SEMINAR: ALGEBRAISCHE ZAHLEN, GALOISTHEORIE UND

SEMINAR: ALGEBRAISCHE ZAHLEN, GALOISTHEORIE UND
ANWENDUNGEN
SOMMERSEMESTER 2015
DR. LARS KINDLER
You can find an English version of this program here.
Algebraische Zahlen sind
die Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koef√ komplexe Zahlen,
2πi
fizienten sind, also z.B. 2, 21/3 , i oder e n . In diesem Seminar wollen wir algebraische Zahlen
mit Methoden der Algebra studieren. Zentral ist der Begriff der algebraischen Körpererweiterung.
Die sogenannte Galoistheorie beschreibt alle (separablen) algebraischen Körpererweiterungen in der
Sprache der Gruppentheorie. Zuerst werden wir die Galoistheorie von endlichen Körpererweiterungen
besprechen. Hierbei hängt es von den Vorkenntnissen der Seminarteilnehmer ab, wie ausführlich wir
dies tun werden. Die untenstehende Liste von Vorträgen beschreibt den elementarsten Weg durch das
Seminar.
Sollten die Teilnehmer große Teile der ersten Vorträge bereits kennen, so böten sich zum Beispiel
folgendende fortgeschrittenere Pfade durch das Seminar an:
• Verzweigungstheorie und Verzweigungsfiltrierungen der Galoisgruppen lokaler Körper ([Neu07],
[Ser79])
• Die Struktur der absoluten Galoisgruppe lokaler Körper; welche Eigenschaften des Körpers
können von der Galoisgruppe abgelesen werden? ([NSW08])
• Kohomologische Dimension von Körpern ([NSW08])
• Transzendenzfragen; der Satz von Weierstrass-Lindemann (Sind z1 , . . . , zn paarweise verschiedene algebraische Zahlen, so sind ez1 , . . . , ezn algebraisch unabhängig. Insbesondere sind e und
π transzendent) ([Bun08])
• Galoistheorie linearer Differentialgleichungen, Picard-Vessiot-Theorie ([vS03])
• Die étale Fundamentalgruppe eines Rings/Schemas ([Gro03], [Sza09])
Literatur: Es gibt eine Vielzahl an geeigneten guten Büchern zum Thema. Als grundlegende Referenz
wird uns das Buch von Bosch [Bos13] dienen, das man aus dem Universitätsnetz kostenlos als E-Book
herunterladen kann. Eine Beschreibung der unendlichen Galoistheorie findet man auch in [Neu07] oder
[Sza09].
Ablauf :
• Vortragssprache ist Deutsch oder Englisch.
• Jeder Vortrag findet an der Tafel statt und ist ein mathematischer Vortrag. Zwar sind historische
Bemerkungen wichtig und interessant, aber der Schwerpunkt des Vortrags muss auf der
Mathematik liegen.
• Der Vortragende muss dafür sorgen, dass zu jedem Zeitpunkt klar ist, an welchem Punkt
in einem mathematischen Argument er sich befindet; beispielsweise muss deutlich sein, was
Annahme und was Behauptung ist.
• Nötige Definitionen müssen präsentiert werden.
• Es wird eine aktive Teilnahme des Publikums erwartet und es besteht Anwesenheitspflicht.
• Es sollte rechtzeitig ein Termin mit mir vereinbart werden, um spätestens eine Woche vor dem
Vortragstermin eine kurze Vorbesprechung des Vortrags durchzuführen und offene Fragen zu
klären.
Dienstags, 16-18 Uhr, Raum: SR 170/A7 , Arnimallee 7,
Email: [email protected],
Web: http://mi.fu-berlin.de/~kindler/.
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Die Vorträge:
1. Algebraische Grundlagen: In diesem Vortrag wiederholen wir zunächst die Begriffe kommuta”
tiver Ring“, Ideal“, Faktorring“, Primideal“, maximales Ideal“. Insbesondere sollte kurz
”
”
”
”
daran erinnert werden, dass ein Ideal I in einem kommutativen Ring R (mit 1) maximal ist,
genau dann, wenn R/I ein Körper ist.
Weiter geht es mit Integritätsringen, Quotientenkörpern und faktoriellen Ringen. Der Beweis,
dass der Polynomring K[X] über einem Körper K ein euklidischer Ring (insbesondere ein
Hauptidealbereich und daher faktoriell) ist, sollte zumindest skizziert werden (Existenz des
euklidischen Algorithmus, siehe etwa [JS06, IV, 1.6]). Definieren Sie die Charakteristik eines
Körpers und zeigen Sie, dass ein Körper Charakteristik 0 hat genau dann, wenn er den Körper
der rationalen Zahlen enthält ([Bos13, 3.1 Satz 2]).
2. Algebraische Körpererweiterungen und Algebraische Zahlen: Die zentralen Objekte in diesem Seminar sind algebraische Körpererweiterungen. Präsentieren Sie [Bos13, 3.2] und geben
Sie auch das Beispiel einer unendlichen algebraischen Erweiterung am Ende von [Bos13, 3.2].
3. Der algebraische Abschluss: Jeder Körper K hat algebraische Erweiterungen K die algebraisch
abgeschlossen sind; eine solche Erweiterung wird algebraischer Abschluss genannt. In diesem
Vortrag wird ein algebraischer Abschluss konstruiert. Folgen Sie [Bos13, 3.4]. Erwähnen Sie,
dass Q abzählbar ist, während C überabzählbar ist. Es gibt also nicht-algebraische komplexe
Zahlen.
4. Separabilität: Inseparable Erweiterungen treten nur in Charakteristik p > 0 auf. Dennoch handelt
es sich um einen äußerst wichtigen Begriff. Folgen Sie [Bos13, 3.6]; wenn nicht genug Zeit ist,
können [Bos13, Lemma 3.6.13] und [Bos13, Satz 3.6.14] weggelassen werden, beweisen Sie aber
in jedem Fall den Satz vom primitiven Element.
5. Galoiserweiterungen: [Bos13, 3.5] und [Bos13, 4.1] bis einschließlich Korollar 5. Geben Sie ein
Beispiel für eine endliche Körpererweiterung, die nicht normal ist, z.B. Q ⊆ Q(21/3 )).
6. Galoiskorrespondenz für endliche Erweiterungen: Wiederholung des Begriffs der Galoiserweiterung, Rest von [Bos13, 4.1]. Wenn Zeit ist: Definition der Krulltopologie auf Gal(L/K) für
unendliche Erweiterungen, Ausblick auf Hauptsatz der Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
([Bos13, 4.2]).
7. Beispiele: Sei p eine Primzahl, Fp der Körper mit p Elementen. Wir sehen in diesem Vortrag, dass
alle endlichen Erweiterungen von Fp von der Form Fpn sind und dass Fpn /Fp eine Galoiserweiterung mit Gruppe Z/nZ ist. Präsentieren Sie [Bos13, 3.8]. Führen Sie die Galoisgruppe eines
Polynoms f ein, und zeigen Sie, wie man sie im Falle deg(f ) = 3 berechnet ([Bos13, 4.3 bis
inkl. Bsp. 2 (S. 161 oben)]).
8. Etwas Gruppentheorie und der Fundamentalsatz der Algebra: Ziel dieses Vortrags ist zu
beweisen, dass der Körper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist. Wir wollen
einen Beweis mit Hilfe der Galoistheorie geben ([Bos13, Satz 6.3.1]) und benötigen dazu ein
paar gruppentheoretische Hilfsmittel.
Definieren Sie den Begriff der p-Sylow Untergruppe einer endlichen Gruppe und erinnern
Sie uns (ohne Beweis) daran, dass p-Sylow Untergruppen immer existieren und zueinander konjugiert sind ([Bos13, Theorem 5.2.6]). Als nächstes definieren Sie den Begriff der Auflösbarkeit
([Bos13, Definition 5.4.3]) einer Gruppe und zeigen, dass eine endliche p-Gruppe auflösbar ist
([Bos13, Korollar 5.2.4]); genauer, dass sie eine Normalreihe mit Faktoren Z/pZ besitzt. Dies
genügt, um [Bos13, Satz 6.3.1] zu beweisen. Wenn Sie noch Zeit übrig haben, stellen Sie bitte
Artins Theorem [Bos13, Satz 6.3.2] vor und sagen Sie ein paar Worte zum Beweis. Warum
impliziert dieser Satz nicht den Fundamentalsatz der Algebra?
9. Norm und Spur: In diesem Vortrag sehen wir, dass zu jeder endlichen Körpererweiterung L/K
z Homomorphismen NL/K L× → K × und SpL/K : L → K gehören; die Norm und die Spur.
Präsentieren Sie [Bos13, 4.6 und 4.7].
10. Zyklische Körpererweiterungen: Zuerst erinneren Sie uns an den Begriff der Einheitswurzel,
und daran, dass die Gruppe der Einheitswurzeln von Ordnung n in einem Körper zyklisch ist
([Bos13, Satz 4.5.1]). Das folgt direkt aus [Bos13, Satz 3.6.14], dessen Beweis Sie skizzieren
sollten. Nun diskutieren Sie [Bos13, 4.8], in dem viele Galoiserweiterungen eines Körpers mit
zyklischer Galoisgruppe klassifiziert werden. Überspringen Sie die Diskussion der Galoiskohomologie und [Bos13, Theorem 4.8.2].
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11. Auflösbarkeit von rationalen Polynomen durch Radikale: Die Anwendung auf Existenzund Nicht-Existenzbeweise von Lösungsformeln von Polynomgleichungen war Evariste Galois
Motivation seine Theorie zu entwickeln. Das erste Ziel dieses Vortrags ist [Bos13, Theorem
6.1.5], welches die Bedingung der Existenz einer Lösungsformel die aus Radikalen“ besteht
”
gruppentheoretisch formuliert. Als nächstes Ziel wollen wir umgekehrt beweisen, dass rationale
Polynome f ∈ Q[X] gibt, die nicht durch Radikale auflösbar sind ([Bos13, Satz 6.1.10]). In
diesem Vortrag ist eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit Gruppen hilfreich. [Bos13, Korollar
6.1.7] kann ausgelassen werden.
12. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen: Für diesen Vortrag ist es hilfreich, wenn man mit
den Grundbegriffen der mengentheoretischen Topologie vertraut ist. Wir wollen die Galoiskorrespondenz für endliche Körpererweiterungen auf den Fall von unendlichen algebraischen
separablen Erweiterungen verallgemeinern ([Bos13, Satz 4.2.3]). Darüber hinaus wollen wir
zeigen, dass man, falls L/K eine (nicht notwendig endliche) Galoiserweiterung ist, die Galoisgruppe als topologische Gruppe auch als projektiven Limes über das System der Galoisgruppen
endlicher galoischer Zwischenkörper schreiben kann, [Bos13, Satz 4.2.7]. Wenn noch Zeit ist,
so behandeln Sie bitte das Beispiel der absoluten Galoisgruppe eines endlichen Körpers (nach
[Bos13, Satz 4.2.7]).
13. Etwas Galoiskohomologie: Ist K s /K eine (nicht unbedingt endliche) Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G := Gal(K s /K), so definieren Sie den Begriff eines stetigen G-Moduls A. Für einen
endlichen galoisschen Zwischenkörper definieren Sie die Kohomologiegruppe H 1 (Gal(L/K), AL ),
siehe [Bos13, Anfang von 4.10].
Wir sind an den stetigen G-Moduln A = (K s )× und A = K s interessiert. Beweisen Sie für
s ×
(K ) die kohomologische Form von Hilberts bekanntem Theorem 90 ([Bos13, Theorem 4.8.2])
und folgern Sie die klassische Form [Bos13, Theorem 4.8.1], die wir bereits in dem Vortrag
über zyklische Erweiterungen gesehen haben.
Beweisen Sie als nächstes die kohomologische Version des additiven Theorem Hilbert 90“:
”
Ist char(K) = p > 0, so ist für alle L wie oben H 1 (Gal(L/K), L) = 0 ([Bos13, Satz 4.10.11]
im Fall r = 1. Man muss nichts über Wittvektoren verstehen um diesem Beweis zu folgen,
ausser dass W1 (L) = L). Wenn noch Zeit ist, zeigen Sie, dass diese kohomologische Aussage
den bereits bekannten Satz [Bos13, Theorem 4.8.4] impliziert.
14. Kummer- und Artin-Schreier-Theorie: In diesem Vortrag geht es um [Bos13, 4.10]. Sei
K s /K eine Galoiserweiterung. Die allgemeine Version der Kummertheorie, die hier präsentiert
wird, beschreibt bestimmte abelsche Zwischenerweiterungen von K s /K anhand von bestimmten stetigen Gal(K s /K)-Moduln. Formulieren Sie [Bos13, Theorem 4.10.1] und, bevor Sie mit
dem Beweis beginnen, erklären Sie warum der Satz auf die Fälle A = (K s )× , ℘(a) = an mit
char(K) - n und A = K s , ℘(a) = ap − a mit char(K) = p anwendbar ist, wie etwa im Absatz
nach dem Beweis von [Bos13, Theorem 4.10.1].
Literatur
[Bos13] Siegfried Bosch, Algebra., 8th corrected ed. ed., Berlin: Springer, 2013 (German), http://link.springer.com/
book/10.1007%2F978-3-642-39567-3.
[Bun08] Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie., 6th, revised and updated ed. ed., Berlin: Springer, 2008
(German), http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-540-76491-5.
[Gro03] A. Grothendieck (ed.), Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960-61. Revêtements étales et
groupe fondamental (SGA 1). Un séminaire dirigé par Alexander Grothendieck. Augmenté de deux exposés
de M. Raynaud., édition recomposée et annotée du original publié en 1971 par springer ed., Paris: Société
Mathématique de France, 2003 (French).
[JS06] J. C. Jantzen and J. Schwermer, Algebra., Springer-Lehrbuch. Berlin: Springer. 335 p., 2006, http://link.
springer.com/book/10.1007/3-540-29287-X.
[Neu07] Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie., reprint of the 1992 original ed., Berlin: Springer, 2007 (German).
[NSW08] Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, and Kay Wingberg, Cohomology of number fields. 2nd ed., 2nd ed. ed.,
Berlin: Springer, 2008 (English).
[Ser79] Jean-Pierre Serre, Local fields. Translated from the French by Marvin Jay Greenberg., Graduate Texts in
Mathematics. 67. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag. VIII, 241 p. DM 49.50; $ 29.20 (1979)., 1979.
[Sza09] Tamás Szamuely, Galois groups and fundamental groups., Cambridge: Cambridge University Press, 2009
(English).
[vS03] Marius van der Put and Michael F. Singer, Galois theory of linear differential equations., Berlin: Springer, 2003
(English).
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