Ringe und Moduln

Kapitel 14
Ringe und Moduln
14.1
Kommutative Ringe und KAlgebren: Setting the Stage
Wir wissen schon, was ein Ring, bzw. was eine K-Algebra ist (K ein Körper). Im folgenden sei R ein
kommutativer Ring mit Einselement 1 1R , bzw. eine K-Algebra für einen Körper K. Ein Unterring
von R ist eine nichtleere Teilmenge, die abgeschlossen ist bzgl. Addition, Multiplikation und Bildung
additiver Inverser.
H S „ R. Dann ist S Unterring von R genau dann, wenn gilt:
1. r s P S für alle r, s P S (d. h. pS, q ist abelsche Untergruppe von pR, q),
2. rs P S für alle r, s P S.
Ist 1R P S, so ist 1R 1S das Einselement von S. Unterringe müssen nicht notwendigerweise dasselbe
14.1-1 Definition: Sei
Einselement wie R haben, sie müssen nicht einmal ein Einselement besitzen.
Beispiele:
"
"
*
α 0
α 0
M22 α, β P R , dann ist S P
• R
0 β
0 0
1 0
1 0
R, aber 1S 0 1 1R .
0 0
• 2Z ist Unterring von Z, besitzt aber kein Einselement.
14.1-2 Definition: Seien S, R Ringe, f : R
falls gilt:
1. f pa
bq f paq
*
P M22 α P R „ R ein Unterring von
Ñ S Abbildung. Dann heißt f
(Ring-)Homomorphismus,
f pbq für alle a, b P R,
2. f pabq f paqf pbq für alle a, b P R.
Ist f p1R q 1S , so sagt man f erhält das Einselement“. Die Menge ker f
”
im f tf prq|r P Ru „ S Bild von f .
tr P R|f prq 0u heißt Kern,
Epimorphismen sind surjektive, Monomorphismen injektive und Isomorphismen bijektive Homomorphismen. Ist f : R Ñ S ein Isomorphismus, so auch f 1 : S Ñ R. Wir schreiben dann R S und sagen R
”
und S sind isomorph“. Isomorph sein ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der kommutativen Ringe
mit Einselement, da Isomorphismen die Eins erhalten und die Komposition von Homomorphismen ein
Homomorphismus ist.
322
14.1-3 Lemma: Sei f : R Ñ S Ringhomomorphismus.
1. ker f ist Unterring von R.
2. im f ist Unterring von S.
3. Sei r P ker f und x P R. Dann ist rx xr
P ker f .
Beweis: 1. und 2. sind Routine.
3.: r P ker f ñ f prq 0 ñ f prxq f prqf pxq 0 f pxq 0 ñ rx P ker f .
l
Man kann Lemma 14.1-3 so interpretieren: Nicht jeder Unterring von R kommt als Kern eines Ringhomomorphismus vor, sondern nur solche Unterringe, die die Zusatzbedingung 3. erfüllen. Daher bekommen
solche Unterringe einen speziellen Namen:
14.1-4 Definition: Ein Unterring S von R heißt Ideal (von R), falls rs
Wir schreiben dann S œ R.
Also: S ist Ideal
P S gilt für alle s P S, r P R.
(S H und für alle s1 , s2 , s P S, r P R sind s1 s2 P S und sr P S).
14.1-5 Problem: Sei S œ R. Sei s P S und sei s invertierbar, d.h. es existiert s1
Dann ist S R. Zeigen Sie das!
Lösung: Sei r P R beliebig. Zu zeigen ist r
1 r r P S, also ist S R.
P R mit s s1 1R .
P S. s1 r P R ñ ss1 r P S, da S Ideal ist. Aber ss1 r 14.1-6 Lemma: Sei I œ R, dann ist I bzgl. der Addition insbesondere eine abelsche Untergruppe der
additiven Gruppe von R. Also ist die Menge ta I |a P Ru der Restklassen modulo I eine abelsche Gruppe
bzgl. der Addition pa I q pb I q pa bq I mit Nullelement 0 I. Durch pa I qpb I q ab I
für a, b P R wird eine Multiplikation auf R{I definiert, die R{I zum Ring macht, dem Faktorring von R
modulo I. R{I hat das Einselement 1 I.
Beweis: Zu zeigen ist, dass die Multiplikation wohldefiniert ist (von der Addition wissen wir das schon).
Alle Ringaxiome für R{I ergeben sich direkt aus R.
Seien also a I ã I und b I b̃ I (a, ã, b, b̃ P R). Dann ist r ã a P I und s b̃ b P I und
daher ãb̃ pr aqps bq rs rb as ab. Nun sind rs, rb, as P I daher auch rs rb as t P I. Wir
haben also ãb̃ ab t P ab I und daher ãb̃ I ab I wie gewünscht.
l
Wir sehen: Um auf R{I eine Multiplikation zu definieren brauchen wir wieder, dass I die Eigenschaft
3. von Lemma 14.1-3 erfüllt, also ein Ideal und nicht nur ein Unterring ist.
14.1-7 Lemma: Sei I
œ R. Dann ist die Abbildung
π : R Ñ R{I : a ÞÑ a
I
ein Ringepimorphismus, die sogenannte kanonische Projektion von R auf R{I. Die Abbildung hat Kern
ker π I. Daher kommt insbesondere jedes Ideal von R als Kern eines Ringhomomorphismus vor.
Im folgenden Satz sammeln wir eine ganze Menge Fakten über Ringe und Ideale, deren Beweise jetzt
Routine sein sollten. Sie übertragen sich von den Beweisen entsprechender Fakten zu Vektorräumen
meist direkt und werden Ihnen daher als Übungsaufgabe überlassen.
323
14.1-8 Fakten: R, S sind Ringe.
1. p0q und R selbst sind Ideale von R. Alle anderen Ideale heißen nichttrivial, bzw. echt.
2. Sei f : R Ñ S Ringhomomorphismus. Dann ist f surjektiv genau dann, wenn im f
genau dann, wenn ker f p0q ist.
3. Der Durchschnitt einer Menge von Idealen von R ist ein Ideal von R.
4. Sei
H A „ R. Dann ist das von A erzeugte Ideal xAy xAyIdeal “
œ
A„I
S und injektiv
I das kleinste Ideal von
I R
R, das A als Teilmenge enthält und es gilt:
xAy )
!°
ra a|ra P R fast alle 0 .
aPA
5. Seien I, J œ R. Dann ist I J ta b|a P I, b P J u ein Ideal von R, die Summe der Ideale I und
J. Es gilt I J xI Y J y ist das eindeutig bestimmte kleinste Ideal von R, das sowohl I also auch
J enthält.
6. (1. Isomorphiesatz) Sei f : R Ñ S Ringhomomorphismus und sei I œ R mit I „ ker f . Dann gibt
es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus fp : R{I Ñ S mit fp π f , im fp im f „ S
und ker fp ker f {I, wobei π : R Ñ R{I die natürliche Projektion a ÞÑ a I pa P Rq bezeichnet;
d. h. wir haben das folgende kommutative Diagramm:
@
π@
R
D. h. es gilt fˆpr
- S
f
R
R{I
D!fˆ
I q f prq für alle r
P R. Insbesondere gilt R{ ker f im f (Ringisomorphismus).
œ R. Dann ist pI J q{J I {I X J und pI J q{I J {I X J,
7. (2. Isomorphiesatz) Seien I, J
d. h. Faktoren entlang paralleler Seiten im folgenden Diagramm sind isomorph:
R
I
J
@
@
@
I
J
@
@
@
I XJ
p0q
8. (3. Isomorphiesatz) Seien I, J
œ R, I „ J. Dann ist J {I œ R{I und pR{I q{pJ {I q R{J.
324
14.1-9 Problem: Zeigen Sie: Sei I œ R. Dann ist R{I genau dann ein Körper, wenn I ein maximales
(echtes) Ideal von R ist, d.h. wenn I R ist und aus I Š J œ R folgt, dass J R ist.
Lösung: Man beachte: R{I ist auf jeden Fall Ring mit 1. So ist R{I Körper genau dann, wenn alle
nicht-Null-Elemente invertierbar sind.
Sei R{I ein Körper und J œ R mit I Š J. Dann gibt es ein j P J zI. Wegen j R I ist j I 0 I,
d. h. es gibt ein r P R mit 1 I pj I qpr I q jr I. Also ist jr 1 P I. Da jr P J ist, ist 1 P J,
d. h. J R. So ist I maximal.
Sei umgekehrt I maximales Ideal und r I 0 I mit r P R. Dann ist r R I. Also ist I Š I rR œ R. Da
I maximal ist, ist I rR R. Insbesondere ist 1 P R I rR, d. h. es gibt i P I, s P R mit 1 i rs.
Dann gilt
1 I pi rsq I pi I q pr I q ps I q pr I q ps I q,
d. h. r
I ist invertierbar mit Inversem s
I.
14.1-10 Definition: Ein Ideal I von R heißt endlich erzeugt , falls es eine endliche Teilmenge S von R
gibt mit xS y I. S heißt dann endliches Erzeugendensystem von I. Besteht S aus genau einem Element
S, so heißt I Hauptideal . In diesem Fall ist I sR tsr|r P Ru. Ein Ring R in dem alle Ideale endlich
erzeugt sind, heißt noethersch.
Emmy Noether (1882-1935) war eine deutsche Mathematikerin und Physikerin. Sie gilt als Begründerin
der modernen Algebra. 1903 wurden Frauen erstmals an bayrischen Universitäten zum Studium zugelassen. Emmy Noether schrieb sich in Erlangen ein und promovierte 1907 in Mathematik bei Paul
Gordon. 1909 wurde sie von Felix Klein und David Hilbert nach Göttingen gerufen, dem damaligen Nabel der mathematischen Welt. Da die Habilitation von Frauen an preußischen Universitäten durch einen
Erlass von 1908 untersagt war, wurde ihr 1917 die Habilitation (beantragt 1915 durch die mathematischnaturwissenschaftliche Abteilung) versagt, trotz Intervention von Klein und Hilbert. So musste sie ihre
Vorlesungen im Namen Hilberts ankündigen, als dessen Assistentin sie fungierte. Erst nach dem 1. Weltkrieg, im Jahr 1919, konnte Emmy Noether habilitieren. Dennoch bekam sie erst 1922 eine außerordentliche Professur und 1923 ihren ersten bezahlten Lehrauftrag. Als Jüdin wurde Emmy Noether 1933 die
Lehrerlaubnis entzogen und sie musste in die USA emigrieren. Sie erhielt eine Anstellung als Gastprofessorin am Women’s College Bryn Mawr in Pennsylvania und hielt Vorlesungen in Princeton. Sie starb an
Komplikationen einer Operation in Pennsylvania am 14.4.1935.
14.1-11 Satz: Sei R ein Ring. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
1. R ist noethersch, d.h. jedes Ideal von R ist endlich erzeugt.
2. Jede aufsteigende Kette von Idealen von R wird stationär. (eine aufsteigende Kette ist eine Folge
I1 „ I2 „ I3 „ . . . von Idealen, sie wird stationär, wenn es ein n P N gibt, sodass Ik In ist für
alle k ¥ n)
3. Jede nichtleere Menge von Idealen von R besitzt maximale Elemente (bzgl. der Inklusion von Idealen).
Beweis:
1.ñ2.: Sei R noethersch
und sei I1 „ I2 „ . . . „ Ik „ . . . aufsteigende Kette von Idealen Ik von R.
”8
Sei I i1 Ii . Dann ist I œ R, denn seien a, b P I, r P R, dann gibt es k P N mit a, b P Ik
(es gibt k1 , k2 mit a P Ik1 , b P Ik2 , setze k maxtk1 , k2 u). Dann sind a b P Ik , ar P Ik , also
a b P I, ar P I wegen Ik „ I. Außerdem ist 0 P I, d. h. I ist nicht leer, also ist I œ R. Nach
Vorraussetzung ist I endlich erzeugt, etwa I xa1 , . . . , am y. Für 1 ¤ i ¤ m gibt es ki P N mit
325
ai P Iki . Sei k maxtki |1 ¤ i ¤ mu, dann ist ai P Ik für i 1, . . . , m wegen ai
I xa1 , . . . , am y „ Ik und daher Ik Ik 1 . . . I wie gewünscht.
P Ik „ Ik . Also ist
i
2.ñ3.: Gelte also 2. und sei M eine nichtleere Menge von Idealen von R. Wähle I1 P M. Ist I1 maximal in
M, so sind wir fertig. Sonst finden wir I2 P M mit I1 Š I2 . Sei k P N und seien I1 , . . . Ik P M mit
I1 Š I2 Š . . . Š Ik konstruiert. Ist Ik maximal in M so sind wir fertig, sonst finden wir Ik 1 P M
mit I1 Š . . . Š Ik Š Ik 1 . Auf diese Weise haben wir eine aufsteigende Kette von Idealen in M
konstruiert, die nach ii) stationär werden muss, d.h. es gibt ein N P N, sodass IN IN 1 ist. Wäre
aber IN nicht maximal in M, so wäre nach Konstruktion IN Š IN 1 ein Widerspruch. Also ist IN
maximal in M und M besitzt maximale Elemente.
3.ñ1.: Sei I œ R. Sei M die Menge der Ideale, die in I enthalten und endlich erzeugt sind. Dann ist
p0q P M und M daher nicht leer und besitzt nach 3. maximale Elemente. Sei J ein solches. Also
ist J œ R, J ist endlich erzeugt und J „ I. Wir zeigen J I, dann ist I P M und daher endlich
erzeugt, wie gewünscht.
Sei ta1 , . . . , ak u ein endliches Erzeugendensystem von J. Wäre J xa1 , . . . , ak y I, so gäbe es ein
ak 1 P I {J. J Š L xa1 , . . . , ak , ak 1 y wäre endlich erzeugtes Unterideal von I und daher L P M,
im Widerspruch zur Maximalität von J in M. Also ist J I.
l
Beispiele von Noetherschen Ringen sind Polynomringe K rx1 , . . . xn s in Unbestimmten x1 , . . . , xn (K
Körper) und epimorphe Bilder solcher Ringe. In der Tat sind K-Algebren, die als Ringe noethersch sind,
immer epimorphe Bilder solcher Polynomringe (ohne Beweis). Wir sind im folgenden hauptsächlich an
speziellen Noetherschen Ringen interessiert, bei denen nicht nur alle Ideale endlich erzeugt, sondern von
einem Element erzeugt sind. Zunächst müssen wir uns noch kurz klar machen, dass der Übergang von
Ringen zu K-Algebren nichts wesentlich Neues bringt.
14.1-12 Beobachtung: Sei R jetzt eine K-Algebra, K ein Körper.
1. Durch k ÞÑ k 1R wird ein Ringhomomorphismus von K nach R definiert, der 1K auf 1R abbildet.
Insbesondere ist dieser Homomorphismus nicht die Nullabbildung und daher injektiv, da K keine
nichttrivialen Ideale besitzt (warum?) und daher der Kern dieses Homomorphimus das Nullideal
sein muss. Also können wir K als Unterring von R betrachten.
2. Jedes Ideal von R ist auch abgeschlossen gegenüber skalarer Multiplikation mit Elementen von K.
3. Jedes Ideal von R ist automatisch ein K-Vektorraum unter Multiplikation mit Elementen von K
K 1R „ R.
4. Wir brauchen nicht zwischen Ringidealen und Algebraidealen zu unterscheiden.
Im Folgenden ist daher R kommutativer Ring oder kommutative K-Algebra mit Einselement.
14.1-13 Definition/Lemma: Seien I, J œ R. Das Produkt I J ist das Ideal von R, das von der
Menge ta b|a P I, b P J u erzeugt wird. Es gilt: I J „ I X J.
Beweis: Seien a P I, b P J. Dann ist ab P I, da a P I und I Ideal ist, ähnlich ab P J. Also ist ab P I
und daher I J „ I X J.
XJ
l
14.1-14 Definition/Lemma: Ein Element a P R heißt invertierbar (oder Einheit), falls es b P R gibt
mit ab 1. Dieses b ist dann eindeutig bestimmt, selbst invertierbar und wird mit b a1 bezeichnet.
Die Menge U pRq der invertierbaren Elemente von R bildet unter der Multiplikation von R eine Gruppe,
die Einheitengruppe von R.
326
Beweis: Sei a P U pRq mit ab ac 1. Dann folgt: b 1 b pbaqb pcaqb cpabq c 1 c und
somit sind Inverse eindeutig. Mit a P U pRq ist auch a1 P U pRq mit Inversem a und mit a, b P U pRq ist
auch ab P U pRq mit Inversem b1 a1 .
l
14.1-15 Problem: Bestimmen sie U pZq und U pK rxsq (K ein Körper).
Lösung: U pZq: Klar: 1, 1 P U pZq. Sei a P Z mit |a| ¡ 1. Dann ist |ab| ¡ 1 für jedes b 0, also ist
ab 1. Somit ist U pZq t1, 1u.
Seien pptq, q ptq P K rts Polynome mit pq 1. Beachte: 0 degp1q degppq q deg p deg q, also ist
degppq degpq q 0, d. h. p und q sind konstante Polynome, und diese Konstanten dürfen nicht 0 sein.
Umgekehrt: Ist pptq c 0 konstantes Polynom, dann ist pq 1 mit q ptq c1 . Also:
U pK rtsq tpptq P K rts| deg pptq 0, p 0u.
Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir uns noch kurz mit Polynomringen beschäftigen.
14.1-16 Definition: Der Polynomring Rrxs (R kommutativer Ring mit Eins) besteht aus formalen
Summen
aber αm
n
°
αi xi (n
i0
P N), wobei x Unbestimmte ist und die αi P R sind für alle i P N. Ist αk 0,
0 für alle m ¡ k, so heißt k
der Grad degpppxqq von ppxq
n
°
αi xi . Die Addition und
i1
Multiplikation zweier Polynome wird wie immer definiert (vgl. Definition 4.1-6), ebenso die skalare
Multiplikation von Polynomen mit Skalaren λ P R, nur dass jetzt als Skalare eben Ringelemente und nicht
nur Körperelemente zugelassen werden. (Beachte, dass dann nicht mehr notwendigerweise deg ppxqq pxq deg ppxq deg q pxq gilt.)
Der Polynomring Rrx1 , . . . , xn s in den Unbestimmten x1 , . . . , xn wird dann induktiv als
Rrx1 , . . . , xn s pRrx1 , . . . , xn1 sqrxn s
definiert. Er besteht aus formalen Summen
¸
pi1 ,...,in qP
αpi1 ,...,in q xi11 . . . xinn
Nn
mit αpi1 ,...,in q P R gleich 0 für fast alle Multiindizes i pi1 , . . . , in q P Nn . Terme der Form xi
mit i pi1 , . . . , in q P Nn heißen Monome.
xi1
1
. . . xinn
14.1-17 Satz: Sei K ein Körper und sei K rx1 , . . . , xn s der Polynomring über K in den Unbestimmten
x1 , . . . , xn . Dann hat K rx1 , . . . , xn s folgende universelle Eigenschaft:
• Es gibt eine Abbildung ι : t1, . . . , nu
xi .
Ñ K rx1 , . . . , xn s, nämlich die Abbildung gegeben durch ιpiq • Ist f : t1, . . . , nu Ñ R eine Abbildung, R kommutative K-Algebra mit Einselement. Dann gibt es
genau einen K-Algebrahomomorphismus fp : K rx1 , . . . , xn s Ñ R mit fppxi q f piq für i 1, . . . , n,
d. h. das folgende Diagramm kommutiert:
t1, . . . , nu
K rx1 , . . . , xn s
H
HH
D!fp
f HH
?
j
H
R
ι-
327
(Mit anderen Worten: Man kann si , . . . , sn P S frei“ wählen und die Abbildung xi
”
K-Algebrahomomorphismus
¸ i ¸ i
αi x ÞÑ
αi s
i
ÞÑ si
zu einem
i
fortsetzen.)
Beweis: Die Monome xi pi P Nn q sind über K linear unabhängig und die Terme si si11 . . . sinn P S sind
wohldefiniert. Daher ist die Abbildung fp wohldefiniert und K-linear nach Satz 5.1-11. Dass fp auch die
Multiplikation in K rx1 , . . . , xn s respektiert, folgt aus direkter Rechnung.
l
14.2
Hauptidealringe (HIR)
R ist kommutativer Ring oder K-Algebra (K Körper) mit Eins.
14.2-1 Definition: Ein Element a P R heißt Nullteiler , falls es ein 0 b P R gibt mit ab
R außer 0 keinen Nullteiler, so heißt R Integritätsbereich oder einfach nullteilerfrei.
0. Besitzt
14.2-2 Beispiel: Z und K rxs (K Körper) sind Integritätsbereiche. In Z{6Z ist 2 Z Nullteiler, da
3, 2 R 6Z und damit 2 6Z, 3 6Z 0 6Z, aber p2 6Zqp3 6Zq 6 6Z 0 6Z gilt.
14.2-3 Definition/Lemma: Sei R Integritätsbereich. Auf der Menge
wir eine Äquivalenzrelation durch
pa, bq pc, dq ad bc.
Die Äquivalenzklasse von pa, bq, pa, b P R, b 0q wird mit
R, b, d 0 eine Addition und eine Multiplikation durch:
a
b
c
d
a
b
tpa, bq P R R|b 0u definieren
bezeichnet. Wir definieren für a, b, c, d
P
adbd bc
und
ac
a c
.
b d
bd
Damit wird K t ab |a, b P R, b 0u ein Körper, der Quotientenkörper QpRq von R.
Die Abbildung
r
R Ñ K : r ÞÑ
1
ist injektiver Ringhomomorphismus, sodass wir R als Unterring des Körpers K
können.
Q pR q
betrachten
Beweis: Leicht: ist reflexiv und symmetrisch. Transitivität: pa, bq pc, dq und pc, dq pe, f q ñ
ad bc und cf de ñ adf bcf bde, also dpaf beq 0. Da R nullteilerfrei ist und d 0, folgt dass
af be 0 ist, also pa, bq pe, f q.
Die Addition ist wohldefiniert: Seien pa, bq pa1 , b1 q und pc, dq pc1 , d1 q. Dann ist ab1 a1 b und cd1 c1 d,
also
pad
bcqpb1 d1 q pa1 d1
b1 c1 qpbdq adb1 d1
bcb1 d1 a1 d1 bd b1 c1 bd a1 bdd1
328
bc1 b1 d a1 d1 bd b1 c1 bd 0,
1 1 1 1
so ist adbdbc a db1 db1 c , d. h. die Addition ist wohldefiniert. Dass die Multiplikation wohdefiniert ist, zeigt
man ähnlich.
Die Körperaxiome rechnet man leicht nach. Beachte: Das Nullelement ist 01 . Zu zeigen ist noch, dass
r ÞÑ r1 einen injektiven Ringhomomorphismus definiert. Es gilt r1 1s s1111r r 1 s und r1 1s 1rs1 rs
1 ,
also ist die Abbildung ein Homomorphismus. Sei r im Kern dieser Abbildung, d. h. 1r 01 . Dann ist
r 1 1 0, also r 0, die Abbildung ist also injektiv.
l
14.2-4 Problem: Sei R Integritätsbereich mit Quotientenkörper K, sei L ein Körper und sei f : R Ñ L
ein injektiver Ringhomomorphismus. Dann wird durch
fˆ : K
Ñ L : ab ÞÑ ff ppabqq pa, b P R, b 0q
ein Körperhomomorphismus definiert, der nicht die Nullabbildung ist und daher injektiv ist. Mit anderen
Worten, die Abbildung f lässt sich zu einer Körperabbildung von K nach L fortsetzen und wir können
L als Körpererweiterung von K betrachten (indem wir K und fppK q „ L identifizieren).
Lösung: Da f injektiv ist, ist f pbq 0, und daher ff ppabqq ein Element von L. fˆ ist wohldefiniert, denn:
Ist ab dc , d. h. pa, bq pc, dq, dann ist ad bc, also f paqf pdq f padq f pbcq f pbqf pcq. Dann gilt
f paq
f pcq
ˆ
f pbq f pdq . So ist f wohldefiniert. Es gilt
a c fˆ
b
d
a c fˆ
b d
f pad bcq
f padfqpbdfq pbcq ff ppabqqff ppddqq
f pbdq
a c f pacq
f paqf pcq
fˆ d .
fˆ
f pbdq
f pbqf pdq
b
f pbqf pcq
f pbqf pdq
ff ppabqq
f pcq
f pdq
fˆ
a
b
c
,
fˆ
d
Weiter ist f p1q 1, denn f p1q 0, und f p1q f p1 1q f p1q f p1q. Multipliziert man das Inverse von
f p1q an diese Gleichung, so erhält man f p1q 1. Also ist f p1q ff pp11qq 11 1. Insbesondere ist f nicht
die Nullabbildung.
14.2-5 Problem: Sei a P R. Dann ist das Hauptideal aR xay R genau dann, wenn a P U pRq (also
eine Einheit) ist.
Lösung: ð“ : folgt aus 14.1-5.
ñ“ : Sei ”aR R. Dann ist 1 P aR, d. h. es gibt ein r
”
P R mit ar 1, also ist a P U pRq.
14.2-6 Definition: Ein Integritätsbereich R heißt Hauptidealring, falls jedes Ideal von R ein Hauptideal
ist.
Bezeichnung: HIR oder PID(principal ideal domain).
14.2-7 Bemerkung: Die Bezeichnung ist im Deutschen etwas inkonsistent. Natürlich kann man auch
kommutative Ringe mit Eins betrachten, für die jedes Ideal ein Hauptideal ist. Eigentlich müssten konsequenterweise solche Ringe R Hauptidealringe heißen. Es hat sich aber blöderweise eingebürgert, zusätzlich
zu fordern, dass R nullteilerfrei, d.h. ein Integritätsbereich ist. Im Englischen heißen Integritätsbereiche
domain“, Hauptideale principal ideals“ und Hauptidealringe principal ideal domains“.
”
”
”
Gegeben sei ein nullteilerfreier Ring R. Wie lässt sich nun überprüfen, dass R ein HIR ist? Dies ist sicher
keine einfache Aufgabe. Die nächste Definition stellt, wie wir sehen werden, eine Methode zum Auffinden
von HIRs zur Verfügung.
329
14.2-8 Definition pEuklidsche Ringeq: Ein Integritätsbereich R heißt Euklidischer Ring, falls es eine
Abbildung ( Gradfunktion“) deg : R Ñ N0 Y t1u gibt, sodass gilt:
”
1. Für alle r P R mit r 0 gilt degp0q degprq,
2. Für f, g P R mit g 0 gibt es q, r
Rest=Euklidischer Algorithmus).
P R mit degprq degpgq, sodass f q g
r ist (Teilen mit
Beispiele:
1. Z, mit deg z
|z |.
2. K rxs, mit degpppxqq
#
1
Grad
des Polynoms ppxq
für ppxq 0,
für ppxq 0.
14.2-9 Satz: Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.
Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht , d. h. es gibt Hauptidealringe, die nicht euklidisch sind!
Beweis: Sei R Euklidischer Ring mit Gradfunktion deg und I œ R. Ist I p0q, so ist I 0 R Hauptideal.
Sei also I p0q. Dann hat tdegpg q|g P I zt0uu „ N ein minimales Element, d. h. es gibt 0 g P I mit
degpg q ¤ degpf q für alle 0 f P I.
Sei f P I. Dann gibt es also q, r P R mit degprq degpg q und
f
qg
r
Wegen f, g P I ist auch r f qg P I. Wegen der Minimalität von degpg q in I muss r 0 sein. Also ist
f q g P g R und I ist das von g erzeugte Hauptideal von R.
l
14.2-10 Korollar: Z und K rxs (K Körper) sind HIR’s.
14.2-11 Beobachtung: In einem Integritätsbereich R spiegelt Enthaltensein“ von Hauptidealen
”
präzise (aber invers) die Teilbarkeitsrelation wieder, d. h.:
Sind a, b P R, so ist a|b bR „ aR (a|b steht für a ist Teiler von b, d.h. Dc P R : ac b).
”
Beweis: a|b Dc P R : ac b b P aR bR „ aR.
l
14.2-12 Definition: Sei R Integritätsbereich und seien a, b P R. Dann heißen a und b assoziiert genau
dann, wenn es eine Einheit u P U pRq gibt mit a bu.
14.2-13 Problem: Sei R kommutativer Ring mit Eins:
1. Assoziiert sein“ ist eine Äquivalenzrelation.
”
2. a, b P R sind assoziiert aR bR
3. a, b P R sind assoziiert
a|b und b|a
Lösung:
330
1. a a 1, also ist a assoziert zu a, da 1 P U pRq. Damit ist assoziiert sein“ reflexiv.
”
Es gilt au b a bu1 mit u P U pRq. Da mit u auch u1 P U pRq, ist assoziiert sein“ symme”
trisch.
Seien a und b sowie b und c assoziiert, also a bu und b cv für u, v P U pRq. Damit ist a bu pcvqu cpvuq und vu P U pRq, also sind auch a und c assoziiert und damit ist ”assoziiert sein“ eine
Äquivalenzrelation.
2. Ist a assoziiert zu b, so ist a bu mit u P U pRq, insbesondere also aR „ bR. Aus der Symmetrie
der Assoziiertheit folgt ebenso bR „ aR und damit aR bR.
Umgekehrt sei aR bR mit a 0. Dann existieren c, d P R mit b ac und a bd.
a bd acd ñ 0 a a pcdq a p1 cdq.
Da R insbesondere keine Nullteiler hat, gilt 0 1 cd, also ist c P U pRq und damit sind a und b
assoziiert.
Ist a 0 und bR aR, dann ist b 0 und die Behauptung folgt ebenfalls.
3. Folgt aus 2., da nach Beobachtung 14.2-11 aR „ bR b|a, also aR bR b|a und a|b gilt.
Weitere Teilereigenschaften übersetzen sich wie folgt in Hauptidealeigenschaften:
14.2-14 Problem: Sei R Integritätsbereich und seien a, b P R.
1. c P R heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt:
i) c|a und c|b
ii) Ist d P R mit d|a und d|b, so ist d|c.
Der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente ist, falls er existiert, bis auf Assoziiertheit eindeutig
bestimmt.
Bezeichnung: ggTpa, bq.
2. c P R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn gilt:
i) a|c und b|c
ii) Ist d P R mit a|d und b|d, so ist c|d.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Elemente ist, falls es existiert, bis auf Assoziiertheit
eindeutig bestimmt.
Bezeichnung: kgVpa, bq.
3. Sei R ein HIR und a, b P R. Dann existieren ggTpa, bq und kgVpa, bq und es gilt:
(a) aR
bR ggTpa, bqR.
(b) aR X bR kgVpa, bqR.
(c) paRq pbRq abR.
331
So:
R
ggTpa, bqR
@
@
@
@
aR
bR
@
@
@
@
kgVpa, bqR
abR
p0q
Lösung:
1. Seien c, d zwei ggT’s von a und b, dann gilt c|d und d|c nach ii) in der Definition. Nach Problem 14.2-13 sind damit c und d assoziiert.
2. wie in 1.
3. (a) Nach Beobachtung 14.2-11 ist c genau dann größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn
aR „ cR und bR „ cR ist, und aR „ dR und bR „ dR für ein d P R impliziert, dass cR „ dR
ist. Dann gilt aber auch aR, bR „ I œ R ñ cR „ I ist.
So ist c genau dann größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn cR das kleinste Ideal ist, dass
aR und bR enthält. Nach Fakt 14.1-8 ist dieses Ideal gerade aR bR. Also: c ggTpa, bq aR bR cR. So gilt die Formel aR bR ggTpa, bqR. Ist R HIR, dann ist aR bR ein
Hauptideal, d. h. es gibt ein Element, das aR bR erzeugt, und dieses ist der ggT.
(b) Ähnlich wie in (a) ist c keinstes gemeinsames Vielfaches von a und b genau dann, wenn cR das
größte Ideal ist, dass in aR und in bR enthalten ist. Man prüft leicht, dass dieses größte Ideal
aR X bR ist, die Behauptung folgt.
(c) Nach 14.1-13 ist aR bR xtar bs|s, r P Ruy xtab rs|s, r P Ruy xpabqRy. Da pabqR ein
Hauptideal und damit insbesondere Ideal ist, gilt ab bR pabqR.
Beachte: Teilbarkeit ist eine Ordnungsrelation auf der Menge der Assoziiertenklassen von R, nicht auf
R selbst.
Die Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen sollte Ihnen aus der Schule bekannt sein: Primzahlen sind ganze
Zahlen, die bis aufs Vorzeichen außer sich selbst nur 1 als Teiler haben und jede ganze Zahl kann bis
332
auf Vorzeichen und Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Primzahlen
haben noch eine andere schöne Eigenschaft: Teilt eine Primzahl p ein Produkt a b ganzer Zahlen a und
b, so teilt p dann a oder b (oder beide).
Wir wollen als nächstes zeigen, dass eine solche eindeutige Zerlegung von Elementen in Primfaktoren
in beliebigen Hauptidealringen existiert. Dazu ist zunächst zu klären, was Primelemente sind. In den
ganzen Zahlen gibt es, wie wir oben gesehen haben, zwei Charakterisierungen für Primelemente. Dies
ist im Allgemeinen nicht so, wir werden sehen, dass für allgemeine Integritätsbereiche beide Definitionen
zwei Paar Stiefel sind. Dann werden wir aber zeigen, dass für HIR’s beide Definitionen äquivalent sind,
d. h. zu derselben Sorte von Elementen führen.
Andererseits haben wir gesehen, dass Teilbarkeitseigenschaften von Elementen von R durch Idealeigenschaften der Hauptideale R ausgedrückt werden können. Wir beginnen auf der Idealseite und definieren
Primideale.
14.2-15 Definition: Sei P œ R, R kommutativer Ring mit 1. Dann heißt P Primideal , falls gilt:
Sind x, y P R mit xy P P, so ist x P P oder y P P.
(Wir nutzen also die zweite Eigenschaft von Primzahlen in Z zur Verallgemeinerung: xy
oder p|y.)
P pZ p|xy ñ px
14.2-16 Satz:
p0q ist Primideal in R.
œ R. Dann ist P Primideal R{P ist Integritätsbereich.
1. R ist Integritätsbereich
2. Sei P
Beweis:
1. p0q ist Primideal
2.
(xy 0 ñ x 0 oder y 0) R ist Integritätsbereich.
Sei P Primideal von R, und seien x, y P R, sodass px P qpy P q 0R{P 0 P ist. Dann ist
xy P 0 P und daher xy P P. Daraus folgt x P P oder y P P, da P Primideal ist und daher
x P 0R{P oder y P 0R{P . Also ist R{P nullteilerfrei, wie gewünscht.
Sei nun P ein Ideal in R und sei R{P nullteilerfrei. Seien x, y P R mit xy P P. Dann ist px P qpy
P q xy P 0 P 0R{P und daher x P 0R{P oder y P 0R{P , da R{P nullteilerfrei
ist. O.B.d.A. x P 0 P 0R{P , d. h. x P P. Also ist P Primideal.
l
14.2-17 Korollar: Sei M maximales Ideal von R. Dann ist M Primideal.
Beweis: In 14.1-9 haben wir gesehen, dass R{M Körper ist. Solche sind aber nullteilerfrei (warum?).
Also ist M Primideal.
l
Nun kommt die Elementversion:
14.2-18 Definition: Sei R kommutativer Ring mit Eins.
1. 0 a P R heißt irreduzibel , falls a R U pRq ist und gilt: Ist a xy mit x, y P R, so ist x P U pRq oder
y P U pRq ( a und y im ersten und a und x im zweiten Fall sind dann assoziiert).
2. 0 a P R heißt Primelement , falls aR Primideal ist, d.h. ist a|xy so folgt a|x oder a|y.
Nun kommt die Entäuschung: Die beiden Definitionen sind im allgemeinen nicht äquivalent. Für Integritätsbereiche gilt aber wenigstens:
333
14.2-19 Satz: Sei R Integritätsbereich und sei p P R Primelement. Dann ist p irreduzibel.
Beweis: Sei p xy mit x, y P R. Dann ist p xy ein Teiler von xy und daher p|x oder p|y, o.B.d.A.
p|x. Also gibt es a P R mit p a x und daher p xy p ay. Daraus folgt pp1 ay q 0. Da p 0 und
l
R nullteilerfrei ist, ist 1 ay 0 und daher ay 1. Also ist y P U pRq und p ist irreduzibel.
Wir werden aber sehen, dass in HIR’s irreduzible Elemente auch immer Primelemente sind, d.h. dass
wir für HIRs (wie z.B. Z oder K rxs nach 14.2-10 ) nicht zwischen Prim- und irreduziblen Elementen zu
unterscheiden brauchen. Dies gilt in der Tat für eine größere Klasse von Ringen, zu denen unter anderem
auch Polynomringe K rx1 , . . . , xn s gehören (die für n ¡ 1 keine HIRs sind. Dieser Satz, der Satz von
Gauss, wird in der Algebra-Vorlesung eine große Rolle spielen und dort bewiesen werden). Diese Ringe
sind Integritätsbereiche, in denen sich jedes Element eindeutig (bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit)
in irreduzible Elemente zerlegen lässt.
Hier ist die Definition:
14.2-20 Definition: Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und sei 0
Zerlegung in irreduzible Faktoren, falls sich a als
a P R. Dann besitzt a eine
a επ1 . . . πr
schreiben lässt mit ε P U pRq und π1 , . . . , πr P R irreduzible Elemente, r P N0 (für r 0 ist a ε P U pRq).
Wir sagen a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, falls zusätzlich gilt:
Ist a ε1 π11 . . . πs1 mit s P N0 , ε1 P U pRq und πi1 P R irreduzibel eine weitere solche Zerlegung, so ist s r
und nach geeigneter Umnummerierung sind πi und πi1 (1 ¤ i ¤ r) assoziiert, d.h. es gibt ε1 , . . . , εr P U pRq
mit πi1 εi πi , für i 1, . . . , r.
14.2-21 Definition: Ein Integritätsbereich heißt faktoriell (oder UFD=unique factorisation domain),
falls jedes Element ungleich 0 von R eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.
14.2-22 Satz: Sei R faktoriell und sei p P R irreduzibel. Dann ist p Primelement. Für UFDs stimmen
also irreduzible und Primelemente überein.
Beweis: Sei p irreduzibel und p|ab pa, b P Rq. Eine Zerlegung von ab in irreduzible Faktoren erhält
man, indem man Zerlegungen von a und von b in irreduzible Faktoren hintereinander fügt (multipliziert).
Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung von ab muss ein zu p assoziiertes Element εp (ε P U pRq) in dieser
Zerlegung vorkommen, also auch in der Zerlegung von a oder in der von b. Also ist εpx a oder εpy b
für ein x, y P R, d.h. p|x oder p|y. Also ist p Primelement.
l
14.2-23 Satz: Sei R Integritätsbereich. Dann ist R UFD genau dann, wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten:
1. Jede aufsteigende Kette von Hauptidealen wird stationär,
2. Jedes irreduzible Element von R ist Primelement.
Beweis: ð : Sei M taR|0 a P R, a besitzt keine Zerlegung in irreduzible Faktorenu. Wir zeigen,
”
dass M H ist. Sei aR P M ñ a ist nicht irreduzibel ñ Db, c P R mit b, c R U pRq und a bc. Nicht
beide, b und c, können Faktorisierungen in irreduzible Elemente besitzen, sonst hätte a bc ebenfalls eine.
O.B.d.A besitzt also c keine, d.h. cR P M. Wir setzen a1 a, b2 b und a2 c. Dann ist a1 R „ a2 R
wegen a2 |a1 (a1 b2 a2 ). Wäre a1 R a2 R, so wären a2 und a1 assoziiert und b2 wäre Einheit, denn
334
a2 a1 x (x P R) impliziert a1 b2 a2 b2 a1 x ñ a1 p1 b2 xq 0 ñ 1 b2 x 0 ñ b2 P U pRq und b2 ist
nicht irreduzibel. Also ist a1 R Š a2 R.
Dasselbe Argument angewandt auf a2 anstatt auf a1 produziert ein a3 P R mit a3 R P M und a1 R Š
a2 R Š a3 R. Induktiv erhalten wir so eine unendliche echt ansteigende Kette
a1 R Š a2 R Š . . . Š a k R Š . . .
im Widerspruch zur ersten Bedingung. Also existiert kein aR in M und M ist leer. Dies heißt, dass jedes
0 a P R eine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.
Wir zeigen die Eindeutigkeit der Faktorisierung von 0 a P R in irreduzible Faktoren:
Seien a p1 . . . pr q1 . . . qs zwei Faktorisierungen in irreduzible Elemente. Wegen der zweiten Bedingung
sind p1 , . . . , pr , q1 , . . . , qs Primelemente. p1 teilt q1 . . . qs , also gibt es einen Faktor qi mit p1 |qi . O.B.d.A.
i 1, d.h. p1 |q1 (sonst Umordnen des zweiten Produkts). Also gibt es u1 P R mit q1 p1 u. Weil q1 und
p1 irreduzibel sind, muss u1 P U pRq sein und q1 und p1 sind assoziiert. Wir haben
a p1 . . . pr
q1 . . . qs u1 p1 q2 . . . qs ñ p2 . . . pr u1 q2 . . . qs .
Induktion über maxtr, su (der Fall maxtr, su 0 ist trivial) zeigt (Induktionsannahme):
s 1 r 1 und Dui P U pRq für i 2, . . . , r, sodass qi pi ui . Daraus folgt dann die Behauptung per
Induktion.
ñ“ : Sei nun R UFD. In 14.2-22 haben wir schon gesehen, dass 2. gilt.
”
Sei a P R und a p1 . . . pr Zerlegung in irreduzible Elemente. Sei aR „ bR pb P Rq. Dann ist b|a und
daher muss die Zerlegung von b in irreduzible Faktoren bis auf Einheiten eine Teilsequenz b upi1 . . . pik
(mit k ¤ r, 1 ¤ i1 . . . ik ¤ r) sein. Da bR u1 bR ppi1 . . . pik qR ist, schließen wir, dass aR nur
in endlich vielen verschiedenen Hauptidealen bR enthalten sein kann. Insbesondere kann es keine mit aR
beginnende, unendliche, echt ansteigende Kette von Hauptidealen geben und 1.) gilt ebenfalls.
l
14.2-24 Satz: Sei R HIR. Dann ist jedes irreduzible Element von R Primelement.
Beweis: Sei p P R irreduzibel und sei p|ab (a, b P R). O.B.d.A. sei p kein Teiler von a (sonst sind wir
fertig). Da p irreduzibel ist, ist der ggT von p und a daher 1 (die einzigen Teiler von p sind Einheiten
oder assoziiert zu p, und p teilt nicht a). Nach 14.2-14 ist dann pR aR pggTpp, aqqR 1 R R
und es gibt daher x, y P R mit
px ay 1.
Dann ist
b b 1 bppx
ay q bpx
aby.
p teilt pbx trivialerweise und p teilt aby nach Voraussetzung, also auch deren Summe b. Also ist p
l
Primelement.
14.2-25 Satz: HIRs sind UFDs.
Beweis: Nach 14.2-24 erfüllt ein HIR R Bedingung 2.) von 14.2-23. Da jedes Ideal von R von einem
Element erzeugt wird, ist R insbesondere noethersch. Daher wird jede aufsteigende Kette von (Haupt-)
Idealen stationär nach 14.1-11 und R erfüllt auch Bedingung 1.) von 14.2-23. Nach eben diesem Satz
ist daher R ein UFD.
l
335
14.2-26 Bemerkung: Wir haben nun verschiedene Klassen von Ringen betrachtet, die ineinander
enthalten sind:
tEuklidische Ringeu „ tHIRsu „ tUFDsu.
Beide Inklusionen sind echt.
14.2-27 Satz: Sei R HIR. Dann ist jedes Primideal P
Körper.
p0q von R maximal und daher ist R{P
ein
Beweis: Sei P œ R Primideal und I œ R Ideal mit P „ I Š R. Sei P pR, I xR. Dann gilt x|p.
Wegen xR I R ist x keine Einheit. Nun ist p ein Primelement und daher irreduzibel nach 14.2-19.
Also ist x assoziiert zu p und pR xR, d.h. P I. Also ist P maximales Ideal von R.
l
Im 14.2-17 hatten wir gesehen, dass maximale Ideale Primideale sind. Für einen HIR sind die Primideale
also genau die maximalen Ideale und das p0q-Ideal.
14.3
Moduln
Zunächst sei A ein beliebiger, nicht notwendigerweise kommutativer Ring mit Einselement oder eine KAlgebra für einen Körper K. Was für Körper Vektorräume sind, sind für Ringe (Algebren) Moduln. Hier
ist die Definition.
14.3-1 Definition: Ein A-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe pM, q zusammen mit einer äußeren
binären Operation A M Ñ M : pa, mq ÞÑ am, sodass gilt (vergleiche Definition 4.1-1, V5)-V8)):
M1) 1A m m
M2)
M3)
M4)
m P M .
apbmq pabqm a, b P A, m P M .
pa bqm am bm a, b P A, m P M .
apm1 m2 q am1 am2 a P A, m1 , m2 P M .
Ein A-Rechtsmodul wird analog definiert, nur operiert A dann von rechts auf M , d.h. die äußere binäre
Operation ist als M A Ñ M : pm, aq ÞÑ ma definiert.
14.3-2 Probleme:
1. Ist R kommutativer Ring mit Eins und ist M ein R-Linksmodul, so wird M zum R-Rechtsmodul,
wenn man die Rechtsoperation von R auf M durch m r rm r P R, m P M definiert. Warum
funktioniert dies nicht bei nicht-kommutativen Ringen?
2. Sei A eine K-Algebra mit Einselement und sei M ein A-Linksmodul. Dann wird M zum KVektorraum durch λ m pλ 1A qm λ P K, m P M .
Lösung:
1. Seien m, n P M , a, b P R beliebig gewählt.
M1) m 1R
M2)
M3)
1R m m.
m pabq pabqm pbaqm bpamq pamq b pm aq b.
m pa bq pa bqm am bm m a m b.
336
M4) pm
nq a apm
nq am
an m a
n a.
M2) ist für nicht-kommutative Ringe nicht mehr richtig, da dort pabqm pbaqm im allgemeinen
nicht mehr gilt ist. Z. B. sei R M22 pRq, M R2 . M ist R-Linksmodul, die Operation ist gegeben
durch Matrizenmultiplikation. Dann ist
0 1
0 0
10 mpabq abm 0
0
1
0
looomooon looomooon loomoon
a
b
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
bam pmbqa.
m
2. (M, q ist abelsche Gruppe, da M Modul ist. Es sind die Axiome V5)-V8) aus Definition 4.1-1 zu
zeigen. Da dies leichte Übungen sind, wird nur exemplarisch V7) gezeigt. Mit λ, µ P K, m P M gilt:
pλ
µq m ppλ
µq 1A qm pλ 1A
µ 1A qm pλ 1A qm
pµ 1Aqm λ m
µ m.
Unter einem A-Modul verstehen wir im folgenden immer einen A-Linksmodul. Alles, was wir über ALinksmoduln beweisen, hat natürlich eine Rechtsvariante, die analog bewiesen wird. Da wir uns in Kürze
wieder auf kommutative Ringe (nämlich HIR’s) konzentrieren werden, ist der Unterschied so oder so
unerheblich.
Natürlich kann man Moduln auch für Ringe ohne Einselement definieren bzw. man kann Moduln betrachten, auf denen das Einselement 1A nicht notwendigerweise wie die Eins operiert, d.h. das Axiom M1
entfällt. Will man betonen, dass 1A m m ist für alle m P M , fordert man also M1, so spricht man auch
von einem unitalen Modul. Wir betrachten hier nur unitale Moduln, d.h. ein A-Modul ist bei uns immer
unitaler A-Linksmodul“.
”
14.3-3 Beispiele:
. Dann wird M zum Z-Modul durch
1. Sei M abelsche Gruppe mit binärer Operation
zm
$
m ... m
'
loooooomoooooon
'
'
'
'
& zmal
0
für
z
¡ 0,
für
z
0,
'
'
'
pm . . . mq für z 0.
'
'
%looooooooomooooooooon
pzqmal
Umgekehrt ist jeder Z-Modul eine abelsche Gruppe (per definitionem). Macht man diese wieder
wie oben zum Z-Modul, so erhält man die alte Z-Modulstruktur zurück (Warum?). Daher sind die
Z-Moduln genau die abelschen Gruppen.
2. Sei M abelsche Gruppe. Dann ist E EndpM, q tf : M Ñ M |f ist Gruppenhomomorphismusu
ein Ring mit 1 durch pf g qpmq f pmq g pmq (für f, g P E, m P M ) und pf g qpmq f pg pmqq.
Das Einselement ist die identische Abbildung 1E : M Ñ M : m ÞÑ m und das 0-Element die
0-Abbildung 0E : M Ñ M : m ÞÑ 0. M wird zum E-Modul durch f m f pmq für f P E und
m P M.
3. Sei V ein K-Vektorraum, E EndK pV q. Dann wird V zum E-Modul durch f v f pv q für f P E
und v P V . Wir haben dann: EndK pV q ist im allgemeinen echter Unterring (mit derselben Eins)
von EndpV, q. Für λ P K und f P EndpV, q sei λ f definiert durch pλf qpv q λ pf pv qq P V .
Dann ist λ f P EndpV, q und EndK pV q ist Unteralgebra von EndpV, q.
4. Sei V ein K-Vektorraum, K ein Körper und sei f
wir definieren (vgl. Problem 13.7-2)
q ptqv
qpf qpvq,
P EndK pV q. Dann wird V
für q ptq P K rts, v P V,
337
ein K rts-Modul, indem
wobei q pf q der in 13.7-1 definierte Endomorphismus von V ist. Dieser K rts-Modul wird im folgenden mit Vf bezeichnet, um zu betonen, dass wir die durch f gegebene Modulstruktur von K rts
auf V meinen.
14.3-4 Probleme: Sei A Ring mit Eins, M ein A-Modul.
1. Sei a P A. Definiere fa : M Ñ M : m ÞÑ am. Dann ist fa P EndpM, q und F : A Ñ EndpM, q :
a ÞÑ fa ist ein Ringhomomorphismus, der die Eins erhält. Ist zusätzlich A eine K-Algebra, dann ist
fa P EndK pM q und F ist K-Algebrahomomorphismus.
2. Sei umgekehrt F : A Ñ EndpM, q ein Ringhomomorphismus, der die Eins erhält. Dann wird M
zum A-Modul durch am pF paqqpmq für a P A, m P M . (Für Algebren: F : A Ñ EndK pM q)
3. Die Schritte in 1.) und 2.) sind invers zueinander, d.h. startet man mit einer abelschen Gruppe M
und einem Homomorphismus F wie in 2.) und macht M zum A-Modul und betrachtet man den
zugehörigen Homomorphismus von A in EndpM, q, gemäß 1.), so erhält man F zurück. Startet
man mit einer A-Modulstruktur auf M , so stimmt diese mit der überein, die man erhält, wenn man
gemäß 2.) eine Modulstruktur zum dazugehörigen Homomorphismus F definiert.
Bezeichnung: Homomorphismen von A in EndpM, q (bzw. in EndK pM q für K-Algebren A) heißen
Darstellungen oder genauer lineare Darstellungen von A; F in 1.) heißt die zum A-Modul M gehörende
Darstellung von A. 14.3-4 sagt, dass Darstellungen und Moduln völlig äquivalente Konzepte sind.
Lösung:
P E EndpM, q für a P A. Sei dazu m, n P M .
fa pm nq apm nq am an fa pmq fa pnq.
Zu zeigen: F ist Ringhomomorphismus (a, b P A, m P M ).
F p1A qpmq f1 pmq 1A m m
F pa bqpmq fa b pmq pa bqm am bm fa pmq fb pmq
F paqpmq F pbqpmq pF paq F pbqqpmq
F pa bqpmq fab pmq pa bqm apbmq fa pbmq pfa fb qpmq pF paq F pbqqpmq.
Sei zusätzlich A eine K-Algebra, λ P K. Dann ist
fa pλmq apλmq apλ 1A qm pλ 1A qpamq λ fa pmq,
d. h. fa P EndK pM q. F ist K-linear, denn es gilt
pF pλ aqqpmq pλ aqpmq ppλ 1A qaqpmq pλ 1Aqpamq λ pF paqpmqq.
2. Sei wieder E EndpM, q, m, n P M , a, b P A.
M1) 1A m pF p1A qqpmq 1E m m.
M2) pabqm pF pabqqpmq pF paq F pbqqpmq F paq ppF pbqqpmqq F paqpbmq apbmq.
M3) pa bqm pF pa bqqpmq pF paq F pbqqpmq F paqpmq F pbqpmq am bm.
M4) apm nq pF paqqpm nq F paqm F paqn am an.
1. Zu zeigen: fa
A
338
3. Sei der Homomorphismus F : A Ñ EndpM, q : a ÞÑ F paq gegeben. Dann erhält man durch
a m F paqpmq eine A-Modulstruktur auf M . Definiert man nun fa : A Ñ EndpM, q : m ÞÑ a m
zu dieser Struktur, dann ist
fa pmq a m F paqpmq.
Man erhält also F zurück.
Sei nun eine A-Modulstruktur auf M gegeben. Definiere fa : M Ñ M : m ÞÑ am. Der so gewonnene
Homomorphismus F : A Ñ EndpM, q : a ÞÑ fa definiert eine A-Operation auf M , die wegen
F paqpmq fa pmq am
mit der ursprünglichen Modul-Operation übereinstimmt.
14.3-5 Beispiele:
1. Der 0-Modul p0q ist A-Modul mit Operation a 0 0 für alle a P A.
2. A wird zum A-Linksmodul A A, wobei a P A auf A durch normale Linksmultiplikation operiert
(Analog Rechtsmodul). Dieser Modul heißt trivialer bzw. regulärer Modul.
3. Jedes Linksideal und daher auch jedes Ideal von A ist A-Modul.
14.3-6 Definition: Sei A Ring mit 1 und seien M und N A-Moduln. Eine Abbildung f : M Ñ N heißt
(A-Modul-) Homomorphismus, falls f ein Homomorphismus der zugrunde liegenden abelschen Gruppe
ist, der zusätzlich die A-Operation respektiert, d. h. für den gilt:
f pamq af pmq
a P A, m P M.
tm P M |f pmq 0N u heißt Kern, im f tf pmq|m P
Die Menge ker f
M u Bild von f . Injektive
Homomorphismen heißen Mono-, surjektive Epi- und bijektive Isomorphismen. Zwei A-Moduln M , N
heißen isomorph, und wir schreiben M N , falls es einen Isomorphismus f : M Ñ N gibt.
Wie für Ringe und Ideale in 14.1-8 sammeln wir jetzt die basis facts“, die für A-Moduln gelten, in
”
einer Zusammenfassung. Ihre Beweise sind wieder Routine und werden als Übung überlassen.
14.3-7 Fakten: Sei A ein Ring mit Eins, M und N seien A-Moduln.
1. Eine Teilmenge U H von M heißt Untermodul von M , falls pU, q abelsche Untergruppe von
pM, q ist und a u P U gilt für alle a P A und u P U . Wir schreiben dann U ¤ M . Die AUntermoduln von A A sind genau die Linksideale von A.
2. Der Durchschnitt einer beliebigen Menge von Untermoduln von M ist Untermodul von M . Dies
ist der eindeutig bestimmte größte Untermodul von M , der in allen Untermoduln der vorgegebenen
Menge enthalten ist.
3. Sei S
„ M . Der von S erzeugte Untermodul U xS y ist definiert als
“
U . Er ist der eindeutig
U ¤M
S„U
bestimmte, kleinste Untermodul von M , der S als Teilmenge enthält: Es gilt:
xS y !°
)
as s|as P A fast alle 0A .
sPS
339
4. Ist Uα
¤M
für eine Indexmenge A und α
P A, so ist die Summe U °
Uα der von der menαPA
”
Uα erzeugte Untermodul von M . Er ist der eindeutig bestimmte
αPA
kleinste!Untermodul
von M , der alle
) Untermoduln Uα , α P A, als Teilmenge enthält, und ist als
°
uα |uα P Uα fast alle 0 . Insbesondere ist in der Menge der Untermoduln von M , teilMenge
αPA
gentheoretischen Vereinigung
weise geordnet durch Inklusion, U X V der größte Untermodul von M , der in U und V pU, V
enthalten ist, und U V der kleinste Untermodul von M , der U und V enthält. Im Bild:
¤ Mq
M
U
V
@
@
@
U
V
@
@
@
U
XV
p0q
5. Sei U ¤ M . Wir definieren eine Äquivalenzrelation mod U auf M durch : x y mod U x y P U , für x, y P M . Die Äquivalenzklasse von x P M ist dann die Nebenklasse x U tx u|u P
U u. Auf der Menge M {U tx U |x P M u (sprich M modulo U“) der Äquivalenzklassen von M
”
modulo U definieren wir eine Addition durch px U q py U q px y q U und eine äußere
Operation von A durch apx U q ax U . Diese Operationen sind wohldefiniert und machen
M {U zu einem A-Modul, dem Faktormodul M mod U mit Nullelement 0 U U und additivem
Inversen pm U q pmq U für m P M . Die Abbildung π : M Ñ M {U : m ÞÑ m U ist ein
Epimorphismus, die sogenannte Projektion von M auf M {U .
Ñ N ein A-Homomorphismus. Dann ist ker f ¤ M und im f ¤ N .
: M Ñ N Isomorphismus, so ist f 1 : N Ñ M ebenfalls einer. Die Relation isomorph
”
6. Sei f : M
7. Ist f
sein“ ist Äquivalenzrelation auf der Klasse
A mod
der A-Moduln.
8. (1. Isomorphiesatz:) Sei f : M Ñ N eine A-lineare Abbildung und U ¤ M mit U „ ker f . Dann
gibt es ein eindeutig bestimmtes fp : M {U Ñ N mit im fp im f und ker fp U { ker f ¤ M { ker f ,
sodass fp π f für die Projektion π : M Ñ M {U gilt. Im Bild:
f
M
@
π@
R
@
M {U
- N
D!fp
fp ist gegeben durch : fppm U q f pmq
Ist insbesondere ker f U , so ist fp ein A-Modulisomorphismus von M { ker f auf im f . Wir haben
daher M { ker f im f .
340
9. (2. Isomorphiesatz:) Seien U, V ¤ M . Dann ist pU
V q{V U {pU
V {pU X V q. Also: Parallele Seiten der Raute in 4. sind isomorph.
X Vq
und pU
V q{U
N
¤ M und U ¤ M . Dann ist V {U ¤ M {U und M {U V {U M {V .
Ist A zusätzlich eine K-Algebra, so ist M auch ein K-Vektorraum durch λ m pλ 1A qm für
λ P K, m P M . Untermoduln von M sind dabei automatisch K-Untervektorräume und A-lineare
10. (3. Isomorphiesatz:) Seien U, V
11.
Abbildungen zwischen A-Moduln sind automatisch K-linear.
12. Sei H S „ M mit xS y M . Dann heißt S Erzeugendensystem von M und M heißt endlich
erzeugt, falls es eine endliche Menge S „ M gibt mit xS y M .
P I, eine Menge von Untermoduln von M mit Indexmenge I. Die Summe ° Mi U
iPI
°
heißt (interne) direkte Summe der Mi , falls Mi X
Mj p0q gilt für alle i P I. Dies ist genau
ij PI
°
dann der Fall, wenn jedes u P U eine eindeutige Darstellung u xi mit xi P Mi , fast alle
iPI
À
Mi 0, besitzt. Ist Mi (i P I) eine Menge von A-Moduln, so ist die (äußere) direkte Summe
iPI
tpxi qiPI |xi P Mi fast alle 0u mit Addition und A-Operation definiert durch
pxi qiPI pyi qiPI pxi yi qiPI
apxi qiPI paxi qiPI
À
für pxi qiPI , pyi qiPI P
Mi , d.h. xi , yi P Mi fast alle 0.
iPI
À
À
Dies macht
Mi zum A-Modul. Ist i P I fest und x P Mi , so wird durch x ÞÑ pxj qj PI P
Mj
iPI
j PI
À
eine Einbettung von Mi in
Mj definiert, wobei xi x und xj 0M für i j P I gesetzt
13. Seien Mi , i
P
j
À
Mj interne direkte Summe der M̃j . Sind
wird. Bezeichne M̃j das Bild dieser Einbettung, so ist
jÀ
PI À
À
fi : Mi Ñ Ni A-Modulhomomorphismen, so wird durch
fi :
Mi Ñ
Ni : pxi qiPI ÞÑ pfi pxi qqiPI
iPI
iPI
iPI
j I
ein A-Modulhomomorphismus definiert, die direkte Summe der fi .
14. Ein A-Modul M heißt frei, wenn er isomorph zu einer direkten Summe von Kopien des regulären
A-Moduls A A ist.
15. Eine
° Teilmenge S eines A-Moduls N heißt linear unabhängig, falls es keine nichttriviale Darstellung
as s 0, ax P A fast alle 0, gibt, d.h. mindestens einer der Koeffizienten as ist verschieden
P
s S
von 0. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von N heißt Basis (bzw. A-Basis) von N . Wie
für K-Vektorräume sieht man leicht, dass S eine A-Basis
von N ist, genau dann, wenn sich jedes
°
Element von N eindeutig als A-Linearkombination
as s, ax P A fast alle 0 darstellen lässt. In
À A s mit A s tas|a P Au.
P
s S
diesem Fall ist N
P
s S
14.3-8 Satz: Sei M ein A-Modul. Dann ist M frei genau dann, wenn M eine A-Basis besitzt.
ñ“: Sei M À Mi mit Mi A A für i P I, Mi ¤ M . Sei ei P Mi das Bild des 1-Elements von
iPI
A A in Mi unter
° dem A-Isomorphismus A AÑ̃Mi : A Q a ÞÑ a ei P Mi . Dann ist tei |i P I u A-Basis von
Mi , denn ist
ai ei 0 mit ai P A fast alle 0, so ist ai ei 0M 0M , da die eindeutige Darstellung
° iPI
der 0 als
xi pxi P Mi q durch xi 0 für alle i P I gegeben ist, sonst wäre die Summe der Mi nicht
Beweis:
”
i
P
i I
341
direkt. Da A A Ñ Mi : a ÞÑ a ei ein Isomorphismus ist, folgt ai 0 für alle i P I und tei |i P I u ist linear
unabhängig
° über A.
Sei m xi (xi P M fast alle 0), mit xi ai ei . Solch ein ai P A existiert, weil A A Ñ Mi : a ÞÑ aei
P
i I
ein A-Modulisomorphismus und daher insbesondere surjektiv ist. Dann ist m
° aiei , (Klar: fast alle
P
ai sind 0). Also ist tei |i P I u A-Basis von M .
ð“: Sei umgekehrt tei|i P I u A-Basis von M . Dann ist Mi Aei taei|a P Au ¤ M und M ° Mi,
”
iPI
°
denn ist m P M , m ai ei mit ai P A fast alle 0, (solche ai P A) gibt es, da tei | i P I u den Ai I
P
P Mi . Daher ist m ° Mi, d.h. M ° Mi. Die Summe ist wegen der
iPI
iPI
Eindeutigkeit der ai ei P Mi für m P M direkt. Es bleibt zu zeigen, dass Aei A A ist. Wir definieren
(i P I fest) f : A Ñ Mi : a ÞÑ aei . Man sieht sofort, dass f surjektiver A-Modulhomomorphismus
ist (und dass f p1A q ei ist). Dieser ist injektiv, denn sonst ist ker f p0q. Ist 0 a P ker f , so ist
f paq aei 0 ñ aei 0 ist nichttriviale Darstellung der 0 als Linearkombination der Basis tej |j P I u.
Also ist f Isomorphismus.
l
i I
Modul M erzeugt) und ai ei
14.3-9 Problem: Nun sollte es leicht sein, für eine Menge I den freien A-Modul mit Basis I zu
konstruieren und seine universelle Eigenschaft zu bestimmen.
Lösung: Bezeichne den freien Modul zur Indexmenge I mit F pI q. Definiere
F pI q tf : I
Ñ A|f piq 0
für fast alle i P I u.
Auf F pI q definiert man Operationen durch
pf gqpiq f piq gpiq, paf qpiq af piq für f, g P F pI q, a P A.
Leicht: f g, af P F pI q. Dadurch wird F pI q zum A-Modul. Das Nullelement von F pI q ist gegeben durch
0piq 0 für i P I. Das additive Inverse zu f ist pf qpiq f piq, wodurch pF pI q, q zu einer abelschen
Gruppe wird.
Seien nun a, b P A und f, g
P F pI q beliebig.
M1) p1A f qpiq 1A pf piqq f piq.
M2) ppabqf qpiq pabqpf piqq apbpf piqqq papbf qqpiq.
M3) ppa bqf qpiq pa bqpf piqq apf piqq bpf piqq paf qpiq bf piq paf bf qpiq.
M4) papf g qqpiq appf g qpiqq apf piq g piqq apf piqq apg piqq papf g qqpiq.
Damit ist F pI q ein A-Modul.
Um zu sehen, dass F pI q frei über I ist, muss gezeigt werden, dass er I, bzw. eine Kopie davon, als Basis
hat. Definiere
ei pj q #
1
0
für i j
für i j.
P F pI q beliebig. Für jedes j P I gilt p ° f piqeiqpj q f pj q. Also gilt f ° f piqei. Damit ist
iPI
iPI
tei|i P I u Erzeugendensystem. Sei nun ° αi ei 0, αi P A, nichttriviale Darstellung der Null. Damit
iPI
°
ist
αi ei pj q αj 0 für alle j P I. So ist tei |i P I u linear unabhängig, also Basis. Die Abbildung
iPI
ι : I Ñ F pI q : i ÞÑ ei ist injektiv, so kann man I als Teilmenge von F pI q, und daher als Basis betrachten.
Sei f
342
Universelle Eigenschaft des freien A-Moduls F pI q über der Indexmenge I:
Sei M A-Modul und sei g : I Ñ M : i ÞÑ mi eine Abbildung von Mengen. Dann existiert eine eindeutig
bestimmte, A-lineare Abbildung gp : F pI q Ñ M mit gp ι g, wobei ι : I Ñ F pI q : i ÞÑ ei ist.
I
ι
- F pI q
HH
HH
Dgp
g H
HH
j ?
M
Definiere gp auf der Basis von tei |i P I u als p
gpei q g piq. Diese Abbildung kann eindeutig zu einer A-linearen
Abbildung fortgesetzt werden, mit der F pI q die universelle Eigenschaft erfüllt.
14.3-10 Bemerkung: Der Basissatz für Vektorräume besagt, dass alle K-Vektorräume (das sind genau
die K-Moduln) für einen Körper K frei sind. Die Crux ist, dass dies nicht mehr für Ringe und ihre Moduln
gilt. Dabei haben A-Moduln im allgemeinen keine A-Basis. Ist A eine K-Algebra, so ist ein A-Modul
zugleich ein K-Vektorraum und als solcher muss er eine K-Basis besitzen.
14.3-11 Definition: Eine Folge von A-Moduln
α
α
α
α
α
ÝÑ
M2 ÝÑ M3 ÝÑ . . . ÝÑ Mi ÝÑ . . .
mit A-Modulhomomorphismen ai : Mi Ñ Mi 1 heißt exakt , falls ker αi 1 im αi ist. Eine exakte Folge
M1
der Form
1
2
3
i
1
i
β
α
p0q ÝÑ M ÝÑ
N ÝÑ E ÝÑ p0q
heißt kurze exakte Folge (kurz: keF).
Beachte: Es gibt genau einen A-Modulhomomorphismus p0q Ñ M und genau einen A-Modulhomomorphismus E Ñ p0q (nämlich jeweils die Nullabbildung). Das Bild des Homomorphismus p0q Ñ M ist
also p0q, d. h. das Bild dieser Abbildung ist gleich ker α genau dann, wenn p0q ker α ist, also wenn α
injektiv ist. Der Kern der Abbildung E Ñ p0q ist E, also ist der Kern dieser Abbildung gleich im β genau
dann, wenn E im β ist, also β surjektiv ist. Daher ist die Folge oben exakt genau dann, wenn α ein
Monomorphismus und β ein Epimorphismus ist, und wenn ker β im α ist. Nach dem 1. Isomorphiesatz
ist dann aber N { im α E. Ist M ein A-Modul, U ¤ M , so hat man immer eine keF
β
α
p0q ÝÑ U ÝÑ
M ÝÑ M {U ÝÑ p0q,
wobei α die natürliche Einbettung von U in M und β die natürliche Projektion von M auf M {U ist.
14.3-12 Satz: Seien M und N A-Moduln und sei f : M Ñ N ein A-Epimorphismus. Sei S „ M ein
Erzeugendensystem für M . Dann wird N von f pS q erzeugt. So sind insbesondere epimorphe Bilder von
endlich erzeugten A-Moduln endlich erzeugt.
Beweis: Sei n P N und sei m P M ein Urbild von M , so ist f pmq n. Da M xS y ist, finden wir
s1 , . . . , sk P S und a1 , . . . , ak P A, sodass m a1 s1 . . . ak sk ist. Dann ist n f pmq f pa1 s1
. . . ak sk q a1 f ps1 q . . . ak f psk q P xf psq|s P S yAModul xf pS qy. Die weiteren Behauptungen folgen
unmittelbar.
l
343
14.3-13 Satz: Sei p0q ÝÑ N
so auch M .
β
α
ÝÑ
M ÝÑ E ÝÑ p0q keF von A-Moduln. Sind N und E endlich erzeugt,
Beweis: Sei U im α ¤ M . Dann ist ker β U und E M {U . Da N U (durch α), sind U und M {U
endlich erzeugt.
Sei M {U xm1 , . . . , mk y mit mi mi U pmi P M q und sei U xuk 1 , . . . , ut y. Sei m P M . Dann ist
m U P M {U und wir finden a1 , . . . , ak P A, sodass m U a1 m1 . . . ak mk pa1 m1 . . . ak mk q U
ist. Daher ist m pa1 m1 . . . ak mk q P U und wir finden ak 1 , . . . , at P A mit m pa1 m1 . . . ak mk q ak 1 uk 1 . . . at ut . Dann ist m a1 m1 . . . ak mk ak 1 uk 1 . . . at ut .
Dies zeigt M xm1 , . . . , mk , uk 1 , . . . , ut y, d. h. insbesondere ist M endlich erzeugt.
l
14.3-14 Satz: Sei p0q ÝÑ N ÝÑ M ÝÑ E ÝÑ p0q keF von A-Moduln und sei E freier A-Modul.
Dann gibt es ein U ¤ M mit U E, sodass M im α ` U ist.
α
β
14.3-15 Bemerkung: Insbesondere ist dann β̃ β |U : U Ñ E ein Isomorphismus. Ist γ : E Ñ
U sein Inverses, so ist β γ idE . Der Beweis von 14.3-14 zeigt umgekehrt: findet man einen AModulhomomorphismus δ : E Ñ U mit β δ idE , so erfüllt U im δ Satz 14.3-14. Man sagt in diesem
β
α
Fall die keF p0q ÝÑ N ÝÑ M ÝÑ E ÝÑ p0q zerfällt“.
”
Beweis: Sei tei |i P I u (I Indexmenge) eine Basis von E und sei für jedes i P I ein Urbild mi β 1 pei q
fest gewählt. Dann kann die Mengenabbildung
ei ÞÑ
° mi zu einer A-linearen Abbildung γ : E Ñ M
°
ai ei ÞÑ
ai mi (ai P A fast alle 0) ist wohldefinierter Aausgedehnt werden, d.h. γ : E Ñ M :
P
i I
P
i I
Modulhomomorphismus (Beachte, dass E der freie A-Modul über der Indexmenge I ist, mit Einbettung
i ÞÑ ei P E. Dann folgt die Existenz von γ : E Ñ M aus der universellen Eigenschaft freier A-Moduln
bzgl. der Mengenabbildung I Ñ M : i ÞÑ mi ). Nach Konstruktion ist β γ idE . Insbesondere ist γ
injektiv und daher ist γ ein Isomorphismus von E nach im γ U ¤ M . So ist U E. Wir zeigen nun
M im α ` U .
Sei m P im α X U . Nach Voraussetzung (keF) ist im α ker β und daher ist β pmq 0. Aber β |U γ 1
ist Isomorphismus, insbesondere ist ker β |U p0q. Wegen m P U ist m P ker β |U und daher m 0. Also
ist die Summe im α U der Untermoduln im α und U von M direkt.
Es bleibt zu zeigen, dass M im α U ist. Sei m P M und sei x m γ pβ pmqq. Dann ist β pxq β pmq lo
βomo
γonpβ pmqq β pmq β pmq 0, d. h. x P ker β im α. Also ist
idE
m m γ pβ pmqq
γ pβ pmqq loomo
x on
Pim α
γ
pβ pmqq P im α
looomooon
PU
U.
l
14.3-16 Problem: Sei M ein A-Modul mit Erzeugendensystem tmi |i P I u. Sei F der freie A-Modul
über I. Bezeichne das Basiselement von F , das zu i P I gehört, mit ei . Zeigen Sie, dass es genau einen
A-Modulepimorphismus f : F Ñ M gibt mit f pei q mi . Da jeder A-Modul ein Erzeugendensystem
besitzt (z.B. bestehend aus allen Modulelementen), zeigt dies, dass jeder A-Modul epimorphes Bild eines
freien A-Moduls ist.
344
Lösung: Das f aus 14.3-6 ist das gp aus 14.3-9. Damit existiert f und ist eindeutig. Da per Konstruktion
mi f pei q P im f für alle i P I ist und tmi |i P I u ein Erzeugendensystem von M ist, gilt auch M „ im f ,
womit f ein Epimorphismus ist.
14.3-17 Satz: Sei R kommutativer, noetherscher Ring mit Einselement und sei M ein freier R-Modul.
Seien tmα |α P Au und tvβ |β P B u Basen von M mit Indexmenge A, bzw. B. Dann ist |A| |B |.
Beweis: Da R noethersch ist, hat R nach Satz 14.1-11
À ein maximales Ideal I
ist R{I ein Körper. Nach Voraussetzung ist M Rmα .
R, . Nach Problem
14.1-9
P
IM xrm|r P I, m P M yR-Modul ¤ M . Dann besteht IM aus Elementen der Form a1 n1 . . . ak nk mit
ai P I und ni P M , i 1, . . . , k; denn Summen von solchen Elementen sind trivialerweise wieder solche
Elemente und rpa1 n1 . . . ak nk q pra1 qn1 . . . prak qnk ist für r P R ebenfalls wieder ein solches
Element,
À da mit ai auch rai Element des Ideals I ist.
Imα „ IM .
Klar:
α A
P
Umgekehrt sei x a1 n1 . . . ak nk
α A
mit riα
P IM mit ai P I und ni P M für i 1, . . . , k. Schreibe ni P R gleich 0 für fast alle α. Dann ist
x
ķ
¸
ai riα mα
P
à
°
riα mα
αPA
Imα ,
P
À
Imα und IM X Rmα
da mit ai auch ai riα P I ist für alle α P A. Also ist IM αPA
P
i 1α A
α A
Imα wegen der
Eindeutigkeit der Darstellung von Elementen von M als R-Linearkombination der Basis tmα |α P Au.
Nun ist nach dem 2. Isomorphiesatz pRmα IM q{IM Rmα {pRmα X IM q Rmα {Imα und daher ist
à
Rmα {Imα .
M {IM P
α A
Der Faktormodul M {IM wird zum K-Modul, K R{I, durch pr I qpm IM q rm IM , denn ist
r1 I r2 I ñ r1 r2 P I ñ pr1 r2 qpm IM q 0 IM .
ñ r1 m IM r2 m IM , d.h. die Operation von K R{I auf M {IM ist wohldefiniert. Man rechnet
leicht nach, dass M {IM mit dieser Operation zum K-Modul wird. Durch r I ÞÑ rmα Imα wird ähnlich
eine K-lineare Abbildung von R{I K nach Rmα {Imα definiert, die 1 I auf mα Imα abbildet und
daher nicht die 0-Abbildung ist, und offensichtlich surjektiv ist. Daher ist Rmα {Imα ein
ÀK K. Nun ist K À
Rmα {Imα Körper und daher ist M {IM ein K-Vektorraum. Wegen K mα K K und M {IM P
P
ist tmα IM |α P Au eine K-Basis von M {IM und insbesondere hat M {IM die K-Dimension |A|.
Analoge Argumente angewandt auf tvβ |β P B u zeigen dimK pM {IM q |B |. Wegen der Unabhängigkeit
der Dimension als Kardinalität einer Basis eines K-Vektorraums von der Wahl der Basis muss |A| |B |
sein.
l
α A
KK
α A
14.3-18 Definition: Sei R kommutativer, noetherscher Ring, M ein freier R-Modul. Dann ist der Rang
rgpM q definiert als Kardinalität einer Basis von M . Dieser ist unabhängig von der Wahl der Basis.
14.3-19 Bemerkung: Der Beweis von Satz 14.3-17 funktioniert für Ringe A, nicht notwendigerweise
kommutativ und nicht notwendigerweise mit Einselement, solange A maximale Ideale besitzt (im nichtkommutativen Fall ist dann A{pmax. Idealq ein Schiefkörper). Hat A ein Einselement, so garantiert das
345
Zornsche Lemma die Existenz von maximalen Idealen, d.h. auch hier ist der Rang eines freien A-Moduls
wohldefiniert.
Da HIRs noethersch sind, gilt Satz 14.3-17 für diese und der Beweis funktioniert auch ohne Zornsches
Lemma.
14.3-20 Problem: Sei A beliebiger Ring, I
œ A, und sei M ein A-Modul. Zeigen Sie:
1. IM ist A-Untermodul von M .
2. Die Menge J
in A.
ta P A|a m 0 m P M u ist ein Ideal von A, der Annullator annA pM q von M
„ annA pM {IM q.
Sei L œ A und sei L „ annA pM q. Dann wird M zum A{L-Modul durch pa
m P M.
M {IM ist A{I-Modul mit A-Operation gegeben durch
pa I qpm IM q am IM.
3. I
4.
5.
Lqm am, für a P A,
Lösung:
xrm|r P I, m P M yR-Modul ¤ M ein Untermodul.
Seien r, s P J, a P A. Dann ist für jedes m P M pr sqm rm sm 0 0 0, also r s P J,
und parqm aprmq a 0 0, also ar P J. Klar: 0 P J, daher ist J nicht leer, also Ideal.
Sei r P I und m IM P M {IM beliebig gewählt. Dann ist rpm IM q loorm
moon IM 0 IM PIM
0M {IM , und damit I „ annA pM {IM q.
Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit der Operation: Sei a L b L in A{L. Dann ist
b a P L, also bm am pb aqm 0, d. h. am bm. Die oben definierte A{L-Operation ist also
1. Per Definition ist IM
2.
3.
4.
wohldefiniert und die Modulaxiome gelten wie durch einfaches Nachprüfen zu sehen ist.
5. Der Faktormodul M {IM ist A-Modul durch apm IM q am IM . Nach 3. ist I im Annulator von
M {IM enthalten, so wird M {IM nach 4. zum A{I-Modul durch pa I qpm IM q apm IM q am IM .
14.3-21 Satz: Sei R kommutativer, noetherscher Ring und seien M, N freie R-Moduln mit rgpM q rgpN q. Dann sind M und N isomorph. Für jede Kardinalität α gibt es daher einen bis auf Isomorphie
eindeutigen freien R-Modul Fα vom Rang α, nämlich die direkte Summe von α vielen Kopien von R R.
Beweis: Eine Bijektion einer Basis von M auf eine Basis von N lässt sich zu einem Isomorphismus von
M auf N linear fortsetzen. Der Rest folgt leicht.
l
346