Elektrotechnik Formeln + ∫ +

Elektrotechnik Formeln
3. und 4. Semester
von Gerald Meier
1 Analyse von Einschwingvorgängen
1.1 Netzwerkelemente
1.1.1 Widerstand
u
u( t ) = R ⋅ i( t )
R
i
i( t ) =
u( t )
R
1.1.2 Induktivität
u
u( t ) = L ⋅
L
i
di( t )
dt
i( t ) = i( t 0 ) +
1 t
∫ u(τ)dτ
L t0
i muß stetig sein
1.1.3 Kapazität
t
u
u( t ) = u( t 0 ) + C ∫ i( τ )dτ
C
i
i( t ) = C ⋅
t0
du( t )
dt
u muß stetig sein
1.1.4 Übertrager
1.1.4.1 lose gekoppelter Übertrager
i1
i2
L1
L2
u1
u1 ( t) = L ⋅
u2
di 1 ( t )
di 2 ( t )
+ M⋅
dt
dt
u 2 (t) = M ⋅
di 1 ( t )
di 2 ( t )
+ L⋅
dt
dt
u 2 (t) = M ⋅
di 1 ( t )
di 2 ( t )
+ L⋅
dt
dt
i 1 und i 2 müssen stetig sein
1.1.4.2 festgekoppelter Übertrager
i1
i2
L1
L2
u1
u1 ( t) = L ⋅
u2
di 1 ( t )
di 2 ( t )
+ M⋅
dt
dt
i M = w 1 ⋅ i 1 + w 2 ⋅ i 2 muß stetig sein
1.1.4.3 idealer Übertrager
i1
i2
u1 w 1
w 2 u2
i1 = −
w2
⋅i
w1 2
ü
keine Stetigkeitsbedingungen
- Seite 1 -
ü2 =
L1
L2
ü=
w1
w2
- Gerald Meier: Elektrotechnik Formeln -
1.1.5 Gyrator
i1
g
i1 ( t ) = g ⋅ u 2 ( t )
i ( t)
u1 ( t ) = − 2
g
i2
u1
u2
i 2 ( t ) = − g ⋅ u1 ( t )
i ( t)
u2 ( t) = 1
g
keine Stetigkeitsbedingungen
1.2 Schwingkreise
1
ω0 =
LC
 ω0 L
1
1
=
= ⋅

ω0 RC R
R
Q=
 L = ω RC = R ⋅
0
 ω0 R
für ω=ω0
L
C
C
L
im Reihenschwingkreis
im Parallelschwingkreis
u=0
i =0
1.3 Stabilitätstests
1.3.1 Asymptotische Stabilität
- Re pν<0 (6.127)
- D(p) HURWITZ-Polynom
- alle Koeffizienten von D(p) haben gleiches Vorzeichen falls der Grad von D(p) kleiner 3 ist
1.3.2 HURWITZ-Determinanten
D( p) = c s p s + c s−1 p s−1 +K+ c1 p + c 0
mit c s > 0
cs
0
0
0
L 0
Systemdeterminante:
c s−1
c s− 3
∆ µ := c s−5
M
c s− 2 µ+1
c s− 2
c s− 4
c s−1
c s− 3
cs
c s− 2
0
c s−1
M
M
M
M
c s− 2 µ+ 2
c s−2 µ+ 3
c s− 2 µ+ 4
c s− 2 µ+5
L
L
O M
L c s− µ
NW ist asymptotisch stabil (Re pν<0) ⇔ alle ∆ν>0
1.4 Analyse von Einschwingvorgängen
d
dt z = A ⋅ z + b ⋅ x
1.4.1 homogene Lösung
d
dt
z= A⋅z
z hµ = ( K + t ⋅ K 1 + t 2 ⋅ K 2 +K) ⋅ e
1.4.2 inhomogene Lösung
zp = F ⋅ ∫ F −1( τ ) ⋅ x( τ )dτ
F = ( z h1
0
0
λµ ⋅t
zh 2 L zhn )
- Seite 2 -
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1.5 Analyse durch LAPLACE-Transformation
1.5.1 LAPLACE-Transformation
∞
F( p) = ∫ f ( t )e − pt
0
f (t) =
p = σ + jω
σ+ j∞
1
F( p)e pt dp
∫
2πj σ− j∞
F( p)
f (t)
1.5.2 Eigenschaften
1.5.2.1 Linearität
F( p) , g( t )
c1 ⋅ f ( t ) + c 2 ⋅ g( t )
f (t)
G ( p)
c1 ⋅ F( p) + c 2 ⋅ G( p)
1.5.2.2 Zeitverschiebung
f (t)
f (t − t 0 )
F( p)
F( p) ⋅ e − pt 0
1.5.2.3 Frequenzverschiebung
f (t)
f ( t ) ⋅ e p0 t
F( p)
F( p − p 0 )
1.5.2.4 Differentiation im Zeitbereich
s( t ) ⋅ f ( t )
d
dt
[s( t ) ⋅ f ( t )]
s( t ) ⋅ dtd f ( t )
s( t ) ⋅ dtd 2 f ( t )
2
s( t ) ⋅ dtd 3 f ( t )
3
F( p)
p ⋅ F( p)
p ⋅ F( p) − f (0)
p 2 ⋅ F( p) − p ⋅ f ( 0) −
d
dt
f ( 0)
p 3 ⋅ F( p) − p 2 ⋅ f ( 0) − p ⋅ dtd f ( 0) − dtd 2 f ( 0)
2
1.5.2.5 Ähnlichkeitssatz
s( t ) ⋅ f ( t )
F( p)
s(a ⋅ t ) ⋅ f (a ⋅ t )
1 p
⋅ F 
a a
1.5.3 wichtige Beziehungen
f(t)
δ( t )
s( t )
F(p)
1
1
p
1
p2
1
p3
t ⋅ s( t )
1
2
t 2 ⋅ s( t )
- Seite 3 -
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s( t ) ⋅ e at
1
p−a
1
s( t ) ⋅ t ⋅ e at
( p − a)
s( t ) ⋅ sin(ω0 t )
s( t ) ⋅ cos(ω0 t )
s( t ) ⋅ e at ⋅ sin(ω0 t )
2
ω0
(p
2
(p
2
+ ω0 2 )
p
+ ω0 2 )
ω0
(p − a) + ω
2ω ( p − a )
[(p − a) + ω ]
2
2
0
s( t ) ⋅ t ⋅ e at ⋅ sin(ω0 t )
0
2
2
2
0
t µ−1 at
s( t ) ⋅
e
(µ − 1)!
1
( p − a) µ
2 Netzwerke mit nichtlinearen zeitvarianten Elementen
u( t ) =
i( t ) =
d
dt
Φ
Φ( t ) =
t
∫ u(τ)dτ
−∞
t
d
dt
q
q( t ) = ∫ i( τ )dτ
−∞
2.1 Elemente
2.1.1 Widerstand
FR ( i, u) = 0
u = f R (i) stromgesteuert
i = g R ( u) spannungsgesteuert
2.1.2 Induktivität
u( t ) = dtd Φ
FL (Φ, i) = 0 Φ = f L (i)
i = g L (Φ)
Φ = Li
→ Strom ist Zustandsvariable
→ Spannung ist Zustandsvariable
stromgesteuert
→ Strom ist Zustandsvariable
flußgesteuert
linearer Fall
→ Fluß ist Zustandvariable
2.1.3 Kapazität
i( t ) = dtd q
FC (q, u) = 0 u = fC (q ) ladungsgesteuert
q = g C ( u) spannungsgesteuert
linearer Fall
q = Cu
→ Ladung ist Zustandsvariable
→ Spannung ist Zustandsvariable
- Seite 4 -
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2.1.4 Übertrager
 Φ1 
Φ= 
u( t ) = dtd Φ
Φ2 
FL (Φ, i) = 0
 i1 
i = 
i2 
 u1 
u= 
 u2 
Φ = f L ( i) stromgesteuert
i = g L (Φ) flußgesteuert
linearer Fall
Φ = Li
2.2 Gleichgewichtspunkte
z& 1 = f1 ( z 1 ,K , z n ) = 0
!
M
⇒
Gleichgewichtspunkte
z g1 ,K , z gn
z& n = f n ( z 1 ,K , z n ) = 0
!
Stabilitätsuntersuchung über JACOBI-Matrix
 ∂f1
 ∂z
1
J = M
 ∂f
 n
 ∂z 1
∂f1 
∂z n 
O
M 
∂f n 

L
∂z n 
L
falls
D( p) = det( pE − J ) HURWITZ-Polynom → stabil
vgl. UNBEHAUEN: „Grundlagen der Elektrotechnik 2“ Seite 216
2.3 periodisches Verhalten
2.3.1 ohne Variablentransformation
dz
= f ( z)
dt
z
dζ
t − t0 = ∫
z 0 f (ζ )
123
F( z( t ))
2.3.2 mit Variablentransformation
y = f ( z)
dz
=y
dt
dy
y
=
dt g ′( y)
z = g( y)
dz
dy
= g ′( y) ⋅
dt
dt
g′(η)
dη
y0 η
y
t − t0 =
∫
2.4 Leistung und Energie
p( t ) = u( t ) ⋅ i( t )
t2
E( t ) = ∫ u( t ) ⋅ i( t ) dt
t1
- Seite 5 -
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2.4.1 Widerstand
passiv: u( t ) ⋅ i( t ) ≥ 0
streng passiv u( t ) ⋅ i( t ) > 0
passiv bzgl. û, î ( u − û) ⋅ (i − î ) ≥ 0
lokal passiv bzgl. û, î ( u − û) ⋅ (i − î ) ≥ 0 in Umgebung von û, î
2.4.2 Kapazität
2.4.2.1 ladungsgesteuert
q
E = ∫ g( γ )dγ
q0
zeitinvarianter, linearer Fall:
E=
1
1
q 2 2 − q 1 2 ) = C( u 2 2 − u 1 2 )
(
2C
2
2.4.2.2 spannungsgesteuert
u


E =  u ⋅ f ( u) − ∫ f ( x)dx 


0
2.4.2.3 nicht ladungs- oder spannungsgesteuert
d
dt E = u( t ) ⋅ i( t )
2.4.3 Induktivität
2.4.3.1 stromgesteuert
i


E =  i ⋅ f ( i) − ∫ f ( x)dx 


0
2.4.3.2 flußgesteuert
Φ
E = ∫ g( ψ)dψ
Φ0
zeitinvarianter, linearer Fall:
E=
1
1
Φ2 2 − Φ12 ) = L( i 2 2 − i12 )
(
2L
2
2.4.3.3 nicht strom- oder flußgesteuert
d
dt E = u( t ) ⋅ i( t )
- Seite 6 -
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2.5 Widerstandsnetzwerke
2.5.1 Widerstandszweipole
2.5.1.1 Reihen- und Parallelschaltung
Reihenschaltung
u1
u1 = f R 1 ( i )
u2
i
u 2 = f R 2 ( i)
u = f R ( i)
f R ( i) = f R1 ( i) + f R 2 ( i)
u
Parallelschaltung
i1
i1 = g R 1 ( u )
i2
i 2 = g R 2 ( u)
i = g R ( u)
g R ( i) = g R1 ( i) + g R 2 ( i )
u
2.5.1.2 Arbeitspunktbestimmung
FR ( i, u) = 0
i
F r (-i ,u r )=0
Fr ( −i, u − u 0 ) = 0
F R (i,u )=0
u
U0
2.5.1.3 Kleinsignalanalyse
~
i( t ) = I A + i ( t )
u( t ) = U A + ~
u( t )
∂F ( i, u)
∂F ( i, u)
a: = R
b: = R
∂i
∂u A
A
c: = −
∂Fr ( −i, u − u 0 )
∂( −i)
d: =
∂Fr ( −i, u − u 0 )
∂( u − u 0 )
A
a
RA = −
b
~ ~
=0
a i + bu
~ ~
~
c i + du = du
0
A
c
Ri =
d
~
−RA i + ~
u=0
2.5.2 Widerstandszweitore
i1
F1R ( i1 , u1 , i 2 , u 2 ) = 0
i2
F2 R ( i1 , u1 , i 2 , u 2 ) = 0
u1
u2
→ Darstellungen vgl. UNBEHAUEN: „Grundlagen der Elektrotechnik 2“ S.161
2.5.2.1 Arbeitspunktbestimmung
F r 1 (-i 1 ,u r ) =0
U0
i1
i2
u1
u2
F1R ( i1 , u1 , i 2 , u 2 ) = 0
F2 R ( i1 , u1 , i 2 , u 2 ) = 0
F r 2 (-i 2 ,u 2 )=0
Fr1 ( −i1 , u r ) = 0
Fr 2 ( −i 2 , u 2 ) = 0
- Seite 7 -
~
R1 i + ~
u=~
u0
- Gerald Meier: Elektrotechnik Formeln -
2.5.2.2 Kleinsignalanalyse
~
i1 ( t ) = I1A + i1 ( t )
u1 ( t ) = U1A + ~
u1 ( t )
~
i 2 ( t ) = I 2 A + i2 ( t )
u2 ( t) = U2A + ~
u2 ( t )
∂FνR ( i1 , u1 , i 2 , u 2 )
a ν: =
∂i1
∂FνR ( i1 , u1 , i 2 , u 2 )
c ν: =
∂i 2
a 3: = −
a4:= −
∂FνR ( i1 , u1 , i 2 , u 2 )
b ν: =
∂u1
A
A
b 3: =
A
∂Fr 2 ( −i 2 , u 2 )
∂( −i 2 )
A
∂FνR ( i1 , u1 , i 2 , u 2 )
d ν: =
∂u 2
∂Fr 1 ( −i1 , u1 − u 0 )
∂( −i1 )
~
~
a 1 i1 + b1~
u1 + c1 i2 + d 1~
u2 = 0
~
~
~
a 2 i1 + b 2 u1 + c 2 i2 + d 2 ~
u2 = 0
∂Fr 1 ( −i1 , u1 − u 0 )
∂( u1 − u 0 )
∂Fr 2 ( −i 2 , u 2 )
a4:= −
∂u 2
A
a
r1 = 3
b3
A
A
A
a
r2 = 4
b4
~
a 3 i1 + b 3 ~
u1 = b 3 ~
u0
~
a 4 i2 + b 4 ~
u2 = 0
~
r1 i1 + ~
u1 = ~
u0
~
r2 i2 + ~
u2 = 0
3 Normierung
3.1 Normierung von Netzwerken
U
I
UN =
IN =
U0
I0
1
ω0 ⋅ C 0
→
R 0 = ω0 ⋅ L 0
→
R0 =
1
ω0 ⋅ R 0
R0
L0 =
ω0
C0 =
RN =
R
R0
ωN =
ω
= ω⋅ t0
ω0
tN =
t
= t ⋅ ω0
t0
C
= C ⋅ ω0 ⋅ R 0
C0
L L ⋅ ω0
LN =
=
L0
R0
CN =
→
→
3.2 Normierung der Zeit
t
d
1 d
d
τ = ω0 ⋅ t =
=
⋅ = T⋅
→
T
dτ ω0 dt
dt
4 Mathematischer Anhang
4.1 Matrizen
4.1.1 Matrix-Invertierung
für n = 2 gilt
a b
A =

c d 
für n > 2 gilt
A −1 =
⇒
A −1 =
1  d − b


det A  −c a 
[
1
i+ j
⋅ adjA mit adjA = ( −1) D i+ j
det A
]
T
Di+j: Determinante ohne i-te Zeile und j-te Spalte
- Seite 8 -
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4.1.2 Spalten-Addition
z1
z2
r
r
r
r
r
r
k 1 z1 + k 2 z 2 +K = k 1 z1 − αk 1 z 2 + αk 1 z 2 + k 2 z 2 +K
r
r r
= k 1 ( z1 − αz 2 ) + (αk 1 + k 2 ) z 2 +K
z 1 -αz 2 z 2
+ αz 1
4.1.3 Diagonalisierung
r
v i : Eigenvektoren von A
( vr 1 L vr n ) −1 ⋅ A ⋅ ( vr 1 L vr n ) = D
D: Diagonalmatrix
4.1.4 Ermittlung von Hauptvektoren
r
Eigenvektoren: ( λE − A ) ⋅ k = 0
r
r
Hauptvektoren: ( λE − A ) ⋅ k = − k 1
r
r
( λE − A ) ⋅ k1 = −2 k 2
r
r
( λE − A ) ⋅ k 2 = 0 → UNBEHAUEN: „Grundlagen der Elektrotechnik 2“ Seite 53
4.2 Sonstiges
4.2.1 EULERsche Formel
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e − jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
X cos(ω0 t + ϕ) =
1
2
[X ⋅ e jω t + X * ⋅ e − jω t ]
0
0
cos ϕ = 1 2 ( e jϕ + e − jϕ ) = Re( e jϕ )
sin ϕ = 1 2 j ( e jϕ − e − jϕ ) = Im( e jϕ )
X = X ⋅ e jϕ
4.2.2 Umformungen

a
b
cosarctan  =

b
a 2 + b2

a
a
sinarctan  =

b
a 2 + b2
4.2.3 einfaches Integral
f ( x)
∫ f′( x) dx = ln x
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