Raum, Zeit, Materie - Elemente der Relativitätstheorie
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SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Raum, Zeit, Materie - Elemente der Relativitätstheorie Ziel: Erarbeitung einer wissenschaftlichen Lernkartei die wesentliche Inhalte und mathematische Beschreibungen der entsprechenden physikalischen Phänomene anhand der Seminaraufgaben enthält. Inhalte der Aufgaben Wiederholung der klassischen Vorstellungen o Inertialsystem, beschleunigtes Bezugssystem o Gallilei-Transformation o Newtonsche Mechanik. Absoluter Raum, absolute Zeit Widersprüche der klassischen Vorstellung zu den experimentellen Befunden o Michelson-Experiment Grundprinzipien der Relativitätstheorie (Einsteinsche Postulate) Kinematik der speziellen Relativitätstheorie o Uhrensynchronisation, Relativität der Gleichzeitigkeit o Zeitdilatation und Eigenzeit (experimenteller Nachweis am Beispiel des Myonenzerfalls) o Zwillingsparadoxon o Längenkontraktion o Minkowski-Diagramme o Lorentz-Transformation o Der Doppler-Effekt Dynamik der speziellen Relativitätstheorie o Relativistische Massenzunahme o Masse-Energie-Beziehung o Raum-Zeit und Impuls-Energie Ausblick Allgemeine Relativitätstheorie Mögliche Quellen: o Lehrbuch Kapitel 8 ab Seite 524 o Wissensspeicher Physik o Link-Sammlung auf der Physik-Seite der Schule -1- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 01: Klassische Vorstellungen – Inertialsystem – absolute Zeit – absoluter Raum Beispielaufgabe – Überholvorgang Ein PKW 1 bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 20 m⋅s-1 auf einer geraden Landstraße. Ein hinterher fahrender PKW 2 mit einer Geschwindigkeit von 25 m⋅s-1 beginnt bei einem Abstand von 45 m zum vorausfahrenden PKW 1 mit dem Überholen und ordnet sich 45 m vor dem PKW 1 wieder ein. Die Fahrzeuge werden als Massepunkte und die Bewegungen beider Fahrzeuge werden als gleichförmige Translation angesehen. 1. Berechnen die Dauer des Überholvorgangs bezüglich folgender Standpunkte: a) Ein ruhender Beobachter an der Landstraße, b) Beifahrer im PKW 2 2. Erläutern Sie anhand des beschriebenen Vorgangs und seiner Ergebnisse den Begriff Inertialsystem und die Begriffe invariante und abhängige Größe in einem Bezugssystem! 3. Nennen Sie die Gleichungen der Galilei-Transformation und deren Bedeutung! 4. Erläutern Sie die klassischen Vorstellungen vom „Absoluten Raum“ und von der „Absoluten Zeit“! Thema 02: Das Michelson-Experiment – Postulate der SRT – Gleichzeitigkeit von Ereignissen Quelle "Physik. Gymnasiale Oberstufe" ISBN 3-89818-311-4 (PAETEC Verlag für Bildungsmedien), S.528 1. Erläutern Sie was man unter der Äther-Hypothese versteht! 2. Beschreiben Sie mithilfe der Darstellung den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung des Michelson-Experimentes! 3. Leiten Sie die Gleichungen für die Laufzeiten der einzelnen Lichtstrahlen her und erläutern Sie hiermit die Erwartungen an die Versuchsergebnisse! Nutzen Sie hierzu folgende Ansätze! Quelle "Physik. Gymnasiale Oberstufe" ISBN 3-89818-311-4 (PAETEC Verlag für Bildungsmedien), S.528/529 4. Nennen Sie die Resultate des Michelson-Experimentes und die sich daraus ergebenden Schlussfolgerungen! 5. Nennen Sie die von Einstein formulierten Postulate der SRT und erläutern Sie deren Auswirkung auf den Begriff der Gleichzeitigkeit! -2- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 03: Die Lorentz-Transformation - Geschwindigkeitsaddition 1. Nennen und erläutern Sie die Gleichungen der Lorentz-Transformation! Zwei Objekte bewegen sich von einem gemeinsamen Ausgangspunkt in entgegengesetzte Richtungen a) mit je 200 m⋅s-1 und b) mit je 2⋅108 m⋅s-1. 2. Berechnen Sie die gegenseitige Relativgeschwindigkeit unter Anwendung klassischen und der relativistischen Addition von Geschwindigkeiten! Bewerten Sie die Ergebnisse! 3. Bestätigen Sie mithilfe der Gleichung für die relativistische Geschwindigkeitsaddition folgende Aussage! „Zwei sich entgegengesetzt ausbreitende Lichtstrahlen bewegen sich relativ zueinander nur mit der Lichtgeschwindigkeit.“ 4. Zeigen Sie für die angegebenen Gleichungen, dass die Galilei-Transformation für geringe Geschwindigkeiten aus der Lorentz-Transformation hervorgeht! Galilei-Transformation: Umrechnung von S´ nach S x = xʹ′ + v⋅ tʹ′ y = yʹ′ z = zʹ′ t = tʹ′ € Thema 04: Relativistische Zeitmessung – Relativität der Gleichzeitigkeit 1. Erläutern Sie, wie man in einem Inertialsystem feststellen kann, ob Ereignisse an getrennten Orten des Inertialsystems gleichzeitig stattfinden! Wozu kann man dieses Prinzip nutzen? Ein Zug fährt mit hoher Geschwindigkeit an einem Bahndamm vorüber. Zum Zeitpunkt t0 = 0 werden vom den Punkten A und B gleichzeitig Lichtsignale LA und LB ausgesendet. 2. Erläutern Sie das Phänomen der Relativität der Gleichzeitigkeit für das dargestellte Gedankenexperiment! Beschreiben Sie dazu die Ankunft der beiden Signale in den Punkten M und M´ a) vom Standpunkt M/Bahndamm, ruhendes Bezugssystem (vgl. Skizze) b) vom Standpunkt M´/Zug, bewegtes Bezugssystem Quelle "Physik. Gymnasiale Oberstufe" ISBN 3-89818-311-4 (PAETEC Verlag für Bildungsmedien), S.532 3. Verallgemeinern Sie die Ergebnisse des Gedankenexperimentes und erläutern Sie die Auswirkungen dieses Phänomens auf die Relativität der Zeitmessung in Inertialsystemen! -3- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 05: Zeitdilatation und Längenkontraktion (I) 1. Erläutern Sie anhand der Gleichungen die relativistischen Phänomene der Zeitdilatation und der Längenkontraktion sowie den Begriff der Eigenzeit! 2. Interpretieren Sie das Verhalten beider Gleichungen für und ! Zwei Inertialsysteme haben eine Relativgeschwindigkeit von 0,75c. In einem der Inertialsysteme wird ein Zeitraum von t0 = 1s und eine Strecke von l0 = 1m gemessen. 3. Berechnen Sie, welche Werte ein Beobachter im anderen Bezugssystem für die gleiche Beobachtung messen würde 4. Begründen Sie, dass diese Phänomene für eine Bewegung eines Fahrzeuges auf einer 100 m langen Strecke mit einer Geschwindigkeit von 25 m⋅s-1 nicht relevant sind! Thema 06: Zeitdilatation und Längenkontraktion (II) Myonen entstehen infolge der kosmischen Höhenstrahlung in der Erdatmosphäre in einer Höhe von ca. 20 km. Die Halbwertszeit der Lebensdauer eines Myons beträgt T = 1,52µs, die Geschwindigkeit der Myonen beträgt 0,994c. 1. Berechnen Sie, nach welcher Strecke jeweils von den ursprünglich vorhandenen Myonen die Hälfte zerfallen ist! 2. Interpretieren Sie den Wert aus 1. und berechnen Sie, wie viele von 1015 Myonen nach klassischer Vorstellung den Erdboden erreichen würden! 3. Erklären Sie, warum von 1015 Myonen dennoch 3⋅1013 den Erdboden erreichen und nicht nur die klassisch mit der Halbwertszeit vorausgesagten! a) als Beobachter vom Standpunkt des Erdbodens aus b) als mitbewegter Beobachter -4- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 07: Zwillingsparadoxon – optischer Dopplereffekt Zwillingsparadoxon Ein Astronaut reist von der Erde zum nächstgelegenen Stern (Alpha Centauri) in einer Entfernung von 4,3 Lichtjahren und kehrt zur Erde zurück. Seine Reisegeschwindigkeit soll dabei 75% der Lichtgeschwindigkeit betragen. 1. Erläutern Sie das Zwillingsparadoxon anhand dieses Beispiels und berechnen Sie den Altersunterschied zu seinem während der Reise auf der Erde verbliebenen Zwillingsbruder! 2. Begründen Sie, dass das Zwillingsparadoxon nicht im Widerspruch zur SRT steht! Dopplereffekt 1. Beschreiben Sie anhand der Gleichung für die Wellenlängen das Phänomen des optischen Dopplereffektes! v c λE = λQ ⋅ v 1− c 1+ (1) 2. Erläutern Sie, warum der optische Dopplereffekt eine direkte Folge der SRT ist! € der Bestimmung der Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxien Der Doppler-Effekt kann bei angewendet werden. Dabei bestimmt man die Rotverschiebung im Spektrum des von den Sternen einer Galaxie ausgesendeten Lichtes. Die auf der Erde gemessene Linie der BalmerSerie des Wasserstoffatoms von 486 nm erscheint im Spektrum einer sich von der Milchstraße entfernenden Galaxie mit einer Wellenlänge von 506 nm. 3. Berechnen Sie hieraus die relative Fluchtgeschwindigkeit dieser Galaxie gegenüber der Milchstraße! Leiten Sie dazu aus der Gleichung (1) die angegebene Gleichung (2) her! ⎛ λ ⎞ 2 ⎜ E ⎟ −1 ⎝ λ Q ⎠ v = c⋅ (2) ⎛ λ ⎞ 2 ⎜ E ⎟ +1 ⎝ λ Q ⎠ € -5- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 08: Erhaltungssätze und relativistische Massenzunahme 1. Interpretieren Sie diese Gleichung der relativistischen Massenzunahme hinsichtlich der Begriffe Ruhemasse und dynamische Masse! m= m0 v2 1− 2 c = k⋅ m0 Mithilfe der Impulserhaltung soll an einem Beispiel gezeigt werden, wie man zur Gleichung der relativistischen Masse(Masse eines bewegten Körpers) gelangt. € Zunächst wird folgender Vorgang aus einem ruhendem Inertialsystem 1 beobachtet. „Ein 1000 kg schwerer PKW durchfährt eine Strecke von 100 m in 4 s.“ Aus einem Inertialsystem 2 mit einer Relativgeschwindigkeit von vR = 0,6c wird dieser Vorgang ebenfalls beobachtet. Diese Relativbewegung verläuft senkrecht zur Bewegung des PKW und deshalb kommt es nur in Richtung der Relativgeschwindigkeit zur Längenkontraktion. 2. Berechnen Sie den Impuls des PKW in Bezug auf das Inertialsystem 1 den Impuls des PKW! 3. Berechnen Sie die Dauer des Vorgangs in Bezug auf das Inertialsystem 2! 4. Zeigen Sie durch Anwendung des Impulserhaltungssatzes, dass die Masse des PKWs in Bezug auf das Inertialsystem 2 zunimmt! Verallgemeinern Sie dieses Ergebnis und leiten Sie die obige Gleichung daraus her! Thema 09: Lichtgeschwindigkeit und Masse – Beschleunigung von Elektronen Elektronen sollen in einem elektrischen Feld beschleunigt werden. 1. Erläutern Sie diesen Vorgang unter Anwendung des Energieansatzes uns stellen Sie entsprechende Ansätze a) nach der klassischen Vorstellung und b) unter Anwendung der SRT auf! 2. Definieren Sie den Begriff Ruheenergie und zeigen Sie, dass die Ruheenergie eines Elektrons E0 = 512 keV beträgt! Aus den in 1. formulierten Ansätzen ergeben sich folgende Gleichungen für den Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit des Elektrons. klassisch: relativistisch: 3. Skizzieren (Folie verwenden) Sie den Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit für beide Fälle in einem Diagramm! Berechnen Sie dazu die jeweiligen Geschwindigkeiten für Spannungen von 1kV, 8 kV, 64kV, 256 kV und 1024 kV! 4. Interpretieren Sie diese Diagramme! -6- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 10: Masse–Energie–Äquivalenz – Energieformen der SRT 1. Nennen Sie die grundsätzlichen Erkenntnisse, die durch die Gleichung erfasst werden! 2. Erläutern Sie die Bergriffe Ruheenergie, relativistische kinetische Energie und Gesamtenergie in der SRT! 3. Berechnen Sie die relativistische Masse (Impulsmasse) eines Photons mit der Wellenlänge von 600 nm! 4. Ein Elektron wird mithilfe einer Spannung von 500 kV beschleunigt. Berechnen Sie unter Anwendung der speziellen Relativitätstheorie die Masse und die Geschwindigkeit des Elektrons! 5. Leiten Sie den allgemeinen Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit der Elektronen in der angegebenen Form her! Thema 11: Zerstrahlung Positron-Elektron - Paarbildung Durch eine künstliche Kernumwandlung wird ein radioaktives Nuklid erzeugt, das dem β+ Zerfall unterliegt. Dabei entstehen Positronen („positiv geladene Elektronen“, Antielektronen) mit einer Gesamtenergie von 4,5 MeV. Ein emittiertes Positron tritt nach seiner Emission mit einem Elektron (E = 1,2 MeV) in Wechselwirkung (Annihilation) und wird gemeinsam mit dem Elektron in zwei γ-Quanten zerstrahlt. 1. Berechnen Sie die relativistischen Massen (Impulsmassen) von Elektron und Positron! 2. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten und die Impulse von Elektron und Positron! Unter Annahme eines zentralen Zusammenpralls gelten für den beschriebenen Vorgang folgende Energie- und Impulsbilanzen. E e − + E e + = E Ph 1 + E Ph 2 ⇒ (1) 5,7MeV = h⋅ f1 + h⋅ f2 h h p e − − p e + = p Ph 1 − p Ph 2 ⇒ (2) −1,81⋅ 10 −21 Ns = ⋅ f1 − f2 c c € 3. Erläutern Sie, wie man zu diesen Bilanzen kommt und bestimmen Sie daraus die Wellenlängen γ-Quanten! 4. €Der beschriebene Vorgang ist umkehrbar und wird als Paarbildung bezeichnet, bestimmen Sie die Mindestwellenlänge der γ-Quanten, so dass ein Elektron-Positron Paar entstehen kann! -7- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Thema 12: : Raum-Zeit und Impuls-Energie 1. Erläutern Sie die Grundzüge des Begriffs Raum-Zeit sowie die Gültigkeit von Energieund Impulserhaltung in der speziellen Relativitätstheorie! 2. Vervollständigen Sie die Herleitung für die Energie-Impuls Beziehung E 2 − c 2 ⋅ p 2 = E 02 für die Ruheenergie eines Körpers! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! (Folie) Am europäischen Speicherring LEP (in der Nähe von Genf) werden Elektronen und Positronen auf sehr hohe Energien beschleunigt. Die Elektronen und die Positronen werden durch magnetische Führungsfelder auf einer nahezu kreisförmigen Bahn gehalten, die sie entgegengesetzt durchlaufen. Die Teilchen erreichen einen maximalen Impuls von 3,2·10 -17 Ns. Im Bereich der Führungsfelder beträgt der Bahnradius 1,5 km. 3. Berechnen Sie, wie groß der Betrag der Flussdichte B dieser Felder zu wählen ist, um die Teilchen auf ihrer Bahn zu halten! 4. Berechnen Sie relativistisch die Masse der Teilchen! -8- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der kinetischen Energie / Beschleunigungsspannung (Thema 9) (klassisch und relativistisch) -9- SEMINARTHEMEN ZUR – SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE (SRT 2016) Herleitung der Energie Impuls Beziehung (Thema 12) Ansatz: dE ⎛ ⎜⎜ W = F= ds ⎝ € dp ⎛ ⎜⎜Δp = F= dt ⎝ ⎞ ∫ F ds⎟⎟ s1 ⎠ s2 € ⇒ dE = v ⋅ dp ⎞ ∫ F dt ⎟⎟ t1 ⎠ t2 ........................................................................................................................................................... (1) Es gilt: E = m⋅ c2 p = m⋅ v € (2) in (1) ⇒v= € (2) € ⇒ dE = € (3) € ........................................................................................................................................................... ⇒ 2 ∫ EdE = c ⋅ ∫ pdp (4) ........................................................................................................................................................... € ⇒ E2 − c2 ⋅ p2 = E20 bzw. 2 (m ⋅ c ) = (m⋅ c ) 2 2 0 € € - 10 - 2 − c2 ⋅ p2
