Reelle Algebra - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Alexander Prestel
Sven Wagner
Wintersemester 2007/08
Übungsblatt 8
07.12.2007
Reelle Algebra
Definition:
Sei X eine Menge. Sei U ⊂ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge von X. Man sagt, daß
U die endliche Durchschnittseigenschaft hat, wenn jeder Durchschnitt endlich vieler
Elemente von U nicht leer ist.
Ist X ein topologischer Raum, so heißt X
(i) quasikompakt, wenn jede Überdeckung von X durch offene Mengen eine endliche
Teilüberdeckung besitzt;
(ii) hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X offene Mengen
U, V ⊂ X mit x ∈ U , y ∈ V und U ∩ V = ∅ gibt.
(iii) kompakt, wenn er quasikompakt und hausdorffsch ist.
Aufgabe 8.1:
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
a) X ist genau dann quasikompakt, wenn jede nichtleere, aus abgeschlossenen Teilmengen
von X bestehende Menge U ⊂ P(X),
die
T
T die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt,
einen nichtleeren Durchschnitt U = U ∈ U U hat.
b) Ist X quasikompakt, so auch jede abgeschlossene Teilmenge von X, wenn man sie als
topologischen Raum, der mit der Spurtopologie versehen ist, betrachtet.
c) Ist X hausdorffsch, so ist jede kompakte Teilmenge von X abgeschlossen in X.
Aufgabe 8.2: (Satz von Tychonoff)
Ist (Xi )i∈I eine Familie quasikompakter
Q topologischer Räume, so ist auch der mit der Produkttopologie versehene Raum X = i∈I Xi quasikompakt.
(Anleitung: Sei U ⊂ P(X) eine aus abgeschlossenen Teilmengen von X bestehende Menge
mit der endlichen Durchschnittseigenschaft. Zeigen Sie, daß Sie U in P(X) als maximal
bezüglich der endlichen Durchschnittseigenschaft
annehmen können. Betrachten Sie nun
T
zu jedem i ∈ I die Menge Vi := U ∈ U πi (U ), wobei πi die Projektion von X auf die i-te
Komponente
Xi sei. Zeigen Sie, daß Sie (mit dem Auswahlaxiom) ein Element a = (ai )i∈I ∈
Q
V
wählen
können. Erinnern Sie sich an die kanonische Basis der Produkttopologie und
i∈I i
zeigen Sie dann, daß a ∈ U für jedes U ∈ U ist.)
Aufgabe 8.3:
Sei A ein kommutativer Ring. Wir betrachten Sper A zusammen mit der spektralen Topologie. Zeigen Sie:
a) Für P, Q ∈ Sper A gilt P ∈ {Q} genau dann, wenn Q ⊂ P ist.
b) Sper A ist im Allgemeinen nicht hausdorffsch.
c) Der Teilraum Spermax (A) der maximalen Positivbereiche von A ist kompakt.
Bitte wenden.
Aufgabe 8.4:
Sei A ein kommutativer Ring mit 1, und sei S eine multiplikatives System von A, d.h. S ist
multiplikativ abgeschlossen und die 1 ist in S enthalten. Sei S −1 A die Lokalisierung von A
nach S. Seien Sper A und Sper S −1 A mit der spektralen Topologie versehen. Zeigen Sie:
a) Der Ringhomomorphismus ι : A → S −1 A, a 7→
ι∗ : Sper S −1 A → Sper A.
a
1,
induziert eine stetige Abbildung
b) Sper S −1 A ist homöomorph zum Teilraum {P ∈ Sper A | supp(P )∩S = ∅} von Sper A.
Abgabe bis Freitag, den 14. Dezember, 10 Uhr in Briefkasten 18.