DISKRETE MATHEMATIK F¨UR INFORMATIKER ¨UBUNGSBLATT

Jun.Prof. Dr. C. Diem
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DISKRETE MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER
ÜBUNGSBLATT NR. 3
Aufgaben für die Übungsgruppe
Aufgabe Ü1 Ein Zwischenkörper einer Körpererweiterung L|K ist ein Unterkörper
von L, der K enthält.
Zeigen Sie: Wenn [L : K] eine Primzahl ist, dann gibt es keine “nicht-trivialen” Zwischenkörper von L|K, d.h. jeder Zwischenkörper ist gleich L oder gleich K.
Aufgabe Ü2 Sei L|K eine Körpererweiterung, und sei α ∈ L so dass α eine Gleichung
von Grad n erfüllt. Zeigen Sie: [K[α] : K] ≤ n.
Aufgabe Ü3 Zeigen Sie: Jede algebraische Körpererweiterung eines Körpers K ist
eine Vereinigung von endlichen Körpererweiterungen von K.
Aufgabe Ü4 Zeigen Sie mit Resultaten aus der Vorlesung: Sei K ein Körper und
seien f1 , . . . , fk ∈ K[X]. Dann gibt es einen Körper L und einen Homomorphismus von
Körpern ι : K ֒→ L so dass alle Polynome f1 , . . . , fk über L in Linearfaktoren zerfallen
und L über K von den Nullstellen von f1 , . . . , fk erzeugt wird.
Aufgabe Ü5 Sei K ein Körper und U ⊆ K eine Teilmenge. Zeigen Sie: Es gibt
einen kleinsten Unterkörper von K, der U enthält. (Dieser Körper wird dann der von U
erzeugte Unterkörper von K genannt.)
Aufgabe Ü6 Sei L|K eine Körpererweiterung, und sei R ein Unterring von L, der K
enthält. Dann ist R “in offensichtlicher Weise” ein K-Vektorraum. Wir nehmen an, dass
die Dimension von R über K endlich ist. Zeigen Sie:
• Jedes Element von R ist algebraisch über K.
• R ist ein Körper.
Schriftliche Hausaufgaben
Abgabe.
Bis Donnerstag, 22.11., vor der Vorlesung. Jede der Aufgaben hat 4 Punkte.
Aufgabe H1 In dieser Aufgabe behandeln wir Polynomringe in n Variablen.
Sei R ein kommutativer Ring. Wir betrachten die Menge aller “formalen Summen”
X
ai X1i1 X2i2 · · · Xnin ,
i∈Nn
0
wobei nur endliche viele der “Koeffizienten” ai ungleich Null sind. Diese Menge bezeichnen wir mit R[X1 , . . . , Xn ]. Auf dieser Menge haben wir eine offensichtliche Addition,
und R ist dann eine Untergruppe von R[X1 , . . . , Xn ].
a) Zeigen Sie: Es gibt genau eine Möglichkeit, auf R[X1 , . . . , Xn ] eine Multiplikation zu
definieren, so dass R[X1 , . . . , Xn ] ein Ring ist, R ein Unterring von R[X1 , . . . , Xn ] ist
i′
i′
i +i′
i +i′
i′
i +i′
und (X1i1 X2i2 · · · Xnin ) · (X11 X22 · · · Xnn ) = X11 1 X22 2 · · · Xnn n für alle i, i′ ∈ Nn0
gilt.
Der so definiere Ring heißt der Polynomring in den Variablen X1 , . . . , Xn über R.
Die Elemente heißen Polynome in X1 , . . . , Xn . Wenn p so ein Polynom ist, schreiben
wir auch p = p(X1 , . . . , Xn ).
P
i1 i2
in
b) Sei p(X1 , . . . , Xn ) =
i∈Ni0 ai X1 X2 · · · Xn ∈ R[X1 , . . . , Xn ], sei S ein weiterer
kommutativer Ring, ϕ : R −→ S ein Ringhomomorphismus,
und seien s1 , . . . , sn ∈ S.
P
Dann definieren wir p(s1 , . . . , sn ) := i∈Ni ai si11 si22 · · · sinn .
0
Zeigen Sie: Die Abbildung ψ : R[X] −→ S, p 7→ p(s1 , . . . , sn ) ist ein Homomorphismus
von Ringen, und es ist der einzige Homomorphismus ψ : R[X] −→ S für den ψ(Xi ) =
si und ψ|R = ϕ gilt.
(Dies ist die so genannte universelle Eigenschaft von R[X1 , . . . , Xn ].)
Aufgabe H2 Ein Nullteiler in einem kommutativen Ring R ist ein Element r ∈ R, r 6=
0 so dass es ein s ∈ R, s 6= 0 mit sr = 0 gibt. Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler
heißt Integritätsbereich.
Sei nun R ein Integritätsbereich. Zeigen Sie:
a) Es gibt einen Körper Q und einen injektiven Homomorphismus von Ringen ι : R ֒→ Q
so dass jedes Element von Q in der Form r · s−1 mit r, s ∈ R und s 6= 0 geschrieben
werden kann.
b) Q (mit ι) hat die folgende universelle Eigenschaft: Sei K ein Körper und ϕ : R −→ K
ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus von Körpern ψ : Q −→ K mit ψ ◦ ι = ϕ.
c) Argumentieren Sie, dass Q (mit ι) “im Wesentlichen eindeutig” ist.
(So ein Körper Q heißt Quotientenkörper von R und wird mit Quot(R) bezeichnet. Es
ist Quot(Z) = Q und Quot(K[X]) = K(X) für einen Körper K.)
Hinweise.
Zu a). Gehen Sie analog zur “Konstruktion” von Q aus Z vor ([LA, §1.7])! Starten Sie
dabei von der Menge R × (R − {0})!
Zu c). Die Aussage und der Beweis sind analog zu Lemma 1.20.
Aufgabe H3 Sei K ein Körper und f ∈ K[X] ein Polynom mit f = f1e1 · · · frer , wobei
die fi ∈ K[X] irreduzibel, normiert und paarweise verschieden sind und alle ei ≥ 1 sind.
Sei L|K ein Zerfällungskörper von f . Zeigen Sie: [L : K] teilt n1 ! · · · nr !.
Hinweis. Benutzen Sie: Für a1 , . . . , aℓ ∈ N gilt a1 ! · · · aℓ !|(a1 + · · · + aℓ )!. Schauen Sie sich
nochmal den Beweis der Existenz von Zerfällungskörpern an!
Aufgabe H4 Sei L|K eine Körpererweiterung.
a) Seien a, b ∈ L algebraisch über K. Zeigen Sie:
i) Der Ring K[a, b] wird über K[a] von b erzeugt. Es gilt also K[a, b] = (K[a])[b].
ii) K[a, b] ist endlich über K.
iii) a + b und a · b sind auch algebraisch über K.
b) Sei A die Menge der Elemente von L, die algebraisch über K sind. Zeigen Sie: A ist
ein Körper.