Kohomologische Aspekte von Brauergruppen

Kohomologische Aspekte von Brauergruppen
Christian Curilla
Universität Hamburg
Fachbereich: Mathematik
Seminar: Einführung in die homologische Algebra
Veranstalter: Prof.Dr.C.Schweigert, Dr.L.Hille
SoSe04
1
Die Brauergruppe
1.1
Azumaya-Algebren und die Brauergruppe
In diesem Vortrag bezeichne K immer einen Körper und mit einem Ring ist
immer ein Ring mit 1 gemeint. Und zur Vereinfachung wird K als perfekt vorausgesetzt. Man kann mit etwas mehr Aufwand aber auch alles für den nicht
perfekten Fall verallgemeinern.
Definition 1.1.
1. Eine K-Algebra A heißt einfach, wenn A als Ring einfach ist, also außer
(0) und A keine weiteren zweiseitigen Ideale enthält.
2. Eine K-Algebra A heißt zentral, wenn Z(A)=K ist.
Definition 1.2. Eine K-Algebra A heißt Azumaya-Algebra über K, falls Sie
einfach, zentral und endlichdimensional über K ist.
Bemerkung 1.3.
1. Sei A eine Azumaya-Algebra über K. Nach dem Struktursatz von Wedderburn (siehe [Ke]) gibt es genau ein n ≥ 1 und genau einen Schiefkörper
D (bis auf K-Algebrenisomorphie), so daß
A∼
= Mn (D)
(wobei Mn die n × n Matrizen bezeichnet) und Z(D)=K gilt.
2. Die Dimension von A über K ist eine Quadratzahl.
Definition 1.4. Wir nennen zwei Azumaya-Algebren S, T ähnlich (in Zeichen
S ∼ T ), wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:
1. Wenn S ∼
= Mn (D) und T ∼
= Mm (E) mit Schiefkörpern D und E dann
∼
folgt D = E.
2. Es existieren n, m ∈ N so daß S ⊗K Mn (K) ∼
= T ⊗K Mm (K) ist.
1
Bemerkung 1.5. Durch Nachrechnen sieht man daß ∼ eine Äquivalenzrelation
ist, und daß die erste und die zweite Definition von ähnlich gleichwertig sind.
Lemma 1.6.
1. Mn (R) ∼
= R ⊗K Mn (K) für jede K-Algebra R.
2. Mm (K) ⊗K Mn (K) ∼
= Mmn (K)
Satz und Definition 1.7. Auf den Äquivalenzklassen von Azumaya-Algebren
über K kann man eine Multiplikation definieren
[A] · [B] := [A ⊗K B]
(wobei [A] die Äquivalenzklasse von A bezeichnet). Diese ist assoziativ, kommutativ und hat [K] als Einselement. Für jede Klasse [A] ist [Aop ] das inverse
Element, also [Aop ] = [A]−1 . Die Äquivalenzklassen bilden also eine abelsche
Gruppe, genannt Brauergruppe von K. Man schreibt Br(K).
Beweis.
1. Man kann zeigen, daß wenn A und B Azumaya-Algebren über K sind,
daß dann auch A ⊗K B eine ist.
0
0
2. Wohldefiniertheit der Multiplikation: Sei S ∼ S und T ∼ T , z.Z:
0
S ⊗K T ∼ S ⊗K T
0
Aus der ersten Definition für ähnlich folgt, daß
T ∼
= Mm (E)
0
T ∼
= M 0 (E)
S∼
= Mn (D)
0
S ∼
= M 0 (D)
n
m
gilt. Hierbei sind D und E Schiefkörper. Daraus folgt jetzt weiter:
S ⊗K T
∼
= Mn (D) ⊗K Mm (E)
∼
= D ⊗K Mn (K) ⊗K E ⊗K Mm (K)
∼
= D ⊗K E ⊗K Mnm (K)
nach Lemma 1.6 (1)
nach Lemma 1.6 (2)
0
0
Analog zeigt man S ⊗K T ∼
= D ⊗K E ⊗K Mn0 m0 (K). Es folgt:
S ⊗K T ⊗K Mn0 m0 (K) ∼
=
also
S ⊗K T
∼
0
0
0
0
S ⊗K T ⊗K Mnm (K)
S ⊗K T
3. Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität des Tensorproduktes.
4. Man kann zeigen, daß A ⊗K Aop ∼
= Mn (K) ist, wobei n = dimK A gilt.
Wegen Mn (K) ∼ K ist also [Aop ] = [A]−1 .
5. Abelsch folgt aus der Kommutativität des Tensorproduktes.
Beispiel 1.8. Sei K algebraisch abgeschlossen, dann ist Br(K)=1.
2
1.2
Die relative Brauergruppe
Satz 1.9. Sei L Erweiterungskörper von K. Es gibt einen Gruppenhomomorphismus:
(
Br(K) −→ Br(L)
rL/K :
[A] 7−→ [A ⊗K L]
Dabei gilt rL/K = rL/M ◦ rM/K für Körper K ⊂ M ⊂ L.
Definition 1.10. Die relative Brauergruppe Br(L/K) ist definiert als
Br(L/K) := ker(rL/K ).
L heißt Zerfällungskörper von A, wenn [A] ∈ Br(L/K) gilt, also wenn
A ⊗K L ∼ L
( in Br(L) )
ist.
Bemerkung 1.11. Ist L Zerfällungskörper von A, so ist auch jeder Erweite0
rungskörper L von L ein Zerfällungskörper von A, denn:
0
0
0
0
A ⊗K L ∼
= A ⊗K (L ⊗L L ) ∼
= (A ⊗K L) ⊗L L ∼
= Mn (L )
| {z }
Mn (L)
Definition 1.12. Sei A eine Azumaya-Algebra über K. Als selbstzentralisierender Teilkörper von A bezeichnen wir einen Erweiterungskörper L von
K, mit L ⊂ A und ZA (L) = L.
Lemma 1.13. Sei A eine Azumaya-Algebra über K und B eine einfache KUnteralgebra von A, dann gibt es eine K-Algebrenisomorphie :
A ⊗K B op ∼
= ZA (B) ⊗K Mn (K)
wobei n = dimK (B) ist.
Insbesondere gilt die Dimensionsgleichung:
dimK A = dimK ZA (B) dimK B
Theorem 1.14. Sei A eine Azumaya-Algebra über K mit dimK A = n2 . Dann
ist jeder selbstzentralisierende Teilkörper L von A ein Zerfällungskörper von A
und [L : K] = [A : L] = n.
Umgekehrt sei L ein Erweiterungskörper von K mit dimK L = n, dann hat jedes
Element aus Br(L/K) einen eindeutigen (bis auf K-Algebrenisomorphie ) Repräsentanten A mit dimK A = n2 und L als selbstzentralisierenden Teilkörper.
Korollar 1.15. Sei D zentraler endlichdimensionaler Schiefkörper über K,
dann gibt es einen endlichendimensionalen, galoisschen Erweiterungskörper L
von K, der Zerfällungskörper von D ist.
Beweis. Als erstes wollen wir zeigen, dass es einen selbstzentralisierenden Teilkörper
L von D gibt:
Wir wählen ein beliebiges α1 ∈ D \ K. Weil D nullteilerfrei ist und α1 mit
allen Elementen aus K kommutiert ist K(α1 ) ein Erweiterungskörper von K
in D. Wir wählen jetzt weiter ein α2 ∈ ZD (K(α1 )) \ K(α1 ). Aus den gleichen
3
Argumenten wie zuvor, folgt dass auch K(α1 , α2 ) ein Erweiterungskörper von
K in D ist. Wenn man das jetzt weiter fortführt, wird man nach endlich vielen
Schritten zu dem gewünschten Körper L kommen (weil D endlichdimensional
ist und für jeden Körper L in D offensichtlich L ⊂ ZD (L) gilt).
Wir haben jetzt also unseren Körper L mit ZD (L) = L. Aus dem Theorem
1.14 folgt nun, dass dieser auch Zerfällungskörper von D ist. Wir bilden nun
0
0
die normale Hülle L von L. Wegen rL0 /K = rL0 /L ◦ rL/K ist also auch L
Zerfällungskörper von D, der darüber hinaus noch galoissch über K ist. Damit
haben wir die Behauptung gezeigt.
S
Korollar 1.16. Es ist Br(K) = Br(L/K), wobei L alle endlichendimensionalen, galoisschen Erweiterungskörper von K sind.
Beweis. ” ⊂ ”
Sei [A] ∈ Br(K) beliebig. Wir wissen dass es einen Schiefkörper D mit [D] = [A]
gibt (folgt aus der Definition von ähnlich). Aus Korollar 1.15 folgt jetzt weiter
dass es einen galoisschen, endlichdimensionalen Erweiterungskörper L von K
gibt, der Zerfällungskörper von D ist. Dieser ist somit auch Zerfällungskörper
von A, womit die Inklusion gezeigt ist.
”⊃”
Ist trivial.
Bemerkung 1.17. Aus dem eben gezeigten Korollar wird insbesondere klar, dass
es für jede Azumaya-Algebra über K einen endlichdimensionalen Zerfällungskörper
gibt.
Das Korollar 1.16. ist für uns von besonders großem Interesse, da wir jetzt
versuchen können, Aussagen über Br(K) aus Informationen über Br(L/K) zu
gewinnen. Die Berechnung von Br(L/K) stellt sich als leichter heraus als die
von Br(K).
2
2-Kozykeln und Verschränktes Produkt
Satz 2.1. (Skolem und Noether) Sei A eine Azumaya-Algebra über K und sei
B eine endlichdimensionale, einfache K-Algebra. Sind f, g : B −→ A zwei KAlgebrenhomomorphismen, so gibt es eine Einheit u ∈ A∗ , so dass gilt:
g(b) = uf (b)u−1
2.1
∀b∈B
2-Kozykeln
Es sei Br(L/K) mit L galoissch über K und dimK L = n gegeben. Aus dem
Theorem 1.14 folgt, dass jedes Element aus Br(L/K) einen eindeutigen Repräsentanten A hat, für den L ein selbstzentralisierender Teilkörper und dimK A =
n2 ist. Insbesondere gilt, dass dimL A = dimK L = |G(L/K)|, wegen n2 =
dimK A = dimK L dimL A = (dimK L)2 , ist. Wir werden jetzt diese Situation
etwas genauer betrachten:
Aus dem Satz von Skolem und Noether folgt, dass es für alle σ ∈ G = G(L/K)
4
ein Element xσ ∈ A∗ gibt, so dass xσ ax−1
σ = σ(a) für alle a aus L gilt. Oder
auch umgeformt:
xσ a = σ(a)xσ
∀a∈L
(1)
∗
−1
Durch Nachrechnen folgt dass xσ xτ x−1
στ ∈ L ist (man zeigt dass xσ xτ xστ ∈
ZA (L) = L ist). Somit gibt es Elemente aσ,τ ∈ L∗ so dass gilt:
xσ xτ = aσ,τ xστ
(2)
Es folgt weiter, aus der Assoziativität der Algebra, dass:
xµ (xσ xτ ) = (xµ xσ )xτ
xµ (aσ,τ xστ ) = (aµ,σ xµσ )xτ
µ(aσ,τ )xµ xστ = aµ,σ aµσ,τ xµστ
µ(aσ,τ )aµ,στ xµστ = aµ,σ aµσ,τ xµστ
µ(aσ,τ )aµ,στ = aµ,σ aµσ,τ
⇒
⇒
⇒
⇒
nach (2)
nach (1) und (2)
nach (2)
(3)
Lemma 2.2. {xσ } ist eine Basis von A über L.
Aus dem Lemma 2.2 und der Struktur-Analyse folgt, dass die Multiplikation
durch (1) und (2) festgelegt ist. Die Gleichung (3) muß gelten, damit die Assoziativität erhalten bleibt. Insbesondere zeigt das Lemma, dass die Addition
durch
M
A=
Lxσ
σ∈G
gegeben ist.
Im Hinblick auf das nächste Kapitel macht es Sinn, die Mengen {xσ ∈ A∗ |σ ∈ G}
und {aσ,τ ∈ L∗ |σ, τ ∈ G} als Abbildungen
(
G −→ A∗
x:
σ 7−→ xσ
und
(
a:
G × G −→ L∗
(σ, τ ) 7−→ aσ,τ
aufzufassen.
Definition 2.3. Eine Abbildung a : G × G −→ L∗ die (3) erfüllt, wird als
2-Kozyklus mit Werten in L∗ bezeichnet.
Was wir bis jetzt noch garnicht erwähnt haben, was aber durchaus eine wichtige
Rolle spielen wird, ist, dass die xσ , die wir durch den Satz von Skolem und
Noether erhalten haben, nicht eindeutig sind. Sei x wie oben, und y eine weitere
Abbildung die (1) erfüllt, dann folgt:
⇒
yσ ayσ−1 = xσ ax−1
σ
∀a ∈ L
x−1
σ yσ a
∀a ∈ L
=
ax−1
σ yσ
5
Somit ist x−1
σ yσ ∈ L, weil es aus ZA (L) ist. xσ und yσ unterscheiden sich also
nur um einen skalaren Faktor aus L, für alle σ ∈ G. Seien nun fσ ∈ L∗ Elemente,
so dass yσ = fσ xσ gilt, dann ergeben sich für die 2-Kozykeln a und b, die zu x
und y gehören, folgende Beziehung:
bσ,τ =
2.2
fσ σ(fτ )
aσ,τ
fστ
(*)
Verschränktes Produkt
Satz 2.4. Sei L eine Galoiserweiterung vom Grad n von K mit Gruppe G =
G(L/K), und sei a : G×G −→ L∗ ein 2-Kozyklus. Dann ist der n2 -dimensionale
K-Vektorraum
M
A := (L, G, a) :=
Lvσ
(vσ f ormale Symbole)
σ∈G
mit der durch
xvσ · yvτ := xσ(y)aσ,τ vστ
∀ x, y ∈ L und σ, τ ∈ G
definierten Multiplikation eine Azumaya-Algebra über K mit Einselement 1A =
(aid,id )−1 vid . Insbesondere läßt sich L durch x 7−→ x1A in A einbetten, und wird
dadurch zum selbstzentralisierenden Teilkörper von A.
Definition 2.5. Mit der Notation von dem vorherigen Satz, wird A auch als
verschränktes Produkt von L und G bezüglich des 2-Kozykels a bezeichnet.
Man schreibt (L, G, a).
Bemerkung 2.6. Man kann zeigen, dass zwei verschränkte Produkte (L, G, a)
und (L, G, b) isomorph als K-Algebren sind, genau dann wenn es eine Abbildung
(
G −→ L∗
(**)
f:
σ 7−→ fσ
gibt, so dass (*) erfüllt ist.
Theorem 2.7. Sei L/K eine Galoiserweiterung mit G = G(L/K). Dann gibt es
eine Bijektion zwischen den Elementen von Br(L/K) und den Äquivalenzklassen
von 2-Kozykeln a : G×G −→ L∗ . Dabei sind zwei 2-Kozykeln a und b äquivalent
(in Zeichen (a ∼ b)), wenn es eine Abbildung f wie in (**) gibt die (*) erfüllt.
Beweis. Nach dem Theorem 1.14 gibt es für jedes Element aus Br(L/K) einen
eindeutigen Repräsentanten A (bis auf K-Algebrenisomorphie), so dass L selbstzentralisierender Teilkörper von A ist. Für unterschiedliche Wahlen von A erhält
man unterschiedliche 2-Kozykeln die wegen Bemerkung 2.6 aber in der selben
Äquivalenzklasse liegen. Es folgt also, dass man eine wohldefinierte Abbildung
bekommt:
Br(L/K) −→ Äquivalenzklassen von 2-Kozykeln
[A] 7−→ 2-Kozyklus von A bezüglich L
6
Andererseits gibt es nach Satz 2.4 für jeden 2-Kozyklus a ein verschränktes Produkt (L, G, a). Auch hier gilt nach der Bemerkung 2.6 , dass für zwei äquivalente
2-Kozykeln, die verschränkten Produkte K-isomorph sind. Also erhält man auch
hier eine wohldefinierte Abbildung:
Äquivalenzklassen von 2-Kozykeln −→ Br(L/K)
a 7−→ [(L, G, a)]
Wenn man die Abbildungen ineinander einsetzt erhält man offensichtlich die
Identität, woraus die Bijektivität folgt.
3
Homologische Beschreibung der Brauergruppe
Definition 3.1. Sei G eine Gruppe mit neutralen Element e ∈ G und M eine
abelsche Gruppe. M heißt ein G-Modul, falls es eine Abbildung
G × M −→ M
(g, m) 7−→ gm
gibt, mit:
(i)
em = m
(ii)
g(m + m ) = gm + gm
(iii)
g(g m) = (gg )m
0
0
0
0
Beispiel 3.2. Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung mit G = G(L/K), dann
ist L∗ ein G-Modul mit:
G × L∗ −→ L∗
(σ, x) 7−→ σ(x)
Sei M ein G-Modul. Wir definieren jetzt, für n ≥ 1, C n (G, M ) als die Menge
aller Abbildungen von Gn nach M , also:
C n (G, M ) := {f |f : Gn −→ M }
und setzen
C 0 (G, M ) := M
Die Mengen C n (G, M ) bilden mit wertweiser Addition eine abelsche Gruppe,
genannt die Kokettengruppen. Wir können jetzt weiter Gruppenhomomorphismen von der n-ten in die (n+1)-te Kokettengruppe definieren. Für n = 0
setzen wir:
δ0 : C 0 (G, M ) −→ C 1 (G, M )
f 7−→ δ0 (f )
7
wobei δ0 (f )(g1 ) = g1 f −f gelten soll. Für n ≥ 1 definieren wir δn : C n (G, M ) →
C n+1 (G, M ) durch:
δn (f )(g1 , . . . , gn+1 ) = g1 f (g2 , . . . , gn+1 )
n
X
+
(−1)i f (g1 , . . . , gi−1 , gi gi+1 , . . . , gn+1 )
i=1
+ (−1)n+1 f (g1 , . . . , gn )
Also haben wir z.B. für n = 1:
δ1 (f )(g1 , g2 ) = g1 f (g2 ) − f (g1 g2 ) + f (g1 )
Und für n = 2:
δ2 (f )(g1 , g2 , g3 ) = g1 f (g2 , g3 ) − f (g1 g2 , g3 ) + f (g1 , g2 g3 ) − f (g1 , g2 )
Durch einfaches Nachrechnen sieht man, dass δn wirklich ein Gruppenhomomorphismus ist. Es gilt aber noch mehr:
Lemma 3.3. δn+1 ◦ δn = 0
Mit dem Lemma sehen wir, dass die {C n , δn } einen Kokettenkomplex bilden:
δ
δ
δ
0
1
2
0−
→ C 0 −→
C 1 −→
C 2 −→
C3 −
→ ...
Wir setzen jetzt Z n := ker(δn ) und B n := im(δn−1 ) und können, wegen Lemma
3.3, die n-te Kohomologiegruppe von G mit Werten in M bilden:
H n (G, M ) := Z n /B n
Wir betrachten jetzt eine spezielle Situation, nämlich dass G = G(L/K) und
M = L∗ ist. Hierbei ist L eine endliche galoissche Erweiterung von K und die
G-Modul-Operation ist die, die wir im Beispiel 3.2 gesehen haben. Unser besonderes Augenmerk soll hierbei H 2 (G, L∗ ) gelten, wofür wir als erstes überlegen,
wie die Elemente von Z 2 aussehen. Sei a ∈ Z 2 . Es ist also a eine Funktion mit
(
G × G −→ L∗
a:
(σ, τ ) 7−→ aσ,τ
und δ2 (a) = 1. Es gilt:
−1
1 = δ2 (a)(µ, σ, τ ) = µ(aσ,τ )a−1
µσ,τ aµ,στ aµ,σ
⇒ aµσ,τ aµ,σ = µ(aσ,τ )aµ,στ
Sei δ1 (f ) ∈ B 2 , also
(
G −→ L∗
f:
σ 7−→ fσ
dann folgt:
8
−1
δ1 (f )(σ, τ ) = σ(fτ )fσ,τ
fσ =
fσ σ(fτ )
fσ,τ
Wie man leicht sehen kann, folgt dass a, b ∈ Z 2 genau dann in der gleichen
Nebenklasse von H 2 (G, L∗ ) liegen, wenn
bσ,τ =
fσ σ(fτ )
aσ,τ
fστ
(mit δ1 (f ) ∈ B 2 )
Dies ist aber die gleiche Bedingung die wir in Theorem 2.6 an die Äquivalenzklassen
von 2-Kozykeln gestellt hatten. Zusammen mit dem eben genannten Theorem
können wir sehen, dass es auch eine Bijektion zwischen Br(L/K) und H 2 (G, L∗ )
gibt. Wir möchten aber noch mehr haben, nämlich, dass wir einen Gruppenhomomorphismus zwischen Br(L/K) und H 2 (G, L∗ ) bekommen um somit eine
Gruppenisomorphie zwischen beiden Mengen zu erhalten. Hierfür definieren wir
erstmal diesen Gruppenhomomorphismus:
(
H 2 (G, L∗ ) −→ Br(L/K)
Ψ:
a
7−→ [(L, G, a)]
Desweiteren hilft uns nun folgendes Lemma:
Satz 3.4. Sei L/K eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G = G(L/K) und
a und b seien zwei 2-Kozykeln, dann gilt:
[(L, G, a)][(L, G, b)] = [(L, G, ab)]
in Br(L/K)
Der Satz 3.4 zusammen mit dem zuvor überlegten liefert uns jetzt das folgende
schöne Theorem:
Theorem 3.5. Für eine galoissche Körpererweiterung L/K gibt es eine Gruppenisomorphie:
Br(L/K) ∼
= H 2 (G(L/K), L∗ )
Literatur
[FD]
B.Farb, R.K.Dennis: Noncommutative Algebra. Springer, Graduate
Texts in Mathematics, 144, 1993.
[Ke]
I.Kersten: Brauergruppen von Körpern. Vieweg, Aspekte der Mathematik, 1990.
[Ke2] I.Kersten: Skript über Brauergruppen, Arbeitsversion
http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Brauerskript/brauer.pdf
[R]
I.Reiner: Maximal Orders. Academic Press Inc. (London) Ltd. 1975
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