Vorlesung Elmar Langetepe WS1314

Offline Bewegungsplanung: Polyeder
Elmar Langetepe
University of Bonn
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13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
1
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
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13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
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2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
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Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
s
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Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
s
t
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Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
s
t
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2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
• Rand besteht aus Polygonen
s
t
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2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
• Rand besteht aus Polygonen
• Keine dünnen Stellen:
s
t
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2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
• Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
• Rand besteht aus Polygonen
• Keine dünnen Stellen: -Kugeln
s
t
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13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
2
Downgrading: Oberfläche Polyeder!
•
•
•
•
Natürliche Erweiterung der Polygone auf 3D
Rand besteht aus Polygonen
Keine dünnen Stellen: -Kugeln
Datenstruktur QEDS: Triangulation Oberflächen, Navigation!
s
t
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Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
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Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
• Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
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Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
• Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
• Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel
e
α
d1
α
d2
(i)
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Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
• Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
• Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel
• Knoten: Nur nicht-konvexe Ecken
e
α
d1
α
d2
(i)
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3
Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
• Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
• Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel
• Knoten: Nur nicht-konvexe Ecken
e
α2
α
β1
α1 β2
α3
d1
α
β5
α7
d2
(i)
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(ii)
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Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
• Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
• Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel
• Knoten: Nur nicht-konvexe Ecken
e
α2
α
β1
α1 β2
α3
d1
β
α
β5
α7
d2
(i)
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(ii)
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3
Lokale Eigenschaften (geodätisch)! Lem. 1.39
•
•
•
•
Lokale Eigenschaften (geodätisch) kürzester Wege
Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel
Knoten: Nur nicht-konvexe Ecken
Konvexe Ecke: Ebenenschnitt
e
α2
α
β1
α1 β2
α3
d1
β
α
β5
α7
d2
(i)
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
πi, πj kürzeste von s nach bi resp. bj
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
πi, πj kürzeste von s nach bi resp. bj
(i) πi hat keine Selbstschnitte
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
πi, πj kürzeste von s nach bi resp. bj
(i) πi hat keine Selbstschnitte
(ii) πi schneidet jede Fläche max. einmal
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
πi, πj kürzeste von s nach bi resp. bj
(i) πi hat keine Selbstschnitte
(ii) πi schneidet jede Fläche max. einmal
(iii) πi, πj kreuzen sich nicht im Innern einer Fläche
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Globale Eigenschaften (Kürzeste)! Lem. 1.40
πi, πj kürzeste von s nach bi resp. bj
(i) πi hat keine Selbstschnitte
(ii) πi schneidet jede Fläche max. einmal
(iii) πi, πj kreuzen sich nicht im Innern einer Fläche
Beweis!!! Lokal verkürzbar! (Tafel)
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Berechnungsansatz: Ideen
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Berechnungsansatz: Ideen
• Locus approach: Startpunkt s fest
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Berechnungsansatz: Ideen
• Locus approach: Startpunkt s fest
• Nur letzte Schritte des Weges konkret
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Berechnungsansatz: Ideen
• Locus approach: Startpunkt s fest
• Nur letzte Schritte des Weges konkret
• Kombinatorisch gleiche zusammenfassen
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Berechnungsansatz: Ideen
•
•
•
•
Locus approach: Startpunkt s fest
Nur letzte Schritte des Weges konkret
Kombinatorisch gleiche zusammenfassen
Zunächst nur Intervalle auf Kanten betrachten
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Berechnungsansatz: Ideen
•
•
•
•
•
Locus approach: Startpunkt s fest
Nur letzte Schritte des Weges konkret
Kombinatorisch gleiche zusammenfassen
Zunächst nur Intervalle auf Kanten betrachten
Sukzessive erweitern: Continous Dijkstra
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Berechnungsansatz: Ideen
•
•
•
•
•
•
Locus approach: Startpunkt s fest
Nur letzte Schritte des Weges konkret
Kombinatorisch gleiche zusammenfassen
Zunächst nur Intervalle auf Kanten betrachten
Sukzessive erweitern: Continous Dijkstra
In die Dreiecke fortpflanzen
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Berechnungsansatz: Ideen
•
•
•
•
•
•
•
Locus approach: Startpunkt s fest
Nur letzte Schritte des Weges konkret
Kombinatorisch gleiche zusammenfassen
Zunächst nur Intervalle auf Kanten betrachten
Sukzessive erweitern: Continous Dijkstra
In die Dreiecke fortpflanzen
Query Struktur für alle Punkte auf P
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Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!
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Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!
Folge von Kanten und Knoten!
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6
Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!
Folge von Kanten und Knoten!
π = |{z}
v0 , e1,1, . . . , e1,m1 ,|{z}
v ,
{z
} 1
|
=s
2. Ecke
Kanten
vk
e2,1, . . . , e2,m2 , v2, . . . , ek−1,1, . . . , ek−1,mk−1 ,|{z}
{z
}
|
=t
Kanten
(i-1)-te Ecke
i-te Ecke
α
x
f
ei−11
α
s
vi−1
t
ei−1mi−1
vi
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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Letzte Schritte: Für beliebige Kanten!
• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
β
x
em
e1
β
s
f
e
v
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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Letzte Schritte: Für beliebige Kanten!
• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen,
β
x
em
e1
β
s
f
e
v
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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Letzte Schritte: Für beliebige Kanten!
• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen, Dreiecke nicht beachten
β
x
em
e1
β
s
f
e
v
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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Letzte Schritte: Für beliebige Kanten!
• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen, Dreiecke nicht beachten
• Optimalitätsintervall: Def. 1.42
β
x
em
e1
β
s
f
e
v
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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7
Letzte Schritte: Für beliebige Kanten!
• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen, Dreiecke nicht beachten
• Optimalitätsintervall: Def. 1.42
I(v, E) := {x ∈ e| ∃ Kürzeste δ von s nach x mit
• δ ∩ INT(f ) = ∅
• δ endet mit v, e1, . . . , em, x} .
β
x
em
e1
β
s
f
e
v
Kantenfolge E
(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)
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Lem. 1.43 Eigenschaften: I(v, )
(i) Jede solche Menge I(v, E) ist Intervall auf e (evtl. leer).
(ii) Zwei verschiedene Intervalle können sich nicht überlappen.
(iii) e wird von Intervallen I(v, E) ganz überdeckt.
Beweis!!! Gegeben: Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E
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I(v, E) ist Intervall auf e
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
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9
I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
f
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
e
f
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
e
f
v̄
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
e
f
v̄
E (aufklappen in Ebene zu f)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
e
x1
f
s
v̄
x2
E (aufklappen in Ebene zu f)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
e
x1
s
v̄
x0
x2
f
E (aufklappen in Ebene zu f)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
v̄ 0
e
x1
s
v̄
x0
x2
f
E (aufklappen in Ebene zu f)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
v̄ 0
e
x1
s
v̄
x0
x2
f
E (aufklappen in Ebene zu f)
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I(v, E) ist Intervall auf e
• I(v, E) leer ⇒ fertig!
• Annahme: Es gibt zwei Punkte x1 und x2 in I(v, E)
• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen gehören zu I(v, E)
v̄ 0
Widerspruch Lem. 1.40 (iii)
e
x1
s
v̄
x0
x2
f
E (aufklappen in Ebene zu f)
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Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
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Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
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Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
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10
Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
f
e
v̄l
v̄k
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10
Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
f
e
x
v̄l
v̄k
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10
Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
f
e
x
|v̄k − x| + d(vk , s) = |v̄l − x| + d(vl , s)
v̄l
v̄k
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10
Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
f
e
x
|v̄k − x| + d(vk , s) = |v̄l − x| + d(vl , s)
Hyperbel
v̄l
v̄k
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Intervalle I(v, E) überlappen sich nicht
• Gleiche Argumentation geht auch!!
• Schönere Argumentation!!
f
e
x
|v̄k − x| + d(vk , s) = |v̄l − x| + d(vl , s)
Hyperbel
Genau ein x!!!
v̄l
v̄k
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e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
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e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
Klar!
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11
e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
Klar! Jeder Punkt x ∈ e wird von einem Kürzesten Weg besucht!
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11
e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
Klar! Jeder Punkt x ∈ e wird von einem Kürzesten Weg besucht!
Insgesamt:
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e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
Klar! Jeder Punkt x ∈ e wird von einem Kürzesten Weg besucht!
Insgesamt: Lem. 1.43:
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11
e wird von Intervallen I(v, E) überdeckt
Klar! Jeder Punkt x ∈ e wird von einem Kürzesten Weg besucht!
Insgesamt: Lem. 1.43:
(i) Jede solche Menge I(v, E) ist Intervall auf e (evtl. leer).
(ii) Zwei verschiedene Intervalle können sich nicht überlappen.
(iii) e wird von Intervallen I(v, E) ganz überdeckt.
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11
Alle I(v, E) berechnen!
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12
Alle I(v, E) berechnen!
• Wie viele?
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12
Alle I(v, E) berechnen!
• Wie viele?
• Was machen wir mit dem Inneren der Dreiecke?
• Lem. 1.44: Kante e, O(n) Intervalle I(v, )
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12
Alle I(v, E) berechnen!
•
•
•
•
Wie viele?
Was machen wir mit dem Inneren der Dreiecke?
Lem. 1.44: Kante e, O(n) Intervalle I(v, )
Zählargument: Klassisch!!!
Offline Bewegungsplanung
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12
Lem. 1.44: O(n) Intervalle I(v, E)
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13
Lem. 1.44: O(n) Intervalle I(v, E)
Benachbarte Intervalle trennen sich!!
f
Ij
d
Ij+1
f
e
Ij −1 Ij
Ij+1
g
d
g
πj
πj
w
πj+1
πj+2
w
π j −1
(i)
πj+1
(ii)
• Kante d kann max zweimal als Trenner vorkommen!!
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13
Lem. 1.44: O(n) Intervalle I(v, E)
Benachbarte Intervalle trennen sich!!
f
Ij
d
Ij+1
f
e
Ij −1 Ij
Ij+1
g
d
g
πj
πj
w
πj+1
πj+2
w
π j −1
(i)
πj+1
(ii)
• Kante d kann max zweimal als Trenner vorkommen!!
• Wegen Schnitteigenschaft!! Ausklappen ohne Überlappungen!
Offline Bewegungsplanung
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13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
13
Das Innere der Dreiecke füllen
Offline Bewegungsplanung
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13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet!
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation für jedes Dreieck!
f
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation für jedes Dreieck!
Mehrere Kantenfolgen!!
v3
v4
v2,1
v1
E1
v2,2
f
v6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege E2
v5
WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation für jedes Dreieck!
Mehrere Kantenfolgen!!
v3
v4
v2,1
v1
E1
v2,2
f
E2
s
v6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege v5
WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation für jedes Dreieck!
Mehrere Kantenfolgen!!
v3
v4
v2,1
v1
E1
v2,2
f
E2
s
v6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege v5
WS ’1314
14
Das Innere der Dreiecke füllen
Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation für jedes Dreieck!
Mehrere Kantenfolgen!!
v3
v4
v2,1
v1
E1
v2,2
f
E2
x
s
v6
v5
|x − v2¯,2| + d(s, v2,2) = |x − v¯5| + d(s, v5)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
14
Aufteilen der Dreiecke!
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
15
Aufteilen der Dreiecke!
v¯3
v¯4
v¯2,1
v¯1
v¯2,2
f
x
|x − v2¯,2| + d(s, v2,2) = |x − v¯5| + d(s, v5)
v¯6
v¯5
• Gewichte: d(s, vi),
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
15
Aufteilen der Dreiecke!
v¯3
v¯4
v¯2,1
v¯1
v¯2,2
f
x
|x − v2¯,2| + d(s, v2,2) = |x − v¯5| + d(s, v5)
v¯6
v¯5
• Gewichte: d(s, vi), Regionen bezüglich Orte v¯i
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
15
Aufteilen der Dreiecke!
v¯3
v¯4
v¯2,1
v¯1
v¯2,2
f
x
|x − v2¯,2| + d(s, v2,2) = |x − v¯5| + d(s, v5)
v¯6
v¯5
• Gewichte: d(s, vi), Regionen bezüglich Orte v¯i
• Voronoi Diagramm mit additiven Gewichten d(s, vi)
voroAdd.html
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
15
Aufteilen der Dreiecke!
v¯3
v¯4
v¯2,1
v¯1
v¯2,2
f
x
|x − v2¯,2| + d(s, v2,2) = |x − v¯5| + d(s, v5)
v¯6
v¯5
• Gewichte: d(s, vi), Regionen bezüglich Orte v¯i
• Voronoi Diagramm mit additiven Gewichten d(s, vi)
voroAdd.html
• Lokalisationsmöglichkeit! (Separators/Seidel)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
15
Alg. 1.13
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E),
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD,
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel),
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
– Voronoi Region von t in V D(f )
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
– Voronoi Region von t in V D(f ) O(log n)
– Kürzesten Weg aus I(v, E): Über E und in v abgesp. Kürz.
Weg zu s, k Segmente,
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
– Voronoi Region von t in V D(f ) O(log n)
– Kürzesten Weg aus I(v, E): Über E und in v abgesp. Kürz.
Weg zu s, k Segmente, O(k)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
– Voronoi Region von t in V D(f ) O(log n)
– Kürzesten Weg aus I(v, E): Über E und in v abgesp. Kürz.
Weg zu s, k Segmente, O(k)
– Nur Länge,
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Alg. 1.13
• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s
• Output: Kürzester Weg für beliebigen Anfragepunkt t ∈ f
• Preprocessing:
– Berechne Intervalle I(v, E), O(n2 log n)
– Für alle f add. gew. VD, O(n2 log n)
– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n2)
• Query:
– Voronoi Region von t in V D(f ) O(log n)
– Kürzesten Weg aus I(v, E): Über E und in v abgesp. Kürz.
Weg zu s, k Segmente, O(k)
– Nur Länge, O(1)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
16
Ergebnis: Theorem 1.45
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
17
Ergebnis: Theorem 1.45
Sei s auf P fest, gegeben b auf P . Die Entfernung bzw. die Kürzeste
von s nach b auf P läßt sich nach Vorbereitungszeit O(n2 log n) mit
Platz O(n2) in Zeit O(log n) bzw. O(log n + k) berechnen.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
17
Ergebnis: Theorem 1.45
Sei s auf P fest, gegeben b auf P . Die Entfernung bzw. die Kürzeste
von s nach b auf P läßt sich nach Vorbereitungszeit O(n2 log n) mit
Platz O(n2) in Zeit O(log n) bzw. O(log n + k) berechnen.
(Mount,Mitchell,Papdimitriou, 1986)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
17
Berechnung aller I(v, E)
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken!
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s3
s
s1
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
v
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
v
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
v
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege s7
WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
v
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege s7
WS ’1314
18
Berechnung aller I(v, E)
Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!
Garantiepunkt si auf dem Intervall, nächster Punkt zu s. Kürzeste
Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!
s5
s3
s
s1
v
s4
s2
s6
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege s7
WS ’1314
18
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Offline Bewegungsplanung
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
– Wähle Intervall I(v, E) mit kürzestem Abstand.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
– Wähle Intervall I(v, E) mit kürzestem Abstand.
d(s, v) + |v̄ − si| ist am geringsten!
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
– Wähle Intervall I(v, E) mit kürzestem Abstand.
d(s, v) + |v̄ − si| ist am geringsten! Wird stets Intervall bleiben!
(Eventuell später gekürzt).
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
– Wähle Intervall I(v, E) mit kürzestem Abstand.
d(s, v) + |v̄ − si| ist am geringsten! Wird stets Intervall bleiben!
(Eventuell später gekürzt).
– Führe dieses Intervall auf die Kanten des Dreiecks fort, auf dem
si lag und das jenseits der Folge E liegt.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
• DS:
Alg. 1.12 Continuous Dijkstra
– Priority Queue W : Intervalle nach si-Abstände.
– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.
• Iterationsschritt:
– Wähle Intervall I(v, E) mit kürzestem Abstand.
d(s, v) + |v̄ − si| ist am geringsten! Wird stets Intervall bleiben!
(Eventuell später gekürzt).
– Führe dieses Intervall auf die Kanten des Dreiecks fort, auf dem
si lag und das jenseits der Folge E liegt.
– Sortiere zwei neue Intervalle in die Liste der Intervalle der
beiden Kanten ein. Bestimme jeweilige sj und füge in W ein.
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
19
Schritt des Einsortierens!
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
20
Schritt des Einsortierens!
e’
e”
f
si
e
I (v, E)
v̄
A
W
d(v, s) + |v̄ − si|
minimal
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
20
Schritt des Einsortierens!
I1
I4
e’
I2
e”
I5
f
I6
I7
I3
si
e
I (v, E)
v̄
A
W
d(v, s) + |v̄ − si|
minimal
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
20
Schritt des Einsortierens!
I1
I4
e’
I2
e”
I5
f
sj
I0
I3
I6
I7
si
e
I (v, E)
v̄
A
W
d(v, s) + |v̄ − si|
minimal
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
20
Schritt des Einsortierens!
I1
e’
I2
sj
e”
I5
f
I 00
I0
I3
I4
I6
si
I7
si
e
I (v, E)
v̄
A
W
d(v, s) + |v̄ − si|
minimal
s
Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
20
Schritt des Einsortierens!
I1
e’
I2
sj
e”
I5
f
I 00
I0
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Offline Bewegungsplanung
c Elmar Langetepe
13.11.13 Kürzeste Wege WS ’1314
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Schritt des Einsortierens!
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Einsortieren in Baum der Intervalle!
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Schritt des Einsortierens!
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Einsortieren in Baum der Intervalle! O(log n)!
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