Dozent: Alexander Shnirman Institut für Theorie der

Sommer-Semester 2011
Moderne Theoretische Physik III
Statistische Physik
Dozent: Alexander Shnirman
Institut für Theorie der Kondensierten Materie
Di 09:45-11:15, Lehmann HS 022, Geb 30.22
Do 09:45-11:15, Lehmann HS 022, Geb 30.22
http://www.tkm.kit.edu/lehre/ss2011_1017.php
Thursday, April 21, 2011
Literatur
1) T. Fließbach, Statistische Mechanik.
2) L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Band 5, Statistische Physik.
3) K. Huang, Statistical Mechanics.
4) L.E. Reichl, A Modern Course in Statistical Mechanics.
5) R. P. Feynman, Statistical mechanics.
6) Die Skripten von P. Wölfle, G. Schön, M. Vojta
Thursday, April 21, 2011
• Thermodynamik (Zusammenfassung) axiomatisch, phänomenologisch
• Statistische Physik - mikroskopische
Begründung der Thermodynamik
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Thermodynamik
Ein thermodynamisches System ist ein System
mit makroskopisch vielen Freiheitsgraden.
√
NA = 6, 023 · 10
23
N �1
Teilchen pro Mol
Avogadro-Zahl
Thermodynamischer Limes
N →∞ ,
Thursday, April 21, 2011
V →∞ ,
N
= const.
V
Zustandsgrößen
Thermodynamischer Zustand ist
vollständig bestimmt durch Angabe
von wenigen makroskopischen
Zustandsgrößen.
Extensiv: Volumen V , Teilchenzahl N ,
Innere Energie U , Freie Energie F , Entropie S, ... ∝ N
Intensiv: Druck P , Temperatur T ,
Chemisches Potential µ, ...∝ N 0
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Gleichgewicht
Thermodynamisches Gleichgewicht
herrscht in einem System, wenn ein
stabiler, zeitunabhängiger Zustand
vorliegt.
Es existieren stationäre
Nichtgleichgewichtszustände!
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Zustandsgleichung
Der Zusammenhang zwischen Zustandsgrößen
im thermodynamischen Gleichgewicht wird
Zustandsgleichung genannt.
P V = N kB T
z.B. für das
ideale Gas gilt
kB ≈ 1.38 ·
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3
U = N kB T
2
−23 J
10
K
Einatomiges Gas
- Boltzmann-Konstante
Zustandsänderung
Eine thermodynamische Zustandsänderung kann im Gleichgewicht nur
durch Änderung der Äußeren Bedingungen herbeigeführt werden.
Man unterscheidet:
a) quasistatische Zustandsänderungen: langsame Änderungen, so daß das System
nahe am Gleichgewicht bleibt;
b) reversible Zustandsänderungen: Prozesse, die bei Zeitumkehr in den
Ausgangszustand zurückführen;
c) irreversible Zustandsänderung: Prozesse, die bei Zeitumkehr in endlicher
Zeit nicht zum Ausgangspunkt zurüuckführen
d) adiabatische Zustandsänderung: ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung
e) isotherme, isobare, isochore, ... Zustandsänderungen:
T =const., P =const., V =const., ...
Thursday, April 21, 2011
Reversible Prozesse
Thermodynamische Prozesse können reversibel verlaufen,
d.h. quasistatisch innerhalb der Menge der Gleichgewichtszustände.
Oder sie können irreversibel sein. Z.B. eine Relaxation zum
Gleichgewicht ist i.a. nicht als Kurve im Phasenraum darstellbar.
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Differenziale von Zustandsgrößen
sind vollständig
T
Für Zustandsgrößen (z.B. Freie Energie) gilt
F = F (T, V )
�
V
dF =
�
∂F
∂T
dF =
1
�
dT +
V
∂a
∂b
∂2F
=
=
∂V
∂T
∂V ∂T
Thursday, April 21, 2011
�
dF
2
�
∂F
∂V
�
N = const.
oder
�
dF = 0
dV = a dT + b dV
T
Vom System geleistete
Arbeit
δW = P dV
mechanische Arbeit
magnetische Arbeit (zwei Möglichkeiten magn. Energie aufzuspalten)
� dB
�
δW = M
� M
�
δW = −Hd
dUmagn =
dUmagn
HdB
(B − 4πM )dB
BdB
=
=
− M dB
4π
4π
4π
HdB
Hd(H + 4πM )
HdH
=
=
=
+ HdM
4π
4π
4π
δW - kein vollständiges Differential
Es gibt keine Zustandsgröße W
Thursday, April 21, 2011
0 Hauptsatz
Konzept der Temperatur
Es gibt eine intensive Zustandsgröße "Temperatur", so
dass Systeme, die miteinander im Gleichgewicht sind,
denselben Wert der Temperatur haben.
Definiert durch Carnot-Prozess
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Erster Hauptsatz
dU = δQ − δW + µ dN
Energiesatz, Äquivalenz von Arbeit und Wärme
Wärme ist eine Form von Energie
δQ - kein vollständiges Differential
Es gibt keine Zustandsgröße Q
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Zweiter Hauptsatz
Es gibt keine thermodynamische Zustandsänderung, deren
einzige Wirkung darin besteht, da
(i) eine Wärmemenge einem Wärmespeicher entzogen
und vollständig in Arbeit umgesetzt wird.
(ii) eine Wärmemenge einem kälteren Wärmespeicher
entzogen und an einen wärmeren Wärmespeicher
abgegeben wird.
Äquivalent: Für jedes thermodynamische System existiert eine
(extensive) Zustandsgröße Entropie S. Die Entropie eines
abgeschlossenen Systems nimmt nie ab. Im thermodynamischen
Gleichgewicht nimmt die Entropie S ihren Maximalwert
an.
Wir definieren Entropie später
Thursday, April 21, 2011
Dritter Hauptsatz
lim S(T ) = 0
T →0
Eine Konsequenz des 3. Hauptsatzes ist,
dass der absolute Nullpunkt nicht in
einer endlichen Zahl von reversiblen
Prozessen erreicht werden kann.
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Carnot-Prozess
Der folgende reversible Kreisprozess wird durchlaufen:
1. Das System ist in thermischem Kontakt mit dem
Reservoir T2. Bei einem isothermen Prozess (hier
Expansion des Gases) fließt die Wärme Q2 ins System.
2. Das System wird thermisch isoliert. Während eines
adiabatischen Prozesses (hier weitere Expansion) sinkt
die Temperatur von T2 nach T1.
3. Das System ist in thermischem Kontakt mit dem
Reservoir T1. Bei einem isothermen Prozess (hier
Kompression des Gases) fließt die Wärme Q1 aus dem
System.
4. Das System wird thermisch isoliert. Während eines
adiabatischen Prozesses (hier weitere Kompression)
steigt die Temperatur von T1 nach T2.
Thursday, April 21, 2011
Carnot-Prozess beim idealen Gas
P V = N kB T
für 1 und 3 gilt
T = const. →
3
U = N kB T
2
P V = const.
für 2 und 4 gilt
δQ = 0 → dU = −δW = −P dV
Thursday, April 21, 2011
Carnot-Prozess: Wirkungsgrad
dU = δQ − δW
�
dU = 0
∆W = Q1 + Q2 = |Q2 | −| Q1 |
∆W
|Q1 |
η≡
=1−
|Q2 |
|Q2 |
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Zustandsgröße
∆W =
�
P dV
Wirkungsgrad
Carnot-Theorem
∆W = Q1 + Q2 = |Q2 | −| Q1 |
∆W
|Q1 |
η≡
=1−
Wirkungsgrad
|Q2 |
|Q2 |
Bei vorgegebenen Temperaturen T2 und T1 hat
keine Maschine einen höheren Wirkungsgrad als
die Carnot-Maschine.
Beweis: Wenn es so eine Maschine gäbe, könnten wir damit die
Carnot-Maschine als Wärmepumpe betreiben. Dies würde bedeuten,
dass ohne Zufuhr äußerer Arbeit Wärme von der tieferen Temperatur
T1 zur höheren T2 fließt.
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Kelvin-Temperatur-Skala
Alle Carnot-Maschinen mit gleichen T> , T<
haben den gleichen Wirkungsgrad η(T> , T< )
Q43
1 − η(To , Tm ) =
= f (To , Tm )
Q12
Q65
1 − η(Tm , Tn ) =
= f (Tm , Tn )
Q43
Q43 = −Q34
Q65
1 − η(To , Tn ) =
= f (To , Tn )
Q12
f (To , Tn ) = f (To , Tm ) · f (Tm , Tn )
Wir wählen
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T<
|Q< |
f (T> , T< ) =
=
T>
|Q> |
Konsistent mit P V = N kB T
Entropie
�
δQ �
dS =
�
T revers.
Carnot-Prozess
Thursday, April 21, 2011
Entropie
für Carnot-Prozess gilt
Q1
Q2
+
=0
T1
T2
Q1 = −|Q1 | < 0
für beliebige reversible Kreisprozesse gilt
�
δQ
=0
T
Zustandsgröße Entropie
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�
δQ �
dS =
�
T revers.
Irreversible Prozesse
für Carnot-Prozess gilt
Q1
Q2
+
=0
T1
T2
Für reversible Prozesse
Für irreversible Prozesse
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�
�
Q1 = −|Q1 | < 0
δQ
=0
T
δQ
< 0 Der Wirkungsgrad ist schlechter
T
Irreversible Prozesse
Für reversible Prozesse
Für irreversible Prozesse
�
�
δQ
=0
T
�
δQ �
dS =
�
T revers.
δQ
<0
T
S(B) − S(A) =
�B
A
Im allgemeinen gilt
Für abgeschlossene Systeme gilt
dS ≥ 0
�
δQ �
�
T revers.
δQ
dS ≥
T
Die Entropie S ist im Gleichgewicht maximal
Thursday, April 21, 2011
Beispiel
3
U = N kB T
2
P V = N kB T
T = const. → dU = 0
dU = δQ − P dV = 0
δQ
P
dV
dS =
= dV = N kB
T
T
V
∆SGas
V2
= N kB ln
V1
∆SGas + ∆SReservoir = 0
Thursday, April 21, 2011
Beispiel
3
U = N kB T
2
P V = N kB T
∆U = 0, ∆Q = 0, ∆W = 0
T = const.
∆SGas
V2
= N kB ln
V1
∆SReservoir = 0
Thursday, April 21, 2011
Fundamentale Relation der Thermodynamik
δQ = T dS
revers.
δQ < T dS
dU = δQ − P dV + µdN
1
P
µ
dS = dU + dV − dN
T
T
T
irrevers.
1
P
µ
dS > dU + dV − dN
T
T
T
S = S(U, V, N )
�
1
∂S �
=
�
T
∂U V,N
�
P
∂S �
=
�
T
∂V U,N
�
µ
∂S �
=−
�
T
∂N U,V
Für gegebene U, V, N ist S maximal im Gleichgewicht
Thursday, April 21, 2011
Fundamentale Relation der Thermodynamik
1
P
µ
dS = dU + dV − dN
T
T
T
S(λU, λV, λN ) = λS(U, V, N )
d
d
∂S
∂S
λ→1 ∂S
(λS) = S =
S(λU, λV, λN ) =
U+
V +
N
dλ
dλ
∂U
∂V
∂N
ST = U + P V − µN
Euler-Gleichung
Thursday, April 21, 2011
Fundamentale Relation der Thermodynamik
1
P
µ
dS = dU + dV − dN
T
T
T
ST = U + P V − µN
Euler-Gleichung
SdT − V dP + N dµ = 0
Gibbs-Duhem-Relation
Thursday, April 21, 2011
Thermodynamische Potentiale
Innere Energie
dU = T dS − P dV + µdN
dU < T dS − P dV + µdN
U = U (S, V, N )
�
∂U �
T =
�
∂S V,N
�
∂U �
P =−
�
∂V S,N
Maxwell Relationen, z.B:
∂T ��
∂P ��
=−
�
�
∂V S,N
∂S V,N
�
∂U �
µ=
�
∂N S,V
∂T ��
∂µ ��
=
�
�
∂N S,V
∂S V,N
Für gegebene S, V, N ist U minimal im Gleichgewicht
Thursday, April 21, 2011
Thermodynamische Potentiale
(Helmholtzsche) Freie Energie
F = U − T S = −P V + µN
dF = −SdT − P dV + µdN
dF < −SdT − P dV + µdN
F = F (T, V, N )
�
∂F �
S=−
�
∂T V,N
�
∂F �
P =−
�
∂V T,N
�
∂F �
µ=
�
∂N T,V
Für gegebene T, V, N ist F minimal im Gleichgewicht
Thursday, April 21, 2011
Thermodynamische Potentiale
Enthalpie
H = U + PV
dH = T dS + V dP + µdN
H = H(S, P, N )
�
∂H �
T =
�
∂S P,N
Thursday, April 21, 2011
�
∂H �
V =
�
∂P S,N
�
∂H �
µ=
�
∂N S,V
Thermodynamische Potentiale
(Gibbssche) Freie Enthalpie
G = H − TS = U + PV − TS
dG = −SdT + V dP + µdN
G = G(T, P, N )
�
∂G �
S=−
�
∂T P,N
Thursday, April 21, 2011
�
∂G �
V =
�
∂P T,N
�
∂G �
µ=
�
∂N T,V
Thermodynamische Potentiale
Großkanonisches Potential
Ω = F − µN = U − T S − µN = −P V
dΩ = −SdT − P dV − N dµ
Ω = Ω(T, V, µ)
�
∂Ω �
S=−
�
∂T V,µ
�
∂Ω �
P =−
�
∂V T,µ
�
∂Ω �
N =−
�
∂µ T,V
Für gegebene T, V, µ ist Ω minimal im Gleichgewicht
Thursday, April 21, 2011
Zusammenfassung: Thermodynamische Potentiale
Innere Energie
U = U (S, V, N )
Freie Energie
F = F (T, V, N )
Enthalpie
H = H(S, P, N )
Freie Enthalpie
G = G(T, P, N )
Großes Potential
Ω = Ω(T, V, µ)
Thursday, April 21, 2011
Konjugierte Variable
Intensiv
Extensiv
T
S
P
V
µ
N
dF = −SdT − P dV + µdN
Thursday, April 21, 2011
Response-Funktionen (lineare Antwort)
Wärmekapazität
δQ = CdT = T dS
�
�
∂S
x = {V, N } oder {P, N }, {V, µ}, {P, µ}
Cx ≡ T
∂T x
�
∂F �
für V = const. gilt S = −
�
∂T V,N
�
∂G �
für P = const. gilt S = −
�
∂T P,N
Thursday, April 21, 2011
CV,N ≡ −T
CP,N ≡ −T
�
�
∂2F
∂T 2
2
∂ G
∂T 2
�
V,N
�
P,N
δQ�
dS
�
� 2 Üblich
�
�
Dabei muss angegeben werden, welche
Variablen
festgehalten
werden.
sind:
C =
= T
∂S
∂
G
∂
dT (lineare
dT =Antwort)
C
≡
T
=
Response-Funktionen
P
�
�
� 2∂T�
� −T
� ∂T 2
∂
∂S
∂
F
∂U
P
P,N
Dabei muss angegeben
Variablen festgehalten
werden.
Üblich sind:
CV ≡ Twerden, welche
= −T
=
>
0
(1
2
V,N
�∂T �V
�∂T2 �V,N
�∂T �
2F
∂
∂S Stabilität ( 2.Hauptsatz
∂ F
∂U
Bemerkung:
)
erfordert
2 < 0 etc.
∂T
�
�
�
�
�
�
CV ≡ T
= −T 2 2
=
>0
(
∂T V
∂T V,N
∂S
∂∂T
G V,N
∂H
C
≡
T
=
−T
=
>
0
(1
P
2
• Kompressibilit
ät: isotherm
oder
adiabatisch
(=isentrop)
∂T
∂T
∂T
P
P,N
P,N
�
�
� 2 �
�
�
�
�
∂S
∂� G �
∂H �
�
�
CP ≡ T 1
= −T
=
>
0
(
2
∂V
∂
F
2
1 ∂T∂T
∂V
∂n
1
Bemerkung: Stabilit
ät −
( 2.Hauptsatz
< 0Tetc.
∂T P ) erfordert
∂T1 SP,N
y2 =
oder
κy ≡
P,N
Kompressibilität
V
∂PκT y≡ − V
∂P
2
T
Kompressibilität: isotherm oder adiabatisch (=isentrop)
∂ F
=
n
∂P
T
=−
V
Bemerkung: Stabilität ( 2.Hauptsatz ) erfordert ∂T 2 < 0 etc.
�
� 2 �
�
�
�1 � �
�
�
2G1
∂V
∂ H
1
∂V
1
∂n
1
∂
Kompressibilität:
oder adiabatisch
κS=≡ − (=isentrop)
> 0(1
κT isotherm
≡−
= − = −2
>0 2
V ∂P T
n V∂P ∂P
V ∂P V T ∂P
T
S
S
�
�
�
�
� 2 �
1 � ∂V �
1 �∂n �
1 ∂ G
2H = −
N ∂V
κ
≡
−
=
>0
(
T
1
1
∂
2
mit
n
=
und
N
=
const.
κS ≡ − V V ∂P T = −n ∂P 2T > V0 ∂P T
(1
V ∂P S
V ∂P S
� Ausdehnung:
�
� 2 �
• Thermische
1 ∂V
1 ∂ H
N
κS=≡const.
−
= −
>0
(
mit n = V und N
2
V ∂P S
V ∂P �S
�
�
�
�
1
∂V
1
∂
∂G
Thermische Ausdehnung:
αP ≡
=
N
mit n = V und N = const.
V � ∂T� �
V ∂T ∂P T
P
�
�
�
1 ∂V
1
∂
∂G
αP ≡
=
(1
Thermische
Ausdehnung:
αP kann sowohl
größer als
Null sein.
Thursday, April 21, 2011
V ∂T
V auch
∂T kleiner
∂P
Response-Funktionen (lineare Antwort)
Magnetische Suszeptibilität
mit
� dB
�
δW = M
� dB
� + µdN
dU = T dS − P dV − M
χT =
χS =
Thursday, April 21, 2011
�
�
� dB
� + µdN
dF = −SdT − P dV − M
∂M
∂B
∂M
∂B
�
T,V,N
�
S,V,N
=−
=−
�
�
2
∂ F
∂B 2
2
∂ U
∂B 2
�
T,V,N
�
S,V,N
%&'
Stabilität
%&'()*)&+&!
.&'/&0'1)'(*2.!3!G1*!<.3*9,63./!F!%.17:H:3.4.!I!
Wir betrachten 2 Teilsysteme A, B
J!E.3*.//3!)5*,6!.1/.!36.*41:,6!7.13./).&!<.0.EK
getrennt durch eine thermisch leitende,
.&!)5*,67D::1E.!G9/);!
bewegliche, durchlässige Wand.
I
J
!!!!!!!!!!!
L!(!LI!M!LJ!!!!(!!!!,A/:3!!!!!!(!!
= J!!!!
UA(!!!!,A/:3!
+ UB
'!(!'U
I!!M!'
=!(!=I!M!=J!!!!(!!!!,A/:3!
V = VA + VB
O!(!OI!M!OJ!!!!!
)LI!(!>!)LJ!
=! const.
!
!
!
!
= const.
N!O= NA + NB !O
= const.
N!
N!
Gleichgewicht
S maximal
dS
=
0
!O
"
$
" I$
" J$
I
)O!!(!!)!L *!
)LI!M!)!L *!
)LJ!M!)!' *!
)'I!M!;;;!
! I# 'I&=I
! J# 'J&=J1
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S = SA + SB
dS = dU + dV − dN
T
T
TA = TB
PA = PB
µA = µB
T
"%I %J$
"$I $J$
"$
""
!>!% *!!)=
!!!!!!(!Austausch
)% !>!% *!!)'
)% !>!% *!!)L
I!!M!!
I!!>!!)zwischen
I!
Der
einer
extensiven
Variable
2
Teilsystemen
führt dazu, dass
%
J#
J#
J#
! I
! I
! I
im Gleichgewicht die konjugierte Variable in beiden Teilsystemen angeglichen ist.
Q7.1,6E.01,63!1:3!O!49R1497&!)O!!(!S;!89*95:!@A7E3!
Thursday, April 21, 2011
dS = 0
“1.Ordnung”:
d
“2.Ordnung”:
(2)
S<0
� ∂ 2 Si
�
1
1
∂Ti
2
2
(2)
d S=
(dUi ) = − 2
(dUi )
2
2
∂Ui
2T
∂Ui
i=A,B
i=A,B
�
∂U
Konsequenz: CV =
!
"#!
∂T
!
!
�
V,N!'
≥0
$%!&!! !( !!!!"!#!)!!!
*+,-./0.,12!
�
�
� 2 �2
∂U#!"3&
∂ F
#!5&
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∂T V,N %
∂T 2 V,N
'((67.!7,,.8.!9,.8:7.!3;(<%=!7->!.7,.!!"#!$%&!30,?>7+,!@+,!()!
analog folgt z.B.:
Thursday, April 21, 2011
3
(
A,BC+:!D+C:>!B0-!6.,!9E>8.FBC.7:.,-GHBD>.,!@+,!3;(<%=<!6B--!67.-.!.7,.!!"#%&'&(30,?>7+,!@+,!
J
J!
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#
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!'
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!
#
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Stabilität: Thermischer Kontakt
mit
Reservoir
" $
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Wir betrachten 2 Teilsysteme A, B
getrennt durch eine
thermisch
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5/)!J!E.3*.//3!)5*,6!.1/.!36.*41:,6!7.13./).&!<.0.EK
bewegliche, durchlässige
Wand im
71,6.&!)5*,67D::1E.!G9/);!
Kontakt mit thermischem
Reservoir.
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T
I
)LI!(!>!)LJ!
!
'!(!'I!!M!'J!!!!(!!!!,A/:3!
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N!
!
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!
N!
TA = TB = T
!M!OJ!!!!!
V = VA + V! B O!(!O
= Iconst.
(!!
Gleichgewicht
F minimal
!
dF
=
0
F = FA + F
B
P4!Q7.1,6E.01,63!1:3!O!49R1497&!)O!!(!S;!89*95:!@A7E3!
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J#
J#
J#
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! I
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Thursday, April 21, 2011
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PA = PB
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" !OJ $
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N = NA + NB = const.
S = SA + SB
!
U = UA + UB !
,
F = U − TS
J
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µA = µB
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dF = −SdT − P dV + µdN
8.*!I5:395:,6!.1/.*!.R3./:1T./!'9*19<7.!201:,6./!20.1!%.17:H:3.4./!@+6*3!)925&!)9::!14!
Q7.1,6E.01,63!)1.!-A/U5E1.*3.!VBA/39-3KW!'9*19<7.!1/!<.1)./!%.17:H:3.4./!9/E.E71,6./!1:3;!
Response-Funktionen (lineare Antwort)
Magnetische Suszeptibilität
� M
�
mit δW = −Hd
� M
� + µdN
dU = T dS − P dV + Hd
U = U(S,V,M,N)
nur extensive Variable !!!
�M
� freie Energie oder freie magn. Enthalpie
F̃ = U − T S − H
� dH
� + µdN
dF̃ = −SdT − P dV − M
χT =
�
∂M
∂H
Thursday, April 21, 2011
�
T,V,N
=−
�
∂ 2 F̃
∂H 2
�
T,V,N
“2.Ordnung”:
d
(2)
F >0
dF = −SdT − P dV + µdN
F ist minimal
d
(2)
∂P
∂V
∂P
∂V
�
F =−
�
Kompressibilität
Thursday, April 21, 2011
�
�
dV 2 + . . .
T,N
<0
T,N
1
κT = −
V
�
∂V
∂P
�
>0
T
van-der-Waals-Gas
�
�
N
P + 2 a (V − N b) = N kB T
V
2
Zustandsgleichung: wird mikroskopisch hergeleitet
Instabilität
Thursday, April 21, 2011
Mischungsentropie und Gibb’sches Paradoxon
Entropie eines idealen Gases
S(U, V, N ) = N S0 + N k ln
Beweis:
�
∂S
∂V
�
Thursday, April 21, 2011
∂S
∂U
�
U,N
�
V,N
P
=
T
1
=
T
�
V
N
�
U
N
� f2 �
⇒
P V = N kT
⇒
f
U = N kT
2
-7@.! N8_].! 0,6! .8D`CC>! 5;*'<*%<*L=! &! *5;'<%<L=)! P.7! .7,.8! %+C0F.,[,6.80,:! %+! %a! [,6.8>!
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Mischungsentropie und Gibb’sches Paradoxon
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DB,:!-7,6!-7.!7,!:.>8.,,>.,!P.H[C>.8,!%
J<!%")!LBGH!9,>Z
Betrachten
wir zwei verschiedene
D.8,.,!6.8!(8.,,YB,6!7->!%!&!%
!U!%")!I7.!9,>8+Q7.Z
Gase
mit N1 , N2 . Vor Jdem
Entfernen
)2.671#8.&#/0"92&
!!!!
der[,6.80,:!7->!67.!
Trennwand
sind die Volumina
V1
und!!!!!,V5!&!L
% ist es V
% = V1 + V2.
2 , danach
J!?!C,! !!U!L"!?!C,! !!b!#!!
%J
%"
E
E
E
%J
E
E
E
!!!!!
E
E E
E
E
E
E
Expansionsentropie
V
∆Si = Ni k ln
,
Vi
i = 1, 2
Mischungsentropie
∆S = ∆S1 + ∆S2 > 0
Thursday, April 21, 2011
E
E
E
E
+
%"
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
E
E
+
+
+ +
+
!
Mischungsentropie
∆S = ∆S1 + ∆S2 > 0
Nun enthalten V1 und V2 dasselbe Gas (ununterscheidbare Teilchen !!!)
Gleichgewählte Anfangsbedingungen:
V1
V2
V
=
= ,
N1
N2
N
U1
U2
U
=
=
N1
N2
N
∆S = S( nach ) − S( vor )
= S(U, V, N ) − S(U1 , V1 , N1 ) − S(U2 , V2 , N2 ) = 0
Gibb’sches Paradoxon
Thursday, April 21, 2011