Serie 17 - D-MATH

Lineare Algebra
Prof. Richard Pink
D-MATH, HS 2014
Serie 17
1. Welche der folgenden drei reellen symmetrischen Matrizen sind positiv definit?






3 3 2 3
3 0 −1 0
6 3 4
3 1 1 2





 , C :=  0 6 1 1 .
3
7
3
A := 
,
B
:=
−1 1 8 2
2 1 2 1
4 3 8
3 2 1 3
0 1 2 5
Hinweis: Verwende das Hauptminorenkriterium.
2. Seien A und L symmetrische reelle n × n-Matrizen und sei L positiv definit.
Zeige, dass ein c0 > 0 existiert, sodass A + cL positiv definit ist für alle c > c0 .
3. Sei A die reelle symmetrische positiv-definite Matrix


53 −4 −26
29
22  .
A :=  −4
−26
22
44
Finde eine positiv-definite symmetrische Matrix B mit B 2 = A.
4. Betrachte die reelle symmetrische Matrix

5 3
3 4
B := 
1 1
2 0
1
1
2
9

2
0
.
9
2
Finde ohne Berechnung der Eigenwerte ein S ∈ GLn (R), so dass S T BS diagonal
ist.
5. (a) Bestimme eine Singulärwertzerlegung A = QDR der reellen Matrix


1 −1
A := 0 1  .
1 0
(b) Berechne die Singulärwertzerlegung von AT .
6. Sei K ein Körper mit 2 6= 0 und sei V ein K-Vektorraum. Beweise, dass jede
Bilinearform auf V sich eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer
alternierenden Bilinearform darstellen lässt.
1
7. Betrachte die quadratische Form q auf R4 gegeben durch
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) := 4x21 − 12x1 x2 + 12x22 + 2x23 + 2x1 x4 − 4x3 x4 + 3x24 .
Ist q positiv definit? Ist q ausgeartet? Was ist die Signatur von q?
Hinweis: Verwende quadratische Ergänzung.
Abgabe: 23. März 2015.
2