Optische lineare Wegmessung zur Modellierung und

Optische lineare Wegmessung
zur Modellierung und Regelung von
Lautsprechern
Technische Fakultät
der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur
vorgelegt von:
Dipl.-Phys. Wolfgang Geiger
Erlangen - 2004
Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der Einreichung: 20.09.2004
Tag der Promotion: 17.12.2004
Dekan:
Berichterstatter:
Prof. Dr.-Ing. A. Winnacker
PD Dr.-Ing. U. Tietze
Prof. Dr.-Ing. R. Hagelauer
Abstrakt:
Elektrodynamische Lautsprecher zeigen die größten nichtlinearen Verzerrungen in
einem Audio-System. Bei großen Signalen entstehen durch das inhomogene
Magnetfeld der Antriebsspule und dem Hystereseeffekt der mechanischen Elemente große Verzerrungen. Eine Regelung der Membranbewegung des Lautsprechers mit Hilfe einer linearen optischen Messwerterfassung zeigt eine Reduzierung der nichtlinearen Verzerrungen von bis zu 20 dB. Der Weg der Lautsprechermembran ist somit bestimmt von der Regelung und nicht mehr von den Eigenschaften des Lautsprechers. Die Charakterisierung des Systems findet an Hand
von konzentrierten Elementen statt. Aus einer neuen Auswertungsmethode resultieren die Thiele-Small-Parameter. Der Lautsprecher wird mit konzentrierten
Elementen modelliert und mit einem Schaltungssimulator untersucht. Durch
Auswertung der Übertragungsfunktionen des Lautsprechers lassen sich seine
Parameter besser und genauer bestimmen als es bisher nach Thiele-Small möglich
war. Die Systemparameter des Lautsprechers werden durch Einzelmessungen
nach ihrem physikalischen Ursprung bestimmt und ein Regler entwickelt.
Inhaltsangabe
1
Einleitung
7
1.1
Stand der Technik
7
1.2
Messwandler
2
1.3
Steuern und Regeln
4
1.4
Fortschritt durch Regelung mit optischer linearer Wegmessung
4
2
Bestimmung der Lautsprecherparameter
6
3
Modellierung des Schallfelds
9
4
Beschreibung der Hardware-Komponenten
13
4.1
Elektrodynamischer Lautsprecher
13
4.2
Messwerterfassung mittels eines Ortssensors
32
4.3
Stellglied
37
4.4
Bestimmung des Reglers
50
5
Beschreibung der Systemkomponenten
53
5.1
Modellierung der Strecke
53
5.2
Messsystem
54
5.3
Struktur des Reglers
55
5.4
Geschlossenes System
57
Messungen und Ergebnisse
58
6
6.1
Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
58
6.2
Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
74
7
Zusammenfassung
95
8
Ausblick
96
9
Summary
97
10
Anhang
98
11
Referenz
99
Danksagung
105
Lebenslauf
107
1 Einleitung
Durch immer leistungsfähigere Computer und Mikrokontroller entstanden in den
letzten Jahren viele Möglichkeiten und Methoden Lautsprecher und ihre nichtlinearen Effekte in der Schallabstrahlung zu simulieren sowie ihre Parameter zu
erfassen. Die gängigste und am häufigsten von den Herstellern benutzte Methode
ist die auf konzentrierten Elementen basierende Thiele-Small-Darstellung. Aus
den konzentrierten Elementen entwickeln sich die neuen Zustandsmodelle des
Lautsprechers, die durch nichtlineare Effekte erweitert werden. Für die Entzerrung
und Reduzierung dieser Nichtlinearitäten kommen Signalprozessoren zum Einsatz, die dem Lautsprecher durch Steuern mit nichtlinearen Filtern nach der Mirror-Methode oder Volterra-Filter eine neue Charakteristik geben. Durch den
verstärkten Computereinsatz verlagert sich die Entwicklung immer mehr auf die
Softwarelinie. Die Konstruktion ganzer Chassis findet am Computer statt. Durch
die Finite-Elemente-Methode (FEM) und der Boundary-Elemente-Methode
(BEM) werden die mechanischen und elektrischen Komponenten bei der Entwicklung simuliert. Die Anzahl der notwendigen Knoten und Elemente ist durch
die Rechenzeit limitiert. Bei regelungstechnischen Echtzeitsystemen finden diese
aufwendigen Simulationsmodelle nur selten Verwendung. Durch Abbilden von
komplexen ausgedehnten Systemen, wie einer Lautsprechermembran oder einem
räumlich verteilten Schallwellenfeld, auf einfache konzentrierte mechanische oder
in elektrische Elemente lässt sich ein einfacheres Modell erstellen. Die daraus zu
entwickelnden Systemübertragungsfunktionen sind leichter handhabbar. Ein
Reglerentwurf ist schnell möglich. Die aus den konzentrierten Elementen hervorgehenden Laplace-Gleichungen können leicht in einen Schaltungssimulator wie
PSpice integriert und mit elektrischen Verstärkern und Kontrollern getestet und
optimiert werden.
1.1 Stand der Technik
Zum Vermessen der Lautsprecherparameter setzte sich die Thiele-Small-Methode
durch. Aus der Impedanz des Lautsprechers werden alle mechanischen Parameter
bestimmt. Unter Vernachlässigung der Schallparameter und die Nichtberücksichtigung des einsetzenden Wirbelstroms werden die Thiele-Small-Parameter aus der
elektrischen Impedanz bestimmt. Durch Parallelschalten eines ohmschen Widerstands [Klippel, Seidel, 2001] zur Spuleninduktivität kommt es zu einer Näherung
der Auswirkungen der Wirbelstromeffekte in der elektrischen Impedanz. Eine
Verbesserung der Messgenauigkeit [Kreutz, Panzer, 1991] ergab das Einführen
von statistischen Methoden bei der Bestimmung der Thiele-Small-Parameter. Die
Vermessung der elektrischen Impedanz ist eine indirekte Methode für die Erfassung der Membranauslenkung. Sie erfasst die Bewegung durch die Rückwirkung
der elektromotorischen induzierten Spannung in den elektrischen Kreis. Bei hohen
Frequenzen überdeckt die Impedanz der Schwingspule die induzierte EMKSpannung. Eine direkte Messung der Membranauslenkung erfolgt durch einen
eigenen Messwandler [Birt, 1990] [Knudsen, Rubak, 1987] [Freschi, at al., 2003].
2
1.2 Messwandler
Simulationen am Rechner finden heute mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode
oder der Boundary-Elemente-Methode (BEM) statt. Die mechanischen und elektrischen Nichtlinearitäten und Sättigungseffekte werden simuliert [Rausch, at al.,
2000] [Järvinen, 1998] und der Lautsprecher während der Entwicklung optimiert.
1.2 Messwandler
Es existieren heute für alle physikalischen Zustandsgrößen einer Lautsprechermembran (v Geschwindigkeit, x Wegauslenkung, a Beschleunigung) entsprechende Sensoren. Das physikalische Messprinzip gibt die Funktionsweise des
Sensors vor. Geschwindigkeits- und Beschleunigungssensoren arbeiten nach
einem dynamischen Prinzip. Nur mit Hilfe von Wegsensoren ist auch eine statische Messwerterfassung möglich.
1.2.1 Dynamische Messwandler
Geschwindigkeitssensor:
Eine zweite Induktionsspule erfasst die Geschwindigkeit v der Lautsprechermembranbewegung [Radcliffe, Gogate, 1996]. Die gemessenen Spannungen sind
direkt proportional zur aufgenommenen Geschwindigkeit. Dem geringen Preis
und die einfache Verwirklichung durch Aufbringen der Messspule auf die
Schwingspule steht vor allem der Nachteil der direkten Signaleinkopplung der
Stellgröße des Lautsprechers gegenüber.
Beschleunigungssensor:
Beschleunigungsaufnehmer besitzen eine Probemasse, die durch die Gesamtbeschleunigung des Wandlers mitbeschleunigt wird [Hall, Alto, 1986]. Die dort
entstehende Kraft wird durch den Piezoeffekt in eine Spannung umgewandelt. Ein
solcher Sensor wird auf die Lautsprechermembran aufgebracht und die Membranbeschleunigung gemessen [Frankort, 1997]. Beschleunigungssensoren sind jedoch
nur näherungsweise über den gesamten Übertragungsbereich linear [Tränkler, S.
453, 1998].
Um mit einem dynamischen Messprinzip die Lage der Membran vermessen zu
können, ist eine einfache (v Geschwindigkeitsmessung) bzw. doppelte Integration
(a Beschleunigungsmessung) notwendig.
Die geringsten nichtlinearen Verzerrungen besitzt der Lautsprecher, wenn er um
die Ruhelage schwingt. Die Membran wandert aber auf Grund von nichtlinearen
Effekten [Klippel, 1991] der mechanischen und elektrischen Elemente bei hohen
Frequenzen aus dem Luftspalt, in dem die Schwingspule angebracht ist. Die nichtlinearen Effekte des statischen Magnetfelds steigen mit wachsenden inhomogenen
magnetischen Feldflusslinien [Rausch, 2001, S. 77] stark an. Kann der Lautspre-
1. Kapitel
Einleitung
3
cher in der Ruhelage gehalten werden, sind die nichtlinearen Verzerrungen reduziert. Um aus der Beschleunigung der Membranbewegung auf die Wegauslenkung
schließen zu können, ist eine doppelte Integration notwendig. Der Arbeitspunkt
lässt sich ohne kontinuierliches Nacheichen nur schwer stabil halten.
Mikrophon:
Ein Mikrophon besitzt im Nutzbereich eine komplizierte Übertragungsfunktion
[Leichsenring, 1996]. In der Gesamtstrecke addieren sich die einzelnen Zeiten des
Stellglieds, des Lautsprechers und der Schallausbreitungszeit zwischen Membran
und Mirkophon zu einer großen Totzeit. Die Störungen durch Fremdeinflüsse sind
sehr groß und die Regelschleife ist nur schwer zu dimensionieren.
1.2.2 Statische und dynamische Messwandler
Eine statische sowie eine dynamische Messung des Membranzustands ist nur
durch eine Ortsbestimmung möglich. In den letzten Jahren wurden für die Wegmessung folgende Sensoren entwickelt:
CCD-Element:
Mit einem CCD-Element kann die Membranbewegung x verfolgt und somit die
statische Auslenkung ermittelt werden. Die Genauigkeit ist durch das Arbeitsprinzip, nämlich das Aufsammeln von einzelnen Photonen in einer Potentialmulde des
CMOS Sensors, auf dessen geometrische Dimensionen beschränkt ( m-Bereich).
Die notwendige Ortsauflösungsgenauigkeit von bis zu 96 dB bei einer Maximalauslenkung von 12 mm lässt sich nicht erreichen.
Laser-Vibrometer:
Das Laser-Vibrometer ist zwar ein sehr teueres Verfahren [Med, 2001] um die
Ortsauflösung zu gewinnen, erreicht aber die geforderten Ortsauflösungen von ca.
200 nm.
Photodiode:
Distanzmessung durch Intensitätsänderung der Beleuchtungsstärke auf eine Photodiode, hervorgerufen durch eine Abstandsveränderung zur Lichtquelle, ist nur
für kleine Amplituden linear [Gies, 1978]. Das Verwenden einer Blende [Lukavsky, 1977] [Rau, 1986], die den Lichtweg von einer Lichtquelle zum Photosensor in Abhängigkeit von der Position der Membran abdeckt, ergibt wegen der
inhomogenen großen Beleuchtungsfläche nur bei kleinen Amplituden einen linearen Verlauf. Durch Eigenresonanzen des mechanischen Aufbaus ist es schwer eine
Regelung zu erstellen. Ein Abgleichen der Membranstellung auf die Ruhelage des
ungeregelten Systems ist nur durch eine Eichung der Apparatur möglich.
4
1.3 Steuern und Regeln
1.3 Steuern und Regeln
Durch Steuern mit der inversen Funktion der nichtlinearen Verzerrungen GK-1(x)
ist eine Beseitigung der Nichtlinearitäten möglich. Das Stabilitätskriterium reduziert sich auf die Filterfunktion GK-1(x). Ein Modell ist nie vollständig vorhersagbar, da Parameterschwankungen im Betrieb das Modell ändern. Eine Steuerung
durch iteratives Adaptieren mit entsprechender Vorfilterung des einprägenden
Signals ist notwendig [Klippel, 1992]. Für die Steuerung kommen nichtlineare
Filter zum Einsatz [Farina, at. Al. 1998], die auf Volterra-Reihen oder MirrorFiltern basieren [Klippel, 1998] [Schurer, 1997] [Suykens, Vandewalle, 1995]
[Schurer, at. al., 1997]. Im Gegensatz zum Steuern muss beim Regeln nicht das
ganze Modell genau erfasst sein. Durch die Beobachtung mit einem Sensor ist
eine Reduzierung der nichtlinearen Verzerrungen in einem geschlossenen System
möglich, ohne die Strecke vollständig zu kennen [Föllinger, S. 16, 1994].
F(x)
Lautsprecher
Modell
UE
F´(x)
-
+
U in
Sensor
-1
G K(x)
F(x)
Fehler
G K(x)
Abb. 1 Methode zum Generieren von nichtlinea- Abb. 2 zeigt die Korrekturfunktion, die den
ren Modellparametern [Klippel, 2003]. Aus der Lautsprecher steuert, um die vorhersagbaren
Übertragungsfunktion F´(x) wird eine Korrektur- linearen und nichtlinearen Verzerrungen zu
funktion GK(x) errechnet.
minimieren. Alle linearen und nichtlinearen
Parameter müssen bekannt sein [Föllinger, S. 9,
1994].
1.4 Fortschritt durch Regelung mit optischer linearer Wegmessung
Beim Lautsprecher bietet es sich an, eine lineare Erfassung der Wegauslenkung
der Schwingspule als Istwert zu verwenden. Der Weg der Antriebsspule stellt die
letzte mechanische Zustandsgröße zwischen Schallfeld und elektrischen Komponenten dar. Alle Nichtlinearitäten, die aus der Messwerterfassung resultieren,
erzeugen im geregelten Fall neue Nichtlinearitäten in der Membranbewegung. Es
ist deshalb wichtig eine lineare Erfassung der Istgröße mit einem Übertragungsbereich von bis zu 100 kHz und einer Auflösung von 96 dB zu entwickeln. Schwingt
der Lautsprecher nicht um seine Ruhelage, steigen die nichtlinearen Verzerrungen
überproportional an. Im Gegensatz zu den bisherigen Regelkreisen, die auf dem
Prinzip der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsmessung beruhen, ist bei der
hier verwendeten Wegmessung die tatsächliche Position bekannt und der Lautsprecher kann mit gezielter Beeinflussung durch die Stellgröße wieder in seine
1. Kapitel
Einleitung
5
Ruhelage gebracht werden. In der Patentanmeldung DE 102 56 033.1 [Geiger,
2002] wurde gezeigt, dass solch ein System unter Zuhilfenahme eines PositionSensitive-Detektors (PSD) [Sitek, 2002] und eines realen PID-Reglers zu verwirklichen ist. Die Ordnung des Systems ist so gering wie möglich zu halten um die
Regelung des Lautsprechers zu ermöglichen.
Durch folgende Maßnahmen lässt sich die Ordnung des Systems reduzieren:
Ein Stromverstärker wird zum Stellen der Membranauslenkung eingesetzt. wodurch die elektrischen Komponenten aus der Übertragungsfunktion des Weges
eliminiert werden. Die Membranauslenkung ∆x des elektrodynamischen Lautsprechers ist direkt proportional zum Strom. Die Beobachtung der Membranauslenkung geschieht durch eine optische lineare Positionserkennung in Echtzeit.
Zusätzlich zur mechanischen Resonanz besitzt der Lautsprecher auf der Membranoberfläche mechanische Eigenschwingungen, die für eine stabile Regelung
kompensiert werden müssen.
Die Wegmessung muss in Echtzeit mit geringer Phasenverschiebung erfolgen.
Eine hohe Wegauflösung über mehrere Dekaden mit geringem Rauschen ist erforderlich. Für die Sensorik ist ein Position-Sensitive-Detector (PSD) in Kombination mit einem Beleuchtungselement ideal. Es wurde eine Anordnung auf Reflexionsbasis für die Voruntersuchungen (Kap. 4.2.3.1) verwendet. Der größte
Vorteil liegt im einfachen, kostengünstigen und schnellen Aufbau. Durch die
langen Lichtwege zwischen Sensor, Laser und zu detektierender Membran sind 96
dB Störmessabstand wegen den dort entstehenden Eigenschwingungen des Messaufbaus nur schwer zu erreichen. Ein verkleinerter mechanischer Aufbau (Kap.
4.2.3.2) mit kurzem Strahlengang, im Antrieb eingebettet, beseitigt diesen Nachteil.
6
2 Bestimmung der Lautsprecherparameter
2 Bestimmung der Lautsprecherparameter
In der heutigen Audiotechnik werden die Thiele-Small-Parameter [Thiele, 1976]
[Small, 1971] zur Charakterisierung von Lautsprecherchassis verwendet. Diese
Methode wurde entwickelt zur Optimierung der Systemantwort oder zur Filteroptimierung um die Lautsprecherimpedanz an den Leistungsverstärker anzupassen.
Die elektrische Impedanz (Abb. 11) des elektrodynamischen Lautsprechers wird
in der Nähe der mechanischen Resonanz durch Vernachlässigen der Induktivität
Lel, der Schwingspule und der Schallkomponenten (Cs, Rs) wegen deren geringen
Einflusses vereinfacht. Das vereinfachte transformierte Lautsprechermodell besteht nur noch aus den transformierten mechanischen Elementen (Cm, Lm, Rm) und
dem elektrischen ohmschen Widerstand Rel (Abb. 3).
R el
Abb. 3 zeigt die Vereinfachung der
elektrischen
Ie
U in
Bestimmen
Impedanz
der
zum
Thiele-Small-
Parameter. Es wird zwischen drei
Rm
Cm
Lm
Schwingkreisen unterschieden. Der
rein mechanische Schwingkreis mit
der Güte QMS, der elektrische
Schwingkreis mit der Güte QES und
die
Mechanische Güte Q MS
Elektrische Güte Q ES
Gesamt Güte
Q TS
Güte
QTS
des
gesamten
Schwingkreises.
Bei der vereinfachten Impedanz wird unterschieden zwischen einer elektrischen
Güte QES mit den Elementen Cm, Lm und Rel, einer mechanischen Güte QMS mit
Cm, Lm und Rm und einer Gesamtgüte QTS bestehend aus allen beteiligten Elementen mit Cm, Lm, Rm und Rel.
Mit dem 3 dB-Punkt in der elektrischen Impedanz lässt sich die Gesamtgüte QTS
bestimmen. Für die mechanische Güte gibt es keinen 3 dB-Punkt in der elektrischen Impedanz. Er kann jedoch aus der Gesamtgüte (Gl. 1) errechnet werden.
Für die Bestimmung der mechanischen Güte ist eine Wichtung notwendig. Durch
Ablesen aus Abb. 4 wird die maximale Impedanz ZMax =Rel + Rm und der ohmsche Widerstand Rel bestimmt und der Faktor r0 berechnet.
!!!!!!
An der Stelle Rel r0 werden die Grenzfrequenzen fa und fb bestimmt und die
mechanische Güte (Gl. 3) ermittelt.
2. Kapitel
Bestimmung der Lautsprecherparameter
7
Ze
€€€€€€
€
W
Zmax
20
15
10
!!!!!!
Rel r0
5
Rel
10
20
30
fa fDm fs
40
f
€€€€€€€
Hz
fb
Lautsprecherimpedanzmodell Ze
Messung Ze
Messung Ze mit Zusatzmasse Dm
Abb. 4 zeigt die elektrische Impedanz zur Bestimmung der Thiele-Small-Parameter.
Mit der mechanischen Güte QMS, der mechanischen Resonanzfrequenz fs (Gl. 5),
dem elektrischen Widerstand Rel und der maximalen Impedanz Zmax lassen sich
alle transformierten Elemente Cm, Lm und Rm, aus den folgenden Gleichungen
berechen:
QMS QES
QTS = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
(Gl. 1)
QMS + QES
È ZMax È
r0 = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€
Rel
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
fa fb r0
QMS = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
fb - fa
QMS =Ω0 Cm Rm
(Gl. 2)
(Gl. 3)
(Gl. 4)
8
2 Bestimmung der Lautsprecherparameter
1
2Π fs = Ω0 = €€€€€€€€
€€€€€€€€€€
!!!!!!!!!!!!
Cm Lm
R
Lm = €€€€€€€€m€€€€€€€ (Gl. 6)
Ω0 QMS
QMS
Cm = €€€€€€€€
€€€€€
Ω0 Rm
(Gl. 5)
(Gl. 7)
Rm =AbsHZMax L-Rel
(Gl. 8)
Die mechanischen äquivalenten Elemente errechnen sich aus den transformierten
elektrischen Komponenten wie folgt:
mm
M2
2 = €€€€€€
M2
(Gl. 9)
(Gl. 10)
(Gl. 11)
M
€
k
=
€€€€€€
€
m
Dm = €€€€€€€
Cm
Rm
L
m
[Small, 1971] [Small, 1976]
Durch Auflegen einer bekannten Zusatzmasse m [Stark, 1999] verschiebt sich
die mechanisch verursachte Resonanzstelle der elektrischen Impedanz. Aus der
frequenzverschobenen und nicht verschobenen mechanischen Resonanzfrequenz
(fs, fz) in der elektrischen Impedanz folgt die mechanische Membranmasse mm
aus:
Dm
mm = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
fs 2
L
-1
H €€€€€€
(Gl. 12)
fz
Sie ist notwendig um den fehlenden Kraftfaktor M (Gl. 10) zu berechnen. Ohne
diese Messung kann der Kraftfaktor [Rausch, 2001, S. 54] auch durch eine Federprüfmaschine [Wolpert-Werke, 1994] bestimmt werden. Beide Messungen sind
ohne Beeinflussung des Systems nicht möglich.
3. Kapitel
Modellierung des Schallfelds
9
3 Modellierung des Schallfelds
Schallwellen propagieren in isotropen Medien als kugelsymmetrische Wellenzüge
[Leichsenring, 1996, S. 32] mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit in Luft
c = 340m/s. Die homogene partielle Differentialgleichung (Gl. 13) mit dem
Schallschnellepotential Φ ermöglicht eine einfache Beschreibung des Schalldrucks in späherischen Koordinaten.
2
r
r2
1
c2
2 r
t2
(Gl. 13)
Das Ansetzen des Schnellepotentials Φ multipliziert mit der Ausbreitungsvariablen r, reduziert das Lösen der Differentialgleichung durch die radiale Symmetrie
auf das eindimensional ebene Wellenproblem (Gl. 14) mit der Wellenzahl k und
die durch Randbedingungen festzulegenden Konstante A.
Es folgt:
r
A
jk ct r
A
r
jk ct r
(Gl. 14)
Die partielle Ableitung des Schnellepotentials Φ nach der Zeit beschreibt den
Druckverlauf p (Gl. 15) in Richtung des radialen Einheitsvektors er.
Die Schnelle des Schallfeldes v (Gl. 16) errechnet sich durch die partielle Ableitung nach dem Ort. Der Druck p und die Schnelle v sind Lösungen des ungedämpften homogenen Systems.
¶F
A
p
€ =-j Ρ0 k c €€€€ ã j k Hc t-rL
=-Ρ0 €€€€€€€€
¶t
r
® ¶F
kA
A j k Hc t-rL
j k Hc t-rL - €€€€€€
v
ۋ
=er €€€€€€€€€ =-j €€€€€€€€ ã
¶r
r
r2
:
0
k:
(Gl. 15)
(Gl. 16)
Dichte der Luft
Kreiswellenzahl
Die Kraft Fsch (Abb. 5), entsehend durch eine oszillierende virtuelle Luftkugel,
die aus der Ruhelage (Abstand R) um ∆r ausgelenkt wird, ergibt die Belastung der
Kugel auf das antreibende Element (Membranoberfläche). Diese Kraft (Gl. 17)
errechnet sich durch Integrieren des auf der Oberfläche senkrecht stehenden
Drucks p (Gl. 15) über die gesamte Kugelfläche FA der sich bewegenden Luftmassen. Sie bestimmt die Rückwirkung des abgestrahlten Schallfeldes auf den Antrieb.
Fsch =à p
âr=p×FA
R
(Gl. 17)
0
Die mechanische Impedanz ist definiert als Kraft pro Geschwindigkeit v eines
Elements und ergibt für die mechanische Schallimpedanz:
10
3 Modellierung des Schallfelds
Fsch
Zsch = €€€€€€€€
€€€
v
(Gl. 18)
Durch Einsetzen der Kraft Fsch (Gl. 17), des Drucks p (Gl. 15) und der Geschwindigkeit v (Gl. 16) ergibt sich:
s
Fsch

€€€ =FA R Ρ0 €€€€€€€€€€€€€€€€
(Gl. 19)
Zsch
= €€€€€€€€
R€ s€€
v
1 + €€€

c
s:
komplexe Kreisfrequenz j·ω
FA:
Oberfläche der oszillierenden Luftkugel in Ruhelage
R:
Radius der ruhenden Kugel
mechanisches
Schallfeldmodell
r
R
Fsch
R+∆ r
k sch
v1
m sch
v2
v sch
Lautsprecherchassis
Abb. 5 zeigt die oszillierende virtuelle Luftkugel mit der
Abb. 6 zeigt die Modellierung des
Kugeloberfläche FA. Die Oberfläche oszilliert im Abstand
komplexen räumlich ausgedehn-
R um die Auslenkung ∆r in sphärischen Koordinaten. Es
ten sphärischen Schallfelds mit
entsteht durch die atmende Kugeloberfläche eine Kraft Fsch,
vereinfachten mechanischen kon-
die auf das antreibende Element, die Membranoberfläche,
zentrierten Elementen.
zurückwirkt.
Die Übertragungsfunktion der Schallimpedanz Zsch eines Kugelstrahlers (Gl. 19)
ist identisch mit der mechanischen Impedanz (Gl. 23) eines seriellen mechanischen Masse-Dämpfungsglieds (msch-ksch).
Durch die Serienschaltung wirkt die einprägende Kraft Fsch gleichermaßen auf den
idealen masselosen mechanischen Dämpfer (Gl. 21) und auf die ideale konzentrierte mechanische Masse (Gl. 20). Die Geschwindigkeiten der konzentrierten
Elemente addieren sich zu einer Gesamtgeschwindigkeit vsch.
F =m
v =m
s v
(Gl. 20)
sch
sch
1
sch
1
Fsch =ksch v2
(Gl. 21)
vsch =v1 +v2
(Gl. 22)
3. Kapitel
Modellierung des Schallfelds
11
Durch ins Verhältnis setzen der einprägenden Kraft Fsch zur resultierenden Geschwindigkeit vsch ergibt sich mit den Gleichungen (Gl. 20), (Gl. 21) und (Gl. 22)
die mechanische Impedanz Zsch (Gl. 23).
Fsch
s
Zsch = €€€€€€€€
€€€ = msch €€€€€€€€€€€€€€€€
msch€€€€€€€€€
v
1 + €€€€€€€€
€ s
k
(Gl. 23)
sch
Der Koeffizientenvergleich zwischen der mechanischen Impedanz, errechnet aus
dem Schallfeld (Gl. 19), und der Impedanz, errechnet aus konzentrierten mechanischen Elementen (Gl. 23), ergibt die äquivalente Masse- und Dämpfungskonstante
(msch, ksch) des äquivalenten mechanischen Masse-Dämpfungsschwingers.
msch =FA R Ρ0
(Gl. 24)
ksch =FA c Ρ0
(Gl. 25)
msch:
äquivalente Masse
ksch:
äquivalente Dämpfungskonstante
Eine Serienschaltung aus zwei konzentrierten mechanischen Elementen modelliert
die Rückwirkung des komplexen räumlich ausgedehnten Schallfeldes auf eine
kugelförmige Lautsprechermembranfläche.
Eine weitere einfache und geschlossene Lösung für die Belastung des Lautsprechers ist nur für den Kreiskolben möglich (Abb. 7):
K1 H2 zL
J1 H2 zL
€€€€ L+j €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€ L
Zko =c×Ρ0 ×FA HH1- €€€€€€€€€€€€€€€€
(Gl. 26)
z
2 z2
z
c
R
J1(2 z)
K1(2 z)
(Gl. 27)
:
:
Besselfunktion erster Ordnung
Struvefunktion erster Ordnung [Leichsenring, 1996, S. 39]
Für große Wellenlängen gegenüber dem Radius R der Lautsprechermembran
[Kollmeier, 2004] (Gl. 28) verhält sich die Schallquelle wie ein idealer Punktstrahler, der in eine unendlich große Wand eingebaut ist.
2Π
Ω
ÈkÈ R = €€€€€€€€ R = €€€€ R << 1
(Gl. 28)
Λ
c
Im Fernfeld ist nicht zu erkennen, ob das erzeugende Element punkt-, kugel-,
kreiskolben- oder trichterförmig ist. Die Trichterform der Lautsprechermembran
wirkt sich nicht aus. Der Trichter kann für große Wellenlängen durch einen Kolbenstrahler ersetzt werden. Die Oberfläche des Kugelstrahlers ist somit mit der
Fläche des Kolbenstrahlers gleichzusetzen, was zu einer Normierung des Radius
Räq des Kugelstrahlers auf den Radius des Kolbenstrahlers Rko führt.
Rko
Räq = €€€€€€€€€
(Gl. 29)
!!!!
2
12
3 Modellierung des Schallfelds
Der Radius des idealen Kolbens Rko entspricht dem Radius eines elektrodynamischen Lautsprechers in einem schallreflexionsarmen Raum. Eine bessere
Übereinstimmung der komplizierten komplexen Impedanz Zsch für Kolbenstrahler
(Abb. 7) kann für niedrige Wellenlängen durch Erhöhung der Schallmasse msch
[Leichsenring, 1996, S. 40] eines Masse-Dämpfungs-Gliedes bzw. eines Kugelstrahlers um 20 % erreicht werden. Ein einfaches lineares Modell für die komplizierten Vorgänge der Rückwirkung der Schallwellenabstrahlung auf die Membranbewegung stellt somit das mechanische Ersatzschaltbild in Abb. 6 dar.
Zsch
ReH €€€€€€€€
€€€€€€€€€ L
c Ρ0 FA
1
0.001
Zsch
AbsH €€€€€€€€
€€€€€€€€€ L
c Ρ0 FA
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
Zsch
ImH €€€€€€€€
€€€€€€€€€ L
c Ρ0 FA
j HZsch L
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€
°
80
0.1
0.01
f
€€€€€€€
10 100 1k 10k Hz
0.5
f
€€€€€€€
100 1k 10k Hz
60
0.2
0.1
0.05
40
20
f
0.02
€€€€€€€
10 100 1k 10k Hz
100
1k
f
€€€€€€€
Hz
10k
Kolbenwellennäherung
Kugelwellennäherung
angepasste Kugelwellennäherung
Abb. 7 zeigt die transformierte elektrische komplexe Schallfeldimpedanz Zsch (Gl. 23) eines mechanischen Dämpfungs-Masseschwingers und deren Phasenlage. Der Verlauf der Impedanz und der
Phase eines idealen Kugelwellenfeldes (Gl. 19) entspricht dem Verlauf des DämpfungsMasseschwingers. Der Betrag des komplizierten Impedanzverlaufs (Gl. 26) eines Kolbenstrahlers
geht bei niedrigen Frequenzen in den Impedanzverlauf eines Kugelstrahlers bei 20 %-iger Erhöhung
der Schallmasse msch über. Dies führt zu einem einfacheren linearen Modell für niedrige Frequenzen.
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
13
4 Beschreibung der Hardware-Komponenten
Um ein System gut regeln zu können, ist es wichtig die Strecke, das Stellglied und
den Istgrößensensor durch ein gutes Modell zu charakterisieren und durch eine
Systemfunktion zu beschreiben. Ein solches Modell entsteht durch Umwandeln
der Hardwarekomponenten unter Beachtung der physikalischen Besonderheiten in
idealisierte Komponenten. Mechanische reale Komponenten werden durch punktförmige Masseelemente, Dämpfer ohne Masse oder dämpfungsfreie, masselose
Federn ersetzt. Für reale elektrische Komponenten werden ideale Strom- und
Spannungsquellen, Kondensatoren, Induktivitäten, Widerstände und LaplaceFunktionen eingesetzt.
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
Ein gewöhnlicher Lautsprecher besitzt eine komplexe Struktur. Er besteht aus
elektrischen und mechanischen Komponenten. Das Schallfeld, erzeugt durch die
mechanischen Bauteile, wirkt sowohl auf diese, als auch auf die elektrischen
Komponenten zurück. Die mechanischen Elemente des Lautsprechers und das
räumlich verteilte Schallfeld sind ausgedehnte Objekte. Sie sind nur durch partielle Differentialgleichungen zu beschreiben. Auch die elektromagnetischen Effekte
haben räumlich ausgedehnte Dimensionen. Wirbelströme verteilen sich über den
ganzen Weicheisenkern (Abb. 8) des Lautsprechers und ergeben mathematisch
nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Die Entwicklung eines Reglers für
einen elektrodynamischen Lautsprecher lässt sich wesentlich vereinfachen, wenn
sich Lösungen der partiellen Differentialgleichung durch lineare Lösungen annähern lassen. Für den elektrodynamischen Lautsprecher wird eine solche Modellbildung beschrieben.
4.1.1 Mechanisches Modell
Der elektrodynamische Lautsprecher (Abb. 8) besteht aus einer kegelförmigen
Membran, die an der Sicke und mit der Zentriermembran am Chassis befestigt ist.
Die mechanisch ausgedehnten Objekte Sicke und Zentriermembran können durch
ideale konzentrierte Elemente [Zwicker, 1998] zu einem einfachen mechanischen
Modell (Abb. 9) zusammengefasst werden. Sicke und Zentriermembran bestehen
aus einer dämpfungsfreien idealen Feder Dm ohne Masse, einem punktförmigen
idealisierten Dämpfungsglied km ohne Masse und einer idealen punktförmigen
Masse mm. Die Membran wird als idealisiert starr und ohne Dämpfung betrachtet
und besteht somit nur aus einer idealen punktförmigen Masse. Durch diese Annahmen vereinfachen sich Sicke, Zentriermembran und Membrantrichter zu einem
mechanischen Resonator aus drei idealen konzentrierten mechanischen Elementen
(Masse, Dämpfungsglied und Feder). Das Schallfeld wird als mechanisches Masse-Dämpfungs-Serienelement modelliert (Kap. 3).
14
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
Sicke
Membran
Membran
Zentriermembran
Rahmen
Vereinfachung
Schallfeld
∆
ksch
m
sch
Zentrier- Dm k m m m
membran
Schwingspule
Permanentmagnet
∆
Chassis
Weicheisenkern
F in
~
K
Lautsprecher Chassis
Abb. 8 Schnitt durch einen elektrodynamischen
Abb. 9 Modellbildung durch konzentrierte mecha-
Lautsprecher.
nische Elemente. Ausgedehnte Objekte werden als
ideal und punktförmig angenommen. Eine Kraftquelle K erzeugt durch die auf die Schwingspule
des Lautsprechers eingeprägte Kraft Fin die Membranbewegung ∆x.
Auf die mechanischen konzentrierten Elemente wirken folgende idealisierte Feder- (Gl. 30), Masse- (Gl. 31) und Dämpfungskräfte (Gl. 32):
Fmm =mm ×D Ð
x=mm ×s2 ×Dx
FDm =Dm ×Dx
(Gl. 30)
(Gl. 31)
Fkm =km ×D x=km ×s×Dx
(Gl. 32)
Das Schallfeld erzeugt eine rückwirkende Kraft Fsch auf die Membranoberfläche.
s
Fsch = msch €€€€€€€€€€€€€€€€
(Gl. 33)
msch€€€€€€€€€ D x
1 + €€€€€€€€
€
s
k
sch
Die Summation (Gl. 34) der mechanischen idealisierten Gesamtkraft Fmech (bestehend aus den Teilkräften FD, Fm und Fk) und der mechanischen Näherung der
akustischen Kräfte Fsch (Gl. 24) an der Schwingspule ergibt mit dem linearen
Lösungsansatz (Gl. 36) die Reaktionskraft Fin des Gesamtmodells.
Fin =Fmech +Fsch =FDm +Fmm +Fkm +Fsch
(Gl. 34)
Dm s
Fin = €€€€€€
€ D x+km D x+mm s D x+msch €€€€€€€€€€€€€€€€
msch€€€€€€€€€ D x
s
€
s
1 + €€€€€€€€
k
(Gl. 35)
sch
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
15
Linearer Lösungsansatz zum Lösen der Kräftegleichungen:
x
(Gl. 36)
es t
Das Verhältnis der mechanischen idealisierten Kraft Fin zu der resultierenden
mechanischen Geschwindigkeit v ergibt die mechanische Ersatzadmittanz Ymech.
v
Ymech = €€€€€€€€€
(Gl. 37)
Fin
1
Ymech = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€
s ksch msch
Dm
€€€€€
€
+
k
+
s
m
+
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
m
m
s
k +s m
sch
(Gl. 38)
sch
mm:
ideale mechanische Massekonstante der Lautsprechermembran
km:
ideale Dämpfungskonstante der Lautsprechermembran
Dm:
ideale Federkonstante der Lautsprechermembran
4.1.2 Anbindung der mechanischen an die elektrischen Komponenten
Bei elektromechanischen Lautsprechern ist die Anbindung zwischen elektrischem
Antriebskreis und mechanischen Komponenten über die Lorentzkraft FL (Gl. 39)
gegeben. Diese wird über eine (Kap. 4.1.2) oder zwei (Kap. 4.1.6) Schwingspulen
auf die mechanischen Komponenten übertragen.
FL = B0 l Ie
(Gl. 39)
Die aus den elektrischen Elementen senkrecht zur Spulenfläche A resultierende
mechanische Kraft FIn auf die Schwingspule, hängt quadratisch vom magnetischen Gesamtfluss (Gl. 40) [Küpfmüller, S.249, 1936] durch die Spule ab.
Fin ~Y2
(Gl. 40)
Dem magnetischen Wechselfluss des Antriebs Le·Ie ist ein konstantes Magnetfeld
mit dem Fluss 0 überlagert. Mit der Randbedingung, dass der Wechselfluss Le·Ie
viel kleiner als der konstante Fluss 0~B0 ist, ergibt sich der lineare Zusammenhang (Gl. 41) zwischen der Kraft FIn und dem Strom Ie.
Fin ~2×Y0 ×Le ×Ie ~B0 ×Le ×Ie ~B0 ×Ie
(Gl. 41)
Die Näherung entspricht der Lorentzkraft. Durch diese Kraft Fin (Gl. 42) findet die
Anbindung des elektrischen Kreises an den mechanischen Ersatzkreis (Abb. 10)
statt.
Fin = M Ie
(Gl. 42)
Die aus der Schwingspulenbewegung ∆x resultierte Geschwindigkeit v führt zu
einer elektromotorischen rückwirkenden Induktionsspannung Uemk im elektri-
16
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
schen Kreis. Ursache für diese Rückwirkung ist die übernommene infinitesimale
mechanische geleistete Arbeit dA (Gl. 43) [Küpfmüller, S. 251, 1941] bei erforderlicher infinitesimaler elektrisch verrichteter Arbeit dW (Gl. 44).
d Dx
dA = Fin €€€€€€€€€€ dt = M Ie v dt
dt
(Gl. 43)
dW
 = Uemk Ie dt
(Gl. 44)
Der Koeffizientenvergleich zwischen der mechanischen Arbeit (Gl. 43) und der
elektrischen verrichteten Arbeit (Gl. 44) ergibt die elektromotorische Spannungsrückwirkung in den elektrischen Kreis, verursacht durch die Geschwindigkeit v
der mechanischen Bewegung x der Schwingspule.
Uemk = M v
(Gl. 45)
Die Maschenregel, angewandt auf den elektrischen Kreis (Abb. 10), verknüpft die
mechanische Bewegung x mit den elektrischen Elementen.
Uin =URel +ULel +M v
(Gl. 46)
Das Verhältnis aus Spannung Uemk (Gl. 45) zum elektrischen Strom Ie (Gl. 42)
ergibt mit der Definition des mechanischen Widerstands (Gl. 37) Ze,m.
Uemk
Ze,m = €€€€€€€€
€€€ =Ymech ×M2
(Gl. 47)
Ie
Die Auswirkungen im elektrischen Kreis lassen sich als elektrischer Widerstand
interpretieren, dessen Ursprung in der mechanischen Bewegung des Lautsprechers
liegt.
Die komplexe Impedanz Ze des Lautsprechers mit mechanischer Rückwirkung
und elektrischen Komponenten errechnet sich zu:
Ze =Zel +M2 Ymech
M2
Ze =HRel +s×Lel L+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€
s ksch msch
Dm
€€€€€
€
+
k
+
s
m
+
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
m
m
s
k +s m
sch
(Gl. 48)
(Gl. 49)
sch
4.1.3 Einfaches Schwingspulensystem
Die elektromotorische Kraft Fin resultiert aus der Überlagerung des magnetischen
Wechselfelds B~ der Schwingspule und des statischen Magnetfelds B0 des Permanentmagnets. Die mechanische Kraftquelle K prägt die Kraft Fin (Gl. 42) auf die
Schwingspule des Lautsprechers ein und beschleunigt sie auf die Geschwindig•
keit Dx= v
.
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
R el L el I e
U in
Uemk
Fin
K
Mv
MI e
v
~
17
Mechanische Elemente
∆x
Dm
km
Schallfeld
k sch
mm
m sch
M-Wandler
Lautsprecherchassis
Abb. 10 Ankopplung der mechanischen Elemente an den elektrischen Kreis.
Die Anbindung der mechanischen Komponenten an die elektrischen Komponenten beschreibt der M-Wandler (Abb. 10), der wiederum vom elektrodynamischen
physikalischen Wandlerprinzip bestimmt ist. Der Strom Ie im elektrischen Kreis
erzeugt eine Kraft Fin (Kraftquelle K) auf die mechanischen Elemente. Im Gegensatz dazu erzeugt die bei einem elektrostatischen Wandler anliegende Spannung
eine Kraft auf die mechanischen Elementen (N-Wandler).
Ein einfaches elektrisches Ersatzschaltbild (Abb. 11) ergibt sich durch Transformation der mechanischen und Schallelemente in elektrische Komponenten. Die
Abbildungsvorschrift für die Transformation resultiert aus der elektrischen Impedanz Ze (Gl. 49), die mit vergleichbaren elektrischen Komponenten wie folgt
aussieht:
1
Ze =HRel +s×Lel L+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s×Cs€€€€€€€€€€€€
1
1 € + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€ + €€€€€
s × Cm + €€€€€€€€
1€€€€€€€€€€€
s×L
R
m
m
Is×Cs + €€€€€€
Rs M Rs
(Gl. 50)
Der Koeffizientenvergleich bringt die Zuordnung der mechanischen konzentrierten Elemente zu äquivalenten elektrischen Komponenten.
Cm
mm
M2
(Gl. 51)
Rm
M2
km
(Gl. 52)
Lm
M2
Dm
(Gl. 53)
Cs
ms
M2
(Gl. 54)
Rs
M2
ks
(Gl. 55)
nm
1
Dm
(Gl. 56)
Cm:
elektrische Ersatzkapazität der Membran
Rm:
elektrischer Ersatzwiderstand der Membran
Lm:
elektrische Ersatzinduktivität der Membran
nm:
Nachgiebigkeit der Membran
Cs:
elektrische Ersatzkapazität des Schallfelds
Rs:
elektrischer Ersatzwiderstand des Schallfelds
Der mechanische Teil des Lautsprechers, mit Sicke, Zentriermembran und Membrankonus, wird durch einen elektrischen Rm-Cm-Lm-Parallelschwingkreis nachgebildet. Das ausgedehnte Schallfeld ersetzt eine Rs-Cs-Kombination. Die Auslenkung x ist proportional zum Strom durch die Induktivität Lm der Schwingspule.
18
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
Eine Messung der komplexen Impedanz des Lautsprechers mit den mechanischen
Elementen lässt sich am einfachsten mit einer idealen Stromquelle durchführen.
Uin ist direkt proportional zum einprägenden Strom Ie. Die am Ausgang entstehende Spannung ist somit direkt proportional zur komplexen Impedanz Ze.
Uin
Ze = €€€€€€€€
€
(Gl. 57)
Ie
R el
I~ ∆ x
Ie
U in
Schallfeld
Mechanische Elemente
L el
Cs
Rm
Cm
Lm
Rs
Abb. 11 zeigt das äquivalente elektrische Lautsprechermodell zu Abb. 10. Die mechanischen
Komponenten sind durch elektrische konzentrierte Elemente ersetzt. Der Strom durch die Induktivität Lm, ist proportional zur Auslenkung der Schwingspule ∆x.
4.1.4 Übertragungsfunktion der Wegauslenkung
Aus dem Verhältnis Ortsauslenkung x (Gl. 42) zu einprägendem Strom Ie (Gl.
35) lässt sich die Wegübertragungsfunktion F (Gl. 58) mit Real- Re(F) und Imaginärteil Im(F) und die daraus resultierende Phasenbeziehung (F) (Gl. 61) ermitteln. Der Betrag der Wegauslenkung F hängt bei Stromeinprägung Ie (Abb. 10)
nicht mehr von den elektrischen Komponenten Rel und Lel ab. Der eingeprägte
Strom wirkt direkt auf die Kraftquelle K. Die Phase von F ist zusätzlich, durch das
Verhältnis von Realteil zu Imaginärteil, nicht mehr mit dem Kraftfaktor M verknüpft.
1
Dx M
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€
F= €€€€€€€ = €€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s ksch msch
D
m
Ie
s €€€€€€ + km + s mm + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
s
k +s m
sch
(Gl. 58)
sch
2
2
2
4 Π f ksch msch
€€€€€€€€€€€€€€€€€
km + €€€€€€€€€€€€€€€€
2
M
k2sch +4 Π2 f2 msch
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€
ImHFL= €€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
2
2
2
2fΠ
4 Π2 f2 ksch msch
k2sch msch
Dm
+
I
€€€€€€€€
€
€
2
Π
f
Im
+
€€€€€€€€€€€€€€€€
€
€€€€€€€
€
€€€€€€€
€
€€€€€€€
€
€€€€€€€€
M
MM
Ikm + €€€€€€€€€€€€€€€€
m
2
2
2 2 2
2 2 2
2fΠ
ksch +4 Π f
msch
ksch +4 Π f msch
(Gl. 59)
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
19
2
2 Π f ksch msch
Dm
€€€€€€€€
€€ - 2 f Π mm - €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€
2
2Πf
M
k2sch +4 Π2 f2 msch
ReHFL= €€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€
2
2
2
2
2
2Πf
4 Π f ksch msch
k2sch msch
Dm
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€
€€€€€€€
+
I
2
Π
f
Im
+
€€€€€€€€
€
€€€€€€€€
M
MM
Ikm + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€
€
m
2
2
2 2 2
2 2 2
2fΠ
ksch +4 Π f
ksch +4 Π f msch
msch
(Gl. 60)
2
2
2
4 Π f ksch msch
km + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€
2
k2sch +4 Π2 f2 msch
jHFL=ArctTan- €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€ +n
2 Π f k2sch msch
Dm
€€€€€€€€
€
€
2
f
Π
m
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
m
2
2
2 2 €€€€€€€€€
2fΠ
ksch +4 Π f
0
Π
- €€€€
2
n=
-Π
(Gl. 61)
msch
ReHF
L0
ReHF
L=0
ReHF
L€0
Sowohl die Wegauslenkungsübertragungsfunktion F als auch deren Phasenbeziehung sind nur noch von den Verhältnissen av, bv, cv, dv und ev abhängig.
M
km
mm
aV = €€€€€€€
bV = €€€€€€
€
(Gl. 62)
(Gl. 63)
(Gl. 64)
cV = €€€€€€€€
Dm
Dm
Dm
msch
dV = €€€€€€€€
€€€€
Dm
(Gl. 65)
msch
eV = €€€€€€€€
€€€€
ksch
(Gl. 66)
Dies führt zu den folgenden vereinfachten Beziehungen für die Übertragungsfunktion F (Gl. 67) und deren Phasenlage (F) (Gl. 68). Die Vereinfachung setzt sich
mit jeder aus F errechneten Größe fort.
1 + s eV
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€
F=aV €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
(Gl. 67)
2
2
1 + s bV + s cV + s dV + s eV + s2 bV eV + s3 cV eV
2
2
4 Π f dV eV
bV + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
1+4 Π2 f2 e2V
jHFL=ArctTan- €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€ +n
2 Π f dV
1 €€ - 2 Π f c - €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
V
2
2 2€€€€€€€
2Πf
(Gl. 68)
1+4 Π f eV
Die Unstetigkeitsstelle der Phasendefinition bei Re(F) = 0 befindet sich bei der
Frequenz f90°,luf und der Phasenlage 90°.
1
msch
ksch 2 mm
msch
ksch 4 mm
msch 2
Dm
ksch 2 mm
f90 °,luf = €€€€€€€€
€€€€€€€€
€€€€€€
€ % &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
€€€ N J €€€€€€€ + €€€€€€€€
€€€ N + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
1 + 2 J €€€€€€€€
€€€ N J €€€€€€€ - €€€€€€€€
€€€ N + J €€€€€€€€
€€€ N J €€€€€€€ + €€€€€€€€
€€€ N %'
1 - J €€€€€€€€
!!!
! €€ $%%%%%%%%
mm
msch
Dm
Dm
msch
Dm
Dm
msch
Dm
Dm
2 2 Π
*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
i
2 y
z
j
z
j
i
dV
1
e2V
HdV - e2V L y
2 HdV + e2V L
z
j
j
z
j
1 + €€€€€€
= €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€ ( j
€ - €€€€€€
€ + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
€
€€€€€€€
€z
1 + €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€ + €€€€€€€€€€€€€€€€
z
j
z' z
j
z
j
!!!! !!!!!!!
2
z
j
cV
cV
c
c
V
2 Π cV
j
V
{z
k
{
k
(Gl. 69)
Der Informationsgehalt aus dem Phasenverlauf entspricht den vier Parametern
bv, cv, dv und ev. In diesen, ins Verhältnis gesetzten Größen sind die mechanischen Lautsprecherparameter und die Schallfeldparameter enthalten. Die Form
20
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
des Verlaufs der Übertragungsfunktion des Weges F ist mit der Bestimmung der
Phasenparameter bv, cv, dv und ev vollständig beschrieben. Die Bestimmung des
Faktors av (Gl. 62) legt den Ursprung von F bei 0 Hz fest. Er ist bestimmt durch
das Verhältnis des Kraftfaktors M zur Federkonstante Dm der Membran und nur
im Betrag der Übertragungsfunktion des Wegs enthalten.
Der Grenzübergang zu sehr niedrigen Frequenzen (Gl. 70) ergibt die Anbindungskonstante av aus der Wegübertragungsfunktion in Vakuum (Gl. 71) oder
Luft (Gl. 58).
lim ÈFHsLÈ=aV
(Gl. 70)
f®0 Hz
Eine Reduktion der mechanischen Parameter in der Übertragungsfunktion des
Wegs (Gl. 67) ist durch gezielte Manipulation am Lautsprechersystem möglich.
Das Versetzen des Lautsprechers in eine Vakuumumgebung eliminiert die Schallparameter dv, ev.
4.1.4.1 Reduktion der Auslenkungsübertragungsfunktion auf mechanische Komponenten
Der Betrag und die Phase der Übertragungsfunktion des Weges F vereinfachen
sich ohne Schallfeldabstrahlung im Vakuum zu:
1
M
1
€€€€€€€€€€€€€€€€€ = aV €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
Fvak = lim F= €€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
(Gl. 71)
D
m
ksch ®0
s €€€€€€ + km + s mm
H1 + bV s + cV s2 L
s
2 Π f km
jHFvak L= lim jHFL=ArcTan €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€ +n
ksch ®0
-Dm + 4 f2 Π2 mm
2 Π f bV
€€€€€€€€€€ +n
=ArcTan €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
-1 + 4 f2 Π2 cV
n=
0
Π
- €€€€
2
-Π
(Gl. 72)
ReHFvak L0
ReHFvak L=0
ReHFvak L€0
Mathematisch gelingt der Übergang von der Übertragungsfunktion der Wegauslenkung in Luft F zur Vakuummessung Fvak durch den Grenzübergang ksch 0
bei endlicher Schallmasse msch. Die Phase von Fvak hängt wie die Phase der Wegauslenkungsfunktion in Luft F nicht mehr vom Kraftfaktor M ab. Zusätzlich
verschwinden in Betrag und Phase die Schallkomponenten msch und ksch. Die
Schallmasse msch und das Dämpfungsglied ksch sind somit nicht mehr im Lautsprechermodell (Abb. 12) vorhanden.
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
R el L el
Uin
21
M-Wandler Mechanische Elemente
∆x
~
K
Dm
km
mm
Abb. 12 zeigt das Lautsprechermodell. Durch Messen
der
Übertragungsfunktion
des Wegs Fvak im Vakuum
verschwinden die
Lautsprecherchassis
Schall-
elemente msch und ksch (siehe
auch Abb. 10).
Die Unstetigkeitsstelle der Vakuumphasenrelation liegt bei 90° und ist nur noch
abhängig vom Verhältnis (Gl. 73) der mechanischen Parameter Dm zu mm und
nicht mehr von der Dämpfung der Membran.
1
1
Dm
1
€€€€€€
€ % = €€€€€€€€€ €€€€€€€€
f90 °,vak = €€€€€€€€€ $%%%%%%%%
€€€
!!!!!!
mm
2Π
2Π
cV
(Gl. 73)
Eine Taylorreihenentwicklung erster Ordnung um die Unstetigkeitsstelle ergibt:
1
Dm
360
Π
mm
jHFvak LT = €€€€€€€€€€ H- €€€€ -4Π €€€€€€
€€€€€€
€ % LL
€ Hf- €€€€€€€€ $%%%%%%%%
2Π
mm
2Π
2
km
1
cV
1
=H-90-720 €€€€€€
€ Hf- €€€€€€€€ €€€€€€€€
€€€ LL
!!!!!!
2 Π cV
bV
=Dax,vac f+cx,vac
(Gl. 74)
Ein Ermitteln der Verhältnisse cv und bv ist durch Anlegen einer Geraden (Abb.
13) an der Unstetigkeitsstelle leicht möglich. Aus dem Fußpunkt cx der Geraden
und der Steigung a folgen die Konstante cv und bv.
Durch Ermittlung des Maximums (Gl. 65) der Gruppenlaufzeit gr (Abb. 14) bei
der Frequenz f90°,vak (Gl. 73) kann das Verhältnis cv zu bv direkt bestimmt werden.
cv folgt direkt aus dem Ort des Maximus.
d
360
cV
cV Dax,vac
Τgr =- €€€€€€€ jHFvak LÈf90 °,vak = €€€€€€€€€€ H4Π €€€€€€
€ L=720 €€€€€€
€ = €€€€€€€€€€€€€€€€€€
dΩ
2Π
bV
bV
2Π
(Gl. 75)
Die Bestimmung der mechanischen Parameter der Massekonstante mm (Gl. 77)
und der Dämpfungskonstante km (Gl. 76) der Membran ist aus der Phase der
Wegauslenkung Fvak im Vakuum bei bekannter Federkonstante Dm (Gl. 97) vollständig und geschlossen möglich.
180 Dax,vac
km =cv Dm = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€ Dm
Hcx,vac + 90L2 Π2
(Gl. 76)
Dax,vac 2
€€€€€€€€€€€€ Dm
mm =bv Dm = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
4 Hcx,vac + 90L2 Π2
(Gl. 77)
22
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
j HFL
€€€€€€€€€€€€€€
°
600
cx
Modell jHFL
lineare Näherung bei f=90°
jT HFL = Da f+ cx
Steigungsdreieck Da
Modell jHFL mit Unstetigkeitsstelle
400
200
f90 40
20
60
80
f
€€€€€€€
Hz
100
Da
-200
Abb. 13 zeigt die Bestimmung der Steigung a der taylorentwickelten Phase an der Unstetigkeitsstelle f90° und die Gewinnung des Fußpunkts cx.
Τgr HFL
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
f90
20
40
60
-1
d
Τgr HZe L= €€€€€€€€ lim €€€€€€€ jHFLÈf=fg
2 Π fg®f90° df
80
f
€€€€€€€
100 Hz
1 d
Τgr HZe L=- €€€€€€€€ €€€€€€€ jHFL
2 Π df
Abb. 14 zeigt die Bestimmung der Gruppenlaufzeit
bei f90°.
gr.
Das Maximum ist äquivalent zur Steigung a
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
23
4.1.4.2 Bestimmen der Schallabstrahlungsparameter msch, ksch
Eine Taylorreihenentwicklung erster Ordnung um die Unstetigkeitsstelle der
Wegauslenkungsfunktion F (Gl. 68) ergibt:
f90,luf - f
1
cV
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€ L
jHFLT =180H- €€€€ +8 €€€€€€
€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
dV HcV +dV +bV eV L
eV
dV
1€€€€€€€€€€€€€€€€
€
€€€€€€€
€
€
+
€€€€€€
€
H
€€€€€€
+e
2
bV
VL
dV
bV c€€€€€€€€
e
c
b
V V
V
V
1 + €€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€€€
+
€
€
b e
V
V
HdV -eV L
2 HdV +eV L %
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
1+ €€€€€€€€
€€€€€€€€
€€€ + €€€€€€€€€€€€€€€€
2
cV €€€€
2 2
2
cV
(Gl. 78)
Ein Ermitteln der Verhältnisse dv und ev ist durch Anlegen einer Geraden an der
Unstetigkeitsstelle durchführbar. Die Steigung ax,luf der Geraden entspricht
wieder einer Maximumbestimmung der Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f90°,luf.
Durch Lösen des Gleichungssystems mit der Gleichung für die Gruppenlaufzeit
gr (Gl. 79) und dem Aufpunkt cx,luf der taylorentwickelten Phase (Gl. 78), ergeben
sich die geschlossenen Lösungen für die Verhältnisse ev und dv. In ihnen sind die
Schallparameter msch und ksch enthalten.
€€€€€€€€
€
Dax,luf
d
180
bV
Τgr =- €€€€€€€€
€€€€€€€€€€ Èf90 °,luf =- €€€€€€€ jHFLÈf90 °,luf =- €€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€
dV HcV +dV +bV eV L
eV
dV
1- €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€ + €€€€€€
2Π
dΩ
2Π
dV
cV€ H €€€€€€
bV +eV L
bV c€€€€€€€€
V eV
1 + €€€€€€€€
€
€
+
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€
€€€€€€€
€€€
b e
8 cV
V
V
2 HdV +eV L %
HdV -eV L
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
€€€€€€€€
€€€ + €€€€€€€€€€€€€€€€
1+ €€€€€€€€
2
cV €€€€
2 2
2
cV
f90,luf
1
cV
cx,luf =180H- €€€€ +8 €€€€€€
€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€ L
dV HcV +dV +bV eV L
eV
dV
1- €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€ + €€€€€€
2
bV
dV
bV c€€€€€€€€
cV€ H €€€€€€
bV +eV L
V eV
1 + €€€€€€€€
€€ + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
b e
V
V
(Gl. 79)
HdV -eV L
2 HdV +eV L %
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
1+ €€€€€€€€
€€€€€€€€
€€€ + €€€€€€€€€€€€€€€€
2
cV €€€€
2 2
2
cV
(Gl. 80)
Bei der Lösung des Gleichungssystems entstehen sehr große Ausdrücke. Einfacher und schneller lassen sich die Lösungen des Masse- msch und des Dämpfungsfaktors ksch numerisch mit Mathematica [Wolfram Research, 2004] finden.
4.1.5 Auswertung der elektrischen Impedanz
Die Auswertung der elektrischen Impedanz erfolgt in zwei Schritten. Der Wirbelstromeffekt wirkt schon bei niedrigen Frequenzen und wird deshalb bei der Auswertung der elektrischen Impedanz berücksichtigt. Durch Festklemmen der
Membran wirkt die Membranbewegung ∆x nicht mehr in die elektrische Impedanz zurück.
4.1.5.1 Elektrische Komponenten ohne Wirbelstromeffekt
Die elektrische Impedanz ohne Wirbelstromeffekt errechnet sich mit Hilfe der
Wegauslenkungsübertragungsfunktion F (Gl. 58) zu:
Ze =HRel +Lel ×sL+M×F×s
(Gl. 81)
24
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
Wie in Kapitel 4.1.2 gezeigt, ist die Rückwirkung der mechanischen Bewegung
proportional zur Geschwindigkeit und somit auch zur komplexen Kreisfrequenz s.
Mit dem Real- (Gl. 60) und Imaginärteil (Gl. 59) der Wegauslenkungsübertragungsfunktion F reduziert sich nach kurzer Rechnung die Phase der elektrischen
Impedanz zu der vereinfachten Beziehung:
2 Π f Lel + 2 Π f M Re HFL
jHZe L=ArcTan H €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ L
(Gl. 82)
2 Π f M Re HFL + Rel
4.1.5.2 Erweiterung der elektrischen Komponenten durch den Wirbelstromeffekt
In einem elektrodynamischen Lautsprecher treten Wirbelstromeffekte schon bei
niedrigen Frequenzen auf. Eine Untersuchung mit der Finiten Elemente Methode
zeigt schnell die Ursache dieser Wirbelstromeffekte [Rausch, S. 86; 2001]. Eine
Nachbildung dieses Effekts im elektrischen Kreis ist durch ein einfaches nichtlineares konzentriertes Element mit der nichtlinearen Induktivität Ln möglich
[Leach, 2002].
Ln ~sn
(Gl. 83)
Eine übersichtliche Darstellung der linearen und nichtlinearen Übertragungsfunktionen bildet sich durch Aufspalten der nichtlinearen Impedanz in einen linearen
Anteil ZL,l (Gl. 84) und in einen nichtlinearen Wirbelstromanteil ZLw (Gl. 86), die
parallel zueinander liegen. Sie bilden die gesamte nichtlineare elektrische Impedanz ZL,nl (Gl. 87). Das Definieren einer Grenzfrequenz fwg (Gl. 88) beschreibt
den Beginn der sichtbaren Auswirkung des Wirbelstromeffekts im Verlauf der
elektrischen Impedanz (Abb. 55/Abb. 56).
(Gl. 84)
ZL,l = s Lel
!!!!!!
@Lw D=H Hz
ZL,w =
(Gl. 85)
!!!!
s Lw
(Gl. 86)
1
ZL,nl = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€!€ s Lel
!!!
1
s
1 + €€€€€€€€
€
€€€€€€€€
€
!!!!!!!!!!!!!!!!
!
2Πf
1
Lel 2
fwg = €€€€€€€€ H €€€€€€€€
€L
2 Π Lw
(Gl. 87)
wg
(Gl. 88)
Die elektrische Impedanz eines elektrodynamischen Lautsprechers mit Wirbelstromeffekt und mechanischer Rückwirkung der Lautsprechermembranauslenkung mit Schallfeld ergibt:
Lel
M2
Ze =HRel + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€! sL+ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€ (Gl. 89)
!!!
s ksch msch
Dm
€€€€€
€
+
k
+
s
m
+
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
1 + €€€€€€€€
€1€€€€€€€€!€€ s
m
m
!!!!!!!!!!!!!!!!!
s
k +s m
2 Π fwg
sch
sch
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
25
Mit dem Real- (Gl. 60) und Imaginärteil (Gl. 59) der Wegauslenkungsübertragungsfunktion F reduziert sich nach kurzer Rechnung die Phase der elektrischen
Impedanz zu der vereinfachten Beziehung:
!!!!
2 Π
1€€€€€€€€€€€€€€€€ J2 Π f L
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€ Lel f32 N + 2 Π f M Re HFL
!!!!
el + €€€€€€€€
!!!!!!!!
!!!!
f
f
f !
wg
jHZe L=ArcTan €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€
!!!!
2 Π
1
32
€€€€€€€€€€€€€€€€
€
€€€€€€€
€
€€€€€€€
€€€€€€€€
€
€€
L
f
+
2
Π
f
M
Re
HFL
+
R
!!!! !!!!
el
el
!!!!!!!!
2 f
f
f !
1+ €€€€€€€
€€€€
!!!!!!!!!
fwg€ + 2 €€€€€€€€
f
wg
J1+ €€€€€€€
€€€€€€€€ N
!!!!!!!!!
fwg€ + €€€€€€€€
f
wg
wg
(Gl. 90)
Die mechanischen Parameter in der Phase der elektrischen Impedanz hängen,
gewichtet mit der Kreisfrequenz 2 f und dem Kraftfaktor M, direkt von den Realund Imaginärteilen der Wegauslenkungsfunktion F ab.
Für Frequenzen, die sehr viel kleiner als die mechanische Eigenresonanz
f << fres,mech des elektrodynamischen Lautsprechers sind, ergibt die Taylorentwicklung erster Ordnung für die Phase der elektrischen Impedanz:
360
M2
360
jHFLT = €€€€€€€€€€ HLel + €€€€€€€€ L f= €€€€€€€€€€ HLel +gV L f=HDael +Dael,mech L f=Dael,g f (Gl. 91)
Rel
Dm
Rel
Die Steigung der Geraden ael,g enthält den reinen elektrischen Anteil ael und
einen gemischten Anteil ael aus mechanischen und elektrischen Parametern (M,
Dm, Rel). Die Gerade beginnt bei linearer Auftragung im Ursprung des Koordinatensystems.
Die Gruppenlaufzeit entspricht der Gesamtsteigung ael,g der nach Taylor entwickelten Phase (F):
d
1 360
M2
1
Τgr = lim - €€€€€€€ jHZe LÈΩ=2 Π fg =- €€€€€€€€ €€€€€€€€€€ HLel + €€€€€€€€ L=- €€€€€€€€ HDael +Dael,mech L=Dael,g
fg®0 dΩ
2 Π Rel
Dm
2Π
(Gl. 92)
Der Parameter gv (Gl. 93) bestimmt die Stärke der Rückwirkung der mechanischen Elemente auf den elektrischen Kreis und hängt vom Verhältnis des quadrierten Kraftfaktors M und der Membranfederkonstante Dm ab.
M2
gV = €€€€€€€€
Dm
(Gl. 93)
Die Induktivität errechnet sich aus dem reinen elektrischen Steigungsanteil ael
und dem Parameter gv aus dem gemischten Anteil ael,mech. Das Auftrennen der
mechanischen und elektrischen Komponenten in der Steigung ael,g (Gl. 92) im
elektrischen Kreis ist durch Festklemmen der Membran möglich (Kap. 4.1.5.3).
Rel
Lel =Dael €€€€€€€€€
€
(Gl. 94)
360
Rel
gV =Dael,mech €€€€€€€€€
€
360
(Gl. 95)
26
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
Alle Kopplungsparameter zwischen elektrischem Kreis und mechanischen Elementen av (Gl. 70) und gv (Gl. 95) sind nun bekannt. Eine Bestimmung des Kraftfaktors M (Gl. 96) und der Federkonstante Dm (Gl. 97) der Membran ist jetzt
möglich. Die Übertragungsfunktionen des Stellglieds S (Gl. 127) und des Wegsensors P (Gl. 115) ergeben sich aus der Konstruktion dieser Komponenten.
SP
S P Rel
S P Rel
M= €€€€€€€€ gV = €€€€€€€€ €€€€€€€€€
€ Dael,mech = €€€€€€€€ €€€€€€€€€
€ HDael,g -Dael L
(Gl. 96)
aV
aV 360
aV 360
SP 2
SP
SP
Rel
Rel
Dm =J €€€€€€€€ N gV =H €€€€€€€€ L2 €€€€€€€€€
€ Dael,mech =H €€€€€€€€ L2 €€€€€€€€€
€ HDael,g -Dael L (Gl. 97)
aV
aV
360
aV
360
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
27
4.1.5.3 Reduktion von Ze auf reine lineare elektrische Komponenten
Bei großer Membranmasse verschwindet die Rückwirkung der mechanischen und
Schallelemente auf die elektrische Impedanz. Ein Erreichen des Grenzübergangs
zu mm
ist durch Festklemmen der Membran leicht möglich. Der Term der
mechanischen Rückwirkung in Ze (Gl. 89) geht für große Membranmasse gegen
Null. Die komplexe elektrische Impedanz eines festgeklemmten Lautsprechers
vereinfacht sich zu:
Lel
€€€€€€! s
lim Ze =Rel + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
!!!
mm ®¥
1 + €€€€€€€€
€1€€€€€€€€!€€ s
!!!!!!!!!!!!!!!!!
(Gl. 98)
2 Π fwg
Aus der Grenzbetrachtung der elektrischen Impedanz Ze (Gl. 89) des Lautsprechers bei niedrigen Frequenzen folgt der Gleichstromwiderstand Rel.
lim Ze ÈΩ=2 Π fg =Rel
(Gl. 99)
fg®0
Die Phasenrelation ϕ(Ze) (Gl. 100) ergibt:
!!!!
2 Π
1€€€€€€€€€€€€€€€€ J2 Π f L
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€ Lel f32 N
!!!!
el + €€€€€€€€
!!!!!!!!
!!!!
f
f
f !
wg
jHZe L=lim jHZe L=ArcTan €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
!!!!
2 Π
mm ®¥
1
32 + R
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€
€€€
€€€€€€€€
€
€€
L
!!!! !!!!
el f
el
!!!!!!!!
2 f
f
f !
1+ €€€€€€€
€€€€
!!!!!!!!!
fwg€ + 2 €€€€€€€€
f
1+ €€€€€€€
€€€€€€€€
!!!!!!!!!
fwg€ + €€€€€€€€
f
wg
wg
wg
(Gl. 100)
Für Frequenzen sehr viel kleiner als die mechanische Eigenresonanz des elektrodynamischen Lautsprechers f << fres,mech ergibt die Taylorentwicklung erster Ordnung für die Phase der elektrischen Impedanz:
360
360
jHZe LT = €€€€€€€€€€ Lel f= €€€€€€€€€€ Lel f=Dael f
Rel
Rel
(Gl. 101)
Die Steigung der Geraden ael enthält nur noch die lineare Induktivität und den
ohmschen Gleichstromwiderstand Rel. Der mechanische Parameter gv (Gl. 91)
verschwindet und das Verhältnis von linearer Induktivität Lel zu ohmschem
Gleichstromwiderstand Rel ist aus der Steigung der Geraden ael (Gl. 101) ermittelbar. Sie entspricht der invertierten Gruppenlaufzeit bei niedrigen Frequenzen.
360 Lel
1
d
€ =- €€€€€€€€ Dael
Τgr = lim - €€€€€€€ jHZe LÈΩ=2 Π fg =- €€€€€€€€€€ €€€€€€€€
fg®0 dΩ
2 Π Rel
2Π
(Gl. 102)
28
4.1 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
4.1.6 Doppelschwingspulensystem
Ein Lautsprechersystem mit Doppelspulen besitzt zwei M-Wandler, deren Kraftquellen parallel mit der Größe M·Ie pro Schwingspule am gleichen Schwingspulenträger angreifen (Abb. 15).
Spule1
R el L el I e 1
U1
Mv
Uemk
MI e
~
v
1
M-Wandler
Spule2
R el L el I e 2
U2
Uemk
∆x
Mv
MI e
~
v
Dm
2
km
mm
k sch
msch
M-Wandler
Lautsprecherchassis
Abb. 15 Anbindung der elektrischen Komponenten an die mechanischen Elemente bei einem Doppelschwingspulensystem. Die elektromotorische Kraft der beiden Spulen wirkt auf den gleichen
Schwingspulenträger. Die Kraftquellen der zwei M-Wandler liegen parallel zu denselben mechanischen Elementen.
Bei gleichen Spulen ergibt sich für den Zustand:
• eine Schwingspule offen:
In der offenen Spule fließt kein Strom. Sie prägt keine Geschwindigkeit auf den
Spulenträger ein. Es kommt in der offenen Spule zu einer induzierten Spannung,
die proportional zur Geschwindigkeit des Spulenträgers ist. Die induzierte Spannung in der offenen Spule ist genauso groß wie die rückwirkende elektromotorische Spannung in der Antriebsspule. Die komplexe Impedanz des Lautsprechers
verhält sich wie:
Ze =Zel +M2 Ymech
(Gl. 103)
• parallelgeschaltete Schwingspulen:
Durch den halben elektrischen Gesamtwiderstand Zel fließt der doppelte Strom
gegenüber der offenen Spule. Die Antriebskraft verdoppelt sich. Da die Schwingspulen parallel zueinander liegen, halbiert sich die Rückwirkung mechanischer
Größen auf den elektrischen Kreis. Die Auswirkungen der beiden mechanischen
Komponenten auf die elektrische Gesamtimpedanz sind nicht mehr von außen von
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
29
der Wirkung eines einfachen Schwingspulensystems unterscheidbar. Die elektrische Impedanz Zel halbiert sich gegenüber einem einfachen System.
Die elektrische komplexe Lautsprecherimpedanz mit Membranrückwirkung verhält sich wie folgt:
1
Ze = €€€€ Zel +M2 Ymech
(Gl. 104)
2
• Reihenschaltung der Schwingspulen:
Durch die Reihenschaltung fließt durch jede Schwingspule der Strom Ie bei
Stromeinprägung. Die Angriffskraft verdoppelt sich. Die Spannungsquellen der
rückwirkenden mechanischen Komponenten liegen in Reihe. Bei Gewichtung des
M-Faktor mit M´ = 2·M (Gl. 106) verhalten sich die mechanischen Komponenten
bei Reihenschaltung in der elektrischen Gesamtimpedanz (Gl. 105) wie bei einem
einfachen Spulensystem.
Ze =2 Zel +4 M2 Ymech
M´2 = 4 M2
(Gl. 105)
(Gl. 106)
4.1.7 Membran-Eigenschwingungen
Bei modernen Lautsprechern besteht die Lautsprechermembran aus einem Trichter mit einer dünnen Papier-, Teflon- oder Kevelar-Schicht. Der ausgedehnte
Trichter bildet durch die mechanische anregende Kraft Eigenresonanzen und
Eigenmoden aus [Jecklin, 2003], die von der Form und Material der Membran
abhängt.
4.1.7.1 Eigenmoden der Membran
Durch Holographie (Abb. 17/Abb. 18) [Frankort, S. 105, 106, 1975] lassen sich
die Maxima und Minima der Membranschwingungen auf der Oberfläche sichtbar
machen. Diese Eigenschwingungen auf der Membranoberfläche finden vertikal
und horizontal zur Lautsprechermembran statt (Abb. 16) und lassen sich durch das
Superpositionsprinzip in vertikale und horizontale Schwingungen separieren. In
Abb. 17 und Abb. 18 ist die Vertikalauslenkung der Membran |w| über der Membranlänge x aufgetragen. Eine Messung der Membraneigenschwingung kann indirekt durch eine Differenzmessung des Impedanzverlaufs eines festgeklemmten
und eines freischwingenden Lautsprechers erfolgen.
30
4.1 Elektrodynamischer Lautsprecher
Abb. 16 zeigt die
Membran
Ausrichtung
Membran und die
Richtung
w
x
der
der
Eigenschwingungen in Horizontal- (x) und Vertikalrichtung- (w).
Abb. 17 zeigt die Lautsprechermembran mit
Abb. 18 zeigt eine weitere Mode der Eigen-
einer Eigenschwingung bei 2170 Hz. Membran
schwingung bei 8956 Hz.
besteht aus Polycarbonat.
4.1.7.2 Modellerweiterung für die Membraneigenschwingungen
Die Eigenschwingungen (Moden) der Membran lassen sich durch eine Erweiterung des mechanischen Modells durch zusätzliche konzentrierte mechanische
Elemente beschreiben [Frankort, S. 31, 1975]. Da die Eigenmoden aus der partiellen Differentialgleichung des Trichters resultierten, stellt diese Variante immer
eine Vereinfachung und Reduzierung des Modells auf wenige konzentrierte Elemente dar, was nicht immer die Ursache räumlich richtig wieder gibt. Die Erweiterung der Übertragungsfunktion F (Gl. 58) mit einer Korrekturfunktion Fem (Gl.
107) beschreibt die Auswirkung der Membranmoden auf die Schwingspule.
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
em × s2
1 + aem
i × s + bi
Fem HsL=ä mi €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€2€€
1 + cem
× s + dem
×s
i
i
31
n
(Gl. 107)
i=1
em
em
em
aem
i , bi , ci , di >0 Ε R
n Ε N
Die Beeinflussung der Schwingspulenbewegung durch die Moden wird nachgebildet. Die Anzahl der Pole gibt die Ordnung des Systems an.
4.1.8 PSpice-Modell des Lautsprechers
Für den Schaltungssimulator PSpice [Orcad, 2004] wurde ein Lautsprechermodell
zur Schaltungssimulation entwickelt, das die mechanischen als auch die elektrischen Komponenten enthält. Für den Lautsprecher gibt es die Möglichkeit die
mechanischen konzentrierten Elemente in elektrische Bauelemente (R, L, C) zu
transformieren. Es ist schwierig für alle Moden der Membraneigenschwingung die
richtige Struktur der Schaltung zu finden, die den Frequenzgang der Übertragungsfunktion der Wegauslenkung am Spulenkörper wiedergibt. Einfacher lässt
sich aus der Messung der Übertragungsfunktion über eine Laplace-Funktion ein
elektrischer Widerstand entwerfen, der die Auswirkungen der Membranauslenkung für die elektrischen Komponenten nachbildet. Die Übertragungsfunktion,
gesteuert vom Strom Ie des Lautsprechers, ergibt die Auslenkung ∆x der Schwingspule.
Das erweiterte PSpice-Modell für einen elektrodynamischen Lautsprecher zeigt
Abb. 19. Im Gegensatz zur Standardmodellierung mit reinen konzentrierten Elementen (Abb. 11), werden der Wirbelstromeffekt LL,w und die Membranrückwirkung (M·Fem·s) der Schnelle v in die elektrische Impedanz berücksichtigt.
Eine ideale Strommessung ist durch Anlegen von Null Volt an die Spannungsquellen V1 und V3 möglich. Diese Ströme IV1 und IV2 steuern mit Hilfe zweier
stromgesteuerter Spannungsquellen zwei Laplace-Terme und simulieren die Auswirkungen der Wirbelströme LL,w und die Rückwirkung der Membranauslenkungen Fem auf die elektrische Impedanz. Die dort entstehenden Ausgangsspannungen UL,w und Uemk steuern die Spannungsquellen V1 und V2, die sich somit wie
die rückwirkenden Impedanzen des Wirbelstromeffekts und der mechanischen
Impedanz im elektrischen Kreis verhalten. Eine dritte Laplace-Funktion mit dem
Kraftfaktor M multipliziert mit der komplexen Kreisfrequenz s errechnet die
Membranauslenkung x in Abhängigkeit vom eingeprägten Strom Ie. Durch
Messung der Wegauslenkungsübertragungsfunktion F und Ermitteln der nichtlinearen Impedanz ZL,w kann das Modell für jeden handelsüblichen Lautsprecher
erstellt und, durch Erweiterung und Anpassung der MembranEigenmodenfunktion Fem, an die individuellen Membraneigenmoden angeglichen
werden
32
4.2 Messwerterfassung mittels eines Ortssensors
Wirbelstromeffekt
1
L L,w (s) = L w s 2
I V1
Wegauslenkungsrückwirkung
Fem(s)=
LL,w (s)
V
A
U L,w
U L,w
0V
V1
∆x
I
Fem(s)
IV3 V
A
R el
URx ~ ∆x
U emk
V2
I V3
ULSP
Ms
0V
L el
V3 V
4
U emk
Abb. 19 zeigt das PSpice-Modell eines elektrodynamischen Lautsprechers mit komplexer Übertragungsfunktion. Im Modell enthalten ist der nichtlineare Wirbelstromeffekt und die Membranrückwirkung der Schnelle v =s x in den elektrischen Kreis Ze.
4.2 Messwerterfassung mittels eines Ortssensors
Der Ortssensor besteht aus dem Sensorelement und dem Sensorsignalverstärker.
Der Sensor besitzt für die Istwerterfassung einen Dynamikbereich von bis zu 96
dB bei einem Erfassungsbereich von ±10 mm [Geiger, 2004]. Ein PSD-Element
verfügt über diese Eigenschaften.
4.2.1 Position Sensitive Detector (PSD)
K
K
I 1 + I 2~ I0
N
RS
I
P
A1
d
I2
I1
I0
CJ
I2
A2
∆x
D
RP
I 1+ I 2~ I0
S
∼ ∆x
I1
P
A1
A2
I0
R1
R2
Abb. 20 zeigt die Funktionsweise eines PSD
Abb. 21 zeigt den Modellvorschlag eines PSDs
Elements.
[Hamamatsu, 2004]
Ein PSD-Element besteht aus einer monolithischen PIN-Photodiode (Abb. 20)
deren P-Anode eine ohmsche Widerstandsoberfläche ausbildet [Sitek, 2004]. Die
mit zwei Anschlüssen versehene P-Anodenschicht wird durch den im Beleuchtungspunkt injizierten Photostrom in zwei Widerstände aufgeteilt. Die Größe der
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
33
entstandenen Teilwiderstände ist direkt proportional zum Abstand der jeweiligen
Photoanode. Die Beleuchtungsstärke I0 ist proportional zu der Summe der Teilströme. Die Normierung der Differenz der Teilströme I1 und I2 ergibt das Verhältnis von Abstand ∆x zu Länge d der P-Photoschicht des PSD (Gl. 108).
Dx 1 I1 - I2
(Gl. 108)
€€€€€€€€€
€€€€€€€ = €€€€ €€€€€€€€
d
2 I1 + I2
Ein durch den Photostrom gesteuertes Potentiometer (Abb. 21) [Hamamatsu,
2004] dient als Modell für die P-Anodenschicht. Die elektrischen Eigenschaften
des PSDs werden durch eine Diode D, einen ohmschen Sperrschichtwiderstand RS
und eine Sperrschichtkapazität CJ berücksichtigt. Eine Stromquelle simuliert die
Beleuchtungsstärke I0 und injiziert den Photostrom I1+ I2.
Ein PSpice-Modell ergibt sich aus dem durch den Photostrom gesteuerten Potentiometer. Die P-Anodenwiderstandsschicht RP wird durch den Photostrom I1+ I2
im Punkt S in zwei Teilwiderstände R1 und R2 aufgeteilt. Die Größe der Teilwiderstände ist direkt proportional zum Ort des auftreffenden Lichtstrahls. Die
Teilwiderstände R1 und R2 sind durch die von den zwei Strömen I1 und I2 gesteuerten Spannungsquellen U3 (Gl. 109) und U4 (Gl. 110) (Abb. 22) modelliert. Die
Spannungsquellen U1 und U2 dienen zur idealen Strommessung von I1 und I2
[Horschard, S. 94, 2000]. Als Sensoreingang für die Wegauslenkung ∆x dient der
Widerstand Rx, dessen Spannung URx direkt proportional zur Auslenkung des
Lichtstrahles ist. Die Widerstandsschicht RP ist entsprechend in Einheiten der PSchichtlänge d in Meter [m] zur Eingangsvariablen der Steuerspannung UR in
Volt [V] aufgeteilt.
U3
1 URx m
€€€€€€
€ =RP H1+ €€€€ €€€€€€€€
€ €€€€ L
I1
2 d V
(Gl. 109)
1 URx m
U4
€€€€€€
€ =RP H1- €€€€ €€€€€€€€
€ €€€€ L
I2
2 d V
(Gl. 110)
PSpice-Photoelement-Modell
s
URx ∼∆ x
∆x
Rx
A1
U1
U3
U4
0V
I1
I2
R1
U2
0V
A2
RP
R2
Abb. 22 zeigt das PSpice-Modell für ein PSD. Die P-Anodenschicht ist als das durch den Photostrom
steuerbares Potentiometer verwirklicht. U1 mit U3 und U4 mit U2 ergeben die Teilwiderstände R1 und
R2, deren Größe sich abhängig vom Photostrom linear (Gl. 109) bzw. (Gl. 110) im Punkt S verändert,
so dass der Gesamtwiderstand RP konstant bleibt. Die Steuerspannung URx bildet die Eingangsvariable für das Potentiometer, das den Schleifer S des Sensorelements in Einheiten von der PPhotoschichtlänge d einteilt.
34
4.2 Messwerterfassung mittels eines Ortssensors
4.2.2 PSD-Sensorverstärker
Der Sensorverstärker (Abb. 23) ist als Messbrücke konzipiert. Durch Spiegeln des
Photostroms I1 (Gl. 111) aus der Anode A1 und anschließender Summation des
Stroms am Knoten k1 mit dem Strom I2 (Gl. 112) aus der Anode A2, kann die
Differenz der beiden Ströme I∆x durch einen Strom-Spannungswandler ausgekoppelt werden.
Vp
RL
RL
2 CM
I Σx
K
RM
PSD
2
I Σx
-
∼∆ x
A1
RP
+
A2
U
P
I Σ x + I ∆x
=I1
2
I1 I2
I2=
k1
Op 3
I Σ x + I ∆x
2
CM
I ∆x
+
-
RM
RM
Op 1
Σx
RM
+
Op 2
U x
∆
Abb. 23 zeigt das Schaltungskonzept für den Sensorverstärker. Es ergibt durch einfache Knotenanalyse und dem Verhältnis Photostrom I
x
zu Wegauslenkung x (Gl. 108) des Sensorselements die
Übertragungsfunktion P der Istgröße der Erfassungseinheit.
ISx + IDx
I1 = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€
2
ISx - IDx
I2 = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€
2
(Gl. 111)
(Gl. 112)
Das Maß für die Beleuchtungsstärke I0 ist der Summenstrom IΣx. Mit einen PNPStromspiegel wird der Strom aus der Kathode K des PSD-Elements gespiegelt
und durch einen Strom-Spannungswandler die Spannung UΣx zur nachfolgenden
Signalverarbeitung gewonnen. Der Differenzstrom I x gibt die Wegauslenkung x
vom Mittelpunkt des PSD bis zum Auftreffpunkt des Lichts an Hand der Spannung U x an. Die Verstärkerschaltung besitzt eine Bandbreite von bis zu 100 kHz,
um die Regelung durch zusätzliche Phasendrehung aus dem Sensor nicht zu stören und ein gutes Signal-Rauschverhältnis.
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
35
Mit der Gleichung für die Erfassung der Wegauslenkung (Gl. 108) und der Übertragungsfunktion der beschalteten Operationsverstärker Op1 (Gl. 114) und Op2
(Gl. 113) ergibt sich die Übertragungsfunktion der Sensoreinheit P (Gl. 115).
1
UDx = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ RM ×IDx
1 + RM CM × s
(Gl. 113)
RM
USx = €€€€€€
€ ×ISx
2
(Gl. 114)
UDx
1
USx
€ =PHsL
€€€€€€€€
€ =4 €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ × €€€€€€€€
1 + RM CM × s
d
Dx
(Gl. 115)
4.2.3 Geometrische Anordnung der Istwerterfassung
Die mechanische Anordnung des Sensors ist entscheidend für die Genauigkeit der
Messung. Ein externer Messaufbau mit Sensor im Messverstärker ergibt eine
einfache und schnelle Handhabung mit leichter Justierung. Durch geschickte
Wahl einer Reflexionswinkelanordnung (Kap. 4.2.3.1) zwischen Sensor und
Lichtquelle über einen Spiegel, fokussiert der Laser stets auf das Photoelement.
Durch die Montage auf einem Stativ und die hierdurch entstehenden langen
Lichtwege sind Vibrationen möglich. Eine Fixierung im Lautsprecherchassis
(Kap. 4.2.3.2) mit direkter Beleuchtung des Sensors reduziert den Vibrationen.
4.2.3.1 Externer Messaufbau
Eine senkrechte Anordnung des PSD-Elements (Abb. 25) im Abstand w zum
bewegenden Spiegel bewirkt eine Fokussierung des Lichtstrahls unabhängig von
∆x der Wegauslenkung. Die Länge des Lichtwegs ist konstant. Der Winkel α des
einfallenden Lichts findet sich im Versetzungsdreieck zur Lichtverschiebung ∆y
wieder. Die Fokussierung des Laserstrahls bestimmt den Abstand zwischen Spiegel und PSD Element. Ein Aluminiumring, befestig durch Cyan-Acrylat-Kleber,
trägt einen mit Aluminium-Ionen bedampften Silizium Wafer (Länge zu Breite
20mm x 5mm). Die Siliziumscheibe bildet einen leichten und hochreflektierenden
Spiegel. Fehler in der Beleuchtungsintensität reduzieren sich durch den fokussierten Strahl, ca. 200 µm ∅ im Auftreffpunkt [Laser Components, 2004], auf die
Größe des Beleuchtungspunktes.
Mit Abb. 24 lässen sich auf einfache geometrische Weise die folgenden Beziehungen aufstellen:
Dx
€€€€€€€ =tanΑ
(Gl. 116)
Dy
36
4.2 Beschreibung der Hardware-Komponenten
4. Kapitel
Dz + w
€€€€€€€€€€€€€€€ =tanΑ
d + Dy
(Gl. 117)
d
€€€€€€€€€€€€€€€ =tanΑ
w + Dx
(Gl. 118)
Durch einfache Rechnung folgt
(Gl. 119)
PSD
Laser
Halterung
∆z
= 2 ∆x
Dz=2×Dx
Photo
Verstärker
Laser
w
Linse
∆x
α
d
Laser
α
α
PSD
Spiegel
Wafer
-
∆y
Spiegel
Abb. 24 zeigt das Messprinzip mit dem auf das
Abb. 25 zeigt das reale Messsystem mit einem
PSD fokussierten Laserstrahl. Die benötigten
auf das PSD-Element fokussierten Laser mit
Dreiecke zum Aufstellen der Winkelbeziehungen
630 nm Wellenlänge. Der Strahlengang (
sind entsprechend gekennzeichnet (• Gl. 116, • Gl.
ist gekennzeichnet. Vermessungsobjekt: 19
117, • Gl.118)
Zoll Lautsprecher.
4.2.3.2 Interner Messaufbau
Das PSD-Element ist mit Epoxydharz-Kleber am Stator, dem Weicheisenkern des
Lautsprechers, befestigt (Abb. 27). Die Fixierung des Beleuchtungselements am
Schwingspulenkörper (Abb. 26), direkt gegenüber zum Detektor, reduziert Vibrationen und Schwingungen auf ein Minimum. Eine Infrarotdiode erzeugt mit einer
großen Leuchtdichte einen einheitlich homogenen Leuchtpunkt mit ca.
3 mm Durchmesser. Die Leuchtdiode wird durch den Spulenträger mit der Membran verschoben. Leuchtdichteänderung durch Moden-Sprünge, Temperaturveränderungen oder Beugungseffekte an den kleinen Öffnungswinkeln, wie sie bei
Laserdioden auftreten, sind ausgeschlossen.
)
4.3 Stellglied
37
Laser/LED
Lichtstrahl
PSD
Stator
PSD
LED
Schwingspule
Schwingspule
Stator/Weicheisenkern
Abb. 26 zeigt das zur Reduzierung von mechanischen Abb. 27 zeigt ein reales Messsystem, monparasitären Schwingungen gegenüber dem Belich- tiert auf einem 19 Zoll Lautsprecher, mit dem
tungselement angebrachte PSD Element.
auf einen Halter angebrachten PSD. Die LED
sitzt gegenüber dem PSD auf dem Spulenkörper.
4.3 Stellglied
Zur Anregung einer Membranauslenkung werden in der Audiotechnik Spannungsverstärker verwendet. Durch ihren niedrigen Ausgangswiderstand kommt es
zur Dämpfung der mechanischen Resonanzstelle. Bei Verwendung einer spannungsgesteuerten Stromquelle reduziert sich jedoch bei geregelten Systemen die
Polordnung der Strecke. Die elektrischen Komponenten wirken sich durch die
Stromeinprägung nicht mehr aus, da die Kraft auf die Schwingspule direkt proportional zum Strom Ie im elektrischen Kreis ist.
4.3.1 Spannungsgesteuerte Stromquelle
Spannungsgesteuerte Stromquellen sind durch Operationsverstärker leicht zu
realisieren. Bei den meisten Schaltungsvarianten begrenzt die Betriebsspannung
der verwendeten integrierten Schaltungen die Ausgangsspannung der Stromquelle. Um dies zu vermeiden wird folgendes Schaltungskonzept [Tietze, Schenk, S.
826, 1999] eingesetzt:
38
4.3 Stellglied
Up
(I p + I0 )
R2
R3
R3
R2
I p + I0
M1
+
Op 2
+
Op 1
I ZL = (I p - I m )
R2
R3
IZ
L
-
Uin
R1
ZL
I in
Op 3
+
M2
R2
I m+ I0
R3
( I m+ I 0)
Um
R2
R3
Abb. 28 zeigt das Schaltungskonzept für eine spannungsgesteuerte Stromquelle, die nicht durch die
Betriebsspannungen der integrierten Bauteile beschränkt ist.
Die positiven und negativen Betriebsströme des Operationsverstärkers Op1 werden über zwei einzelne Stromquellen, die auf Betriebsspannungspotential liegen,
in die Nutzlast ZL gespiegelt. Abb. 29 verdeutlicht dieses Aufteilungsprinzip der
Betriebsströme von Op1. Die Operationsverstärker Op2 und Op3 messen die Betriebsströme mit den Messshunts R2. Die dort entstehenden Spannungen UI,m und
UI,p werden mit den Spannungen der Messshunts R3 des Ausgangsstroms verglichen und dieser ausgeregelt. In den Summenknoten k1 und k2 teilen sich die Betriebströme in einen positiven Anteil Ip bzw. negativen Anteil Im und den Querstrom I0 auf. Der Strom I0 entspricht dem Ruhestrom des Operationsverstärkers
Op1.
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
Up
Ip + I
R2
Ip+ I
Ip+ I
0
U
39
0
I0
I,p
I in
0
t
I0 I
p
I0
Im + I 0
Op 1
+
-
Uin
I0
R1
Im
I in
Abb. 29 zeigt die Aufteilung der
I m+ I 0
Betriebsströme des Operationsverstärkers Op1, der die Ströme
R2
Um
I m+ I0
U
I,m
zu den auf Betriebsspannungspotential verschobenen Stromquellen spiegelt.
Wegen dem Ruhestrom I0,M1 und I0,M2 durch die Leistungstransistoren (Gl. 120)
reduzieren sich die nichtlinearen Effekte beim Stromnulldurchgang stark. Der
entstehende Querstrom erzeugt einen ständigen Leistungsverlust an den Transistoren M1 und M2. Der Ruhestrom I0 für Op1 darf deshalb 3mA nicht übersteigen um
die Verlustleistung zu minimieren. Ein Kompromiss zwischen Leistungsverlust
und Querstrom liegt bei I0,M1 = I0,M2 = 230mA.
R2
I0,M1 =I0,M2 = €€€€€€
€ I0 = 100×I0 = 230 mA
(Gl. 120)
R3
Durch eine Erweiterung dieses Schaltungskonzepts mit Hilfsspannungsquellen an
den Operationsverstärkern Op2 und Op3 wird die Spannungsversorgung der einzelnen Stromquellen auf das Potentialniveau der positiven bzw. negativen Betriebsspannungsebene verschoben (Abb. 30). Zwei Längsregler, bestehend aus
den Transistoren T1 und den Z-Dioden DZ, erzeugen die Betriebsspannungen des
Operationsverstärkers Op1 aus der geregelten Gesamtspannungsversorgung Up
und Um. Die Betriebsspannung des Leistungsteils und die Regelelektronik wurde
entkoppelt um Spannungsschwankungen bei starker Belastung des Verstärkers am
Regelkreis zu vermeiden.
Die Gesamtspannungsversorgung Up und Um besitzt einen eigenen Spannungsregler, der aus einer ungeregelten Spannung Up,L = 80V eine geregelte Spannung
±60V generiert. Auf diesen geregelten Spannungen liegen die Hilfsspannungen
Up,H und Um,H. Die Hilfsspannungsversorgungen, die hochliegenden Versorgungsspannungen der Operationsverstärker (Op2 , Op3) und das Herunterregeln der
Betriebsspannung von Op1 erweitern die maximale Spannungs- und Stromaussteuerung der Stromquelle. Die Spannungsaussteuerung ist unabhängig von der
40
4.3 Stellglied
maximalen Betriebsspannung der integrierten Bauteile. Die Durchbruchspannungen und die Verlustleistung der Leistungstransistoren begrenzen die maximale
Ausgangspannung der Stromquelle.
Up
R2
I p+ I 0
(I p+ I )
0
U p,H
R4
R2
R3
Um,H
R3
Op 2
-
M1
+
UZ
T1
DZ
Op 1
I ZL= ( I p - I m )
+
R2
R3
IZ
L
-
Uin
R1
DZ
ZL
I in
T2
Op 3
+
M2
-
R4
U p,H
R2
Um,H
I m+ I 0
R3
R2
( I m+ I 0 )
R3
Um
Abb. 30 zeigt die erweiterte Stromquelle mit den Hilfsspannungsquellen und den Längsreglern T1
und T2 für die Spannungsversorgung des Operationsverstärkers Op1 und der oberen Leistungsstromquellen. Die Gate Vorwiderstände RG verhindern ein Schwingen der Leistungstransistoren.
80Vdc
Abb. 31 zeigt die Spannungsversorgung
Up,L
Op 4
R5
Up,H
R4
der
Stromquelle, deren Grenz-
RG
+
M
-
daten
3
CK
bei
kurzzeitiger
Maximalbelastung
bei
einem Ausgangstrom von
5A und einer Betriebs-
RK
spannung von Up,L = 80V
60Vdc
Up
Um,H
liegen. Das Widerstandsverhältnis R5 zu R4 be-
ZL
stimmt die Betriebsspannung
Up = +60 V
Um = -60 V.
und
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
41
4.3.2 Stabilitätsbetrachtung bei Operationsverstärkern
Die Ermittlung von Betrag und Phase bei offener Schleifenverstärkung ist entscheiden für die Stabilität der geschlossenen Schleife. Wichtig ist die Unterscheidung zwischen einem negativ und einem positiv verstärkenden Operationsverstärker.
U in
s-
U´in
+
U0
F(s)
U in
U0
G(s)
Abb. 32 zeigt das Auftrennen
der geschlossenen Schleife
G(s) durch errechnen von der
Übertragungsfunktion
F(s)
aus G(s).
Op 1
s
Uin
U0
G
F= €€€€€€€€
€
=
€€€€€€€€
€€€€
U´in 1 + G
+
-
U0
(Gl. 121)
In der symbolischen Mathematik lässt sich die offene Schleifenverstärkung F(s)
(Abb. 32) sehr leicht durch Trennen der geschlossenen Schleife G(s) bestimmen.
Durch Verändern der Gleichspannungsarbeitspunkte beim Auftrennen der Schaltung ist es in realen Schaltungen meistens nicht möglich die offene Schleifenverstärkung und deren Phaseverlauf zu bestimmen. Ein hochohmiger Eingang am
Summationspunkt und ein niederohmiger Ausgang ergeben die Vorraussetzungen
für das Auftrennen der Verbindung. Bei einem hochohmigen Ausgang muss die
Ausgangsimpedanz nachgebildet und bei der Bestimmung der Schleifenverstärkung berücksichtigt werden. In einem Schaltungssimulator lässt sich die offene
Schleifenverstärkung bei nichtinvertierenden Verstärkern leicht am Summationspunkt S (Gl. 121) berechnen. Die Arbeitspunkte bleiben erhalten und der
niederohmige Ausgangwiderstand ist nicht mehr zwingend vorgeschrieben. Der
Einfluss des Ausgangswiderstands ist in der Berechnung der offenen Schleifenverstärkung enthalten.
Invertierende Op-Verstärker lassen sich leicht am negativen Ausgang im Schaltungssimulator auftrennen Abb. 33. Durch Festlegen von Anfangsbedingungen
bleibt der Gleichspannungsarbeitspunkt erhalten.
42
4.3 Stellglied
Op 1
+
Abb. 33 zeigt das Auftrennen der geschlossenen
Schleife eines invertierenden Verstärkers, um die
-
offene Schleifenverstärkung und deren Phase für
Stabilitätsbetrachtungen zu gewinnen..
Uin
R1
U´0
4.3.3 Offene Schleifenverstärkung
Die offene Schleifenverstärkung zeigt die Stabilitätsreserven einer Schaltung.
Eine RK-CK-Kombination (Abb. 34) stabilisiert die oberen Stromquellen und die
Leistungsspannungsregler gegen Instabilitäten durch Zurückdrehen der Phase für
die Operationsverstärker Op2 und Op3. Die offene Schleifenverstärkung für die
zwei einzelnen Stromquellen besitzt bei 0 dB Schleifenverstärkung eine Phasenreserve von ca. 50° (Abb. 35). Gate-Vorwiderstände dämpfen den durch die MOSTransistoren, die Operationsverstärker Op2 und Op3 und die parasitären Induktivitäten der Anschlussleitungen gebildeten Schwingkreis und dessen Einschwingverhalten.
ZL
Abb. 34 zeigt die erweiterte Stromquelle mit dem Phasenkorrekturglied
U p,H
ZL
quelle. Der Gate-Vorwiderstand RG
RG
+
M1
UI
Op 2
RK-CK in der oberen Leistungsstrom-
CK
verhindert ein Schwingen des Leistungstransistors. Aus dem Schaltbild
wird durch Einführen einer Stromquelle, als ideales Modell für Transis-
RK
Um
R3
tor M1, ein Kleinsignalmodell (Abb.
39) für die Bestimmung der Ausgangsimpedanz gewonnen.
U m,H
4. Kapitel
ÈS È
€€€€€€€€€0€€€€€€
dB
Beschreibung der Hardware-Komponenten
43
80
60
40
20
j HS0 L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
100
100
1k
1k
10k
10k
100k
100k
1M
1M
10M
f
€€€€€€€
Hz
10M
f
€€€€€€€
Hz
-50
-100
-150
jres = 50°
-200
ohne Korrektur
-250
mit RK -CK -Korrektur
Abb. 35 zeigt die Phase und den Betrag der offenen Schleifenverstärkung der einzelnen Stromquellen, gebildet von Op2 und Op3. Durch das RK-CK-Korrekturglied wird die Rückwirkung von der Last
auf den Eingang der hochgelegten Stromquellen reduziert. Die Phasenreserve
res
beträgt nach
Einführen des Korrekturglieds 50°.
4.3.4 Bestimmung des Ausgangswiderstands
Die Bestimmung des Ausgangswiderstands ZS (Gl. 123) mit der Knotenanalyse
gelingt am einfachsten mit einer Stromquelle am Ausgang (Abb. 39), der spannungsgesteuerten Stromquelle S. Die Steilheit ST (Abb. 36) des MOS-Transistors
M2 multipliziert mit dem Drain-Source-Kleinsignalwiderstand rDS (Abb. 37) bei
kleinem Transistorruhestrom und die Spannungsverstärkung AD0 (Abb. 38) des
44
4.3 Stellglied
Operationsverstärkers Op2 nehmen sehr große Werte an. Durch diese Voraussetzung (Gl. 124) vereinfacht sich der Ausgangswiderstand. Bei niedrigen Frequenzen besitzt der Ausgangswiderstand eine Grenzfrequenz von fZ = 15 mHz (Gl.
126) und nimmt mit 20 dB pro Dekade ab. Nicht die Grenzfrequenz des Operationsverstärkers Op2 ( Abb. 41) bestimmt den Ausgangswiderstand ZS der Stromquelle. Die Millerkapazität CM, die Spannungsverstärkung AD0 des Operationsverstärkers Op3 und der mit dem Verstärkungsfaktor µ = ST⋅rDS im Arbeitspunkt des
n-Kanal-MOS-Transistors M3 transformierte Messwiderstand R3 bilden einen
neuen Pol (Gl. 125) ( ). Die Grenzfrequenz liegt viel niedriger als die des Operationsverstärkers Op2. Von außen betrachtet besitzt der Ausgangswiderstand durch
diesen Pol ein kapazitives Verhalten.
ID
€€€€€€
€
A
ID
€€€€€€€
mA
234.44
300
234.42
234.40
200
234.38
3.9
3.95
4
4.05
4.1
UGS
€€€€€€€€
€
V
4.15
20
40
60
80
100
A
ST = 1.67025 €€€€
V
Steilheit ST des n-Kanal MOS-Fets IRFP640
V
rDS = 920. ´ 103 €€€€
A
des n-Kanal MOS-Fets IRFP640
Kleinsignalnäherung
Kleinsignalnäherung
Arbeitspunkt des n-Kanal Transistors
Arbeitspunkt des n-Kanal Transistors
120
Abb. 36 zeigt die Ermittlung der Steilheit ST des Abb. 37 zeigt die Ermittlung des rDS Widerstands
n-Kanal-MOS-Fet-Transistors.
des n-Kanal-MOS-Fet-Transistors.
UDS
€€€€€€€€
€
V
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
45
AD
€€€€€€€
dB
100
80
60
40
20
100
1k
10k
100k
1M
10M
j HAD L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
100
1k
10k
100k
1M
10M
f
€€€€€€€
Hz
f
€€€€€€€
Hz
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
Betrag und Phase Op Lm6171
Einpol-Modell
mit AD0 = 40k, fg = 4kHz
Abb. 38 Betrag und Phase der Übertragungsfunktion AD(s) des Operationsverstärkers Lm 6171
von National Semiconductor.
Die Übertragungsfunktion AD des Operationsverstärkers Lm 6171 von National
Semiconductor wurde durch ein Einpol-Modell angenähert.
AD0
€
AD HsL= €€€€€€€€€€€€€€€€
s€€€€€€€
1 + €€€€€€€€
€€€€
2Πf
g
(Gl. 122)
46
4.3 Stellglied
rDS + R3 + R3 H1 + AD L ST rDS
R3 ST rDS AD0
Zs = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ » €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€
1 + HrDS + R3 H1 + AD L H1 + ST rDS L L CM s 1 + R3 ST rDS AD0 CM s
(Gl. 123)
R3 ×ST ×A
D×rDS >>rDS +R3 ×H1+rDS ×ST +A
DL
(Gl. 124)
R3 ST rDS AD0
Zs » €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€€€€€€
1 €€€€ s
1 + €€€€€€€€
2Πf
(Gl. 125)
z
1
fZ = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€
2 Π R3 × ST × AD × CM
M
Op 2
G
A(s)
(Gl. 126)
1
Abb. 39 zeigt die Kleinsignalbestimmung der
CM
IZL
D
Ausgangsimpedanz ZS (Gl. 123). Mit Hilfe einer
Stromquelle mit bekannter Stärke I0 lässt sich
u GS
ST uGS
I
durch einfache Knotenanalyse die Ausgangsim0
pedanz errechen. A(s) (Abb. 38) gibt die Übertragungsfunktion der Spannungsverstärkung des
S
Op2 (Gl. 122) wieder.
R3
u I,m
Abb. 40 zeigt das Ersatzschaltbild des realen Stromverstärkers. Durch die realen
Eigenschaften der Bauteile nimmt der Ausgangswiderstand der Stromquelle mit
zunehmender Frequenz ab. Abb. 41 gibt den Verlauf der Ausgangsimpedanz des
realen Stromverstärkers wieder. Der Innenwiderstand ZS (Gl. 123) der Stromquelle verhält sich für niedrige Frequenzen wie ein ohmscher Widerstand
rS = AD0·ST·rDS·R3. Erreicht dieser die Grenzfrequenz fz, so hat der reale Stromverstärker kapazitives Verhalten. Die Ausgangskapazität entspricht der Millerkapazität des CMOS-Transistors.
IS= S(s) U in
IS
U in
rS
CS
ZL
U out
Abb. 40 Ausgangsimpedanzlast der nichtidealen spannungsgesteuerten Stromquelle mit dem Innenwiderstand der Stromquelle Zi und der komplexen Last ZL.
4.3 Stellglied
47
ZS
€€€€€€
€
W
10G
1G
100M
10M
1M
100k
10k
1k
100
10
100m 1
10 100 1k 10k 100k 1M 10M
ZS simuliert mit PSpice als Gesamtmodell
errechnet mit Op-Einpol-Modell
mit Millerkapazität CM
f
€€€€€€€
Hz
Abb. 41 zeigt die Ausgangsimpedanz der spannungsgesteuerten Stromquelle, errechnet mit dem
Einpol-Modell und mit der durch den Miller Kondensator CM verursachten Polverschiebung. Bis zu
einer Frequenz von 10 kHz liegt die Ausgangsimpedanz weit über 10 kΩ und ist damit groß gegenüber der Impedanz des Lautsprechers. Die Millerkapazität CM des n-Kanal-MOS-Leistungstransistors
bestimmt den Ausgangswiderstand.
48
4.3 Stellglied
Z
€€€€
W
1k
100
10
100
1k
10k
100k
1M
10M
f
€€€€€€€
Hz
1
komplexe Lautsprecherlast ZL ohne
Wirbelstromeffekt & Membraneigenschwingungen
ZS þ ZL mit Gate-Vorwiderstand & RK -CK -Korrektur
ZS þ R=3.2W mit Gate-Vorwiderstand & RK -CK
ZS mit Gate-Vorwiderstand & RK -CK ohne Last
Abb. 42 Simulierte ausgangsseitige Impedanz der realen spannungsgesteuerten Stromquelle ZS und
der parallelen komplexen Lautsprecherimpedanz ZL ohne Wirbelstromeffekt und Membraneigenschwingungen. Zum Vergleich wurde auch ein reeller ohmscher Lastwiderstand (R = 3.2 Ω) angegeben.
Dieses Schaltungskonzept ermöglicht eine spannungsgesteuerte Stromquelle mit
einem hohen Innenwiderstand und einem Ausgangsstrom von bis zu 6 A bei 60V
Ausgangsspannung und einer Bandbreite von 100 kHz. Die an die Stromquelle
angeschlossenen Lasten werden bis 100 kHz nicht vom Innenwiderstand der
Quelle verfälscht. Die Übertragungsfunktion der spannungsgesteuerten Stromquelle vereinfacht sich innerhalb dieses Betriebsbereichs zu einem P-Glied (Abb.
43). Aus der Schaltungsstruktur (Abb. 28) ergibt sich die Übertragungsfunktion S
(Gl. 127).
IZL
R
A
S= €€€€€€€€
€ = €€€€€€€€2€€€€€ =1 €€€€
Uin R3 R1
V
(Gl. 127)
4.3 Stellglied
49
S
€€€€€€€€
€
W-1
100
1k
10k
100k
f
€€€€€€€
1M Hz
1
100m
S mit Gate-Vorwiderstand, RK -CK -Korrektur
Abb. 43 Steilheitsübertragungsfunktion S(s) der spannungsgesteuerten Stromquelle.
4.3.5 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle
Durch Rückkoppeln der spannungsgesteuerten Stromquelle über die Rückkopplungswiderstände R4 und R5, lässt sich durch wenige zusätzliche Komponenten
eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle gewinnen. Bei sehr niedrigem Ausgangswiderstand ZS wird die Stabilität des Spannungsverstärkers unabhängig vom
Lastwiderstand ZL. Eine zweistufige Drain-Schaltung setzt den hohen Ausgangswiderstand der spannungsgesteuerten Stromquelle herunter und verbessert dadurch die Stabilität des Spannungsverstärkers für induktive Lasten. Ein durch die
Ausgangskapazität entstehender Schwingkreis wird durch den niedrigen Ausgangswiderstand stark bedämpft. Der so entstandene Verstärker verhält sich jetzt
wie eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle (Abb. 44) mit der idealisierten
Übertragungsfunktion AV.
50
4.4 Beschreibung der Hardware-Komponenten
Uin
R5
AV = €€€€€€€€
€ =- €€€€€€
€ =-10
UL
R4
(Gl. 128)
R5
U 0 = A VU
I= S(s)U in
R4
in
1
U in
U in
Ri
Ci
ZL
UL
spannungsgesteuerte Stromquelle
Abb. 44 zeigt die Ausgangsimpedanz der nichtidealen spannungsgesteuerten Stromquelle mit dem
Innenwiderstand ZS, der Impedanzanpassung und der Last ZL.
4.4 Bestimmung des Reglers
Die Verwirklichung des Reglers erfolgt klassisch mit einer realen PID- oder PDReglerstruktur und unkonventionell durch eine Filterstruktur. Die Übertragungsfunktionen des Betrags und die Phase sind in Abb. 76 dargestellt.
4.4.1 PID-Regler
Der Aufbau des PID-Reglers erfolgte nach einem nach einzelnen Filterkoeffizienten selektierbaren Schaltung [Tietze, Schenk, S. 1280, 1999]. Das Einführen eines
zusätzlichen Dämpfungswiderstands, in Reihe zum Kondensator des D-Gliedes,
führt zum Schaltungsaufbau des realen PID-Regler [Föllinger, s. 267, 1994]. Er
vermeidet zu starkes Rauschen, durch Absenken des D-Anteil bei hohen Frequenzen. Vorteil dieser Schaltung sind die getrennt einstellbaren Parameter in der
Übertragungsfunktion. Die Schaltung ist für die P-, I- und D-Anteile unabhängig
voneinander einstellbar.
4.4.2 PD-Regler
Durch Entfernen des Operationsverstärkers für den I-Anteil im realen PID-Regler
geht das Regelverhalten der Schaltung in eine PD-Reglerstruktur über, in der sich
unabhängig P- und D-Anteil einstellen lassen.
4.4.3 Regler durch Filter-Struktur
Durch drei zurückgekoppelte Integratoren (Abb. 45) lässt sich auf einfach Weise
ein Filter dritter Ordnung R(s) (Gl. 129) realisieren. Durch das Fehlen eines reinen
D-Anteils vermeidet die Struktur des Filters das verstärkte Anheben der Rausch-
4. Kapitel
Beschreibung der Hardware-Komponenten
51
leistung. Die Nullstelle besitzt einfache Ordnung. Durch den ersten Pol wird die
Phasenvordrehung des quasi-D-Anteils zurück gedreht. Die beiden weiteren Pole
reduzieren das Anheben von Rauschen bei Frequenzen über 3 kHz.
Uin
-1
1
-1
1
R e1
R e2
R e3
R e4
+
-1
-1
s C1 Ro1
+
-1
+
s C 2 Ro2
-1
1
1
R er1
R er2
R er3
s C3 Ro3
+
-R o4
-R o5
R e5
Uo
Abb. 45 zeigt die Struktur des Reglers, der als Filter mit drei zurückgekoppelten Integratoren aufgebaut ist. Arbeitsprinzip entspricht dem der Kompensatoren zweiter Ordnung (Kap. 4.4.4).
Die Übertragungsfunktion des Reglers 3. Ordnung ergibt:
Re1
Re1
Re1
1 + €€€€€€€€€
Ro1 C1 s + €€€€€€€€
Ro1 Ro2 C1 C2 s2 + €€€€€€€€€
Ro1 Ro2 Ro3 C1 C2 C3 s3
Rer1
Re2
Re3
Re4
RHsL=- €€€€€€€€
€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
Rer1 Re5
Rer1
Rer1 Re5 €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
Re1 1 + €€€€€€€€
€€€ €€€€€€€
€€ Ro1 Ro2 C1 C2 s2 + €€€€€€€€
€ €€€€€€€€
Ro1 C1 s + €€€€€€€€
Ro1 Ro2 Ro3 C1 C2 C3 s3
R
R
R
R
R
er2
o5
er3
o4
o5
(Gl. 129)
4.4.4 Kompensator
Der Kompensator basiert auf zwei rückgekoppelten Integratoren mit Übertragungsfunktion RK(s)=Fem-1. Der Schaltungsaufbau erfolgte nach mit einem frei
dimensionierbaren Filter zweiter Ordnung [Tietze, Schenk, S. 889, 1999]. Der
eingesetzte Kompensator reduziert die Einflüsse der Membraneigenschwingungen. Die Auswirkung der Übertragungsfunktion eines Kompensators vierter Ordnung, gewonnen aus der Kaskadierung zweier Filter zweiter Ordnung, auf die
Regelstrecke zeigt die Abb. 76.
52
4.4 Beschreibung der Hardware-Komponenten
U in
1 Op 1
R e1
IR
e1
er1
1
R er1
Op 2
IR
U o1
1
s C1
IR
-1
R e2
1
R o1
o1
IR
1
s C2
1
R e3
IR
U o2
e2
IR
Op 3
e3
1
R o2
U o3
IR
o2
Op 4
-R 3
1
R o3
-R 4
U o4
er1
1
R er2
Abb. 46 zeigt die Struktur der verwendeten Kompensatoren. Für jede Pol- und Nullstelle kommt ein
solcher Kompensator zum Einsatz. Die Struktur der Schaltung ist durch das Einzeichnen der Operationsverstärker gekennzeichnet. Die Blöcke rechnen Strom und Spannungen entsprechend ihrer
Verarbeitung um.
Der Übertragungsfunktion des Kompensators für n=2 sieht wie folgt aus:
Re1
Re1
1 + €€€€€€€€€
Ro1 C1 s + €€€€€€€€€
Ro1 Ro2 C1 C2 s2
Rer1 R4
Re2
Re3
RK HsL= €€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€
Rer1
Rer1€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
R4 €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
Re1 Ro3 1 + €€€€€€€€
€
€€
€€€€€€€
R
C
s
+
€€€€€€€€
€
R
R
C
C
s2
o1
1
o1
o2
1
2
R
R
R
er2
o3
o3
(Gl. 130)
5.1 Modellierung der Strecke
53
5 Beschreibung der Systemkomponenten
Für die Dimensionierung des Reglers bietet es sich an die gemessenen Größen in
komplexe Funktionen auf Systemebene zu beschreiben. Eine Dimensionierung
der Regelparameter mit dem Frequenzkennlinienverfahren ist mit einem Mathematikprogramm [Mathematica, 2004] leicht durchführbar.
5.1 Modellierung der Strecke
Das Stellglied wandelt die eingeprägte Spannung Uin in einen Strom Ie um. Die
Übertragungsfunktion S des Stellgliedes besitzt die Dimension einer Steilheit. Die
Eigenmoden-Übertragungsfunktion Fem (Gl. 136) gibt die Veränderung in der
Wegauslenkung eines idealen modenfreien mit der Wegauslenkung x zu einem
nichtidealen mit Membranmoden behafteten Lautsprecher mit der Auslenkung
xem an.
Strecke
U in
ü
F (s)
∆x
in Luft ohne
Eigenmoden
Lautsprecher
Stellglied
U in
S(s)
Ie
∆x
F(s)
Eigenmoden
Fem (s)
∆ xem
U in
ü (s)
Fem
∆ x em
in Luft mit
Eigenmoden
Lautsprecher
Stellglied
U in
S(s)
Ie
Fvak (s)
∆x
U in Fü (s)
vak
∆x m
in
Vakuum
ohne
moden
U lsp=Z e I e
Ie
€€€€€€€€
€ =S
Uin
(Gl. 131)
Dx
€€€€€€€ =F
Ie
(Gl. 133)
Dxem
€€€€€€€€
€€€€ =Fem
Dx
(Gl. 136)
Eigen-
Fü =S×F
Dx
€€€€€€€ =Fvak (Gl. 134)
Ie
(Gl. 132)
Füem =S×F
×Fem (Gl. 135)
Füvak =S×Fvak (Gl. 137)
Abb. 47 zeigt die Zusammenfassung von Stellglied S, der Wegauslenkungs-Übertragungsfunktion
des Lautsprechers mit Schallfeld F und ohne Schallfeld Fvak (eigentliche Strecke) und den Eigenmoden Fem zur Gesamtwegauslenkungs-Übertragungsfunktion Fü , Füem bzw. Füvak der zu regelnden Strecke. Bei niedrigen Frequenzen haben die Eigenmoden kaum Einfluss auf das System und
werden vernachlässigt mit Fem = 1.
Die Eigenmodenkorrekturfunktion Fem wird durch Messung ermittelt. Bei Messungen im niedrigen Frequenzbereich (kleiner als 285 Hz) werden die Eigenmoden vernachlässigt.
54
5.2 Beschreibung der Systemkomponenten
5. Kapitel
Die Übertragungsfunktion der Strecke vereinfacht sich durch Zusammenfassen
der Funktionen des Stellglieds S (Gl. 131), der idealen Wegauslenkungsübertragungsfunktion F (Gl. 133) des elektrodynamischen Lautsprechers und der Eigenmodenfunktion Fem zu einer Gesamtstrecke Fü (Gl. 132) bzw. Füem (Gl. 135).
Messungen im Vakuum führen zur Wegauslenkungs-Übertragungsfunktion Füvak
(Gl. 134), bei der das Schallfeld keine Rückwirkung auf die Membranauslenkung
hat und die Auswirkungen der Membran-Eigenmoden vernachlässigt werden.
Das Stellglied zeigt reines P-Glied-Verhalten bis zu einem Frequenzbereich von
100 kHz. Seine Übertragungsfunktion S bestimmt sich direkt aus der Schaltung
der spannungsgesteuerten Stromquelle (Abb. 23). Das Übertragungsverhalten des
Lautsprechers ergibt sich direkt aus dem konzentrierten-Elemente-Modell (Gl.
58).
5.2 Messsystem
Die Istgrößenerfassung bildet mit der Übertragungsfunktion der Strecke F bzw.
Fvak und dem Ortssensor P (Gl. 138) eine Messeinheit. Es ist nur schwer möglich
zwischen der wahren Strecke F und der Übertragungsfunktion P des Wegsensors
zu unterscheiden. Die Multiplikation der beiden Funktionen ergibt die Gesamtübertragungsfunktion des Messsystems. Der Wegsensor muss deshalb so entwickelt werden, dass die Übertragungsfunktion P bekannt ist. Die Messverstärkerschaltung mit der Ausgangsspannung U x und dem Photoelement (PSD) bilden
den Wegsensor (Kapt. 4.2), der die Übertragungsfunktion P der Ortsauslenkung
bestimmt. Die Schaltungsdimensionierung des Photoverstärkers und der Sensortyp wurden so gewählt, dass eine lineare Wegsensoreinheit entsteht. Die Wegauslenkung x ist linear direkt proportional zur Ausgangsspannung U x. Die am
Mikrophonverstärker entstehende Ausgangsspannung U p, ergibt im Verhältnis
zur Wegauslenkung xem die Mikrophon-Übertragungsfunktion M. In ihr sind alle
Effekte von der Membranauslenkung mit den Eigenmoden über die akustischen
Effekte des Raums bis zur Ausgangsspannung des Mikrophonverstärkers enthalten. Die Mikrophonübertragungsfunktion wurde vom Hersteller spezifiziert. Es
wurde sichergestellt, dass keine Eigenresonanzen im verwendeten Messbereich
von 10 bis 10 kHz (Kap. 10) vorhanden sind [Beyerdynamic, 2004].
5.3 Struktur des Reglers
55
Die Vermessung der Strecke mit dem Ortssensor erfolgt durch folgende Struktur:
U in
∆ x em
ü (s)
Fem
UDx
€€€€€€€€
€€€€ =P
Dxem
Ortssensor
Strecke
P(s)
U∆x
UDp
€€€€€€€€€€€€ =M
Dxem
M(s)
(Gl. 138)
(Gl. 139)
U∆ p
Abb. 48 zeigt den Istgrößen-Erfassungssensor. Er besitzt die Übertragungsfunktion P mit P-Verhalten
im zum regelnden Bereich. Mit dem Mikrophon wird der Schalldruck p, der durch die Auslenkungen xem der Membranbewegung entsteht, gemessen und mit dem Mikrophon bewertet. Die Übertragungsfunktion M enthält die Raum- und Mikrophoneigenschaften des Systems.
5.3 Struktur des Reglers
Der Regler setzt sich aus einer klassischen Reglerstruktur RR und einem Kompensator Rk zusammen.
Ust´
Kompensator €€€€€€€€
€€€ =RR
klassische
Reglerstruktur
Ur
U st´
Ur
Uk
R R (s)
(Gl. 140)
U st
R K(s)
Regler
Ur
U st
Ust
€€€€€€€€
€ =RK
Uk
(Gl. 141)
Ust
€€€€€€€€
€ =RR ×RK =R
Ur
(Gl. 142)
R(s)
Abb. 49 zeigt den Regler, bestehend aus einer klassischen Reglerstruktur und einem Kompensator
zur Korrektur der Membraneigenschwingungen.
56
5.3 Beschreibung der Systemkomponenten
5. Kapitel
Dem Regler liegen die folgenden Übertragungsfunktionen zugrunde:
1 + a0 s + b0 s2
RR HsL=h0 €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
c0 + d0 s + e0 s2
1 + cki × s + dki × s2
RK HsL=ä mki €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€
k × s + bk × s2
1
+
a
i
i
i=1
(Gl. 143)
n
a0 , b0 , c0 , d0 , e0 , h0 > 0 Ε R
(Gl. 144)
n=
aki , bki , cki , dki , mki > 0 Ε R
Eine Stabilitätskorrektur ist notwendig. Die mechanische Eigenresonanz der
Membranauslenkung des Masse-Dämpfer-Feder-Systems verursacht eine Phasendrehung von 180°. Ein Rückdrehen der Phase beim 0 dB-Betragsdurchgang der
offenen Schleifenverstärkung der Strecke mit Regler ist notwendig. Dies erledigt
die Reglerstruktur RR. Um Anhebungen von Störungen im hohen Frequenzbereich
zu vermeiden muss die Phasenvoreilung für hohe Frequenzen wieder zurück
gedreht und somit der Frequenzgang abgesenkt werden.
Bei der Wahl des Reglerparameters c0 = 0 in der Reglerübertragungsfunktion RR
(Gl. 143) entsteht der klassische PID-Regler (Gl. 145). Durch zusätzliches Setzen
von b0 = 0 reduziert sich der PID-Regler zu einem realen D-Regler (Gl. 146).
1 + a0 s + b0 s2
RR HsL=h0 €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s Hd0 + e0 sL
1+a s
R2R HsL=h0 €€€€€€€€€€€€€€€€€0€€€€€€€€€€€€€
s Hh0 + e0 sL
(Gl. 145)
(Gl. 146)
Für ein verstärktes Absenken des Frequenzgangs zur Rauschunterdrückung bei
hohen Frequenzen wurde folgende Struktur getestet:
1 + a0 s
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
R3R HsL=h0 €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
H1 + c0 sL H1 + d0 sL H1 + e0 sL
(Gl. 147)
Die Kompensatorstruktur eliminiert die Auswirkungen von parasitären Schwingungen des Lautsprecherchassis und der Membran. Das Einführen einer inversen
Übertragungsfunktion RK (Gl. 144) führt zu Dämpfung der Resonanzstellen der
parasitären Effekte, durch Kompensation am Ort der Schwingspule des Lautsprechers.
5.4 Geschlossenes System
57
5.4 Geschlossenes System
Beim geschlossenen System G (Gl. 148) besitzt die Übertragungsfunktion 0 dB
Betrag und 0° Phasenverschiebung bei genügender hoher offener Schleifenverstärkung, die sich aus dem Regler R, der Erfassung der Istgröße mit dem
Wegsauslenkungssensor P und Gesamtstrecke Füem zusammensetzt.
Regler
FFU (s)
U in
x
U FU
+
ω
Strecke
ü
U st U e Fem(s)
Ur
R(s)
∆
x em M(s)
U ∆p
-
Führungsgrößenformer
Ortssensor
U∆ x
P(s)
Abb. 50 zeigt die geschlossene Regelstrecke.
R × Füem × P
UDx
€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€ =GHsL= €€€€€€€€€€€€€€€€
1 + R × Füem × P
UFU
(Gl. 148)
Um den Verlauf des Betrags dem natürlichen Lautsprecherverhalten anzupassen,
ist ein Führungsgrößenformer FFU (Gl. 149) notwendig.
UFU
€€€€€€€€
€ =FFU HsL
(Gl. 149)
Uin
Das Gesamtsystem FG (Gl. 150) besitzt dann die Übertragungsfunktion:
UDx
R × Füem × P
€€€€€€€€
€ =FG HsL=FFU €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€
Uin
1 + R × Füem × P
(Gl. 150)
58
6.1 Messungen und Ergebnisse
6. Kapitel
6 Messungen und Ergebnisse
Die Messungen der Thiele-Small-Parameter wurden durch eine neue Messmethode optimiert. Die Wegauslenkung wird optisch linear erfasst und durch einen
Regler kontrolliert.
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
Die Lautsprecheigenschaften werden einerseits durch die Standard Thiele-SmallMethode und andererseits durch eine neue, an den physikalischen Effekten orientierende, Methode ausgewertet.
6.1.1 Auswertung des Kraftfaktors
Tabelle 1 zeigt die Herstellerangaben des Kraftfaktors M bei verschiedenen Lautsprechertypen. Sie bestätigen die Theorie (Kap. 4.1.6). Die Rückwirkung der
Membranbewegung ist bestimmt durch den Kraftfaktor. Die Anzahl der Spulen
und die Art der Beschaltung bestimmen den Kraftfaktor bei Doppelspulenlautsprechern. Die Betriebsweise, ob eine Spule zum Antrieb, zwei parallel oder in
Reihe geschaltet wird, bestimmt die Rückwirkung der Membranbewegung in die
Impedanz. Der Kraftfaktor bei einer offenen Spule stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit dem von zwei parallel geschalteten Spule überein. Durch InReiheschalten erhöht sich die Rückwirkung der Membran auf das Zweifache einer
einfachen Spule.
Herstellerbezeichnung: eine Spule offen
(Lautsprechertyp)
beide Spulen in beide
Reihe
parallel
M/Tm
M´/Tm 2 M /Tm
M/Tm
TIW 400 DS 2x4
7,5
16,5
15
7,7
GF 250 2x4
6,5
13
13
6,5
GF 200 2x4
4,6
9,2
9,2
4,6
Spulen
Tabelle 1 zeigt den Kraftfaktor M, der vom statischen Magnetfeld B0 (Tesla) und der Länge des
Schwingspulendrahtes l (Meter) abhängt. Bei Doppelspulenschwingsystemen ist die Betriebsweise
der Schwingspulen entscheidend für die Rückwirkung der Spulenbewegung in die elektrische
Impedanz. Sind beide Spulen parallel oder eine Spule offen, verhält sich der Kraftfaktor theoretisch wie bei einem Einspulensystem. Sind beide Spulen in Reihe geschaltet verhält sich der
Kraftfaktor wie M´=2·M. Messwerte nach Angaben des Herstellers [Visaton, 2004].
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
59
6.1.2 Auswertung des Wirbelstromeffekts
Eine Auswertung der Impedanzverläufe (Herstellerangaben) verschiedener Lautsprecher (Abb. 51) bestätigt das Ansteigen der Impedanz gemessen über die Frequenz mit der Potenz von 0,5. Unter 1 kHz weicht das Ergebnis vom 10 dB Impedanzanstieg ab. Der Wirbelstromeffekt dominiert noch nicht über die lineare
Impedanz. Durch die Eigenresonanzen der Membran, die sich bei 800 Hz in der
Impedanz wiederfinden, lassen sich die Impedanzwerte nur schwer exakt ermitteln.
Herstellerangabe:
ÈZ È
€€€€€€€€€e€€€€€€€€
W
TWI 400
Modell
TWI 400
GF 250
GF 250
GF 200
GF 200
50
30
20
15
10
1k
3k
5k
7k
10k
f
€€€€€€€
Hz
Abb. 51 zeigt die elektrischen Impedanzen dreier Lautsprecher [Visaton, 2004]. Ab 1 kHz dominiert der Wirbelstromeffekt. Die Impedanz steigt nur noch um 10 dB pro Dekade. Der Durchmesser des Chassis variiert von 200 mm (GF250) bis 400 mm (TWI 400).
60
6.1 Messungen und Ergebnisse
6.1.3 Auswertung der Lautsprecherparameter nach Geiger
Im Gegensatz zum Thiele-Small-Verfahren selektiert die neue Methode die Ermittelung der einzelnen Parameter nach ihren physikalischen Ursprüngen [Geiger,
2004]. Die elektrischen Parameter, wie der ohmsche Widerstand Rel, die Schwingspuleninduktivität Lel und die Grenzfrequenz fwg der Wirbelstromauswirkung,
werden aus der Impedanz ermittelt. Die Ankopplungsparameter gv und av resultieren aus der Messung der elektrischen Impedanz und der mechanischen Membranauslenkung der Schwingspule. Die rein mechanischen Parameter und die der
Schallelemente werden aus der Phase der Membranbewegung gewonnen. Die
Phase wird aus dem Verhältnis Real- zu Imaginärteil der Übertragungsfunktion
gebildet und ist somit unabhängig von der Stellglied- und Istwertsensorübertragungsfunktion, die P-Verhalten aufweisen.
6.1.3.1 Elektrische Größen
Durch die Grenzbetrachtung reduziert sich die elektrische Impedanz Ze mit den
mechanischen und Schallelementen zum rein ohmschen Widerstand Rel (4.1.5.3).
Wichtig hierfür ist eine genaue Messung des Betrags der komplexen elektrischen
Lautsprecherimpedanz bei sehr niedrigen Frequenzen (f << fres,mech). Die Grenze
des Messbereichs sollte eine Dekade unter der mechanischen Resonanz des Lautsprechers liegen. Abb. 52 zeigt die Ermittlung des ohmschen Widerstands ( )
eines elektrodynamischen Lautsprechers.
ÈZ È
€€€€€€€€€e€€€€€€€
W
Abb. 52 Bestimmung des
ohmschen
3.14
elektrischen
Widerstands
Rel
des
Lautsprechers
aus
der
elektrischen Impedanz Ze
durch den Grenzübergang
3.10
f
0 Hz.
lim ÈZe HsLÈ= Rel
f®0 Hz
3.06
3
4
5
Messung von Ze
6
7
8
9
f
€€€€€€€
10 Hz
Rel = 3.09
Ermittlung von Re
Um die Phasendrehung der elektrischen Impedanz vom Einfluss der mechanischen Schallparametern zu befreien reicht ein einfacher Grenzübergang zu niedrigen Frequenzen (Gl. 91) nicht aus. Dies geschieht durch eine Erhöhung der
Membranmasse (Kap. 4.1.5.3) mm → ∞ (Gl. 101), das sich durch Festklemmen
des Spulenkörpers leicht erreichen lässt. Eine Annäherung an die Phase der elektrischen Impedanz (Abb. 53) durch eine Gerade (Gl. 151) bestimmt bei niedrigen
Frequenzen die elektrische Induktivität Lel. Die Steigung ael der Geraden ist
proportional zur Induktivität Lel und indirekt proportional zum elektrischen Wi-
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
61
derstand Rel. Aus der Steigung der Geraden resultiert sofort bei bekanntem Rel die
lineare Induktivität Lel(Gl. 152).
jHZe L=0.082°+0.230°s f
(Gl. 151)
Rel
Lel =Dael €€€€€€€€€
€ =1.97 mH
360
(Gl. 152)
Eine direkte Möglichkeit die Steigung ael aus Abb. 53 zu ermitteln, stellt die
Gruppenlaufzeitbestimmung gr(Zel) (Abb. 54) dar. Bei 0 Hz besitzt die Gruppenlaufzeit eine Asymptote. Dies erleichtert die Bestimmung der Steigung der Phase
durch einfaches Vermessen des Plateaus (Gl. 153). Bei niedrigen Frequenzen hat
der Wirbelstrom keinen Einfluss auf die Phasenverschiebung.
d
360 Lel
1
1
Τgr = lim - €€€€€€€ jHZe LÈΩ=2 Π fg =- €€€€€€€€€€ €€€€€€€€
€ =- €€€€€€€€ Dael =- €€€€€€€€ 0.230°=-36.6 ms
fg®0 dΩ
2 Π Rel
2Π
2Π
j HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
3
(Gl. 153)
Abb. 53 zeigt die Bestimmung der Steigung der Phase
ael der Impedanz bei niedri-
2.5
ger Frequenz.
2
1.5
Durch Anlegen einer Geraden
1
(Ze)
an den Phasenwinkel
(Gl. 151) und den Koeffizien-
0.5
Messung von jHZe L
3
4
5
6
7
8
9
f
€€€€€€€
10 Hz
tenvergleich mit der Taylorentwicklung (Gl. 101) um
f = 0 Hz
ergibt
sich
die
Induktivität Lel = 1.97 mH bei
Verwendete Messwerte
d
Ermittlung von lim €€€€€€€ jHZe LÈf=fg ×f
fg®0 df
bekanntem ohmschen Widerstand Rel.
Τgr HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
ms
Abb. 54 zeigt die Gruppenlaufzeit
gr(Zel).
Sie errechnet
sich aus der negativen Ableitung der Phase nach der
-25
Kreisfrequenz
und
besitzt
eine Asymptote bei f → 0 Hz.
-30
Die Steigung
ael der Phase
(Ze) bei niedrigen Frequen-
-35
zen (Abb. 53) kann somit
3
4
5
Messung von Τgr HZe L
6
7
8
9
f
€€€€€€€
10 Hz
1 d
Ermittlung von Τgr HZe L=lim - €€€€€€€€ €€€€€€€ jHZe LÈf=fg
fg®0 2 Π df
recht einfach aus der Gruppenlaufzeit gewonnen werden.
62
6.1 Messungen und Ergebnisse
j HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
80
60
45°
40
20
10
100
Messung von jHZe Lin °
1000
f
€€€€€€€
10000 Hz
Verwendete Messwerte
Ermittlung von jHZe L mit Wirbelstrom fwg
jHZe L ohne Wirbelstromeffekt
Abb. 55 zeigt den Phasenverlauf der elektrischen Impedanz bei festgeklemmter Membran. Durch
das Fehlen der Membranbewegung sind Rückwirkungen auf die elektrische Impedanz durch mechanische Parameter eliminiert. Der Wirbelstromeffekt reduziert den Anstieg der Phasenverschiebung von 90°, verursacht durch die lineare elektrische Spulenimpedanz, auf nur 45°. Die Einführung einer nichtlinearen Wirbelstromimpedanz beschreibt diesen Effekt sehr gut. Die Grenzfrequenz fwg = 458.52 Hz beschreibt den Beginn der Auswirkung des nichtlinearen Wirbelstromanteils.
Die Phasenverschiebung der elektrischen Impedanz eines elektrodynamischen
Lautsprechers steigt bei einer verlustfreien Spule (Abb. 55) bei sehr viel größeren
Frequenzen als fres,mech auf 90° ( ). Durch den Wirbelstromeffekt steigt die Phasenverschiebung nur auf 45° ( ). Die nummerische Variation der Grenzfrequenz
fwg = 458.52 Hz (Gl. 87) des nichtlinearen Wirbelstromeffekts und (Gl. 88) ergibt
die nichtlineare Induktivität Lw.
ΜH
Lw = 36.73 €€€€€€€€
€€€€
(Gl. 154)
!!!!!!
Hz
Durch Festklemmen der Membran gibt es keine Rückwirkungen der Membranbewegung auf die Phasendrehung. Messungen ( ) und Modell ( ) ergeben eine
gute Übereinstimmung. Abweichungen der Phase über 800 Hz kommen durch
nicht modellierte Wirbelstromeffekte höherer Ordnung und zusätzlicher Phaseverschiebung durch das Stellglied zustande. Der Betrag der elektrischen Lautsprecherimpedanz (Abb. 56) steigt bei großen Frequenzen durch den Wirbelstromef-
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
63
fekt nicht wie bei einer idealen Luftspule mit 20 dB ( ), sondern mit 10 dB pro
Dekade. Die mechanische Rückwirkung der Membranbewegung ist durch das
Festklemmen der Membran verhindert, somit verschwindet die mechanische
Resonanzstelle (Abb. 68) in der elektrischen Impedanz. Modell ( ) und Messung
( ) korrespondieren sehr gut miteinander.
Messung von ÈZe È
nichtlineares Modell mit Wirbelstromeffekt
lineares Modell ohne Wirbelstromeffekt
20
15
10
ÈZ È
€€€€€€€€€e€€€€€€€€
W
7
5
3
10
100
1000
10000
f
€€€€€€€
Hz
Abb. 56 zeigt die elektrische Impedanz des Lautsprechers Ze bei festgeklemmter Membran. Die
elektrische Impedanz steigt bei Frequenzen größer als 500 Hz mit 10 dB statt mit 20 dB pro
Dekade.
64
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
6.1.3.2 Kopplungsparameter av ,gv
Die Anbindung von mechanischen Elementen an den elektrischen Kreis wird
durch die Kopplungsparameter av (Gl. 62), gv (Gl. 93) bestimmt. Die Ankopplung
der elektrischen Elemente an die mechanischen Komponenten beschreibt der
Kraftfaktor M und die Federkonstante Dm. Sie können aus den Kopplungsparametern av und gv extrahiert werden.
6.1.3.2.1 Kopplungsparameter gv
Schwingt die Lautsprechermembran frei in einem reflexionsarmen Raum, kommt
es zu einer zusätzlichen Phasenverschiebung in der komplexen elektrischen Impedanz, deren Ursache in den mechanischen Elementen liegt (Abb. 57) (Gl. 93). Das
Schallfeld besitzt bei niedrigen Frequenzen (f<<fres,mech) nur geringen Einfluss auf
die elektrische Impedanz. Der Kopplungsfaktor gv (Gl. 155), bestehend aus dem
Verhältnis des quadrierten Kraftfaktors M zur Federkonstante Dm, bestimmt die
Zunahme der Steigung der Phase ael,mech bei 0 Hz.
j HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
30
Abb. 57 Bei niedriger Frequenz steigt die Phase der
komplexen
25
elektrischen
Impedanz linear bei frei20
schwingender Lautsprechermembran in einem schallre-
15
flexionsarmen Raum. Aus der
Taylorentwicklung (Gl. 92)
10
bei f = 0 Hz ergibt sich die
5
Steigung der Geraden ael,g.
Messung von jHZe L
3
4
5
6
7
8
Verwendete Messwerte
d
Ermittlung von lim €€€€€€€ jHZe LÈf=fg ×f
fg®0 df
9
f
€€€€€€€ Durch Koeffizientenvergleich
10 Hz
zwischen (Gl. 156) und (Gl.
92) ermittelt sich die Steigungszunahme
ael,mech = ael,g- ael
der
elektrischen Phasenimpedanz
bei mechanischer Membranrückwirkung.
Aus der Steigungszunahme ael,mech = ael,g- ael gegenüber der Steigung ael der
reinen elektrischen Komponenten (Abb. 53) errechnet sich der Kopplungsparameter gv (Gl. 155).
Rel
sV
(Gl. 156)
gV =Dael,mech €€€€€€€€€
€ =0.0209 €€€€€€€ (Gl. 155) jHFL=0.250°+2.67°s f
360
A
Wie bei der Bestimmung der Steigung ael der Phase (Gl. 153) bei den elektrischen Komponenten aus Kapitel 6.1.3.1, ergibt die Gruppenlaufzeitbestimmung
(Zel) bei 0 Hz direkt die Steigung ael,g, aus der die Steigungszunahme ael,mech
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
65
und der Anbindungskoeffizient gv (Gl. 155) errechnet wird. Aus dem Plateau der
Gruppenlaufzeit gr(Ze) an der Asymptote bei 0 Hz ist die Steigung sofort zu
bestimmen Abb. 58.
Τgr HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
ms
Abb. 58 zeigt die Gruppenlaufzeit τgr der elektrischen
-300
Lautsprecherimpedanz
bei
sehr niedrigeren Frequen-350
zen (f<<fres,mech).
Auf Grund des linearen
-400
Phasenanstiegs
um
0 Hz
(Abb. 57) kommt es zu
450
einem
3
4
5
Messung von Τgr HZe L
6
7
8
9
f
€€€€€€€
10 Hz
Plateau
bei
der
Gruppenlaufzeit.
1 d
Ermittlung von Τgr HZe L = lim - €€€€€€€€ €€€€€€€ jHZe LÈf=fg
fg®0 2 Π df
6.1.3.2.2 Kopplungsparameter av
Die Anbindung der elektrischen Komponenten an die mechanische Bewegung
beschreibt der Kopplungsfaktor av (Gl. 62). Durch quasistationäre Auslenkung
f << fres,mech geht die Wegauslenkungsübertragungsfunktion für Luft F (Gl. 58)
sowie für Vakuum Fvak (Gl. 72) in den Kopplungsparameter av (Gl. 71) über. Abb.
59 zeigt die Ermittlung des Kopplungsparameters av (Gl. 158). Er gibt direkt die
Auslenkung bei quasistationärer Anregung bei einem bestimmten eingeprägten
Strom an.
Ist gv (Kap. 6.1.3.2.1) bekannt, ermittelt sich der Kraftfaktor M ([M] =Tesla Meter) und die Federkonstante Dm der Membran wie folgt:
M
mm
lim F= €€€€€€€ =2.114 €€€€€€€
(Gl. 157)
s®0
Dm
A
SP
M= €€€€€€€€ gV =9.896 Tm
aV
(Gl. 158)
SP 2
N
Dm =J €€€€€€€€ N gV =4681 €€€€
aV
m
(Gl. 159)
66
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
È S Füem P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€
1
Abb. 59 zeigt die Übertragungsfunktion F der Memb-
4.4
ranbewegung ∆x im niedri-
4.2
gen Frequenzbereich. Das
4
6
8
10
12
14
Ermitteln
des
Plateaus
ergibt den Kopplungsfaktor
av. Die einprägende Kraft-
3.8
komponente
3.6
aus
dem
elektrischen auf den me-
3.4
3.2
f
€€€€€€€
Hz
chanischen Teil wird durch
Messung von ÈS
av beschrieben.
Füem
PÈ
Modell von ÈS Füem PÈ
Verwendete Messwerte
Ermittelung von ÈS Füem PÈf=0 Hz
6.1.3.2.3 Mechanische Parameter bv, cv, dv, ev
Die Phasenbeziehungen der Wegauslenkungsfunktion F (Gl. 68) in Luft bzw. Fvak
(Gl. 72) in Vakuum und hängen nur noch von den Verhältnissen der mechanischen (bv, cv) und Schallparameter (dv, ev) ab. Das Vermessen des Lautsprecherchassis im Vakuum reduziert die Phase der Wegauslenkungsfunktion F auf die
mechanischen Parameter bv und cv. Die Parameter bv, cv ergeben sich direkt aus
der Steigung ∆ax und dem Fußpunkt cx der nach Taylor erster Ordnung entwickelten Phase (Abb. 13). Erneutes Anwenden der Methode für die Phase der Wegauslenkungsfunktion F in Luft ergibt durch Lösen des Gleichungssystems mit (Gl.
79) und (Gl. 80) die Parameter dv, ev .
6.1.3.2.4 Mechanische Verhältnisparameter bv, cv, dv, ev
Die mechanischen Verhältnisparameter bv (Gl. 63) und cv (Gl. 64) ergeben sich
aus der Steigung ∆ax,vak und den Fußpunkt cx,vak (siehe auch Abb. 13) der Taylor
entwickelten Phase im Vakuum (Gl. 74). Bei bekannter Federkonstante der Lautsprechermembran ergibt sich die Massekonstante mm (Gl. 160) und die Dämpfungskonstante km (Gl. 161) der Membran. Durch das Schallfeld kommt es zu
einer Aufpunktverschiebung, die Steigung ändert sich nur geringfügig (Abb.
61/Abb. 62). Eine erneute Bestimmung dieser Geraden (Kap. 4.1.4.1) ermittelt die
Parameter dv und ev. Die geschlossene Lösung der Gleichungen nach der Dämpfungskonstante ksch und Masse msch des Schallfeldes ist möglich. Die Terme werden recht groß und deshalb hier nur die nummerischen Lösungen für die
Dämpfungs- ksch (Gl. 163) und Massekonstante msch (Gl. 162) angegeben.
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
67
j HFL
€€€€€€€€€€€€€€
°
-25
-50
-75
-100
jHFvak L
jHFL
26
28
30
32
f
€€€€€€€
Hz
-125
-150Messung von jHFL
Verwendete Messwerte
-175
Modell
lineare Näherung bei f=90°
Abb. 60 zeigt die Phasenbeziehung der Wegübertragungsfunktion im Vakuum Fvak und in Luft F.
Durch Anlegen einer Geraden am 90°-Punkt ergeben sich jeweils zwei Parameter. Die Aufpunkte
und die Steigungen der Geraden ergeben die mechanischen Verhältnisparameter bv, cv, dv, ev.
Dax,vac 2
mm
bv = €€€€€€
€ = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€ -> mm =0.1211 kg (Gl. 160)
Dm 4 Hcx,vac + 90L2 Π2
180 Dax,vac
km
Ns
cv = €€€€€€
€ = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
€2€€€ -> km =4.213 €€€€€€€ (Gl. 161)
2
Dm 4 Hcx,vac + 90L Π
m
Ns
ksch =34.9 €€€€€€€ (Gl. 163)
m
Eine vereinfachte Methode der Steigungsbestimmung der Vakuum- und Luftmessung der Wegauslenkungsübertragungsfunktion F und Fvak stellt wieder die Gruppenlaufzeitbestimmung (Gl. 53) dar. Aus dem Ort des Maximums f90°,vak folgt
direkt cv (Gl. 164) und aus der Höhe bv (Gl. 165).
msch =0.03013 kg
(Gl. 162)
km
1
1
cV = €€€€€€
€ =H €€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ L2
Dm
2 Π f90 °,vak
mm 720 cV
bV = €€€€€€
€ = €€€€€€€€€€€€€€€€
Dm
Τgr
(Gl. 164)
(Gl. 165)
68
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
Τgr HFL
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s
4
Τgr HFvak L
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
s
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
f90
f
€€€€€€€
40 Hz
Rechnung von ΤHFvak L aus jHFvak L Messung
26
28
30
32
34
36
38
26
gr(Fvak)
28
30
32
f
€€€€€€€
Hz
Rechnung von ΤHFL aus jHFL Messung
-1
d
Ermittlung von Τgr HZe L= €€€€€€€€ lim €€€€€€€ jHFLÈf=fg
2 Π fg®f90° df
1 d
Ermittlung von Τgr HZe L=- €€€€€€€€ €€€€€€€ jHFL
2 Π df
-1
d
Ermittlung von Τgr HZe L= €€€€€€€€ lim €€€€€€€ jHFvak LÈf=fg
2 Π fg®f90° df
1 d
Ermittlung von Τgr HZe L=- €€€€€€€€ €€€€€€€ jHFvak L
2 Π df
Abb. 61 zeigt die Gruppenlaufzeit
f90
für die Abb. 62 zeigt die Ermittlung der Gruppenlaufzeit
Wegauslenkungsfunktion gemessen in Vakuum.
gr(F)
für die Wegauslenkungsfunktion gemessen
Das Maximum ergibt die Steigung der taylorent- in Luft. Das Maximum ergibt die Steigung der
wickelten Phase bei der Frequenz f90°,vak.
taylorentwickelten Phase bei der Frequenz f90°,luf.
6.1.4 Vergleich Thiele-Small und neue Methode nach Geiger
Die elektrische Impedanz wurde beim Ravemaster vermessen. Daraus wurden die
Thiele-Small-Parameter (Tabelle 2) bestimmt und aus ihnen das Modell (Gl. 50)
der elektrischen Impedanz errechnet (Abb. 63). Das Modell entstand durch Ersetzen der räumlich ausgedehnten Bauteile mit konzentrierten Elementen. Die Parameter verändern sich im Betrieb durch Alterung. Die Impedanzkurve, ermittelt
aus den Herstellerdaten ( ), weicht auf Grund von Streuungen im Produktionsprozess und durch den Alterungsprozess (Entweichen von Weichmacher usw.)
von der Messung (•) ab. Bei Frequenzen über 200 Hz ist deutlich der Wirbelstromeffekt zu erkennen. Das Einarbeiten des nichtlinearen Impedanzwiderstands
für die Schwingspuleninduktivität erweitert das Modell ( ) sehr gut. In der neuen
Methode nach Geiger ist das Schallfeld durch ein konzentriertes DämpferMasseelement, als idealer Kugelstrahler, berücksichtigt. Die Annäherung des
Kugelstrahlers an einen Kolbenstrahler ist nur eine grobe Näherung (Kap. 3). Die
gemessenen Werte weichen daher von den theoretisch berechneten Werten für das
Dämpfungs- und das Masseglied ab. Die unendliche Schallwand entspricht nur
einer endlichen Aluminiumwand von einer Fläche von 80 cm auf 80 cm.
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
69
Z
el€€€
€€€€€€€€
W
22.5
Abb. 63 zeigt Betrag und
Phase der errechneten und
gemessenen
20
Impedanz.
17.5
elektrischen
Einerseits
wurden die Parameter aus
15
den Herstellerangaben der
12.5
Thiele-Small-Parameter
10
ermittelt und andererseits
7.5
selbst nach Thiele-Small
5
50
100
500 1000
f
€€€€€€€
Hz
und nach der neuen Methode nach Geiger bestimmt.
j HZ L
el
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
°
60
40
20
50
100
500 1000
f
€€€€€€€
Hz
-20
-40
-60
Daten
Messung
neueneue
Methode
Methode
ThieleSmall
ermittel
ThieleSmall
ausgewertet aus Impedanz
ThieleSmall
Hersteller
ThieleSmall
Hersteller
6.1.5 Zusammenfassung Auswertung des neuen Messverfahrens
Das neue Messverfahren selektiert die Ermittlung der einzelnen Parameter eines
elektrodynamischen Lautsprechers nach ihren physikalischen Größen und Herkünften. Somit werden alle Parameter des Lautsprechers durch spezifische Messungen bestimmt (siehe Abb. 63-66). Der elektrische Gleichstromwiderstand
ergibt den Grenzübergang der Lautsprecherimpedanz zu 0 Hz hin. Die Rückwirkung von der mechanischen Wegauslenkung der Membran in die elektrische
Impedanz enthält der Kopplungsparameter gv. Eine Taylorentwicklung der Phase
des Lautsprechers bei freischwingender Membran um 0 Hz ergibt den Faktor gv
und bei festgeklemmter Membran die Schwingspuleninduktivität Lel. Die Wirkung eines Stromes Ie im elektrischen Kreis auf die mechanischen Elemente beschreibt der Kopplungsfaktor av. Er resultiert aus dem Betrag der Wegauslenkung.
Die mechanischen Parameter bv, cv, dv, ev werden direkt aus der Phase der Wegauslenkung gewonnen. Sie sind unabhängig von der Übertragungsfunktion des
Stellglieds und des Photosensors. Die gezielten Manipulationen am Lautsprecher
ermöglichen eine genaue und unabhängige Bestimmung der elektrischen, mecha-
70
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
nischen und Schallparameter. Tabelle 2 zeigt die Gegenüberstellung von Thiele/Small zur neuen Methode nach Geiger.
j HZe L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
60
Z
el€€€
€€€€€€€€
W
40
20
20
15
fwg
gv
0
Le
-20
10
-40
5
10
100
1000
f
€€€€€€€
Hz
f
€€€€€€€
Hz
10
100
1000
Ermittlung von jHZe L frei schwingend
Bestimmung Rel
Modell Impedanz Ze
Ermittlung von jHZe L festgeklemmt
taylorentwickelt bei f=0 Hz
taylorentwickelt bei f=0 Hz
Ermittlung von fwg ™ Lw
Abb. 64 zeigt den Grenzübergang der elektri- Abb. 65 zeigt die Bestimmung der linearen Induktischen Impedanz Ze zu 0 Hz, was den ohmschen vität. Die Grenzfrequenz fwg bei der sich der WirGleichstromwiderstand Rel ergibt.
belstromeffekt auf die elektrische Impedanz auswirkt, wird durch Anfitten der Phase an den 45°
Übergang ermittelt. Eine Taylorentwicklung um 0
Hz bei freischwingender Membran ergibt den
Kopplungsfaktor gv.
j HFL
€€€€€€€€€€€€€€
°
600
È S Füem P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€
1
30
500
cx,vak
cx,luf
Modell jHFL
taylorentwickelt bei f90 °
20
10
Steigung der Geraden Dax
400
aus Dax und cx
0
™ Parameter bv , cv , dv , ev
300
-10
-20
200
-30
-40
100
5
10
Messung von ÈS Füem PÈ
50 100
500
f
€€€€€€€
Hz
0
jHFL
-100
Dax,luf
jHFvak L
90°
Dax,vak
Bestimmung von av
20
40
60
80
f
€€€€€€€
100 Hz
Abb. 66 zeigt die Bestimmung des Kopplungs- Abb. 67 zeigt die Ermittlung der mechanischen
parameters av aus der Übertragungsfunktion des Parameter bv, cv, dv und ev. Die Phasendrehung
Weges bei sehr niedriger Frequenz.
hängt nicht von der Übertragungsfunktion des
Stellglieds und des Sensors ab. Beide Funktionen
haben P-Verhalten und kürzen sich bei der Berechnung der Phasenbeziehung heraus.
zusätzlich aufgelegte Membranmasse
ohmscher elektrischer Widerstand
elektrische Induktivität
Wirbelstromanteil
Kraftfaktor
Federkonstante der Membran
Masse der Membran
Dämpfungskonstante der Membran
Ersatzmasse des Schallfelds
Rel W
Lel H
!!!!!!
Lw H Hz
Ns
km = €€€€€€€
m
msch kg
Ns
ksch  €€€€€€€
m
neue Methode nach Schallparameter
Geiger
aus Kugelmodell
0.0195
3.60
3.09
(Abb. 4)
1.16 m
N
MHTm= €€€€ L 8.25
A
N
Dm  €€€€
2454
m
mm kg
Thiele/Small
3.09
(Gl. 99)
1.97 m
(Gl. 101)
36.73 µ
(Gl. 87)
9.30
(Gl. 10)
9.896
(Gl. 158)
3700
(Gl. 9)
4681
(Gl. 159)
0.141
0.142
(Gl. 12)
0.121
(Gl. 160)
4.651
4.29
(Gl. 11)
4.213
(Gl. 161)
0.0301
(Gl. 78)
0.0229
(Gl. 24)
34.9
(Gl. 78)
66.826
(Gl. 25)
71
Dämpfungskonstante des Schallfelds
mz kg
Herstellerangabe
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
Tabelle 2 zeigt die Gegenüberstellung der Lautsprecherparameter gewonnen aus den Her-
stellerangaben, der Thiele-Small-Methode und der neu entwickelten Methode nach Geiger.
) zeigen die mit einer Methode nicht bestimmbaren Parameter an.
Es wird keine Zusatzmasse für die Bestimmung des Kraftfaktors M (siehe Kap. 2) benötigt.
Rot markierte Felder (
Lautsprecher
Parameter
72
6.1 Bestimmung der Lautsprechereigenschaften
6.1.6 Impedanz des Lautsprechers
Abb. 68 zeigt die Messung ( ) der elektrischen Impedanz des Lautsprechers mit
einer spannungsgesteuerten Stromquelle. Die gemessene Spannung ist direkt
proportional zum Betrag der Impedanz und gibt die Phasendrehung der komplexen Impedanz (Abb. 69) wieder.
Z
el€€€
€€€€€€€€
W
22.5
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
50
100
Daten
errechnente Impedanz
mit Wirbelstromeffekt
und Membranvibrationen
f
€€€€€€€
Hz
500 1000
Zoom
6
5.5
5
Ie
U0
Z e= I
e
4.5
4
U0
3.5
150 200
300
Abb. 68 zeigt den Betrag der elektrischen Impedanz Ze des elektrodynamischen Lautsprechers
Ravemaster VXT 1524. Die Datenmessung stimmt mit dem erweiterten Modell mit Wirbelstromeffekt und Membranvibration sehr gut überein. Die Pole und Nullstellen der Eigenresonanzen der
Lautsprechermembran und des Chassis sind nur durch kleine Resonanzstellen in der Impedanz zu
erkennen. Der Wirbelstromeffekt und die induktiven elektrischen Impedanzen verdecken die
Rückwirkungen der mechanischen Eigenschwingung in der elektrischen Impedanz, obwohl ihre
Resonanzstellen in der Wegauslenkung F bis zu 20 dB betragen (siehe Abb. 74).
Aus der Wegübertragungsfunktion F (Gl. 58) lässt sich der Betrag und die Phase
der elektrischen Impedanz Ze ( ) errechnen. Durch den Wirbelstromeffekt steigt
der Betrag der Impedanz nur um 10 dB ( ) statt um 20 dB wie bei einer verlust-
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
73
freien Luftspule. Dieser Effekt ist auch in der Phasendrehung mit 45° statt 90°
ersichtlich. Die parasitären Chassis- und Membraneigenschwingungen, die in der
Wegauslenkung Zusatzresonanzstellen von bis zu 20 dB (Abb. 59) und Phasendrehungen von bis zu 360° ergeben (Abb. 60), zeigen im Betrag der elektrischen
Impedanz nur kleine Resonanzstellen ( ) und sind selbst in der Phase kaum zu
erkennen. Die Impedanz der Induktivität steigt betragsmäßig mit 20 dB und die
Impedanz des Wirbelstromeffekts mit 10 dB. Sie verdecken die Resonanzstellen,
deren Ursache in der Rückwirkung der mechanischen Bewegung in die komplexe
Impedanz liegt, die für hohe Frequenzen mit 20 dB pro Dekade fällt.
j HZ L
el
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
°
60
ohne Wirbelstromeffekt
40
mit Wirbelstromeffekt
20
50
100
f
€€€€€€€
Hz
500 1000
-20
Zoom
-40
-60
Daten
errechnente Impedanz
mit Wirbelstromeffekt
und Membranvibrationen
30
27.5
25
22.5
20
17.5
15
12.5
150 200
300
Abb. 69 zeigt die Phase der elektrischen Impedanz Ze des elektrodynamischen Lautsprechers
Ravemaster VXT 1524. Eigenschwingungen der Membran und des Chassis sind kaum erkennbar.
Durch erweiterten des Modells um den Wirbelstromeffekt und den Membranvibration ergibt sich
eine gute Übereinstimmung zu den Daten. Durch Rückrechnen der gemessenen mechanischen
Eigenresonanzen im Weg der Schwingspule auf die ideale elektrische Lautsprecherimpedanz,
ergeben sich an den entsprechenden Stellen die vorhergesagten Phasendrehungen. Die Membraneigenvibrationen am Ring transformieren sich in die elektrische Impedanz.
74
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
Die Strecke des Systems bestehend aus Lautsprecher, Stellglied und Istgrößenerfassung wurde in Vakuum und in einem schallreflexionsfreien Raum in Luft
vermessen. Die Wegübertragungsfunktion F und Fvak wurde mit Betrag und Phase
bestimmt und mit der Software Mathematica [Wolfram Research, 2004] die Modellparameter nach Kapitel 6.1 ermittelt und somit die Modellfunktionen den
Messungen gegenüber gestellt.
6.2.1 Betrag der Wegauslenkung
Abb. 70 zeigt die Wegauslenkungsübertragungsfunktion aufgenommen in einem
schallreflexionsarmen Raum und im Vakuum. Das P-T2 Verhalten (Gl. 71) der
Wegauslenkung in Vakuum, bestehend aus einer rationalen Übertragungsfunktion
zweiter Ordnung, ist deutlich erkennbar. Durch die dämpfende Wirkung des
Schallfeldes auf die Membranauslenkung kommt es bei der mechanischen Resonanz bei 31.154 Hz zu einer Polverschiebung von 3.162 Hz (Abb. 70 zu Abb. 71).
Die Resonanzfrequenz liegt nun bei 28.00 Hz.
È Fü P È
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
dB
30
Abb. 70 zeigt den Betrag der
28.00
Übertragungsfunktion der Wegänderung der Membran gemessen bei
20
-3
einem Druck von p = 0.8 10 mbar
10
(Vakuum). Die rationale Funktion
20
50
100
-10
f
€€€€€€€ zweiter
Hz
Ordnung
besitzt
P-T2
Verhalten (Gl. 71). Die mechanische Resonanz Max(|FVak|) liegt bei
Messung
fres,mech = 31.154 Hz.
-20
Modell
-30
È Füvak P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€
dB
30
Abb. 71 zeigt den Betrag der
3.162
Wegauslenkung der Schwingspule
des elektrodynamischen Lautspre-
31.154
chers gemessen im schallreflexions-
20
armen Raum. Durch das Schallfeld
10
kommt es zu einer Dämpfung der
20
-10
100
sche Resonanzstelle verschiebt sich
um 3.162 Hz nach rechts. Ein Maß
Messung
-20
Modell
-30
50
f
€€€€€€€ Membranbewegung. Die mechaniHz
für
den
Dämpfungsfaktor
des
Systems ist die Verschiebung der
Resonanzstelle
gegenüber
der
Phasendrehung von 90° (Abb. 79).
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
75
Bei einer Frequenz f unterhalb von 285 Hz, bei der die Schallwellenlänge λ im
Bereich des Membrandurchmessers liegt (Gl. 28), ergeben die Kugelwellennäherung und Kolbennäherung ein nahezu identisches Modell (Abb. 7), deshalb wurde
nur die Kugelwellennährung berücksichtigt.
6.2.2 Phase der Wegauslenkung
Das Maximum des Betrags der mechanische Resonanzstelle im Vakuum verschiebt sich durch die innere Materialdämpfung der Membran von 31.154 Hz um
0.126 Hz weg vom 90°-Durchgang der Phase bei 31.28 Hz (Abb. 70 zu Abb. 72).
Durch die Auswirkungen des Schallfeldes kommt es zu einer zusätzlichen Polverschiebung der mechanischen Resonanzstelle von 3.162 Hz. Bei reiner Dämpfung
des Systems darf nur die Steigung im 90°-Durchgang der Phase schwächer werden. Dies ist hier nicht der Fall. Die 90°-Stellen der Phaseverschiebungen des
Weges in Vakuum verschiebt sich bei einem Übergang in Luft um 3.228 Hz (Abb.
72 zu Abb. 73). Es entsteht ein zusätzliches rationales P-T1 Übertragungsglied
was die zusätzlichen Auswirkungen beschreibt, wie z. B. die Frequenzverschiebung der 90°-Stelle und die Absenkung des Betrags bei großen Frequenzen.
j HFüvak L
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€
°
Resonanzstelle des Betrags wandert
durch Dämpfung um 0.125 Hz
20
50
100
-25
Weges des elektrodynamischen
f
€€€€€€€ Lautsprechers gemessen in VakuHz
um. Bei der rationalen Funktion
zweiter Ordnung (Gl. 71) liegt die
-50
Resonanzspitze des Betrags des
-75
ungedämpften Systems bei 90°.
31.284
-100
Beim gedämpften System kommt
-125
-150
Abb. 72 zeigt die Phase des
es zu einer Verschiebung der
Betragsresonanzstelle von 0.126
Messung
-175
Hz gegenüber der 90°-Stelle der
Modell
Phase. Die Lage der 90°-Stelle
-200
bleibt, die Steigung nimmt ab.
j HFü L
€€€€€€€€€€€€€€€€
°
Abb. 73 zeigt die Phase der
20
-25
50
3.228
100
f
€€€€€€€ Übertragungsfunktion des Weges
Hz
gemessen in Luft. Durch das
-50
Schallfeld kommt es um den 90°-
-75
Durchgang zu einer zusätzlichen
-100
Vorwärtsdrehung der Phasen von
3.228 Hz gegenüber der Vaku-
-125
-150
ummessung. Ein rationales P-T1Messung
Glied beschreibt die zusätzlichen
Modell
Auswirkungen,
-175
-200
die
außer
der
Polverschiebung des Schallfeldes
auf die Membran entstehen (Gl.
58).
76
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
6.2.3 Membranauslenkung mit Eigenschwingungen der Membran
Abb. 74 zeigt den Betrag der Übertragungsfunktion des Weges eines Doppelschwingspulensystems (Ravemaster VXT 1524) von 10 Hz bis 2.5 kHz. Bei höheren Frequenzen weicht das vereinfachte Lautsprechermodell Fü ( ) von den
Messwerten ( ) ab. Ursachen hierfür sind Membraneigenschwingungen (Kap.
4.1.7) und parasitäre Schwingungen des Lautsprecherchassis. Eine Beschreibung
dieser Pole und Nullstellen ist durch Einführen einer Korrekturfunktion Füem (Gl.
107 in Kap. 4.1.7.2, siehe auch Abb. 74 ) möglich.
Die parasitären Eigenschwingungen resultieren zum Großteil aus den Eigenresonanzen des Membrantrichters des Lautsprechers. Durch Messen der eindimensionalen Verschiebung der Spulenauslenkung kommt es zu Vereinfachung der komplexen partiellen Differentialgleichungslösung zu einer eindimensionalen Lösung
F (Gl. 58).
Problematisch für einen Regelkreis sind Phasendrehungen über 180°. Durch
Implementieren einer Korrekturfunktionen RK(s) (Gl. 166) im Regler als inverse
Funktion kann solch einem Streckenverhalten entgegen gewirkt werden.
RK HsL=Fem -1
(Gl. 166)
Durch Vergleich von Kompensatorstruktur RK (Gl. 144) und ermittelten Korrekturfunktion Fem (Gl. 107) für die parasitären Schwingungen ergeben sich die
notwendigen Koeffizienten. Besteht die Phasennacheilung in Verbindung eines
Pol- links und einer Nullstelle rechts der komplexen Polhalbebene, limitiert dies
die maximal höchste zu regelnde Frequenz (Gl. 166). Die Phase dreht sich um
zusätzliche 360° bei insgesamt steigendem Betragverlauf (siehe Phase Abb. 74
beim Ravemaster VXT 1524 ab 1k Hz).
Durch gemeinsame Betrachtung von Phase und Betrag lässt sich erkennen, ob
eine Phasennacheilung durch einen Pol links oder durch eine Nullstelle rechts von
der komplexen s-Ebene verursacht wird. Es lassen sich aus Stabilitätsgründen
keine Pole rechts der komplexen Ebene einfügen. Dies limitiert die Kompensationsmöglichkeit auf rein positive Pole und Nullstellen.
Fem HsL×RK HsL=...HFem,i-1 HsL×RK,i-1 HsLL×HFem,i HsL×RK,i HsLL...
em
em × s2
2
k
1 + aem
1 + ci-1
× s + dki-1 × s2
1 - aem
1 + cki × s + dki × s2
i-1 × s + b
i-1 × s
i × s + bi
=..H €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
€ × €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ L×H €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€2€€ × €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€ L..
em
2
1 + cem
1 + cem
× s + dem
×s
1 + aki-1 × s + bki-1 × s2
1 - aki × s + bki × s2
i-1 × s + di-1 × s
i
i
(
aus Stabilitätsgründen verboten)
(Gl. 167)
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
77
È Füem P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
dB
20
50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
-20
-40
Messung
-60
-80
j HFüem L
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€
°
Modell mit Fem HsL
Modell
50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
-100
-200
-180°
-300
-400
-500
Messung
Modell
Modell mit Fem HsL
Beginn der Phasendrehung
j >> 180°
Abb. 74 zeigt den Betrag der Übertragungsfunktion des Weges des elektrodynamischen Lautsprechers (Ravemaster VXT 1524) gemessen im schallreflexionsarmen Raum bei einem anregenden
Eingangssignal von -30 dBm. Bei höheren Frequenzen weicht die Messung vom einfachen
Lautsprechermodell ( ) ab. Es entstehen weitere Pole und Nullstellen in der Übertragungsfunktion. Die Ursache liegt in den Eigenschwingungen der Membran (Kap. 4.1.7) und den parasitären
Schwingungen des Chassisaufbaus. Eine Erweiterung des Models ( ) durch eine Korrekturfunktion Fem (Kap. 4.1.7.2) berücksichtigt diese Schwingungen. Die parasitären Eigenschwingungen
erschweren die Regelung durch die zusätzliche Phasenvoreilung. Ein Kompensator nach Kap. 4.4
lässt die Phase zurückdrehen und das System wird trotz Eigenschwingungen über weite Bereiche
regelbar. Die Übertragungsfunktion des Wegs zeigt bei einer Anregung von 40 mVss mit dem
Impedance/Gain-Phase Analyzer (HP/Agilent 4194A) und dem neuen Ortssensor (Kap. 4.2) eine
Auflösung von 100 dB.
Durch geeignete Aufprägung einer Membranstruktur [Jecklin, 2003] und die
Materialauswahl können diese Resonanzen in einen anderen Frequenzbereich
verschoben und teilweise ganz beseitigt werden. Abb. 75 zeigt den elektrodynamischen Lautsprecher Monacor (Superior SPH 390 TC), dessen Betragsverlauf
wesentlich weniger Pole und Nullstellen aufzeigt, als der des Ravemasters. Auf
78
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
der Lautsprechermembran ist im Gegensatz zum Ravemaster eine Ringstruktur
aufgebracht. Die Sicke ist sehr weich aufgehängt.
Bei höheren Frequenzen weicht die Messung ( ) vom einfachen Lautsprechermodell ab. Eine Modellierung durch die Korrekturfunktion Fem (Gl. 107) mit Ordnung n = 4 ergibt das erweiterte Modell ( ). Es entsteht eine weitere Resonanzstelle bei ca. 450 Hz, jedoch sind weit weniger Pole und Nullstellen als beim
Ravemaster VXT 1524 (Anzahl der Polordnung n = 18) zu beobachten. Eine
Nullstelle rechts der Polhalbebene ist nicht erkennbar. Die Struktur des Reglers
reduziert sich in diesem Fall auf einen realen PD-Regler mit einem Kompensator
(Anzahl der Kompensatorordnung n =4).
È Füem P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
dB
40
Abb. 75 zeigt den Betrag und die
Phase der Übertragungsfunktion
des Weges gemessen am elektrodynamischen
20
Monacor (Superior SPH 390 TC)
20
50
100
1k
f
€€€€€€€
Hz
2k
im schallreflexionsarmen Raum.
Bei höheren Frequenzen weicht
die Messung ( ) vom einfachen
-20
-40
Lautsprecher
Messung
Lautsprechermodell
Modell
Gegensatz
zum
ab.
Im
Ravemaster
besteht bei über 1 kHz eine viel
-60
j HFüem PL
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€
°
20
-25
geringere Phasennacheilung. Die
Phasennacheilung
50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
Messung
-50
-75
Modell
bleibt
für
Frequenzen von bis zu 2.5 kHz
bei 180°. Eine viel einfachere
Regelung ist durch Zurückdrehen der Phase von 90° um den
0 dB-Punkt des Betrags möglich.
-100
Dies kann mit einem realen PD-
-125
Glied geschehen.
-150
-175
-200
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
79
6.2.4 Regelstruktur
Die Dimensionierung des Reglers ergibt sich aus dem Streckenverhalten. Die
Phase muss um den 0 dB-Punkt herum unter 180° liegen. Durch Zurückdrehen der
Phase kann eine Stabilitätsreserve erreicht werden. Es kommt zu einem Anheben
des Betragsfrequenzgangs. Um zusätzliches Rauschen zu vermeiden, muss diese
Betragsanhebung für hohe Frequenzen abgesenkt werden.
È RR È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€
dB
50
Abb. 76 zeigt den Betrag und die
Phase verschiedener Reglerstrukturen. Der reale PD-Regler ist
sehr einfach zu verwirklichen.
40
Beim realen PID-Regler wird
30
versucht die Resonanzstelle so
zu
20
kompensieren,
gesamte
10
offene
dass
die
Strecke
I-
Verhalten zeigt. Die mechani50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
j HR R L
€€€€€€€€€€€€€€€€€
°
sche
Resonanzstelle
ist
sehr
anfällig für Parameterschwankungen.
Eine
exakte
Auslö-
schung ist nur selten möglich.
Beim realen PD-Regler wird die
75
Resonanzstelle ausgenutzt um
50
bei niedrigen Frequenzen Schlei-
25
50
100
-25
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
fenverstärkung zu gewinnen. Es
wird lediglich die Phase für hohe
Frequenzen um etwa 1 kHz
-50
ausgeführt als
-75
realer PD Regler
realer PID Regler
zurückgedreht.
80
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
6.2.5 Offener Kreis
Der Betrag und die Phase (Abb. 77) des offenen Kreises der Regelstrecke mit dem
Lautsprecher Ravemaster, dem Regler und dem Ortssensor zeigen die Stabilitätsgrenzen des Systems auf. Der offene Kreis besitzt den 0 dB-Punkt bei 400 Hz, bei
einer Phasenverschiebung von 140°. Die Phasenreserve beträgt somit 40°.
È Füem R P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€
Abb. 77 zeigt Betrag und
Phase des offenen Regelkrei-
dB
50
ses
für
den
Lautsprecher
Ravemaster (VXT 1524) mit
40
und ohne Kompensatoren. Bei
30
niedrigen Frequenzen besteht
20
eine offene Schleifenverstär-
10
kung von bis zu 45 dB. Der
0 dB
50
100
1k
2k
-10
f 0 dB-Durchgang des Betrags
€€€€€€€
Hz liegt bei 400 Hz mit einer
Phasenreserve von 40°.
-20
400 Hz
-30
Ohne Kompensator würde der
j HFüem RL
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
°
Regelkreis instabil, da die
50
100
-100
1k
2k
f Resonanzstelle bei 1400 Hz
€€€€€€€
Hz ( ) über die 0 dB-Linie
gehoben wird, mit Phasendre-
hungen weit über 180°.
-200
j=-140°
-300
-400
-500
-600
offener Regelkreis
mit Kompensator
ohne Kompensator
instabil j << -180°
aber ÈFüem R PÈ > 0 dB
Bei Frequenzen größer als 800 Hz erscheinen parasitäre Eigenschwingungen der
Membran und des Chassis. Durch die zusätzliche Phasenverschiebung dieser
Schwingungen ergeben sich Stabilitätsprobleme. Ein Kompensator in der Regelstrecke gleicht diese Resonanzstellen aus und ermöglicht eine Regelung des Lautsprechers bis 800 Hz. Eine negative Nullstelle begrenzt die maximal mögliche
Regelfrequenz.
Beim Lautsprecher Monacor Superior (SPH 390 TC Abb. 75) ist auch ohne Kompensator wegen den fehlenden Eigenschwingungen der Membran eine Regelung
bis 670 Hz (Abb. 78) möglich. Um die Schleifenverstärkung rund um die parasitäre Resonanzstelle zu vergrößern, ist der Einsatz eines einfachen Kompensators
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
81
sinnvoll. Die offene Schleifenverstärkung beträgt bei der mechanischen Resonanzstelle bis zu 55 dB.
È Füem R P È
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€
dB
60
Abb. 78 zeigt den Betrag des
offenen Regelkreises mit dem
Lautsprecher Monacor SPC
50
390 TC mit einem Kompensa40
tor der Ordnung n = 4. Bei
30
niedrigen Frequenzen besteht
20
eine offene Schleifenverstärkung von bis zu 55 dB. Es ist
10
0 dB
20
50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
-10
somit ein stabiler Regelkreis
bis 670 Hz möglich bei einer
Phasenreserve von 30°. Im
-20
Gegensatz zum Ravemaster
existieren die Phasendrehungen von 400° bei Frequenzen
j HFüem RL
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€
°
über 1 kHz nicht. Der Regler
lässt sich einfacher dimensio670 Hz
20
50
100
1k
2k
-50
-100
j=-150°
-150
Modell mit Kompensator n = 4
-200
Modell ohne Kompensator
f
€€€€€€€
Hz
nieren.
82
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
6.2.6 Geschlossener Kreis
Abb. 79 zeigt den Betrag und die Phase des elektrodynamischen Lautsprechers
Ravemaster (VXT 1524). Im geregelten Zustand beträgt der Amplitudenverlauf
0 dB. Bei genügender Schleifenverstärkung kommt es bei niedrigen Frequenzen
zu 0° Phasendrehung. Reicht die Schleifenverstärkung nicht mehr aus, so geht die
Phase in den Verlauf des ungeregelten Lautsprechers über. Die Messung korrespondiert sehr gut ( ) mit dem vorhergesagten Modellverlauf ( ).
ÈGÈ
€€€€€€€€€€€€€€
dB
Abb. 79 zeigt Betrag und
Phase des geregelten Lautsprechers von Ravemaster.
40
Ab 600 Hz sind kleine
Resonanzstellen erkennbar,
20
50
100
1k
2k
f
€€€€€€€
Hz
deren Ursachen in der nicht
perfekten Kompensation der
Membran-
-20
und
Chassis-
eigenschwingungen liegen.
-40
-60
Die mit dem Modell berechneten
Messung
Betrags-
Phasenverläufe (
Modell
und
) stimmt
sehr gut mit den Messer-
-80
gebnissen ( ) überein. Die
parasitären
j HGL
€€€€€€€€€€€€€€
°
gungen von Chassis und
50
100
1k
f
€€€€€€€
Hz
2k
Membran sind exakt aus der
Membranbewegung vorhersagt.
-100
-200
-300
-400
Messung
-500
Eigenschwin-
Modell
6. Kapitel Messungen und Ergebnisse
83
6.2.7 Führungsgrößenformer
Im geschlossenen Regelkreis verläuft der Betragsverlauf bei 0 dB und die Phasenverschiebung um 0° bei genügend großer Schleifenverstärkung (Abb. 79). Um
den Verlauf des Betrags und der Phasendrehung eines realen Lautsprechers nachzubilden ist ein Führungsgrößenformer (z. B. Abb. 80, oder Abb. 81) notwendig.
Die Form des Betragsverlaufs des geschlossenen Systems hängt nur noch vom
Führungsgrößenformer und nicht mehr von der Strecke ab. Eine Auslegung und
Anpassung des Führungsgrößenformers kann nun beliebig ohne Rücksicht auf das
ursprüngliche Streckenverhalten vorgenommen werden. Abb. 80 zeigt einen
Führungsgrößenformer eines natürlichen Lautsprechers. Der Verlauf entspricht
dem eines Lautsprechers mit einem in die elektrische Impedanz eingeprägten
Strom Ie. Um unnötige Verzerrungen durch große Auslenkungen bei niedrigen
Frequenzen zu vermeiden ist es üblich Lautsprecher mit einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle als Stellglied zu betreiben um die mechanische Resonanzstelle zu bedämpfen. Der Verlauf entspricht der Abb. 81.
ÈF È
€€€€€€€€€U€€€€€€€
dB
Abb. 80 Führungsgrößenformer
für
Nachbildung
20
die
einer
Übertragungsfunktion
20
50
100
1k
2k
40 dB/Dekade
-20
f des Wegs mit strom€€€€€€€
Hz eingeprägtem
Stell-
glied. Dieser Former
wurde für Messungen
mit
-40
dem
Monacor
Lautsprecher mit KomMessung
pensator
Modell
Die
-60
verwendet.
Membranbewe-
gung nimmt mit 40
dB/Dekade ab.
ÈF È
€€€€€€€€€U€€€€€€€
dB
20
Abb. 81 Führungsgrößenformer
Nachbildung
für
die
einer
10
idealen Übertragungs-
-10
f funktion des Lautspre€€€€€€€
1k Hz chers. Er wurde für
Messungen mit den
50
40 dB/Dekade
-20
Lautsprechern Monacor
Superior (SPH 390 TC)
und den Ravemaster
-30
Messung
(VXT 1524) verwen-
Modell
det.
-40
-50
100
84
6.2 Erfassung des Systems zur Regelung der Wegauslenkung
Durch die Abnahme der Membranbewegung kommt es zu einem konstanten
Schalldruck im Schallfeld. Die Schallabstrahlung nimmt mit 40 dB pro Dekade
bei konstanter Amplitude des Membranweges über den Frequenzbereich zu. Um
einen Anstieg des Schalldrucks um 40 dB zu vermeiden, muss die Membranbewegung entsprechend abnehmen.
6.2.8 Geschlossener Kreis mit Führungsgrößenformer
Abb. 82 zeigt den geregelten Lautsprecher Ravemaster mit Führungsgrößenformer ohne Resonanzüberhöhung. Abb. 83 stellt das Monacor-System geregelt dar.
Dessen Führungsgrößenformer besitzt eine Resonanzüberhöhung. Das System
wurde ohne Kompensator geregelt. Die Schleifenverstärkung (Abb. 78) reicht bei
300 Hz nicht mehr aus um alle partiellen Membranschwingungen aktiv zu bedämpfen.
ÈF È
€€€€€€€€€G€€€€€€€
dB
40
Abb.
82
zeigt
das
geregelte Lautsprecher-
30
system Ravemaster mit
20
Führungsgrößenformer
ohne
10
Resonanzüberhö-
hung. Ab 670 Hz geht
50
f
€€€€€€€ das System vom gereHz
1k
100
gelten in den ungeregel-
-10
ten Zustand über.
-20
Messung
-30
Modell
-40
ÈF È
€€€€€€€€€G€€€€€€€
dB
Abb.
83
zeigt
das
Lautsprechersystem
Monacor im geregelten
20
Zustand mit Führungs20
-20
-40
Messung
Modell
-60
50
100
f größenformer und Reso€€€€€€€
1k Hz nanzüberhöhung.
6. Kapitel
Messungen und Ergebnisse
85
6.2.9 Quasistationäre Lautsprecherkennlinie
Bei elektrodynamischen Lautsprechern treten hauptsächlich zwei Hystereseeffekte auf.
Bei der elektromagnetischen Hysterese bleibt nach Abschalten des Feldes ein Restmagnetfeld zurück (Remanenz). Durch Anlegen eines Gegenfelds kann dieses beseitigt
werden. Zusätzlich zur Hysterese geht der Weicheisenkern durch Ausrichten aller
Weiß'schen Bezirke in die Sättigung. Für sehr große Auslenkungen kommt es zu nichtlinearen Effekten wegen dem nicht mehr homogenen Magnetfeld im Luftspalt, in der
die Schwingspule angebracht ist. Bei einigen Lautsprechern kommt es vor, dass die
Schwingspule teilweises im Betrieb aus dem Luftspalt heraus gehoben wird. Bei großen
Auslenkungen zeigen die Zentriermembran und die Sicke mechanisches Begrenzungsverhalten, bestimmt durch ihre nichtlinearen Materialeigenschaften. Sie weisen Hysterese auf, wenn die nichtlinearen Materialeigenschaften durch zu starkes Auslenken der
Spule zunehmen. Teilweise bewegt sich die Membran-Mittellage bei großen Frequenzen aus dem Weicheisenmagnetluftspalt. Abb. 84 zeigt diese Effekte in der quasistationären Auslenkung der Membran. Das Stellglied prägt einen Strom in den elektrischen
Kreis des Lautsprechers ein, der proportional zur Spannung UIn ist. Die Hystereseeffekte sind deutlich erkennbar. Im geregelten Fall wird die Membranbewegung vermessen
und die Hysterese und die Sättigung ausgeregelt. Es kommt zur Linearisierung der
Membranbewegung, welches in Abb. 84 zu erkennen ist.
Dx
€€€€€€€
mm
4
3
2
1
-0.4
-0.2
0.2
Ie
€€€€€€
€
0.4 A
-1
-2
-3
ungeregelt
geregelt
-4
Abb. 84 zeigt die geregelte und ungeregelte quasistatische Übertragungskennlinie des Lautsprechers
Monacor (Strecke) mit Istwerterfassung bei 0.1 Hz. Ein Hystereseverhalten ist deutlich zu erkennen.
Es kommt zu Begrenzungseffekten und Hystereseverhalten die einerseits aus dem elektrischen
Antrieb und andererseits aus dem mechanischen Element, wie Sicke und Zentriermembran, resultieren. Durch Regelung kommt es zur Beseitigung dieser Effekte.
Wie an der stationären Sensorkennlinie (Kap. 6.2.10) zu erkennen ist, stammen die
Sättigungs- und Hystereseeffekte aus der Strecke und nicht aus dem Messsystem. Die
Messung muss im quasistationären Zustand f << fmech,res stattfinden, um eine Phasenverschiebung verursacht durch die Energiespeicher (z.B. Masse und Feder der Membran),
im System zu vermeiden.
86
6 Messungen und Ergebnisse
6.2.10 Stationäre Sensorkennlinie
Abb. 85 zeigt die stationäre Sensorübertragungskennlinie P (Gl. 138) des Monacor
Systems mit eingebautem Sensorelement. Durch das Aufbringen einer bestimmten
Testauslenkung ∆xt mit einer Mikrometer-Uhr (Käfer, ±10µm Ortsauflösung) auf die
Lautsprecherschwingspule ergibt sich aus dem Verhältnis Sensorspannung U∆x zu Wegauslenkung ∆x die Übertragungsfunktion P des Sensorsystems. In Tabelle 3 ist die
Sensorkonstante P der Istwerterfassungseinheit, ermittelt durch Messung und Rechnung, dargestellt. Die Übertragungsfunktion kann direkt aus dem Sensormodell durch
Knotenanalyse und mit Hilfe der Messanordnung ermittelt werden. Wegen den reduzierten Störparametern lässt sich für den geregelten Lautsprecher eine direkte interne
Wegmessungsmethode (Kap. 4.2.3.2) verwenden. Im Rahmen der Einsatzbedingungen
und Fehlertoleranzen (z. B. ein großer Leuchtpunkt der Infrarot-LED) der Bauteile
stimmen Messung und Rechnung gut überein.
UDx - P Dx
€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€
V
UDx
€€€€€€€€
€
V
3
2
1
-3 -2 -1
-1
-2
-3
0.05
1
2
3
Dx
€€€€€€€
mm
-3 -2
-1
-0.05
-0.1
-0.15
1
2
3
Dx
€€€€€€€
mm
Daten gemessen mit Mikrometeruhr
V
P=1.104 €€€€€€€ ermittelt aus den Messwerten
mm
V
P=1.353 €€€€€€€ errechnet aus Sensorverstärkermodell
mm
Abb. 85 zeigt die Übertragungskennlinie des PSD Sensorsverstärkers am Monacor-Lautsprecher.
Eine Bestimmung des Weges ∆x mit der Mikrometer-Uhr in Abhängigkeit der Ausgangsspannung
des Sensors ergibt die Übertragungsfunktion P der Istwerterfassung.
6. Kapitel
Messungen und Ergebnisse
Monacor
87
Ravemaster
Messung
V
P=1.104 €€€€€€€
mm
V
P=1.535 €€€€€€€
mm
Rechnung
V
P=1.353 €€€€€€€
mm
V
P=1.690 €€€€€€€
mm
Tabelle 3 zeigt die Ermittlung der Übertragungsfunktion P der Istwerterfassungseinheit. Sie ergibt sich aus der Wegsensorerfassungseinheit mit der
direkten internen Methode (Kap. 4.2.3.2).
6.2.11 Sprungantwort des Systems
Die Sprungsantwort zeigt die Stabilitätsreserven des geregelten Systems auf. Das
schnelle Einschwingen des geregelten Systems zeigt eine ausreichend große Phasenreserve auf. Die Lautsprecherstrecke lässt sich in einer ersten Näherung als eine PT2Strecke mit komplexen Polen auffassen, was für ein leicht zu Schwingungen erregbares
System (Abb. 90) steht. Durch den Sprung sieht der Lautsprecher eine große Impedanz
hervorgerufen von der Induktivität der Schwingspule. Es entsteht ein Spannungspuls,
dem eine Schwingung folgt, die wiederum von der mechanischen Eigenresonanz des
Lautsprechers verursacht wird. Durch die mechanische Resonanzüberhöhung bei Stromeinprägung ist der Lautsprecher nur schwach gedämpft. Die vom Rechtecksprung angeregten Resonanzschwingungen sind in der Wegauslenkung ∆x proportional zur Sensorspannung U∆x. Der Schalldruck ∆p, ist proportional zur Membranbeschleunigung und
zeigt ebenfalls die mechanischen Resonanzschwingungen. Das geregelte System wurde
so entworfen, dass es stark gedämpft einschwingt (Abb. 88). In der Sprungantwort ist
das ganze Frequenzspektrum enthalten. Der Sprung fordert von der Membran eine
Wegänderung in einer sehr kurzen Zeit. Ungeregelt beginnt der Lautsprecher mit der
mechanischen Eigenresonanzschwingung dem vorgegebenen Spannungsverlauf zu
folgen. Geregelt gibt der Kontroller über das Stellglied einen Spannungspuls auf die
Strecke. Mit Erreichen der Wegauslenkung erkennt der Regler über die Wegerfassungseinheit U∆x den Istwert. Da er über das Ziel hinausschwingt, gibt er einen Bremsimpuls,
so dass die Membran bei der geforderten Lage zu Stehen kommt. Der Regler zeigt ein
gutes Einschwingverhalten in der Membranbewegung U∆x. Im Schallfeld sind zwei
große Peaks erkennbar, die durch die große Anhebung der Frequenzen durch den 0 dBVerlauf des geschlossenen Regelkreises entstehen. Gewichtet mittels dem Führungsgrößenformer, bewegt sich die Membran mit dem natürlichen Abfall der Auslenkung mit
40 dB pro Dekade über der Frequenz. Hochfrequente Schwingungen werden gedämpft.
Es kommt beim Sprung zu einmaligen Überschwingen der Membran (Abb. 86), bevor
sie in der Solllage zu Stehen kommt.
88
6 Messungen und Ergebnisse
6.2.11.1
Geregelter Lautsprecher mit Führungsgrößenformer
a)
Abb. 86 zeigt den
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.04
0.02
-0.02
-0.04
b)
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-0.1
-0.2
geregelten
chers
des
eines
Lautspre-
(Messpunkte
a) Auf den Führungsgrößenformer
wird
eine Sprunganregung
t
€€€€€€€
ms
gegeben.
b) Der Führungsgrößenformer wichtet die
Membranauslenkung
UR
€€€€€€
€
V
0.2
0.1
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-0.1
-0.2
-1
-2
-3
60 70 80 90
60 70 80 90
-0.1
-0.2
UR
€€€€€€
€
V
ULSP
€€€€€€€€
€€€
V
3
2
1
und
Schalldrucks
t
€€€€€€€
ms
UFU
€€€€€€€€
€
V
0.2
0.1
0.1
d)
-0.02
-0.04
lenkung
siehe Abb. 87).
UFU
€€€€€€€€
€
V
0.2
c)
Verlauf der Wegaus-
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.04
0.02
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
mit
natürlichen
Abnahme der Memb-
0.2
0.1
60 70 80 90
-0.1
-0.2
t
€€€€€€€
ms
ranbewegung von 40
dB pro Dekade.
c) Die Ausgangspannung des Reglers Ur
ULSP
€€€€€€€€
€€€
V
3
2
1
-1
-2
-3
der
prägt über das Stellglied den Strom Ie in
60 70 80 90
t
€€€€€€€
ms
die komplexe Lautsprecherlast ZL ein.
d)
Am
elektrischen
Kreis fällt die Spane)
UDx
€€€€€€€€
€
V
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
UDp
€€€€€€€€€
V
3
2
1
-1
-2
-3
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
UDx
€€€€€€€€
€
V
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
nung ULSP ab.
e) Die Wegauslenkung
60 70 80 90
resultiert
aus
dem
Sensorsignal U∆x für
die
Membranbewe-
gung.
UDp
€€€€€€€€€
V
3
2
1
-1
-2
-3
t
€€€€€€€
ms
f)
Die
gemessene
Spannung
60 70 80 90
t
€€€€€€€
ms
U∆p
proportional
Schalldruck ∆p.
ist
zum
6. Kapitel
Messungen und Ergebnisse
Führungsgrößenformer
89
Regler
x
U in
ω
U FU
I
Wegsensor
e
∆x
I
UR
U
U∆ x
U LSP
Abb.
87
Messpunkte
U∆ p
∆p
Mikrophon
Schaltung
zeigt
die
in
der
für
die
Bestimmung der Signale
für Abb. 86
90
6 Messungen und Ergebnisse
6.2.11.2
Geregelter Lautsprecher
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.2
a)
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.2
0.1
0.1
-0.1
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-0.2
Abb. 88 zeigt Weg- und
Druckverlauf der Sprung60 70 80 90
-0.1
-0.2
t anregung eines geregelten
€€€€€€€
ms Lautsprechers ohne Füh-
rungsgrößenformer.
Die
Messpunkte sind aus Abb.
UR
€€€€€€
€
b)
V
10
5
-5
-10
ULSP
€€€€€€€€
€€€
V
20
15
10
5
c)
-5
-10
-15
-20
UDx
€€€€€€€€
€
V
d) 1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
UR
€€€€€€
€
V
1
0.5
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
reichs (links) zeigt die
60 70 80 90
-0.5
-1
t
€€€€€€€ genauen Vorgänge bei der
ms
Sprungantwort.
d) Die Wegauslenkung
60 70 80 90
-5
x
beschreibt einen schnellen
5
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
gut
gedämpften
t und
€€€€€€€
ms Einschwingvorgang.
-10
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
UDx
€€€€€€€€
€
V
1.5
1
0.5
60 70 80 90
t
€€€€€€€
ms
60 70 80 90
t
€€€€€€€
ms
-0.5
-1
-1.5
UDp
€€€€€€€€€
V
10
5
-5
Vergrößerung des Messbe-
ULSP
€€€€€€€€
€€€
V
10
UDp
€€€€€€€€€
V
10
e)
89 zu entnehmen. Eine
5
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-10
-5
-10
Gesamtmessung von 0 bis 0.4 s
Zeitdehnung von 50 ms bis 100 ms
Regler
U in
Wegsensor
Ie
Abb. 89 zeigt die Mess-
∆x
I
UR
U
U∆x
U LSP
punkte in der Schaltung für
die
Bestimmung
Signale für Abb. 88.
U∆p
∆p
Mikrophon
der
6. Kapitel
Messungen und Ergebnisse
6.2.11.3
a.)
Ungeregelt Lautsprecher
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.2
Uin
€€€€€€€€
€
V
0.2
0.1
0.1
-0.1
91
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-0.1
-0.2
-0.2
Abb.
-2
-4
c.)
UDx
€€€€€€€€
€
V
2
1
-1
-2
UDp
€€€€€€€€€
V
2
1
-1
-2
60 70 80 90
Die
Messpunkte
sind
aus Abb. 91 zu entnehULSP
€€€€€€€€
€€€
V
4
3
2
1
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-1
men.
Mit der spannungsgesteuerten
60 70 80 90
UDx
€€€€€€€€
€
V
2
1
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
-1
-2
-1
-2
wird einen Strom Ie auf
t
€€€€€€€ die komplexe Lautsprems
cherlast ZL eingeprägt.
60 70 80 90
t sprecher kommt es zu
€€€€€€€
Einschwingms langen
vorgängen. Dies ist in
und
am
am
Weg erkennbar.
60 70 80 90
t
€€€€€€€
ms
Wegsensor
e
∆x
U
Spannung
Lautsprecher
Zeitdehnung von 50 ms bis 100 ms
I
I
Stromquelle
Im ungeregelten Laut-
UDp
€€€€€€€€€
V
2
1
t
€€€€
0.1 0.2 0.3 0.4 s
Gesamtmessung von 0 bis 0.4 s
U in
die
gung eines nichtgeregelt
€€€€€€€ ten Lautsprechers.
ms
der
d.)
zeigt
Rechtecksprunganre-
b.)
ULSP
€€€€€€€€
€€€
V
4
2
90
U ∆ x Abb.
U LSP
91
Messpunkte
Schaltung
zeigt
die
in
der
für
die
U ∆ p Bestimmung der Signale
∆p
Mikrophon
für Abb. 90.
6.2.12 Messung der nichtlinearen Verzerrungen
Nichtlineare Verzerrungen werden am einfachsten mit einer FFT gemessen. Als anregendes Signal kann ein Sinus oder Multitonsignal, das einem Musiksignal ähnlichere
ist, verwendet werden.
92
6 Messungen und Ergebnisse
6.2.12.1
FFT-Singel-Tone mit 30 Hz-Sinus-Wellenform
Abb. 92 zeigt das Spektrum einer Sinus-Ton-Anregung bei geschlossenem Regelkreis
und im ungeregelten Fall. Eine Verbesserung der harmonischen Oberwellen liegt bei bis
zu 20 dB.
UDp
UDx
Schallfeld
Wegauslenkung
€€€€€€€€
€
1) €€€€€€€€
€
dB
dB
50
100
150
f
€€€€€€€
Hz
50
100
150
f
€€€€€€€
Hz
150
f
€€€€€€€
Hz
150
f
€€€€€€€
Hz
150
f
€€€€€€€
Hz
-50
-50
-100
-100
UDp
2) €€€€€€€€
€
dB
UDx
€€€€€€€€
€
dB
50
100
150
f
€€€€€€€
Hz
50
100
-50
-50
-100
-100
UDp
3) €€€€€€€€€
dB
UDx
€€€€€€€€
€
dB
50
100
150
f
€€€€€€€
Hz
50
100
-50
-50
-100
-100
UDp
4) €€€€€€€€
€
dB
UDx
€€€€€€€€
€
dB
50
100
150
f
€€€€€€€
Hz
50
100
-50
-50
-100
-100
geregelt
ungeregelt
Dxss : 1L 3.22 mm
3L 1.27 mm
2L 2.19 mm
4L 0.58 mm
Abb. 92 zeigt das Spektrum einer 30°Hz-Sinus-Ton-Anregung. Geregelt ist eine Verbesserung von 20 dB
im Weg und 10 dB im Schallfeld möglich. Bei größeren Auslenkungen (ca. 1,27 mm) steigen die Verzerrungen im Schallfeld an, obwohl sich die nichtlinearen Verzerrungen im Weg reduzieren.
6. Kapitel
6.2.12.2
Messungen und Ergebnisse
93
FFT-Multi-Ton-Messung
Die nichtlinearen Verzerrungen eines Multitonsignals zeigen die Problematik der Verzerrungen eines Musiksignals deutlicher als ein einzelner Sinus-Ton. Durch eine Frequenz im Bereich der mechanischen Eigenresonanz wird der Lautsprecher zu Eigenschwingungen angeregt, die nur sehr langsam abklingen (Abb. 90). Es entstehen durch
das PT2-Verhalten sehr große Amplituden. Bei einem Multitonsignal mit f1 = 31.91 Hz
und f2 = 35.648 Hz treten wegen der nichtlinearen Kennlinie vom Grad N des Lautsprechers nicht nur harmonische Oberwellen n·f1 , n·f2 mit n=1,..,N, sondern auch die
Mischprodukte der Intermodulation auf (Tabelle 4).
n=2
2 f1, 2 f2, f2- f1
n=3
3 f1, 3 f2, 2 f1+ f2, 2 f1 – f2, 2 f2 + f1, 2 f2- f1
n=5
.....
Tabelle 4 zeigt die Mischprodukte bei Intermodulationsverzerrung [Tietze, Schenk, S. 471, 1999].
Abb. 93 zeigt die Messung der Intermodulationsverzerrungen in der Schwingspulenwegauslenkung ∆x und im Schallfeld ∆p bei Maximalamplituden von ∆xss = 1,52 mm
und 0,84 mm (Spitze-Spitze) mit ( ) und ohne ( ) Regelung. Eine Verbesserung der
nichtlinearen Verzerrungen in den Seitenbändern der harmonischen Schwingungen der
Wegauslenkung ∆x liegt bei bis zu 50 dB. Bei den harmonischen Oberschwingungen
ergibt sich eine Reduzierung von bis zu 20 dB. Eine Verbesserung ist auch im Schallfeld beobachtbar.
94
6 Messungen und Ergebnisse
a)
UDp
€€€€€€€€€
dB
Schallfeld
50
f
€€€€€€€
150 Hz
Wegauslenkung
UDx
€€€€€€€€
€
dB
50
f
€€€€€€€
150 Hz
-50
-50
-100
-100
geregelt
ungeregelt UDx =1.68Vss ™ Dxss =1.52mm
b)
UDp
€€€€€€€€€
dB
50
-50
f
€€€€€€€
150 Hz
UDx
€€€€€€€€
€
dB
50
f
€€€€€€€
150 Hz
-50
-100
-100
geregelt
ungeregelt UDx =0.93Vss ™ Dxss =0.84mmm
Abb. 93 zeigt:
a) das Spektrum eines Multitonsignals beim elektrodynamischen Lautsprecher Monacor (SPH 390
TC) mit Kompensator. Gemessen wurden Schalldruck und Weg bei einer Maximalauslenkung von
1,52 mm. Im geregelten Fall sind die nichtlinearen Verzerrungen in den Seitenbändern der Grundwelle und der ersten Oberwelle bis zu 20 dB reduziert. Die Seitenbänder zeigen eine Verbesserung
von bis zu 50 dB. Diese Verbesserung ist auch im Schallfeld beobachtbar.
b) zeigt das Spektrum bei einer Maximalauslenkung von 0,84 mm. Die Verzerrungen des ungeregelten Lautsprechers nehmen stark ab. Die Reduzierung von bis zu 20 dB bei der ersten und
zweiten Oberwelle ist in der Wegauslenkung deutlich zu erkennen.
7. Kapitel
Zusammenfassung
95
7 Zusammenfassung
Mit Hilfe der konzentrierten Elemente wurde ein Modell eines Lautsprechers erstellt,
welches die Übertragungsfunktion des Weges sehr gut wieder gibt. Die Rückwirkung
der Membranbewegung auf die elektrische Impedanz zeigt bei Hinzunahme des Wirbelstromeffekts ebenfalls eine gute Übereinstimmung zwischen Modell und Messung. Die
Partialeigenschwingungen der Membran wirken auf den Schwingspulenköper zurück.
Der Wirbelstromeffekt und die lineare Impedanz der Schwingspule verdecken die
Rückwirkung der Partialschwingungen auf die elektrische Impedanz. Eine Messung der
Membranbewegung durch Aufnehmen der Änderung der elektrischen Impedanz ist nur
durch eine Differenzmessung zwischen einem festgeklemmten und einem freischwingenden Lautsprecher möglich. In der Übertragungsfunktion des Weges sind an der
Schwingspule Resonanzstellen von bis zu 20 dB zu erkennen. Es ist keine Differenzmessung nötig. Die Modellierung der Partialschwingung der Lautsprechermembran am
Ort der Schwingspule wird durch eine Laplace-Funktion zum Modell der elektrischen
Impedanz und der Membranbewegung hinzugefügt. Die Bestimmung der Thiele-SmallParameter wurde nach einer neuen Methode durchgeführt, die die Parameter ihren
physikalischen Effekten zuordnet. Der elektrische Widerstand ergibt sich aus einer
Betragsmessung bei sehr niedrigen Frequenzen. Die Induktivität, der Wirbelstromeffekt
sowie die mechanischen und Schallelemente haben dort keine Auswirkungen, da sie
dynamische Größen sind. Aus der Gruppenlaufzeit der Phase der elektrischen Impedanz
bei festgeklemmter Membran und bei niedriger Frequenz lässt sich die Induktivität
bestimmen. Bei Frequenzen über der mechanischen Resonanzfrequenz setzt der Wirbelstromeffekt ein. Die Phase dreht sich nicht über 45°. Eine Phasendrehung von 90°, wie
bei einer idealen Induktivität, kommt nicht zustande. Für diesen Effekt kann eine Grenzfrequenz für eine nichtlineare Impedanz ermittelt werden, die den Wirbelstromeffekt
sehr gut beschreibt. Die Gruppenlaufzeit nimmt bei niedrigen Frequenzen zu, wenn der
Lautsprecher frei schwingt. In Verbindung mit einer Betragsmessung der Übertragungsfunktion der Membranbewegung des Lautsprechers bei niedrigen Frequenzen, lassen
sich daraus der Kraftfaktor M und die Federkonstante Dm der Membran errechnen.
Beide beschreiben Größen für die Kopplungen zwischen den elektrischen und mechanischen Elementen. Das Bestimmen der Gruppenlaufzeit der Wegauslenkung der
Schwingspule in einer Vakuumumgebung ergibt die Dämpfungs- (km) und die Massekonstante (mm) der Membran. Durch erneutes Ermitteln der Gruppenlaufzeit der Übertragungsfunktion des Weges in einem schalltoten Raum, ergeben sich die Auswirkungen des Schallfeldes auf die Membranbewegung, die in der Schallmassenkonstante msch
und dem Schalldämpfungsglied ksch modelliert sind.
Mit diesen Parametern wird das Streckenmodell erstellt und in einem PSpice-Simulator
mit dem Regler, dem Sensor und dem Stellglied zu einem geschlossenen Regelkreis
ergänzt. Die Dimensionierung des Regelkreises in der Systemebene erfolgte symbolisch
mit dem Softwarepaket Mathematica. Aus den Systemgleichungen wurden elektrische
PSpice-Modelle erstellt und die gesamte Schaltung auf die Stabilität bei Parameterschwankungen verschiedener Reglerstrukturen und Schaltungsvarianten getestet. Die
partiellen Eigenschwingungen der Membranoberfläche beinträchtigen die Stabilität der
Regelung. Durch Einsatz eines Kompensators lässt sich dieses Problem reduzieren. Der
elektrodynamische Lautsprecher Ravemaster VXT 1524 zeigte besonders viele Eigen-
96
8 Ausblick
schwingungen. Eine veränderte Membranstruktur eines anderen Lautsprechers besitzt
geringere Eigenschwingungen im zu regelnden Bereich. Beim Lautsprecher Monacor
traten weniger Partialmoden auf. Eine Regelung war selbst ohne Kompensator möglich.
Durch die Lageregelung ist gewährleistet, dass der Lautsprecher stets um die Ruhelage
schwingt. Ein Austreten der Membran aus der Ruhelage im Luftspalt der Schwingspule
bei höheren Frequenzen wird verhindert. Die nichtlinearen Effekte des Antriebs, erzeugt
durch inhomogene Magnetfelder außerhalb des Luftspaltes, werden reduziert, ebenso
Nichtlinearitäten der Rückstellkraft von der Führungsmembran und der Sicke.
Ein Referenzsystem wurde aufgebaut und vermessen. Die Messergebnisse von Simulation und Experiment stimmten gut überein. Die nichtlinearen Verzerrungen eines Multitonsignals bei niedrigen Frequenzen reduzierten sich um bis zu 50 dB in den Seitenbändern und bis zu 20 dB bei den Harmonischen. Dieser Trend war auch im Schallfeld zu
erkennen.Das Auftrennen in Einzelmessungen für die Bestimmung der Lautsprecherparameter, selektiert nach ihren physikalischen Ursprüngen, erleichtert die Gewinnung der
Thiele-Small-Parameter. Darüber hinaus lassen sich aus der Messung der Membranauslenkung in Luft die Dämpfungskostante des Schallfelds ksch und die Schallkonstante
msch bestimmen. In der elektrischen Impedanz wird durch Festlegen einer neuen Grenzfrequenz fwg der Wirbelstromeffekt gut beschrieben. Die Kopplungsparameter Kraftfaktor M und Federkonstante der Membran Dm können bei freischwingender Membran im
Vakuum direkt bestimmt werden. Für den Kraftfaktor ist keine Federwaage mehr notwendig. Die Schallparameter mit der Masse- (msch) und Dämpfungskonstante (ksch) für
das Kugelwellenmodell resultieren aus einer Verschiebung der mechanischen Gruppenlaufzeit. Die elektrische Induktivität der Schwingspule wird durch die Gruppenlaufzeit
bei niedrigen Frequenzen und festgeklemmter Membran gewonnen.
8 Ausblick
Die Partialschwingungen an der Oberfläche der Lautsprechermembran erschweren die
Regelung der Membranauslenkung. Eine Veränderung der Struktur der Membran und
Verwendung ausgewählter Materialien reduzieren diese Schwingungsmoden oder verschieben sie in andere Frequenzbereiche. Durch Simulation des Chassis mit Hilfe der
Finiten-Elemente können Strukturveränderungen und ihre Auswirkungen getestet und
für den membrangeregelten Lautsprecher optimieren werden. Bei geregelten Lautsprechern sind weiche Aufhängungen und geringe partielle Membraneigenschwingungen
nötig. Durch die Membranregelung ist jedoch gewährleistet, dass sich nichtlineare
Verzerrungen des Antriebs durch inhomogene Magnetfelder auf Grund von großen
Auslenkungen nicht in der Membranbewegung und somit auch nicht im Schallfeld
bemerkbar machen. Nichtlinearitäten der Membranauslenkung werden ausgeregelt. Der
letzte Schritt zum volldigitalen Lautsprechsystem von der CD bis zur Membranauslenkung ist möglich. Die Erfassung des Weges mit einem linearen Sensor wird direkt in
einen digitalen Wert umgesetzt. Die Regelung findet in einem Signalprozessor statt. Ein
Anpassen der Regelung an den Lautsprecher ist bei jeder Inbetriebnahme durch das
Ausmessen der Strecke möglich. Damit können auch die Parameter der Kompensatoren
für jeden Lautsprecher individuell bestimmt werden. Das analoge Stellglied, ersetzt
durch einen Klasse-D-Verstärker, lässt ein volldigitales System von der Aufnahmequelle bis zur Membranauslenkung entstehen.
9. Kapitel
Summary
97
9 Summary
Manufacturers of speakers characterize the properties of chassis with the Thiele-Small
parameters, which are calculated from the electrical impedance. The largest influence of
the mechanical parameters is at the mechanical fundamental resonance of the membrane
displacement. Additionaly there are natural resonances of the membrane that influence
the quality of the speaker at higher frequencies. All mechanical resonances of the
speaker membrane oscillations are detected as electrical impedance peaks, but at higher
frequencies the mechanical natural vibrations of the speaker membrane are concealed
by eddy current effects and the speaker voice coil impedance. Therefore, it is difficult to
calculate the mechanical displacement from the electrical impedance at higher frequencies, which is fundamental for the sound pressure propagations. Until today most developers measure only the mechanical resonance of the speaker to characterize all speaker
properties. When a Position Sensitive Detector is used, it is possible to measure the real
displacement with high linearity, a large dynamic range and a signal to noise ratio up to
90 dB even if high frequencies are obtained. The electrical impedance can be calculated
from the voice coil displacement transfer function with the lumped element model. The
comparison of the calculated data with the measured electrical impedance shows an
excellent correspondence. The sound pressure can be predicted from the mechanical
displacement of the speaker membrane with a simplified lumped rigid piston model.
Large signals cause non-linear effects in the speaker actuators, which induce the most
harmonic distortions. Speakers show displacement errors, which are caused by the nonlinear force factor and the stiffness. Both effects can be reduced by an optical linear
displacement measurement and a closed loop control of the speaker membrane. The
absolute value and phase of the membrane displacement is defined by the controller and
not by the speaker. This is important for speaker arrays. The linearity of the measurement system makes it possible to control the speaker membrane displacement in a real
time closed loop system.
98
10 Anhang
10 Anhang
Übertragungsfunktion des Mikrophons
In Abb. 94 ist die Übertragungsfunktion des Mikrophons MM1 von Beyerdynamics
dargestellt.
Abb. 94 zeigt die Übertragungsfunktion des Mikrophons MM1 von Beyerdynamics.
11. Kapitel
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Danksagung
Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Lehrstuhl für Technische Elektronik der Friedrich-AlexanderUniversität Erlangen-Nürnberg.
Einen besonderen Dank möchte ich an Herrn PD Dr. U. Tietze, der mich während meiner Arbeit betreut hat und mich für das Fachgebiet der Schaltungstechnik begeistern
konnte. Er hatte während meiner Arbeit stets ein offenes Ohr für Fachgespräche und
Fachdiskussionen über das Gebiet der Schaltungstechnik.
Ebenso gilt mein besonderer Dank Prof. Dr.-Ing. R. Hagelauer von der Johannes Kepler
Universität Linz, der sich bereit erklärt hat als Berichterstatter an meiner Arbeit mitzuwirken.
Weiterer Dank geht an Prof. Dr.-Ing. R. Weigel, der nach der Neubesetzung des Lehrstuhls für Technische Elektronik, mir die Gelegenheit gab, nach seinem Amtsantritt,
meine Arbeit fortzusetzen und die Einrichtungen des Lehrstuhls weiterhin zu nutzen.
Ebenso geht mein Dank an Prof. Dr. Oehme der mir die Möglichkeit gab, am Lehrstuhl
die Arbeit meiner Promotion festzulegen und zu beginnen.
Ein besonderer Dank geht an den ehemaligen Vorstand des Lehrstuhls Prof. Dr.-Ing. D.
Seitzer, der stets für ein Fachgespräch bereit war und sich um die Vermittelung eines
fachfremden Prüfers bemühte.
Allen weiteren Kollegen und Mitarbeiter/-in des Lehrstuhls für Technische Elektronik,
die mich während meiner Arbeit unterstützten und in vielfältiger Art und Weise zum
Erfolg meiner Arbeit beitrugen, möchte ich recht herzlich danken. Für Diskussionsbeiträgen auf wissenschaftlicher Ebene, so wie für die Arbeiten der Techniker, die es ermöglichten meine Promotion abzuschließen.
Lebenslauf
09/84-07/88
09/88-02/92
03/92-08/92
09/92-07/94
10/94-12/99
02/00-03/00
05/00
Schulbildung:
Besuch der staatlichen Realschule Höchberg, technischer Zweig
Berufsausbildung und Berufspraxis:
Ausbildung zum Kommunikationselektroniker in der Fachrichtung
Kommunikationstechnik bei der Deutschen Bundespost Telekom im
Fernmeldeamt Würzburg
Tätigkeit als Fernmeldemonteur bei der Telefon-/Kommunikations/Sicherheitsanlagen GmbH, Würzburg
Berufsoberschule:
Erwerb der fachgebundenen Hochschulreife an der Berufsoberschule
Würzburg, Ausbildungsrichtung Technik
Studium:
Studium der Physik an der Universität Würzburg
Abschluss mit dem Diplom
Wissenschaftliche Tätigkeit
Anstellung als wissenschaftlicher Hilfsassistent am Lehrstuhl für Biotechnologie der Bayerische Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Wissenschaftlicher Angestellter am Lehrstuhl für Technische Elektronik der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg