Aufbau der Materie 2 WS1213 Moderne Physik IIa
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Aufbau der Materie 2
WS1213
Moderne Physik IIa / Festkörperphysik
Dozent: Jascha Repp
in LATEX erfasst und mit Zeichnungen versehen von Gustl Buheitel
7. Februar 2013
Hinweise:
Zusätzlich zu den in diesem Skript gezeigten Abbildungen sind in der Vorlesung Folien
gezeigt worden, die den Teilnehmern der Veranstaltung separat bereit gestellt wurden.
Dieses Skript deckt nur einen kleinen Teilbereich der jeweiligen Themengebiete ab (insbesondere Magnetismus und Supraleitung sind sehr rudimentär beschrieben). Die Auswahl
des Stoffes wurde nach Durchsicht der Staatsexamensaufgaben der letzten zehn Jahre
vorgenommen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Was ist Festkörperphysik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Bindungen im Festkörper
2.1 Übersicht der Bindungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bindungen im Einzelnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modellpotenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
7
3 Struktur, atomare Anordnung
3.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bravaisgitter . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wichtige zweiatomige Gitter . . . . . . .
3.4 Elementarzelle und weitere Definitionen
1
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9
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. 9
. 10
3.5
3.6
Defekte im Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Reziproke Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Strukturanalyse mittels Beugung
4.1 Laue Bedingung . . . . . . . . .
4.2 Bragg’sche Reflektionsbedingung
4.3 Erzeugung freier Elektronen . . .
4.4 Erzeugung von Röntgenstrahlung
4.5 Erzeugung von Neutronen . . . .
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13
13
14
16
17
18
5 Dynamik des Kristallgitters
18
5.1 Gitterschwinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Phononendispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Thermische Eigenschaften
6.1 Thermische Ausdehnung von Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Wärmekapazität in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
24
7 Elektronen im Festkörper
7.1 Einfachstes Modell: Das freie Elektronengas . . . . . . . . . . . .
7.2 Das Konzept der Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Elektronen in externen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Elektronen im periodischen Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Das Modell des fast freien Elektronengases . . . . . . . .
7.5.2 Stark gebundene Elektronen (tight binding model) . . . .
7.6 Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit des Elektronensystems
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35
35
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39
39
42
8 Halbleiter
8.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . .
8.2 Dotieratome im Wasserstoffmodell
8.3 Auswirkung auf die Besetzung . . .
8.4 Positive Ladungsträger: Löcher . .
8.5 p-n Übergang: Diode, Leuchtdiode,
8.6 Feldeffekttransistor . . . . . . . . .
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Solarzelle
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9 Magnetismus
45
9.1 Arten des Magnetismuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10 Supraleiter
46
2
1 Einleitung
1.1 Was ist Festkörperphysik?
Fachgebiet „Physik der kondensierten Materie“ umfasst die Beschreibung vieler Atome,
die nicht gasförmig sind.
Teilbereiche:
Weiche kondensierte Materie, Flüssigkeiten, Festkörper
Was unterscheidet die Festkörperphysik von der Molekülphysik, oder um wie viele Atome
geht es hier?
Zahlenbeispiel: Aluminiumkügelchen mit 1mm ∅
4
Volumen = πr3
3
g
Dichte : % = 2, 7 3
cm
∼ 27 g
molare Masse M =
mol
1
NA = 6, 022 · 1023
mol
% ∼
4
Anzahl der Atome = NA · πr3 ·
= 3 · 1019 Atome
3
M
(Derzeitige weltweite Gesamtspeicherkapaität für Daten ≈ 1021 Bytes)
• Eine Simulation aller Atome ist nicht möglich; nicht mal in einfachsten Modellen.
• Dichte-Funktional-Theorie Simulationen können typischerweise maximal 1000 Atome simulieren.
• Themen der Festkörperphysik sind von hoher technologischer Bedeutung sowie zur
Erklärung von Alltagsphänomenen, Bsp.: Magnetismus, Halbleiterphysik, Supraleiter.
1.2 Literatur
• Kittel: Einführung in die Festkörperphysik (Übersetzung aus dem Englischen),
Oldenburg Verlag, (ausführlich)
• Ibach / Lüth: Festkörperphysik, Einführung in die Grundlagen, Springer Verlag,
(ausführlich, theoretisch anspruchsvoll), als ebook in der UR-Bib
• Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, Teubner Verlag, (knapp, geeignet
zum Nachschlagen), als ebook in der UR-Bib
3
2 Bindungen im Festkörper
2.1 Übersicht der Bindungsarten
Bekannt aus der Atom-, Molekülphysik sind
• Ionenbindung
• kovalente Bindung
• Wasserstoffbrücken
• Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Spezifisch für die Festkörperphysik sind
• metallische Bindung
• van der Waals
Letztere ist zwar aus Atom-Molekülphysik bekannt, spielt aber im Festkörper eine größere Rolle.
2.2 Bindungen im Einzelnen
a) Kovalente Bindungen (auch Atombindung oder chemische Bindung)
Kommt zustande bei teilweise besetzten Valenzschalen der Atome durch Überlapp der
4
Wellenfunktion bzw. Orbitale. Dies bewirkt bindende und antibindende gemeinsame Orbitale, von denen nur die bindenden besetzt sind.
Beispiele: Molekülphysik:
H2 , O2 , N2
(
eV
typ. 1 − 8 Atom
Bindungsenthalpie
bzw. 25 − 200 kcal
mol
Beispiele: Festkörperphysik: Diamant, Wolfram, Silizium
Wichtig für die Festkörperphysik: Orbitale haben relativ zueinander bestimmte Orientierungen, dies bewirkt bestimmte Bindungswinkel im Festkörper (gerichtete Bindung).
→ bestimmt häufig das Festkörpergitter
b) Ionische Bindung
Kommt zustande durch Transfer von Elektronenladung von einem Atom auf ein anderes
und der daraus resultierenden elektrostatischen Anziehung der Ionen.
Typ. Bsp.: Na+ Cl−(
eV
typ. 1 − 8 Atom
Bindungsenthalpie
bzw. 25 − 200 kcal
mol
Bindung ist nicht gerichtet.
Wichtig in der Festkörperphysik: Die attraktive WW zu den anders geladenen nächsten
Nachbarn wird zum Teil kompensiert durch die repulsive WW übernächster Nachbarn.
Die elektrostatische WW ist langreichweitig (V ∝ 1r ) die Anzahl der Nachbarn nimmt
mit dem Abstand zu.
⇒ Korrekte Beschreibung durch Summation aller ionischen Beiträge, unendliche Reihe
attraktiver oder repulsiver Beitrag
VIon =
X
i6=j
↓
1
q1 · q2
|q|2 X ±1
·
=N
·
=
4π0
rij
↑ 4π0 j rj
↑
Anzahl Atome
Abstand i zu j
Größe die nur von Gittertyp abhängt
N |q|2
d · 4π0
↑
·
z }| {
X ±1
j
NN Abstand
X ±1
j
ρj
ρj
↑
relativer Abstand bezogen auf d
ist die Madelung-Konstante
= 1.748 für NaCl - Gitter
= 1.763 für CsCl - Gitter
= 1.641 für SnS - Gitter
Es gibt einen kontinuierlichen Übergang zwischen kovalenten und ionischen Bindungen;
die Elektronen, die an der Bindung beteiligt sind, sind dann stärker an einen Bindungspartner lokalisiert. Für diese Übergangsregime benötigt man ein Maß für den ionischen
5
Charakter einer Bindung ⇒ Elektronegativität (Pauling, NP Chemie 1954). Differenz der
Elektronegativität zweier Bindungspartner ist Anhaltspunkt fr den ionischen Charakter
der Bindung.
c) Metallische Bindung
Einschub Fermi-Gas-Modell
Zustände im Kastenpotential
Ekin =
p2
~2 k 2
=
2m
2m
mit Wellenzahl k =
λ: Wellenlänge
2π
λ
Die metallische Bindung ist typisch für metallische Festkörper und tritt nicht in Molekülen auf. Die schwach gebundenen Valenzelektronen der Metallatome können sich in
Festkörpern überall aufhalten. Dies führt gemäß Fermi-Gas-Modell zu einer Absenkung
der kinetischen Energie (Bindung). Zusätzlich sind die negativ geladenen Elektronen
zwischen den positiv geladenen Atomrümpfen und binden diese. Die metallische Bindung ist nicht gerichtet.
Bindungsenthalpie bis ca. 2eV =
b 50 kcal
mol
Die metallische Bindung kann zusammen mit einer kovalenten auftreten. Bsp.: Wolfram
s-Zustände machen metallische Bindung
d-Zustände machen kovalente Bindung
Reine metallische Bindung: Kupfer:
3d-Unterschale voll besetzt
4s-Unterschale mit einem Elektron besetzt → metallische Bindung
6
d) Wasserstoff-Brücken-Bindung
• in einem Molekül polare Bindung
• Partialladungen führen zu inter-molekularen Bindungen
• bei Wasserstoff besonders ausgeprägt, da das H+ -Ion nur aus einem Proton besteht
und somit Pauli-Abstoßung (s.u.) entfällt.
Bindungsenthalpie 0 − 0, 5eV =
b 0 − 12 kcal
mol
Bsp.: Wasser, Schnee, Eis
e) Van der Waals WW
Einzelnes Atom kein dauerhaftes Dipolmoment, aber die Ladung fluktuiert und eine
Momentaufnahme zeigt, ein Dipolmoment. Dieses polarisiert Atome in der Umgebung
und führt zu attraktiver WW. Diese WW fällt wie r16 ab. Da alle Beiträge attraktiv sind,
kann der sehr kleine Effekt zwischen zwei Atomen doch zu einer nicht unwesentlichen
WW im Festkörper werden. (typisch für Edelgase)
Bindungsenthalpie: 0 − 0, 3eV, 0 − 7 kcal
mol
f) Pauli-Abstoßung
Bisherige WW: Alle attraktiv → Was hält die Atome auf Abstand? → Pauli-Abstoßung
Wenn die Elektronen-Wellenfunktionen der Atomrümpfe überlappen, dann führt dies zu
elektrostatischer repulsiver WW. Zusätzlich werden die Elektronen auf kleineren Raumbereich eingeschränkt, was zur Erhöhung der kinetischen Energie führt (siehe FermiGas-Modell).
Pauli-Abstoßung ist sehr kurzreichweitig und hält Atome auf Abstand.
2.3 Modellpotenziale
1. Morse (für kovalente Bindung):
h
V(d) = B · (1 − e
−a·(d−d0 ) 2
i
) −1 =B·
−a·(d−d0 )
−2e {z
|
}
attraktiv kovalent
7
+ e|
−2a·(d−d0 )
{z
}
repulsiv Pauli
Verlauf des Morse und des Lennard-Jones Potenzial. Diese Modellpotenziale geben näherungsweise die Bindungsverhältnisse für eine kovalente bzw. van-der-Waals Bindung wieder und sind
so gewählt, dass sie einfach parameterisiert werden können.
2. Lennard-Jones (für Bindung aufgrund Van der Waals):
"
V(d) = B ·
d0
d
12
−2 ·
| {z }
repulsiv Pauli
8
d0
d
6
| {z }
attraktiv v d W
#
3 Struktur, atomare Anordnung
3.1 Grundlegendes
Festkörper weisen hohe Ordnung auf (im Verhältnis zu Flüssigkeiten oder Gasen). Man
unterscheidet amorphe und kristalline Festkörper.
• Amorph: Nahordnung existiert, keine Fernordnung, Beispiel: Glas
• Kristallin: Nahordnung und Fernordnung über den gesamten Kristall.
Die Ordnung ist essentiell für die Eigenschaften. Hier betrachten wir ausschließlich kristalline Festkörper. Metalle in alltäglicher Form sind polykristallin, bestehen aus vielen
kleinen Bereichen die kristallin und in zufälliger Orientierung zu einem großen Stück
zusammengesetzt sind. Die Eigenschaften sind trotzdem wesentlich durch die kristallinen Eigenschaften gegeben. Halbleiterbauelemente sind hingegen tatsächlich sogenannte
Einkristalle.
Kristallstrukturen können diverse Spiegel-/Rotations- und Inversionssysteme besitzen.
Alles gemeinsam ist die Translationsinvarianz .
Manche Festkörper enthalten unterschiedliche atomare Spezies (Bsp. NaCl), da gilt offensichtlich nicht Translationsinvarianz bzgl. Cl ↔ Na. Es existiert jedoch Translationsvarianz bzgl. Cl → Cl (sowie Na → Na ). Auch wenn ein Festkörper nur aus einer Sorte
Atome besteht (Bsp. Si, Ge, C) können die Atome lokal unterschiedliche Umgebungen
haben (hier: zwei inäquivalente Si-Atome). Man trennt daher Kristallgitter und Basis.
Kristallgitter sind periodische Anordnungen von Gitterpunkten, die alle äquivalent sind.
Die Basis sind ein oder mehrere inäquivalente Atome pro Gitterpunkt. Kristallgitter
sind ein mathematisches Problem: Welche periodischen Anordnungsmöglichkeiten von
Punkten gibt es in 3D? → Bravais-Gitter
3.2 Bravaisgitter
Ein wichtiges Kriterium zur Einteilung der Gitter sind dessen Symmetrieeigenschaften.
(Bravaisgitter und deren Eigenschaften siehe Folien)
• Viele Metalle kristallisieren in fcc; Bsp.: Cu, Ag, Au, Al
• bcc: Bsp.: Fe, W
3.3 Wichtige zweiatomige Gitter
• hcp: hexagonal primitives Gitter mit zwei Atomen ergibt dichteste Kugelpackung
mit ABAB... Stapelfolge (vgl. fcc: ABCABC Stapelfolge) (→ Folien).
• Natriumchlorid: fcc mit zwei unterschiedl. Atomen in der Basis
• Cäsiumchlorid: sc mit zwei unterschiedl. Atomen in der Basis
• Zinkblende: fcc mit zwei unterschiedl. Atomen in der Basis
9
• Diamantstruktur: Wie Zinkblende, aber gleiche Atome; Bsp.: Diamant (C), Si,
Ge (typ. 4. Hauptgruppe, sp3 Hybridisierung)
3.4 Elementarzelle und weitere Definitionen
• Elementarzelle: Volumen, das durch periodisches Aneinandersetzen die Kristallstruktur ergibt.
• Primitive Elementarzelle: Elementarzelle, die genau einen Gitterpunkt in einer
Ecke enthält.
• Wigner-Seitz-Zelle: Elementarzelle, in deren Mitte ein Gitterpunkt liegt und in
welcher jedes Volumenelement näher an diesem Gitterpunkt liegt, als an jedem
anderen.
• Netzebene: Ebene im Kristall, die durch Gitterpunkte aufgespannt wird.
• Millersche Indizes: Definieren eine Netzebene. Für allgemeine Bravais-Gitter ist
entscheidend, wo die Netzebene die Basisvektoren schneidet. Für kubische BravaisGitter beschreiben die Millerschen Indizes den auf der Netzebene senkrechtstehenden Vektor. Dieser Vektor wird immer als Tripel kleinster ganzer Zahlen angegeben.
Striche über den Zahlen bedeuten, dass eine negative Zahl gemeint ist.
3.5 Defekte im Kristall
In realen Kristallen gibt es vielfältige Abweichungen von der idealen Periodizität. Man
unterscheidet folgende Defekte:
0D
1D
2D
3D
Punktdefekte
Versetzungen
Flächendefekte
Volumendefekte
Bsp.:
Bsp.:
Bsp.:
Bsp.:
Leerstellen (Schottky) Schraubenversetzung
Korngrenzen
Segregation
Zwischengitteratome
Stufenversetzung
von Fremdatomen
interstitionelle und
substitutionelle
Fremdatome
Defekte können die Eigenschaften des Festkörpers drastisch beeinflussen. Bsp.: Fremdatome: Die Halbleitertechnologie basiert fast vollständig auf dem gezielten Einbringen
von Fremdatomen (Dotieren). Dies bestimmt die elektronischen Eigenschaften (siehe
Abschnitt 8.2). Bsp.: Versetzungen in Metall bestimmen stark die mechanischen Eigenschaften wie Duktilität, Zähigkeit. Punktdefekte lassen sich z.B. gezielt einbringen durch
Ionenbeschuss; Versetzungen durch schnelles Abkühlen; Ausheilen kann man durch Tempern erreichen.
10
Einige Beispiele für Punktdefekte
3.6 Reziproke Gitter
Sind ~a1 , ~a2 , ~a3 primitive Gittervektoren, so sind
~b1 = 2π ·
~a2 × ~a3
;
~a1 · ~a2 × ~a3
~b2 = 2π ·
~a3 × ~a1
;
~a2 · ~a3 × ~a1
~b3 = 2π ·
~a1 × ~a3
~a3 · ~a1 × ~a2
die reziproken Gittervektoren.
(
Äquivalente Def. ~ai · ~bk = 2πδik mit δik =
0
1
falls i 6= k
falls i = k
~bk spannen das reziproke Gitter auf. Beliebige reziproke Gittervektoren sind
~ = i1~b1 + i2~b2 + i3~b3 , i1,2,3 ganze Zahlen
G
~ = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 mit n1,2,3 : ganze Zahlen, gilt:
Für einen beliebigen Gittervector R
~ ·G
~ = 2π · (n1 i1 + n2 i2 + n3 i3 )
R
{z
|
ganze Zahl
}
Das, was für das reale Gitter die Wigner-Seitz-Zelle ist, ist für das reziproke Gitter die
Brillouin-Zone.
11
Gitter
reziprokes Gitter
12
- und in 3D
Gitter
sc
fcc
bcc
−→
−→
−→
reziprokes Gitter
sc
bcc
fcc
4 Strukturanalyse mittels Beugung
Um die Struktur von Kristallen zu analysieren, verwendet man Beugung von Röntgenstrahlung oder Neutronen (bzw. Elektronen zur Oberflächenanalyse). Man nutzt dazu
die Welleneigenschaften
λ=
2π
h
p2
~2 k 2
2π~
=√
,
=
= Ekin ⇒ λ = √
k
2m
2m
2m · Ekin
2m · Ekin
für Elektronen und Neutronen, sowie
λ=
c h·c
c·h
,
=E =h·ν ⇒λ=
ν
λ
E
für Röntgen.
λ = 1Å = 10−10 m haben:
Elektron mit Ekin ∼
= 145eV
Neutron mit Ekin ∼
= 80meV
Röntgenphoton mit Ekin ∼
= 12, 4keV
Die Wellenlänge sollte vergleichbar oder etwas kleiner sein als die atomaren Abstände.
4.1 Laue Bedingung
|~k| = |~k 0 | (Wellenlänge ändert sich nicht!)
~ · ~k 0 − ~k
R
∆s = ∆sD − ∆sQ =
13
|~k|
∆sD =
~ · ~k 0
R
|~k 0 |
∆sQ =
~ · ~k
R
|~k|
definiere ~k 0 − ~k = ∆~k
~ · ∆~k · λ
∆s = R
2π
∆s
~ · ∆~k
Phasenverschiebung ∆ϕ = 2π ·
=R
λ
~ ∆ϕ = R
~ · ∆~k ein ganzzahliges VielFür konstruktive Interferenz sollte für beliebige R,
~
~ (G
~ beliebiger reziproker
faches von 2π sein. Dies ist genau dann, wenn gilt ∆k = G.
Gittervector)
Wo sehe ich Intensität im Detektor? → Ewald-Konstrukution:
Für viele Geometrien erhält man keine Reflexe! Lösung: Einen Parameter weniger vorgeben.
• beliebiger Einfallswinkel = Probe als Pulver ⇒ Debye-Scherrer
• „beliebige“ Wellenlänge = polychromatische Quelle ⇒ Laue.
Versuchsanordnung siehe Folien
4.2 Bragg’sche Reflektionsbedingung
2 · dhkl · sin ϑ = n · λ
n : ganze Zahl
14
Die Bragg’sche Reflektionsbedingung ist völlig äquivalent zu den Laue Gleichungen und
~ zurückgeführt werden.
kann auch auf ∆~k = G
→ Die Reflexe in der Beugung geben das reziproke Gitter wieder
Was bestimmt deren Intensität? Die Streuung innerhalb einer Einheitszelle bestimmt die
Intensität. Analoge Betrachtung wie bei Laue, aber für eine Einheitszelle.
∆sQ =
~r · ~k
|~k|
∆sD =
~r · ~k 0
|~k|
⇒ ∆ϕ = ~r · ∆~k
Am beliebigen Punkt ~r sei die Amplitude der zum Detektor laufenden Elementarwelle
proportional zu A(~r) (Streuungsamplitude). Die Amplitude am Detektor ist proportional
zu
Z
Ae(∆~k) = A(~r) · exp(i~r · ∆~k) d3~r
Dies ist die Fouriertransformierte der Streuungsamplitude.
• Die Einheitszelle kann mehrere Atome enthalten, dann kann man das Integral auf
die einzelnen Atome aufteilen. (Atomformfaktor)
• Sind mehrere gleiche Atome vorhanden, so kann es zu kompletten Auslöschungen
von Reflexen kommen. Bsp. bcc
• Die Streuamplituden sind in etwa proportional zur Elektronendichte
• Die ist für kernnahe Elektronen kugelsymmetrisch Atomfaktor hängt hauptsächlich
vom Streuwinkel ab, bzw. von
|∆~k|
• Zusätzlich sind die Intensitäten temperaturabhängig (Debye-Waller)
15
4.3 Erzeugung freier Elektronen
Im Metall sind die Elektronen gebunden.
Die Austrittsarbeit ist die Arbeit (Energie), die nötig ist, um ein Elektron aus
dem Festkörper zu entfernen (bei T = 0).
Was ist bei T 6= 0? Bei T 6= 0 ist die Besetzung durch die Fermi-Verteilung gegeben
1
f (E) =
exp
E−EF
kB ·T
+1
Für E − EF >> kB · T geht diese Verteilung in Boltzmann über. kB · T = 24meV bei
Zimmertemperatur; Φ: Austrittsarbeit typ. 2-5eV;
EF : Ferminiveau (für T = 0 und T 6= 0); Fermienergie (für T = 0); entspricht µ:
chemisches Potential der Elektronen
Die Elektronen, die austreten, werden im Kondensator beschleunigt und haben die kinetische Energie Ekin = e · U
16
4.4 Erzeugung von Röntgenstrahlung
Röntgenstrahlung ist elektromagnetische Strahlung aus Photonen im Bereich 100eV ca. 1MeV.
2π
2π~c
hc
λ=
=
=
k
E
E
Wellenlängen im Bereich 1pm - 10nm
c
hc
λ= =
ν
E
Werden Elektronen beschleunigt, so werden elektromagnetische Wellen emittiert. In einem Synchrotron werden Elektronen bei hohen Geschwindigkeiten auf geschlossenen
Bahnen gehalten und dabei stark beschleunigt, was zur Emission von breitbandiger
elektromagnetischer Strahlung führt. Alternatie: Röntgenröhre ⇒ Es werden Elektronen
aus einer Glühwendel durch Hochspannung beschleunigt. Beim Auftreffen auf die Anode
werden die Elektronen abrupt abgebremst → starke Emission von Röntgenstrahlung.
Diese Bremsstrahlung ist ebenfalls breitbandig, die Energie jeden Protons ist jedoch nach
oben hin begrenzt durch die kinetische Energie der Elektronen.
Emax = Ekin = e · U
| {z }
Photon
| {z }
Elektron
⇒ λmin =
h·c
h·c
=
Emax
e·U
17
Zusätzlich zur Bremsstrahlung tritt die charakteristische Strahlung auf: Einige der Elektronen ionisieren die Atome in der Anode; dort gibt es strahlende Übergänge mit der für
das Anodenmaterial charakteristischen Strahlung (siehe Atom- & Molekülphysik)
4.5 Erzeugung von Neutronen
Dies geschieht üblicherweise in einer Spallationsquelle (siehe Kernphysik). Atomkerne
werden mit Protonen beschossen und emittieren dabei Neutronen.
5 Dynamik des Kristallgitters
5.1 Gitterschwinungen
Das Paarpotential zwischen zwei benachbarten Atomen ist (in Variationen) (siehe
Kapitel 2) wie rechts dargestellt.
Nahe dem Gleichgewichtsabstand dgg ist
1
V (d) ∼
= Vgg + k(d − dgg )2 ,
2
weil dort immer ein lokales Minimum ist ⇒ harmonische Näherung. Im Kristall sind
viele Oszillatoren gekoppelt (hier 1D-Betrachtung)
Kraft auf Masse n:
Fn = m · an = m · ẍn = −k ·
h
(xn − xn−1 ) + (xn − xn+1 )
|
{z
}
Auslenkung der
linken Feder
|
{z
}
Auslenkung der
rechten Feder
Ansatz: xn = Aei·(q·n·a−ωt) mit q · n · a als NN-Abstand zwischen Atomen
⇒ ebene Welle mit Wellenzahl q
⇒ einsetzen
h
i
−mω 2 xn = −k · (1 − e−i·q·a ) + (1 − e+i·q·a ) · xn
18
i
k
ei·q·a + e−i·q·a
ω =
· 2−2·
m
2
|
{z
}
2
=cos(q·a)
k
k
q·a
=2·
· (1 − cos(q · a)) = 4 · sin2 ·
|
{z
}
m
m
2
2 sin2 ( q·a
2 )
s
ω =2·
k
m
q · a · sin
2 5.2 Phononendispersion
• Nur der Wertebereich |q| ≤ πa ist sinnvoll, da
die Auslenkung nur am Ort der Atomkerne definiert ist. q = πa entspricht λ = 2a = alternierende Auslenkung q > πa kann durch q 0 = q · 2π
a
ausgedrückt werden.
• Den Zusammenhang ω(q) nennt man ganz allgemein Dispersion
• Da E = ~ · ω (siehe unten) ergibt dies auch den Zusammenhang E(q)
• Der reziproke primitive Gittervektor hat die Länge 2π
a , der sinnvolle Wertebereich
von q liegt also genau in der Brillouinzone, das gilt auch in 3D! Typische Werte:
s
ωmax. = 2 ·
k
liegt bei ca. 1013 Hz
m
Schall liegt in der Dispersion bei q ≈ 0 (Γ-Punkt). Die Gruppengeschwindigkeit
einer Welle bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenpaketes
q und
dω
dω k
beträgt vg = dk hier ist dies die Schallgeschwindigkeit. vg = dq q≈0 = a m
⇒
mehrere
km
s
für typische Festkörper.
• In einem Kristall gibt es eine longitudinale und zwei transversale Moden.
• In einem Kristall mit zwei unterschiedlichen Atomen (Basis) können diese miteinander oder gegeneinander schwingen:
19
Für Phononen unterscheidt man Transversal- (oben) und Longitudinalwellen (unten)
Für Gitterschwingungen direkt am Brillouinzonenrand schwingen benachbarte Atome gegenphasig. Man kann der Welle keine Geschwindigkeit zuordnen.
In einer quantenmechanischen (qm) Betrachtung sind die Schwingungsanregungen quantisiert. Man nennt diese Anregungen Phononen. Die sogenannten Quasiteilchen verhalten
sich im Falle von Phononen als Bosonen. Man misst Phononendispersionen durch inelastische Streuung, in der bei Streuung eines Photons oder Neutrons ein Phonon erzeugt
oder vernichtet wird.
Dabei gilt Energie- und Impulserhaltung mit
EPhonon = h · f = ~ · ω
PPhonon = ~ · ~q (Teilcheneigenschaft)
Die Dispersionsrelation
gibt Auskunft über die Abhängigkeiten von Energie, Geschwin digkeit dω
,
Impuls,
Frequenz,
Wellenlänge, Wellenvektor dieser Quasiteilchen.
dt
20
Veranschaulichung einer Gitterschwingung in einem 2D Kristall mit einem Wellenvektor, der
nicht in einer der Symmetrie-Richtungen liegt.
21
6 Thermische Eigenschaften
6.1 Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Wie ändert sich der Abstand der Atome im zeitlichen Mittel als Funktion von T ? Betrachte harmonischen Oszillation aus Kapitel 5.
⇒ der Abstand ändert sich im
zeitlichen Mittel gar nicht!
⇒ nur die Anharmonizität bewirkt eine Änderung des mittleren Abstandes!
⇒ Festkörper dehnt sich mit steigender Temperatur aus.
6.2 Wärmekapazität in Festkörpern
Erinnerung: Wärmekapazität cv = ∂U
∂T v = const . Wie viel Energie ∂U muss man einem
Körper zuführen, um seine Temperatur um ∂T
zu ändern? Oder: Um welchen Wert ∂U ändert sich die Innere Energie U eines Körpers,
wenn er um ∂T
22
erwärmt wird? Wie berechne ich den Beitrag ∂U eines Subsystems (Phononen oder
Elektronen) an der Wärmekapazität?
⇒ Innere Energie
U = ΣAnregung · EAnregung · PAnregung (T )
|
{z
} |
AnregungsEnergie
{z
}
Besetzungswahrscheinlichkeit
dieser Anregung
Klassisch:
3 N Federn:
3N Massen:
⇒ 3 N Terme der potenziellen Energie
⇒ 3 N Terme der kinetischen Energie
2
Epot = k2 x2n,i
Ekin = m
2 vn,i
mit n: Atome, i: x,y,z Raumrichtung, k: Federkonstante
Für einen Freiheitsgrad:
R∞
Z∞
< E >=
E(x)·P (x)dx
Anm. 1 0
=
R∞
0
0
=
exp − kE(x)
B ·T
P (x) = R∞
0
und Anm. 2
R∞ 1
√
0
E
− k E·T
dE bestimmte Integrale
↓ 1
= kB ·T
E
−
2
· e kB ·T dE
E·e
Anm. 2 0
dx
exp − kE(x)
B ·T
mit Anm. 1
klassisch:
R∞ √
dx
E(x) · exp − kE(x)
B ·T
B
exp − kE(x)
B ·T
dE
1
1
= kx → dx =
dE = √
dE
dx
kx
2kE
also insgesamt:
1
< E >= kB · T pro Freiheitsgrad
2
⇒ Gleichverteilungssatz: Jeder Freiheitsgrad trägt eine innere Energie von 21 kB · T
Festkörper: 6N Freiheitsgrade (N : Anzahl der Atome; 3N „Federn“, 3N Massen)
cv =
∂U
∂T
=
v=const
∂
(3N · kB · T ) = 3N · kB
∂T
Gesetz von Dulong Petit. Bei Zimmertemperatur gut erfüllt, bei tieferen Temperaturen jedoch nicht. Bei tieferen Temperaturen werden quantenmechanische Eigenschaften
relevant.
23
• Einfachstes Modell: Einstein-Modell
Vernachlässigung aller Wechselwirkungen der Oszillatoren untereinander, sondern
betrachte 3N Oszillatoren fester Frequenz ω. Besetzungswahrscheinlichkeit Bose
Einstein
1
PAnreg (T ) =
EAnreg = ~ω
exp kBE·T − 1
1
E(T ) = 3N · ~ω ·
exp
~ω
kB ·T
∂E
~ω
~ω
cv =
= 3N · ~ω ·
· exp
∂T
kB · T
kB · T
cv = 3N · kB · h
exp
|
~ω
kB ·T
~ω
kB ·T
−1
1
h
exp
~ω
kB ·T
−1
i2
2
{z
lim →1
~ω
i2 · exp
kB · T
−1
|
{z
}
}
lim →1
T →∞
T →∞
~ω
lim exp
T →∞
kB · T
∼
=1+
~ω
kB · T
lim cv = 3N · kB
T →∞
lim ?
T →0
⇒ exp
~ω
kB ·T
divergiert stärker als
~ω
kB ·T
2
lim cv (T ) = 0
T →0
• Verfeinertes Modell: Debye-Modell
Nähere Dispersionsrelation als Gerade ω = vSchall · q mit Abschneidefrequenz ωD
liefert für große T ebenfalls cv = 3N · kB für kleinere T wird cv ∝ T 3 (Debyesches
T 3 Gesetz) ⇒ Passt quantitativ zu experimentellen Resultaten.
Anmerkung: Die Elektronen tragen bei Zimmertemperatur nur unwesentlich zur Wärmekapazität bei (davon später mehr)
6.3 Wärmeleitung
Wärmeleitung findet durch Gitterschwingungen und bei Metallen durch Elektronen statt.
Letzteres wird später betrachtet. Wärmeleitung und Gitterschwingungen: Die
Quasiteilchen der Gitterschwingungen, Phononen, breiten sich wie klassische Teilchen
aus, können unter Impuls und Energieerhaltung miteinander stoßen (wechselwirken).
Die Situation ist daher völlig analog zur Wärmeleitung in einem Gas (Gasmoleküle =
b
24
Phononen). Die entsprechenden Gesetze der Wärmeleitung aus der kinetischen Gastheorie finden Anwendung (siehe Thermodynamik).
~
~j = −k · ∇T
~ = Temperaturgradient
mit j = Wärmestromdichte, k = Wärmeleitfähigkeit, ∇T
k=
1
· cv · v̄ · λ
3
mit cv = Wärmekapazität, v̄ = mittlere Teilchengeschwindigkeit (hier: Schallgeschwindigkeit), λ = mittlere freie Weglänge
7 Elektronen im Festkörper
7.1 Einfachstes Modell: Das freie Elektronengas
Annahme: Das Potenzial im Festkörper sei konstant (schlechte Annahme, aber hilfreiche
Erkenntnisse)
~2~k 2
E = Ekin =
2m
~
Wellenfunktion: Ebene Welle ψ = A · exp i k~r − ωt (wie im Vakuum)
Elektronen sind im Festkörper eingesperrt, daher nur bestimmte Zustände erlaubt.
Periodische Randbedingung.
!
ψ(0) = ψ(Lx )
0
!
0
ψ(0) = ψ(Lx )
ebenso in y- und z- Richtung
2π
2π · nx
=
λx
Lx
2π · ny
ky =
Ly
⇒ kx =
kz =
2π · nz
Lz
~k = kx~ex + ky ~ey + kz ~ez ; nx , ny , nz : Quantenzahlen
• Erlaubte Werte von ~k ergeben „feinmaschiges“ rhombisches Gitter im ~k-Raum.
25
• Die Energie der Elektronen ist: Ekin =
p2
2m
=
~2 k 2
2m
• Flächen konstanter Energien sind im k-Raum Kugeln.
Elektronen sind Fermionen; jeder quantenmechanische Zustand darf maximal einfach (mit
Spin zweifach) besetzt sein. Für T = 0 werden
die Zustände innerhalb der sogenannten Fermikugel im k-Raum „aufgefüllt“.
7.2 Das Konzept der Zustandsdichte
Die Dichte der erlaubten Zustände im k-Raum hängt vom Kristallvolumen ab; die Anzahl
Elektronen, die auf die Zustände verteilt werden müssen, ebenfalls. Ein kleiner Kristall
hat bereits eine Unmenge von Zuständen und Elektronen, daher ist das Rechnen mit
diskreten Zuständen unhandlich. Dennoch muss berücksichtigt werden, dass für unterschiedliche Energien unterschiedliche viele Zustände vorhanden sind. Die Zustandsdichte
DOS(E) gibt an, wie viele Zustände pro Volumen und pro Energieintervall zur Verfügung
stehen.
Berechnung in 3D für Elektronengas:
kx =
2π · nx
L
!
!
Lx = Ly = Lz = L
Erlaubte Zustände im k-Raum ergeben kubisches Gitter mit Abstand
2π
L
3
2π
L
bzw. Volumen
pro Zustand. Anzahl der Zustände in einer Kugel des Radius k
N=
4
π · k 3 · L3
VKugel
= 3
·2
VZustand
(2π)3
E=
p2
~2 k 2
=
2m
2m
3
4
N = π · (2m · E) 2 ·
3
← 2 Spineinstellungen
bzw. k =
1√
2m · E
~
3
L
h
= Zustände mit Energie kleiner E
Anzahl der Zustände pro Volumen und Energieintervall =
= DOS(E) =
1
VKristall
·
√
3
dN
4π 3
1
=
· · (2m) 2 · E · 3 · 2
dE
3 2
h
26
Zustandsdichte für ein 3D-Elektronengas mit entsprechender Besetzung gemäß der Fermiverteilung. Das Ferminiveau ist in den meisten Fällen groß (für Kupfer ' 7 eV über dem Bandminimum) gegenüber der „Ausschmierung“ der Fermiverteilung, welche von der Größenordnung
kB T ist (kB T = 25 meV bei Zimmertemp. )
1
f (E) =
exp
E−EF
kB ·T
+1
Für typische Elektronendichten in Metallen muss die Zustandsdichte bis mehrere eV
„aufgefüllt“ werden, um alle Elektronen unterzubringen. Diese Energie ist groß gegen
kB · T , d.h. für die meisten Zustände gilt f ∼
= 1 oder 0 und nur für diejenigen am
Ferminiveau EF bzw. µ gilt f 6= 0 und f 6= 1.
7.3 Elektronen in externen Feldern
Durch elektrische oder magnetische Felder erfahren die Elektronen Kräfte:
→
~
F~ = −e · E bzw. F~L = e · (~v × B)
Wie ändert dies die Besetzung der Zustände im k-Raum?
Geschwindigkeit von quantenmech. Teilchen = Gruppengeschw. eines Wellenpaketes vGruppe
vGruppe =
dω
dE
=
dk
dp
(Zur Erinnerung: vPhase =
~ kω
vektoriell: ~vGruppe = ∇
v=
1 dE
1 ~
·
bzw. ~v = · ∇
kE
~ dk
~
27
ω
)
k
Darstellung der Besetzung im k-Raum. Für ein Elektronengas ist die Fermifläche eine Kugel
(hier Kreis), die bei T = 0 besetzte Zustände von unbesetzten trennt. Die „Ausschmierung“
der Verteilungsfunktion bei T 6= 0 ist übertrieben dargestellt.
Die Kraft verrichtet eine Arbeit, so dass
d~s
dE = F~ · d~s = F~ · dt = F~ · ~v dt
dt
d~k
= F~
dE = ~v dk = F~ · v dt bzw. ~ ·
dt
⇒ Das Einwirken einer äußeren Kraft auf ein Elektron bewirkt eine Änderung seines
Wellenvektors! Z.B.: Ein homogenes E-Feld bewirkt eine gleichmäßige Verschiebung der
Fermikugel im k-Raum. Durch Streuung werden Elektronen von der „Vorderseite“ der
verschobenen Fermikugel auf die Rückseite gestreut, so dass sich nach kurzer Zeit ein
dynamisches Gleichgewicht einstellt.
f (~k) : Besetzungsfunktion im k-Raum
∂f
∂t
+
Feld
∂f
∂t
=0
f0 (~k) : Fermiverteilung
Streuung
Vereinfachtes Modell: Alle Elektronen werden beschleunigt und erfahren nach einer
Streuzeit τ eine Streuung, die wieder zu einer Fermiverteilung führt. Der Mittelpunkt
der Besetzungskugel ist verschoben um
eEτ
δ~k = −
~
→
d~k
1
= · F~ext ; F~ext = −e E
dt
~
!
28
Darstellung der Besetzung im k-Raum ohne (links) und mit (rechts) angelegtem E-Feld. Die
roten Pfeile symbolisieren Streuprozesse.
~D =
δV
~δ~k
e→
= − Eτ
m
m
2
→
→
~j = −n · e · δvD = he τ · E = σ · E
m
mit n=Elektronendichte, e=Elektronenladung, σ=Leitfähigkeit.
σ=
ne2 τ
m
Drude-Modell
vD heißt Driftgeschwindigkeit: Geschwindigkeit mit der sich die Leitungselektronen im Mittel
gegen die Feldrichtung bewegen. Wie groß ist vD im Vergleich zur „typischen“ Geschwindigkeit der ungerichteten Bewegung der Elektronen auch ohne Feld (⇒ Fermigeschwindigkeit). Abschätzung:
220V Leitung im Haushalt:
Kabelquerschnitt 1,5mm2 Maximalstrom 16A
16A ∼ 7 A ∼
e
= 10 2 = 6, 7 · 1025 2 2
2
1, 5mm
m
s m
Elektronendichte n ∼
= 8, 4 · 1028 /m3
Stromdichte j =
j
mm
= 0, 8
n·e
s
m
mm
= 1, 6 · 106 = 1, 6 · 109
s
s
vD =
dagegen vFKupfer
29
⇒ Driftgeschwindigkeit ist um 9 Größenordnungen kleiner, als die ungerichtete Geschwindigkeit der Elektronen im Festkörper.
Anmerkungen:
→
• Weitere wichtige Größe: Beweglichkeit (mobility) definiert über ~vD = µ · E mit µ
= Beweglichkeit.
• Was sind die Mechanismen, die die beschleunigten Elektronen streuen?
1. Verunreinigungen, Defekte, im Kristall → nicht temperaturabhängig
2. Phononen im Festkörper → Streuung steigt mit steigender Temperatur
• Die Streuung der Elektronen untereinander spielt untergeordnete Rolle.
• Im einfachsten Modell sind die beiden relevanten Streuprozesse unabhängig voneinander und es gilt:
1
1
1
=
+
τges
τDefekte τPhononen(T)
Bei reinem Kupfer beginnt bei Zimmertemperatur τPhonon relevant zu werden.
7.4 Der Hall-Effekt
Beim Hall-Effekt setzt man einen stromdurchflossenen Leiter einem Magnetfeld aus und
misst die sogenannte Hallspannung.
Die sich bewegenden Elektronen werden durch die Lorentzkraft abgelenkt und es baut
sich ein elektrisches Feld auf senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld (HallEffekt). Dies geschieht solange, bis sich die Lorentzkraft und die Kraft aufgrund des
Hall-Effekts kompensieren.
~ =0
FHall + FL = −e · E~Hall − e · ~vDrift × B
30
Bei der Bragg-Reflektion kommt es zur konstruktiven Interferenz der reflektierten Teilwellen,
da λ = 2d. Selbst wenn an jedem Atom nur ein sehr kleiner Anteil der Welle reflektiert wird
(gestrichelte Linien sollen die Reflektion darstellen), so wird am Ende die rücklaufende Welle
die gleiche Intensität haben wie die hinlaufende, da alle reflektierten Teilwellen konstruktiv
interferieren.
~
−E~Hall = ~vDrift × B
~j = −e · n · ~vDrift
mit n = Ladungsträgerdichte und ~vDrift = j/(e · n)
UH
B·j
= |EHall | =
b
e·n
(1)
Definition einer Hallkonstante
RH :=
EHall
1
=
B·j
e·n
⇒ Durch den Hall-Effekt lässt sich die Ladungsträgerdichte bestimmen. (insbesondere
Halbleiter)
7.5 Elektronen im periodischen Potenzial
7.5.1 Das Modell des fast freien Elektronengases
Röntgenbeugung wird mit Bragg-Reflektion betrachtet. Dies tritt auch für Elektronen
geeigneter Wellenlänge auf. Wenn λ = 2d; d : Elektronenabstand, so interferieren die
reflektierten Teilwellen konstruktiv. Egal wie schwach die Reflektion an einer einzelnen
Ebene ist, müssen die Amplituden der nach rechts und links laufenden Wellen exakt
gleich sein; es bildet sich eine stehende Welle aus:
1
ψ± = √ · A · [exp · (i · (kx − ωt)) ± exp (i · (−kx − ωt))]
2
mit k =
2π
λ
= πa .
ψ+ =
√
2 · A · cos(kx) · e−iωt
ψ− =
31
√
2 · i · A · sin(kx) · eiωt
Z
∗
r
3
ψ ·ψ d r =1⇒A=
Normierung:
1
Vol
FK
Für die Energie der Elektronen gilt dann:
Z
E=
ψ ∗ · E · ψ d3 r
gesamter
FK
Z
=
ψ∗
~2
· ∆ +V (x) · ψ d3 r
|2m{z }
Ekin
Z
= Ekin +
1
= Ekin + 2 ·
·
Vol
=
Ekin
| {z }
kin. Energie d.
freien Elektrons
1
+
·
Vol
|
Z
Z
V (x) · ψ ∗ · ψ d3 r =
V (x) ·
1 1
2π
± · cos
·x
2 2
a
1
V (x) d r ±
·
Vol
{z
} |
3
gemitteltes Potential
über das Volumen
Z
d3 r
2π
V (x) · cos
·x
d
d3 r
{z
gitterperiodische
Modulation
des Potentials Vmod
}
Man kann zeigen, dass die Wellenfunktionen der Elektronen in jedem periodischen Potential immer folgende Form haben:
ψ(~r) = exp i · (~k~r − ωt) ∝ U (~r)
32
mit U (~r) ist gitterperiodisch
Beispiel:
U (~r)
n
o
Re exp i · (~k~r − ωt)
Re {ψ(~r)}
Bloch-Theorem
Es gilt für k = k 0 +
2π
, a = Gitterkonstante
a
2π
− ωt
ψ = exp (i · (kx − ωt)) · U (~r) = exp i · k x +
a
0
· U (~r)
2π
= exp i · (~kx − ωt) · exp i ·
· x ·U (~r)
a
|
|
{z
gitterperiodisch
}
{z
U 0 (~
r)=gitterperiodisch
}
7.5.2 Stark gebundene Elektronen (tight binding model)
Alternativ zum Modell fast freier Elektronen kann man auch annehmen, dass die Wellenfunktion der Elektronen eine Überlappung der atomaren Wellenfunktionen der einzelnen
Atome sind. Ansatz:
1
ψ=√
N
alleX
Atome
exp(i · k · Xn ) · ϕ(x−xn )
n
33
mit ϕ(x−xn ) : atomare Wellenfunktion, Xn Atomposition
Rechenweg:
Ansatz in Schrödingergleichung einsetzen, von links mit ψ ∗ multiplizieren, integrieren
⇒ E∼
= E0 + α + γ · 2 cos(k · a) a : Gitterkonstante
Z
α :=
∗
V (x)
ψ(x−x
·
)
n
| {z }
resultierendes
−
VA (x − xn ) · ϕ(x−xn ) dx =
|
{z
}
Atompotenzial
Gesamtpotenzial
eines Atoms
= Absenkung des Potenzials an einem Atom durch Nachbaratome
Z
γ :=
ϕ∗(x−xn ) · (V (x) − VA (x − xn )) · ϕ(x−xn +1) dx =
= Überlapp der Wellenfunktionen benachbarter Atome
34
2 2
In beiden Ansätzen steigt nahe k = 0 die Energie ∝ k 2 . Man benutzt weiterhin E = ~2mk∗
benutzt jedoch m∗ =
6 m, die sogenannte effektive Masse entsprechend der Krümmung
der Dispersion.
Die Überlegungen waren bisher in 1D. In 2D oder 3D muss eine Bandlücke für eine
Richtung nicht unbedingt zu einer Bandlücke im Gesamtsystem (unabhängig von der
Richtung) führen.
⇒ Unterscheidung
Metalle
Halbleiter
Isolatoren
7.6 Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit des Elektronensystems
Die Elektronen tragen kaum zur Wärmekapazität bei, da weder voll besetzte, noch komplett unbesetzte Zustände beitragen (also nur diejenigen bei E ≈ EF ). Elektronen in
Isolatoren haben keinen Beitrag.
Die sehr geringe Wärmekapazität der Elektronen im Metall ist ∝ T .
Die Wärmeleitfähigkeit der Elektronen in Metallen kann groß sein. Sie wird ebenfalls
wie die des idealen Gases behandelt:
⇒ Kinetische Gastheorie, Thermodynamik.
1
~
J~ = −λ∇T
mit λ = · cv · v̄ · Λ
3
mit λ: Wärmeleitfähigkeit, cv : Wärmekapazität des Elektronensystems, v̄: mittlere Geschwindigkeit,Λ:
mittlere freie Weglänge.
Λ : mittlere freie Weglänge ∝ τ
mit τ : mittlere Streuzeit
Für die elektrische Leitfähigkeit gilt: σ ∝ τ
Wiedemann-Franz-Gesetz
⇒
λ
π2
= L · T mit L : Lorentzzahl =
·
σ
3
kB
e
2
= 2, 45 · 10−8
WΩ
K2
8 Halbleiter
8.1 Grundlegendes
Alle gebräuchlichen Halbleiter basieren entweder auf Elementen der Gruppe IV (Silizium, Germanium, SiC) oder sie sind Verbindungshalbleiter aus Elementen der Gruppen
III und V (GaAs, InAs, GaP, . . . ) oder der Gruppen II und VI (CdTe, . . . ) zu gleichen
Anteilen. Daher gibt es im Mittel immer vier Valenzelektronen pro Atom. Die Kristallstruktur ist entweder die Diamant- oder Zinkblendestruktur bei Verbindungshalbleitern.
Die Bandlücken (bei Zimmertemp.) der gängigsten Halbleiter sind:
35
Illustration zum Zustandekommen eines besetzen und eines unbesetzten Bandes in Halbleitern.
36
Halbleiter EGap (eV)
Si
1.12
Ge
0.66
GaAs
1.42
In einem reinen Halbleiter ist die Ladungsträgerdichte n bei Zimmertemperatur extrem
gering:
• Si: n ' 1010 cm−3
• GaAs: n ' 2 · 106 cm−3
• zum Vergleich Cu: n ' 8 · 1022 cm−3
Die Grundidee der Halbleitertechnologie ist es, die Ladungsträgerdichte in weiten Bereichen durch Dotierung und E-Felder steuern zu können. Dazu muss man (i) Halbleiter in
sehr hohen Reinheit herstellen und (ii) diesen dann gezielt dotieren.
(i) Reinigung des Halbleitermaterials:
Die Schmelze wird langsam und wohl definiert entlang einer fortschreitenden Fläche kristallisiert. Da Fremdatome die Kirstallstruktur stören, ist es energetisch
günstiger, wenn diese in der Schmelze verbleiben. Aufgrund entropischer Effekte
werden jedoch immer einige Fremdatome ins Gitter eingebaut. (Das thermodyn.
Limit liegt bei ca. 1 Fremdatom pro 109 Atome). Verfahren: Zonenschmelzverfahren, Czochralski-Verfahren, u. a. (siehe Folien). Gleichzeitig führen diese Verfahren
zum Wachstum eines monokristallienen Festkörpers.
(ii) Dotierung:
Zur Dotierung werden typischerweise 0.1 – 100 ppm (ppm = part per million)
Fremdatome eingebracht. Dies geschieht durch unterschiedliche Methoden, zum
Beispiel:
• Diffusion (Einbringen durch Diffusion von einer Grenzfläche aus, technologisch
Relevant)
• Ionenimplantation (Einschließen der Ionen mit def. kinetischer Energie)
• MBE-Wachstum (MBE = Molekular Beam Expitaxy bzw. Molekularstrahlepitaxie)
Dotieratome haben ein Valenzelektron mehr (n-Dotierung) oder weniger (p-Dotierung)
als das Atom, das sie im Halbleiter ersetzen. Bsp. Si: P, As für n-Dotierung; B, As
für p-Doteirung.
8.2 Dotieratome im Wasserstoffmodell
Dies Modell wird am Beispiel P in Si erklärt: Phosphor hat ein Valenzelektron und eine
positive Kernladung mehr als Si. P geht vier kovalente Bindungen ein (siehe Diamantstrutur). Das Phosphoratom ist nun nach außen einfach positiv geladen. Dadurch wird
37
Illustration der Verteilung eines Donatorelektrons
das zusätzliche Elektron an das Phosphor-Atom gebunden, jedoch so schwach, dass es
sich in der weiteren Umgebung aufhält (über viele Einheitszellen verteilt). Dies rechtfertigt die Verwendung des Wasserstoffmodells: Das P-Atom wirkt effektiv wie ein H-Atom;
dem Vakuumniveau des Wasserstoffatoms entspricht die Unterkante des Leitungsbandes
(gerechtfertigt durch das Modell des freien Elektronengases). Das Elektron hat die Masse m∗ (effektive Masse des Leitungsbandes) statt me . Da sich zwischen Elektron und
positive Ladung Kristall und nicht Vakuum befindet, muss der Kristall als Dielektrikum
berücksichtigt werden:
1 e
Potenzial: V (r) = −
(2)
4π0 r
Dies führt zu einer Grundzustands Bindungsenergie von E = 1 Ry ·(m∗ /me )/2 ' einige meV
und einer Ausdehnung der Wellenfunktion von a = a0 · /(m∗ /me ) ' einige nm.
Zahlenwerte:
Halbleiter m∗Leitungsb. m∗V alenzb. Si
0.26me
0.49me
12
Ge
0.04me
0.28me
16
GaAs
0.067me
0.45me
13
Man sieht also, dass ein n-Dotieratom (auch: Donator) einen elektronischen Zustand
bewirkt, der in der Bandlücke ganz oben, d. h. knapp unter der Valenzband liegt und bei
T = 0 besetzt ist. Für p-Dotierung (auch: Akzeptor) ist die Situation völlig analog und
man erhält einen Zustand knapp oberhalb des Valenzbandes der unbesetzt ist. Den Abstand zwischen Donatorniveau und Leitungsband bezeichnen wir mit ED , den zwischen
Akzeptorniveau und Valenzband mit EA .
8.3 Auswirkung auf die Besetzung
Wir bleiben bei obigem Beispiel von P-Dotierung in Si. Für T = 0 sind die Donatorniveaus besetzt mit dem zusätzlichen Elektron der Phosphoratome. Das Leitungsband ist
unbesetzt. Es muss also das Ferminiveau EF zwischen diesen beiden liegen. Da der Energieabstand zwischen diesen gering ist (einige meV, s. o.) ist schon bei geringer Temperatur
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die „Verschmierung“der Fermiverteilung vergleichbar oder sogar groß gegen diesen Abstand. D.h. es ist ein erheblicher Anteil der Donatorniveaus unbesetzt. Wegen Ladungsneutralität müssen die Elektronen, die zu den Dotieratomen gehören im Leitungsband
sein. Solange kB T < ED steigt die Ladungsträgerdichte im Leitungsband näherungsweise exponentiell mit T (Boltzmann-Näherung der Fermiverteilung). Dieses Regime
nennt sich Störstellenreserve. Für ED < kB T < EGap ist die Ladungsträgerdichte im
Leitungsband näherungsweise gleich der Dotieratomdichte → Störstellenerschöpfung.
Für kB T > EGap sind die Dotieratome unwichtig, da die „Verschmierung“der Fermifunktion von Valenzband bis Leitungsband reicht → Eigenleitung. Die Ladungsträgerdichte
steigt exponentiell weiter. Im weiten Temperaturbereich der Störstellenerschöpfung ist
die Ladungsträgerkonzentration konstant und durch die Dotierung vorgegeben.
Völlig analoge Überlegungen kann man für Akzeptoren machen.
8.4 Positive Ladungsträger: Löcher
Ein voll besetztes Band träget nicht zum Strom bei. In einem Band gibt es zu jedem
Zustand einen anderen Zustand, der genau zur einer entgegengesetzten Bewegung mit
gleicher Geschwindigkeit (= Gruppengeschwindigkeit, siehe Abschn. 7.3) gehört. → Die
mittelere Bewegung aller Elektronen ist in einem voll besetzten Band immer Null.
Sind in einem Band fast alle Zustände besetzt (typisch im Valenzband des Halbleiters), so
entsprechen die unbesetzten Zustände einer unkompensierten Bewegung eines Elektrons
im Zustand mit entgegengesetzter Bewegungsrichtung. Der damit verbundene Stromfluss
ist genau so, als ob den unbesetzten Zuständen positive Ladungen entsprächen. Diese
nennt man daher Löcher. Die Äquivalenz trägt auch bezüglich der Überlegungen aus
Abschnitt 7.3 sowie für den Hall-Effekt (Abschnitt 7.4, Gleichung 1). Für Löcher dreht
sich das Vorzeichen der Hallspannung, d. h. man kann Elektronen- und Lochleitung mittels Halleffekt unterscheiden.
8.5 p-n Übergang: Diode, Leuchtdiode, Solarzelle
Bei Zimmertemperatur ist in einem n-Halbleiter EF in der Nähe des Leitungsbandes,
beim p-Halbleiter in der Nähe des Valenzbandes. Was passiert in einem p-n-Übergang?
Ist EF lokal unterschiedlich, so fließt ein elektrischer Strom. Dies geschieht so lange, bis
alle Unterschiede in EF ausgeglichen sind. Dies kann jedoch tief im n- bzw. p-Bereich
die Besetzung nicht wesentlich ändern, d. h., die Lage von Valenzband und Leitungsband muss sich entsprchend verschieben (siehe Folie). Direkt an der Grenzfläche stehen
keine Ladungsträger zur Verfügung und die Donatorniveaus sind unbesetzt, die Akzeptorniveaus besetzt. Jeweils eine Kernladung der Dotieratome in diesem Bereich bleibt
also unkompensiert, so dass dieser Bereich nicht neutral ist, sondern Ladungen trägt
(Raumladungszone). Im n-Bereich ist die Raumladung positiv, im p-Bereich negativ.
Diese unkompensierten Ladungen ergeben einen Spannungsabfall (wie in einem Plattenkondensator), der einhergeht mit der Verschiebung von Leitungs- und Valenzband.
Durch Anlegen einer äußeren Spannung (= Unterschied der Ferminiveaus) kann man die
Bandstruktur im n und p-Bereich gegeneinander verschieben. In einem p-n Übergang
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Besetzungsverhältnisse für unterschiedliche Temperaturbereich und Ladungsträgerdichte als
Funktion der Temperatur. Die roten Doppelpfeile illustrieren, dass besetzte Zustände im Leitungsband durch entsprechend unbesetzte kompensiert werden müssen damit Ladungsneutralität herrscht.
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p-n-Übergang ohne angelegte Spannung mit den dazugehörigen Bänderschemata
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gibt es einen Generationsstrom und einen entgegengesetzten Rekombinationsstrom. Der
Generationsstrom wird durch die sehr wenigen Minoritätsladungsträger (Elektronen im
p-Bereich, Löcher im n-Bereich) erzeugt, die in Richtung fallendes Potenzial den p-nÜbergang durchströmen. Der Rekombinationsstrom wird durch die Majoritätsladungsträger (Elektronen im n-Bereich, Löcher im p-Bereich) erzeugt, die in Richtung steigendes Potenzial den p-n-Übergang thermisch angeregt durchdringen können. Der Generationsstrom ist unabhängig von der anliegenden Spannung, der Rekombinationsstrom
hängt exponentiell von ihr ab, da die zu überwindende Potentialhöhe mit der Spannung
variiert. Dementsprechend ist die I(V ) Kennlinie exponentiell, wobei für U = 0 immer
I = 0 gelten muss.
Anmerkungen:
• Ein p-n-Übergang ist eine Diode.
• Auch ein Metall-Halbleiterüberang zeigt Diodenverhalten (Schottky-Diode)
• In einer Leuchtdiode kann direkt am p-n-Übergang ein Elektron aus dem Leitungsband ins Valenzband übergehen (analog: Elektron-Loch-Rekombination) und
dabei ein Photon entsprechender Energie EGap = ∆EElektron = EPhoton = hν
freisetzen (siehe Folie).
• Eine Solarzelle (oder Photodiode) funktioniert (vereinfacht) nach dem umgekehrten Prinzip: Photonen heben ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungsband (analog: erzeugen ein Elektron-Loch-Paar). Aufgrund des Potenzialgefälles im
p-n-Übergang werden die Ladungen getrennt. Die I(V)-Kennlinie einer Solarzelle
gleicht der der Diode, nur dass sie parallel verschoben ist.
8.6 Feldeffekttransistor
In einem Feldeffekttransistor (FET) wird der Stromfluss zwischen Source und Drain
durch eine Spannung am Gate kontrolliert. Zu diesem Zweck befinded sich ein Streifen dotiertes Halbleitermaterial zwischen Source und Drain, Kanal genannt. Die GateElektrode ist elektrisch isoliert sehr nahe am Kanal, so dass eine angeldegte Spannung
am Gate das Potenzial der Ladungsträger im Kanal beeinflusst. Man verschiebt damit
die Bandstruktur im Kanal, während das Ferminiveau im Kanal durch Source und Drain
vorgegeben ist. Dadurch kann man Ladungsträgersträgerdichte im Kanal und damit direkt den Leitwert des Kanals über das Gate steuern.
Anmerkungen:
• Man unterscheidet selbstsperrende und selbstleitende FET, je nach dem ob der
Kanal ohne Anlegen einer Gatespannung verhält. Entsprechend kann durch die
Gatespannung der Leitwert erhöht oder verringert werden.
• Man unterscheidet FETs auch nach dem Isolatormaterial der Gateelektrode: MOSFET benutzen Siliziumoxid, beim JFET wird einfach ein p-n-Übergang in Sperrrichtung benutzt.
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I(V)-Charakteristik eines p-n-Übergangs mit dazugehörigem Bänderschema
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Bänderschema zur Leuchtdiode
Schnitt durch einen Feldeffekttransistor (FET)
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• Die Polarität der Steuerspannung hängt von der Sorte der Ladungsträger ab.
9 Magnetismus
9.1 Arten des Magnetismuses
Es gibt kein unmagnetisches Material! Prinzipiell erfordert Magnetismus eine quantenmechanische Beschreibung. Man unterscheidet:
• Bei Diamagnetismus werden die Feldlinien aus dem Material „gedrückt“, d. h.
bei einem externen magnetischen Feld ist die magnetische Flussdichte B im Material geringer als außerhalb.
• Bei Paramagnetismus werden die Feldlinien in das Material „gezogen“, d. h. bei
einem externen magnetischen Feld ist die magnetische Flussdichte B im Material
größer als außerhalb.
• Bei Ferromagnetismus ist auch ohne externes Magnetfeld eine Magnetisierung
des Materials vorhanden.
• Bei Antiferromagnetismus sind ebenfalls auch ohne externes Magnetfeld mikroskopische magnetische Momente vorhanden, diese sind jedoch alternierend ausgerichtet, so dass die makroskopische Magnetisierung des Materials Null ist.
Zur Charakterisierung der Materialien verwendet man die magnetische Suszeptibilität
χ, wobei die Magnetisierung M = χ · H mit der Feldstärke H und der Suszepibilität χ
skaliert.
Ein externes Magnetfeld kann in einem Festkörper einerseits magneitsche Momente erzeugen, indem es Ringströme generiert (wie in einer Spule im Magnetfeld). Diese magnetischen Momente führen immer zu einer Verringerung des Feldes im Festkörper, dies ist
also die Ursache von Diamagnetismus. Dazu tragen solwohl Rumpfelektronen als auch
Leitungselektronen bei. Bei einem perfekten Leiter (= Supraleiter) ist der Diamagnetismus so stark, dass das Feld im Festkörper Null wird (entspricht χ = −1) In gewöhnlichen
Leitern ist der Diamagnetismus eher klein (Kupfer: χ = −6.4 · 10−6 ).
Im Festkörper gibt es oft bereits bestehende magnetische Momente, die ohne Feld jedoch
nicht ausgerichtet sind. Diese Momente kommen durch Bahnbewegung der Elektronen
(wie ein stromdurchflossenener Leiter) oder durch deren Spin (q.m. Eigenschaft) zustande. Wenn diese in einem Feld ausgerichtet werden, so erhöht sich das Feld im FK
(Paramagnetismus, Beispiel: Aluminium χ = 2.2·10−5 ). Der Paramagnetismus verringert
sich mit steigender Temperatur, da die thermische Anregung die Ausrichtung verringert.
Ferromagnetismus liegt vor, wenn sich die oben genannten magnetischen Momente der
Spins aufgrund von Wechselwirkung gegenseitig auch ohne externes Feld ausrichten.
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9.2 Ferromagnetismus
Die Wechselwirkung, die im Ferromagnetismus die Momente ausrichtet ist nicht deren
Feld oder Dipol-Dipol-Wechselwirkung. Es ist die Austauschwechselwirkung, die nur
quantenmechanisch verstanden werden kann: Zwei Elektronen werden in der Quantenmechanik durch eine Wellenfunktion beschrieben. Diese Wellenfunktion hat bestimmte
Eigenschaften, die die Korrelation der Elektronen beeinflussen. D.h. auch wenn die Gesamtladungsdichte der beiden Elektronen in zwei Fällen gleich sein soll, so können sich
in einem Fall die Elektronen immer gerade aus dem Weg gehen, im anderen Fall eher
nicht. In der Quantenmechanik kann man zeigen, dass sich Elektronen mit parallelem
Spin eher aus dem Weg gehen. Da sich die Elektronen gegenseitig elektrostatisch abstoßen, ist es energetisch günstiger, wenn sie das tun. Darüber gibt es einen Zusammenhang zwischen Energie und Ausrichtung der Spins, wobei parallele Spins in diesem Fall
energetisch günstiger sind. Dies ist die Austauschwechselwirkung, die die Spins (und
damit die magnetischen Momente) bevorzugt parallel ausrichtet. Manchmal wird die
Austauschwechselwirkung auch mit Hilfe eines magnetisches Austauschfeldes beschrieben, dies ist jedoch als ein mathematische Beschreibung der Wechselwirkung zu sehen,
das Austauschfeld gibt es nicht. Ab der sogenannten Curie-Temperatur wird die
gegenseitige Ausrichtung der magnetischen Momente durch entropische Effekte so stark
gestört, dass das Material oberhalb nur noch paramagnetisch ist.
Eine Magnetisierung der Probe bewirkt ein Streufeld in der Umgebung. Das Streufeld
ist mit Energie verbunden, d.h., es ist energetisch ungünstig. In einem Ferromagneten
sind nur innerhalb kleiner Bereiche (Weiß’sche Bezirke) die magnetischen Momente
ausgerichtet, die Weiß’schen Bezirke sind im Allgemeinen nicht zueinander ausgerichtet.
Dies reduziert das Streufeld. Erst in einem externen Magnetfeld richten sich auch die
Weiß’schen Bezirke zueinander aus.
10 Supraleiter
In einem Supraleiter fällt der elektrische Widerstand unterhalb einer kritischen Temperatur Tc schlagartig auf Null ab. Metallische Supraleiter sind z.B.
Element
Tc
Al
1.2 K
Hg
4.2 K
Pb
7.2 K
Nb
9.3 K
Hochtemperatur-Supraleiter wurden viel später entdeckt und haben eine komplexe Kristallstruktur (Perovskite), so z.B. Yttriumbariumkupferoxid YBa2 Cu3 O7 mit einem Tc
von 93 K.
• Ein Supraleiter ist ein perfekter Diamagnet (Meissner-Ochsenfeld-Effekt) mit
χ = −1.
• Ab einer kritischen Stromdichte bricht die Supraleitung zusammen.
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• Da der Diamagetismus mit Ringströmen im Material einhergeht, bricht auch ab
einer kritischen Magnetfeldstärke die Supraleitung zusammen.
Die BCS-Theorie beschreibt, wie es zur Supraleitung kommt:
• Die Elektronen wechselwirken über Gitterverzerrungen miteinander.
• Diese Wechselwirkung kann je zwei Elektronen aneinander koppeln, so dass sie
zusammen ein Cooper-Paar bilden.
• Cooper-Paare sind nicht wie die Elektronen Fermionen sondern Bosonen.
• Als Bosonen dürfen beliebig viele den Grundzustand besetzen.
• Cooper-Paare können zum elektrischen Strom beitragen.
• Durch die Paarung der Elektronen gibt es einen kleinen Energiebereich, in dem keine elektronischen Anregungen möglich sind (Energielücke). Dies ist ähnlich einer
Bandlücke beim Halbleiter, nur dass man für die Leitfähigkeit keine Ladungsträger
jenseits der Energielücke braucht, da der Strom durch die Cooper-Paare getragen
wird.
• Streuung ist damit komplett unterbunden, solange nicht eine Anregungsenergie zur
Verfügung steht, die größer als die Energielücke ist.
• Durch die Unterdrückung der Streuung hat ein Supraleiter keinen elektrischen
Widerstand.
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