Zusammenfassung Üben • Anwenden • Nachdenken

Zusammenfassung
Üben • Anwenden • Nachdenken
Quader und Würfel
1
Ein Quader
mit den Kantenlängen a, b und c hat
das Volumen V = a · b · c
und
die Oberfläche O = 2 (a · b + b · c + a · c).
Berechne die Oberfläche und das
Volumen des Prismas.
Die Oberfläche O ist die Summe aus
dem Doppelten der Grundfläche G und
der Mantelfläche M:
O = 2 · G + M
Die Mantelfläche M ist das Produkt aus
dem Umfang u der Grundfläche mit der
Körperhöhe h:
M = u · h
Volumen
zusammensetzen
von Körpern
Das Volumen eines Prismas lässt sich als
Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe
berechnen:
V = G · h
Werden zwei Körper mit den Volumina V 1
und V2 zusammengesetzt, so hat der zu­
sammengesetzte Körper das Volumen V = V 1 + V 2 .
Die Oberfläche O eines zusammengesetz­
ten Körpers lässt als Summe von Einzel­
flächen berechnen.
Die Rechnung lässt sich oft durch geschick­
tes Zusammenfassen vereinfachen.
150 Zusammenfassung
a)
b)
18 cm
20 dm
h
36 cm
G
216 cm 2
5,8 m 2
c)
d)
3,5 cm
25 cm
12 cm 2
18 dm 2
M
94 cm 2
O
V
8,7 m 3
10 dm 3
4
Ein Prisma wird begrenzt von der Grund­
fläche, der Deckfläche und dem Mantel.
Grundfläche und Deckfläche sind
deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke,
Vierecke oder Vielecke.
Die Mantelfläche besteht aus Rechtecken.
Oberfläche
Berechne die nicht gegebenen Größen
des Prismas.
u
Ein Würfel ist ein Quader mit drei
gleichen Kantenlängen a = b = c. Er hat das V
­ olumen V = a 3
und
die Oberfläche O = 6 a 2.
Prisma
3
2
a) Warum gilt V 3 < V 5 und V6 < V 2?
Antworte, ohne zu rechnen.
b) Ordne die sechs Prismenvolumina der
Größe nach; beginne mit dem kleinsten.
(alle Maße in cm)
D=G
M = M1 + M2 + M3 + M4
u = a1 + a2 + a3 + a4
Die obere der zwei parallelen Seiten
des Trapezes ist verschiebbar. Bestimme
für einige Lagen der Seite die Oberfläche
des Prismas. Die Länge der Trapezschenkel
liest du aus einer Zeichnung ab.
Findest du das Prisma mit kleinstem
Volumen?
u
5
Die Grundfläche eines Prismas ist
ein Dreieck mit a = 8,5 cm, b = 5 cm, c = 10,5 cm und h c = 4 cm.
Wie hoch ist das Prisma, wenn es
a) das Volumen V = 168 cm 3 hat?
b) die Oberfläche O = 234 cm 2 hat?
6
Ein Prisma hat als Grundfläche ein
Dreieck mit der Grundlinie x und der Höhe
2 x. Die Körperhöhe beträgt 10 cm.
a) Vergrößert man die Grundlinie x um
1 cm und die Dreieckshöhe 2 x um 2 cm,
so erhöht sich das Volumen V des Prismas
um 150 cm 3. Wie groß ist x?
b) Die Grundlinie wird um 1 cm vergrößert
und die Dreieckshöhe wird um 2 cm ver­
kleinert. Um wie viel verändert sich das
Volumen?
c) Gilt das Ergebnis b) wirklich für jeden
Wert von x?
Hat ein zusammen­
gesetzter Körper immer
eine größere Oberfläche
als die zwei Teilkörper
zusammen?
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