen II
Semantik von Regeln der Form ”Wenn .. dann ..”
Beispiele für mögliche Schlußfolgerungen:
Falls eine Tomate rot ist, so ist sie reif.
Diese Tomate ist sehr rot.
Diese Tomate ist sehr reif.
Falls eine Tomate rot ist, so ist sie reif.
Diese Tomate ist nicht rot.
Unscharfes Schließen
Diese Tomate ist nicht reif.
Falls ich eine Erkältung habe, bin ich krank.
Ich bin nicht erkältet.
Ich bin krank oder ich bin gesund.
⇒ Erwartungen an Inferenz nicht eindeutig.
⇒ Erwartungen an Inferenz kontextabhängig.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
248
245
Unscharfes Schließen III
Übersicht Inferenz-Relationen I
gegeben:
mit µA : U → [0, 1] und B
mit µB : V → [0, 1]
A
Inferenz-Relationen:
: Minimum-Relation:
R
c
(Mamdani)
:= [A
↑ U × V ] ∩ [B
↑ U × V]
R
c
µRc (u, v) :=
THEN v is B
IF u is A
u is A
[µA(u), µB(v)]
(t-Norm: Minimum.)
: Produkt-Relation:
R
p
(Larsen)
:= [A
↑ U × V ] ∩ [B
↑ U × V]
R
p
(t-Norm: Produkt.)
(Zadeh)
:= [A
↑ U × V ] ∪ [B
↑ U × V]
R
a
µRa (u, v) :=
THEN v is B
IF u is A
v is B
u is A
[1, 1 − µA(u) + µB(v)]
[1, x + y].)
(co-t-Norm: begrenzte Summe
Prof. Dr. Gerhard Goos
v is B
Verallgemeinerter Modus Tollens (GMT):
µRp (u, v) := µA(u) · µB(v)
: arithmetische Relation:
R
a
Verallgemeinerter Modus Ponens (GMP):
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
251
Prof. Dr. Gerhard Goos
249
Unscharfes Schließen IV
Übersicht Inferenz-Relationen II
: boolesche Relation:
R
b
Realisiert man GMP bzw. GMT durch die allgemeinere
:= [A
↑ U × V ] ∪ [B
↑ U × V]
R
b
µRb (u, v) :=
compositional rule of inference (CRI)
[1 − µA(u), µB(v)]
mit geeigneter Inferenz-Relation R
[A→B] , so bestimmt R[A→B] die Eigenschaften der Regelauswertung.
(co-t-Norm: Maximum.)
: Standard-Relation:
R
s
:= [A
↑ U × V ] → [B
↑ U × V]
R
s
1 falls µA(u) ≤ µB(v)
µRs (u, v) :=
0 falls µA(u) > µB(v)
Wiederholung der CRI:
[A→B] und u hat den Wert A
. Was kann dann über
u und v stehen in der Beziehung R
v ausgesagt werden?
: Gödel-Relation:
R
G
R
G
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
:=
[A
µRG (u, v) :=
↑ U × V] →
1
µB(v)
[B
(u, v) is R
[A→B]
u is A
↑ U × V]
falls µA(u) ≤ µB(v)
falls µA(u) > µB(v)
= A
◦R
v is B
B]
[A→
mit der max-min oder max-t-Komposition ◦.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
252
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
250
Unscharfes Schließen VII
Unscharfes Schließen V
Ausgezeichnete Inferenz-Relationen:
Beispiel:
=A
αB
Gödelrelation R
G
◦R
• ist die größte Lösung von A
B]
= B, falls eine Lösung existiert.
[A→
Wenn die Tomate rot ist, dann ist sie reif.
Die Tomate ist rot.
• stellt als Implikation negatives Wissen über R
B]
dar.
[A→
Betrachte modus ponens mit klassischer Implikation a → b:
– a → b (“wenn a wahr, dann nur b möglich”)
– ¬a → b ∨ ¬b (“wenn a falsch, dann ist für b alles möglich”)
⇒ negative Interpretation als Ausschluß von ¬b unter der Vorbedingung a
Die Tomate ist reif.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
und Produkt-Relation R
Minimum-Relation R
c
p
• stellen als Konjunktionen (t-Normen) positives Wissen über R
B]
[A→
dar.
Betrachte modus ponens mit klassischer Konjunktion a ∧ b:
– a → b (“wenn a wahr, dann nur b möglich”)
– ¬a erlaubt für b keinen gültigen Schluß
⇒ positive Interpretation als Unterstützung von b unter der Vorbedingung a
20
rot 10
10
reif
20 0
Äquivalenz, Gödel-Relation in beide Richtungen
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
255
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfes Schließen VIII
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
253
Unscharfes Schließen VI
Beispiel:
Beispiel:
Wenn x ungefähr 8, dann y ungefähr 14.
x ist ungefähr 8.
Wenn der Himmel wenig bewölkt ist, regnet
es nicht.
Es regnet nicht.
y ist ungefähr 14.
Der Grad der Bewölkung ist beliebig.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
8
ungefaehr 8
20 0
5
15
10
ungefaehr 14
20
0 20
Unscharfe Abbildung oder Konjunktion, Minimum-Relation
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
2
wenig bewoelkt 10
10
regnet nicht
Implikation, Gödel-Relation
256
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
254
Einfache Regelanwendung III
Einfache Regelanwendung I
Darstellung der unscharfen Eingabe A
Wir betrachten im folgenden drei Fälle anhand eines Beispiels:
).
1. allgemeines Vorgehen am Beispiel der Minimum-Relation (R
c
2. vereinfachtes Vorgehen nach Umformung (nur möglich bei Minimum ).
Relation und Produkt-Relation R
p
ein
3. Fall 2. mit der zusätzlichen Einschränkung, daß die Eingabe A
scharfer Wert ist.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0
2
2
4
4
u
6
6
8
v
8
10
Prof. Dr. Gerhard Goos
10
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
259
Prof. Dr. Gerhard Goos
Einfache Regelanwendung IV
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
257
Einfache Regelanwendung II
zur Regel [A
→ B]
:
Minimum-Relation R
c
µR(u, v) =
[µA(u), µB(v)]:
1. allgemeiner Ansatz: Darstellung der beiden unscharfen Mengen A
aus Regel [A
→ B]
in U × V × [0, 1].
und B
Praemisse A und Konsequenz B
Minimum-Relation
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0
0
4
4
4
u
6
6
0
2
2
2
2
4
u
v
6
6
8
v
8
8
8
10
10
10 10
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
260
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
258
Einfache Regelanwendung VII
Einfache Regelanwendung V
Bestimmung von
) mit R
:
Schnitt von Zyl(A
µR (u, v) =
µB (v) =
[µA (u), µR(u, v)].
:=
[µA (u), µR(u, v)]
u
µR (u, v).
u
geometrisch gedeutet:
Schnitt von Zyl(A’) und R(A,B)
• Bestimmung von
µR (u, v) :=
[µA (u), µR(u, v)]
mit der zylindrischen Erweiterung von A
entspricht Schnitt von R
auf U × V:
1
0.8
= R
∩ [A
↑ (U × V )].
R
0.6
0.4
• Maximierung dieses Ergebnisses über alle u ∈ U entspricht Projektion des entstandenen Volumens auf V × [0, 1]:
0.2
0
0
0
2
2
4
4
u
6
6
= [R
↓ V ],
B
v
8
8
10 10
d.h.:
µB (v) =
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
263
Prof. Dr. Gerhard Goos
Einfache Regelanwendung VIII
u
µR (u, v).
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
261
Einfache Regelanwendung VI
auf V × [0, 1]:
Projektion von R
µB (v) =
u
:
Zylindrische Erweiterung der Eingabe A
) = [A
↑ (U × V )]:
Zyl(A
µR (u, v).
Zyl(A’)
B’ = A’ o R(A,B)
1
0.8
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.2
0.4
0
0
0
2
2
4
4
0.2
u
6
6
v
8
8
10 10
0
10
8
4
6
2
0
v
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
264
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
262
Einfache Regelanwendung XI
Einfache Regelanwendung IX
Dieser allgemeine Ansatz ist auf beliebige
Inferenz-Relationen anwendbar, jedoch immens rechenaufwendig.
3. vereinfachte Regelanwendung bei scharfer
Eingabe:
= 1/a:
gegeben: scharfe Eingabe a ∈ U, d.h. A
µB (v) =
u
=
[µA (u), µA(u)]], µB(v)
[
µA(a),
[
(bzw. die Produkt-Relation
Wählt man jedoch die Minimum-Relation R
c
verRp mit Produkt als T-Norm), so läßt sich die Bestimmung von B
c)
einfachen:
(am Beispiel von R
µB (v) =
µB(v)]
=
=
=
u
u
u
[
[µA (u), µRc (u, v)]]
[
[µA (u),
[
[
[µA (u), µA(u)], µB(v)]]
[
[µA (u), µA(u)]], µB(v)]
[
u
[µA(u), µB(v)]]]
µA ∩A(u), µB(v)]
µ (v)]
[H(A ∩ A),
B
:=
[
u
:=
D.h.:
und A
:
• Bestimmung des Schnittes von A
u
Prof. Dr. Gerhard Goos
:= A
∩ A.
A
: H := h(A
).
• Bestimmung der Höhe von A
• “Abschneiden” von B an Höhe H.
v
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
267
Anwendung allg. Regeln I
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
Einfache Regelanwendung X
Anwendung einer allgemeinen Regel:
2. vereinfachte Regelanwendung:
(⇒ Minimum- oder Produkt-Relation!)
wird durch Komplementbildung realisiert:
• negierte Prämisse ¬A
→ B]
≡ [A
→ B].
[¬A
• ODER-verknüpfte Prämisse A
∨
265
wird durch Aufspaltung in zwei
B
µB (v) =
u
[
[µA (u), µA(u)]], µB(v)
Regeln realisiert:
∨ B)
→ C]
≡ [A
→ C]
∧ [B
→ C].
[(A
∧B
wird durch Verbund A
∗B
realisiert:
• UND-verknüpfte Prämisse A
∧ B)
→ C]
≡ [(A
∗ B)
→ C],
[(A
wobei
∗B
= [A
↑ (U × V )] ∩ [B
↑ (U × V )],
A
d.h.:
µA∗B(u, v) =
Prof. Dr. Gerhard Goos
[µA(u), µB(v)].
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
u
268
Prof. Dr. Gerhard Goos
v
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
266
Anwendung allg. Regeln IV
Anwendung allg. Regeln II
UND-verknüpfte Prämisse:
∧ B)
→ C]
auf Eingaben A
und B
erfolgt
Die Anwendung der Regel [(A
wiederum mit Max-Min Komposition:
am Beispiel zweier scharfer Eingaben a und b:
= (A
∗B
) ◦ S,
C
nun eine drei-stellige Relation
wobei S
µS : U × V × W → [0, 1]
darstellt.
u
v
für die
S ist jedoch durch die Wahl der zwei-stelligen Relationen R
einfache Regel bereits eindeutig bestimmt:
w
µS(u, v, w) := µR(µA∗B(u, v), µC(w))
= µR(
[µA(u), µB(v)], µC(w)).
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
271
Prof. Dr. Gerhard Goos
Anwendung mehrerer Regeln I
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
269
Anwendung allg. Regeln III
Anwendung mehrerer Regeln:
oder R
als vorteilhaft.
Wiederum erweist sich die Wahl von R
c
p
(1) lokale Regelanwendung:
→B
] auf die Eingabe A
erfolgt
Die Anwendung mehrerer Regeln [A
i
i
zumeist durch Bestimmung der Teilergebnisse
= A
◦R
B
i
i
Im Falle von Minimum- und Produkt-Relation wird die Vereinigung
gebildet:
(expansion inferences)
=
B
i
i
◦R
).
(A
i
i
Für alle anderen vorgestellten Inferenz-Relationen wird der Durchschnitt
bestimmt:
(reduction inferences)
B
lokal
=
i
Prof. Dr. Gerhard Goos
B
i
=
=
[
[µA ∗B (u, v), µS(u, v, w)]]
[
[
[µA (u), µB (v)], µRc (
[
=
u,v
= ...
=
[
[
[µA (u), µB (v)],
[
[µA (u), µA(u)]],
=
.
und geeignete Verknüpfung dieser Teilergebnisse B
i
B
lokal =
µC (w)
u,v
u,v
u
[µA(u), µB(y)], w)]]
[µA(u), µB(v), µC(w)]]]
v
[
[µB (v), µB(v)]],
µC(w)]
⇒
Regelauswertung analog zur einfachen Regel:
und B
• Bestimmung von A
), h(B
)]
• “Abschneiden” von C bei
[h(A
◦R
).
(A
i
i
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
272
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
270
Anwendung mehrerer Regeln IV
Anwendung mehrerer Regeln II
(2) globale Regelanwendung:
Somit ergibt sich für die (lokale) Auswertung zweier UND-verknüpfter Regeln (Minimumc)
Relation R
1 ∧ B
1) → C
1] und [(A
2 ∧ B
2) → C
2]
[(A
und B
:
mit unscharfen Eingaben A
≡ [A
→ B
] über gemeinsamem ProdukAlle Inferenz-Relationen R
i
i
i
aggregiert
traum werden zu einer einzigen Relation R
=
R
R
i
(expansion inferences)
i
=
R
bzw.
R
i
(reduction inferences)
i
liefert Ergebnis:
Anwendung der Max-Min Komposition auf R
B
global = A ◦ R
u
v
w
u
v
Zusammenhang zwischen (1) und (2):
w
1. Expansions-Inferenzen: B
global = Blokal
u
v
Distributivität von ◦ über ∪:
∪ T) = (R
◦ T)
◦ (S
◦ S)
∪ (R
R
w
2. Reduktions-Inferenzen: B
global ⊆ Blokal
schwache Distributivität von ◦ über ∩:
∩ T) ⊆ (R
◦ S)
◦ T)
◦ (S
∩ (R
R
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
275
Anwendung mehrerer Regeln V
mit scharfen Eingaben a und b:
u
v
w
v
Prof. Dr. Gerhard Goos
u
v
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
273
Anwendung mehrerer Regeln III
Somit ergibt sich für die (lokale) Auswertung zweier UND-verknüpfter Regeln (Minimumc)
Relation R
1 ∧ B
1) → C
1] und [(A
2 ∧ B
2) → C
2]
[(A
u
Prof. Dr. Gerhard Goos
w
Beachte: In Possibilitäts- und Evidenztheorie spiegelt sich die Diﬀerenzierung in Expansions- und Reduktionsinferenzen in den Semantiken
wider (Axiome p1 und e1).
w
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
Motivation für Diﬀerenzierung von Expansions- und Reduktions-Inferenzen:
und Prämisse A
einer Regel komplett unkorreliert:
Seien Eingabe A
A ∩ A = ∅.
dieser Regel sollte demnach keinen Einﬂuß auf das
Das Ergebnis B
Gesamtergebnis haben, i.e. neutrales Element der Überlagerung sein.
und R
liefert B
= ∅. ∅ ist neutrales Element
• Anwendung von R
c
p
von ∪.
= U . U ist neutrales
• Anwendung der übrigen Relationen liefert B
B
B
Element von ∩.
276
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfes Schließen
274
Unscharfe Regelung II
Klassische Regelungstechnik
• Modellierung der Regelstrecke (meist System von Diﬀerentialgleichungen)
• Berechnung des Reglers (Verfahren abhängig von Modell der Regelstrecke)
Probleme bei scharfer Regelung:
Unscharfe Regelung II
1.
2.
3.
4.
5.
Verfügbarkeit des mathematischen Modells
Entwicklungsaufwand für Modellierung
Berechnungsaufwand
Ungenauigkeiten bei Messung, Stellgliedern und Berechnung
Stabilität bei nicht-linearer Regelung
(Beschreibungsfunktionen, Popow-Kriterium, Methode von Ljapunow: Einschränkungen bzgl. Anwendbarkeit, Aussagekraft)
6. Reglerentwurf und Stabilitätsprüfung auf Grundlage des Modells
→ Qualität der Ergebnisse abhängig von Qualität des Modells
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
279
Unscharfe Regelung III
Unscharfe Regelung I
Regelung:
Herstellung oder Erhaltung einer angestrebten Situation an einem vorgegebenen, zeitabhängigen System. Die angestrebte Situation wird
durch die Führungsgröße deﬁniert.
Unscharfe Regelung:
Störungen
• Sammeln qualitativen Wissens über Prozeß und seine Regelung:
intuitive Zusammenhänge, Expertenwissen
• Formulierung eines regelbasierten Reglers (umgangssprachlich)
• regelbasiertes Modell wird durch unscharfes Schließen “berechenbar”
Führungsgröße
Regler
Regelabweichung
Regelstrecke
Regelgröße
Stellgröße
Regelungsziele:
• konstante Führungsgröße
• Führungsgröße als Funktion der Zeit
• ein Gebiet als Führungsgröße, in dem die Regelgröße zu halten ist
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
280
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
278
Grundidee unscharfer Regelung
Beispiel: Miniatur-Roboter KHEPERA
1100
schwarzer
Kunststoff
grauer
Kunststoff
1000
900
• Beschreibung des gewünschten Reglerverhaltens mit Hilfe umgangssprachlicher, qualitativer Regeln.
• Quantiﬁzierung linguistischer Werte durch unscharfe Mengen.
• Regel-Auswertung durch Verfahren der unscharfen Logik.
• Motorola 68331 Mikro-Controller
• 256 KByte RAM, 256 KByte ROM
• 2
Schrittmotoren,
600
Schritte/Umdrehung,
d.h.
ein
Schritt
entspricht 1/12 mm
• 8 Entfernungs- und UmgebungslichtSensoren Siemens SFH900: primitiv,
aber kompakt
• 2 Akkus für autonomen Betrieb
800
Holz
700
weisser
Kunststoff
600
500
400
300
200
100
0
0
2
1
3
4
5
6
Abstand zum Objekt [cm]
typische Kennlinien
eines Entfernungssensors
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
283
Anwendung
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
281
KHEPERA – lokale Kollisionsvermeidung
10 Regeln für das KHEPERA-System:
1. Wenn prox l45, prox l10, prox r10 und prox r45 alle nicht nah, dann setze speed l
und speed r auf einen hohen Wert.
2. Wenn prox l45, prox l10, prox r10 und prox r45 alle nah, dann setze speed l und
speed r auf einen negativen Wert.
3. Wenn prox l45 nah, jedoch prox l10, prox r10 und prox r45 alle nicht nah, dann
setze speed l auf einen hohen und speed r auf einen niedrigen Wert.
4. Wenn prox r45 nah, jedoch prox l45, prox l10 und prox r410 alle nicht nah, dann
setze speed r auf einen hohen und speed l auf einen niedrigen Wert.
5. Wenn prox l45 und prox l10 nah, jedoch prox r45 nicht nah, dann setze speed l
auf einen niedrigen und speed r auf einen negativen Wert.
6. Wenn prox r45 und prox r10 nah, jedoch prox l45 nicht nah, dann setze speed r
auf einen niedrigen und speed l auf einen negativen Wert.
7. Wenn prox l10 nah, jedoch prox l45, prox r10 und prox r45 alle nicht nah, dann
setze speed l auf einen hohen und speed r auf einen niedrigen Wert.
8. Wenn prox r10 nah, jedoch prox l45, prox l10 und prox r45 alle nicht nah, dann
setze speed r auf einen hohen und speed l auf einen niedrigen Wert.
9. Wenn prox l90 nicht nah und prox r90 nah, dann setze speed l auf einen niedrigen
und speed r auf einen negativen Wert.
10. Wenn prox r90 nicht nah und prox l90 nah, dann setze speed r auf einen niedrigen
und speed l auf einen negativen Wert.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
284
prox_l10 prox_r10
prox_l45
prox_r45
Eingabe: Entfernungs-Sensorik
Ausgabe: Motor-Geschwindigkeiten
Ziel:
Kollisionsvermeidung, d. h.
möglichst sanftes“ Umfahren von
”
Hindernissen
prox_l90
speed_l
speed_r
prox_lbk
Prof. Dr. Gerhard Goos
prox_r90
prox_rbk
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
282
7
Alternative: Interpolationsverfahren
Verwandte unscharfe Mengen:
• Reduktion von Regeln auf Punkte: aus
Wenn Temperatur hoch, dann Kaltwasserhahn weit auf“
”
wird
Wenn Temperatur
”
50◦C,
dann Kaltwasserhahn auf Winkel
1
prox_l10
270◦“.
• Unschärfe durch Ähnlichkeit:
Wenn Temperatur ungefähr 50◦C, dann Kaltwasserhahn ungefähr auf Winkel
”
270◦“.
• mehrere Regeln: Interpolation zwischen Punkten
prox_l90
NAH90
NAH10
0
0
250
500
750
1023
0
250
1
prox_l45
500
speed_l
NEGATIV
Vorteile:
• analytisches Verhalten der interpolierenden Funktion kann vorgegeben werden (linear, quadratisch, Glattheit ...)
• oftmals sind direkt scharfe Daten vorhanden
⇒ näher an den Anforderungen des Ingenieurs“
”
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
750
NIEDRIG
NAH45
0
250
287
500
750
Prof. Dr. Gerhard Goos
Einsatzgebiete unscharfer Regler
1023
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
285
vereinfachte(!) Regelauswertung
aktuelle Eingabe sei l90, l45, l10, r10, r45, r90:
1. Regel: Wenn prox l45, prox l10, prox r10, prox r45 nicht nah, dann speed l hoch
µ1speed l (s) =
• direkte Regelung:
oft nur einfache einstuﬁge Regelwerke
• übergeordnete Regelung
supervisory control
– Ablaufsteuerungen
– Auswahl direkter Regler
– Adaption direkter Regler
[1 − µNAH45(l45), 1 − µNAH10(l10), 1 − µNAH10(r10), 1 − µ
NAH45 (r45), µHOCH (s)]
...
...
10. Regel: Wenn prox r90 nicht nah und prox l90 nah, dann speed l negativ
µ10
speed l (s) =
Gesamtergebnis: µspeed l =
10
i=1
[1 − µNAH90(r90), µNAH90(l90), µNIEDRIG (s)]
µispeed l .
(Beachte: µspeed l ist eine unscharfe Menge, die noch in einen scharfen Stellwert
umgewandelt werden muß, etwa mit Schwerpunktmethode.)
Der allgemeine Ansatz ist weitaus komplexer!
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
288
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
286
Abstumpfung
Regelungsmechanismen
unscharfer Regler
WissensBasis
Abbildung vom beobachteten Eingabe-Raum U in den Raum der unscharfen Menge über U.
-
Abstumpfung
• konzeptionelle Abstumpfung:
Schärfung
Strecke
InferenzMechanismus
U
x ∈ U wird zur unscharfen Menge 1/x ∈ 2
(reiner Repräsentationswechsel!)
• bewertende Abstumpfung:
Einbringen von Kenntnissen bzgl. der Qualität der Messungen (z.B.
Wahrscheinlichkeit).
unscharfer Regler
ReferenzMengen
Regelbasis
InferenzMechanismus
Zumeist liegt rein konzeptionelle Abstumpfung vor.
Gründe:
• Einfachheit der Berechnung
• Robustheit des unscharfen Mechanismus
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
Aktion
Strecke
291
Regelbasis und Referenzmengen
zur ling. Variablen F:
linguistischer Wert AF = (N, A)
N: Name von AF,
(etwa “niedrig”)
: unscharfe Menge auf dem Wertebereich U von F, quantitative BeA
schreibung von AF.
Basis-Regel eines unscharfen Reglers:
THEN S is B,
IF F is A
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
289
Komponenten eines unscharfen Reglers
linguistische Variable F = (N, U, W):
N: Name von F,
(etwa “Geschwindigkeit”)
U: Wertebereich von F,
(etwa [0, 100])
W : Menge der linguistischen Werte, die für F deﬁniert sind.
wobei
F, S: linguistische Variable
B
: unscharfe Mengen linguistischer Werte A und B
A,
F
S
sind.
Bedingung
1. Abstumpfung (fuzziﬁcation):
– Messung und Skalierung der Eingabewerte
– Umsetzung in geeignete unscharfe Mengen
2. Regelbasis bzw. Regelbasis + Referenz-Mengen:
– Festlegung der in der Modellierung verwendeten Begriﬀe, sowie
– Relationen zwischen diesen Begriﬀen (in Form von Regeln)
3. Inferenz-Mechanismus:
– Kern des Reglers
– Verknüpfung der unscharfen Eingaben mit Regeln zur Bestimmung unscharfer Stellgrößen
4. Schärfung (defuzziﬁcation):
– Bestimmung scharfer Stellgrößen und deren Skalierung
und
292
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
290
Datenbasis
Regelbasis
Quantiﬁzierung der in der Regelbasis verwendeten unscharfen Werte:
unscharfe Mengen über den betroﬀenen Universen.
(a) evt. Diskretisierung / Normalisierung:
– Diskretisierung: Wahl der Abtastrate δ: Eﬃzienz vs. Sensibilität
(aber meist von der Technik vorgegeben)
– Normalisierung: a-priori-Wissen über Wertebereiche nötig
(b) unscharfe Partitionierung:
– Anzahl der ling. Werte einer ling. Variablen
(Granularität)
⇒ bestimmt maximale Anzahl von Regeln.
(c) Wahl der linguistischen Werte:
– Form der Zugehörigkeitsfunktionen (Dreieck, Trapez, GaussKurve, . . .)
– Grad der Überlappung
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
295
1. Formulierung von Expertenwissen: Notieren aller Situationen, die
qualitativ unterschieden werden können. Legt die Granularität der
Regelbasis fest (Anzahl der linguistischen Werte und Regeln).
2. Beobachtung eines erfahrenen Bedieners: Sammeln von Meßdaten
3. Lernvorgang
• Clusterbildung auf Meßdaten
• Satz von Meta-Regeln zur Regel-Generierung/-Modiﬁkation
4. Ableitung aus unscharfem Prozeß-Modell
(3. und 4.: aktuelle Forschung)
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
Vollständigkeit der Datenbasis
293
Eine Regel
Regler muß auf jeden Zustand mit geeigneter Aktion antworten!
• Datenbasis-Strategie:
*-Vollständigkeit:
:= A
eines Universums
aller ling. Werte A
– für Vereinigung A
i
i
i
gilt:
∀x ∈ U : µA(x) ≥ *.
oder:
gilt: ∀x ∈
– für die Summe der Zugehörigkeitsfunktionen aller A
i
U:
µAi (x) ≥ *,
i µAi (x) = 1.
meist
i
• Regelbasis-Strategie:
⇒
⇒
THEN S is B
IF F is A
i
i
ist i.a. positiv formuliert:
,,Wenn die (modiﬁzierte) Führungsgröße F den (scharfen, unscharfen)
annimmt, dann setze die Stellgröße S auf den (scharfen, unWert A
i
.”
scharfen) Wert B
i
) ist, dann führe viel (≡ B
)
,,Wenn die Temperatur (≡ F) hoch (≡ A
i
i
Kühlwasser (≡ S) zu.”
(siehe spätere Folie)
Negative Regeln kommen seltener vor, erweisen sich dann aber als sehr
nützlich:
Die Wahl der Datenbasis besitzt entscheidende Bedeutung für Güte
der Regelung.
Sie wird zumeist wiederholt optimiert.
) ein Hindernis (≡ F) beﬁndet, dann fahre (≡
,,Wenn sich rechts (≡ A
i
).”
S) nicht nach rechts (≡ B
i
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
296
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
294
Schärfung des unscharfen Stellwertes B
konzentriert wird;
Ziel: plausibelster Punkt v0, in dem B
wichtigste Methoden:
1. Schwerpunkt
Bestimmung des Flächenschwerpunktes:
v · µB (v) v
µB (v) · v
v∈V
v0 := V bzw. v0 := µB (v) v
µB (v)
Regelbasis
Vollständigkeit der Regelbasis:
(COA)
v∈V
V
⇒ zusätzliche Information über Verläßlichkeit πv0 von v0:
µB (v) · v
πv0 := v∈V v
Konsistenz der Regelbasis:
v∈V
2. Mittelwert der Maxima
(MOM)
Bestimmung des Mittels der Werte mit maximaler Zugehörigkeit:
µB (v) v
v
.
V := {v | µB (v) =
[µB (v )]},
v0 := V bzw. v0 :=
v
|V|
v ∈V
V
3. Maximum
Auswahl eines v ∈ V mit maximaler Zugehörigkeit.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
Regelbasis-Strategie:
inkrementelle Erweiterung einer initialen Regelbasis, falls
– eine beobachtete Situation nicht durch bestehende Regeln abgedeckt
– die Reglerantwort unbefriedigend/falsch ist
– die Reglerantwort zu unzuverlässig ist. (etwa Abszisse πv0 des
Schwerpunktes v0 < *)
v∈V
(MAX)
299
Überprüfung auf der Ebene der Regel-Formulierung – hier dürfen keine
qualitativen Widersprüche existieren.
Problem: Wechselwirkungen der Regeln
Beispiel: System mit n Regeln Ri
i THEN S is B
i,
Ri : IF F is A
j nicht unbedingt B
j.
liefert bei Eingabe von A
Prof. Dr. Gerhard Goos
Schärfungsmethoden
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
297
Inferenz-Mechanismus
(siehe auch Abschnitt Unscharfes Schließen)
(a) Festlegung der Inferenz-Relation:
– pragmatisch festgelegt (Anforderungen an Verhalten, Eﬃzienz)
– theoretisch fundiert (Possibilitäts- und Evidenztheorie)
, R
(positive Regeln) oder R
(negative
⇒ in der Praxis meist R
c
p
G
Regeln)
MOM COA
MAX
(b) Verarbeitung mehrstelliger Prämissen:
Wahl der t-Norm für die UND-Verknüpfung, i.a. Minimum oder Produkt.
Wahl der Komplementfunktion für die Negation, i.a. 1 − x.
COA
MOM
Meist Wahl des COA-Verfahrens, aber Vorsicht bei nichtkonvexen Mengen (inkonsistente Schlüsse)!
(c) Anwendung mehrerer Regeln:
– Aggregation der Ergebnisse einzelner Regeln
Aggregation: Vereinigung, Durchschnitt, . . .
Problembeispiel: Ausweichen vor Hindernissen.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
300
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
298
Automatikschaltung I
Entwurf eines unscharfen Reglers
Anwendungsbeispiel: Regulierung einer Automatikschaltung (VW, Gruppe Kruse, 1995)
In Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Autos, der Stellung des
Gaspedals und des aktuellen Gangs wird bestimmt, ob ein Gangwechsel
durchgeführt wird.
Geschwindigkeit
3−4
4−3
2−3
3−2
1−2
Ablauf des Reglerentwurfs
1. Wahl der Eingangsgrößen (Meßgrößen und daraus ableitbare Werte) Wahl der Ausgangsgrößen (Stellgrößen)
2. Festlegen der Wertebereiche und evtl. der Diskretisierung
3. Festlegen der Abstumpfung, des Inferenzmechanismus und des Schärfungsverfahrens
4. Deﬁnition der linguistischen Terme (vollständig?)
5. Aufstellen der Regelbasis (konsistent und vollständig?)
6. Simulation, Test, Bewertung ⇒ zurück zu Punkt 4 (evtl. auch Pkt.
3)
2−1
⇒
Stellung des Gaspedals
keine Modellbildung des Prozesses,
sehr viele Freiheitsgrade!
Kennlinien der Schaltpunkte
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
303
Prof. Dr. Gerhard Goos
Automatikschaltung II
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
301
Zusammenfassung
Situation: Automatikschaltung hat zwei Modi, die manuell gewählt werden: Sport oder Eco. Der Modus beeinﬂußt die Schaltzeitpunkte:
• niedrige Drehzahlen für ökonomische Fahrweise
• höhere Drehzahlen für sportliche Fahrweise
(1) Abstumpfungs-Strategie:
konzeptionelle Abstumpfung (reiner Repräsentationswechsel):
x ∈ Ux → 1/x ∈ 2Ux
Geschwindigkeit
(2) Datenbasis (Referenz-Mengen, ling. Werte):
Polygone (Dreiecke, Trapeze)
(3) Regelbasis:
einschichtig, keine Hierarchie, keine unscharfen Zwischenergebnisse
(4) Inferenz-Mechanismus:
Minimum- bzw. Produkt-Relation (einfach und eﬃzient), selten
Gödel-Relation
(5) Schärfungs-Strategie:
zumeist Schwerpunktverfahren
3 − 4 SPORT
3 − 4 ECO
4 − 3 SPORT
4 − 3 ECO
Stellung des Gaspedals
Kennlinien der Schaltpunkte zwischen drittem und vierten Gang in Sport- und
Eco-Modus
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
304
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
302
Automatikschaltung V
Automatikschaltung III
Regler: Ableiten eines Sportfaktors aus
• Gaspedalstellung (Fahrsituation)
• Geschwindigkeit und Anzahl der Vorzeichenwechsel der Gaspedalbewegung (Fahrertyp)
• “altem” Sportfaktor
Interpolation zwischen Schaltkurven:
• Sportfaktor = 0%: Eco-Stellung
• Sportfaktor = 100%: Sport-Stellung
• Sportfaktor ∈ (0, 100)%: linear interpolieren zwischen Eco- und SportStellung
Klassifikation des Fahrers und der Fahrsituation
Berechnung
der Schaltpunkte
Ziel: Stufenlose Regulierung der Schaltzeitpunkte, die
• automatisch erfolgt
• dem Fahrertyp angepaßt ist
Vorgehen:
1. Einteilung von Testpersonen in normale, sportliche, vorsichtige und
nervöse Fahrer
2. einstündige Testfahrten mit Aufzeichnung verschiedener Meßgrößen
Pedalstellung
Pedalgeschwindigkeit
Sportfaktor(t)
Vorzeichenwechsel
der Pedalbewegung
Verschiebung
der
Schaltpunkte
in
Abhängigkeit
des
Sportfaktors
Ergebnis: maßgebliche Größe zum Unterscheiden der Fahrertypen ist
die Geschwindigkeit der Gaspedalbewegung
Gangwahl
Sportfaktor(t−1)
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
307
Prof. Dr. Gerhard Goos
Automatikschaltung VI
Ergebnis:
• einfacher, intuitiver Entwurf
• gemeinsame Verarbeitung von Meßdaten und unscharfen Regeln
von Experten
• keine neuen Sensoren notwendig
⇒ einfache, eﬀektive Anpassung des Schaltverhaltens an verschiedene
Fahrertypen, wird seit 1995 serienmäßig bei VW eingebaut (z.B.
auch im neuen Käfer)
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
305
Automatikschaltung IV
Zusammenfassung des Vorgehens:
• unscharfe Klassiﬁkation von Fahrertypen aufgrund statistischer Meßdaten
⇒ Histogramme als Zugehörigkeitsfunktionen
• Vorzeichenwechsel der Gaspedalbewegung zur Unterscheidung nervöser
und sportlicher Fahrer
• Glättung der Regelung durch Berücksichtigung alter Sportfaktoren
und bestimmter Fahrsituationen (z.B. wenn ein sportlicher Fahrer
den Fuß vom Gas nimmt, soll der Sportfaktor groß bleiben)
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
308
Histogramme als unscharfe Klasseneinteilung der Fahrer
vorsichtig
normal
nervös
sportlich
Geschwindigkeit der Gaspedalbewegung
Problem: bei nervösen Fahrern soll ähnlich wie bei vorsichtigen geschaltet werden
⇒ Unterscheidung zwischen nervösen und sportlichen Fahrern: Anzahl
der Vorzeichenwechsel bei der Pedalbewegung
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
306
Takagi Sugeno vs. Mamdami
Regler von Takagi Sugeno
Deutung des Takagi Sugeno-Reglers:
• eine Regel ρi ist lokale Kennlinie des Reglers im unscharfen Bereich
A
i
• die Aggregation aller Regeln entspricht dem Zusammensetzen lokaler Kennlinien fi zu der globalen Kennlinie f
• in den Überlappungsbereichen gehen lokale Kennlinien weich ineinander über
Mamdani-Regler versus Takagi Sugeno-Regler:
• Mamdani-Regler beschreibt unscharfe Punkte oder lokale Bereiche
• Takagi Sugeno-Regler beschreibt lokale Verläufe
⇒ es wird unterschiedliches Wissen über die Regelungsstrategie vorausgesetzt
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
311
Mamdani Regler
5
B
Feststellung: Regler ist eine Abbildung
f : U −→ V
Unscharfer Regler: Realisierung von f durch Abstumpfung, Inferenz,
Schärfung
Deutung eines Mamdani-Reglers (mit Gödel-Inferenz ähnlich):
• eine Regel ist ein unscharfer Punkt in U × V (wenn wie üblich kon B
gewählt werden)
vexe Zugehörigkeitsfunktionen für A,
• die Aggregation aller Regeln ist eine unscharfe Überdeckung von f
• ein unscharfer Regler interpoliert zwischen unscharfen Punkten
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
309
Regeln des Takagi Sugeno-Reglers
and F is B
and ...
ρi: if F1 is A
i
2
i
then S = fi(F1, F2, . . .)
V
mit scharfen Abbildungen fi : U −→ V. fi sind meist Polynome; es
reichen oft konstante oder lineare Funktionen, also
4
B
3
B
fi(F) = ai + bi · F
2
B
bei einer Führungsgröße.
1
B
Der Takagi Sugeno-Regler wird nur mit scharfen Führungsgrößen F i =
xi eingesetzt (konzeptionelle Abstumpfung).
U
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
Unscharfe Überdeckung der Reglerkennlinie f mit unscharfen Regeln
nach Mamdani.
Zusammenfassen der Regelergebnisse
S = fi(F1, F2, . . .) durch gewichtetes Mitteln gemäß der Erfüllungsgrade
hi =
(µAi (F1), µBi (F2), . . .):
hi · fi(F1, F2 . . .)
i
S=
hi
i
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
312
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
310
Interpolation II
Takagi Sugeno Regler
V
V
f4
s4
f2
s3
s2
f3
f1
s1
a1
a2
1
A
2
A
a3
3
A
a4
U
U
4
A
Bemerkung: Das Ergebnis läßt sich leicht verallgemeinern
• auf mehrdimensionale Führungsgrößen. Man erhält dann eine multilineare Interpolation.
• auf andere Zugehörigkeitsfunktionen für die Prämissen. So kann man z.B. quadratisch, kubisch usw. interpolieren.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
315
2
A
1
A
3
A
4
A
Unscharfes Zusammensetzen lokaler Kennlinien fi zu globaler Kennlinie
f nach Takagi Sugeno.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Interpolation III
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
313
Interpolation I
Deutung von Interpolation als Inferenzverfahren auf Grundlage einer
Regelbasis
ρi: Wenn F
ungefähr gleich
ai, dann S
ungefähr gleich
meist genutzter Spezialfall des Reglers nach
Takagi Sugeno:
si .
Inferenz:
• Interpretation von µAi (F) als Maß hi für die Gleichheit von F und ai
• Gewichtung der zugehörigen Konklusionen si mit µAi (F)
• Ergebnis S als gewichtete Summe
n
n
S=
hi · si =
µAi (F) · si .
konstante Funktionen fi := si:
then S = s
ρi : if F is A
i
i
(hier nur eindimensionales F betrachtet)
berechnet.
Theorem: Gegeben sei ein Regler nach Takagi Sugeno mit n Regeln,
eindimensionaler Führungsgröße und konstanten Konklusionen f i := si.
seien
Seien a1, a2, . . . an Stützpunkte mit ai < ai+1. Die Prämissen A
i
Dreiecksfunktionen mit Punkten (ai−1, 0), (ai, 1), (ai+1, 0) bzw. Rampen und A
. Dann ist
funktionen (a1, 1), (a2, 0) und (an−1, 0), (an, 1) für A
n
1
der Regler identisch mit einer stückweise linearen Interpolation zwischen der Folge von Punkten (ai, si).
Vergleich mit Takagi Sugeno: ersetze Multiplikation durch “min” als verknüpfende
t-Norm.
Beweis: Übung.
i=1
Da nach Konstruktion im Theorem
Vorgehen von Takagi Sugeno.
n
i=1
µAi (F) = 1 gilt, ist dies identisch mit dem
i=1
• mehrdimensionale Führungsgrößen: Ähnlichkeit von (F1, F2, F3 . . .)
mit Stützpunkten (ai, bi, ci . . .) wird durch
hi = µAi (F1) · µBi (F2) · µCi (F3) · · ·
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
316
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
314
Beispiel: Inverses Pendel
Interpolation IV
Aufgabe: Balancieren eines Stabes durch Krafteinwirkung auf den Wagen
• intuitiv modellierbar
• “gesunder Menschenverstand” mit gewisser Feinabstimmung völlig
ausreichend.
θ
Wissen aus 3. und 4. kann nicht in einen Mamdani-Regler integriert
werden.
F
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Einsatz von Interpolation bietet sich an, wenn
1. Wissen über die Reglerfunktion in Form von Stützpunkten (a i, si)
gegeben ist;
2. die Unschärfe eines vagen Ausdrucks wie “warm” nicht quantiﬁziert
werden kann
→ z.B. Reduktion von “warm” auf “ungefähr 30 Grad”
→ scharfer Stützpunkt ai = 30
3. Wissen über Reglerabbildung f der Bauart “f ist annähernd linear,
quadratisch usw.” vorhanden ist;
4. analytisches Forderungen an f wie Monotonie vorhanden sind.
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
319
Inverses Pendel
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
317
Unscharfe Regelung — Fazit
Beispiel-Regel:
WENN der Winkel θ in seinem mittleren negativen Bereich ist
Vorteile:
• Reglerentwurf ohne besondere Modell-Kenntnisse möglich
• Reglerentwurf in vielen Fällen deutlich vereinfacht und schneller
(“Zeit ist Geld!”)
• höhere Regelgüte möglich (bei bestimmten Prozessen)
UND die Winkelgeschwindigkeit θ ungefähr Null ist,
DANN sollte die Kraft F in ihrem mittleren positiven Bereich sein
Matrix aller benötigten Regeln:
θ
ng
nm
nk
uN
pk
pm
Nachteile:
• Nachweis der Stabilität
(wie bei allen nicht-linearen Systemen)
• Auswahl und Quantiﬁzierung der ling. Werte erfordert i.a. Erfahrung
• keine einheitliche Theorie, viele Freiheitsgrade beim Entwurf
(Inferenz-Relation, Inferenz-Mechanismen, Abstumpfungs- und Schärfungsst
pg
mit:
θ
ng
pg
nm
pm
nk
pk
nk
pk
uN
nk
pk
nk
uN
pg
pk
pm
pm
pm
pg
pk
ng=“negativ groß”
nm=“negativ mittel”
nm
nm
ng
uN=“um Null”
pk=“positiv klein”
...
nm
nk
ng
→ Feineinstellung unscharfer Regler durch Lern- bzw. Optimierungsverfahren
⇒ robuste und leistungsfähige Regelung
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
320
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
318
Inverses Pendel: Takagi Sugeno Regler
Beispiel Inverses Pendel
θ
Reglermodell:
• dreieckigen Zugehörigkeitsfunktionen
• scharfen Konklusionen
• Multiplikation als t-Norm für Konjunktion von Prämissen
→ multilineare Interpolation
s
Wahl der Zugehörigkeitsfunktionen:
negativ
Null
l
Zustandsraum X = Xs × Xs × Xθ × Xθ:
• Winkel θ und Winkelgeschwindigkeit θ
• Wagenposition s und -geschwindigkeit s
positiv
Stellgröße u: Kraft F an Wagen
r
0
dynamisches System Pendel: xt+1 = f(xt, ut)
für jede der vier Zustandsgrößen
• drei linguistische Werte
• eigene Parameter l und r
Ziel der Regelung
• Stab ausbalancieren, Wagen in Bahnmitte (s = s = θ = θ = 0)
• Vorgabe eines Optimalitätskriteriums
zeitoptimale, energieoptimale, ... Regelung
hier: zeitoptimal
mögliche Werte für F und Fd: {−10N, 0N, +10N}
Einstellen der acht Parameter: gezielte “Trial&Error-Strategie”
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
323
Inverses Pendel: Reglerverhalten
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
Inverses Pendel: Zweischichtiger Entwurf
Sieben Regeln je Schicht
.
θ
0.5
0.4
θ
s
.
s
0.2
erste
Schicht
0.15
0.3
0.2
0.1
0.1
theta [rad]
s [m]
321
0
-0.1
-0.2
-0.3
0.05
Fd
Struktur des Reglers:
0
zweite
Schicht
-0.05
-0.1
-0.15
-0.4
-0.5
F
-0.2
Zeit
Zeit
Wagenposition
θ
θ \
N 0 P
P
0 P P
0
N 0 P
N
N N 0
Regeln der ersten Schicht
Winkel
vier aufeinander folgende Trajektorien (vier Startpositionen)
Dauer jeder Trajektorie: 15s
Entwicklungszeit: 2 Stunden
Fd
N
s
s\
P
0
N
N
N
N
N
0 P
N N
N N
N N
Regeln
0
s
s
s\
N 0 P
s\
P
N P P
P
0
N 0 P
0
N
N N P
N
der zweiten Schicht
P
N
P
P
P
0
P
P
P
P
P
P
P
linguistische Werte: N = “negativ”, 0 = “um Null”, P = “positiv”
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
324
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
322
Inverses Pendel: Reglerverhalten
0.5
0.2
0.4
Einfacher unscharfer Regler
0.15
0.3
0.1
0.2
theta [rad]
0.1
s [m]
Inverses Pendel: Ergebnis
0
-0.1
-0.2
+
+
−
−
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.3
-0.15
-0.4
-0.5
Zielbereich wird grob erreicht
Stab fällt nicht mehr um
starke Oszillationen
lange Einschwingzeiten
-0.2
Zeit
Zeit
Wagenposition
Beobachtung: Hierarchie schließt einige Kombinationen von Prämissentermen
aus
Winkel
Alle Kombinationen von θ, θ, die auf identisches Fd abgebildet werden,
können in der zweiten Schicht nicht unterschieden werden.
vier aufeinander folgende Trajektorien (vier Startpositionen)
Dauer jeder Trajektorie: 7s
Entwicklungszeit: 20 Stunden
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
327
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Inverses Pendel: Ergebnis
Neuentwurf: mit 59 Regeln
Zielbereich wird erreicht und gehalten
Stab fällt nicht mehr um
schwache Oszillationen
Einschwingzeiten akzeptabel
Überschwingen akzeptabel
→ relativ gute Qualität
s
s\
Problem: abstrakte Optimierungsziele wie Zeitoptimalität, Energieoptimalität, geringes Überschwingen usw. können nur durch “Trial&Error”
grob angenähert werden.
→ per Hand keine vernünftige Optimierung möglich.
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Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
325
Inverses Pendel: Einschichtiger Entwurf
Aufwendiger unscharfer Regler
+
+
o
o
o
Unscharfe Mengen, SS2002: unscharfe Regelung
328
N
0
P
P
θ
θ\
P
0
N
N
0,N
N
N
0
0
0
N
P
P
0,P
0
θ
θ\
P
0
N
N
N,0
N
N
0
P
P
N
P
P
P
0,P
θ
θ\
P
0
N
N
0
N
N
0
P
P
0
P
P
P
0,P
0
θ
θ\
P
0
N
N
N,0
N
N
0
0
N
N
P
P
P,0
0,N
θ
θ\
P
0
N
N
0,N
N
N
0
P
0
N
P
P
P
0,P
θ
θ\
P
0
N
N
0,P
N,0
N
0
P
P
0
P
P
P
P,0
N
θ
θ\
P
0
N
N
0,N
N
N
0
0
N
N
P
P
P
0
θ
θ\
P
0
N
N
0,N
N
N
0
P
N
N
P
P
P
P,0
θ
θ\
P
0
N
N
0
0,N
N
0
P
0
0
P
P
P
0,P
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326

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