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Übungen zur Theoretischen Physik I (Mechanik) SS 2017 Prof. M. Drees und I. Golla http://thp.uni-bonn.de/Groups/drees/teaching.html Übung 6 Anwesenheitsaufgaben (1.6.2017) Die beiden Anwesenheitsaufgaben sind Beispiele zur Anwendung der Variationsrechnung. Abbildung 1: Skizze Brachistochrone A 1 Brachistochrone Das so genannte Brachistochronenproblem wurde 1696 von Johann Bernoulli als Wettbewerbsaufgabe gestellt. Die Lösung führte zur Begründung der Variationsrechnung. Ein Massenpunkt soll über einen festgelegten Weg von A nach B laufen (siehe Abbildung 1). Was ist die schnellste Verbindung y(x) zwischen den beiden Punkten, wenn als einzige Kraft die Erdanziehung wirkt? Der Massenpunkt ruht zu Beginn. A 1.1 Was ist das Linienelement ds? Zeigen Sie, dass die Zeit T , die der Massenpunkt von A nach B läuft, als ZB p T = 1 + y0 2 dx v (1) A 0 geschrieben werden kann. Dabei ist y = dy/dx und v die Geschwindigkeit des Massenpunktes. A 1.2 Eliminieren Sie v aus Gleichung (1) mit Hilfe der Energieerhaltung. Wie zuvor in Aufgabe A 1 der Übung 5 das Rt Integral S(qi (t), q̇i (t), t) = t12 L(qi (t), q̇i (t), t) dt minimiert wurde, soll hier ein Integral der gleichen Form mit RB T (y(x), y 0 (x), x) = A L(y(x), y 0 (x), x) dx minimiert werden. Wenden Sie die ELG entsprechend an. Hinweis: Es ist einfacher ∂L (2) H := L − y 0 0 = k1 = konst. ∂y mit Hilfe der ELG zu zeigen und H zur weiteren Lösung zu benutzen anstatt die ELG direkt anzuwenden. (Dies ist eine Legendre–Transformation!) A 1.3 Finden Sie die schnellste Verbindung durch Lösung von Gleichung (2). Verwenden Sie hierzu die Substitution y = r0 (1 − cos ϕ) = 2 r0 sin2 (ϕ/2) mit r0 = 1/(2 k12 ). Zeigen Sie, dass dann x = r0 (1 − sin ϕ) + k2 folgt und die Brachistochrone somit einer Zykloide (Rollkurve) entspricht. Bestimmen Sie die Konstanten aus den Anfangsbedingungen A = (xA , yA ) = (0, 0) und B = (xB , yB ). A 1.4 Berechnen Sie die Zeit, die der Massenpunkt mit der schnellsten Verbindung benötigt und und die Zeit, die der Massenpunkt auf einer direkten Geraden von A nach B braucht. Übungen zur Theoretischen Physik I (Mechanik) SS 2017 Prof. M. Drees und I. Golla http://thp.uni-bonn.de/Groups/drees/teaching.html Abbildung 2: Skizze Seifenhaut A 2 Seifenhaut Zwischen zwei Kreisringen mit Radius R, die bei x = −x0 und x = x0 zentriert in der yz-Ebene liegen, sei eine Seifenhaut gespannt (siehe Abbildung 2). Aufgrund der Oberflächenspannung bildet sich die Seifenhaut so aus, dass ihre Fläche minimal wird. A 2.1 Das gesamte Problem ist rotationssymmetrisch um die x-Achse. Zeigen Sie, dass für eine Funktion y(x) zwischen den Kreisringen die Fläche F der Rotationsfigur durch das Funktional 0 Zx0 F (y(x), y (x), x) = 2π y p 1 + y 0 2 dx (3) −x0 gegeben ist, wobei y 0 = dy/dx ist. A 2.2 Benutzen Sie nun die Methode der Variationsrechnung, um die von der Seifenhaut gebildete Minimalfläche zu finden. Gesucht ist also die Funktion y(x), die F minimiert. Zeigen Sie dafür, dass aus der ELG folgt: ! 02 p d y =0 (4) y 1 + y0 2 − y p dx 1 + y0 2 Der Klammerausdruck kann somit konstant gesetzt und daraus y(x) gefunden werden. Hausaufgaben (Abgabe: Vorlesung am 12.6.2017) Die Hausaufgaben beinhalten weitere Beispiele zur Übung des Lagrangeformalismusses. Abbildung 3: Skizze Zwei fallende Stöcke Übungen zur Theoretischen Physik I (Mechanik) SS 2017 Prof. M. Drees und I. Golla http://thp.uni-bonn.de/Groups/drees/teaching.html H 1 Zwei fallende Stöcke Zwei masselose Stöcke der Länge l stehen aufeinander und sind miteinander verbunden (durch ein frei drehbares Gelenk) wie es in Abbildung 3 zu sehen ist. Der untere Stock ist zusätzlich mit dem Boden verbunden (wieder durch ein frei drehbares Gelenk). In der jeweiligen Mitte der beiden Stöcke hängen Punktmassen m. Am Anfang steht der untere Stock senkrecht und der obere Stock ist durch einen kleinen Winkel α nach links ausgelenkt. Es wirkt die Gewichtskraft. H 1.1 Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. H 1.2 Welche Winkelbeschleunigungen θ̈1 und θ̈2 wirken am Anfang (θ1 = 0 und θ2 = α) auf die beiden Stöcke? Vereinfachen Sie hierzu die Lagrangefunktion, indem die Winkel θi klein angenommen bzw. nur Terme mit höchstens zweiter Ordnung in θi berücksichtigt werden. Abbildung 4: Skizze Pendel hängt an Masse H 2 Pendel hängt an Masse Zwei Punktmassen m sind mit einem masselosen Seil fester Länge l verbunden, welches reibungsfrei über zwei Rollen verläuft (siehe Abbildung 4). Die Größen der Rollen können vernachlässigt werden. Die linke Masse kann sich nur in vertikaler Richtung, also nach oben und unten bewegen. Die rechte Masse hat zusätzlich die Freiheit in der Ebene zu schwingen, d.h. nach links und rechts. H 2.1 Benutzen Sie die in der Abbildung zu sehenden Koordinaten r und ϕ als freie Koordinaten. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. H 2.2 Finden Sie die Bewegungsgleichungen von r und ϕ. H 2.3 Nehmen Sie an, dass die linke Masse zu Beginn ruht, während die rechte Masse auf gleicher Höhe hängt, aber um einen kleinen Winkel α mit α 1 ausgelenkt wird und anfängt hin und her zu schwingen. In welche Richtung wird die linke Masse anfänglich beschleunigt und wie groß ist diese Beschleunigung? (Hinweis: Berücksichtigen Sie nur ϕ-Terme bis zur zweiten Ordnung und mitteln Sie die Beschleunigung über ein paar Schwingungen.) H 3 Doppelpendel Betrachten Sie das Doppelpendel mit den Massenpunkten m1 und m2 , sowie den festen Pendellängen l1 und l2 (siehe Abbildung 5). Wählen Sie die Winkel φ1 und φ2 als verallgemeinerte Koordinaten. Übungen zur Theoretischen Physik I (Mechanik) SS 2017 Prof. M. Drees und I. Golla http://thp.uni-bonn.de/Groups/drees/teaching.html Abbildung 5: Skizze Doppelpendel H 3.1 Schreiben Sie die kartesischen Koordinaten xj und yj mit j = 1, 2 als Funktionen der φj . H 3.2 Stellen Sie die Lagrangefunktion L(φj , φ̇j ) auf und bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen. H 3.3 Finden Sie die Lösungen der Bewegungsgleichungen für den Fall m1 = m2 = m, l1 = l2 = l und kleiner Auslenkungen (berücksichtigen Sie φj nur bis zur ersten Ordnung). Machen Sie den Ansatz φj (t) = aj exp(i ω t) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten. Die allgemeine Lösung ergibt sich aus einer Überlagerung der gefundenen Fundamentalschwingungen. Bestimmen Sie nun die Lösung für die Anfangsbedingungen φ1 (0) = φ2 (0) = φ̇2 (0) = 0 und φ̇1 (0) = ω0 . H 3.4 Betrachten Sie nun die erzwungene Schwingung φ1 (t) = φ0 sin(Ωt). Bestimme die Lösung von φ2 (t) für kleine Auslenkungen. Viel Spaß!
