Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der

Nicht-rekombinierbare Binomialbäume
und ihre Anwendung in der
Finanzmathematik
Masterarbeit
am Lehrstuhl für angewandte Mathematik
der Universität Bayreuth
bei Prof. Dr. Lars Grüne
von
Michaela Baumann, B.Sc.
1244878
28. Februar 2014
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Das
1.1
1.2
1.3
1.4
Marktmodell
Das Einperiodenmodell .
Das Mehrperiodenmodell
Transaktionskosten . . . .
Dividenden . . . . . . . .
5
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7
7
13
20
21
2 Optionen
2.1 Contigent Claims und Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Beispiele für Contigent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eigenschaften von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Vollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Zusammenhang und Abschätzungen von europäischen und
amerikanischen Call- und Putoptionen . . . . . . . . . . .
23
23
27
32
32
3 Der
3.1
3.2
3.3
3.4
rekombinierbare Binomialbaum
Einführung des CRR-Modells . . . . . . . . . . . .
Optionsbewertung und Hedging im Binomialmodell
Beispiel anhand des europäischen Calls . . . . . . .
Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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41
41
44
47
49
4 Der
4.1
4.2
4.3
nicht-rekombinierbare Binomialbaum
Diskrete, feste Dividendenzahlungen . . . . . . . . . . .
Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Diskrete Dividendenzahlungen und Algorithmen
4.3.2 Programmierbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Szenario-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 LIBOR-Markt-Modell . . . . . . . . . . . . . . .
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53
56
58
58
65
69
71
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Wahl von λ
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73
74
76
77
77
86
5 Konstruktion mithilfe von Marktdaten
5.1 Binomialbaum mit Modellannahmen . .
5.1.1 Arbitragefreiheit des Modells mit
5.1.2 Optimierung im λ-Modell . . . .
5.1.3 Generischer Suchalgorithmus . .
5.1.4 Verfahren des goldenen Schnitts
3
. . . . . .
geeigneter
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
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34
4
INHALTSVERZEICHNIS
5.1.5
5.2
Beispielanwendung des λ-Modells zur Optionspreisfindung
mit fiktiven Marktdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Test des λ-Modells mit echten Marktdaten . . . . . . . .
Binomialbaum ohne Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Initialisierung des nicht-rekombinierbaren Binomialbaums
5.2.2 Risikoneutrale Übergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . .
5.2.3 Bedingungen für Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Das Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Quasi-Newton-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Differenzierbare Approximation für die Auszahlungsfunktion einer Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.7 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.8 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschluss und Ausblick
A Anhang
92
97
100
102
103
103
104
106
109
111
116
119
121
Einleitung
In der vorliegenden Masterarbeit sollen nicht-rekombinierbare Binomialbäume
und ihre Anwendung bei der Optionspreisfindung bzw. der Entwicklung von
Hedgingstrategien betrachtet werden. Hierfür wird zunächst der Finanzmarkt
als mathematisches Modell in einer Periode eingeführt und anschließend auf
beliebig viele Perioden ausgeweitet. Wichtig ist dabei das Konzept der Arbitragefreiheit, das als Grundlage vieler Berechnungen dient und auch im realen
Markt gut begründbar ist. Kapitel 1 ist dabei in groben Zügen an [10] angelehnt.
Im nächsten Teil werden dann Optionen vorgestellt, wobei das Hauptaugenmerk
auf europäischen Call- und Putoptionen liegt. Für diese Optionen soll ein arbitragefreier Preis sowie eine passende Hedgingstrategie gefunden werden. Das
Prinzip der vollständigen Märkte wird ebenfalls kurz aufgegriffen und im nachfolgenden Kapitel ein Beispiel für ein solches Marktmodell gegeben.
Dieses Beispiel ist das nach ihren Begründern benannte Cox-Ross-RubinsteinModell (kurz: CRR- Modell), das einem Wertpapier eine Entwicklung anhand
eines rekombinierbaren Binomialbaums unterstellt. Wie in diesem Modell Optionen bewertet und gehedged werden, wird in Algorithmen angegeben sein.
Programmierbeispiele finden sich allerdings erst in Kapitel 4, welches nichtrekombinierbare Binomialbäume vorstellt.
Zunächst wird der allgemeine Aufbau solcher Bäume erläutert und eine Abgrenzung zum rekombinierbaren Binomialbaum, die vor allem in der Periodenunabhängigkeit bestimmter Parameter liegt, vorgenommen. Die Notwendigkeit
der Verwendung von nicht-rekombinierbaren Binomialbäumen wird mithilfe von
Dividendenzahlungen aufgezeigt, welche das CRR-Modell nicht berücksichtigt.
In einem ausführlichen Programmbeispiel wird ein nicht-rekombinierbarer Binomialbaum erzeugt und für eine europäische Calloption, wobei ein Wechsel
zur Putoption ebenfalls möglich ist, eine Hedgingstrategie angegeben und ein
fairer Preis bestimmt. Mehrere Plots sollen den nicht-rekombinierbaren Binomialbaum veranschaulichen.
Kapitel 5 beschreibt dann eine gezielte Anwendung von nicht-rekombinierbaren
Binomialbäumen, bei der mit Hilfe einer endlichen Anzahl von vorhandenen
Optionspreisen am Markt für beliebige Optionen auf dasselbe Wertpapier der
arbitragefreie Preis bestimmt werden kann. Diese Anwendung erfolgt in zwei
Stufen. Im ersten Teil wird dem Wertpapier, auf dem die Option liegt, ein
bestimmtes Entwicklungsschema zugrundegelegt, das auf die gegebenen Markt5
6
EINLEITUNG
preise angepasst wird. Diese Schemavorgabe hat den Vorteil, dass nach nur
einer Variablen optimiert werden muss. Ein entsprechendes Programm für diesen Anwendungsfall sowie ein Test, beruhend auf realen Daten einer Aktie, ist
aufgeführt.
Im zweiten Abschnitt des Kapitels 5 wird das vorgegebene Schema verlassen
und der Baum Knoten für Knoten an die Marktdaten angepasst. Diese Methode
bezieht sich auf die Arbeit [7], Implied non-recombining trees and calibration
”
for the volatility smile“ von C. Charalambous, N. Christofides, E. D. Constantinide und S. H. Martzoukos, und erfordert deutlich mehr Programmieraufwand,
da nach einem Parametervektor, dessen Länge exponentiell mit der Höhe des
Baums steigt, optimiert wird. Für diese abgewandelte Anwendung ist in der
vorliegenden Arbeit kein Programm aufgeführt, da sich ein ausführliches Beispiel in [7] befindet.
Alle Prgramme in dieser Arbeit sind mit der Statistiksoftware R implementiert, die zum Beispiel auf http://www.r-project.org/ frei verfügbar ist.
Ausführliche Handbücher des R Development Core Teams finden sich auf der
Seite http://cran.r-project.org/manuals.html, wobei eine Einführung sowie eine knappe Auflistung der wichtigsten Befehle sich auch in [18] befinden.
Die Plots sind ebenfalls mit R erzeugt, wofür der Quellcode entweder direkt in
der Arbeit oder im Anhang zu finden ist.
Kapitel 1
Das Marktmodell
1.1
Das Einperiodenmodell
Zunächst wollen wir ein Marktmodell mit nur einer Periode betrachten. Hierfür
sind
• d + 1 Wertpapiere, d ∈ N, sowie
• zwei Zeitpunkte t = 0 und t = 1
gegeben. t = 0 sei die Gegenwart, t = 1 die Zukunft. Zum Zeitpunkt t = 0 sind
die Preise S0 der Wertpapiere bekannt:
S0i ≥ 0 für i = 0, . . . , d.
Die zukünftigen Preise, im Einperiodenmodell die zum Zeitpunkt t = 1, sind
jedoch unbekannt. Sie werden als Zufallsvariablen S1 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) modelliert:
S1i : Ω → [0, ∞), i = 0, 1, . . . , d
Der Preis des i-ten Wertpapiers bei einer Realisierung ω ∈ Ω wird also als S1i (ω)
bezeichnet.
S 0 stellt überdies kein richtiges“ Wertpapier dar, sondern sei der Bond, in
”
unserem Fall die Bank. Der Wert des Bonds zum Zeitpunkt t = 0 sei S00 := 1,
zum Zeitpunkt t = 1 sei S10 = S10 (ω) = 1 + r. Hierbei gibt r den Zinssatz an,
wobei gilt: r > −1.
Da die Entwicklung des Bonds S 0 zum Zeitpunkt t = 0 bereits feststeht, spricht
man hier von einem risikolosen Wertpapier. Die übrigen Wertpapiere S 1 , . . . , S d
werden als risikobehaftete Wertpapiere bezeichnet.
Definition 1.1. Ein Portfolio V ist eine bestimmte Zusammenstellung dieser
betrachteten Wertpapiere und wird durch den Strategievektor
ξ = (ξ 0 , ξ 1 , . . . , ξ d ) ∈ Rd+1
beschrieben.
7
8
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
ξ i gibt an, wie oft Wertpapier i im Portfolio vorhanden ist. Insbesondere lässt
sich in ξ 0 die Menge an Geld auf der Bank erkennen (wegen S00 = 1). Das
Portfolio V hat einen Anfangswert V0 in t = 0 und einen Endwert V1 in t = 1,
die jeweils gegeben sind durch
V0 = ξ · S0 und V1 = ξ · S1 ,
wobei St = (St0 , St1 , . . . , Std ), t = 0, 1. Eine Änderung des Portfoliowerts findet
also dann statt, wenn sich die Wertpapiere ändern, da ihre Anzahl im Portfolio
bei nur einem Zeitschritt konstant bleibt.
Es ist außerdem möglich, dass die ξ i negativ sind. Wenn gilt, dass ξ 0 < 0, so
wird im Zeitpunkt t = 0 die Menge |ξ 0 | an Geld von der Bank geliehen, das zum
Zeitpunkt t = 1 aufgezinst zurückgezahlt werden muss, also |ξ 0 |(1 + r). Sind die
ξ i < 0 für i = 1, . . . , t, so spricht man von Short-Selling bzw. Leerverkäufen, d.
h. im Zeitpunkt t = 0 wird eine bestimmte Menge des Wertpapiers i verkauft,
das man noch gar nicht besitzt.
Zusätzlich zu den bisherigen Definitionen gelte in unserem Marktmodell (S0 , S1 )
noch Folgendes:
• Es gibt keine Transaktionskosten.
• Der Preis für Kauf und Verkauf eines Wertpapiers ist der gleiche.
• Wertpapiere (inklusive des Bonds) können jederzeit (im Einperiodenmodell in t = 0) in beliebiger Anzahl und Höhe angekauft bzw. verkauft
werden.
• Allen Agenten stehen sämtliche Informationen sofort zur Verfügung (effizienter Markt).
Zum Zinssatz r muss im Einperiodenmodell noch keine Annahme getroffen werden, außer r > −1.
Um die Preise der Wertpapiere zum Zeitpunkt t = 1 mit denen zum Zeitpunkt
t = 0 vergleichen zu können, müssen sie diskontiert (abgezinst) werden.
Definition 1.2. Der diskontierte Preis X1i eines Wertpapiers S1i (Barwert) ist
gegeben durch
S1i
X1i =
, i = 0, 1, . . . , d.
1+r
1
An dieser Stelle ist es auch möglich, den Diskontierungsfaktor nicht als 1+r
−r
zu definieren, sondern als e . Diese Annäherung macht jedoch bei nur einem Zeitschritt wenig Sinn und wird deshalb an dieser Stelle erst einmal nicht
angewendet. Werden mehrere Zeitschritte betrachtet, kann man aber darauf
zurückgreifen (siehe im Anhang, Seite 121).
Ziel eines Wertpapierhandels ist es nun, Gewinn zu erzielen. Hierbei kann ein besonderes Szenario eintreten, nämlich das des risikolosen Gewinns“. Man spricht
”
hierbei auch von einer Arbitragemöglichkeit. Sie wird wie folgt definiert:
1.1. DAS EINPERIODENMODELL
9
Definition 1.3. Eine Strategie ξ ∈ Rd+1 heißt Arbitragemöglichkeit, falls P-fast
sicher gilt:
S0 · ξ ≤ 0, ξ · S1 ≥ 0 und P[ξ · S1 > 0] > 0.
Anhand dieser Definition ist es im ersten Augenblick schwierig, die Arbitragemöglichkeit zu sehen. Eine äquivalente Bedingung aber lässt den risikolosen
Gewinn erkennen.
Satz 1.4. Es gilt:
Arbitrage ⇐⇒ ∃ξ ∗ ∈ Rd : ξ ∗ · S1∗ ≥ (1 + r)ξ ∗ · S0∗ P-fast sicher
und P[ξ ∗ · S1∗ > (1 + r)ξ ∗ · S0∗ ] > 0,
mit ξ = (ξ 0 , ξ ∗ ), St = (St0 , St∗ ), t = 0, 1.
Diese äquivalente Bedingung macht deutlich, dass es bei Arbitrage also möglich
ist, auf jeden Fall mindestens genau so viel Geld durch das Anlegen einer bestimmten Summe in Wertpapieren (ohne den Bond) zu erhalten, als wenn man
diese Summe auf die Bank gelegt hätte. In mindestens einem Szenario, das mit
positiver Wahrscheinlichkeit eintreten kann, gewinnt man sogar mehr Geld als
bei der risikolosen Verzinsung.
Beweis der Äquivalenz:
=⇒“: Nach Definition der Arbitragemöglichkeit gilt
”
0 ≥ ξ · S0 = ξ 0 + ξ ∗ · S0∗ , also ξ 0 ≤ −ξ ∗ · S0∗ .
Es folgt damit
ξ ∗ · S1∗ − (1 + r)ξ ∗ · S0∗ ≥ ξ ∗ · S1∗ + (1 + r)ξ 0 = ξ · S1 ≥ 0 P-fast sicher,
wobei P[ξ · S1 > 0] > 0, also erst recht P[ξ ∗ · S1∗ − (1 + r)ξ ∗ · S0∗ > 0] > 0 gilt.
⇐=“: Es sei ξ ∗ wie auf der rechten Seite gegeben. Man definiere ξ 0 := −ξ ∗ · S0∗ .
”
Dann ist
ξ · S0 = ξ 0 + ξ ∗ · S0∗ = 0
nach Definition von ξ 0 und
ξ · S1 = −(1 + r)ξ ∗ · S0∗ + ξ ∗ · S1∗ ≥ 0
mit P[ξ · S1 > 0] > 0.
Unser Marktmodell wird um eine Annahme erweitert:
• Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten, d. h. der Markt ist arbitragefrei.
Diese Annahme ist insofern gerechtfertigt, als dass im echten Markt bei Vorhandensein von Arbitragemöglichkeiten diese sofort von den Agenten ausgenutzt
werden (als Möglichkeit auf risikolosen Gewinn, verglichen mit dem Bond), sich
aber durch den selbstregulierenden Charakter des Markts bald wieder auflösen
und von selbst verschwinden. Chancen auf Arbitrage bestehen also meist nur
sehr kurz, weswegen wir sie in unserem Modell nicht zulassen. Eine Konsequenz
aus dieser Annahme ist folgende:
10
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Satz 1.5.
S1i = 0 fast sicher =⇒ S0i = 0, i = 0, . . . , d.
Beweis. Für den Bond (i = 0) ist die Folgerung auch ohne Annahme von Arbitragefreiheit gültig. Sei also i > 0 fest.
Si
Angenommen S1i = 0, aber S0i > 0. Definiere eine Strategie ξ 0 := S00 , ξ i := −1
und ξ j := 0 ∀0 < j 6= i. Dann ist
0
S00 ξ 0 + S0i ξ i = S0i − S0i = 0
und
S10 ξ 0 + S1i ξ i = S10 ·
S0i
S0i
0
+
0
=
S
(1
+
r)
·
= (1 + r)S0i > 0.
0
S00
S00
Das so definierte ξ bietet also nach Definition eine Arbitragemöglichkeit, was
wir in unserem Marktmodell ausschließen. Folglich muss unter der Annahme
S1i = 0 auch S0i = 0 gelten.
Um Märkte also auf Arbitragemöglichkeiten zu untersuchen, reicht es aus, eine
Strategie ξ zu finden, die die Definition von Arbitrage bzw. die äquivalente
Bedingung erfüllt. Möchte man aber Arbitragefreiheit untersuchen, muss ein
weiterer Begriff eingeführt werden, nämlich der des Martingalmaßes:
Definition 1.6. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P∗ auf (Ω, F) heißt risikoneutrales Maß oder Martingalmaß, falls
i S1
i
S0 = EP∗
, für alle i = 0, . . . , d.
1+r
Definition 1.7. Zwei Maße P und P∗ heißen äquivalent, falls gilt:
∀A ∈ F : P[A] = 0 ⇔ P∗ [A] = 0.
Man schreibt dann: P ∼ P∗ .
Die Menge P sei die Menge aller Martingalmaße, die zu P äquivalent sind, also
P = {P∗ |P∗ ∼ P, P∗ ist Martingalmaß}.
Mit diesen Definitionen kann nun das 1st Fundamental Theorem of Asset Pricing
formuliert werden:
Satz 1.8 (1st FTAP). Ein Marktmodell ist genau dann arbitragefrei, falls P =
6 ∅.
∗
hat.
In diesem Fall existiert ein P∗ ∈ P, das eine beschränkte Dichte dP
dP
Beweis. Zeige zunächst die Richtung ⇐“, also dass die Existenz eines risi”
koneutralen Maßes das Fehlen von Arbitrage impliziert. Sei dazu P∗ ∈ P ein
risikoneutrales Maß. Wähle einen Strategievektor ξ ∈ Rd+1 , sodass ξ · S1 ≥ 0
P-fast sicher und E[ξ · S1 ] > 0. Es ist
ξ · S1 ≥ 0 ∧ P(ξ · S1 > 0) > 0 ⇔ ξ · S1 ≥ 0 ∧ E[ξ · S1 ] > 0.
1.1. DAS EINPERIODENMODELL
11
Beide Eigenschaft gelten auch unter P∗ , da P und P∗ äquivalent sind (ξ · S1 ≥ 0
P-fast sicher ⇔ ξ ·S1 ≥ 0 P∗ -fast sicher, mit E[ξ ·S1 ] > 0 folgt dann E∗ [ξ ·S1 ] > 0
wegen P ∼ P∗ ). Damit folgt
i i d
d
X
X
ξ · S1
ξ S1
i i
S0 · ξ =
= EP∗
> 0.
S0 ξ =
EP∗
1+r
1+r
i=0
i=0
ξ kann also keine Arbitragemöglichkeit sein, denn sonst müsste S0 · ξ ≤ 0 sein.
Für die umgekehrte Richtung ⇒“ verwenden wir die Schreibweise für den
”
Zufallsvektor der diskontierten Nettogewinne Y = (Y 1 , . . . , Y d ), der definiert
ist über
S1i
Y i :=
− S0i = X1i − S0i , i = 1, . . . , d.
1+r
Mit dieser Schreibweise lässt sich Satz 1.4 umschreiben zu
Arbitrage ⇐⇒ ∃ξ ∗ ∈ Rd : ξ ∗ · Y ≥ 0 P-fast sicher mit P(ξ ∗ · Y > 0) > 0.
Für Arbitragefreiheit gilt also: Aus ξ ∗ ∈ Rd mit ξ ∗ · Y ≥ 0 P-fast sicher folgt
ξ ∗ · Y = 0 P-fast sicher. Da Y i von unten durch −S0i beschränkt ist wegen S1i ≥
0 ∀i, ist der Erwartungswert EP∗ [Y i ] wohldefiniert für jedes P∗ . Mit Definition
1.6 folgt, dass
P∗ ist Martingalmaß ⇐⇒ EP∗ [Y i ] = 0 ∀i = 1, . . . , d.
Mit der Kurzschreibweise EP∗ [Y ] für den d-dimensionalen Vektor mit Komponenten EP∗ [Y i ] kann die Äquivalenz in der Aussage des Satzes umgeschrieben
werden zu:
Für ξ ∗ ∈ Rd : ξ ∗ · Y ≥ 0 P-fast sicher ⇒ ξ ∗ · Y = 0 P-fast sicher.
⇐⇒
∃P∗ ∼ P : EP∗ [Y ] = 0.
Beweise nun ⇒“ für diese umgeschriebene Aussage. Sei hierfür zunächst ange”
nommen, dass E[|Y |] < ∞. Mit Q werde die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße Q ∼ P mit beschränkten Dichten dQ
dP bezeichnet. Wegen unserer Annahme
ist EQ [Y i ] endlich für alle i = 1, . . . , d. Es sei
C := {EQ [Y ]|Q ∈ Q}.
Diese Menge C ist konvex in Rd , denn: Für Q1 , Q2 ∈ Q und 0 < α < 1 ist
Qα := αQ1 + (1 − α)Q2 ∈ Q und
dQ1
dQ2
αEQ1 [Y ] + (1 − α)EQ2 [Y ] = αE Y
+ (1 − α)E Y
dP
dP
dQ2
dQ1
=E Y α
+ (1 − α)
dP
dP
dQα
=E Y
dP
= EQα [Y ] ∈ C.
12
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Wir müssen nun zeigen, dass 0 ∈ C. Dies zeigen wir durch Widerspruch und
nehmen dafür an, dass 0 ∈
/ C. Mit Satz A.1 aus dem Appendix finden wir ein
ξ ∈ Rd , sodass ξ · x ≥ 0 für alle x ∈ C und sodass ξ · x0 > 0 für mindestens ein
x0 ∈ C. Dieses ξ erfüllt also EQ [ξ · Y ] ≥ 0 für alle Q ∈ Q und EQ0 [ξ · Y ] > 0
für ein Q0 ∈ Q. Letzteres impliziert, dass P[ξ · Y > 0] > 0. Aus der ersten
Bedingung lässt sich wie nachfolgend gezeigt folgern, dass ξ · Y P-fast sicher
nicht negativ ist:
Seien hierfür A := {ξ · Y < 0} und Funktionen ϕn definiert über
1
1
ϕn := 1 −
· IA + · IAc .
n
n
Mithilfe dieser Funktionen werden Dichten Qn gebildet:
dQn
1
:=
· ϕn , n = 3, 4, . . .
dP
E[ϕn ]
Da 0 < ϕn < 1, ist Qn ∈ Q, und deswegen gilt
0 ≤ ξ · EQn [Y ] =
1
E[ξ · Y ϕn ].
E[ϕn ]
ϕn
Mit dem Satz über die dominierte Konvergenz ( E[ϕ
≤ c ∈ R) folgt
n]
E[ξ · Y IA ] = lim E[ξ · Y ϕn ] ≥ 0,
n%∞
was ein Widerspruch zur Definition von A ist und die obige Behauptung, ξ · Y
sei P-fast sicher nicht negativ, zeigt. Dies und P[ξ · Y > 0] > 0 ist aber ein
Widerspruch zu unserer Annahme nach Arbitragefreiheit, woraus folgt, dass
0 ∈ C. Für E[|Y |] < ∞ ist das FTAP also gezeigt.
Sei nun Y nicht P-integrierbar. Wir definieren ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P̃, dessen Dichte ddPP̃ beschränkt ist und für das EP̃ [|Y |] < ∞ gilt.
Dies ist beispielsweise erfüllt für
−1
dP̃
c
1
:=
mit c := E
,
dP
1 + |Y |
1 + |Y |
denn:
0<
und
dP̃
<c
dP
"
#
dP̃
c
EP̃ [|Y |] = E |Y |
=E
· |Y | < c.
dP
1 + |Y |
Für dieses P̃ ∼ P, für das die gleichen Bedingungen für Arbitragefreiheit in
unserem Marktmodell gelten wie für P, finden wir wegen des bisher Gezeigten
∗
ein äquivalentes Martingalmaß P∗ mit durch c1 beschränkter Dichte dP
und
dP̃
EP∗ [Y ] = 0. Es ist aber auch P∗ ∼ P, denn P∗ ∼ P̃ ∼ P und die Dichte
dP∗
dP∗ dP̃
∗
dP = dP̃ · dP < c · c1 ist beschränkt. P ist also wie gewünscht und der Satz
somit vollständig bewiesen.
1.2. DAS MEHRPERIODENMODELL
13
Wenn also mindestens ein Maß existiert, für das S0i = EP∗
in diesem Marktmodell keine Arbitragemöglichkeiten.
h
S1i
1+r
i
gilt, so gibt es
Beispiel 1.9. Wir befinden uns in einem einperiodigen Markt mit d = 1.
t
0
1
S0
1
1+r
S1
S01
S11
Ω = {ω1 , ω2 }, F = 2Ω , 1 > P(ω1 ) = p1 > 0, P(ω2 ) = p2 = 1 − p1 , also
p1
S11 (ω1 ) = s1
S01
p2
S11 (ω2 ) = s2
mit s1 ≥ s2 . Wann ist dieser Markt arbitragefrei?
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
Finde
h P i mit 1 > P (ω1 ) = p1 =: p > 0 und P (ω2 ) = p2 = 1 − p sodass
EP∗
S11
1+r
EP∗
= S01 . Es ist
S11
s1
s2
s1
s2
s2
= p∗
+ (1 − p∗ )
= p∗
+
− p∗
= S01
1+r
1+r
1+r
1+r 1+r
1+r
s1
s2
s2
⇔ p
−
= S01 −
1+r 1+r
1+r
s1
s2
s2
∗
1
⇔ p = S0 −
/
−
1+r
1+r 1+r
∗
Für s1 6= s2 existiert also ein eindeutiges p∗ , wobei noch garantiert werden
muss, in Abhängigkeit von r, dass p∗ ∈ (0, 1):
s2
s1
s2
s1
p∗ < 1: Es muss gelten S01 − 1+r
< 1+r
− 1+r
, also S01 < 1+r
.
s1
s2
s2
− 1+r
> 0 ist p∗ > 0 genau dann, wenn S01 > 1+r
.
p∗ > 0: Da 1+r
Der Anfangswert des Wertpapiers muss also zwischen den abgezinsten Werten,
zu denen es sich in t = 1 entwickeln kann, liegen.
1.2
Das Mehrperiodenmodell
Im Folgenden sei stets (Ω, F, P) der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum. Die betrachteten Zeitschritte unseres Mehrperiodenmodells seien t =
0, 1, . . . , T . Wie im Einperiodenmodell werden d+1 Wertpapiere betrachtet, deren Wert zum Zeitpunkt t als nicht-negative Zufallsvariable Sti , i = 0, 1, . . . , d,
auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum modelliert wird.
14
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Definition 1.10. Sei (E, E) ein messbarer Raum. Ein stochastischer Prozess
X = (Xt )t∈{0,1,...,T } mit Werten in (E, E) ist eine Familie von Zufallsvariablen
Xt , t = 0, 1, . . . , T, mit Werten in (E, E), falls
∀t = 0, . . . , T
Xt : (Ω, F) → (E, E).
Dabei ist Xt = Xt (ω) = X(t, ω).
Es ist also S = (St )t=0,...,T ein stochastischer Prozess. Außerdem sei St =
(St0 , St∗ ) = (St0 , St1 , . . . , Std ) messbar bezüglich einer σ-Algebra Ft ⊂ F. Hierbei
stelle Ft die bis zum Zeitpunkt t verfügbaren Informationen bzw. beobachtbaren
Ereignisse dar. Es gilt:
F0 = {∅, Ω} ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ FT = F.
Definition 1.11. Eine Familie (Ft )t=0,1,...,T von σ-Algebren Ft ⊂ F auf (Ω, F)
heißt Filtration, falls für alle s < t
Fs ⊂ Ft .
D. h. die Familie von σ-Algebren im Mehrperiodenmodell stellt eine Filtration
dar.
Definition 1.12. Sei (Xt )t∈{0,1,...,T } ein stochastischer Prozess auf dem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Ft )t∈{0,1,...,T } , P).
(1) Der Prozess ist zur gegebenen Filtration (Ft )t adaptiert, falls gilt:
Xt ist Ft -messbar ∀t ∈ {0, 1, . . . , T }.
(2) Der Prozess ist vorhersehbar bezüglich (Ft )t , falls gilt:
Xt ist Ft−1 -messbar ∀t ∈ {1, . . . , T }.
Die Wertpapiere (St )t im Mehrperiodenmodell sind also adaptiert zu (Ft )t .
Analog zum Einperiodenmodell lässt sich auch für mehrere Zeitpunkte eine
Strategie definieren:
Definition 1.13. Eine Handelsstrategie
ξ = (ξ 0 , ξ ∗ ) = (ξt0 , ξt1 , . . . , ξtd )t=1,2,...,T
ist ein vorhersehbarer, stochastischer Prozess bezüglich (Ft )t , d. h. jede Zufallsvariable ξt ist Ft−1 -messbar. Dies ist so zu verstehen, dass ξt in t − 1 festgelegt
wird und deshalb in t − 1 bereits bekannt ist. In Zeitpunkt t wird dann ξt+1
festgelegt.
ξti gebe die Anzahl des Wertpapiers S i zwischen den Zeitpunkten t − 1 und t an,
i
i = 0, . . . , d. Der Betrag ξti St−1
ist also derjenige, welcher zum Zeitpunkt t − 1
i
i
i
in S investiert wird, ξt St gibt an, wie viel der investierte Betrag zum Zeitpunkt
1.2. DAS MEHRPERIODENMODELL
15
t, also einen Zeitschritt später, dann Wert ist. Der Wert eines Portfolios V mit
Handelsstrategie ξ beträgt also im Zeitpunkt t − 1
ξt · St−1 =
d
X
i
ξti St−1
,
i=0
und zum Zeitpunkt t
ξt · S t =
d
X
ξti Sti .
i=0
Im Zeitpunkt t kann dann umgeschichtet werden, also die Anzahl der Wertpapiere S i im Portfolio verändert werden zu ξt+1 . Das Portfolio hat dann den
Wert ξt+1 St und entwickelt sich analog innerhalb eines Zeitschritt zu ξt+1 St+1 .
Definition 1.14. Eine Handelsstrategie ξ heißt selbstfinanzierend, falls
ξt · St = ξt+1 · St ∀t = 1, 2, . . . , T − 1
gilt.
Selbstfinanziertheit bedeutet also, dass zu den verschiedenen Zeitpunkten t weder Geld in das Portfolio investiert noch aus dem Portfolio entnommen wird.
Eine Änderung des Portfoliowerts geschieht allein durch den sich ändernden
Wert der Wertpapiere innerhalb der Perioden. Wie im Einperiodenmodell modelliert S 0 den risikolosen Bond, also ein Bankkonto, das sich entsprechend
St0 =
t
Y
(1 + rk ), t = 1, 2, . . . , T, mit S00 := 1
k=1
entwickelt. rt sei dabei der Zinssatz zum Zeitpunkt t, der Ft−1 -messbar ist.
(rk )k=1,...,T ist also, wie die Handelsstrategie, ein vorhersehbarer Prozess. Mit
S00 = 1 und rt > −1 ∀t ist dann St0 > 0 ∀t. Anschaulich entwickelt sich eine
Anlage von x auf der Bank wie folgt:
t:
0
1
x
x(1 + r1 )
2
3
x(1 + r1 )(1 + r2 ) x(1 + r1 )(1 + r2 )(1 + r3 )
Wir verwenden hier wiederum den korrekten Zinsfaktor (1 + rt ) anstatt die
Näherung ert (siehe dazu im Anhang, Seite 121). Eine Diskontierung der Wertpapierpreise erfolgt wie im Einperiodenmodell mit Hilfe des Bonds.
Definition 1.15. Die diskontierten Preise der verschiedenen Wertpapiere S i ,
i = 0, . . . , d zu den unterschiedlichen Zeitpunkten t, t = 0, . . . , T sind
Xti =
Sti
.
St0
Es gelten wieder die Schreibweisen Xt = (Xt0 , Xt∗ ) = (Xt0 , Xt1 , . . . , Xtd ).
16
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Auch im Mehrperiodenmodell kann es die Möglichkeit auf risikofreien Gewinn
(verglichen mit dem Bond), also auf Arbitrage, geben. Diese wird über die
diskontierten Wertpapierpreise angegeben, um die Vergleichbarkeit der Werte
zu den verschiedenen Zeitpunkten zu gewährleisten. Wichtig hierbei ist, dass
immer von selbstfinanzierenden Strategien ausgegangen wird.
Definition 1.16. Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ξ heißt Arbitragemöglichkeit, falls
ξ1 · X0 ≤ 0 und ξT · XT ≥ 0,
wobei P[ξT · XT > 0] > 0 gelten muss.
Definition 1.17. Der (diskontierte) Werteprozess V = (Vt )t=0,...,T zu einer
gegebenen Handelsstrategie ξ ist gegeben durch
V0 := ξ1 · X0 und Vt := ξt · Xt für t = 1, . . . , T.
Es kann gezeigt werden (siehe [10]), dass ein Mehrperiodenmodell genau dann
arbitragefrei ist, wenn die einzelnen Perioden arbitragfrei nach Definition 1.3
sind. Umgekehrt macht der folgende Satz eine Aussage darüber, wann in einem
Marktmodell die Chance auf Arbitrage vorhanden ist.
Satz 1.18. Ein Marktmodell bietet eine Arbitragemöglichkeit genau dann,
wenn ∃t ∈ {1, . . . , T }, η ∈ L0 (Ω, Ft−1 , P; Rd ), sodass
∗
∗
η(Xt∗ − Xt−1
) ≥ 0, P(η(Xt∗ − Xt−1
) > 0) > 0.
Für die Definition des L0 -Raums siehe Definition A.2 im Anhang.
Beweis. ⇒“: ξ = (ξ 0 , ξ ∗ ) sei eine Arbitragemöglichkeit.
”
Sei τ := min{s | ξs ·Xs ≥ 0, P(ξs ·Xs > 0) > 0}. Es ist τ ≤ T und ξτ −1 ·Xτ −1 ≤ 0.
Unterscheide nun zwei Fälle:
1. Fall: ξτ −1 · Xτ −1 = 0. Setze η := ξτ∗ und es ist mit Selbstfinanziertheit
η(Xτ∗ − Xτ∗−1 ) = ξτ∗ (Xτ∗ − Xτ∗−1 ) = ξτ∗ · Xτ∗ − ξτ∗−1 · Xτ∗−1 ≥ 0,
wobei P(η(Xτ∗ − Xτ∗−1 ) > 0) > 0.
2. Fall: P(ξτ −1 · Xτ −1 < 0) > 0. Setze η := ξτ∗ I{ξτ −1 ·Xτ −1 <0} und es ist wiederum
mit Selbstfinanziertheit
η(Xτ∗ − Xτ∗−1 ) = I{ξτ −1 ·Xτ −1 <0} · ξτ∗ (Xτ∗ − Xτ∗−1 )
= I{ξτ −1 ·Xτ −1 <0} (ξτ∗ · Xτ∗ − ξτ∗−1 · Xτ∗−1 )
= I{ξτ −1 ·Xτ −1 <0} ξτ∗ · Xτ∗ − I{ξτ −1 ·Xτ −1 <0} ξτ∗−1 · Xτ∗−1
≥ 0,
wobei P(η(Xτ∗ − Xτ∗−1 ) > 0) > 0.
⇐“: Zunächst gilt für den diskontierten Werteprozess Vt = ξt ·Xt , t = 1, . . . , T ,
”
und V0 = ξ1 · X0 :
ξt · Xt = Vt = (Vt − Vt−1 ) + (Vt−1 − Vt−2 ) + . . . + (V1 − V0 ) + V0 .
1.2. DAS MEHRPERIODENMODELL
17
Für alle s ist wegen Selbstfinanziertheit von ξ
Vs − Vs−1 = ξs · Xs − ξs−1 · Xs−1
= ξs · Xs − ξs · Xs−1
= ξs (Xs − Xs−1 )
=
d
X
k
ξsk (Xsk − Xs−1
)
k=0
=
=
d
X
k
ξsk (Xsk − Xs−1
)
k=1
ξs∗ (Xs∗
∗
− Xs−1
),
0
= 0. Also ist
da Xs0 − Xs−1
Vt = ξt · Xt =
t
X
∗
) + ξ1 · X0 .
ξk∗ (Xk∗ − Xk−1
k=1
Definiere
ξk∗
(
η
:=
0
k=t
.
sonst
Dann ist mit V0 = ξ1 · X0 = 0
VT = ξT · XT =
T
X
∗
∗
∗
) = ξt∗ (Xt∗ − Xt−1
) = η(Xt∗ − Xt−1
) ≥ 0,
ξk∗ (Xk∗ − Xk−1
k=1
wobei P(ξT ·XT > 0) > 0. Das so definierte ξ ist also eine Arbitragestrategie.
Bemerkung 1.19. Für die Bond-Komponente ξ 0 einer selbstfinanzierenden Strategie ξ, also (ξt+1 − ξt ) · Xt = 0, t = 1, . . . , T − 1, gilt wegen Xt0 = 1
0
∗
ξt+1
− ξt0 = −(ξt+1
− ξt∗ )Xt∗ .
Außerdem ist wegen V0 = ξ1 · X0 = ξ10 + ξ1∗ · X0∗
ξ10 = V0 − ξ1∗ · X0∗ .
Der ganze Prozess ξ 0 hängt also nur von der anfänglich investierten Summe
V0 sowie vom d-dimensionalen Prozess ξ ∗ ab. Wenn also eine Konstante V0
und ein beliebiger d-dimensionaler, vorhersehbarer Prozess ξ ∗ gegeben sind, so
kann über die obigen beiden Formeln ein vorhersehbarer Prozess ξ 0 berechnet
werden, sodass ξ = (ξ 0 , ξ ∗ ) eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ergibt.
Martingalmaße können ebenfalls im Mehrperiodenmodell definiert werden. Sie
entsprechen der mathematischen Formulierung eines fairen Spiels“, das da”
durch gekennzeichnet ist, dass die bedingte Erwartung eines zukünftigen Gewinns (zum Zeitpunkt t) zu jedem vorhergehenden Zeitpunkt s < t gegeben der
Information in s gleich null ist.
Um Martingalmaße definieren zu können, werden zunächst Martingale definiert:
18
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Definition 1.20. Ein stochastischer Prozess M = (Mt )t=0,...,T auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, (Ft )t=0,...,T , F, Q) heißt Martingal, falls
1. M adaptiert an (Ft )t=0,...,T ist,
2. EQ [|Mt |] < ∞ ist für alle t = 0, . . . , T und
3. Ms = EQ [Mt |Fs ] für 0 ≤ s ≤ t ≤ T .
Bemerkung 1.21. Letzte Bedingung (Bedingung 3) ist äquivalent zu
Mt−1 = EQ [Mt |Ft−1 ] ∀t = 1, . . . , T.
Für einen Beweis dieser Äquivalenz siehe [10].
Es gilt: Mit F0 = {∅, Ω} ist E[·|F0 ] = E[·] und somit gilt für ein Martingal
(Mt )t , dass E[Mt ] = E[Mt |F0 ] = M0 für alle t = 0, . . . , T .
Definition 1.22. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω, F) heißt risikoneutrales Maß oder Martingalmaß, falls die diskontierten Preisprozesse X i , i =
1, . . . , d, Q-Martingale bezüglich (Ft )t=0,...,T sind.
Ein Martingalmaß P∗ heißt äquivalentes Martingalmaß, falls es äquivalent zum
ursprünglichen Maß auf F ist. Alle zu P äquivalenten Martingalmaße werden
wieder in der Menge P zusammengefasst.
Folgender Satz ist nützlich für den Umgang mit Martingalmaßen und besagt,
dass ein faires Spiel auf keine realistische Weise positiven, erwarteten Gewinn
erlaubt.
Satz 1.23. Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω, F, Ft ) sind folgende Aussagen äquivalent:
• Q ist ein Martingalmaß
• Ist ξ = (ξ 0 , ξ ∗ ) selbstfinanzierend und ξ ∗ = (ξ 1 , . . . , ξ d ) beschränkt ⇒
Vt = ξt · Xt ist ein Q-Martingal.
Beweis. Wir werden hier nur die eine Richtung zeigen. Für den vollständigen
Beweis siehe [10], Theorem 5.14.
Sei also Q ein Martingalmaß und V der Werteprozess einer selbstfinanzierenden
Handelsstrategie ξ, für die gilt, dass |ξ i | ≤ c für alle i und eine Konstante c. Vt
lässt sich wegen der Selbstfinanziertheit von ξ schreiben als
Vt = ξt · Xt = V0 +
t
X
∗
ξi∗ (Xi∗ − Xi−1
)
i=1
(siehe Beweis von Satz 1.18) und ist Ft -messbar. Weiter gilt
|Vt | = |V0 +
t
X
∗
ξi∗ (Xi∗ − Xi−1
)|
i=1
≤ |V0 | + c
≤ |V0 | + c
t
X
i=1
t
X
i=1
∗
|Xi∗ − Xi−1
|
∗
(|Xi∗ | + |Xi−1
|).
1.2. DAS MEHRPERIODENMODELL
19
Da EQ [|Xi∗ |] < ∞, i = 0, . . . , t, ist also auch EQ [|Vt |] < ∞. Nun bleibt noch zu
zeigen: EQ [Vt |Fs ] = Vs ∀s < t bzw. die äquivalente Bedingung EQ [Vt |Ft−1 ] =
Vt−1 ∀t. Es ist
Vt = V0 +
t
X
∗
ξi∗ (Xi∗ − Xi−1
) = V0 +
i=1
t−1
X
∗
∗
ξi∗ (Xi∗ − Xi−1
) + ξt∗ (Xt∗ − Xt−1
)
i=1
∗
= Vt−1 + ξt∗ (Xt∗ − Xt−1
).
Da ξ ein vorhersehbarer Prozess ist, ist ξt nach Definition von Vorhersehbarkeit
Ft−1 -messbar, und für X gilt, dass
EQ [Xt |Ft−1 ] = Xt−1 ⇔ EQ [Xt − Xt−1 |Ft−1 ] = 0,
da X adaptiert ist. Es folgt:
∗
EQ [Vt |Ft−1 ] = EQ [Vt−1 + ξt∗ (Xt∗ − Xt−1
)|Ft−1 ]
∗
= EQ [Vt−1 |Ft−1 ] + ξt∗ EQ [(Xt∗ − Xt−1
)|Ft−1 ]
= Vt−1 + ξt∗ · 0
= Vt−1
Somit ist V ein Q-Martingal.
In Satz 1.23 gelten sogar noch die Äquivalenzen zu folgenden Aussagen:
• Ist ξ selbstfinanzierend und EQ [− min(VT , 0)] < ∞ ⇒ Vt ist ein Q-Martingal.
• Ist ξ selbstfinanzierend und VT ≥ 0 ⇒ EQ [VT ] = V0 .
Ein Beweis kann wiederum in [10] nachgelesen werden.
Das 1st Fundametal Theorem of Asset Pricing kann jetzt auch für das Mehrperiodenmodell definiert werden.
Satz 1.24 (1st FTAP für mehrere Perioden). Das Marktmodell in mehreren
Perioden ist genau dann arbitragefrei, wenn die Menge P aller äquivalenten
Martingalmaße nicht leer ist.
Beweis. Ein Beweis findet sich in [10], Kapitel 5.
Im Folgenden werden stets Märkte betrachtet, die arbitragefrei sind, denn einige Rechnungen gelten nur unter dieser Bedingung. Dass diese Annahme aber,
im Gegensatz zu vielen der anderen Marktannahmen, die in diesem und im vorigen Kapitel gemacht wurden, plausibel ist, wurde bereits gesagt. Im nächsten
Abschnitt sollen Transaktionskosten, die im bisherigen Marktmodell nicht beachtet wurden, untersucht werden.
20
1.3
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
Transaktionskosten
Werden Transaktionskosten zugelassen, verändert das unser Marktmodell aus
Abschnitt 1.1. Wir betrachten Transaktionskosten, die sich proportional zum
gehandelten Wertpapier verhalten (siehe dazu [22]), das bedeutet, dass man
für den Kauf eines Wertpapiers S zum Zeitpunkt t anstatt den wahren Wert St
etwas mehr zahlt, nämlich (1+λt )St , λt ≥ 0. Entsprechend erhält der Verkäufer
eines solchen Wertpapiers lediglich die Summe (1 − µt )St , µt ∈ [0, 1). In der
Praxis werden die Kosten oft voneinander abhängig gewählt:
λt = κ und µt =
κ
1+κ ,
∀t ∈ 1, . . . , T
oder
λt = κ und µt = κ, ∀t ∈ 1, . . . , T .
Betrachtet man nun erneut Handelsstrategien, sollen diese auch mit Transaktionskosten selbstfinanzierend sein. Die bisherige Bedingung ändert sich dann
dementsprechend ab, ob Anteile des Wertpapiers ge- oder verkauft werden. Zur
besseren Lesbarkeit wird hier nur ein risikobehaftetes Wertpapier betrachtet.
Ebenso werden auf Transaktionen, die den Bond betreffen, keine Kosten erhoben.
Selbstfinanziertheit bei Verkauf von Aktien zum Zeitpunkt t, also
1
ξt1 > ξt+1
Der Anteil des risikobehafteten Wertpapiers ξt1 St1 kann in Zeitpunkt t in den
1 )S 1 , und in
Teil zerlegt werden, der verkauft werden soll, nämlich (ξt1 − ξt+1
t
1
1
den, der behalten wird: ξt+1 St . Werden Transaktionskosten erhoben, erhält der
Verkäufer aber nicht den vollen Wert des verkauften Anteils, sondern lediglich
1 )S 1 . Die verbliebenen µ (ξ 1 − ξ 1 )S 1 gehen für ihn verloren“,
(1 − µt )(ξt1 − ξt+1
t t
t
t+1 t
”
müssen also in der bisherigen Formel für die Selbstfinanziertheit auf der linken
Seite abgezogen werden (bzw. auf der rechten hinzugezählt), da dieses Geld für
ihn nicht mehr zur Verfügung steht. Deswegen ergibt sich:
1
0
1
ξt0 St0 + ξt1 St1 − µt (ξt1 − ξt+1
)St1 = ξt+1
St0 + ξt+1
St1
bzw.
0
1
1
ξt0 St0 + ξt1 St1 = ξt+1
St0 + ξt+1
St1 + µt (ξt1 − ξt+1
)St1 .
Selbstfinanziertheit bei Kauf von Aktien zum Zeitpunkt t, also ξt1 <
1
ξt+1
Analog zum Verkauf können hier ähnliche Überlegungen gemacht werden. An1 − ξ 1 )S 1 muss der
statt des eigentlichen Wertes des hinzugekauften Anteils (ξt+1
t
t
1
1
1
1 −ξ 1 )S 1 mehr
Käufer (1+λt )(ξt+1 −ξt )St für diesen zahlen. Er zahlt also λt (ξt+1
t
t
als beim Marktmodell ohne Transaktionskosten. Diese Mehrkosten müssen bei
der Umschichtung auf der rechten Seite als zusätzlicher Posten berücksichtigt
werden und es ergibt sich:
1
0
1
ξt0 St0 + ξt1 St1 = ξt+1
St0 + ξt+1
St1 + λt (ξt+1
− ξt1 )St1 .
1.4. DIVIDENDEN
21
Zusammengefasst können beide Gegebenheiten in folgender Formel aufgeschrieben werden:
0
1
ξt0 St0 + ξt1 St1 = ξt+1
St0 + ξt+1
St1
1
+ µt (ξt1 − ξt+1
)St1 · Iξt1 >ξt+1
1
1
+ λt (ξt+1
− ξt1 )St1 · Iξt1 <ξt+1
1
Transaktionskosten werden in Kapitel 3, welches das CRR-Modell behandelt,
weiterhin ausgeschlossen, können jedoch im Zusammenhang mit dem nichtrekombinierbaren Binomialmodell aus Kapitel 5 unter leichten Änderungen des
Modells (siehe hierzu [9]) zugelassen werden. Ähnlich verhält es ich mit Dividenden, die nun kurz eingeführt werden. Man bemerke, dass Dividenden bislang, im
allgemeinen, mehrperiodigen Marktmodell, nicht explizit ausgeschlossen wurden.
1.4
Dividenden
Eine Dividende bzw. Gewinnausschüttung ist ein Teil des Gewinns, den beispielsweise eine Aktiengesellschaft an ihre Aktionäre zu festgelegten Zeitpunkten auszahlt. Solche Dividendenzahlungen lassen sich grundsätzlich in zwei verschiedene Arten unterteilen: In Dividenden, die anteilsmäßig vom Wert des
Wertpapiers gezahlt werden, und in Dividenden mit festem Geldbetrag. Werden
auf Wertpapiere Dividenden mit fixem Betrag gezahlt, so ändert sich der Wert
der Wertpapiere zu den Ausschüttungszeitpunkten td1 , . . . , tdn , wobei tdi < tdj
für i < j und
{td1 , . . . , tdn } ⊆ {1, . . . , T − 1}
gelte, auf die Weise, dass das Wertpapier zum jeweiligen Zeitpunkt gleich nach
der Ausschüttung um den ausgeschütteten Betrag vermindert wird.
Mit D1 , . . . , Dn werden die Dividendenzahlungen in den entsprechenden Zeitpunkten bezeichnet. Wird im Zeitpunkt t die Dividende Dj für das Wertpapier
S k ausgezahlt, also t = tdj , so ist das Wertpapier S k zu diesem Zeitpunkt direkt
nach Ausschüttung
Stk − Dj
k
wert, wenn es sich zwischen den Zeitpunkten t − 1 und t von St−1
nach Stk entk
wickelt hat. Bei der Entwicklung von S0k nach St−1
wurden etwaige Dividenden
Dl mit l < j zu den entsprechenden Zeiten auf gleiche Weise vom Wertpapier
bereits abgezogen.
Wie wir später sehen werden, führt die Auszahlung von solchen, festen Dividenden zu einem nicht-rekombinierbaren Binomialbaum, wenn das Wertpapier ohne Dividenden dem rekombinierbaren Binomialmodell genügt (siehe Abschnitt
4.1).
Anteilsmäßige Dividenden δi beeinflussen das Wertpapier auf folgende Weise:
Wird im Zeitpunkt t = tdi eine Dividende in Höhe von Stk · δi ausbezahlt, so
beträgt der Wert des Wertpapiers direkt nach diesem Zeitpunkt
Stk (1 − δi ),
22
KAPITEL 1. DAS MARKTMODELL
wenn er ohne die Zahlung Stk betragen hätte. Ähnlich wie bei der Verzinsung,
lässt sich bei einer solchen anteilsmäßigen Dividendenzahlung unter der Voraussetzung, dass die betrachteten Zeitpunkte nahe genug beieinander liegen,
der Wert Stk (1 − δi ) durch eine stetige, anteilsmäßige Dividendenzahlung approximieren, siehe dazu im Anhang, Seite 121: Stk · e−δi . Auf diese Weise werden
später in Abschnitt 5.2 Dividenden berücksichtigt.
Kapitel 2
Optionen
2.1
Contigent Claims und Derivate
In Finanzmärkten werden nicht nur Wertpapiere selbst gehandelt. Oft werden
auch sogenannte Derivate veräußert. Derivate hängen in irgendeiner Weise von
marktbezogenen Referenzgrößen, beispielsweise von Wertpapieren, ab und dienen unter anderem zum Transfer von Risiken. Insbesondere sollen die Marktrisiken des Basiswertes, also der Referenzgröße, auf die sich das Derivat bezieht,
getrennt vom Basiswert selbst gehandelt werden können.
Definition 2.1. Eine Zufallsvariable C ≥ 0 auf (Ω, FT , P) wird auch Contingent Claim mit Fälligkeitszeitpunkt (Maturität) T genannt, wenn gilt, dass
0≤C<∞
P-fast sicher.
Ist
FT = σ(S 0 , . . . , S d ),
so heißt C Derivat. Das diskontierte Contigent Claim bzw. Derivat ist
C
.
ST0
H :=
Hierbei ist σ(S 0 , . . . , S d ) die von den Zufallsvariablen S 0 , . . . , S d erzeugte σAlgebra. Obige Bedingung kann auch umformuliert werden zu:
C = f (S 0 , . . . , S d ),
wobei f eine messbare Funktion auf Rd+1 ist.
Definition 2.2. Ein Contingent Claim C ist erreichbar, wenn eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ξ = (ξt0 , . . . , ξtd )t=0,...,T existiert, für die gilt, dass
C = ξT · ST ,
wenn C also eine Linearkombination der Wertpapiere zum Zeitpunkt T ist.
Äquivalent dazu ist natürlich die Bedingung für die diskontierten Werte:
H = ξT · XT = VT +
T
X
∗
ξt∗ · (Xt∗ − Xt−1
).
t=1
ξ wird dann replizierende Strategie für C bzw. H genannt.
23
24
KAPITEL 2. OPTIONEN
Der nächste Satz besagt, dass ein erreichbares, diskontiertes Contingent Claim
bezüglich jedes äquivalenten Martingalmaßes integrierbar ist. Für nicht abgezinste Contingent Claims muss dies aber nicht gelten.
Satz 2.3. Jedes erreichbare, diskontierte Claim H ist integrierbar bezüglich
jedes äquivalenten Martingalmaßes, d. h.
E∗ [H] < ∞
∀P∗ ∈ P.
Außerdem erfüllt für jedes P∗ ∈ P der Werteprozess jeder replizierenden Strategie
Vt = E∗ [H|Ft ] P-fast sicher für t = 0, . . . , T.
V ist also ein nicht negatives P∗ -Martingal.
Beweis. Sei H ein erreichbares, diskontiertes Claim. Dann existiert eine selbstfinanzierende Strategie ξ mit ξT · XT = H ≥ 0. Wie in Satz 1.23 gezeigt, ist
Vt = ξt · Xt ein P∗ -Martingal. Mit VT = ξT · XT = H ist dann
Vt = E∗ [VT |Ft ] = E∗ [H|Ft ] ∀P∗ ∈ P.
Da H ≥ 0 ist auch Vt = E∗ [H|Ft ] ≥ 0 und außerdem ist mit V0 = ξ1 · X0 < ∞
auch
V0 = E∗ [Vt |F0 ] = E∗ [VT ] = E∗ [H] < ∞ ∀P∗ .
Dieser Satz zeigt uns, dass V0 = E∗ [H] weder von der replizierenden Strategie
ξ, noch vom äquivalenten Martingalmaß P∗ abhängt, denn V0 ist eindeutig für
alle P∗ . Dasselbe gilt auch für Vt mit t > 0.
Die Preise der Wertpapiere S i , i = 0, . . . , d zum Zeitpunkt t = 0 sind bekannt.
Nun soll der Preis eines Contingent Claims zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt
werden. Hierzu wird der Markt, dargestellt durch die diskontierten Wertpapiere,
erweitert zu (Xtd+1 )t=0,...,T mit
X0d+1 = π H , XTd+1 = H und Xtd+1 ≥ 0 ∀t.
(2.1)
Definition 2.4. Sei H ein (diskontiertes) Contingent Claim. π H ist ein arbitragefreier Preis für H, wenn der erweiterte Markt (X 0 , . . . , X d+1 ) arbitragefrei
ist.
Die arbitragefreien Preise von H werden in der Menge Π(H) zusammengefasst.
Satz 2.5. Die Menge der arbitragefreien Preise für ein (diskontiertes) Contingent Claim H ist gegeben durch
Π(H) = {E∗ [H]|P∗ ∈ P, E∗ [H] < ∞}.
2.1. CONTIGENT CLAIMS UND DERIVATE
25
In der Tat ist der Preis für H zunächst einmal eine Menge an Preisen, für die
eine untere und obere Schranke angegeben werden kann:
Πinf(H) :=
π H ∈Π(H)
inf
π H = inf
E∗ [H]
∗
sup
π H = sup E∗ [H].
P ∈P
und
Πsup(H) :=
π H ∈Π(H)
P∗ ∈P
In den Marktmodellen, die weiter betrachtet werden, wird der Preis für ein
Contingent Claim jedoch immer eindeutig sein. Bevor der Satz bewiesen wird,
soll ein kleines Beispiel zeigen, warum bei einem Preis für ein erreichbares H
außerhalb der angegebenen Menge Arbitrage möglich ist.
Beispiel 2.6. Es sei π H ein Preis für H, wobei H erreichbar ist und π H > E∗ [H].
Verkauft ein Agent H zum Zeitpunkt t = 0 für π H , so kann er die Menge
π H − E∗ [H] auf die Bank legen und mit E∗ [H] eine replizierende Strategie für
H finanzieren. Sein Portfolio hat dann zum Zeitpunkt t = 0 den Wert
V0 = π H − (π H − E∗ [H]) − E∗ [H] = 0.
Im Zeitpunkt t = T hat das auf die Bank gelegte Geld den Wert (π H −E∗ [H])ST0 ,
während vom restlichen Geld ja gerade H repliziert wurde, was in t = T den
Wert C = H · ST0 hat und was der Agent an den Käufer zurückzahlen muss.
Für das Portfolio gilt also
VT =
(π H − E∗ [H])ST0 + C − C
= π H − E∗ [H] > 0,
ST0
wobei P(VT > 0) > 0. Der für H gewählte Preis bietet also eine Arbitragemöglichkeit.
Wird π H < E∗ [H] gewählt, so kann eine ähnliche Überlegung geführt werden.
Der Agent leiht sich in t = 0 die Menge E∗ [H] von der Bank. Davon kauft er
sich H zum Preis π H und legt den Rest, E∗ [H] − π H , risikofrei auf der Bank
an. Es ist
V0 = E∗ [H] − π H − (E∗ [H] − π H ) = 0.
In t = T muss er E∗ [H] · ST0 an die Bank zurückzahlen, dafür bekommt er H
mit dem Wert C = E∗ [H] · ST0 und sein auf die Bank gelegtes Geld hat in t = T
den Wert (E∗ [H] − π H )ST0 . Für VT gilt also
VT =
−E∗ [H] · ST0 + C + (E∗ [H] − π H )ST0
= E∗ [H] − π H > 0,
ST0
was wiederum risikoloser Gewinn ist.
Nun zum Beweis von Satz 2.5, für den die Erreichbarkeit von H nicht gefordert
wird.
Beweis. Definiere zunächst A := {E∗ [H]|P∗ ∈ P, E∗ [H] < ∞}. Π(H) sei wie in
Definition 2.4 die Menge der arbitragefreien Preise π H für H, für die der Markt
26
KAPITEL 2. OPTIONEN
(X 0 , . . . , X d+1 ) arbitragefrei ist mit X d+1 wie in Formel (2.1).
Zeige: Π(H) ⊆ A.
Sei dafür π H ∈ Π(H). Es existiert also X d+1 mit X0d+1 = π H , XTd+1 = H, sodass
(X 0 , . . . , X d+1 ) arbitragefrei ist. Der FTAP besagt, dass ein äquivalentes Martingalmaß P̃∗ für X 0 , . . . , X d+1 existiert. Unter P̃∗ ist X d+1 ein P̃∗ -Martingal,
für das gilt, dass
π H = X0d+1 = Ẽ∗ [XTd+1 ] = Ẽ∗ [H].
Da P̃∗ aber auch Martingalmaß für X 0 , . . . , X d ist, ist P̃∗ ∈ P. Es folgt also
π H ∈ A und somit die erste Inklusion.
Zeige: A ⊆ Π(H).
Sei dafür c = E∗ [H], P∗ ∈ P. Es muss gezeigt werden, dass X d+1 existiert mit
X0d+1 = c, XTd+1 = H, Xtd+1 ≥ 0 und (X 0 , . . . , X d+1 ) ist arbitragefrei. Definiere
dazu Xtd+1 := E∗ [H|Ft ]. Das so definierte X d+1 ist ein P∗ -Martingal mit
X0d+1 = E∗ [H] = c, XTd+1 = H, Xtd+1 ≥ 0.
Außerdem ist (X 0 , . . . , X d , (E∗ [H|Ft ])t ) ein d + 2-dimensionales P∗ -Martingal,
da P∗ aus P gewählt war. Laut dem 1st FTAP ist dieser Markt also arbitragefrei
und somit c ∈ Π(H).
Der folgende Satz sagt etwas über die Eindeutigkeit von arbitragefreien Preisen
für H aus, wenn H erreichbar ist.
Satz 2.7. Sei H ein diskontiertes Contingent Claim.
(a) Falls H erreichbar ist, dann besteht Π(H), also die Menge der arbitragefreien Preise für H, aus einem einzigen Element V0 , wobei V der Werteprozess jeder replizierenden Strategie für H ist. Insbesondere ist Vt für alle
t = 0, . . . , T eindeutig.
(b) Umgekehrt gilt: Falls H nicht erreichbar ist, so ist Πinf (H) < Πsup (H) und
Π(H) = (Πinf (H), Πsup (H)) ⊆ R.
Da wir im Folgenden nur erreichbare Contingent Claims betrachten, wird nur
der erste Teil des Satzes bewiesen. Ein vollständiger Beweis findet sich in [10].
Beweis. Beweis von (a): Da H erreichbar ist, existiert eine replizierende Strategie ξ für H mit diskontiertem Portfoliowert V . In Satz 2.3 wurde bewiesen,
dass
Vt = E∗ [H|Ft ] ∀t = 0, . . . , T ∀P∗ ∈ P
gilt. Für erreichbares H ist dieser Werteprozess aber eindeutig für alle t, also
insbesondere auch für t = 0.
2.2. BEISPIELE FÜR CONTIGENT CLAIMS
2.2
27
Beispiele für Contigent Claims
Eine Art von Derivat bzw. Contingent Claim stellen Optionen dar. Mit einer
Option hat der Käufer das Recht, nicht aber die Pflicht, zu einem vertraglich
festgelegten Fälligkeitszeitpunkt (europäische Option) oder innerhalb eines bestimmten Zeitraumes vor dem Fälligkeitszeitpunkt (amerikanische Option) eine
bestimmte Menge an Basiswerten zu einem bei Vertragsabschluss festgelegten
Preis zu kaufen (Calloption) oder zu verkaufen (Putoption). Optionen werden
auch als bedingte Termingeschäfte bezeichnet, denn die Entscheidung, ob und
eventuell auch wann eine Option ausgeübt wird, erfolgt einseitig vom Optionsinhaber. Der Stillhalter, also der Verkäufer der Option, bleibt dabei außen vor.
Im Folgenden werden einige Beispiele für Optionen aufgeführt.
Europäische Call- und Putoption
Die europäischen Call- und Putoptionen sind zwei Standardoptionen, manchmal
auch Plain Vanilla Optionen genannt, die zum Kauf bzw. Verkauf des Basiswertes bei Fälligkeitszeitpunkt T zu einem zuvor festegelegten Ausübungspreis K,
auch Strike genannt, berechtigen. Das Contingent Claim ist im Fall eines Calls
von der Form
C call = (STi − K)+
und im Fall eines Puts von der Form
C put = (K − STi )+
wobei der Basiswert in diesem Fall das Wertpapier S i ist.
C call
STi
K
Falls zum Fälligkeitszeitpunkt gilt, dass K < STi , der Inhaber einer Calloption
also das Recht hat, S i zum geringeren Preis K zu kaufen anstatt zum Marktpreis STi , so wird er die Option ausüben. Bei gleichen Bedingungen würde der
Inhaber einer Putoption die Option verfallen lassen, da er S i zum geringeren
Preis K verkaufen würde, anstatt den höheren Marktpreis STi dafür zu bekommen. Warum ist es aber überhaupt sinnvoll, Optionen zu kaufen, anstatt den
Basiswert selber?
Für folgenden Fall ist es von Nachteil, die Option gekauft zu haben, obwohl deren Ausübung in T sinnvoll ist: Wenn der (aufgezinste) Preis für eine Calloption
28
KAPITEL 2. OPTIONEN
C put
K
STi
K
plus ihr Ausübungspreis K zusammen mehr sind, als der Wert des Basiswerts
zum Zeitpunkt T , K selbst aber weniger als STi wert ist, so zahlt man insgesamt
mehr, als wenn man den Basiswert direkt gekauft hätte. Außerdem ist klar, dass
der absolute Gewinn, falls einer vorhanden ist, bei Wertpapiergeschäften ohne
Optionen immer höher sein wird als bei Wertpapiergeschäften mit Optionen.
Wo aber die Vorteile beim Optionsgeschäft liegen, zeigt folgendes Beispiel auf.
Beispiel 2.8. Wir befinden uns im Einperiodenmarkt mit dem risikobehafteten
Wertpapier S mit S0 = 1.000 und einer Calloption auf S mit K = 1.000 und
Optionspreis C0 . Steigt der Wert von S zum Auszahlungszeitpunkt auf 1.100,
so wäre der Gewinn bei direktem Kauf von S in t = 0 und Verkauf in t = 1
genau 100, bei Kauf und Ausüben der Option lediglich 100 − C0 , wenn S für
K = 1.000 gekauft wird und gleich darauf wieder zum Marktpreis 1.100 verkauft wird. Allerdings ist das eingesetzte Kapital bei direktem Kauf 1.000 und
100
die zugehörige Kapitalrendite 1.000
= 10%, während beim Optionsgeschäft nur
0
C0 < 1.000 eingesetzt wurde und die Rendite 100−C
beträgt. Bei einem Preis
C0
von C0 = 50 hätte man beispielsweise eine Kapitalrendite von 100% und erst
bei C0 > 90, 9 wäre die Kapitalrendite kleiner als beim direkten Wertpapierkauf.
Sinkt S im Zeitpunkt t = 1 auf 800, so beträgt der Verlust bei direktem Kauf
200, während beim Optionsgeschäft lediglich“ (und niemals mehr als) C0 ver”
loren gehen, da die Calloption in diesem Fall nicht ausgeübt wird.
Ebenso kann man für die Putoption eine beispielhafte, praktische Anwendung
nennen.
Beispiel 2.9. Wieder befinden wir uns im Einperiodenmarkt. Angenommen, ein
Unternehmen erwartet in t = 1 eine Lieferung von 1.000 Rohstoffeinheiten. Es
kann sich in t = 0 eine Putoption auf den Rohstoff kaufen mit Ausübungspreis
K = 1 pro Einheit, bekommt also in t = 1 für die gesamte Rohstoffmenge garantiert 1.000. Abzüglich des Optionspreises stehen dem Unternehmen mindestens
1.000 − C0 in t = 1 durch den Rohstoffverkauf zur Verfügung, was bereits in
t = 0 sicher eingeplant werden kann (vorausgesetzt, der Rohstoff wird geliefert). Ist der Marktwert des Rohstoffes in t = 1 über dem Strike, verkauft das
Unternehmen natürlich zum größeren Preis.
2.2. BEISPIELE FÜR CONTIGENT CLAIMS
29
Asiatische Option
Die Auszahlung einer asiatischen Option hängt immer in irgendeiner Weise vom
i des Basiswertes S i ab. Sei hierfür T ⊆ {0, . . . , T } eine
Durchschnittswert Sav
Menge vorher festgelegter Zeitpunkte. Der arithmetische Durchschnittwert wird
dann gebildet durch
1 X i
i
Sava
:=
St .
|T |
t∈T
Ebenso ist es möglich, ein geometrisches Mittel für die weiteren Formeln zu
verwenden, das sich zusammensetzt als
!
i
Savg
:=
Y
Sti
1
|T |
.
t∈T
Eine Beziehung dieser beiden Varianten erkennt man, wenn man den Basiswert
S i logarithmiert. Es gilt nämlich
!
1 X
i
i
i
ln Savg
i
Savg = e
= exp
ln(St ) = eLava ,
|T |
t∈T
mit Lit := ln(Sti ). Mit der Form der Jensenschen Ungleichung
Pn
Pn
f (xi )
i=1 xi
f
≤ i=1
n
n
für eine konvexe Funktion f folgt somit, da exp konvex ist, dass
i
i
Savg
≤ Sava
.
(2.2)
i bezeichnet wird,
Mittels eines dieser Durchschnittswerte, der allgemein mit Sav
können nun verschiedene Optionen gebildet werden, beispielsweise:
• Average Price Calloption mit Strike K:
call
i
Cav
:= (Sav
− K)+
• Average Price Putoption mit Strike K:
put
i +
Cav
:= (K − Sav
)
Diese Average Price Optionen beziehen sich nun nicht nur auf den Preis des
Basiswerts zum Fälligkeitszeitpunkt, sondern berücksichtigen den Verlauf des
Basiswerts zu ausgewählten Zeitpunkten auch während der Laufzeit. Der Ausübungspreis K ist jeweils festgelegt. Angewendet werden sie vor allem bei Basiswerten mit größeren Schwankungen, um sich gegen unerwünschte Entwicklungen gegen Laufzeitende abzusichern. Weitere Formen von asiatischen Optionen
sind folgende:
30
KAPITEL 2. OPTIONEN
• Average Strike Calloption:
i +
(STi − Sav
)
• Average Strike Putoption:
i
(Sav
− STi )+ .
Hier ist der Strikepreis kein vorher festgelegter Wert, sondern ein Durchschnittwert des Basiswerts. Ein Average Strike Put kann zum Beispiel angewendet
werden, um sich gegen das Risiko abzusichern, ein Wertpapier in T zu verkaufen, das in erfolgreichen, vorangegangenen Zeiten gekauft wurde. Wegen Formel
(2.2) gilt für die Asiatischen Calloptionen (Average Price), dass sie zu Laufzeitende mit dem arithmetischen Mittel genau so viel oder mehr wert sind als
mit dem geometrischen, und für die Putoptionen (Average Price), dass sie mit
dem geometrischen Mittel genau so viel oder mehr wert sind als mit dem arithmetischen. Entsprechend unterscheiden sich natürlich auch die Preise je nach
verwendetem Mittelwert.
Barriereoption
Die Auszahlung einer Barriereoption hängt davon ab, ob der Basiswert vor
Fälligkeitszeitpunkt einen bestimmten, vorher festgelegten Level erreicht hat
oder nicht, es muss also auch, wie bei Asiatischen Optionen, der gesamte Verlauf des Basiswerts betrachtet werden. Barriereoptionen unterscheiden sich in
Knock-In und Knock-Out Optionen. Knock-In-Optionen werden aktiviert, wenn
eine bestimmte Barriere vor Fälligkeit erreicht wurde, Knock-Out-Optionen verfallen in diesem Fall. Ein einfaches Beispiel ist die Digital-Barriereoption mit
Auszahlungsprofil
(
1 wenn max0≤t≤T Sti ≥ B +
dig
C :=
0 sonst.
Sie liefert eine einheitliche Auszahlung, sobald der Basisprozess S i eine obere
Schranke B + mit B + > S0i erreicht. Andere Formen können zum Beispiel sein
• Down-and-In Putoption mit Strike K:
(
(K − STi )+ wenn min0≤t≤T Sti ≤ B − , B − < S0i
put
Cdi :=
0
sonst.
• Up-and-Out Calloption mit Strike K:
(
(STi − K)+ wenn max0≤t≤T Sti < B + , S0i < B +
call
Cuo :=
0
sonst.
Analog existieren dazu noch die Down-and-Out und die Up-and-In Optionen,
alle als Put- und Callvarianten. Eine Up-and-Out Calloption mit K = 90
und B + = 120 hat dann eine positive Auszahlung, wenn der Basiswert zur
Fälligkeit über 90 ist, in seinem Verlauf aber nie die Marke von 120 erreicht
hat. Überschreitet der Basiswert zu irgendeinem Zeitpunkt t ≤ T das vorgegebene Level B + , so ist die Auszahlung 0 unabhängig vom Endwert STi .
2.2. BEISPIELE FÜR CONTIGENT CLAIMS
31
Lookback Option
Bei einer Lookback Option kann der Basiswert zu seinem höchsten bzw. tiefsten
Wert, der während der Laufzeit der Option aufgetreten ist, gehandelt werden.
Es werden wieder die Fälle für einen Call und Put unterschieden:
• Lookback Calloption:
Call
Clb
:= STi − min Sti
0≤t≤T
• Lookback Putoption:
P ut
Clb
:= max Sti − STi .
0≤t≤T
Die Maximumsfunktion (·)+ muss hierbei nicht verwendet werden, da die angegebenen Formeln immer ≥ 0 sind. Da die Risiken bei dieser Art von Option
gering sind, die Chancen aber sehr hoch, ist auch der Preis solcher Optionen
dementsprechend hoch, da keine Arbitragemöglichkeiten auftreten dürfen.
Alle bisher aufgezählten Beispiele benötigen zwar, mit Ausnahme der Plain Vanilla Optionen, also der normalen europäischen Call- und Putoptionen, Kenntnis
über den Verlauf des Basiswerts, und nicht nur über dessen Wert am Ende der
Laufzeit, über eine Ausführung wird aber immer erst zum Fälligkeitszeitpunkt
T entschieden. Solche Optionen werden ganz allgemein als europäische Contingent Claims bezeichnet. Im Gegensatz dazu gibt es auch Optionen, bei denen
bereits zu einem früheren Zeitpunkt über eine Ausführung entschieden werden
kann, die sogenannten amerikanischen Optionen.
Amerikanische Option
Definition 2.10. Ein amerikanisches Contingent Claim ist ein auf dem filtrierten Messraum (Ω, (Ft )t=0,...,T , F) nicht-negativer, adaptierter Prozess C =
(Ct )t=0,...,T .
Für jeden Zeitpunkt t wird die Zufallsvariable Ct als Auszahlung des amerikanischen Contingent Claims interpretiert, wenn dieser in t ausgeübt wird. T spielt
dabei die Rolle des Fälligkeitszeitpunkts des Claims. Wird eine amerikanische
Calloption in t ausgeübt, beträgt die Auszahlung
Ctcall := (Sti − K)+ .
Entsprechend beträgt die Auszahlung für einen amerikanischen Put in t
Ctput := (K − Sti )+ .
Wird die amerikanische Call- bzw. Putoption in t = T ausgeübt, entspricht
die Auszahlung der der europäischen Call- bzw. Putoption. Deswegen kann
gefolgert werden, dass die amerikanische Call- bzw. Putoption mindestens so
viel wert ist wie die europäische, da bei der amerikanischen Option auch ein
höherer Gewinn für ein t < T realisiert werden kann.
32
KAPITEL 2. OPTIONEN
Bermudaoption
Die Bermudaoption ist ein Finanzinstrument zwischen europäischen und amerikanischen Optionen. Während bei europäischen Optionen die Menge der Ausübungszeitpunkte T nur aus einem Zeitpunkt, nämlich T = {T }, besteht, und
bei amerikanischen Optionen aus allen Zeitpunkten, T = {0, . . . , T }, ist bei der
Bermudaoption T eine nicht-leere Teilmenge von {0, . . . , T }. Sie kann also als
Spezialfall der amerikanischen Option angesehen werden mit Auszahlung Ct = 0
für t ∈
/ T . In diesem Sinne ist sogar die europäische Option ein Spezialfall der
amerikanischen.
2.3
2.3.1
Eigenschaften von Optionen
Vollständige Märkte
Definition 2.11. Ein arbitragefreier Markt ist vollständig, wenn jedes Contingent Claim erreichbar bzw. replizierbar ist.
Vollständige Märkte sind also solche, in denen jedes Contingent Claim einen
eindeutigen, arbitragefreien Preis hat und, falls zwei Contingent Claims denselben arbitragefreien Preis haben, diese zwei Claims gleich sind. In diskreter
Zeit erfüllen nur wenige Modelle diese Eigenschaft, so zum Beispiel das CRRModell (Binomialmodell), das im nächsten Kapitel betrachtet wird. Die folgende Charakterisierung für Vollständigkeit von Märkten wird oft als das zweite
Fundamental Theorem of Asset Pricing“ bezeichnet (2nd FTAP).
”
Satz 2.12. Ein arbitragefreies Marktmodell ist vollständig genau dann, wenn
genau ein äquivalentes Martingalmaß existiert, also P = {P∗ }. In diesem Fall
ist die Anzahl von Atomen auf (Ω, FT , P) nach oben beschränkt durch (d + 1)T .
Definition 2.13. Eine Menge A ∈ F heißt Atom auf (Ω, F, P), wenn P(A) > 0
und für jedes B ∈ F mit B ⊆ A gilt, dass entweder P(B) = 0 oder P(B) = P(A).
Für den Einperiodenmarkt lässt sich insbesondere zeigen, dass für jedes vollständige Marktmodell eine Partition von Ω in höchstens d + 1 Atome auf
(Ω, F, P) existiert.
Beweis von Satz 2.12. ⇒“: Der Markt sei vollständig, A ∈ FT . Dann ist IA >
”
0 ein Contingent Claim, welches erreichbar ist. Es gilt
P∗ (A) = EP∗ [IA ] = EQ∗ [IA ] = Q∗ (A),
da der Preis bzw. der Wert der replizierenden Strategie für erreichbare Claims
eindeutig ist. Obige Aussage gilt für alle A ∈ FT sowie für alle P∗ , Q∗ ∈ P, es
ist also P∗ = Q∗ .
⇐“: Ist P = {P∗ }, so gilt für die arbitragefreien Preise eines Contingent Claims
”
Π(H), dass |Π(H)| = 1, nämlich Π(H) = {E∗ [H]}. Der Preis für H ist also eindeutig, somit ist H erreichbar.
2.3. EIGENSCHAFTEN VON OPTIONEN
33
Die zweite Aussage des Satzes wird mit Induktion über T bewiesen.
Beginne mit T = 1 (Einperiodenmarkt): Definiere V := {ξ · S1 |ξ ∈ Rd+1 } als
Menge aller erreichbaren Auszahlungen. Es sei V ∈ V mit V = ξ · S1 . Dann ist
V
S1
∗ ξ · S1
∗
∗
=E
=E
π(V ) = ξ · S0 = ξ · E
1+r
1+r
1+r
⇒ π(V ) · (1 + r) = E∗ [V ] < ∞ ⇒ V ∈ L1 (Ω, F, P∗ ) ∀P∗ ∈ P.
⇒ V ⊆ L1 (Ω, F, P∗ ) ⊆ L0 (Ω, F, P∗ ) = L0 (Ω, F, P).
Für vollständige Märkte gilt außerdem, dass L0 (Ω, F, P) ⊆ V ⇒ V = L1 (Ω, F, P).
Und da dim V ≤ d + 1 ist auch
dim L0 (Ω, F, P) ≤ d + 1.
(2.3)
Für Lp -Räume gilt folgende Aussage:
Satz 2.14.
dim Lp (Ω, F, P) = sup{n ∈ N | ∃ Partition A1 , . . . , An von Ω
mit Ai ∈ F und P(Ai ) > 0}.
Desweiteren ist n := dim Lp (Ω, F, P) < ∞ genau dann, wenn eine Partition von
Ω in n Atome von (Ω, F, P) existiert.
S
(Ai )i ist eine Partition von Ω, falls Ω = ni=1 Ai und Ai ∩ Aj = ∅ ∀i, j ∈
{1, . . . , n} für i 6= j.
Beweis von Satz 2.14. Es sei Lp := Lp (Ω, F, P) und N := {n ∈ N | ∃ Partition
A1 , . . . , An von Ω mit Ai ∈ F und P(Ai ) > 0}.
Betrachte eine Partition A1 , . . . , An von Ω mit Ai ∈ F und P(Ai ) > 0. Die zugehörigen Indikatorfunktionen IA1 , . . . , IAn können als linear unabhängige Vektoren in Lp angesehen werden mit
p
i
E[IA
i ] = E[IAi ] = P(A ) < ∞.
Somit ist dim Lp ≥ n ∀p ∈ [0, ∞], also
dim Lp (Ω, F, P) ≥ sup N ∀p.
Ist sup N = ∞, so ist wegen dim Lp ≥ sup N auch dim Lp = ∞ und somit
dim Lp = sup N . Zu betrachten bleibt also der Fall sup N < ∞:
Es sei sup N = n0 < ∞ und für die zugehörige Partition A1 , . . . , An0 von Ω
mit Ai ∈ F und P(Ai ) > 0 gilt, dass Ai ∀i = 1, . . . , n0 ein Atom von Ω ist,
denn: Angenommen, es existierte B ∈ F mit o.B.d.A. B ⊆ An0 . Falls B > 0
und P(B) 6= P(An0 ), so wäre A1 , . . . , An0 −1 , An0 \ B, B eine neue Partition von
Ω und somit sup N > n0 , was ein Widerspruch zur Definition von n0 ist.
Für diese Partition gilt, dass jede Zufallsvariable Z ∈ Lp P-fast sicher konstant
auf jedem Ai ist. Angenommen, dies wäre nicht so und es gäbe zwei Werte z1
und z2 , die Z auf Ai annimmt. Definiere dann
B1 := {ω ∈ Ai |Z(ω) = z1 } ⊆ Ai , B1 ∈ F
34
KAPITEL 2. OPTIONEN
und
B2 := {ω ∈ Ai |Z(ω) = z2 } ⊆ Ai , B2 ∈ F.
Da Ai ein Atom ist, ist entweder P(B1 ) = P(Ai ) und P(B2 ) = 0 oder P(B1 ) = 0
und P(B2 ) = P(Ai ). Es ist also Z(ω) = z1 oder Z(ω) = z2 für fast alle ω ∈ Ai .
Es sei zi der Wert, den Z auf Ai annimmt. Z lässt sich somit schreiben als
Z=
n0
X
zi IAi ∀Z ∈ Lp .
i=1
⇒ dim Lp ≤ n0 ∀p.
Insgesamt ergibt sich also die Aussage, dass dim Lp = sup N ∀p ∈ [0, ∞].
Satz 2.14 zusammen mit (2.3) führt also zu der Aussage, dass auf Ω eine Partition aus höchstens d+1 Atomen auf (Ω, F, P) existiert, was den Induktionsanfang
darstellt. Nehme nun an, die Aussage gelte für T − 1. Da nach Annahme der
Markt vollständig ist, kann jedes H ∈ L∞ (Ω, FT , P) geschrieben werden als
H = VT −1 + ξT∗ (XT∗ − XT∗ −1 ) = ξT · XT .
VT −1 sowie ξT∗ sind FT −1 -messbar und somit konstant auf jedem Atom A auf
(Ω, FT −1 , P) (siehe Beweis zu Satz 2.14). H ist auf Atom A also eine Linearkombination von XT0 , . . . , XTd , was bedeutet, dass
dim L∞ (Ω, FT , P(·|A)) ≤ d + 1,
wobei P(·|A) folgendermaßen definiert ist: Für alle B ∈ FT und P(A) > 0 ist
P(B|A) = P(B∩A)
P(A) .
Jedes Atom von (Ω, FT −1 , P) enthält also maximal d + 1 Atome von (Ω, FT , P).
Nach der Induktionsvoraussetzung ist die Anzahl der Atome auf (Ω, FT −1 , P) ≤
(d + 1)T −1 , was dazu führt, dass
Anzahl Atome von (Ω, FT , P) ≤ (d + 1)T −1 · (d + 1) = (d + 1)T ,
was den Satz vollständig beweist.
2.3.2
Zusammenhang und Abschätzungen von europäischen und
amerikanischen Call- und Putoptionen
Die Formel für die europäische Calloption aus Abschnitt 2.2 bzw. ihr Wert zu
Laufzeitende ist
C call = max{STi − K, 0} =: (STi − K)+ ,
der für die europäische Putoption
C put = max{K − STi , 0} =: (K − STi )+ .
Diese beiden Optionen stehen in engem Zusammenhang, wie der folgende Satz
zeigt. Gültigkeit hat der Satz allerdings nur in einem Marktmodell ohne Transaktionskosten, ohne Dividenden, sowie unter der Voraussetzung, dass die Laufzeit und der Basiswert für die Call- und die Putoption gleich sind.
2.3. EIGENSCHAFTEN VON OPTIONEN
35
Satz 2.15 (Put-Call-Parität). Es sei V call (t) = E∗ [H call |Ft ], wobei H call =
C call
die diskontierte Calloption auf den Basiswert S i ist, analog sei V put (t)
S0
T
definiert. Für alle t ∈ [0, T ] gilt
V call (t) − V put (t) = Xti −
K
.
ST0
Mit dieser Gleichung ist es möglich, den arbitragefreien Preis einer Putoption,
wenn der arbitragefreie Preis einer Calloption mit selber Laufzeit und selbem
Basiswert bereits bekannt ist, einfach zu berechnen, und umgekehrt.
Beweis. Für den Beweis betrachten wir ein Portfolio V , das sich aus dem Basiswert S i , dem Werteprozess für die Putoption V put sowie dem für die Calloption
V call folgendermaßen zusammensetzt:
Vt = Xti + V put (t) − V call (t).
Der Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt T beträgt
VT = XTi + V put (T ) − V call (T ) = XTi +
= XTi +
=
C put C call
− 0
ST0
ST
(K − STi )+ (STi − K)+
1
−
= 0 (STi + (K − STi )+ − (STi − K)+ )
0
0
ST
ST
ST
K
ST0
Der Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t beträgt ebenfalls
K
∗
∗ K
Vt = E [VT |Ft ] = E
|Ft = 0 ,
0
ST
ST
da ST0 ein bekannter Wert ist. Die Put-Call-Parität ist somit gezeigt.
Ohne den genauen, arbitragefreien Preis für europäische Call- und Putoptionen zu kennen, lässt sich dieser aber jeweils auf ein Intervall abhängig vom
(diskontierten) Basiswert und dem Ausübungspreis einschränken.
Satz 2.16. Für alle t ∈ [0, T ] gelten die Abschätzungen
(1) (Xti −
K +
)
ST0
≤ V call (t) ≤ Xti
(2) ( SK0 − Xti )+ ≤ V put (t) ≤
T
K
ST0
K +
)
ST0
K
.
ST0
Beweis. Beweis von (1), 1. Ungleichung: (Xti −
Zu zeigen ist V call (t) ≥ 0 und V call (t) ≥ Xti −
Da V call (T ) =
(STi −K)+
ST0
≤ V call (t).
≥ 0 und V call (t) = E∗ [V (T )|Ft ] ist wegen den Ei-
genschaften des (bedingten) Erwartungswerts auch V call (t) ≥ 0. Ebenso gilt,
dass V (T ) = (XTi − SK0 )+ ≥ XTi − SK0 , was wiederum mit den Eigenschaften
T
T
36
KAPITEL 2. OPTIONEN
des (bedingten) Erwartungswerts und P∗ als Martingalmaß dazu führt, dass
V call (t) = E∗ [V (T )|Ft ] ≥ E∗ [XTi − SK0 |Ft ] = E∗ [XTi |Ft ] − SK0 = Xti − SK0 .
T
T
T
Beweis von (1), 2. Ungleichung: V call (t) ≤ Xti .
Es ist (XTi − SK0 )+ ≤ (XTi )+ = XTi , da Sti ≥ 0 ∀t, i. Wie oben gilt dann, da X i
T
ein P∗ -Martingal ist, dass V call (t) = E[V call (T )|Ft ] ≤ E[XTi |Ft ] = Xti , und (1)
ist gezeigt.
Beweis von (2).
Wegen der Put-Call-Parität (Satz 2.15), ist V call (t) = Xti −
K
ST0
+ V put (t). Ein-
gesetzt in die Ungleichungskette (1) ergibt sich
⇔
Falls Xti ≥
Falls Xti ≤
K
ST0
K
ST0
Xti
K
− 0
ST
+
Xti
K
− 0
ST
+
≤ Xti −
K
+ V put (t) ≤ Xti
ST0
− Xti +
K
K
≤ V put (t) ≤ Xti − Xti + 0
0
ST
ST
ist, lautet die linke Seite der Ungleichungskette 0 ≤ V put (t).
K
− Xti ≤ V put (t).
ST0
( SK0 − Xti )+ ≤ V put (t)
T
ist, lautet sie
Zusammengefasst ist dies
und (2) ist gezeigt.
Wie schon in Abschnitt 2.2 erwähnt, gilt beim Vergleich von europäischen und
amerikanischen Call- und Putoptionen, dass die Auszahlungen der amerikanischen Optionen mindestens so hoch sind wie die der europäischen, da die
europäischen Optionen als Spezialfall der amerikanischen angesehen werden
können und ihre Auszahlungen somit über amerikanische Optionen realisiert
werden können, wenn diese nicht vorzeitig, sondern in t = T ausgeübt werden.
Mit den Schreibweisen Vecall und Veput für die diskontierten Werteprozesse der
europäischen Optionen und Vacall und Vaput für die der amerikanischen Optionen
gilt also
Vacall (t) ≥ Vecall (t) und Vaput (t) ≥ Veput (t).
Der nächste Satz zeigt, dass es sich bei amerikanischen Calloptionen nicht lohnt,
vorzeitig auszuüben, und somit der Ertrag gleich der einer europäischen Calloption ist.
Satz 2.17. Der (diskontierte) Gewinn einer amerikanischen Calloption mit Basiswert S i ist durch vorzeitige Ausübung zum Zeitpunkt t < T nie größer als
der Optionswert zum entsprechenden Zeitpunkt, also
K +
i
Xt − 0
≤ Vacall (t).
St
Falls Xti >
K
,
St0
ist sogar (Xti −
K +
)
St0
< Vacall (t). Es folgt also
Vacall (t) = Vecall (t).
2.3. EIGENSCHAFTEN VON OPTIONEN
37
Beweis. Wird eine amerikanische Calloptionen in t < T ausgeübt, erhält man
den diskontierten Betrag (Xti − SK0 )+ . Für den Bond gilt, dass ST0 > St0 für t < T ,
weswegen
K
ST0
t
K
und somit (Xti − SK0 )+ ≥ (Xti − SK0 )+ , wobei die Ungleichung
St0
t
T
Xti > SK0 . Mit der Abschätzung für europäische Calloptionen und
<
strikt ist, falls
t
der Überlegung über den Zusammenhang von europäischen und amerikanischen
Optionen folgt
K +
K +
i
call
call
i
≥ Xt − 0
,
Va (t) ≥ Ve (t) ≥ Xt − 0
ST
St
bzw. eine Striktheit des letzten Ungleichheitszeichens unter oben genannter
Bedingung. Die amerikanische Calloption ist also immer mindestens so viel
wert, wie der Ertrag einer Ausübung. Eine Ausübung ist aber nur sinnvoll,
falls Xti > SK0 , was dazu führt, dass der Wert der Calloption echt größer ist als
t
der Ertrag einer Ausübung zu den Zeitpunkten t < T , wenn dieser positiv ist.
Somit ist eine Ausübung, wenn überhaupt, nur in t = T sinnvoll, was genau
dem Ausübungsprofil einer europäischen Calloption entspricht.
Für die amerikanische Putoption lässt sich zeigen, dass eine vorzeitige Ausübung
durchaus sinnvoll sein kann, was in dieser Arbeit aber nicht genauer ausgeführt
wird. Erläuterungen zu den optimalen Ausübungszeitpunkten von amerikanischen Putoptionen finden sich beispielsweise in [10], Kapitel 6.
Bemerkung 2.18. Die bisherigen Aussagen über die Ausübung von amerikanischen Optionen gelten nur unter der Marktannahme, dass keine Dividenden gezahlt werden. Werden Dividendenausschüttungen mit berücksichtigt, so gelten
die bisherigen Aussagen genau andersherum: Für den Call kann eine vorzeitige
Ausübung sinnvoll sein, während für den Put das Halten der Option bis t = T
optimal ist.
Ohne zusätzliche Definitionen lässt sich folgende Abwandlung der Put-CallParität für amerikanische Optionen sowie eine Abschätzung des amerikanischen
Puts zeigen. Die Abschätzungen des amerikanischen Calls entsprechen denen
des europäischen Calls wegen obiger Gleichheit.
Satz 2.19. Für alle t ∈ [0, T ] gilt folgender Zusammenhang zwischen dem
amerikanischen Call und Put
(1)
K
ST0
≤ Xti + Vaput (t) − Vacall (t) ≤
K
St0
sowie folgende Abschätzung der Putoption
(2) ( SK0 − Xti )+ ≤ Vaput (t) ≤
T
K
.
St0
Beweis. Beweis von (1), 1. Ungleichung:
Wegen Vacall (t) = Vecall (t) und Vaput (t) ≥
zeigenden Ungleichung
K
≤ Xti +
ST0
Veput (t) gilt
Vaput (t) − Vecall (t)
für die rechte Seite der zu
Xti + Vaput (t) − Vacall (t) ≥ Xti + Veput (t) − Vecall (t).
38
KAPITEL 2. OPTIONEN
Dies ist aber mit der Put-Call-Parität für europäische Optionen =
folgt, dass
K
Xti + Vaput (t) − Vacall (t) ≥ 0 .
ST
K
ST0
, woraus
Beweis von (1), 2. Ungleichung: Xti + Vaput (t) − Vacall (t) ≤ SK0
t
Wegen der Abschätzung des europäischen Calls und der Gleichheit der Werteprozesse von europäischem und amerikanischem Call gilt (Xti − SK0 )+ ≤ Vacall (t).
T
Es ist also
K +
i
put
call
i
put
i
.
Xt + Va (t) − Va (t) ≤ Xt + Va (t) − Xt − 0
ST
Bezeichne nun mit s ∈ [t, T ] den Ausübungszeitpunkt der Putoption und unterscheide zwei Fälle:
1. Fall: SK0 ≥ Xsi
s
Es ist dann
K +
K +
K
i
put
i
i
i
i
Xs + Va (s) − Xs − 0
= Xs + 0 − Xs − Xs − 0
Ss
ST
ST
+
K
K
= 0 − Xsi − 0
Ss
ST
K
K +
i
≤ 0 − Xs − 0
Ss
Ss
K
= 0
Ss
2. Fall:
K
Ss0
≤ Xsi
Xsi
+
Vaput (s)
−
Xsi
K
− 0
ST
Es ist also Xsi + Vaput (s) − Vacall (s) ≤
neutralen Maßes gilt
+
K
Ss0
K +
i
=
+ 0 − Xs − 0
ST
+
K
≤ Xsi − Xsi − 0
Ss
K
= 0
Ss
Xsi
und wegen der Eigenschaft des risiko-
Xti + Vaput (t) − Vacall (t) = E∗ [Xsi + Vaput (s) − Vacall (s)|Ft ]
∗ K
≤E
|Ft
Ss0
K
= 0
Ss
K
≤ 0 , da t ≤ s ⇒ St0 ≤ Ss0 .
St
2.3. EIGENSCHAFTEN VON OPTIONEN
39
(1) ist gezeigt, zeige nun (2): ( SK0 − Xti )+ ≤ Vaput (t) ≤
T
K
.
St0
Wegen (1) ist
K
K
− Xti + Vacall (t) ≤ Vaput (t) ≤ 0 − Xti + Vacall (t).
0
ST
St
Betrachte die Ungleichungen wieder getrennt. Wegen Vacall (t) = Vecall (t) und
der Abschätzung des europäischen Calls Vecall (t) ≤ Xti gilt für die rechte Ungleichung
Vaput (t) ≤
K
K
K
− Xsi + Vecall (t) ≤ 0 − Xti + Xti = 0 .
0
St
St
St
Nutze auch in der linken Ungleichung die Gleichheit der Calloptionen sowie die
Abschätzung der europäischen Calloption (Xti − SK0 )+ ≤ Vecall (t) und erhalte
T
Vaput (t)
K
K +
K
i
call
i
i
.
≥ 0 − Xt + Ve (t) ≥ 0 − Xt + Xt − 0
ST
ST
ST
Unterscheide die beiden Fälle Xti −
1. Fall: Xti −
K
ST0
K
ST0
≥ 0 und Xti −
K
ST0
≤ 0.
≥ 0:
Vaput (t)
2. Fall: Xti −
K
ST0
K
K +
i
i
≥ 0 − Xt + Xt − 0
= 0.
ST
ST
≤ 0:
Vaput (t)
K
K +
K
i
i
≥ 0 − Xt + Xt − 0
= 0 − Xti
ST
ST
ST
Werden beide Fälle zusammengefasst ergibt sich
+
K
put
i
Va (t) ≥
− Xt
ST0
und die zweite Ungleichungskette ist bewiesen.
40
KAPITEL 2. OPTIONEN
Kapitel 3
Der rekombinierbare
Binomialbaum
3.1
Einführung des CRR-Modells
Das von Cox, Ross und Rubinstein entwickelte (rekombinierbare) Binomialmodell (kurz auch CRR-Modell genannt) stellt eine einfache Möglichkeit dar,
Anlagen und darauf aufbauend Optionen zu betrachten, und erfüllt zudem die
Bedingungen des Marktmodells aus 1.1. Es beinhaltet den risikolosen Bond
St0 := (1 + r)t , t = 0, . . . , T,
wobei r > −1 sei, sowie eine risikobehaftete Anlage
S 1 = S,
deren Ertrag in der t-ten Periode gegeben ist durch
Rt :=
St − St−1
.
St−1
Entsprechend dieser Umbenennung des risikobehafteten Wertpapiers werde die
Handelsstrategie für (S 0 , S) im weiteren Verlauf mit (ξ 0 , ξ) bezeichnet.
Der Ertrag Rt kann genau zwei mögliche Werte u, d ∈ R annehmen, wobei
−1 < d < u gilt. St entwickelt sich also aus St−1 , indem der Wert der Anlage
im Vergleich zum Bond entweder nach oben springt mit St = St−1 (1 + u) oder
nach unten mit St = St−1 (1 + d).
41
42
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
S0 (1 + u)2
S0 (1 + u)2
S0 (1 + u)
S0 (1 + u)
S0 (1 + u)(1 + d)
S0
S0
S0 (1 + u)(1 + d)
S0 (1 + d)(1 + u)
S0 (1 + d)
S0 (1 + d)
2
S0 (1 + d)
t
S0 (1 + d)2
t
0
1
2
0
1
2
Wie man sieht, wird bereits in t = 2 ein Wert doppelt erreicht, weswegen man
die Knoten des Baumes in diesem Punkt zusammenlegt und dann von einem
rekombinierbaren Binomialbaum spricht. Zum Zeitpunkt t hat der rekombinierbare Binomialbaum t + 1 verschiedene Werte.
In diesem Modell ist es möglich, explizite Formeln für arbitragefreie Preise und
replizierende Strategien von verschiedenen Contingent Claims anzugeben. Der
Ergebnisraum Ω ist von folgender Gestalt:
Ω := {−1, +1}T = {ω = (y1 , . . . , yT ) | yt ∈ {−1, +1}}.
Für ω = (y1 , . . . , yT ) definiere die Projektion auf die t-te Koordinate durch
Yt (ω) := yt .
Für den Ertrag R gilt dann
1 − Yt (ω)
1 + Yt (ω)
Rt (ω) := d ·
+u·
=
2
2
(
d falls Yt (ω) = −1
u falls Yt (ω) = +1
Deswegen kann St geschrieben werden als
St := S0
t
Y
(1 + Rk ),
k=1
wobei der Startwert S0 > 0 eine gegebene Konstante ist. Das diskontierte Wertpapier X entwickelt sich in der Form
t
Y 1 + Rk
St
Xt = 0 = S0
.
1+r
St
k=1
Diese Art von Prozess wird auch multiplikativer Randomwalk genannt. Als
Filtration verwenden wir die durch das Wertpapier S induzierte σ-Algebra:
Ft := σ(S0 , . . . , St ) = σ(X0 , . . . , Xt ), t = 0, . . . , T
3.1. EINFÜHRUNG DES CRR-MODELLS
43
Es gilt, dass F0 = {∅, Ω} und der Ereignisraum F = FT = 2Ω ist die Potenzmenge von Ω. Außerdem ist für t = 1, . . . , T
Ft = σ(Y1 , . . . , Yt ) = σ(R1 , . . . , Rt ).
Das Wahrscheinlichkeitsmaß P sei ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß, für
das gelte
P({ω}) > 0 für alle ω ∈ Ω,
(3.1)
das heißt, jeder Pfad durch den Baum tritt mit positiver Wahrscheinlichkeit
auf. Der folgende Satz charakterisiert die Parameterwerte u, d und r, für die
das eben aufgestellte Binomialmodell arbitragefrei ist.
Satz 3.1. Das CRR-Modell ist arbitragefrei genau dann, wenn d < r < u
ist, die risikobehaftete Anlage also die Möglichkeiten hat, sowohl stärker als
der risikolose Bond zu steigen, als auch unter den Wert des Bonds zu fallen.
In diesem Fall ist das CRR-Modell vollständig und es existiert ein eindeutiges
Martingalmaß P∗ , für das gilt, dass die Zufallsvariablen R1 , . . . , RT unabhängig
sind und folgender Verteilung genügen:
P∗ (Rt = u) = p∗ :=
r−d
, t = 1, . . . , T.
u−d
Beweis. Ein Maß Q auf (Ω, F) ist genau dann ein Martingalmaß, wenn der
diskontierte Preisprozess (Xt )t ein Martingal unter diesem Maß Q ist, d. h.
1 + Rt+1
1 + Rt+1
Xt = EQ [Xt+1 |Ft ] = EQ Xt
|Ft = Xt EQ
|Ft Q-fast sicher
1+r
1+r
für alle t ≤ T − 1. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu
1 + Rt+1
Xt = Xt EQ
|Ft
1+r
1 + Rt+1
⇔ 1 = EQ
|Ft
1+r
⇔ 1 + r = EQ [1 + Rt+1 |Ft ]
⇔ 1 + r = 1 + EQ [Rt+1 |Ft ]
⇔ r = EQ [Rt+1 |Ft ].
Es ist
EQ [Rt+1 |Ft ] = u · Q(Rt+1 = u|Ft ) + d · Q(Rt+1 = d|Ft )
= u · Q(Rt+1 = u|Ft ) + d · (1 − Q(Rt+1 = u|Ft )),
was mit Q(Rt+1 = u|Ft ) = p∗ folgende Bedingung impliziert:
r = u · p∗ + d · (1 − p∗ ) ⇔ p∗ =
r−d
für Q-fast alle ω ∈ Ω.
u−d
Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn die Zufallsvariablen R1 , . . . , RT
unabhängig und identisch verteilt unter Q sind mit der unbedingten Verteilung
Q(Rt = u) = p∗ .
44
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Insbesondere existiert damit höchstens ein Martingalmaß für X.
Für die Arbitragefreiheit des Marktmodells muss gelten, dass ein äquivalentes
Martingalmaß P∗ existiert. Aus der Bedingung P∗ ∼ P folgt
p∗ = P∗ (Rt = u) ∈ (0, 1),
dass also positive Wahrscheinlichkeiten für einen Sprung nach oben und unten
existieren, was genau dann gilt, falls d < r < u.
Für die umgekehrte Richtung gilt, dass, wenn d < r < u, wir ein Maß P∗ ∼ P
auf (Ω, F) definieren können durch
P∗ ({ω}) := (p∗ )k · (1 − p∗ )T −k > 0,
r−d
wobei k die Anzahl der +1 in ω = (y1 , . . . , yT ) angibt und p∗ := u−d
. Unter
∗
diesem so definierten P sind Y1 , . . . , YT , also auch R1 , . . . , RT , unabhängige
Zufallsvariablen mit unbedingter Verteilung
P∗ (Yt (ω) = yt = +1) = P∗ (Rt = u) = P∗ (Rt = u|Ft−1 ) = p∗ .
P∗ ist ein äquivalentes Martingalmaß, denn für dieses Maß gilt
∗
∗ 1 + Rt+1
E [Xt+1 |Ft ] = Xt E
|Ft
1+r
Xt
(1 + (u · p∗ + d · (1 − p∗ )))
=
1+r
Xt
=
(1 + r) = Xt .
1+r
Im Folgenden werden stets arbitragefreie CRR-Modelle betrachtet, deren eindeutiges, äquivalentes Martingalmaß mit P∗ bezeichnet wird. Es sei angemerkt,
dass dieses eindeutige Martingalmaß vollkommen unabhängig von der Wahl des
Wahrscheinlichkeitsmaßes P zu Anfang ist, es muss lediglich P ∼ P∗ gelten und
P muss Bedingung 3.1 erfüllen. Für die Bewertung von Contingent Claims spielt
dieses P also ebenfalls keine Rolle.
3.2
Optionsbewertung und Hedging im Binomialmodell
C sei ein beliebiges Contingent Claim, dessen diskontierter Wert H =
schrieben werden kann als
C
ST0
ge-
H = h(S0 , . . . , ST ) ≥ 0
für eine geeignete Funktion h. Für einen europäischen Call ist h beispielsweise
+
gegeben durch h : (S0 , . . . , ST ) 7→ (ST S−K)
, also H = h(ST ).
0
T
3.2. OPTIONSBEWERTUNG UND HEDGING IM BINOMIALMODELL 45
Satz 3.2. Der Werteprozess
Vt = E∗ [H|Ft ], t = 0, . . . , T
einer replizierenden Strategie für H = h(S0 , . . . , ST ) ist von der Form
Vt = vt (S0 , . . . , St ),
bzw.
Vt (ω) = vt (S0 , S1 (ω), . . . , St (ω)),
wobei die Funktion vt gegeben ist durch
S1
ST −t
∗
vt (x0 , . . . , xt ) = E h x0 , . . . , xt , xt , . . . , xt
.
S0
S0
Beweis. Es sei Vt der (diskontierte) Portfoliowert einer replizierenden Strategie
für H, also Vt = E∗ [H|Ft ]. Mit H = h(S0 , . . . , ST ) ist
Vt = E∗ [h(S0 , . . . , ST )|Ft ]
= E∗ [h(S0 , . . . , St , St+1 , St+2 , . . . , ST )|Ft ]
= E∗ [h(S0 , . . . , St ,
St (1 + Rt+1 ), St (1 + Rt+1 )(1 + Rt+2 ), . . . , St (1 + Rt+1 ) · · · (1 + RT ))|Ft ]
St+1
St+2
ST
∗
= E h S0 , . . . , St , St
, St
, . . . , St
|Ft .
St
St
St
Da jeder Quotient SSt+s
unabhängig von Ft ist, hat er wegen der Unabhängigkeit
t
und identischen Verteilung der Rk , unter P∗ die gleiche Verteilung wie
s
Y
Ss
=
(1 + Rk ), s = 1, . . . , T − t.
S0
k=1
Für bedingte Erwartungswerte gilt Folgendes:
Ist E ⊆ F, X unabhängig von E und Y E-messbar. Dann ist mit messbarem
f ≥0
E[f (X, Y )|E] = E[f (X, y)]|y=Y .
Identifizieren wir also E = Ft , X = SSt+s
, s = 1 . . . , T − t, Y = Sl , l = 0, . . . , t,
t
so erhalten wir
St+1
St+2
ST
, xt
, . . . , xt
|x0 =S0 ,...,xt =St
Vt = E∗ h x0 , . . . , xt , xt
St
St
St
S1
S2
ST −t
∗
= E h x0 , . . . , xt , xt , xt , . . . , xt
|x0 =S0 ,...,xt =St .
S0
S0
S0
Da V die Rekursion
VT := H und Vt = E∗ [Vt+1 |Ft ], t = T − 1, . . . , 0
46
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
erfüllt, kann auch für vt eine rekursive Formel angegeben werden, nämlich
vT (x0 , . . . , xT ) = h(x0 , . . . , xT )
vt (x0 , . . . , xt ) = p∗ · vt+1 (x0 , . . . , xt , xt (1 + u))
+ (1 − p∗ ) · vt+1 (x0 , . . . , xt , xt (1 + d)),
denn mit der Turmeigenschaft für bedingte Erwartungswerte gilt
vt (x0 , . . . , xt )
= E∗ [h(x0 , . . . , xt , xt SS01 , xt SS02 , . . . , xt
ST −t
S0 )]
ST −t−1
S0 )]
S
E∗ [E∗ [h(x0 , . . . , xt , xt (1+Rt+1 ), xt (1+Rt+1 ) SS10 , . . . , xt (1+Rt+1 ) T S−t−1
)]|Ft ]
0
E∗ [vt+1 (x0 , . . . , xt , xt (1 + Rt+1 ))|Ft ]
p∗ · vt+1 (x0 , . . . , xt , xt (1 + u)) + (1 − p∗ ) · vt+1 (x0 , . . . , xt , xt (1 + d)).
= E∗ [h(x0 , . . . , xt , xt (1 + Rt+1 ), xt (1 + Rt+1 ) SS10 , . . . , xt (1 + Rt+1 )
=
=
=
Als nächstes soll eine explizite Formel für die Hedgingstrategie (ξ 0 , ξ) des diskontierten Claims H = h(S0 , . . . , ST ) angegeben werden.
Satz 3.3. Die Hedgingstrategie (ξ 0 , ξ) für H ist gegeben durch
ξt (ω) = (1 + r)t
v (S , . . . , S (ω), S (ω)(1 + u))
t 0
t−1
t−1
St−1 (ω)(u − d)
vt (S0 , . . . , St−1 (ω), St−1 (ω)(1 + d)) −
.
St−1 (ω)(u − d)
Beweis. Ist (ξ 0 , ξ) eine replizierende Strategie für H, so muss für jedes ξt und
ω = (y1 , . . . , yT ) gelten
ξt (ω)(Xt (ω) − Xt−1 (ω)) = Vt (ω) − Vt−1 (ω).
Hierbei hängen die Zufallsvariablen ξt , Xt−1 und Vt−1 nur von den ersten t − 1
Komponenten von ω ab. Für festes t definiere ω + und ω − so, dass an der t-ten
Stelle von ω bekannt ist, welchen Wert yt annimmt, also
ω ± := (y1 , . . . , yt−1 , ±1, yt+1 , . . . , yT ).
Setzt man dieses ω + und ω − getrennt in obige Formel ein und beachtet, in
welchen Zufallsvariablen die t-te Stelle von ω eine Rolle spielt, so erhält man
die beiden Gleichungen
1+u
− Xt−1 (ω)) = Vt (ω + ) − Vt−1 (ω),
1+r
1+d
− Xt−1 (ω)) = Vt (ω − ) − Vt−1 (ω).
ξt (ω)(Xt−1 (ω)
1+r
ξt (ω)(Xt−1 (ω)
3.3. BEISPIEL ANHAND DES EUROPÄISCHEN CALLS
47
Die zweite Gleichung von der ersten abgezogen führt dann zu
1+u
1+d
= Vt (ω + ) − Vt (ω − )
ξt (ω) Xt−1 (ω)
− Xt−1 (ω)
1+r
1+r
Xt−1 (ω)
⇔ ξt (ω)
(u − d) = Vt (ω + ) − Vt (ω − )
1+r
Vt (ω + )
Vt (ω − )
⇔ ξt (ω) = (1 + r)
−
Xt−1 (ω)(u − d) Xt−1 (ω)(u − d)
v (S , . . . , S (ω), S (ω)(1 + u))
t 0
t−1
t−1
⇔ ξt (ω) = (1 + r)
Xt−1 (ω)(u − d)
vt (S0 , . . . , St−1 (ω), St−1 (ω)(1 + d)) −
Xt−1 (ω)(u − d)
v (S , . . . , S (ω), S (ω)(1 + u))
t 0
t−1
t−1
⇔ ξt (ω) = (1 + r)t
St−1 (ω)(u − d)
vt (S0 , . . . , St−1 (ω), St−1 (ω)(1 + d)) −
.
St−1 (ω)(u − d)
Oft wird eine abkürzende Schreibweise
ξt (ω) = ∆t (S0 , S1 (ω), . . . , St−1 (ω))
mit
∆t (x0 , . . . , xt−1 )
vt (x0 , . . . , xt−1 , xt−1 (1 + u)) − vt (x0 , . . . , xt−1 , xt−1 (1 + d))
:= (1 + r)t
xt−1 (u − d)
verwendet. Hierbei kann ∆t als diskrete Ableitung“ der Funktion vt bezüglich
”
der möglichen Änderungen des Wertpapiers angesehen werden. Eine solche Hedgingstrategie, die auf der Ableitung des Werteprozesses basiert, wird auch DeltaHedge genannt. Eine stetige Version hierfür findet sich in der Black-ScholesTheorie, siehe dazu im Anhang, Formeln A.3 bzw. A.4.
3.3
Beispiel anhand des europäischen Calls
Bevor die Bewertungsformel und eine Hedgingstrategie für den europäischen
Call angegeben werden, kann Satz 3.2 für einen Spezialfall vereinfacht werden.
Satz 3.4. Falls H = h(ST ) nur vom letzten Wert von S abhängt, so hängt Vt
auch nur vom aktuellen Wert St des Wertpapiers ab:
Vt (ω) = vt (St (ω)).
Desweiteren vereinfacht sich die Formel für vt zu einem Erwartungswert der
Binomialverteilung mit Parameter p∗
T −t T − t
X
vt (xt ) =
h xt (1 + d)T −t−k (1 + u)k
(p∗ )k (1 − p∗ )T −t−k .
k
k=0
48
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Beweis. Falls H = h(ST ) = VT , dann ist
Vt = E∗ [VT |Ft ] = E∗ [h (ST ) |Ft ]
ST −t
ST
∗
∗
|Ft = E h xt
|xt =St = vt (St ).
= E h St
St
S0
Mit der rekursiven Formel für vt ergibt sich
vt (St ) = p∗ vt+1 (St (1 + u)) + (1 − p∗ )vt+1 (St (1 + d))
= p∗ p∗ vt+2 (St (1 + u)(1 + u))
+ (1 − p∗ )vt+2 (St (1 + d)(1 + u))
+ (1 − p∗ ) p∗ vt+2 (St (1 + d)(1 + u))
+ (1 − p∗ )vt+2 (St (1 + d)(1 + d))
= (p∗ )T −t vt+(T −t) (St (1 + u)T −t )
+ (T − t)(p∗ )T −t−1 (1 − p∗ )vt+(T −t) (St (1 + u)T −t−1 (1 + d))
+ ...
+ (T − t)p∗ (1 − p∗ )T −t−t vt−(T −t) (St (1 + u)(1 + d)T −t−1 )
+ (1 − p∗ )T −t vt−(T −t) (St (1 + d)T −t )
T −t X
T −t
=
(p∗ )k (1 − p∗ )T −t−k h(St (1 + u)k (1 + d)T −t−k ).
k
k=0
Insbesondere ist der arbitragefreie Preis für ein H mit H = h(ST ) also
π(H) = v0 (S0 ) =
T
X
k
T −k
h(S0 (1 + u) (1 + d)
k=0
T
)
(p∗ )k (1 − p∗ )T −k .
k
+
T −K)
Für einen europäischen Call ist H call = h(ST ) = (S(1+r)
und der arbitragefreie
T
Preis errechnet sich somit als
T
X
(S0 (1 + u)k (1 + d)T −k − K)+ T
call
π(H ) =
(p∗ )k (1 − p∗ )T −k
(1 + r)T
k
k=0
T
X
1
k
T −k
+ T
=
(S0 (1 + u) (1 + d)
− K)
(p∗ )k (1 − p∗ )T −k .
(1 + r)T
k
k=0
Genau wie die Formel zur Optionsbewertung vereinfacht sich die Formel für die
Hedgingstrategie im Fall H = h(ST ) zu
ξt (ω) = (1 + r)t
vt (St−1 (ω)(1 + u)) − vt (St−1 (ω)(1 + d))
.
St−1 (ω)(u − d)
Ist h außerdem eine monoton wachsende Funktion, also zum Beispiel die Aus+
zahlungsfunktion eines europäischen Calls h(x) = (x−K)
, dann ist auch
(1+r)T
ST −t
vt (x) = E h x
S0
∗
3.4. ALGORITHMEN
49
wachsend in x. Da u > d > −1 und St > 0 für alle t, ist St−1 (ω)(1 + u) >
St−1 (ω)(1 + d) und wegen der Monotonieeignschaft von v gilt
vt (St−1 (ω)(1 + u)) > vt (St−1 (ω)(1 + d)).
Es folgt
ξt (ω) ≥ 0,
was bedeutet, dass im Fall H = h(ST ) bei der Hedgingstrategie keine Leerverkäufe des risikobehafteten Wertpapiers S auftauchen.
Bemerkung 3.5. Für monoton fallendes h, zum Beispiel für den europäischen
Put, gilt stets ξt (ω) ≤ 0, es werden also nur Leerverkäufe getätigt.
Die Hedgingstrategie für einen europäischen Call hat, unter Verwendung von
û := 1 + u, dˆ := 1 + d und p̂ := 1 − p∗ , folgende Gestalt:
PT −t
ˆT −t−1 ûk ) T −t (p∗ )k (p̂)T −k
k=0 h(St−1 ûd
t
k
ξt = (1 + r)
St−1 (u − d)
PT −t
T
−t−1
ˆˆ
ûk ) T k−t (p∗ )k (p̂)T −k
k=0 h(St−1 dd
t
− (1 + r)
St−1 (u − d)
PT −t
k+1 dˆT −t−1 ) − h(S
k ˆ T −t ) T −t (p∗ )k (p̂)T −k
t−1 (û) (d)
k=0 h(St−1 û
t
k
= (1 + r)
St−1 (u − d)
PT −t (St−1 ûk+1 dˆT −t−1 −K)+ (St−1 ûk dˆT −t −K)+ T −t ∗ k T −k
−
) k (p ) (p̂)
k=0 (
(1+r)T
(1+r)T
= (1 + r)t
St−1 (u − d)
T −t
(1 + r)t−T X
=
((St−1 ûk+1 dˆT −t−1 −K)+ −(St−1 ûk dˆT −t −K)+ )
St−1 (u−d)
T −t
k
p∗ k p̂T −k .
k=0
3.4
Algorithmen zur Bestimmung des Optionspreises und einer Hedgingstrategie
Mithilfe der Rekursionsformel für vt lässt sich der Optionswert einer gegebenen,
diskontierten Option H bezüglich eines Wertpapiers S in wenigen Schritten
berechnen. Algorithmus 3.1 ist ein Bewertungsalgorithmus für europäische Calloptionen, wobei St (j) den Wert von S zum Zeitpunkt t auf Höhe j, j = 0, . . . , t,
im Baum angibt.
Für die Hedgingstrategie hat man nun zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Die
erste Möglichkeit ist die, die Anteile ξ des risikobehafteten Wertpapiers gemäß
der Formel aus Abschnitt 3.2 zu berechnen. Zusammen mit der Formel für ξ 0
aus Bemerkung 1.19 erhält man dann die komplette Hedgingstrategie (ξ 0 , ξ) für
H, wenn ein Anfangswert V0 = ξ10 · X00 + ξ1 · X0 = ξ10 + ξ1 · X0 , aus dem sich
dann ξ10 berechnen lässt, vorgegeben wird. Über die Formel
0
ξt+1
= −(ξt+1 − ξt ) · Xt + ξt0
können alle Werte für ξ 0 berechnet werden. Oft wird V0 = 0 gewählt, das bedeutet, dass die komplette Anfangsinvestition ξ1 · X0 über einen Kredit von der
50
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Eingabe: S0 ∈ R+ , T ∈ N, u > r > d ∈ R+
r−d
p∗ = u−d
for j = 0, . . . , T do
ST (j) = S0 · (1 + u)j · (1 + d)T −j
H(j) = VT (j) = (ST (j) − K)+ /(1 + r)T
end
for t = T − 1, . . . , 0 do
for j = 0, . . . , t do
Vt (j) = p∗ · Vt+1 (j + 1) + (1 − p∗ ) · Vt+1 (j)
end
end
Ausgabe: V0 = V0 (0) ist arbitragefreier Preis einer europäischen
Calloption
Algorithmus 3.1: Algorithmus zur Berechnung des Optionswerts einer
europäischen Calloption
Bank finanziert wird.
Eine zweite Möglichkeit nutzt direkt die Baumstruktur des CRR-Modells aus.
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus diesem Baum mit der Entwicklung des risikobehafteten Wertpapiers S von Zeitpunkt t auf t + 1 und den
Werten des replizierenden Portfolios zum Zeitpunkt t + 1 (vor dem Umschichten).
St (1 + u)
u
0
Vt+1
= ξt+1
+ ξt+1 · St (1 + u)/(1 + r)t+1
St
Vt
St (1 + d)
d
0
Vt+1
= ξt+1
+ ξt+1 · St (1 + d)/(1 + r)t+1
0 ,ξ
Zum Zeitpunkt t muss (ξt+1
t+1 ) so gewählt werden, dass beide Gleichungen
für Vt+1 erfüllt sind, also dass in Zeitpunkt t so viele Teile des Bonds und
des risikobehafteten Wertpapiers gekauft werden, dass beide Fälle abgedeckt
werden. Das daraus resultierende Gleichungssystem
0
u
u
ξt+1
+ ξt+1 · Xt+1
= Vt+1
0
d
d
+ ξt+1 · Xt+1
= Vt+1
ξt+1
0 ,ξ
ist eindeutig lösbar nach (ξt+1
t+1 ). Es ist
u
d
u
d
ξt+1 · (Xt+1
− Xt+1
) = Vt+1
− Vt+1
⇔ ξt+1 =
und somit
0
u
ξt+1
= Vt+1
−
u −Vd
Vt+1
t+1
u − Xd
Xt+1
t+1
u −Vd
Vt+1
t+1
u
· Xt+1
.
u − Xd
Xt+1
t+1
3.4. ALGORITHMEN
51
Eingabe: S0 ∈ R+ , T ∈ N, u > r > d ∈ R+
for t = 0, . . . , T do
for j = 0 . . . , t do
St (j) = S0 · (1 + u)j · (1 + d)t−j
end
end
for j = 0, . . . , T do
H(j) = VT (j) = (ST (j) − K)+ /(1 + r)T
end
for t = T − 1, . . . , 0 do
for j = 0, . . . , t do
ξt+1 (j) = (Vt+1 (j + 1) − Vt+1 (j))(1 + r)t+1 /(St+1 (j + 1) − St+1 (j))
0 (j) = V
t+1
ξt+1
t+1 (j + 1) − ξt+1 (j) · St+1 (j + 1)/(1 + r)
0
t
Vt (j) = ξt+1 (j) + ξt+1 (j) · St (j)/(1 + r)
end
end
Ausgabe: (ξ 0 , ξ) ist Hedgingstrategie und V0 = V0 (0) arbitragefreier
Preis einer europäischen Calloption
Algorithmus 3.2: Algorithmus zur Berechnung einer Hedgingstrategie für
europäische Calloptionen, wobei zusätzlich der Optionspreis mitberechnet
wird.
Auf diese Weise lässt sich dann Vt als
0
Vt = ξt+1
+ ξt+1 · Xt
berechnen, was bedeutet, dass der Optionswert mit dieser Methode der Hedgingstrategieberechnung gleich mitgeliefert wird. Es ist dann nicht notwendig,
das äquivalente Martingalmaß P∗ zu berechnen, wobei die Optionswertberechnung mit obigem Algorithmus natürlich als Kontrolle dienen kann. Ein Verfahren für die Berechnung der Hedgingstrategie mit gleichzeitiger Ausgabe des
Optionswerts ist in Algorithmus 3.2 dargestellt.
52
KAPITEL 3. DER REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Kapitel 4
Einführung des
nicht-rekombinierbaren
Binomialbaums
Der rekombinierbare Binomialbaum ist ein Spezialfall eines (allgemeinen) Binomialbaums, der dadurch gekennzeichnet ist, dass jeder Knoten zwei Nachfolgeknoten besitzt, wie in der nachfolgenden Grafik dargestellt. Da wir im Folgenden
den allgemeinen Fall eines Binomialbaums betrachten wollen, werden wir ihn
explizit als nicht-rekombinierbaren Binomialbaum bezeichnen. Der Baum in unten stehender Abbildung ist nicht-rekombinierend, wenn x 6= y. Im Gegensatz
zum rekombinierbaren Binomialbaum, der t + 1 verschiedene Werte zum Zeitpunkt t aufweist, kann man im nicht-rekombinierbaren Binomialbaum in t bis
zu 2t verschiedene Werte bekommen. Man erhält genau dann 2t verschiedene
Werte, wenn keine zwei Knoten im Baum aufeinandertreffen. Grundsätzlich sei
dies aber erlaubt, sofern der Spezialfall des rekombinierbaren Binomialbaums,
der im vorigen Kapitel bereits behandelt wurde, nicht eintritt.
w
x
y
z
Es gebe in diesem Modell ebenfalls wieder einen Bond, S 0 , sowie eine risikobehaftete Anleihe S 1 = S, wobei deren Ertrag R nun nicht mehr periodenunabhängig nur die zwei Werte u und d annehmen muss.
4.1
Diskrete, feste Dividendenzahlungen
Lässt man diskrete, feste Dividendenzahlungen wie in Abschnitt 1.4 im rekombinierbaren Binomialmodell zu, so verändert sich der Baum mit periodenun53
54
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
abhängigen Parametern u und d
S0 (1 + u)2
S0 (1 + u)
S0 (1 + u)(1 + d)
S0
S0 (1 + d)
S0 (1 + d)2
zu einem Baum von folgender Gestalt:
S0 (1 + u)
(S0 (1 + u) − D1 )(1 + u) = S0 (1 + u)2 − D1 (1 + u)
S0 (1 + u) − D1
S0
S0 (1 + d)
(S0 (1 + u) − D1 )(1 + d) = S0 (1 + u)(1 + d) − D1 (1 + d)
(S0 (1 + d) − D1 )(1 + u) = S0 (1 + u)(1 + d) − D1 (1 + u)
S0 (1 + d) − D1
(S0 (1 + d) − D1 )(1 + d) = S0 (1 + d)2 − D1 (1 + d)
Es handelt sich hierbei um einen nicht-rekombinierbaren Binomialbaum, da
zu jedem Zeitpunkt, in dem eine Dividende ausgeschüttet wird, die Äste im
nächsten Zeitschritt nicht mehr aufeinandertreffen. Im Falle eines Modells mit
Dividendenzahlungen lässt sich die Rekombinierbarkeit aber wiederherstellen,
sodass die im vorigen Kapitel vorgestellten Methoden im CRR-Modell zur Optionsbewertung wieder anwendbar sind.
Eine Möglichkeit dieser Wiederherstellung nimmt statt Dividendenzahlungen
zu den diskreten Zeitpunkten {td1 , . . . , tdn } ⊆ {1, . . . , T − 1} eine stetige Dividendenrendite an. Diese Vorgehensweise wird hier allerdings, da wir weiterhin
diskrete Zeitpunkte und die daraus resultierende Baumstruktur betrachten wollen, nicht ausgeführt. Eine Durchführung findet sich beispielsweise in [21].
Eine weitere Möglichkeit ist die, einen bereinigten Verlauf Ŝ des Wertpapiers
zu betrachten (das sogenannte escrowed dividend model, in [12],[21]). Hierbei
wird das Wertpapier S zum Zeitpunkt t um alle Dividendenzahlungen, die nach
t stattfinden, vermindert. Es ist
Ŝt := St −
X
t≤tdi
Di
.
(1 + r)tdi −t
(4.1)
Dieses Ŝ kann als risikobehaftete Komponente des Wertpapiers S angesehen
werden, von dem die deterministische Komponente, die Summe der diskontierten Dividenden, abgezogen wurde. Es gilt
Ŝt = St falls ∀i t > tdi .
4.1. DISKRETE, FESTE DIVIDENDENZAHLUNGEN
55
Um dieses Ŝ in einem rekombinierbaren Binomialbaum zu modellieren, werden
die Knoten über die Formel
Ŝ0 (1 + u)j (1 + d)t−j , j = 0, . . . , t
aufgebaut. Der daraus resultierende Baum entspricht nicht ganz den Werten von
Ŝt , t > 0, aus Formel (4.1), jedoch lassen sich auf ihn alle Ergebnisse aus Kapitel
3 anwenden, da er rekombinierbar ist, und er berücksichtigt in gewissem Maße
die Dividendenzahlungen. Wie das nächste Zahlenbeispiel zeigt, äußern sich
die bei dieser Methode entstehenden Fehler in einer geringeren Volatilität als
ursprünglich, was bedeutet, dass sowohl europäische Call- als auch europäische
Putoptionen unterbewertet werden.
Beispiel 4.1. Es sei S0 = 100, u = 0, 25 und d = −0, 1. Der Zinssatz sei r = 0, 1,
weshalb d < r < u und das Modell somit arbitragefrei ist. Wir betrachten drei
Zeitpunkte t = 0, 1, 2, wobei in Zeitpunkt t = 1 eine Dividende D1 in Höhe von
5 gezahlt wird. Ohne Dividendenzahlung hätte der Baum folgende Gestalt:
156,25
125
112,5
100
90
81
Mit Dividendenzahlungen ist der Verlauf von S dargestellt in einem korrekten,
nicht-rekombinierbaren Binomialbaum:
150
120
100
108
106,25
85
76,5
Die Werte, die S zum Zeitpunkt t = T = 2 annimmt, liegen also im Intervall
[76, 5; 150].
Die Entwicklung des bereinigten Wertpapiers Ŝ über Formel (4.1) ist im nächsten,
approximativen Baum (mit gerundeten Werten) abzulesen:
156,25
120
112,5
95,45
85
81
56
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Mit Startwert Ŝ0 = 95, 45 entwickelt sich folgender rekombinierbare Binomialbaum, der unter Berücksichtigung der Dividendenzahlung in t = 1 den Verlauf
von S im nicht-rekombinierbaren Binomialbaum annähert:
149, 15
119, 32
107,39
95,45
85,91
77,32
Die Werte zum Zeitpunkt t = T = 2 liegen hier im Intervall [77, 32; 149, 15] ⊂
[76, 5; 150], was die geringere Volatilität andeutet. Tatsächlich kann dies auch
bewiesen werden, siehe zum Beispiel [6].
Da die Fehler für eine längere Laufzeit, für mehr Dividendentermine sowie für
Ausschüttungszeitpunkte näher bei T größer werden, ist die eben beschriebene
Methode nur bedingt einsetzbar. Dasselbe Problem erhält man übrigens auch,
wenn man Dividendenraten im Black-Scholes-Modell (siehe Anhang ab Seite
122) berücksichtigt, wie beispielsweise in [19] beschrieben.
Wir wollen uns im Folgenden mit nicht-rekombinierbaren Binomialbäumen befassen, ohne diese auf rekombinierbare Bäume zurückzuführen. Im nicht-rekombinierbaren Binomialmodell können außerdem, wie in [9] nachzulesen, Transaktionskosten mit aufgenommen werden.
4.2
Aufbau eines nicht rekombinierbaren Binomialbaums
Zur Beschreibung eines nicht-rekombinierbaren Binomialbaums wird jeder Knoten einzeln bezeichnet mit S(t, j), wobei t wie bisher die Zeit angibt, t = 0, . . . , T
und j die Höhe des Knotens im Baum zum entsprechenden Zeitpunkt markiert,
j = 0, . . . , 2t −1. Der Wert des zugrundliegenden Wertpapiers zur Zeit t auf Höhe
j ist S(t, j). Anhand von t und j lässt sich nachvollziehen, welchen Pfad das
Wertpapier bisher, also bis zum Zeitpunkt t, durch den Baum zurückgelegt hat.
Ein Baum mit vier Perioden, was fünf Zeitpunkten entspricht, also t = 0, . . . , 4,
hat mit diesen Bezeichnungen für das Wertpapier S eine Gestalt wie in Abbildung 4.1 skizziert.
Jeder solche Baum setzt sich aus Knotentripeln zusammen, d. h. einem Knoten
(ausgenommen Blattknoten) und seinen beiden Nachfolgerknoten.
p(t, j)
S(t + 1, 2j + 1)
S(t, j)
1 − p(t, j)
S(t + 1, 2j)
4.2. AUFBAU
57
S(3, 7)
S(2, 3)
S(3, 6)
S(1, 1)
S(3, 5)
S(2, 2)
S(3, 4)
S(0,0)
S(3, 3)
S(2, 1)
S(3, 2)
S(1, 0)
S(3, 1)
S(2, 0)
S(3, 0)
S(4, 15)
S(4, 14)
S(4, 13)
S(4, 12)
S(4, 11)
S(4, 10)
S(4, 9)
S(4, 8)
S(4, 7)
S(4, 6)
S(4, 5)
S(4, 4)
S(4, 3)
S(4, 2)
S(4, 1)
S(4, 0)
t
0
1
2
3
4
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung eines nicht-rekombinierbaren
Binomialbaums mit vier Perioden (fünf Zeitpunkten). Eine Überkreuzung
der Pfade ist wahrscheinlich, würde aber die Übersichtlichkeit mindern.
p(t, j) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der S(t, j) in der folgenden Periode steigt,
1 − p(t, j) die Wahrscheinlichkeit, dass S(t, j) fällt. Die Faktoren, mit denen
S(t, j) steigt bzw. fällt werden mit 1 + u(t, j) und 1 + d(t, j) bezeichnet. Diese
Faktoren können sowohl von der Zeit, als auch von der Höhe im Baum abhängen,
weshalb hier die Rekombinierbarkeit verloren geht. Wieder dargestellt anhand
eines Knotentripels lässt sich die Entwicklung des Baumes nachvollziehen:
p(t, j)
S(t + 1, 2j + 1) = S(t, j) · (1 + u(t, j))
S(t, j)
1 − p(t, j)
S(t + 1, 2j) = S(t, j) · (1 + d(t, j))
Der risikoneutrale Zinsfaktor 1 + r wird, wie auch im CRR-Modell, als konstant
über die Zeit angenommen. Um Arbitragefreiheit im nicht-rekombinierbaren
Binomialmodell zu gewährleisten, muss im Prinzip die gleiche Bedingung wie
im CRR-Modell erfüllt sein. Diese lautete:
d<r<u
und führte zu folgendem risikoneutralen Maß:
P∗ (Rt = u) = p∗ :=
r−d
, t = 1, . . . , T.
u−d
58
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
In Abhängigkeit von Zeit und Position im Baum ändert sich diese Bedingung
für das nicht-rekombinierbare Modell und für alle t und j zu
S(t, j)(1 + d(t, j)) < S(t, j)(1 + r) < S(t, j)(1 + u(t, j))
bzw. zu
S(t + 1, 2j) < S(t, j)(1 + r) < S(t + 1, 2j + 1).
Es muss also gelten
d(t, j) < r < u(t, j) ∀t = 0, . . . , T − 1, j = 0, . . . , 2t − 1
bzw.
max d(t, j) < r < min u(t, j).
t,j
t,j
Da ein Knotentripel als einperiodiger, rekombinierbarer Binomialbaum aufgefasst werden kann, ist die Gültigkeit obiger Formeln für Arbitragefreiheit in den
einzelnen Perioden klar. Außerdem ist ein Mehrperiodenmodell arbitragefrei,
wenn jede einzelne Periode arbitragefrei ist, was mit obigen Formeln der Fall
ist. Somit lässt sich das eindeutige, risikoneutrale Maß, also das Martingalmaß
P∗ , errechnen über
r − d(t, j)
p∗ (t, j) =
u(t, j) − d(t, j)
bzw. in Abhängigkeit vom Wertpapier S an der Stelle (t, j) ausgedrückt
p∗ (t, j) =
S(t, j)(1 + r) − S(t + 1, 2j)
, t = 0, . . . , T − 1, j = 0, . . . , 2t − 1.
S(t + 1, 2j + 1) − S(t + 1, 2j)
Beispiele für nicht-rekombinierbare Binomialbäume sind die Abbildungen 4.2
und 4.3.
4.3
Anwendungsbeispiele des nicht-rekombinierbaren
Binomialbaums
Während im CRR-Modell, dem rekombinierbaren Binomialbaum, nur sehr wenige Parameter vorgegeben werden müssen, nämlich S0 , u und d, um den Baum
zu erzeugen, sind das im nicht-rekombinierbaren
Modell je nach Anzahl der PePT
t
rioden weitaus mehr, inklusive S0 bis zu t=0 2 = 2T +1 −1. Es stellt sich hierbei
die Frage, ob diese übermäßige Vorgabe an Parametern vom größeren Handlungsspielraum, der dem Wertpapier zugestanden wird, gerechtfertigt wird, vor
allem, ob eine solch genaue Parametrisierung überhaupt sinnvoll und möglich
ist.
4.3.1
Diskrete Dividendenzahlungen und Algorithmen
Betrachten wir zunächst wieder das Binomialmodell mit diskreten, betragsmäßig
festen Dividendenzahlungen, so lassen sich die neuen Up- und Down-Faktoren
u(t, j) und d(t, j) aus denen im rekombinierbaren Binomialbaum und der Höhe
der Dividenden berechnen. Zur Illustration soll wieder ein kurzes Beispiel dienen.
59
100
50
0
Kurs S
150
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
0
1
2
3
4
Zeit/Periode
Abbildung 4.2: Ein Beispiel für einen 4-periodigen nichtrekombinierbaren Binomialbaum, bei dem das exponentielle Wachstum
der Knoten zu den verschiedenen Zeitpunkten deutlich erkennbar ist.
Für den Baum wurde S0 = 100 gesetzt und die Up- und Downfaktoren
anhand des λ-Modells aus dem nächsten Kapitel erzeugt. Das R-Programm
für die Grafik√ findet sich im Anhang auf Seite 133. Weitere Parameter:
∆t
1
λ = ln( T1 |r−δ|
σ(0) ) + 2 , σ(0) = 0, 03, ∆t = 0, 5, r = 0, 1 und δ = 0, 2. δ ist
eine stetige Dividendenrate.
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
0
200
400
Kurs S
600
800
1000
60
0
2
4
6
8
Zeit/Periode
Abbildung 4.3: Dieser Baum hat n = 8 Perioden, ansonsten ist die Parameterwahl die gleiche wie in Abbildung 4.2. Die Anzahl der möglichen
Endwerte ist deutlich höher als die im rekombineirbaren Binomialbaum.
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
61
Beispiel 4.2. Wir befinden uns in einem zweiperiodigen Markt, in dem sich das
Wertpapier S anhand eines Binomialmodells mit den Faktoren 1 + u und 1 + d
entwickelt. Zum Zeitpunkt t = 1 wird eine Dividende in Höhe von D1 gezahlt.
Das Wertpapier entwickelt sich, ausgehend von S0 in t = 0, also folgendermaßen,
wobei in t = 1 die Dividende schon ausbezahlt wurde:
(S0 (1 + u) − D1 )(1 + u) = S0 (1 + u)2 − D1 (1 + u)
S0 (1 + u) − D1
(S0 (1 + u) − D1 )(1 + d) = S0 (1 + u)(1 + d) − D1 (1 + d)
(S0 (1 + d) − D1 )(1 + u) = S0 (1 + d)(1 + u) − D1 (1 + u)
S0
S0 (1 + d) − D1
(S0 (1 + d) − D1 )(1 + d) = S0 (1 + d)2 − D1 (1 + d)
In der Schreibweise für nicht-rekombinierbare Binomialbäume ist S0 = S(0, 0).
Außerdem ist hier u(1, j) = u und d(1, j) = d für j = 0, 1. Die Faktoren u(0, 0)
und d(0, 0) müssen noch bestimmt werden. Es gilt
S(1, 1) = S(0, 0)(1 + u(0, 0)) = S(0, 0)(1 + u) − D1
und
S(1, 0) = S(0, 0)(1 + d(0, 0)) = S(0, 0)(1 + d) − D1 ,
woraus folgt, dass
u(0, 0) =
S(0, 0)(1 + u) − D1 − S(0, 0)
D1
=u−
S(0, 0)
S(0, 0)
d(0, 0) =
S(0, 0)(1 + d) − D1 − S(0, 0)
D1
=d−
.
S(0, 0)
S(0, 0)
und
Dieses Modell ist außerdem arbitragefrei, wenn
−1 < d < r < u −
D1
D1
, da
> 0.
S(0, 0)
S(0, 0)
Mit den auf diese Weise generierten Werten für u(t, j) und d(t, j) lassen sich
auch für Optionen, die als Basis Wertpapiere mit Dividendenzahlungen haben,
die arbitragefreien Preise und Hedgingstrategien bestimmen. Folgende Algorithmen (Algorithmus 4.4 und 4.5) sind Abwandlungen der Algorithmen zur
Optionspreis- und Hedgingstrategiebestimmung aus Abschnitt 3.4 für nichtrekombierbare Binomialbäume. Die Algorithmen gelten hier wieder für europäische Calloptionen. Der Ausdruck ∀t, j in der Eingabe meint hierbei ∀t =
0, . . . , T − 1, j = 0, . . . , 2t − 1.
Beispiel 4.3. Um einen besseren Eindruck von der Entwicklungsstruktur eines
Wertpapiers mit Dividendenzahlungen zu bekommen, wollen wir Beispiel 4.2
auf mehrere Perioden ausweiten. Um die Notation kurz zu halten, definieren
wir û := 1 + u, dˆ := 1 + d und mit Dt sei eine Dividendenzahlung im Zeitpunkt
t gemeint. Der Baum aus Beispiel 4.2, erweitert um eine Periode, hat die Gestalt
62
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Eingabe: S(0, 0) ∈ R+ ; T ∈ N; u(t, j), d(t, j) ∈ R+ ∀t, j; max d(t, j) <
r < min u(t, j) ∀t, j
for t = 0, . . . , T − 1 do
for j = 0, . . . , 2t − 1 do
r−d(t,j)
p∗ (t, j) = u(t,j)−d(t,j)
end
end
for t = 1, . . . , T do
for j = 0, . . . , 2t − 1 do
if j gerade then
S(t, j) = S(t − 1, 2j ) · (1 + d(t − 1, 2j ))
else
j−1
S(t, j) = S(t − 1, j−1
2 ) · (1 + u(t − 1, 2 ))
end
end
end
for j = 0, . . . , 2T − 1 do
V (T, j) = (S(T, j) − K)+ /(1 + r)T
end
for t = T − 1, . . . , 0 do
for j = 0, . . . , 2t − 1 do
V (t, j) = p∗ (t, j) · V (t + 1, 2j + 1) + (1 − p∗ (t, j)) · V (t + 1, 2j)
end
end
Ausgabe: V (0, 0) ist arbitragefreier Preis einer europäischen Calloption
Algorithmus 4.4: Es wird der Optionswert für eine europäische Calloption analog zu Algorithmus 3.1 berechnet. Alles innerhalb der ersten Schleife dient dazu, den Wert jedes Knoten im Baum zu berechnen. Die zweite
Schleife berechnet dann den Wert der europäischen Calloption zum Auszahlungszeitpunkt T . Über die Rekursionsformel wird anschließend der Optionspreis in der Zeit rückwärts bis zum Zeitpunkt t = 0 (und somit auch
j = 0) ausgerechnet.
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
63
Eingabe: S(0, 0) ∈ R+ ; T ∈ N; u(t, j), d(t, j) ∈ R+ ∀t, j; max d(t, j) <
r < min u(t, j) ∀t, j
for t = 1, . . . , T do
for j = 0, . . . , 2t − 1 do
if j gerade then
S(t, j) = S(t − 1, 2j ) · (1 + d(t − 1, 2j ))
else
j−1
S(t, j) = S(t − 1, j−1
2 ) · (1 + u(t − 1, 2 ))
end
end
end
for j = 0, . . . , 2T − 1 do
V (T, j) = (S(T, j) − K)+ /(1 + r)T
end
for t = T − 1, . . . , 0 do
for j = 0, . . . , 2t − 1 do
ξ(t + 1, 2j) =
(V (t+1, 2j+1)−V (t+1, 2j))(1+r)t+1 /(S(t+1, 2j+1)−S(t+1, 2j))
ξ 0 (t + 1, 2j) = V (t + 1, 2j + 1) − ξ(t + 1, j) · S(t + 1, 2j + 1)/(1 + r)t+1
V (t, j) = ξ 0 (t + 1, j) + ξ(t + 1, j) · S(t, j)/(1 + r)t
end
end
Ausgabe: (ξ 0 , ξ) ist Hedgingstrategie und V (0, 0) arbitragefreier Preis
einer europäischen Calloption
Algorithmus 4.5: Es wird eine Hedgingstrategie für eine europäische Calloption im nicht-rekombinierbaren Binomialbaum berechnet, sowie der Wert
des replizierenden Portfolios, der zusätzlich den arbitragefreien Preis angibt. Zu Beginn wird S in allen Knoten bestimmt, um den Optionspreis zur
Zeit T zu bekommen. Es wird dann die Hedgingstrategie berechnet, wobei
ξ den Anteil des risikobehafteten Wertpapiers und ξ 0 den Anteil am Bond
bezeichne.
64
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
S0 û3 − D1 û2
S0 û2 − D1 û
S0 û2 dˆ − D1 ûdˆ
S0 û − D1
S0 ûdˆ − D1 dˆ
S0 ûdˆ2 − D1 dˆ2
ˆ 2 − D1 û2
S0 dû
S0
ˆ − D1 û
S0 dû
S0 dˆ − D1
ˆ
S0 dˆ2 û − D1 dû
S0 dˆ2 − D1 dˆ
S0 dˆ3 − D1 dˆ2
Man kann erkennen, dass sich ab t = 1, dem einzigen Zeitpunkt, an dem eine Dividende gezahlt wurde, rekombinierbare Binomialbäume entwickeln mit
Startwerten S0 û − D1 und S0 dˆ − D1 . Für den Fall, dass ein Wertpapier mit
nur sporadisch auftretenden Dividendenzahlungen untersucht werden soll, ist
es auch vorstellbar, den Entwicklungsbaum dieses Wertpapiers zu zerlegen und
die auftretenden rekombinierbaren Teilbäume einzeln mit den Methoden aus
Kapitel 3 zu behandeln.
Für unser Beispiel hier wären drei rekombinierbare Teilbäume zu betrachten:
Teilbaum T B u mit Startwert S0 û − D1 , Teilbaum T B d mit Startwert S0 dˆ− D1 ,
sowie der (einperiodige) rekombinierbare Binomialbaum
(Ergebnis T B u )
S0
(Ergebnis T B d )
Mit (Ergebnis T B j ), j = u, d, ist gemeint, dass für den Optionswert zum Endzeitpunkt, in diesem einperiodigen Baum also T = 1, jeweils der arbitragefreie
Preis der vorher untersuchten Teilbäume T B u und T B d eingesetzt werden muss.
Als Optionswerte zum Endzeitpunkt gehen in T B u und T B d die echten“ End”
werte entsprechend ihrer Baumzugehörigkeit, die in der Grafik ablesbar ist, ein.
Fällt in t = 2 ebenfalls eine Dividendenzahlung an, so formiert sich der Entwicklungsbaum von S um zu
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
65
S0 û3 − D1 û2 − D2 û
S0 û2 − D1 û − D2
S0 û − D1
S0 û2 dˆ − D1 ûdˆ − D2 dˆ
S0 û2 dˆ − D1 ûdˆ − D2 û
S0 ûdˆ − D1 dˆ − D2
S0 ûdˆ2 − D1 dˆ2 − D2 dˆ
ˆ 2 − D1 û2 − D2 û
S0 dû
S0
S0 dˆ − D1
ˆ − D1 û − D2
S0 dû
S0 ûdˆ2 − D1 ûdˆ − D2 dˆ
ˆ − D1 û
S0 dˆ2 û − D1 dû
S0 dˆ2 − D1 dˆ − D2
S0 dˆ3 − D1 dˆ2 − D2 dˆ
4.3.2
Programmierbeispiel
Es soll ein kurzes Beispiel für die Umsetzung der beiden Algorithmen im vorigen Abschnitt gegeben werden. Programmiert wurde in R. Die u(i, j) und
d(i, j) wurden anhand des Modells aus Abschnitt 5.1 gebildet. Da in R stets
ab 1 beginnend indiziert wird, ergibt sich, wie in allen Programmen in dieser
Arbeit, eine nicht zu vermeidende Indexverschiebung in den Programmen. Der
Punkt (0, 0) entspricht im Programm dem Punkt [1,1].
Erklärungen zum Programm wurden soweit möglich als Kommentar ins Programm eingebunden.
Quellcode 1 (Optionspreisberechnung und Berechnung einer Hedgingstrategie):
n <- 4
Deltat <- 0.5
T <- n * Deltat
r <- 0.1
delta <- 0.2
S0 <- 100
B0 <- 100
# # Waehle ein sigma0 und lambda , initialisiere sigma , u , d
sigma0 <- 0.3
sigma <- rep (0 , n )
lambda <- log ( abs (r - delta ) * sqrt ( Deltat ) / sigma0 ) / T
lambda <- lambda + 0.75
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
# # Berechne sigma , u , d
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma0 * exp ( lambda * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- 1 / (1+ u [ i ]) -1
66
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
}
# # Berechne den Baum als Matrix
S <- matrix (0 ,2^ n , n +1)
S [1 ,1]= S0
for ( i in 1: n ) {
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [j , i +1] <- (1+ d [ i ]) * S [ j / 2 , i ]
} else {
S [j , i +1] <- (1+ u [ i ]) * S [( j +1) / 2 , i ]
}
}
}
# # Entwicklung des Bonds
B <- rep ( B0 , n +1)
for ( i in 2:( n +1)) {
B [ i ]= B0 * exp ( r * (i -1) * Deltat )
}
# # initialisiere Optionswert
C <- matrix (0 ,2^ n , n +1)
K <- 90
# # lege Optionstyp fest (0 fuer Call , 1 fuer Put )
Option <- 1
# # Optionswert zum Zeitpunkt T , abhaengig vom Typ
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Option == 0) {
C [j , n +1] <- max ( S [j , n +1] - K ,0)
} else {
C [j , n +1] <- max (K - S [j , n +1] ,0)
}
}
# # initialisiere Matrizen fuer Anteile an Bond und Aktie
xi0 <- matrix (0 ,2^( n -1) , n )
xi1 <- matrix (0 ,2^( n -1) , n )
# # mit S e l b s t f i n a n z i e r t h e i t : C = xi0 * B + xi1 * S
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
H <- solve ( matrix ( c ( S [2 *j -1 , i +1] , S [2 *j , i +1] , B [ i +1] , B [ i +1]) ,
nrow =2 , ncol =2) , c ( C [2 *j -1 , i +1] , C [2 *j , i +1]))
xi0 [j , i ] <- H [2]
xi1 [j , i ] <- H [1]
C [j , i ] <- xi0 [j , i ] * B [ i ]+ xi1 [j , i ] * S [j , i ]
}
}
# # Der faire Preis
# # Haette man auch leichter ueber die risikoneutrale
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
# # Bewertung berechnen koennen ,
# # doch so sieht man das Vorgehen beim Hedgen
# # Risikoneutrale U e b e r g a n g s w a h r s c h e i n l i c h k e i t
p <- rep (0 , n )
for ( i in 1: n ) {
p [ i ] <( exp (( r - delta ) * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
}
# # Zufaellige Abfolge von Nullen und Einsen mit
# # Wa hr sc he in li ch ke it p erlauben eine
# # Bestimmung der j - Werte ( also der Hoehe ) im Baum
# # und erzeugen so einen zufaelligen Pfad durch den Baum
Z <- rep (1 , n +1)
for ( i in 1: n ) {
if ( rbinom (1 ,1 , p [ i ])==1) {
Z [ i +1] <- 2 * Z [ i ] -1
} else {
Z [ i +1] <- 2 * Z [ i ]
}
}
##
##
PS
PC
PB
Initialisierung der Pfade ( Vektoren ) ,
die gezeichnet werden
<- rep (0 , n +1)
<- rep (0 , n +1)
<- B
# # Zusammensetzen der Pfade aus Hoehe ( aus Z ) und Zeit
for ( i in 1:( n +1)) {
PS [ i ] <- S [ Z [ i ] , i ]
PC [ i ] <- C [ Z [ i ] , i ]
}
# # Plot fuer einen Verlauf des Wertpapiers
plot (0: n , PS , type = " l " , ylim = c (0 , max ( S )) ,
xlab = " Zeit " , ylab = " Kurs " )
# # Einfuegen beliebig vieler , weiterer Pfade
# # in den Baum ( auf Zufallsbasis )
for ( k in 1:10) {
Z <- rep (1 , n +1)
for ( i in 1: n ) {
if ( rbinom (1 ,1 , p [ i ])==1) {
Z [ i +1] <- 2 * Z [ i ] -1
} else {
Z [ i +1] <- 2 * Z [ i ]
}
}
for ( i in 1:( n +1)) {
PS [ i ] <- S [ Z [ i ] , i ]
67
68
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
PC [ i ] <- C [ Z [ i ] , i ]
}
lines (0: n , PS )
}
# # Plot der drei Positionen
# # ( Kurs ( solid ) , Optionswert ( dashed ) , Bond ( dotted ))
# plot (0: n , PS , type =" l " ,
#
ylim = c (0 , max ( c ( max ( PS ) , max ( PC ) , max ( PB )))) ,
#
xlab =" Zeit " ,
#
ylab =" Kurs ( solid ) , Option ( dashed ) , Bond ( dotted )")
# lines (0: n , PC , lty =2)
# lines (0: n , PB , lty =3)
Einige Ausgaben aus dem Programm sollen dem Leser nicht vorenthalten werden. Für eine Parameterwahl wie in obigem Programm, in dem die Art der
Option als Put festgelegt wurde, erhält man folgende Ausgaben in Matrixform,
wobei die Wurzel der Bäume bei [1,1], also links oben ist. Die Baumstruktur
von S lässt sich in der Matrixschreibweise gut erahnen.
>
S
[1 ,]
[2 ,]
[3 ,]
[4 ,]
[5 ,]
[6 ,]
[7 ,]
[8 ,]
[9 ,]
[10 ,]
[11 ,]
[12 ,]
[13 ,]
[14 ,]
[15 ,]
[16 ,]
[ ,1]
[ ,2]
[ ,3]
[ ,4]
[ ,5]
100 123.63111 153.29455 190.64014 237.79815
0 80.88579 99.70773 123.26480 152.83409
0
0.00000 100.29313 123.99851 153.75640
0
0.00000 65.23389 80.17541 98.82002
0
0.00000
0.00000 124.72652 154.67161
0
0.00000
0.00000 80.64613 99.40823
0
0.00000
0.00000 81.12616 100.00813
0
0.00000
0.00000 52.45485 64.27574
0
0.00000
0.00000
0.00000 155.57970
0
0.00000
0.00000
0.00000 99.99187
0
0.00000
0.00000
0.00000 100.59529
0
0.00000
0.00000
0.00000 64.65311
0
0.00000
0.00000
0.00000 101.19407
0
0.00000
0.00000
0.00000 65.03794
0
0.00000
0.00000
0.00000 65.43043
0
0.00000
0.00000
0.00000 42.05247
> C
[1 ,]
[2 ,]
[3 ,]
[4 ,]
[5 ,]
[6 ,]
[7 ,]
[8 ,]
[9 ,]
[10 ,]
[11 ,]
[ ,1]
[ ,2]
[ ,3]
[ ,4]
[ ,5]
5.284058 1.85575 0.000000 0.00000 0.00000
0.000000 10.40118 4.482036 0.00000 0.00000
0.000000 0.00000 4.416286 0.00000 0.00000
0.000000 0.00000 19.391303 10.76651 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 10.60857 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 10.44750 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 33.15580 25.72426
0.000000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00000
0.000000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00000
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
[12 ,]
[13 ,]
[14 ,]
[15 ,]
[16 ,]
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
69
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
25.34689
0.00000
24.96206
24.56957
47.94753
[ ,3]
0.0000000
0.2622070
0.2583604
0.6429589
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
[ ,4]
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.5894639
0.0000000
0.5808166
0.5719982
0.7368577
> xi0
[1 ,]
[2 ,]
[3 ,]
[4 ,]
[5 ,]
[6 ,]
[7 ,]
[8 ,]
[ ,1]
0.2527556
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
[ ,2]
0.1160151
0.4275806
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
> xi1
[ ,1]
[ ,2]
[ ,3]
[ ,4]
[1 ,] -0.199915 -0.08364065 0.0000000 0.0000000
[2 ,] 0.000000 -0.42713475 -0.2456812 0.0000000
[3 ,] 0.000000 0.00000000 -0.2406641 0.0000000
[4 ,] 0.000000 0.00000000 -0.7920215 -0.7199143
[5 ,] 0.000000 0.00000000 0.0000000 0.0000000
[6 ,] 0.000000 0.00000000 0.0000000 -0.7052129
[7 ,] 0.000000 0.00000000 0.0000000 -0.6903963
[8 ,] 0.000000 0.00000000 0.0000000 -1.0000000
Ein zufälliger Pfad aus diesem S und die Entwicklung des entsprechenden Optionspreises (einer Putoption), ausgerechnet über die Hedgingstrategie (ξ 0 , ξ), ist
in Abbildung 4.6 aufgezeichnet. Zur besseren Orientierung ist der Bond ebenfalls aufgetragen. Wie in Bemerkung 3.5 erwähnt, werden nur Leerverkäufe
bzw. gar keine Käufe des risikobehafteten Wertpapiers beim Hedgen einer europäischen Putoption getätigt.
Werden in einem 12-periodigen Baum die Übergangswahrscheinlichkeiten risikoneutral gewählt, so ergeben 20 aus dem Baum zufällig gezogene Pfade beispielsweise ein Bild wie in Abbildung 4.7.
4.3.3
Szenario-Bäume
Ein anderer Ansatz, Bäume zu betrachten, soll in diesem Unterabschnitt der
Übersicht halber kurz vorgestellt, aber nicht genauer behandelt werden. Für
die exakten Verfahren kann in den unten genannten Artikeln nachgeschlagen
werden.
Um Preise für europäische Optionen zu erhalten, muss man eigentlich nur die
Verteilung des Wertpapiers zum Fälligkeitszeitpunkt T sowie die initialen Parameter kennen, da europäische Optionen nur zu einem Zeitpunkt ausgeübt
werden können. Es würde also genügen, einen einperiodigen Baum mit Wurzel
und mehreren Blättern zu betrachten.
Wie wir bereits gesehen haben ist die Verteilung eines Wertpapiers im re-
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
0
20
40
60
80
Kurs (solid), Option (dashed), Bond (dotted)
100
120
70
0
1
2
3
4
Zeit
0
100
200
300
Kurs
400
500
600
700
Abbildung 4.6: Parameterwahl wie im Programm, n = 4. Aufgetragen
ist eine Putoption, die dann mehr Wert wird, wenn der Kurs fällt. Der
Optionswert in t = 0 lässt sich auch hier als ungefähr 5,28 ablesen.
0
2
4
6
8
10
12
Zeit
Abbildung 4.7: Parameterwahl wie im Programm, λ = λ0 + 0, 5, n = 12.
4.3. ANWENDUNGSBEISPIELE
71
kombinierbaren Binomialmodell zur Zeit T binomialverteilt, also approximativ
normalverteilt. Das CRR-Modell kann als Diskretisierung des Black-ScholesModells (siehe Anhang, Seite 124) aufgefasst werden, das von Normalverteilungsannahmen ausgeht.
Möchte man aber Wertpapiere betrachten, bei denen eine andere Verteilung
als die Binomial- bzw. Normalverteilung zum Fälligkeitszeitpunkt angenommen wird, kann dahinter kein rekombinierbarer Binomialbaum bzw. das BlackScholes-Modell liegen. Wie beispielsweise in [17], [13] oder [14] vorgestellt, kann
zu jeder beliebigen Verteilung, die über die ersten vier Momente, bzw. über den
Erwartungswert µ, die Varianz σ 2 , die Schiefe γ̃ und die Wölbung δ̃, [17], oder
über die Copula, einer Funktion, die den Zusammenhang von Randverteilungen verschiedener Zufallsvariablen angibt, [13], gekennzeichnet ist, ein Baum
generiert werden, ein sogenannter Szenario-Baum, dessen Blattknoten die gegebene Verteilung annähern und quasi eine Auswahl an Szenarien widerspiegeln, die den vorgegeben stochastischen Eigenschaften entsprechen. Damit ist
es sogar möglich, Optionen auf mehrere Wertpapiere, zum Beispiel sogenannte
Basket-Optionen, zu handhaben und zu hedgen. Es kann hierbei auch angegeben werden, ob die einzelnen Perioden voneinander abhängig oder unabhängig
sein sollen. Die daraus entstehenden Bäume können dann wie bisher zur Optionspreisbestimmung verwendet werden.
4.3.4
LIBOR-Markt-Modell
Das LIBOR-Marktmodell, auch BGM-Modell nach dessen Begründern Brace,
Gatarek und Musiela genannt, ist ein Zinsstrukturmodell zur Bewertung von
Zinsderivaten, vor allem exotischen Derivaten wie beispielsweise der Bermuda Swaption. Swaptions sind Optionen, die dem Käufer das Recht geben, zu
einem (europäische Swaption) oder mehreren (amerikanische / Bermuda Swaption) festgelegten Zeitpunkten in einen Zinsswap einzutreten (siehe [1],[2],[3]).
Für dieses Marktmodell, das hier nicht weiter behandelt wird, ist in [15] und
[16] eine Möglichkeit vorgestellt, mit Hilfe von nicht-rekombinierbaren Binomialbäumen einen Preis für diese Zinsderivate zu finden. Auf diese Anwendung von
nicht-rekombinierbaren Binomialbäumen möchte ich hier aber nicht eingehen,
da unsere betrachteten Optionen keine Zinsderivate sind.
72
KAPITEL 4. DER NICHT-REKOMBINIERBARE BINOMIALBAUM
Kapitel 5
Konstruktion und
Kalibrierung eines
nicht-rekombinierbaren
Binomialbaums mithilfe von
Marktdaten
In diesem Kapitel wird die Optionsbewertung implizit mittels vorhandener
Marktdaten von Optionen (Preise) mit gleicher Laufzeit betrachtet und unter
Zuhilfenahme eines nicht-rekombinierbaren Binomialbaums durchgeführt, anstatt konkrete stochastische Eigenschaften (wie zum Beispiel eine Verteilung)
anzunehmen. Die lokale Volatilität wird hierbei eine Funktion des zugrundeliegenden Wertpapiers sowie der Zeit sein. Mit einfachen, numerischen Minimierungsverfahren im ersten Teil bzw. Mitteln der nicht-linearen Optimierung unter
Nebenbedingungen im zweiten Teil kann dann ein zu den vorhandenen Daten
konsistenter, replizierender Baum, der auch Transaktionskosten berücksichtigen
kann, erzeugt werden. Für diese Berücksichtigung ist eine Anpassung des entstehenden Baums notwendig, die in dieser Arbeit nicht durchgeführt wird. Ich
verweise hier auf [9].
Um nun einen solchen Baum aus Marktdaten zur Optionsbewertung zu konstruieren werden zunächst mit CM kt (k) die Marktpreise von N Optionen (z. B.
europäischen Calls) mit ihren Ausübungspreisen Kk , k = 1, . . . , N , bezeichnet.
Der Ausübungszeitpunkt T = Tk sei bei allen der gleiche. Die theoretischen
Preise CM od (x, k) für dieselben Optionen werden unter Verwendung von Modell x gebildet, wobei x ein Vektor aus Parametern des Modells ist. Ziel ist es
nun, dasjenige Modell, charakterisiert durch seine Parameter, zu finden, dessen
theoretische Preise den Marktpreisen am besten entsprechen. Es muss also
min
x
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k))
k=1
73
74
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
gelöst werden, da in den meisten Fällen kein exaktes Modell gefunden werden
kann, weswegen wir den Abstand zwischen den Marktpreisen und den Preisen,
die das Modell liefert, unter Berücksichtigung der Arbitragefreiheit minimieren.
Weiter können wir mit dem approximierten Zinssatz er , anstatt 1 + r, arbeiten
(siehe im Anhang Seite 121), was viele Rechnungen einfacher macht.
Tatsächlich könnte an dieser Stelle auch exakt mit einem Faktor der Form
er̂ verzinst werden, wenn r̂ so gewählt wird, dass er̂ = 1 + r gilt. Wenn der
Zinssatz allerdings zeitabhängig von der Form r(t) ist, müsste für jede Periode
diese Umrechnung erfolgen. Wir werden es im Weiteren bei er belassen, auch
wenn r wie bisher konstant über die Zeit bleibt.
5.1
Nicht-rekombinierbarer Binomialbaum mit Modellannahmen
Da bei der im Folgenden vorgestellten Methode der nicht-rekombinierbare Binomialbaum nicht wie bisher bereits gegeben ist und den Verlauf des Wertpapiers
zu den natürlichen Zeitpunkten darstellt, sondern anhand von Marktdaten erst
generiert werden soll, ist nicht von vornherein klar, wie viele Perioden dieser
Baum haben muss. Die Anzahl der Perioden ist grundsätzlich frei wählbar und
nach Ermessen zu setzen. Deswegen sprechen wir im Weiteren auch nicht von
Zeitpunkten t = 0, . . . , T wie bisher, sondern definieren n als Anzahl der Perioden im Baum und setzen
∆t =
T
⇔ n · ∆t = T,
n
als Länge der Periode, wobei T der Ausübungszeitpunkt der Option ist. In allen bisherigen Betrachtungen war stets ∆t = 1. Die Knoten im Baum werden
entsprechend mit S(i, j) bezeichnet, wobei i = 0, . . . , n und j = 0, . . . , 2i − 1.
Als nächstes legen wir fest, nach welchem Schema sich der Baum aufbaut, d. h.
wie die Up- und Down-Faktoren aussehen. Der Faktor, mit dem das Wertpapier
nach oben springt, wird gewählt als
1 + u(i, j) = 1 + u(i) = eσ(i)
√
∆t
,
und der Faktor, mit dem es nach unten springt, als
1 + d(i, j) = 1 + d(i) = e−σ(i)
√
∆t
=
1
,
1 + u(i)
wobei i = 0, . . . , n−1 und j = 0, . . . , 2i −1. Hierbei beschreibt σ(i) die Volatilität
in Periode i. Wie man erkennt, hängen die Faktoren nur von der Periode ab,
nicht aber von der Höhe im Baum. Diese Wahl für 1 + u(i, j) und 1 + d(i, j)
ist hierbei nicht willkürlich, sondern entspricht den Faktoren, unter denen der
rekombinierbare Binomialbaum eine diskrete Approximation des Black-ScholesModells ist, näheres dazu im Anhang auf Seite 124. Der Unterschied besteht
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
75
hierbei nur darin, dass die Volatilität nicht konstant über die Zeit ist. Sie sei
über die Formel
σ(i) = σ(0)eλ·i·∆t , λ ∈ R, i = 0, . . . , n − 1
gegeben. Hierbei ist λ konstant und σ(0) ein geeignet gewählter Startwert für
die Volatilität. Die Praxis zeigt, dass diese Wahl von σ für viele Anwendungen
geeignet ist (siehe [7]), da σ, abhängig von der Wahl von λ, über die Zeit größer
oder kleiner werden kann.
Für λ = 0 ändert sich die Volatilität über die Zeit nicht, es sind dann auch die
Faktoren u und d über die Zeit gleich, was bedeutet, dass man einen rekombinierbaren Binomialbaum erhält, bei dem die Variablen so gewählt sind, dass er
das Black-Scholes-Modell diskret annähert.
Grafisch dargestellt ist die Entwicklung des Baums anhand des gegebenen Schemas folgende:
p(i, j)
λ·i·∆t
S(i, j) · eσ(0)e
√
∆t
S(i, j)
1 − p(i, j)
S(i, j) · e−σ(0)e
λ·i·∆t
√
∆t
S(0, 0) ist der aktuelle Wert des zugrundeliegenden Wertpapiers und bekannt.
Die Werte der geraden Knoten, d. h. diejenigen mit geradem j, erhält man über
die Formel
S(i, j) = S(i − 1, 2j ) · (1 + d(i − 1)), i = 1, . . . , n, j = 0, 2, . . . , 2i − 2,
die Werte der ungerade Knoten über
i
S(i, j) = S(i − 1, j−1
2 ) · (1 + u(i − 1)), i = 1, . . . , n, j = 1, 3, . . . , 2 − 1.
Für die eingezeichneten Wahrscheinlichkeiten gilt:
p(i, j) = P[S(i, j) entwickelt sich zu S(i + 1, 2j + 1)] ∈ (0, 1), wobei P hier von
vornherein das äquivalente Martingalmaß ist. Von welcher Gestalt P genau ist,
spielt an dieser Stelle noch keine Rolle und wird in Abschnitt 5.2.2 genauer
erläutert.
σ(0) wird bei vielen Datensätzen als sogenannter Volatilitätsindex, der die implizite oder historische Volatilität misst, zusätzlich zum Börsenindex oft mitgeliefert, siehe hierfür zum Beispiel [4]. Eine Optimierung nach diesem Parameter
(wenn λ = 0 gesetzt wird) wäre gleichzusetzen mit der Berechnung der impliziten Volatilität, da für λ = 0 der Baum rekombinierbar wird und eine diskrete
Approximation des Black-Scholes-Modells darstellt. Ich werde solch eine Optimierung nicht durchführen und im Weiteren σ(0) als gegeben ansehen.
Der einzige freie Parameter in diesem Baummodell ist also λ, nach welchem
dann auch optimiert werden muss. Zunächst wollen wir aber sicherstellen, dass
das Modell arbitragefrei ist. Hierzu müssen Bedingungen an λ gefunden werden.
76
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
5.1.1
Arbitragefreiheit des Modells mit geeigneter Wahl von λ
Man sieht, dass für λ > 0 die Volatilität mit i steigt, für λ < 0 die Volatilität mit
i sinkt. Um die Arbitragefreiheit des Baumes zu gewährleisten, müssen folgende
Bedingungen ∀(i, j) erfüllt sein, wobei r der risikoneutrale Zinssatz sei.
√
S(i, j)er∆t ≤ S(i + 1, 2j) = S(i, j)(1 + u(i)) = S(i, j)eσ(i)
∆t
√
S(i, j)er∆t ≥ S(i + 1, 2j − 1) = S(i, j)(1 + d(i)) = S(i, j)e−σ(i)
(5.1)
∆t
(5.2)
Äquivalenzumformungen führen zu Bedingungen, die nur noch ∀i gelten müssen:
√
√
(5.1) ⇔ r∆t ≤ σ(i) ∆t ⇔ σ(i) ≥ r ∆t
(5.3)
√
√
(5.2) ⇔ r∆t ≥ −σ(i) ∆t ⇔ σ(i) ≥ −r ∆t
(5.4)
Zusammengefasst können die Gleichungen (5.3) und (5.4) als
√
σ(i) ≥ |r| ∆t, ∀i
(5.5)
geschrieben werden.
Um das Verhalten von σ abhängig von λ zu untersuchen und somit λ geeignet
wählen zu können, unterscheiden wir zwei Fälle:
1. Fall: λ ≥ 0
σ(i) = σ(0)eλ·i·∆t ist streng monoton steigend in λ und i, da λ · i · ∆t ≥ 0 ∀λ, i.
⇒ mini σ(i) √
= σ(0)
√
⇒ σ(i) ≥ |r| ∆t ⇔ σ(0) ≥ |r| ∆t.
Da dies unabhängig von λ gelten muss, kann auf jeden Fall λ ∈ [0, ∞) gewählt
werden.
2. Fall: λ < 0
σ(i) = σ(0)eλ·i·∆t ist streng monoton fallend in λ, da λ · i · ∆t ≤ 0 ∀λ, i.
Da (5.5) für alle i = 0, . . . , n gelten muss, bedeutet dies, dass auch
√
min σ(i) ≥ |r| ∆t
erfüllt sein muss. Für streng monoton fallendes σ ist min σ(i) = σ(n) und es ist
√
√
|r| ∆t
λ·n·∆t
σ(n) ≥ |r| ∆t ⇔ e
≥
.
σ(0)
Mit n · ∆t = T folgt
√
|r| ∆t
e
≥
σ(0)
√ !
1
|r| ∆t
.
⇔ λ ≥ ln
T
σ(0)
λ·T
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
77
h
√ Der Parameter λ muss also aus dem Intervall T1 ln |r|σ(0)∆t , 0 gewählt werden. Nimmt man beide Fälle zusammen, ergibt sich für λ:
!
"
√ !
|r| ∆t
1
, ∞ =: I
ln
λ∈
T
σ(0)
Tatsächlich können in dem Modell auch Dividenen berücksichtigt werden, wenn
sie als stetige, jährliche Dividendenrate δ gegeben sind. Der Verzinsung des
Wertpapiers mit er wird dann nach jeder Periode eine Abzinsung“ gegenüber”
gestellt in Höhe von e−δ , weswegen an jeder Stelle statt er dann er−δ steht.
Das Intervall für λ ist dann unter Berücksichtigung stetiger Dividenden von der
Gestalt
"
!
√ !
1
|r − δ| ∆t
λ∈
,∞ .
ln
T
σ(0)
5.1.2
Optimierung im λ-Modell
Das allgemeine Minimierungsproblem
min
x
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k))
k=1
kann nun konkretisiert werden als Minimierungsproblem über λ, wobei als Bewertungsfunktion die Kleinste-Quadrate-Funktion f (a, b) = (a − b)2 verwendet
wird und alle Gewichte auf N1 gesetzt werden:
min
λ∈I
N
1 X
(CM od (λ, k) − CM kt (k))2 .
N
k=1
Da keine geschlossene Formel im Modell für λ zu erwarten ist, soll die Optimierung numerisch erfolgen. Eine Möglichkeit, wie diese aussehen kann, wird im
Folgenden vorgestellt und anhand eines Beispiels durchgerechnet.
5.1.3
Generischer Suchalgorithmus
Es soll nun ein erster, naiver Algorithmus zur Lösung des Problems vorgestellt
werden. Das Verfahren ist sehr anschaulich, allerdings bei weitem nicht optimal,
weswegen in Abschnitt 5.1.4 ein weiterer Suchalgorithmus aus der Familie der
Bisektionsverfahren vorgestellt wird.
Zunächst wird eine Schranke ε ∈ R+ gewählt. Dann löst ein λ∗ das Minimierungsproblem approximativ, wenn
N
1 X
(CM od (λ∗ , k) − CM kt (k))2 ≤ ε.
N
k=1
Durch Setzen der Gewichte auf N1 kann man die Aussage treffen, dass die Modellpreise unter λ∗ im quadratischen Mittel stets weniger als ε vom jeweiligen
78
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Marktpreis entfernt sind.
Falls für dieses Minimierungsproblem kein approximatives λ∗ gefunden wird,
der Fehler ε also zu klein festgelegt wurde, muss auf eine Fortführung dieses
Modells, welche in Abschnitt 5.2 vorgestellt wird, zurückgegriffen werden. Eine
Erhöhung von ε ist in der Regel nicht wünschenswert.
Herangehensweise
Bei der Suche nach λ∗ gehe wie folgt vor:
• Bestimme eine Schrittweite s > 0 beliebig und setze λ0 =
(= die untere Schranke des Intervalls I).
1
T
ln
√ |r| ∆t
σ(0)
• Schritt 0: P
2
Berechne N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) für
λ = λ0 und λ = λ0 + s.
Ist für einen der beiden Werte für λ das Ergebnis ≤ ε, so ist ein geeignetes
λ gefunden und somit auch ein geeignetes Modell für das Wertpapier.
Wenn nicht, fahre im nächsten Schritt fort.
• Schritt 1: P
2
Berechne N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) für
s
3s
λ ∈ {λ0 , λ0 + 2 , λ0 + s, λ0 + 2 , λ0 + 2s}.
(Tatsächlich ist für annähernd die Hälfte der Werte für λ im vorigen
Schritt der Abstand der Markt- und Modellpreise bereits berechnet.)
Prüfe wieder, ob ein Wert für λ geeignet ist. Wenn nicht, fahre im nächsten
Schritt fort.
• Schritt 2: P
2
Berechne N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) für
5s
3s
7s
λ ∈ {λ0 , λ0 + 4s , λ0 + 2s , λ0 + 3s
4 , λ0 + s, λ0 + 4 , λ0 + 2 , λ0 + 4 , λ0 + 2s, λ0 +
5s
11s
13s
7s
15s
9s
4 , λ0 + 2 , λ0 + 4 , λ0 + 3s, λ0 + 4 , λ0 + 2 , λ0 + 4 , λ0 + 4s} ⇔
λ ∈ {λ0 + m·s
4 |m = 0, . . . , 16}.
Prüfe wieder, ob ein Wert für λ geeignet ist. Wenn nicht, fahre im nächsten
Schritt fort.
• ···
• Schritt i: P
2
Berechne N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) für
m·s
2i
λ ∈ {λ0 + 2i |m = 0, . . . , 2 }.
Prüfe wieder, ob ein Wert für λ geeignet ist. Wenn nicht, fahre im nächsten
Schritt fort.
• ···
Diese sukzessive Gitterbildung auf dem Intervall I ist so ausgeführt, dass in
jedem Schritt die Spannweite, auf der nach geeignetem λ überprüft wird, verdoppelt wird, und dass der Abstand der überprüften Punkte halbiert wird. So
könnte nach und nach das ganze Intervall I ausprobiert werden. Natürlich muss
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
79
Eingabe: λ0 ; s > 0; ε > 0; I ∈ N; N ∈ N; Kk , CM kt (k), k = 1, . . . , N
i = 0;
λ = λ0 ;
P
2
while N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) > ε do
2i
for m = 0, . . . , 2 do
;
λ = λ0 + m·s
2i
for k = 1, . . . , N do
berechne CM od (λ, k);
end
P
2
if N1 N
k=1 (CM od (λ, k) − CM kt (k)) ≤ ε then
beende for-Schleife;
Ausgabe: λ = λ∗
end
end
i = i + 1;
if i > I then
beende while-Schleife
end
end
Algorithmus 5.1: Iteratives Vorgehen zur Berechnung von λ∗ .
eine Abbruchbedingung geschaffen werden, sodass die Überprüfung nicht unendlich lange dauert, falls für das gewählte ε auf dem kompletten Intervall I
kein geeignetes λ existiert.
Für die Schrittweite s gilt: Das Intervall, das bei der Schrittweite s in i Schritten
überprüft wird, wird bei der Wahl von 2s als anfänglicher Schrittweite in i + 1
Schritten überprüft, allerdings mit fast doppelt so vielen Zwischenpunkten als
bei der Wahl von s als anfänglicher Schrittweite. Dies kann bei der Wahl der
Schrittweite berücksichtigt werden.
i=0:
i=1:
i=2:
λ0
+
s
λ0
+
λ0
+
s
2
s
4
2s
4
2s
2
3s
4
3s
2
=s
4s
4
5s
4
6s
4
4s
2
7s
4
= 2s
8s
4
9s
4
10s
4
11s
4
12s
4
13s
4
14s
4
15s
4
16s
4
Ein Verfahren für diese Überprüfung ist in Algorithmus 5.1 gegeben, wobei
die Berechnung des Optionspreises im Modell sowie alle hierfür notwendigen
Parameter nicht explizit angegeben sind.
80
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Programm zum Finden des Modellbaums
Das angegebene Verfahren soll nun anhand eines Beispiels durchexerziert werden. Die bekannten Werte und die zu wählenden Parameter sind hierbei nachfolgend aufgelistet.
• Der Startwert des Kurses betrage S0 = S(0, 0) = 100.
• Die Anzahl der Marktoptionen sei N = 10, darunter fünf Calloptionen
mit Ausübungspreisen 120, 110, 100, 90, 80 sowie fünf Putoptionen mit
Ausübungspreisen 150, 140, 130, 120, 110.
• Der Fälligkeitszeitpunkt sei T = 5.
• Der risikolose Zinssatz ist r = 0, 05. Die Verzinsung erfolgt mit er .
• Die Volatilität im Zeitpunkt t = 0 ist σ(0) = 0, 1.
• Die Schrittweite auf dem λ-Intervall werde mit s bezeichnet, der Fehler,
wie weit die Preise im quadratischen Mittel maximal auseinander liegen
dürfen, mit ε. Ein ε von 0, 02 bedeutet bespielsweise, dass, wenn es sich
bei allen Werten von S und V um Europreise handelt, der quadratische
Abstand von Markt- und Modellpreisen im Schnitt maximal 2 Cent betragen darf.
• Mit I werde die maximale Anzahl bezeichnet, wie oft das Intervall, aus
dem λ gezogen wird, verfeinert werden soll.
Es folgen die Initialisierungen der variablen Variablen in R. Diese dienen zum
Steuern des Modells und können angepasst werden, falls kein λ∗ gefunden wird.
T <- 5
sigma _ 0 <- 0.1
S _ 0 <- 100
r <- 0.05
Typ <- c (0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1) # # 0= Call ,1= Put
K <- c (120 ,110 ,100 ,90 ,80 ,130 ,120 ,110 ,140 ,150)
n <- 9
s <- 0.02
epsilon <- 0.05
I <- 5
Anschließend werden die Variablen initialisiert, die das Programm R für die
Rechnungen benötigt:
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
81
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
deltat <- T / n
lambda _ 0 <- (1 / T ) * log ( abs ( r ) * sqrt ( deltat ) / sigma _ 0)
Schritt <- 0
lambda _ best <- lambda _ 0
Fehler _ best <- -1
N <- length ( K )
C _ Mkt <- rep (0 , N )
C _ Mod <- rep (0 , N )
Als nächstes werden die Marktpreise eingegeben. Ich habe in diesem Fall keine echten“ Marktpreise verwendet, sondern die Preise, die das Black-Scholes”
Modell (siehe Anhang, ab Seite 122, Formeln A.1 und A.2) unter den entsprechend gesetzten Parametern liefert. Würden echte Marktpreise verwendet
werden, so müsste noch ein weiterer Schritt ausgeführt werden, nämlich die Bestimmung der Anfangsvolatilität σ(0). Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten.
Eine Methode verwendet ebenfalls die Marktpreise von Optionen und bietet sich
in diesem Fall deswegen an. Man schätzt diese sogenannte implizite Volatilität
(siehe Anhang auf Seite 125), die dann als Anfangsvolatilität σ(0) in unserem
Modell verwendet werden kann. Es kann auch eine historische Volatilität berechnet werden, die sich aus vergangenen, bekannten Werten der Volatilität mit
Verfahren der Zeitreihenanalyse errechnet.
for ( k in 1: N ) {
a <- ( log ( S _ 0 / K [ k ])+( r +( sigma _ 0)^2 / 2) * T ) / ( sigma _ 0 * sqrt ( T ))
b <- a - sigma _ 0 * sqrt ( T )
if ( Typ [ k ] == 0) {
C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * pnorm ( a ) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * pnorm ( b )
} else {
C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * ( pnorm ( a ) -1) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * ( pnorm ( b ) -1)
}
}
Nun erfolgt die eigentliche Berechnung der Modellpreise und eines geeigneten
λ∗ . Die Variable Schritt zählt lediglich die Durchgänge der Intervallverfeinerungen. Mit Lambda werde der Vektor mit den Punkten aus dem λ-Intervall
bezeichnet. Da in den einzelnen Verfeinerungsschritten zu den alten Punkten
neue hinzukommen, muss immer nur, außer im ersten Schritt (Schritt == 0),
von den neuen Kandidaten für λ∗ die Modellpreise und ihr Abstand zu den
Marktpreisen berechnet werden. In jedem Schritt wächst die Menge der zu untersuchenden Punkte um etwa das Vierfache, doch nur circa 34 der Punkte sind
neu. Die Initialisierung erfolgt in einer if-Schleife, die prüft, in welchem Schritt
man sich befindet.
if ( Schritt == 0){
Lambda <- c ( lambda _ 0 , lambda _ 0+ s )
} else {
Lambda <- c ( seq ( s / 2^ Schritt ,2^( Schritt -1) *s - s / 2^( Schritt ) ,
s / 2^( Schritt -1)) ,
82
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
seq (2^( Schritt -1) * s + s / 2^( Schritt ) ,2^ Schritt *s ,
s / 2^( Schritt )))+ lambda _ 0
}
Für jeden einzelnen Punkt aus dem jeweiligen Intervall (im R-Code: lambda
in Lambda), was einem Kandidaten für λ∗ entspricht, wird dann zunächst der
Modellbaum gebildet:
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( lambda * (i -1) * deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
Dann werden für alle N Marktoptionen die Modellpreise berechnet:
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
Anschließend wird der Abstand der Preise bestimmt und überprüft, ob der
Abstand klein genug ist. Falls ja, wird aus der Lambda-Schleife gesprungen und
durch setzen von Schritt <- I dann auch die Intervallverfeinerungen gestoppt.
Falls der Fehler noch nicht klein genug ist, wird lediglich überprüft, ob das
gerade überprüfte lambda besser ist als das vorherige, d. h. einen kleineren
Fehler produziert. Falls ja, wird dieses lambda und der entsprechende Fehler
auf eine Variable geschrieben. Wenn das Programm kein λ∗ findet, kann so
zumindest das λ mit dem kleinsten Fehler angegeben werden.
# # Pruefe Fehler der Preise
if ( Fehler <= epsilon ) {
lambda _ star <- lambda
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
83
Schritt <- I # # Sprung aus der while - Schleife
break # # Sprung aus for - Schleife
}
# # Zwisc henspe ichern des kleinsten Fehlers und lambda
if ( Fehler _ best == -1 || Fehler _ best > Fehler ) {
lambda _ best <- lambda
Fehler _ best <- Fehler
}
Es folgt noch die Ausgabe mit einer Fallunterscheidung, ob ein λ∗ gefunden
wurde oder nicht:
if ( Fehler <= epsilon ) {
print ( " lambda _ star = " )
print ( lambda _ star )
print ( " epsilon = " )
print ( epsilon )
print ( " Fehler = " )
print ((1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2))
print ( " Modellpreise : " )
print ( C _ Mod )
print ( " Marktpreise : " )
print ( C _ Mkt )
} else {
print ( " Kein lambda _ star gefunden ! " )
print ( " bestes lambda : " )
print ( lambda _ best )
print ( " Fehler = " )
print ( Fehler _ best )
}
Das komplette Programm sieht folgendermaßen aus:
Quellcode 2 (Generischer Suchalgorithmus zum Finden von λ aus Marktdaten):
T <- 5
sigma _ 0 <- 0.1
S _ 0 <- 100
r <- 0.05
Typ <- c (0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1) # # 0= Call ,1= Put
K <- c (120 ,110 ,100 ,90 ,80 ,130 ,120 ,110 ,140 ,150)
n <- 9
s <- 0.02
epsilon <- 0.05
I <- 5
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
84
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
deltat <- T / n
lambda _ 0 <- (1 / T ) * log ( abs ( r ) * sqrt ( deltat ) / sigma _ 0)
Schritt <- 0
lambda _ best <- lambda _ 0
Fehler _ best <- -1
N <- length ( K )
C _ Mkt <- rep (0 , N )
C _ Mod <- rep (0 , N )
# # Marktpreise :
for ( k in 1: N ) {
a <- ( log ( S _ 0 / K [ k ])+( r +( sigma _ 0)^2 / 2) * T ) / ( sigma _ 0 * sqrt ( T ))
b <- a - sigma _ 0 * sqrt ( T )
if ( Typ [ k ] == 0) {
C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * pnorm ( a ) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * pnorm ( b )
} else {
C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * ( pnorm ( a ) -1) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * ( pnorm ( b ) -1)
}
}
while ( Schritt < I ) {
if ( Schritt == 0){
Lambda <- c ( lambda _ 0 , lambda _ 0+ s )
} else {
Lambda <- c ( seq ( s / 2^ Schritt ,2^( Schritt -1) *s - s / 2^( Schritt ) ,
s / 2^( Schritt -1)) ,
seq (2^( Schritt -1) * s + s / 2^( Schritt ) ,2^ Schritt *s ,
s / 2^( Schritt )))+ lambda _ 0
}
for ( lambda in Lambda ) {
# # Berechne Baum
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( lambda * (i -1) * deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
# # Berechne N Modellpreise
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
Fehler <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt ) * ( C _ Mod - C _ Mkt ))
# # Pruefe Fehler der Preise
if ( Fehler <= epsilon ) {
lambda _ star <- lambda
Schritt <- I # # Sprung aus der while - Schleife
break # # Sprung aus for - Schleife
}
# # Zwisc henspe ichern des kleinsten Fehlers und lambda
if ( Fehler _ best == -1 || Fehler _ best > Fehler ) {
lambda _ best <- lambda
Fehler _ best <- Fehler
}
}
Schritt <- Schritt +1
}
if ( Fehler <= epsilon ) {
print ( " lambda _ star = " )
print ( lambda _ star )
print ( " epsilon = " )
print ( epsilon )
print ( " Fehler = " )
print ((1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2))
print ( " Modellpreise : " )
print ( C _ Mod )
print ( " Marktpreise : " )
print ( C _ Mkt )
} else {
print ( " Kein lambda _ star gefunden ! " )
print ( " bestes lambda : " )
print ( lambda _ best )
print ( " Fehler = " )
print ( Fehler _ best )
85
86
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
}
Für die Werte, wie sie oben gesetzt wurden, erhält man als Ausgabe:
[1] " lambda _ star = "
[1] 0.0163419
[1] " epsilon = "
[1] 0.05
[1] " Fehler = "
[1] 0.04703201
[1] " Modellpreise : "
[1] 12.265449 17.255129 23.546399 30.369258 37.808092
[6] 9.352532 5.721543 2.923215 14.277456 19.708569
[1] " Marktpreise : "
[1] 12.272361 17.319784 23.421057 30.352165 37.804624
[6] 9.593130 5.728455 2.987870 14.503924 20.288805
Verkleinert man ε auf ε = 0, 03, so liefert das Modell kein passendes λ:
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
" Kein lambda _ star gefunden ! "
" bestes lambda : "
0.0225919
" Fehler = "
0.0363183
Eine Veränderung von s und I, d. h. eine Verringerung von s und Erhöhung
von I führt nur langsam zu einem besseren Ergebnis, erhöht die Rechenzeit des
Computers aber enorm (mit einer Erhöhung von I um 1 verdoppelt sich die
Rechenzeit in etwa). Für s = 0, 005 und I = 7 ist der Fehler nur unmerklich
weniger geworden, nämlich 0.03630994. Eine Verfeinerung des Baums um eine
Periode, also setzen von n = 10, hingegen, bringt das Ergebnis:
[1] " lambda _ star = "
[1] 0.01455585
[1] " epsilon = "
[1] 0.03
[1] " Fehler = "
[1] 0.0253361
[1] " Modellpreise : "
[1] 12.238540 17.390677 23.348799 30.416606 37.834033
[6] 9.378024 5.694634 3.058763 14.264381 19.932250
[1] " Marktpreise : "
[1] 12.272361 17.319784 23.421057 30.352165 37.804624
[6] 9.593130 5.728455 2.987870 14.503924 20.288805
5.1.4
Verfahren des goldenen Schnitts
Ein Verfahren zur Bestimmung von Extremwerten ist das Verfahren des goldenen Schnitts (siehe [5]), das, ähnlich dem Intervallhalbierungsverfahren, für
Funktionen, die genau ein Minimum bzw. Maximum haben, auf numerische
Weise eine Approximation der Minimal- bzw. Maximalstelle findet. Alle folgenden Formeln und Ungleichungen beziehen sich immer auf das Finden eines
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
87
Minimums bzw. einer Minimalstelle.
Zunächst soll der goldene Schnitt definiert und grafisch dargestellt werden.
Definition 5.1. Als goldener Schnitt ϕ wird das Teilungsverhältnis (einer Strecke, Größe, etc.) bezeichnet, für das mit a > b gilt:
a
b
=
=: ϕ.
b
a−b
Anschaulich kann man sich diese Bedingung über das goldene Rechteck“ her”
leiten:
Betrachte ein Rechteck mit Kantenlängen a > b. Teilt man dieses Rechteck
in ein Quadrat der Seitenlänge b und ein weiteres, kleineres Rechteck, so soll
das Verhältnis der Kanten des kleineren Rechtecks das gleiche sein wie das der
Kanten im ursprünglichen, großen Rechteck:
b
Es soll gelten:
a−b
a+b
a
=
a
b
a
oder
a
b
=
b
a−b
a+b
Beide Gleichungen, und auch jede weitere, denn das Aufteilen des Rechtecks in
ein Quadrat und ein kleineres Rechteck kann beliebig oft für die neu entstehenden kleineren Rechtecke fortgesetzt werden, kommen zum selben Ergebnis:
√
1+ 5
ϕ=
≈ 1, 61803.
2
Wie alle Bisektionsverfahren beginnt auch das Verfahren des goldenen Schnitts
zur Minimalstellensuche mit einem abgeschlossenen Intervall, auf dem nach der
Minimalstelle gesucht wird. Wichtig ist hierbei, dass die Minimalstelle in dem
Intervall enthalten ist, doch für Funktionen mit genau einem Minimum lässt sich
dieses leicht finden: Sei f die Funktion, deren Minimalstelle gesucht ist. Wenn
für drei Punkte x1 < x3 < x2 gilt, dass f (x1 ) > f (x3 ) und f (x2 ) > f (x3 ), so
bildet [x1 , x2 ] ein geeignetes Startintervall.
Unsere zu betrachtende Funktion, deren Minimalstelle bestimmt werden soll,
ist
N
1 X
f (λ) :=
(CM od (λ, k) − CM kt (k))2 .
N
k=1
Eine analytische Untersuchung dieser Funktion ist kaum möglich, da wir keine
geschlossene Formel für CM od (λ) haben. Demzufolge können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass diese Funktion in Abhängigkeit von λ genau ein Extremum
hat. Simulationen mit verschiedenen Eingabeparametern liefern jedoch immer
ein ähnliches Bild, das die Abhängigkeit zwischen f und λ darstellt, siehe dazu
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
800
200
400
600
Fehler
1000
1200
1400
88
0.0
0.2
0.4
0.6
Lambda
Abbildung 5.2: Simulierte, beispielhafte
Abhängigkeit zwischen λ und dem
P
(C
(λ, k) − CM kt (k))2 .
zugehörigen Fehler f (λ) = N1 N
M
od
k=1
Abbildung 5.2. Der zugehörige Quellcode befindet sich im Anhang auf Seite
125.
Lässt man sich für die Optionspreise, für die ein Baum als Annäherung des
zugrundeliegenden Wertpapiers erzeugt werden soll, eine entsprechende Grafik
ausgeben, kann man die Abhängigkeit zwischen λ und der zu minimierenden
Funktion kontrollieren und findet sogar geeignete Grenzen für das Anfangsintervall, in der Grafik beispielsweise x1 = 0, 2 und x2 = 0, 6, denn für x3 = 0, 3
gilt dann die Beziehung x1 < x3 < x2 mit f (x1 ) > f (x3 ) und f (x2 ) > f (x3 ).
Eine andere Möglichkeit der Suche nach einem geeigneten Startintervall ist folgende numerische Methode, die allerdings voraussetzt, dass f zwischen λ0 und
der Minimalstelle, wobei mit λ0 wieder die untere Grenze des Intervalls I bezeichnet werde, streng monoton fällt und danach streng monoton wächst: Wähle
als linke Intervallgrenze x1 des Startintervalls λ0 und als rechte Grenze ein x2
so, dass gilt f (λ0 ) = f (x1 ) ≤ f (x2 ). Dann befindet sich die Minimalstelle auf
jeden Fall im Intervall [x1 , x2 ]. Bei der Suche nach x2 kann man beispielsweise
so vorgehen, dass man mit dem Intervall [x1 , x1 + `] startet und dann in einer
Schleife den Abstand der rechten Intervallgrenze zu x1 mit jedem Schritt expo-
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
89
nentiell wachsen lässt und für diese Punkte den Wert von f berechnet und mit
f (x1 ) vergleicht. Mit dieser Methode ist im i-ten Schritt das Intervall von der
Form [x1 , x1 + 2i `], i = 0, 1, . . . Da f (x1 ) = f (λ0 ) ein endlicher Wert ist, findet
diese Schleife immer ein passendes x2 als rechte Intervallgrenze. Zu beachten
ist, dass ` nicht zu groß zu wählen ist, um das Startintervall möglichst klein zu
halten. Bei einer sehr kleinen Wahl können jedoch rechnerbedingte Rundungsfehler auftreten, die zu einem falschen Ergebnis führen können. Eine geeignete
Wahl erscheint mir zum Beispiel ` = 1.
Nachdem ein geeignetes Startintervall gefunden wurde, kann der Algorithmus
der Minimalstellensuche beginnen. Im ersten Schritt des Suchalgorithmus soll
das Anfangsintervall zweimal im goldenen Schnitt wie in der nachfolgenden
Grafik eingezeichnet geteilt werden, wobei die beiden Teilungspunkte mit a
und b bezeichnet sind.
a
b
x1
x2
Für a soll gelten:
x2 − a
=ϕ
a − x1
⇔ x2 − a = ϕ(a − x1 )
⇔ ϕa + a = x2 + ϕx1
x2 + ϕx1
⇔a=
.
ϕ+1
Ebenso soll für b gelten:
b − x1
=ϕ
x2 − b
⇔ b − x1 = ϕ(x2 − b)
⇔ b + ϕb = ϕx2 + x1
x1 + ϕx2
,
⇔b=
ϕ+1
wobei b auch mit Hilfe von a ausgerechnet werden kann (oder umgekehrt), denn
es gilt für die entsprechenden Streckenabschnitte:
a − x1 = x2 − b,
also
b = x1 + x2 − a bzw. a = x1 + x2 − b.
(5.6)
Hat man die Punkte a und b bestimmt, so werden die Funktionswerte dieser
beiden Punkte berechnet. Ist f (a) > f (b), so befindet sich die gesuchte Minimalstelle im Intervall [a, x2 ], ist umgekehrt f (a) < f (b), so befindet sie sich im
Intervall [x1 , b].
90
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
f (a)
f (b)
f (b)
a
f (a)
b
x1
a
x2
b
x1
f (a) ≥ f (b)
x2
f (a) < f (b)
Fall f (a) ≥ f (b): Das neue, kleinere Intervall [a, x2 ] ist durch b bereits einmal
im goldenen Schnitt geteilt, was aus den Eigenschaften des goldenen Schnitts
folgt (siehe goldenes Rechteck), der zweite Punkt für die Unterteilung kann nun
aber ganz einfach aus Formel (5.6) mit Variablenumbenennung berechnet werden als c = a + x2 − b. Es teilen dann b und c, b < c, das Intervall [a, x2 ] im
goldenen Schnitt.
Fall f (a) < f (b): Das neue, kleinere Intervall [x1 , b] ist durch a bereits einmal
im goldenen Schnitt geteilt und der zweite Punkt für die Unterteilung kann
analog zum anderen Fall berechnet werden als c = x1 + b − a. Die Punkte a und
c mit c < a teilen das Intervall [x1 , b] im goldenen Schnitt.
Dieses Verfahren wird iterativ wiederholt, wobei sich das Intervall, in dem sich
die Minimalstelle befindet, immer um den gleichen Faktor verkleinert, bis die
Abstände der Intervalle eine vorher festgelegte Breite unterschreiten, also wenn
die Minimalstelle eng genug eingegrenzt ist. Als Lösung kann dann ein Element aus diesem Intervall, zum Beispiel der Unterteilungspunkt, der für dieses
Intervall schon berechnet ist, genommen werden. Das Verfahren des goldenen
Schnitts ist in Algorithmus 5.3 beschrieben.
Die über den Algorithmus gefundene Minimalstelle λ∗ kann nun in unsere Funktion
N
1 X
f (λ∗ ) =
(CM od (λ∗ , k) − CM kt (k))2
N
k=1
eingesetzt werden. Es muss dann, analog wie beim Suchalgorithmus aus Abschnitt 5.1.3, bestimmt werden, ob das gefundene λ∗ den Fehler des Modells zu
den Marktpreisen klein genug hält, ob also
f (λ∗ ) ≤ ε
für ein vorher festgelegtes ε > 0 gilt. Ist dem nicht so, so ist das λ-Modell
nicht für die Optionspreisfindung zu den gegebenen Marktdaten geeignet und
es muss zur Erweiterung dieses Modells, die in Abschnitt 5.2 vorgestellt wird,
übergegangen werden.
Wir wollen nun anhand eines Beispiels verdeutlichen, wie das λ-Modell zur
Optionspreisfindung in einem konkreten Fall angewendet wird.
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
91
Eingabe:
λ0 ≤ x1 < x2 ; > 0; f : [λ0 , ∞) → R
√
1+ 5
ϕ= 2 ;
+ϕx1
;
a = x2ϕ+1
b = x1 + x2 − a;
while x2 − x1 > do
Berechne f (a) und f (b) als Fehler des Modells; dabei wird für a und
b jeweils ein kompletter Baum mit den N Optionspreisen CM od
berechnet;
if f (a) > f (b) then
x1 = a;
a = b;
b = x1 + x2 − a;
λ=b
else
x2 = b;
b = a;
a = x1 + x2 − b;
λ=a
end
end
Ergebnis: λ
Algorithmus 5.3: Finden einer Minimalstelle mit dem Verfahren des goldenen Schnitts. Die Intervallbreite ist hierbei üblicherweise von der Maschinengenauigkeit abhängig gewählt.
92
5.1.5
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Beispielanwendung des λ-Modells zur Optionspreisfindung
mit fiktiven Marktdaten
Beispiel 5.2. Ein Kunde möchte bei einer Bank eine Calloption auf Aktie S, die
in T = 5 Jahren fällig sein soll, mit Strikepreis K = 105 kaufen. Der Bankangestellte schaut zunächst an der Börse nach, wie hoch der aktuelle Marktpreis
für solch eine Option ist und stellt fest, dass diese momentan nicht gehandelt
wird. Er muss also selbst einen Preis für diese Option bestimmen.
Da jedoch Optionen zu anderen Strikepreisen mit derselben Laufzeit auf S gehandelt werden, will er unter Zuhilfenahme dieser Marktpreise den Preis für die
Option, die der Kunde kaufen möchte, festlegen. Der Bankangestellte trägt folgende Informationen zusammen, wobei alle Optionen europäischen Typs sind:
Typ
Call
Call
Put
Call
Put
Put
Put
Call
Call
Strike K
100
108
160
130
130
125
145
95
122
Marktpreis
24,87
19,56
24,51
8,53
7,78
5,88
15,15
28,42
11,87
Außerdem ist S momentan 102 wert, den Zinssatz schätzt er während der kommenden 5 Jahre auf r = 0, 05. Die implizite Volatilität wird ihm mit den Daten
von der Börse mitgeliefert und als σ = 9% angegeben. Mithilfe des λ-Modells
will er nun den Optionspreis schätzen und dabei den mittleren, quadratischen
Fehler kleiner als 3 Cent halten, weshalb er ε = 0, 03 setzt. Außerdem soll der
erzeugte Baum n = 9 Perioden haben.
Generischer Suchalgorithmus Der Bankangestellte erhält als Ergebnis des
generischen Suchverfahrens aus Abschnitt 5.1.3 einen nicht-rekombinierbaren
Binomialbaum in n = 9 Perioden mit Parameter
λ∗1 = 0, 031789.
An der entsprechenden Stelle im Quellcode erfolgte die Eingabe der Marktpreise
mit
C _ Mkt = c (24.87 ,19.56 ,24.51 , 8.53 ,
7.78 , 5.88 ,15.15 ,28.42 ,11.87)
Verfahren des goldenen Schnitts Eine Implementierung des Verfahrens
des goldenen Schnitts in R ist im nachfolgenden Quellcode dargestellt:
Quellcode 3 (Verfahren des goldenen Schnitts zur λ-Suche):
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
# # Marktparameter
T <- 5
sigma _ 0 <- 0.09
S _ 0 <- 102
r <- 0.05
# # Optionen am Markt
Typ <- c (0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0) # # 0= Call ,1= Put
K <- c (100 ,108 ,160 ,130 ,130 ,125 ,145 ,95 ,122)
C _ Mkt <- c (24.87 ,19.56 ,24.51 , 8.53 ,
7.78 , 5.88 ,15.15 ,28.42 ,11.87)
N <- length ( K )
# # gewaehlte Parameter
n <- 9
epsilon <- 0.03
Deltat <- T / n
lambda _ 0 <- (1 / T ) * log ( abs ( r ) * sqrt ( Deltat ) / sigma _ 0)
Abbruch <- 0.00000001 # # Laenge des Intervalls [ x _ 1 , x _ 2]
## Variableninitialisierung
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
C _ Mod <- rep (0 , N )
# # Intervall zur M i n im a l st e l le n s uc h e
x _ 1 <- 0
x _ 2 <- 0.4
phi <- (1+ sqrt (5)) / 2
a <- ( x _ 2+ phi * x _ 1) / ( phi +1)
b <- x _ 1 + x _ 2 -a
# # Lambdasuche : Es werden immer zwei Baeume
# # ( fuer a und b ) berechnet
Fehler <- epsilon + 1
while ( Fehler > epsilon ) {
# # Berechne Baum fuer lambda = a
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( a * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
93
94
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer lambda = a
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Fehler fuer lambda = a
FehlerA <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt ) * ( C _ Mod - C _ Mkt ))
# # Berechne Baum fuer lambda = b
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( b * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer lambda = b
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
95
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Fehler fuer lambda = b
FehlerB <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt ) * ( C _ Mod - C _ Mkt ))
Fehler = min ( c ( FehlerA , FehlerB ))
# # Abfrage , welcher Fehler der Zwischenwerte groesser ist
# # Bestimmung des neuen Intervalls [ x _ 1 , x _ 2]
if ( FehlerA > FehlerB ){
x _ 1 <- a
a <- b
b <- x _ 1+ x _ 2 - a
lambda <- a
} else {
x _ 2 <- b
b <- a
a <- x _ 1+ x _ 2 - b
lambda <- b
}
# # Falls die Intervallbreite die Schranke unterschreitet ,
# # Abbruch des Verfahrens
if ( x _ 2 - x _ 1 < Abbruch ){
print ( " Abbruch ! " )
break
}
}
# # Ausgabe des Ergebnisses
print ( " Minimalstelle lambda : " )
print ( lambda )
print ( " Fehler : " )
print ( Fehler )
Dabei ist die Laufzeit dieses Programms deutlich kürzer als die des generischen
Suchalgorithmus. Der generische Suchalgorithmus benötigt für die Berechnung
der Minimalstelle ca. 8 Minuten und 11,81 Sekunden, ist also nicht wirklich
praktikabel. Im Vergleich dazu benötigt das Verfahren des goldenen Schnitts für
die Berechnung der Minimalstelle 3,65 Sekunden. Hierbei wurde ein Computer
mit folgenden Spezifikationen verwendet: CPU: Intel Core i7 – 2,40 GHz, RAM:
8 GB, BS: MS-Windows 8.1 (64-Bit). Für die Laufzeitangabe wurde die RFunktion proc.time() verwendet.
Warum der generische Suchalgorithmus trotz der langen Durchlaufzeiten in
dieser Arbeit aufgeführt wird hat den Grund, dass er immer, auch ohne die
Abhängigkeit von λ und f (λ) zu kennen, anwendbar ist.
96
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Mit dem Verfahren des goldenen Schnitts erhält der Bankangestellte in kürzester
Zeit als Ergebnis:
[1]
[1]
[1]
[1]
" Minimalstelle lambda : "
0.03606798
" Fehler : "
0.02522075
Es ist
λ∗2 = 0, 03606798
und damit ungefähr so groß wie λ∗1 .
Aus beiden Ergebnissen errechnet er sich mit folgendem Programm den Preis
der Option, wobei im Quellcode der Wert für λ aus dem generischen Algorithmus (λ∗1 ) eingesetzt ist.
Quellcode 4 (Berechnung des Optionspreises mit Eingabe von λ):
T <- 5
sigma _ 0 <- 0.09
S _ 0 <- 102
r <- 0.05
n <- 9
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
deltat <- T / n
lambda <- 0.031789
Typ <- 0 # # Call
K <- 105
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( lambda * (i -1) * deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
97
}
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K ) / exp ( r * n * deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 ,K - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
print ( " Optionspreis " )
print ( V [1 ,1])
Der Preis wird ihm ausgegeben als
[1] " Optionspreis : "
[1] 21.66245
Mit dem λ aus dem Verfahren des goldenen Schnitts bekommt er als Ausgabe:
[1] " Optionspreis "
[1] 21.71021
Beide Berechnungsarten kommen also zu einem ähnlichen Ergebnis und der
Bankangestellte muss in etwa 21, 70 Euro vom Kunden für diese Option verlangen, mit Gewinnaufschlag und Einberechnung des Fehlers ε bei der Erzeugung der Modellbäume etwas mehr. Zum Vergleich dazu beträgt der Preis mit
Hilfe der Black-Scholes-Formel ausgerechnet ungefähr 21,49 Euro (als σ wurde die Startvolatilität σ(0) des λ-Modells verwendet). Da bei der Kalibrierung
des nicht-rekombinierbaren Binomialbaums (mit beiden Methoden) ein λ > 0
gefunden wird, die Volatilität mit der Zeit also steigt, ist auch der Preis der
Calloption, der mit diesem Baummodell ausgerechnet wird, höher als der Preis,
der bei der Anwendung des Black-Scholes-Modells ausgegeben wird, da hier
die Volatilität konstant bleibt, also kleiner gleich der im Baummodell ist. Für
den Zusammenhang von Optionspreis und Volatilität gilt, dass die partielle
Ableitung des Optionspreises nach σ, die mit vega bezeichnet wird (einer der
Griechen“, das sind bestimmte Kennzahlen im Zusammenhang mit Hedging),
”
immer größer 0 ist, wenn europäische Call- und Putoptionen betrachtet werden.
5.1.6
Test des λ-Modells mit echten Marktdaten
Der folgende Testlauf des λ-Modells verwendet die Aktie der Siemens AG sowie Optionen mit einer Restlaufzeit von 14 Tagen, ausgehend vom 03.02.2014,
ausgegeben von der Citigroup Global Markets Deutschland AG. Die Auswahl
der Aktie erfolgte hierbei willkürlich, lediglich einen gewissen Bekannheitsgrad
sollte das Unternehmen aufweisen. Alle Werte sind der Seite www.boerse.de
entnommen, mit Ausnahme des Zinssatzes.
98
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Aktienkurs (Siemens)
Volatilität σ
Zinssatz r
Tabelle 5.4:
03.02.2014
Stand
03.02.2014, 15:28
historisch, 14 Tage, 03.02.2014
03.02.2014, EONIA Monthly
Average, Jan. 2014
Wert
93,74 Euro
27,65%
19,6%
Basiswert Siemens-Aktie und Marktparameter vom
Die historischen Zinssatzdaten des EONIA (Euro OverNight Index Average) finden sich beispielsweise auf www.euribor-ebf.eu/index.php. Der EONIA gibt,
im Unterschied zum EURIBOR, Referenzzinssätze für unbesicherte Ausleihungen von einem Tag zum nächsten an, wohingegen der EURIBOR Termingelder
mit Laufzeiten von mindestens einer Woche zugrunde legt. Die historische Volatilität wurde anhand der Faustregel, dass die Länge der Historie in etwa der
Laufzeit, also 14 Tagen, entsprechen soll, gewählt und der bereits genannten
Internetseite entnommen. Auf eine Berechnung der impliziten Volatilität habe
ich hier verzichtet, da die historische Volatilität für verschieden lange Historien,
auch für 14 Tage, bei den Börsendaten mit angegeben war.
Zu den Optionen auf die Siemens-Aktie lagen folgende Marktdaten vor:
Typ
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Strike K
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
Fälligkeit
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
17.02.2014
Marktpreis
14,10
12,20
10,20
8,30
6,30
4,60
3,00
1,70
0,89
0,39
0,13
0,04
Tabelle 5.5: Marktdaten für 12 Calloptionen auf die Siemens-Aktie vom
03.02.2014, 15:29. Die Optionen wurden mit einem Bezugsrecht von 1:10
ausgegeben, d. h. mit einem Kauf von 10 Optionscheinen hat der Käufer das
Recht, eine Einheit des Basiswerts (der Siemens-Aktie) zum Strikepreis zu
kaufen. Entsprechend sind die Marktpreise in der Tabelle mit 10 multipliziert angegeben, um unsere Bewertungsformel anwenden zu können. Quelle:
http://www.boerse.de/optionsscheine/calls/Siemens/DE0007236101
Für diese Marktdaten wird nun der Preis einer Calloption auf die Siemens-Aktie
mit derselben Laufzeit und Strikepreis K = 91 berechnet. Das entsprechende
R-Programm setzt sich aus den bisher angegebenen Quellcodes zusammen, ist
im Ganzen im Anhang ab Seite 127 zur Überprüfung nochmals angegeben.
5.1. BINOMIALBAUM MIT MODELLANNAHMEN
99
Es wird das Verfahren des goldenen Schnitts verwendet, wobei ein geeignetes
Startintervall numerisch über eine Schleife, wie in Abschnitt 5.1.4 beschrieben,
bestimmt wird. Anschließend wird mit der gefundenen Minimalstelle und dem
daraus resultierenden Baummodell der Optionspreis für K = 91 berechnet. Die
Ausgabe des Programms ist folgende:
[1] " Minimalstelle lambda : "
[1] -24.0314
[1] " mittlerer , quadrierter Fehler "
[1] " zwischen Modell - und Marktpreisen unter lambda : "
[1] 0.01328921
[1] " epsilon : "
[1] 0.015
[1] " Modellpreise ( unter lambda ): "
[1] 14.34745974 12.36264623 10.37783273 8.39756897
[5] 6.44951934 4.60554440 2.98380947 1.70426355
[9] 0.83126576 0.33285776 0.10138467 0.01913613
[1] " Marktpreise ( nach Eingabe ): "
[1] 14.10
12.20
10.20
8.30
[5] 6.30
4.60
3.00
1.70
[9] 0.89
0.39
0.13
0.04
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
" Modell - Optionspreis : "
3.757872
" Vergleichsmarktpreis :"
3.8
" Quadrierter Fehler der beiden Preise : "
0.001774762
Bei der ausgegebenen Minimalstelle fällt auf, dass sie negativ ist und betragsmäßig recht hoch erscheint. Diese beiden Beobachten sind allerdings getrennt zu
betrachten. Die Negativität der Minimalstelle bedeutet, dass die Volatitlität der
Aktie über die Zeit abnimmt. Wie stark diese Abnahme jedoch tatsächlich ist,
kann nur in Zusammenhang mit der Größe ∆t = Tn , also dem Fälligkeitszeitpunkt
T und der Periodenanzahl n des Baumes beurteilt werden. T hängt jedoch wiederum von der Skalierung ab, also ob damit zum Beispiel Tage oder Jahre angegeben werden, was auch eine entsprechende Anpassung des Zinssatzes nach
sich zieht. Diese Skalierung beeinflusst auch die betragsmäßige Größe der Minimalstelle. In dem Fall hier zählt T die Jahre bis zur Fälligkeit der Option, also
14
T = 360
. Entsprechend ist ∆t sehr klein und deswegen λ betragsmäßig eher
größer, um die Volatilität zu schätzen (Erinnerung: σ(i) = σ(0)eλi∆t ). Wäre
T in Tagen angegeben, wäre ∆t bei gleicher Wahl von n größer, λ hätte also,
um auf etwa dieselbe Volatilität zu kommen, einen betragsmäßig deutlich geringeren Wert. Insofern sind direkte Vergleiche verschiedener Werte für λ nur
bedingt aussagekräftig.
Der Referenzwert (Vergleichsmarktpreis) für die Calloption zu Strikepreis K =
91 ist ebenfalls der genannten Internetseite entnommen, geht in die Berechnung des Modells aber nicht ein. Der geforderte, maximale Fehler zwischen
den Modell- und den Marktpreisen liegt unterhalb des Niveaus ε = 0, 015.
Die quadratische Abweichung des berechneten Optionspreises für K = 91 zum
100
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Referenzpreis beträgt ebenfalls weniger als 0, 015. Zur Veranschaulichung der
Abhängigkeit von Strikepreis und Marktoptionspreis bzw. Strikepreis und Modelloptionspreis siehe Abbildung 5.6, in die der Referenzwert ebenfalls eingetragen ist. Der Graph der Fehlerfunktion, auf dem die Minimalstelle ebenfalls
erkennbar ist, ist in Abbildung 5.7 dargestellt.
Man kann nun vermuten, dass für diese Aktie das Modell gut zu funktionieren scheint, d. h. dass die Aktie sich in etwa nach dem vorgegebenen Schema
verhält. Dies muss natürlich nicht immer so sein. Falls das λ-Modell keine guten
Ergebnisse liefert, kann es, wie im nächsten Abschnitt beschrieben, abgewandelt
werden.
5.2
Nicht-rekombinierbarer Binomialbaum ohne Modellannahmen
Im vorigen Abschnitt wurde stets vorausgesetzt, dass sich das betrachtete Wertpapier innerhalb eines festen Schemas verhält, das durch Setzen des Parameters
λ gesteuert werden kann. Dieses Vorgehen besitzt zwar mehr Freiheiten als das
CRR-Modell, kann aber in manchen Fällen, bei denen sich das Wertpapier deutlich außerhalb des vorgegebenen Musters bewegt, trotzdem keinen passenden
Modellbaum liefern. Eine Möglichkeit, wie das im vorigen Abschnitt vorgestellte Verfahren zur Optionspreisfindung aus Marktdaten weiterentwickelt werden
kann, um sich von den Schemavorgaben des nicht-rekombinierbaren Binomialbaums aus Abschnitt 5.1 zu lösen, stellen C. Charalambous, N. Christofides, E.
D. Constantinide und S. H. Martzoukos in ihrer Arbeit [7] vor.
Hierbei werden die Knoten eines zu Anfang gegebenen Baumes nach und nach
so abgeändert, dass der daraus entstehende Baum die Marktdaten möglichst
genau approximiert. Es wird also nicht über λ approximiert, sondern über jeden einzelnen Knoten S(i, j). Die Menge dieser Knoten sei mit S bezeichnet
und gegeben durch
S = {(S(1, 0), S(1, 1), S(2, 0), . . . , S(2, 3), . . . , S(n, 2n − 1))|
i
S(i, j) ∈ R+
0 ; i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , 2 − 1}.
S(0, 0) als Startwert des Wertpapiers ist bekannt und somit kein unbekannter
Parameter. Mit den Bezeichnungen aus dem vorigen Abschnitt kann das neue
Optimierungsproblem nun umformuliert werden zu:
min
x∈S
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k)).
k=1
Dies ist ein nicht-konvexes Minimierungsproblem unter Nebenbedingungen, wobei f wieder die Kleinste-Quadrate-Funktion f (a, b) = (a − b)2 sein wird.
Ich werde im Folgenden die Herleitung des Optimierungsansatzes erläutern, ein
explizites Beispiel aber nicht ausführen. Ein solches findet sich in ausführlicher
101
12
10
8
6
4
2
0
C_Mkt (Kringel), C_Mod (Kreuze), Referenzgröße (Dreieck)
14
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
80
85
90
95
100
K
0.0138
0.0132
0.0134
0.0136
Fehler
0.0140
0.0142
0.0144
Abbildung 5.6: Optionspreis in Abhängigkeit vom Strikepreis. Die Kringel
markieren die Marktpreise, die in die Berechnung des Modells eingehen,
die Kreuze die Modellpreise. Das Dreieck ist die Referenzgröße, also der
Marktpreis für K = 91, der in die Modellbildung nicht einbezogen wird.
−25
−24
−23
−22
−21
−20
−19
Lambda
Abbildung 5.7: Fehlerfunktion für die Siemens-Aktie.
102
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Weise in [7] und verwendet Preise für Calloptionen auf den FTSE 100 Index,
einem der wichtigsten britischen Aktienindizes, aus dem Jahr 2003.
Da die Autoren alle Formeln stets unter Berücksichtigung einer zunächst zeitunanbhängigen Dividendenrate δ formulieren, werde ich dies auch tun. −δ spielt
im Wesentlichen eine ähnliche Rolle wie der Zinsfaktor r, weswegen an allen
Stellen, an denen er im Zusammenhang mit dem Wertpapier vorkommt, ein
er−δ steht.
5.2.1
Initialisierung des nicht-rekombinierbaren Binomialbaums
Wie eingangs erwähnt, muss zunächst ein Startbaum gewählt werden, von dem
aus der Optimierungsalgorithmus gestartet werden kann. Geeignet hierfür ist
ein Baum, der mit den Modellannahmen des vorigen Abschnitts gebildet wird.
Ein guter Wert für λ kann mithilfe des entsprechenden Algorithmus’ gefunden
werden.
Der initiale Baum sollte die Marktpreise bereits einigermaßen gut annähern,
sodass der weitere Optimierungsprozess in absehbarer Zeit erfolgen kann. Die
Tatsache, dass σ, und in diesem Zusammenhang insbesondere u und d im Startbaum nur von der Zeit, nicht aber der Höhe des Baums abhängen, wird im
weiteren Verlauf verschwinden, wenn die Werte der Knoten S(i, j) angepasst
werden. Entsprechend ändern sich dann die Werte für u(i, j) und d(i, j), die
dann zusätzlich von j abhängen werden. Mit
1 + u(i) = eσ(i)
√
∆t
und 1 + d(i) =
wobei
"
1
ln
σ(i) = σ(0)eλ·i·∆t , λ ∈
T
1
, i = 0, . . . , n − 1,
1 + u(i)
!
√ !
|r − δ| ∆t
,∞
σ(0)
gilt, erfolgt die Entwicklung des initialen Baums anhand des Schemas
p(i, j)
S(i, j) · eσ(0)e
λ·i·∆t
√
∆t
S(i, j)
1 − p(i, j)
λ·i·∆t
S(i, j) · e−σ(0)e
√
∆t
Wie vorher erhält man im Startbaum diejenigen Werte für S mit geradem j
über die Formel
S(i, j) = S(i − 1, 2j ) · (1 + d(i − 1)), i = 1, . . . , n, j = 0, 2, . . . , 2i − 2,
und die Werte der ungerade Knoten über
i
S(i, j) = S(i − 1, j−1
2 ) · (1 + u(i − 1)), i = 1, . . . , n, j = 1, 3, . . . , 2 − 1.
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
5.2.2
103
Risikoneutrale Übergangswahrscheinlichkeiten
Wie in Abschnitt 4.2 erläutert, gilt für das äquivalente Martingalmaß, das hier
mit P bezeichnet wird,
p(i, j) =
=
=
e(r−δ)∆t − (1 + d(i, j))
(1 + u(i, j)) − (1 + d(i, j))
S(i, j)e(r−δ)∆t − S(i, j)(1 + d(i, j))
S(i, j)(1 + u(i, j)) − S(i, j)(1 + d(i, j))
S(i, j)e(r−δ)∆t − S(i + 1, 2j)
, i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 2i − 1.
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
(5.7)
Entsprechend ist
1 − p(i, j) = 1 −
=
S(i, j)e(r−δ)∆t − S(i + 1, 2j)
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
S(i + 1, 2j + 1) − S(i, j)e(r−δ)∆t
.
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
p(i, j) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der von Knoten S(i, j) nach Knoten S(i + 1, 2j + 1) gesprungen wird, und 1 − p(i, j) die Wahrscheinlichkeit
eines Sprungs von Knoten S(i, j) nach S(i + 1, 2j). Die Darstellung von p in
Abhängigkeit der Knoten wird später noch benötigt.
5.2.3
Bedingungen für Arbitragefreiheit
Nachdem nun ein initialer, nicht-rekombinierbarer Binomialbaum gebildet ist,
dessen Arbitragefreiheit von der Wahl von λ abhängt, müssen zunächst noch
die Bedingungen, unter denen
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k)), x ∈ S
k=1
minimiert werden soll, gestellt werden. Diese stellen sicher, dass der über den
Algorithmus gefundene Baum wiederum arbitragefrei ist, die Werte von S nicht
negativ und die Optionspreise gültig sind. Die Bedingungen werden hierbei
direkt an alle Knoten S(i, j) gestellt.
Zunächst sollen die Bedingungen für Risikoneutralität und Arbitragefreiheit in
unserem nicht-rekombinierbaren Binomialbaum genauer erläutert werden. Die
Übergangswahrscheinlichkeit p(i, j), wie sie in Gleichung 5.7 definiert wurde,
nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, denn für einen risikoneutralen Baum muss
gelten:
S(i, j)e(r−δ)∆t ≤ S(i + 1, 2j + 1) und
S(i, j)e(r−δ)∆t ≥ S(i + 1, 2j),
i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 2i − 1. Diese Bedingungen bedeuten nichts anderes,
als dass das Wertpapier, wenn es sich anhand des Baums entwickelt, die beiden
104
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Möglichkeiten hat, entweder stärker zu steigen oder stärker zu fallen, als wenn
man es risikolos auf der Bank anlegen würde.
Desweiteren haben wir in Abschnitt 2.3.2 gesehen, dass Optionen, im Speziellen Call- und Putoptionen, auch ohne spezifische Annahmen durch Schranken
nach oben und unten beschränkt sind, wenn Arbitragemöglichkeiten verhindert
werden sollen. Für den europäischen Call mit Dividendenzahlungen lautet die
Ungleichung wie folgt:
(S(i, j)eδ(i∆t−T ) − Ker(i∆t−T ) )+ ≤ C(i, j) ≤ S(i, j)
bzw. für den Startzeitpunkt i = 0
(S(0, 0)e−δT − Ke−rT )+ ≤ CM od ≤ S(0, 0).
Für die Putption gilt die Formel analog aus Abschnitt 2.3.2. Außerdem gelte
wie immer, dass S(i, j) ≥ 0 für alle i, j.
Nun kann das Minimierungsproblem unter den (linearen) Nebenbedingungen
aufgestellt werden.
5.2.4
Das Optimierungsproblem
Alle diese Bedingungen sollen nun zusammengefasst werden und als lineare
Nebenbedingungen unseres Minimierungsproblems
min
x∈S
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k))
(5.8)
k=1
fungieren, wobei stets die Formeln für den Call angegeben sind:
g1 (i, j) = S(i, j)e(r−δ)∆t − S(i + 1, 2j) ≥ 0,
i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 2i − 1
(r−δ)∆t
g2 (i, j) = S(i + 1, 2j + 1) − S(i, j)e
≥ 0,
i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 2i − 1
g3 (k) = S(0, 0) − CM od (k) ≥ 0,
g4 (k) = CM od (k) − (S(0, 0)e
g5 (i, j) = S(i, j) ≥ 0,
−δT
k = 1, . . . , N
(5.10)
(5.11)
−rT +
− K(k)e
(5.9)
) ≥ 0,
i
i = 1, . . . , n, j = 0, . . . , 2 − 1
k = 1, . . . , N
(5.12)
(5.13)
Hierbei sind (5.9) und (5.10) die Bedingungen für Risikoneutralität, und (5.11)
und (5.12) aus der Ungleichung, die für Call-Optionen gilt. Zusammen mit (5.8)
ist das zu lösende Problem ein nicht-konvexes Optimierungsproblem unter linearen Nebenbedingungen. Um dieses Problem zu lösen, wird es in ein nichtlineares Minimierungsproblem ohne Nebenbedingungen umgewandelt, und zwar
mit der Methode der Straffunktionen (Penalty Function Method, z. B. [23],[8]).
Hierbei wird der Zielfunktion ein Strafterm hinzugefügt, der dann hohe Kosten
verursacht, wenn die Nebenbedingungen des ursprünglichen Problems verletzt
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
105
Eingabe: Parameter für initialen Baum im λ-Modell; c > 1; ε > 0
Bestimme optimalen Initialbaum aus eingegebenen Parametern und
erhalte so x0 ∈ S;
s = 1;
α1 = 1;
while P (x0 ) > 0 ∨ Ts (x0 ) > ε do
Wende Quasi-Newton-Algorithmus zum Finden des Minimums mit
Startwert x0 auf Ts an;
Ergebnis: xs ∈ S
x0 = xs ;
s = s + 1;
αs = c · αs−1 ;
end
Ergebnis: x0 ∈ S minimiert transformierte Zielfunktion
Algorithmus 5.8: Optimierung des nicht-rekombiniebaren Binomialbaums. Hierbei wird sowohl überprüft, ob die Strafterme gleich Null sind, als
auch, ob der gesamte Term Ts klein genug ist. Ist das ε so groß“ gewählt,
”
dass der Initialbaum aus der λ-Methode diese Bedingung bereits erfüllt,
denn der Strafterm ist beim Initialbaum immer gleich Null, da der aus der
λ-Methode gewonnene Baum arbitragefrei ist, so endet der Algorithmus sofort, ohne den Quasi-Newton-Algorithmus aufzurufen.
werden – oder umgekehrt, der nicht ins Gewicht fällt, wenn die Nebenbedingungen erfüllt sind. Im Allgemeinen ist eine solche transformierte Zielfunktion
mit Strafterm von der Gestalt
Ts (x) = h(x) + αs P (x)
mit h als ursprünglicher Zielfunktion, P als Strafterm und (αs )s als Folge von
Strafparametern. Das Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen ist nun
eine Folge von Optimierungsproblemen ohne Nebenbedingungen der Form
min Ts (x).
Bei Nebenbedingungen in Form von Ungleichheiten, also gl (x) ≥ 0, l = 1, . . . , m,
ist der Strafterm üblicherweise von der Gestalt
P (x) =
m
X
{min(gl (x), 0)}2 .
l=1
Die αs bilden eine streng monoton wachsende Folge, die beispielsweise als
αs+1 = cαs mit c > 1 (z. B. c = 10) gewählt werden kann. Üblicherweise
ist α1 = 1. Das so umgeschriebene Problem können wir unter Verwendung des
Quasi-Newton-Algorithmus, der im folgenden Abschnitt erläutert wird, mit der
Exterior Penalty Function Method lösen, die, angewandt auf unser Problem,
Algorithmus 5.8 liefert.
106
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
In der Regel konvergiert die Folge (xs )s ⊂ S aus dem Algorithmus mit wachsendem α gegen die Lösung des Problems mit Nebenbedingungen. Für das Problem
sieht die Straffunktion bzw. die transformierte Zielfunktion folgendermaßen aus:
Ts (x) =
N
X
wk f (CM od (x, k), CM kt (k))
k=1
+ αs
i −1
n−1
X 2X
{min(g1 (i, j), 0)}2 + {min(g2 (i, j), 0)}2
i=0 j=0
+ αs
N
X
{min(g3 (k), 0)}2 + {min(g4 (k), 0)}2
k=1
i
n 2X
−1
X
+ αs
{min(g5 (i, j), 0)}2
i=1 j=0
Der Strafterm, also die zweite, dritte und vierte Zeile obiger Gleichung, gehen
nur dann (positiv) in die Funktion Ts (x) ein, wenn x den Nebenbedingungen
nicht genügt. Wenn auch nicht explizit erkennbar, so hängt dieser Strafterm
natürlich auch ganz entscheidend von x ab.
Zur Optimierung der transformierten Zielfunktion wird ein Quasi-Newton-Algorithmus verwendet, der zwar auf dem Newton-Algorithmus aufbaut, die HesseMatrix der zu minimierenden Funktion, also ihre zweiten Ableitungen, jedoch
nur annährungsweise berechnet, um den Rechenaufwand in den Iterationsschritten klein zu halten.
5.2.5
Quasi-Newton-Algorithmus
Der Quasi-Newton-Algorithmus, der in Algorithmus 5.8 Verwendung findet, soll
zunächst allgemein erläutert werden. Die Notation bezieht sich hierbei nicht auf
unser eigentlich zu lösendes Problem, um die Erläuterungen übersichtlicher zu
gestalten.
f : Rn → R sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion, deren Minimum
bestimmt werden soll. Über eine Taylor-Entwicklung bis zum zweiten Grad
kann f durch eine Näherungsfunktion approximiert werden. Diese Näherungsfunktion werde mit q bezeichnet.
q(x) := f (a) +
f 0 (a)
f 00 (a)
(x − a) +
(x − a)2
1!
2!
Für Funktionen mit zwei Variablen, also n = 2, ergibt sich für die Näherungsfunktion
q(x1 , x2 ) =f (a1 , a2 ) + (x1 − a1 )fx1 (a1 , a2 ) + (x2 − a2 )fx2 (a1 , a2 )
1
+
(x1 − a1 )2 fx1 x1 (a1 , a2 )
2!
+ 2(x1 − a1 )(x2 − a2 )fx1 x2 (a1 , a2 ) + (x2 − a2 )2 fx2 x2 (a1 , a2 ) ,
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
107
was sich unter Verwendung der Formeln für den Gradienten und die HesseMatrix kürzer schreiben lässt:
1
q(x) = f (a) + (x − a)t ∇f (a) + (x − a)t Hf (a)(x − a)
2
mit
∇f (a) =
und
Hf (a) =
∂f
∂x1 (a)
∂f
∂x2 (a)
∂2f
∂x1 ∂x1 (a)
∂2f
∂x2 ∂x1 (a)
!
∂2f
∂x1 ∂x2 (a)
∂2f
∂x2 ∂x2 (a)
!
.
Wenn ein Minimum existiert, so muss die Ableitung von q an (mindestens) einer
Stelle 0 sein:
∇q(x) = ∇f (a) + Hf (a)(x − a) = 0.
(5.14)
Ist Hf (a) positiv definit, so ist die Nullstelle der Ableitung von q tatsächlich
ein
xk,1
Minimum, das mithilfe des Newton-Verfahrens und der Folge (xk )k =
xk,2 k
angenähert werden kann:
xk+1 = xk − Hf−1 (xk )∇f (xk ).
Da Hf für obige Rechnung positiv definit und invertierbar sein muss, dies
aber nicht von vornherein gelten muss, wird an dieser Stelle im Quasi-NewtonVerfahren eine Annäherung an Hf−1 (xk ) vorgenommen. Hierfür wird zunächst
Formel (5.14) für xk und xk+1 umgeformt zu:
∇f (xk ) = −Hf (xk )(x − xk )
∇f (xk+1 ) = −Hf (xk+1 )(x − xk+1 )
∇f (xk ) von ∇f (xk+1 ) abgezogen ergibt:
∆gk := ∇f (xk+1 ) − ∇f (xk ) = −Hf (xk+1 )(x − xk+1 ) + Hf (xk )(x − xk ). (5.15)
Nimmt man nun an, dass sich die Hesse-Matrix in den Punkten xk und xk+1
nur geringfügig unterscheidet, was man aufgrund der Stetigkeit der zweiten
Ableitung von f und mit genügend kleinen Schritten der xk tun kann, so wird
(5.15) von
∆gk ≈ −Hf (xk+1 )(xk − xk+1 )
approximiert. Die Inverse von Hf wird ersetzt durch M , sodass die Approximation eine Gleichung darstellt:
Mk+1 ∆gk = xk+1 − xk =: ∆xk .
(5.16)
Die Matrix M soll sich gemäß der Vorschrift
Mk+1 = Mk + cZZ t
(5.17)
108
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
entwickeln, wodurch man (5.16) umschreiben kann zu
Mk+1 ∆gk = (Mk + cZZ t )∆gk = Mk ∆gk + cZZ t ∆gk = ∆xk .
Eine Umstellung ergibt
cZ = (∆xk − Mk ∆gk )(Z t ∆gk )−1 .
Somit können c und Z folgendermaßen gewählt werden:
Z = ∆xk − Mk ∆gk
c = (Z t ∆gk )−1
Für M gilt dann
Mk+1 = Mk +
(∆xk − Mk ∆gk )(∆xk − Mk ∆gk )t
.
(∆xk − Mk ∆gk )t ∆gk
Dieses M ist nun immer symmetrisch, muss aber nicht zwangsläufig positiv
definit sein. Durch eine kleine Abänderung kann dies jedoch erreicht werden.
Man ändert Formel (5.17) ab zu
Mk+1 = Mk + cZZ t + dY Y t .
Dann ist
Mk ∆gk + cZZ t ∆gk + dY Y t ∆gk = ∆xk
⇐⇒
∆xk − Mk ∆gk = cZZ t ∆gk + dY Y t ∆gk
= c(Z t ∆gk )Z + d(Y t ∆gk )Y,
d. h. ∆xk −Mk ∆gk ist eine Linearkombination aus Z und Y . Setzt man nun Z =
∆xk und Y = Mk ∆gk und nimmt an, dass diese beiden Vektoren unabhängig
voneinander sind, so folgt
∆xk − Mk ∆gk = c(∆xtk ∆gk )∆xk + d((Mk ∆gk )t ∆gk )Mk ∆gk ,
was gilt, wenn
c = (∆xtk ∆gk )−1 und
d = −((Mk ∆gk )t ∆gk )−1 = −(∆gkt Mk ∆gk )−1 .
Die Formel für M lautet also
Mk+1 = Mk +
∆xk ∆xtk
Mk ∆gk (Mk ∆gk )t
−
.
∆xtk ∆gk
∆gkt Mk ∆gk
Diese iterative Formel geht auf Broyden, Fletcher, Goldfarb und Shanno bzw.
Davidon, Fletcher und Powell zurück und wird auch BFGS- bzw. DFP-UpdateFormel genannt. Für tiefer gehende Erläuterungen, insbesondere zur Forderung
nach der Entwicklung von M , siehe beispielsweise [20]. In der hergeleiteten
Formel für M als Approximation der Hesse-Matrix ist Mk+1 symmetrisch und
positiv definit, wenn Mk bereits symmetrisch und positiv definit war und außerdem gilt, dass ∆xtk ∆gk > 0.
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
5.2.6
109
Differenzierbare Approximation für die Auszahlungsfunktion einer Call-Option
Um Ts zu minimieren, muss Ts (x) in der Anwendung des Quasi-Newton-Algorithmus nur einmal nach x abgeleitet werden, da, mit den Bezeichnungen
des vorigen Abschnitts, die zweite Ableitung über die Folge (Mk )k angenähert
wird, wobei Mk nur von Differenzen der ersten Ableitungen abhängt: ∆gk =
∇f (xk+1 ) − ∇f (xk ). Setzt man für f in Ts die Kleinste-Quadrate-Funktion, so
ist also unter anderem
∂
∂
f (CM od (x, k), CM kt (k)) = 2 · (CM od (x, k) − CM kt (k)) ·
CM od (x, k).
∂x
∂x
zu bestimmen. CM od muss also einmal nach x, beziehungsweise nach S(i, j)
für alle i, j, abgeleitet werden. In den folgenden Rechnungen werden stets die
Formeln für eine Calloption verwendet, für Putoptionen erfolgt der Weg jedoch
analog.
Der Wert einer Calloption am Laufzeitende ist gegeben durch
C(n, j) = max{S(n, j) − K, 0}, j = 0, . . . , 2n − 1.
Da die Maximumsfunktion jedoch im Allgemeinen nicht differenzierbar in S(n, j) =
K ist, muss C(n, j) durch eine glatte Funktion approximiert werden, um die Differenzierbarkeit, die für das Minimierungsverfahren benötigt wird, zu gewährleisten.
Eine Möglichkeit, wie diese Glättung erfolgen kann, ist folgende:
Ersetze C(n, j) durch Cε (n, j), j = 1, . . . , 2n − 1, wobei

ε
S(n, j)


≤1−
0
für


K
2

S(n, j)
ε
Cε (n, j)  S(n, j)
−1
für
≥1+
=
K
K
2

K


S(n, j)
ε 2
ε
S(n, j)
ε
1



−1 +
für 1 − <
<1+ ,
2ε
K
2
2
K
2
d. h. für S(n, j) ≤ K − Kε
2 und S(n, j) ≥ K +
ε eine beliebig kleine, positive Konstante ist.
Kε
2
ist C(n, j) = Cε (n, j), wobei
Satz 5.3. Die oben definierte Funktion Cε ist einmal stetig differenzierbar.
Beweis. Cε (n, j) ist stetig in S(n, j):
Überprüft werden müssen die Nahtstellen“. Es ist
”
"
#2
1
S(n, j)
ε 2
1 K − Kε
ε
2
lim
−1 +
=
−1+
2ε
K
2
2ε
K
2
S(n,j)&K− Kε
2
h
i
1
ε
ε 2
=
1− −1+
2ε
2
2
=0
Cε (n, j) =
K S(n,j)
ε
K
=1− 2
110
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
C(ε) /K
S/K
1-ε/2
1
1+ε/2
Abbildung 5.9: Differenzierbare Approximation der Auszahlungsfunktion
einer Calloption am Laufzeitende.
und
lim
S(n,j)%K+ Kε
2
1
2ε
"
#2
S(n, j)
ε 2
1 K + Kε
ε
2
−1 +
=
−1+
K
2
2ε
K
2
h
i
2
1
ε
ε
=
1+ −1+
2ε
2
2
ε
=
2
Cε (n, j) =
K S(n,j) =1+ ε
K
2
Cε (n, j) ist stetig differenzierbar in S(n, j):
Die Ableitung nach S(n, j) setzt sich wie folgt zusammen:



0

0 
1
Cε (n, j)
=

K K


1 S(n, j)
ε


−1+

Kε
K
2
S(n, j)
ε
≤1−
K
2
S(n, j)
ε
für
≥1+
K
2
ε
S(n, j)
ε
<1+ .
für 1 − <
2
K
2
(5.18)
für
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
111
Auch hier wird an den Nahtstellen die Stetigkeit überprüft:
"
#
1 S(n, j)
1 K − Kε
ε
ε
2
=
lim
−1+
−1+
Kε
K
2
Kε
K
2
S(n,j)&K− Kε
2
h
i
1
ε
ε
=
1− −1+
Kε
2
2
=0
Cε (n, j) 0 =
S(n,j)
K
ε
K
=1− 2
und
lim
S(n,j)%K+ Kε
2
"
#
1 S(n, j)
ε
1 K + Kε
ε
2
−1+
=
−1+
Kε
K
2
Kε
K
2
h
i
1
ε
ε
=
1+ −1+
Kε
2
2
1
=
K
Cε (n, j) 0 =
S(n,j)
K
ε
K
=1+ 2
Die Werte der Call-Option C an den mittleren Knoten im Baum sind gegeben
durch die Gleichung
C(i, j) = (p(i, j)C(i + 1, 2j + 1) + (1 − p(i, j))C(i + 1, 2j))e−r∆t
(5.19)
für i = n − 1, . . . , 0, j = 0, . . . , 2i − 1.
5.2.7
Implementierung
Um nun den Quasi-Newton-Algorithmus auf die transformierte Zielfunktion
anzuweden, werden die partiellen Ableitungen von CM od (x, k) an der Stelle
(i, j) = (0, 0) bezüglich des Wertpapiers in allen Knoten, also x ∈ S, und für
alle k = 1, . . . , N benötigt. Um die Notation etwas zu vereinfachen gehen wir
im Folgenden von N = 1 aus, wir haben also nur eine Calloption, außerdem
werden wir CM od ((0, 0), k) für k = 1 schreiben als C0 . Gesucht sind nun
∂C0
für alle i = 1, . . . , n, j = 0, . . . , 2i − 1.
∂S(i, j)
Da für i = j = 0 der Anfangswert S(0, 0) fest ist, geht er in die Optimierung
nicht ein. Definiere nun zunächst den Vektor eines Knotentripels als
S(l) (i, j) = (S(i, j); S(i + 1, 2j + 1); S(i + 1, 2j)) , l = 1, . . . , 2n − 1.
Im weiteren Verlauf werden die geforderten partiellen Ableitungen in mehreren
Schritten berechnet.
112
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Schritt 1: Berechne die partiellen Ableitungen der risikoneutralen Übergangs∂p(i,j)
∂p(i,j)
∂p(i,j)
wahrscheinlichkeiten ∂S(i,j)
, ∂S(i+1,2j+1)
und ∂S(i+1,2j)
für i = 0, . . . , n − 1 und
i
j = 0, . . . , 2 − 1, wobei die Richtungen, in die abgeleitet wird, genau den Einträgen des Tripels entsprechen. In Vektorform aufgeschrieben ergibt sich dann
(r−δ)∆t −S(i+1,2j)
mit p(i, j) = S(i,j)e
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j) (siehe Gleichung (5.7)) und 1 − p(i, j) =
S(i+1,2j+1)−S(i,j)e(r−δ)∆t
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)

∇S(l) (i,j) p(i, j) =

∂p(i,)
∂S(i,j)
 ∂p(i,j) 


 ∂S(i+1,2j+1) 
∂p(i,j)
∂S(i+1,2j)
e(r−δ)∆t
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)




1
(r−δ)∆t − S(i + 1, 2j) −

=
S(i,
j)e

(S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j))2 
1
S(i, j)e(r−δ)∆t − S(i + 1, 2j + 1) (S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j))
2


e(r−δ)∆t
 S(i,j)e(r−δ)∆t −S(i+1,2j) 
1
 − S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j) 
=

S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)  S(i,j)e
(r−δ)∆t −S(i+1,2j+1)
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)

e(r−δ)∆t
1
 −p(i, j)  .
=
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
−(1 − p(i, j))

Analog ist

∇S(l) (i+1,2j+1) p(i + 1, 2j + 1) =

∂p(i+1,j2+1)
 ∂S(i+1,2j+1)

 ∂p(i+1,2j+1) 
 ∂S(i+2,4j+3) 
∂p(i+1,2j+1)
∂S(i+2,4j+2)

e(r−δ)∆t
1
 −p(i + 1, 2j + 1) 
=
S(i + 2, 4j + 3) − S(i + 2, 4j + 2)
−(1 − p(i + 1, 2j + 1)

und

∇S(l) (i+1,2j) p(i + 1, 2j) =

∂p(i+1,2j)
 ∂S(i+1,2j)

 ∂p(i+1,2j) 
 ∂S(i+2,4j+1) 
∂p(i+1,2j)
∂S(i+2,4j)

1

=
S(i + 2, 4j + 1) − S(i + 2, 4j)

e(r−δ)∆t
−p(i + 1, 2j)  .
−(1 − p(i + 1, 2j))
Schritt 2: Berechne nun die partiellen Ableitungen
und j = 0, . . . , 2i − 1, sowie
∂C(i,j)
∂S(i+1,2j+1)
und
∂C(i,j)
∂S(i,j)
∂C(i,j)
∂S(i+1,2j)
für i = 1, . . . , n − 1
für i = 0, . . . , n − 1 und
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
113
j = 0, . . . , 2i − 1, also für alle Werte von C außer zur Zeit i = n. Mit Gleichung
(5.19), also
C(i, j) = (p(i, j)C(i + 1, 2j + 1) + (1 − p(i, j))C(i + 1, 2j))e−r∆t ,
ist
C(i + 1, 2j + 1) = (p(i + 1, 2j + 1)C(i + 2, 4j + 3)
+ (1 − p(i + 1, 2j + 1))C(i + 2, 4j + 2))e−r∆t
und
C(i + 1, 2j) = (p(i + 1, 2j)C(i + 2, 4j + 1) + (1 − p(i + 1, 2j))C(i + 2, 4j))e−r∆t ,
wobei
p(i + 1, 2j + 1) =
S(i + 1, 2j + 1)e(r−δ)∆t − S(i + 2, 4j + 2)
S(i + 2, 4j + 3) − S(i + 2, 4j + 2)
und
p(i + 1, 2j) =
S(i + 1, 2j)e(r−δ)∆t − S(i + 2, 4j)
.
S(i + 2, 4j + 1) − S(i + 2, 4j)
Eingesetzt in C(i, j) ist das dann
h
C(i, j) = p(i, j) p(i + 1, 2j + 1)C(i + 2, 4j + 3)
+ (1 − p(i + 1, 2j + 1))C(i + 2, 4j + 2) e−r∆t
− (1 − p(i, j)) p(i + 1, 2j)C(i + 2, 4j + 1)
i
+ (1 − p(i + 1, 2j))C(i + 2, 4j) e−r∆t e−r∆t .
Somit ist
∂C(i, j)
=
∂S(i, j)
∂p(i, j)
∂(1 − p(i, j))
C(i + 1, 2j + 1) +
C(i + 1, 2j) e−r∆t
∂S(i, j)
∂S(i, j)
=
+ 1, 2j + 1)
e(r−δ)∆t
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j) C(i
+
= e−δ∆t
−e(r−δ)∆t
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j) C(i
C(i + 1, 2j + 1) − C(i + 1, 2j)
,
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
+ 1, 2j) e−r∆t
114
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
außerdem
∂C(i, j)
∂S(i + 1, 2j + 1)
∂p(i, j)
∂C(i + 1, 2j + 1)
=
C(i + 1, 2j + 1) + p(i, j)
∂S(i + 1, 2j + 1)
∂S(i + 1, 2j + 1)
∂(1 − p(i, j))
∂C(i + 1, 2j) −r∆t
+
C(i + 1, 2j) + (1 − p(i, j))
e
∂S(i + 1, 2j + 1)
∂S(i + 1, 2j + 1)
−p(i,j)
C(i + 1, 2j + 1)
= S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)
e(r−δ)∆t
+ p(i, j) S(i+2,4j+3)−S(i+2,4j+2)
C(i + 2, 4j + 3)
−e(r−δ)∆t
+ S(i+2,4j+3)−S(i+2,4j+2)
C(i + 2, 4j + 2) e−r∆t
p(i,j)
+ S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)
C(i + 1, 2j) + (1 − p(i, j)) · 0 e−r∆t
C(i + 2, 4j + 3) − C(i + 2, 4j + 2)
= p(i, j)e−r∆t e−δ∆t
S(i + 2, 4j + 3) − S(i + 2, 4j + 2)
C(i + 1, 2j + 1) − C(i + 1, 2j) −
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
und
∂C(i, j)
∂S(i + 1, 2j)
∂p(i, j)
∂C(i + 1, 2j + 1)
C(i + 1, 2j + 1) + p(i)
=
∂S(i + 1, 2j)
∂S(i + 1, 2j)
∂(1 − p(i, j))
∂C(i + 1, 2j) −r∆t
+
C(i + 1, 2j) + (1 − p(i))
e
∂S(i + 1, 2j)
∂S(i + 1, 2j)
−(1−p(i,j))
= e−r∆t S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j)
C(i + 1, 2j + 1) + p(i, j) · 0
+
1−p(i,j)
S(i+1,2j+1)−S(i+1,2j) C(i
+ 1, 2j)
e(r−δ)∆t
+ (1 − p(i, j)) S(i+2,4j+1)−S(i+2,4j)
C(i + 2, 4j + 1)
+
−e(r−δ)∆t
S(i+2,4j+1)−S(i+2,4j) C(i
+ 2, 4j) e−r∆t
C(i + 2, 4j + 1) − C(i + 2, 4j)
= (1 − p(i, j))e−r∆t e−δ∆t
S(i + 2, 4j + 1) − S(i + 2, 4j)
C(i + 1, 2j + 1) − C(i + 1, 2j) −
.
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
Schreibt man für
C(i + 1, 2j + 1) − C(i + 1, 2j) −δ∆t
∂C(i, j)
=
e
= ∆(i, j),
∂S(i, j)
S(i + 1, 2j + 1) − S(i + 1, 2j)
was genau dem Delta (Delta Ratio) aus der Black-Scholes-Theorie entspricht
(siehe Anhang ab Seite 122), so ergibt sich zusammengefasst in Vektorform
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN

∇S(l) (t,j) C(i, j) =
115

∂C(i,j)
∂S(i,j)
 ∂C(i,j)



 ∂S(i+1,2j+1) 
∂C(i,j)
∂S(i+1,2j)


∆(i, j)
=  p(i, j) ∆(i + 1, 2j + 1) − ∆(i, j)eδ∆t e−r∆t  .
(1 − p(i, j)) ∆(i + 1, 2j) − ∆(i, j)eδ∆t e−r∆t
Schritt 3: Nun wird die Ableitung von C(i, j) nach S(i, j) im Zeitpunkt i = n
für j = 0, . . . , 2n − 1 bestimmt. Hierfür wird die vorher definierte Funktion Cε
verwendet, die im Beweis für die Differenzierbarkeit in (5.18) bereits abgeleitet
wurde.


0
für S(n, j) ≤ K − Kε

2


Kε
∂Cε (n, j)
= 1
für S(n, j) ≥ K + 2

∂S(n, j)
1
S(n,
j)
ε

Kε

−1+
für K − Kε

2 < S(n, j) < K + 2 .
ε
K
2
∂C0
Schritt 4: Zuletzt werden die partiellen Ableitungen ∂S(i,j)
für i ≥ 2 berechnet. Es ist
h
i
C0 = C(0, 0) = p(0, 0)C(1, 1) + (1 − p(0, 0))C(1, 0) e−r∆t
h
= p(0, 0)[p(1, 1)C(2, 3) + (1 − p(1, 1))C(2, 2)]e−r∆t
i
+ (1 − p(0, 0))[p(1, 0)C(2, 1) + (1 − p(1, 0))C(2, 0)]e−r∆t e−r∆t
= ...
also auch für die Ableitung
∂C0
∂S(i, j)
h
∂C(1, 1)
∂C(1, 0) i −r∆t
= p(0, 0)
+ (1 − p(0, 0))
e
∂S(i, j)
∂S(i, j)
h
∂C(2, 3)
∂C(2, 2) −r∆t
= p(0, 0)[p(1, 1)
+ (1 − p(1, 1))
]e
∂S(i, j)
∂S(i, j)
∂C(2, 1)
∂C(2, 0) −r∆t i −r∆t
+ (1 − p(1, 0))
]e
+ (1 − p(0, 0))[p(1, 0)
e
∂S(i, j)
∂S(i, j)
h
∂C(2, 3)
∂C(2, 2)
= p(0, 0)p(1, 1)
+ p(0, 0)(1 − p(1, 1))
∂S(i, j)
∂S(i, j)
∂C(2, 1)
∂C(2, 0) i −2r∆t
+ (1 − p(0, 0))p(1, 0)
+ (1 − p(0, 0))(1 − p(1, 0))
e
∂S(i, j)
∂S(i, j)
= ...
hX Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Pfade um ∂C(k, l) i
=
·
e−kr∆t .
von Knoten (0,0) nach Knoten (k,l) zu kommen
∂S(i, j)
116
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Nun ist aber die partielle Ableitung von C nach S nur dann 6= 0, falls C(i, j)
nach S(i, j), nach S(i + 1, 2j + 1) oder nach S(i + 1, 2j) abgeleitet wird. Umj−1
gekehrt ausgedrückt ist ∂C(k,l)
∂S(i,j) 6= 0 für k = i ∧ l = j oder k = i − 1 ∧ l = 2
oder k = i − 1 ∧ l = 2j . Da aber C(i, j) in den Formeln für C(i − 1, j−1
2 ) und
C(i − 1, 2j ) vorkommt, bleiben nur die beiden Fälle C(k, l) = C(i − 1, j−1
2 ) bzw.
j
C(k, l) = C(i − 1, 2 ) übrig. Es ist also
∂C0
=
∂S(i, j)
Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Pfade um
von Knoten (0, 0) nach Knoten (i − 1, l) zu kommen
∂C(i − 1, l) −(i−1)r∆t
·
e
,
∂S(i, j)
mit
(
l=
j−1
2
j
2
für ungerades j
für gerades j.
Beispiel 5.4.
• t = 2, j = 3:
∂C0
∂S(2,3)
• t = 4, j = 10:
= p(0, 0)p(1, 1) ∂C(1,1)
∂S(2,3)
∂C0
∂S(4,10)
∂C(3,5)
= p(0, 0)(1 − p(1, 1))p(2, 2)(1 − p(3, 5)) ∂S(4,10)
.
Mit all diesen Vorberechnungen kann nun der Optimierungsalgorithmus, also
die transformierte Zielfunktion mit Hilfe des Quasi-Newton-Algorithmus, der
die Ableitung von C im Punkt (0, 0) nach allen S(i, j) ∀i, j verwendet, implementiert werden. Für das weitere Vorgehen bitte ich, einen Blick in [7] zu
werfen. Was aber anhand dieser Vorarbeit und den verwendeten Methoden klar
sein dürfte, ist, dass diese Weiterentwicklung der λ-Methode zur Optionspreisfindung aus Marktdaten deutlich mehr Programmier- und Rechenaufwand fordert.
Im nachfolgenden Abschnitt sollen die Ergebnisse, zu denen die Autoren von
[7] in der Anwendung dieser Methode gelangen, vorgestellt werden.
5.2.8
Ergebnisse
Eine Anwendung wurde für die Tagesendstände der Calloptionen auf den FTSE100 Index zwischen Januar 2003 und Dezember 2003 durchgeführt. Der stetige
Zinssatz r wurde über eine nichtlineare, kubische Spline-Interpolation mit Hilfe
von veröffentlichten, zukünftigen Briefkursen, dem LIBOR (London Interbank
Offered Rate), einem Referenzzinssatz für Interbankgeschäfte, angenähert. Die
anfängliche Stichprobe umfasste 99.051 Marktdaten. Nach Anwendung verschiedener Filterungsregeln wurde die Anzahl auf 14.537 reduziert. Herausgenommen
wurden Marktdaten, die eine der folgenden Bedingungen erfüllten:
• Der Optionspreis ist höher als der momentane Basiswert: CM kt > S(0, 0).
Keine Streichungen.
• Der Optionspreis ist niedriger als die untere Grenze der Ungleichung
(S(0, 0)e−δT − Ke−rT )+ ≤ CM kt ≤ S(0, 0). 3.206 Streichungen.
5.2. BINOMIALBAUM OHNE MODELLANNAHMEN
117
• Der Fälligkeitszeitpunkt ist in weniger als sechs Tagen, also T < 6. 3.109
Streichungen.
• Der Tagesendstand ist weniger als 0, 5 Indexpunkte. 11.373 Streichungen.
• Das Handesvolumen der Option ist gleich null. 66.826 Streichungen.
Für σ(0) wurde die implizite Volatilität, die von LIFFE zur Verfügung gestellt wird, und für den Fälligkeitszeitpunkt T die Anzahl der Kalendertage
zur Fälligkeit gewählt. Für jeden Tag wurde ein Modellbaum mit n = 6 und
n = 7 Perioden berechnet, wobei die verwendeten Optionen den gleichen Basiswert und die gleiche Fälligkeit haben. Tabelle 5.10 zeigt einige Ergebnisse des
Verfahrens mit n = 6.
Handelstag
2003-01-02
2003-01-02
2003-02-03
2003-03-03
2003-04-01
Basiswert
4019
3999
3644, 5
3655
3684, 5
N
19
6
15
9
16
T
50
351
73
74
16
Fehler
4, 2 · 10−5
0, 0208333
2, 722 · 10−12
2, 466 · 10−12
4, 548 · 10−11
Strafterm
0
0
0
0
0
λ
−1, 3851
0, 4096
−6, 4346
−8, 3274
5, 0218
Tabelle 5.10: Auszug aus den Ergebnissen in [7]
Handelstag ist dabei der Tag, an dem der zugrundeliegende Basiswert S(0, 0)
bestimmt wurde, N die Anzahl der Optionen, deren Fälligkeit T zum Handelstag (t = 0) übereinstimmt. Der Fehler ist der Wert der zu minimierenden
Funktion abzüglich des Strafterms, der jedoch immer 0 ist. Jedes Modell ist
also arbitragefrei. Für den initialen Baum wurden die Werte für λ, die in der
letzten Spalten aufgelistet sind, verwendet.
Insgesamt wurden 69 Modelle berechnet. In 67 davon (97, 1%) beträgt der
durchschnittliche Fehler 2, 34 · 10−8 , in den übrigen zwei ist er jeweils größer
als 10−4 (0, 01 im Schnitt). Der Strafterm konnte stets eliminiert werden, was
den Ansatz dieser Vorgehensweise stark unterstützt. Auch für n = 7 konnten
die Autoren vergleichbare Ergebnisse feststellen.
Obwohl das Problem eine nicht-konvexe Optimierung unter Nebenbedingungen in 2(2n−1 − 1) Variablen darstellt, kann die Rechenzeit durch optimierte
Algorithmen in Grenzen gehalten werden. Für jedes Modell wurde auf dem verwendeten Rechner für n = 6 im Schnitt (arithmetisches Mittel) 1, 1 Minuten
benötigt, wobei der Median bei 0, 03 Minuten lag, für n = 7 im Schnitt 2, 27
Minuten mit Median 0, 08 Minuten. Es gab also nur einige wenige, extrem rechenaufwändige Modelle. Programmiert wurde in Matlab, wobei die Autoren
darauf hinweisen, dass eine Programmierung in C oder C++ die Rechenzeit
weiter verkürzt hätte.
Mit Testdatensätzen wurde das Verfahren auf Overfitting, also auf Überanpassung an die Marktdaten, unter denen das Modell erstellt wurde, geprüft.
Die Autoren konnten hierbei kein Overfitting beobachten. Für die genauen Methoden dieser Prüfung verweise ich auch hier auf [7], ebenso wie für weitere
Resultate, die aufzuführen den Rahmen dieser Arbeit übersteigen würde.
118
KAPITEL 5. KONSTRUKTION MITHILFE VON MARKTDATEN
Abschluss und Ausblick
Mit den in Kapitel 5 vorgestellten Methoden, können nun anhand von am Markt
bekannten Optionspreisen, wie in Beispiel 5.2 beschrieben, Optionspreise für
bislang nicht bewertete Optionen bestimmt werden. Je nach Programmieraufwand, den man betreiben möchte, und nach Rechenleistung, die zur Verfügung
steht, kann man dabei auf das weniger komplexe λ-Modell, das allerdings einigen Beschränkungen im Schemaaufbau unterworfen ist, oder die Methode, wie
sie in [7] von Charalambous et al. vorgestellt wird, zurückgreifen. Beide Methoden berücksichtigen Dividendenraten und können Transaktionskosten (unter
kleinen Änderungen, siehe dazu [9]) beachten, die in Abhängigkeit vom Kurswert gegeben sind. Eine zusätzliche Erweiterung, wie sie auch in [7] im Anhang
aufgeführt wird, ist die, dass zeitabhängige Werte für den Zinssatz und die Dividendenrate berücksichtigt werden, also dass beispielsweise statt konstantem
r eine Folge (rt )t=0,...,T betrachtet wird (siehe Abschnitt 1.2 für die Definition
von rt ). Hierfür müssen einige der Formeln aus Kapitel 5, insbesondere die für
das Intervall I, angepasst werden.
Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden unterscheidet im Vergleich zum
weit verbreiteten Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung, dass die Volatilität als Funktion in Abhängigkeit vom zugrundeliegenden Wertpapier und der
Zeit modelliert ist, während im Black-Scholes-Modell ein festes σ über die Zeit
angenommen wird. Dies führt genau dazu, dass der daraus entstehende Baum
nicht mehr rekombinierend ist. Außerdem können so Wertpapiere mit beliebigen Verteilungen betrachtet werden.
Eine weitere Möglichkeit, die das Baummodell grundsätzlich bietet, ist die Erweiterung auf amerikanische Optionen bzw. Bermudaoptionen, bei denen der
Ausübungszeitpunkt vor dem Fälligkeitszeitpunkt liegen kann. Da in dieser Arbeit amerikanische Contingent Claims als stochastische Prozesse (Ct )t=0,...,T definiert wurden, also eine Ausübung nur zu diskreten Zeitpunkten t = 0, . . . , T
möglich ist, ist die Baumstruktur leicht auf diese Art der Contingent Claims
übertragbar. Hier wäre eine Anpassung der Algorithmen für Putoptionen notwendig, um den optimalen Ausübungszeitpunkt zu berücksichtigen, siehe zum
Beispiel [11]. Für Calloptionen wurde gezeigt, dass, unter der Marktannahme,
dass keine Dividenden ausgezahlt werden, der optimale Zeitpunkt immer der
Fälligkeitszeitpunkt T ist. Werden Dividenden gezahlt, so ist auch für Callop119
120
ABSCHLUSS UND AUSBLICK
tionen ein optimaler Ausübungszeitpunkt noch zu bestimmen.
Anmerkung: Es findet sich in der Literatur auch die Definition, dass amerikanische Optionen zu allen Zeitpunkten 0 ≤ t ≤ T eingelöst werden können.
Möchte man für diesen Fall ein Binomialmodell zur Optionspreisbestimmung
anwenden, so ist eine Diskretisierung der Zeitachse unumgänglich.
Was die Programme in der vorliegenden Arbeit angeht, so möchte ich anfügen,
dass sie nicht darauf abzielen, auf schnellstem Weg zum Ziel zu kommen, sondern dass das Vorgehen dahinter erkennbar und nachvollziehbar ist. Die meisten
Befehle in R sind denen anderer Programmiersprachen sehr ähnlich, einige Besonderheiten liegen beispielsweise in der Behandlung von Vektoren und Matrizen. Hier werden grundsätzlich alle Operationen, falls nicht anders angegeben,
elementweise ausgeführt. Für eine kurze Einführung in die Programmierung
mit R verweise ich, wie eingangs erwähnt, auf [18], und für eine ausführliche
Dokumentation auf die Seite http://cran.r-project.org/manuals.html.
Kapitel A
Anhang
Funktionalanalysis
In diesem kurzen Abschnitt sind Erkenntnisse aus der Funktionalanaylsis aufgeführt, die in einigen Beweisen benötigt werden bzw. als Hintergrundinformation dienen.
Satz A.1 (Separating Hyperplane Theorem). Betrachte eine nicht-leere, konvexe Menge C ⊂ Rn mit 0 ∈
/ C. Dann existiert ein η ∈ Rn mit η · x ≥ 0 für
alle x ∈ C und η · x0 > 0 für mindestens ein x0 ∈ C. Desweiteren gibt es, falls
inf x∈C |x| > 0, ein η ∈ Rn mit inf x∈C η · x > 0.
Definition A.2 (Lp -Räume). Sei X eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Dann ist
1
• X ∈ Lp , 0 < p < ∞ : kXkp := E[|X|p ] p < ∞.
• X ∈ L∞ : kXk∞ = esssupω∈Ω |X(ω)| < ∞.
• X ∈ L0 : X(ω) < ∞ fast sicher.
Lp := Lp /∼ , wobei X ∼ Y ⇔ X(ω) = Y (ω) für fast alle ω ∈ Ω. Lp =
Lp (Ω, F, P) ist für p ≥ 1 ein Banachraum (vollständiger, normierter Vektorraum). Für p ≤ q gilt Lq ⊆ Lp . Der Konvention folgend wird nicht zwischen den
Zufallsvariablen und ihren Äquivalenzklassen unterschieden und kurz Z ∈ Lp
anstelle von [Z] ∈ Lp geschrieben, wobei [Z] die Äquivalenzklasse von Z bezeichne und Z ∈ Lp .
Übergang der Verzinsung von 1 + r nach er
Der Zinssatz r ist in der Regel ein jährlicher Zinssatz, das bedeutet, dass ein
Betrag B0 nach einem Jahr B0 (1 + r) wert ist. Nach n Jahren, n ∈ N, ist der
Betrag, vorausgesetzt r ändert sich nicht, auf Bn = B0 (1 + r)n angewachsen.
Möchte man aber den Wert nach beispielsweise einem halben Jahr wissen, so
wird dieser in der Regel folgendermaßen berechnet:
r
.
B 1 = B0 1 +
2
2
121
122
KAPITEL A. ANHANG
Nach einem Jahr mit halbjähriger Verzinsung ist also B1 = B0 (1 + 2r )2 . Unter1
teilt man das Jahr in m gleich große Teile und gibt Zinsen alle m
Jahre, so ist
r m
B1 = B0 (1 + m
) , bzw.
r mn
.
Bn = B0 1 +
m
Lässt man m gegen unendlich gehen, die Verzinsung also annähernd stetig werden, so gilt
r mn
= B0 · ern .
lim B0 1 +
m→∞
m
Deswegen kann in einem Baummodell, wenn die Periodenlänge ∆t = Tn genügend
klein wird, der Zinssatz 1 + r durch die Approximation er ersetzt werden.
Black-Scholes-Modell
Da in der Hauptarbeit nicht direkt auf das Black-Scholes-Modell eingegangen
wird, einige kleine Parallelen jedoch gezogen werden, soll der Vollständigkeit
halber hier ein knapper Überblick über dieses Modell gegeben werden. Beweise
und nähere Erklärungen werden nicht ausgeführt, sind aber in der Standardliteratur nachzulesen.
Definition A.3 (Wiener Prozess). Ein stochastischer Prozess W (siehe Definition 1.10) heißt Wiener Prozess, falls er für alle t ≥ 0 folgendes erfüllt:
• W (t) ist gaußverteilt mit E[W (t)] = 0 und V ar[W (t)] = t, d. h. W (t) ∼
N (0, t).
• Für t1 ≥ t0 ≥ 0 sind die Inkremente W (t1 ) − W (t0 ) ebenfalls gaußverteilt
mit W (t1 ) − W (t0 ) ∼ N (0, t1 − t0 ).
• Für s1 ≥ s0 ≥ t1 ≥ t0 ≥ 0 sind die Inkremente W (s1 ) − W (s0 ) und
W (t1 ) − W (t0 ) stochastisch unabhängig.
Definition A.4 (Konvergenz im Quadrat-Mittel-Sinn). Eine Folge von Zufallsvariablen X N : Ω → R konvergiert im Quadrat-Mittel-Sinn gegen eine
Zufallsvariable X : Ω → R, falls
lim E[|X N − X|2 ] = 0.
N →∞
Das nochfolgend definierte Itô-Integral wird ähnlich wie das Riemann-Integral
über Treppenfunktionen konstruiert.
Definition A.5 (Itô-Integral). Für ein Integrationsintervall [t0 , t1 ] und eine
N , τN = t )
N <
Folge von Verfeinerungen (t0 = τ0N , τ1N , . . . , τN
1 N ∈N mit τi
−1 N
N
τi+1 , ∀i, N , ist das Itô-Integral definiert als der Limes im Quadrat-Mittel-Sinn
N →∞
N } −→ 0 der Zufallsvariablen I N (F ),
für N → ∞ mit maxi=1,...,N {τiN − τi−1
wobei ∀ω ∈ Ω
N
I (F )(ω) :=
N
−1
X
i=0
N
F (τiN , ω)(W (τi+1
, ω) − W (τiN , ω))
123
und F ein stochastischer Prozess auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum wie
der Wiener Prozess W ist:
Z t1
F (t)dWt := lim I N (F )
I(F ) :=
N →∞
t0
Für die Modellierung von Kursverläufen wird häufig die Brown’sche Bewegung
verwendet. Sie ist als stochastische Differentialgleichung der Form
dX(t) = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dWt
dargestellt, was eigentlich nur eine abkürzende Schreibweise für die Integralgleichung
Z
Z
t
X(t) = X(t0 ) +
t
a(τ, X(τ ))dτ +
b(τ, X(τ ))dWτ
t0
t0
ist, wobei a, b : R × Rn → Rn .
Definition A.6 (Geometrische Brown’sche Bewegung). Eine stochastische Differentialgleichung der Form
dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dWt
bzw.
Z
t
S(t) = S0 +
Z
t
µS(τ )dτ +
t0
σS(τ )dWτ
t0
mit Parametern µ, der ein mittleres Wachstum, eine Art Trend angibt, und σ,
der Volatilität, heißt geometrische Brown’sche Bewegung.
Die Lösung der geometrischen Brown’schen Bewegung ist
1
S(t, S0 ) = S0 e((µ− 2 σ
2 )t+σW (t))
,
also ein stochastischer Prozess. Im Black-Scholes-Modell wird davon ausgegangen, dass Wertpapiere sich entsprechend dieses stochastischen Prozesses verhalten, wobei S0 der Startwert des Wertpapiers in t = 0 ist.
Für die Preise von Optionen in diesem Modell lässt sich mit den Marktannahmen und der Selbstfinanziertheit des replizierenden Portfolios zeigen, dass sie
folgender partiellen Differentialgleichung genügen:
1
∂2V
∂V
∂V
+ σ 2 S 2 2 − rV + rS
= 0,
∂t
2
∂S
∂S
der Black-Scholes-Gleichung.
Für europäische Call- und Putoptionen lässt sie sich explizeit lösen. Es ist
Vtcall (S) = SΦ(a) − Ke−r(T −t) Φ(b)
(A.1)
Vtput (S) = S(Φ(a) − 1) − Ke−r(T −t) (Φ(b) − 1),
(A.2)
und
124
KAPITEL A. ANHANG
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, also
Z y
−x2
1
e 2 dx,
Φ(y) = √
2π −∞
und a und b gegeben sind durch
2
a=
und
S
ln K
+ (r + σ2 )(T − t)
√
σ T −t
√
b = a − σ T − t.
Für das Hedging-Portfolio wird ξ üblicherweise mit ∆ und ξ 0 mit β bezeichnet.
Es gilt
Vt (S(t)) = ∆t (S(t))S(t) + βt S 0 (t),
wobei S 0 (t) = St0 der Bond ist, der sich gemäß S 0 (t) = S 0 (0)ert entwickelt. Es
lässt sich zeigen, dass
∂Vt
(S(t)) = Φ(a)
∂S(t)
(A.3)
∂Vt
(S(t)) = Φ(a) − 1
∂S(t)
(A.4)
∆t (S(t)) =
im Falle einer Calloption und
∆t (S(t)) =
für eine Putoption ist. β wird stets berechnet über
βt =
Vt (S(t)) − ∆t (S(t))S(t)
.
S 0 (t)
Zusammenhang des Binomialmodells mit der Lösung der Black-Scholes-Gleichung
Möchte man die Black-Scholes-Gleichung lösen, so kann man, wie bei allen
partiellen Differentialgleichungen, die Methode der finiten Differenzen anwenden. Hierbei wird die partielle Differentialgleichung, anstatt an unendlich vielen
Punkten die Ableitung zu berechnen, an endlich vielen Punkten durch Differenzenquotienten ersetzt und so eine Approximation der Lösung gefunden. Diese
endlich vielen Punkte sind als zweidimensionales Gitter (Diskretisierung der
Zeitachse und daraus folgend Diskretisierung des eigentlich stetigen Verlaufs
des Wertpapiers) angeordnet. Werden die Parameter für diese Approximationsmethode geeignet gewählt, so erhält man für die Approximation Ṽij ≈ V (tj , Si )
die Rekursionsvorschrift
j+1
j+1
Ṽij = e−rs (pṼi+1
+ (1 − p)Ṽi−1
),
wobei s der Abstand der Gitterpunkte auf der Zeitachse ist und p sich aus
√
2
s(r − σ2 )
1
p= +
2
2σ
125
errechnet. Diese Rekursionsvorschrift entspricht genau der des CRR-Modells.
Weiter lassen sich auch die Werte für die Parameter u und d über den Zusammenhang
Si+1 = (1 + u)Si und Si−1 = (1 + d)Si
bestimmen. Es zeigt sich, dass
1 + u = eσ
√
s
und 1 + d = e−σ
√
s
.
Berechnung der impliziten Volatilität unter Annahme eines Modells
Die implizite Volatilität ist einfach gesagt die Volatilität, unter der ein Modell,
das von der Volatilität abhängt, vorhandene Marktpreise am besten approximiert. In der Regel wird zu ihrer Bestimmung das Black-Scholes-Modell verwendet, da dabei die Volatilität die einzige Unbekannte ist. Es soll also ein σ gefunden werden, sodass die Modellpreise CM od (S, σ) und die Marktpreise CM kt (S)
(die meist in Zeitpunkt t = 0 bekannt sind, weswegen eine Abhängigkeit von t
der beiden Preise wegfällt) für ein Wertpapier S möglichst übereinstimmen, d.
h. die Funktion
f (σ) := CM od (S, σ) − CM kt (S)
soll minimiert werden. Hierfür kann das Newton-Verfahren verwendet werden.
Ausgehend von einem Startwert σ0 wird (σi )i iterativ gebildet über
σi+1 = σi −
f (σi )
f 0 (σi )
und so lange durchgeführt, bis sich σ nicht mehr nennenswert ändert, also bis
für eine vorher festgelegte Schranke ε
|σi+1 − σi | < ε.
Es kann gezeigt werden, dass, wenn der Startwert gewählt wird als
v u S
u ln + r(T − t) σ0 = t2 K
,
T −t
das Verfahren mit dem Black-Scholes-Modell quadratisch gegen die Lösung σ ∗
mit f (σ ∗ ) = 0 konvergiert.
Programm zur Darstellung der Abhängigkeit von λ und der Fehlerfunktion
Bei der Eingabe der Marktpreise kann unterschieden werden, ob die Eingabe manuell anhand von echten“ Marktpreisen erfolgt, oder ob für Anschau”
ungszwecke fiktive Marktpreise mit der Black-Scholes-Formel generiert werden
sollen. Entsprechende auskommentierte Programmteile (in R über # gekennzeichnet) sind dann zu entfernen bzw. einzufügen.
Quellcode 5 (Auftragen der Fehlerfunktion in Abhängigkeit von λ):
126
KAPITEL A. ANHANG
T <- 5
sigma _ 0 <- 0.1
S _ 0 <- 100
r <- 0.05
Typ <- c (0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,0 ,0 ,0) # # 0= Call ,1= Put
K <- c (120 ,110 ,100 ,90 ,80 ,130 ,120 ,110 ,140 ,150 ,98 ,123 ,125)
n <- 5
epsilon <- 0.03
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
deltat <- T / n
lambda _ 0 <- (1 / T ) * log ( abs ( r ) * sqrt ( deltat ) / sigma _ 0)
Lambda <- seq ( lambda _ 0 , lambda _ 0+0.8 ,0.01)
Fehler <- rep (0 , length ( Lambda ))
N <- length ( K )
C _ Mkt <- rep (0 , N )
C _ Mod <- rep (0 , N )
# # Marktpreise :
# # manuelle Eingabe :
C _ Mkt <- c (20 ,21 ,22 ,23 ,24 ,25 ,26 ,27 ,28 ,29 ,30 ,31 ,32)
# # Falls keine echten Marktpreise zur Hand ,
# # Generierung ueber Black - Scholes
# # ( nur zur Verans chaul ichung )
# for ( k in 1: N ) {
# a <- ( log ( S _ 0 / K [ k ])+( r +( sigma _ 0)^2 / 2) * T ) / ( sigma _ 0 * sqrt ( T ))
# b <- a - sigma _ 0 * sqrt ( T )
# if ( Typ [ k ] == 0) {
# C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * pnorm ( a ) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * pnorm ( b )
# } else {
# C _ Mkt [ k ] <- S _ 0 * ( pnorm ( a ) -1) - K [ k ] * exp ( - r * T ) * ( pnorm ( b ) -1)
# }
# }
Stelle <- 1
for ( lambda in Lambda ) {
# # Berechne Baum
for ( i in 1: n ) {
127
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( lambda * (i -1) * deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Eintragung des Fehlers in entsprechende Vektorkomponente
Fehler [ Stelle ] <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt ) * ( C _ Mod - C _ Mkt ))
Stelle <- Stelle +1
}
# # Auftragen von lambda gegen Fehler ,
# # Ausgabe als Scatterplot
plot ( Lambda , Fehler )
Programm für die Testberechnung eines Optionspreises mit echten
Marktdaten
Quellcode 6 (Testberechnung mit echten Marktdaten (Siemens-Aktie)):
# # Marktparameter
T <- 14 / 360
sigma _ 0 <- 0.2765
S _ 0 <- 93.74
r <- 0.196
128
KAPITEL A. ANHANG
# # Optionen am Markt
Typ <- c (0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0) # 0= Call ,1= Put
K <- c (80 ,82 ,84 ,86 ,88 ,90 ,92 ,94 ,96 ,98 ,100 ,102)
C _ Mkt <- c (14.10 ,12.20 ,10.20 , 8.30 , 6.30 , 4.60 ,
3.00 , 1.70 , 0.89 , 0.39 , 0.13 , 0.04)
N <- length ( K )
# # gewaehlte Parameter
n <- 8
epsilon <- 0.015
Abbruch <- 0.00000000001 # # Laenge des Intervalls [ x _ 1 , x _ 2]
## Variableninitialisierung
Deltat <- T / n
lambda _ 0 <- (1 / T ) * log ( abs ( r ) * sqrt ( Deltat ) / sigma _ 0)
sigma <- rep (0 , n )
u <- rep (0 , n )
d <- rep (0 , n )
p <- rep (0 , n )
S <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
S [1 ,1] <- S _ 0
V <- matrix (0 , n +1 ,2^ n )
C _ Mod <- rep (0 , N )
# ##########################################
# # Suche nach geeignetem Startintervall : ##
# ##########################################
l <- 0.5 # # initialer Abstand von x _ 1 und x _ 2
x _ 1 <- lambda _ 0
z <- 0 # # Laufindex zur I n t e r v a l l v e r g r o e s s e r u n g
# # Berechne quadrierten Fehler fuer x _ 1
# # Berechne Baum ( Aktie )
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( x _ 1 * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer x _ 1
for ( k in 1: N ) {
129
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Schreibe Funktionswert ( Fehler ) auf Variable
Fehlerx _ 1 <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2)
repeat {
x _ 2 <- x _ 1+(2^ z ) * l
# # Berechne quadrierten Fehler fuer x _ 2
# # Berechne Baum ( Aktie )
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( x _ 2 * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer x _ 2
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
130
KAPITEL A. ANHANG
}
# # Schreibe Funktionswert ( Fehler ) auf Variable
Fehlerx _ 2 <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2)
# # Pruefe Bedingung f ( x _ 1) <= f ( x _ 2)
if ( Fehlerx _ 1 <= Fehlerx _ 2){
break
} else {
z <- z +1
}
}
print ( x _ 1)
print ( x _ 2)
# ###########################################################
# # M i ni m a ls t e ll e n s uc h e ( Verfahren des goldenen Schnitts ): ##
# ###########################################################
# # Intervall zur M i n im a l st e l le n s uc h e ( siehe Plot )
# # goldener Schnitt , Teilung der Strecke x _ 2 - x _ 1 bei a und b
phi <- (1+ sqrt (5)) / 2
a <- ( x _ 2+ phi * x _ 1) / ( phi +1)
b <- x _ 1 + x _ 2 -a
# # Lambdasuche
# # damit die while - Schleife mind . 1 - mal laeuft
Fehler <- epsilon + 1
while ( Fehler > epsilon ) {
# # Berechne Baum fuer lambda = a
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( a * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp (( r ) * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer lambda = a
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
131
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Fehler fuer lambda = a
FehlerA <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2)
# # Berechne Baum fuer lambda = b
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( b * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
# # Berechne N Modellpreise fuer lambda = b
for ( k in 1: N ) {
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ [ k ] == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K [ k ]) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 , K [ k ] - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
C _ Mod [ k ] <- V [1 ,1]
}
# # Fehler fuer lambda = b
FehlerB <- (1 / N ) * sum (( C _ Mod - C _ Mkt )^2)
Fehler = min ( c ( FehlerA , FehlerB ))
132
KAPITEL A. ANHANG
# # Abfrage , welcher Fehler der Zwischenwerte groesser ist
# # Bestimmung des neuen Intervalls [ x _ 1 , x _ 2]
if ( FehlerA > FehlerB ){
x _ 1 <- a
a <- b
b <- x _ 1+ x _ 2 - a
lambda <- a
} else {
x _ 2 <- b
b <- a
a <- x _ 1+ x _ 2 - b
lambda <- b
}
# # Abbruch , falls x _ 2 - x _ 1 zu klein wird
if ( x _ 2 - x _ 1 < Abbruch ){
print ( " Abbruch ! " )
break
}
}
# ####################################################
# # O p t i o n s p r e i s b e r e c h n u n g fuer gewuenschte Option : ##
# ####################################################
Typ <- 0 # # Call
K <- 91 # # gewuenschter Ausuebungspreis
Preis <- 3.8 # # Vergleichswert ( Marktwert )
for ( i in 1: n ) {
sigma [ i ] <- sigma _ 0 * exp ( lambda * (i -1) * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- exp ( - sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
p [ i ] <- ( exp ( r * Deltat ) -(1+ d [ i ])) / ((1+ u [ i ]) -(1+ d [ i ]))
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j ) / 2] * (1+ u [ i ])
} else {
S [ i +1 , j ] <- S [i ,( j +1) / 2] * (1+ d [ i ])
}
}
}
for ( j in 1:(2^ n )) {
if ( Typ == 0){
V [ n +1 , j ] <- max (0 , S [ n +1 , j ] - K ) / exp ( r * n * Deltat )
} else {
V [ n +1 , j ] <- max (0 ,K - S [ n +1 , j ]) / exp ( r * n * Deltat )
}
}
133
for ( i in n :1) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
V [i , j ] <- p [ i ] * V [ i +1 ,2 * j ]+(1 - p [ i ]) * V [ i +1 ,2 *j -1]
}
}
# ###########################################################
# # Ausgabe u . a . der Minimalstelle und des Optionspreises : ##
# ###########################################################
print ( " Minimalstelle lambda : " )
print ( lambda )
print ( " mittlerer , quadrierter Fehler " )
print ( " zwischen Modell - und Marktpreisen unter lambda : " )
print ( Fehler )
print ( " epsilon : " )
print ( epsilon )
print ( " Modellpreise ( unter lambda ): " )
print ( C _ Mod )
print ( " Marktpreise ( nach Eingabe ): " )
print ( C _ Mkt )
print ( " Modell - Optionspreis : " )
print ( V [1 ,1])
print ( " V e r g l e i c h s m a r k t p r e i s : " )
print ( Preis )
print ( " Quadrierter Fehler der beiden Preise : " )
print (( V [1 ,1] - Preis )^2)
Programm zur Erstellung einer Grafik eines nicht-rekombinierbaren
Binomialbaums
Der Aufbau des Baums erfolgt anhand des λ-Modells aus Abschnitt 5.1.
Quellcode 7 (Grafik eines nicht-rekombinierbaren Binomialbaums):
n <- 4
Deltat <- 0.5
T <- n * Deltat
r <- 0.1
delta <- 0.2
S0 <- 100
# # Berechne sigma , lambda , u , d
sigma0 <- 0.3
sigma <- rep (0 , n +1)
lambda <- log ( abs (r - delta ) * sqrt ( Deltat ) / sigma0 ) / T
lambda <- lambda + 0.5
u <- rep (0 , n +1)
d <- rep (0 , n +1)
134
KAPITEL A. ANHANG
for ( i in 1:( n +1)) {
sigma [ i ] <- sigma0 * exp ( lambda * i * Deltat )
u [ i ] <- exp ( sigma [ i ] * sqrt ( Deltat )) -1
d [ i ] <- 1 / (1+ u [ i ]) -1
}
# # Berechne den Baum als Matrix
S <- matrix (0 ,2^ n , n +1)
S [1 ,1]= S0
for ( i in 1: n ) {
for ( j in 1:(2^ i )) {
if ( floor ( j / 2)==( j / 2)) {
S [j , i +1] <- (1+ d [ i ]) * S [ j / 2 , i ]
} else {
S [j , i +1] <- (1+ u [ i ]) * S [( j +1) / 2 , i ]
}
}
}
# # Ausgehend vom Punkt (0 , S (0 ,0)) werden nach und nach
# # die Aeste in den Baum eingefuegt ( Befehl : lines )
plot (0 , S [1 ,1] , type = " l " , xlim = c (0 , n ) , ylim = c ( min ( S ) , max ( S )) ,
xlab = " Zeit / Periode " , ylab = " Kurs S " )
for ( i in 1: n ) {
for ( j in 1:(2^( i -1))) {
lines ( c (i , i +1) -1 , c ( S [j , i ] , S [2 *j , i +1]))
lines ( c (i , i +1) -1 , c ( S [j , i ] , S [2 *j -1 , i +1]))
}
}
Literaturverzeichnis
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[5] http://programmingwiki.de/Grundlagen der funktionsorientierten
Programmierung mit SCHEME/Extremwertsuche nach dem Verfahren
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http://num.math.unibayreuth.de/de/team/Gruene Lars/lecture notes/finanz math/finanz
math 3.pdf, Stand: 2.1.2014, 2013.
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[18] Kurt Keilhofer and Martin Kerscher.
Skript zur vorlesung
computergestützte
mathematik.
http://www.mathematik.unimuenchen.de/˜kerscher/vorlesungen/compmathws1314/skript/compmath
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[19] Martina Nardon and Paolo Pianca. Extracting information on implied
volatilities and discrete dividends from american option prices. Journal of
Modern Accounting and Auditing, 9(1):112–129, 2013.
[20] Hans Joachim Oberle.
Skript zur vorlesung optimierung.
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/optimierung/
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[21] Stefan Reitz. Mathematik in der modernen Finanzwelt: Derivate, Portfoliomodelle und Ratingverfahren. Studienbücher Wirtschaftsmathematik.
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[23] Alice. E. Smith and David. W. Coit. Handbook of Evolutionary Computation, chapter C5.2: Constraint-Handling Techniques - Penalty Functions.
Institute of Physics Publishing and Oxford University Press, 1997.
137
Selbstständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und nur
unter Zuhilfenahme der angegebenen Quellen und Hilfsmittel erstellt, sowie die
Arbeit nicht bereits zur Erlangung eines akademischen Grades eingereicht habe.
Michaela Baumann
Bayreuth, den 28. Februar 2014
138
139

Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der

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