¨Ubungen zur Algebraischen Topologie III

Übungen zur Algebraischen Topologie III
Prof. Dr. C. Löh
Blatt 7 vom 23. Mai 2014
Aufgabe 1 (Verträglichkeit von · ∪ · und · × · ). Sei R ein kommutativer
Ring mit Eins, sei X ein topologischer Raum, seien p, q, p0 , q 0 ∈ Z und seien
0
0
ϕ ∈ H p (X; R), ψ ∈ H q (X; R), ϕ0 ∈ H p (X; R), ψ 0 ∈ H q (X; R). Welche der
folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort.
0
0
1. Es gilt (ϕ∪ψ)×(ϕ0 ∪ψ 0 ) = (−1)p·p +q·q ·(ϕ×ϕ0 )∪(ψ×ϕ0 )∪(ϕ×ψ 0 )∪(ψ∪ψ 0 ).
0
2. Es gilt (ϕ ∪ ψ) × (ϕ0 ∪ ψ 0 ) = (−1)q·p · (ϕ × ϕ0 ) ∪ (ψ × ψ 0 ).
Aufgabe 2 (Kreuz-Produkt auf H 0 ( · ; R)). Sei R ein kommutativer Ring mit
Eins und seien X und Y Mengen mit der diskreten Topologie.
1. Zeigen Sie: Ist X oder Y endlich, so ist das kohomologische Kreuz-Produkt
· × · : H 0 (X; R) ⊗R H 0 (Y ; R) −→ H 0 (X × Y ; R) ein Isomorphismus.
2. Zeigen Sie: Ist R 6∼
= 0 noethersch und sind X und Y unendlich, so ist das
Kreuz-Produkt · × · : H 0 (X; R) ⊗R H 0 (Y ; R) −→ H 0 (X × Y ; R) kein
Isomorphismus.
∼ Z und
Aufgabe 3 (Hopf-Invariante). Sei n ∈ N≥2 und seien α ∈ H n (S n ; Z) =
β ∈ H 2·n (S 2·n ; Z) ∼
= Z Erzeuger. Zu einer stetigen Abbildung f : S 2·n−1 −→ S n
sei Cone(f ) der Abbildungskegel von f , sei i : S n −→ Cone(f ) die kanonische
Inklusion und sei p : Cone(f ) −→ Cone(f )/i(S n ) ∼
= S 2·n die kanonische Projektion.
1. Bestimmen Sie den graduierten Modul H ∗ (Cone(f ); Z) und zeigen Sie
dabei insbesondere, dass H n (i; Z) : H n (Cone(f ); Z) −→ H n (S n ; Z) und
H 2·n (p; Z) : H 2·n (S 2·n ; Z) −→ H 2·n (Cone(f ); Z) Isomorphismen sind.
2. Folgern Sie, dass es eine eindeutige ganze Zahl h(f ) ∈ Z mit
H n (i; Z)−1 (α) ∪ H n (i; Z)−1 (α) = h(f ) · H 2·n (p; Z)(β)
in H ∗ (Cone(f ); Z) gibt. Man nennt h(f ) die Hopf-Invariante von f .
3. Zeigen Sie, dass es eine stetige Abbildung f : S 3 −→ S 2 mit h(f ) = 1 gibt.
Hinweis. Denken Sie an die Standard-CW-Struktur von CP 2 .
Bitte wenden
Aufgabe 4 (die Alexander-Whitney-Abbildung). Eine Diagonalapproximation
ist eine natürliche Transformation D : C( · ) =⇒ C( · ) ⊗Z C( · ) : Top −→ Z Ch
mit
DX (σ) = σ ⊗ σ
für alle topologischen Räume X und alle σ ∈ map(∆0 , X). Ist X ein topologischer Raum, so ist die Alexander-Whitney-Abbildung von X durch
AX : C(X) −→ C(X) ⊗Z C(X)
n
X
map(∆n , X) 3 σ 7−→
σcp ⊗ n−p bσ
p=0
definiert.
1. Zeigen Sie, dass die Alexander-Whitney-Abbildung eine Diagonalapproximation A : C( · ) =⇒ C( · ) ⊗Z C( · ) liefert.
2. Zeigen Sie: Ist D : C( · ) =⇒ C( · ) ⊗Z C( · ) eine Diagonalapproximation,
so ist
· ∪D · : H p (X; R) ⊗ H q (X; R) −→ H p+q (X; R)
[f ] ⊗ [g] 7−→ (−1)p·q · mR ◦ (f ⊗Z g) ◦ DX
für alle kommutativen Ringe R mit Eins, alle topologischen Räume X,
und alle p, q ∈ Z wohldefiniert und linear. Dabei ist mR : R ⊗Z R −→ R
die Multiplikation auf R.
3. Zeigen Sie: Das Cup-Produkt auf H ∗ ( · ; R) stimmt mit · ∪A · überein.
4. Zeigen Sie: Sind D und D0 Diagonalapproximationen und gilt für einen
0
toplogischen Raum X, dass DX 'Z Ch DX
, so stimmen · ∪D · und
∗
· ∪D0 · auf H (X; R) überein.
Bonusaufgabe (Hopf-Invariante und Homotopiegruppen). Sei n ∈ N≥2 .
1. Zeigen Sie, dass die Hopf-Invariante (s. Aufgabe 3) einen wohldefinierten
Gruppenhomomorphismus
π2·n−1 (S n , en+1
) −→ Z
1
[f ]∗ 7−→ h(f )
liefert.
2. Zeigen Sie, dass 2 ∈ Z im Bild dieses Gruppenhomomorphismus liegt, falls
n gerade ist.
Somit folgt für gerade n ∈ N≥2 , dass π2·n−1 (S n , en+1
) unendlich ist.
1
Abgabe bis zum 30. Mai 2014, 10:00 Uhr, in den Briefkasten