Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 2
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§ 1 Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitstheorie
§ 1.1. Grundlegende Begriffe (Fortsetzung)
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Ereignisalgebra
Definition 1.3.
Ein System A von Teilmengen von Ω heißt eine Ereignisalgebra
oder σ-Algebra auf Ω, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) Ist A ∈ A, so ist auch A = Ω \ A ∈ A.
(ii) Es ist stets Ω ∈ A.
(iii) Sind A1 , A2 , . . . An ∈ A , so ist auch
n
[
Ak ∈ A. Desgleichen,
k=1
sind A1 , A2 , . . . , Ak , . . . ∈[A für k ∈ N, so ist auch die
unendliche Vereinigung
Ak ∈ A.
k∈N
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Wahrscheinlichkeitsraum
Definition 1.6.
Es sei A eine Ereignisalgebra auf Ω; eine Abbildung (oder: eine
Mengenfunktion) p : A → [0, 1] heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß
oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn p folgende Axiome
erfüllt:
(i) p(Ω) = 1.
(ii) σ-Additivität: Sind A1 , A2 , . . . ∈ A paarweise disjunkte
Ereignisse so gilt
!
[
X
p
Ak =
p(Ak ).
k
k
Das Tripel (Ω, A, p) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.
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Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Wahrscheinlichkeitsräume mit endlichem Grundraum heißen
endliche Wahrscheinlichkeitsräume.
Sei Ω = {ω1 , . . . , ωn } ein endlicher Grundraum.
Als Ereignisalgebra auf Ω nimmt man oft die Potenzmenge
P(Ω).
Um das Wahrscheinlichkeitsmaß p zu definieren reicht es
p({ωi }), i = 1, . . . , n, anzugeben, so dass
p({ωi }) ≥ 0
und
p({ω1 }) + . . . p({ωn }) = 1.
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Definition (Abzählbare (unendliche) Menge)
Eine Abbildung f : M → N heißt bijektiv, wenn für jedes
n ∈ N das Urbild f −1 ({n}) einelementig ist.
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine bijektive
Abbildung f : M → N gibt.
Salopp gesagt: In einer abzählbaren Menge lassen sich die Elemente
“durchnummerieren.”
Definition (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)
Ein Wahrscheinlichkeitsraum mit endlichem oder abzählbarem
Grundraum heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Unendlich oftes wiederholtes Werfen einer Münze ist ein
Experiment mit diskretem Wahrscheinlichkeitsraum.
Temperaturmessung ist kein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
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Laplace-Raum
Definition 1.8
Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {ω1 , . . . , ωn } in dem
gilt
p({ω1 }) = p({ω2 }) = . . . = p({ωn }),
heißt Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsraum (oder Laplace-Raum).
Beispiele:
Münzwurf, Würfeln, Lottospiel sind Laplace-Räume
Temperaturmessung, Wahlbefragung sind keine Laplace-Räume
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Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Raum
Sei Ω = {ω1 , . . . , ωn } ein Laplace-Raum. Wir haben aus den
Axiomen in Definition 1.6
1 = p(Ω) = p({ω1 }) + p({ω2 }) + . . . + p({ωn }) = np({ωi }).
Damit gilt, für jedes i ∈ {1, . . . , n}, dass
1
.
n
Sei A ⊂ Ω eine Teilmenge mit k Elementen. Dann gilt
p({ωi }) =
p(A) =
X
ωi ∈A
p({ωi }) =
k
Anzahl der Elemente in A
=
n
Anzahl der Elemente in Ω
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Erste Folgerungen aus den Axiomen eines
Wahrscheinlichkeitsraums
Satz 1.7.
Sei (Ω, A, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien
A, B, A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann gilt:
(1) p(∅) = 0 und p(A) ≤ 1 für alle A ∈ A.
(2) p(Ā) = 1 − p(A).
(3) A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B) i.e. p ist monoton.
(4) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ≤ p(A) + p(B).
∞
∞
[
X
(5) p(
Ai ) ≤
p(Ai ).
i=1
i=1
(6) A ⊂ B ⇒ p(B \ A) = p(B) − p(A).
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Organisatorisches
Bitte beachten Sie: Die Tutoratstermine sind auf der Homepage
angegeben! Bitte beachten Sie für die Abgabe der Übungen:
Abgabetermin ist Mi 10h. Verspätet abgegebene Übungen
werden nicht gewertet.
Schreiben Sie jede Aufgabe auf ein eigenes Blatt. Falls Sie
mehrere Blätter benötigen, so sollten diese zusammengetackert
werden.
Werfen Sie Aufgabe 1 in Kasten 1, Aufgabe 2 in Kasten 2 im
LE, 4. Etage.
Schreiben Sie auf jedes abgegebene Blatt Ihren Vornamen und
Nachnamen. Schreiben Sie bitte leserlich. Nicht leserliche
Abgaben werden nicht gewertet.
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§ 1.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch kombinatorische
Überlegungen
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Binomialkoeffizienten
Sei n ∈ N. Wir bezeichnen mit
n! = 1 · 2 · . . . · n,
und sagen n-Fakultät. Konvention: 0! = 1.
Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Wir bezeichnen mit
n
n!
=
k
(n − k)!k!
den Binomialkoeffizienten n über k.
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Kartesisches Produkt. Geordnete r -Tupel
Seien A1 , . . . , Ar Mengen.
Definition (Kartesisches Produkt)
Die Menge
A1 × . . . × Ar := {(a1 , . . . , ar ) | ak ∈ Ak für k = 1, . . . , r }
heißt kartesisches Produkt der Mengen A1 , . . . , Ar . Die Elemente in
A1 × . . . × Ar heißen geordneten r -Tupel.
Die Menge Ak habe nk Elemente. Die Anzahl der geordneten
r -Tupel (a1 , . . . , ar ) mit ak ∈ Ak ist
|A1 × . . . × Ar | =
r
Y
ni = n1 · n2 · . . . · nr .
i=1
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Permutationen (ohne Wiederholung)
Definition
Sei A eine Menge. Ein geordnetes r −Tupel (a1 , . . . , ar ) mit ai ∈ A
(nicht notwendigerweise verschieden) heißt r-Permutation der
Menge A. Wir schreiben
Perr (A) := Ar = {(a1 , . . . , ar ) | ai ∈ A} .
Hat die Menge A n-Elemente, so ist die Anzal der r -Permutationen
der Menge A genau nr , also |Ar | = nr .
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Permutationen ohne Wiederholung
Ein geordnetes r −Tupel (a1 , . . . , ar ) mit ai ∈ A paarweise
verschieden heißt r -Permutation der Menge A ohne Wiederholung.
Wir schreiben
Perr∗ (A) := {(a1 , . . . , ar ) | ai 6= aj ∈ A.} .
Sei A eine Menge mit n Elementen. Sei r ≤ n. Die Anzahl der
r -Permutation der Menge A ohne Wiederholung ist gleich
n!
n
=
· r!
n · (n − 1) · .... · (n − (r − 1)) =
(n − r )!
r
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r -Kombinationen (mit und ohne Wiederholung)
Sei A = {1, . . . , n}.
Ein r −Tupel (a1 , . . . , ar ) mit a1 < a2 < . . . < ar heißt
r-Kombination aus A ohne Wiederholung. Wir schreiben
Komr∗ (A) := {(a1 , . . . , ar ) | 1 ≤ a1 < · · · < ar ≤ n} .
Komr (A) := {(a1 , . . . , ar ) | 1 ≤ a1 ≤ · · · ≤ ar ≤ n} ;
ist die Menge der r-Kombinationen aus A mit Wiederholung.
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Anzahl der Kombinationen
Die Anzahl der r -Kombinationen mit bzw. ohne Wiederholung ist
n
n+r −1
∗
|Komr (A)| =
,
|Komr (A)| =
.
r
r
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Urnenmodell
Wir betrachten eine mit n durchnummerierten Kugeln gefüllte Urne.
Nun ziehen wir r -mal hintereinander je eine Kugel aus der Urne und
notieren nach jeder Ziehung die Nummer der gezogenen Kugel.
ohne Zurücklegen
mit Zurücklegen
ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
Wie groß ist der Grundraum des Experiments?
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Urnenmodell
Bezeichne mit Ω = {1, . . . , n}.
ohne Zurücklegen
ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
n
r
| Kom∗r (Ω) |=
| Per ∗r (Ω) |=
n
r
· r!
mit Zurücklegen
| Komr (Ω) |=
n+r −1
r
| Per r (Ω) |= nr
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Beispiel 1.9: 6-er im Lotto
Die Anzahl der Elemente im Grundraum ist
p(6-er im Lotto) =
1
49
6
=
49
6
.
1
' 7, 1511 · 10−8 .
13983816
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Fächermodelle
Es sollen r Teilchen auf n von 1 bis n nummerierte Fächer verteilt
werden. Die Anzahl der Besetzungen sowie des Ergebnisraums
hängen davon ab, ob die Teilchen unterscheidbar sind und ob
Mehrfachbesetzungen zugelassen werden oder nicht.
Teilchen
Mehrfachbesetzung
unterscheidbar?
erlaubt?
Ja
Ja
Nein
Nein
Ja
Nein
Ja
Nein
Ergebnisraum
Perr (Ω)
Perr∗ (Ω)
Komr (Ω)
Komr∗ (Ω)
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