Statistische Mechanik plus Course 17075
Werbung
Statistische Mechanik plus Course 17075 Hartmut Ruhl, LMU, Munich Personen Statistische Mechanik plus Course 17075 Hartmut Ruhl, LMU, Munich Okt 27, 2016 W-Theorie Literatur Statistische Mechanik plus Course 17075 Hartmut Ruhl, LMU, Munich Personen Personen W-Theorie Literatur W-Theorie Literatur Personen Statistische Mechanik plus Course 17075 Hartmut Ruhl, LMU, Munich Personen W-Theorie Literatur Hartmut Ruhl, ASC, room A239, phone 089-21804210, email [email protected]. Patrick Böhl, ASC, room A205, phone 089-21804640, email [email protected]. Statistische Mechanik plus Course 17075 Wahrscheinlichkeitsdichten und Momente X sei eine Zufallsvariable, die die Werte x annimmt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit dP, dass X einen Wert x ≤ X < x + dx annimmt Hartmut Ruhl, LMU, Munich Z ∞ dP = w(x) dx , dx w(x) = 1 , (1) ∞ W-Theorie wobei w(x) die Wahrscheinlchkeitssichte von X ist. Mittelwerte werden wie folgt berechnet Literatur Z ∞ hX i = dx x w(x) . (2) ∞ Sei F (X ) eine Funktion der Zufallsvariable X . Dann gilt für den Mittelwert hF (X )i Z ∞ hF (X )i = dx F (x) w(x) . (3) ∞ Das n-te Moment der Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) ist Z ∞ n hX i = n dx x w(x) . (4) ∞ Die mittlere quadratische Abweichung lautet 2 2 Personen 2 (∆x) = hX i − hX i . (5) Statistische Mechanik plus Course 17075 Wahrscheinlichkeitsdichten und Momente Hartmut Ruhl, LMU, Munich Falls X diskrete Werte annimmt, gilt w(x) = p1 δ (x − ξ1 ) + ... + pn δ (x − ξn ) . (6) Personen W-Theorie Sei X = (X1 , ..., Xn ) eine mehrdimensional Zufallsvariable, welche die Werte x = (x1 , ..., xn ) annimmt, dann ist Z Z ∞ ∞ dP = w (x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn , ∞ dx1 ... ∞ dxn w (x1 , ..., xn ) = 1 (7) die Wahrscheinlichkeit, x zwischen x und x + dx zu finden. Sei F (X) eine Funktion der Zufallsvariablen X1 , ..., Xn . Dann gilt für den Mittelwert hF (X)i Z ∞ hF (X)i = ∞ Z ∞ dx1 ... ∞ dx1 F (x1 , ..., xn ) w (x1 , ..., xn ) . (8) Funktionen von Zufallsvariablen sind wieder Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsdichten besitzen. Es gilt wF (f ) = hδ (F (X) − f )i . (9) Dies lässt sich folgendermaßen motivieren Z wF (f ) = dk 2π e +ikf χF (k) . (10) Literatur Statistische Mechanik plus Course 17075 Wahrscheinlichkeitsdichten und Momente Es gilt weiter Hartmut Ruhl, LMU, Munich X (−ik )n n f , n! n Z Z X (−ik )n n X (−ik)n −ikf n χF (k ) = df e wF (f ) = df f wF (f ) = hF i . n! n! n n e +ikf = (11) W-Theorie (12) Somit folgt Z wF (f ) = n dk 2π e +ikf X (−ik)n n n! hF i , n (13) n (14) Z hF i = dx1 ...dxn w (x1 , ..., xn ) F (x1 , ..., xn ) . Z Z Schließlich gilt wF (f ) = dx1 ...dxn w (x1 , ..., xn ) dk 2π e +ik [f −F (x1 ,...,xn )] Z = dx1 ...dxn w (x1 , ..., xn ) δ [f − F (x1 , ..., xn )] , = hδ (F (X) − f )i . Die Funktion F ist somit eine Zufallsvariable, die Werte f mit der Wahrscheinlichkeitsdichte wF (f ) annimmt. Personen (15) Literatur Statistische Mechanik plus Course 17075 Korrelationen Hartmut Ruhl, LMU, Munich Korrelationen der Zufallsvariablen Xi und Xj werden folgendermaßen definiert Kij = h(Xi − hXi i) Xj − hXj i i . (16) Personen W-Theorie Falls xi unabhängig von allen übrigen Variablen xj mit i 6= j ist, also gilt Literatur w (x1 , ..., xn ) = wi (xi ) wj x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn (17) so folgt Z Kij = dx1 ...dxn wi (xi ) wj x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn (Xi − hXi i) Xj − hXj i (18) Z dxi wi (xi ) (Xi − hXi i) = Z × dx1 ...dxi−1 dxi+1 ...dxn wj x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn Xj − hXj i = 0. Dies bedeutet Kij = 0 , Die Xi und Xj sind dann für i 6= j unkorreliert. i 6= j . (19) Statistische Mechanik plus Course 17075 Reduziert Wahrscheinlichkeitsdichten Hartmut Ruhl, LMU, Munich Falls gilt w (x1 , ..., xn ) = Πi wi (xi ) (20) Personen W-Theorie so folgt Literatur Kij = 0 , ∀i, j . (21) Die Zufallsvariablen Xi sind ∀i unkorreliert. Sei Pn (x1 , ..., xn ) die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen X1 , ..., Xn . Die reduzierte Wahrscheinlichkeitsdichte Pn−k xk+1 , ..., xn ist definiert als Pn−k xk +1 , ..., xn = Z dx1 ...dxk Pn (x1 , ..., xn ) . (22) Daraus folgt für die auf eins normierte bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte Pk|n−k x1 , ..., xk |xk +1 , ..., xn Pk |n−k x1 , ..., xk |xk+1 , ..., xn = Pk (x1 , ..., xn ) Pn−k xk +1 , ..., xn . (23) Letztere gibt an, wie wahrscheinlich es ist, die Werte x1 , ..., xk zu finden, wenn die Werte xk+1 , ..., xn mit Sicherheit vorliegen. Statistische Mechanik plus Course 17075 Zentraler Grenzwertsatz Hartmut Ruhl, LMU, Munich Wir nehmen an, dass die unabhängige Zufallsgrößen X1 , X2 , ..., Xn mit den Wahrscheinlichkeitsdichten w (x1 ) , w (x2 ) , ..., w (xn ) vorliegen. Personen Wir suchen die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Summe Y = X1 + ... + Xn im Grenzfall n → ∞. Man führt die Zufallsvariable Z ein W-Theorie n X Y − n hX i Xi − hX i Z = = , √ √ n n i=1 (24) die die Werte z annehmen kann. Nach (15) lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte wZ (z) Z wZ (z) = dx1 ...dxn w (x1 ) ...w (xn ) δ z− x1 + ... + xn − n hX i √ n Z = = dk 2π Z dk 2π e e +ikz Z n −ik dx1 ...dxn Πi=1 w (xi ) e √ +ik (z+ nhX i) n k χ √ . n x1 +...+xn −n hX i √ n (25) Literatur Statistische Mechanik plus Course 17075 Zentraler Grenzwertsatz Es gilt weiter Hartmut Ruhl, LMU, Munich χ (q) = X (−iq)n n n! " n hX i = exp X (−iq)n n! n # Cn , (26) Personen W-Theorie wobei Literatur C1 = hX i , (27) 2 2 3 2 C2 = hX i − hX i , (28) 3 C3 = hX i − 3hX ihX i + 2hX i , (29) C4 = ... . (30) Die Kummulanten Ci erhält man durch Reihenentwicklung des Expontentialausdrucks in (26). Im Limes n → ∞ gilt Z wZ (z) = dk 2π Z ≈ = q dk 2π e √ +ik (z+ nhX i) " e k −i √ n hX i e #n 2 2 −k hX i−hX i2 2n ... √ √ k 2 hX 2 i−hX i2 +ik z+ nhX i) −ik nhX i − 2 e ( e e 1 2 hX 2 i − hX i2 e z2 − 2 hX 2 i−hX i2 . (31) Statistische Mechanik plus Course 17075 Zentraler Grenzwertsatz Hartmut Ruhl, LMU, Munich Personen W-Theorie Literatur Für große n folgt schließlich für die Wahrscheinlichkeitsdichte wY (y ) wY (y) = q 1 2n hX 2 i − hX i2 − e 2 (y−nhX i) 2n hX 2 i−hX i2 . (32) Dies ist eine Gaußverteilung. Beispiele für Gaußverteilungen sind die Impuls- und Energieverteilungen eines idealen Gases. Literatur Statistische Mechanik plus Course 17075 Hartmut Ruhl, LMU, Munich Personen W-Theorie Literatur F. Schwabl, Statistische Mechanik, Springer.
