Den 14. April, 2008 Der Satz von Baire. Der folgende Satz spielt

Den 14. April, 2008
Der Satz von Baire. Der folgende Satz spielt eine fundamentale Rolle
in der Theorie der metrischen Rume.
Theorem 0.1 Ein vollstaendiger metrischer Raum X kann nicht als
Vereinigung von abzaehlbar vielen niergends dichten Mengen dargestellt werden .
Beweis Wir nehmen das Gegenteil an. Es sei X = ∪∞
n=1 Mn , wobei Mn
niergends dicht ist. Es sei S0 eine abgeschlossene Kugel vom Radius 1. M1 ist
nicht dicht in S0 , also gibt es eine abgeschlossene Kugel S1 mit einem Radius
kleiner als 1/2, so dass S1 ⊂ S0 und S1 ∩ M1 = ∅ ist. Da die Menge M2 in S1
nicht dicht ist, gibt es nach derselben Ueberlegung in S1 eine abgeschlossene
Kugel S2 , deren Radius kleiner als 1/3 ist und fuer die S2 ∩M2 = ∅ gilt u.s.w.
Wir erhalten eine Folge {Sn } von ineinandergelegenen Kugeln, deren Radien
gegen Null streben und Sn ∩ Mn = ∅. Dann hat der Durchschnitt ∩∞
n=1 Sn
einen Punkt x. Dieser Punkt gehoert nach der Konstruktion zu keiner der
Mengen Mn . Somit gilt x ∈
/ ∪Mn , d.h.X 6= ∪∞
n=1 Mn . Es ist Widerspruch
und damit ist der Satz bewiesen.B
Definition 0.2 X und Y seien gegebene metrische Räume und y = f (x)
eine auf einer Menge M ⊂ X definierte Funktion, deren Werte im Raum
Y liegen. Die Funktion f (x) heisst stetig im Punkt x0 ∈ M, wenn für jedes
ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert, so dass dY (f (x), f (x0 )) < ε für jeden Punkt
x ∈ M ist, der die Ungleichung dX (x, x0 ) < δ genügt.
Der Abstand, wenn man ihn als Funktion von x, y betrachtet, ist auch stetig.
Das folgt sofort aus der Ungleichung
|d(x, y) − d(x0 , y0 )| ≤ d(x, x0 ) + d(y, y0 )
Aus der Definition folgt: wenn xn → x0
(xn , x0 ∈ M ) so strebt
f (xn ) → f (x0 ).
Die Umgekehre Behauptung ist auch richtig.
Wenn eine umkehrbare eindeutige Abbildung des Raumes X und Y existiert, die in beiden Richtungen stetig ist, dann heissen X und Y homömorph.
Als Beispiel homömorpher Raueme koennen die ganze reelle Achse (−∞, +∞)
und ein offenes Interval, z.B. (−1, 1) durch die Funktion y = π2 arctgx dienen.
Einen wichtigen Spezialfall homömorpher Abbildungen bilden die isometrische
Abbildungen. Eine Bijection f zwischen 2 metrischen Räumen X, Y nennen
wir eine isometrie , wenn
dX (x, y) = dY (f (x), f (y)) für alle x, y ∈ X.
1
Isometrie bedeutet, dass die metrischen Beziehungen zwischen beiden
Rümen dieselben sind. Verschieden kann nur die Natur ihrer Elemente sein,
was vom Standtpunkt der Theorie der metrischen Räume unwesentlich ist.
Die Vervollstaendigung von Raeumen. Wenn X nicht vollstaendig
ist, dann kann man ihn immer in einen vollstaendigen Raum einbetten.
Definition 0.3 Ein vollstaendiger metrischer Raum X ∗ heisst Vervollstaendigung des Raumes X, wenn
1. X Teilraum des Raumen X ∗ ist
2. X ueberall dicht in X ∗ ist.
Theorem 0.4 Jeder metrischer Raum X besitzt eine Vervollstaendigung, und diese ist bis auf eine isometrie eindeutig bestimmt.
*** Beweis Eindeutigkeit. Es sei X ∗ und X ∗∗ zwei Vervollstaendigungen des Raumes X. Wir muessen zeigen, dass eine umkehrbar eindeutige
Abbildung f des Raumes X auf den Raum X ∗∗ existiert, so dass
1.f (x) = x fuer alle x ∈ X
2. d1 (x∗ , y ∗ ) = d2 (x∗∗ , y ∗∗ ) fuer x∗ ↔ x∗∗ und y ∗ ↔ y ∗∗ ist, wobei ist d1
der Abstand in X ∗ und d2 der Abstand in X ∗∗ .
Die Abbildung definieren wir in folgendermassen: es sei x∗ ein belibiger
Punkt aus x∗ . Dann ∃ eine Folge {xn } von Punkten aus X, die gegen x∗
konvergiert. {xn } liegt aber auch in X ∗∗ und da X ∗∗ vollstaendig ist, konvergiert {xn } gegen einen Punkt x∗∗ . Es ist klar, dass x∗∗ nicht von der
Auswahl der Folge {xn } abhaengt, die gegen Punkt x∗ konvergiert. Setzen
wir f (x∗ ) = x∗∗ und zeigen wir, dass f die gesuchte isometrie ist. Nach der
Konstruktion f (x) = x wenn x ∈ X. Weiter folgt aus
{xn } → x∗ in X ∗ und {xn } → x∗∗ in X ∗∗
{yn } → y ∗ in X ∗ und {yn } → y ∗∗ in X ∗∗ wegen der Stetigkeit des
Abstandes die Beziehung
d1 (x∗ , y ∗ ) = lim d1 (xn , yn ) = lim d(xn , yn )
n→∞
n→∞
und analog
d2 (x∗∗ , y ∗∗ ) = lim d2 (xn , yn ) = lim d(xn , yn )
n→∞
n→∞
Folglich gilt auch d1 (x∗ , y ∗ ) = d2 (x∗∗ , y ∗∗ ). Damit ist die Eindeutigkeit bewiesen.
Wir zeigen jetzt die Existienz der Vervollstaendigung. Es sei X ein belibiger metrischer Raum. Wir nennen zwei Fundamentalfolgen {xn } und
{x0n } aus x aequivalent, wenn limn→∞ d(xn , x0n ) = 0. Wir definieren jetz der
Raum X ∗ . Als dessen Punkte nehmen wir Aequivalenzklassen von Fundamentalfolgen, und den Abstand erklaeren wir folgendermassen. Es seien x∗
2
und y ∗ zwei solche Klassen. Aus jeder Klassen waehlen wir je einen Repraesentation, d.h. je eine Fundamentalfolge {xn } und {yn } und setzen
d(x∗ , y ∗ ) = lim d(xn , yn ).
n→∞
Wir zeigen jetzt, dass diese Definition korrekt ist: d.h. der Grenzwert
existiert und nicht von der Auswahl der Repraesentanten {xn } ∈ x∗ und
{yn } ∈ y ∗ abhaengt. Aus der Ungleichung
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , yn ) + d(xm , ym )
erhalten wir fuer hinreichend grosse m und n |d(xn , yn )−d(xm , ym )| < ε weil
{xn } und {yn } Fundamentalfolgen sind. Somit hat die Folge rn = d(xn , yn )
von reelen Zahlen einen Grenzwert, der nicht von der Auswahl der Folge
abhaengt. Weil wenn {xn }, {x0n } ∈ x∗ und {yn }, {yn0 } ∈ y ∗ ist, dann
|d(xn , yn ) − d(x0n , yn0 )| ≤ d(xn , yn ) + d(xm , ym )
und weil {xn } ∼ {x0n } und {yn } ∼ {yn0 } folgt hieraus
lim d(xn , yn ) = lim d(x0n , yn0 )
n→∞
n→∞
Naechst zeigen wir, dass X ∗ ein metrischer Raum ist. Die Gueltigkeit von
Axiom 1,2 kann man leicht pruefen. Es muss die Dreiecksungleichung ueberprueft werden. Da sie in X gilt, haben wir
d(xn , zn ) ≤ d(xn , yn ) + d(yn , zn )
dann durch den Grenzuebergang n → ∞ erhalten wir
d(x∗ , z ∗ ) ≤ d(x∗ , y ∗ ) + d(y ∗ , z ∗ ).
Jetzt zeigen wir dass man X als Teilraum des Raumes X ∗ betrachten
kann. Jedem Punkt x ∈ X entspricht eine Klasse aequivalenter Fundamentalfolgen, die gegen den Punkt x konvergieren. Diese Klasse sind nicht leer,
da sie die stationare Folge enthaelt, deren Folgenglieder alle gleich x sind.
Ausserdem gilt fuer x, y ∈ X
d(x, y) = lim d(xn , yn ),
n→∞
wenn
x = lim xn ,
y = lim yn
n→∞
n→∞
Folglich bilden wir X isometrisch in den Raum X ∗ ab, wenn wir jeden x ∈ X
die Klasse aller gegen x konvergierenden Fundamentalfolgen zuordnen.
Nun zeigen wir, dass X ueberall dicht in X ∗ ist. Sei x∗ ein belibiger
Punkt aus X ∗ und ε > 0 beliebig. Wir waehlen in x∗ eine Fundamentalfolge
3
{xn }. Wir nehmen N so gross, dass d(xn , xm ) < ε fuer alle n, m > N. Dann
haben wir
d(xn , x∗ ) = lim d(xn , xm ) ≤ ε
m→∞
fuer n > N , d.h. eine beliebige Umgebung des Punktes x∗ enthaelt einen
Punkt aus X. Somit ist der Abschluss von X in X ∗ ganz X ∗ .
Es bleibt die Vollstaendigkeit von X ∗ zu zeigen. Wir bemerken zunaechst, dass nach Konstruktion von X ∗ eine beliebige Fundamentalfolge
x1 , x2 , ..., xn , ... von Punkten aus X in X ∗ gegen einen gewissen Punkt
x∗ ∈ X konvergiert. Weil X dicht in X ∗ ist, folgt nun aber, dass man
jeder Fundamentalfolge x∗1 , x∗2 , ... von Punkten aus X ∗ eine zu ihr aequivalente Folge x1 , x2 , ... von Punkten aus X konstruieren kann. Dazu genuegt
es, fuer xn einen beliebigen Punkt aus X mit d(xn , x∗n ) < 1/n zu nehmen.
So konstruierte Folge ist Fundamentalfolge in X und konvergiert nach Definition von X ∗ gegen einen Punkt x∗ ∈ X ∗ . Dann konvergiert auch die Folge
{x∗n } gegen x∗ . Damit ist der Satz vollstaendig bewiesen. B ***
Das Prinzip der kontrahierenden Abbildung
Es sei X ein metrischer Raum. Eine Abbildung A des Raumes X in sich
heisst Kontraktion, wenn eine Zahl 0 < α < 1 existiert, so dass fuer zwei
beliebige Punkte x, y ∈ X die Ungleichung d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y) erfuellt ist.
Es ist einfach zu zeigen, dass A stetig ist. Ein Punkt x heisst Fixpunkt der
Abbildung A, wenn Ax = x gilt. Fixpunkte sind also die Loesungen der
Gleichung Ax = x.
Banachischer Fixpunktsatz. Sei X ein vollstaendiger metrischer
Raum. Dann hat jede Kontraktion A : X → X genau einen Fixpunkt.
Beweis. Es sei x0 ein beliebiger Punkt in X. Dann setzen wir x1 =
Ax0 , x2 = Ax1 = A2 x0 und allgemein xn = An x0 . Wir zeigen, dass die
Folge {xn } Fundamentalfolge ist, Wenn wir etwa annehmen, dass m ≥ nist,
gilt
d(xn , xm ) = d(An x0 , Am x0 ) ≤ αn d(x0 , xm−n ) ≤
αn {d(x0 , x1 ) + d(x1 , x2 ) + ... + d(xm−n−1 , xm−n )} ≤
αn d(x0 , x1 )(1 + α + α2 + ... + αm−n−1 ) ≤ αn
d(x0 , x1 )
1−α
Da α < 1 wird diese Groesse bei hinreichend grossem n beliebig klein. D.h.
ist die Folge {xn } Fundamentalfolge, und wegen Vollstaendigkeit von X
besitz sie einen Grezwert x. Auf Grund der Stetigkeit der Abbildung A folgt
dann
Ax = A(lim xn ) = lim Axn = lim xn+1 = x
damit ist die Existenz eines Fixpunktes bewiesen.
Die Eindeutigkeit. Wenn Ax = x, Ay = y ist, dann d(x, y) ≤ αd(x, y)
und wegen α < 1 folgt d(x, y) = 0, d.h. x = y.B
4
Einfache Anwendung. 1.Die Funktion f sei auf dem [a, b] definiert
und erfuellt die Lipschitzbedingung
|f (x2 ) − f (x1 )| ≤ K|x2 − x1 |,
K<1
f ist eine Kontraktion, und nach dem bewiesenen Satz konvergiert die Folge
x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ... gegen die einzige Loesung der Gleichung x =
f (x).
0.1
Topologische Räueme(Wiederholung)
Definition 0.5 Es sei X eine Menge. Ein beliebiges System τ von Teilmenge G ⊂ X heisst Topologie in X, wenn es die folgende Bedingungen
erfuellt:
1. Die ganze Menge und die leere Menge gehoeren zu τ.
2. Die Vereinigung von beliebig vielen Mengen aus τ und der Durchschnitt von endlich vielen Mengen aus τ gehoeren zu τ.
Das Paar (X, τ ) heisst Topologischer Raum. Die Menge, die zum System τ
gehoeren, heissen offen.
Die Komplimente der offenen Mengen heisse abgeschlossene Mengen.
Aus der Axiomen 1-2 folgt
1. die leere Menge und ganz X ist abgeschlossen
2. der Durchschnitt von beliebig vielen Mengen und die Vereinigung von
endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.
Jede offene Menge G ⊂ X, die den Punkt x ∈ X enthält, heisst Umgebung von x. Die Definitionen von Randpunkt, Häufungspunkt, u.s.w. haben
entsprechende Formulierungen.
Beispele.
1. Jeder metrischer Raum ist auch ein topologischer Raum.
2. Es sei X eine beliebige Menge. Als offen betrachten wir alle ihre
Teilmengen. Die Axiome 1.und 2. sind erfüllt und wir erhalten einen topologischen Raum. Dort sind alle Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen,
und das bedeutet, dass jede Menge mit ihrem Abschluss zusammenfällt. Das
ist eine triviale Topologie, die z.B. in diskreten metrischen Raum besitzt.
(P.S. Die Definition der diskrete Metrik: d(x, y) = 1, falls x = y und
d(x, y = 0 falls x = y ).
Definition 0.6 Eine Abbildung f : X → Y (X, Y sind topologische Räume),
heisst stetig in x ∈ X falls zu jeder Umgebung V von f (x) eine Umgebung
U von x gibt mit f (U ) ⊂ V.
Eine Abbildung heisst stetig, wenn sie in allen Punkten von X stetig ist.
5
Satz 1.Seien X, Y, Z topologische Räume und f : X → Y ; g : Y → Z.
Dann
1.ist f stetig in a, g stetig in f (a), so ist g(f ) stetig in a.
2. sind f, g stetig, dann ist f (g) auch stetig.
Satz 2.Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y . Dann
f ist genau dann stetig wenn das Urbild jeder abgeschlossenen(offenen)
Menge abgeschlossen(offen) ist.
1
Normierte Räume
Es sei K = R oder K = C. Wir werden die Bezeichnung K − V ektorraum
verwenden um anzudeuten, dass der betrachtene Raum sowohl ein reeler als
auch ein komplexer Vektorraum sein kann.
Es sei K = R oder K = C. Wir werden die Bezeichnung K−V ektorraum
verwenden um anzudeuten, dass der betrachtene Raum sowohl ein reeler als
auch ein komplexer Vektorraum sein kann.
Definition 1.1 Es sei X ein K− Vektorraum. Eine Norm auf X ist
eine Funktion k.k : X → R+ mit folgenden Eigenschaften:
1. kλxk = |λ|kxk für alle λ ∈ K, x ∈ X
2.kx + yk ≤ kxk + kyk für alle x, y ∈ X
3.kxk = 0 ⇒ x = 0.
Wenn für die Funktion k.k nur 1-2 gelten, dann ist diese Funktion eine
Halbnorm auf X. Beachte, dass aus 1. hat man k0k = 0 (k0k = k0 · 0k =
0k0k = 0.
Das Paar (X, k.k) nennen wir normierter Raum.
Auf einem normierten Raum wird eine Metrik induziert: d(x, y) = kx −
yk, x, y ∈ X. Damit sind in einem normierten Raum Begriffe Konvergenz,
Fundamentalfolge(Cauchyfolge) Stetigkeit definiert.
Ein vollständiger normierter Raum heisst Banachraum.
Beispiele normierter Räume
1. Es sei X eine Menge. Mit l∞ (X) bezeichnen wir der Raum aller
beschränkter Funktionen von X nach K mit der Supremumnorm
kf k∞ = sup |f (x)| < ∞.
x∈X
Dann ist l∞ ein Banachraum. Man kann leicht zeigen, dass k.k∞ eine Norm
ist. Jetzt zeigen wir die Vollständigkeit. Es sei {fn (x)} eine Cauchyfolge in
l∞ . Wir zeigen, dass ein Element f ∈ l∞ existiert, so dass kfn − f k∞ →
0(n → ∞). Bei beliebigen x ist die Folge {fn (x)} eine fundamentale Zahlenfolge und deswegen konvergiert gegen f (x). Damit ist die Grenzfunktion
6
definiert. Wir zeigen jetzt, dass f beschränkt ist und kfn − f k∞ → 0(n →
∞).
Da die Folge {fn (x)} eine Cauchyfolge ist, für beliebige ε > 0 ∃N , so
dass
kfn − fm k∞ < ε, ∀m, n ≥ N.
Für x ∈ X wegen fn (x) → f (x) ∃n0 (ε, x)(m → ∞) so dass
|fn0 (x) − f (x)| < ε
(wir werden n0 ≥ N nehmen). Dann für alle n ≥ N gilt
|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − f (x)| ≤ kfn − fn0 k∞ + ε ≤ 2ε.
x war beliebig, deswegen
kf k∞ ≤ kf − fN k∞ + kfN k∞ ≤ 2ε + kfN k∞ < ∞,
d.h. f ist beschränkt und weil
|fn (x) − f (x)| ≤ 2ε,
erhalten wir
kfn − f k ≤ 2ε, ∀n ≥ N.
Bemerkung. l∞ (X) ist der grösste Funktionenraum auf X auf der Supremumnorm definiert ist. l∞ (X) ist vollständig, es gibt aber Unterraume von
l∞ (X), die nicht vollständig sind.
7