Magnetismus

Kapitel 10
Magnetismus
Innerhalb der Ein-Elektronen-Näherung haben wir die Energieniveaus und die Bandstruktur eines Elektrons in einem effektiven Potential berechnet, das sich aus den Ionen-Rümpfen sowie den Beiträgen der anderen Elektronen
zusammen setzt. Das Ein-Elektronen-Modell geht jedoch noch weiter. Man kann mit seiner Hilfe auch die angeregten Zusände des elektronischen Systems verstehen. Was das Wasserstoff-Atom für die Beschreibung der chemischen
Elemente bedeutet, das ist die Ein-Elektronen-Näherung für das Verständnis von Festkörpern.
Für magnetische Phänomene in Festkörpern sind besonders beim Ferromagnetismus und Anti-Ferromagnetismus die
Ein-Teilchen- und Viel-Teilchen-Aspekte so vermischt, dass es schwierig ist, ein einfaches Modell zu formulieren.
Ausserdem involviert die Theorie des Magnetismus sowohl kollektive als auch lokale Aspekte.
10.1
Diamagnetismus und Paramagnetismus
Stärke des Magnetfeldes:
Magnetische Induktion:
H
}
B
µ0 = 4π ⋅ 10−7 Vs/Am
Permeabilität des freien Raumes
B = µ0 H
Der magnetische Zustand eines Systems wird durch die Magnetisierung beschrieben
B = µ0 (H + M)
Magnetisierung: Dichte magnetischer Dipolmomente m
M=m
N
V
Externes Feld H ausdrücken durch externe Induktion B0 = µ0 H
Bezeichnung: B0 heisst Magnetfeld(-stärke)
Meist existiert eine lineare Beziehung zwischen Feld B0 und Magnetisierung M : µ0 M = χB0
χ∶
χ<0∶
χ>0∶
Allgemein:
χp ∶
magnetische Suszeptibilität
induzierte magnetische Polarisation wie das angelegte Feld
⇒ Diamagnetismus
Paramagnetismus
Suszeptibilität von Atomen und Festkörpern hat eine diamagnetische und eine paramagnetische
Komponente, χd und χp
Paramagnetische Komponente rührt von der Orientierung intrinsischer magnetischer Momente her,
die ihren Ursprung im Drehimpuls und Spin der Elektronen haben.
⇒ Elektron und Drehimpuls L
⇒ magnetisches Moment
10.1
10.1. Diamagnetismus und Paramagnetismus
Kapitel 10. Magnetismus
e
m = − 2m
∑ri × pi = −µB L
i
̵ = ∑ri × pi
mit hL
i
χd :
eh
µB = 2m
= Bohrsches Magneton
Ladung des Elektrons ist negativ
⇒ elektrischer Strom hat das umgekehrte Vorzeichen wie der Teilchenstrom
⇒ m und L sind anti-parallel (Minuszeichen)
Ausserdem besitzt das Elektron einen Spin.
⇒ magnetisches Moment
m = µB g0 ∑ Si = µB g0 S
g0 : elektronischer g-Faktor (g0 = 2.0023)
Si : Elektronen-Spins
L und S können wie Operatoren behandelt werden.
Erwartungswerte für atomare L und S verschieden von Null. Für geschlossene Schalen ist die Summe
der Drehimpulse und Spins gleich 0. In Festkörpern gibt es offene Schalen für Übergangsmetalle und
seltene Erden. Für beide Element-Klassen erwartet man paramagnetisches Verhalten.
Induktion von Eddy-Strömen durch ein externes Magnetfeld
Lenzsche Regel: magnetische Momente dieser induzierten Ströme sind dem angelegten Feld
entgegengerichtet.
⇒ Suszeptibilität enthält einen negativen diamagnetischen Beitrag
̵
Rechnung: ersetze den Impulsoperator in der Schrödinger-Gleichung durch den verallgemeinerten Impuls p + eA
A: Vektorpotential
B0 = rotA, divA = 0
homogenes Feld B0
⇒ mögliche Wahl für A ∶ A = − 12 r × B0
Hamilton-Operator:
1
2
∑(pi + eA)
2m i
1
e
2
=
∑(pi − r × B0 )
2m i
2
Hkin =
=
e2 2
1
2
2
2
∑ {pi + e ∑(ri × pi )z B0 + B ∑(xi + yi )}
2m i
4
i
i
Annahme: B0 parallel zur z-Achse B0 = Bez
2. Term: ∑i (ri × pi )z B entspricht Paramagnetismus aufgrund vom Drehimpuls
Erwartungswert des magnetischen Moments im Zustand Φ:
m=−
∂
⟨Φ∣H∣Φ⟩
∂B
= −µB ⟨Φ∣Lz ∣Φ⟩ −
e2
B0 ⟨Φ∣ ∑(x2i + yi2 )∣Φ⟩
4m
i
−µB ⟨Φ∣Lz ∣Φ⟩: magnetisches Moment, das auch in Abwesenheit eines externen Feldes existiert.
In Kombination mit der Besetzungs-Statistik für die Energieniveaus für verschiedene Orientierungen der magnetischen Momente im externen Magnetfeld ergibt dies die Temperaturabhängigkeit des Paramagnetismus
−
e2
B0 ⟨Φ∣ ∑(x2i + yi2 )∣Φ⟩ ∶
4m
i
10.2
Diamagnetismus
Kapitel 10. Magnetismus
10.2. Magnetismus freier Elektronen
sphärisch symmetrische Ladungsverteilung eines Atoms
1
⇒ ⟨Φ∣x2i ∣Φ⟩ = ⟨Φ∣yi2 ∣Φ⟩ = ⟨Φ∣ri2 ∣Φ⟩
3
⇒χ=−
e2 n
µ0 ∑⟨Φ∣ri2 ∣Φ⟩
6m
n: Zahl der Atome pro Einheits-Volumen
Summe über Matrixelemente: ∑⟨Φ∣ri2 ∣Φ⟩
⇒Elektronen in den äusseren Schalen tragen am meisten bei, da ihr ri2 am grössten ist
Za : Zahl der äusseren Elektronen
ersetze r2i durch r2a (ionischer oder atomarer Radius)
2
⇒ χ ∝ − e6mn µ0 Za ra2
Experiment: χexp ∝ Za ra2 für Atome oder Ionen mit gefüllten Schalen
In natürlichen Einheiten (SI) ist die magnetische Suszeptibilität von der Grössenordnung ∼10-4, die elektrische hingegen ∼1. Dies erklärt, warum man sich bei der Wechselwirkung von elektromagnetischen Strahlen mit Materie auf
elektronische Effekte konzentriert.
Bis jetzt haben wir uns auf die magnetischen Eigenschaften gebundener Elektronen konzentriert. Die Lage ändert
sich, wenn die freien Elektronen in einem Metall betrachtet werden.
10.2
Magnetismus freier Elektronen
Freie Elektronen: Diamagnetismus
⇒ Lösung der Schrödinger-Gleichung für freie Elektronen im Magnetfeld
⇒ Berechnung der Energieniveaus
⇒ Freie Energie im Magnetfeld
⇒ Suszeptibilität
⇒ Diamagnetismus freier Elektronen als echter Quanten-Effekt
Für ein klassisches Elektronengas hängt die freie Energie nicht vom Magnetfeld ab und die diamagnetische Suszeptibilität verschwindet. Ein Magnetfeld verschiebt den Impuls um eA. Nach Integration über alle Zustände und alle
Impulse hängt das Ergebnis nicht von A ab und ist daher unabhängig vom Magnetfeld.
Paramagnetismus nach Pauli für freie Elektronen
B = 0 ⇒ Zustände mit verschiedenen Spin-Quantenzahlen sind entartet
B ≠ 0 Spin richtet sich parallel oder antiparallel zu B aus
Elektronen mit Spins parallel zu den Feldlinien von B0
⇒Energie ist um 21 gµB B0 abgesenkt gegenüber dem Fall für B = 0
Elektronen mit Spins anti-parallel zu B0
⇒Energie ist um 12 gµB B0 angehoben (Zeemann-Effekt)
10.3
10.3. Die Austausch-Wechselwirkung
E
Kapitel 10. Magnetismus
1
D(EF )
2
EF
1
D(EF )g0 µ B B0
2
Energie-Parabel spaltet in zwei Parabeln für ∣ ↑⟩ und ∣ ↓⟩ Elektronen.
1
D(E)
2
1
D(E)
2
1
2 ! gµ B B
2
Tiefe Temperaturen: kB T ≪ EF
Dichte der Elektronen mit ausgerichtetem Spin, die keinen Partner mit umgekehrter Spin-Richtung haben: 21 D(EF )g0 µB B0
Jedes dieser Elektronen trägt das magnetische Moment 21 gµB bei
1
1
⇒ Magnetisierung M = D(EF )g0 µB B gµB
2
2
Daraus ergibt sich die temperaturunabhängige paramagnetische Suszeptibilität
g02 2
µ D(EF )
4 B
∼ µ0 µ2B D(EF )
χp = µ 0
Diamagnetischer Beitrag (nicht berechnet hier)
1 m 2
χd ∼ µ0 µ2B D(EF ) ( ∗ )
3 m
Abhängig von der Grösse der effektiven Masse m∗ dominiert der paramagnetische oder diamagnetische Beitrag freier
Elektronen.
Für m∗ = m erhält man z.B. für die Suszeptibilität von Natrium, χm ≈ 2 ⋅ 10−4 cm3 /mol, also ebenfalls einen sehr
kleinen Wert, vergleichbar mit dem Diamagnetismus gefüllter Schalen. Grosse magnetische Effekte treten auf durch
die kollektive Kopplung von Elektronen-Spins, die im nächsten Kapitel diskutiert wird.
10.3
Die Austausch-Wechselwirkung
Wasserstoff-Molekül als Prototyp für kovalente Bindung
2 Elektronen ⇒ Hamilton-Operator zerlegbar
H(1, 2) = H(1) + H(2) + Hww (1, 2)
H(1), H(2) ∶ Hamilton-Operatoren ausgedrückt in den Koordinaten der Elektronen 1 und 2
Hww (1, 2) ∶
beschreibt die Wechselwirkung zwischen den Elektronen
Ein-Elektron-Näherung ⇒ Vernachlässigung von Hww (1, 2) ∶
⇒
Total Wellenfunktion als Produkt der Ein-Teilchen-Lösungen
ψ(1, 2) = [ΦA (1) + ΦB (1)] [ΦA (2) + ΦB (2)]
ΦA,B ∶ atomare Wellenfunktion
10.4
Kapitel 10. Magnetismus
10.3. Die Austausch-Wechselwirkung
Ionische Zustände: Beide Elektronen sind bei einem der beiden Atome lokalisiert.
⇒ unwahrscheinlich für Elektronen mit starker Wechselwirkung
⇒ Zustände weglassen (Heitler-London)
ψ(1, 2) = ΦA (1)ΦB (2) + ΦB (1)ΦA (2)
symmetrisch bezüglich der Koordinaten der Elektronen
totale Wellenfunktion muss anti-symmetrisch sein (Pauli-Prinzip)
⇒ Spins müssen im Grundzustand anti-parallel sein
⇒ Singlett
Triplett-Zustand mit parallelen Spins erfordert eine im Ortsraum anti-symmetrische Wellenfunktion
ψ(1, 2) = ΦA (1)ΦB (2) − ΦB (1)ΦA (2)
Berechnung des Erwartungswerts der Energie:
⟨ψ(1, 2)∣ H∣ψ(1, 2)⟩
⟨ψ(1, 2)∣ψ(1, 2)⟩
= ⟨[ΦA (1)ΦB (2) ± ΦA (1)ΦB (2)] {H(1) + H(2)} [ΦA (1)ΦB (2) ± ΦA (1)ΦB (2)]⟩
E=
= ∫ Φ∗B (2)ΦB (2)dr2 ∫ Φ∗A (1)H(1)ΦA (1)dr1 + . . .
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
1
E1
C± A
= 2E1
1± S
Ionisierungsenergie des Wasserstoff-Atoms:
E1 = ∫ Φ∗A (1) {−
̵2
h
e2
∆1 −
} ΦA (1) dr1
2m
4πε0 rA1
Coulomb - Integral:
C=
1
1
1
e2
1
+
−
} ∣ΦA (1)∣2 ∣ΦB (2)∣2 dr1 dr2
−
∫ {
4πε0
RAB r12 rA2 rB1
Austausch - Integral:
A=
e2
1
1
1
1
+
−
−
} Φ∗A (1)ΦA (2)ΦB (1)Φ∗B (2)dr1 dr2
∫ {
4πε0
RAB r12 rA1 rB2
Überlapp - Integral:
S = ∫ Φ∗A (1)ΦA (2)ΦB (1)Φ∗B (2)dr1 dr2
⇒ deutlich andere Ergebnisse als im Ein-Elektronen-Modell
Ein-Elektronen-Modell: Energie-Niveaus werden entweder durch ein oder durch zwei Elektronen besetzt.
Angeregter Zustand: tiefstes Niveau mit einem Elektron besetzt, nächstes Niveau
ebenfalls mit einem Elektron besetzt. ⇒ Singlett oder Triplett, energetisch entartet.
Zwei-Elektronen-Modell: Energie eines einzelnen Elektrons ist nicht definiert ⇒ nur die Gesamtenergie für
beide Elektronen ist eine sinnvolle Grösse
Grundzustand: Singlett
Angeregter Zustand: Triplett
10.5
10.3. Die Austausch-Wechselwirkung
Kapitel 10. Magnetismus
Ein-Elektronen-Modell
Zwei-Elektronen-Modell
Grundzustand
Singlett
1. angeregter
Zustand
Triplett
nicht entartet
Singlett und Triplett sind entartet
Abbildung 10.1: Schematischer Vergleich des Ein-Elektronen-Modells mit dem Zwei-Elektronen-Modell.
Energieunterschied zwischen Singlett- und Triplett- Zustand
ET − ES = −J = 2
CS − A
1 − S2
J∶
Austausch-Energie
J=
ˆEnergieunterschied der Niveaus für parallele und anti-parallele Spins
Wasserstoff-Atom:
J<0
⇒ ES kleiner als ET
Einführung eines Hamilton-Operators, der nur auf den Spin-Anteil der Wellen-funktion wirkt:
HSpin = −2Jσ1 ⋅ σ2
σ1,2 : Pauli Spin-Matrizen
HSpin angewendet auf Singlett ∣ ↑↓⟩ und Triplett ∣ ↑↑⟩ Wellenfunktion liefert eine eine Energieaufspaltung von ∣ − J∣
J > 0 liefert eine ferromagnetische Kopplung für Elektronen
HSpin heisst Heisenberg-Hamilton-Operator
⇒ Magnetismus von Elektronen wird verstanden über die paarweise Kopplung von Elektronen für einige Elemente
im Allgemeinen: Kollektive Austausch-Wechselwirkung wichtig
10.3.1
Die Austausch-Wechselwirkung zwischen freien Elektronen
Austausch-Wechselwirkung:
Gebundenes Elektronen-Paar
Freie Elektronen
Betrachte 2 freie Elektronen i und j
Elektronen haben dieselbe Spin-Richtung
Eex
⇒ Eex < 0
⇒ Eex > 0
⇒ Paar-Wellenfunktion ψij
⇒ψij (r) muss anti-symmetrisch sein
ψij = √1 V1 (eiki ri eikj rj − eiki rj eikj ri )
=
10.6
2
√1 1 ei(ki ri +kj rj ) (1 − e−i(ki −kj )(ri −rj ) )
2V
Kapitel 10. Magnetismus
10.4. Bandmodell für Ferromagnetismus
Wahrscheinlichkeit, ein Elektron i im Volumen dri und Elektron j im Volumen drj zu finden ist:
∣ψij ∣2 dri drj =
⇒
1
(1 − cos {(ki − kj ) (ri − rj )}) dri drj
V2
Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen am gleichen Ort zu finden, ist Null, unabhängig von den Wellenvektoren
ki , kj
zusätzliches spin-up
Elektron
+"
Ionen-Rumpf
Spin-up Elektronen
Abbildung 10.2: Das Potential der positiven Rumpfladung kann durch die anderen spin-up Elektronen für ein zusätzliches spin-up Elektron nicht so effektiv abgeschirmt werden, da die Elektronen sich nicht am gleichen
Ort befinden dürfen
⇒
Absenkung der Energie des zusätzlichen spin-up Elektrons
⇒
Energieabsenkung wird maximiert, falls alle abschirmenden Elektronen dieselbe Spin-Richtung haben
wie das zusätzliche spin-up Elektron
⇒
Gewinn an elektronischer Energie für parallele Spins
⇒
Kollektive Austausch-Wechselwirkung ist positiv.
10.4
Bandmodell für Ferromagnetismus
Nach Stoner und Wohlfarth
Renormierung der Ein-Elektronen-Niveaus aufgrund der Korrelation der Elektronen mit demselben Spin.
Ansatz:
E↑ (k) = E(k) −
E(k):
n↑ , n ↓ :
N:
I:
R=
n↑ −n↓
N
In↑
N
E↓ (k) = E(k) −
In↓
N
Energie in der Bandstruktur des Ein-Elektronen-Modells
Zahl der Elektronen mit Spin ↑ und ↓
Zahl der Atome
Stoner-Parameter; Beschreibt die Energie-Absenkung aufgrund der Elektronen-Korrelation
(im Prinzip I = I(k))
Beschreibt das Ungleichgewicht der Besetzung der beiden Spin-Richtungen
)
⇒ Magnetisierung ∶ M = R ⋅ µB ( N
V
10.7
10.4. Bandmodell für Ferromagnetismus
Kapitel 10. Magnetismus
1
(2n↑ − n↓ + n↓
2N
1
1
= E(k) −
(n↑ − n↓ ) −
(n↑ − n↓
2N
2N
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
E↑ (k) = E(k) −
IR
2
Ẽ(k)
E↓ (k) = Ẽ(k) +
analog:
IR
2
⇒ k−abhängige Aufspaltung der Energie
Aufspaltung ∝ R
=
ˆ relative Besetzung der Sub-Bänder wird durch die Fermi-Statistik bestimmt
Bedingung über Selbst-Konsistenz:
1
∑ f↑ (k) − f↓ (k)
N k
1
1
1
=
−
}
∑{
N k e(Ẽ(k)−IR/2−EF )/kB T + 1 e(Ẽ(k)+IR/2−EF )/kB T + 1
R=
R ≠ 0 ⇔ ein effektives magnetisches Moment existiert in Abwesenheit eines externen Magnetfeldes Bext = 0
⇒ Ferromagnetismus
Wann ist diese Bedingung erfüllt?
Annahme R ist eine kleine Grösse ⇒ Taylor-Entwicklung
f (x −
∆x
∆x
2 ∆x 3 ′′′
) − f (x +
) ≈ f ′ (x)∆x − (
) f (x)
2
2
3! 2
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3
⎪
⎪
1
1 ∂ f (k)
⎪ ∂f (k)
3⎪
⎬
(IR)
⇒ R ≈ − ∑⎨
IR −
N k ⎪
24 ∂ Ẽ(k)3 ´¹¹ ¹¸¹ ¹ ¶⎪
∂ Ẽ(k)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ >0 ⎪
⎪ ´¹¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¶
⎪
⎪
⎪
>0
⎩ <0
⎭
Ferromagnetismus bedeutet R > 0
⇒ −1 −
1
∂f(k)
>0
∑
N k ∂ Ẽ(k)
∂ f
∂ Ẽ(k)
nimmt ab mit zunehmender Temperatur
⇒ Wenn überhaupt, dann ist obige Bedingung bei T → 0 erfüllt.
Extremfall T = 0
⇒ −
1
∂f (k)
V 1
∂f
=
)
∑
∫ dk (−
3
N k ∂ Ẽ(k) (2µ) N
∂ Ẽ(k)
V 1
=
∫ dkδ(Ẽ − EF )
(2µ)3 N
1V
=
D(EF )
2N
10.8
Integral nur über eine Spin-Richtung
Kapitel 10. Magnetismus
10.5. Temperaturabhängigkeit eines Ferromagneten
D(EF ): berechnet für beide Spin-Richtungen Zustandsdichte pro Atom und pro Spin:
D̃(EF ) =
V
D(EF )
2N
Ferromagnetismus bedeutet
I D̃(EF ) > 1
(Stoner-Kriterium für Ferromagnetismus)
⇒ Kriterium für die Temperatur, bei der Ferromagnetismus verschwindet =
ˆ Curie-Temperatur:
−1 −
∂f (k)
1
=0
∑
N k ∂ Ẽ(k)
Externes Magnetfeld
⇒ neben der Austausch-Aufspaltung IR/2 gibt es die Zeeman-Aufspaltung µB B0
⇒ R = D̃(EF )(IR + 2µB B0 )
⇒ Magnetisierung
N
N
R = D̃(EF ) {IM + 2µ2B B0 }
V
V
N D̃(EF )
B0
= 2µ2B
V 1 − I D̃(EF )
M = µB
Pauli-Suszeptibilität für Band-Elektronen
N
B0 ⋅ D̃(EF ) = χ0 ⋅ B0
V
Im Falle von Ferromagnetismus wird die Suszeptibilität erhöht:
M = 2µ2B
χ = χ0
10.5
1
1 − I ⋅ D̃(EF )
Temperaturabhängigkeit eines Ferromagneten
Im Band-Modell
Offensichtlich kann die bereits bei B0 = 0 existierende Magnetisierung eines Ferromagneten durch Anlegen eines
externen Magnetfeldes B0 ≠ 0 weiter erhöht werden.
M
MS
B0
Abbildung 10.3: Schematische Hysteresekurve
10.9
MS ∶ Sättigungsmagnetisierung
10.5. Temperaturabhängigkeit eines Ferromagneten
Kapitel 10. Magnetismus
Im Folgenden konzentrieren wir uns auf ein qualitatives Modell, um die Mathematik einfach zu halten. Aus BandstrukturRechnungen findet man, dass der grösste Beitrag zur Zustandsdichte an der Fermi-Kante durch d-Elektronen zustande
kommt. Dies hat drei Gründe:
1. Es gibt 9 d-Elektronen pro Atom
2. Das d-Band ist nur 4 eV breit
3. Austausch-Aufspaltung für s-Elektronen ist klein
Magnetisierung kommt zustande aufgrund der verschiedenen Besetzungen im d-Band der Majoritäts- und MinoritätsSpins.
Nickel bei T = 0 : Zahl der unbesetzten d-Zustände im Minoritätsband bestimmt die Magnetisierung
Experiment nahe bei T = 0 an Nickel
Zahl der d-Löcher ≈ 0.54 pro Atom
⇒ effektives magnetisches Moment pro Atom ≈ 0.54 µBeff
Wechselspiel von Austausch-Aufspaltung, Fermi-Statistik und Zustandsdichte
⇒ Temperaturverhalten der Magnetisierung
Näherung: ersetzt scharfes Maximum in der Zustandsdichte der d-Elektronen durch eine δ-Funktion
Falls ausserdem eine Zeeman-Aufspaltung existiert, so ergibt sich
D̃(E) =
µBeff
IR
IR
{δ (E − EF − µB B0 −
) + δ (E − EF + µB B0 +
)}
µB
2
2
Zustände für Majoritäts- und Minoritäts-Spins haben dasselbe Gewicht
⇒ EF liegt in der Mitte zwischen den beiden Niveaus
⇒
R=
µBeff
1
1
( (−µ B −IR/2)/k T
) − ( (µ B +IR/2)/k T
)
B
B
µB e B 0
+1
e B 0
+1
Ferromagnetismus ⇒ R > 0 bei B0 ≠ 0
Iµ Beff
µB ⋅ 4 ⋅ k
µB
R̃ =
⋅R
µBeff
1
1
R̃ =
−
e−2R̃Tc /T + 1 e+2R̃Tc /T + 1
sinh(2R̃Tc /T )
=
1 + cosh(2R̃Tc /T )
Tc =
= tanh
kritische Temperatur
R̃Tc
T
Grenzfälle:
R̃ = 1 für T = 0 Tc : Curie-Temperatur
R̃ = 0 für T = Tc
M ist proportional zu R. Abbildung 10.4 gibt also die Temperatur-Abhängigkeit der Magnetisierung eines Ferromagneten.
10.10
Kapitel 10. Magnetismus
10.5. Temperaturabhängigkeit eines Ferromagneten
R! = M (T ) / M (0)
1
Tc
!2
R! = 1 ! 2e T
0,5
"
T%
R! = 3 $ 1 ! '
T
#
c&
0,5
1/2
T / Tc
1
Abbildung 10.4: Magnetisierung eines Ferromagneten in der Nähe der Curie-Temperatur Tc
M3
1
# T &3
%1" (
$ Tc '
!
!
!"#$%
%&'()*%
T
Tc
!
Extremfälle:
!
T ≪ Tc ⇒ R̃ = 1 − 2e−2Tc IT
√
1 } Theorie
T ≈ Tc ⇒ R̃ = 3(1 − T /Tc ) 2
Experiment: kritischer Exponent ist 1/3 in der Nähe von T∼ Tc
T > Tc ∶ eine Magnetisierung sollte nur existieren falls das externe Feld B0 ≠ 0
Annahme: R klein
B0 klein
⇒ Entwicklung der Fermi-Funktion
µB
Tc
B0 + R̃
2kB T
T
1
µB
B0
⇒ R̃ =
2kB T − Tc
R̃ =
Nähert man sich Tc von höheren Temperaturen T > Tc , so sollte die paramagnetische Suzeptibilität entsprechend
χ=
C
T − Tc
Curie-Weiss-Gesetz
divergieren. (C: Curie-Weiss-Konstante)
10.11
10.6. Ferromagnetische Koppelung für lokalisierte Elektronen
Kapitel 10. Magnetismus
Experiment: Curie-Weiss-Gesetz ist für T >> Tc erfüllt.
T ≈ Tc ⇒ χ ≈
10.6
1
(T − Tc )4/3
Ferromagnetische Koppelung für lokalisierte Elektronen
d-Elektron:
Seltene Erden:
magnetisches Verhalten wird beschrieben im Band-Modell
teilweise gefüllte d Schalen
⇒ Beschreibung durch lokalisierte Elektronen
Heisenberg-Hamilton-Operator für die Austausch-Wechselwirkung zweier Elektronen:
Hspin = −2 ⋅ J ⋅ S1 ⋅ S2
Annahme:
-primitives Gitter von Atomen
-jedes Atom hat ein ungepaartes Elektron mit Drehimpuls =0
⇒ Spin-Gitter
H = − ∑ ∑ Jiδi ⋅ Si ⋅ Sδi − gµB B0 ∑ Si
i
i:
δi :
i
δi
läuft über alle Atome
alle Nachbarn des Atoms i, die an der Austausch-Wechselwirkung beteiligt sind
H ist ein nicht-linearer Operator. Um ihn zu lösen, führen wir eine Linearisierung ein, die sogenannte mean-field
(mittleres Feld) Näherung. Das Vektorprodukt Si ⋅ Sδi wird ersetzt durch Si ⋅ ⟨Sδi ⟩, wobei
⟨Sδi ⟩ der Erwartungswert des Spin-Operators der Nachbarn ist.
HM F = − ∑ Si ⋅ (∑ Jiδi ⟨Sδi ⟩ + gµB B0 )
i
Austausch-Wechselwirkung erhält den Charakter eines mittleren Feldes:
HM F =
1
∑ Jiδi ⟨Sδi ⟩
gµB δi
Homogene Systeme ohne Oberfläche ⇒ ⟨Sδi ⟩ dasselbe für alle Atome ⟨Sδi ⟩ = ⟨S⟩ ausgedrückt in Form einer Magnetisierung:
N
V
M = gµB ⟨S⟩ ⇒ BM F =
ν ⋅J ⋅M
V
N g 2 µ2B
Austausch-Wechselwirkung ist auf ν nächste Nachbarn begrenzt.
Was haben wir erreicht?
Der Hamilton-Operator in der mean-field Näherung ist mathematisch identisch zum Hamilton-Operator für N unabhängige Spins in einem effektiven Magnetfeld
1
Beff = BM F + B0 mit Energiewerten E = ± g ⋅ µB ⋅ Beff
2
Man stellt sich vor, dass sich ein Elektron in einem effektiven Magnetfeld bewegt, dass zum einen durch das externe
Feld, B0 , und zum anderen das Feld, das durch die Spins der benachbarten Elektronen erzeugt wird, zustande kommt.
N↓ N↑ : Zahl der Elektronen mit Spin parallel und anti-parallel zum B- Feld
10.12
Kapitel 10. Magnetismus
10.6. Ferromagnetische Koppelung für lokalisierte Elektronen
Thermisches Gleichgewicht:
N↓
N↑
= e−gµB Beff /kB T
⇒ Magnetisierung:
1
N↓ − N↑ 1
N
1
M = gµB
= gµB tanh ( gµB Beff /kB T )
2
V
2
V
2
M ≠ 0 sogar für B0 falls J > 0 d.h. ferromagnetische Kopplung von Spins
1
Abkürzungen: Ms = N
V 2 gµB ∶ Sättigungsmagnetisierung
1
Tc = νJ/kB
4
Tc M
M (T )
= tanh (
)
Ms
T Ms
T → 0 ⇒ M(0) = Ms
√
1
T 2
T ∼ Tc ⇒ tanh(x) ≈ x − x3 ⇒ M (T )/Ms ≈ 3 (1 − )
3
Tc
1
Tc : kritische Temperatur, bei der die spontane Magnetisierung verschwindet
→ abhängig von der Stärke der Austausch-Koppelung ∣J∣ und der Zahl der nächsten Nachbarn.
In diesem Modell, das den falschen kritischen Exponenten liefert (1/2 statt 1/3), spielt die Dimension des Systems
keine Rolle. Ein ebenes Gitter hat in der "mean field Näherung denselben kritischen Exponenten wie ein dreidimensionales Gitter. Tc ist jedoch kleiner aufgrund der reduzierten Zahl nächster Nachbarn. Daher erwartet man interessante
Phänomene an der Oberfläche eines Ferromagneten.
Mean field-Näherung:
Curie-Temperatur:
nicht nur die Magnetisierung, sondern auch die kurz-reichweitige Ordnung
der magentischen Momente verschwindet bei Tc
magnetische Ordnung verschwindet auf grossen Längenskalen
Für Temperaturen oberhalb Tc Curie-Weiss-Gesetz für die Suszeptibilität: externes Feld B0
⇒ M (T ) =
10.6.1
g 2 µ2B N 1
B0
4V kB T − Tc
Antiferromagnetismus
Bisher: ferromagnetische Koppelung J > 0 was passiert für J < 0?
Die Oxide von Fe, Co, Ni zeigen antiferromagnetische Koppelung, d.h. benachbarte Spins sind anti-parallel ausgerichtet.
NaCl-Struktur: Gitter der paramagnetischen d-Metall-Ionen und der O2− -Ionen bilden je ein f cc Unter-Gitter
Antiferromagnetische Ordnung
⇒ magnetische Einheitszelle ist nicht mehr f cc → komplizierte magnetische Überstruktur
Man geht davon aus, dass zwei ineinander gesetzte Untergitter mit verschieden ausgerichteten Spins sich gegen-
10.13
10.6. Ferromagnetische Koppelung für lokalisierte Elektronen
Kapitel 10. Magnetismus
seitig beeinflussen.
Das "mean field"für das Untergitter mit spin-ups
wird durch das Untergitter mit spin-downs erzeugt.
Die Übergangstemperatur, bei der die Magnetisierung eine Untergitters verschwindet, wird als NéelTemperatur bezeichnet. Die Suszeptibilität hängt
jetzt davon ab, in welche Richtung das externe Magnetfeld relativ zur Orientierung der Untergitter angelegt wird. Ist die Magnetisierung eines Untergitters verschwunden, so kann durch ferromagnetische
Koppelung zwischen übernächsten Nachbarn ein ferromagnetischer Zustand entstehen.
10.14