§2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 5.6
$Id: diff.tex,v 1.12 2014/06/09 16:32:35 hk Exp hk $
§2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
2.3
Berandete und unberandete Mannigfaltigkeiten
In der letzten Sitzung haben wir uns mit orientierbaren Mannigfaltigkeiten beschäftigt
und mit dem Satz über die Orientierbarkeit von Quotienten M/G auch ein nützliches
Kriterium erhalten um nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Um dieses Kriterium auszuwerten muss man von einem gegebenen lokalen Diffeomorphismus
nachweisen können ob er orientierungserhaltend ist oder nicht. Sofern wir orientierte
Präatlanten der betrachteten Mannigfaltigkeiten kennen ist dies rechnerisch leicht zu
überprüfen. Wir beschreiben hier den unberandeten Fall, im berandeten Fall ist dann
alles analog. Seien also (M, AM ) und (N, AN ) zwei orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeiten derselben Dimension n und sei f : M → N ein lokaler Diffeomorphismus.
Dann behaupten wir, dass f genau dann orientierungserhaltend ist wenn es für jedes
x ∈ M stets positive Karten ϕ ∈ AM von M mit x ∈ dom(ϕ) und ψ ∈ AN von N mit
f (x) ∈ dom(ψ) gibt so, dass
det(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(x)) > 0
gilt. Weiter ist f auch genau dann orientierungserhaltend wenn diese Determinantenbedingung für überhaupt alle Karten ϕ ∈ AM , ψ ∈ AN mit x ∈ dom(ϕ), f (x) ∈ dom(ψ)
gilt.
Dies ist leicht einzusehen. Nehme zunächst an das f orientierungserhaltend, also ein
lokaler C+n,∞ -Diffeomorphismus ist. Ist dann x ∈ M so gibt es direkt nach der Definition
eines lokalen C+n,∞ -Diffeomorphismus Karten ϕ ∈ AM , ψ ∈ AN mit x ∈ dom(ϕ),
f (x) ∈ dom(ψ) und ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C+n,∞ , also ist die Determinantenbedingung für diese
Karten erfüllt.
Nehme jetzt an das es positive Karten ϕ ∈ AM , ψ ∈ AN mit x ∈ dom(ϕ), f (x) ∈
dom(ψ) und det(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(x)) > 0 gibt. Sind dann θ ∈ AM , η ∈ AN zwei beliebige
positive Karten mit x ∈ dom(θ), f (x) ∈ dom(η), so haben wir wegen θ ◦ ψ −1 ∈ C+n,∞
und ϕ ◦ η −1 ∈ C+n,∞ auch
det(η ◦ f ◦ θ−1 )0 (θ(x)) = det((η ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ θ−1 ))0 (θ(x))
= det(η ◦ ψ −1 )0 (ψ(f (x))) · det(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(x)) · det(ϕ ◦ θ−1 )0 (θ(x)) > 0.
Nehme schließlich an das für alle x ∈ M und alle Karten ϕ ∈ AM , ψ ∈ AN mit
x ∈ dom(ϕ), f (x) ∈ dom(ψ) stets det(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(x)) > 0 gilt. Sei x ∈ M . Da
f ein lokaler Diffeomorphismus ist, gibt es dann Karten θ von M mit x ∈ dom(θ)
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und η von N mit f (x) ∈ dom(η) so, dass η ◦ f ◦ θ−1 ∈ C n,∞ ist. Nach Lemma 28.(b)
gibt es dann eine in N offene, zusammenhängende Menge V mit f (x) ∈ V ⊆ dom(η)
und eine in M offene, zusammenhängende Menge U mit x ∈ U ⊆ dom(θ) ∩ f −1 (V ).
Nach Lemma 20.(a) sind auch θ|U eine Karte von M und η|V eine Karte von N mit
(η|V ) ◦ f ◦ (θ|U )−1 = η ◦ f ◦ θ−1 |θ(U ) ∈ C n,∞ . Ist σ wie in Satz 30, so können wir nach
Satz 30.(b) auch ψ ∈ {η|V, σ ◦ (η|V )} ∩ AN und ϕ ∈ {θ|U, σ ◦ (θ|U )} ∩ AM wählen und
haben wieder ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C n,∞ . Wegen det(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(y)) > 0 für alle y ∈ dom(ϕ)
ist dann sogar ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C+n,∞ und f ist orientierungserhaltend.
Kommen wir zu einem Beispiel. Wir hatten das Möbiusband als den Quotienten
M = U/Z definiert, wobei U = R × (−1, 1) ist und Z durch (x, y)n = (x + n, (−1)n y)
für x ∈ R, y ∈ (−1, 1), n ∈ Z auf U wirkt. Wir hatten gesehen das diese Wirkung frei
diskontinuierlich und mit C 2,∞ verträglich ist und das M/G diffeomorph zum Möbiusband realisiert als eine zweidimensionale, eingebettete Untermannigfaltigkeit des R3
ist. Insbesondere ist M = U/Z hausdorffsch, also wirkt Z nach Aufgabe (24) sogar
stark diskontinuierlich auf U .
Korollar 2.33 (Das Möbiusband ist nicht orientierbar)
Das Möbiusband ist nicht orientierbar.
Beweis: Nach Satz 32.(c) reicht es zu zeigen, dass
f := ω1 : U → U ; (x, y) 7→ (x + 1, −y)
nicht orientierungserhaltend ist. Verwenden wir auf U die Identität idU als positive
Karte und beachten das für alle (x, y) ∈ U stets
1
0
0
= −1
det f (x, y) = 0 −1 ist, so ergibt die obige Vorbemerkung das f tatsächlich nicht orientierungserhaltend
ist.
2.4
C q -Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten
Bisher haben wir als Abbildungstypen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
nur die Diffeomorphismen und die lokalen Diffeomorphismen betrachtet, da sich nur diese im Rahmen allgemeiner G-Mannigfaltigkeiten definieren lassen. Insbesondere konnten nur Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension betrachtet werden. Im abschließenden Abschnitt dieses Kapitels wollen wir jetzt auch allgemeine C q Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten von nicht notwendig gleicher Dimension einführen. Während man es immer einrichten kann das Koordinatentransformationen unendlich oft differenzierbar sind, will man für Abbildungen zwischen
Mannigfaltigkeiten auch andere Differenzierbarkeitsordnungen behandeln können. Wir
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definieren C q -Abbildungen als stetige Funktionen die sich in Koordinaten als gewöhnliche C q -Funktionen beschreiben lassen. Wir formulieren die Definition für berandete
Mannigfaltigkeiten da wir diese als den allgemeinen Fall auffassen können, nur für
nulldimensionalen Randfall brauchen wir dann eine kleine Ergänzung.
Definition 2.27 (C q -Abbildungen)
Seien m, n ∈ N mit n, m ≥ 1 und q ∈ N∗ . Weiter seien M eine m-dimensionale
und N eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine stetige
Abbildung f : M → N heißt dann q-fach stetig differenzierbar, symbolisch geschrieben
als f ∈ C q (M, N ), wenn für alle Karten ϕ von M und ψ von N die Abbildung
ψf ϕ−1 : ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) → Rn
eine C q -Abbildung ist. Ist weiter P eine nulldimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, so sei jede stetige Abbildung f : P → M beziehungsweise f : M → P stets
q-fach stetig differenzierbar, und ist Q eine weitere nulldimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit so sei ebenfalls jede stetige Abbildung f : P → Q auch q-fach stetig
differenzierbar.
Die in dieser Definition betrachteten Abbildungen ψ ◦ f ◦ ϕ−1 sind gerade die Darstellungen von f in Koordinaten, und da f als stetig vorausgesetzt ist handelt es sich um
Abbildungen von einer offenen Teilmenge des Halbraums H m in den Halbraum H n ,
beziehungsweise in den Rn . Die q-fach stetig differenzierbaren Abbildungen zwischen
solchen Mengen sind dabei wie in §1 durch lokale Fortsetzbarkeit auf offene Teilmengen
des Rm definiert. Wir stellen jetzt die Grundeigenschaften der eben definierten C q Funktionen zusammen. In den Aussagen (g) und (h) des Lemmas verwenden wir die in
Aufgabe (25) eingeführten Produktmannigfaltigkeiten M × N , da diese nur definiert
sind wenn höchstens eine der beiden Mannigfaltigkeiten M, N berandet ist müssen wir
in den entsprechenden Aussagen fordern das etwa M unberandet ist, beziehungsweise
gleichwertig ∂M = ∅ voraussetzen.
Lemma 2.34 (Grundeigenschaften von C q -Abbildungen)
Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1 und q ∈ N∗ . Weiter seien M eine m-dimensionale und N
eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : M → N eine
stetige Abbildung.
(a) Genau dann ist f ∈ C q (M, N ) wenn es für jedes x ∈ M Karten ϕ von M mit
x ∈ dom(ϕ) und ψ von N mit f (x) ∈ dom(ψ) gibt so, dass ψ ◦ f ◦ ϕ−1 eine
C q -Abbildung ist.
(b) Genau dann ist f ∈ C q (M, N ) wenn es für jeden Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von x in M mit f |U ∈ C q (U, N ) gibt.
(c) Ist f ∈ C q (M, N ) und ist U ⊆ M offen in M , so ist auch f |U ∈ C q (U, N ).
(d) Ist V ⊆ N offen in N mit f (M ) ⊆ V , so ist genau dann f ∈ C q (M, N ) wenn
f ∈ C q (M, V ) gilt.
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(e) Ist f ∈ C q (M, N ) und sind N 0 eine weitere berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und g ∈ C q (N, N 0 ), so ist auch g ◦ f ∈ C q (M, N 0 ).
(f ) Es ist idM ∈ C ∞ (M, M ).
(g) Ist ∂M = ∅, so sind die Projektionen pr1 : M × N → M und pr2 : M × N → N
beides C ∞ -Abbildungen, d.h. pr1 ∈ C ∞ (M × N, M ) und pr2 ∈ C ∞ (M × N, N ).
(h) Sind N 0 eine weitere berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit mit ∂N 0 = ∅
und g : M → N , g 0 : M → N 0 zwei Abbildungen, so ist genau dann (g 0 , g) ∈
C q (M, N 0 × N ), wenn g ∈ C q (M, N ) und g 0 ∈ C q (M, N 0 ) sind.
(i) Ist f konstant, so ist f ∈ C q (M, N ).
(j) Genau dann ist f ein Diffeomorphismus wenn f bijektiv ist und f ∈ C ∞ (M, N )
und f −1 ∈ C ∞ (N, M ) beides C ∞ -Abbildungen sind.
Beweis: (a) ”=⇒” Klar da jeder Punkt von M beziehungsweise N im Definitionsbereich einer Karte liegt.
”⇐=” Seien ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N . Dann haben wir die offene
U := ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) des Halbraums H n und wir müssen einsehen das
g := ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : U → Rm eine C q -Abbildung ist. Sei also x ∈ U gegeben. Dann ist
ϕ−1 (x) ∈ dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ)) ⊆ M und nach unserer Annahme gibt es Karten θ
von M mit ϕ−1 (x) ∈ dom(θ) und η von N mit f (ϕ−1 (x)) ∈ dom(η) so, dass η ◦ f ◦ θ−1
eine C q -Abbildung ist. Dann ist auch die Menge
V := ϕ(dom(ϕ) ∩ dom(θ) ∩ f −1 (dom(ψ) ∩ dom(η)))
offen in H n mit x ∈ V ⊆ U und es gilt
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 |V = (ψ ◦ η −1 ) ◦ (η ◦ f ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ ϕ−1 ).
Wegen ψ ◦ η −1 ∈ Hn,∞ und θ ◦ ϕ−1 ∈ Hm,∞ sind diese beiden Abbildungen jeweils C ∞ Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen von H n beziehungsweise H m , also ist
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 |V nach §1.Lemma 11.(c) eine C q -Abbildung. Damit ist ψ ◦ f ◦ ϕ−1 insgesamt
eine C q -Abbildung und auch diese Implikation ist bewiesen.
(c) Klar da jede Karte von U auch eine Karte von M ist.
(b) ”=⇒” Klar.
”⇐=” Sei x ∈ M . Wähle eine offene Umgebung U von x in M mit f |U ∈ C q (U, N ).
Wähle Karten ϕ von U mit x ∈ dom(ϕ) und ψ von N mit f (x) ∈ dom(ψ). Dann ist
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = ψ ◦ (f |U ) ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung. Nach (a) ist damit f ∈ C q (M, N ).
(d) ”=⇒” Klar da jede Karte von V auch eine von N ist.
”⇐=” Sind ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N , so ist ψ|V ∩ dom(ψ) nach
Lemma 20.(a) auch eine Karte von N , und somit auch eine Karte von V , und es ist
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = (ψ|V ∩ dom(ψ)) ◦ f ◦ ϕ−1 .
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(e) Zunächst ist g ◦ f : M → N 0 überhaupt stetig. Sei x ∈ M . Wähle zunächst
eine Karte θ von N 0 mit g(f (x)) ∈ dom(θ), dann eine Karte ψ von g −1 (dom(θ)) mit
f (x) ∈ dom(ψ) und schließlich eine Karte ϕ von f −1 (dom(ψ)) mit x ∈ dom(ϕ). Da ψ
auch eine Karte von N ist, ist θ ◦ g ◦ ψ −1 eine C q -Abbildung und da ϕ eine Karte von
M ist, ist auch ψ ◦ f ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung. Nach §1.Lemma 11.(c) ist damit auch
θ ◦ (g ◦ f ) ◦ ϕ−1 = (θ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )
eine C q -Abbildung. Nach (a) ist damit g ◦ f ∈ C q (M, N 0 ).
(f ) Sind ϕ, ψ zwei Karten von M , so ist ψ ◦ idM ◦ ϕ−1 = ψ ◦ ϕ−1 ∈ Hm,∞ eine C ∞ Abbildung.
(g) Zunächst sind die beiden Abbildungen pr1 : M × N → M und pr2 : M × N → N
überhaupt stetig. Sei (x, y) ∈ M × N . Wähle Karten ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und ψ
von N mit y ∈ dom(ψ). Dann ist ϕ × ψ eine Karte von M × N mit (x, y) ∈ dom(ϕ × ψ)
und
ϕ ◦ pr1 ◦(ϕ × ψ)−1 = pr1 : im(ϕ) × im(ψ) → im(ϕ),
ψ ◦ pr2 ◦(ϕ × ψ)−1 = pr2 : im(ϕ) × im(ψ) → im(ϕ)
sind beides C ∞ -Abbildungen. Mit (a) folgt damit pr1 ∈ C ∞ (M × N, M ) und pr2 ∈
C ∞ (M × N, N ).
(h) ”=⇒” Wegen g = pr1 ◦(g, g 0 ) und g 0 = pr2 ◦(g, g 0 ) ist dies nach (e,g) klar.
”⇐=” Zunächst ist (g 0 , g) : M → N × N 0 eine stetige Abbildung. Sei x ∈ M . Wähle
eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und Karten ψ von N mit g(x) ∈ dom(ψ)
sowie ψ 0 von N 0 mit g 0 (x) ∈ dom(ψ 0 ). Dann ist ψ 0 × ψ eine Karte von N 0 × N mit
(g 0 , g)(x) = (g 0 (x), g(x)) ∈ dom(ψ 0 × ψ) und da ψ ◦ g ◦ ϕ−1 und ψ 0 ◦ g 0 ◦ ϕ−1 beides
C q -Abbildungen sind, ist auch
(ψ 0 × ψ) ◦ (g 0 , g) ◦ ϕ−1 = (ψ 0 ◦ g 0 ◦ ϕ−1 , ψ ◦ g ◦ ϕ−1 )
eine C q -Abbildung. Nach (a) ist (g 0 , g) ∈ C q (M, N 0 × N ).
(i) Klar.
(j) ”=⇒” Zunächst ist f nach Lemma 21.(a.2) ein Homöomorphismus, d.h. f ist bijektiv und f : M → N , f −1 : N → M sind beide stetig. Sei x ∈ M . Dann existiert
eine Karte ψ von N mit f (x) ∈ dom(ψ) so, dass ψ ◦ f eine Karte von M ist. Dann ist
x ∈ f −1 (dom(ψ)) = dom(ψ ◦ f ) und
ψ ◦ f ◦ (ψ ◦ f )−1 = idim(ψ)
ist eine C ∞ -Abbildung. Nach (a) ist f ∈ C ∞ (M, N ). Da nach Lemma 21.(a.3) auch
f −1 ein Diffeomorphismus ist, ist ebenso f −1 ∈ C ∞ (N, M ).
”⇐=” Zunächst sind f und f −1 beide stetig, d.h. f ist ein Homöomorphismus. Sei x ∈
e und eine Karte ϕ von f −1 (dom(ψ)),
e
M . Wähle eine Karte ψe von N mit f (x) ∈ dom(ψ)
e (dom(ϕ))
also auch von M , mit x ∈ dom(ϕ). Nach Lemma 20.(a) ist auch ψ := ψ|f
eine Karte von N und wegen f ∈ C ∞ (M, N ) ist ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : im(ϕ) → im(ψ) eine
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C ∞ -Abbildung. Da auch f −1 ∈ C ∞ (N, M ) ist, ist auch (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )−1 = ϕ ◦ f −1 ◦ ψ −1
eine C ∞ -Abbildung, es ist also n = m und θ := ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ Hn,∞ . Damit ist θ ein
Diffeomorphismus und nach Lemma 21.(a.3,c,e) ist auch
f | dom(ϕ) = ψ −1 ◦ θ ◦ ϕ : dom(ϕ) → dom(ψ)
ein Diffeomorphismus. Nach Lemma 22.(b) ist f ein lokaler Diffeomorphismus und nach
Lemma 22.(c.2) ist f sogar ein Diffeomorphismus.
Wir haben das Lemma für berandete Mannigfaltigkeiten formuliert da es zum einen
der allgemeine Fall ist und wir zum anderen nicht alle Kombinationen von berandet
und unberandet auflisten wollen. Dadurch wird der Fall nulldimensionaler Mannigfaltigkeiten formal nicht erfasst, für diese sind aber alle Aussagen des Lemmas sowieso
klar. Bei der Anwendung auf unberandete Mannigfaltigkeiten kann man anstelle der
Karten des Hn,∞ -Atlas auch die Karten des C n,∞ -Atlas verwendet ohne das sich irgendetwas ändert, wie wir uns jetzt kurz einmal überlegen wollen. Seien also n, m ∈ N mit
n, m ≥ 1, q ∈ N∗ , M eine berandete oder unberandete m-dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit, N eine berandete oder unberandete n-dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit und f : M → N eine stetige Abbildung. Nehme an das f als Abbildung zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten C q ist. Für jedes k ∈ N mit k ≥ 1
enthält die Pseudogruppe C k,∞ den C ∞ -Diffeomorphismus
θk : Rk → H k \∂H k = Rk−1 × (0, ∞); (x1 , . . . , xk−1 , xk ) 7→ (x1 , . . . , xk−1 , exk ).
Seien ϕ jetzt eine beliebige Karte von M und ψ eine beliebige Karte von N , also im
unberandeten Fall eine Karte des C n,∞ -Atlas von N beziehungsweise des C m,∞ -Atlas
von M . Setze
(
(
θm ◦ ϕ, M ist unberandet,
θn ◦ ψ, M ist unberandet.
ϕ
e :=
und ψe :=
ϕ,
M ist berandet
ψ,
M ist berandet
Nach Lemma 20.(d) sind ϕ
e eine Karte von M und ψe eine Karte von N und da das Bild
im Inneren des jeweiligen Halbraums liegt sind diese beiden auch Karten der berandet
interpretierten Mannigfaltigkeiten. Wegen f ∈ C q (M, N ) ist damit ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 eine
C q -Abbildung und somit ist auch
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ {ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 , ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 ◦ θm , θn−1 ◦ ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 , θn−1 ◦ ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 ◦ θm }
eine C q -Abbildung. Die definierende Eigenschaft einer C q -Funktion überträgt sich also
auch auf Karten der jeweiligen unberandeten Mannigfaltigkeiten. Analog gilt dann auch
Teil (a) des obigen Lemmas für Karten der jeweiligen unberandeten Mannigfaltigkeiten.
Wir wollen uns jetzt überlegen das der so definierte Begriff von C q -Abbildungen für
eingebettete Untermannigfaltigkeiten genau den in §1 betrachteten Begriff liefert. Wir
kombinieren dies gleich mit zwei weiteren Aussagen die die Konstruktion von Beispielen
erleichtern.
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Lemma 2.35 (C q -Abbildungen zwischen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten)
Seien n, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d, q ∈ N∗ und M eine eingebettete, n-dimensionale
C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rd .
(a) Sind U ⊆ Rd offen mit M ⊆ U , N eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit
und f ∈ C q (U, N ), so ist auch f |M ∈ C q (M, N ).
(b) Sind N eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und f ∈ C q (N, Rd ) mit
f (N ) ⊆ M , so ist auch f ∈ C q (N, M ).
(c) Sind auch m, e ∈ N mit e ≥ 1 und N eine eingebette m-dimensionale C ∞ Untermannigfaltigkeit des Re so ist eine stetige Abbildung f : M → N genau
dann in C q (M, N ) wenn sie eine C q -Abbildung im Sinne des §1 ist.
Beweis: (a) Zunächst ist f : M → N stetig. Sei x ∈ M . Nach §1.Satz 2.(b) existiert
eine Karte ϕ von M im Sinne des §1 mit x ∈ dom(ϕ) und nach Definition des Atlas
von M ist ϕ auch eine Karte von M als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei
ψ eine Karte von N mit f (x) ∈ dom(ψ). Verwenden wir auf U die Karte idU so ergibt
q
−1
f ∈ C q (U, N ) das ψ ◦ f = ψ ◦ f ◦ id−1
U eine C -Abbildung ist. Nach §1.Lemma 3 ist ϕ
eine Parametrisierung von M , also insbesondere eine C ∞ -Abbildung im(ϕ) → Rn und
somit ist auch ψ ◦ (f |M ) ◦ ϕ−1 = (ψ ◦ f ) ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung. Nach Lemma 34.(a)
ist f |M ∈ C q (M, N ).
(b) Zunächst ist f : N → M eine stetige Abbildung. Sei x ∈ N . Es existieren im Rd
offene Mengen U, V ⊆ Rd mit f (x) ∈ U und ein C ∞ -Diffeomorphismus θ : U → V mit
θ(U ∩ M ) = V ∩ Rn . Dann ist ψ := θ|U ∩ M eine Karte von M im Sinne von §1, also
auch eine Karte von M als differenzierbare Mannigfaltigkeit, und es gilt f (x) ∈ dom(ψ).
Weiter wähle eine Karte ϕ von N mit x ∈ dom(ϕ). Verwenden wir auf dem Rd die Karte
idRd so ergibt f ∈ C q (N, Rd ) zunächst das f ◦ ϕ−1 = idRd ◦ f ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung
ist und damit ist auch ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = θ ◦ f ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung. Nach Lemma 34.(a)
ist damit f ∈ C q (N, M ).
(c) ”=⇒” Sei ϕ eine Karte von M im Sinne von §1, also auch eine Karte der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Sei x ∈ dom(ϕ) und sei ψ eine Karte, wieder im Sinne
des §1, von N mit f (x) ∈ dom(ψ). Dann ist ψ auch eine Karte von N als differenzierbare Mannigfaltigkeit und wegen f ∈ C q (M, N ) ist ψ ◦ f ◦ ϕ−1 eine C q -Abbildung.
Wieder nach §1.Lemma 3.(i)st ψ −1 eine Parametrisierung von N , also insbesondere
eine C ∞ -Abbildung im(ψ) → Re . Damit ist ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) ⊆ im(ϕ) eine
offene Umgebung von ϕ(x) im Rn und
f ◦ ϕ−1 |ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) = ψ −1 ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )
ist eine C q -Abbildung. Damit ist f ◦ ϕ−1 : im(ϕ) → Rm eine C q -Abbildung und nach
§1.Lemma 8 ist f : M → N eine C q -Abbildung im Sinne des §1.
”⇐=” Sei x ∈ M . Dann existieren eine offene Umgebung U von x im Rd und eine
C q -Abbildung g : U → Re mit g|U ∩ M = f |U ∩ M . Auf U haben wir die Karte
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q
idU und auf dem Re die Karte idRe und da idRe ◦ g ◦ id−1
U = g eine C -Abbildung
q
e
ist, ist nach Lemma 34.(a) auch g ∈ C (U, R ). Nach §1.Lemma 1.(a) ist U ∩ M eine
eingebettete, n-dimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rd , also ist nach (a) auch
f |U ∩M = g|U ∩M ∈ C q (U ∩M, Re ). Nach (b) ist damit auch f |U ∩M ∈ C q (U ∩M, N ).
Nach Lemma 34.(b) ist damit f ∈ C q (M, N ).
Insbesondere sind die C q -Abbildungen zwischen offenen Teilmengen des Rn genau
die C q -Abbildungen im üblichen Sinne. Damit sind für jedes n ∈ N mit n ≥ 1
auch Addition und Multiplikation C ∞ -Abbildungen, d.h. + ∈ C ∞ (Rn × Rn , Rn ) und
· ∈ C ∞ (R × Rn , Rn ). Weiter seien q ∈ N∗ und M eine berandete oder unberandete
differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sind f, g ∈ C q (M, Rn ), so ist nach Lemma 34.(h)
auch (f, g) ∈ C q (M, Rn × Rn ) und nach Lemma 34.(e) ist auch
f + g = + ◦ (f, g) ∈ C q (M, Rn )
eine C q -Abbildung. Ist weiter λ ∈ C q (M ) := C q (M, R), so folgt analog auch (λ, f ) ∈
C q (M, R × Rn ) und
λ · f = · ◦ (λ, f ) ∈ C q (M, Rn ).
Insbesondere wird C q (M ) mit punktweiser Addition und Multiplikation eine reelle Algebra. Für jede offene Teilmenge U von M ist dann auch C q (U ) eine reelle Algebra.
Wir wollen jetzt differenzierbare Abbildungen auf einer allgemeinen berandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit konstruieren und insbesondere die Existenz sogenannter
Partitionen der Eins beweisen. Für diesen Beweis ist es hilfreich sogenannte Standardkarten zu verwenden.
Definition 2.28 (Standardkarten)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(a) Ist x ∈ M ◦ kein Randpunkt von M so ist eine bei x zentrierte Standardkarte von
M eine Karte ϕ von M ◦ mit im(ϕ) = Rn und ϕ(x) = 0.
(b) Ist x ∈ ∂M ein Randpunkt von M , so ist eine bei x zentrierte Standardkarte von
M eine Karte ϕ von M mit im(ϕ) = H n und ϕ(x) = 0.
Eine Karte ϕ von M beziehungsweise M ◦ heißt eine Standardkarte wenn es ein x ∈ M
gibt so, dass ϕ eine bei x zentrierte Standardkarte von M ist.
Beachte das eine bei einem inneren Punkt x ∈ M ◦ einer berandeten Mannigfaltigkeit M zentrierte Standardkarte ϕ von M streng genommen keine Karte von M ist,
nach Lemma 21.(e) ist ϕ : dom(ϕ) → Rn aber zumindest ein Diffeomorphismus. Wir
konstruieren jetzt unter anderem beliebig kleine“ Standardkarten, und wollen hierfür
”
an ein aus den Grundvorlesungen bekanntes Beispiel erinnern. Wir behaupten das die
Funktion
(
e−1/x , x > 0,
f : R → R; x 7→
0,
x≤0
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unendlich oft differenzierbar ist. Per vollständiger Induktion ergibt sich zunächst das
f für jedes n ∈ N in R\{0} stets n-fach differenzierbar ist und das es ein Polynom
pn ∈ R[x] mit
pn (x)
f (n) (x) = 3n e−1/x
x
für alle x > 0 gibt, für x < 0 ist dagegen f (n) (x) = 0. Für jedes n ∈ N ist dann aber
auch
pn (x) −1/x
1 −x
(n)
3n
lim f (x) = lim 3n e
e = 0,
= lim x pn
x→∞
x↓0 x
x↓0
x
und somit folgt das f unendlich oft differenzierbar mit f (n) (0) = 0 für alle n ∈ N ist.
Lemma 2.36 (Konstruktion spezieller Diffeomorphismen)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(a) Sind a, b ∈ R mit a < b, so existiert ein monoton steigendes φ ∈ C ∞ (R) mit
0 ≤ φ(x) ≤ 1 für alle x ∈ R so, dass φ(x) = 0 für x ≤ a und φ(x) = 1 für x ≥ b
gilt.
(b) Seien 0 < < r gegeben. Dann existiert ein C ∞ -Diffeomorphismus φ : (0, r) →
R>0 mit φ(x) = x für alle 0 < x ≤ .
(c) Seien z ∈ Rn und 0 < < r. Dann existiert ein C ∞ -Diffeomorphismus ϕ : Br (z) →
Rn mit den folgenden beiden Eigenschaften:
1. Für alle x ∈ B (z) gilt ϕ(x) = x − z.
2. Für jedes u ∈ Rn mit ||u|| = 1 ist ϕ(Br (z) ∩ (z + R≥0 u)) = R≥0 u.
(d) Sind a, b ∈ R mit 0 < a < b und z ∈ Rn so existiert ein φ ∈ C ∞ (Rn ) mit
0 ≤ φ(x) ≤ 1 für alle x ∈ Rn und φ(x) = 1 für alle x ∈ Rn mit ||x − z|| ≤ a
sowie φ(x) = 0 für alle x ∈ Rn mit||x − z|| ≥ b.
(e) Sind x ∈ M und U eine offene Umgebung von x in M , so existiert eine bei x
zentrierte Standardkarte ϕ von M mit
x ∈ dom(ϕ) ⊆ dom(ϕ) ⊆ U
so, dass dom(ϕ) kompakt ist.
Beweis: (a) Wie eingangs festgehalten ist
( 1
e− x , x > 0,
f : R → R; x 7→
0,
x≤0
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in C ∞ (R) ist. Damit ist auch
g : R → R; x 7→ f (x − a)f (b − x)
in C ∞ (R) mit g(x) = 0 für x ≤ a oder x ≥ b und g(x) > 0 für a < x < b. Incbesondere
Rb
ist c := a g(x) dx > 0, und wir definieren
Z
1 x
g(t) dt.
φ : R → R; x 7→
c −∞
Rb
Dann ist φ ∈ C ∞ (R), für x ≤ a ist φ(x) = 0 für x ≥ b ist φ(x) = c−1 a g(t) dt = 1,
und wegen φ0 (x) = g(x) ≥ 0 für jedes x ∈ R ist φ monoton steigend, und somit auch
0 ≤ φ(x) ≤ 1 für jedes x ∈ R.
(b) Wähle ein < a < r. Nach (a) existiert ein ψ ∈ C ∞ (R) mit 0 ≤ ψ(x) ≤ 1 für alle
x ∈ R, ψ(x) = 0 für alle x ∈ R mit x ≤ und ψ(x) = 1 für alle x ∈ R mit x ≥ a.
Setzen wir also
πx i
πψ(x) h
Φ : (−r, r) → R; x 7→ 1 +
1 + tan2
,
2r
2r
so ist Φ ∈ C ∞ (−r, r) mit Φ(x) ≥ 1 für alle x ∈ (−r, r), Φ(x) = 1 für x ∈ (−r, ] und
Φ(x) ≥ (π/2r)(1 + tan2 (πx/2r)) für x ∈ [a, r). Wir erhalten die C ∞ -Funktion
Z x
φ : (−r, r) → R; x 7→
Φ(t) dt.
0
Wegen φ0 (x) = Φ(x) ≥ 1 für x ∈ (−r, r) ist φ streng monoton steigend, also ist das
Bild I := φ(0, r) ein offenes Intervall und die Umkehrfunktion φ−1 : I → (0, r) ist
wieder C ∞ , d.h. φ : (0, r) → I ist einR C ∞ -Diffeomorphismus. Weiter ist φ(0) = 0 und
x
für x ∈ R mit 0 < x ≤ gilt φ(x) = 0 dt = x. Für x ∈ [a, r) haben wir dagegen
Z
x
Z
Φ(t) dt ≥
φ(x) =
0
x
Z
Φ(t) dt ≥
a
a
x
π
2r
2
1 + tan
πt
2r
dt
= tan
πx 2r
− tan
πa 2r
,
also insbesondere limx→r φ(x) = ∞ und somit ist I = R>0 .
(c) Nach (b) gibt es einen C ∞ -Diffeomorphismus θ : (0, r) → R>0 mit θ(x) = x für alle
x ∈ (0, r) mit 0 < x ≤ . Wir erhalten die Funktion
(
θ(||x − z||) x − z , x 6= z,
n
||x − z||
ϕ : Br (z) → R ; x 7→
0,
x = z.
Es ist ϕ ∈ C ∞ (Br (z)\{z}) und da dür alle x ∈ B (z) stets θ(||x − z||) = ||x − z||
und somit auch ϕ(x) = x − z gilt, ist sogar ϕ ∈ C ∞ (Br (z)). Ist u ∈ Rn mit ||u|| = 1,
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so gilt für alle t > 0 auch ϕ(z + tu) = θ(t)u, es ist also ϕ(z + (0, r)u) = R>0 u und
wegen ϕ(z) = 0 auch ϕ(z + [0, r)u) = R≥0 u. Weiter folgt das ϕ bijektiv mit der
Umkehrfunktion
(
z + θ−1 (||x||) x , x 6= 0,
−1
n
||x||
ϕ : R → Br (z); x 7→
z,
x=0
ist und analog zur Überlegung für ϕ folgt das ϕ−1 ∈ C ∞ (Rn ) ist. Damit ist ϕ ein
C ∞ -Diffeomorphismus und alles ist bewiesen.
(d) Nach (a) existiert ein ψ ∈ C ∞ (R) mit 0 ≤ ψ(x) ≤ 1 für alle x ∈ R, ψ(x) = 0 für
x ∈ R mit x ≤ a und ψ(x) = 1 für x ∈ R mit x ≥ b. Setze dann
φ : Rn → R; x 7→ 1 − ψ(||x − z||).
Sei x ∈ Rn . Dann ist 0 ≤ φ(x) ≤ 1, im Fall ||x − z|| ≤ a ist φ(x) = 1 und im Fall
||x − z|| ≥ b haben wir φ(0) = 0. Weiter ist φ ∈ C ∞ (Rn \{z}) und da φ auf Ba (z)
konstant gleich Eins ist, ist sogar φ ∈ C ∞ (Rn ).
(e) Nach Lemma 28.(a) ist M lokalkompakt, und nach Satz 14.(b) existiert eine offene
Umgebung V von x in M mit x ∈ V ⊆ V ⊆ U so, dass V kompakt ist. Ist x ∈ M ◦ , so
setze H := H n und wähle eine Karte ψ von V ∩M ◦ , also auch von M ◦ , mit x ∈ dom(ψ)
und ist x ∈ ∂M so setze H := Rn und wähle eine Karte ψ von V , also auch von
M , wieder mit x ∈ dom(ψ). Setze z := ψ(x) ∈ H. Da das Bild im(ψ) offen in H ist
existiert ein r > 0 mit Br (z)∩H ⊆ im(ψ). Nach (d) existiert ein C ∞ -Diffeomorphismus
θ : Br (z) → Rn mit θ(z) = 0 und θ(Br (z) ∩ (z + R≥0 u)) = R≥0 u für jedes u ∈ Rn mit
||u|| = 1. Im Fall x ∈ ∂M ist z = ψ(x) ∈ ∂H n und somit auch
[
[
R≥0 u = H n ,
θ(Br (z) ∩ H n ) =
ϕ(Br (z) ∩ (z + R≥0 u)) =
u∈S n−1 ∩H n
u∈S n−1 ∩H n
in beiden Fällen gilt also θ(Br (z) ∩ H) = H. Nach Lemma 20.(a,d) ist ϕ := (θ|Br (z) ∩
H) ◦ (ψ|ψ −1 (Br (z) ∩ H)) eine bei x zentrierte Standardkarte von M mit dom(ϕ) ⊆ V ,
also auch dom(ϕ) ⊆ V ⊆ U und insbesondere ist dom(ϕ) nach Satz 12.(c) kompakt.
Wir definieren nun die Partitionen der Eins einer berandeten oder unberandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
Definition 2.29 (Partitionen der Eins)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(a) Seien (Ai )i∈I und (Bj )j∈J zwei Familien von Teilmengen von M . Wir nennen
(Ai )i∈I eine Verfeinerung von (Bj )j∈J wenn es für jedes i ∈ I ein j ∈ J mit
Ai ⊆ Bj gibt und eine Verfeinerung mit derselben Indexmenge wenn J = I ist
und Ai ⊆ Bi für jedes i ∈ I gilt.
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(b) Eine Familie (Ai )i∈I von Teilmengen von M heißt lokalendlich, wenn es für jeden
Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von x in M mit
|{i ∈ I : U ∩ Ai 6= ∅}| < ∞
gibt.
(c) Ist f : M → R stetig, so heißt
supp(f ) := {x ∈ M : f (x) 6= 0}
der Träger von f .
(d) Eine Partition der Eins ist eine Familie Φ = (φi )i∈I in C ∞ (M ) mit φi (x) ≥ 0 für
alle x ∈ M und i ∈ I so, dassP
die Familie der Träger (supp(φi ))i∈I lokalendlich
ist, und für jedes x ∈ M stets i∈I φi (x) = 1 gilt.
(f ) Eine Partition der Eins Φ = (φi )i∈I heißt einer Familie (Aj )j∈J untergeordnet
wenn die Familie (supp(φi ))i∈I eine Verfeinerung der Familie (Aj )j∈J ist und sie
heißt der Familie mit derselben Indexmenge untergeordnet wenn J = I ist und
supp(φi ) ⊆ Ai für jedes i ∈ I gilt.
Ist (φi )i∈I eine Familie in C ∞ (M ) und ist die Familie (supp(φi ))i∈I der Träger lokalendlich, so gibt es für jedes x ∈ M eine offene Umgebung U von x in M für die die
Menge J := {i ∈ I| supp(φi ) ∩ U 6= ∅} endlich ist und damit ist
!
!
X X φi U =
φi U ∈ C ∞ (U )
i∈I
i∈E
eine Summe mit nur endlich vielen von
Summanden. Nach Lemma
PNull verschiedenen
∞
∞
34.(b) erhalten wir eine C -Funktion i∈I φi ∈ C (M ). Wir wollen die folgenden drei
Grundtatsachen über die Existenz von Partitionen der Eins beweisen.
1. Zu jeder offenen Überdeckung von M gibt es eine untergeordnete Partition der
Eins.
2. Zu jeder offenen Überdeckung von M gibt es eine mit derselben Indexmenge
untergeordnete Partition der Eins.
3. Sind A ⊆ M in M abgeschlossen und U ⊆ M in M offen mit A ⊆ U , so existiert
eine Funktion φ ∈ C ∞ (M ) mit 0 ≤ φ(x) ≤ 1 für alle x ∈ M so, dass φ|A = 1
und supp(φ) ⊆ U gelten.
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