Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
[email protected]
Heinrich-Heine Universität Düsseldorf
Mathematik für Biologen – p. 1
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A ∩ B)
P(A|B) =
P(B)
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Hypothese (Bedingung) B.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich ein
Wahrscheinlichkeitsmaß. Also
P(Ac |B) = 1 − P(A|B)
Mathematik für Biologen – p. 2
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Es sei Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak mit Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j und
P(Ai ) > 0 für alle i. Dann
P(B) = P(B|A1 ) · P(A1 ) + P(B|A2 ) · P(A2 ) + · · · + P(B|Ak ) · P(Ak )
Speziell
P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|Ac ) · (1 − P(A))
Mathematik für Biologen – p. 3
Formel von Bayes
Es sei Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak mit Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j und
P(Ai ) > 0 für alle i. Außerdem sei P(B) > 0. Dann gilt für
jedes i
P(B|Ai ) · P(Ai )
P(Ai |B) =
P(B|A1 ) · P(A1 ) + · · · + P(B|Ak ) · P(Ak )
Speziell
P(B|A) · P(A)
P(A|B) =
.
c
c
P(B|A) · P(A) + P(B|A ) · P(A )
Mathematik für Biologen – p. 4
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen
(stochastisch) unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Ein n-Tupel von Ereignissen (A1 , . . . , An ) heißt unabhängig,
wenn für jede Teilmenge {i1 , . . . , ik } von {1, . . . , n} gilt
P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · · · P(Aik )
Mathematik für Biologen – p. 5