TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE

TEILCHENPHYSIK FÜR
FORTGESCHRITTENE
Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik
(Schmüser Kapitel 12)
Caren Hagner
Achim Geiser
Universität Hamburg, IExpPh
Sommersemester 2007
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme
3. Lagrange-Formalismus und Eichprinzip
4. QED
Einschub: Beschleuniger und Experimente
5. Starke Wechselwirkung und QCD
5.1 Einleitung: Quarks und Farbe
5.2 Einschub: Gruppentheorie und Anwendungen
5.3 QCD: die Theorie der starken Wechselwirkung: SU(3)-Eichinvarianz,
Gell-Mann-Matrizen, Masselosigkeit der Gluonen, Lagrange-Dichte der QCD,
Renormierung, “running coupling”, asymptotische Freiheit und Confinement
5.4 Anwendung: Jets, Fragmentation, Entdeckung des Gluons, Messung des
Gluonspins
5.5 Perturbative QCD: Wirkungsquerschnitte, Messung von αs, Struktur des
Protons
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
2
5.1 Einleitung: Quarks and Farbe
ƒ starke Kraft in Kernwechselwirkungen
= „Austausch von massiven Pionen“ zwischen Nukleonen
(Yukawa 1945)
= residuelle Van der Waals-artige Wechselwirkung
Hideki Yukawa
n
π
p
(Nobel 1949)
ƒ modernes Bild:
(Quantenchromodynamik, QCD)
Austausch von masselosen Gluonen
zwischen den Quark-Konstituenten
„ähnlich“ zu Elektromagnetismus
(Quantenelektrodynamik, QED)
zunächst nur drei Quark-Flavour bekannt:
u,d,s
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
3
5.1. Einleitung: Das Quark-Modell (1964)
arrangiere u,d,s - Quarks als Flavour-Triplett
=> SU(3)flavour-Symmetrie
Q=-1/3
Q=2/3
d
u
S=0
S=-1
s
CH/AG
Murray
Gell-Mann
1962
(quarks)
(Nobel 1969)
behandle alle bekannten
Hadronen (Protonen,
Neutrons, Pionen, ...)
als Objekte die aus zwei
oder drei solchen
Quarks (Antiquarks)
zusammengesetzt sind
SS07: Teilchenphysik II
4
5.1 Einleitung: Das Quark-Modell
Baryonen = qqq
CH/AG
Mesonen = qq
SS07: Teilchenphysik II
5
5.1. Einleitung: Das Quark-Modell
Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der
erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von
Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):
Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich
also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett
(gebildet durch das η‘-Teilchen).
Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind
gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2
ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:
Pseudoskalar π 0 = 1 (uu − dd ) η = 1 (uu + dd − 2ss ) η ′ = 1 (uu + dd + ss )
3
6
2
1
1
(uu − dd )
ω0 =
(uu + dd )
φ 0 = ss
2
2
Vektor
ρ0 =
Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt;
nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden.
Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare
Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):
Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s
konstruieren. Es zeigt sich:
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
Anwendung von Schiebeoperatoren (später) zeigt:
- Dekuplett (∆) total symmetrisch in Quark-Flavour,
Spins alle parallel (J=3/2).
- Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung
zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie
bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine.
3 ⊗ 3 = 8 ⊕1
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
6
5.1. Einleitung: Farbe
Quark-Modell sehr erfolgreich, aber scheint Fermi-Statistik (Pauli-Prinzip) zu
verletzen:
∆ ++ = uuu ↑↑↑
=> führe neuen Freiheitsgrad ein:
q
q
q
g
g
q
g
gg
q
g
q
ƒ 3 Farben -> SU(3)colour
CH/AG
g
g
qqq = qq = weiss!
SS07: Teilchenphysik II
7
5.1 Farbe (Colour) als physikalisches Konzept
Experiment: e+ e- Æ Hadronen (~ e+ e- Æ Quark + Antiquark)
σ=
R=
4πα 2
3s
q
q
2
⋅ Qin2 ⋅ Qout
+ Z 0 + Re sonanzen
σ (e + e − → Hadronen)
σ (e + e − → µ + µ − )
= N Colour
~ Ladung Q
∑Q
2
i
i = Quarks
Σ über Quarks mit m > √s/2
Charmschwelle 3.7 GeV
∆R= 4/3 = 3x(2/3)2 Æ
NC=3, QCharm=2/3
Beautyschw. 10.5 GeV
∆R= 1/3 = 3x(1/3)2 Æ
NC=3, QBeauty=1/3
Æ NColour=3
3x(1+1+4+4)/9 = 10/3
(außerdem Resonanzen
bei Schwellen + Z0)
3x(1+1+4)/9 =
CH/AG
3x(1+1+4+1)/9 = 11/3
2
SS07: Teilchenphysik II
8
5.1 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW
Weitere Experimente zu Anzahl Farben:
Zerfallsrate des π0:
Zerfall des τ -Leptons:
- W-Boson koppelt mit gleicher Stärke an
Fermiondubletts Æ
Γ(τ − → ν τ X ) = Γ(τ − → ν τ e −ν e )
+ Γ(τ − → ν τ µ −ν µ )
e2
M =
(Qu2 − Qd2 ) ⋅ N C , τ = (8.4 ± 0.6) ⋅ 10 −17 s
4π 2
=> NC=3.06 +- 0.10
- außerdem „Dreiecks-Anomalie“ im SM:
ΣQ(Quarks)+ΣQ(Leptonen)=0; 3x(2/3-1/3)-1=0
+ Γ(τ − → ν τ d ' u )
Γ(τ − → ν τ e −ν e )
1
=
= 0.2
Γ(τ − → ν τ X )
2 + NC
exp . : 0.1784 ± 0.0006
- Unterschied: Korrekturen höherer Ordnung
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
9
5.2 Einschub: GRUPPENTHEORIE
Symmetrieprinzip: Invarianz eines physikalischen
Systems unter Transformationen (z.B. Translation).
- Menge der möglichen Transformationen: Gruppe
Gruppe ≡ Menge G der Elementen Ri verknüpft mit
Operation “*” wenn gilt:
– Abgeschlossenheit: Ri, Rj ∈ G Æ Ri*Rj ∈ G
– Existenz des 1-Elements: Ri*1 = Ri
– Existenz des Inversen: R*R-1 = 1
– Assoziativität: Ri*(Rj*Rk) = (Ri*Rj)*Rk.
- Gruppe heisst nicht-abelsch, falls: Ri*Rj ≠ Rj*Ri.
- Diskrete Gruppen: z.B. Gruppe der Permutationen
dreier Objekte “S3” mit 6 Elementen.
1: (123) → (123)
b : antizykl.Vertausch. d : 3 ↔1
a : zykl.Vertauschung
c:2 ↔3
e :1 ↔ 2
- Kontinuierliche (Lie-)Gruppe: unendliche Zahl von
Elementen, die kontinuierlich von d Parametern abhängen (d=Ordnung der Gruppe). z.B. räumliche
Rotation mit d=3 Parametern (3 Euler-Winkel)
- Darstellung einer Gruppe: Wenn es eine isomorphe
Abbildung zwischen den Gruppenelementen Ri und
einer Menge von n×n-Matrizen Γ gibt mit
Γ(R1)Γ(R2)=Γ(R1R2) Æ dann Gruppe der Matrizen
Γ Darstellung der Gruppe (mit Dimension = n)
(z.B. 3dim-Drehgruppe ist isomorph zur Gruppe SO(3)
orthonormaler 3×3-Matrizen mit det=1)
CH/AG
- Darstellungen der Drehgruppe: z.B. Dimension 2 Æ
Pauli-Matrizen Æ Multipletts mit Drehimpuls J=1/2).
-Darstellung reduzibel wenn durch Transformation M
Γ blockweise diagonalisiert werden kann:
⎛ Γ (1) ( R)
0
0⎞
⎟
⎜
Γ′( R) = M −1ΓM = ⎜ 0
Γ ( 2) ( R) 0 ⎟
⎜ 0
0
...⎠⎟
⎝
Jedes Γ (i) ist auch eine Darstellung der Gruppe!
- Irreduzible Darstellung: wenn die Γ (i) nicht weiter
reduzierbar. Beispiel: Gruppe “S3”:
⎛ ... ... 0 ⎞
Darstellung ist reduzibel:
⎜
⎟
- (x+y+z) bleibt invariant Æ Wahl neuer ⎜ ... ... 0 ⎟
Achsen X,Y,Z, Z ⊥ Ebene (x+y+z=const) ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
Æ Z invariant
- neue Trafo-Matrizen Æ
Zerlegung 3=2⊕1
SS07: Teilchenphysik II
10
5.2 BEISPIEL: RAUMDREHUNG FÜR SKALAR
U sei die Transformation, die eine Drehung R des
Systems z.B. um Achse z bewirkt (Gruppe SO(3)):
ψ ′( x, y, z ) = Uψ ( x, y, z ) = ψ ( R −1 ( x, y, z ))
y
y’
Drehung um
Winkel ε
Drehung R des phys.
Systems entspricht
Drehung R-1 des
Koordinatensystems.
(x,y),(x’,y’)
infinitesimale
Drehung ε :
x
x′ ~ x − εy
dx = x − x ′ = ε y
y′ = y + εx
dy = y − y ′ = − ε x
x’
Damit ergibt sich:
Uψ ( x, y, z ) = ψ ( x + dx, y + dy, z )
∂ψ
∂ψ
= ψ ( x, y, z ) + dx
+ dy
∂x
∂y
∂ψ
∂ψ
= ψ ( x , y , z ) + εy
− εx
∂x
∂y
= (1 − iε ( xp y − yp z ) )ψ ( x, y, z )
p x = −i ∂
= (1 − iεJ z )ψ ( x, y, z )
∂x
CH/AG
Jz nennt man den Generator der Drehung.
Viele infinitesimale Drehungen hintereinander:
θ ⎤
⎡
n
U (θ ) = [U (ε )] = 1 − i J z → e −iθJ z
⎢
n ⎦⎥ n→∞
⎣
… und ebenso für die x,y-Achsen. Dabei gilt die LieAlgebra:
[J k , J l ] = iε klm J m
Anmerkungen:
- die Lie-Algebra beschreibt die Struktur der Gruppe.
- die ε klm sind die Strukturkonstanten der Gruppe; sie
alleine legen die physikalischen Konsequenzen fest!
- Dimensionen der Matrizen J hängen vom
physikalischen System ab: e.g. Spin-1/2 Æ n=2.
- im Falle der Dimension n gibt es n2-1 Generatoren.
- Generatoren sind hermitisch mit Spur=0.
- jeder diagonalisierbarer Generator Æ additive
Quantenzahl.
- Multiplett: Invarianter Vektorraum entarteter Eigenfunktionen einer Symmetriegruppe.
- Anzahl gleichzeitig diagonalisierbarer Generatoren:
Rang r Æ r unabhängige (Casimir-)Operatoren mit
gleichen Eigenwerten für alle Multiplett-Zustände
n
Unitär: U-1=U+ (herm.konjugiert) … U(n)
Speziell: unitär mit det=1 … SU(n)
Orthogonal: reelle unitär; SO speziell unitär … e.g. SO(3)
SS07: Teilchenphysik II
11
5.2 Beispiele für Matrizendarstellung der
SO(3)=SU(2)
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
12
5.2 INNERE SYMMETRIEN, SU(2)-ISOSPIN
Bis jetzt räumliche Drehungen; jetzt innere Symmetrien:
Symmetrie bzgl. eines abstrakten Raumes, von dessen
Koordinaten die Wellenfunktion nicht explizit abhängt.
Beispiele:
- SU(2)-Isospin (Heisenberg, entspricht Flavour-SU(2)):
⎛ p⎞
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎜⎜ n ⎟⎟ : p = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ und n = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
- SU(2) schwacher Isospin: Dubletts/
Tripletts:
-SU(3)-Flavour:
⎛u⎞
⎜ ⎟
⎜d ⎟
⎜ ⎟
⎝s⎠
⎛u⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝d ⎠
⎛ν ⎞
⎜⎜ l ⎟⎟
⎝ ⎠
⎛u⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ d ′⎠
⎛W + ⎞
⎟
⎜
⎜W 3 ⎟
⎜W − ⎟
⎝
⎠
Auf/Absteige-(Schiebe-)Operatoren
⎛0 1⎞
⎛ 0 1⎞⎛ 0⎞ ⎛1⎞
1
⎟, I n = ⎜
I ≡ (σ + iσ ) = ⎜
1
2
+
⎜
⎟
⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = p
2
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0⎠⎝1⎠ ⎝ 0⎠
+
Anwendung auf andere als Isospin-1/2-Systeme:
– Isospin-0: |0,0>, I3=I+=I-=0 Æ “trivial”
– Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1>
⎛0
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎜
⎟
I 3 = ⎜ 0 0 0 ⎟, I + = ⎜ 0
⎜
⎟
⎜⎜ 0
⎝ 0 0 − 1⎠
⎝
2
0
0
0 ⎞
⎛ 0
⎟
⎜
2 ⎟, I − = ⎜ 2
⎟
⎜
0 ⎠⎟
⎝ 0
0
0
2
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎠⎟
Anwendung auf Systeme wie π+π0π-, Σ+Σ0Σ-, etc.
(Æ Übungsaufgabe)
Kombination von Darstellungen (Teilchen):
⎛r⎞
- SU(3)-Colour:
⎜ ⎟
⎜g⎟
⎜ ⎟
⎝b⎠
SU(2)-Isospin:
Von Heisenberg 1932 zur Beschreibung von n,p in einer
Darstellung entwickelt: Generatoren sind hier die PauliSpin-Matrizen Ji≡Ii=1/2σi; es gilt z.B.:
1 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 0 ⎞
1
1 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 ⎞ 1
⎟⎜ ⎟ = p, I n = ⎜
⎟⎜ ⎟ = − n
I p= ⎜
3
3
2 ⎝⎜ 0 − 1⎟⎠⎝⎜ 1 ⎟⎠
2
2 ⎝⎜ 0 − 1⎟⎠⎝⎜ 0 ⎠⎟ 2
CH/AG
bisher nur ein Teilchen betrachtet – Systeme mit
mehrerer Teilchen Æ Rückgriff auf Addition von
Drehimpulsen aus der Quantenmechanik:
Teilchen 1 und 2 mit Drehimpulsen J1, J2 und dritten
Komponenten m1, m2:
| J1 − J 2 | ≤ J ≤ | J1 + J 2 | J , m =
m = m1 + m2
∑
m1 , m2 J , m m1 , m2
m1 , m2
C (m1 , m2 , J , m) ≡ m1 , m2 J , m
Clebsch-Gordan Koeffizienten geben an, wie sich Zustand
|J M> aus |J1 m1> und |J2 m2> zusammen setzt:
SS07: Teilchenphysik II
13
5.2 CLEBSCH-GORDAN-KOEFFIZIENTEN
- Elemente einer unitären Matrix des Rangs
(2J1+1)(2J2+1).
- Explizit berechenbar; tabelliert.
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
14
5.2 CGK: BEISPIEL, ANWENDUNG
Addition zweier Spin-1/2-Teilchen:
J1× J2
J
m
Anwendung auf Isospin I und die Kombination
von n,p zu N-N-Systemen (Analogie zum QM-Spin):
I3 = 1
I = 1 I3 = 0
I 3 = −1
m1× m2
I = 0 I3 = 0
Also:
1
1
1,1 = 1⋅ m1 = + , m2 = +
2
2
1
1 1
1
1 1
1,0 =
+ ,− +
− ,+
2 2 2
2 2 2
1
1
1,−1 = 1⋅ m1 = − , m2 = −
2
2
1
1 1
1
1 1
+ ,− −
− ,+
2 2 2
2 2 2
0,0 =
Es ergeben sich also aus der Kombination von 2
Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer
in einem Singlett. Symbolisch:
2 ⊗ 2 = 3 ⊕1
CH/AG
pp
1
( pn + np )
2
nn
1
( pn − np )
2
↑↑
1
(↑↓ + b↑)
2
↓↓
1
(↑↓ − b↑)
2
Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren
etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.:
I 3ges = I 3(1) + I 3( 2 )
I +ges = I +(1) + I +( 2 )
Erster Summand wirkt nur auf “erstes” Teilchen etc.
I 3 ( np) = ( I 3(1) + I 3( 2) )(np ) = ( I 3(1) n) p + n( I 3( 2) p) = ...
Erweiterung auf Antiteilchen:
⎛ p⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
⎛− n ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ p ⎠
1
1
Ii = σ i = σ i
2
2
I 3ges = I 3 + I 3
“-”-Zeichen, weil Ladungskonjugation
und Isospin-Rotation nicht unabhängig voneinander!
Anwendung auf u,d-Quarks statt n,p trivial. Daher
gleich der komplexere Fall Æ SU(3)-Flavour: u,d,s!
SS07: Teilchenphysik II
15
5.2 SU(3)-FLAVOUR
Erweiterung auf SU(3)-Flavour:
Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die
auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken:
(Gleiches Werkzeug wie im Fall von SU(3)-Colour)
Gell-Mann-Nishijima: (Y=B+S, Baryonzahl B,
Strangeness S)
Q = I3 +
B+S
Y
= I3 +
2
2
Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und
den Isospin abfragen:
3
⎛u⎞
⎜ ⎟
⎜d ⎟
⎜ ⎟
⎝s⎠
I+ =
Es gilt:
1
1
1
(
λ1 + iλ2 ) I − = (λ1 − iλ2 ) I 3 = λ3
2
2
2
I 3d = − 1 u
2
I 3u = 1 u
2
I +u = I + s = 0
I+d = u
I3s = 0
λ
Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum
U = exp(i ∑ ω λ )
i
i
i
mit 8 “Winkeln” (Parametern) ωi (Æ Ordnung d=8).
– Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.:
C1 =
1 8 2
∑ λi
4 i =1
C2 =
Strangeness-Operator: S = 8 3 − 13
Man kann auch Schiebeoperatoren uÆs und sÆd
definieren (mithilfe der Matrizen λ4-λ7), z.B.:
⎛ ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 − i ⎞ ⎞⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜
⎟ ⎟⎜ ⎟
1
1 ⎜⎜
(
λ4 + iλ5 )s = ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎟ + i⎜ 0 0 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ =
2
2 ⎜⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝ i 0 0 ⎠ ⎠⎝ 1 ⎠
⎛ 0 0 2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1⎜
⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = u
2⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 0 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren
(Umkehrung aller additiven Quantenzahlen)
1
∑ fijk λi λ j λk
8 ijk
−− − −
– λ3, λ8 sind diagonal Æ 2 additive Quantenzahlen,
Eigenwerte von:
I3 = 1 λ3
2
Y = 1 λ8
3
I3 = −I3
B = −B
Isospin
Hyperladung
CH/AG
−− − −
−− −−
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
u = 0 d = 1 s = ⎜0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝0⎠
⎝1⎠
S = −S
λ j = −λ*j
… Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen.
SS07: Teilchenphysik II
16
5.2 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME
Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der
erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von
Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):
Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich
also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett
(gebildet durch das η‘-Teilchen).
Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind
gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2
ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:
Pseudoskalar π 0 = 1 (uu − dd ) η = 1 (uu + dd − 2ss ) η ′ = 1 (uu + dd + ss )
2
6
3
1
1
(uu − dd )
ω0 =
(uu + dd )
φ 0 = ss
2
2
Vektor
ρ0 =
Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt;
nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden.
Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare
Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):
Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s
konstruieren. Es zeigt sich:
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
- Dekuplett (∆) total symmetrisch in Quark-Flavour,
Spins alle parallel (J=3/2).
- Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung
zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie
bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine.
Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt:
3 ⊗ 3 = 8 ⊕1
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
17
5.2 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME
Übersicht aller Baryonen mit u,d,s,c:
Charm-Mesonen:
c=0
c=0
Quelle: Particle Data Group (http://pdg.lbl.gov)
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
18
5.3 Erinerung: QED: Muster für Quantenfeldtheorie
Wiederholung QED:
- Beschreibung geladener Leptonen durch DiracSpinoren
- Wirkungsquerschnitt:
|Matrixel.|2 x (1/Flussfaktor) x Phasenraum
- Struktur der WW - Eichboson (masseloses,
neutrales Photon) koppelt an em. Ladung γ µ Aµ
folgt aus lokaler Eichinvarianz
(Gruppe U(1): exp(i·q·χ(x))
- Berechnung der Matrixelemente mit Hilfe der
Feynman-Regeln (z.B. aus Lagrangedichte ableitbar)
- Renormierung (renormailsation):
dσ ∝
M
2
ρ (E f )
j ein
e–
u ( p3 )
ieγ µδ 4( p3 − p1 −q)
−i
e– u(p1)
u( p4 )
µ–
ieγ νδ 4 ( p4 − p2 + q)
gµν
q2
u( p2)
µ–
− g µν
M = ie 2u ( p )γ u ( p )
u ( p4 )γ ν u ( p2 )
q2
3
µ
1
Diagramme höherer Ordnung divergieren !
„behoben“ durch:
- Ladungs-Renormierung Æ laufendes α
(ersetze „nackte“ durch „renormierte“ Ladung
und lasse Schleifendiagramme weg)
- Massen-Renormierung Æ laufendes m
(wie in Festkörperphysik „effektive Massen; in
QED durch WW mit den Vakuumfluktuationen)
http://www.itkp.uni-bonn.de/~hammer/HadronSemWS0506/gross_talk.pdf
CH/AG
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5.3 QCD: SU(3)-Eichinvarianz
Nach dem Erfolg der QED (und EW) + Realität
von Quarks Æ Theorie der starken WW auf
Basis einer Eichtheorie, die invariant unter
lokalen Transformationen im Farbraum ist
Æ QCD = Quanten-Chromo-Dynamik
Æ masselose Feldquanten, die an Farbladungen
koppeln und als Farb-Antifarb-Zustände farbgeladen sind Æ 8 Gluonen
- einfachheitshalber nur ein Quark q:
Ψ = ψ ( x) ⋅ χ Farbe
Wellenfunktion
(iγ µ ∂ µ − m)ψ = 0
DGl. freies Quark
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
mit:
χ R = ⎜0⎟ , χG = ⎜1⎟ , χb = ⎜ 0⎟,
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝ 0⎠
⎝1⎠
Eichtransf.:
Ψ → Ψ ' = exp(i ( g S / 2)λ j β j ( x) )Ψ
8
λjβ j ≡ ∑λjβ j
β1… β8: 8 unabhängige Transformationswinkel,
λ … λ8: Gell-Mann Matrizen der SU(3)
1
Analogon zu den Pauli-Matrizen der SU(2):
αj
U = exp(i· αj·λj/2) “Drehung” um Winkel
⎛1
⎛ 0 1 0⎞
⎛0 − i 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
λ1 = ⎜ 1 0 0 ⎟ λ 2 = ⎜ i 0 0 ⎟ λ1 = ⎜ 0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎝0
⎝ 0 0 0⎠
⎝0 0 0⎠
⎛0 0 1⎞
⎛0 0 − i⎞
⎛0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
λ 4 = ⎜ 0 0 0 ⎟ λ5 = ⎜ 0 0 0 ⎟ λ 6 = ⎜ 0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝1 0 0⎠
⎝i 0 0 ⎠
⎝0
⎛ 0 0 0⎞
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
1
λ 7 = ⎜ 0 0 1 ⎟ λ8 =
⎜0 1 0 ⎟
3⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ 0 i 0⎠
⎝ 0 0 − 2⎠
0 0⎞
⎟
−1 0⎟
0 ⎠⎟
0
0 0⎞
⎟
0 1⎟
1 0 ⎠⎟
Vertauschungsrel. [λ j , λk ] = λ j λ k − λ k λ j = 2i ⋅ f jkl λl
antisymm. Strukturkonst. f 123 = 1,
f 458 = f 678 = 3 / 2
f147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = 1 / 2
j =1
gS … Kopplungskonstante der starken WW
Invarianz nur wenn mR = mG = mB =m
CH/AG
Æ Struktur QCD sehr komplex,
„nicht-Abelsche“ Eicht., da λj nicht vertauschen
SS07: Teilchenphysik II
20
5.3 QCD: SU(3)-Eichinvarianz + Lagrangedichte
Insgesamt gibt es 9-1=8 Gluonfelder Gjµ
(eine Kombination ist farbneutral *) !)
Æ kovariante Ableitung**)
g
D µ = ∂ µ + i S λ j G µj
2
= ∂ µ + iqAµ
(QED : D
µ
Invarianz ist gewährleistet wenn (Übung):
Dreh. im 3-d
Farbraum
)
Ψ → Ψ ' = exp(i ( g S / 2)λ j β j ( x) )Ψ
Feldstärketensor und Lagrangedichte:
F jµν = ∂ µ Gνj − ∂ν G µj − g S f jkl Gkµ Glν
L = Ψ (iγ µ D µ − m)Ψ − 1 / 4 ⋅ F j , µν F jµν
⎛ QED : F µν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
⎞
⎜
⎟
µ
µν ⎟
⎜
⎝ L = Ψ (iγ µ D − m)Ψ − 1 / 4 ⋅ Fµν F ⎠
Feynmanregeln – analog zur QED:
⎛ QED : Ψ → Ψ ' = exp(iqχ )Ψ ⎞
⎜
⎟
⎜
Aµ → A'µ = Aµ − ∂ µ χ ⎠⎟
⎝
für > 1 Quark: 1terTerm Σ Quarksorten
G µj → G 'µj = G µj − ∂ µ β j − g S f jkl β k Glµ
Quark-Gluon-V.
Zusatzterm (Konsequenz der Nicht-Vertauschbarkeit der SU(3)-Transformation ~gS Æ gleiche
3-Gluon-Vertex
Kopplung für alle Quarksorten u,d,s,c,b,t und
alle Farbladungen R,G,B [em.: verschiedene
− g S f jkl λα γ µ [ g µν (q1 − q2 ) λ +
Kopplungen (1/3, 2/3, 1, Z)·e !]
−i
gs α µ
λγ
2
gνλ (q2 − q3 ) µ − g λµ (q1 + q3 )ν ]
*)
farbneutrales Gluon würde Kernkräfte mit
Reichweite ∞ zur Folge haben;
Gruppe SU(3) hat nur acht λ-Matrizen
**)
4-Gluon-Vertex
kompliziert
j … Farbindex – µ … Lorentz-index
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
21
5.3 Die QCD-Lagrangedichte, (fast) wie QED
Gluon-Feld-Term
Quark-Massen-Term:
Quark+Wechselwirkungsterm
Farb-Index
Gluon-Selbstwechselwirkung !
ƒ sieht “harmlos” aus (fast wie QED),
aber hat es in sich!
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
22
5.3 QCD: Renormierung und laufende Kopplung
Wie in der QED divergieren Schleifendiagramme
und die ∞-en Werte werden in den Massen und
Kopplungen „absorbiert“.
Gluonschleifen (wegen Selbstkopplung):
Quarkschleifen:
α (Q 2 )
S
g = 4π α
2
S
S
Summe über Nf Quark-Anti-Quark-Paare
α (Q 2 )
S
qq
⎛ N
Q2 ⎞
f
α (Q 2 ) ln( ) ⎟
= α (Q )⎜ 1 +
S
0
⎜
Q02 ⎠⎟
⎝ 6π
S
2
0
Abschirmung der „Ladung“ bei wachsendem
Abstand durch Farbdipole (wie bei der QED)
α em (Q 2 ) e e =
QED:
+ −
1−
gg
⎛
11
Q2 ⎞
α (Q 2 ) ln( ) ⎟
= α (Q )⎜1 −
S
0
⎜
Q02 ⎠⎟
⎝ 4π
S
2
0
+ Æ – Verstärkung „Ladung“ mit Abstand
Addition und Summierung über alle Ordnungen:
QCD:
α S (Q 2 ) =
1+
α S (Q02 )
(33 − 2 N ) ⋅ α (Q )
f
S
2
0
12π
ln(Q 2 / Q02 )
Λ2 = Q02 exp( −12π /((33 − 2 N f )α S (Q02 ))
mit:
12π
α (Q 2 ) =
(33 − 2 N f ) ln(Q 2 / Λ2 )
α (Q02 )
α (Q 2 )
0
ln(Q 2 / Q02 )
3π
CH/AG
S
(Nf … Flavours mit 2mq < |Q|)
SS07: Teilchenphysik II
23
5.3 QED: Abschirmung der elektrischen Ladung
effektive Ladung/Kraft
ƒ
Positronen schirmen Elektron-Ladung
teilweise ab
ƒ
elektrische Ladung polarisiert Vakuum
-> virtuelle Elektron-Positron-Paare
ƒ
ƒ nimmt bei groβen Abständen/niedriger
Energie ab
ƒ nimmt bei kleinen Abständen/groβer
Energie zu
(Nobel 1965)
Sin-Itoro
CH/AG Tomonaga
Julian
Richard P.
Schwinger Feynman
SS07: Teilchenphysik II
24
5.3 QCD: Anti-Abschirmung der Farbladung!
ƒ Quark-Antiquark-Paare -> Abschirmung
ƒ Gluonen tragen Farbe -> gg-Paare -> anti-Abschirmung!
confinement
asymptotic
freedom
1/r2~E2,
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
25
5.3 QCD: Laufende Kopplung – perturbative QCD
12π
α (Q 2 ) =
(33 − 2 N f ) ln(Q 2 / Λ2 )
S
für Q2 (» Λ 2) Æ ∞ αS Æ 0: Asymptotische Freiheit
(1972 - D.Green, D.Politzer, F.Wilczek Nobelpreis 2004)
αS Messung in e+e—WW: Λ ≈0.2 GeV
Λ ≈ 0.2 GeV = “Energieskala,
bei der αs->∞”
da r = ℏc/|Q| entspricht großes Q kleinen Abständen
Æ „perturbative QCD“ – Störungstheorie anwendbar,
(ein Gluon-Austausch mit mg=0 Æ „Coulomb“ V~1/r)
Æ Präzisionstests der starken Kraft möglich (mehr später)
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
26
5.3 Vergleich QED / QCD
Elektromagnetismus
QED
1 Ladung (q)
Kraft vermittelt durch Photonen
Photonen sind neutral
α ist fast konstant
Starke Wechselwirkung
QCD
3 verschiedene Ladungen (r,g,b)
Kraft vermittelt durch Gluonen
Gluonen sind geladen (eg. rg, bb, gb)
αs hängt stark vom Abstand ab
confinement limit:
ƒ
Die zugrundeliegenden Theorien sind formal sehr ähnlich!
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
27
5.3 Das effektive Potential für qq -Wechselwirkungen
confinement
asymptotic freedom
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
28
5.3 Spektroskopie schwerer Quarks
Positronium = gebundenes
e+e- - System
Burton
Richter
Charmonium = gebundenes
System eines cc Quark-Paares
(Nobel
1976)
Samuel
C.C.
Ting
1974
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
29
5.3 QCD: Laufende Kopplung – nicht-pert. QCD
für Q2 (< 1 GeV2) Æ Λ 2: αS Æ groß
Æ Multi-Gluonenaustausch
Æ „nicht-perturbativer“ Bereich, Rechnungen mit
Gittereichtheorie oder phänomenologische
Modelle (z.B- Kernphysik)
QED
QCD
Æ Selbstwechselwirkung der Gluonen (farbmagnetische Anziehung) analog zu „Expander“
bildet sich „String“ aus
V (r ) = −
4 α eff
3⋅ r
+ σ ⋅ r mit σ ≈ 0.9 GeV / fm
Æ Confinement (keine freien Quarks/Gluonen),
Æ Kernkräfte = QCD-RestWW (van der Waals)
Æ komplexe (z.Zt. nicht berechenbar) Struktur
der Hadronen
Æ sobald (z.B. in hochenergetischer WW) Abstand Quark-Antiquark > 1 fm bilden sich neue
Quark-Antiquark-Paare Æ Quarks und Gluonen
fragmentieren Teilchenbündel „Jets“
QCD-Potential aus
Gitterrechnungen
nicht-pert. Problem tritt immer bei Hadronen auf
CH/AG
SS07: Teilchenphysik II
30