zzgm EE TTcm UU

Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.1 Freier Fall
Ein Stück Aluminium fällt aus einer Höhe von z1 = 1000 m auf den Erdboden (z2 = 0). Die
Luftreibung wird vernachlässigt und es findet auch kein Energieaustausch mit der Umgebung
statt. Beim Aufprall dringt der Körper in das Erdreich ein und erwärmt sich infolge der dabei
entstehenden Reibung.
ges.:
Auf welche Temperatur erwärmt sich
dabei das Bauteil?
(1 )
(2)
Gemäß dem ersten Hauptsatz wird die potentielle Energie dabei vollständig in innere
Energie des Aluminiumstückes umgewandelt.
U 2 − U 1 = m ⋅ c ⋅ (T2 − T1 ) = E pot1 − E pot 2 = m ⋅ g ⋅ ( z1 − z 2 )
mit
c Al = 920
J
kg ⋅ K
ergibt sich die Temperaturerhöhung ΔT zu
g ⋅ ( z1 − z 2 )
ΔT =
=
c Al
m
⋅ 1000 m
s2
=10.7 K
J
920
kg ⋅ K
9.81
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Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.2 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, daß sich alle Luftmoleküle in ein der gleichen
Zimmerhälfte befinden
Volumen:
V = 50 m³
Dichte:
ρ = 1.225 kg/m3
Molmasse
M = 28.9647 kg/kmol
Avogadro-Konstante: NA = 6.022⋅1023 1/mol
m = ρ ⋅ V = 1.225
kg
3
⋅ 50 m 3 = 61.25 kg
m
61.25 kg
m
n= =
= 2.115 kmol
kg
M
28.9647
kmol
N = n ⋅ N A = 2115 mol ⋅ 6.022 ⋅ 10 23
1
= 1.27 ⋅ 10 27
mol
27
Bei einem Zimmervolumen von z.B. V = 50 m³ wären das ca. N = 1.27⋅10 Moleküle und die
Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand wäre, zum Glück für die in der anderen Hälfte des
Raumes sich aufhaltenden Personen, entsprechend gering:
p = 2 −(1.27⋅10 )
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Ü 8.3 Entropieänderung bei Kompression von Luft
27
Anfangszustand (1)
p1
=
T1
=
110
27
[kPa]
[°C]
Endzustand (2)
p2
=
T2
=
1.5
247
[MPa]
[°C]
ges.:
a)
Änderung der spezifischen Entropie unter der Annahme konstanter Wärmekapazität
von Luft bei der Kompression von (1) nach (2)
b)
Welche Endtemperatur T2 ergibt sich bei einer isentropen (= adiabat reversiblen =
verlustfreien) Kompression von Luft auf den gleichen Endruck?
a)
Entropieänderung idealer Gase bei konstanter spezifischer Wärmekapazität
⎛p ⎞
⎛T ⎞
s2 − s1 = c p12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ − R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ T1 ⎠
Berechnung einer mittleren Temperatur T12 zur Bestimmung von von c p12
T1 + T2 (27 + 273.15) + (247 + 273.15)
= 410.15 [K ]=137 [°C ]
=
2
2
⎡ kJ ⎤
c p12 (T12 ) ≈ c p12 (140°C ) =1.0082 ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
T12 =
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Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.3 Entropieänderung bei Kompression von Luft
⎛ 247 + 273.15 ⎞
⎛ 1.5 ⎞
s2 − s1 =1008.2 ⋅ ln⎜
⎟ − 287.05 ⋅ ln⎜
⎟
⎝ 27 + 273.15 ⎠
⎝ 0.11 ⎠
⎡ J ⎤
s2 − s1 = − 195.64 ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
b)
Isentrope (= adiabat reversible = verlustfreie) Kompression von Luft
Anfangszustand (1)
p1
=
=
T1
110
27
[kPa]
[°C]
Endzustand (2)
p2
=
T2,rev =
1.5
?
[MPa]
[°C]
Adiabate Zustandsänderung
T1 ⎛ p1 ⎞
=⎜ ⎟
T2,rev ⎜⎝ p2 ⎟⎠
κ −1
κ
⇒
⎛p ⎞
T2,rev = T1 ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
1−κ
κ
1−1.4
⎛ 0.11 ⎞ 1.4
T2,rev = (27 + 273.15) ⋅ ⎜
= 633.2 [K ]= 360 [°C ]
⎟
⎝ 1.5 ⎠
Temperatur am Ende der verlustfreien (= isentropen) Kompression T2,rev = 360 °C ist deutlich
höher als die beim ersten Prozeß vorgegebene Endtemperatur von T2 = 247 °C
⇒
Während dem Kompressionsvorgang wurde dem System Wärme entzogen und somit
die Entropie verringert
Zum Vergleich: Isentrope Kompression
isentroper (= adiabat Q12 = 0 reversibel = verlustfreier) Vorgang
s2 − s1 = 0
realer (= verlustbehafteter) Vorgang mit Wärmeentzug, d.h. Q12 < 0
⎡ J ⎤
s2 − s1 = − 195.64 ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
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Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.4 Entropieänderung bei abschmelzendem Eis
T∞
T∞
Q12
T∞
mEis
TEis
TWasser
mEis
=
=
=
=
TWasser
25
10
-5
20
[°C]
[kg]
[°C]
[°C]
ges.:
a)
Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen der Umgebung entzogen wird
b)
Entropieänderung S2 –S1 im System
Schmelzprozeß
Gesamtwärme Q12
=
TEis = -5 [°C]
Wärmezufuhr feste Phase (Eis)
+
Schmelzwärme fest/flüssig
Qschmelz
+
Wärmezufuhr flüssige Phase (Wasser)
TWasser = 0 [°C] ⇒
⇒
TEis = 0 [°C]:
TWasser = 20 [°C]:
Q1s
Qs2
Q12 = Q1s + Qschmelz + Qs 2
Q12 = m ⋅ [cEis ⋅ (TEis , 2 − TEis ,1 ) + σ Eis + cWasser ⋅ (TWasser, 2 − TWasser,1 )]
Skript: Tab. 14.8 Stoffwerte (S.189,190)
cEis
=
1930
cWasser
=
4183
[J/kg⋅K]
[J/kg⋅K]
Skript: Tab. 4-1
Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 105 [Pa] (S.18)
Stoff
spezifische Schmelzwärme σ [KJ/kg] Schmelztemperatur ϑ [°C]
Aluminium
Al
356
658
Blei
Pb
23.9
327.3
Eisen (rein)
Fe
207
1530
Stahl
Fe + 0.2%C
ca. 209
ca. 1500
Grauguß
Fe + 2.0%C
ca. 96
ca. 1200
Kupfer
Cu
209
1083
Ammoniak
NH3
339
-77.9
Äthylalkohol
C2H5OH
108
-114.2
Schwefeldioxid SO2
116.8
-75.5
Quecksilber
Hg
11.3
-38.9
Wasser (Eis)
H2O
333.5
0
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Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.4 Entropieänderung bei abschmelzendem Eis
Zu- bzw. abgeführte Wärme
Q12 = m ⋅ [cEis ⋅ (TEis, 2 − TEis,1 ) + σ Eis + cWasser ⋅ (TWasser, 2 − TWasser,1 )]
[
]
Q12 =10 ⋅ 1930 ⋅ (0 + 5) + 333.5 ⋅103 + 4183 ⋅ (20 − 0) = 4268.1[kJ ]
Q12 > 0
⇒
Für den Schmelzprozeß muß dem System aus der Umgebung Wärme zugeführt
werden
Entropieänderung im System beim Abschmelzen bei einer Umgebungstemperatur von T∞ =
25 [°C]
Q12 4268.1 ⋅ 103
⎡ kJ ⎤
=14.315 ⎢ ⎥
=
S 2 − S1 =
T∞ 25 + 273.15
⎣K⎦
S2 − S1 > 0
⇒
⇒
Entropie im System nimmt zu
Schmelzprozeß kann von alleine ablaufen
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Ü 8.5 Schlankwerden durch den Konsum von Speiseeis
T∞
T∞
Q12
mSpeiseeis
Körpertemperatur
T∞
=
Speiseeis aus der Kühltruhe
TEis
=
Packungsinhalt
VEis
=
Nährwert pro 100 ml
EEis
=
T∞
37.5
[°C]
-18
[°C]
200 [ml]
150 [kcal]
ges.:
Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen dem Körper entzogen wird
Hinweis
Stoffwerte von Speiseeis entsprechen in erster Näherung denen von Wasser
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Kapitel 8
Musterlösungen
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Ü 8.5 Schlankwerden durch den Konsum von Speiseeis
Stoffwerte von Speiseeis entsprechen in erster Näherung denen von Wasser
cEis
=
1.930 [kJ/kg⋅K]
cWasser
=
4.183 [kJ/kg⋅K]
σEis
=
333.5 [kJ/kg]
ρEis
=
1000 [kg/m³]
Erforderliche Wärmemenge
Q12 = m ⋅ [cEis ⋅ (TEis, 2 − TEis,1 ) + σ Eis + cWasser ⋅ (TWasser, 2 − TWasser,1 )]
Q12 = 0.2 ⋅ [1.93 ⋅ (0 + 18) + 333.5 + 4.183 ⋅ (37.5 − 0)]=105.02[kJ ]
Dem Körper zugeführte Energie (Nährwert)
⎡ kJ ⎤ 0.2 [l ]
EEis =150 [kcal]⋅ 4.183⎢
=1254.9 [kJ ]
⎥⋅
⎣ kcal ⎦ 0.1[l ]
Energiebilanz im Körper
ΔE = Q12 + EEis
ΔE = − 105.02 + 1254.9 =1149.9 [kJ ]
ΔE > 0
⇒
Energiebilanz ist positiv, d.h.
Gewichtsabnahme nicht möglich
unter
diesen
Randbedingungen
ist
eine
alternativ
Auf welche Temperatur müßten Sie die Gefriertruhe abkühlen um eine Nettoenergiebilanz im
Körper von ΔE = 0 zu erhalten?
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