1.¨Ubung (19.04.

1. Übung (19.04.-23.04.10)
Aufgabe 1.1
B = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =
C = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An =
D=
n
S
(Ai ∩
i=1
n
T
n
S
k=1
n
T
k=1
Ak
Ak =
n
S
Ak = B
k=1
Aj )
j6=i
j=1
E =D∪C
Aufgabe 1.7
a)
25 = 32 Zeichen (fünf Elemente, pro Element zwei verschiedene Zeichen möglich)
b) 2 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62 Zeichen
c)
P ( fünfelementiges Zeichen | nicht mehr als fünfelementig ) =
25
2+22 +23 +24 +25
=
32
62
Anzahl günstiger Fälle
Anzahl möglicher Fälle
= 0, 516
Aufgabe 1.8
A = {5} B = {2, 4, 6} C = {3, 4, 5, 6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a)
A ∪ B = {2, 4, 5, 6} Augenzahlt gerade oder Augenzahl gleich 5
b)
A∩B =∅
c) B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6} Augenzahl größer/gleich 2
d) B ∩ C = {4, 6} Augenzahl größer 2 und gerade
e)
B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6} Augenzahl größer 2 oder ungerade
f)
B ∩ C = {3, 5} Augenzahl größer 2 und ungerade
g) A ∩ B ∩ C = {2} Augenzahl nicht 5 und gerade und kleiner als 3
h) A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C = {1, 3, 4, 5, 6}
=
i)
P (A) =
1
6
P (B) =
a) P (A ∪ B) =
3
6
P (C) =
4
6
4
6
e)
P (B ∪ C) =
5
6
f)
P (B ∩ C) =
2
6
b) P (A ∩ B) = 0
g) P (A ∩ B ∩ C) =
P (B ∪ C) =
5
6
d) P (B ∩ C) =
2
6
c)
1
6
h) P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∩ B ∩ C) =
1 − 16 = 65
Aufgabe 1.9
|Ω| = 63 = 216 Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ω = {(a, b, c) | a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
a)
A = {(a, a, c) | a, c ∈ Z}
|A| = 6 ∗ 1 ∗ 6 = 36
⇒ P (A) =
b) B = {(a, b, c) | a, b, c, ∈ Z und a 6= b, a 6= c, b 6= c}
120
⇒ P (B) = 216
= 59
36
216
=
1
6
|B| = 6 ∗ 5 ∗ 4 =
6!
3!
= 120
c) 5 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 3 = 1 + 3 + 1
⇒ C = {(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2)}
6
1
⇒ P (C) = 216
= 36
d) D = {(a, b, c) | a, b, c ∈ Z \ {6}}
⇒ P (D) = 1 − P (D) = 1 − P (keine 6) = 1 −
5∗5∗5
216
e) E = {(6, a, b), (a, b, 6), (a, 6, b) | a, b ∈ Z \ {6}}
75
25
⇒ P (E) = 216
= 72
f) 18 = 6+6+6
10
⇒ P (F ) = 216
=
17 = 6+6+5 (3×)
=
91
216
|E| = 5 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 3 = 75
16 = 6+5+5 (3×) = 6+6+4 (3×)
5
108
g) E = {(a, b, 6) | a, b ∈ Z \ {6}}
25
⇒ P (E) = 216
|E| = 5 ∗ 5 ∗ 1 = 25
Aufgabe 1.10
Anzahl möglicher Fälle:
15+9+6
6
=
30
6
= 593775
⇒ |F | = 10
a) P (A) =
(15
6)
=
(30
6)
15!
9!6!
∗
6!24!
30!
= 0, 00843
b) P (B) =
(96)
=
(30
6)
9!
3!6!
∗
24!6!
30!
= 0, 00014
c) P (C) =
(66)
=
(30
6)
1
593775
d) P (D) =
∗ 9 ∗ 6
(15
3 ) (2) (1)
=
(30
6)
15!
3!12!
e)
∗ 9 ∗ 6
(15
0 ) ( 4) ( 2)
=
(30
6)
9!
4!5!
P (E) =
= 1, 68 ∗ 10−6
∗
∗
9!
2!7!
6!
2!4!
∗
∗
6!
5!
∗
6!24!
30!
6!24!
30!
= 0, 1655
= 0, 003183
Aufgabe 1.21
P (Disco) + P (Kino) + P (zuHause) = 12 + 13 + 14 = 13
12 > 1
⇒ Falls Disco, Kino, zu Hause bleiben sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind,
hat der Student entweder gelogen oder keine Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Aufgabe 1.24
a) P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = p + q − r = 0, 5 + 0, 2 − 0, 6 = 0, 1
b) P (A ∩ B) = P (A ∪ B) − P (B) = r − q = 0, 6 − 0, 2 = 0, 4
c)
P (A ∩ B) = P (A ∪ B) − P (A) = r − p = 0, 6 − 0, 5 = 0, 1
d)
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − r = 1 − 0, 6 = 0, 4
e)
P (A∪B) = 1−P (B)+P (A∩B) = 1−q +(p+q −r) = 1+p−r = 1+0, 5−0, 6 = 0, 9
f)
P (A∪B) = 1−P (A)+P (A∩B) = 1−p+(p+q −r) = 1+p−r = 1+0, 2−0, 6 = 0, 6
g) P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) = p − (p + q − r) = r − q = 0, 6 − 0, 2 = 0, 4
h) P (B \ A) = P (A ∪ B) − P (A) = r − p = 0, 6 − 0, 5 = 0, 1
i) Unabhängig? P (A ∩ B) = 0, 1 P (A) ∗ P (B) = 0, 5 ∗ 0, 2 = 0, 1
⇒ja, A und B sind stochastisch unabhängig
Aufgabe 1.29
a) P (r > 7) = P (r = 8) + P (r = 9) + P (r = 10) = 0, 18 + 0, 24 + 0, 21 = 0, 63
b) P (r < 5) = 1 − P (r ≥ 5) = 1 − (0, 21 + 0, 24 + 0, 18 + 0, 16 + 0, 12 + 0, 09) = 0
c)
P (5 < r < 9) = P (r = 6) + P (r = 7) + P (r = 8) = 0, 12 + 0, 16 + 0, 18 = 0, 46
d) Drei unabhängige Versuche.
i) wenigstens 2 mal 10 Ringe = genau 2 mal 10 Ringe oder 3 mal 10 Ringe
(10, 10, 10), (10, 10, 10), (10, 10, 10), (10, 10, 10)
P (di ) = 3 ∗ 0, 212 ∗ 0, 79 + 0, 213
Oder mit Binomialverteilung: B(k | p, n) = nk pk (1 − p)n−k
(n-faches Ziehen mit Zurücklegen aus einem Behälter mit N Kugeln, von denen K ausgezeichnet sind p = K
N . B(k | p, n) ist die Wahrscheinlichkeit genau k ausgezeichnete
Kugeln zu ziehen.)
P (wenigstens 2 mal 10) = 32 ∗ 0, 212 ∗ 0, 791 + 33 ∗ 0, 213 ∗ 0, 790
= 0, 104517 + 0, 009261 = 0, 113778
ii) genau 15 Ringe (jeder Schuß bringt mindestens 5 Ringe) Einzige Möglichkeit ist 3
mal 5 Ringe
P (dii ) = 0, 093 = 0, 000729
iii) 8,9,10 Ringe in dieser Reihenfolge
P (diii = 0, 18 ∗ 0, 24 ∗ 0, 21 = 0, 009072
iv) 8,9,10 in irgendeiner Reihenfolge (3! = 6 verschiedene Anordnungen)
P (div = 6 ∗ P (diii ) = 0, 054432
v) mindestens 29 Ringe ((10, 10, 10), (10, 10, 9), (10, 9, 10), (9, 10, 10))
P (dv ) = 0, 213 + 3 ∗ 0, 212 ∗ 0, 24 = 0, 041013
e) P (wenigstens einmal mehr als 9) = P (wenigstens einmal 10) = 1 − P (keine 10) =
1 − (1 − 0, 21)n ≥ 0, 5
0, 5 ≥ (1 − 0, 21)n
ln(0, 5) ≥ n ∗ ln(0, 79) ⇒ n ≥ 2, 9 ⇒ n ≥ 3
e) P (wenigstens einmal mehr als 8 Ringe)
= 1 − P (nie mehr als 8) = 1 − (1 − 0, 21 − 0, 24)n ≥ 0, 5 ⇒ n ≥ 2
Aufgabe 1.33
Ai sei das zufaällige Ereignis, dass beim i-ten Wurf eine 3 gewürfelt wird.
a) P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = (1 − q)n → 0
(n → ∞)
b) P (A1 ∪ . . . An ) = 1 − P (A1 ∪ . . . ∪ An ) = 1 − P (A1 ∩ . . . ∩ An )
= 1 − (1 − p)n → 1 (n → ∞)
c) P (A1 ∩ . . . An ) = P (A1 ) ∗ . . . ∗ P (An ) = pn → 0
(n → ∞)
Aufgabe 1.36
a) P (A ∩ B ∩ C) = P (A) ∗ P (B) ∗ P (C) = 0, 4 ∗ 0, 7 ∗ 0, 6 = 0, 168
b) P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) = 0, 6 ∗ 0, 3 ∗ 0, 4 = 0, 072
c) P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
= 0, 4 ∗ 0, 7 ∗ 0, 4 + 0, 4 ∗ 0, 3 ∗ 0, 6 + 0, 6 ∗ 0, 7 ∗ 0, 6
= 0, 112 + 0, 072 + 0, 252 = 0, 436