¨Ubungen zur Mathematischen Logik

Prof. Dr. O. Spinas
WS 2015/16
Übungen zur Mathematischen Logik
Blatt 11
Aufgabe 1
Zeigen Sie unter Verwendung des Kompaktheitssatzes: Ein ΣAr -Satz, der in allen Körpern
der Charakteristik 0 gilt, gilt in allen Körpern hinreichend großer Charakteristik.
Aufgabe 2
Sei Σ = {R/2} die Sprache der (gerichteten) Graphen.
(a) Zeigen Sie: Die Klasse aller gerichteter Graphen ohne Kreise ist nicht endlich axiomatisierbar.
(b) Zeigen Sie, dass die Klasse aller gerichteter Graphen, die mindestens einen Kreis enthalten, in LΣ nicht axiomatisierbar ist.
Aufgabe 3
Sei Σ eine Symbolmenge. Zu jeder erfüllbaren Menge Φ von Σ–Sätzen fixieren Sie eine Σ–
Struktur AΦ mit AΦ |= Φ, und setzen Sie Λ := {AΦ : Φ ⊆ LΣ
0 und Con (Φ)} . Für jeden
Σ–Satz ϕ sei außerdem Xϕ := {A ∈ Λ : A |= ϕ} .
Zeigen Sie, dass die Menge B = {Xϕ : ϕ ∈ LΣ
0 } die Basis einer Topologie auf Λ bildet, d.h.
(a) Falls X, Y ∈ B und A ∈ X ∩ Y , so existiert Z ∈ B mit A ∈ Z und Z ⊆ X ∩ Y .
S
(b) Λ =
Xϕ .
ϕ∈LΣ
0
Sei O die Menge aller Teilmengen von Λ, die als Vereinigung von Mengen aus B geschrieben
werden können. Zeigen Sie, dass O eine Topologie auf Λ ist, d.h.
(c) ∅, Λ ∈ O.
(d) O ist S
abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen, d.h. falls Oi ∈ O für alle i ∈ I, so
auch
Oi ∈ O.
i∈I
(e) O ist abgeschlossen
T unter endlichen Vereinigungen, d.h. falls O0 , . . . , On−1 ∈ O für
Oi ∈ O.
n ∈ N, so auch
0≤i<n
Aufgabe 4
Zeigen Sie
(a) Für jedes ϕ ∈ LΣ
0 ist Xϕ abgeschlossen, d.h. Λ r Xϕ ∈ O.
(b) Der
S topologische Raum (Λ, O) ist kompakt, d.h. falls Oi ∈ O für
S alle i ∈ I und
Oi = Λ, dann existieren endlich viele i0 , . . . , in−1 ∈ I, so dass
Oij = Λ (jede
i∈I
offene Überdeckung von Λ hat eine endliche Teilüberdeckung).
Abgabe: Dienstag, den 04. Februar 2016, bis 12 Uhr im Schrein.
0≤j<n