Uber den Einfluß elektrischer Felder auf die

Uber den Einfluß elektrischer Felder
auf die Lebensdauer des metastabilen Niveaus des Wasserstoffatoms1
V o n GEHHART LÜDERS
Aus dem Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg
(Z. Naturforschg. 5 a. 608—611 11950]; eingegangen am 10. Oktober 1950)
Es wird eine Neuberechnung des Einflusses elektrischer Felder auf die Lebensdauer des
metastabilen Niveaus des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der Lamb-shift vorgelegt.
Durch die Lamb-shift wird die mittlere Lebensdauer zwischen 0,03 und 10 Volt cm 1 um mehr
als zwei Zehnerpotenzen verlängert.
D
ie Metastabilität des 2 Sj/¿-Niveaus des Wasserstoffatoms beruht bekanntlich darauf, daß infolge
der /-Auswahlregel ein mit elektrischer Dipolstrahlung
verbundener Übergang in den Grundzustand verboten ist. Nach den Lhitersuchungen von B r e i t und
T e l l e r - ist ein Übergang in den Grundzustand am
wahrscheinlichsten, wenn er mit der gleichzeitigen
Emission von 2 Lichtquanten verbunden ist. Die mittlere Lebensdauer des 2 Si ¿-Niveaus ergibt sich dabei
zu etwa V7 s e c Ein äußeres elektrisches Feld vermischt den 2 SZustand mit 2 P-Zuständen und kann daher bei hinreichender Stärke die Lebensdauer, d. h. die Metastabilität, wesentlich vermindern. Bei Gültigkeit der
S o m m e r f e 1 d sehen Feinstrukturformel, nach der
Niveaus mit gleicher Hauptquantenzahl n und gleicher Drehimpulsquantenzahl / genau zusammenfallen,
würde bereits ein schwaches äußeres Feld die beiden
Zustände / = 1/2, / = 0 und / = 1/2, / = 1 völlig vermischen und die Lebensdauer beträchtlich herabsetzen.
Allerdings sind Abweichungen von dieser Überlegung zu erwarten, solange die durch das elektrische
Feld hervorgerufene Aufspaltung von der Größenordnung der natürlichen Niveaubreite ist (vgl. :i ).
Nun ist vor einigen Jahren experimentell nachgewiesen 4 und theoretisch verständlich gemacht 5
worden, daß die Feinstrukturformel nicht in Strenge
zutrifft. Diese Abweichung, die Lamb-shift, hat ihre
Lirsache in der Wechselwirkung des Elektrons mit
dem Strahlungsfeld und führt u. a. dazu, daß der
2 S] ¿-Terrn höher liegt als der 2 Pi ¿-Term. B e t h e
1 Teilweise enthalten in der unveröffentlichten Hamburger Dissertation (1950) des Verf.
- G. B r e i t u. E. T e l l e r , Astrophvsic. J. 91, 215
[1940],
3 H. B e t h e in Hdb. Phvsik, 2. Aufl., Bd. 24/1, 273,
Berlin 1933.
und Mitarbb." errechnen für diese Verschiebung einen
Wert von 1051 MHz.
Durch die Lamb-shift wird die Empfindlichkeit des
metastabilen Niveaus in entscheidender Weise geändert. Hinreichend schwache Felder führen, da der
2 Si o-Term und der 2 Pj ¿-Term nicht mehr zusammenfallen, zu einer nur geringfügigen P-Beimischung
zu dem S-Zustand und daher zu einer nur geringliigigen Verminderung der Lebensdauer.
Ziel dieser Arbeit ist es, eine Neuberechnung des
Einflusses elektrischer Felder auf die Lebensdauer
des metastabilen Niveaus des Wasserstoffatoms unter
Berücksichtigung der Lamb-shift vorzulegen. Eine Berücksichtigung der natürlichen Linienbreite, die bei
früheren Untersuchungen eine große Rolle spielte, erweist sich dabei als unnötig, da das S-Niveau und das
P-Niveau bereits ohne äußeres Feld einen Abstand
haben, der hinreichend groß gegen die natürliche
Niveaubreite ist. Der durch diese Vernachlässigung
begangene Fehler beträgt auch bei kleinsten Feldstärken weniger als 1 Prozent.
Um ein genaueres Urteil über die Rolle der Lambshift zu ermöglichen, wird dem Ergebnis dasjenige
gegenübergestellt, das sich ohne Lamb-shift ergeben
würde.
Durchführung
der
Rechnung
Ein angeregtes Niveau eines Atoms klingt unter
Emission von elektrischer Dipolstrahlung mit einer
Zeitkonstanten y, der reziproken mittleren Lebensdauer, ab, die gegeben ist durch
4 W . E . L a m b jr. u. R. R e t h e r f o r d , Phvsic. Rev.
72, 241 [1947].
5 H.A. B e t h e , Phvsic. Rev. 72, 339 [1947]; T. A.
W e 11 o n , Physic. Rev. 74, 1157 [1948],
« H. A. B e t h e , L. M. B r o w n u. J. R. S t e h n ,
Phvsic. Rev. 77. 370 [1950],
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(1)
b
mit
ab
'ab
ab
(2)
ib)
(vgl. 3 ). In (1) ist über alle vom Anfangszustand a aus
erreichbaren energetisch tieferen Endzustände b zu
summieren. In (2) stellen die co;l i> die Kreisfrequenzen
der Ubergänge und die r a b die zugehörigen Matrixelemente des Ortsvektors r dar. Von dem hier interessierenden 2 Si/2-Niveau aus sind, da der Grundzustand zweifach entartet ist, zwei Ubergangsmöglichkeiten vorhanden. Ohne äußeres Feld sind diese allerdings als elektrische Dipolübergänge verboten: die
Matrixelemente ? a b verschwinden.
Durch ein äußeres homogenes elektrisches Feld
wird die Übergangsfrequenz in einer hier vernachlässigbaren Weise geändert, gleichzeitig aber erhalten
die Matrixelemente infolge Änderung der Eigenfunktionen einen von Null verschiedenen Wert. Die hierdurch bedingte Abhängigkeit der Größe y vom
äußeren elektrischen Feld F gilt es nunmehr für das
metastabile Niveau zu errechnen. Hierfür ist mittels
einer Störungsrechnung zunächst die Energieänderung
( S t a r k - Effekt) und anschließend die Änderung der
Matrixelemente X für die Übergänge von diesem Zustand aus zu gewinnen.
Die Methode der Störungsrechnung wird an anderer
Stelle dargestellt (vgl. 7 , insbesondere Ziffer 3). Genauer zu untersuchen sind danach nur die Terme mit
mj — l/2 (bzw. die damit zusammenfallenden
m;- = — 1 / 2 ). Die Säkulardeterminante (16^ in
mit
7
ist
jetzt so abzuändern, daß die Lamb-shift mitberücksichtigt wird. Hierfür braucht die Wechselwirkung
mit dem Strahlungsfeld bei Anwesenheit eines äußeren
elektrischen Feldes nidit erneut berechnet zu werden,
da die der Lamb-shift entsprechende Zusatzenergie
nach 5 gleidr dem Erwartungswert von A(e2/r)
(A =
Laplace-Operator) multipliziert mit einem von n abhängigen Faktor ist. Die Lamb-shift kann also dadurch berücksichtigt werden, daß zu den n-Teilmatrizen der verschiedenen Anteile des Energieoperators
(vgl. 7 ) die n-Teilmatrix von A
1
= 4 .T ö (r) mit einem
Die durch ein elektrisches Feld der Stärke F hervorgerufene Energieänderung öE, bezogen auf das Niveau
mit j = 3/2 als Nullpunkt, ergibt sich dann als Lösung
der folgenden Säkulardeterminante
0
A16
eine Verschiebung von 1051 MHz erhält.
G. L ü d e r s , Der Stark-Effekt des Wasserstoffs bei
kleinen Feldstärken, Ann. Physik (im Erscheinen).
7
A ]6
1
16
A 13
0
(3)
1
16
A V3
und der daraus folgenden algebraischen Gleichung
*'+*•({ H
+ i i ä256
l
I 6 -
9 A 2
j - 8
A ä
" ° (4)
Dabei sind folgende dimensionslosen Größen benutzt
worden
.
e aF
<)E
t
l j
a- e2 / 2 a ' f _ n- e2 ¡2 a "
°
Die Größe £ stellt die Lamb-shift, gemessen ebenfalls in Einheiten a~ e2/2 a, dar und hat bei Zugrundelegung einer Verschiebung von 1051 MHz den Zahlenwert 6 , 0 0 2 T 0 ~ 3 . a = ß 2 /m 0 e 2 bedeutet den Radius der innersten B o h r sehen Bahn, a — e2/ hc die
S o m m e r f e l d sehe Feinstrukturkonstante.
In der Säkulardeterminante (3) bezieht sich die erste
Zeile und Spalte auf die Funktion mit / = 3/2, 1 = 1 ,
die zweite Zeile und Spalte auf die Funktion mit
j = i/2? l = 1 U nd die dritte auf /' = x/2, l = 0. Die
ungestörten Funktionen sollen in der genannten Reihenfolge, in Übereinstimmung mit 7 , mit y>-2, ip3, i/.'4
bezeichnet werden.
Wenn man sich lediglich auf die Untersuchung der
bei Anlegen eines Feldes aus den Niveaus mit /' = 1/2
hervorgehenden Terme beschränkt, so genügt es, die
Energieänderung bei hinreichend kleinen Feldern aus
der folgenden Determinante
1
- I
16
Al 3
(6)
1
16
A V3
d. h. der Gleichung
geeigneten Zahlenfaktor addiert wird. Dieser Faktor
ist so zu wählen, daß der S-Term im feldfreien Fall
0
i
¿ R -
+ 16
3A2- 0
(7)
zu berechnen. Löst man (7) für hinreichend kleine
Felder durch die ersten Glieder einer Reihenentwicklung, so gilt schließlich für den aus dem metastabilen
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ändert in
Niveau hervorgehenden Term
(8)
Einen Überblich über den Verlauf der Größe £
(bzw. der Verschiebung in c m - 1 ) als Funktion der
Feldstärke F gibt Abb. 1, in der zum Vergleich derjenige Verlauf gestrichelt eingetragen ist, der sich ohne
Lamb-shift ergeben würde. Unterhalb einer Feldstärke von etwa 200 Volt c m - 1 wurde der Verlauf der
von j — i / 2 ausgehenden Terme mittels (7) berechnet.
Da bei / = 1/2 der S-Term (Z = 0) und der P-Term
f 0.6
"ß
mj-i
- A ]/3
mJ°7
-0.6
-0,8
1
1
2
!
A13
1
£
0
Na»
"
16
— A1 3
(10)
1
A1 6
16
1
16
IC
0
—A }>3
N ist so zu bestimmen, daß gilt
nF-0
-0,2
mefastabi
r l l t
-0,1
J-ll-^'
1
16
A1 6
J Ii-
0
N a«
Na±
i r j ^
f
%0,2
tx <
(9)
wobei sich die feldstärkeabhängigen Entwicklungskoeffizienten au bis auf einen gemeinsamen Normierungsfaktor N aus den Unterdeterminanten zu einer
(also z. B. der ersten) Zeile von (3) errechnen
nc**l
£OH
rp = a-, lp2 + 03^3 + ß-t V-t
nc-l
3
1
5
Feldstärke in 103Volt cm.'1
Abb. 1. Termverschiebung des Niveaus n = 2 als Funktion
der elektrischen Feldstärke ohne (
) und mit (
)
Berücksichtigung der Lamb-shift.
(Z = 1) ohne Feld nicht mehr genau zusammenfallen,
erhält man zunächst statt des linearen einen quadratischen Anstieg [vgl. (8)]. Im Falle großer Feldstärken
ergibt sich infolge der Lamb-shift eine Verschiebung
der äußeren Terme (np = ± 1) um die Hälfte
(0,017 cm - " 1 ) der Verschiebung ohne Feld.
In Abb. 1 ist außerdem ein von / — 3/2 nach n? = 0
gehender, zu rrij = 3/2 gehörender Term eingetragen,
auf den die Lamb-shift keinen Einfluß hat.
Nachdem der Verlauf von | (d. h. von der Energieverschiebung dE) für den vom metastabilen Niveau
ausgehenden Term errechnet worden ist, läßt sich die
Änderung der Größe y durch ein äußeres Feld gewinnen.
Die zum metastabilen Niveau gehörige Eigenfunktion y>4 wird nämlich bei Anlegen des Feldes F ge-
I Ö2 I 2 + I «3 I'2 + I 04 I 2 - 1
(11)
In (10) ist für £ die entsprechende Lösung von (4) einzusetzen.
Im Rahmen der Näherung (7) kann, indem man die
Unterdeterminanten der Determinante (6) entnimmt,
gesetzt werden
1
16
0,
Ö3
s+
+ 3 A2
(12)
1/3 A
04
1
c + i f + 3 A2
16
Die in (2) einzusetzenden, infolge des Einflusses des
äußeren Feldes abgeänderten Matrixelemente t a b für
die Übergänge zum Grundzustand errechnen sich nunmehr wegen (9) zu
/fp* r /b dr - ao* f >p2* v yhdt
+ an* fm*
* Zb dr .
(13)
Dabei beziehen sich die Funktionen ip2, ip3, wie oben
angegeben, auf den Anfangszustand n = 2, während Xi
und~/odie beiden Eigenfunktionen (rrij = + 1/2 bzw.
rrij = — V 2 ) des durch ein Feld übrigens nicht beeinflußten Grundzustandes n = 1 bedeuten. Das Matrixelement / xp* i zb dr tritt wegen der Z-Auswahlregel
in (13) nicht auf. Die übrigen Matrixelemente sind
durch die nachfolgende Aufstellung gegeben (vgl.
z. B. 3 ).
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LEBENSDAUER
C
J
r
I v**
I'
J
28
dr=-
u/2
3
97
dx = —
Vä **y.idx=
DES
METASTABILEN
a Jo ,
a
— iPo),
(14)
215/2
11/2 a j 0 ,
3
215/2
r Z2 dx = — - n/-2 a (r„ — j » 0 ) .
r
I
—
io>
3O bedeuten die Einheitsvektoren in der x-, y-,
-Richtung (Feld ||30). Aus (13) und (14) folgt zunächst unter Benutzung der Normierungsbedingung (11)
I fcp* r Z l dr\*+\fcp*
v /« dr | 2 =
a->
( i _ | f l 4 | -2) .
NIVEAUS DES
o TO
8
•S7/77
Drückt man jetzt in (2) die Übergangsfrequenz mittels
der R y d b e r g - Formel durch die atomaren Konstanten aus und benutzt die Abkürzung
706
= 6,27 • 10* sec
1,
(16)
611
Um die Bolle zu verdeutlichen, die die Lamb-shift
bei der Verlängerung der mittleren Lebensdauer
spielt, ist in der gleichen Abbildung derjenige Verlauf
von y als Funktion der Feldstärke aufgetragen, der
sidi bei Fehlen der Lamb-shift ergeben würde. Es
genügt hierfür nicht, die ganze Bechnung in der gleichen Weise zu wiederholen, und nur e gleich Null zu
setzen, insbesondere also (17) mit entsprechend abgeändertem Ö4 beizubehalten. Wie bereits am Anfang
der Arbeit betont wurde, sind die Abweichungen, die
von der natürlichen Breite des 2 Pi,-Niveaus herrühren, zu berücksichtigen.
(15)
F =
H-ATOMS
705
70"
703
so gilt schließlich für die durdi das Feld geänderte
reziproke mittlere Lebensdauer für Dipolübergänge
von dem metastabilen Niveau des Wasserstoffs aus die
nachfolgende Beziehung
y — I' (1 — | Ö41 2 ).
(17)
Ohne Feld (A = 0) hat a 4 den Wert 1 und nimmt
für starke Felder (A > 1) asymptotisch den W7ert Null
an, da in (10) N a2 und N a3 bei starken Feldern proportional A 2 , N a4 aber proportional A ist. y ändert
sich also bei Anlegung eines wachsenden Feldes von
Null bis F .
In der Abb. 2 ist dieser Verlauf in doppelt-logarithmischem Maßstab aufgetragen, wobei zu dem gemäß
(17) berechneten y-Wert der von B r e i t und T e l l e r 2 errechnete 7-Wert von 7 s e c - 1 für Übergänge
unter Emission zweier Quanten addiert wurde. Die
hierdurch hervorgerufene Krümmung der Kurve
macht sich in der Abbildung erst unterhalb 0,2 Volt
c m - 1 bemerkbar. Gl. (17) wurde unterhalb 50 Volt
c m - 1 mittels der aus (12) und (8) folgenden Näherung
r =
a
(T)2 r
=
4'45
10
" ( Volt cm
<18'
ausgewertet. Unterhalb 300 Volt c m " 1 wurde mit der
Näherung (12) und (7) und oberhalb 300 Volt c m " 1
mit der vollständigen Beziehung (10) gerechnet.
702
70
0,007 0,07 0,7
7
10 700 7000
F in Volt cm'1 —
Abb. 2. Die reziproke mittlere Lebensdauer des metastabilen Niveaus als Funktion der Feldstärke (
) ohne
und (
) mit Berücksichtigung der Lamb-shift.
Es ergibt sich dann (vgl. 3 ) die folgende, mindestens
bis 20 Volt c m - 1 mit guter Näherung gültige Beziehung
,
_ _
7=
' ( i - s t o j / i - « ^ ; ) ' ) *
(i9)
(3ic = Realteil), die für genügend kleine Feldstärken
(bis zu einigen Volt c m - 1 ) durch die Näherung
r - n f ö j r - w . i o ^ ^ . j . r
(20)
ersetzt werden kann. Auch hier ist natürlich der
y-Wert von 7 s e c - 1 für die Emission zweier Quanten
hinzu zu addieren.
Ein Blick auf die Abb. 2 und der Vergleich von (18)
mit (20) zeigen, daß bei Feldstärken zwischen 0,03 und
10 Volt c m " 1 infolge der Lamb-shift eine Verlängerung der mittleren Lebensdauer um mehr als zwei
Zehnerpotenzen stattfindet.
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J
612
W. O. S C H U M A N N
Ausbreitung elektrischer Wellen
längs geschichteter und längs kontinuierlich veränderlicher Plasmen
V o n W . O . SCHUMANN
Aus dem Elektrophysikalischen Institut der Technischen Hochschule München
(Z. Naturforschg. 5 a. 612—617 [1950]; eingegangen am 21. Oktober 1950)
Es wird die Wellenausbreitung längs eines geschichteten und längs eines kontinuierlich in
seiner Dichte veränderlichen Plasmas beschrieben. Für ein Plasma aus 2 Schichten, von denen
die innere dichter ist, ergeben sidi in der Frequenz 2 Ausbreitungsbereiche, in denen jeweils
die Phasengeschwindigkeit vom Werte c bei der unteren Grenzfrequenz auf den Wert Null bei
der oberen Frequenzgrenze sinkt. Ein Plasma, dessen Dichte linear nach innen beliebig hoch
ansteigt, hat eine Grenzschichtwelle bei der Frequenz unendlich, wo sich die Welle sehr stark
um die Stelle e = 0 herum konzentriert und die Phasengeschwindigkeit gegen Null geht. Für
ein Plasma konstanter Dichte und der Eigenfrequenz co0, mit einer in der Dichte linear nach
außen abfallenden Übergangsschicht, sind Wellen nur für f P < —1, d. h. co2 < co02/2 möglich.
Je mehr sich die Welle um die Stelle s — 0 konzentriert, und je geringer ihre Phasengeschwindigkeit ist, um so näher liegt co2 an co02/2. Die Dämpfung des Plasmas spielt eine sehr erhebliche Rolle.
I. Über elektrische Wellen längs eines geschichteten
Plasmas
1. in Luft
TT
H,
A\0e
I
n einer Arbeit 1 habe ich gezeigt, daß Wellen längs
einer homogenen Plasmaschicht bzw. eines Plasmazylinders sich nur bei Frequenzen co ^ wo/] 2
(OJ 0 2 = N e~/mF0)
ausbreiten, und daß die Phasen-
"¡Uy '/
ET,
*"
,
ETTy
"
tt
CO £0
/.
l>l,i
CO £„
A
Ao
e
mIi
.
A
ue
'/
f 0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums,
Ol O
2
9
a — co /c" = mo";
2. im äußeren Plasma 2
m> t/+ , Bo
r> e m> !/,
TT = Ao
\ e
H,
E x ------- j m>
CO (• 0 {•
:>
E lJ
-
Abb. 1.
und Gruppengeschwindigkeit vom Werte c bei
co = 0 bis auf den Wert Null bei der oberen Grenzfrequenz cog = (oj] 2 abfällt.
Da begrenzte Plasmen niemals streng homogen
sind, war noch zu diskutieren, ob dies auch bei Plasmen veränderlidrer Dichte zutrifft.
Es soll deshalb zunächst im folgenden ein geschichtetes Plasma nach Abb. 1 untersucht werden.
Wir setzen für die Schichtung, zweidimensional.
j(cot—nx)
mit der Form e
eine longitudinale E-Welle an:
[Ao
e
L
a
co i „ ;
•••> 1
OJ-QO/OJ- ,
des Plasmas 2,
A-- e
B,e
m'v+Boe
relative Dielektrizitätskonstante
o
cos
£•> = m>
c-
3. im inneren Plasma 1 ein in Ex zu y = 0 symmetrisches Feld
— Ai @in mi y,
Er
/'
"ll
Ax VSof mx y ,
CO CQ ¿1
Ai ©in m\ iji ,
CO 6q £ !
< = 11 — CO "oi
¿1
a-o
co— fi = mr .
1 W. O. S c h u m a n n ,
S.-B. math.-naturwiss. Abt.
bavr. Akad. Wiss. 1948, 255.
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Dann ergeben die Stetigkeitsbedingungen an den
Grenzen y = d und y = D die Gleichung
<-».
«
,
2g m i i =
1+
2q m-2 (D <))
m-2 '
.
,
£j 1
1 m.2 ~
1+
— 2q m-2 (D — <))
e2 m0
'»1 1
m2
m°
/t -1 \
(I. 1)
m 0 - wird also nur dann sehr groß, wenn
ist, und gleichzeitig co-0.2 =t= co201 ist.
Aus der Bedingung (I. 3.) folgt als obere Grenzfrequenz, bei der a
c o , up — 0 geht
"oi
,
c-
CO
•>
m-> — mo"
a
>.
CO -fi2
frequenz,
der
oberen
Grenz-
einer
Grenz-
Bildung
flächenwelle
In diesem Falle erwarten wir analog Arbeit 1 , daß m x ,
rru und m0 mit a sehr groß und von gleicher Größenordnung werden. Dann können wir die
gleich 1
setzen und aus der Stetigkeitsbedingung (I. 1)
m2/ra0 als Funktion von mjm0 berechnen. Als Lösung
ergibt sich
m-2 _
m0
e-2 m,
!-, m0
f t) =
(1.2)
Es ist also m1 > ?n2 > m 0 , wenn a>01 > co02 ist,
d. h. in der Mitte das dichteste Plasma ist. Da m 0
positiv und reell sein muß, kommen imaginäre mx
und ra2 nicht in Frage. Die „graphische" Lösung dieser Gleichung ist nur im dreidimensionalen m 0 -, mxund m-2-Raum möglich. Wir wollen dies hier nicht
durchführen, sondern nur nach der Existenz der eingangs erwähnten beiden charakteristischen Grenzpunkte bei co = 0, Up = c, und up = 0 bei einer oberen Grenzfrequenz fragen.
a) up = co\a = 0 b e i
OO -02
ir'oi + üj>2
wozu nodi für die m die Gleichungen gelten
2
9
rar — m« =
(1.3)
fs/e i = — 1
(0
01
+
CO'ü!
CO
2
Ol
CO ~Q2
a>-'o2 +
Für to01 > io02, d. h. innen dichteres Plasma, folgt im
Plasmakern £t < 0 , und in der äußeren Plasmahülle
£2 > 0. Die Felder im Kernplasma steigen sehr stark
gegen den äußeren Rand an. In der äußeren Plasmahülle fallen sie nach außen sehr stark ab, da die Konstante B sehr klein gegen A wird. Die Schichtdicken
spielen in diesem Fall keine Rolle, da die Welle sich
so stark um die Grenze Kernplasma — Plasmahülle,
y = d, konzentriert, daß die Dicke des Kerns und der
Hülle keine Rolle spielen. Die Welle verläuft ganz
innerhalb des Plasmas und in der äußeren Luft merkt
man so gut wie nichts von ihr. Die Feldstärken E, yi
und Ey.-, sind einander entgegengesetzt gerichtet, da
Al das entgegengesetzte Vorzeichen hat wie A 2 ,
negativ und e2 positiv ist. Es treten also pulsierende
Raumladungen an den Plasmagrenzen auf. Es ist
wegen der Stetigkeit
1 +
Aa
A,
1—
m0
nu
m0
und
Wo
Ai ©in mit)
i . i i — m.. D
- + e
A-2
»lo
Führt man nun nach (I. 2.)
mi2/mo2 = 1 + w2oi/c- ra02,
und
m2ä/m,)2 = 1 + co V/c 2 ra02
in diese Gleichung ein, so entsteht
1
c'2m0-
(ea/eQ2 - 1
co-02 — (f2/£i)'2cü2oi
2g m-2 D
Damit ist eine Grenzflächenwelle innerhalb des Plasmas und eine obere Grenzfrequenz für o>01
co02
nachgewiesen.
Es existiert aber noch eine tiefer liegende Grenzfrequenz mit up = 0, die aus (1.1) folgt, wenn
£o m j m 2 — — 1 geht. Es wird dann der Bruch der
Gl. (1.1) unbestimmt, %, wenn m 0 und m2 mit gleicher Größe gegen oo gehen und gleichzeitig £2 —• — 1.
Schreibt man die Gl. (1.1) in der Form
m2
— 2g mi t) • 2g m21) + " ! l e2— 2g in, ö
m0 f -2
m-2
rti ry*
< . m1
m-2 2g mi t)—
— 4 g J??I o • ig ;?2o o +
e2 +
m-2 ~
m0f0
m2
mi i2
2a m-> ö
2g m-2()
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so sieht man, daß in diesem Fall XQTTUD —- 1, d.h.
m2 — oo geht, mit £2
— 1, d. h. co2 — oj202/2 und daher auch m0 —• oo. Es ist dies eine Grenzflächenwelle
an der Grenze des äußeren Plasmas gegen die Luft.
Wir haben also 2 obere Grenzfrequenzen mit vp = 0
bei co = (co201 + CJ202)/2 und bei co2 = oj-02/2.
b) V e r h a l t e n b e i OJ
co'm/c-,
m>~
C
co'"Wc
0: 2 .
a)<n
co02
i g m2 (D — <))
d2H„
1 + d (D — <)) coV/c2
OJ -.,
1 +
Ó ( D — D)OO 2 02 /C 2
dy2
1 de dH,
~
F
C)Y
(co2
\
CU/
£ = 1 — a>o2/Ct>2>
CH- 1 )
Wo2 = — 6 ,
m £0
F = / (y) (II. 2)
und
co2_
1
coo c ig mi D
F = -
wie in Arbeit 1 für homogenes Plasma abgeleitet.
Mit abnehmender Frequenz nähert sich die Phasengeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit. Das
Feld erstreckt sich sehr weit in den Luftraum und ist
innerhalb der Plasmen nur wenig veränderlich.
c) L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t
licher
Frequenz
=
Wenn die Dichteverteilung eines Plasmas entsprechend Abb. 1 kontinuierlich in [/-Richtung sich ändert,
so ergibt sich für (TrH) longitudinale F-Wellen, die
in x-Riehtung laufen, mit dem Ansatz e?(<0< a x ) die
Differentialgleichung für Hz
Hieraus kann m 0 berechnet werden und man erkennt,
daß es proportional mit co2 gegen Null geht. Für
eooi = oj02 geht die Gleichung über in
m0
ó ( D — Ö) W 2 0 2 /C 2 '
II. Plasma mit kontinuierlicher Dichteverteilung
i g 111 \ <) i g m2 (D — ö) + 1
i g mi <) +
1 +
bis oj2 = (cj-'oi + oj202)/2. In beiden geht clie Phasengeschwindigkeit von Up = c an der unteren Grenze
bis auf Null bei der oberen Grenze.
m0 £ 1 = m0
CO0q
1 +_ö(D — ()) (o-Jc-
or = co 2
OJ'
Mit diesen Voraussetzungen kann man aus der
Stetigkeitsgleichung (1.1) m0
berechnen und erhält
COyl
und daraus
£2 —*• — CiToa/w2 .
m2 und m1 bleiben endlich. Da auch a mit oj gegen
Null geht, nähern sich mit verschwindender Frequenz
mp
ó (D - ö)
Es ist also bei co01 > co02, co2 > w 2 02 aber co2 < OJ201 ,
d. h. £0 > 0 und £j < 0.
Wir haben also 2 Frequenzbänder zu erwarten.
Das erste von oj2 = 0 bis oj202/2 und das zweite von
0
In diesem Fall erwarten wir nach Arbeit \ daß mit
oj — 0, m0 auch gegen Null geht, vp — c, wobei aber
gleichzeitig £t und e2 gegen oo gehen.
Fl —• — w'-'ui/cD2 ,
mente ersetzen und erhält dann
bei
end-
Nicht nur bei co = 0 wird up = c, sondern auch
für endliches co mit m0 = 0, a = co/c, m^ = a>201/c2,
m22 = co202/c2 folgt aus (1.1) für endliche £t und f
2
mj f2
lc< ???i ó ig m2 (D — ö) =
• m2 £,
und aus dieser Gleichung ergibt sich £2/£i
die Frequenz.
und
daraus
Da m-iö und m 2 ( D — d ) in diesem Fall meist
klein gegen 1 sind, kann man J g durch die Argu-
7
CO
£0 F
3H
E.
'•>
dy
CO
F0 F
H,.
(II. 3)
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung wird an
anderer Stelle diskutiert werden. Eine brauchbare
Näherung für viele Zwecke ist die Annahme
a2>co2e/c2
oder vp2/c2 < 1/e, die besonders in der
Gegend kleiner vp und kleiner £ gut zutrifft, da Up
normalerweise < c ist.
Nimmt man einen linearen Verlauf der Dielektrizitätskonstante an, z . B . e = ya, so wird aus (II. 1)
d2H_
öy2
1 c )H.
^ y Oy
+
a y
a 2 } H = 0 . (II. 4)
In diesem Fall ist für y = 1 ja, OJ02 = 0, £ = 1 und
für y = 0, £ = 0, ist co02 auf co2 angestiegen. Für negatives y ist co2 < oj02. Für linearen Anstieg der Plasmadichte — dco02/dy = k ist
k/c
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(II. 5)
d. h. für tiefe Frequenzen liegt £ = 0 nahe am
Plasmarand, dagegen für hohe Frequenzen tief innerhalb des Plasmas. Setzt man wieder ay aß je- < ar,
d. h. ay ^ c2/vp2 voraus, so vereinfacht sich die Gleichung zu
d2Hz
1 dHz
- a2 H = 0
dy2
y dy
und hat die Lösung Hz = yZx (/' a y), wo Z eine
Besseische Funktion ist. Damit wird
E
*
=
J i a
Z» (/«!/)
und
Ey
=
^ a
Z l { j a y )
-
Ex, so daß die Kraftlinien die Stelle y = 0 praktisch
senkrecht, parallel zu y durchsetzen. Außerdem hat
Ey oberhalb und unterhalb von y = 0 entgegengesetztes Vorzeichen und nimmt nach beiden Seiten
sehr viel rascher ab als Ex. Es führt dies zu einem
Verlauf der Kraftlinien, wie in Abb. 2 skizziert, und
wie er nach Arbeit 1 auch zu erwarten ist.
Bei y = 0 bilden sich starke pulsierende Raumladungen, die durch die gegenphasigen Verschiebungen der Elektronen' beiderseits von y = 0 erzeugt
werden.
Die Grenzbedingung (II. 6) heißt dann
Für die angrenzende Luft setzen wir wieder
H z = A0ue^\
»
Exx = j m>--A0e
<> ' CO f o
m°y.
Aus der Stetigkeit von Hz und Ex für y — 1/a folgt
dann
coZ „(ja ja)
(II. 6)
1 m 0 = i/ | ar
Zi (/' aja)
Da die Felder in die Tiefe des Plasmas hinein für
große negative y exponentiell verschwinden müssen,
kommt für y < 0 als Lösung nur die Hankeische
Funktion 2. Art in Frage. Andererseits läßt sich
Gl. (II. 6) nur für Hankeische Funktionen 1. Art erfüllen, die also für y > 0 zu verwenden sind. Dies
stört die Stetigkeit von Ex und Hz bei y = 0 nicht,
da beide Hankeische Funktionen in gleicher Weise
dort oo werden. H0x(x) —- H 0 2 ( — x ) für x —• 0, während Ey rechts und links von der Stelle x — 0 entgegengesetztes Vorzeichen hat, H11(x) —
—H1-(—x)
für x —1* 0.
Man setzt also für 0 < y <
H=yAHS(jay),
E
yY
Ex
=
7CO "¡ 0
co e0 a
£
yy
=
Ex=
oi £o ö
Abb. 2.
man speziell nach großen Werten von a,
üp —•• 0, so ergibt sich für große z mit
Ho1 (j z) = — ;
Hi 1 (/ z) =
e
'
8z
'
z
1/f
A Ho1 (j a y),
~—A
co co a
8z
a —>• oo,
11I
oi1
5
, a~
= -¿-aa + c8
4
AH^(jay)
A
H0l (/ aja)
Hi1 (/ aja) '
c1
aus der zu jedem OJ das zugehörige a bestimmt werden kann, wobei ar > co-jc- vorausgesetzt ist. Fragt
1/a
und für y < 0
Hz = y A Hx2 (j ay),
/<> m = /
f
H02 (j « y),
AHi2(/«y).
Aus diesen Ansätzen folgt, daß für y
0, t -* 0,
Hz dem Wert A/ja zustrebt, während die elektrischen
Felder theoretisch oo groß werden, d. h. bei der
stets vorhandenen Dämpfung einem Maximalwert zustreben. Da aber Ex nur logarithmisch oo wird, Ey
dagegen wie 1/y, ist nahe £ = 0, Ey sehr groß gegen
Mit wachsendem a muß auch OJ wachsen. Mit
a = k/oß (II. 5) ergibt sich
5 k
k'2
a
"T
8 —i"
co- + co
oder
OJ
^ I 5
KA
8 " t7
und die Phasengeschwindigkeit wird
p
a
8 a. c
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Es gibt auch in diesem Fall mit a —• oo eine ausgeprägte Grenzflächenwelle mit sehr stark abfallenden Feldern oberhalb und unterhalb von y = 0,
£ — 0, und von sehr geringer Phasengeschwindigkeit.
Nur tritt sie hier erst bei sehr hohen Frequenzen auf.
Je steiler die Plasmadichte ansteigt, desto größer
wird vp bei gegebenem a.
und
im
homogenen
Plasma
für
mit
u <
" i 2 = £ 2 P,
A
'
H
,. = Ai e
R
J
mit
1 -
Wo
mi
A '1
Ai
e
co fo fi
m„"
o)c~
fflf =
OJ'
CO o"
c2
m\ - — m()
Dann folgt aus den Stetigkeitsbedingungen bei u = 1
und u = —ux
Ci
m„
j
und
/in
C,
Ci
+ C2
+c.
oder
fD- - 1
Abb. 3. P Plasma konstanter Dichte, S Übergangsschicht,
L Luft.
Für den Fall, daß die mit abnehmendem y anwachsende Plasmadichte schließlich wieder konstant
wird, genügt die angegebene Näherung nicht zur
Befriedigung der Grenzbedingungen. Dagegen können wir in diesem Fall eine andere Näherung verwenden, die einen gewissen Einblick in die Verhältnisse gibt. Führt man in die Differentialgleichung 4
als neue unabhängige Variable u = ay = £ ein, so
entsteht
1 9 Hz
du2
u
du
dJHz
U — a2 H, = 0 .
+
m0
mi
Da positives £p < 1 ist, ist diese Gleichung für
positive m 0 und mx nur für negatives £p lösbar. In
dem homogenen Plasma ist co2 < co02. Mit —£p = £p'
ist dann
1
m<)
2
(e'p — 1) 2 +
tp'/ni!
Diese Beziehung ist in Abb. 4 als Kurve 1 graphisch
dargestellt.
Da außerdem die Beziehung m ^ — m 0 2 = w02/c2
gilt (Abb. 4, Kurve 2), gibt der Punkt P die zusammengehörigen Werte von m 0 und m l an.
Ist nun a2 genügend viel größer als uco2/c2—er,
so
kann das letzte Glied dieser Gleichung vernachlässigt werden, und man erhält
H , = Ci
- + C8,
Ex =
c.
j
Cr
CO E0
Co
Es ist jetzt Ex in der Übergangsschicht konstant, Hz
wächst symmetrisch zu u = 0 und Ey ist antisymmetrisch zu w — 0 und geht für u — 0 gegen o o .
Nimmt man nun einen Plasmaverlauf nach Abb. 3
an, d. h. von u — 1 bis u = — u x einen linearen Verlauf der Dielektrizitätskonstante von 1 über 0 bis
— , und daran anschließend ein Plasma konstanter
Dichte mit der Dielektrizitätskonstante (-—u,), so
gilt innerhalb der Luft für u > 1
H
A0e
E,
i '
4
/ oj fo A0e
1,1
mü y
Abb. 4.
Man sieht, daß nur fp' > 1 mögliche Werte ergibt, d. h. co02/co2 > 2, und daß große m0 und m,
nur für cp' nahe an 1 auftreten. Allerdings gilt die
Lösung nur unter der Bedingung
ö">
die sich auch als
a-»
CO o"
c1
mo"
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schreiben läßt. Für m0 sehr groß, muß auch a sehr
groß werden, d. h. für die Grenzflächenwelle a
oc,
m0 — oo geht auch a — oo, d. h. wir kommen in diesem Fall wieder auf die homogene und unstetig in
Luft übergehende Plasmaschicht zurück. Ob eine
Grenzflächenwelle bei endlicher Frequenz auch bei
einer Übergangsschicht (a endlich) auftritt, kann demnach diese Näherungslösung nicht entscheiden. Da
a- = m 0 2 + co~/c~ ist, treten Phasengeschwindigkeiten
1
1 + m0- c /co~
r
kleiner
kleiner
beiden
ßer m 0
als die Lichtgeschwindigkeit auf, die um so
sind, je größer m0 ist und um so rascher auf
Seiten der Übergangsschicht abfallen, je gröund Tn i sind.
Über die Beugung von Rohrwellen an ebenen Blenden
V o n ROLF MÜLLER
Aus dem Institut für theoretische Physik der Technischen Hochschule München
(Z. Naturforschg. 5 a, 617—621 [1950]; eingegangen am 12. Oktober 1950)
Im ersten einleitenden Abschnitt werden bekannte Beziehungen, die für das Folgende notwendig sind, zusammengestellt. Im zweiten Abschnitt wird das Beugungsproblem für Rohrwellen an ebenen Blenden allgemein formuliert. Im dritten Abschnitt wird für den speziellen
Fall der konzentrischen Lochblende im kreiszylindrischen Rohr gezeigt, daß die Beugung einer
einfallenden zylindersymmetrischen E- bzw. H-Welle durch E- bzw. H-Wellen allein beschrieben wird, also an der Blende keine Umwandlungen von E- in H-Wellen auftreten, während
bei einer einfallenden E- bzw. H-Welle die vom Azimut (p abhängt, zur Beschreibung der
Beugung beide Wellentypen notwendig sind, also Umwandlungen auftreten.
I.
und auf dem Rohrmantel den Randbedingungen
B
ekanntlich läßt sich jeder mit der Frequenz co
periodische, elektromagnetische Feldzustand in
einem ideal leitenden Hohlrohr durch 2 skalare Felder e (£, r], z) und h (f, t], z) in folgender Weise ausdrücken 1 :
1 A (£ = (grad' - e + k grad' h X 5
dz
— 3 div grad' e) e
i l II Jp
(grad'
dz
h + k grad' e X J
Die Striche an den Differentialoperatoren deuten an,
daß in einer Querschnittsfläche 3 = const., also nur
nach den Koordinaten
r\ der Querschnittsfläche zu
differenzieren ist. J ist der Einheitsvektor in Richtung
der Rohrachse, II und A sind die Materialkonstanten
des Dielektrikums im Rohr und k = w \ UA die
Wellenzahl. Die Potentiale e und h müssen im Inneren des Hohlrohrs den Wellengleichungen:
Ah + k2h = 0
i Siehe etwa E. R u c h , Ann. Physik 7, 248 [1950],
(2)
dh
-• = 0
(3)
dn
genügen. Man verifiziert leicht, daß die durch die
Gin. (1) bis (3) definierten Felder (S und § im Inneren des Rohres den Maxwellschen Gleichungen
rot <2
f,
— j div grad' h) e "'1.
Ae + k2e = 0,
e = 0,
icollS?,
rot Jp
— i <*> A£
(4)
genügen und auf dem Rohrmantel die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes
verschwindet.
Man bezeichnet Schwingungszustände mit verschwindendem Potential h als Schwingungen vom elektrischen Typus und solche mit verschwindendem Potential e als Schwingungen vom magnetischen Typus.
Die allgemeinsten Lösungen der Gin. (2) lauten
^ /' (e) i y[e) z , ,(e)
e = 2 \av e
+ b;, e
iy^z]
) cpv,
v
Dabei bedeuten die
b\e\ a\h), b[h) willkürliche
komplexe Konstanten, mit denen man die Lösung
vorgegebenen Randbedingungen anpassen kann. Die
cpv, xpy, die nur von den Koordinaten
7] der Quer-
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