Wirtschaftsstatistik 2
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Marek Chudý Institut für Statistik und Operations Research http://homepage.univie.ac.at/marek.chudy/ Wirtschaftsstatistik 2 Sommersemester, 6. Oktober 2014 Kurz über mich Studium 2008-2013: Finanz- und Versicherungsmathematik Fakultät für Mathematik und Physik Karlsuniversität in Prag Auslandssemester: 2011 WIWI Humboldt Uni zu Berlin 2012 IWM Technische Uni Wien 2013 WWZ Uni Basel Arbeitserfahrungen: 2009 Allianz a.s. Praha, Rückversicherung 2012 PwC Wien, Financial Services, Consulting Jetzt - Dissertation am ISOR Uni Wien Richtung −→ Zeitreihenanalyse. 2 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Programm 1 Organisatorisches Literatur Anforderungen Notenschlüssel Sprechstunden 2 Inhalt des Kurses 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeit und Statistik Zufallsvariablen Zufällige Stichprobe Normalverteilung Test für den Erwartungswert 3 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Organisatorisches Vorlesung + Musterlösungen der Beispielen: Gruppe 1 Montag /9:45 - 11:15/ OMP1/ HS 3 - 1. Stock ( 0 frei, 36 auf der Warteliste.) Gruppe 2 Freitag /08:00 - 9:30/ OMP1/ HS 9 - 1. Stock ( 0 frei, 30+ auf der Warteliste.) Gruppe 3 Freitag/ 9:45 - 11:15/ OMP1/ HS 5 - 1. Stock ( 0 frei, 30+ auf der Warteliste.) Gruppe 4 Donnerstag / 18:30 - 20:00/ OMP1/ HS 5 - 1. Stock ( 0 frei, 30+ auf der Warteliste.) 4 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Organisatorisches Kursunterlagen: Folien und Übungsmaterial für den Kurs −→ homepage. Die Folien selbst sind für die Prüfung nicht ausreichend. Beispiele werden nur an der Tafel präsentiert. Falls Sie eine LV versäumen: Besorgen Sie sich immer die Notizen. Bei Unklarheiten kommen Sie in die Sprechstunde. Ergänzende Unterlagen: (auch fürs Tutorium ) zum Herunterladen −→ Webseite von Dr. Nagel http://homepage.univie.ac.at/herbert.nagel/ und von Carolina Torossian http://www.unet.univie.ac.at/ a0806628/ Literatur: Brannath/Futschik/Krall: Statistik im Studium der Wirtschaftswissenschaften: Eine Einführung anhand von Beispielen Facultas Verlag 5 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Organisatorisches Anforderungen Vorkenntnisse −→ Kurs Wirtschaftsstatistik 1. Prüfung −→ besteht aus zwei Tests. Erster Test (Midtermtest) - Teilweise Wiederholung von WS 1 + die Einfachregression + Dummy Variablen. Zweiter Test (Endtest)- Einfach- und Mehrfachregression, Einfache Varianzanalyse, Zeitreihenanalyse (falls uns Zeit bleibt) Tutorium −→ Teamwork auf einem Projekt. Die Termine bekommen Sie per Mail. Die Tutoren Carolina Torossian und Yoanna Manolcheva werden Ihre Projekte betreuen und bewerten. 6 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Organisatorisches Tabelle : Wichtige Termine und Punkte für jeden Teil der Gesamtnote Teil 1. Test 2. Test Projekt Datum 24.11. 26.01. alle Zeit 09:45-11:15 09:45-11:15 Info Ort HS 31/HptGeb HS 31/HptGeb. per Email Summe Punkte 20 25 15 60 Tabelle : Bewertung Note 1 2 3 4 5 7 Punkte 60 − 54 53.5 − 47 46.5 − 39 38.5 − 30 29.5 − 0 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Organisatorisches Sprechstunden und Kontakt Ich bin in Raum 6.344/ 6. Stock/ OMP 1/ Montag/ 11:16-12:00. Termine außerhalb der Sprechstunden können Sie per Mail vereinbaren: [email protected] Auf meiner Webseite finden Sie die Unterlagen zum Kurs und wichtige Nachrichten. http://homepage.univie.ac.at/marek.chudy/ 8 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Inhalt des Kurses 1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeit und Statistik (Kap. 4 bis 6) Zufallsvariablen und Zufällige Stichprobe Normalverteilung und Zentrale Grenzwertsatz Test und Konfidenzintervall für den Erwartungswert 2 Korrelation und Einfachregression (Kap. 7 ) Streudiagramm und Korrelation Einfachregression - Graphische Darstellung, T- Test, Annahmen Dummy Variablen 3 Mehrfachregression (Kap. 8) Bestimmtheitsmaß Kleinste Quadraten, F - Test, Annahmen, Prognose Multikolinearität 4 Varianzanalyse (Kap. 9) Einfache Varianzanalyse - Prinzip, F-Test, Annahmen 5 Zeitreihenanalyse1 (Kap. 10) 1 Falls 9 es uns die Zeit erlaubt. Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Warnung des Zufallsstatistikers Essentially, all models are wrong, but some are useful. The practical question is how wrong do they have to be to not be useful. George E. P. Box 18. Oktober, 1919 in Gravesend, England - 28. März, 2013 in Madison, USA. 10 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Zufallsvariablen Begriffe, die wir oft benutzen: Datenanalyse: Beschreibung von empirisch erhobenen Daten. Zufallsexperiment: Vorgang, der endlich oder unendlich viele mögliche Ergebnisse hat. Wir wissen nicht im voraus, welches von diesen Ergebnissen eintreten wird. Beispiel (Wir werfen 4 Würfel(verschiedene Farben)) Wie viele mögliche Ergebnisse hat dieses Zufallsexperiment? In wie vielen davon sind alle 4 Augenzahlen verschieden? Ereignis: Ausgang eines Zufallsexperiments. Die Menge aller denkbaren Ausgänge (Elementarereignisse) eines Zufallsexperimentes nennt man den Ereignisraum. Notation: Ereignisraum −→ Ω. Elementarereignis −→ ω. Beispiel (Wir messen unsere Temperatur) Wie viele mögliche Ergebnisse hat dieser Zufallsexperiment? Was ist ω und Ω? 11 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bezeichnen wir als P(A). Es gilt: P(A) ∈ P(Ω) = P(A ∪ B) = h0, 1i , 1, P(A) + P(B), wenn A und B zwei ausschließende Ereignisse sind. Unabhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B). Andernfalls heißen die Ereignisse abhängig. Beispiel (Wir werfen 4 Würfel) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 4 Augenzahlen verschieden? 12 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine reelle Funktion an dem Ereignisraum Ω. d.h.: X (ω) ∈ (−∞, ∞). Wir werden statt X (ω) nur X schreiben. Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur abzählbar viele Werte an. Eine stetige Zufallsvariable kann jeden beliebigen Wert aus einem Intervall annehmen. Beispiel (Note aus WS 2) Beispiel (Warten auf Ihre U-bahn) X ist die Anzahl der Studenten mit Note 1. 0 = x0 1 = x1 X = . .. n = xn X ist die Zeit in Minuten, bis die nächste U-bahn kommt. Seit 5. Oktober gilt laut Wiener Linien: Die Wahrscheinlichkeit P(X = xk ) ≥ 0. 13 Wirtschaftsstatistik 2 X ∈ h0, 4i . Die Wahrscheinlichkeit P(t1 < X < t2 ) ≥ 0, wobei 0 ≤ t1 < t2 ≤ 4. Vorsicht! P(X = tk ) = 0. [email protected] Zufallsvariablen Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist Funktion einer reellen Zahl x , definiert durch die Formel: F (x ) = P(X ≤ x ). Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariable berechnet man als P F (x ) = k ≤x P(X = k ). Verteilungsfunktion stetiger Zufallsvariable berechnet man als Rx F (x ) = −∞ f (y )dy , wobei f () die Dichtefunktion von X ist. Beispiel (Binomialverteilung) Beispiel (Exponentialverteilung) für Bi(n, p) gilt: P(X = k ) = kn pk (1 − p)n−k . Daher P F (x ) = k ≤x kn pk (1 − p)n−k . Für Exp(λ), mit Parameter λ > 0 gilt: −λx f (x ) = λe x > 0, λ > 0. R x , wobei F (x ) = −∞ λe−λy dy . 14 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] 0.0 0.4 0.8 0.00 0.10 0.20 Bi(10,1/2) Zufallsvariablen 0 2 4 6 8 10 0 4 6 8 10 Verteilungsfunktion 0.8 0.0 0.4 0.2 0.0 Norm(37,1) 0.4 Dichte 2 32 15 34 36 38 40 42 Wirtschaftsstatistik 2 32 34 36 38 40 42 [email protected] Zufallsvariablen Lagemaßzahlen: Die Quantilsfunktion F −1 (α) einer stetigen Zufallsvariablen X ist die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion. Den Wert F −1 (α) dieser Funktion nennen wir α-Quantil. Es gilt: P(X ≤ F −1 = α. (α))−1 F (0.5) median Notation: F −1 (0.25) erstes Quartil −1 F (0.75) drittes Quartil Der Erwartungswert2 EX ist das Niveau, um welches die Werte der Zufallsvariablen X variieren. Streuungsmaßzahlen: Die Varianz3 var(X ) = E(X − EX )2 misst die Schwankung der Werte von X um das Niveau EX .p Die Standardabweichung4 σX = var(X ). Vorteil : Man kann sie in denselben Einheiten interpretieren wie X . 2 Engl.∼ Expectation Variance 4 Engl.∼ Standard deviation Wirtschaftsstatistik 2 3 Engl.∼ 16 [email protected] Zufallsvariablen EX und var(X ) von diskreten Zufallsvar. berechnet man: X EX = k P(X = k ) k var(X ) = EX 2 − (EX )2 Beispiel (Binomialverteilung) für Bi(n, p) gilt: EX = . . . = np var(X ) = . . . = np(1 − p) EX und var(X ) von stetigen Zufallsvar. berechnet man: Z ∞ EX = x f (x )dx −∞ var(X ) = EX 2 − (EX )2 Beispiel (Exponentialverteilung) Für Exp(λ), mit λ > 0 gilt: 1 EX = . . . = λ 1 var(X ) = . . . = 2 λ Vorsicht! EX und var(X ) existieren nicht für jede Verteilung! Notation: EX = µ und var(X ) = σ 2 . 17 Wirtschaftsstatistik 2 [email protected] Zusammenfassung Organisatorisches... Sich die Termine der Prüfungen merken. Die Anforderungen und Notenschlüssel anschauen. Wiederholung der Wirtschaftsstatistik 1... Für die nächste Stunde... Alle Grundbegriffe : Zufallsexperiment, Zufallsvariablen, Verteilung, Erwartungswert... Beispiele im Buch + Vorlesung + Übungsmaterial durchgehen. Schätzverfahren und Testverfahren aus WS 1 wiederholen. Fragen und Korrekturen bitte an [email protected] schicken.