Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie

Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer, M. Sc. Felix Boes
Sommersemester 2016
Blatt 7
Abgabetermin: Donnerstag, den 09.06.16, 10:00 (vor der Vorlesung)
Über das Hausdorff- und Vietoris-Axiom. Aus Alexandroff–Hopf: Topologie, Seite 67
Aufgabe 37 (Charakterisierung von Hausdorffräumen)
Für einen topologischen Raum X sind äquivalent:
1. X ist hausdorffsch;
2. Jedes x ∈ X ist der Durchschnitt all seiner abgschlossenen Umgebungen;
3. Die Diagaonale ∆ ⊆ X × X ist ein abgeschlosser Unterraum von X × X.
Nun sei eine Familie von (nicht leeren) topologischen Räumen Xi , i ∈ I gegeben. Zeigen Sie:
a
Y
alle Xi sind hausdorffsch ⇔
Xi ist hausdorffsch ⇔
Xi ist hausdorffsch.
i∈I
i∈I
Aufgabe 38 (Reguläre Summen und Produkte)
Gegeben sei ein Familie von (nicht leeren) Räumen Xi , i ∈ I. Zeigen Sie:
a
Y
alle Xi sind regulär ⇔
Xi ist regulär ⇔
Xi ist regulär.
i∈I
i∈I
Anmerkung: Man kann regulär nicht durch normal ersetzen, ein Gegenbeispiel finden Sie in Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Auflage 3, Beispiel 6.15.
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Aufgabe 39 (Trennungsaxiome und Quotienten)
Es sei X ein regulärer Raum und A ⊂ X abgeschlossen; zeigen Sie, dass X/A hausdorffsch ist.
Nehmen Sie nun an, dass X normal ist; beweisen oder widerlegen Sie, dass X/A regulär oder sogar normal ist.
Aufgabe 40 (Trennungsaxiome)
Für einen Hausdorff-Raum X zeige man:
(1) X ist regulär genau dann, wenn die abgeschlossenen Umgebungen eines beliebigen Punktes eine Umgebungsbasis bilden.
(2) X ist normal genau dann, wenn es für jede offene Menge U und abgeschlossene Menge A mit A ⊂ U eine
offene Menge W mit A ⊂ W ⊂ W ⊂ U gibt.
Für einen beliebigen Raum X zeige man:
(3) Es seien x1 , x2 , . . . , xn verschiedene Punkte in einem Hausdorff-Raum X; man finde disjunkte und offene
Umgebungen Ui der xi .
(4) Es seien x1 , . . . , xn verschiedene Punkte und A1 , . . . , Am disjunkte und abgeschlossene Mengen in einem
regulären Raum X, so dass kein xi in einem der Aj liegt; man finde disjunkte und offene Umgebungen Uk der
xi und Aj .
(5) Es seien A1 , A2 , . . . , An disjunkte und abgeschlossene Teilmengen eines normalen Raumes X; man finde disjunkte und offene Umgebungen Ui der Ai .
Über das Tietze-Axiom. Aus Alexandroff–Hopf: Topologie, Seite 68
Aufgabe 41 (Zum Fortsetzungssatz von Tietze)
1. Es sei M normal, A ⊆ M abgeschlossen und θ : A → Rn stetig. (Ist M ⊆ Rn eine offene Teilmenge, also eine
Mannigfaltigkeit, so spricht man von einem Vektorfeld.) Zeigen Sie, dass θ auf ganz M fortgesetzt werden
kann.
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2. Zeigen Sie, dass die nicht-kompakte Stiefelmannigfaltigkeit Ṽk (Rn ) offen in Rn×k ist. Hinweis: Für k = n ist
Ṽk (Rn ) = det−1 (R − {0}) offen.
3. Betrachten wir nun k solcher Funktionen θ1 , . . . , θk : A → Rn , wobei 1 ≤ k ≤ n ist, und nehmen wir an,
dass für jedes a ∈ A die Vektoren θ1 (a), . . . , θk (a) linear-unabhängig sind. Zeigen Sie, dass die θi auf eine
gewisse Umgebung von A fortgesetzt werden können, so dass die Vektoren θ1 (x), . . . , θk (x) immer noch linearunabhängig sind.
Aufgabe 42* (Reelle Gerade mit doppeltem Ursprung)
Wir definieren die Gerade mit doppeltem Ursprung G als Quotienten von R × {±1}, indem wir für x 6= 0 die Punkte
(x, +1) und (x, −1) identifizieren, aber nicht (0, +1) mit (0, −1). Die Punkte in G schreiben wir x := [x, +1] =
[x, −1], falls x 6= 0, und 0+ := [0, +1] und 0− := [0, −1].
Man zeige:
1. G ist wegzusammenhängend.
2. G ist lokal-euklidisch (d.h. jeder Punkt besitzt eine zu einem offenen Ball in R homöomorphe Umgebung.)
3. G ist nicht hausdorffsch.
4. G erfüllt das erste und zweite Abzählbarkeitsaxiom.
5. Es gibt zwei Einbettungen w1 , w2 : R → G, die nur für einen einzigen Punkt in R verschieden sind (also auf
einer dichten Teilmenge von R übereinstimmen).
6. Für jede stetige Funktion f : G → Z in einen Hausdorffraum Z gilt f (0+ ) = f (0− ).
7. Identifiziert man in G nun auch noch die Punkte 0+ und 0− , so ist der Quotientenraum homöomorph zu R.
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