Fit in Mathe - Bildungslotse
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Fit in Mathe Musterlösung August Fülle die Lücken aus. 2 a) 5 a · 2 a c) 3 b · = 10 a 35 a c · 3 a 4 b = 15 a20 b zu c) 6 und 8 Die Summe aller Ergebnisse ist 26, also das Buchstabenpaar EN. Welche Zahl kannst du jeweils ausklammern? Sie muss so groß wie möglich sein. a) 18 x 27 = · 2 x3 c) 75 a − 50 = · 3a − 2 Lösung zu a) 9 zu b) 8 b) d = 18 b c 24 b d Lösung zu a) 7 zu b) 5 Klassenstufe 9 Terme Thema 1 b) 32x − 56y = ·4x−7y zu c) 25 Die Summe aller Ergebnisse ist 42, also das Buchstabenpaar TW . Fülle die Lücken aus. a) x b) x c) · 2 x− = 5 x 22 x 20 x8 x · x−3· = 6 x 2−21 x8 x−28 x− = 14 x 2−24 x−21 x36 Lösung zu a) 3, 4 und 7 zu b) 5,4 und 2 ( zu c) 2,7 und 12 ( 2 , 5 und 20 geht auch) 5 7 , 8 und 12 geht auch) 4 Die Summe aller hier gesuchten Ergebnisse ist 46, also Buchstabenpaar IC . Fülle die Lücken mit natürlichen Zahlen aus. a) 1 x 1 Lösung zu a) 4 und 5 y = 5 y4 x 20 x y b) 5 5 a2 b = b 3a 2a b zu b) 2 und 3 Die Summe aller Ergebnisse ist 14, also Buchstabenpaar KL. Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben. Fit in Mathe Musterlösung August 2 Klassenstufe 9 Drücke die Summe der Kantenlängen durch einen einfachen Term aus, indem du die Lücken ausfüllst. Addiere die Ergebnisse. Was erhältst du? ·c ·b Lösung 4 und 12 Die Summe der Ergebnisse ist 16, also Buchstabenpaar UN. Drücke die Summe der Kantenlängen der Pyramide durch einen einfachen Term aus, indem du die Lücken ausfüllst. ·a Lösung 8 und 20 Die Summe der Ergebnisse ist 28, also Buchstabenpaar GS. Eine zweistellige natürliche Zahl, die an der zweiten Stelle eine 5 hat, lässt sich als 10 · n 5 schreiben, wobei n eine Zahl zwischen 0 und 9 ist. Das Quadrat einer solchen Zahl kann man leicht im Kopf berechnen: Man multipliziert die Zahl n mit n1 und hängt an das Ergebnis 25, z.B. 352 = 1225 , denn 12=3 · 4 und an die 12 wird 25 gehängt. Beweise diese Gesetzmäßigkeit durch die Umformung des Termes 10· n52 . Kann n auch größer als 9 sein? Fülle die Lücke für 1152 = 1 25 aus. Lösung Man kann umformen 10⋅n52 = 100⋅n2 100⋅n25 = 100⋅n 2n25 = 100⋅n⋅ n125 Der erste Summand ergibt sich als das Hundertfache des Produktes der Zehnerstelle n und des Nachfolgers n1 , bildet also als Vielfaches von 100 den vorderen Teil der Zahl. Die Zehner- und Einerstelle wird von der 25 im zweiten Summanden eingenommen. Natürlich kann n auch größer als 9 sein, denn die Formel gilt auch in einem solchen Fall. Im Beispiel 1152 sind die Vielfachen von 100: 11⋅12 = 132 , dahinter kommt die 25, also ist das Ergebnis 13225 Das Ergebnis ist 32, also das Buchstabenpaar LA. Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben. Fit in Mathe Musterlösung 3 August Klassenstufe 9 Zwei zweistellige Zahlen, deren erste Ziffern gleich sind und bei denen die Summe der Endziffern 10 ergibt (z.B. 32 und 38 ) lassen sich leicht im Kopf multiplizieren: Man multipliziert die erste Ziffer mit der um 1 größeren und hängt das Produkt der Endziffern an (bezogen auf die Zahlen des obigen Beispiels heißt das: 3 · 4=12 und 2 · 8 = 16 mit dem Ergebnis 1216 ) Beweise, dass das immer so ist, indem du den Term 10 n m· 10 n 10 − m entsprechend umformst. Lösung Die Umformung ergibt 10 n m· 10 n 10 − m = 100⋅n2 10⋅n⋅m10⋅n⋅10−mm⋅10−m = 100⋅n2 10⋅n⋅m100⋅n−10⋅n⋅mm⋅10−m = 100⋅ n2nm⋅10−m = 100⋅n⋅n1m⋅10−m Der erste Summand stellt Vielfache von 100 dar, bildet also den vorderen Teil des Ergebnisses, der zweite Summand ist als Produkt von zwei einstelligen Zahlen höchstens zweistellig und bildet die letzten beiden Stellen des Ergebnisses. 2021 lässt sich wie oben dargestellt als Produkt der Zahlen 43 und 47 bilden. Das sind aber beides Primzahlen, die größere ist 47 und andere gibt es nicht. Der größte Teiler von 2021 ist also 47, also das Buchstabenpaar ND Lösungen mit Kennsilben 32 LA 45 UM 33 HU 47 ND 42 TW 15 IS 26 EN 16 UN 29 LM 46 IC 55 TE 41 IN 14 KL 38 SC 23 RI 28 GS Lösungswort: ENTWICKLUNGSLAND Die Rechenmethoden der obigen Aufgaben 7 und 8 entstammen der sogenannten „vedischen“ Mathematik und wurden angeblich in altindischen Schriften überliefert. Ein weiteres Beispiel ist die folgende Methode: Es ist das Produkt zweier Zahlen zu bilden, die knapp an Zehnerpotenzen liegen, z.B. 998 ·889 998 −2 Dann kann man so vorgehen: 889 887 −111 222 mit dem Ergebnis 887222. Bilde die Differenzen zur nächsthöheren Zehnerpotenz (hier: −2 und −111 ). Subtrahiere die erste Differenz von der zweiten Zahl (hier: 889−2 ). Hänge hinten das Produkt der beiden Differenzen an (hier: −2·−111=222 ). Das Ergebnis des Ausgangsproduktes ergibt sich durch Zusammenfügen beider Ergebnisse. Übrigens - das gilt auch für positive Abweichungen zur Zehnerpotenz. Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben. Fit in Mathe Musterlösung 4 August Klassenstufe 9 Weise durch eine entsprechende Termumformung nach, dass das oben beschriebene Verfahren allgemein gilt. Lösung Wenn wir die beiden Zahlen a und b nennen, so können wir ansetzen: a = 10n−a ' und b = 10n −b ' . Dann ist das Produkt dieser beiden Zahlen n n n n n a⋅b = 10 −a ' ⋅10 −b ' = 10 ⋅10 −b' −a '⋅10 −b' = 10 n⋅10n−b' −10 n⋅a ' a '⋅b ' = 10 n⋅b−a ' a '⋅b ' Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Behauptung in allgemeiner Form. Bezogen auf obiges Beispiel ist n = 3 , a = 998 , b = 889 , a ' = 2 , b ' = 111 . Dann ist der erste Summand auf der rechten Seite obiger Gleichung 1000⋅889−2 = 887000 und der zweite Summand 2⋅111 = 222 . Die etwas vage Formulierung „knapp an einer Zehnerpotenz“ kann so präzisiert werden, dass das Produkt der Differenzen von der Zehnerpotenz kleiner als die Zehnerpotenz sein muss, d.h. a '⋅b '10 n , anderenfalls würde das Produkt noch einen Beitrag zur n-ten Stelle leisten und die obige Methode wäre nicht anwendbar. Die Formel gilt natürlich auch für positive Abweichungen von der Zehnerpotenz, es sind nur in entsprechender Weise die Vorzeichen zu beachten. 1020 20 1013 1033 13 260 Das Produkt aus 1020 und 1013 ist 1033260. Wer am Ende seiner Schulzeit alle "Fit in Mathe"-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt unsere Erwartungen an die Mathematikkompetenzen unserer Studienanfänger. Die mathematischen Voraussetzungen für einen erfolgreichen Studieneinstieg an unserer Hochschule sind damit gegeben.
