F ried mann M ode lle des U n iversu ms

Friedmann Modelle
des Universums
Max Camenzind
APCOSMO
TUDA @ SS2009
Das Universum Expandiert
 Der Raum wird gestreckt
• Hubble: Das
Universum
der Galaxien
expandiert !
• Das
Universum
ist jedoch ein
Kontinuum
aus Raum
und Zeit
Was gehört zur Kosmologie ?
• Wie beschreibt man ein expandierendes
Universum ? – nur über Einstein
• Woraus besteht das Universum ? – DM, B, DE
• Dynamik: Die 2 Friedmann-Gleichungen
• Die Zustandsgleichung der Materie - w
• Zeitliche Dichteentwicklung bis heute.
• Modelle des Universums: de Sitter, LCDM, …
• Alter des Universums
• Leuchtkraftdistanz  SN Ia vermessen das
Universum.
• Winkeldurchmesser im expandierenden
Universum.
• Was ist Dunkle Energie?
Grundlage  ART
1915 zeigt Albert Einstein  Die Geometrie
der RaumZeit folgt aus Energie und Impuls Verteilung.
Allgemeine Rel-Theorie (ART)
zur Beschreibung des
RaumZeit Kontinuums.
Albert Einstein
Millikan, Lemaître, Einstein
Einsteinsches Äquivalenzprinzip
• Im freien Fall sieht ein FundamentalBeobachter
lokal die RaumZeit der Speziellen Relativität
(Einsteinsches Äquivalenzprinzip).
• Spezielle Relativität  Minkowski-Raum: 4D
• Alle Fundamental-Beobachter messen daher
dieselben Zeitunterschiede dt.
− ds = c dτ = c dt − dx − dy − dz
2
2
2
2
2
2
2
2
Die Kausale Struktur der RaumZeit
Beobachtungen
sind nur längs
Lichtkegel
möglich !
3-Raum
Messen mit Euklidischer Metrik
dS
z
ds
r sinθ dφ
dr
dy
rsinθ
dx
r
rdθ
ds
θ
dz
dr
dθ
y
φ
(dx2+dy2)1/2
2-D
ds2 =dx 2 +dy 2
3-D
ds2 =dx 2 +dy 2 +dz2
2-D
ds2 =dr2 +r2dθ2
3-D
ds2 =dr2 +r2dθ2 +r2Sin2θdφ2
dφ
x
dS
Kugelkoordinaten
rdθ
dr
ART basiert auf
Riemannscher Geometrie
ds =
2
n
∑g
i
ij
dx dx
j
i, j = 0
•
•
•
gij is der Metrische Tensor (symmetrischer Tensor 2. Stufe) : 10 Fun
Vorschrift, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet
Aus metrischem Tensor werden Riemann und Ricci Tensoren
berechnet.
Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der
frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.
Technische Details, s. ART Vorlesung, oder Lehrbuch:
 Hobson, Efstathiou & Lasenby: GR, Introduction for Phys.,
CUP2006
???
Einstein 1915:
Jede Form der Materie erzeugt Krümmung
(auch Photonen, Vakuum-Energie, …)
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei
Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher
Physik nicht).
Materie im heutigen Universum
• 73±% Dunkle Energie
dominiert
• 4% bekannte
Materie ≈ Atome
(Sterne, H-Gas, wir)
• 23±% unbekannte
Materie
(„Dunkle Materie“)
• Materie bremst, dunkle
Energie beschleunigt
die Expansion
WMAP
Universum
ist Dunkel
Der Relativistische Kosmos
• Wie gelingt es, die kosmische Zeit t überall
zu synchronisieren?
•  Mittels Symmetrie: Kosmologische Prinzip:
• Auf grossen Skalen  Isotropie (unabhängig von
Richtungen: Hubble Expansion, Galaxienverteilung, CMB).
• Kombiniere mit Kopernikanischem Prinzip
( wir leben nicht in einer ausgezeichneten Ecke des
Universums  die Physik auf der Erde gilt global).
Homogenität
This "pie
diagram"
shows the
distribution
of galaxies found
by the SDSS
redshift survey
out to redshift
0.25,
corresponding
to a comoving
distance
of 1.2 Gpc.
The SDSS is the
largest
redshift survey of
galaxies ever.
210
Mpc
Geometrien des 3-Raumes
• Wie sieht der Raum aus, ds32 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Homogenität + Isotropie)
 räumliche Krümmung
überall konstant.
•  Nur 3 Möglichkeiten:
• 3-Sphäre – positive
Krümmung K > 0
• 3-Sattel – negative
Krümmung K < 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung K = 0
FRW Modelle des Universums
 dr
2
2
2
2
2
ds = dt − a (t )
+ r dθ + r sin θ dφ 
2
 1 − kr

2
2
2
2
Räumliche Krümmung (+1,0,-1)
r,θ,φ sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Objekte).
t: ausgezeichnete kosmologische Zeit (Atomuhren im
Zentrum von Galaxienhaufen).
dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 , wobei t0 die heutige Zeit.
1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten
• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?
• Betrachte Photon emittiert bei
(re) längs einer Linie mit konst
Länge und Breite (dθ = 0 = dφ).
• Die Trajektorie ist eine
Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):
c dτ
2
2
= c dt − R (t )dr = 0
2
2
2
2
k=0
Lichtausbreitung unter Expansion
• Bewegungsgleichung eines Photons (a =
R):
c dt = R (t )dr
t cdt
r (t ) = ∫
0 R (t )
2
2
2
2
“Comoving distance”
= mitbewegte Distanz
nimmt ab.
2. Kosmologische Rotverschiebung
Da rechte Seiten identisch 
X
X
Der erste Term hebt sich gegen letzten weg 
Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !
3. Das Hubble-Gesetz  Expansion
Intrinsische Leuchtkraft und beobachter Strahlungsstrom:
Die Berechnung der intrinsischen Leuchtkraft einer Galaxie bei Rotversch. z
mittels beobachtetem Strom beruht auf der Struktur der Null-Geodäten
ds 2 = 0
Robertson-Walker Metrik:
( ds )
2
2

dr
2
2
2
2
2 
= ( c dt ) − R (t) 
+ r ( sin θ dϕ + dθ ) 
2
 1− k r

2
2
dr
0 = ds 2 = cdt 2 − R(t) 2
1 − kr 2
=
Hubble-Gesetz
& Bedeutung H0
Von Einstein’s Feld-Gleichungen zu
Friedmann-Gleichungen (c=1)
Gµν = Rµν – 1/2 δµν R = 8π G Tµν
G00 = 3/a2 (å2 + k)
Gki = 1/a2 (2aä + å2 + k) δki
Tµν = diag[ρ(t), –p(t), –p(t),
–p(t)]
= Energie-Impuls-Tensor
3 (å2 + k) /a2 = 8 π G ρ(t)
(2a ä + å2 + k) /a2 = -8 π G p(t)
Einstein’s Feld Glg
ART
Friedmann-Glgen
Gegeben Zustandsgleichung p(ρ), zu lösen a(t)…
Energieerhaltung (1. Haupt-Satz)
• Aus den Friedmann-Gleichungen:
3 (å2 + k) /a2 = 8 π G ρ(t)
(2a ä + å2 + k) /a2 = -8 π G p(t)
• folgt
– d/dt(ρa3) = -p d/dt(a3)  dU = -p dV , dS = 0
• Für Zustandsgleichung p = w ρ gilt dann
• a3 dρ = -(w+1) 3 ρ a2 da
• Falls w=constant
ρ ~ a-3(w+1)
Die Kosmologische
Zustandsgleichung w
• Definiert über die Gleichung: p = w ρ
• als “Zustandsgleichung (EoS)” bezeichnet
• Spezielle Werte:
– w=0  p=0 zB. Dunkle Materie, Baryonen,
– gut erfüllt für nict-relativistische Baryonen!
– w=1/3  Strahlung, masselose Neutrinos
– w=-1 Vakuumenergie, sieht wie
kosmologische Konstante aus.
Entwicklung der Dichte
ρ ~ a-3(w+1)
•
•
•
•
Materie dominiert (w=0):
ρ ~ a-3
Strahlung dominiert (w=1/3):
ρ ~ a-4
Kosmologische Konstante (w=-1): ρ =const
Dunkle Energie mit w<-1, zB w=-2: ρ ~ a3
 Energiedichte würde dann zunehmen!
 würde dann sogar Materie dominieren, die aus
normalen Elementen besteht! (sog. “Big Rip”)
 w < -1 ist unwahrscheinlich.
– -1 < w < -1/3 jedoch möglich.
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
Dunkle Energie
aeq
Dichte-Entwicklung mit a
• ρtot = ρr + ρm + ρDE
• ρr = ρr 0 a-4 , da ρ ~ a-4 und a = 1 heute
– ρr0 ≡ heutige Strahlungsenergiedichte
– Ωr0 ≡ ρr0 / ρcrit nach Definition
– Index 0 wird häufig weggelassen Ωr0
• Deshalb gilt
ρr = ρcrit Ωr a-4
– und ähnlich für ρm, ρDE
• Daher finden wir für Dichte in F-Glg
ρtot = ρcrit [ Ωr a-4 + Ωm a-3 + ΩDE a-3(1+w)]
falls w für DE constant
Die Friedmann Gleichungen
(å/a)2 = 8 π G ρ(t) /3 – kc²/a²
ρ(t) = ρcrit [ Ωr a + Ωm a + ΩDE a
-4
-3
-3(1+w)
]
k=0
w = const
• Einsetzen in Friedmann-Glgl., H0 ≡ (å/a)0:
(å/a)2 = H02 ( Ωr a-4 + Ωm a-3 + ΩDE a-3(1+w) )
Dichteparameter der Kosmologie
Hubble-Radius
RH = c/H0
= 4200 Mpc
Da das Universum flach
erscheint

R0 > 10 RH
 Ωk ~ 0
Fundamentalebene
der Kosmologie
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
DE
dominiert
Materie
dominiert
Strahlung
dominiert
Parameter des Universums
• (i) Hubble-Konstante H0;
• (ii) Dichteparameter der nichtrelativistischen Materie Ωm = ΩDM + ΩB.
• (iii) Krümmungsparameter Ωk = -k RH²/R0².
Dabei gilt heute R0 >> RH  LCDM-Modell
• (iv) Parameter der Dunklen Energie ΩDE.
• (v) Zustandsgleichung der Dunklen Energie
w ~ -1 („Vakuum Energie“).
Modelle des Universums
a ~ t2/(3(w+1))
• Materie-dominiert (w=0): a ~ t2/3 Einstein-deSitter
– Bremst ab
• Strahlungs-dominiert (w=1/3): a ~ t1/2
– Bremst ab
• Kosmologisches Vakuum (w=-1): a ~ eλ t (deSitter)
– Beschleunigte Expansion
• Wo findet der Übergang statt?
– w > -1/3  Abbremsung
– w < -1/3  Beschleunigung
Modelle des Universums ohne DE
Ωm < 1: OCDM
Expandiert immer
k = -1
Ωm = 1: SCDM
k=0
Ωm > 1 k = +1
“Big Bang’’
Kollabiert später
“Big Crunch’’
Das Materie-dominierte Universum
• Flaches Modell (k=0)  Einstein-deSitter Universum
R ∝ t 2/3
R
2
H0 =
=
R 3t0
R
2
t0 =
= 9.3 Gyrs
3H 0
t
Das De Sitter Universum
• Universum ohne Materie, nur mit
• De Sitter 1917:
Λ
a(t ) =
⋅ a (t )
3
Λ
a (t ) ∝ e
H∞ =
H∞ ⋅t
Λ / 3 = const
Exponentiell beschleunigte Expansion
Das LCDM Modell
Ωk = 0 , ΩM + ΩΛ = 1
Friedmann-Gleichung
Entdeckung der letzten 10 Jahre:
• Supernovae-Beobachtungen (Riess et al. 1997, …) 
Die Expansion
beschleunigt sich!
Ein Beschleunigungsterm
wie das Λ ist notwendig
Entdeckung!  Beschleunigung
Phasen der kosmischen Expansion
..
a
4π G
= −
( ρ + 3 p)
a
3
?
g
itioginounn
n
t
a
u
a
r
e
r
l
lhé é
accsécé
aBce
pqinpdeiedlle
rcqrh
s
n
n
g
o
o
n
i
i
t
u
t
a
s
a
rr
m
d
Aédbcébécrléeélé
e em
sa
ntnt
ng
lele
ononla
ng
titi
su
rara
m
lélé
re
cécé
bb
A
dédé
g
earutanitioginounn
hélré
accséclé
ace
B
..
Inflation
inflation
a(t)~eHt
a
4π G
=
−
( ρ + 3 p)
RDa (Radiation-Dominanz)
radiation
3
MD matière
(Materie-Dominanz)
a(t)~t1/2
Zeit läuft logarithmisch
a(t)~t2/3
énergieEnergie
noire dominiert
Dunkle
Alter des Universums
H2 = H02 (Ωm a-3 + Ωw a-3(1+w))
(ohne
Strahlung, Ωk = 0 )
• Integriere dt = da / (da/dt) = da / [a H(a)]
1
t=
∫
0
da
=
aH (a )
1
∫
0
da
−3
− 3(1+ w ) 1 2
H o (Ω m a + Ω w a
)
• Für w=-1 (d.h. ΩDE=ΩΛ):
• Hubble Zeit:
1/H0 = 13,7 Mia Jahre.
Alter des Universums
1/H0 = 13,7 Mia Jahre
t0 H 0
Altersverteilung der GC
• Krauss +
Chaboyer
– stars age = 12,4
Gyr
– estimate ~ 1 Gyrs
min for formation
– t0>10.2 Gyr 95 per
cent 1-tailed
• CMB + Flachheit

t0 ~ 13,7 Gyr
Messungen im
Expandierenden Universum
Wie breiten sich Photonen unter
der Expansion
des Universums aus?
 SNe Hubble-Diagramme
 Winkelausdehnung von Galaxien
 [ Galaxienzählungen ]
“Comoving” Distanz
• Folgt aus dx = c dt = a dr (k=0)
Dc = a0 dr = a0 ∫
z
DC ( z ) =
∫
0
a
1
=
a0 1 + z
dz '
=
H ( z' )
z
∫
0
da dz
=
2
a
a0
cdt
da
da
= a0 ∫
= a0 ∫ 2
a
aa
a H (a )
dz '
3
3(1+ w ) 1 2
H 0 (Ω m (1 + z ' ) + Ω w (1 + z ' )
)
Ω
T
=1
H 2 ( z)
3
3(1+ w )
=
(
Ω
(
1
+
z
)
+
Ω
(
1
+
z
)
)
m
w
2
H0
Hubble-Funktion
Leuchtkraftdistanz
Rotverschiebung der
Energie unter Expansion
Verteilung auf die
Kugel-Fläche
Leuchtkraftdistanz
Modell-Leuchtkraftdistanzen
DeSitter Modell:
Mattig Formel (ΩΛ = 0, 1968):
LCDM: keine geschlossene Formel:
S(x) = x,
k=0
S(x) = sin(x), k=+1
S(x) = sinh(x), k=-1
Ue-Li Pen Approximation LCDM
s³ = (1 – Ωm) / Ωm
Für festes z
erscheinen Quellen
schwächer
Hubble
OCDM
SCDM
LCDM
Beobachtete Supernovae
bestimmen Weltmodell
 aus Distanzmodul
log d L (Leuchtkraft-Dist.)
m-M ∝
Ω Λ> 0 ?
log z
0
0.3
1
(Rotversch)
ΩM
>1
(Knop et al. 2003)
≈ Distance
How faint each object appears (when viewed from Earth)
Type Ia
Supernovae
≈ Redshift
Redshift (amount universe “stretched” since the object’s light was emitted)
Winkeldistanz DA
D
A
l
=
δθ
l
δθ
 dr 2

2
2
2
2
d S = c d τ − R ( t )
+ r ( d θ + sin θd φ ) 
2
1 − kr

2
2
2
2
R o r δθ
l = R (t e )r δθ =
(1 + z )
dS 2 =l 2 =R(t e ) r 2δθ2
2
Im Objektsystem:
R(te) bei Quelle
l
R or
DA =
=
δθ 1 + z
Winkeldurchmesser
– Definiert als θ = D / dA = D (1+z)² / dL
• D = physikalische Ausdehnung des Objektes
• θ = Winkeldurchmesser am Himmel
DC ( z )
dL
dA =
=
2
(1 + z )
(1 + z )
 Winkeldurchmesser erreicht ein Minimum bei z ~ 1,4 !!!!
Weltmodelle Winkeldurchmesser
Minimum
LCDM
OCDM
Vacuum
Euklidisch
Winkeldurchmesser Rekombination
Distanzen im Expand Universum
Vermessung des Universums
Lokales
Hubble
Gesetz
Hubble Diagramme Supernovae Ia
How faint each object appears (when viewed from Earth)
Type Ia Supernovae
(Riess et al. 2006)
Redshift (amount universe “stretched” since the object’s light was emitted)
Wo stehen wir …
SN Factory
Carnegie SN Project
SDSSII
ESSENCE
CFHT Legacy Survey
Higher-z SN Search
(GOODS)
JDEM/LSST
Plus the local searches:
LOTOSS, CfA, ESC
Supernovae in the IAU Circulars
& KAIT
& SCP
Carnegie
SN Project
Hubble
Diagram
to z ~ 0.7
• World-wide
collaboration to find
and characterise
SNe Ia with
0.2 < z < 0.8
• Search with CTIO
4m Blanco
telescope.
• Spectroscopy with
VLT, Gemini, Keck,
Magellan
• Goal: Measure
distances to 200
SNe Ia with an
overall accuracy of
5%
 determine w to
10% overall.
ESSENCE
DES Dark Energy Experimente
• New Probes of Dark Energy
– Galaxy Cluster counting
• 20,000 clusters to z=1 with M > 2x1014 M
– Weak lensing
• 300 million galaxies with shape measurements
– Spatial clustering of galaxies
• 300 million galaxies
• Standard Probes of Dark Energy
– Type 1a Supernovae distances
• 2000 supernovae
Fundamental Ebene
der Kosmologie
Kosmische Konkordanz
Knop et al. (2003)
cf. Tonry et al. (2003)
SNLS (Astier et al. 2005)
• Supernovae alone
⇒ Accelerating expansion
gg
n
n
i
i
t
t
elerara ing
l
e
e
tg
acaccc learatin
r
e
e
c
l
e
e
dedc
⇒Λ>0
• CMB (plus LSS)
⇒ Flat universe
⇒Λ>0
• Any two of SN, CMB, LSS
⇒ Dark energy ~75%
5 Jahre WMAP + SNIa
 Konkordanz-Modell
• Hubble Konstante
H0 = 72 +/- 3 km/s/Mpc
• Materiedichte
Ωm = 0,23 +/- 0,02
• Vakuumdichte
ΩΛ = 0,73 +/- 0,03
• Baryonendichte
ΩB = 0,043 +/-
• Zustandsgleichung
w0 = -1
• + Fluktuationsspektrum
nS = 0,93 +/-
• + Neutrino-Anteil
Ων < 0,01
Ist Dunkle
Energie
Vakuum ?
PV = w ρV
w ~ w0 + w1z
WMAP5 Daten - Krümmung
WMAP5
Daten DE
WMAP5 Daten - Flukt
WMAP5 Daten - Hubble
Das beobachtbare
Universum
LSS
Naturkonstante Λ, Vakuumenergie,
Quintessenz, ???
Kosmologen brauchen irgendetwas davon:
„DUNKLE
ENERGIE“
Niemand weiss, was das ist,
weil es durchsichtig (unbeobachtbar) ist!
- Spannung des leeren Raumes („negativer Druck“)
- Eine ganz neue Kategorie? Quanteneffekte?
Was ist die Dunkle Energie ?
• Naturkonstante
= kosmologische
Konstante
Λ
à la Einstein?
• Energie des Vakuums (Quanteneffekte)?
Zu erwarten, aber Theoretiker können sie nicht berechnen
Konsequenz des „gequantelten“ Raumes
(Quantengravitation, LQ)?
• Quintessenz? Ein neues Feld ≈ Λ(t) ?
Vorschlag von Ch. Wetterich (Heidelberg) et al.
Kosmologische Parameter
9 globale FLRW Parameter:
H0
q0
t0
T0
Ω0
ΩB
ΩM
Ων
73+/-3 km/sec/Mpc
-0.67 +/- 0.15
13.73 +/- 0.17
2.725 +/- 0.001K
1.01 +/- 0.01
0.0444 /- 0.004
0.266 +/- 0.04
0.002 – 0.01
Expansionsrate
Abbremsparameter
Alter des Universums
CMB Temperatur
Gesamtdichteparameter
Baryonen
DM+B
Masse der Neutrinos
ΩDE
0.732 +/- 0.03
Dunkle Energie
WMAP5 + SNIa + BAO 2008
Zusammenfassung
• Nur ein Relativistisches Modell  FRW Modell
• Friedmann-Gleichungen bestimmen die
Expansion des Universums.
• Materie besteht aus verschiedenen
Komponenten: Baryonen, Photonen, Neutrinos,
DM und Dunkle Energie.
• Die einzelnen Anteile bestimmen die Expansion –
heutiges Universum offenbar durch Dunkle
Energie dominiert und flach.
• Das Universum kann genau vermessen werden.
• Zukunft des Universums hängt von w ab!