Anmerkungen zum Fermat-Problem - Quadrat-Zahlen-

Albrecht Kampf, Haupttstr.82, 52159 Roetgen
eMail: [email protected]
Tel.: 02471/921298
11.12.2013
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Berechnung von
Pythagoräischen Zahlen-Tripeln und Primzahlen
Großer "F E R M A T"-scher Satz: E I N M A L anders!
Grundlage für die Berechnung von ‚Pythagoräischen Zahlentripeln‘ und ‚Primzahlen‘
sind die Zahlen a und b , die ganz=(g), gegensinnig-gerade/ungerade=(ggu) und Teilerfremd=(Tf) sein müssen. - Bei der Ableitung der algebraischen Gleichungen muß daher von
vornherein auf die Eigenschaft der Zahlen Rücksicht genommen werden.
1.Phythagoräische Zahlentripel
Will man ein allgemeines pythagoräisches Zahlentripel A²+B²=C² berechnen, so muß
man von 2 ungeraden Zahlen ausgehen: Werden 2 ungerade Quadrat-Zahlen auf die eine Seite
einer Gleichung gebracht, so kann man entscheiden, ob zwischen den beiden Summanden ein
+ oder ein – Zeichen stehen muß. (u=ungerade)
u² = u² +1-1= (u+1)*(u-1)+1
Wenn (u±1)/2 ungerade ist, dann muß (u∓1)/4 gerade oder ungerade sein. Deshalb ist:
u² = 8*N+1
Die Differenz zweier ungerader Quadratzahlen kann deswegen eine gerade
Quadratzahl sein, weil die 1 wegfällt:
u1² - u2² = 8*N’
Durch dieses Verfahren ist sichergestellt, daß die Zahlen durch die (g/ggu/Tf)Bedingung eng an den algebraischen Ausdruck gebunden sind.
Werden u1 und u2 auf ihre ganzzahlige Mitte bezogen, so ist mit u1=P+Q und u2=P-Q
u1²-u2²=(P+Q)² - (P-Q)² = 4PQ
4PQ kann nur dann in jedem Fall eine gerade Quadratzahl sein, wenn P=a² und Q=b² ist,
wobei a und b gegensinnig:gerade/ungerade und Teiler-fremd sind. Somit ist:
A²+B²=(2ab)²+(a²-b²)²=(a²+b²)*(a²+b²)=C²
Aus dieser Brahmagupta-Gleichung kann man ablesen, daß jede derartige Summe (A²+B²)
das Quadrat einer Fermat’schen Zahlen-Quadrat-Summe (a²+b²) ist. ZB:
A²+B²=4²+3²=(2*1*2)²+(1²-2²)²=(1²+2²)*(1²+2²)=5*5=5²=p²=C²
Diese Gleichung läßt sich zur Fibonacci-Gleichung umstellen:
(2ab)²+(a²-b²)²(ab±ba)²+(aa∓bb)²(a1b2±a2b1)²+(a1a2∓b1b2)²
(Da das Mischglied in beiden Klammern im Betrage gleich ist, [2a1b2a2b1=2a1a2b1b2] , ist es
berechtigt, gegensinnige Plus-Minus bzw. Minus-Plus einzuführen). Somit ist:
A1²+B1²=A2²+B2²=(a1b2±a2b1)²+(a1a2∓b1b2)²=(a1²+b1²)*(a2²+b2²)=c1*c2=p1*p2
Da das Herzstück der Differenz der binomischen Gleichung im Biquadrat-Fall eine
Summe von 2 Quadratzahlen aufweist (a+b)4-(a-b)4=8ab*(a²+b²), kann man in diese Summe
die obige Gleichung einsetzen. Z.B.:
1²+2²=5  (1²+2²)²=(3³+4²)=5²  (1²+2²)*(3²+4²)=2²+11²=[5²+10²]=5³ 
 (3²+4²)²=(1²+2²)*(2²+11²)=24²+7²=[15²+20²]=54
Setzt man das Teiler-fremde Ergebnis der algebraischen Multiplikation in die Differenz der
binomischen Gleichung ein, so ist:
(a+b)4-(a-b)4=8ab(a²+b²)  (24+7)4-(24-7)4=8*24*7*(24²+7²)=8*24*7*54
Es gibt jedoch noch eine Differenz der binomischen Gleichungen mit einer Summe
von 2 Zahlen-Quadraten und zwar im kubischen Fall:
(a+b)³-(a-b)³=2b*(3a²+b²)
Da es keine mathematische Ableitung zur algebraischen Multiplikation von (3a²+b²) gibt,
werden Zahlen zu Hilfe genommen:
3*1²+2²=7  3*4²+1²=7²  3*9²+10²=7³ [3*7²+14²=7³]
Genau wie im 1. Fall gibt es bei Exponent 3 eine 2., aber nicht-Teiler-fremde Lösung,
die durch Kürzung einer Kubik-Wurzel entspricht. – Da für eine Ableitung diese Zahlen nicht
ausreichen, wird (3*9²+10²)² quadriert. Das Ergebnis kann in Teiler-fremde Zahlen a/b
zerlegt werden:
(7³)²=(3*9²+10²)²=117649=3*180²+143²= 3*(9*10+9*10)²+(3*9²-10²)²
Da das Bild dieser Gleichung genauso aussieht, wie das obige, kann man schreiben:
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3A1²+B1²=3A2²+B2²=3(a1b2±a2b1)²+(3a1a2∓b1b2)²=(3a1²+b1²)*(3a2²+b2²)=p1*p2=c1*c2
(In diese Gleichung kann jede Zahl (auch Primzahl) statt der 3 eingefügt werden).
Da in beiden Gleichungen Tf-ggu-Zahlenpaare eingesetzt sind, sind die Ergebnisse
von (3a²+b²) sowie (a²+b²) Primzahlen p oder Primzahlen-Produkte p1*p2…*pn. Hiermit
wird ausgedrückt, das die Primzahl-Bedingung durch die Multiplikation erhalten bleibt. Im
Quadratfall besteht das Produkt aus einem Primzahlen-Quadrat. Dieses Primzahlen-Quadrat
kann nur existieren, wenn (a1/b1)=(a2/b2) ist. Das heißt: Jeder entsprechenden Primzahl ist ein
spezielles, Teiler-fremdes Zahlenpaar zugeordnet.
2.Primzahl-Bedingungen
Da Primzahlen der Form (4n+1) sich (nach Fermat) in eine Quadratsumme zerlegen
lassen, muß die Zerlegbarkeit von Primzahlen bestimmt werden.
p²=p²-1+1=(p+1)*(p-1)+1
Wenn (p±1)/2=ungerade ist, so muß (p∓1)/4=gerade oder =ungerade sein. Da bei p≥5
(p+1) oder (p-1) außerdem durch 3 teilbar ist, ist
p² = N*24+1 oder p²≡1mod24
Da (p²+1)/2=ungerade ist, sowie auch (p4+1)/2=ungerade und (p8+1)/2=ungerade ist, so ist
p²≡1mod24 p4≡1mod48 p8≡1mod96 usw
Umgekehrt kann man diesen Weg nicht gehen. Es ist aber anzunehmen, daß für eine
Primzahl ‚p1’ eine Abhängigkeit von ‚12’ vorliegt:
Bei jedem, also auch beim 12-adischen, Zahlensystem ist die letzte Stelle der einzige Ort, der
nicht durch die Einheit selbst teilbar ist. Die End-Ziffern im 12-adischen Zahlensystem lauten:
Bei Exponent 1 :
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (0)
Bei Exponent 2 :
(0) (1) (4) (9) (4) (1) (0) (1) (4) (9) (4) (1) (0)
Aus dieser Aufstellung kann man ablesen, daß im 12er Zahlensystem bei Primzahlen die
Endziffern (1),(5),(7) oder (11) heißen müssen. Die Quadratzahlen besitzen hier die EndZiffern (0),(1),(4) oder (9).
Da die Differenz der binomischen Gleichungen im Biquadratfall sowie im Kubikfall
die Gleichungen
(a+b)4-(a-b)4=8ab(a²+b²)
und (a+b)³-(a-b)³=2b(3a²+b²)
aufweisen und die Herzstücke dieser Gleichungen (a²+b²) sowie (3a²+b²) multiplizierbar
oder potenzierbar sind, können in diese Gleichungen die 12er-Endziffern der Quadratzahlen
eingesetzt werden. Werden diese Zahlen so eingesetzt, daß die Bedingungen: a und b müssen
gegensinnig:gerade/ungerade sein, wobei bei (3a²+b²)=p nur a/3=ganz sein kann sowie
b/3≠ganz sein muß, erfüllt sind, so lauten die 12er Endziffer-Gleichungen
a²+b² = p
3*a²+b² = p
(0)+(1)=(1) (1)+(4)=(5) (4)+(9)=(1)
3*(0)+(1)=(1) 3*(1)+(4)=(7)
(1)+(0)=(1) (4)+(1)=(5) (9)+(4)=(1)
3*(4)+(1)=(1) 3*(9)+(4)=(7)
Aus diesen Gleichungen kann man ablesen, daß bei (a²+b²)=p die 12er Endziffern (1)
oder (5) und bei (3a²+b²)=p die 12er Endziffern (1) oder (7) heißen müssen. In
zahlentheoretischer Schreibweise lauten die Gleichungen:
p=a²+b²≡1mod 12
p=3a²+b²≡1mod12
a oder b durch 3 teilbar
a=gerade b=ungerade b/3≠ganz
p=a²+b²≡5mod12
p=3a²+b²≡7mod12
a/3≠ganz b/3≠ganz
a=ungerade b=gerade b/3≠ganz
Dies sind die vollständigen Bedingungen für die Herzstücke der obigen Gleichungen.
(1mod12) sowie (5mod12) entsprechen der Fermat-Bemerkung (4n+1). Es kann angenommen werden, daß Fermat die Gleichung (3a²+b²=p) bei seiner Randbemerkung kannte.
Bei dieser Ableitung wird jedoch deutlich, daß eine Primzahl mit Teilungsrest
p≡11mod12 sich nicht in Quadratzahlen zerlegen läßt.
Mit diesen Gleichungen kann man zB Potenzierungen und Multiplikationen
durchführen (die Klammerzahlen entsprechen den 12er Teilungsresten):
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1²+2²=513²+4²=5²2²+11²=5324²+7²=5438²+41²=5544²+117²=56278²+29²=57...
3*1²+2²=713*4²+1²=7²3*9²+10²=7³3*8²+47²=743*31²+118²=753*180²+143²=76...
65 = 5*13 = (1²+2²)*(2²+3²) = (1²+8²) = (4²+7²) = 65≡(5)*(1)=(5)
85 = 5*17 = (1²+2²)*(1²+4²) = (2²+9²) = (6²+7²) = 85≡(5)*(5)=(1)
481=13*37=(2²+3²)*(1²+6²)=15²+16²=9²+20²=481≡(1)*(1)=(1)
481=13*37=(3*2²+1²)*(3*2²+5²)=(3*12²+7²)=(3*8²+17²)=481≡(1)*(1)=(1)
91 = 7*13 = (3*1²+2²)*(3*2²+1²) = (3*5²+4²) = (3*3²+8²) = 91≡(7)*(1)=(7)
133 = 7*19 = (3*1²+2²)*(3*1²+4²) = (3*6²+5²) = (3*2²+11²) =133≡(7)*(7)=(1)
In folgender Tabelle wird die Reihenfolge der Primzahlen-Endziffern
(1),(5),(7) und (11) deutlich: Alle Primzahlen sind unterstrichen. – Auch die Verteilung der
Quadratzahlen mit den 12er Endziffern (0),(1),(4) und (9) (fettgeschrieben) wird deutlich:
Sie liegen auf Parabeln, die jeweils bis zur nächsten durch 3 teilbaren ungeraden Quadratzahl
gespannt sind, wobei die Spreizung der Parabeln, durch die Zunahme der Differenz der
Quadratzahlen von Zahl zu Zahl um 2, regelmäßig zunimmt.
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 300 312 324
1/13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193 205 217 229 241 253 265 277 289 301 313 325
2 14 26 38 50 62 74 86 98 110 122 134 146 158 170 182 194 206 218 230 242 254 266 278 290 302 314 326
3 15 27 39 51 63 75 87 99 111 123 135 147 159 171 183 195 207 219 231 243 255 267 279 291 303 315 327
4 16 28 40 52 64 76 88 100 112 124 136 148 160 172 184 196 208 220 232 244 256 268 280 292 304 316 328
5 17 29 41 53 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173 185 197 209 221 233 245 257 269 281 293 305 317 329
6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198 210 222 234 246 258 270 282 294 306 318 330
7 19 31 43 55 67 79 91 103 115 127 139 151 163 175 187 199 211 223 235 247 259 271 283 295 307 319 331
8 20 32 44 56 68 80 92 104 116 128 140 152 164 176 188 200 212 224 236 248 260 272 284 296 308 320 332
9 21 30 45 57 69 81 93 105 117 129 141 153 165 177 189 201 213 225 237 249 261 273 285 297 309 321 333
10 22 34 46 58 70 82 94 106 118 130 142 154 166 178 190 202 214 226 238 250 262 274 286 298 310 322 334
11 23 35 47 59 71 83 95 107 119 131 143 155 167 179 191 203 215 227 239 251 263 275 287 299 311 323 335
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 302 312 324 336
---------
Es ist aber auch in der Tabelle zu sehen, daß nur die Primzahlen 2 und 3 sich nicht
der allgemeinen Primzahlregel im 12er Zahlensystem beugen: Diese beiden Zahlen bringen
durch ihre eigenen Bedingungen das Zahlensystem durcheinander: Bei der 2 ist abwechselnd
im 2er-Sprung die eine Zahl nur durch 2 teilbar (Ergebnis: ungerade), während die nächste
gerade Zahl mindestens durch 4 (oder 8,16, usw) teilbar ist. Bei der 3 gibt es keine
Quadratzahlen (c²≠≡2mod3), nur (c²≡0mod3) sowie (c²≡1mod3).
Durch diese Eigenschaften der Zahlen 2 und 3 wird die Verteilung der Primzahlen
unregelmäßig. Da jedoch die Gleichungen p=a²+b² sowie p=3a²+b² erhalten bleiben, nimmt
die Konzentration der Primzahlen bei größer werdenden Zahlen im Sinne der Zunahme der
Differenz der Quadratzahlen ab, während die 12er Teilungsreste unverändert gleichmäßig im
Zahlensystem vorhanden sind.
3.Anwendungen der Brahmagupta-Fibonacci-Gleichungen
(a1²+b1²)*(a2²+b2²)=(A1²+B1²)=(A2²+B2²)=c1*c2
(3a1²+b1²)*(3a2²+b2²)=(3A1²+B1²)=(3A2²+B2²)=c1*c2
Aus diesen Gleichungen kann man ablesen, daß eine Multiplikation zwei Ergebnisse liefert,
während bei einer Quadrierung nur eine Lösung zu erwarten ist.
Bei Verwendung der Gleichungen mit g-Tf-ggu-Bedingung wird für c=(a²+b²)≡1mod12
oder c=a²+b²≡5mod12 und bei c=3a²+b²≡1mod12 oder c=3a²+b²≡7mod12 erhalten.
Da hier mit sämtlichen 12er Primzahl-Endungen umgegangen wird, müssen erlaubte
(1,5,7) und nicht erlaubte (11; dh nicht in Quadratsummen zerlegbare p) 12er Teilungsreste
zur Diskussion gestellt werden. Dann lauten die Multiplikationsregeln für die 12er Endziffern:
(1)*(1)=(1)
(5)*(1)=(5)
(7)*(1)=(7)
(11)*(1)=(11)
(1)*(5)=(5)
(5)*(5)=(1)
(7)*(5)=(11) (11)*(5)=(7)
(1)*(7)=(7)
(5)*(7)=(11)
(7)*(7)=(1)
(11)*(7)=(5)
(1)*(11)=(11) (5)*(11)=(7) (7)*(11)=(5) (11)*(11)=(1)
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Da die Mathematik die Zahlen zur Darstellung benötigt, kann auf die Eigenschaft der
Zahlen keine Rücksicht genommen werden. Zur Darstellung der Gleichungen c=p=a²+b²
sowie c=p=3a²+b² ist das jedoch nötig, um Besonderheiten herauszustellen.
Diese Gleichungen werden in zwei vollständigen Tabellen ebenfalls mit den
11mod12-Fällen bis 300 unten dargestellt:
Tabelle 1: (5mod12)- und (1mod12)-Zahlen für c=p=a²+b²
Bis 300 gibt es folgende (ggu;Tf)-Zahlen a/b, die im Fall c=p=a²+b² beliebig vertauscht werden dürfen:
1/2//5 1/4//17 1/6//37 1/8//65 1/10//101 1/12//145 1/14//197 1/16//257
2/3//13 2/5//29 2/7//53 2/9//85 2/11//125
2/13//173 2/15//229 2/17//293
3/4//25 3/8//73 3/10//109 3/14//205 3/16//265 4/5//41 4/7//65 4/9//97 4/11//137
4/13//185 4/15//241
5/6//61 5/8//89 5/12//169 5/14//221 5/16//281 6/7//85 6/11//157 6/13//205 7/8//113 7/10//149
7/12//193
8/9//145
8/11//185
8/13//233 8/15//289 9/10//181 9/14//277 10/11//221
10/13/269
11/12//265
.. .....
a/b
p=c=a²+b²≡5mod12
a/b
p=c=a²+b²≡1mod12
.
1/2
5
2/3
13
1/4
17
(verbotene 11mod12)
3/4
25 =5*5
2/5
29
1/6
37
4/5
41
(Zahlen-Produkte)
49 =7*7≡(7)*(7)=(1)
2/7
53
5/6
61
1/8 4/7
65 =5*13
3/8
73
77 =7*11≡(7)*(11)=(5)
2/9 6/7
85 =5*17
5/8
89
4/9
97
1/10 101
3/10
109
7/8 113
121 =11*11=(11)*(11)=(1)
2/11 125 =5*5*5≡(5)*(5)*(5)=(5)
133 =7*19≡(7)*(7)=(1)
4/11 137
1/12 8/9 145 =5*29
7/10 149
6/11 157
161 =7*23≡(7)*(11)=(5)
5/12 169 =13*13
2/13
173
9/10 181
4/13 8/11 185 =5*37
7/12 193
1/14 197
3/14 6/13 205 =5*41
209 =11*19≡(11)*(7)=(5)
217 =7*31≡(7)*(7)=(1)
5/14 10/11
221 =13*17
2/15 229
8/13
233
4/15 241
245 =5*7*7≡(5)*(7)*(7)=(5)
253 =11*23≡(11)*(11)=(1)
1/16
257
3/16 11/12 265 =5*53
10/13
269
9/14 277
5/16
281
8/15 289 =17*17
2/17
293
301 =7*43≡(7)*(7)=(1)
.
Tabelle 2: (7mod12)- und (1mod12)-Zahlen für c=p=3a²+b²
Bis 300 gibt es folgende (ggu/Tf)-Zahlen a/b, die im Fall c=p=3a²+b² nicht vertauscht werden dürfen. (b/3≠ganz):
1/2//7 1/4//19 1/8//67 1/10/103 1/14//199 1/16//259 2/1//13 2/5//37 2/7//61 2/11//133 2/13//181 2/17//301
3/2//31 3/4//43 3/8//91 3/10//127 3/14//223 3/16//283 4/1//49 4/5//73 4/7//97 4/11//169 4/13//217 5/2//79
5/4//91 5/8//139 5/14//271 6/1//109 6/5//133 6/7//157 6/11//229 6/13/277 7/2//151 7/4//163 7/8//211 7/10//247
8/1//193 8/5//217 8/7//241 9/2//247 9/4/259 10/1//301
..
a/b
p=c=3a²+b²≡7mod12
a/b
p=c=3a²+b²≡1mod12
1/2
7
2/1
13
1/4
19
25 =5*5≡(5)*(5)=(1)
3/2
31
2/5
37
3/4
43
4/1
49 =7*7
55 =5*11≡(5)*(11)=(7)
2/7
61
1/8
67
4/5
73
5/2
79
85 =5*17≡(5)*(5)=(1)
5/4 3/8
91 =7*13
4/7
97
1/10 103
6/1 109
115 =5*23≡(5)*(11)=(7)
121 =11*11≡(11)*(11)=(1)
3/10 127
6/5 2/11 133 =7*19
5/8
139
145 =5*29≡(5)*(5)=(1)
7/2
151
6/7
157
7/4
163
4/11
169 =13*13
175 ≡(5)*(5)*(7)=(7)
2/13
181
187 =(11)*(17)≡(11)*(5)=(7)
8/1
193
1/14
199
205 =5*41≡(5)*(5)=(1)
7/8
211
8/5 4/13
217 =7*31
3/14
223
6/11
229
235 (5)*(47)≡(5)*(11)=(7)
8/7
241
9/2 7/10
247
253 =11*23≡(11)*(11)=(1)
9/4 1/16
259
265 =5*53≡(5)*(5)=(1)
5/14
271
6/13
277
3/16
283
289 =17*17≡(5)*(5)=(1)
295 =(5)*(59)≡(5)*(11)=(7)
10/1 2/17
301 =7*43
.
Albrecht Kampf, Haupttstr.82, 52159 Roetgen
eMail: [email protected]
Tel.: 02471/921298
11.12.2013
5/12
Tabelle 3: (11mod12)-Primzahlen und (11mod12)-Primzahl-Produkte
Die (11mod12)-Primzahlen bis 300 lauten:
11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, 191, 227, 239, 251, 263
Die (11mod12)-Primzahl-Produkte bis 300 lauten:
35=5*7≡(5)*(7)=(11) 95=5*19≡(5)*(7)=(11) 119=7*17≡(7)*(5)=(11) 143=11*13≡(11)*(1)=(11)
155=5*31≡(5)*(7)=(11) 203=7*29≡(7)*(5)=(11) 215=5*43≡(5)*(7)=(11) 275=5*5*11≡(5)*(5)*(11)=(11)
287=7*41≡(7)*(5)=(11) 299=13*23≡(1)*(11)=(11)
Mit diesen 3 Tabellen sind sämtliche Bedingungen für die Gleichungen p=c=a²+b² und
p=c=3a²+b² sowie deren Multiplikationsregeln benutzt und bestätigt. Sie lauten:
a) Die Gleichungen p=c=a²+b² sowie p=c=3a²+b² können algebraisch multipliziert
und potenziert werden. Die Ergebnisse dieser Gleichungen richten sich nach dem
Duodezimalsystem.
b) Die beiden Gleichungen selbst können jedoch nicht miteinander multipliziert
werden.
c) Werden 2 beliebige Zahlenpaare a/b gewählt, so kann es passieren, daß das zweite
Zahlenpaar denselben c-Wert hat, wie das erste. (d.h: Man kann mit einer
systematischen Tabelle Multiplikationen durchführen).
d) Umgekehrt kann man mit Hilfe einer Primzahl p das zugehörige Zahlenpaar a/b
errechnen. (Diophant-Gleichung!)
e) Mit diesen Tabellen sind die 12er Multiplikationsregeln [zB: (5)*(7)=(11)] vollständig erklärt und mindestens einmal benutzt worden.
f) Bei Quadrierungen wird nur jeweils ein Wert erhalten. Bei Potenzierungen treten
nicht interessierende nicht-Teiler-fremde Zahlenpaare auf.
Da dieses Ergebnis für jeden Zahlenbereich wiederholt werden kann, kann man jetzt
sagen, da es ∞-viele Quadratzahl-Paare a/b gibt, die die g-Tf-ggu-Bedingung besitzen, daß es
∞-viele Primzahlen gibt. Durch den wachsenden Abstand der Quadratzahlen von Zahl zu
Zahl um 2 nimmt die Konzentration der Primzahlen zu hohen Zahlenbereichen ab. Hierbei
bleibt jedoch der 12er Rhythmus der Zahlen erhalten.
4.Zahlenbeispiele für Mehrfach-Multiplikation
Werden 2 Quadratsummen miteinander multipliziert, so sagen die 12er Teilungsreste
das Teilungsrest-Ergebnis voraus:
65=5*13=(1²+2²)*(2²+3²)=(1²+8²)=(4²+7²)=65
≡(5)*(1)=(5)
85=5*17=(1²+2²)*(1²+4²)=(2²+9²)=(6²+7²)=85
≡(5)*(5)=(1)
91=7*13=(3*1²+2²)*(3*1²+4²)=(3*5²+4²)=(3*3²+8²)=91
≡(7)*(1)=(7)
133=7*19=(3*1²+2²)*(3*1²+4²)=(3*6²+5²)=(3*2²+11²)=133 ≡(7)*(7)=(1)
Sind mehrere Faktoren vorhanden, so erhält man bei 2 Faktoren 2 Ergebnisse, bei
3 Faktoren 4 Ergebnisse, bei 4 Faktoren 8 Ergebnisse usw. Zum Beispiel:
1105=5*13*17=(1²+2²)*(2²+3²)*(1²+4²)=(4²+33²)=(9²+32²)=(12²+31²)=(24²+23²)=1105
≡(5)*(1)*(5)=(1)
1729=7*13*19=(3*1²+2²)*(3*2²+1²)*(3*1²+4²)=(3*4²+41²)=(3*16²+31²)=(3*20²+23²)
(1729=9³+10³=1³+12³=‚Ramanujan’-Zahl)
=(3*24²+1²)=1729 ≡(7)*(1)*(7)=(1)
Wird das Quadrat einer Quadrat-Zahlen-Summe ausgerechnet, so ist nur ein Ergebnis
zu erwarten, da (a1b1±a1b1) nur einen Wert liefert.
Mit diesen Gleichungen kann man daher zB die erste Primzahl-Lücke, die von 113 bis
127 reicht, erklären:
109: Primzahl ≡ (1mod12)
109=3²+10²=3*6²+1²
113: Primzahl ≡ (5mod12)
113=7²+8²
115: 5*23 ≡ (5mod12)*(11mod12) Keine Quadratzahlsumme möglich (11)
119: 7*17 ≡ (7mod12)*(5mod12)
Keine Mischung (a²+b²) mit (3a²+b²) möglich
121: 11*11 ≡ (11mod12)²=(1mod12) Keine Quadratzahlsumme möglich
125: 5*5*5 ≡ (5mod12)³=(5mod12) Bereits Primzahl-Produkt, keine neue Primzahl
127: Primzahl ≡ (7mod12)
127=3*3²+10²
131: Primzahl ≡ (11mod12)
Keine Quadratzahl-Summe möglich
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5.Potenzierung von Quadratsummen
Potenzierung ist Multiplikation mit Faktoren gleicher Art mit gleichen oder ungleichen
Exponenten. Werden Quadratsummen potenziert, so treten auch hier 2 Ergebnisse auf. ZB:
5*5²=(1²+2²)*(3²+4²)=[5²+10²]=2²+11²=53
7*7²=(3*1²+2²)*(3*4²+1²)=[3*7²+14²]=3*9²+10²=73
Ein Ergebnis ist Teiler-fremd, während das andere durch Kürzung einer Wurzel entspricht:
5²+10²=5³5²*(1²+2²)=5²*511²+2²=51
3*7²+14²=737²*(3*1²+2²)=7²*71(3*1²+2²)=71
Diese nicht-Teiler-fremden Quadratsummen werden hier jedoch nicht benötigt.
Aus einer Tabelle, die sämtliche Zahlen der Beziehung (a1²+b1²=c1a100²+b100²=c100),
Primzahl-zerlegt, aufweist, konnten die Faktoren der einzelnen an/bn untersucht werden.
Hierbei ergab sich, daß diese Faktoren die Bedingung F≡±1mod(2n) besitzen, wobei n dem
jeweiligen c-Exponenten (an²+bn²=cn) entspricht.
Da diese Tabelle hier zu umfangreich wäre, werden hier nur die Faktoren von b112
wiedergegeben, wobei gilt a112²+b112²=5112 (a1²+b1²=51=1²+2²)
b112=b16*223*449*1567*148513*17940607*1855304075519
=b16*(1*224-1)*(2*224+1)*(7*224-1)*(663*224-1)*(80092*224-1)*
(82826007480*224-1)
Diese Zahl wird mit den Faktoren von b80, b48 und b16 verglichen:
b80=b16*641*1279*14814721*42239*88321
=b16*(4*160+1)*(8*160-1)*(92592*160+1)*(264*160-1)*(552*160+1)
b48=b16*97*317663*11329
=b16*(1*96+1)*(3309*96-1)*(118*96+1)
b16=191*863=(6*32-1)*(27*32-1)
Aus dieser Aufstellung kann man ablesen, da 3, 5 und 7 zueinander Teiler-fremd sind,
16 aber in 48=3*16, 80=5*16 und 112=7*16 enthalten ist, daß die Primzahl-Zerlegung
jedesmal eine andere zusätzliche Grundlage aufweist. – Das erste nötige Auftreten einer
Primzahl bei solchen Quadratzahl-Summen-Potenzierungen hängt vom c-Exponenten n ab.
Deswegen kann man hier den Zusammenhang schreiben: F ≡ ±1 mod (2n)
Die obige Tabelle 2 wird in der Tabelle 4 so umgerechnet, daß a1/b1 übergeht in a3/b3
Tabelle 4: Hier gilt: 3a1²+b1² =c1  3a3²+b3²=c3 b1,3=gerade
a1/b1
a3
b3
a3-b3 ≡xmod4
a1/b1
a3 b3
a3-b3≡xmod4
1/2
1/4
3/2
3/4
1/8
5/2
3/8
5/4
1/10
3/10
5/8
7/2
7/4
1/14
7/8
3/14
7/10
9/2
1/16
9/4
5/14
3/16
9/8
5/16
9/10
11/2
9
45
45
63
189
315
495
135
297
819
585
945
693
585
315
1683
1729
2079
765
1755
2565
2223
459
3465
513
3861
10
28
154
260
440
442
136
836
910
180
1288
874
1700
2618
3016
1610
2470
1450
3952
2852
406
2800
5320
496
6290
2170
-1
17
-109
-197
-251
-127
359
-701
-613
639
-703
71
-1003
-2103
-2701
73
-741
629
-3187
-1097
2159
-577
-4861
2969
-5777
1691
3
1
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
1
1
3
1
3
1
1
3
3
3
3
1
3
3
9/14
11/10
1/22
9/16
3/22
13/2
13/4
7/20
5/22
11/14
13/8
13/10
11/16
7/22
9/20
1/26
15/2
15/4
3/26
13/14
9/22
15/8
5/26
11/20
13/16
1/28
3105
693
1449
4725
4275
6435
5967
7371
6885
2475
4095
2691
4455
9135
8613
2025
9945
9405
6003
1053
10881
7245
9765
9207
3393
2349
7462
-4357
9890
-9197
10450
-9001
7568
-2843
8866
-4591
3034
3401
6020
-53
820
6551
5698
1187
12502
-10027
11656
-7561
14210
-11519
13328
-8873
946
8189
6580
2033
17342 -15317
4042
5903
8036
1369
15470
-9467
18550 -17497
5390
5491
15688
-8443
11726
-1961
13780
-4573
20240 -16847
21700 -19351
3
3
3
1
1
1
3
3
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
3
3
1
1
Albrecht Kampf, Haupttstr.82, 52159 Roetgen
a1/b1
11/4
1/20
7/16
3/20
11/8
17/4
9/26
15/16
13/22
a3
3465
1197
4347
3519
1881
13923
16065
1395
12285
b3
4292
7820
2960
6389
8200
10340
1378
28304
22814
eMail: [email protected]
Tel.: 02471/921298
a3-b3≡xmod4
-827
-6623
1387
-2861
-6319
3583
14687
-26909
-10529
1
1
3
3
1
3
3
3
3
a1/b1
a3
3/28
6975
7/26 13167
5/28
11385
15/14
1305
17/2 14535
13/20
9009
17/8
11475
17/10
9639
11.12.2013
7/12
b3 a3-b3≡xmod4
19684 -12709
3
6110
7057
1
15652
-4267
1
25606 -24301
3
5194
9341
1
22420 -13411
1
20296
-8821
3
25010 -15371
1
Aus der Tabelle 4 kann man ablesen, daß sämtliche a3 durch die Potenzierung mit
Exponent 3 in Zahlen übergehen, die alle durch 3 teilbar sind. (Dh: a3/3=ganz!)
Diese Tatsache wird mit dem Ergebnis der Potenzierung der Gleichung (f*1²+2²) und
mit den Primzahlen f=3,5,7,11,13,17,19 bis zum Exponenten f verglichen:
a) 3*1²+2²=71  3*9²+10²=7³
a3/3=ganz
10=2*5 5≡-1mod(2*3)
1
5
b) 5*1²+2²=9  5*95²+118²=5 a5/5=ganz
95=5*19 19≡-1(mod2*5) 118=2*59 59≡-1mod(2*5)
1
c) 7*1²+2²=11  7*301²+4342²=117
a7/7=ganz
301=7*43 43≡1mod(2*7)
4342=2*13*167 13≡-1mod(2*7) 167≡-1(mod2*7)
d) 11*1²+2²=151  11*843359²+908822²=1511 a11/11=ganz
843359=11*43*1783 43≡-1mod(2*11) 1783≡lmod(2*11)
908822=2*23*23*859 23≡1mod(2*11)
859≡1mod(2*11)
e) 13*1²+2²=171  13*26364689²+29467258²=1713
a13/13=ganz
26364689=13*2928053
2028953≡1mod(2*13)
29467258=2*53*277993 53≡1mod(2*13) 277993≡1mod(2*13)
f) 17*1²+2²=211  17*7369328929²+170642091362²=2117 a17/17=ganz
7369328929=17*433489937
433489937≡1mod(2*17)
170642091362=2*67*1273448443 67≡-1mod12(2*17)
12734484443≡-1mod(2*17)
1
g) 19*1²+2²=23  19*622100056313²+82013602311226²=2319 a19/19=ganz
622100056313=19*9803*3340009 9803≡-1mod(2*19) 3340009≡-1mod(2*19)
820113602311226=2*37*41511*2663459 37≡-1mod(2*19)
41611≡1mod(2*19) 2663459≡1mod(2*19)
Da alle Fälle dieselbe Bedingung liefern, ist für alle p: ap/p=ganz
Aber auch hier ist das Ergebnis der Potenzierung:
F≡±1mod(2n)
6.Potenzierung von Summen bei p²-adischen Zahlensystemen bei Exponent p
Eine Zahl ändert sich nicht durch die Darstellung. Man kann aber durch eine
bestimmte Darstellung eine Systematik erkennen.
Eine Zahl im 3²-adischen Zahlensystem endet auf:
Bei Exponent 1 :
0123456780
Bei Exponent 3 :
0180180180
Eine Zahl im 5²-adischen Zahlensystem endet auf:
Bei Exponent 1 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ......
Bei Exponent 5 :
0 1 7 18 24 0 1 7 18 24 0 1 7 18 24 0 1 7 18 24 0 1 7 18 ......
Eine Zahl im 7²-adischen Zahlensystem endet auf:
Bei Exponent 1 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ........
Bei Exponent 7 : 0 1 30 31 18 19 48 0 1 30 31 18 19 48 0 ........
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Eine Zahl im 59²-adischen Zahlensystem endet bei Exponent 59 auf:
Zahl Endziffer Zahl Endziffer
A – B mod 59
B – A mod 59
Exp=1Exp=59 Exp=1 Exp=59
A
B
1
1
58 3480
2
2
3479
57
2
946
57 2535
1892 4
1589
55
3
298
56 3183
596
6
2885
53
4
299
55 3182
598
8
2883
51
5
300
54 3181
600
10
2881
49
6
3428
53 53
3375 12
106
47
7
1364
52 2117
2728 14
753
45
8
893
51 2588
1786 16
1695
43
9
1779
50 1702
77
18
3404
41
10
1839
49 1642
197
20
3284
39
11
2076
48 1405
671
22
2810
37
12
2077
47 1404
673
24
2808
35
13
1311
46 2170
2622 26
859
33
14
2374
45 1107
1267 28
2214
31
15
2375
44 1106
1269 30
2212
29
16
2376
43 1105
1271 32
2210
27
17
2672
42 809
1863 34
1618
25
18
1611
41 1870
3222 36
259
23
19
137
40 3344
274
38
3207
21
20
2675
39 806
1869 40
1612
19
21
2676
38 805
1871 42
1610
17
22
612
37 2869
1224 44
2257
15
23
672
36 2809
1344 46
2137
13
24
1558
35 1923
3116 48
365
11
25
2975
34 506
2469 50
1012
9
26
970
33 2511
1940 52
1541
7
27
1030
32 2451
2060 54
1421
5
28
559
31 2922
1118 56
2363
3
29
1976
30 1505
471
58
3010
1
p
p
(N*p + b) + ( L*p – b) = R*p²
59 = irreguläre Primzahl
∆=1!
( Die Zahlen und Endziffern wurden als Dezimalzahlen dargestellt,
weil sie auf andere Art nicht zu vergleichen wären ).
Hat man eine Zahl a, bei der a/p=ganz ist, so ist, da sich (a+b)p+(a-b)p zu p² ergänzen:
(a+b)p + (a-b)p = k*p²
Im 7²-adischen Zahlensystem fällt auf, daß 2 Zahlenpaare bei Exponent p aufeinander folgen, obwohl
von 49 Endziffern nur 7 übrigbleiben. Diese Eigenschaft tritt auch bei 37²-, 59²- sowie im 67²adischen Zahlensystem auf. Beim 59²-adischen Zahlensystem sind von 58 übriggebliebenen
Endziffern noch Zahlen-Zwillinge und -Drillinge in Reihenfolge übriggeblieben. Diese ZahlenZwilling- und Zahlen-Drilling-Endziffern (unterstrichen) sind auf jeder Zahlenhälfte je 2mal
vorhanden. Es muß daher angenommen werden, daß dies die Eigenschaft von irregulären Primzahlen
ist. Reguläre Primzahlen besitzen bei Exponent p keine aufeinanderfolgenden Endziffern. (Hiermit
kann man die ‚irregulären’ Primzahlen Kummers umgehen,[5]S.111).
(Man kann die 59²-Endziffern in der obigen Tabelle in 59er Endziffern überführen, wenn man
die 59er Teilungsreste dieser Reihe ausrechnet. Die neue Reihe stimmt dann mit der AnfangsReihe überein [Kleiner Fermatscher Satz]).
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7.Unmöglichkeit der ganzzahligen Darstellung von A4+B4=C4 sowie A³+B³=C³
Da die Herzstücke der Differenz der binomischen Gleichungen im biquadratischen
und im kubischen Fall multipliziert und potenziert werden können, kann man jetzt Exponentrichtig schreiben:
C4-A4=(a4+b4)4-(a4-b4)4=8a4b4*(a4²+b4²)=8a4b4*c4=B4
C³-A³=(a3+b3)³-(a3-b3)³=2b3*(3a3²+b3²)=2b3*c³=B³
Die jetzt direkt-zugängigen Faktoren von a4, b4 sowie b3 unterliegen der Bedingung
F≡±1mod(2n). Deswegen kann man jetzt sagen : A4+B4=C4 sowie A³+B³=C³ können nicht
ganzzahlig dargestellt werden.
Im kubischen Fall kann man zusätzlich sagen, da a3/3=ganz ist, daß
(a3+b3)³ + (a3-b3)³ = k* p²  (a3+b3)³ + (a3-b3)³ = k*p² ≠ C³
8.Anmerkung zu höheren Exponenten p: Ap+Bp=Cp (p=beliebig) [Fermat]
Euler hat 1770 die Fermatsche Vermutung für p=3 mit Hilfe des unendlichen Abstiegs
gelöst. (Beweis nicht vollständig). 1825 haben Dirichlet und Legendre die Gleichung mit dem
Exponenten p=5 gelöst, während Lamé 1839 die Gleichung für p=7 bearbeitete. – Frey und
Serre haben auf Grund dieser Ergebnisse eine Bedingung für B erarbeitet (1985). Hiernach
gilt für eine Primzahl p≥11 : B ≡ 1 mod 4 .
In der Tabelle 4 (Seite 6) konnte dieser B-Wert für p=3 berechnet werden. Hiernach
gilt: B≡1mod2, oder B=ungerade. (Dh: Wenn die Bedingung g-Tf-ggu erfüllt ist!)
Aus diesem Grunde wird jetzt der Beweis-Versuch für den allgemeinen Fall
wiedergegeben:
Cp-Ap = (ap+bp)p – (ap-bp)p = 2bp*(.. .. .. ..) = 2bp*cp = Bp
Da auch hier gilt: (ap+bp)p + (ap-bp)p = k*p²
(mit ap/p=ganz), ist mit
(.. .. .. ..) = ungerade Potenzsumme mit geraden Exponenten
bp-Faktoren Fn haben die Bedingung F≡±1mod(2p) :
[2bp und (.. .. .. ..) sind Teilungs-fremd zueinander].
Somit kann man auch hier schreiben:
(ap+bp)p + (ap-bp)p = k*p² ≠ Cp
9.Zusammenfassung: Bei der Bearbeitung des Fermat-Themas kann man lernen, daß eine
Quadratsumme sich anders verhält, als sich die Mathematik vorstellen kann.
Um eine Verbindung zwischen Mathematik und ‚Ganzen-Zahlen’ zu gewährleisten,
muß stets eine Anbindung zwischen Gleichung und Zahl erreicht werden, zumal hier noch
dazukommt, daß die Gleichung p ≡ x mod y eine Einweg-Gleichung ist.
Will man eine Primzahl errechnen, so kann man das mit 2 Teiler-fremden Zahlen tun,
die zusätzlich gegensinnig:gerade/ungerade sein müssen. Dieser Rechen-Vorgang ist einfach,
aber man muß das Ergebnis kontrollieren, ob es nicht ein Primzahl-Produkt ist. Umgekehrt ist
das Errechnen der zwei Zahlen a/b aus einer Primzahl ein rechnerisches Problem. Man hat es
also mit zwei Problemen zu tun:
a²+b²p und pa²+b²
oder
3a²+b²p und p3a²+b²
Für p≡1mod12 oder p≡5mod12
sowie
p≡1mod12 oder p≡7mod12
[ Eine Primzahl p≡11mod12 kann nicht zerlegt werden]
Eine Zahl ändert sich nicht mit der Darstellung. Wohl aber kann das Problem bei der
Wahl eines speziellen Zahlensystems wesentlich leichter gelöst werden. Bei dem 12er System
oder auch Duodezimal-System handelt es sich zusätzlich um die Ziffern 10, 11 und (12), die
aber in der Umgangssprache vorhanden sind. Der Bruch in der Zahlen-Sprache beginnt ja erst
mit der ‚13’ (dreizehn).
In dieser Abhandlung wurde darauf geachtet, daß die Zahl ‚1‘ nur durch eine Summe
oder eine Differenz zustande kommen konnte. In diesem Falle sind die Zahlen 1 und 2 Teiler-
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fremd zueinander. (zB: 1²+2²=5). Bei einem normalen Verfahren (zB: Kürzung durch die
algebraische Vorschrift 7=1*7 ) würde die Eigenschaft der ‚1‘ verloren gehen.
Da die Bestimmung von p² bei p=5 beginnt, denn ab dort ist einer der Nachbarn durch
3 teilbar, während bei p=3 die Zahl selbst mit 2 und 4 multipliziert, 24 ergibt. Für diese
Rechnungen ist daher von Vorteil, wenn die Primzahlen erst mit 5 beginnen. Nur 1,2,3 und 4
sind in a und b der Gleichungen p=a²+b² sowie p=3a²+b² enthalten, während alle anderen
Primzahlen auf beiden Seiten vorkommen können.
Da eine Primzahl (1mod12) oder (5mod12) nur einmal nach p=a²+b² in a und b
zerlegt werden kann, werden hier noch drei Beispiele gegeben:
a)
Bei 9*1012+1 sieht man sofort, daß eine Lösung für p=a²+b²= (3*106)²+1² ist.
Zerlegt man diese Zahl in ihre Primfaktoren, so ist:
(9*1012+1) = 1.072.157 * 8.394.293=(5)*(5)=(1)
Da diese beiden Primzahlen die Teilungsreste (5mod12) besitzen, kann man sie einmal
zerlegen:
(9*1012+1) = 1.072157 * 8.394293 = (946²+421²)*(2647²+1178²) = (a1²+b1²)*(a2²+b2²)
Wendet man die Brahmagupta-Fibonacci-Gleichungen an, so ist:
A1 = 946*1178+421*2647
B1 = 946*2647-421*1178
A2 = 946*1178-421*2647
B2 = 946*2647+421*1178
Somit ist
A1 = 1.114.388+1.114.387
B1 = 2.504.062-495.938
A2 = 1.114.388- 1.114.387
B2 = 2.504.062+495.938
Und:
A1 = 2.228.775
B1 = 2.008.124
A2 = 1
B2 = 3*106
Bei der Zusammenstellung der Gleichungen ergibt sich:
(9*1012+1)=1.072.157*8.394.293=(946²+421²)*(2647²+1178²)=2.228.775²+2.008.124²=
= 1²+(3*106)²
12
b) Bei (27*10 +1) sieht man auch sofort, daß eine Gleichung für p=3a²+b²=3*(3*106)²+1²
ist. Da ein Ergebnis bekannt ist, müssen alle Faktoren der Zahl 27*1012+1 ebenso der
Gleichung p=3a²+b² gehorchen. Zerlegt man diese Zahl in ihre Faktoren, so ist:
27*1012+1=3*(3*106)²+1²=7*19*157*193*1579*4243
Diese 6 Faktoren haben die 12er Teilungsreste= (7)*(7)*(1)*(1)*(7)*(7)=(1)
Aufspaltung der Zahl c=27*1012+1 in c=3a²+b²
a
.
b
.
a
. b
.
2.220
5.196.151
2.189.372
3.552.457
32.420
5.195.849
2.209.908
3.514.103
428.572
5.142.857
2.323.760
3.286.399
462.828
5.133.943
2.478.832
2.928.832
885.068
4.964.873
2.497.960
2.877.601
1.077.920
4.849.151
2.710.632
2.226.527
1.095.212
4.837.513
2.779.272
1.956.257
1.127.388
4.815.287
2.792.128
1.900.543
1,287.492
4.693.303
2.798.860
1.870.601
1.468.752
4.530.817
2.912.648
1.244.767
1.484.900
4.514.999
2.920.752
1.186.433
1.514.900
4.485.001
2.924.932
1.155.127
1.717.208
4.260.703
2.968.912
746.113
1.872.180
4.060.151
2.973.688
686.687
2.027.232
3.830.273
2.999.800
59.999
2.052.632
3.789.473
3.000.000
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c) 1036493 ist eine Primzahl. 1036493≡5mod12. -- Will man diese Zahl in a²/b² zerlegen,
so teilt man diese in 2 Hälften [√(p/2)=719,...] und startet eine Rechenreihe mit 721, 722,
724, 725, ........ (Hierbei können die Zahlen, die durch 3 teilbar sind, gestrichen werden. Man
kann auch die Zahlen streichen, bei denen bei Verwendung des Dezimal-Systems keine
Lösung möglich ist). In diesem Fall muß man ca. 80 Rechenvorgänge ausführen, bis man
zum Ziel kommt:
1036493 = 1018² + 13²
Hier ist die 1018 die letzte und richtige Möglichkeit, die Primzahl zu trennen, denn
1019² > 1036493
10.Schlußbemerkung
Bei einem Zahlenproblem öffnen sich manchmal Fenster zur Beweisführung, die sonst
nicht bemerkt werden, wenn man das Zahlensystem nicht ändert. So ist es auch beim
Übergang vom Dezimal- zum Duodezimalsystem. Das Duodezimalsystem ist für Primzahlen
besser geeignet, da 12 durch 2, 3 und 4 (und 6) teilbar ist. Gleichzeitig hat das Quadrat der
Primzahlen den einheitlichen Wert p²≡1mod24.
(1²+2²)²=3²+4²=5²
Literatur:
1) Harald Scheid: Zahlentheorie, 2.überarb.Auflage,
BI & F.A.Brockhaus AG, Mannheim 1994
ISBN 3-411-14842-X
2) Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie 3.Auflage 1996
Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork ISBN 3-540-60920-2
Seite 181: Die Unlösbarkeit der Fermat-Gleichung Xp+Yp=Zp für die Primzahl 3 wurde zwischen 1753 und 1770 von EULER
gezeigt und 1770 publiziert. (vgl. Vollständige Anleitung zur Algebra = Opera Omnia, Ser.1, I,1-498, hier insbesondere 484 –
- 489). Eine kleine Lücke in seinem Beweis konnte LEGENDRE 1830 schließen. Den Exponenten p=5 haben dann unabhängig voneinander zwischen 1825 und 1828 DIRICHLET und LEGENDRE erledigt.
Seite 183: 3) Dem Leser, der sich über den Stand bis 1979 des Fermat-Problems genauer informieren möchte, sei das Buch
von P.Bachmann (Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung [Nachdruck ],Springer,Berlin etc. genannt. Dieses
enthält eine hervorragende Übersicht über alle wichtigen Resultate zur FERMAT-Vermutung, die bis zum Erscheinungsjahr
1919 der Originalausgabe gefunden wurden. Aus der neueren Literatur seien die beiden Werke von H.M.EDWARDS und
P.RIBENBOIM besonders empfohlen.
3) Harold M.Edwards: Fermat’s Last Theorem,
Printed 1979 by Springer-Verlag NewYork Berlin Heidelberg ISBN 3-540-90230-9
4) Paulo Ribenboim: 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem.
Printed 1979 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg, ISBN 3-540-90432-8
5) P.Bachmann: Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung
Reprint, Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork 1976 ISBN 3-540-07660-3
Seite 1: Pierre Fermat, unstreitig der größte der französischen Mathematiker des 17.Jahrhunderts und ..... , hat mit einer
großen Fülle arithmetischer Sätze, die er aufgestellt hat, meist ohne ihren Beweis mitzuteilen, und arithmetischer Aufgaben,
die er seinen Zeitgenossen zur Lösung vorgelegt, sowie Methoden, welche zur Lösung derartiger Aufgaben geeignet seien,
der zahlentheoretischen Forschung einen solchen Aufschwung gegeben, daß er füglich als der Urheber der höheren
Arithmetik unserer Zeit angesehen werden kann. In der Tat ist aus den Bemühungen späterer Forscher, die Rätsel seiner
Aufgaben zu lösen, die heutige Zahlentheorie erst erwachsen. Unter jenen Sätzen hat besonders einer, nämlich der Satz, daß
die Gleichung xn+yn=zn für n>2 in ganzen Zahlen x,y,z unlösbar sei, von dem Fermat angibt, einen „wunderbaren“ Beweis
zu besitzen, eine große Bedeutung erlangt,......
Seite 2: Man findet einen großen Teil der einschlägigen Literaturangaben in einer kleine Schrift von B e n n o L i n d , in den
Abh. zur Geschichte der math. Wissenschaften von M.Cantor, Heft 26,2.
Seite 3: Dagegen hat er sich in einem Briefe an Carcavi sehr ausführlich über eine Methode ausgesprochen, die er ‚descente
infinie ou indéfinie’ nennt, und welche er mit Erfolg bei der Behandlung derartiger Aussagen verwendet habe, und weist auf
eine derselben hin, von der wir gleich weiter unten zu handeln haben werden. Es ist wohl anzunehmen, daß ihn diese
Methode auch beim Beweise des Satzes seiner Randbemerkung geleitet haben wird. In dieser Annahme bestärkt uns eine
weitere Stelle desselben Briefes....... und als eine dieser Fragen nennt er auch die Frage nach der Auflösbarkeit der Gleichung
x³+y³=z³ . Dies ist so ziemlich die einzige Stelle, wo Fermat noch einmal, wenigstens auf einen besonderen Fall
zurückkommt, aber sie gibt nicht den geringsten Anhalt über den Ansatz seines Beweises, noch über die Richtung, in welcher
die descente infinie dabei zur Anwendung gekommen sein mag.
Seite 5: Es treten also die sogenannten indischen Formeln für Pythagoräische Dreiecke in Kraft, denen zufolge etwa
x = 2mn
y = m²-n²
z = m²+n²
ist, unter m,n ganze Teiler-fremde und (mod.2) inkongruente Zahlen verstanden.
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6) David Hilbert: 'Mathematische Probleme'
Archiv der Mathematik und Physik
3.Reihe, Bd.1, S.44-63 und 213-237, 1901
7) Kurt Hensel: Festschrift zur Feier des 100.Geburtstages Eduard Kummers
Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften
mit Einschluß ihrer Anwendungen, Begründet von M.Castor, Bd.XXIX
Leipzig und Berlin, Druck und Verlag von B.G.Teubner, 1910
Seite 18:
Fast alle ungelösten Probleme der Zahlenlehre sind solche,welche auf additive Eigenschaften der Zahlen
gegründet sind, und fast immer gelang ihre Lösung dadurch, daß es möglich war, dies Frage in eine Frage der Multiplikation
umzuformen. Besonders war dies der Fall bei der Aufgabe, welche ich jetzt mit Bewußtsein in den Vordergrund stelle, alle
rechtwinkligen Dreiecke mit ganzzahligen Seiten, oder was dasselbe ist, alle ganzzahligen Lösungen der einfachsten Fermatschen Gleichung x²=y²+z² zu finden; an sie knüpft nämlich die ganze Schöpfung Kummers an, durch sie wurde sie hervorgerufen.
Seite 20: Man könnte nun auch im Falle λ=4 die Umwandlung aus additiven in ein multiplikatives Problem versuchen, jene
Gleichung also in der Form z4=x4-y4 schreiben; denn auch hier läßt sich die rechte Seite in vier Faktoren zerlegen und in der
Form z4=(x+y)(x-y)(x+iy)(x-iy)=b0b1b2b3 schreiben, wo i=√-1 ist. Man kann die Frage auch in dieser Form behandeln, muß
dann aber wohl beachten, daß die Faktoren rechts nicht mehr reelle Zahlen, daß vielmehr wenigstens die beiden letzten b 2,b3
ganze komplexe Zahlen, nämlich Zahlen von der Form a+bi sind, wo a und b reelle Zahlen bedeuten. Will man auf sie also
die Ergebnisse unserer Arithmetik anwenden, so muß man diese komplexen Zahlen ganz ebenso behandeln, wie die Zahlen
±1,±2,±3,..... . Gauß hat diesen großen Schritt in der bereits vorher erwähnten Abhandlung getan. Er hat gezeigt, daß in diesem
größeren Gebiet aller Zahlen a+bi genau dieselben Gesetze bestehen, wie in dem kleineren der reellen ganzen Zahlen. Insbesondere wies er nach, daß nun jede reelle und jede komplexe Zahl in diesem Bereiche auf eine einzige Weise als Produkt
nicht weiter zerlegbarer Primzahlen darstellbar ist.
8) Leonhard Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra, Reclam-Verlag Stuttgart
Universal-Biblithok Nr. 1802-06/06 a-c, 1959
Seite 480: 188 : Wenn daher der Ausdruck xa²+yb² zu einem Kubus gemacht werden soll, so kann man den Umweg über die
komplexe Ebene gehen. 190: Wäre die Bedingung nicht gestellt, daß die beiden Zahlen a und b Teiler-fremd sein sollen, so
hätte die Aufgabe gar keine Schwierigkeit. 191: Die hier gebrauchte Methode ist umso merkwürdiger, als wir mit Hilfe
rationaler und sogar imaginärer Ausdrücke Lösungen gefunden haben, für die einzig und allein rationale und sogar ganze
Zahlen gefordert wurden. Noch merkwürdiger aber ist es, daß in denjenigen Fällen, in denen die Irrationalität verschwindet,
unsere Methode nicht mehr anwendbar ist.
9) Benno Lind: Über das letzte Fermatsche Theorem
Abh. zur Geschichte der math.Wissenschaften von M.Cantor , Heft 26,2
Seite 51: Im vorangegangenen habe ich, so gut es mir möglich war, alle Wege gezeigt, die bei einem Beweise des letzten
Fermatschen Theorems eingeschlagen worden sind. Fast alle sind bis zur Hälfte durchlaufen worden, aber kaum einer darüber
hinaus. Ich hoffe, daß meine Ausführungen anregende Gelegenheit bieten, einen dieser Wegeweiterzuführen und es zu ermöglichen, den in der Mitte des siebzehnten Jahrhunderts ausgesprochenen Satz im zwanzigsten in seiner vollen Ausdehnung als
richtig erkennen zu lassen. Solche Erzeugnisse natürlich, wie die neuen Fehlerbeweise, wobei jeder allein ohne Berücksichtigung der gründlichen Arbeiten großer Mathematiker blind auf das Ziel losstürzend es zu erreichen glaubt, können uns das
Ziel, den Fortschritt der Wissenschaft (nicht die Erlangung von 100 000 Mk.!) nicht näher bringen.
10) Leonardo Pisano Fibonacci: The Book of Squares, An Annotated Translation into
modern English by L.E.Sigler, 1987, ISBN 0-112-643130-2
11) W.Scharlau H.Opolka: Von Fermat bis Minkowski (Seite 6-8: Briefe von
Carcavi) Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1980, ISBN 3-540-10086-5
12) Paulo Ribenboim: Fermat’s Last Theorem for Amateurs, Springer Verlag 1999
ISBN 0-387-98508-5
13) Lexikon der Mathematik, Bd.2.Seite 147, Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg-Berlin, 2001 ISBN 3-8274-0434-7
Fermats letzter Satz: Seien n,A,B,C Ε Z mit n>2. Falls An+Bn=Cn , dann ist ABC=0. Beweis: Der Beweis folgt einem
Programm, das um 1985 herum von Frey und Serre formuliert wurde. Nach klassischen Resultaten von Fermat, Euler,
Dirichlet, Legendre, und Lamé können wir annehmen, daß n=p eine Primzahl ≥11 ist. Angenommen, daß es gäbe
A,B,C E Z mit ABC≠0 und An+Bn=Cn . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir 2|A und b≡1mod4
annehmen. Frey bewies,......
14) Underwood Dudley: Mathematik zwischen Wahn und Witz; Birkhäuser Verlag,
1995, ISBN 3-7643-5145-4
15) Matthias Kreck: ‚Eine Sprache, die keinen Widerspruch duldet’: Frankfurter
Allgemeine Zeitung, 2.1.2008, Nr.1, Seite N1 : „Und so liest sich der bekannte
Satz des Pythagoras (a²+b²=c²): Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien v
und w zwei orthogonale Vektoren in V, dann ist die Summe der Quadrate der
Normen von v und w gleich dem von v-w“.
16) Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen
C.H.Beck, München 2004, ISBN 3 406 52320 X