Der isonormale Gaussprozess 1 Definition und grundlegende

Der isonormale Gaussprozess
Tim Kutta ([email protected])
19. April 2016
Thema des Vortrags ist der isononormale Gaussprozess, sowie sample continuity und
sample boundedness.
1 Definition und grundlegende Eigenschaften
Definition 1.
Sei H ein Hilbertraum und L ein stochastischer Prozess, der in H indiziert sei. Man
nennt L isonormalen Gaussprozess, falls gilt:
1. ∀x ∈ H gilt E L(x) = 0
2. Für je endlich viele x1 , ..., xn gilt (L(x1 ), ..., L(xn )) ∼ N (0, Σ)
3. ∀x, y ∈ H gilt E L(x)L(y) = (x, y)H
Satz 2 (Thm. 2.1).
Für alle c ∈ R, x, y ∈ H gilt L(cx + y) = c L(x) + L(y) P-fast sicher.
Definition 3.
Seien {Xt : t ∈ T }, {Yt : t ∈ T } zwei stochastische Prozesse, so heissen sie Versionen
von einander, falls für jede endliche Teilmenge J ⊂ T gilt, dass {Xt : t ∈ J}, {Yt : t ∈ J}
identisch Verteilt sind.
Satz 4 (Thm. 2.2).
Sei {Xt : t ∈ T } ein Gaussprozess mit Erwartungswert 0 auf (Ω, A, P), so gilt, dass
{Yt : t ∈ T } eine Version von {Xt : t ∈ T } ist. Dabei sei Yt := L(Xt ) und L sei der
isonormale Gaussprozess auf dem Hilbertraum L2 (Ω, A, P).
Satz 5 (Bsp. 2.3).
Sei H ein Hilbertraum, mit dimR H = n < ∞, der mit einem Wahrscheinlichkeitsmass
N (0, I)versehen ist.
iH : H → H0 sei gegeben via
x 7→ (x, ·)H .
Dann ist iH eine Version des isonormalen Prozesses auf H.
Seminar zu ’Uniform central limit theorems’, SS 2016, RUB, bei Prof. Rohde
1
Definition 6.
Sei A ⊂ H. Man definiert die Zufallsvariablen L(A)∗ und |L(A)|∗ als kleinste Zufallsvariablen, mit der Eigenschaft L(A)∗ ≥ L(x), bzw. |L(A)|∗ ≥ |L(x)| für alle x ∈ A fast
sicher.
Satz 7 (Thm. 2.4).
Sei A ⊂ H eine separable Teilmenge, so sind L(A)∗ und |L(A)|∗ wohldefiniert und fast
sicher eindeutig.
(Bem.: In diesem Fall gilt, wenn B ⊂ A dicht und abzählbar ist, dass fast sicher L(A)∗ =
L(B)∗ und |L(A)|∗ = |L(B)|∗ ).
Definition 8.
Seien B, C ⊂ H. Man nennt B eine GB-Menge, falls |L(B)|∗ < ∞ fast sicher gilt.
Man nennt C eine GC-Menge, falls C totalbeschränkt ist und man L so wählen kann,
dass die Abbildung x 7→ L(x)(ω) für alle ω ∈ Ω auf C gleichmässig stetig ist.
Im Folgenden suchen wir alternative Charakterisierungen für GB- und GC-Mengen.
Satz 9 (Thm. 2.19).
Sei C ⊂ H. C ist eine GB-Menge, genau dann wenn EL(C)∗ < ∞ gilt.
Definition 10.
1. Wenn H ein Hilbertraum ist, mit endlichdimensionalem Untervektorraum F, so
gibt es genau einen Untervektorraum F ⊥ , mit H = F ⊥ F ⊥ , d.h. es gibt für jedes
Element eine eindeutige Darstellung x = xF + xF ⊥ , mit xF ∈ F, xF ⊥ ∈ F ⊥ . Die
Abbildung auf den endlichdimensionalen Untervektorraum
π : H → H, x 7→ xF
(1)
heisst endlichdimensionale Projektion (f.d.p).
2. Man definiert für eine Folge (πn )n von f.d.ps den folgenden Ausdruck:
[
πn ↑ Id :⇔ rng(πn ) ⊂ rng(πn+1 ) und
rng(πn ) ⊂ H dicht
(2)
n∈N
3. Sei A ⊂ H, so definiert man die abgeschlossene, symmetrische, konvexe Hülle A
von A wie folgt:
A := {x ∈ H|x =
n
X
λk ak , mit n ∈ N, ak ∈ A, λk ∈ R und
k=1
n
X
k=1
2
|λk | = 1}
(3)
4. Sei C ⊂ H totalbeschränkt. Der Raum der gleichmässig stetigen Funktionen auf C
heisst V1 (versehen mit der Supremumsnorm). Der Raum der prälinearen Elemente
aus V1 wird V2 genannt. V3 soll der Abschluss des Raums der Funktionen sein, die
der Form x 7→ (x, h)H zu festem h ∈ H sind.
5. Sei V eine Menge von Funktionen auf C. Man sagt L kann auf C auf V realisiert
werden, wenn es ein Wahrscheinlichkeitsmass µ auf V gibt, so dass dass der Prozess
(v, x) 7→ v(x) Version von L auf C ist.
Satz 11 (Thm. 2.32).
Sei C ⊂ H totalbeschränkt. Folgende Aussagen sind äquivalent
(a) C ist GC-Menge.
(a’) Die abgeschlossene, symmetrische, konvexe Hülle von C ist GC-Menge.
(b) Für alle > 0 gilt P r(|L(C)|∗ < ) > 0.
(c) Es gibt eine Folge (πn )n von f.d.p.s , mit lim inf n |L(πn⊥ C)|∗ = 0 fast sicher.
(d) Für eine Folge von f.d.p.s (πn )n gilt |L(πn⊥ C)|∗ → 0 in Wahrscheinlichkeit.
(d’) Für eine Folge von f.d.p.s (πn )n gilt |L(πn⊥ C)|∗ → 0 fast sicher.
(e) Für jede Folge von f.d.p.s (πn )n gilt |L(πn⊥ C)|∗ → 0 in Wahrscheinlichkeit.
(e’) Für jede Folge von f.d.p.s (πn )n gilt |L(πn⊥ C)|∗ → 0 fast sicher.
(f) L kann auf V3 realisiert werden.
(g) L auf C kann auf V2 realisiert werden.
(h) L auf C kann auf V1 realisiert werden.
Satz 12 (Thm. 2.33).
Sei (B, || · ||) ein Banachraum, mit zentriertem Gaussmass µ gegeben auf der Borelσ-Algebra B(B). Weiter sei B10 := {f ∈ B0 : ||f ||0 ≤ 1} der Einheitsball im Dualraum.
Dann ist B10 in L2 (B, µ) kompakte GC-Menge.
Korollar 13.
Seien C und D GC-Mengen, so auch C ∪ D.
3