Fit in Mathe - Bildungslotse

Fit in Mathe

Musterlösung
August
Fülle die Lücken aus.
2
a) 5 a · 2 a 
c) 3 b ·
 = 10 a 35 a
c
· 3 a  4 b = 15 a20 b
zu c) 6 und 8
Die Summe aller Ergebnisse ist 26, also das Buchstabenpaar EN.
Welche Zahl kannst du jeweils ausklammern? Sie muss so groß wie möglich sein.
a) 18 x  27 =
· 2 x3
c) 75 a − 50 =
· 3a − 2
Lösung
zu a) 9 zu b) 8

b)
d  = 18 b c  24 b d
Lösung
zu a) 7 zu b) 5

Klassenstufe 9
Terme
Thema

1
b) 32x − 56y =
·4x−7y
zu c) 25
Die Summe aller Ergebnisse ist 42, also das Buchstabenpaar TW .
Fülle die Lücken aus.
a) 
x
b)  x
c) 
· 2 x−
 = 5 x 22 x 20 x8
x
· 
x−3·
 = 6 x 2−21 x8 x−28
x−
 = 14 x 2−24 x−21 x36
Lösung
zu a) 3, 4 und 7 zu b) 5,4 und 2 (
zu c) 2,7 und 12 (
2
, 5 und 20 geht auch)
5
7
, 8 und 12 geht auch)
4
Die Summe aller hier gesuchten Ergebnisse ist 46, also Buchstabenpaar IC .

Fülle die Lücken mit natürlichen Zahlen aus.
a)
1
x

1
Lösung
zu a) 4 und 5
y
=
5 y4 x
20 x y
b)
5
5 a2 b

=
b 3a
2a b
zu b) 2 und 3
Die Summe aller Ergebnisse ist 14, also Buchstabenpaar KL.
Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt
unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen
für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben.
Fit in Mathe


Musterlösung
August
2
Klassenstufe 9
Drücke die Summe der Kantenlängen durch
einen einfachen Term aus, indem du die Lücken
ausfüllst. Addiere die Ergebnisse. Was erhältst du?
·c 
·b
Lösung
4 und 12
Die Summe der Ergebnisse ist 16, also Buchstabenpaar UN.

Drücke die Summe der Kantenlängen der Pyramide durch einen einfachen Term aus, indem du
die Lücken ausfüllst.
·a 
Lösung
8 und 20
Die Summe der Ergebnisse ist 28, also
Buchstabenpaar GS.

Eine zweistellige natürliche Zahl, die an der zweiten Stelle eine 5 hat, lässt sich
als 10 · n  5 schreiben, wobei n eine Zahl zwischen 0 und 9 ist.
Das Quadrat einer solchen Zahl kann man leicht im Kopf berechnen: Man multipliziert die Zahl n mit n1 und hängt an das Ergebnis 25, z.B. 352 = 1225 ,
denn 12=3 · 4 und an die 12 wird 25 gehängt.
Beweise diese Gesetzmäßigkeit durch die Umformung des Termes 10· n52 .
Kann n auch größer als 9 sein? Fülle die Lücke für 1152 = 1 25 aus.
Lösung
Man kann umformen
10⋅n52 = 100⋅n2 100⋅n25 = 100⋅n 2n25 = 100⋅n⋅ n125
Der erste Summand ergibt sich als das Hundertfache des Produktes der Zehnerstelle
n und des Nachfolgers n1 , bildet also als Vielfaches von 100 den vorderen Teil
der Zahl. Die Zehner- und Einerstelle wird von der 25 im zweiten Summanden eingenommen.
Natürlich kann n auch größer als 9 sein, denn die Formel gilt auch in einem solchen
Fall.
Im Beispiel 1152 sind die Vielfachen von 100: 11⋅12 = 132 , dahinter kommt die
25, also ist das Ergebnis 13225
Das Ergebnis ist 32, also das Buchstabenpaar LA.
Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt
unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen
für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben.
Fit in Mathe


Musterlösung
3
August
Klassenstufe 9
Zwei zweistellige Zahlen, deren erste Ziffern gleich sind und bei denen die Summe
der Endziffern 10 ergibt (z.B. 32 und 38 ) lassen sich leicht im Kopf multiplizieren:
Man multipliziert die erste Ziffer mit der um 1 größeren und hängt das Produkt der
Endziffern an (bezogen auf die Zahlen des obigen Beispiels heißt das: 3 · 4=12 und
2 · 8 = 16 mit dem Ergebnis 1216 )
Beweise, dass das immer so ist, indem du den Term 10 n  m· 10 n  10 − m
entsprechend umformst.
Lösung
Die Umformung ergibt
10 n  m· 10 n  10 − m =
100⋅n2 10⋅n⋅m10⋅n⋅10−mm⋅10−m =
100⋅n2 10⋅n⋅m100⋅n−10⋅n⋅mm⋅10−m =
100⋅ n2nm⋅10−m =
100⋅n⋅n1m⋅10−m
Der erste Summand stellt Vielfache von 100 dar, bildet also den vorderen Teil des
Ergebnisses, der zweite Summand ist als Produkt von zwei einstelligen Zahlen
höchstens zweistellig und bildet die letzten beiden Stellen des Ergebnisses.
2021 lässt sich wie oben dargestellt als Produkt der Zahlen 43 und 47 bilden. Das
sind aber beides Primzahlen, die größere ist 47 und andere gibt es nicht.
Der größte Teiler von 2021 ist also 47, also das Buchstabenpaar ND
Lösungen mit Kennsilben
32
LA
45
UM
33
HU
47
ND
42
TW
15
IS
26
EN
16
UN
29
LM
46
IC
55
TE
41
IN
14
KL
38
SC
23
RI
28
GS
Lösungswort: ENTWICKLUNGSLAND

Die Rechenmethoden der obigen Aufgaben 7 und 8 entstammen der sogenannten
„vedischen“ Mathematik und wurden angeblich in altindischen Schriften überliefert.
Ein weiteres Beispiel ist die folgende Methode:
Es ist das Produkt zweier Zahlen zu bilden, die knapp an Zehnerpotenzen liegen,
z.B. 998 ·889
998
−2
Dann kann man so vorgehen:
889
887
−111
222
mit dem Ergebnis
887222.
Bilde die Differenzen zur nächsthöheren Zehnerpotenz (hier: −2 und −111 ).
Subtrahiere die erste Differenz von der zweiten Zahl (hier: 889−2 ). Hänge hinten
das Produkt der beiden Differenzen an (hier: −2·−111=222 ). Das Ergebnis
des Ausgangsproduktes ergibt sich durch Zusammenfügen beider Ergebnisse.
Übrigens - das gilt auch für positive Abweichungen zur Zehnerpotenz.
Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt
unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen
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Musterlösung
4
August
Klassenstufe 9
Weise durch eine entsprechende Termumformung nach, dass das oben beschriebene Verfahren allgemein gilt.
Lösung
Wenn wir die beiden Zahlen a und b nennen, so können wir ansetzen:
a = 10n−a ' und b = 10n −b ' .
Dann ist das Produkt dieser beiden Zahlen
n
n
n
n
n
a⋅b = 10 −a ' ⋅10 −b '  = 10 ⋅10 −b' −a '⋅10 −b' 
= 10 n⋅10n−b' −10 n⋅a ' a '⋅b '
= 10 n⋅b−a ' a '⋅b '
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Behauptung in allgemeiner Form.
Bezogen auf obiges Beispiel ist n = 3 , a = 998 , b = 889 , a ' = 2 , b ' = 111 .
Dann ist der erste Summand auf der rechten Seite obiger Gleichung
1000⋅889−2 = 887000 und der zweite Summand 2⋅111 = 222 .
Die etwas vage Formulierung „knapp an einer Zehnerpotenz“ kann so präzisiert
werden, dass das Produkt der Differenzen von der Zehnerpotenz kleiner als die
Zehnerpotenz sein muss, d.h. a '⋅b '10 n , anderenfalls würde das Produkt noch
einen Beitrag zur n-ten Stelle leisten und die obige Methode wäre nicht anwendbar.
Die Formel gilt natürlich auch für positive Abweichungen von der Zehnerpotenz, es
sind nur in entsprechender Weise die Vorzeichen zu beachten.
1020
20
1013
1033
13
260
Das Produkt aus 1020 und 1013 ist 1033260.
Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt
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