Systemtheorie III

Technische Universität Dresden
Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik
S TOCHASTISCHE S IGNALE UND S YSTEME
Übungsaufgaben – Formelsammlung
Prof. Dr.-Ing. habil.
Helmut Schreiber
Prof. Dr.-Ing. habil.
Renate Merker
Vorwort zur 1. Auflage
Die vorliegende Aufgabensammlung wurde aus Übungsaufgaben zusammengestellt, die in den
letzten drei Jahren in den rechnerischen Übungen im Lehrgebiet Systemtheorie III behandelt
wurden. Die Anordnung und Numerierung der Aufgaben erfolgt entsprechend der stofflichen
Gliederung der Vorlesung:
Kapitel 8:
Kapitel 9:
Kapitel 10:
Stochastische Signale
Statische Systeme
Dynamische Systeme
Die genannte Lehrveranstaltung ist Bestandteil des Hauptstudiums für die Studienrichtung Informationstechnik im Studiengang Elektrotechnik und wird im 5. Semester durchgeführt. Für
diese Lehrveranstaltung werden die im 3. und 4. Semester im Lehrgebiet Systemtheorie I/II
erworbenen Kenntnisse vorausgesetzt.
Außerdem wird im 6. bzw. 8. Semester noch ein Wahlpflichtfach Stochastische Signale und
Systeme angeboten, das die Systemtheorie III inhaltlich vertieft und einige Anwendungen der
Theorie der stationären zufälligen Prozesse hervorhebt (Rauschanalyse elektronischer Schaltungen, Optimalfilter im Sinne von Wiener u. a.). Entsprechende Übungsaufgaben hierzu sind
in einem Anhang zusammengefasst.
Die vorliegende Aufgabensammlung enthält zusätzlich eine Auswahl von Prüfungsklausuren aus den letzten Jahren. Für eine der Prüfungsklausuren ist jeweils eine Bearbeitungszeit von
120 Minuten vorgesehen. Als Hilfsmittel für die Lösung der Prüfungsaufgaben dürfen die Formelsammlungen verwendet werden, die gleichfalls in dieser Aufgabensammlung mit enthalten
sind.
Dresden, 01.04.1996
R. Merker, H. Schreiber
Vorwort zur 2. Auflage
Abgesehen von einigen wenigen Korrekturen unterscheidet sich die neue Auflage nicht von der
bisherigen. In Übereinstimmung mit der in der englischsprachigen Literatur überwiegend anzutreffenden Schreibweise wird die komplexe Variable im Bildbereich der Laplace–Transformation
nunmehr mit s = σ + jω (anstelle bisher p = σ + jω) bezeichnet.
Herrn cand. ing. H. Garten danken wir für die freundliche Unterstützung bei der Überarbeitung dieses Lehrmaterials.
Dresden, 01.04.1999
R. Merker, H. Schreiber
2
Inhaltsverzeichnis
A Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Stochastische Signale und Systeme
4
H Hausaufgaben zum Lehrgebiet Stochastische Signale und Systeme
11
F Formelsammlung
19
3
A Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Stochastische Signale und
Systeme
A.1 In dem gegebenen linearen dynamischen System im Nullzustand (Bild A.1) seien die
determinierten Eingangsgrößen
x1 (t) = u1 (t),
x2 (t) = u2 (t),
x3 (t) = u3 (t),
x4 (t) = i0 (t)
gegeben. Stellen Sie für die Ausgangsgrößen
y1 (t) = iR (t),
y2 (t) = uL (t),
y3 (t) = iC (t)
das Gleichungssystem Y (s) = G(s)X(s) im Bildbereich der Laplace-Transformation
auf!
iC
i0
L
uL
C
R
u2
u1
u3
iR
Bild A.1
A.2 Die in Bild A.2 gegebene Schaltung wird durch zwei Rauschspannungsquellen und durch
eine Rauschstromquelle erregt, welche durch die stationären Prozesse
X1 = U1 , X2 = U2 und X3 = I3 mit den Leistungsdichtespektren
SX1 (ω) = S11 , SX2 (ω) = S22 und SX3 (ω) = S33 beschrieben werden können. Die
Korrelation von U1 und I3 wird durch das Kreuzleistungsdichtespektrum
SX1 X3 (ω) = S13 berücksichtigt. U2 ist mit U1 und I3 nicht korreliert.
a) Stellen Sie die Übertragungsmatrix G(jω) für den Fall auf, dass Y1 = IR und Y2 = IC
die Ausgangsprozesse sind!
b) Wie lautet das Leistungsdichtespektrum des Stromes IR ?
c) Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum der Ströme IR und IC , und geben
Sie einen Integralausdruck für die Kreuzkorrelationsfunktion von IR und IC an!
4
U1
IR
I3
L
R
IC
C
U2
Bild A.2
A.3 Gegeben ist der im Bild A.3a dargestellte Zweipol mit den Klemmen AB, worin ZQ
einen rauschfreien RLC-Zweipol bezeichnet. Man bestimme die Rauschersatzschaltung
(S(ω), Z(jω)) dieses Zweipols (Bild A.3b)!
SU (ω)
ZQ
A
A
SU I (ω)
Z(jω)
SI (ω)
S(ω)
SQ (ω)
B
B
Bild A.3a
Bild A.3b
A.4 Für den in Bild A.4a dargestellten RLC-Vierpol mit zwei rauschenden Ohmschen Widerständen R1 und R2 bestimme man die Rauschleistungsdichtespektren der Leerlaufspannungen U1 und U2 sowie deren Kreuzleistungsdichtespektrum! Für den dargestellten
RLC-Vierpol ist außerdem eine Rauschersatzschaltung gemäß Bild A.4b anzugeben, deren Ersatzrauschquellen am Eingang des Vierpols angeordnet sind. Man bestimme die
Leistungsdichtespektren dieser Ersatzrauschquellen!
UE
L
U1
R2
R1
C
U2
IE
Bild A.4a
Bild A.4b
5
A.5 Gegeben ist die Rauschersatzschaltung (Bild A.5a) mit den Leistungsdichtespektren SU1 (ω),
SU2 (ω), SU3 (ω) und SI4 (ω). Alle Rauschquellen werden als unkorreliert betrachtet. Der
Operationsverstärker ist als ideal mit V → ∞ anzusehen.
R2
R2
U2
UE
−
−
R1
U1
U3
R1
+
+
I4
IE
Bild A.5a
Bild A.5b
a) Gesucht ist die Rauschersatzschaltung Bild A.5b mit den Leistungsdichtespektren
SUE (ω), SIE (ω) und SUE IE (ω)!
Hinweis: Die Rauschquellen in Bild A.5b sind so zu bestimmen, dass sie am Ausgang
die gleiche Wirkung haben wie die Rauschquellen von Bild A.5a!
b) Welche Ergebnisse erhält man in a) mit den Zahlenwerten
R1 = 100Ω
SU+3 (ω) = 10−16 V2 s
R2 = 10kΩ
SI+4 (ω) = 10−24 A2 s
4kT = 1, 7 · 10−20 Ws
SU+1 (ω) = 4kT R1
SU+2 (ω) = 4kT R2
c) Welche Rauschzahl erhält man für die Schaltung, wenn der eingangsseitig angeschlossene Signalgenerator einen Innenwiderstand RQ = 100Ω hat?
d) Für welchen Wert RQ würde Rauschanpassung bestehen? Wie groß wäre in diesem
Fall die minimale Rauschzahl?
A.6 a) Mit Hilfe des in der Vorlesung gegebenen (vereinfachten) Rauschersatzschaltbildes
des Transistors zeichne man die Rauschersatzschaltung zu Bild A.6 (ohne Berücksichtigung des Schmalbandfilters)!
b) Bestimmen Sie die Beiträge der Widerstände RS und RC sowie den Beitrag des Transistors zur Rauschspannung am Ausgang der Schaltung!
c) Wie groß ist die effektive Rauschspannung am Ausgang der Schaltung?
d) Wie groß ist der Signal-Rausch-Abstand a in dB, wenn die Signalspannung am Ausgang der Schaltung US = 0, 5 V beträgt?
Hinweise:
a = 20 lg
US
UR
UR = Ueff =
p
E (U 2 (t))
6
4kT = 1, 66 · 10−20 Ws
+
RC
RS
Ideales
Schmalbandfilter
SC 239E
S
Bild A.6
Filter: REing → ∞
Bandmittenfrequenz: 1 kHz
Bandbreite: ∆f = 40 Hz
S Signalquelle
RS = 1 kΩ
RC = 200 kΩ
A.7 Das Leistungsdichtespektrum eines stationären zufälligen Prozesses X sei durch
SX (ω) =
A(ω 2 + a2 )
= S̃X (ω 2 )
ω 4 + 2ω 2 (b2 − c2 ) + (b2 + c2 )2
(A, a, b, c ∈ R+ )
gegeben. Man zerlege
S̃X (−s2 ) = S̃˜X (s)S̃˜X (−s)
derart, dass Pole und Nullstellen von S̃˜X (s) nur in der linken (bzw. von S̃˜X (−s) nur in
der rechten) s-Halbebene liegen!
A.8 Am Eingang eines linearen Systems (Bild A.8) liegt ein stationärer Prozess (Nutzsignal)
mit dem Leistungsdichtespektrum
7
2
SN ( )=
4kA
2
+4k 2
G(s)=?
X= XN +XS
Y XN
Bild A.8
Dieses Nutzsignal wird durch ein „weißes Rauschen“ mit dem Leistungsdichtespektrum
SS (ω) = S0 gestört. Nutz- und Störsignal seien miteinander unkorreliert.
a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G des Optimalfilters! Das Filter soll ohne
Laufzeitverzögerung bestimmt werden.
b) Geben Sie eine Realisierung des Filters für den Fall an, dass die Prozesse durch elektrische Spannungen gegeben sind!
A.9 Gegeben sei das zweidimensionale Signal x:
(
(t2 − t1 )2 t1 ≥ 0 ∧ t2 ≥ 0
x(t1 , t2 ) =
0
t1 < 0 ∨ t2 < 0.
a) Bestimmen Sie die zweidimensionale Laplace-Transformierte dieses Signals!
(X(s1 , s2 ) =?)
b) Man setze t2 − t1 = τ und zeige, dass X(s1 , s2 ) in der Form
X(s1 , s2 ) =
X(s1 ) + X(s2 )
s1 + s2
dargestellt werden kann, wobei durch X(s) die eindimensionale Laplace-Transformierte des durch x(τ ) gegebenen Signals bezeichnet wird!
A.10 Gegeben ist die zweidimensionale Laplace-Transformierte der Autokorrelationsfunktion
eines nichtstationären zufälligen Prozesses in der Form
SX (s1 , s2 ) =
2s1 + 2s2 + 12
.
(s1 + s2 )(s1 + 3)(s2 + 3)
Wie lautet die Autokorrelationsfunktion? (sX (t1 , t2 ) =?)
A.11
R
Die in der dargestellten Schaltung (Bild
A.11) enthaltene Rauschspannungsquelle U0
wird durch einen stationären Gaußprozess
mit der Dichte fU0 :
t=0
U0
L
Bild A.11
"
2 #
1
1 u0 − mU0
fU0 (u0 , t) = √
exp −
2
σU0
2πσU0
8
U
beschrieben.
Man bestimme den Mittelwert mU (t) = E(U (t)) der Ausgangsspannung U für t ≥ 0!
A.12
R
In der gegebenen Schaltung (Bild
A.12) wird zur Zeit t = 0 ein statioU
närer Prozess U0 mit der Autokorrela- 0
tionsfunktion sU0 :
L
t=0
R2
U
Bild A.12
sU0 (t1 , t2 ) = K0 δ(t2 − t1 )
(K0 > 0)
eingeschaltet. Es sei mU0 (t) = 0.
a) Berechnen Sie den Mittelwert mU (t) = E(U (t))!
b) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion des nichtstationären Prozesses U am Ausgang der Schaltung!
c) Berechnen Sie
σU2 (t) = E (U (t) − mU (t))2
und stellen Sie σU2 (t) in Abhängigkeit von t dar!
d) Nach hinreichend langer Zeit geht U in einen stationären Prozess über. Bestimmen Sie
aus dem Ergebnis von b) die Autokorrelationsfunktion dieses stationären Prozesses!
e) Skizzieren Sie qualitativ sU (t1 , t2 ) über dem 1. Quadranten der t1 -t2 -Ebene!
Hinweis: Man setze t1 = 12 (t − τ ), t2 = 12 (t + τ ) und diskutiere sU (t, τ ) für verschiedene Werte von t in Abhängigkeit von τ !
A.13 Berechnen Sie die Übertragungsmatrix G(z) des in Bild A.13 dargestellten linearen zeitdiskreten Systems mit einem Eingang und drei Ausgängen!
y1(k)
-0,25
x( k )
+
S1
S2
-1
+
y2(k)
y3(k)
-1
Bild A.13
A.14 Für ein zeitdiskretes Glättungsfilter, das im Zeitpunkt k am Ausgang den Mittelwert aus
dem aktuellen und den beiden vorangegangenen Signalwerten bildet, gilt für den Ausgangsprozess in Zeitpunkt k:
Y (k) =
1
X(k) + X(k − 1) + X(k − 2) .
3
9
Der stationäre Eingangsprozess X sei ein rein stochastischer Prozess mit der Autokorrelationsfolge
(
A2
sX (κ) =
0
κ = 0,
κ 6= 0.
a) Zeichnen Sie eine Schaltung des linearen zeitdiskreten Systems auf!
b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion dieses Systems! (G(z) =?)
c) Berechnen Sie die Korrelationsfolge sY (κ) = E Y (k)Y (k + κ) des Ausgangsprozesses Y und geben Sie dazu eine grafische Darstellung an!
d) Berechnen Sie die zweiseitige Z-Transformierte SY (z) = Z(sY (κ)) der Korrelationsfolge!
e) Zeigen Sie, dass SY (z) = G(z)G(z −1 )SX (z) gilt!
f) Bestimmen Sie das durch SY (ejΩ ) definierte Leistungsdichtespektrum des Prozesses
Y und skizzieren Sie SY (ejΩ ) im Intervall −π ≤ Ω ≤ π!
g) Wie groß ist der quadratische Mittelwert E(Y 2 (k)) des Prozesses Y ?
A.15 Gegeben ist ein Digitalfilter (Bandpass 2.
Grades, Bild A.15) mit der Übertragungsfunktion G:
xs (k)
ys (k)
Bandpass
Xr (k)
z2 − 1
G(z) =
2, 1z 2 + 1, 9
Yr (k)
Bild A.15
Am Eingang des Digitalfilters liegt das zeitdiskrete Signal xs :
xs (k) = X̂ sin Ωk
1
(X̂ = 1, Ω = π)
2
und ein durch die vorausgehende Analog-Digital-Umwandlung hervorgerufenes zeitdiskretes Signal (Quantisierungsrauschen), das näherungsweise durch einen stationären zeitdiskreten stochastischen Prozess Xr mit unkorrelierten Signalwerten beschrieben
werden
1
1
kann. Es wird angenommen, dass Xr (k) im Intervall − 2 ∆, + 2 ∆ gleich verteilt sei
(Zahlenbeispiel: ∆ = 2−10 ).
a) Man berechne und skizziere den Amplitudenfrequenzgang des Digitalfilters!
b) Man bestimme den Signal-Rausch-Abstand a am Eingang und am Ausgang des Filters!
Hinweis:
∼∼∼∼
Xs, eff
x2s (k)
a = 20 lg
= 10 lg ∼∼∼∼
Xr, eff
x2r (k)
10
H
Hausaufgaben zum Lehrgebiet Stochastische Signale und
Systeme
H.1 In der angegebenen Blockschaltung (Bild H.1) bezeichnet X einen stationären Gaußprozess mit der eindimensionalen Dichte fX :
1
x2
fX (x, t) = √
exp − 2
(A ∈ R)
2A
2πA2
und der Autokorrelationsfunktion sX :
sX (τ ) = A2 e−a|τ |
(a > 0)
Außerdem ist System 1 durch einen Tiefpass mit der Übertragungsfunktion G:
G(s) =
1
sT + 1
(T > 0)
und System 2 durch eine ideale Verzögerungsschaltung mit der Laufzeit α
gegeben. Man bestimme für den Prozess Z am Ausgang
(α > 0)
a) die Autokorrelationsfunktion,
b) das Leistungsdichtespektrum,
c) die eindimensionale Dichtefunktion!
System 2
X(t)
System 1
Y (t − α)
+
Y (t)
Z(t)
Bild H.1
H.2 Gegeben ist ein technischer HF-Schwingkreis (Bild H.2) mit den Schaltelementen
R, L und C. Hierbei bezeichnet R einen
thermisch rauschenden Widerstand, für den
R2 > L/4C gilt.
C
A
B
R
L
Bild H.2
a) Man bestimme das Leistungsdichtespektrum SU (ω) der Rauschspannung an den Klemmen AB!
11
b) Man bestimme die Autokorrelationsfunktion sU (τ )!
Hinweis: Korrespondenz der Fourier-Transformation
ω2
ω 4 + 2ω 2 (2β 2 − α2 ) + α4
e−β|τ |
4β
cos
p
α2 − β 2 τ − p
β
α2 − β 2
sin
p
!
α2 − β 2 |τ |
c) Wie groß ist die effektive Rauschspannung an den Klemmen AB?
d) Welche Ergebnisse erhält man näherungsweise in c), wenn mit Hilfe der Formel von
Nyquist gerechnet wird und für ∆f die Bandbreite des Schwingkreises eingesetzt
wird?
e) Wie muss der Schwingkreis bei gleicher Resonanzfrequenz umdimensioniert werden,
wenn die effektive Rauschspannung auf die Hälfte herabgesetzt werden soll?
f) Was erhält man in a) bis e) mit den Zahlenwerten
4kT = 1, 66 · 10−20 Ws,
L = 0, 555 mH,
C = 200 pF,
R = 416 kΩ?
H.3 In der gegebenen Schaltung (Bild H.3) bestimme man für die Rauschspannung U am
Ausgang
- das Leistungsdichtespektrum,
- die Autokorrelationsfunktion und
- die effektive Rauschspannung
a) allgemein
b) mit den Zahlenwerten
S0 = 10−14 V2 s,
R = 1 MΩ,
C = 1 µF,
V
R
S0
C
Idealer
Verstärker
V = 100.
R
C
U
Bild H.3
H.4 Gegeben ist die im Bild H.4 dargestellte Schaltung zweier rückgekoppelter linearer dynamischer Systeme (System 1: m Eingänge, l Ausgänge; System 2: l Eingänge, m Ausgänge) mit den stationären Eingangsprozessen X1 , X2 , . . . , Xl . Man bestimme die Matrix
S Y Y (ω) der Leistungsdichtespektren der Ausgangsprozesse, ausgedrückt durch die Matrix S XX (ω) der Leistungsdichtespektren der Eingangsprozesse, und die Übertragungsmatrizen G(jω) und H(jω) der beiden Systeme!
12
System 1
H
+
X1
X2
Y1
Y2
System 2
+
G
+
Xl
Ym
Bild H.4
H.5 Gegeben ist das in Bild H.5 dargestellte lineare dynamische System, das durch stationäre
stochastische Prozesse X1 und X2 erregt wird.
-1
+
X1
3
X2
+
R
Z1
R
-2
Z2
Y1
2
+
Y2
Bild H.5
a) Bestimmen Sie (ausgehend von den Zustandsgleichungen für determinierte Erregung)
die Systemmatrizen A, B, C und D
b) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix Φ(s) = (sE − A)−1 und die Übertragungsmatrix G(s) = C Φ(s)B + D!
c) Von den Prozessen X1 und X2 sei die Matrix der Leistungsdichtespektren
SX1 (ω) SX1 X2 (ω)
S XX (ω) =
SX2 X1 (ω) SX2 (ω)
bekannt. Drücken Sie die folgenden Matrizen von Leistungsdichtespektren bzw. Kreuzleistungsdichtespektren allgemein durch S XX , Φ und G aus:
SZ1 (ω) SZ1 Z2 (ω)
SX1 Z1 (ω) SX1 Z2 (ω)
S ZZ (ω) =
S XZ (ω) =
SZ2 Z1 (ω) SZ2 (ω)
SX2 Z1 (ω) SX2 Z2 (ω)
SX1 Y1 (ω) SX1 Y2 (ω)
SY1 (ω) SY1 Y2 (ω)
S XY (ω) =
S Y Y (ω) =
SX2 Y1 (ω) SX2 Y2 (ω)
SY2 Y1 (ω) SY2 (ω)
13
d) Was erhält man speziell für S ZZ (ω) und S Y Y (ω) falls gilt
SX1 (ω) =
ω2
A
,
+ a2
SX2 (ω) = K
und
SX1 X2 (ω) = 0?
H.6 Gegeben ist die im Bild H.6a dargestellte Schaltung eines Transistorverstärkers mit zwei
thermisch rauschenden Widerständen R1 und R2 . Für den Transistor ist die Rauschersatzschaltung Bild H.6b einzusetzen.
+
R2
SU
R1
C
RE
UA
URE
SI
I = S URE
Bild H.6a
Bild H.6b
a) Man berechne das Leistungsdichtespektrum der Rauschspannung UA !
b) Welche Autokorrelationsfunktion hat die Rauschspannung UA ?
c) Wie groß ist die effektive Rauschspannung am Ausgang?
d) Welches Ergebnis erhält man in c) mit den Zahlenwerten
R1 = 1 kΩ, R2 = 200 kΩ, RE = 400 kΩ, S = 0, 5 mA/V,
C = 10 nF, k = 1, 38 · 10−23 Ws/K, T = 300 K,
SU (ω) = 0, 5 · 10−14 V2 s, SI (ω) = 0, 5 · 10−25 A2 s
H.7 Von einem rauschenden RLC-Vierpol mit bekannter Kettenmatrix
A11 A12
A=
A21 A22
zeigt Bild H.7a die gegebene Rauschersatzschaltung.
UE
UA
RLC-Vierpol
RLC-Vierpol
IE
Bild H.7a
IA
Bild H.7b
a) Berechnen Sie die Leistungsdichtespektren der Rauschersatzschaltung Bild H.7b! (Matrizengleichung!)
14
b) Stellen Sie die Lösung von a) so um, dass bei gegebenen Leistungsdichtespektren der
Schaltung Bild H.7b die Leistungsdichtespektren der Schaltung Bild H.7a berechnet
werden können!
c) Wie lauten die Leistungsdichtespektren der Rauschersatzschaltungen Bild H.7a und
Bild H.7b für den in Bild H.7c dargestellten Tiefpass?
L
R
C
C
Bild H.7c
H.8 Gegeben ist ein symmetrisches Dämpfungs-π-Glied (Bild H.8), das aus thermisch rauschenden Ohmschen Widerständen aufgebaut ist (R1 = 660 Ω, R2 = 6 kΩ).
R2
R1
R1
Bild H.8
a) Geben Sie eine Rauschersatzschaltung des Vierpols an, bei der die Rauschquellen am
Vierpoleingang liegen! Bestimmen Sie die Leistungsdichtespektren dieser Rauschquellen! (4kT = 1, 66 · 10−20 Ws)
b) Wie groß ist der Wellenwiderstand ZW und die Dämpfung a (in Neper) des Vierpols,
wenn dieser eingangs- und ausgangsseitig mit ZW abgeschlossen wird?
c) Berechnen Sie die Rauschzahl F des Vierpols bei eingangs- und ausgangsseitigem
Abschluss mit ZW !
d) Wie groß ist die effektive Rauschspannung am Ausgang des beiderseitig leerlaufenden
Vierpols im Niederfrequenzgebiet (∆f = 20 kHz)?
H.9 Gegeben sei ein stationärer stochastischer Prozess X mit dem Leistungsdichtespektrum
SX :
SX (ω) =
ω4
A
+ a4
(A > 0, a > 0).
a) Es ist ein Vorhersagesystem (Bild H.9) zu entwerfen, das es gestattet, den Prozess X
optimal (im Sinne der Optimalfiltertheorie von WIENER) vorauszusagen. Die Vorhersagezeit sei τ (τ > 0). Die Übertragungsfunktion des Optimalsystems ist anzugeben!
15
b) Geben Sie eine Schaltung zur Realisierung des Optimalsystems an, wenn der Prozess
X als Strom gegeben ist und der „vorhergesagte Prozess“ Y als Spannung vorliegen
soll!
X
G=?
Y
Bild H.9
H.10 Gegeben sei ein stationärer stochastischer Prozess X mit dem Leistungsdichtespektrum
SX :
A
SX (ω) = 2
(A > 0, a > 0).
(ω + a2 )2
a) Es ist ein Vorhersagesystem (Bild H.10) zu entwerfen, das es gestattet, den Prozess
X optimal (im Sinne der Optimalfiltertheorie von WIENER) vorauszusagen. Die Vorhersagezeit sei τ (τ > 0). Die Übertragungsfunktion des Optimalsystems ist anzugeben!
b) Geben Sie eine Schaltung zur Realisierung des Optimalsystems an, wenn der Prozess
X als Strom gegeben ist und der „vorhergesagte Prozess“ Y als Spannung vorliegen
soll!
X
G=?
Y
Bild H.10
H.11 Gegeben ist das lineare Netzwerk Bild H.11.
U4
I4
Z4
Z2
I3
Z1
Z5
U2
Z3
Bild H.11
16
U5
Für die Schaltelemente sind einzusetzen:
Z1 :
Z2 :
Z3 :
Z4 :
Z5 :
Widerstand R1
Widerstand R2
Widerstand R3
Widerstand R4
Widerstand R5
/
/
/
/
/
Induktivität L1
Induktivität L2
Induktivität L3
Induktivität L4
Induktivität L5
Kapazität C1
Kapazität C2
Kapazität C3
Kapazität C4
Kapazität C5
/
/
/
/
/
(Auswahl!)
Die Rauschquellen U2 , I3 , U4 und U5 sind durch stationäre stochastische Prozesse mit den
Leistungsdichtespektren S22 (ω), S33 (ω), S44 (ω) bzw. S55 (ω) gegeben. Die Korrelation
des Prozesses I3 mit
U2
/
U4
/
U5
(Auswahl!)
wird durch das gleichfalls gegebene Kreuzleistungsdichtespektrum
S32 (ω) /
S34 (ω) /
S35 (ω)
bestimmt. Alle übrigen Rauschquellen sind unkorreliert.
a) Man zeichne die Schaltung mit den gegebenen Schaltelementen auf!
b) Man bestimme das Leistungsdichtespektrum des Stromes I4 !
c) Man bestimme das Kreuzleistungsdichtespektrum der Ströme I3 und I4 !
H.12 Gegeben ist der im Bild H.12a dargestellte Vierpol (symmetrische X-Schaltung).
SU
Z1
Z2
Rauschfreier
Vierpol
Z2
SU I
SI
Z1
Bild H.12a
Bild H.12b
Hierbei bezeichnet
Z1 :
Z2 :
einzelnes Schaltelement
Reihenschaltung von
Parallelschaltung von
einzelnes Schaltelement
Reihenschaltung von
Parallelschaltung von
und
und
(Auswahl: R, L, C)
(Auswahl: R und L, R und C)
(Auswahl: R und L, R und C)
und
und
(Auswahl: R, L, C)
(Auswahl: R und L, R und C)
(Auswahl: R und L, R und C)
17
Alle enthaltenen Ohmschen Widerstände Ri sind als thermisch rauschend mit
S(ω) = 2kT Ri zu betrachten.
a) Man zeichne den Vierpol Bild H.12a mit den angegebenen Schaltelementen auf!
b) Für den Vierpol ist eine Rauschersatzschaltung gemäß Bild H.12b gesucht. Bestimmen Sie die Leistungsdichtespektren SU (ω), SI (ω) und SU I (ω) dieser Rauschersatzschaltung!
18
F Formelsammlung
Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 1)
Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
P (A) = 1 − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
= P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅ (A, B unvereinbar)
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
= P (A) − P (B), falls B ⊂ A
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
= P (A)P (B), falls A und B unabhängig
P (A ∩ B)
P (B)
P (A|B) =
P (B) =
n
X
(P (B) 6= 0)
P (B|Ai )P (Ai )
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
i=1
P (Ai |B) =
P (B|Ai )P (Ai )
P (B)
Bayessche Formel
Eindimensionale Zufallsgrößen
FX (ξ) = P {X < ξ} =
Zξ
fX (x)dx
−∞
P {a ≤ X < b} =
Zb
fX (x)dx = FX (b) − FX (a)
a
Spezielle Verteilungen
(x − m)2
1
(σ > 0) Normalverteilung (Gaußverteilung)
fX (x) = √
exp −
2σ 2
2π σ
n k
P {X = k} =
p (1 − p)n−k (k = 0, 1, 2, . . . , n) Binomialvert. (Bernoulliv.)
k
P {X = k} =
λk −λ
e
k!
(k = 0, 1, 2, . . . ) Poissonverteilung
19
Momente eindimensionaler Zufallsgrößen
X diskret
X stetig
X
xi P {X = xi }
Z∞
xni P {X = xi }
−∞
Z∞
Gewöhnliche Momente:
Erwartungswert m = E(X)
i
Momente n-ter Ordng. mn = E(X n )
X
i
xfX (x)dx
xn fX (x)dx
−∞
Zentrale Momente:
Dispersion, Varianz
µ2 = E((X − m)2 ) = Var(X)
X
(xi − m)2 P {X = xi }
Z∞
(x − m)2 fX (x)dx
(xi − m)n P {X = xi }
−∞
Z∞
(x − m)n fX (x)dx
e jλxi P {X = xi }
−∞
Z∞
e jλx fX (x)dx
i
Zentralmoment n-ter Ordnung
µn = E((X − m)n )
X
i
Charakteristische Funktion:
ϕX (λ) = E e jλX
X
i
−∞
Zweidimensionale Zufallsgrößen X = (X1 , X2 )
Zξ1 Zξ2
FX (ξ1 , ξ2 ) = P {X1 < ξ1 , X2 < ξ2 } =
fX (x1 , x2 )dx1 dx2
−∞−∞
P {a1 ≤ X1 < b1 , a2 ≤ X2 < b2 } =
Zb1Zb2
fX (x1 , x2 )dx1 dx2
a1 a2
= FX (b1 , b2 ) − FX (b1 , a2 ) − FX (a1 , b2 ) + FX (a1 , a2 )
Randdichte:
Z∞
fX1 (x1 ) =
fX (x1 , x2 )dx2
fX2 (x2 ) =
−∞
Z∞
fX (x1 , x2 )dx1
−∞
Bedingte Dichte:
fX1 (x1 |x2 ) =
fX (x1 , x2 )
fX2 (x2 )
fX2 (x2 |x1 ) =
fX (x1 , x2 )
fX1 (x1 )
Korrelationskoeffizient:
Cov(X1 , X2 )
%(X1 , X2 ) = p
Var(X1 )Var(X2 )
=p
E((X1 − mX1 )(X2 − mX2 ))
E ((X1 − mX1 )2 ) E ((X2 − mX2 )2 )
20
Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 2)
Transformation von Zufallsgrößen durch statische Systeme
Eindimensionale Zufallsgrößen:
X
FX
X
FY
ϕ bijektiv
fX (x) fY (y) = dϕ dx
Y
ϕ
fX
ϕ bijektiv, monoton wachsend
y = ϕ(x) = FY−1 (FX (x))
Y
ϕ=?
fY = ?
x=ϕ−1 (y)
Zweidimensionale Zufallsgrößen:
X1
Φ bijektiv
Y1
fX (x1 , x2 ) fY (y1 , y2 ) = ∂(ϕ1 ,ϕ2 ) ∂(x ,x ) Φ
X2
fX
Y2
fY = ?
1
2
(x1 ,x2 )=Φ−1 (y1 ,y2 )
Zufällige Prozesse
Erwartungswert:
mX (t) = E(X(t)) =
Z∞
xfX (x, t)dx
−∞
Varianz:
Var(X(t)) = E ((X(t) − mX (t))2 =
Z∞
(x − mX (t))2 fX (x, t)dx
−∞
(Auto-)Korrelationsfunktion:
sX (t1 , t2 ) = E(X(t1 )X(t2 )) =
Z∞ Z∞
x1 x2 fX (x1 , t1 ; x2 , t2 )dx1 dx2
−∞−∞
Kreuzkorrelationsfunktion:
sXY (t1 , t2 ) = E(X(t1 )Y (t2 )) = sY X (t2 , t1 )
Kovarianzfunktion:
Cov(X(t1 ), X(t2 )) = E((X(t1 ) − mX (t1 ))(X(t2 ) − mX (t2 )))
= sX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 )
Kovarianzmatrix:


Cov(X(t1 ), X(t1 )) · · · Cov(X(t1 ), X(tn ))


..
..
...
Cov(X) = 

.
.
Cov(X(tn ), X(t1 )) · · · Cov(X(tn ), X(tn ))
21
Stationäre zufällige Prozesse
Erwartungswert:
E(X(t)) = mX (t) = mX
Varianz:
2
Var(X(t)) = σX
(Auto-)Korrelationsfunktion:
sX (τ ) = E(X(t)X(t + τ ))
Kreuzkorrelationsfunktion:
sXY (τ ) = E(X(t)Y (t + τ )) = sY X (−τ )
SX (ω) =
Leistungsdichtespektrum:
Z∞
−∞
1
sX (τ ) =
2π
(Theorem von Wiener/Chintschin)
(= konst.)
(= konst.)
sX (τ )e−jωτ dτ
Z∞
SX (ω)ejωτ dω
−∞
Gaußsche Prozesse
1
1
fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = p
exp − (x − m)C −1 (x − m)0
2
(2π)n detC
Hierbei gilt:
(x − m) = (x1 − mX (t1 ) · · · xn − mX (tn ))
Zeilenmatrix
(x − m)0
ist die zu (x − m) transponierte Matrix
C = Cov(X)
ist die Kovarianzmatrix mit den Elementen
Cov(X(ti ), X(tj )) = sX (ti , tj ) − mX (ti )mX (tj )
Markowsche Prozesse
fX (xn , tn |x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ) = fX (xn , tn |xn−1 , tn−1 )
(t1 < t2 < · · · < tn )
fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) =
fX (xn , tn |xn−1 , tn−1 ) · fX (xn−1 , tn−1 |xn−2 , tn−2 ) · · · fX (x2 , t2 |x1 , t1 ) · fX (x1 , t1 )
fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) =
fX (xn , tn ; xn−1 , tn−1 )
fX (x2 , t2 ; x1 , t1 )
···
· fX (x1 , t1 )
fX (xn−1 , tn−1 )
fX (x1 , t1 )
22
Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 3)
Analysis zufälliger Prozesse
Konvergenz i. q. M. einer Folge X = (Xi )i∈N von Zufallsgrößen:
l.i.m. Xi = X
lim ||Xi − X|| = 0
E l.i.m. Xi = lim E(Xi )
i→∞
i→∞
i→∞
i→∞
Stetigkeit i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (Xt )t∈T :
lim ||X(t + τ ) − X(t)|| = 0
l.i.m. X(t + τ ) = X(t)
τ →0
τ →0
Differentiation i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (Xt )t∈T :
Ẋ(t) = l.i.m.
τ →0
X(t + τ ) − X(t)
τ
Für i. q. M. differenzierbare zufällige Prozesse X = (Xt )t∈T gilt:
d
Erwartungswert:
mẊ (t) = E Ẋ(t) = mX (t)
dt
(Auto-)Korrelationsfunktion:
sẊ (t1 , t2 ) = E Ẋ(t1 )Ẋ(t2 ) =
Kreuzkorrelationsfunktion:
∂2
sX (t1 , t2 )
∂t1 ∂t2
∂
sẊX (t1 , t2 ) = E Ẋ(t1 )X(t2 ) =
sX (t1 , t2 )
∂t1
∂
sX Ẋ (t1 , t2 ) = E X(t1 )Ẋ(t2 ) =
sX (t1 , t2 )
∂t2
Für i. q. M. differenzierbare stationäre zufällige Prozesse X = (Xt )t∈T gilt:
Erwartungswert:
mẊ (t) = E Ẋ(t) = 0
d2
(Auto-)Korrelationsfunktion:
sẊ (τ ) = E Ẋ(t)Ẋ(t + τ ) = − 2 sX (τ )
dτ
d
Kreuzkorrelationsfunktion:
sẊX (τ ) = E Ẋ(t)X(t + τ ) = − sX (τ )
dτ
d
sX Ẋ (τ ) = E X(t)Ẋ(t + τ ) =
sX (τ )
dτ
Bezeichnet X = (Xt )t∈T einen i. q. M. integrierbaren zufälligen Prozess und f eine determinierte Funktion, so gilt:
 b

Z
Zb
E  f (t, τ )X(t)dt = f (t, τ )E(X(t))dt
a
a
23
Ergodische zufällige Prozesse
∼∼∼
1
x(t) = lim
T →∞ 2T
ZT
x(t)dt = E(X(t)) = mX (t) = mX = konst.
−T
∼∼∼∼∼∼∼∼∼
1
x(t)x(t + τ ) = lim
T →∞ 2T
ZT
x(t)x(t + τ )dt = E(X(t)X(t + τ )) = sX (τ )
−T
Lineare dynamische System
Gegeben: Stationärer zufälliger Prozess X
Y (t) =
Prozess am Systemausgang:
g(t)
G(jω)
X
Zt
g(t − τ )X(τ )dτ =
−∞
Z∞
mY (t) = mX
Erwartungswert:
sY (τ ) =
(Auto-)Korrelationsfunktion:
Z∞Z∞
0 0
Z∞
sXY (τ ) =
Kreuzkorrelationsfunktion:
Y
Z∞
g(τ )X(t − τ )dτ
0
g(τ )dτ
(mX (t) = mX = konst.)
0
g(τ1 )g(τ2 )sX (τ + τ1 − τ2 )dτ1 dτ2
g(τ1 )sX (τ − τ1 )dτ1
0
Leistungsdichtespektrum:
SY (ω) = |G(jω)|2 SX (ω)
Kreuzleistungsdichtespektrum:
SXY (ω) = G(jω)SX (ω)
Berechnung der Korrelationsfunktion am Systemausgang durch Residuenmethode:
X
sY (τ ) =
Res G(s)G(−s) S̃X (s) + S̃X (−s) e s|τ |
mit
Re(s)<0
S̃X (s) =
Z∞
(
sX (τ ) τ ≥ 0,
s̃X (τ ) =
0
τ < 0.
s̃X (τ )e −sτ dτ
0
(T : abs. Temp., k: Boltzmann-Konst.)
Thermisch rauschender Ohmscher Widerstand:
SU (ω) = 2kT R
R
R
U
Thermisch rauschender RLC-Zweipol:
A
B
ZAB (jω)
A
U
ZAB (jω)
24
B
SU (ω) = 2kT Re(ZAB (jω))
Formelsammlung Stochastische Signale und Syteme (Blatt 1)
Terminologie und Symbolik
1. Stationäre zeitkontinuierliche zufällige Prozesse:
sX (τ ) (Auto-)Korrelationsfunktion
sXY (τ ) Kreuzkorrelationsfunktion
SX (ω) Leistungsdichtespektrum
SXY (ω) Kreuzleistungsdichtespektrum
Z∞
1
sX (τ ) =
2π
SX (ω)e
jωτ
dω
−∞
SX (ω) =
Z∞
Z∞
1
sXY (τ ) =
2π
SXY (ω)e jωτ dω
−∞
sX (τ )e −jωτ dτ
SXY (ω) =
−∞
Z∞
sXY (τ )e −jωτ dτ
−∞


sX1 X1 (τ ) · · · sX1 Xl (τ )


..
..
..
sXX (τ ) = 

.
.
.
sXl X1 (τ ) · · · sXl Xl (τ )
Matrix der Korrelationsfunktionen
(l-dimensionaler Vektorprozess)


SX1 X1 (ω) · · · SX1 Xl (ω)


..
..
...
S XX (ω) = 

.
.


sX1 Y1 (τ ) · · · sX1 Ym (τ )


..
..
..
sXY (τ ) = 

.
.
.
sXl Y1 (τ ) · · · sXl Ym (τ )
Matrix der Input–Output–
Kreuzkorrelationsfunktionen


SX1 Y1 (ω) · · · SX1 Ym (ω)


..
..
...
S XY (ω) = 

.
.
SXl X1 (ω) · · · SXl Xl (ω)
Matrix der Leistungsdichtespektren
(l-dimensionaler Vektorprozess)
SXl Y1 (ω) · · · SXl Ym (ω)
Matrix der Input-OutputKreuzleistungsdichtespektren
2. Nichstationäre zeitkontinuierliche zufällige Prozesse:
sX (t1 , t2 )
SX (s1 , s2 ) =
(Auto-)Korrelationsfunktion
Z∞Z∞
Zweidimensionale LaplaceTransformierte der Korrelationsfunktion
sX (t1 , t2 ) e −s1 t1 −s2 t2 dt1 dt2
0 0


sX1 X1 (t1 , t2 ) · · · sX1 Xl (t1 , t2 )


..
..
...
sXX (t1 , t2 ) = 

.
.
sXl X1 (t1 , t2 ) · · · sXl Xl (t1 , t2 )


SX1 X1 (s1 , s2 ) · · · SX1 Xl (s1 , s2 )


..
..
...
S XX (s1 , s2 ) = 

.
.
SXl X1 (s1 , s2 ) · · · SXl Xl (s1 , s2 )
25
Matrix der Korrelationsfunktionen
(l-dimensionaler Vektorprozess)
Matrix der zweidimensionalen
Laplace-Transformierten der Korrelationsfunktionen
3. Stationäre zeitdiskrete zufällige Prozesse:
sX (κ)
SX e jΩ
SX (z)
(Auto-)Korrelationsfolge
sXY (κ)
Leistungsdichtespektrum
SXY e jΩ
zweiseitige Z-Transformierte
von sX (κ)
SXY (z)
1
sX (κ) =
2π
SX e
jΩ
=
Zπ
SX e
−π
∞
X
jΩ
e
jΩκ
dΩ
Kreuzkorrelationsfolge
Kreuzleistungsdichtespektrum
zweiseitige Z-Transformierte
von sXY (κ)
1
sX (κ) =
2πj
I
SX (z)z κ−1 dz
C
sX (κ)e −jΩκ
SX (z) =
κ=−∞
∞
X
sX (κ)z −κ
κ=−∞
Entsprechende Gleichungen gelten auch für sXY (κ), SXY e jΩ und SXY (z).




sX1 X1 (κ) · · · sX1 Xl (κ)
SX1 X1 e jΩ · · · SX1 Xl e jΩ




..
..
..
..
jΩ
...
...
sXX (κ) = 
=
 S XX e

.
.
.
.
jΩ
jΩ
sXl X1 (κ) · · · sXl Xl (κ)
SXl X1 e
· · · SXl Xl e
Matrix der Korrelationsfolgen
Matrix der Leistungsdichtespektren
(l-dimensionaler Vektorprozess)
(l-dimensionaler Vektorprozess)


SX1 X1 (z) · · · SX1 Xl (z)


..
..
..
S XX (z) = 

.
.
.
SXl X1 (z) · · · SXl Xl (z)
Matrix der zweiseitigen Z-Transformierten von sXX (κ)
Matrizen der Input-Output-Kreuzkorrelationsfolgen bzw. -Kreuzleistungsdichtespektren analog
zu 1.
4. Nichtstationäre zeitdiskrete zufällige Prozesse
(Auto-)Korrelationsfolge
sX (k1 , k2 )
SX (z1 , z2 ) =
∞ X
∞
X
Zweidimensionale
Z-Transformierte
der Korrelationsfunktion
sX (k1 , k2 )z1−k1 z2−k2
k1 =0 k2 =0

sX1 X1 (k1 , k2 )

..
sXX (k1 , k2 ) = 
.
sXl X1 (k1 , k2 )

SX1 X1 (z1 , z2 )

..
S XX (z1 , z2 ) = 
.
SXl X1 (z1 , z2 )

· · · sX1 Xl (k1 , k2 )

..
...

.
· · · sXl Xl (k1 , k2 )

· · · SX1 Xl (z1 , z2 )

..
..

.
.
···
SXl Xl (z1 , z2 )
26
Matrix der Korrelationsfolgen
(l-dimensionaler Vektorprozess)
Matrix der zweidimensionalen
Z-Transformierten der
Korrelationsfolgen
Formelsammlung Stochastische Signale und Syteme (Blatt 2)
Lineare zeitinvariante Systeme mit
diskreter Zeit
kontinuierlicher Zeit
x(k)
x1 (k)
x2 (k)
..
.
y1 (k)
y2 (k)
..
.
xl (k)
ym (k)
Systemcharakteristiken:

g11 (k) · · ·
 ..
..
g(k) =  .
.
y(k)
x(t)

g1l (k)
.. 
. 
x1 (t)
x2 (t)
..
.
y1 (t)
y2 (t)
..
.
xl (t)
ym (t)
y(t)


g11 (t) · · · g1l (t)

.. 
..
g(t) =  ...
.
. 
gm1 (t) · · · gml (t)
Matrix der Impulsantworten
(Gewichtsmatrix)


G11 (s) · · · G1l (s)

.. 
..
G(s) =  ...
.
. 
gm1 (k) · · · gml (k)
Matrix der Impulsantworten
(Gewichtsmatrix)


G11 (z) · · · G1l (z)

.. 
..
G(z) =  ...
.
. 
Gm1 (z) · · · Gml (z)
Matrix der Übertragungsfunktionen
(Übertragungsmatrix)
Gm1 (s) · · · Gml (s)
Matrix der Übertragungsfunktionen
(Übertragungsmatrix)
Für die determinierte Erregung aus dem Nullzustand gilt:
y(k) =
k
X
g(i)x(k − i)
y(t) =
i=0
Zt
g(τ )x(t − τ )dτ
0
Y (z) = G(z)X(z)
Y (s) = G(s)X(s)
Für stationäre stochastische Erregung gilt:
sY Y (κ) =
∞ X
∞
X
g(i1 )sXX (κ+i1 −i2 )g 0 (i2 )
i1 =0 i2 =0
S Y Y ejΩ = G (ejΩ )S XX ejΩ G0 ejΩ
S Y Y (z) = G(z −1 )S XX (z)G0 (z)
sY Y (τ ) =
Z∞Z∞
g(τ1 )sXX (τ +τ1 −τ2 )g 0 (τ2 )dτ1 dτ2
0 0
S Y Y (ω) = G(jω)S XX (ω)G0 (jω)
27
Lineare zeitinvariante Systeme mit
diskreter Zeit
kontinuierlicher Zeit
Für stationäre stochastische Erregung gilt:
sXY (κ) =
∞
X
sXX (κ − i2 )g 0 (i2 )
sXY (τ ) =
Z∞
sY X (τ ) =
Z∞
i2 =0
sY X (κ) =
∞
X
0
g(i1 )sXX (κ + i1 )
i1 =0
S XY
sXX (τ − τ2 )g 0 (τ2 )dτ2
g(τ1 )sXX (τ + τ1 )dτ1
0
ejΩ = S XX ejΩ G0 ejΩ
S XY (ω) = S XX (ω)G0 (jω)
S Y X ejΩ = G (ejΩ )S XX ejΩ
0
jΩ
jΩ
S XY e = S Y X (e )
S Y X (ω) = G(jω)S XX (ω)
0
S XY (ω) = S Y X (ω)
Für stochastische Erregung aus dem Nullzustand gilt:
E(Y (k)) = mY (k) =
k
X
g(i)mX (k − i)
E(Y (t)) = mY (t) =
i=0
sY Y (k1 , k2 ) =
g(τ )mX (t − τ )dτ
0
M Y (z) = G(z)M X (z)
k1 X
k2
X
Zt
M Y (s) = G(s)M X (s)
g(i1 )sXX (k1 − i1 , k2 − i2 )g 0 (i2 )
i1 =0 i2 =0
sY Y (t1 , t2 ) =
Zt1Zt2
g(τ1 )sXX (t1 − τ1 , t2 − τ2 )g 0 (τ2 )dτ1 dτ2
0 0
S Y Y (z1 , z2 ) = G(z1 )S XX (z1 , z2 )G0 (z2 )
sXY (k1 , k2 ) =
sY X (k1 , k2 ) =
k2
X
S Y Y (s1 , s2 ) = G(s1 )S XX (s1 , s2 )G0 (s2 )
Zt2
sXY (t1 , t2 ) = sXX (t1 , t2 − τ2 )g 0 (τ2 )dτ2
sXX (k1 , k2 − i2 )g 0 (i2 )
i2 =0
0
k1
X
Zt1
g(i1 )sXX (k1 − i1 , k2 )
sY X (t1 , t2 ) =
i1 =0
g(τ1 )sXX (t1 − τ1 , t2 )dτ1
0
S XY (z1 , z2 ) = S XX (z1 , z2 )G0 (z2 )
S XY (s1 , s2 ) = S XX (s1 , s2 )G0 (s2 )
S Y X (z1 , z2 ) = G(z1 )S XX (z1 , z2 )
S Y X (s1 , s2 ) = G(s1 )S XX (s1 , s2 )
28
Formelsammlung Stochastische Signale und Systeme (Blatt 3)
Optimalfilter
X(t)=XN (t)+XS (t)
G(s) =
1
S̃˜X (s)
Z∞
0

1
2π
Z∞ "
−∞
Y (t)
G(s)=?
XN (t )

#
SN (ω) + SSN (ω) −jωξ jωt  −st
e
e dω e dt
˜
S̃ (−jω)
X
Hierbei gilt:
G
Übertragungsfunktion
ξ
Verzögerungs- bzw. Vorhersagezeit
X
Eingabeprozess
SX
Leistungsdichtespektrum von X
XN
Nutzsignal
SN
Leistungsdichtespektrum von XN
XS
Störsignal
SSN
Kreuzleistungsdichtespektr. v. XS und XN
S̃X (−s2 ) = S̃˜X (s)S̃˜X (−s)
SX (ω) = S̃X (ω 2 )
Rauschersatzschaltungen linearer RLC-Zweipole
Thermisch rauschender Ohmscher Widerstand:
G
R
R
G=
U
1
R
I
SU (ω) = 2kT R
SI (ω) = 2kT G
(T : absolute Temperatur, k: Boltzmann-Konstante)
Thermisch rauschender RLC-Zweipol:
YAB (jω)
A
B
ZAB (jω)
A
B
ZAB (jω)
A
YAB (jω) =
B
U
I
SU (ω) = 2kT Re(ZAB (jω))
SI (ω) = 2kT Re(YAB (jω))
29
1
ZAB (jω)
Rauschersatzschaltungen linearer RLC-Vierpole
Vierpolmatrizen:






Z11 (s) Z12 (s)
Y (s) Y12 (s)
A (s) A12 (s)
 Y (s) =  11
 A(s) =  11

Z(s) = 
Z21 (s) Z22 (s)
Y21 (s) Y22 (s)
A21 (s) A22 (s)
Impedanzmatrix
Admittanzmatrix
Thermisch rauschender RLC-Vierpol:
Kettenmatrix
UE
U1
U2
I1
SpannungsquellenRauschersatzschaltung

S (ω)
 U1
SU2 U1 (ω)

S (ω)
 I1
SI2 I1 (ω)

S (ω)
 UE
SIE UE (ω)

S (ω)
 UE
SIE UE (ω)
I2
StromquellenRauschersatzschaltung
IE
Rauschersatzschaltung mit
Rauschquellen am Eingang



 
SU1 U2 (ω)
Z (jω) Z12 (jω)
S (ω) SI1 I2 (ω)
Z (jω) Z21 (jω)
 I1
 11

= 11
Z21 (jω) Z22 (jω)
SI2 I1 (ω) SI2 (ω)
Z12 (jω) Z22 (jω)
SU2 (ω)



 
SU1 (ω) SU1 U2 (ω)
Y11 (jω) Y21 (jω)
SI1 I2 (ω)
Y11 (jω) Y12 (jω)



=
SI2 (ω)
Y21 (jω) Y22 (jω)
SU2 U1 (ω) SU2 (ω)
Y12 (jω) Y22 (jω)



 
SUE IE (ω)
1 −A11 (jω)
S (ω) SU1 U2 (ω)
1
0
 U1


=
SIE (ω)
0 −A21 (jω)
SU2 U1 (ω) SU2 (ω)
−A11 (jω) −A21 (jω)



 
SUE IE (ω)
0 −A12 (jω)
S (ω) SI1 I2 (ω)
0
1
 I1


=
SIE (ω)
1 −A22 (jω)
SI2 I1 (ω) SI2 (ω)
−A12 (jω) −A22 (jω)
Rauschzahl:
RQ
Rauschanpassung: RQ =
RA F (ω) = 1 +
s
2
SUE (ω) + RQ
SIE (ω) + 2RQ Re(SUE IE (ω))
2kT RQ
SUE (ω)
1 p
; Fmin (ω) = 1+
SUE (ω)SIE (ω) + Re(SUE IE (ω))
SIE (ω)
kT
30