Schnittpunkt

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Cyan
Magenta
Yellow
Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und
die Durchführung Ihres Unterrichts!
Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert:
– Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinweise,
Schnittpunkt Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung.
Mathematik
10
– Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen rund 80 passgenau auf
das Schülerbuch abgestim­mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen
und die ent­sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen­
zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des
Schülerbuches kumulierend aufgreifen.
– Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs­
hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches.
Schnittpunkt
Mathematik
Serviceband
Serviceband
ISBN 978-3-12- 742602 -1
Rheinland-Pfalz
10
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Cyan
Magenta
Yellow
Schnittpunkt 10
Mathematik
Rheinland-Pfalz
Serviceband
Rainer Dedlmar
Gerd Dermann
Bernd-Jürgen Frey
Nicolas Kümmerle
Manfred Palte
Rainer Pongs
bearbeitet von
Ilona Bernhard
Volker Müller
Ernst Klett Verlag
Stuttgart · Leipzig
Schnittpunkt 10, Mathematik Rheinland-Pfalz
Begleitmaterial:
Service-CD (ISBN 978-3-12-740304-6)
Mathetrainer, Netzlizenz (ISBN 978-3-12-114839-4)
Bildnachweis
Umschlag: Getty Images Deutschland GmbH
S 47: iStockphoto (Klaas Lingbeck-van Kranen) Calgary, Alberta
Nicht in allen Fällen war es uns möglich, den Rechteinhaber der Abbildungen ausfindig zu machen. Berechtigte
Ansprüche werden selbstverständlich im Rahmen der üblichen Vereinbarungen abgegolten.
1. Auflage
7 6 5 4 3
1 | 17 16 15 14 13
Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr des Druckes.
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen
Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis § 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine
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© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2010. Alle Rechte vorbehalten. www.klett.de
Autoren: Rainer Dedlmar, Nürtingen; Gerd Dermann, Ludwigsburg; Roland Eberle, Ostfildern; Bernd-Jürgen Frey, Altbach;
Heidemarie Frey, Altbach; Nicolas Kümmerle, Leonberg
bearbeitet von: Ilona Bernhard, Obermoschel; Volker Müller, Isenburg
Redaktion: Annette Thomas, Elke Linzmaier
Zeichnungen / Illustrationen: Imprint, Zusmarshausen; media office gmbh, Kornwestheim; Dorothee Wolters, Köln
DTP / Satz: Imprint, Zusmarshausen; media office gmbh, Kornwestheim
Reproduktion: Meyle + Müller, Medien-Management, Pforzheim
Druck: CEWE COLOR AG & Co. OHG, Germering
Printed in Germany
ISBN 978-3-12-742602-1
DO01742602_K00_Titelei.indd 2
12.12.2013 13:08:54
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Yellow
Das Fachwerk des Schnittpunkt
Mit dem neuen Lehrplan ist der Mathematikunterricht vielfältigen neuen Anforderungen ausgesetzt.
Um Sie im Umgang mit den neuen Aspekten des
Unterrichts zu unterstützen und Ihnen die Unterrichtsvorbereitung und -durchführung zu erleichtern, bieten wir Ihnen neben dem neu entwickelten
Schülerbuch ein umfangreiches und differenziertes
Begleitmaterial. Das neue Schülerbuch, das nach
wie vor die solide Grundlage des Unterrichts darstellt, wird ergänzt durch den vorliegenden Service­
band, eine Service-CD und ein Lösungsheft. Alle
vier Materialien sind passgenau aufeinander abgestimmt und bilden somit ein Gesamtgebäude, das
Fachwerk, für den modernen Mathematikunterricht
in den mittleren Schulformen.
Das Schülerbuch
In den letzten Jahren hat sich die Sicht auf den
Erwerb von Wissen, Kenntnissen und Fähigkeiten
verändert. Im Vordergrund stehen
– die Kompetenzen, die die Lernenden im Umgang
mit exemplarischen Inhalten erwerben, statt der
Inhalte an sich.
– die Vernetzung des Wissens und eine flexible
Verfügbarkeit in unterschiedlichen Situationen,
statt isolierter Kenntnisse im Detail.
Der Mathematikunterricht soll sich verändern. Dazu
trägt der neue Schnittpunkt bei, indem er folgende
Aspekte berücksichtigt:
– Die Grundlage der Vernetzung von Wissen ist
eine klare Struktur und eine sichere Orientierung:
Die Struktur des Bandes (Kapitel, Lerneinheiten,
innermathematische Struktur) und der sorgfältig
durchdachte Lehrgang sichern das Basiswissen
und ermöglichen Querverbindungen.
– Sinnstiftendes, verständnisorientiertes Mathematiklernen rückt in den Vordergrund:
Dazu werden größere thematische Einheiten (in
Lerneinheiten und Themenblöcken) geschaffen
und – wo sinnvoll – Kleinschrittigkeit (von der
Lerneinheit bis in einzelne Aufgaben) aufgelöst.
– Der Erwerb von Kompetenzen und das Methodenlernen wird übergeordnetes Ziel:
Die Schülerinnen und Schüler werden nicht mehr
nur zum Algorithmen-Abarbeiten, sondern zur
Einsicht, warum welcher Algorithmus und welche Methode sinnvoll eingesetzt werden kann,
hingeführt (Methodenkästen und Aufgabenstellungen).
– Die Eigenverantwortung der Lernenden wird gestärkt:
Selbstständiges Lernen wird gefördert und
unterstützt (schülergerechte Formulierung der
Lernziele, Aufgaben mit Selbstkontrolle, Zusammenfassungsseiten, Rückspiegel in zwei
Niveaus).
– Das Basiswissen wird gesichert:
Grundfertigkeiten und -kenntnisse behalten
einen hohen Stellenwert (vielfältige Aufgaben,
Zusammenfassungsseiten, Rückspiegel).
– Das erworbene Wissen wird innermathematisch
und außermathematisch vernetzt:
Mathematische Inhalte knüpfen aneinander an
und außermathematische Bezüge haben einen
Platz im Standardlehrgang (Auftaktseiten,
Üben • Anwenden • Nachdenken, Themenblöcke
u. Ä., aber auch Standardaufgaben).
Die Elemente des Schülerbuches
Die Kapitel arbeiten ein mathematisches Thema auf
und sind in einzelne Lerneinheiten untergliedert.
Der doppelseitige Kapitelauftakt bietet vielfältige
Anregungen und Angebote, die Schüler aktiv auf
das neue Thema einzustimmen, das Vorwissen zu
aktivieren und zu bündeln und einen Ausblick auf
die Kapitelinhalte zu geben.
Die Einstiege in die Lerneinheiten beginnen mit
einer Einstiegsaufgabe, die anhand verschiedener
Fragen und Anregungen auf ein Problem hinführt
und Möglichkeiten zum Mathematisieren bietet.
Lehrtext und Merkkasten sowie wichtige Beispiele
folgen.
Der Aufgabenteil ist entsprechend den Anforderungen der neuen Aufgabenkultur gestaltet und
prinzipiell nach Schwierigkeitsgrad und Komplexität
ansteigend geordnet. Schwierige Aufgaben sind
durch eine blaue Aufgabennummer gekennzeichnet.
In den Aufgabenteil der Lerneinheiten sind Kästen
mit unterschiedlichen Angeboten integriert:
Thema
Ein Thema wird durch Texte, Bilder und Diagramme präsentiert, Aufgaben und Fragen zum
Thema regen zum Modellieren an, insbesondere
kumulative und komplexere Aufgaben finden
hier Platz.
Vorbemerkungen III
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Cyan
Magenta
Yellow
Schaufenster
Hier sind folgende Fenster zu finden:
Knobeln
Information
Spielen
Gedankenexperimente
Die Schaufenster können zur Differenzierung genutzt werden.
Methode
Hier werden fachspezifische Methoden und
Situationen, in denen sie sinnvoll genutzt werden können, vorgestellt. Die Methoden haben
Werkzeugcharakter und vermitteln den Schülern
Handlungskompetenz.
Methodenkästen des Schülerbuches
–Tilgungsplan mit dem Computer
(Schülerbuchseite 105)
–Tipps und Tricks bei Diagrammen
(Schülerbuchseite 108)
–Diagramme und ihre Wirkung
(Schülerbuchseite 114)
–Tabelle statt Baum
(Schülerbuchseite 130)
–Verkürzte Baumdiagramme
(Schülerbuchseite 137)
Anstoß
Themen, die zum Entdecken, Weiterfragen und
Weiterdenken anregen und sich besonders für
eine ausführliche Behandlung im Rahmen eines
Projektes eignen.
Am Kapitelende greifen drei Elemente ineinander:
– Die Zusammenfassung stellt im Lexikonstil (Begriff, Erklärung, Beispiel) die neuen Inhalte des
Kapitels dar. Die Seite ist farbig hervorgehoben,
um das Nachschlagen zu erleichtern. So können
die Schülerinnen und Schüler kleinere Wissenslücken jederzeit füllen.
– Üben • Anwenden • Nachdenken bietet Aufgaben zur Sicherung von Basiswissen (Üben), zur
Verknüpfung mit außermathematischen Inhalten
(Anwenden) und zur weiterführenden Lösung
von Problemen (Nachdenken).
– Der Rückspiegel fordert die Schülerinnen und
Schüler zu eigenverantwortlichem Lernen auf.
Differenziert in zwei Niveaus können sie individuell Wissen, Fertigkeiten und Kompetenzen testen
sowie Lücken aufspüren und aufarbeiten. Die
Lösungen finden sie zur Selbstkontrolle am Ende
des Buches.
IV Vorbemerkungen
Sammelpunkt
Die umfassende Aufgabensamlung am Ende des
Buches deckt alle Leitideen der Bildungsstandards
ab und bietet die Möglichkeit, am Ende der Schulzeit noch einmal zu überprüfen, inwieweit alle Kompetenzen erreicht wurden und wo noch Übungsbedarf besteht. Da die Lösungen zu allen Aufgaben im
Anhang stehen, sind die Aufgaben auch zum
eigenständigen Wiederholen und Üben geeignet.
Die Aufgaben haben bewusst kumulativen Charakter, um auch vernetztes Wissen einzufordern.
Sie sind immer der Leitidee zugeordnet, in der sie
einen Schwerpunkt haben. Jede Aufgabe hat drei
Teilaufgaben in steigendem Niveau.
Der Serviceband
Der Serviceband möchte Ihnen mit seinen Kommentaren und Hinweisen, den rund 80 Kopiervorlagen und den Lösungen des Schülerbuches einen
zuverlässigen und weitreichenden Service für Ihren
Unterricht bieten und Sie sowohl bei Ihrer Unterrichtsvorbereitung als auch in der Durchführung
eines zielgerichteten und den Bildungsstandards
entsprechenden Unterrichts entlasten. Entsprechend
der unterschiedlichen Nutzen für die Unterrichtsvorbereitung und -durchführung haben wir den Serviceband in drei Teile gegliedert, die durch eine an der
Seite sichtbare Griffmarke und eine differenzierte
Seitennummerierung leicht zu finden sind.
Im ersten Abschnitt finden Sie den Kommentar­
teil, der Ihnen wertvolle Hinweise für Ihre Unterrichtsvorbereitung bietet. Der zweite beinhaltet
die 83 Serviceblätter mit Hinweisen und den
zugehörigen Lösungen. Die Serviceblätter können
im Unterricht als Kopiervorlage an die Lernenden
verteilt werden. Im dritten Abschnitt finden Sie zur
schnellen Kontrolle im Unterricht die Lösungen des
Schülerbuches.
Der Übersichtstabelle auf den Seiten VII bis IX können Sie jeweils die entsprechenden Kommentarseiten, Serviceblätter und Lösungsseiten zu der gerade
im Unterricht behandelten Lerneinheit entnehmen.
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Magenta
Yellow
Der Kommentarteil (Seite K 1 bis K 81)
Der Kommentarteil ist wie das Schülerbuch strukturiert. Sie finden zu jedem Kapitel Kommentare, die
unterschiedlichen Rubriken zugeordnet sind und
Antworten auf die folgenden Fragen geben können:
Kommentare zum Kapitel
– Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Welche Hauptintentionen verfolgt das Kapitel?
– Bezug zum Lehrplan
Welchen Leitideen und Kompetenzen können die
Inhalte des Kapitels zugeordnet werden?
– Weiterführende Hinweise
(nicht zwingend vorhanden) Wo finde ich passende Literatur, was kann ich bei der Bearbeitung des Kapitels beachten?
Kommentare zur Auftaktseite
– Was ist das Ziel der Auftaktseite? Wo wird an
Vorwissen angeknüpft? Wie werden die Inhalte
vorbereitet? Welches weiterführende Informationsmaterial kann ich mir anschauen? Auf welche
Probleme könnten die Lernenden stoßen?
Kommentar zu den Lerneinheiten
– Intention der Lerneinheit
Was sind die Hauptintentionen der Lerneinheit?
– Einstiegsaufgabe
Wie bereitet die Aufgabe die Inhalte der Lerneinheit vor? Was ist zu beachten, was zu fordern?
– Alternativer Einstieg
(nicht zwingend vorhanden) Bietet sich für meine Schülerinnen und Schüler in dieser Lerneinheit ein anderer Einstieg als der im Schülerbuch
vorgeschlagene an? Warum?
– Tipps und Anregungen für den Unterricht
(nicht zwingend vorhanden) Gibt es weiterführende Literatur, Internetadressen? Welche < Serviceblätter finde ich wo mit welchem Inhalt?
– Aufgabenkommentare
Hier finden Sie Kommentare zu ausgewählten
Aufgaben, unter anderem weiterführende Fragestellungen, mögliche Lösungsstrategien, Hinweise auf potenzielle Fehlerquellen, Anregungen für
besondere Unterrichtsformen und Verweise auf
entsprechende < Serviceblätter. Insbesondere
finden Sie auch Hinweise auf die dem Lehrplan
zugrundeliegenden Leitideen, die neue Aufgabenkultur (offene, kumulative Aufgaben etc.) und
die Niveaudifferenzierung.
Exemplarischer Kommentar
In den Exemplarischen Kommentaren finden Sie
detaillierte Beschreibungen und Erläuterungen
zu verschiedenen Themen des Lehrplans und der
Mathematikdidaktik. Auf die Inhalte dieser Exem­
plarischen Kommentare wird im weiteren Verlauf
des Kommentarteils bei unterschiedlichen Aufgaben, die das Thema wieder aufgreifen oder
ansprechen, häufiger verwiesen.
Neben diesem Sonderelement finden Sie im Kommentarteil auch einige Exkurse:
Exkurs
Zu einigen Aufgaben bieten wir mathematische
Lösungen, die über die schülergerechten Lösungen des Lösungsteils hinausgehen. Außerdem
finden Sie in den Exkursen weiterführende Sachinformationen oder didaktische Hinweise zu den
auf den Auftaktseiten oder in den Aufgaben angesprochenen außer- und innermathematischen
Themen.
Eine Aufstellung der Exemplarischen Kommentare
und Exkurse findet sich in der Übersichtstabelle auf
den Seiten VII bis IX.
Im Kommentarteil wird auf Kommentare in den vorhergehenden Servicebänden verwiesen:
Schnittpunkt Serviceband 5, ISBN 978-3-12-742652-6;
Schnittpunkt Serviceband 6, ISBN 978-3-12-742662-5;
Schnittpunkt Serviceband 7, ISBN 978-3-12-742672-4;
Schnittpunkt Serviceband 8, ISBN 978-3-12-742682-3;
Schnittpunkt Serviceband 9, ISBN 978-3-12-742692-2.
Die im Kommentarteil aufgeführten Befehle und
Screenshots zu MS-Excel® basieren auf MS-Excel®
2000; je nach Version können sie variieren.
Der Serviceteil (Seite S 1 – S 107)
Zu Beginn des Serviceteils befinden sich einige
Vorbemerkungen zu den verschiedenen Arten der
Serviceblätter und zu ihrem möglichem Einsatzgebiet (vgl. Seite S 1 – S 3). Im mittleren Teil befinden
sich die Serviceblätter selbst (Seite S 4 – S 86) und
am Ende haben wir die Lösungen der Serviceblätter
zusammengestellt (Seite S 87 – S 107).
Vorbemerkungen V
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Cyan
Magenta
Yellow
Der Serviceteil beinhaltet 83 Serviceblätter, von
denen 55 direkt den einzelnen Kapiteln des Schülerbuches zuzuordnen und auch in einer entsprechenden Abfolge zu finden sind.
Die Serviceblätter wurden im Unterricht erprobt
und sind als Erweiterung, Variation und Differenzierung der Inhalte des Schülerbuches zu verstehen.
Sie finden hier weiterführende Übungen, Spiele,
Knobeleien, Bastelanleitungen und viele Aufgaben
zur Förderung der Kompetenzen Begründen und
Argumentieren. Die meisten Serviceblätter sind
selbsterklärend. Der Kommentarteil beinhaltet jeweils einen Verweis auf das Serviceblatt (durch das
< Pfeil-Symbol leicht zu finden), der auch einen
Hinweis auf den optimalen Einsatz der Kopiervorlage bietet.
Neben diesen kapitelbezogenen Serviceblättern
befinden sich am Ende des Serviceteils auch 28
Kopiervorlagen, die jeweils als Hausaufgaben über
den Verlauf einer Woche gedacht sind. In den Vorbemerkungen des Serviceteils befindet sich eine
genaue Aufstellung über den möglichen Einsatz
dieser Serviceblätter (vgl. Seiten S 2/3).
Am Ende finden Sie die Lösungen derjenigen Serviceblätter, die keine Selbstkontrolle (etwa durch
ein Lösungswort oder eine Partnerkontrolle) enthalten.
Der Lösungsteil (Seite L 1 – L 108)
Der dritte und letzte Teil des Servicebandes beinhaltet alle Lösungen des Schülerbuches. Die Reihenfolge ist die des Schülerbuches: Aufgaben der
Auftaktseite, Einstiegsaufgaben der Lerneinheiten,
Aufgaben, Sonderelemente wie Schaufenster und
Methodenkästen, Aufgaben der Randspalte.
Bei offenen Aufgaben haben wir meist beispielhafte Fragen und/oder Lösungen angegeben, die
keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Bei
einigen Aufgaben, die individuelle Lösungen einfordern und ermöglichen, haben wir auf die Angabe
einer Lösung verzichtet.
Der Lösungsteil des Servicebandes ist identisch mit
den Inhalten des Lösungsheftes.
Die Service-CD
Der Einzug des Computers in den Unterricht und
die Entwicklung grundlegender Fähigkeiten im
Umgang mit neuen Medien ist nicht mehr allein
Aufgabe eines speziellen Lehrgangs. Die informa­
tionstechnische Grundbildung soll im Zusammenspiel der verschiedenen Fächer und Fächerverbünde
erworben werden. Diesem Ansatz will die Service-
VI Vorbemerkungen
CD als ein weiterer passgenau abgestimmter
Baustein des Fachwerks Rechnung tragen. Die CD
bietet demzufolge eine Fülle von Materialien, die
Sie in der Vorbereitung und Durchführung Ihres Unterrichts unterstützen können:
– Die Serviceblätter: Weitgehend identisch mit
den Serviceblättern, die auch im Serviceband zu
finden sind. Auf der CD finden Sie diese jedoch
im praktikablen Word-Format, so dass Sie die
angebotenen Inhalte nach Ihren Bedürfnissen
verändern oder aus vorhandenen Aufgaben neue
Kopiervorlagen zusammenstellen können.
– Interaktive Arbeitsblätter in den Datei-Formaten
Word, Excel, html oder auf Basis der interaktiven
Mathematiksoftware Geonext (im Lieferumfang
enthalten). Die Arbeitsblätter sind für den Einsatz im Unterricht konzipiert und technisch so
auf der CD abgelegt, dass sie schnell auch ins
Schulnetz überspielt werden können.
– Werkzeuge, die Ihnen beim Erstellen von Vorla­
gen behilflich sind. So können Sie beispielsweise
einen Zahlenstrahl, verschiedene Koordinatensysteme oder Netzdarstellungen von Körpern
erstellen und als Kopiervorlagen aus­drucken.
– Simulationen, Animationen und Fotos, die Gesprächsanlass bieten, um komplexe Fragestellungen anschaulich aufzugreifen.
Bewusst wurde beim Erstellen der Medien auf Modularität einerseits und die Nutzung von Standardprogrammen andererseits geachtet, da dies den
Einzug von IT-Bestandteilen in den Mathematikunterricht unterstützen soll.
Die Service-CD ist so aufgebaut, dass Sie die Medien, die zu der momentanen Unterrichtssituation
passen, problemlos und schnell finden können. Eine
komfortable Suchfunktion, Vorschaugrafiken auf die
Medien und die Nutzung der freigeschalteten Medien im Schulnetz runden das Konzept ab.
Das Lösungsheft
Im Sinne des eigenverantwortlichen und selbstständigen Lernens bieten wir für die Schülerinnen
und Schüler und die Eltern ein Lösungsheft an, das
ohne den Schulstempel im freien Verkauf erhältlich
ist. Es ist identisch mit dem Lösungsteil des Servicebandes.
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Cyan
Magenta
Yellow
Lerneinheit
Kommen- Exemplarische
Serviceblatt
tarteil
Kommentare und Exkurse
Lösungen des
Serviceblattes
Lösungen
Aufgaben
Die mit K bezeichneten Seiten beziehen sich auf den Kommentarteil, die mit L bezeichneten Seiten verweisen auf den Lösungsteil am Ende
des Servicebandes. Alle mit S bezeichneten Seiten definieren den Serviceteil in der Mitte des Buches.
< Funktionale Aspekte von Formeln, S 4 S 87
1 Quadratische Funktionen
und Gleichungen
K 1
Immer geradeaus?
K 4
L 1
1 Die quadratische Funktion
y = x 2
K 5
L 1
2 Die quadratische Funktion y = x 2 + c
K 6
– Typische Fehler bei
quadratischen Funktionen, K 7
3 Die quadratische Funktion y = a x 2 + c
K 7
– Die Kompetenzen
„mathematisch Kommunizieren“ und „argumentieren“, K 8
– Die Kompetenz „Mathematische Darstellungen verwenden“, K 9
4 Die rein quadratische Gleichung. Grafische Lösung
K 9
5 Die rein quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung
K 10
< Nullstellensalat, S 6
< Nullstellensalat, Lösungsblatt, S 7
L 9
6 Die gemischt quadratische
Funktion y = a x 2 + b x + c
K 11
< Funktionsgraph und Gleichung, S 8
< Tandembogen: Funktionen, S 9
< Legespiel – Quadratische Funktionen
(1) und (2), S 10 und S 11
L 11
7 Die gemischt quadratische
Gleichung. Grafische Lösung
K 12
< Quadratische Funktionen Partnerarbeitsblatt 1 und 2, S 12 und
S 13
L 13
8 Die gemischt quadratische
Gleichung. Rechnerische
Lösung
K 13
< Gleichungs-Salat, S 14
S 88
< Typische Fehler bei einfachen
S 88
gemischt quadratischen Gleichungen,
S 15
< Typische Fehler bei schwierigen
S 88
gemischt quadratischen Gleichungen,
S 16
L 18
9 Modellieren
K 15
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 17
– Didaktische Leitlinien
zum Umgang mit
Funktionen in der
Schule, K 2
< Normalparabel, S 5
S 87
L 1
L 3
L 3
L 7
– Die Kompetenz
„Mathematisch
modellieren“, K 15
– Beispiel einer Modellierungsaufgabe, K15
L 22
L 24
Vorbemerkungen VII
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Cyan
Magenta
Yellow
Lerneinheit
Kommen- Exemplarische
Serviceblatt
tarteil
Kommentare und Exkurse
Lösungen des
Serviceblattes
Lösungen
Aufgaben
2 Potenzen
K 18
L 29
Kann es sein, dass …
K 19
L 29
1 Potenzen
K 19
L 29
2 Potenzen mit gleicher Basis
K 20
< Tandembogen: Potenzen mit gleicher
Basis, S 17
< Rund um die binomischen Formeln,
S 88
S 18
L 30
3 Sehr groß – sehr klein
K 20
< Unser Sonnensystem, S 19
< Größenvergleiche von 10-12 cm
bis 10 27 cm, S 20
L 32
4 Potenzen mit gleichen
Exponenten
K 22
– Typische Fehler beim
Rechnen mit Potenzen,
K 22
– Mit symbolischen,
formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen,
K 23
– Mathematisch argumentieren, K 24
< Tandembogen: Potenzen mit
gleichem Exponenten, S 21
< Potenzrechnen – Partnerarbeits­­blatt 1 und 2, S 22 und S 23
< Mindmap Potenzen, S 24
S 88
L 33
S 89
S 89
5 Potenzen mit gebrochenen
Exponenten
K 25
L 34
6 Potenzfunktionen
K 26
L 35
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 26
3 Wachstumsprozesse
K 30
Bis ins Unendliche?
K 31
L 40
1 Wachstum und Abnahme
K 31
L 40
2 Wachstumsfaktor und
Wachstumsrate
K 32
3 Exponentielles Wachstum
K 32
4 Exponentielle Abnahme
K 33
< Tandembogen: Wachstum, S 26
5 Exponentialfunktion
K 34
< Tabelle und Graph, S 27
< Exponentialfunktionsdomino, S 28
< Wachstumslauf, S 29 bis S 31
S 89
L 46
6 Der Logarithmmus
K 36
< Radioaktivität, S 32
S 90
L 49
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 36
VIII Vorbemerkungen
< Mindmap Potenzen, S 24
< Unser Sonnensystem, S 19
S 89
S 88
– Pluto, K 28
L 36
L 40
< Wachstums-Trimino, S 25
L 41
L 43
L 44
L 51
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Cyan
Magenta
Yellow
Lerneinheit
Kommen- Exemplarische
Serviceblatt
tarteil
Kommentare und Exkurse
Lösungen des
Serviceblattes
Lösungen
Aufgaben
4 Sachrechnen
K 38
L 55
Abrechnen – Hochrechnen
K 38
L 55
1 Zinsrechnen und Zinseszins
K 39
2 Zuwachssparen und
Ratensparen
K 40
– Sparformen, K41
< Zinseszins – Schritt für Schritt:
rechne und verstehe, S 33
< Zinseszins – mit dem Computer:
einfach genial, S 34
S 90
< Zuwachssparen – Schritt für Schritt:
rechne und verstehe, S 35
< Ratensparen – Schritt für Schritt:
rechne und verstehe, S 36
< Ratensparen – mit dem Computer:
einfach genial, S 37
S 90
L 55
S 90
L 56
S 91
S 91
< Tilgung – Schritt für Schritt: rechne
S 91
und verstehe, S 38
< Tilgung – mit dem Computer: einfach S 91
genial, S 39
< Tilgungsplan, S 40
S 91
3 Darlehen
K 41
L 57
4 Diagrame
K 42
5 Daten auswerten
K 43
– Die Kennwerte, K 44
< Daten in Diagrammen darstellen, S 41 S 91
L 60
6 Daten beurteilen
K 45
– Boxplots sprachlich
umsetzen, K 46
< Qualitätskontrollen, S 42
L 62
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 47
5 Zufall
K 49
Stein – Schere – Papier
K 49
1 Ereignisse
K 49
2 Zusammengesetzte
Ereignisse
K 50
3 Zweistufige Zufallsversuche
K 52
4 Vierfeldertafeln
K 54
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 56
L 58
S 93
L 64
– Kombinatorik, K 49
L 68
L 68
< Ereignisse, S 43
–V
ereinbare und unvereinbare Ereignisse, K 51
– Ereignisalgebra, K 51
S 93
< Tandembogen – Zusammengesetzte
Ereignisse, S 44
< Welches Ereignis passt?, S 45
< Baumdiagramme – Teste dein
Wissen, S 46
L 68
L 69
S 94
L 70
L 73
< Pralinendose und Ballwurfmaschine – S 94
so ein Zufall!, S 47
< Zufallsversuche – Spielereien, S 48
S 94
L 76
Vorbemerkungen IX
DO01742602_K00_Titelei.indd 27.07.2010 09:43:38 Seite: 10 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Lerneinheit
Kommen- Exemplarische
Serviceblatt
tarteil
Kommentare und Exkurse
< Trigonometrie mit GEONExT, S 49
< Schaubild der Sinusfunktion mit
GEONExT, S 55
Lösungen des
Serviceblattes
Lösungen
Aufgaben
S 95
L 81
6 Trigonometrie
K 57
– Trigonometrie, K 57
Treppen
K 58
– Treppen, K 58
1 Sinus. Kosinus. Tangens
K 59
– Trigonometrie und Taschenrechner, K60
2 Rechtwinklige Dreiecke
berechnen
K 61
– Aristarch von Samos,
K 61
3 Besondere Werte
K 65
4 Allgemeine Dreiecke
berechnen
K 67
5 Sinus- und Kosinussatz*
K 70
L 88
6 Trigonometrie in Ebene und
Raum
K 71
L 90
7 Sinus uns Kosinus
am Einheitskreis
K 75
< Trigonometrie am Einheitskreis mit
GEONExT (1) - Anleitung,
S 53 und S 54
S 98
L 96
8 Sinusfunktion und
Kosinusfunktion
K 76
< Schaubild der Sinusfunktion mit
GEONExT, S 55
< Sinus- und Kosinusfunktion mit
MS-Excel, S 56
S 98
L 97
9 Eigenschaften der
Winkel­funktionen
K 77
Üben • Anwenden •
Nachdenken
K 78
L 81
< Trigonometrie mit GEONExT, S 49
< Tandembogen - Trigonometrie, S 50
L 81
L 82
L 85
– Problemlösen in der
Geometrie, K 68
< Flächenberechnung beim Dreieck, S 51 S 95
< Flächenberechnung im
Koordinatensystem, S 52
S 96
L 87
S 98
L 98
< Flächenberechnung beim Dreieck,
S 51
< Flächenberechnung im
Koordinatensystem, S 52
< Grundstücksvermessung mit
GEONExT, S 57
S 99
< Wochenaufgaben 1 – 28, S 58 – S 86
ab S 99
S 99
Kapitelübergreifendes
L 101
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Schülerbuchseite 20 – 51
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Kommentare zum Kapitel
Zwischen den quadratischen Funktionen und den
quadratischen Gleichungen besteht ein sehr enger
Zusammenhang: Die Nullstellen einer quadrati­
schen Funktion mit y = a x2 + b x + c sind auch die
Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung a x2 + b x + c = 0. Um diesen Zusammenhang zu
verdeutlichen und ihn auch zu nutzen, ist es eine di­
daktisch vernünftige Vorgehensweise, quadratische
Funktionen und Gleichungen in einer thematischen
Einheit zu behandeln. In vielen Curricula findet
sich eine getrennte Behandlung von quadratischen
Funktionen und Gleichungen. Damit verbinden sich
aber kaum lösbare didaktische Probleme: Werden
die Funktionen (komplett) zuerst behandelt, erge­
ben sich zum einen bald Engpässe in hinreichend
motivierenden Aufgabenstellungen, zum anderen
tauchen über längere Zeit Unzufriedenheiten über
die mangelnde Genauigkeit grafischer Lösungen
auf. Werden dagegen die Gleichungen (komplett)
zuerst behandelt, verkommt die anschließende Be­
handlung der Funktionen gleichsam zum Appendix
und ist schwer zu vermitteln bzw. zu motivieren.
Der Aufbau dieses Kapitels verbindet daher die
beiden Themen, indem zunächst quadratische Funk­
tionen mit zunehmender Komplexität jeweils an­
hand interessanter Phänomene betrachtet und ihre
Eigenschaften untersucht werden. Im unmittelbaren
Kontext werden dann entsprechende Gleichun­
gen zunächst grafisch gelöst, bevor anschließend
rechnerische Lösungsverfahren mit erforderlicher
Genauigkeit hergeleitet werden. Anschließend wer­
den dann grafische und rechnerische Aspekte bzw.
Lösungsverfahren gegenübergestellt, somit können
die eingangs angesprochenen Zusammenhänge
verdeutlicht werden.
Quadratische Funktionen stellen die Weiterführung
der linearen Funktionen dar und quadratische
Gleichungen bilden den Abschluss der Gleichungs­
lehre in der Sekundarstufe I. Der Einstieg in das
Thema „Quadratische Funktionen“ erfolgt über die
Betrachtung von Parabeln und ihren Merkmalen,
ausgehend von der Normalparabel. Mithilfe von
Wertetabellen wird die grafische Darstellung von
nichtlinearen Funktionen eingeführt. Quadratische
Gleichungen werden über die Berechnung der
Nullstellen quadratischer Funktionen thematisiert.
Hierbei ist es wichtig, die unterschiedlichen Inter­
pretationen herauszuarbeiten: im Kapitel Wurzeln
im 9. Jahrgang wurde die eindeutige Bestimmbar­
keit der Quadratwurzel betont, hier steht dies der
Tat­sache gegenüber, dass rein quadratische Glei­
chungen zwei Lösungen haben. Über die Nullstel­
lenbetrachtung in Verbindung mit den zugehörigen
Funktionsgleichungen kann dies ebenso deutlich
gemacht werden, wie über das Betrachten der bei­
den linearen Faktoren nach dem Faktorisieren qua­
dratischer Terme in Gleichungen.
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Die Schülerinnen und Schüler lernen lineare und
quadratische Funktionen grafisch darzustellen, sie
auf symbolischer Ebene zu manipulieren und Bezie­
hungen zwischen den einzelnen Funktionen herzu­
stellen. Hauptziel ist jedoch die Kompetenz „funk­
tionales Denken“. Zum Kompetenzbegriff gehören
nicht nur die grundlegenden Fertigkeiten, sondern
auch die Bereitschaft und die Fähigkeit, diese an­
zuwenden: Die Lernenden können in passenden Si­
tuationen Zusammenhänge funktional erfassen, sie
mit den gelernten Verfahren beschreiben und mit
diesen Hilfsmitteln Probleme lösen. Im Schülerbuch
werden die wichtigen Funktionstypen einzeln vor­
gestellt. Dabei werden in jeder Lerneinheit die not­
wendigen mathematischen Fertigkeiten trainiert.
Ein besonderer Schwerpunkt ist der souveräne Um­
gang mit den Darstellungsformen einer Funktion.
So werden Funktionen immer in den folgenden vier
Darstellungsarten beschrieben:
– verbal, durch Schilderung oder durch eine An­
wendungssituation;
– numerisch, also durch Beschreibung mithilfe
­einer Wertetabelle;
– grafisch, durch den Funktionsgraphen;
– symbolisch, mithilfe eines Funktionsterms.
Die Verwendung aller vier Darstellungsarten ermög­
licht den Lernenden unterschiedliche Zugänge zu
den Inhalten und verschiedene Strategien, auftre­
tende Probleme zu lösen. Eine wichtige Kompetenz
ist die Fähigkeit, zwischen diesen Darstellungsarten
hin und her wechseln zu können und die für eine
Problemlösung geeignete Darstellungsform aus­
zuwählen. Für das Schülerbuch wurden dazu eine
Fülle unterschiedlicher Aufgabentypen entwickelt,
die möglichst viele dieser Übergänge einfordern
und damit die Basis für den Kompetenzerwerb
­legen. Allerdings beinhaltet gerade die Vielzahl der
zu ­lernenden Verfahren die Gefahr, dass andere,
für das Verständnis wichtige Aspekte (vgl. Lernein­
heit 10 Modellieren) wegen eines „oberflächlichen
Lernens“ von Rechentechniken zu kurz kommen
können.
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 1
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Schülerbuchseite 20 – 51
In den Lerneinheiten 7 Die gemischt quadratische
Gleichung. Grafische Lösung und 8 Die gemischt
quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung liegt
der Schwerpunkt auf dem Erwerb grundlegender
Fertigkeiten im Lösen von quadratischen Gleichun­
gen. Dabei kommt die quadratische Ergänzung zum
Umformen eines Terms in ein Binom als Lösungs­
möglichkeit zur Anwendung. Auch bisher erlernte
Techniken wie das Auflösen und Zusammenfassen
von Klammertermen werden wiederholt und geübt.
Das Mathematisieren von Texten sowie die Anwen­
dung bei geometrischen Sachproblemen kommen
ebenfalls zur Anwendung.
Exemplarischer Kommentar
Didaktische Leitlinien zum Umgang mit Funktionen in der Schule
1. Vielfältige Grundvorstellungen aufbauen und
verknüpfen.
2. Früh anfangen – Gelegenheiten für das Erfah­
ren von Abhängigkeit und Kovariation bieten sich
schon von Beginn der Grundschule an.
3. Funktionen in der Sekundarstufe I als Be­
schreibungsmittel für reale Zusammenhänge
erfahrbar machen. Man könnte dies den „Primat
des Modellierungsaspekts“ nennen.
4. Bei der Entwicklung von Lerngelegenheiten
das Verstehen vor den Kalkül setzen. Hierzu kann
vor allem das Betrachten reichhaltiger qualitati­
ver Zusammenhänge dienen.
5. Durchgehend verschiedene Darstellungsfor­
men von Funktionen nutzen und den Wechsel
zwischen Beispielen als produktiv erlebbar
­machen.
6. Funktionales Verständnis vernetzen mit All­
tagsverständnis, aber auch Abgrenzungen vor­
nehmen.
Zu 1. und 2.: Grundvorstellungen, auf die im bis­
herigen Schülerbuch besonderer Wert gelegt
wurde, sind:
Zuordnungsvorstellung
Sie lässt den Zusammenhang zwischen den
beteiligten Größen deutlich werden, z. B.: Einer
Menge wird ihr Gewicht zugeordnet.
Kovariationsvorstellung
Sie steht für den dynamischen Aspekt einer
Funktion. Mit ihr erfasst man, in welcher Abhän­
gigkeit die Veränderung der beteiligten Größen
erfolgt, z. B.: Doppelte Menge bewirkt doppeltes
Gewicht.
Funktionales Denken
Dieses erlaubt Zusammenhänge zu erfassen,
­Probleme zu lösen und mit mathematischen
­Mitteln zu beschreiben, z. B.: Für proportionale
K 2 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Funktionen ist der Graph eine Ursprungsgerade.
Es darf mit dem Dreisatz gerechnet werden. Zur
doppelten Ausgangsgröße gehört die doppelte
zugeordnete Größe und es gilt die Funktionsglei­
chung y = m x .
Zu 3. und 4.: Diese Aspekte werden im Schüler­
buch 10 durch die Lerneinheit 9 Modellieren und
durch entsprechende Einstiegsaufgaben berück­
sichtigt.
Zu 5.: Viele Übungsaufgaben trainieren einen
Wechsel der Darstellungsformen. Der Effekt wird
durch operative Übungen verstärkt.
Zu 6.: Das Schülerbuch greift dazu die Themen
„Brücken“ sowie „Bremsen und Bremsweg“ auf.
Die Auftaktseite Immer geradeaus? reaktiviert durch
ihr handlungs­orien­tiertes Vorgehen wichtige Grund­
vorstellungen aus dem Bereich der linearen Funkti­
onen und bereitet den Übergang zu quadratischen
Funktionen vor.
Die Lerneinheiten 1 bis 3 und 6 behandeln einzeln
die wichtigen quadratischen Funktionstypen:
– Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion y = x2
– Lerneinheit 2 Die rein quadratische Funktion y = x2 + c
– Lerneinheit 3 Die rein quadratische Funktion y = a x2 + c
– Lerneinheit 6 Die gemischt quadratische Funktion
y = a x2 + b x + c
Lerneinheit 8 Die gemischt quadratische Gleichung.
Rechnerische Lösung leitet die Lösungsformel her,
betrachtet die drei möglichen Fälle (eine, zwei, kei­
ne Nullstelle) und stellt den Zusammenhang zu den
quadratischen Gleichungen her.
Lerneinheit 5 Die rein quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung führt in das Arbeiten mit Linearfak­
toren ein und nutzt sie zum Lösen von Gleichungen.
Lerneinheit 7 Die gemischt quadratische Gleichung.
Grafische Lösung führt die Normalform ein und
nutzt sie zum grafischen Lösen.
Lerneinheit 9 Modellieren ermöglicht die Anwen­
dung der gelernten Rechenverfahren. Erst diese
baut zentrale Grundvorstellungen auf und verhin­
dert so, dass die gelernten Fertigkeiten „totes Wis­
sen“ bleiben, das rasch vergessen wird.
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Schülerbuchseite 20 – 51
Bezug zum Lehrplan
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:
Funktionaler Zusammenhang: die Schülerinnen und
Schüler können
– Quadratische Funktionen: In Sachsituationen
quadratische Funktionen erkennen, von anderen
funktionalen Zusammenhängen unterscheiden
und nutzen (Tabelle, Graph, Funktionsterm)
– Kennzeichnende Eigenschaften von Graphen
quadratischer Funktionen (Parabeln) kennen und
in Sachsituationen nutzen (Symmetrie, Nullstel­
len, Scheitelpunkt, Definitions- und Wertemen­
gen)
– Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph
einer quadratischen Funktion herstellen (Normal­
parabel, Verschiebung entlang der Koordinaten­
achsen, Strecken in y-Richtung)
– Quadratische Gleichungen: Die Lösungsmenge
einer quadratischen Gleichung bestimmen (gra­
fisch, Lösungsformel)
– Sachaufgaben lösen, die auf quadratische Glei­
chungen führen
– Fragen der Lösbarkeit quadratischer Gleichungen
untersuchen (Diskriminante)
Weiterführende Hinweise
– Das Schülerbuch stellt die Untersuchung von
Funktionstypen in den Vordergrund. Dabei müs­
sen die typischen Eigenschaften erkannt und
den einzelnen Funktionsarten zugeordnet wer­
den können. Im Unterschied zur Vorgehensweise
in den Klassen 5 bis 8 erfolgt eine abstrakte
„Funktionenlehre“. Die Voraussetzung hierfür ist,
dass im bisherigen Unterricht der semantische
Hintergrund geschaffen wurde. Das bedeutet,
dass die Lernenden über funktionale Grundvor­
stellungen verfügen, die sie anhand von Abhän­
gigkeitsuntersuchungen von Größen (z. B. Waren­
menge – Preis) erworben haben.
– Eine große Schwierigkeit besteht darin, dass
die Schülerinnen und Schüler Vorstellungen,
die sie in Situationen aus ihrem Erfahrungs­
bereich erlangt haben, auf abstrakte Funktionen
übertragen müssen. Diese Probleme sind ein
Grund, weshalb im Schülerbuch auf eine ­weitere
Schwierigkeit, nämlich auf das Erlernen der
„Funktionssprache“, weitgehend verzichtet wurde.
Fachtermini wie Funktionswert / Argument, Defi­
nitionsmenge sowie die Schreibweise x ¥ f (x) werden nicht verwendet.
– Nach Malle (Malle, Günther: „Funktionen unter­
suchen – ein durchgängiges Thema“ in Mathe­
matik lehren 103, Seite 4, Erhard Friedrich Verlag,
Seelze 2000) versteht man unter einer Funktions­
untersuchung die Untersuchung einer Abhängig­
keit zwischen Größen. Der Prozess läuft dabei in
zwei Schritten ab. Zuerst wird die Abhängigkeit
dargestellt (Tabelle, Formel oder Graph). Danach
erfolgt die Interpretation dieser Darstellung, d. h.,
aus ihr wird etwas herausgelesen und in der
jeweiligen Situation gedeutet. Im Schülerbuch
werden beide Aspekte berücksichtigt. In den
Lern­einheiten 1 bis 8 steht der erste Aspekt im
Zentrum. Die Interpretation bildet den Schwer­
punkt der Lerneinheit 9 Modellieren.
– Funktionales Denken kann nur mithilfe der rea­
len Welt aufgebaut werden. Wer Funktionen
wirklich verstehen will, muss entsprechende
Beziehungen zwischen Größen durch Experi­
mente oder die mathematische Analyse von
Alltagserfahrungen kennen lernen. Die Ein­
stiegsaufgaben im Schülerbuch berücksichtigen
dies. Für den Aufbau der Grundvorstellungen
sind jedoch noch weitere solche Aufgaben not­
wendig. Keinesfalls genügt es, wenn nach der
Einstiegsaufgabe die Aufgaben des Übungsteils
„abgearbeitet“ werden. Diese trainieren nämlich
vorwiegend die notwendigen Rechentechniken
und sind zu deren Sicherung (als Hausaufgabe!)
gedacht. Solche Aufgaben sind zwar auch unter
Kompetenzgesichtspunkten sinnvoll. Denn das
Umgehen mit symbolischen, technischen und
formalen Elementen ist notwendiger Bestandteil
der inhaltsbezogenen Kompetenz funktionale Zusammenhänge. Dennoch sind diese Aufgaben nur ein Teil eines
sinnvollen Aufgabenspektrums. Einige Aufgaben
im Schülerbuch lassen sich daher ohne großen
Aufwand in „kompetenzorientierte Aufgaben“
(Aufgaben, die nicht nur technische Fertigkeiten
erfordern) umformulieren. In den einzelnen Lern­
einheiten wird auf solche Fälle hingewiesen.
– Erfahrungsgemäß sind im zehnten Schuljahr
viele Grundvorstellen noch nicht bzw. nicht mehr
vorhanden. Ohne einen auf inhaltlichen Vorstel­
lungen beruhenden Zuordnungs- und Kovaria­
tions­aspekt wird jedoch jede Weiterarbeit in ei­
ner abstrakten Funktionslehre ein sinnentleertes
Handeln und die Inhalte werden entsprechend
schnell vergessen. In kritischen Fällen kann der
folgende Einstieg über funktionale Betrachtun­
gen bekannter Formeln versucht werden. Wesentliche Voraussetzung zum fehlerfreien und
sicheren Lösen komplexer Gleichungen ist die
Kenntnis der einzelnen Lösungsschritte in der
richtigen Reihenfolge. Dazu ist eine Zuordnung
der drei Gleichungsarten (linear, rein quadratisch
und gemischt quadratisch) notwendige Voraus­
setzung.
– Im alternativen Einstieg erfolgt nach der Auf­
taktseite, aber vor der systematischen Behand­
lung von Funktionstypen, eine Beschreibung und
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 3
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–
–
Untersuchung von Abhängigkeiten in Formeln
mithilfe des Funktionsbegriffs. Eine Formel
beschreibt Abhängigkeiten zwischen den in
ihr enthaltenen Größen. Diese können ­mithilfe
des Funktionsbegriffs genauer beschrieben
werden. Zur Entwicklung einer funktionalen
Betrachtungs­weise von Formeln müssen die Ler­
nenden Aufgaben bearbeiten, die diese gegen­
seitigen Abhängigkeiten der Größen aufzeigen.
Dies ist umso leichter möglich, je vertrauter die
Formeln und die vorkommenden Größen sind.
Das < Serviceblatt „Funktionale Aspekte von For­
meln“, Seite S 4, enthält geeignete Aufgaben.
Die zugehörigen Überlegungen stammen teilwei­
se aus Malle, Günther: „Didaktische Probleme der
elementaren Algebra“, Seite 267 ff, Vieweg-Verlag,
Wiesbaden 1993.
Ausgangspunkt ist die Volumenformel V = p r 2 h. Betrachtet man einen zylinderförmigen Körper
mit festem Radius, so hängt das Volumen nur
von der Höhe h ab: V (h) = p r 2 h (r = konstant).
Man kann in dieser Formel eine Funktion sehen,
die jeder Zylinderhöhe h ein Volumen zuordnet.
Dabei ist das Zylindervolumen direkt proportio­
nal zur Zylinderhöhe. Die entsprechende Funktion h ¥ V (h) ist eine Funktion des Typs x ¥ c · x.
An diesem Beispiel können die wichtigen, aus
Klasse 8 bekannten Techniken wie Tabelle, Graph
und Funktionsterm wiederholt werden. Dabei
erhalten wichtige Merkmale der proportionalen
Funktion (z. B. zur doppelten Ausgangsgröße (h)
gehört auch die doppelte zugeordnete Größe (V))
eine anschauliche Grundlage. Die mathemati­
schen Veranschaulichungen der Funktion (Tabel­
le, Graph) verdeutlichen diesen Zusammenhang
und werden so als sinnvoll erfahren.
Werden im Anschluss Zylinder gleicher Höhe,
jedoch mit unterschiedlichem Radius betrach­
tet, wird der Zusammenhang durch eine qua­
dratische Funktion beschrieben. Die Funktion r ¥ V (r) ist vom Typ x ¥ c · x 2 .
Zusätzlich kann anhand dieser Formel auch die
antiproportionale Funktion wiederholt werden.
Gießt man ein bestimmtes Volumen in zylindri­
sche Gefäße mit unterschiedlicher Grundfläche,
so besteht zwischen der Flüssigkeitshöhe und
der Größe der Grundfläche der folgende Zusam­
menhang: h (A) = ​ _AV ​ (V = const). Die entspre­
c
chende Funktion ist vom Typ x ¥ ​ _x ​ .
Ein möglicher Unterrichtsgang könnte folgender­
maßen aufgebaut werden:
Einführung in die Problematik mithilfe der Auf­
taktseite im Schülerbuch, Seite 20
Vertiefung anhand des < Serviceblattes „Funk­
tionale Aspekte von Formeln“, Seite S 4
K 4 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
– Systematische Behandlung der quadratischen
Funktion (Schülerbuch, Lerneinheiten 1 bis 6)
– Behandlung des Lösungsverfahrens einer quad­
ratischen Gleichung mithilfe der quadratischen
Ergänzung sowie die grafische Veranschauli­
chung der Lösungen entsprechend der Lernein­
heiten 6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c; 7 Die gemischt quadratische
Gleichung. Grafische Lösung und 8 Die gemischt
quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung
– Herleitung und Anwendung der Lösungsformel
– Modellierungsaufgaben
Auftaktseite: Immer geradeaus?
Die Auftaktseite ermöglicht mehrere methodisch­
didaktische Vorgehensweisen:
– Isolierte Betrachtung und Wiederholung der line­
aren Funktion
– Beide Funktionsarten werden wie im Schüler­
buch, Seite 20, dargestellt und die Unterschiede
herausgearbeitet. Anschließend erfolgt die syste­
matische Erarbeitung anhand des Schülerbuchs.
– Ein Vorgehen wie im alternativen Einstieg
Wichtig ist in allen Fällen, dass die Funktion mithil­
fe aller Darstellungsmöglichkeiten (Beschreibung,
Tabelle, Graph und Term) betrachtet wird.
Auf der zweiten Seite soll ein Rechteck mit gleich
großen Quadraten gefüllt werden.
Die Erweiterung der einfachen quadratischen
Gleichung um das absolute Glied wird in diesem
Beispiel durch die geometrische Veranschaulichung
erleichtert. Der Schwerpunkt der Lösungsfindung
liegt zunächst im inhaltlichen Bereich, denn jede
notwendige Rechenoperation kann hier geome­
trisch interpretiert werden. Um den Flächeninhalt
eines Quadrates zu ermitteln, muss zuerst die Sum­
me der Flächeninhalte aller sechs Quadrate gefun­
den werden. Dazu wird von der Gesamtfläche die
Restfläche subtrahiert. Die Division durch 6 führt
zur Quadratfläche, anhand derer dann die Seiten­
länge leicht errechnet wird. Diese Verbalisierung
der einzelnen Lösungsschritte ist notwendig für den
Aufbau stabiler Grundvorstellungen. Damit wird der
Gegenstandsaspekt der Variablen x stärker betont.
Anschließend sollte erneut eine Formalisierung
erfolgen. Dabei können die Zusammenhänge zur
inhaltlichen Lösung aufgezeigt werden:
6 x 2 + 15 = 15 · 11
| – 15
6 x 2 = 150
| : 6__
x 2 = 25
| ​√  
x = 5 oder x = – 5
In den gegebenen Sachkontext kommt nur die posi­
tive Lösung x = 5 in Betracht.
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Durch den Hinweis, die Fläche mit den Quadraten
auszulegen, wird den Lernenden klar, dass die mit­
hilfe eines mathematischen Modells gewonnenen
Lösungen stets kritisch hinterfragt und auf ihre
Sinnhaftigkeit in Bezug auf die reale Ausgangs­
situation hin überprüft werden müssen.
15 cm
11 cm
5 cm
5 cm
Anhand der Skizze lässt sich das Lösungskriterium
erarbeiten.
Im Beispiel passen 15 cm : 5 cm = 3 Quadrate an die Längsseite und 11 cm : 5 cm = 2 Quadrate an die Breitseite.
Ingesamt sind es 2 · 3 = 6 Quadrate. Aus dieser
Überlegung lässt sich das ­allgemeine Lösungskrite­
rium ableiten:
Haben die Rechteckseiten die Längen a und b und
ist x die positive Lösung der quadratischen Glei­
b
chung, so passen ë_​ ax ​û · ë_​ x ​û Quadrate in das Recht­
eck.
Die Umkehrung der Fragestellung sowie ihre Varia­
tion und das Erfinden eigener Aufgaben stellt deut­
lich höhere Anforderungen. Zum Auffinden von aus­
legbaren Rechtecken kann die folgende Strategie
dienen:
1. Quadratgröße wählen (z. B. 5 cm Seitenlänge)
2. Die Rechteckseiten festlegen. Die Seiten müssen
dabei ein Vielfaches der Quadratseite sein (z. B. a = 15 cm und b = 10 cm).
3. Die Fläche dieses Rechtecks berechnen (15 · 10 cm2 = 150 cm2).
4. Eine Seite um einen beliebigen Wert verlängern
(z. B. b um 1 cm).
5. Rechteckfläche entsprechend vergrößern (150 cm2 + 15 · 1 cm2 = 165 cm2).
1 Die quadratische Funktion y = x 2
Intention der Lerneinheit
– Die quadratische Funktion y = x 2 kennen und
wissen, dass ihr Graph die Normalparabel ist.
– Die Symmetrieeigenschaften der Normalparabel
untersuchen.
– Öffnung und Scheitelpunkt der Normalparabel
untersuchen.
Einstiegsaufgabe
Durch die gleichzeitige Betrachtung von Umfang
und Flächeninhalt unterschiedlich großer Quadra­
te wird zum Einen das Vorwissen zu den linearen
Funktionen und deren Merkmalen aktiviert, zum
Anderen wird das Erstellen einer Normalparabel
und deren Untersuchung angeregt. Abgesehen von
der Behandlung der Funktionsgraphen antiproporti­
onaler Funktionen in der 8. Klassenstufe haben bis­
lang die linearen Funktionen und damit geradlinige
Funktionsgraphen den Schulstoff dominiert. Somit
kommt einer eingehenden Betrachtung der Normal­
parabel große Bedeutung zu, zumal der sichere Um­
gang mit Parabeln die Grundlage zum graphischen
Lösen quadratischer Gleichungen darstellt.
Alternativer Einstieg
Das < Serviceblatt „Normalparabel“, Seite S 5, ent­
hält Aufgaben für einen einfachen alternativen
Einstig auf konstruktiver Ebene.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Es empfiehlt sich, frühestmöglich eine Schablone
für eine Normalparabel selbst erstellen zu lassen.
Hierzu bietet sich an, eine Normalparabel im Inter­
vall – 3 < x < 3, gegebenenfalls auch – 4 < x < 4 auf
Millimeterpapier zeichnen zu lassen, das Schaubild
auf starken Karton zu kleben und die so erhalte­
ne Form ausschneiden zu lassen. Zuvor sollte der
Inhalt des Kastens „Die Normalparabel unter der
Lupe“ behandelt worden sein, um zu vermeiden,
dass beim Zeichnen des Graphen geradlinige Stü­
cke gezeichnet werden.
Die Normalparabel unter der Lupe
Aufgrund der Dominanz der linearen Funktionen
im bisherigen Arbeiten mit Funktionen und de­
ren Graphen ist es ein typischer Fehler, die aus
einer Wertetabelle gewonnenen Punkte einer
quadratischen Funktion geradlinig zu verbinden.
Besonders häufig kommt es vor, dass die Punkte
(– 1|1) und (0|0) sowie (0|0) und (1|1) jeweils mit
einer Strecke verbunden werden, selbst wenn
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 5
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Schülerbuchseite 22 – 24
die weiteren Punkte der Parabel mit einer kur­
venförmigen Linie verbunden werden. Um diesen
Fehler mit Einsicht zu vermeiden, ist es erforder­
lich, den Verlauf der Normalparabel insbesondere
zwischen den Punkten (– 1|1) und (0|0) sowie
(0|0) und (1|1) genauer zu untersuchen. Nachdem
die Symmetrieeigenschaft der Parabel bekannt
und begründet worden ist genügt es, sich hierbei
auf das Intervall 0 < x < 1 zu beschränken. Die
Ausführlichkeit in der Vorgehensweise kommt
der Zeichengenauigkeit im gesamten weiteren
Kapitelverlauf und auch in den Kapiteln 3 Wachstumsprozesse und 6 Trigonometrie zugute.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 3; 4; 5; 7
Kumulative Aufgaben: A 6
Problemstellungen: A 8
2 Die Aufgabe dient dem Verständnis, dass die
Normalparabel eine Grundform hat, die auch bei
Änderung des Ausschnittes des Koordinatensystems
erhalten bleibt. Zudem werden die zuvor auswendig
gelernten Quadratzahlen aktiviert und gefestigt.
3 Es ist auf die korrekte Handhabung der Vorzei­
chen beim Quadrieren zu achten.
4 Das Wurzelziehen wird aktiviert.
6 Das Wiederholen der auswendig gelernten Qua­
dratzahlen steht im Vordergrund, ebenso die Vorzei­
chenregeln.
8 Diese Aufgabe bereitet Erkenntnisse der Lernein­
heit 3 Die rein quadratische Funktion y = a x 2 + c vor,
indem sie die nach unten geöffnete Parabel mit
dem Koeffizienten a = – 1 einführt. Später werden
diese Beobachtungen dann systematisiert.
2 Die quadratische Funktion y = x 2 + c
Intention der Lerneinheit
– Zu einer verschobenen Parabel die Funktions­
gleichung angeben.
– Den Funktionsgraphen mit und ohne Schablone
zeichnen.
– Die Koordinaten des Scheitels aus der Funktions­
gleichung bestimmen.
K 6 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe führt auf die Wertetabelle ei­
ner Normalparabel. Mithilfe der bereits anhand der
Auftaktseite erarbeiteten Vorstellungen können die
Lernenden selbstständig die Funktionsgleichung
­erkennen und einen passenden Graphen zeichnen.
Alternativer Einstieg
Das < Serviceblatt „Normalparabel“, Seite S 5, enthält Aufgaben für einen einfachen alternativen
Einstieg.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Wurde die quadratische Funktion gemäß der
Auftaktseite noch nicht dargestellt, kann dies
nach dem Ablesen der Werte der Einstiegsauf­
gabe nachgeholt werden.
– Nach der Behandlung der Funktion y = x 2 in der
Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion y = x 2
bieten sich zwei methodische Wege für die Wei­
terarbeit an:
Å. Man gibt eine verschobene Parabel vor und
untersucht anhand von Wertetabellen, wie
­diese aus der Normalparabel gebildet wurde.
2. Man gibt die Normalparabel vor und ver­
schiebt sie (z. B. wie im Kasten Schülerparabeln
vorgeschlagen). Anschließend wird untersucht,
welchen Einfluss die Verschiebung auf die zu­
geordneten Werte und den Funk­tions­term hat.
Der erste Weg ist eher ein analytisches Vorge­
hen. Die zweite Möglichkeit ist eher ein konst­
ruktives Vorgehen. Erfahrungsgemäß fällt den
Lernenden dieses Vorgehen leichter. Deshalb
wird im Schaufenster Experiment dieses Vor­
gehen vorgeschlagen.
– Im Zusammenhang mit der „Verschiebungswir­
kung“ des Summanden c bei y = x 2 + c sollte
auf die Analogie bei der linearen Funktion y = x + c eingegangen werden.
Wichtig ist der Zusammenhang zum Themenbe­
reich quadratische Gleichungen. Im Schülerbuch
wird deshalb dieser Querverbindung eine eigene
Lerneinheit (Lerneinheit 4 Die rein quadratische
Gleichung. Grafische Lösung) gewidmet. Den
Zusammenhang zwischen dem Funktionsgra­
phen und den Lösungen der entsprechenden
quadratischen Gleichung zu sehen, fällt den
Lernenden oft schwer. Alternativ zum Vorgehen
im Schülerbuch kann deshalb schon anhand der
Funktion y = x 2 + c der Zusammenhang zur rein
quadratischen Gleichung aufgezeigt werden. Am
Graphen wird unmittelbar einsichtig, dass eine
rein quadratische Gleichung der Art x 2 = a
• zwei Lösungen für a > 0 hat.
• eine Lösung für a = 0 hat.
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Schülerbuchseite 24 – 25
• keine Lösung für a < 0 hat. Durch diese frühe Behandlung erfolgt die Ein­
bindung der quadratischen Gleichungen nicht
nur sukzessive, sondern den Lernenden wird
auch früh ein weiterer Sinn dieser grafischen
Darstellungen aufgezeigt. Wichtige Eigenschaften des Funktionsgraphen
wie
• Achsensymmetrie zu einer Parallelen zur
­y-Achse
• abschnittsweise Monotonie
• Existenz eines Extremums werden nicht anhand des Funktionsterms be­
gründet, sondern nur anhand der gezeichneten
Graphen intuitiv erfasst.
– Die „gespiegelte Normalparabel“ y = – x 2 wird in
der nächsten Lerneinheit y = a x 2 + c behandelt.
Exkurs
Typische Fehler bei quadratischen Funktionen
Fehler
Abhilfe
Verwechslung der
Begriffe Scheitel und
Nullstelle
Begriffe mit Inhalt füllen:
Scheitelpunkt ist das Mini­
mum oder Maximum des
Funktionsgraphen.
An diesem Punkt ändert sich
die „Richtung“ der Parabel.
Bei einer nach unten
geöffneten Parabel liegt der
Scheitel so, wie er auf dem
Kopf eines Menschen liegt.
Nullstellen stehen im Zusam­
menhang mit den Lösungen
der quadratischen Gleichung.
Verschiebung in falscher
Richtung, z. B. bei y = (x – 2) 2
Überlegen, für welchen
x-Wert die Klammer null
wird. Im Beispiel x = 2 ¥
Scheitel in S (2 | 0).
quadratische Ergänzung
beim Umformen in die
Scheitelform
Anhand einfacher Zahlen­
werte überlegen.
Zuerst das Binom notieren
und dann die Zeile mit der
notwendigen Ergänzung
einfügen: y = x 2 + 4 x – 3
Überlegung: Die Hälfte von
4 ist 2, damit ergibt sich das
„Zielbinom“ zu: y = (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4.
Somit ist die Ergänzung:
y = x 2 + 4 x + 4 – 4 – 3.
Verwechslung bzw.
vergessen von Wissens­
elementen (z. B. „Schnitt­
punkt­be­din­gung“ y = y).
Entwicklung von Grund­
vorstellungen durch Kopp­
lung an Sachaufgaben.
Erstellung einer Mindmap
Rechenfehler bei
komplexen Aufgaben
¥ „unmögliche“ Zahlen
Entwicklung von Kontroll­
mechanismen (z. B. Graphen
zur Kontrolle von Schnitt­
punk­ten, Nullstellen usw.
zeichnen).
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1
Operative Übungen: A 2; 3
Problemstellungen – offene Aufgaben­­
situationen: Kasten „Schülerparabeln“
3 Die rein quadratische Funktion y = a x 2 + c
Intention der Lerneinheit
– Zu einer verschobenen Parabel die Funktionsglei­
chung angeben.
– Den Funktionsgraphen mit und ohne Schablone
zeichnen.
– Die Koordinaten des Scheitels aus der Funktions­
gleichung bestimmen.
– Wissen, dass ein Minuszeichen vor dem quad­
ratischen Term eine Spiegelung an der x-Achse
bewirkt.
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe stellt einen eher abstrakte­
ren Zugang zur Thematik als in der Lerneinheit 2
vor. Nach der Zuordnung der Wertetabellen zu den
Funktionsgleichungen müssen die Parabeln ge­
zeichnet werden. Anschließend wird untersucht, wie
sie aus der Normalparabel entstanden sind.
Alternativer Einstieg
Es gibt mehrere Varianten:
– Der Zugang erfolgt wie in Lerneinheit 2; das
heißt, man gibt die Normalparabel vor und ver­
schiebt sie. Anschließend wird untersucht, wel­
chen Einfluss die Verschiebung auf die zugeord­
neten Werte und den Funktionsterm hat. Dieses
eher konstruktive Vorgehen ist für die Lernenden
leichter.
– In Analogie zur linearen Funktion werden Glei­
chungen vorgeben:
a) y = x
b) y = x 2
c) y = 2 x + 1
d) y = 2 x 2 + 1
1
f) y = ​ _21 ​ x – 2
e) y = ​ _2 ​ x 2 – 2
Die Lernenden vermuten den Verlauf der Graphen
aufgrund von „Permanenzüberlegungen“ vor dem
Hintergrund ihres Wissens über lineare Funktio­
nen. Exakte Zeichnungen mithilfe von Wertetabel­
len dienen zur Überprüfung der Vermutungen.
– In Anbetracht dessen, dass Verständnis im Be­
reich Funktionen nur unter Bezug auf Verände­
rungen in der realen Welt erreicht werden
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 7
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Schülerbuchseite 25 – 27
kann, ist auch ein experimenteller Zugang
überlegenswert. Werden Experimente aus dem
physikalischen Bereich gewählt, kann dieser
zeitaufwändige Zugang mit dem Physik-Kollegen
abgesprochen werden.
Beispiel: Im Physikunterricht wird die Zuord­
nung Fahrstrecke ¥ Fahrzeit eines gleichmäßig
beschleunigten Wagens betrachtet.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Im Rahmen eines sinnorientierten Unterrichts
sollten frühzeitig Anwendungsaufgaben bearbei­
tet werden. So bieten sich an dieser Stelle viele
der Aufgaben der Lerneinheit 9 Modellieren an,
da ihnen der Funktionstyp y = a x 2 + c zugrun­
de liegt. Die Lernenden müssen behutsam an
Modellierungsaufgaben gewöhnt werden. Insbe­
sondere Lernende, die kleinschrittiges Vorgehen
gewohnt sind und die Algorithmen auswendig
lernen, haben mit dieser Aufgabenart Probleme.
– Der Zusammenhang zwischen quadratischen
Funktionen und quadratischen Gleichungen (ins­
besondere Anzahl der Lösungen) kann durchaus
in dieser Lerneinheit mithilfe der Nullstellen auf­
gezeigt werden.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 5; 6; 8; 9; 10; 12
Operative Übungen: A 3; 4; 7; 11; 13; 14; 15; 16; 17
Komplexe Aufgaben: A 18
Auch für die Vermittlung des Kovariationsaspek­
tes sind die gebräuchlichen Programme wenig
geeignet. Sie stellen die Funktionsgraphen abs­
trakt, das heißt ohne situative Einkleidung dar.
Für den Aufbau der Grundvorstellung müssen je­
doch Abhängigkeiten inhaltlich deutbarer Grö­
ßen untersucht werden. Zudem sind die Lernen­
den oft durch die Technik abgelenkt oder richten
ihre Aufmerksam­keit auf andere Dinge und er­
kennen die zentrale Eigenschaft nicht. An einen
Computereinsatz sollten somit einige Bedingun­
gen geknüpft sein, wie
–präzise Fragestellung,
–wichtige Grundvorstellungen müssen schon
vorhanden sein,
–Verwendung eines unbekannten (inner- oder
außermathematischen) Problems, bei dem der
Computereinsatz vorteilhaft ist,
–Notizen zu den Beobachtungen,
–abschließender Vergleich, der die Kompeten­
zen „mathematisch kommunizieren“ und
­„argumentieren“ trainiert.
4 Die Aufgabe spricht vor allem die Kompetenzen
„mathematisch kommunizieren“ und „argumentie­
ren“ an. Im folgenden exemplarischen Kommentar
wird dies verdeutlicht.
10 Durch die offenere Fragestellung: „Durch den
Punkt P (1 | 3) verlaufen mehrere Parabeln. Beschrei­
be einige.“ Kann das Übungsspektrum erweitert
werden.
DGS I
Exemplarischer Kommentar
Die Kompetenzen „mathematisch kommuni­
zieren“ und „argumentieren“
Mithilfe des Computers können die Parameter
der Funktionsgleichung leicht variiert werden.
Die Auswirkungen sind als Veränderung des Gra­
phen sofort beobachtbar. Damit lassen sich Funk­
tionsscharen leicht untersuchen und Fragestel­
lungen, wie sie im Schülerbuch vorgeschlagen
sind, schnell beantworten. Insofern ermöglicht
der Computer die Entdeckung weiterer Eigen­
schaften von Funktionstypen und damit eine Ver­
tiefung vorhandener Grundvorstellungen. Trotz­
dem ist er kein „Allheilmittel“. Das Betrachten
sich ändernder Graphen führt nicht notwendiger­
weise zur Entdeckung wichtiger Eigenschaften
bzw. zur Ausbildung von Grundvorstellungen. So spielt z. B. der Zuordnungsaspekt keine Rolle,
weil der Graph meist nicht „geplottet“ wird, son­
dern als Ganzes auf dem Bildschirm erscheint.
Diese Kompetenzen umfassen sowohl das Ver­
ständnis von Texten und verbalen Äußerungen
als auch die Fähigkeit, mathematische Überle­
gungen verständlich und mithilfe der Fachspra­
che darzustellen. Finden dabei Argumentations­
pro­zesse zur Erklärung von Lösungswegen,
Schlussfolgerungen oder Veranschaulichungen
statt, spricht man von Argumentieren. Dies muss
nicht unbedingt gegenüber einem Dritten (Mit­
schüler oder Lehrer) erfolgen, sondern kann auch
gegenüber sich selbst erfolgen. Sprachliche As­
pekte müssen somit nicht unbedingt eine Rolle
spielen. Dagegen ist beim Kommunizieren ein
externer Adressat vorhanden. Die Überlegungen
bzw. Lösungswege werden dem Lehrenden oder
Mitschülern erläutert. Sprache steht somit im
Zentrum des Kommunizierens. Die Aufgabe 4
K 8 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
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Schülerbuchseite 27 – 28
kann demnach sowohl Aspekte des Argumentie­
rens (der Lernende begründet sich die Zuordnun­
gen selbst, z. B. in der Hausaufgabe) als auch des
Kommunizierens (der Lernende begründet die
Zuordnung seinen Mitschülern beim Vergleich
der Hausaufgabe) haben. Dabei erfordert die iso­
lierte Zuordnung nur ­einfache mathematische
Sachverhalte. Die Begründung entspricht damit
dem Anforderungsbereich I. Erfolgt die Lösung
mithilfe eines mehrschrittigen, cleveren Lösungs­
wegs, der die Auf­gabe in ihrer Gesamtheit be­
trachtet, wird Anforderungsbereich II erreicht.
Beispiel: Für y = 3 x 2 scheiden B, F, H aus, weil
sie nach unten geöffnet sind. C, D, E scheiden auf­
grund ihres Scheitels aus. Vom Rest ist G die ein­
zige Parabel, die steiler als die Normalparabel ist.
14 Die Aufgabe zielt auf die Kompetenz „mathe­
matische Darstellungen verwenden“. Sie lässt sich
leicht ausbauen, wie im folgenden exemplarischen
Kommentar aufgezeigt wird.
Exemplarischer Kommentar
Die Kompetenz „Mathematische Darstellungen
verwenden“
Diese Kompetenz beinhaltet den souveränen
Umgang mit Darstellungsmöglichkeiten wie:
Formeln, Graphen, Diagramme, Skizzen, Sprache,
Programme (Computer).
Souveräner Umgang bedeutet, dass der oder die
Lernende sich aktiv mit diesen Darstellungen
auseinandersetzt. Typische Tätigkeiten sind z. B.:
–die Interpretation einer gegebenen Darstel­
lung,
–das Erstellen von Darstellungen,
–der Wechsel zwischen den verschiedenen Dar­
stellungsformen.
Gerade der letzte Punkt spielt für das funktiona­
le Denken eine entscheidende Rolle.
So wie die Aufgabe 14 im Schülerbuch gestellt
ist, entspricht sie dem Anforderungsbereich I
und dem Anforderungsbereich II. Eine Standard­
darstellung wird interpretiert und in eine andere,
vertraute Darstellung überführt.
Werden jedoch alle behandelten Darstellungs­
for­men (Graph, Funktionsgleichung, verbale Be­
schreibung) eingefordert und zusätzlich bewertet,
wird der Anforderungsbereich II erreicht. Erfolgt
noch zusätzlich die Zuordnung einer passenden
Sachsituation, wird der Anforderungsbereich III
erreicht: Problemorientierte Entwicklung einer
eigenen Darstellungsform (Sachsituation), Beur­
teilung der Darstellungsformen vor dem Hinter­
grund dieser Sachsituation.
15 Die Aufgabe trainiert gezielt die Bedeutung des
Minuszeichens. Sie kann jedoch leicht offener ge­
stellt werden. Damit werden weitere Kompetenzen
(z. B. kommunizieren) angesprochen:
Die Parabel wird an der x-Achse gespiegelt. Nimm
Stellung.
4 Die rein quadratische Gleichung. Grafische Lösung
Intentionen der Lerneinheit
– Die Nullstellen einer quadratischen Funktion als
die Lösung der zugehörigen quadratischen Glei­
chung interpretieren.
– Eine rein quadratische Gleichung durch Betrach­
ten der zugehörigen Funktion und deren Null­
stellen lösen.
– Den Zusammenhang zwischen der Lage der Pa­
rabel und der Anzahl der Nullstellen bzw. Anzahl
der Lösungen kennen.
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe führt analytisch auf die
Beobachtung des Zusammenhangs zwischen ge­
gebenen verschobenen Normalparabeln und den
zugehörigen Nullstellen. Im weiteren Verlauf wird
der entsprechende Zusammenhang zwischen rein
quadratischen Gleichungen und ihren Lösungen
durch Betrachten der Nullstellen der zugehörigen
Funktionen geklärt.
Alternativer Einstieg
Zur Vermittlung der Bedeutung von Nullstellen sind
unterschiedliche Zugänge möglich:
– Eine Aufgabenstellung wie „Marc behauptet,
dass die Gleichung (x – 3)2 + 2 = 0 keine Lösung
hat. Cora meint, dass sie das leicht ohne zu
rechnen von jeder dieser Gleichungsarten vor­
hersagen kann.“ regt zum Experimentieren und
Argumentieren an.
– Von einer gegebenen Parabel sind die zugehö­
rigen y-Werte der beiden Nullstellen bekannt.
Die Lage des Scheitels soll konstruktiv möglichst
exakt bestimmt werden.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Es sollte weiterhin die von den Schülern selbst
gefertigte Parabelschablone zum Einsatz kommen,
wie in Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion y = x 2,
Aufgabe 1, angeregt. Dazu sei hier verwiesen auf
die Ausführungen zum produktorientierten Üben
in dem Aufsatz von Heinrich Winter „Begriff und
Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht“ in
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 9
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Schülerbuchseite 28 – 31
„Mathematik lehren“ Heft 2, Erhard Friedrich Verlag,
Seelze 1984.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 4
Kumulative Aufgaben: A 3
3 Hier ist, insbesondere bei der letzten Teilauf­
gabe, auf eine sinnvolle Achsenteilung zu achten.
Die Aufgabe kann auch gut mit einer dynamischen
Geometriesoftware bearbeitet werden, wenn die Er­
gebnisse in Zweiergruppen besprochen und erklärt
werden. Dies ist einem tieferen Verständnis von
„Ursache und Wirkung“ sehr zuträglich.
4 Die Lösungen der Teilaufgaben sind alle sehr
einfach. Die Schwierigkeit besteht hier darin, die
Parabeln trotz der unvertrauten Achseneinteilung (2 Kästchen š 4 Einheiten) richtig zu interpretieren.
So stellt 4 a) eine verschobene Normalparabel dar
im Gegensatz zu Aufgabe 4 c) – obwohl der opti­
sche Eindruck ein anderer ist.
5 Die rein quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung
Intentionen der Lerneinheit
– Rein quadratische Gleichungen in Linearfaktoren
zerlegen.
– Erkennen, wann eine rein quadratische Glei­
chung eine Lösung besitzt
– Diejenige Einsetzung für eine Variable bestim­
men, bei der ein Linearfaktor Null wird.
– Wissen, dass eine Einsetzung, bei der ein Linear­
faktor den Wert Null annimmt, Lösung der quad­
ratischen Gleichung ist.
Einstiegsaufgabe
Der Zugang führt unmittelbar auf eine rein quadra­
tische Gleichung. Durch geeignetes Umformen mit
der 3. binomischen Formel entstehen Linearfakto­
ren. Anhand der seit der 5. Klassenstufe bekannten
Regel, dass der Produktwert eines Produktes Null
ist, wenn zumindest ein Faktor den Wert Null hat, können die entsprechenden Einsetzungen durch
Anwenden der Regel mit der Gegenzahl gefunden
werden. Da zwei Linearfaktoren entstanden sind,
gibt es also auch (bis zu) zwei Lösungen der Glei­
chung.
K 10 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Alternativer Einstieg
Jede Sachaufgabe, die auf eine rein quadratische
Gleichung führt, eignet sich entsprechend. Gleich­
falls kann der umgekehrte Weg beschritten werden,
indem zunächst Gleichungen gelöst werden, die
bereits in Linearfaktoren zerlegt sind.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Die < Serviceblätter „Nullstellensalat“ und „ Null­
stellensalat, Lösungsblatt“, Seiten S 6 und S 7, setzen
auf spielerische Weise die Inhalte dieser und der
vorangegangenen Lerneinheit zueinander in Bezie­
hung.
Es müssen die Regeln bekannt und gefestigt sein,
nach denen a) ein Produkt gleich Null ist, wenn ein
Faktor gleich Null ist und b) jede Summe aus Zahl
und Gegenzahl den Wert Null hat.
Je nach Form der rein quadratischen Gleichung wird der Vorschlag kommen, die Gleichung zu
radizieren, also z.B. x2 = 25 x = 5. Hier muss
thematisiert werden, dass das Wurzelziehen keine
Äquivalenzumformung ist, sondern die Lösungs- menge ändert. Hat z.B. die Gleichung x2 = 25 noch
die Lösungsmenge {-5; 5}, so hat die Gleichung x = 5 die Lösungsmenge { 5 }. Hier ist Sorgfalt bei
den Umformungen geboten.
Die Zerlegung in Linearfaktoren eignet sich auch
bei bestimmten gemischt quadratischen Gleichun­
gen, und zwar bei den „gemischt quadratischen
Gleichungen ohne konstantes Glied“. Eine Gleichung
der Form a x2 + b x = 0 kann mittels Division durch
a überführt werden in die Gleichung x2 + d x = 0.
Diese Gleichung wird nun wie folgt in Linearfakto­
ren zerlegt: x (x + d) = 0.
Wie sich nun leicht ablesen lässt, sind die Lösun- gen für diese Gleichung 0 und – d, sie hat also die
Lösungsmenge { – d; 0}.
Nachdem in Lerneinheit 8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung die Lösungs­
formel abgeleitet worden ist, bietet es sich an, jede
gemischt quadratische Gleichung zunächst darauf
hin zu betrachten, ob sie leicht in Linearfaktoren
zerlegbar ist, wodurch sich meist beträchtliche Re­
chenvorteile nutzen lassen.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 3;
Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 6; 7; 8
Komplexe Aufgaben: A 9; 10; 11
DO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:33 Seite: 11 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 31 – 34
8 Wichtig für eine korrekte Lösung ist, dass die
Benennung der Variablen dokumentiert wird: Be­
deutet x die gesuchte Zahl oder z. B. ihr Quadrat (in
Teilaufgabe d)?
9 Bei dieser Aufgabe ist zum einen eine gute und
ausführlich beschriftete Skizze sehr hilfreich, zum
anderen eine tabellarische Gegenüberstellung von
Termen und deren Bedeutung. Unbedingt müssen
hier die Terme für die Beschreibung des alten und
des neuen Flächeninhalts sorgfältig erstellt und
voneinander unterschieden werden.
11 Bei der Teilaufgabe b) gelten die Ausführungen
zu Aufgabe 9 analog.
6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c
Intentionen der Lerneinheit
– Die Funktionsgleichung einer gemischt quad­
ratischen Funktion mithilfe der quadratischen
Ergänzung in die Scheitelform überführen.
– Zu einer gegebenen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts angeben.
– Zu einer verschobenen Normalparabel die Funk­
tionsgleichung angeben.
– Aus einem Parabelpunkt und dem Scheitel punkt
die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen.
– Aus zwei beliebigen Parabelpunkten die zugehö­
rige Funktionsgleichung bestimmen.
Einstiegsaufgabe
Die offen gehaltene Aufgabenstellung regt zu­
nächst zum Probieren an. Durch das Anlegen einer
Tabelle kann das Vorgehen systematisiert werden
und es können die mathematischen Zusammen­
hänge verdeutlicht werden. Die Frage nach dem
genauen Wert motiviert eine beliebig genaue Be­
stimmung des Scheitelpunktes. Die aus der Aufga­
benstellung resultierende gemischt quadratische
Gleichung ergibt sich wie folgt:
A (a) = a · b und b = 7 – 2 a
A (a) = a · (7 – 2 a) = – 2 a 2 + 7 a
Hierbei ist b die Zaunseite, die parallel zur Mauer
liegt, und a eine der beiden (gleich langen) anderen
Seiten. Die Gleichung muss somit in eine entspre­
chende Funktionsgleichung umgewandelt werden,
diese kann dann mithilfe der quadratischen Ergän­
zung in die Scheitelpunktform gebracht werden,
aus der die Koordinaten des Scheitels unmittelbar
abgelesen werden können.
Viele Schülerinnen und Schüler werden zunächst
nur den linearen Zusammenhang zwischen a und b
grafisch darstellen. Hier kann ein Hinweis auf den
quadratischen Zusammenhang zwischen a und A
bzw. auf dessen Berechenbarkeit die Diskussion
weiterbringen.
Alternativer Einstieg
Der Zugang ist auch rein innermathematisch mög­
lich, indem zunächst mehrere ausgewählte Funkti­
onsgleichungen der Form y = (x + d)² vorgegeben
und die zugehörigen Graphen nach Ergänzen von
Wertetabellen untersucht werden. Die Werte für
d müssen hier sowohl negativ als auch positiv ge­
wählt werden, am besten auch unter Hinzunahme
der Gegenzahl. Dies führt auf die entsprechende
Verschiebungsregel parallel zur x-Achse. Durch
Erweiterung der Funktionsgleichungen mit aus­
gewählten Konstanten e wird dann auch die be­
reits bekannte Verschiebung parallel zur y-Achse
hinzugezogen. Die gemeinsame Betrachtung der
Verschiebungen führt dann zur Auffindung des
Scheitelpunkts.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Zu beachten ist hier die korrekte Bezeichnung
der Parameter. So darf für die Konstante nicht
mehr die Variable c gewählt werden, da sich bei
der Herleitung der Scheitelpunktform aus der
allgemeinen Funktionsgleichung y = a x 2 + b x + c aufgrund der Division durch a die Variablen b
b
c
und c ändern in _​ a ​ und _​ a ​, welche dann vereinfa­
chend in d und e umbenannt werden.
– Ein entscheidender Vorteil beim Arbeiten mit
Funktionsgleichungen in Scheitelform liegt im
schnellen Zeichnen mithilfe des Scheitelpunktes
und der Schablone.
– Die < Serviceblätter „Funktionsgraph und Glei­
chung“, Seite S 8 und das „Legespiel – Quadrati­
sche Funktionen (1) und (2)“, Seiten S 10 und S 11
trainieren die Zuordnung zwischen Graphen und
Funktionsgleichungen.
– Der Tandembogen auf dem < Serviceblatt „Tan­
dembogen: Funktionen“, Seite S 9 übt die Zuord­
nung von allgemeiner Form, Scheitelform und
Scheitelpunkt einer Parabel.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, SeiteK 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A1; 2; 3; 4
Operative Übungen: A6; 7
Kumulative Aufgaben: A; 5; 8; 10
Komplexe Aufgaben: A9; 11
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 11
DO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:33 Seite: 12 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 34 – 36
3 Hier wird vertiefend trainiert, dass Äquivalenz­
umformungen wie die Addition bei Gleichungen
stets auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt
werden müssen.
4 Bei dieser Aufgabe ist insbesondere auf die Vor­
zeichen der Koeffizienten d und e zu achten.
7 Diese Aufgabe ist operativ und kumulativ zu­
gleich, da jede Gleichung zunächst in die Scheitel­
punktform umgewandelt werden muss.
9 Diese offen angelegte Aufgabenstellung ermög­
licht es, zu untersuchen, wann bzw. warum bei
bestimmten Fällen mehrere Funktionen gefunden
werden können.
10 Alle Aufgaben können sowohl zeichnerisch wie
rechnerisch gelöst werden. Wird in Zweiergruppen
gearbeitet, wobei ein Schüler rechnerisch, der an­
dere zeichnerisch löst, können sich die Lernenden
gegenseitig kontrollieren.
7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung
Intention der Lerneinheit
– Eine beliebige quadratische Gleichung in die
Normalform überführen.
– Die Normalform einer quadratischen Gleichung
in die Scheitelform überführen.
– Die Nullstellen einer beliebigen Parabel ablesen.
– Wissen, dass die Nullstellen einer beliebigen
Parabel die Lösungen der zugehörigen quadrati­
schen Gleichung sind.
Einstiegsaufgabe
Die beiden Abbildungen mit den gegebenen quad­
ratischen Gleichungen und verschiedenen Parabeln
führen unmittelbar auf das Problem der Vergleich­
barkeit und damit auf die Normalform. Zudem wird
der Blick auf die Nullstellen der Parabeln gelenkt
und der Zusammenhang zu den quadratischen Glei­
chungen hergestellt. Dadurch, dass nicht zu jeder
Gleichung eine Parabel und nicht zu jeder Parabel
eine Gleichung existiert, wird ein sorgfältiger Um­
gang mit den bisher gelernten Merkmalen von Pa­
rabeln ausgelöst.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Es empfiehlt sich, zunehmend die Genauigkeit der
graphisch bestimmten Lösungen bzw. Probleme
beim Ablesen zu thematisieren, um den Übergang
zur Lerneinheit 8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung anzubahnen. Eine hier
K 12 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
sehr geeignete Problemstellung findet sich auf der
Randspalte Seite 36 des Schülerbandes. Beim gege­
benen Ausschnitt des Koordinatensystems gibt es
keine Möglichkeit, zuverlässige Aussagen über die
Anzahl der Lösungen zu treffen.
Die < Serviceblätter „Quadratische Funktionen –
Partnerarbeitsblatt 1 und 2“, Seiten S 12 und S 13,
üben in operativer Weise das Berechnen von Glei­
chungen und besonderen Punkten bei verschiede­
nen Voraussetzungen. Auch das erstellen der Para­
belgleichung anhand der Nullstellen wird verlangt
und aktiviert so das Wissen über Linearfaktoren.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3
Operative Übungen: A 4
Kumulative Aufgaben: A 5; 6; 7
Randspalte
Die Aufgabe verweist auf die Grenzen der grafi­
schen Lösungsmethode. Es tauchen die beiden typi­
schen Probleme solcher Aufgaben auf:
1. (Mindestens) eine der Lösungen liegt außerhalb
des gezeichneten Bereichs. Ohne ein tieferes Ver­
ständnis quadratischer Funktionen (die Steigung
wächst mit zunehmendem Abstand vom Scheitel­
punkt beliebig an), wie es in der Sekundarstufe I
üblicherweise nicht erreicht werden kann, ist den
Lernenden in der Regel nicht klar, dass es bei dieser
Konstellation einen zweiten Schnittpunkt geben
muss.
2. Die x-Werte der Schnittpunkte lassen sich auch
bei sorgfältiger Zeichnung nur begrenzt genau
ablesen. Insbesondere wenn eine größere Skala
verwendet werden muss (zum Beispiel um den
zweiten Schnittpunkt überhaupt zu finden), wird die
Bestimmung äußerst vage.
Der Einsatz einer Geometriesoftware ist in solchen
Fällen sehr motivierend!
DGS II
Auch hier sollten die Lernenden nicht mecha­
nisch die Regler verändern, sondern gezielt
Frage­stellungen untersuchen. Beispiel:
1. Gib deinem Partner eine Gleichung in der
Form x 2 + p x + q an, die 2 Lösungen hat. Die
Kontrolle erfolgt rasch mit dem Computer. Die
Lösungen können zusätzlich noch (näherungs­
weise) abgelesen werden.
DO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:34 Seite: 13 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 36 – 39
2. Untersuchungen, wie im Experiment vorge­
schlagen. Die vorgeschlagene Untersuchung lie­
fert die Berechnung der x-Koordinate des Schei­
tels aus den Nullstellen.
8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung
Intention der Lerneinheit
– Eine beliebige quadratische Gleichung mithilfe
der quadratischen Ergänzung lösen.
– Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen
ableiten können.
– Quadratische Gleichungen in die Normalform
überführen.
– Lösungen quadratischer Gleichungen mithilfe
der Lösungsformel bestimmen.
– Die Bedeutung der Diskriminante kennen und
mit ihrer Hilfe die Anzahl der Lösungen quadrati­
scher Gleichungen bestimmen.
– Grafische und rechnerische Lösungsverfahren
von quadratischen Gleichungen zueinander in
Beziehung setzen.
Einstiegsaufgabe
Die praxisnahe Sachaufgabe führt unmittelbar
zu einer gemischt quadratischen Gleichung. Das
Anfertigen einer Skizze mit Teilrechtecken ist hier
hilfreich. Mithilfe der quadratischen Ergänzung
können die Lösungen bereits bestimmt werden.
Je nach Leistungsstärke der Lerngruppe kann der
Rechenweg gemeinsam oder in differenzierender
Form anstatt mit konkretem Zahlenmaterial mit
Formvariablen durchgeführt werden und so die
Lösungsformel abgeleitet werden. Ein Vergleich
der Anzahl und Komplexität der Rechenschritte be­
leuchtet die Sinnhaftigkeit der Lösungsformel. Auch
können Wettrechnungen den Unterschied verdeut­
lichen. Die Einführung der Begriffe Normalform und
p-q-Formel erleichtert die Kommunikation über die
Rechenwege.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Zumindest bei den ersten Anwendungen ist es
äußerst wichtig, vor dem Einsetzen in die Lösungs­
formel die Koeffizienten p und q notieren zu lassen,
und zwar unter besonderer Beachtung der jewei­
ligen Vorzeichen. Hier ist der Einsatz von Farben
hilfreich.
Wichtig ist auch die die Beachtung des doppelten
Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen, falls der
Koeffizient q negativ ist. Es kann den Rechengang
beschleunigen und Fehler vermeiden helfen, wenn
herausgearbeitet wird, dass die Terme – p/2 und
p2/4 zueinander wie eine Zahl und deren Quadrat­
zahl stehen.
Das < Serviceblatt „Gleichungs-Salat“, Seite S 14
grenzt die Lösungswege und Umformungsschritte
für lineare und quadratische Gleichungen gegenei­
nander ab.
Die < Serviceblätter „Typische Fehler bei einfachen
gemischt quadratischen Gleichungen“, Seite S 15,
und „Typische Fehler bei schwierigen gemischt
quadratischen Gleichungen“, Seite S 16, dienen zur
Analyse und Vermeidung typischer systematischer
Fehler.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5
Operative Übungen: A 9; 12
Kumulative Aufgaben: A 6; 7; 8; 10; 11; 13; 15; 16; 17;
18; 19; 20; 21; 24; 25
Komplexe Aufgaben: A 14; 22; 23; 26; 27
3 und 4 Hier finden die unter „Tipps und Anregun­
gen“ gemachten Ausführungen Berücksichtigung.
9 Die Schülerinnen und Schüler können sowohl
durch klassisches Lösen der Gleichungen als auch
durch Untersuchen der Diskriminanten zum Ergeb­
nis kommen. Letzteres Vorgehen führt wesentlich
schneller und sicherer zum Ziel.
12 Die offen gehaltene Aufgabenstellung überlässt
es den Lernenden, ob sie mithilfe der Lösungsfor­
mel oder aber durch systematisches Probieren die
richtigen Zuordnungen treffen.
15 In dieser Aufgabe kommen auch rein quadrati­
sche Gleichungen mit konstantem Glied vor. Es ist
wichtig, auch die Verwendung anderer Methoden
als der Lösungsformel wachzuhalten. Denn das
unreflektierte Einsetzen einer einmal gelernten For­
mel schafft in manchen Fällen mehr Aufwand und
ein erhöhtes Fehlerrisiko und steht einem tieferen
Verständnis des eigenen Handelns entgegen.
18 Falls die Strahlensätze nicht mehr allen Ler­
nenden präsent sind, empfiehlt es sich, die Wieder­
holungsaufgaben auf Seite 16 im Schülerbuch zu
behandeln.
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 13
DO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:35 Seite: 14 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Magenta
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Schülerbuchseite 39 – 41
24 Auch hier können zur Wiederholung des Stoffes
die Aufgaben auf Seite 18 im Schülerbuch einge­
setzt werden.
Satz von Vieta
Der Methodenkasten thematisiert den Zusam­
menhang zwischen Koeffizienten und Lösungen
einer quadratischen Gleichung. Die Lernenden
werden zunächst aufgefordert, eine Tabelle zu
untersuchen und die Auffälligkeiten zu beschrei­
ben. Dabei gelingt es den Lernenden meist, den
Zusammenhang zwischen Lösungszahlen und
p und q anhand der angebotenen Beispiele zu
entdecken. Die Formulierung des Satzes kann
also von den Schülerinnen und Schülern selbst
vorgenommen werden.
3.Berechnen der Lösungen aus den
­Koeffizienten p und q
Hierzu dient die Umkehrung des Satzes: Wenn es
zu den Koeffizienten p und q zwei Zahlen x1 und
x2 gibt mit p = – x1 – x2 und q = x1 · x2 , dann
sind diese Lösung der Gleichung.
Beispiel: x 2 – 8 x + 15 = 0
Es gilt 5 · 3 = 15 und 5 + 3 = 8. Somit sind 3
und 5 die Lösungen.
Der Satz des Vieta lässt sich durch Einsetzen in
die Normalform beweisen:
Behauptung: Für x 2 + p x + q = 0 gilt
Å. – x1 – x2 = p und
2. x1 · x2 = p
Die p-q-Lösungsformel besagt: __
p
Die Überprüfung ihrer Vermutung an schon ge­
lösten Beispielen macht den Schülerinnen und
Schülern gleich eine sinnvolle Anwendung des
Satzes deutlich.
Das Ermitteln der Lösung mithilfe des Satzes
­(siehe Ausführungen unten) ist eine Zusatzauf­
gabe für Schülerinnen und Schüler mit gutem
Zahlverständnis. Das heuristische Hilfsmittel der
Tabelle unterstützt die Lösungsfindung:
Beispiel: x 2 + 2 x – 80 = 0
p
__
x1 = – ​ _2 ​ + ​√D ​ ; x2 = – ​ _2 ​ – ​√D ​  
(D: Diskriminante)
Beweis von 1:
2 
__
p
3 2 
__
p
3
– x1 – x2 = – ​ – ​ _2 ​ + ​√D ​  ​ – ​ – ​ _2 ​ – ​√D ​  ​
__
__
p
p
+ ​ _ ​ – ​√D ​ + ​ 
  _ ​ + ​√ D ​ =
 
= 2
Beweis von 2:
2
__
p
__
x1 · x2 = q
x1
x2
– (x1 + x2) = p
– 80
– 5
Å6
– ÅÅ
– 80
– Å
80
– å9
– 80
Å
– 80
å9
2  p
3 2  p
3
p 2
p 2
= ​​2 – ​ 2 ​ 3​​ ​ – D | D = ​​2 ​ 2 ​ 3​​ ​ – q
p 2
p 2
= ​​2 – ​ 2 ​ 3​​ ​ – ​2 ​​2 ​ 2 ​ 3​​ ​ – q 3​
p 2
p 2
= ​​2 – ​ 2 ​ 3​​ ​ – ​​2 ​ 2 ​ 3​​ ​ + q
– 80
8
– Å0
2
=q
x1 · x2 = ​ – ​ _2 ​ + ​√D ​  ​ · ​ – ​ _2 ​ – ​√D ​  ​
_
 
_
 
_
 
_
 
_
 
_
 
Die Gleichung hat die ganzzahligen Lösungen 8 und – 10.
Der Satz und seine Umkehrung lassen sich viel­
fältig anwenden:
1.Aufstellen einer quadratischen Gleichung
zu vorgegebenen Lösungen
Beispiel:
Gesucht ist eine quadratische Gleichung mit den
Lösungen x1 = – 2 und x2 = 1:
p = – x1 – x2 = (– 2) – 1 = + 1
q = x1 · x2 = (– 2) · 1 = – 2
Gleichung: x 2 + x – 2 = 0
2. zur Lösungskontrolle
K 14 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Verschiedene Lösungsverfahren …
Dieser Kasten schließt den Kreis zum gesamten
Kapitel. Zu Beginn des Kommentars zum Kapi­
tel wurde auf den sehr engen Zusammenhang
zwischen quadratischen Funktionen und Glei­
chungen hingewiesen. Hier wird nun gegen­
überstellend aufgezeigt, dass eine nach unten
verschobene Normalparabel zwei Nullstellen
hat und somit die zugehörige quadratische
Gleichung zwei Lösungen hat, erkennbar an der
Diskriminante. Entsprechend hat eine nach oben
verschobene Normalparabel keine Nullstellen,
die zugehörige Gleichung also keine Lösung, die
Diskriminante ist negativ, der Wurzelterm also
nicht radizierbar. Eine nur seitlich oder gar nicht
verschobene Normalparabel berührt die x-Achse
in einem Punkt mit den Koordinaten (-d|0), dar­
aus resultiert eine Lösung der entsprechenden
Gleichung.
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Schülerbuchseite 42
9 Modellieren
Intention der Lerneinheit
Reale Situationen mithilfe von Mathematik be­
schreiben können (modellieren)
Exemplarischer Kommentar
Die Kompetenz „Mathematisch modellieren“
Die Realität ist meist zu komplex, um mathema­
tische Verfahren direkt anwenden zu können.
Beim Modellieren geht es darum, reale Situatio­
nen so zu vereinfachen, dass sie durch ein be­
kanntes mathematisches Modell näherungsweise beschrieben werden können. Modell bedeu­
tet dabei eine vereinfachte Darstellung der Reali­
tät, die nur die wichtigsten, für die jeweiligen
Frage­stellungen relevanten Teilaspekte berück­
sichtigt. Im Schülerbuch ist eine vereinfachte
Kreislaufdarstellung des komplexen Modellie­
rungsprozesses dargestellt. Jeder dort aufgeführte
Schritt verlangt von den Lernenden bestimmte
Fähigkeiten, die man als Teil­kompetenzen be­
zeichnen kann:
– Verständnis eines realen Problems,
– Erstellung eines (vereinfachten) Realmodells,
–Zuordnung eines geeigneten mathematischen
Modells,
–Kompetenzen zur Handhabung des mathema­
tischen Modells,
–Interpretation der gefundenen mathemati­
schen Lösungen in Bezug zur Realität,
– Validierung der gefundenen Lösung.
Dabei gehört die Berechnung mithilfe des mathe­
matischen Modells nicht zur Kompetenz „Model­
lieren“, sondern eher zur Kompetenz „mit sym­
bolischen, formalen und technischen Elementen
der Mathematik umgehen“. Ebenso erfordert der
erste Teilschritt (die Realsituation verstehen) die
Kompetenz „mathematisch kommunizieren“. Für
das Modellieren charakteristisch sind die Überset­
zungsprozesse, die die Lernenden leisten müssen.
Das im Schülerbuch angegebene Schema ist
insofern idealtypisch, als es häufig nicht vollstän­
dig (im Sinne eines Algorithmus) durchlaufen
wird. Oft stellt man z. B. schon beim Berechnen
fest, dass das Modell nicht geeignet ist, bricht
den Prozess ab und beginnt von vorne, das heißt
sucht ein geeigneteres Modell.
Einstiegsaufgabe
Die Aufgabe hat einen echten Anwendungsbezug.
Aller­dings betrachtet sie nur einen kleinen Teil­
aspekt des Modellierens, nämlich das Mathemati­
sieren. Die Höhe des Scheitelpunktes der Parabel
über der Wasseroberfläche ist nicht bekannt und
muss von den Lernenden anhand der Skizze sinn­
voll überlegt werden.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Die Aufgaben im Schülerbuch trainieren vor allem
die für den Modellierungsprozess notwendigen
Teilkompetenzen. Für ein Verständnis sollten auch
komplexe Aufgaben bearbeitet werden, die ein
Durchlaufen des gesamten Prozesses erfordern. Da­
bei ist es ein Irrglaube, dass zuerst alle Teilkompe­
tenzen geschult werden müssen, bevor der Gesamt­
prozess geleistet werden kann. Erfahrungen zeigen,
dass der Unterrichtserfolg am größten ist, wenn
beide Aufgabentypen parallel bearbeitet werden.
Dabei dienen Aufgaben, die spezielle Teilkompeten­
zen trainieren, dazu, bei auftretenden Problemen
diese gesondert zu üben. Die folgende Aufgabe ist
eine nahezu authentische Aufgabenstellung, an der
sich alle Modellierungsschritte verdeutlichen lassen:
Exkurs
Beispiel einer Modellierungsaufgabe
Herr Claus wohnt in Andernach. Er fährt an jedem
Arbeitstag mit seinem Golf Diesel 13 km zu seiner
Arbeitsstelle im Gewerbepark Mülheim-Kärlich. Er
überlegt, ob er zum Tanken die örtliche Marken­
tankstelle (1 Liter Diesel = 1,249 €) oder die 6 km
entfernte „freie Tankstelle“(1 Liter Diesel 1,199 €)
anfahren soll.
a) Ab welcher Tankgröße lohnt sich die Fahrt?
Begründe mathematisch.
b) Wie wird sich Herr Claus entscheiden?
­Begründe deine Meinung.
Im Folgenden werden die notwendigen Teilkom­
petenzen ausführlich betrachtet:
1. Verständnis des realen Problems:
Dies ist für die Lernenden kein Problem, da die
Aufgabenstellung in ihrem Erfahrungsbereich
liegt.
2. Erstellung eines (vereinfachten) Realmodells.
Die Situation muss vereinfacht, idealisiert und
strukturiert werden. Dazu müssen plausible An­
nahmen gemacht werden:
–Tankgröße ca. 50 Liter. Er ist nicht leer gefahren. Annahme: Herr Claus tankt 40 Liter.
–Ölverlust, Reifenabnutzung usw. wird vernach­
lässigt.
–Der Verbrauch des Golf wird mit ca. 6 Liter
veranschlagt.
–„Lohnen“ wird vereinfacht als Kostenersparnis
interpretiert.
3. Zuordnung eines geeigneten mathematischen
Modells:
Funktionsgleichungen, Funktionsgraphen, Glei­
chungssysteme.
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 15
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Schülerbuchseite 42 – 44
4. Kompetenzen zur Handhabung des mathema­
tischen Modells:
Ist im Wesentlichen die Kompetenz „mit symboli­
schen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen“. Eine mögliche Lösung
könnte so aussehen:
Kosten Markentankstelle: y = 1,249 · x (x = Tank­
menge)
Fahrtkosten zur Tankstelle bei einem angenom­
menen Verbrauch von 6 ø / 100 km:
6 12 · ​ _
​ = 0,72 ø.
100    
0,72 · 1,199 = 0,86 €
Kosten freie Tankstelle: y = 1,199 · x + 0,86
Bestimmung, ab welcher Tankgröße die Kosten
gleich sind:
Das Modell „Graphen zeichnen“ wird vielleicht als
Erstes gewählt. Es muss dann jedoch verworfen
werden, weil die erforderliche Genauigkeit nicht
gewährleistet ist. Es muss ein Wechsel zur algeb­
raischen Schnittpunktbestimmung erfolgen: 1,249 x = 1,199 x + 0,86
x = 17,3 ø
5. Interpretation der gefundenen mathemati­
schen Lösungen in Bezug zur Realität:
Die Lernenden entscheiden, ob sich der Umweg
lohnt. Ab 17,3 ø Tankfüllung ist dies der Fall.
6. Validierung der gefundenen Lösung:
Zusätzliche Aspekte (z. B. Zeitverlust, ökologische
Bedeutung …) müssen berücksichtigt werden.
Kosten für 40 Liter:
Markentankstelle: y = 1,249 · 40 = 49,96 €
Freie Tankstelle: y = 1,199 · 40 + 0,86 = 48,82€
Für 1,19 € lohnt sich der Zeitaufwand unter Be­
rücksichtigung zusätzlicher Kosten wie Wert­
verlust, Reifen- und Ölverbrauch (nicht?). Hier
erweist sich vor allem die getroffene Vereinfa­
chung „lohnen entspricht einer Kostenersparnis“
als problematisch.
Hinweis: Der Modellierungsaufwand kann durch
Weglassen von notwendigen Daten (z. B. die Die­
sel­preise) noch erhöht werden, weil dann die
Lernenden diese sinnvoll annehmen bzw. recher­
chieren müssen.
Alternativer Einstieg
Als alternativer Einstieg bietet sich das Beispiel aus
dem Exkurs oder das ausführliche Lösungsbeispiel
aus dem Schülerbuch an, da hier mehrere Teilas­
pekte betrachtet werden und das Gesamtproblem
wesentlich komplexer ist.
Aufgabenkommentare
In den Aufgaben werden nur Teilaspekte berücksich­
tigt. Die folgende Aufstellung gibt einen Überblick:
K 16 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen
1 Handhabung des mathematischen Modells
2 Zuordnung eines geeigneten mathematischen
Modells
3 Handhabung des mathematischen Modells
4 a) verlangt nicht nur die Handhabung des Mo­
dells, sondern auch noch eine Interpretation (Höhe
des Schwerpunktes ungleich Sprunghöhe.)
b) Handhabung des Modells (Zuordnungsaspekt)
Die Aufgabe lässt sich erweitern:
Der Springer möchte 2,60 m hoch springen. Die Fra­
gestellung bedingt nicht nur eine Änderung des ad­
ditiven Gliedes, sondern auch die Form der Para­bel
(steilerer Absprungswinkel) muss überdacht und in
Beziehung zur Absprungsentfernung gesetzt werden.
5 a), b) trainieren die Handhabung des gegeben
mathematischen Modells (Zuordnungsaspekt).
c) erfordert eine kleine Modellierung (die Höhe des
Autos ist unbekannt)
d) erfordert die Interpretation der Graphen
e) erfordert die Zuordnung und die Handhabung
­eines mathematischen Modells (Die Nullstellen
müssen bestimmt werden.)
6 Zuordnung eines geeigneten mathematischen
Modells
7 Handhabung des mathematischen Modells
a), b), c) betrachten vor allem den Zuordnungsas­
pekt. Teilaufgabe d) erfordert eine gewisse Interpre­
tation des mathematisch errechneten Ergebnisses
(Der Gegenspieler kann z. B. hochspringen.)
8 a) erfordert die Zuordnung und die Hand­habung
eines mathematischen Modells (Die Nullstellen
müssen bestimmt werden.)
b) Handhabung der gegebenen Funktionsgleichung
DGS III
Hier kann der Computer seine Stärken entfalten.
Die Teilkompetenz Zuordnung eines mathemati­
schen Modells kann rasch optimiert werden.
Das Problem der mangelnden Passung von ma­
thematischem Modell und realer Situation wird
visuell deutlich und fordert eine Interpretation
heraus. So kann das Modell Aspekte der Realität
wie Luftwiderstand oder sich verändernde Kör­
perhaltungen nicht angemessen berücksichtigen.
Die Lernenden können anhand der Interpreta­
tion die Gültigkeit bzw. die Grenzen des jewei­
ligen mathe­matischen Modells bewerten, das
heißt, das Modell validieren.
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Schülerbuchseite 46 – 49
Üben • Anwenden • Nachdenken
Fast alle Aufgaben sind Grundaufgaben bzw.
kumu­lative Aufgaben, die die im Kapitel gelernten
Rechenverfahren festigen und überprüfen. Die
Lernen­den sollten diese problemlos lösen können.
Ausnahmen sind die folgenden komplexen Auf­
gaben:
– Aufgabe 11 verlangt ein erhöhtes Maß an Rechen­
technik.
– Die Aufgaben 13 und 17 sind kumulative Aufga­
ben, die die Anwendung des Satzes von Pythago­
ras im Koordinatengitter erfordern.
d) Ändert sich an diesem „Sicherheitsabstand“
etwas bei nasser Fahrbahn (a = 5,5 m/s 2)?
­Begründe deine Meinung.
e) Gerd meint, dass zwischen Geschwindigkeit
und Bremsweg ein proportionaler Zusammen­
hang besteht.
Å) Nimm Stellung.
2) Stelle den Zusammenhang v ¥ Bremsweg s in
einem Koordinatengitter dar.
f) In der Fahrschule lernt Petra eine einfache
v 2
„Faustformel“ für den Bremsweg: s = ​​2 ​ _
10  ​ 3​ ​ ​ (v in km/h; s in m). Nimm Stellung.
3 Die Aufgabenstellung zielt auf einen typischen
27 Die Forderung nach der Verbalisierung erhöht
Fehler. Das Vorliegen einer Normalparabel wird
mithilfe der Schablone ohne Rücksicht auf die
Skalierung festgestellt. Durch das Weglassen des
Zusatzes „Beachte die Wahl der Einheiten“ können
die Schüler zusätzlich zum mathematischen Argu­
mentieren angeregt werden.
das Anforderungsniveau deutlich.
Bremsen und Bremsweg
Die Thematik bietet sich aus drei Gründen an:
Å. Die verwendeten Formeln sind zumindest teil­
weise aus dem Physikunterricht bekannt.
2. Die Problematik ist authentisch und liegt im
Interessenbereich der Altersstufe.
3. Authentische Anwendungsaufgaben aus dem
Bereich quadratische Funktionen sind selten.
Die Aufgabenstellung erfolgte recht eng. Alle zur
Berechnung notwendigen Angaben können dem
Text entnommen werden. Modellierungsprozesse
sind nicht notwendig. Eine selbstständige Bear­
beitung (z. B. in der Hausaufgabe) sollte deshalb
möglich sein.
Die Thematik lässt sich jedoch auch anspruchs­
voller behandeln. Durch Weglassen von Daten
und veränderte Aufgabenstellung können schö­
ne Modellierungsaufgaben durch die Lehrperson
entworfen werden. Beispiel:
Herr Meyer fährt auf der Autobahn mit 120 km/h
10 m hinter einem Fahrzeug her. Plötzlich bremst
(a = 7 m/s 2 ) dieses Fahrzeug bis zum Stand ab.
Herr Meyer besitzt denselben Fahrzeugtyp.
Kommt es zum Auffahrunfall?
a) Begründe deine Meinung.
b) Welchen Abstand hätte er einhalten sollen,
damit er rechtzeitig bremsen kann?
c) Klaus meint, dass bei halber Geschwindigkeit
auch nur die Hälfte an „Sicherheitsabstand“ nötig
ist.
28 Hierbei handelt es sich um eine offene Aufga­
benstellung, die durch systematisches Probieren
richtige (Teil-)Lösungen liefert. Das Operieren mit
der Variablen a trainiert die Kompetenz Umgang
mit symbolischen, formalen und technischen Ele­
menten. Vor allem die Lösung von Teilaufgabe c)
erfordert dieses. Die anderen Teilaufgaben können
auch mithilfe logischer Argumentationsketten
begrün­det werden.
1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 17
DO01742602_K02_018_029.indd 25.06.2010 08:54:07 Seite: 18 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 52 – 75
2 Potenzen
Kommentare zum Kapitel
Der systematische Aufbau der Algebra wurde im
siebten Schuljahr begonnen und wird nun weiter­
geführt. Ausgehend von den in den Klassen 7 und
8 ausgebildeten Grundvorstellungen für die zweite
(Flächeninhalt) und dritte Potenz (Volumen) erfolgt
eine Systematisierung und daraus resultierend die
Formulierung von Potenzrechengesetzen.
Methodisch bedient sich der Kapitelaufbau eines
­typischen Vorgehens bei der Verallgemeinerung
eines mathematischen Begriffs: Die in den vor­
angegangenen Klassen auf anschaulicher Basis
gewonnenen Einsichten werden zunächst auf Po­
tenzen mit natürlichen Exponenten übertragen.
Die Erweiterung auf ganzzahlige bzw. gebrochene
Exponenten erfolgt dann durch Anwendung des
Hankelschen Permanenzprinzips.
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Potenzen wurden bereits in den vorangegangenen
Schuljahren behandelt. Neu ist hier die systemati­
sche Betrachtung der einzelnen Gesetze und de­
ren Übertragung auf komplexe Terme. Wichtige
Verwendungsweisen der Potenzschreibweise wie
beispielsweise die wissenschaftliche Schreibweise
(scientific notation) bzw. die technische Notation
für sehr große und sehr kleine Zahlen sind zentral
in den Lehrgang integriert, um den Realitätsbezug
und die Praxis­relevanz der Potenzschreibweise her­
vorzuheben.
Die Auftaktseite reaktiviert den Potenzbegriff und
verbindet ihn mit passenden Größenvorstellungen.
Für das Arbeiten mit Potenzen – insbesondere bei
der Darstellung großer und kleiner Zahlen mithilfe
der Zehnerpotenzschreibweise – sollte eine Vor­
stellung von der Größe dieser Zahlen entwickelt
werden, da die Größenunterschiede in der Potenz­
schreibweise für die Lernenden zunächst wenig
deutlich werden.
Lerneinheit 1 Potenzen wiederholt und vertieft den
Potenz­begriff für natürliche Exponenten.
In Lerneinheit 2 Potenzen mit gleicher Basis werden
die Rechengesetze für ­Potenzen mit gleicher Basis
betrachtet. Die drei ­Gesetze am · an = am + n, am : an = am – n und (am) n = am · n werden erarbeitet.
Nega­tive Exponenten werden eingeführt.
In Lerneinheit 3 Sehr groß – sehr klein steht die
wissenschaftliche Schreibweise (scientific notation)
im Mittelpunkt. Ebenso werden Maßeinheiten für
besonders große und kleine Größen eingeführt.
K 18 2 Potenzen
Lerneinheit 4 Potenzen mit gleichen Exponenten behandelt Potenzen mit gleichen ­Exponenten: an · bn = (a b) n bzw. an : bn = ​​2 _​ ba ​ 3 n​​ ​
Lerneinheit 5 erklärt den Zusammenhang zwischen
Potenzen mit gebrochenen Exponenten und Wur­
zeln. Auch die n-te Wurzel wird eingeführt.
Lerneinheit 6 fasst die Eigenschaften von Potenz­
funktionen zusammen und erklärt Wendeparabeln
und Hyperbeln.
Bezug zum Lehrplan
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche
Zahl und Zahlbereiche
Die Schülerinnen und Schüler können:
– Potenzieren und entsprechende Umkehrungen:
Die Erweiterung von Potenzen auf negative Ex­
ponenten erläutern und dabei notwendige Defi­
nitionen beachten.
– Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise darstellen
und damit umgehen.
– Potenzgesetze bei Termumformungen anwenden.
– Zusammenhänge zwischen Potenzieren und Wur­
zelziehen erkennen, interpretieren und nutzen.
funktionaler Zusammenhang
Die Schülerinnen und Schüler können:
– Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Potenzfunktionen und Zusammenhänge mit den
Funktionstermen beschreiben
– Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
(Symmetrie, Definitions- und Wertemenge, Mo­
notonie und Asymptote)
– Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph
einer Potenzfunktion der Form f (x) = a (x + b) 2 + c herstellen
Präsentations- und Referatsthemen
Sehr groß – sehr klein
Die Bedeutung der Thematik Sehr groß – sehr klein
(Lerneinheit 3, Schülerbuchseite 59 – 61) lässt sich
anhand von Anwendungen in Naturwissenschaft
und Technik aufzeigen. Das Schaufenster Maßeinheiten für Riesen und Zwerge (Schülerbuchseite 61)
und das Thema Mega und Nano (Schülerbuchseite
72 und 73) bieten hierfür Anregungen.
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Schülerbuchseite 52 – 55
Auftaktseite: Kann es sein, dass …
Aufgabenkommentare
Unterschiedliche Tätigkeiten vermitteln eine Vor­
stellung für das typische Wachstum von Potenz­
funktionen.
Die Wirkung der überraschenden Ergebnisse wird
durch den Fragecharakter noch verstärkt. Die Auf­
gaben reaktivieren in Verbindung mit dem wieder­
holenden Infokasten die Definition der Potenz­
schreibweise und führen so direkt zu den ­Inhalten
der folgenden Lerneinheit 1 Potenzen.
Die letzte Aufgabe ​10​ (10 )​ der Auftaktseite sollte
nicht mithilfe des entsprechenden Potenz­gesetzes,
das den Lernenden noch nicht bekannt ist, gelöst
werden. Die Lösung ergibt sich vielmehr durch
­logisches Schließen. Dabei hilft die ­Angabe
1010 = 10 000 000 000 im Schülerbuch. ​10​ (10 )​ ­bedeutet somit 1010 000 000 000, also eine 1 mit
10 000 000 000 Nullen. Nach Lerneinheit 2 Potenzen
mit gleicher ­Basis kann die Aufgabe erneut betrach­
tet werden.
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5; 6
Operative Übungen: A 7; 8; 9; 10; 11
Kumulative Aufgabe: A 9
Anwendungsaufgabe: A 14
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 12; 13; 15; Randspalte
10
1 Die Aufgabe thematisiert einen typischen Feh­
ler bei der Potenzschreibweise: Multiplizieren und
Potenzieren werden verwechselt.
10
1 Potenzen
Intention der Lerneinheit
Die Potenzschreibweise ist aus dem früheren Unter­
richt bekannt. Neu sind Potenzen mit negativer
­Basis bzw. mit Brüchen als Basis.
Schwerpunkte:
– die Definition a n = a · a · a … (n Faktoren) ken­
nen
– die Begriffe Basis, Exponent und Potenz kennen
und anwenden
– eine Vorstellung für das Wachstum der Potenz­
funktion entwickeln
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe knüpft an die Überlegungen
der Auftaktseite an und führt zur Exponentialfolge
der Basis 2. Die Länge der für das 20. Feld notwen­
digen Multiplikationsaufgabe macht die Vorteile der
Potenzschreibweise deutlich.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Die Lernenden sollten bestimmte Potenzwerte
im Hinblick auf das teilweise Wurzelziehen aus­
wendig wissen.
– Der Fall a 0 = 1 wird erst im Infokasten der Lern­
einheit 2 Potenzen mit negativer Basis im Rah­
men von Permanenzbetrachtungen geklärt.
5 Der Aufgabe kommt eine besondere Bedeutung
im Hinblick auf die wissenschaftliche Schreibweise
zu.
8 Bei den Termen – 33 und (– 3) 3 ist die falsche In­
formationsaufnahmen aufgrund flüchtiger Betrach­
tung eine typische Fehlerquelle.
10 und 11 Die Aufgabenstellung macht vor allem
das rasche Ansteigen bzw. Fallen der Potenzfunkti­
onen deutlich.
12 Die Aufgaben sollten ohne Taschenrechner
gelöst werden, da nur so der Aufbau eines Zahlver­
ständnisses gefördert werden kann.
Teilaufgabe b) bereitet zusätzlich die Einführung
irrationaler Zahlen im Rahmen der Quadratwurzeln
vor. Bei Wurzeln (keine Quadratzahl als Radikand)
gibt die letzte Ziffer der Taschenrechneranzeige
den Hinweis, dass der angezeigte
Wurzelwert nicht
__
­exakt stimmen kann. Bsp. ​√3 ​ : Die letzte Ziffer ist
eine 8. Dies kann jedoch nicht sein, da sich beim
Quadrieren als letzte Ziffer eine 4 und keine Null
ergibt.
Hinweis: Der Taschenrechner gibt die Lösungen in
der noch unbekannten wissenschaftliche Schreib­
weise bzw. gerundet an.
14 Hier wird eine Überlegung mithilfe der Potenz­
schreibweise erwartet:
– In einer halben Stunde verdoppeln bedeutet
eine Vervierfachung pro Stunde. Nach sechs
Stunden ergibt sich somit die Anzahl 700 · 46 = 2 867 200.
– Sechs Stunden sind zwölf halbe Stunden. Somit
ergeben sich nach sechs Stunden 700 · 212 = 2 867 200.
2 Potenzen K 19
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 55 – 59
Hier kann sich die interessante Fragestellung er­
geben, warum 212 = 46 ist. Eine Erklärung kann
spätestens nach Lerneinheit 4 Potenzen mit gleichen
Exponenten erfolgen:
46 = (2 · 2) 6 = 26 · 26 = 212
Allgemein gilt für a = x 2:
an = (x · x) n = x n · x n = x 2 n
Teilaufgabe b) kann (noch) nicht mithilfe algebrai­
scher Umformungen, sondern durch systematisches
­Probieren gelöst werden.
2 Potenzen mit gleicher Basis
Intention der Lerneinheit
In dieser Lerneinheit werden die drei Potenzge­
setze für Potenzen mit gleicher Basis anhand kon­
kreter Rechnungen entwickelt und anschließend
bewiesen. Dabei gelten die Gesetze für die Multi­
plikation für alle reellen Zahlen als Basis. Bei der
Division wird nur der Fall m > n betrachtet.
Schwerpunkte:
– die Potenzgesetze kennen, formulieren und an­
wenden
– die Beweise der Potenzgesetze nachvollziehen
Einstiegsaufgabe
Anhand der Einstiegsaufgabe und des folgenden
Lehrtextes kann eine typische mathematische Ver­
fahrensweise trainiert werden:
1. Behauptung anhand von Rechenbeispielen auf­
stellen
2. Behauptung an weiterem Zahlenmaterial über­
prüfen
3. Behauptung allgemein mithilfe von Variablen
formulieren
4. Behauptung durch algebraische Umformungen
beweisen (im Schülerbuch als Teil des Lehr­
textes)
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Man sollte nicht alle drei Gesetze in einer Stun­
de einführen, sollte aber dennoch auf einen
engen zeitlichen Zusammenhang achten (vgl. Ex­
kurs: Typische Fehler beim Rechnen mit Poten­zen,
Seite K 22).
– Die Lernenden können die Beweise selbst erar­
beiten. Meist genügt als Hilfestellung ein kurzer
Hinweis auf die Bedeutung der Potenzschreib­
weise.
– Das < Serviceblatt „Tandembogen: Potenzen mit
gleicher Basis“, Seite S 17, bietet einen Tandem­
bogen für erste Übungen.
– Aufgaben zur Wiederholung der binomischen
Formeln bietet das < Serviceblatt „Rund um die
binomischen Formeln“, Seite S 18.
K 20 2 Potenzen
– Ob der Rechner 5150 berechnen kann, hängt vom
verwendeten Rechenprogramm ab. Die meisten
aktuellen Schulrechner können bis zu 100 Stellen
berechnen und somit näherungsweise noch 5143 = 8,9683 · 1099 bestimmen. Mit MS-Excel®
können wesentlich höhere Potenzen berechnet
werden, z. B. bis zu 5441 = 1,76 · 10308.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 4; 5; 21
Operative Übungen: A 3; 6; 9; 10; 11; 15; 22; 23; 25
Kumulative Aufgabe: A 12; 16; 17; 18
Komplexe Aufgaben: A 4; 5; 14; 19; 20; 24; Schau­
fenster Potenzen würfeln
Anwendungsaufgaben: A 7; 8
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 3; 13; 26
3 Die Aufgabenstellung wirkt einer Übergenera­
lisierung der Regel entgegen. Zusätzlich sollte her­
ausgearbeitet werden, dass es für die Additionsauf­
gaben keine Regel für das Zusammenfassen gibt.
13 Hier werden unterschiedliche Kompetenzen
(Anforderungsniveau II) trainiert. Beispiele für Auf­
gaben:
Mathematisch denken:
Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erken­
nen und beschreiben: Die Lernenden müssen die
Gesetzmäßigkeit erkennen und die Reihe entspre­
chend erweitern.
Mathematisch argumentieren:
Einen Lösungsweg begründen und Vermutungen
begründet äußern: Anhand eines Beispiels (33 + 33 + 33 = 34) soll die Gesetzmäßigkeit mit der
Fachsprache allgemein formuliert (n · n n = n n + 1) und die Gültigkeit mithilfe des entsprechenden
Potenz­gesetzes begründet werden.
Probleme mathematisch lösen:
Vorgegebene Probleme bearbeiten, Lösungs- und
Kontrollverfahren ausarbeiten: Die Gesetz­mäßig­keit
mithilfe von Zahlenbeispielen über­prüfen.
3 Sehr groß – sehr klein
Intention der Lerneinheit
– die Exponentenschreibweise für sehr kleine und
sehr große Zahlen kennen und anwenden
– die Exponentenschreibweise beim Arbeiten mit
dem Taschenrechner verwenden
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 59 – 62
– die zur Exponentenschreibweise passenden Vor­
silben (kilo; mega … bzw. milli; mikro; …) ken­
nen und verwenden
Einstiegsaufgabe
Für die Bearbeitung der Einstiegsaufgabe empfiehlt
sich Partner- oder Kleingruppenarbeit, damit wei­
terführende Diskussionen stattfinden können. Die
Lernenden sollten sich Notizen zu den Taschenrech­
neranzeigen machen, sodass diese im folgenden
Unterrichtsgespräch aufgearbeitet werden können.
Die Motivation für den Einstieg erfolgt anhand
eines Wachstumsvorgangs, der eine Größenvorstel­
lung mit der neuen Schreibweise (scientific notation)
verbindet. Nach vier Schritten zeigt der Rechner
65 536 an. Schon im nächsten Schritt erfolgt bei
manchen Rechnern der Wechsel in die scientific
notation: 4,295 09). Das Weiterrechnen ist noch
weitere drei Schritte möglich. Danach wird error an­
gezeigt. Nach dem Vergleich wird zunächst die Ex­
ponentenschreibweise für große Zahlen eingeführt.
Dies kann in den folgenden Schritten erfolgen:
Å. Ausgangspunkt ist die Taschenrechneran­
zeige 4,295 09. Zuerst wird der Zusammen­
hang der Anzeige 09 zu den Stufenzahlen
10; 100; 1000; … hergestellt. Dazu werden diese
als Zehnerpotenzen geschrieben.
2. Die Zahl 4,295 · 109 wird als 4 295 000 000 inter­
pretiert.
3. Weitere Zahldarstellungen, die sich bei den Tätig­
keiten der Einstiegsaufgabe ergeben haben, wer­
den interpretiert.
4. Die Eingabe solcher Zahlen in den Taschenrech­
ner wird behandelt.
5. Die Rundungsproblematik wird besprochen.
Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass der Vor­
gänger (65 536) als letzte Ziffer eine 6 hat. Beim
Quadrieren muss sich als letzte Ziffer erneut eine
6 ergeben.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Für das Verständnis der scientific notation ist
eine Vorstellung für die Größe der Zahlen ganz
entscheidend, da die Schreibweise Größenunter­
schiede wenig deutlich werden lässt. Mögliche
Aufgabenstellungen dazu sind: Umformen in
eine Zahl ohne Potenzen, Veranschaulichung in
Sachzusammenhängen, Rechnungen und Über­
legungen, die das Vorstellungsvermögen fordern
(wie z. B. die Hälfte einer Zahl in der Exponenten­
schreibweise angeben).
– Vor der Behandlung der Schreibweise für sehr
kleine Zahlen sollten erste Übungen die neu ge­
lernte Schreibweise für große Zahlen festigen.
– Bei der Einführung und Behandlung der tech­
nischen Notation muss erarbeitet und beachtet
werden, dass vor dem Komma eine Zahl mit bis
zu drei Ziffern stehen kann.
– Das < Serviceblatt „Größenvergleiche von
10– 12 cm bis 1027 cm“, Seite S 20, vermittelt Stütz­
größen für solche extremen Zahlen.
– Das < Serviceblatt „Unser Sonnensystem“, Seite
S 19, bietet weitere Anwendungsaufgaben.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 7
Operative Übungen: A 5; 8; Schaufenster Nullen
zählen
Kumulative Aufgabe: A 9
Komplexe Aufgaben: Infofenster Maßeinheiten für
Riesen und Zwerge
Anwendungsaufgaben: Infofenster Maßeinheiten
für Riesen und Zwerge
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 6
9 Die Aufgaben erfordern teilweise ein geschick­
tes Umformen. Sie trainieren deshalb nicht nur die Eingabe in den Rechner und das Distributiv­
gesetz, sondern vertiefen Einsichten in die neue
Schreibweise. Die offene Aufgabenstellung ermög­
licht ­dabei mehrere Varianten. Beispiel für Teilauf­
gabe g): 0,000 14 · 103 + 8600 · 10–4
1. Möglichkeit: 0,000 14 · 103 + 0,000 86 · 103
2. Möglichkeit: 1400 · 10– 4 + 8600 · 10– 4
Die Lernenden erkennen schnell die Strategie,
den Exponenten so umzuformen, dass die beiden
Poten­zen leicht addiert werden können. Aus diesem
Grund sollten auch Umformungen verlangt werden,
bei denen beide Zahlen verändert werden:
3. Möglichkeit: 0,14 · 101 + 0,86 · 101
Maßeinheiten für Riesen und Zwerge
Die Exponentenschreibweise findet insbesondere
in den Naturwissenschaften und der Technik ihre
Anwendung. Bei sprachlichen Formulierungen
sind vor Maßeinheiten Vorsilben zur Kennzeich­
nung bestimmter Zehnerpotenzen üblich. Sie wer­
den heutzutage in Zeitungen, Nachrichten und
auch in vielen Fächern der Realschule verwendet.
Die Lernenden sollten sie deshalb ­kennen.
2 Potenzen K 21
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 61 – 62
Die Veranschaulichung in Sachzusammenhängen
verdeutlicht die Größenordnung der Zahlen und
ermöglicht die Entwicklung einer Vorstellung für
die Dimensionen der Exponentenschreibweise.
4 Potenzen mit gleichen Exponenten
(Lerneinheiten 1 bis 4) eingesetzt werden. Eine
Einschätzung der eigenen Lösungskompetenz vor
dem Rechnen und nach dem Vergleichen trainiert
die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung.
– Das < Serviceblatt „Mindmap Potenzen“, Seite
S 24, erleichtert die Übersicht über die Vielzahl
von Regeln.
Intention der Lerneinheit
– die Potenzgesetze kennen, formulieren und an­
wenden
– die Beweise nachvollziehen
– die Potenzgesetze für vorteilhaftes Rechnen ver­
wenden
c
– die Schreibweisen (ab) c und ​a ​(b )​ unterscheiden
Exkurs
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe und der Lehrtext ermöglichen
das folgende Vorgehen:
– Ausgehend von den vorangehenden Lerneinhei­
ten ergibt sich die Fragestellung nach weiteren
Potenzgesetzen.
– Aufgrund der geometrischen Überlegungen er­
gibt sich eine Vermutung.
– Das Rechengesetz wird mithilfe von Variablen
beschrieben.
– Der „Beweis“ erfolgt – wie im Schülerbuch vorge­
schlagen – anhand konkreter Exponenten (erst
im Lehrtext).
– Das Gesetz wird für allgemeine Exponenten for­
muliert.
Vergleiche auch folgende Exemplarischen Kom­
mentare:
–Schülerfehler beim Umformen, Schnittpunkt,
Serviceband 7, Seite K 26.
–Erkennen von Termstrukturen, Schnittpunkt,
­Serviceband 8, Seite K 1.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Bei den Potenzregeln a n · b n = (a · b) n und a n : b n = (a : b) n wird die Umformung von rechts
nach links viel häufiger benötigt als die von links
nach rechts. Daher können die beiden Regeln
auch als Regeln für das Potenzieren von Produk­
ten ((a · b) n = a n · b n) bzw. Quotienten formu­
liert werden.
– Als alternativer Einstieg ist ein Zugang über
Rechen­vorteile (entsprechend der im Schüler­
buch vorgeschlagenen Aufgabe 1) möglich.
– Die Beweise können die Lernenden aufgrund
ihrer Erfahrungen aus Lerneinheit 2 Potenzen
mit gleicher Basis leicht eigenständig finden
(Partner­arbeit). Die Vorerfahrungen der Lernen­
den ermöglichen eine Behandlung von beiden
Regeln in einer Stunde.
– Das < Serviceblatt „Tandembogen: Potenzen mit
gleichen Exponenten“, Seite S 21, bietet einen
Tandembogen für erste Übungen in Partnerar­
beit.
– Die < Serviceblätter „Potenzrechnen – Partner­
arbeits­blatt 1 und 2“, Seite S 22 und S 23, können
zur Selbstkontrolle der bisher behandelten Regeln
K 22 2 Potenzen
Typische Fehler beim Rechnen mit Potenzen
Dem Exkurs liegt das Kapitel 7 „Schülerfehler
beim Umformen“ in Malle, Günther, Didaktische
Probleme der elementaren Algebra, Vieweg Ver­
lag, Wiesbaden 1993, Seite 160 ff, zugrunde.
1. Falsche Informationsaufnahme
Die Lernenden verwechseln häufig das Potenzie­
ren mit dem Multiplizieren, jedoch sehr selten
mit dem Addieren. Malle erklärt dies folgender­
maßen: „Dass die Potenzierung vorwiegend mit
der Multiplikation verwechselt wird, kann damit
erklärt werden, dass 23 mehr Ähnlichkeit mit 2 · 3 hat als mit 2 + 3. Bei Variablen ist dies
noch deutlicher: ab hat mehr Ähnlichkeit mit a b
als mit a + b. Gewisse sprachliche Wendungen
können diesen Fehler noch unterstützen, 23 heißt 2 · 2 · 2 also 2 · 3.“ (vgl. Malle, Seite 167)
2. Aufruf eines falschen Schemas
–Typisch ist die Verwechslung der Multipli­ka­
tions- mit der Potenzierungsregel: (am) n = am + n.
Dieser Fehler tritt vor allem bei isolierter Be­
trachtung der Einzelregeln auf. Die Lernenden
schauen die Aufgaben nicht genau an und er­
fassen die typische Termstruktur nicht. Charak­
teristisch ist dabei, dass die Aufgaben in den
einzelnen Abschnitten problemlos gelöst wur­
den. Die Lernenden wussten, dass in der ersten
Phase die Aufgaben durch Addition der Expo­
nenten und in der zweiten Phase durch Multi­
plikation der Exponenten zu lösen sind. Dies
wird durch Überschriften, Musterlösungen und
Aufgabensystematisierungen noch unterstützt.
Abhilfe: Parallele Behandlung aller drei Re­
geln (wie im Schülerbuch vorgeschlagen) oder
Einsatz operativer Übungen, die ein genaues
Betrachten der Terme und damit ein Erfassen
der typischen Termstruktur voraussetzen.
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 62 – 63
–Bei der Division werden manchmal die Expo­
nenten gekürzt statt subtrahiert:
a 8 b 12
a 4 b 6
​ _
  
​ = ​ _  
​
a 6 b 10 a 3 b 5
Die Ursachen für diesen Fehler ist in dem im ach­
ten Schuljahr behandelten und verinnerlichten
Aufgaben zu finden:
8 x · 12 y _
4 x · 6 y
_
​ 
 
 ​  
= ​ 
 
 ​ 
6 a · 10 b
3 a · 5 b
Koeffizienten dürfen gekürzt werden – dieses
Rechenschema wird unzulässig auf Hochzahlen
übertragen.
3. Kognitive Verarbeitung
Die Erweiterung der Metaschemata führt in der
Praxis vor allem bei der Übertragung auf Variab­
lenterme als Exponenten zu Fehlern. Beispiele: a 2 n + 1 : a n – 1 = an statt a n + 2 oder a m + 3 · a 2 = a 2 m + 6 statt a m + 5
Weiterhin können Übergeneralisierungen auftre­
ten. Beispiele: Die binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b2 wird auf den Fall (a · b) 2 ausgedehnt (a 2 · 2 a b · b 2); das Schema (a · b) 2 = a 2 · b 2 wird auf Summen
angewendet ((a + b) 2 = a 2 + b 2 oder 32 + 42 = 72).
Abhilfe: Klare Regelformulierungen und Einsatz
von Aufgaben, die die Grenzen der Regeln auf­
zeigen (z. B. Schülerbuchseite 63, Aufgabe 3).
4. Handlung
Rechenfehler sind meist auf komplexe Terme
­beschränkt. Beispiele: Binomische Formeln
­werden nicht erkannt bzw. falsch angewendet (a x + 1 · a x – 1); Minusklammern werden nicht be­
achtet (a m + 4 : a m – 1 = a 3 statt a m + 4 – (m – 1) = a5)
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 5; 6
Operative Übungen: A 2; 3; 4; 7
Kumulative Aufgabe: A 4
Komplexe Aufgabe: A 4
Anwendungsaufgaben: A 1; 5; Randspalte
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 8; 9; 10; 11
1 Die Aufgabe zeigt eine sinnvolle und hilfreiche
3 Die Aufgabe grenzt die Regel ab und beugt ei­
ner Übergeneralisierung vor.
4 Die Anwendbarkeit der Regel wird erweitert.
Einige Aufgaben erfordern trickreiches Rechnen, um
im Kopf gelöst werden zu können. Beispiel für Tei­
laufgabe f): 62 · 54 = 32 · 22 · 52 · 52 = 100 · (3 · 5)2 = 100 · 152 = 22 500
7 Die Aufgabe erfordert die Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden und mit symbolischen Elementen der Mathematik umgehen (vgl. den
folgenden Exemplarischen Kommentar).
Exemplarischer Kommentar
Mit symbolischen, formalen und technischen
­Elementen der Mathematik umgehen
Diese Kompetenz umfasst die Anwendung von
mathematischem Wissen bzw. Fertigkeiten. Un­
ter Wissen sind Fakten zu verstehen, die direkt
aus dem Gedächtnis abgerufen werden können.
Fertigkeiten sind Rechenalgorithmen oder Zei­
chenroutinen, die automatisiert ablaufen. Die
Niveaubandbreite reicht von der reinen Wis­
senswiedergabe (Anforderungsniveau I) bis zur
Bewertung der gefundenen Lösungs- und Kont­
rollverfahren (Anforderungsniveau III). Dies wird
im Folgenden anhand von Schülerbuchaufgabe 7
aufgezeigt:
Für die Lösung dieser Aufgabe sind neben ein­
fachen Basisfertigkeiten (Multiplikationsregel)
auch eine zielgerichtete Probierstrategie bzw.
Rückwärtsrechnen notwendig. Sie entspricht so­
mit Anforderungsniveau II.
Diese Aufgabenart kann leicht so variiert wer­
den, dass andere Anforderungsniveaus erreicht
werden:
Anforderungsniveau I:
x
x2
x5
x3
Zur Lösung muss nur ein Routineverfahren im
Rahmen einer vertrauten Standarddarstellung
angewendet werden. Die rechentechnische
Schwierigkeit lässt sich zwar durch Verwendung
mehrgliedriger Terme erhöhen, dies führt jedoch
nicht zwangsläufig zum nächsthöheren Niveau.
Anwendung der gelernten Regel.
2 Potenzen K 23
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Schülerbuchseite 63
Anforderungsniveau II:
Mithilfe von mehrgliedrigen Termen kann ein
dem Schülerbuchbeispiel analoges Schema mit
deutlich erhöhter Rechenschwierigkeit erstellt
werden:
a 21 b10
(a6 b 3) 2
(a 2 b 2) 2
a2
Eine Erhöhung der Rechenschwierigkeit führt al­
lerdings noch nicht zum Anforderungsniveau III.
Dazu muss ein Problem, das über den geübten
Standard hinausgeht, bearbeitet und eine stich­
haltige mathematische Begründung entwickelt
werden.
Anforderungsniveau III:
Der oberste Stein beinhaltet den Term x 176. Die
Terme in der unteren Reihe sind alle gleich. Be­
stimme diese Terme und begründe dein Vorgehen.
x176
Eine stichhaltige Begründung könnte folgender­
maßen erfolgen:
Gesuchter Term in der untersten Reihe: x a
Term in der darüber liegenden Reihe (n = 1): x a · x a = x 2 a
Term in der nächsthöheren Reihe (n = 2): x 4 a = x a · 22
n
Term in der n-ten Reihe: x a · 2
Für das in der oberen Zahlenmauer gegebene
Beispiel n = 3 ergibt sich für den Exponenten:
a · 23 = 8 a = 176; daraus folgt für die unterste
Reihe: a = 22 bzw. x 22.
Die Aufgabe kann auch durch systematisches
Probieren gelöst werden. Dafür ist eine wesent­
lich geringere Kompetenz im Umgang mit forma­
len ­Elementen notwendig.
Bei einer Aufgabe können somit durch die Wahl
der Lösungsstrategie unterschiedliche Anforde­
rungsniveau erreicht werden.
8 Die Schüler werden daran erinnert, dass bei
ähnlichen Körpern das Volumen mit der 3. Potenz
der linearen Maße wächst. Die Brenndauer ist
hauptsächlich von dem Wachsvorrat und damit vom
Volumen der Zylinderform der Kerzen abhängig.
Aus der Zeichnung lassen sich die Durchmesser und
Höhen angenähert entnehmen und vergleichen.
K 24 2 Potenzen
10 Diese Aufgabe schult vor allem die Kompetenz
mathematisch Argumentieren. Im folgenden Exemp­
larischen Kommentar wird dies ausführlich erläutert.
Exemplarischer Kommentar
Mathematisch Argumentieren
Zum mathematischen Argumentieren gehört
–das Verbinden mathematischer Aussagen zu
logischen Argumentationsketten.
–das Verstehen und Bewerten von Argumen­
tationsketten.
–die Überprüfung von Ergebnissen.
–die verständliche Darstellung der Lösungs­
wege mithilfe der Fachsprache.
Das Niveau reicht dabei von der Wiedergabe be­
kannter Routinenargumentationen (Anforderungs­
niveau I) bis zur Entwicklung komplexer Beweis­
ketten (Anforderungsniveau III). Die Schüler­buchaufgabe 10 b) entspricht Anforde­
rungsniveau II und kann auf unterschiedlichen
Darstellungsebenen gelöst werden:
Å. Beispielgebundene Lösung mithilfe der Zah­
lenwerte aus Teilaufgabe a):
Anzahl blauer Würfelchen pro Teilwürfel: 3 · 3 · 3
Anzahl blauer Würfelchen in einer Reihe: 3 · 3 · 3 · 3
Anzahl blauer Würfelchen in einer Schicht: 3 · 3 · 3 · 3 · 3
Gesamtanzahl blauer Würfelchen: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 · 9 = 93.
Diese Zusammenfassung ist zahlenunabhängig
und gilt offenbar immer.
2. Ikonischer Ansatz:
Anhand von anschaulichen Überlegungen am
Würfel (ein Teilwürfel besteht aus 3 · 3 · 3 = 33 blauen Würfelchen) ergibt sich 33 · 3 · 3 · 3 = 33 · 33 = 93.
3. Algebraischer Ansatz:
x · y (x und y sind Kubikzahlen, also x = a 3; y = b 3)
= a 3 · b 3 (Potenzregel)
= (a · b) 3 (a · b = z)
= z 3
Das Ergebnis ist eine Kubikzahl.
Dieser Ansatz ist wegen der Verwendung von
Variablen recht abstrakt. Er zeigt zusätzlich eine
hohe Kompetenz im Bereich mit symbolischen,
formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen auf.
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Schülerbuchseite 63 – 65
4. Durch inhaltliche Überlegungen:
Hier erfolgt die Begründung aufgrund bereits
erworbener Kenntnisse, meist ohne Verwen­
dung von Variablen. Die Lernenden kennen
von der Einstiegsaufgabe die Grundidee 32 · 22 = (3 · 2) 2 = 62 und übertragen diese auf
den Würfel: 33 · 33 = (3 · 3) 3 = 93.
Diese Umformung gilt offensichtlich für alle Zah­
len und ist deshalb allgemeingültig.
Wichtig ist, dass die Aussagekraft einer Argu­men­
tationskette nicht vom Formalisierungsgrad ab­
hängt. Für Schülerinnen und Schüler sind oft die
weniger abstrakten Begründungen überzeugender.
5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten
Intention der Lerneinheit
– Stammbrüche im Exponenten als alternative
Schreibweise für Wurzelterme kennen lernen
– die Potenzgesetze auch auf Terme mit gebroche­
nen Exponenten anwenden und an Beispielen
die Gültigkeit prüfen
Einstiegsaufgabe
Die Suche nach der Basis ist in den gegebenen
Beispielen durch Kopfrechnen zu schaffen oder
durch gezieltes Probieren mit dem Taschenrechner.
Dadurch wird das Umgehen mit der n-ten Wurzel
verständnisvoll ausgeführt und anschließend erst
in eine Definition gebunden. Die abstrakte Formu­
lierung des Lehrsatzes wird durch die Vorkenntnis
verständlich. Die konsequente Anwendung der
Potenz­gesetze (Permanenzprinzip) führt entlang
eines Beispiels zur Gleichwertigkeit eines Wurzel­
terms mit einer Potenz mit einem Stammbruch als
Exponenten. Alle weiteren Aufgaben der Lernein­
heit sind Ausformungen und Festigungen dieser
Aussage.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
In vielen Lerngruppen kommen unterschiedliche
Taschenrechner zum Einsatz, manche davon beherr­
schen die direkte Eingabe und Verwendung von
Brüchen. Die Beispiele auf der Randspalte zeigen
die beiden vorherrschenden Varianten. Es bietet
sich an, Schüler ihre Rechner untereinander aus­
tauschen zu lassen um die verschiedenen Eingaben
kennenzulernen und gedanklich zu durchdringen.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 2; 3; 4; 5
Operative Übungen: A 1; 6; 7
Komplexe Aufgaben: A 13; 14
Anwendungsaufgaben: A 6; 7; 8; 9; 10
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 11; 12
Wo kommen solche Zahlen vor?
Für die Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse
sind Potenzen mit allgemeinen Brüchen nur Zwi­
schenstationen in Berechnungen mit Umformun­
gen. Konkrete Bezüge zum Alltag sind kaum mit
ihnen verknüpft. Der Kasten zeigt zwei Beispiele
auf, die diese Zahlen doch fassbar machen kön­
nen. Die Berechnung der Oberfläche eines Wür­
fels mit der Kantenlänge a aus der Volumenan­
2
_
gabe ist sinnfällig und interpretiert den Term ​a ​​ 3 ​​ plastisch. Die beiden gewohnten Arbeitsschritte
Volumen ¥ Kantenlänge ¥ Oberfläche ergeben
in der formelmäßigen Zusammenfassung eine
Potenz mit gebrochener Hochzahl. Damit rückt
dieser Term in den Bereich der „normalen“ Aus­
drücke. Entsprechend verhält es sich bei der
Verzinsung. Der herausgehobene Potenzterm
repräsentiert zunächst den Rückschluss auf die
Verzinsung in einem Jahr und dann die Berech­
nung der Zinsen für mehrere Jahre.
11 Diese Aufgabe lässt sich sinnvoll in Arbeitsgrup­
pen oder auch mit der ganzen Klasse bearbeiten,
denn etliche Regeln sind beim Schätzen zu beach­
ten, die noch nicht im Erfahrungsschatz der Schüle­
rinnen und Schüler verankert sind:
– Potenzen von 1 sind konstant 1.
– Für Potenzen von Basen zwischen 0 und 1 mit
Exponenten größer als 1 sind die Werte kleiner
als die Basis. „Sie werden kleiner.“ Beim Radizie­
ren, also dem Potenzieren mit Exponenten klei­
ner 1, steigen die Werte.
– Umgekehrt verhält es sich bei Basen größer als 1.
Wenn die Zahlen der Gruppe zunächst paarweise
verglichen und anschließend geordnet werden, bie­
ten sich anschließend selbst gewählte Aufgabenbei­
spiele der Schüler für die Einzelarbeit an.
2 Potenzen K 25
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14 Die Aufgabenstellung verführt die Schülerinnen
1 Die Aufgabe zielt auf die Auswirkung des Koeffi­
und Schüler zum Verstoß gegen die Vorgabe des
Lehrsatzes, da sie mit einer negativen Basis unkri­
tisch rechnen sollen. Die Fortführung führt zu dem
Å
_
vermeintlichen Widerspruch, dass der Term (– 8​) ​ ​3 ​​ den Wert – 2 hat, während der gleichwertige Term
2
_
(– 8​) ​​ 6 ​​ zur 6-ten Wurzel aus (– 8)2 = 64 führt und
positiv ist. Die Diskussion des Beispiels ergibt die
Notwendigkeit der im Lehrsatz festgelegten Ein­
schränkung: Basis > 0.
zienten a bei konstant bleibendem Exponenten auf
die Form des Graphen.
2 Die Symmetrieeigenschaften ausgewählter
Potenzfunktionen werden untersucht. Zu beachten
sind hier Vorzeichen in Klammern.
3 Diese Aufgabe kehrt in operativer Weise die
Problemstellung um.
15 Nur sorgfältiges Anwenden der Potenzgesetze
4 und 5 Diese Aufgaben präsentieren einen weite­
und Berücksichtigung der im Lehrtext wiederge­
gebenen Definition führt zur Lösung der Aufgabe.
Viele naheliegende Fehlerursachen werden ange­
sprochen. Die vorangehende Aufgabe 14 kann die
Schülerinnen und Schüler für diese Sichtweise sen­
sibilisieren.
ren Anwendungsbezug aus dem Alltag zu Potenz­
funktionen. Die Fragestellung bietet Anlass zur The­
matisierung ökologischer Aspekte im Hinblick auf
umweltorientiertes Fahrverhalten und Tempolimits
bzw. auf Lärmbelästigung und -reduktion.
Besondere Punkte
6 Potenzfunktionen
Intention der Lerneinheit
– erfahren, dass der Exponent die Form des Gra­
phen einer Potenzfunktion bestimmt
– Die Klassifizierung der Kurvenformen (Parabel,
Wendeparabel, Hyperbel) in sinnvollen Zusam­
menhang mit den Exponenten bringen und die
Begriffe richtig verwenden
– die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen
Formen kennen
Einstiegsaufgabe
Die Aufgabe präsentiert einen typischen Alltags­
vorgang, bei dem die verbleibende Lichtenergie bei
Verdopplung des Abstandes auf ein Viertel sinkt.
Diese Aufgabe regt zunächst zum Probieren an.
Durch das Anlegen einer Tabelle kann das Vorgehen
systematisiert werden und es können die mathe­
matischen Zusammenhänge verdeutlicht werden.
Hilfreich ist hier eine getrennte Betrachtung des
Koeffizienten a und des Exponenten.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Die Ausführungen zu besonderen Punkten spre­
chen in erster Linie Schülerinnen und Schüler
an, die voraussichtlich die Mainzer Studienstufe
besuchen werden. Wesentlicher Inhalt des Ma­
thematikunterrichts der 11. Klassenstufe ist die
Differentialrechnung als erster Zugang in die
Analysis. Mit dem Betrachten des Differential­
quotienten bzw. der Ableitungen von Funktionen
eröffnen sich elementare Möglichkeiten zur
Bestimmung von zum Beispiel Extremwerten
oder Nullstellen und damit zum Lösen vielfältiger
Anwendungsaufgaben. Der Infokasten gibt eine
erste Einführung in die dort benötigte Termi­
nologie und bietet damit auch die Möglichkeit,
die Kommunikation über das Verhalten und die
Eigenschaften von Potenzfunktionen zu verein­
fachen. Je nach Lerngruppe eignet sich die Be­
handlung des Infokastens entweder binnendiffe­
renziert im Hinblick auf angehende Schüler der
MSS oder auch im Klassenverband. Der Einsatz
von Funktionsplottern bietet hier zahlreiche An­
lässe für Beobachtungen oder auch zur Lernkont­
rolle, da die meisten Plotter über die Möglichkeit
verfügen, die besonderen Punkte von Funktionen
anzeigen zu lassen.
Aufgabenkommentare
1 bis 3 Die Aufgaben behandeln den Zusammen- hang zwischen gegebenen Funktionsgleichungen
und der Form der zugehörigen Graphen. Gleichfalls
werden die Symmetrieeigenschaften thematisiert.
Einbezogen werden zunächst Funktionen mit posi­
tiven geraden Exponenten, danach mit negativen
ganzzahligen Exponenten und wechselnden Koeffi­
zienten a.
K 26 2 Potenzen
Üben • Anwenden • Nachdenken
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Das < Serviceblatt „Mindmap – Potenzen“, Sei­
te S 24, erleichtert die Übersicht über die Vielzahl
an Regeln.
Hinweis: Als Übung können die Lernenden weitere
Zusammenhänge durch das Einzeichnen von zusätz­
lichen Pfeilen aufzeigen.
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Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 5; 6; 10; 16; 17; 18; 21
Operative Übungen: A 7; 8; 9; 11; 19
Kumulative Aufgaben: A 20
Komplexe Aufgabe: A 18
Anwendungsaufgaben: A 12; 14; 22; 23; 24; Themenfenster Mega und Nano
Problemstellungen – offene Aufgaben­
situationen: A 3; 4;13; 15; 20; 21
4 Eine schülergemäße Begründung könnte
f­ olgendermaßen lauten:
Es ist
2Å = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
Da die letzte Ziffer eines Produkts durch das Pro­
dukt der letzten Ziffern der Faktoren bestimmt ist,
müssen sich bei allen weiteren Potenzen die End­
ziffern 2; 4; 8; 6 in dieser Reihenfolge immer wie­
derholen. Die Endziffer 4 tritt also bei 22; 26; 210; 214 usw. auf.
b) Bei der fünften Potenz bildet die letzte Ziffer der
Basis die letzte Ziffer des Potenzwertes:
  25 = 32
  35 = 243
  45 = Å 024
  55 = 3 Å25
  95 = 59 049
ÅÅ5 = Å6Å 05Å
11 Um das Zahlverständnis zu trainieren, sollten
die Ergebnisse auch durch Umformung in die Dezi­
malschreibweise überprüft werden.
15 Die Lösung soll nicht mithilfe der Gleichung 0,000 001 · 2 x = 68 000, sondern durch systemati­
sches Probieren mit der „· 2-Taste“ erfolgen. Die
Lernenden erhalten so einen Eindruck von der
Wachstumsdynamik solcher Funktionen.
Die Aufgabe ist unter mehreren Aspekten zu sehen:
– Rechenhilfsmittel zum Lösen von Problemstellun­
gen einsetzen,
– Umwandlung von Flächeneinheiten,
– Kontrollverfahren entwickeln – Das gefundene Er­
gebnis lässt sich mit der Gleichung leicht ­prüfen.
– Modellieren – Das verwendete mathematische
Rechenmodell muss hinterfragt werden. Es trifft
nur anfangs, bei idealen Ausbreitungsbedingun­
gen zu. Später, wenn die Ausbreitung nicht mehr
in alle Richtungen erfolgen kann (z. B. wegen en­
gen Buchten), stellt es die Realität nicht mehr dar.
– Wachstum mithilfe von Gleichungen beschreiben,
– Vorstellungen von Wachstum (Funktionen) ent­
wickeln. Dieser Aspekt wird in Kapitel 5 Exponentialfunktion aufgegriffen und ausgebaut.
20 1,000 000 012 = (1 + 10– 8) 2 = 1 + 2 · 10– 8 + (10– 8) 2.
Ein 10-stelliger Taschenrechner rundet auf 1 + 2 · 10– 8.
Für die linke Seite ergibt dies:
– 8
2
– 8
1 + 2 · 10 – 1
2 · 10
_
​ __
  
    ​ = ​ 
  
​ = 2
100 000 000 1
–1
10– 8
Die rechte Seite liefert den richtigen Wert
2,000 000 01.
Hinweis: Bei einem 8-stelligen Rechner muss die Aufgabe entsprechend angepasst werden: a = 1,000 000 1.
Mega und Nano
Vergleiche dazu auch den Kommentar zu Maßeinheiten für Riesen und Zwerge, Seite K 21.
Planetenwege sind besondere Wanderwege, bei
denen entlang der Wanderstrecke ein maßstabs­
gerechtes Modell unseres Sonnensystems dar­
gestellt ist. Meist sind sie im Maßstab 1 : 1 Mil­
liarde erbaut. Damit beträgt die Entfernung
Erde – Sonne ungefähr 6 km. Die Planeten sind als Miniaturmodelle entlang der Strecke aufge­
stellt. Der Wanderer erfährt anhand der Wander­
zeit, dass die Abstände zwischen den Planeten
mehrere zehntausendmal größer als die Plane­
ten­durchmesser sind und dass die Planeten­
abstände mit zunehmender Sonnennähe immer
kleiner werden.
Hinweis: Eine Liste und Karte der Planetenwege
findet man im Internet unter dem Suchbegriff
Planetenwege.
Das Thema bietet einen anwendungsbezogenen
Hintergrund für vielfältige mathematische Tätig­
keiten. Das neu erlangte Wissen über Potenzen
wird vernetzt. Grundwissen aus früheren Jahren
wie Umwandlungen und Maßstab wird reakti­
viert. Zusätzlich müssen Modellierungsprozesse
durchgeführt werden.
Lässt man die Lernenden die Aufgaben des
Themen­fensters ohne weitere Tipps bearbeiten,
werden sie die Aufgaben mit großem Aufwand
möglichst genau bearbeiten. Bei der Bespre­
chung sollte man unbedingt darauf hinweisen,
dass dies hier nicht notwendig ist. Die Frage-­
2 Potenzen K 27
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Schülerbuchseite 73 – 74
stellungen lassen sich überschlägig (auch ohne
Taschenrechner!) relativ rasch klären. Dazu müs­
sen auch nicht alle Werte in die wissenschaft­
liche Schreibweise überführt werden:
Wenn man als größte Entfernung die Entfernung
zwischen zwei benachbarten Planeten annimmt
und nicht – wie im Lösungsteil – die Entfernung
zwischen Sonne und Pluto, erhält man folgende
Abschätzung (Die auf der Randspalte abgebil­dete
Skizze hilft.):
Neptun (Entfernung von der Sonne): 4,5 · 109 km
Uranus (Entfernung von der Sonne): 2,9 · 109 km
Entfernung zwischen den beiden Planeten: 1,6 · 109 km
Mit der Forderung, die Entfernung zwischen den beiden entferntesten Planeten auf einen
Meter festzulegen, ergibt sich der Maßstab 1 : 1 600 000 000.
Dieser Maßstab ist unpraktisch und nicht ge­
bräuchlich. Besonders leicht lassen sich die Werte für den Maßstab 1 : 1 000 000 000 bzw. 1 : 2 000 000 000 (alle folgenden Werte in Klam­
mern) angeben.
Größte Entfernung: 1,6 km (0,8 km)
Geringste Entfernung: 1,5 · 108 km – 1,1 · 108
= 0,4 · 108 km. Im Maßstab 1 : 1 000 000 000 (1 : 2 000 000 000) 0,4 · 108 : 109 = 0,4 · 10– 1 km
= 0,04 km = 40 m (20 m).
Größter Durchmesser (Jupiter): 1,4 · 105 km
= 1,4 · 108 m. Im Maßstab: 1,4 · 108 m : 109
= 1,4 · 10– 1 m = 0,14 m = 14 cm (7 cm).
Kleinster Durchmesser (Pluto): 2,3 · 103 km = 2,3 · 106 m. Im Maßstab: 2,3 · 106 : 109 = 2,3 · 10– 3
= 0,0023 m = 2,3 mm (1,15 mm). Damit liegt die
Größe deutlich über der Sichtbarkeitsgrenze.
Als kleinste mit bloßem Auge sichtbarere Parti­
kelgröße gilt 0,01 mm2, woraus sich die Kanten­
länge mit ca. 0,1 mm ableiten lässt.
Somit lassen sich nicht alle Forderungen exakt
erfüllen. Kompromisse sind notwendig. Zudem
muss für eine realistische Planung eine Gelände­
karte als Grundlage dienen. Typische Gelände­
merkmale (Gewässer, Steilhänge, …) erfordern
weitere Kompromisse.
Die ungeheuren Entfernungen zwischen Sternen
werden deutlich, wenn man den Planetenweg
auf den nächsten Fixstern zu erweitern versucht.
Das < Serviceblatt „Unser Sonnensystem“,
­Seite S 19, bietet eine schöne Anwendung zu
­großen und kleinen Zahlen.
K 28 2 Potenzen
Exkurs
Pluto
Pluto wurde 2006 der Planetenstatus aberkannt.
Zur Begründung diente weder seine extravagan­
te Bahn (die ihn inzwischen näher an die Sonne
führte als Neptun), noch seine geringe Größe,
sondern seine geringe Gravitation. Die anderen
Planeten üben so hohe Gravitationskräfte aus,
dass kleinere Objekte in ihrer Nähe einverleibt
werden und dass sie eine annähernd hügelförmi­
ge Gestalt haben.
Die Diskussionen begannen, als immer mehr
ähnlich große Objekte in der Nähe des Plutos
(Kuiper-Gürtel) gefunden wurden. Darunter auch
ein ­größeres im Jahr 2003 (UB 313 mit 2400 km
Durchmesser). Dadurch war der Sonderstatus
Planet für den Pluto nicht mehr haltbar.
Um sich nicht auf eine, auf Dauer vielleicht
umstrittene, Mindestgröße einigen zu müssen,
wählte man das Kriterium Sauberkeit in der
­näheren Umgebung.
Pluto wird seither als Zwergplanet bezeichnet.
Dualzahlen
Die Dualzahlen wurden bereits in den unteren
Jahrgängen eingeführt, um das Stellenwertsys­
tem der Dezimalzahlen durch den Vergleich zu
verdeutlichen. Der Kasten führt dies als Wieder­
holung auf und zeigt, dass die Rechenmethoden
in der Struktur identisch sind.
Wegen der allgegenwärtigen Präsenz digital ar­
beitender Maschinen kommen wir im Alltag nicht
umhin, die mit ihnen verbundenen Dualzahlen
in unsere Umgangssprache einzubeziehen: Etwa
wenn wir über die Daten von Notebooks, Musik­
samm­lungen, über die Übertragungsqualität beim
Telefonieren und Fernsehen oder die Über­tragungs­
geschwindigkeit bei Internetrecherchen sprechen.
Menschen „verstehen“ aber die Dualzahlen nicht
ohne Hilfsmittel. Größere Dualzahlen sind für
uns beim Lesen sehr unübersichtlich. Für unser
Gehirn sind die langen Zahlenbilder aus Nullen
und Einsen nicht geeignet. Die Basis 10 erzeugt
leichter erkennbare Zeichenmuster in dem Zahl­
bereich, den wir alltäglich brauchen. Da wir Zah­
len nur im Zehnersystem flüssig sprechen kön­
nen, müssen wir Dualzahlen umrechnen können.
Auch das gelingt Menschen nur in einem un­
zureichend kleinen Zahlbereich. Eine sprachlich
annähernde Übersetzungsbrücke für die Zahlen
beider Systeme durch eine groß­zügige Verwen­
dung des Wortes „Kilo“ bietet die Beziehung 103 = 1000 ≈ 1024 = 210.
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Schülerbuchseite 74
Damit lässt sich die technisch notwendige Zah­
lensprache der Dualzahlen notdürftig durch
„Pseudo-Dezimalzahlen“ in fassbare Ausdrücke
bringen: Kilobyte (1024 Byte), Megabyte, Giga­
byte, Terabyte, …
Die Schülerinnen und Schüler gewinnen zugleich
eine ausreichende Anschauung für die Größen,
die mit diesen Zahlenangaben verbunden sind.
„Meine neue Festplatte hat 30 Gigabyte mehr als
die alte. Jetzt kann ich 25 % mehr mp3s speichern.“
So lautet ein Pausengespräch in der Mittelstufe.
24 Möchte man die Oberfläche des Blutkörper­
chens nicht über die Kreisfläche berechnen, kann
man wie folgt vorgehen: Die Fläche eines Blutkör­
perchens setzt sich näherungsweise aus zwei Quad­
ratflächen zusammen:
A = 2 · 8 · 10–6 · 8 · 10–6 · 25 · 109 m2 = 3,2 m2
Der Wert sollte mit der Größe der Tafelfläche ver­
glichen und im Hinblick auf die riesige Anzahl der
Blutkörperchen interpretiert werden.
25 a) Die Sichtbarkeitsgrenze liegt bei einer Parti­
kelgröße von ca. 0,01 mm2 = 10–2 mm2.
Die Schwebeteilchengröße (Annahme: Korn als
angenähertes Quadrat mit der Seitenlänge 10 mm)
beträgt 10 · 10– 6 · 10 · 10– 6 m2 = 10– 2 · 10– 2 mm2 = 10– 4 mm2. Es genügt also eine 100-fache Vergrößerung (10– 4 · 102 = 10– 2).
b) Aufgrund der eingeschränkten Kenntnisse muss
im Modellierungsprozess ein grobes Modell (Würfel)
gewählt werden:
VW = a 3 = (1 cm) 3 = (104 mm) 3 = 1012 mm3
VS = a 3 = (10 mm) 3 = 1 000 mm3 = 103 mm3
Daraus folgt 109 Körner = 1 000 000 000 Körner.
Die Lösung kann auch ohne Formel durch die fol­
gende Überlegung bestimmt werden:
Entlang den Grundkanten des Würfels (Länge 1 cm
= 104 mm) haben jeweils 103 (104 : 10) Körner Platz.
Die unterste Schicht bilden somit 103 · 103 = 106 Körner. Nach oben haben 103 Schichten Platz ¥ ins­
gesamt 103 · 103 · 103 = 109 Körner.
Als Anschauungsmaterial zu Verdeutlichung der
Winzigkeit eines Feinstaubkornes kann ein mitge­
brachter Kubikzentimeterwürfel dienen.
2 Potenzen K 29
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Schülerbuchseite 76 – 97
3 Wachstumsprozesse
Kommentare zum Kapitel
Das Kapitel Exponentialfunktion baut auf die
Potenz­rechnung auf und erweitert die linearen und
quadratischen Funktionen. Oft dient die Exponen­
tialfunktion als Modell, um Wachstumsprozesse
abzuschätzen und zu beschreiben. Dabei ist darauf
zu achten, dass die Modellhaftigkeit nicht aus dem
Blickfeld gerät und die Lösungen immer wieder auf
Sinnhaftigkeit in Bezug auf die Realsituation über­
prüft werden. Hierdurch wird der prozessorientierte
Kompetenzbereich Modellieren geschult, in dem die
Schülerinnen und Schüler reale Wachstumsprozes­
se in das Modell des exponentiellen Wachstums
übersetzen. Durch die Darstellung ihrer Ergebnisse
sowie durch die Überprüfung und Reflexion ihrer
Sinnhaftigkeit werden die prozessbezogenen Kom­
petenzbereiche des Kommunizierens und Argumentierens gefördert.
Im Themenbereich der Exponentialfunktion können
alle drei Aufgabentypen bearbeitet werden: Die Wiedergabe und Anwendung der Exponential­
funktion in bekannten bzw. abgegrenzten Kontex­
ten (Anforderungsniveau I), Anwendungsaufgaben,
bei denen man aus dem Text zu einem Lösungsan­
satz gelangt, der nach einem bestimmten Schema
zu bearbeiten ist (Anforderungsniveau II), oder das
Lösen komplexer Probleme mit anschließender
Reflexion, Schlussfolgerung bzw. Wertung (Anforde­
rungsniveau III).
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Schwerpunkt des Kapitels ist das Kennenlernen ex­
ponentieller Zusammenhänge und ihres Nutzens zur
Beschreibung vieler Wachstumsprozesse sowie ihre
grafische Darstellung.
In Lerneinheit 1 Wachstum und Abnahme werden
diese Begriffe zunächst insbesondere unter wieder­
holenden Aspekten (linea­res Wachstum bzw. lineare
Abnahme) eingeführt. Gleichzeitig wird hier schon
auf die Grenzen des bisherigen linearen Modells
hingewiesen, da viele Vorgänge nur näherungswei­
se linear sind. Lerneinheit 2 Wachstumsfaktor und
Wachstumsrate bereitet die eigentliche Exponential­
funktion unmittelbar vor, indem hier Wachstumsfak­
tor und Wachstumsrate eingeführt werden und die
Berechnung durch operative Übungen geläufig ge­
macht wird. Lerneinheit 3 Exponentielles Wachstum
und Lerneinheit 4 Exponentielle Abnahme themati­
sieren das eigentliche exponentielle Wachstum an­
hand von Sachproblemen zu den Themen Wachstum
und Abnahme. In Lerneinheit 5 Exponentialfunktion
K 30 3 Wachstumsprozesse
wird die Exponentialfunktion sowohl theoretisch als
auch eingebunden in Sachzusammenhänge betrach­
tet (vgl. Exempla­rischer Kommentar: Didaktische
Leitlinien zum Umgang mit Funktionen in der Schule,
Seite K 1).
In Lerneinheit 6 Logarithmus wird der Zehnerloga­
rithmus sowie der Logarithmus zu einer beliebigen
Basis eingeführt. Zudem wird abgeleitet, dass jeder
beliebige Logarithmus mithilfe von Zehnerlogarith­
men berechnet werden kann. Der Zusammenhang
zwischen Potenzieren, Wurzelziehen und Logarith­
mieren wird veranschaulicht.
Bezug zum Lehrplan
Inhaltsbezogener Kompetenzbereich
Zahl und Zahlenbereiche:
Schülerinnen und Schüler können
– Zusammenhänge zwischen Potenzieren, Wurzel­
ziehen und Logarithmieren erkennen, interpre­
tieren und nutzen
funktionaler Zusammenhang:
Schülerinnen und Schüler können
– in Sachsituationen Exponentialfunktionen er­
kennen, von anderen funktionalen Zusammen­
hängen unterscheiden, durch Funktionsterme
beschreiben und nutzen (Wachstumsprozesse,
Zerfallsprozesse)
– Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Exponentialfunktionen und Zusammenhänge mit
dem Funktionsterm beschreiben
– in Sachsituationen einfache Exponentialgleichun­
gen lösen (durch systematisches Probieren, grafi­
sches Lösen, Logarithmieren)
Weiterführende Hinweise
– Das Kapitel ist hierarchisch aufgebaut und sollte
daher in der vorgegebenen Reihenfolge behan­
delt werden.
– Mit der Mathematik lassen sich viele Fragen des
Alltags beantworten. Im Themenbereich Expo­
nentialfunktion werden in den Aufgabenstellun­
gen sehr häufig reale Situationen dargestellt. Die
Übersetzung dieser Realsituationen in die Spra­
che der Mathematik bereitet den Schülerinnen
und Schülern oft Probleme. Das sorgfältige Lesen
der Aufgabenstellung, das Herausfiltern der not­
wendigen Informationen und das Entdecken des
mathematischen Modells muss trainiert werden.
Es sollte großen Wert darauf gelegt werden, dass
die Schülerinnen und Schüler von Anfang an
• Fragestellungen mit eigenen Worten wieder­
geben und schriftlich fixieren.
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Schülerbuchseite 76 – 78
• notieren, welche Parameter gegeben sind.
• überblicken, welche dieser Parameter für die
Bearbeitung der Fragestellung überhaupt rele­
vant sind.
– Funktionales Denken kann nur mithilfe der rea­
len Welt aufgebaut werden. Wer Funktionen
wirklich verstehen will, muss entsprechende Be­
ziehungen zwischen Größen durch Experimente
oder die mathematische Analyse von Alltagser­
fahrungen erforschen. Dabei ist es wichtig, die
benutzten Modelle und errechneten Ergebnisse
kritisch zu hinterfragen.
Auftaktseite: Bis ins Unendliche?
Die Auftaktseite ermöglicht zwei verschiedene
methodisch-didaktische Herangehensweisen an das
Thema Exponentialfunktionen.
Die linke Seite orientiert sich an alltagsnahen Situa­
tionen, mit denen die Lernenden durch die Medien
in Berührung kommen. Die Auseinandersetzung
mit dem Diagramm und den Schlagzeilen regt sie
zu einer Diskussion über mathematische und reale
Betrachtungsweisen der Möglichkeit des unbe­
grenzten Wachstums an. Sie bietet damit Argumen­
tations- und Diskussionsstoff über die Grenzen und
Tauglichkeit solcher mathematischen Modelle. Bei
der möglichen Diskussion ist darauf zu achten, dass
der mathematische Hintergrund der Schlagzeilen
bzw. des Diagramms nicht aus dem Blickfeld gerät,
dass aber Wachstum in der realen Welt immer be­
grenzt ist. Nähert sich die abhängige Größe einer
kritischen Grenze, so versagt das exponentielle Mo­
dell. Mit leistungsstarken und interessierten Schü­
lern können die Nachfolgemodelle – Stagnation,
Abnahme oder chaotisches Verhalten – erörtert und
so das Bewusstsein auch für die gesellschaftlichen
Zusammenhänge gefördert werden.
Mittlerweile finden sich auch in den Massenmedien
gelegentlich Beiträge zu alternativen Wirtschafts- und Geschäftsmodellen, die zum Teil schon in der
Realität erprobt werden. Bei entsprechendem Inte­
resse und Leistungsbereitschaft der Lernenden ist
daher ein fächerübergreifendes Projekt zwischen
Sozialkunde und Mathematik zum Thema „Grenzen
des Wachstums – wie verändern sich die Wachs­
tumsmodelle?“ denkbar.
Die rechte Hälfte der Auftaktseite bietet einen
mathe­matisch-experimentellen Zugang zum Thema.
Das Würfeln mit Heftzwecken lässt sich mit gerin­
gem Material- und Zeitaufwand im Unterricht reali­
sieren. Wenn die Heftzwecken in einer durchsichti­
gen Plastikdose mit genügend großer Grundfläche
geschüttelt statt geworfen werden, kann das Ergeb­
nis am Overheadprojektor sichtbar gemacht wer­
den. Die Unterlegung mit einem groben Karoraster
erleichtert das Auswählen bzw. übt das Schätzen.
Die grafische Darstellung der dabei entstandenen
Wertetabellen zeigt den Graphen einer exponenti­
ellen Zunahme (bei Versuchsumkehrung den einer
exponentiellen Abnahme). Die Lernenden erkennen
schnell, dass der Graph sich deutlich von ihnen
bisher bekannten Funktionsgraphen ­(linear, quad­
ratisch) unterscheidet. Sie können schon an dieser
Stelle einige Unterschiede beschreiben. Verwendet
man auch die Versuchsumkehrung, ist es den Ler­
nenden möglich, Gemeinsamkeiten und Unterschie­
de der beiden Versuchsgraphen zu benennen. Dabei
sollte auch auf den Zusammenhang dieser Graphen,
nämlich die Möglichkeit der Spiegelung an der
Senkrechten durch ihren gemein­samen Schnitt­
punkt, eingegangen werden.
1 Wachstum und Abnahme
Intention der Lerneinheit
– die Begriffe Wachstum und Abnahme in ihrer ma­
thematischen Bedeutung begreifen
– lineares Wachstum bzw. lineare Abnahme er­
kennen
– Berechnungen der Zeit und des durchschnitt­
lichen Wachstums durchführen können
– lineares Wachstum grafisch darstellen können
Die Einheit baut auf Grundkenntnissen über lineare
Funktionen aus Klasse 8 auf (siehe Schnittpunkt
Schülerbuch 8, Kapitel 7, Lerneinheit 1).
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe führt den Begriff Wachstum
(negatives Wachstum = Abnahme) ein. Für die Ler­
nenden drängt sich förmlich die Folgerung auf, dass
es sich um einen nahezu linearen Wachstumspro­
zess handelt. Gleichzeitig erkennen sie, dass Linea­
rität in der Realität oft nur näherungsweise auftritt.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Die einzelnen Elemente der Gleichung yn = y0 + n · d für das lineare Wachstum bzw. die lineare ­Abnahme
sollten den Lernenden möglichst anschaulich ver­
deutlicht werden. Wenn ihnen dies klar ist, fällt das
Heraussuchen relevanter Parameter und die Über­
setzung in die Sprache der Mathematik auch im
exponentiellen Fall erheblich leichter.
3 Wachstumsprozesse K 31
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Schülerbuchseite 79 – 82
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Anwendungsaufgaben: A 1; 3; 4
Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 2
1 Bei dieser Grundaufgabe besteht die größte
Schwierigkeit darin, aus den genannten Parametern
diejenigen herauszufiltern, die für die Lösung der
jeweiligen Teilaufgabe nötig sind.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Die Berechnung der Wachstumsrate sollte an­
fangs mit der Prozentformel erfolgen, da so der
Übergang zur formalen Berechnung der Wachs­
tumsrate leichter fällt.
– Der Zusammenhang zwischen Prozentzahl,
Bruchdarstellung und Dezimalbruch sollte aus­
führlich wiederholt werden, da dies die Berech­
nung des Wachstumsfaktors erleichtert.
– Das < Serviceblatt „Wachstums-Trimino“, Seite
S 25 bietet eine spielerische Übung, um die Zu­
sammenhänge von q (größer oder kleiner als 1)
und Wachstum bzw. Abnahme zu festigen. Es
kann in Einzel- oder Partnerarbeit gelöst werden.
2 Bei den Überlegungen zu weiteren Beispielen
für lineares Wachstum bzw. lineare Abnahme sollte
darauf geachtet werden, dass sich die Schülerinnen
und Schüler schnell von der „Wasserproblematik“
aus Aufgabe 1 lösen und so auch andere Möglich­
keiten suchen und finden können, z. B. Temperatur­
zunahme, Erdaushub.
4 Die Berechnungen aus den Teilaufgaben a) und
b) stellen keine größeren Schwierigkeiten dar. Bei
Teilaufgabe c) sollte auf den Unterschied zwischen
linearem Wachstum und näherungsweise linearem
Wachstum eingegangen werden.
2 Wachstumsfaktor und Wachstumsrate
Intention der Lerneinheit
In dieser Lerneinheit wird auf Kenntnisse der Pro­
zent- und Zinsrechnung aus Klasse 7 und 8 zurück­
gegriffen.
– die Wachstumsrate mithilfe von altem und neuem
Wert berechnen
– mithilfe der Wachstumsrate den Wachstumsfak­
tor berechnen und umgekehrt
– aus gegebenen Situationen die Wachstumsrate
und den Wachstumsfaktor bestimmen
– Prozentangaben in ihrer Abhängigkeit vom
Grundwert einschätzen
Einstiegsaufgabe
Im ersten Teil der Einstiegsaufgabe werden zu­
nächst Kenntnisse der Prozentrechnung reaktiviert.
Er sollte den Schülerinnen und Schülern daher kei­
ne Schwierigkeiten bereiten. Die zweite Teilaufgabe
verdeutlicht sehr anschaulich, dass die prozentuale
Steigerung abhängig vom alten Wert ist. Außerdem
wird klar, dass sie nicht die Summe der Einzel­
steigerungen ist. Die Begriffe Wachstumsrate und
Wachstumsfaktor ergeben sich für die Schülerinnen
und Schüler nicht von selbst, obwohl ihnen die da­
hinter stehende Mathematik schon geläufig ist.
K 32 3 Wachstumsprozesse
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 5
Kumulative Aufgaben: A 4
Anwendungsaufgaben: A 3
3 Bei Teilaufgabe a) führt die Betrachtung der
reinen Prozentangaben zu der Annahme, dass
die Entwicklungsländer einen erheblich größeren
Energieverbrauch haben als die USA, welches ein
Trugschluss ist. Mit dem Bearbeiten der weiteren
Teilaufgaben wird diese Fehlannahme schrittweise
richtig gestellt. Daher sollte nach der Bearbeitung
der Teilaufgabe d) noch einmal auf Teilaufgabe a)
eingegangen werden und somit auf die Abhängig­
keit der Prozentangaben von ihren Grundwerten
aufmerksam gemacht werden.
5 Der Graph in Teilaufgabe a) führt zu der Ver­
mutung, dass es sich um näherungsweise lineares
Wachstum handelt. Teilaufgabe b) geht noch ein­
mal auf den Zusammenhang von altem Wert und
Wachstumsrate ein.
3 Exponentielles Wachstum
Intention der Lerneinheit
– die Begriffe Anfangswert, Wachstumsfaktor und
Wachstumsperiode sowie deren Bedeutung in der
Wachstumsformel kennen
– den Wert nach n Perioden, den Anfangswert
oder den Wachstumsfaktor berechnen können
– wissen, dass Generationszeit den Wachstums­
faktor q = 2 bedeutet
– den Unterschied zwischen linearem, quadrati­
schem und exponentiellem Wachstum kennen
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Schülerbuchseite 82 – 84
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe greift die Grundgedanken der
Auftaktseite wieder auf. Der Unterschied zu linea­
rem Wachstum ist in Tabelle und Graph deutlich
zu erkennen. Schwierig wird für die Lernenden die
Einbindung des Wachstumsfaktors und der Wachs­
tums­periode (Jahre) in die Formel. Die Überlegun­
gen, welche die Lernenden anstellen, um von der
Tabelle zu einer Formel zu gelangen, können im An­
schluss an die Einstiegsaufgabe reflektiert werden
und somit einen Übergang zum Lehrtext schaffen.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Bei der Behandlung der Formel für exponentiel­
les Wachstum ist es wichtig zu verdeutlichen,
dass der Exponent n immer für die Anzahl der
Wachstumsperioden steht. Eine Periode kann ein
Tag, eine Stunde, eine Minute usw., aber auch
15 Sekunden, 20 Tage, 3 Jahre usw. sein. Dies ist
für die Schülerinnen und Schüler nicht immer
klar.
– Im Zusammenhang mit exponentiellem Wachs­
tum von Geld wird oft auch die Zinseszinsformel
verwendet. Den Schülerinnen und Schülern sollte
verdeutlicht werden, dass diese keine zusätzliche
Formel darstellt, sondern nur eine Variation der
Formel für exponentielles Wachstum mit anders
gewählten Variablen für das Kapital ist.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2 a), b)
Operative Übungen: A 2 c), d); 3
Kumulative Aufgaben: A 4
Anwendungsaufgaben: A 5; 6
3 Bei dieser operativen Übung ist darauf zu ach­
ten, die Tabelle bei Teilaufgabe a) so anzulegen,
dass vor dem eigentlichen Versuchsbeginn noch
vier weitere Wachstumsperioden eingetragen wer­
den können. In der Teilaufgabe b) entsteht der
charak­te­ristische Graph der Exponentialfunktion,
der in Lern­einheit 5 Exponentialfunktion unter funk­
tionalem Aspekt ausführlich behandelt wird. Eine
Beschreibung dieses Graphen ist die Vorbereitung
für Aufgabe 4; Teilaufgabe c) lässt sich sowohl mit­
hilfe des Graphen als auch durch die Fortführung
der Tabelle lösen.
4 Die Aufgabe grenzt exponentielles Wachstum
von linearem Wachstum ab. Die Schülerinnen und
Schüler erkennen zumeist rasch die entscheidenden
Kriterien. Um aber auch schwächeren Schülerinnen
und Schülern diese wichtige Klassifikation nahezu­
bringen, sollte die Aufgabe in der Stunde bespro­
chen werden.
5 Die rechnerischen Ergebnisse von Teilaufgabe a)
sollten kritisch hinterfragt werden. Damit trägt sie
zur Förderung prozessbezogener Kompetenzen, z. B.
dem mathematischen Argumentieren und Kommunizieren, bei. Hier kann ggf. ein Bezug zur Auftaktseite
hergestellt werden, falls dort die Problematik der
Grenzen des Wachstums angesprochen wurde.
In Teilaufgabe b) müssen die von den Schülerinnen
und Schülern berechneten Prozentangaben in eine
mathematische Darstellungsform übertragen wer­
den. Dadurch wird die prozessbezogene Kompetenz
des Darstellens trainiert. In diesem Zusammenhang
bietet sich eine Diskussion über andere Darstel­
lungsmöglichkeiten an, z. B. Kreisdiagramm. An die­
ser Stelle ist der Einsatz eines Tabellenkalkula­tions­
programms, z. B. MS-Excel, sinnvoll.
4 Exponentielle Abnahme
Intention der Lerneinheit
– exponentielle Abnahme als negatives Wachstum
erkennen
– Berechnungen zur exponentiellen Abnahme
­sicher durchführen
– die Halbwertszeit als Wachstumsfaktor q = 0,5 kennen
– den Unterschied zwischen linearer und exponen­
tieller Abnahme beschreiben können
Einstiegsaufgabe
Die Bearbeitung der Einstiegsaufgabe führt schon
nach wenigen Schritten zu der Erkenntnis, dass es
sich nicht um eine lineare Abnahme, sondern wohl
um eine exponentielle Abnahme handelt. Den Schü­
lerinnen und Schülern wird schnell klar, dass die
Wachstumsrate im Gegensatz zum exponentiellen
Wachstum nicht addiert, sondern subtrahiert wer­
den muss. Die Einsicht, dass mathematisch gesehen
nie der Endwert null erreicht werden kann, sollte in
der Diskussion gefördert werden, da dies eines der
wesentlichen Unterscheidungsmerkmale zwischen
linearer und exponentieller Abnahme ist.
3 Wachstumsprozesse K 33
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Schülerbuchseite 84 – 86
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Exponentielle Abnahme sollte nicht als eigen­
ständiger Fall verstanden werden, sondern als
exponentielles Wachstum mit negativer Wachs­
tumsrate. Hier bietet sich zur Vertiefung das < Serviceblatt „Tandembogen: Wachstum“, Seite
S 26 an.
– Gerade bei exponentieller Abnahme kommen
„unhandliche“ Wachstumsperioden (z. B. Halb­
wertszeit 5 Tage) vor. Hier sollte sehr genau
verdeut­licht werden, wie man durch Wurzelzie­
hen von solchen Wachstumsperioden auf die
Berech­nung einfacherer Wachstumsperioden
(z. B. 1 Tag) gelangen kann.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 4
Kumulative Aufgaben: A 5
Anwendungsaufgaben: A 3; 6
2 Da bei dieser Grundaufgabe kein Anfangswert
gegeben ist, ist es sinnvoll, von 100 % oder 100 g
auszugehen. In Teilaufgabe b) gibt es grundsätz­
lich zwei Möglichkeiten zur Lösung. Zum einen,
indem man die Anzahl der im gesuchten Zeitraum
liegenden Halbwertszeiten berechnet und zum an­
deren, indem man den Zerfallsfaktor für einen Tag
er­mittelt.
3 Zur Lösung der Aufgabe bietet sich ein Anfangs­
wert von 100 % an. Während Teilaufgabe a) noch
durch das Fortführen der Wertetabelle zu lösen ist,
muss man zur Lösung der Teilaufgabe b) gezielt
probieren. Dies fördert die prozessbezogene Kom­
petenz des Problemlösens.
5 In dieser kumulativen Aufgabe werden lineare
und exponentielle Abnahme in den Teilaufgaben a)
und b) gegenübergestellt. Die Überlegungen in
Teilaufgabe c) geben wesentliche Argumentations­
hilfen für die Lösung der Teilaufgabe d). Gleichzeitig
wird hiermit der prozessbezogene Kompetenzbe­
reich des Argumentierens gefördert.
6 Diese Anwendungsaufgabe zeigt eine prakti­
sche Möglichkeit der Anwendung der exponen­
tiellen Abnahme, auch wenn die barometrische
Höhenformel erheblich komplizierter ist. In diesem
Zusammenhang ist es sinnvoll, auf die Grenzen und
den Sinn eines Modells einzugehen.
K 34 3 Wachstumsprozesse
5 Exponentialfunktion
Intention der Lerneinheit
– die wesentlichen Charakteristika der Exponen­
tial­funktion und der erweiterten Exponential­
funktion kennen
– den Graphen einer Exponentialfunktion zeichnen
und wesentliche Merkmale erkennen und be­
schreiben können
– mithilfe der Funktionseigenschaften aus gegebe­
nen Werte­tabellen die Funktionsgleichung ent­
wickeln
– Unterschiede zwischen linearem, quadratischem
und exponentiellem Wachstum kennen
– gegebene Graphen der jeweiligen Funktionsglei­
chung zuordnen können
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe führt zu den Wertetabellen
von vier Exponentialfunktionen. Die Wertetabellen I
bis III thematisieren das Wachstum, Wertetabelle IV
eine Abnahme. Mithilfe der anhand der Auftaktsei­
te erarbeiteten Vorstellungen können die Schülerin­
nen und Schüler selbstständig oder nach Anleitung
die Funktionsgleichung erkennen und den zugehöri­
gen Graphen zeichnen. Dabei treten Gemeinsamkei­
ten und Unterschiede deutlich hervor.
Alternativer Einstieg
Alternativ kann auch mithilfe einer DGS, wie es zum
Beispiel im Schülerbuch auf Seite 87 (Kasten) be­
schrieben wird, begonnen werden.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Wurde die Exponentialfunktion gemäß der Auf­
taktseite noch nicht dargestellt, kann dies nach
dem Aufstellen der Wertetabellen nachgeholt
werden. Hierzu finden sich auch Übungen auf
dem < Serviceblatt „Tabelle und Graph“, Seite
S 27. Eine weitere Festigung kann durch Einsatz
des < Serviceblattes „Exponentialfunktionsdomi­
no“, Seite S 28 erreicht werden.
– Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten: entwe­
der man beginnt mit der etwas komplizierteren,
aber den Schülerinnen und Schülern schon aus
vorangegangenen Lerneinheiten bekannten, er­
weiterten Formel y = c · a x oder mit der „einfa­
chen“ Exponentialfunktion y = a x. Zum Heraus­
arbeiten der charakteristischen Eigenschaften
bietet sich der Beginn mit der „einfachen“ Expo­
nentialfunktion an.
– Auf den < Serviceblättern „Wachstumslauf“, Sei­
te S 29 bis S 31, findet sich ein Spiel, das alle im
Kapitel behandelten Themen aufgreift. So kön­
nen in Schülergruppen die Begriffe Wachstum,
Abnahme, Generationszeit, Halbwertszeit sowie
Aufgaben dazu wiederholt werden. DO01742602_K03_030_037.indd 27.07.2010 09:26:35 Seite: 35 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 86 – 88
Die letzten beiden Kärtchen setzen eine Behand­
lung der Lerneinheit 6 Der Logarithmus, Schüler­
buchseite 89 – 91, voraus. Ist diese nicht erfolgt,
sollten sie von der Lehrperson vor Beginn des
Spieles aussortiert werden.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 3; 5; 6; 11
Kumulative Aufgaben: A 4; 10
Komplexe Aufgaben: A 7
Anwendungsaufgaben: A 8; 9
3 Die Aufgabe geht auf den Zusammenhang
des Faktors q und des Kehrwertes ​ _q1  ​ ein. Dieser
Zusammenhang muss deutlich hervorgehoben und
von den Schülerinnen und Schülern verinnerlicht
worden sein, wenn ein tieferes Verständnis der
Eigenschaften von Exponentialfunktionen erreicht
werden soll. Es bietet sich daher an, die Lernenden
selbst solche Aufgaben entwickeln und bearbeiten
zu lassen.
4 In dieser Aufgabe werden exponentielles, quad­
ratisches und lineares Wachstum gegenübergestellt.
Es werden die prozessbezogenen Kompetenzberei­
che Kommunizieren und Argumentieren angespro­
chen. Teilaufgabe c) dient dazu, die unterschiedli­
chen Eigenschaften der Funktionen hervorzuheben.
Wichtig ist insbesondere die Erkenntnis, dass Aus­
sagen wie etwa „Quadratische Funtionen wachsen
immer schneller als lineare Funktionen.“ nicht gel­
ten.
Durch ein gleichzeitiges Betrachten verschiedener
Funktionstypen wird insgesamt das Verständnis
funktionaler Zusammenhänge und Abhängigkeiten
unterstützt und gefestigt.
Es bietet sich an, die Aufgabe zunächst in Partner­
arbeit zu lösen und im Anschluss die Ergebnisse an
der Tafel zu sammeln und zu systematisieren.
Exponentialfunktion und DGS
Mithilfe des Computers können die Parameter
der Funktionsgleichung leicht variiert werden.
Die Auswirkungen sind als Veränderung des
Graphen sofort sichtbar. Damit lassen sich Funk­
tionen leichter untersuchen und Fragestellungen,
wie sie im Schülerbuch vorgeschlagen sind, be­
antworten. Insofern ermöglicht der Computer die
Entdeckung von Eigenschaften von Funktions-
typen und damit eine Vertiefung vorhandener
Grundvorstellungen.
Hinweise zur Erstellung der für die Bearbeitung
des Kastens Exponentialfunktion und DGS notwen­
digen Datei mithilfe des Programms GEONExT
(Download unter http://www.geonext.de):
Å. Zunächst werden zwei horizontale Geraden
konstruiert.
2. Auf die erste Gerade wird ein in a umbenannter
Gleiter gesetzt. Auf die zweite Gerade wird eben­
falls ein Gleiter mit der Bezeichnung c gesetzt.
3. Nun wird die Berechnung der Funktion
X(a)^x*X(c) eingegeben.
4. Durch das Verschieben der Gleiter a und c las­
sen sich die Parameter der Exponentialfunktion
variieren.
6 Bei dieser operativen Übung besteht der Trick
darin, sich auf zwei x-Werte, nämlich 0 und 1, zu
konzentrieren. Setzt man diese in die Funktions­
gleichungen y1 bis y8 ein, ist die Zuordnung der sieben Graphen verhältnismäßig einfach.
7 Die Aufgabe ähnelt in groben Zügen Aufgabe 6.
Da hier zwei Punkte gegeben sind, muss die Funk­
tionsgleichung rechnerisch erarbeitet werden.
Grundlegende Voraussetzung hierfür sind elemen­
tare Kenntnisse der Potenzrechenregeln. Teilaufga­
be e) leistet einen wesentlichen Beitrag zur Förde­
rung des prozessbezogenen Kompetenzbereichs
Argumentieren, da hier die Schülerinnen und Schü­
ler begründen müssen, warum zwei Punkte zur Be­
stimmung der Exponentialfunktion ausreichen.
Dies ist deswegen der Fall, weil eine (erweiterte)
Exponentialfunktion y = c · ax durch die zwei Para­
meter a und c eindeutig bestimmt ist. Für x = 0 er­
hält man y = c · a0 = c · 1 = c; für x = 1 erhält man
y = c · a1 = c · a und kann daraus a berechnen.
9 Bei dieser Aufgabe ist es sinnvoll, von 100 %
oder 1 g als Startwert auszugehen.
10 Zur Bewältigung dieser kumulativen Aufgabe
sind elementare Kenntnisse der Potenzrechnung
notwendig. Eine Begründung der Beobachtung ist
nur dann möglich: Verschiebt man den Graphen
um 1 nach links (also x + 1 statt x), so verdoppelt
sich der Funktionswert an jeder Stelle, denn 2 x + 1 = 2 · 2 x.
3 Wachstumsprozesse K 35
DO01742602_K03_030_037.indd 27.07.2010 09:26:35 Seite: 36 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 88 – 93
11 Ähnlich wie bei Aufgabe 7 a) ist es relativ ein­
fach, mithilfe der x-Werte 0 und 1 die Funktions­
gleichung für Kultur A und Kultur B zu bestimmen.
Wenn die Schülerinnen und Schüler verinnerlicht
haben, dass x für die Zeit steht, ist Teilaufgabe b)
leicht zu erläutern: x = – 1 ist der Zeitpunkt eine
Stunde vor Beobachtungsbeginn, entsprechend x = – 2 .
6 Der Logarithmus
Intention der Lerneinheit
– wissen, dass der Exponent zu einer gegebenen
Basis und Zahl Logarithmus heißt
– eine Exponentengleichung in eine Logarithmus­
gleichung umformen können und umgekehrt
– Zehnerlogarithmus und allgemeinen Logarith­
mus kennen und unterscheiden
– den gesuchten Exponenten in Exponentialglei­
chungen mit dem Logarithmus berechnen kön­
nen
– den Logarithmus zu einer beliebigen Basis mit­
tels Zehnerlogarithmen berechnen können
Einstiegsaufgabe
Diese praxisnahe Sachaufgabe bietet unterschiedli­
che Lösungsansätze. Zunächst kann sie näherungs­
weise graphisch gelöst werden. Allerdings lassen
sich durch weiterführende Fragestellungen höhere
Anforderungen an die Genauigkeit der Lösungen
stellen. Damit stellt sich die Frage nach einem rech­
nerischen Lösungsverfahren hoher Genauigkeit.
Die Suche nach der Anzahl der Jahre bedeutet, dass
der Exponent in einer einfach gehaltenen Exponen­
tialgleichung gesucht ist. Die bisherigen Umformun­
gen führen nicht zu einer Lösung der Gleichung.
Nach Einführung des Logarithmus und der zuge­
hörigen ersten Umformungen wird die Gleichung
lösbar.
kürzt wird und der Zehnerlogarithmus (dekadische
Logarithmus) mit lg. Dagegen findet sich auf zahl­
reichen im Umlauf befindlichen Taschenrechnern
die Abkürzung log für den Zehnerlogarithmus. Dies
führt leicht zu Verwechslungen, wenn es nicht the­
matisiert wird. Empfehlenswert ist hier auch der
Einsatz eines projizierbaren Taschenrechners (für
den Overheadprojektor) falls diese Ausstattung vor­
handen ist.
Auch die unterschiedlichen Reihenfolgen bei der
Eingabe müssen erörtert werden.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplari­
sche Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zu­
grunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5
Operative Übungen: A 6; 7; 8; 9; 10; 11
Kumulative Aufgaben: A 12; 13
Komplexe Aufgaben: A 14
Anwendungsaufgaben: A 12; 13; 14
4 Hier lässt sich die Faustformel zur Verdoppe­
lungszeit einsetzen.
12 und 13 Es bietet sich an, hier vor dem Rechen­
weg eine Schätzung, möglichst mit Begründung
durchführen zu lassen, um die häufigen Fehlein­
schätzungen exponentieller Prozesse zu thematisie­
ren.
13 Die Unterscheidung zwischen linearer Abnahme
um 10 % des ursprünglichen Wertes und exponenti­
eller Abnahme sollte thematisiert werden.
Üben • Anwenden • Nachdenken
Aufgabenkommentare
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Das < Serviceblatt „Radioaktivität“, Seite S 32 bietet
Anwendungsaufgaben zur Berechnung des Loga­
rithmus und zum Ablesen anhand des Funktions­
graphen.
Im Umgang mit dieser Rechnung müssen die ent­
sprechenden Tasten auf den in der Lerngruppe
vor­handenen Taschenrechnern erkundet werden. In
zahlreichen Lerngruppen sind unterschiedliche Mo­
delle in Gebrauch. Hier ist es wichtig, die vorkom­
menden Tastenbezeichnungen zu recherchieren und
ihre Bedeutung und Handhabung zu vermitteln. Zu
beachten ist, dass im mathematischen Sprachge­
brauch der allgemeine Logarithmus mit log abge­
K 36 3 Wachstumsprozesse
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 2; 3; 24; 25
Operative Übungen: A 1; 6; 7; 10; 16; 18; 19; 20; 21;
22; 23; 24; 27
Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 26
Anwendungsaufgaben: A 8; 9; 11; 12; 13; 14; 15; 17; Kasten auf Seite 94
DO01742602_K03_030_037.indd 27.07.2010 09:26:36 Seite: 37 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Yellow
Schülerbuchseite 93 – 96
4 Diese kumulative Aufgabe dient dazu, lineares
von exponentiellem Wachstum abzugrenzen. Teil­
aufgabe c) lässt sich sowohl mithilfe der Tabelle
aus a) als auch mit dem Graphen aus Teilaufgabe b)
lösen.
Bevölkerungswachstum – Deutschland
Der Kasten beschäftigt sich mit der Problematik
der Wachstumsprognosen. Im Vergleich der er­
rechneten Werte mit den realen Zahlen fallen ein
paar markante Stellen auf. Nämlich 1921, 1946,
1986 und 1996. Dabei sollte im Gespräch auf
wichtige Faktoren, wie z. B. 1. und 2. Weltkrieg,
„Pillenknick“, Wiedervereinigung, eingegangen
werden.
8, 10, 12 bis 15 Für die Berechnung der Zeit bieten
sich generell zwei Wege an. Zum einen lässt sich
die Zeit unter Zuhilfenahme einer Gleichung mit
dem Logarithmus berechnen, zum anderen durch
gezieltes Probieren mittels einer Tabelle. Wird die
Zeit mithilfe des Logarithmus bestimmt, ist es wich­
tig, auf genaue Formulierungen der Antwort zu ach­
ten, da man häufig keine ganzzahligen Ergebnisse
hat. Hier sollte das sinnvolle Runden noch einmal
thematisiert werden.
11 Die Teilaufgaben a) und b) sind verhältnismäßig
einfach mittels Wachstumsformel zu lösen. Ledig­
lich Teilaufgabe c) erfordert ein vertieftes Verständ­
nis über die Bedeutung der Wachstumsperioden
und deren Umrechnung.
18 – 20 Diese operativen Übungen erfordern und
fördern ein vertieftes Verständnis der charakteristi­
schen Eigenschaften der Exponentialfunktion.
3 Wachstumsprozesse K 37
DO01742602_K04_038_048.indd 25.06.2010 10:28:24 Seite: 38 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 98 – 119
4 Sachrechnen
Kommentar zum Kapitel
Mit dem zehnten Schuljahr schließt der Ausbildungsabschnitt der Sekundarstufe I. Der Übergang
in die berufliche Ausbildung oder eine weiterführende Schule steht bevor. Die Lerneinheiten des Kapitels Sachrechnen haben
das Ziel, die in den Jahren zuvor erarbeiteten Kenntnisse in einem gestrafften Kompendium zur
Wiederholung und als eine Art „Fitnesstraining“ für
den Abschluss zusammenzufassen. Die Lehrtexte
sind kurz gehalten und motivieren. Sie erklären nur
wenige neue Begriffe und Inhalte. Sie zeigen stattdessen effiziente Wege, Standardaufgaben zu bearbeiten. Die Aufgabensammlungen halten sich nicht
mit Einstiegsübungen auf, sondern gehen nach wenigen Standardtypen zu komplexer strukturierten
Sachaufgaben über. Etliche davon, besonders in den
Lerneinheiten zu Sparformen und Krediten, sind
an Problemstellungen orientiert, die den Schülerinnen und Schülern im späteren Alltag oder in der
Berufsausbildung begegnen. Weniger Aufgaben als
sonst dienen der innermathematischen Betrachtungsweise. Besondere Aufmerksamkeit wird dem
Untersuchen und Beurteilen von Daten eingeräumt,
das nur zögerlich in die Praxis des Schulunterrichts
aufgenommen worden ist. Die Methoden waren
den Lehrkräften nicht vertraut und die Relevanz für
den beruflichen Alltag wurde erst langsam deutlich.
Mittlerweile gehören statistische Argumentationsweisen zum Alltag und haben neben den „traditionellen“ Themen ihren Platz im Gebiet Sachrechnen
gefunden. Das Kapitel stellt die Bestimmung der
wichtigsten Kennwerte in den Mittelpunkt und
vermittelt klare Methoden für das Beurteilen der
Daten in ihrem Kontext.
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Zins- und Zinsrechnung sowie Spar- und Kreditformen stehen im Mittelpunkt der ersten Kapitelhälfte. Die bereits in vorangehenden Schuljahren
erworbenen Kenntnisse werden in realitätsnahen
Aufgabenstellungen wieder aufgegriffen. Der
Komplexitätsgrad ist dem Ausbildungsstand entsprechend hoch. Die Themen sind so ausgewählt,
dass sie bereits auf die Erfahrungswelt der jungen
Menschen in der Berufsausbildung zielen. Die
zweite Hälfte zum Thema Daten fasst Vorwissen
über Verteilungen von Daten zusammen. Die Schülerinnen und Schüler trainieren, Datenmengen mit
standardisierten Verfahren auf ihre Kennwerte zu
untersuchen und verlässliche Aussagen über die Datenverteilung und Strukturen machen zu können.
K 38 4 Sachrechnen
Bezug zum Lehrplan
Leitidee Daten und Zufall:
Die Schülerinnen und Schüler können
– Statistische Daten aus Quellen herauslesen, darstellen und interpretieren
Auftaktseite: Abrechnen – Hochrechnen
Die Auftaktseiten setzen gleich zu Beginn links
oben den Impuls (Orientierung): Mathematik
kommt im Alltag vor. Aufgezählt werden die häufigsten Situationen, die auch im Kapitel aufgegriffen werden: Rechnungen, Diagramme, Statistiken
und Tabellen. Mit Beispielen illustriert die linke Seite, welche Inhalte zu den Formen gehören können.
Ein Kassenbon mit impulsgebender Aufgabenstellung und ein Foto zur sofortigen Erfassung des Bezugs ordnen das Sachrechnen dem Thema Mobilität
zu, das für die Lernenden einen hohen Stellenwert
hat. Das darunter platzierte Diagramm vermittelt
drastisch den Anstieg der Benzinpreise von 1950 bis
2004. Der darunter zitierte Zeitungs­artikel repräsentiert das allgemein verbreitete hilflose Jammern mit
der Frage: „Wo führt das noch hin?“ Die zumindest
vorläufige Antwort gibt der Kassenbon: Benzin wird
noch teurer.
Der Kassenzettel gibt den Anstoß, das Sammeln
von Daten zu untersuchen. Wie Daten gesammelt
werden können, die besser gesicherte Aussagen
über zukünftige Entwicklungen oder andere Strukturen zulassen, finden die Schülerinnen und Schüler
auf der rechten Hälfte der Auftaktseiten dargestellt.
Wieder befinden sich oben die Impulse zur Daten­
erhebung, angrenzend daran ein angedeuteter
Frage­bogen und ein passendes Balkendiagramm,
das eine Auswertung anbietet. Kritische Schülerinnen und Schüler können überlegen, ob das
Diagramm für eine Auswertung der Häufigkeiten
besser strukturiert sein könnte und sich für einen
anderen Diagrammtyp entscheiden. Zu noch weiter
gehenden Interpretationen und Aktionen werden
sie durch die anknüpfenden Aufgaben am unteren
Seitenrand motiviert.
Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass ihnen
in diesem Kapitel bereits bekannte mathematische
Arbeitstechniken im Zusammenhang mit Alltags­
situationen erneut begegnen.
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Schülerbuchseite 98 – 101
1 Zinsrechnen und Zinseszins
1 und 2 Grundaufgaben der Zinsrechnung werden
Intention der Lerneinheit
Die Zinsrechnung wird anhand typischer Aufgabenmuster wiederholt.
variiert. Die zu vergleichenden Sparverträge von
Aufgabe 2 zeigen eine Zahlenspielerei. Erst durch
Nachrechnen erschließt sich, dass es sich um identische Angebote handelt.
Einstiegsaufgabe
Der Unterschied zwischen einmaliger Verzinsung
und Zinseszins wird aufgezeigt.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
In Klasse 8 haben die Schülerinnen und Schüler gelernt, das Kapital nach einem Jahr (K1) mithilfe des
Zinsfaktors q zu berechnen.
·q
Anfangskapital
·q
Kapital nach
einem Jahr
·q
deutung. Die Schülerinnen und Schüler werden
darauf aufmerksam gemacht, dass sie alternative
Finanzierungsmöglichkeiten suchen und gegen­
einander abwägen können. In diesem Fall lohnt
sich die Barzahlung mit Skontoabzug deutlich.
4 In Teilaufgabe c) wird zur Bestimmung des Zinssatzes nach der Formelumstellung die vierte Wurzel
verlangt.
Kapital nach
einem Jahr
Dieses Verfahren sollte zunächst wiederholt werden, denn der Zinsfaktor ist der Schlüssel zum Verständnis der Zinseszinsrechnung und ihrer Formel.
Wird die Multiplikation mehrfach ausgeführt, kann
damit das Geldwachstum über mehrere Jahre beschrieben werden.
Die Erweiterung der oberen Visualisierung unterstützt das Verständnis für die Berechnungen der
Zinseszinsrechnung.
Anfangskapital
3 Die Aufgabenstellung hat eine praktische Be-
Kapital nach
zwei Jahren
Die obigen Ausführungen sind auch Grundlage für
das Verständnis und die Erarbeitung der Formeln
für das Zuwachs- und das Ratensparen. Das < Serviceblatt „Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne
und verstehe“, Seite S 33 bietet entsprechende Aufgaben.
Das < Serviceblatt „Zinseszins – mit dem Computer:
einfach genial“, Seite S 34, zeigt die Vorteile eines
Rechenblattes bei der Zinseszinsrechnung.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 4 a); 7 a)
Operative Übungen: A 2; 3; 4 b), c); 6; 7 b)
Kumulative Aufgaben: A 8
Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8
Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 5
5 Die Zinserträge in Teilaufgabe a) wären mit
33,8 % und 34,0 % kaum unterschiedlich. Deshalb
ist das Entscheidungskriterium die unterschiedliche
Anlagedauer.
Vor der Berechnung zu Teilaufgabe b) sollten die
Schüler den Zinssatz schätzen. Im Anschluss lohnt
es sich, die Aufgabe zu variieren und nach dem
Zinssatz zu fragen, bei dem sich das Kapital in fünf
bzw. 20 Jahren verdoppelt.
6 und 7 Die Grundaufgaben werden in einen komplexeren Kontext gestellt. Die Vertragslaufzeiten
weichen vom Einjahresrhythmus ab und sind dadurch schwieriger zu vergleichen.
8 Es ist heute üblich geworden, zeitliche Abläufe
der Kapitalentwicklung in Rechenblättern von Tabellenkalkulationen darzustellen. Die Parameter lassen
sich so schnell ändern und die Einflüsse auf die
Finan­zen überprüfen. Ergänzt durch Diagramme, die
sich sofort an veränderte Tabellenwerte anpassen,
kann dieses Vorgehen einen besseren Überblick
funktionaler Zusammenhänge ermöglichen. Die
Schülerinnen und Schüler können die Methoden zur
Bestimmung der Verdoppelungszeit mit ihren Berechnungen in Aufgabe 5 vergleichen.
4 Sachrechnen K 39
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2 Zuwachssparen und ­Raten­sparen
Intention der Lerneinheit
Zuwachssparen und Ratensparen sind weit verbreitete, seit langer Zeit bekannte und verlässliche
Sparformen. Alle Einzelheiten lassen sich mit den
mathematischen Kenntnissen von Zehntklässlern
bearbeiten. Mit der Erarbeitung der Besonderheiten
trainieren sie mathematische Fertigkeiten, hauptsächlich der Gleichungslehre und der Potenzrechnung. Zugleich erwerben sie Kenntnisse, die ihnen
helfen, andere Sparformen in ihren Strukturen erkennen und beurteilen zu können.
Einstiegsaufgabe
Für beide Sparformen wird ein Beispiel vergleichend
zur Diskussion gestellt. Die Vor- und Nachteile lassen
sich anhand der vollständigen Angaben schrittweise
ohne weitere Anleitung herausarbeiten.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Die Konditionen für Sparformen ändern sich im
Verlauf einiger Jahre. Die Banken bieten je nach
der Entwicklung des Kapitalmarkts bestimmte
Formen stärker an und nehmen andere zurück.
Es macht den Unterricht wirklichkeitsnäher, wenn
nach der Einführung in das Thema die Schülerinnen
und Schüler beauftragt werden, lokale Bank- und
Sparkassenfilialen aufzusuchen und sich direkt im
Gespräch mit Beratern zu informieren. Die Aufarbeitung im Unterricht in Arbeitsgruppen und Kurzreferaten bleibt für alle Beteiligten spannend. Die Lehrkräfte erfahren so, wie sich die Argumentationen
der Banken von Jahr zu Jahr ändern. Die kritische
Einordnung und Bewertung der Angebote schaffen
die Arbeitsgruppen nicht immer allein. Die Begriffswelt der Banken ist sehr differenziert, für schulische
Betrachtungen zu überladen. Für die Rückführung
auf bekannte mathematische Strukturen und Begriffe wird die Hilfe der Lehrkraft benötigt.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 5 a)
Operative Übungen: A 2; 3; 4, 5 b), c); 6;
Komplexe Aufgaben: A 7
Anwendungsaufgaben: alle
1 bis 3 Die ersten drei Aufgaben trainieren Berechnungen für das Zuwachssparen entsprechend dem
Lehrtext und dem ersten Beispiel der Lerneinheit.
In zusätzlichen Fragen nach gleichwertigen Sparformen mit festem Zinssatz wird auf die vorange­
K 40 4 Sachrechnen
hende Lerneinheit zurückgegriffen. Die Aufgaben
lassen sich besonders anschaulich mithilfe des
< Serviceblattes „Zuwachssparen – Schritt für
Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 35 bearbeiten.
Die Visualisierung über das Operatorschema hilft,
die vergleichsweise komplexe Fragestellung zu verstehen.
4 Die Zielrichtung dieser Aufgabe zum Zuwachssparen, einen bestimmten Betrag zu einem vorgegebenen Zeitpunkt zur Verfügung zu haben, weicht
vom Muster der vorangehenden Aufgaben ab. Sie
entspricht aber einer häufigen Problemstellung in
der Alltagswelt und sollte deshalb im Unterricht
nicht ausgelassen werden.
5 Bundesschatzbriefe vom Typ B sind Zuwachssparverträge. Die Zinssätze sind nur Beispiele. Sie
werden für jede Ausgabe von der Bundesfinanzagentur neu festgesetzt. Die Schülerinnen und
Schüler können selbst die aktuellen Informationen
recherchieren, z. B. unter [www.deutsche-finanzagentur.de].
6 Wenn die Aufgabe zum Ratensparen mit der
Formel bearbeitet wird, ist ein Taschenrechner mit Editierfunktionen sehr nützlich, um den Tipp­auf­
wand in Grenzen zu halten. Wie am Rand des Schü­
lerbuches vermerkt, kann hier sehr gut mit einer
Tabellenkalkulation gearbeitet werden. Es empfiehlt
sich, hierbei nicht die Formel zu benutzen, sondern
iterativ zu arbeiten: Kn = (Kn – 1 + R) · q. Die Tabelle
lässt damit schnelle Veränderungen der Anfangs­
bedingungen und Vergleiche verschiedener Ange­
bote zu.
Bei dieser Aufgabe kann das < Serviceblatt „Ratensparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“,
Seite S 36 zum Einsatz kommen. Auch hier wird mithilfe des Operatorschemas visualisiert.
Das < Serviceblatt „Ratensparen – mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 37, bietet wiederum
Material zur Erarbeitung am Computer.
7 Hier arbeitet man sinnvoll mit der Formel. Nach
der Fertigstellung der Aufgabe ist eine Variation für
die Arbeit mit einer Tabellenkalkulation möglich:
„Welchen Wert hätte der Zinssatz haben müssen,
damit Frau Stahl die Sparsumme bereits nach vier
Jahren bei gleicher Sparrate erreicht hätte?“ Diese
Frage können Zehntklässler nicht durch Umstellen
der Formel lösen. Ein gezieltes Suchen mithilfe der
Tabellenkalkulation oder auch mit einem leistungsfähigen Taschenrechner ist ein angemessener Weg.
Durch konsequente Fortsetzung des Verfahrens kann
eine vorgegebene Genauigkeit erreicht werden.
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Exkurs
Sparformen
Zuwachssparen und Ratensparen sind sehr konservative Anlageformen mit geringen Renditen
(Zinserträge abzüglich der Kosten, etwa Konto­
führungsgebühren). Finanzdienstleister und
Banken raten daher immer wieder zur Anlage in
Aktienfonds, die in unterschiedliche Aktien und
andere Geldanlageformen investieren. Durch
die Streuung des Kapitals auf unterschiedliche
Aktien wird die Gefahr von Kursverlusten minimiert, gleichzeitig werden aber auch die höheren Renditen des Aktienmarktes erzielt. Selbst
staatlich geförderte Anlageformen (Stichwort
Riester-Rente), sehen die Anlage in Aktienfonds
bzw. gemischten Fonds vor. Dem Vorteil langfristig höherer Renditen steht allerdings immer die
Gefahr deutlicher Wertschwankungen, bis hin
zu Kapitalverlusten, gegenüber. Das Risiko der
Schwankungen ist dann besonders kritisch, wenn
auf ein fest datiertes Ziel hin gespart wird, etwa
die Ablösung eines auslaufenden Kredites oder
die Teilfinanzierung eines Bauvorhabens. Ein
starker Einbruch auf den Aktienmärkten, wie z. B.
die Immobilienkrise 2007/08 in den USA, die sich
auch in Europa zu einer Bankenkrise ausweitete,
kann auch bei Aktienfonds innerhalb weniger
Wochen zu hohen Wertverlusten führen, die
dann in mehreren Jahren erst wieder ausgeglichen werden – einem Zeitraum, den man etwa
bei der Hausfinanzierung nicht zur Verfügung
hat. Bei der privaten Rente wird daher dazu
geraten, in frühen Jahren risikobewusste, langfristige Anlageformen zu wählen und später die
erzielten Kursgewinne bzw. das Mindestsparziel
in festverzinsliche Anlagen umzuschichten.
3 Darlehen
Intention der Lerneinheit
– die Zusammenhänge der Größen bei einer jähr­
lichen Schuldentilgung erkennen und verstehen
– die Kalküle zur Erstellung eines Tilgungsplanes
anwenden
– einen Tilgungsplan mit einem Tabellenkalkula­
tionssystem erstellen und in verschiedenen Diagrammen visualisieren
Einstiegsaufgabe
Die Schülerinnen und Schüler sollten über die Möglichkeiten einer Kreditaufnahme wie über Tilgungsarten Bescheid wissen. Informationen dazu bieten
das Internet, die Banken und die Bausparkassen.
Hier sollte aber nicht nur über Zinsen, Laufzeiten
und Tilgungsraten gesprochen werden, sondern
auch über tragbare Belastungen und die Gefahren
einer Überschuldung.
Ein Musteranschreiben an ein Bankinstitut zur
Vorbereitung eines Erkundungsauftrags sowie ein
Beispiel für einen Erkundungsleitfaden finden sich
in mathematik lehren, Heft 134, Erhard-FriedrichVerlag, Seelze 2006, Mathe-Welt, Seite 13.
Ein erster Tilgungsplan kann anhand des < Ser­
viceblattes „Tilgung – Schritt für Schritt: rechne und
verstehe“, Seite S 38, das eine den Lernenden bereits bekannte Veranschaulichung bietet, erarbeitet
werden.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Mit dem < Serviceblatt „Tilgung – Schritt für
Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 38, kann
eine Schuldentilgung für die ersten drei Jahre
mit den Schülerinnen und Schülern übersichtlich
erarbeitet werden. Das Schema erweitert die bekannten Darstellungen zum Ratensparen und zur
Zinseszinsrechnung.
– Vor dem Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms < Serviceblatt „Tilgung mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 39, sollten Teile eines
Tilgungsplanes händisch erstellt werden. Nur so
kann das Verständnis über die Zusammenhänge
der relevanten Größen (Restschuld, Rückzahlungsrate, Zinsen, …) gefördert werden.
Siehe hierzu das < Serviceblatt „Tilgungsplan“,
Seite S 40.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 4 a) und b)
Operative Übungen: A 3 a)
Kumulative Aufgaben: A 2 a)
Komplexe Aufgaben: A 4 d)
Anwendungsaufgaben: alle
Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 4 c) und e)
1 bis 4 Das schrittweise Berechnen eines Teils
eines Tilgungsplans mit dem Taschenrechner ist
­Voraussetzung für das Verstehen der mathematischen Zusammenhänge.
Eine übersichtliche Darstellung in einer Tabelle fördert das Verständnis. Die Tabelle kann aus einem
Tabellenkalkulationsprogramm kopiert und den Lernenden zur Verfügung gestellt werden.
4 Sachrechnen K 41
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Schülerbuchseite 105 – 107
Aufgabenkommentare
Tilgungsplan mit dem Computer
Mit dem Werkzeug einer Tabellenkalkulation
lassen sich realistische Tilgungspläne auch mit
langen Laufzeiten schnell erstellen. Interessante
Zusatzfragen können ohne viel Rechenaufwand
beantwortet werden, beispielsweise: Wie viel
Euro Zinsen müssen insgesamt bezahlt werden?
Das < Serviceblatt „Tilgung mit dem Computer:
einfach genial“, Seite S 39, unterstützt die Aufstellung eines Tilgungsplanes und gibt Hinweise
zur Erstellung von Diagrammen.
4 Diagramme
Intention der Lerneinheit
Die fünf wichtigsten Diagrammtypen werden in
Erinnerung gerufen und ihre Eigenschaften in Aufgabenbeispielen gegenübergestellt.
Einstiegsaufgabe
Die beiden Beispieldiagramme stehen für die wichtigste Unterscheidung. Das Kreisdiagramm zeigt
die anteilmäßige Verteilung der Karnevalsgegner,
Fans und Unentschlossenen. Das Balkendiagramm
zum Thema Knabbereien veranschaulicht absolute
Werte für den Pro-Kopf-Verbrauch. Die Aufgabenstellung, alternative Darstellungen zu benutzen,
lenkt die Aufmerksamkeit der Lernenden auf diesen
Unterschied und spricht weiteres Wissen über unterschiedliche Diagrammtypen an.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Das Gefühl von Unsicherheit, das vermutlich die
Mehrzahl der Menschen mit dem Begriff Statistik
verbindet, fördert auch eine reichliche Produktion
von veröffentlichten Texten. Etliche behandeln
das Thema dieser Lerneinheit, den richtigen oder
falschen Umgang mit Diagrammen. Ein Klassiker
darunter ist die gut lesbare und auch amüsante
Abhandlung „So lügt man mit Statistik“ von Walter
Krämer. Es ist für interessierte Schüler des 10. Jahrgangs gut lesbar. Internetbeiträge berichten von
erfolgreichen Schulprojekten auf der Grundlage dieses Taschenbuches.
K 42 4 Sachrechnen
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Operative Übungen: A 1; 3; Kasten Tipps und Tricks
bei Diagrammen
Kumulative Aufgaben: A 2; 4; 5
Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 4; 5
1 Die Unterscheidung von relativen und absoluten
Datenangaben wird abgefragt.
2 Zu einer Aufzählung von Ausbildungsberufen
gibt die Datentabelle jeweils die Höhe der Ausbildungsvergütungen für „West“ und „Ost“ an. In
dem geforderten Säulendiagramm können die
Datenpaare für jeden Beruf als gruppierte Säulen
nebeneinander dargestellt werden. Der Tabelle
folgend sind die Diagrammeinträge nach der Höhe
der Westvergütungen abfallend sortiert. Im fertigen
Diagramm fällt deutlicher als in der Tabelle auf,
dass die Stellung des Kfz-Mechatronikers im Osten
von der im Westen abweicht. Falls dies besonders
herausgehoben werden soll, können die Säulendia­
gramme durch zusätzlich eingetragene Liniendiagramme ergänzt werden. Die sich überkreuzenden
Linien machen die Abweichung sofort kenntlich.
Der Vergleich der absoluten Differenzen lässt sich
durch den visuellen Eindruck grob erfassen. Der
prozentuale Unterschied ist dem Auge nicht so
leicht zugänglich. Für eine verlässliche Information
ist die Ergänzung der Tabelle durch die zusätzlich
berechneten Angaben und ein neues Diagramm
sinnvoll.
3 Etliche Fragen wirft die Umkehrung der Fragestellung auf: „Habe ich solch einen Graphen schon
einmal gesehen?“ bzw. „Kenne ich einen Vorgang,
der diesen Graphen erzeugt?“ Die Schülerinnen und
Schüler müssen den Graph analysieren, z. B. die Teilung der horizontalen Achse feststellen. Eine erste
Assoziation zu den Monaten eines Jahres ist möglich. Der Verlauf des Graphen ist als unterschiedlich
starker Anstieg bis zu einem Hochpunkt und einem
schnelleren Abstieg zu beschreiben. Nach dem mathematischen Vorgehen folgt die Verknüpfung mit
einem realen Vorgang, also eine Art Umkehrung
des Prozesses der Modellbildung. Es könnten z. B.
die Verkaufszahlen eines neu auf den Markt gebrachten modischen Artikels dargestellt sein. Die
Lernenden sollten Spaß an der Aufgabe haben.
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Schülerbuchseite 107 – 109
4 Diese Aufgabe ähnelt Aufgabe 2. Die zu vergleichenden Datenmengen sind auf unterschiedliche
Weise vorgegeben. Sie müssen zunächst in einem
gemeinsamen Diagramm dargestellt werden. Ein
Säulendiagramm kann dem Muster aus Aufgabe 2
folgen. Für ein Balkendiagramm kann die Form des
gegenüberliegenden Balkendiagramms wie in Beispiel b) der Seite 106 nützlich sein.
5 Die absoluten Angaben für die bereitgestellten
Energiemengen lassen sich aus den Angaben des
Kreisdiagramms berechnen, weil im Aufgabentext
das Gesamtvolumen angegeben ist. Das nebenstehende Säulendiagramm schlüsselt die erneuerbaren
Energien in die beitragenden Bestandteile auf. Dies
sind bereits Prozentangaben. Die Schülerinnen und
Schüler müssen sich bewusst machen, dass die
Bezugsgröße – der Grundwert – geändert werden
muss, um ein gesondertes Kreisdiagramm darstellen zu können. Deshalb ist es in Präsentationen
für den Betrachter manchmal verwirrend, zwei
aufeinander bezogene Kreisdiagramme betrachten
zu müssen. Die in der Aufgabenstellung gewählte
Darstellung ist dagegen eindeutig.
Tipps und Tricks bei Diagrammen
Der erste visuelle Eindruck ist bei der Betrachtung von Diagrammen entscheidend. Nur wenn
anschließend eine genauere Analyse der Darstellung folgt, wird ein eventuell voreiliger Eindruck
oder sogar Trugschluss zurechtgerückt. Deshalb
ist es in nahezu allen Publikationen gang und
gäbe, die Achseneinteilung für den optischen
Eindruck zu manipulieren. Die Grenze zwischen
der Hervorhebung von Details und einer beabsichtigten Täuschung ist unscharf.
Der Kasten unterrichtet die Schülerinnen und
Schüler über die Methoden, die Werteachse zielgerichtet einzuteilen. Im letzten Beispiel kommt
eine Manipulation der Rechtsachse hinzu. Die
zunächst in Jahresschritten steigende Skalierung
der Achse macht zur letzten Säule einen Sprung
von sieben Jahren. Wie die Schülerinnen und
Schüler anhand der ersten Daten nachprüfen
können, ist die Entwicklung der Reisekosten annähernd linear. In diesem Diagramm scheint sie
dagegen stark ansteigend zu sein.
5 Daten auswerten
Intention der Lerneinheit
Datenerhebungen sind den Schülerinnen und Schülern aus vielfältigen Beispielen bekannt, z. B. aus
Umfragen, Messprotokollen und Tabellen der gesellschaftskundlichen Fächer. In dieser Lerneinheit werden die mathematischen Methoden bereitgestellt,
um die Datenmengen unterschiedlicher Quellen
nach einheitlichen Kriterien auf typische Merkmale
zu untersuchen. Dazu gehören der Zentralwert und
die Quartile als Kennwerte der explorativen Datenanalyse sowie auch der analytische Begriff des
Mittelwerts. Als eine besonders sinnfällige Methode,
charakteristische Eigenschaften einer Datenmenge
darzustellen, wird der Boxplot vorgestellt. Siehe
hierzu auch den Exemplarischen Kommentar: Die
Kennwerte, Seite K 44.
Die Inhalte der Lerneinheit sind in vorangehenden
Schuljahren bereits erarbeitet worden. Hier werden sie in einer für ältere Schüler angemessenen
Knappheit zusammengeführt und auch auf typische, komplexere Aufgabenstellungen vielfältiger
Themenbereiche angewendet.
Einstiegsaufgabe
Die Tabelle mit Daten über die Mitgliederentwicklung eines Sportvereins ist mit einer klaren Aufgabenstellung verbunden. Die in den vorangehenden
Schuljahren erarbeiteten Methoden, Datenmengen
durch Kennwerte zu beschreiben, werden zusammengefasst. In der Gesamtschau, ohne herausgehobene Strukturkennzeichen, lässt sich die Zahlenmenge nicht sofort sinngebend erfassen. Zunächst
wird die Tabelle in Zeilen – Mitgliederbereiche –
und Spalten – die Reihung nach Jahreszahlen – aufgelöst. Jeder einzelne Bereich soll durch bekannte
Kennwerte beschrieben werden. Der Anstoß, dass
der Verein im Fitnessbereich mit einer angestrebten
Mitgliederzahl kalkuliert, führt zum Interpretieren
der Kennwerte und Prüfen der Kalkulation. Die
Mitgliederzahlen sind im Soll und seit zwei Jahren
rückläufig.
Vergleiche der Bereiche untereinander werden nicht
angesprochen, dafür bietet sich eine Fortsetzung
der Analyse an, z. B. anhand einer Veranschaulichung durch Diagramme wie in der vorangehenden
Lerneinheit.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Es gibt unterschiedliche Methoden, die Werte
der Quartile zu bestimmen. Dies ist zu berücksichtigen, wenn mit graphischen Taschenrechnern oder Tabellenkalkulationen im Unterricht
gearbeitet wird. Die Werte stimmen bei Datenmengen von geringem Umfang nicht immer
4 Sachrechnen K 43
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überein. Bei großen Datenmengen sind die
Unter­schiede zu vernachlässigen.
– Die Bezeichnungen Zentralwert und Median stehen für denselben Begriff. Die Schülerinnen und
Schüler werden in der Anleitung für ihren Taschen­
rechner oder bei der Recherche im Internet auf
beide Begriffe stoßen.
< Serviceblatt „Daten in Diagrammen darstellen“,
­Seite S 41.
Exemplarischer Kommentar
Die Kennwerte
Die Auswertung einer Datenerhebung ist eine
Form der Interpretation. Interpretieren heißt in
diesem Zusammenhang, eine inhaltliche Aussage, eine kontextbezogene Aussage mit den
Daten begründet in Verbindung zu bringen. Dazu
müssen die Daten zu einer Typisierung durch
Kennwerte verdichtet werden. Im Mathematik­
unterricht wird eine Anzahl von Kennwerten benutzt, mit deren Hilfe zu sehr unterschiedlichen
Kontexten verlässliche Aussagen gemacht werden können.
Maximum, Minimum und Spannweite drücken
die Grenzen eines durch die Erhebung erfassten
Bereiches aus. Es wird dadurch keine Struktur
­innerhalb des erfassten Bereiches beschrieben.
Diese Kennwerte können von herausragender Bedeutung sein, z. B. wenn bei technischen Neu­ent­
wicklungen durch Praxiserhebungen heraus­ge­fun­
den werden soll, welchen Tempe­ratur­schwan­kun­
gen sie in der Praxis ausgesetzt sein werden.
Zentralwert und Mittelwert entstammen unterschiedlichen Methoden, Mittelungen für eine
Stichprobe anzugeben. Der Mittelwert bezeichnet das arithmetische Mittel, bei dem alle Angaben durch die Größe ihres Wertes gewichtet
werden. Eine metrische Anordnung der Daten
wird vorausgesetzt. Der Zentralwert bezieht sich
nur auf eine geordnete Reihenfolge aller Daten
und zeigt den in der Rangfolge mittleren Wert
an. Eine metrische Skalierung ist nicht nötig.
(Ein Überblick über verschiedene Skalierungen
wird im Exemplarischen Kommentar Auf die
Skala kommt es an!, Seite K 77, Serviceband 7
gegeben.) Bei Verteilungen ohne hervorstechende Eigenschaften, z. B. bei Symmetrie oder
gleichmäßiger Anordnung, liegen Mittelwert und
Zentralwert nahe beieinander. Verteilungen mit
deutlichen Ausreißern oder Häufungen von Daten am Rande der Verteilung ergeben oft, dass
Zentralwert und Mittelwert deutlicher voneinander abweichen.
K 44 4 Sachrechnen
Der Zentralwert ist ein ziemlich stabiler Wert
bei singulären Veränderungen. Hinzufügen oder
Streichen von wenigen Daten beeinflussen ihn
gering. Er kann nur stark schwanken, wenn er
an der Schwelle einer Werteveränderung liegt.
Der Mittelwert dagegen kann stark schwanken,
wenn ein einzelner, aber herausragender Wert
zur Erhebung hinzukommt oder gestrichen wird.
Der Mittelwert beinhaltet mehr Informationen
über die Datenerhebung als der Zentralwert. Aus
der Kenntnis des Umfangs der Datenerhebung
und des Mittelwerts lässt sich auf den Gesamtwert schließen. Wenn im Restaurant von einer
Gruppe mit zehn Gästen bekannt ist, dass sie
durchschnittlich 13,25 € bezahlt haben, muss der
Kellner 10 · 13,25 € = 132,50 € zur Kasse bringen.
Umgekehrt wird der Gesamtbetrag oft auf die
Teilnehmenden umgelegt. Jeder zahlt den Mittelwert. Allein die soziale Kontrolle sorgt dafür, dass
stark ungerechte Belastungen vermieden werden. Der Mittelwert allein sagt nichts über die
Abweichungen innerhalb einer Erhebung aus.
Oberes und unteres Quartil weisen den Bereich
für eine mittlere Merkmalsausprägung aus. Sie
umfassen mindestens 50 % der erhobenen Werte.
Extreme Werte außerhalb fallen dabei nicht ins
Gewicht. Mithilfe der Boxplots werden bis auf
den Mittelwert alle benutzten Kenndaten eingängig visualisiert.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 3; 6; 11
Operative Übungen: A 2; 4; 5; 7; 8; 12; 13; 14
Kumulative Aufgaben: A 10
Komplexe Aufgaben: A 9
Anwendungsaufgaben: A 4; 5; 10; 11
1 bis 3 Die Techniken zur Bestimmung der Kennwerte werden eingeübt und in Aufgabe 2 erste
Vergleiche durchgeführt. Aufgabe 3 zeigt den Lernenden, dass der Zentralwert meist stabil ist, wenn
sich Werte am Rande der geordneten Liste ändern.
Der Mittelwert ändert sich ein wenig, Minimum und
Maximum sehr stark.
4 Die Aufgabe bringt einen Diskussionsanlass in
den Unterricht. Zentralwert und Mittelwert drücken
deutlich verschiedene Sichtweisen aus. Die sehr hohen Einkommen des Geschäftsführers und der Büro­
kauffrau heben den Mittelwert auf einen Betrag,
der mit allen anderen Beschäftigten kaum etwas zu
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Schülerbuchseite 110 – 112
tun hat. Der Median weist im Gegensatz dazu auf
das Minimum der Einkommensskala, da die Minijobkräfte in der Mehrheit sind. Letztlich kann man
aus der Gesamtheit der vorliegenden Kennwerte
erkennen, dass eine außergewöhnliche Verteilung
vorliegt, für die weitere Untersuchungen und Beschreibungen notwendig sind.
5 Die Abweichungen der Tageseinnahmen vom
Zentralwert betonen die deutlichen Schwankungen.
Für die geforderten Berechnungen für die letzten
beiden Tage vor Weihnachten ist der Zentralwert
nicht hilfreich. Mithilfe des Mittelwertes ist dieser
Aufgabenteil lösbar.
6 bis 8 und 10 Aufgabe 6 zeigt erneut das stabile
Verhalten des Zentralwerts bei Änderungen am
Rande liegender Werte. Die Sichtweise wird in
Aufgabe 7 umgekehrt, indem nach Änderungen
der Daten zur gezielten Beeinflussung von Mittelwert und Zentralwert gefragt wird. Die Lernenden
können ihre Erfahrungen aus den vorangehenden
Übungen einbringen und durch gezieltes Probieren
unterschiedliche Lösungen finden. Wenn z. B. der
ursprüngliche Wert 1,5 durch 0,6 ersetzt wird, sind
Zentralwert und Mittelwert gleich. Dass dadurch die
Reihung der Werte etwas geändert wird, ist ohne
Bedeutung. In der ähnlich aufgebauten Aufgabe 8
ist die geforderte Schätzung nur sinnvoll zu bearbeiten, wenn die Lernenden den Kontext erweitern
und ihre Kenntnisse der lokalen Kino-Eintrittspreise
einbringen. In Aufgabe 10 können sich die Verantwortlichen auf den Mittelwert verlassen und damit
die Zuschauerzahl auf die gesamte Saison hochrechnen. Allerdings müssen sie zusätzlich den Zeitplan mit den lokalen Besonderheiten abgleichen.
Wenn es besondere Anlässe gibt, wie z. B. Stadt­
feste oder Bauarbeiten, taugt der Mittelwert nicht
zur Abschätzung zukünftiger Ereignisse.
9 Die Schülerinnen und Schüler zeigen hier, ob
sie die Zusammenhänge zwischen den Strukturen
der Verteilungen und den Kennwerten verstanden
haben. Routinemäßig bestimmen sie meist den Mittelwert und, wenn es ihnen nicht zu umständlich
ist, auch den Zentralwert. Damit haben sie in den
meisten Fällen auch ein aussagekräftiges Werkzeug
an der Hand.
Für die Daten über die Längen der Schulwege können kontextbezogen alle Kennwerte etwas aussagen. Das Maximum ist sicherlich der entscheidende
Wert, wenn Termine für gemeinsame Veranstaltungen außerhalb der normalen Schulzeiten gesucht
werden. Eine sehr große Spannweite kann ausdrücken, dass die Lernenden für schulische Aufgaben
zu Hause unterschiedlich viel Zeit zur Verfügung
haben. Für die Monatsumsätze in Teilaufgabe b)
ist der Mittelwert landläufig der Vergleichswert,
zumal damit indirekt auch das Gesamteinkommen
beschrieben wird. Die Anzahl der Wertmarken in
Teilaufgabe c) unterliegt so großen Schwankungen,
dass nach den Ursachen vor Ort gesucht werden
sollte. Die Postleitzahlen in d) dagegen machen
auch dem Außenstehenden kenntlich, woher die
Mehrzahl der Beschäftigten kommt. Es gibt zwischen den Zahlen selbst keine Anordnung, sie lassen sich aber nach der Häufigkeit ihres Auftretens
ordnen.
11 Die Aufgabe übt das Lesen und Vergleichen von
Boxplots. Das Zahlenmaterial ist übersichtlich und
vielleicht provozierend. Das Thema reizt zur Diskussion und kann Anlass für ein Unterrichtsgespräch
sein. Der mathematische Anteil der Auseinandersetzung sollte Formulierungen enthalten wie z. B.:
„Der Quartilabstand zeigt, dass mindestens 50 % der
Mädchen Ausgaben in Höhe von …“ oder „Weniger
als 25 % der Jungen …“.
12 Schülerinnen und Schüler, die es sich einfach
machen wollen, können sich auf die Bestimmung
der Zentralwerte durch Abzählen beschränken. Die
weiteren Beschreibungen, untere und obere Quartile, gleiche Minima und Maxima lassen sich auch
sehr schnell bestimmen.
13 und 14 Die funktionalen Abhängigkeiten der
Kennwerte bei Änderungen der Randwerte werden
wie in den ersten Aufgaben des Kapitels angesprochen. Für Aufgabe 14 müssen Sonderfälle betrachtet werden, wie z. B. dieser: 4; 4; 4; 6; 6; 6.
6 Daten beurteilen
Intention der Lerneinheit
Die Beurteilung von Daten mithilfe der erarbeiteten
Kennwerte rückt in den Mittelpunkt. Die Lerneinheit
schließt damit direkt an die vorangehenden Übungen an. Die Schülerinnen und Schüler lernen, die
Kennwerte auf den Sachverhalt zu beziehen und zu
angemessenen konkreten Aussagen zu kommen.
Boxplots, die charakteristische Eigenschaften einer
Verteilung oft gut darstellen, werden in sprachliche
Beschreibungen umgesetzt.
Eine Anregung zur Gruppenarbeit sowie die hierzu
benötigten Daten finden sich auf dem < Serviceblatt „Qualitätskontrollen“, ­Seite S 42.
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Einstiegsaufgabe
Bis auf die auffälligen Ausreißer 0 SMS und 240 SMS
in Klasse 10 a erschließen sich die Strukturen der
beiden Datenerhebungen nicht auf den ersten
Blick. Die Anleitung, Zentralwerte und Mittelwerte
zu bestimmen, hilft weiter. Für die Klasse 10 b sind
die beiden Werte nahezu gleich, für die Klasse 10 a
aber erkennbar unterschiedlich. Weiterhin ist für
Klasse 10 a der Mittelwert größer als der Zentralwert, in der Klasse 10 b ist es umgekehrt. Die geforderte Erklärung der Unterschiede wird den Schüle­
rinnen und Schülern an dieser Stelle vielleicht noch
nicht sofort möglich sein. Ein zweiter Blick und die
Erinnerung an den Ausreißer mit 240 SMS und auch
noch einen weiteren mit 53 SMS rufen in Erinnerung, dass Zentralwerte von der Ausprägung der
Randwerte wenig abhängen, Mittelwerte dadurch
aber sehr beeinflussbar sind. Damit leitet die Einstiegsaufgabe zur Beurteilung der Daten durch
Kennwerte über.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 6; 7
Operative Übungen: A 2; 3; 5; 8
Kumulative Aufgaben: A 4
Komplexe Aufgaben: Kasten Diagramme und ihre
Wirkung
Anwendungsaufgaben: A 2; 4; 5; 6
1 und 2 Minimum, Maximum und Quartilabstand werden in den Vordergrund gestellt und ihre Nutzung als Beurteilungskriterien dargestellt. Der
sprachliche Umgang mit diesen Kriterien wird eingeübt durch Vorgabe der Muster in den Aufgabenformulierungen: 50 % der Zehntklässler … näher
beieinander als …, ein Viertel der Achtklässler …,
Daten sind weiter gestreut als …
Exemplarischer Kommentar
Boxplots sprachlich umsetzen
3 Ein Gegenbeispiel schafft Klarheit: 1; 1; 5; 5; 5; 5;
Dem geübten Auge gibt ein Boxplot auf einen
Blick einen umfassenden Eindruck von der Datenverteilung. Alle Kennwerte, bis auf den Mittelwert, sind eingetragen und ihre Relationen
zueinander erkennbar. Dem ungeübten oder dem
schwächeren Schüler erschließen sich diese Zusammenhänge nicht sofort. Ein Leseschema hilft,
die wichtigen Zusammenhänge zu formulieren
und auf diesem Weg zu Bewusstsein zu bringen.
Gleichermaßen ist es geeignet, die Informationen geordnet und verständlich Zuhörern vorzutragen, denen die Grafik nicht vorliegt. Ein mög­
liches Leseschema kann so aufgebaut sein:
– Vorinformationen: Art und Maßeinheiten der
Daten
– Bereich der auftretenden Daten: Minimum,
Maximum, Spannweite
– Mittelwerte: Zentralwert und, falls zusätzlich
bekannt, das arithmetische Mittel
– Lage der Mittelwerte: grobe Einteilung „in
Richtung … verschoben“, „ungefähr in der
Mitte“
– Quartile und Quartilabstand: Lage der Quartile,
Quartilabstand, Lage und relative Größe des
Kernbereichs
– vorläufige statistische Aussagen mithilfe des
Kernbereichs: „Mindestens 50 % der … haben
die Eigenschaft …“.
– entsprechend Aussagen über die Randbereiche: „Höchstens ein Viertel …“.
– falls gewünscht, zum Abschluss eine eigene
inhaltliche Interpretation oder Stellungnahme.
4 Die Klassenbildung in Teilaufgabe c) greift ein
K 46 4 Sachrechnen
5; 5. Noch krasser wirkt für Lernende: 5; 5; 5; 5; 5.
wichtiges Werkzeug wieder auf, mit dem eine große
Datenmenge mit vielen verschiedenen Werten
leichter ausgewertet werden kann. Erst durch das
Zusammenfassen zu Klassen kann ein Diagramm
die spezifischen Eigenschaften erkennbar machen.
Dem Betrachter präsentieren die nicht vorbereiteten Daten hingegen ein wenig strukturiertes Bild.
5 und 6 Die Erstellung und Analyse von Boxplots
kommt zum Verfahren der Beurteilung hinzu. Die
neu erwarteten Beurteilungsschritte werden durch
die Teilaufgaben angestoßen. Die bisherigen Krite­
rien werden nicht mehr vollständig ausformuliert.
Die Schülerinnen und Schüler sollten nun so weit
sein, nach einem eingeübten aber nicht zu starren Schema die Untersuchungen durchführen und
sprachlich angemessen wiedergeben zu können.
7 Das Vergleichen von verschiedenen Datenmengen steht im Vordergrund. Diese gehören thematisch zusammen und entsprechen einander in der
Datenstruktur. Jede Datenmenge muss dazu einzeln
nach den bekannten Methoden untersucht werden,
bevor ihre Kennwerte miteinander verglichen werden können. Die Befragung einer Zielgruppe und
der Vergleich mit einer größeren von der ersten unabhängigen Kontrollgruppe ist ein typisches statistisches Verfahren, um verlässliche Kenntnisse über
die Zielgruppe zu erhalten. Hier bietet es sich an,
die Schülerinnen und Schüler nach Beispielen aus
der Praxis recherchieren und berichten zu lassen.
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8 In dieser Aufgabe werden grafische Daten verg-
4 Die Problemstellung macht die Aufgabe inte-
lichen. Kriterien und Methoden unterscheiden sich
nicht von den vorangehenden Aufgaben. Die Kennwerte sind aber leicht zu benennen. Die Aufgabe
eignet sich daher besonders gut für Kurzvorträge,
um das freie Sprechen über mathematische Themen zu üben.
ressant. Wie wirkt es sich aus, wenn man auf ein
Sparziel hinarbeitet und sich zwischendurch selbst
etwas „ausleiht“? Die Rechen-Ergebnisse zeigen,
dass durch das zwischenzeitliche Abheben immerhin 26,25 € Zinsen verlorengehen.
Diagramme und ihre Wirkung ...
Der Kasten ergänzt die Informationen des Kastens „Tipps und Tricks bei Diagrammen“ von
Seite 108. Die dargestellten Verzerrungen und
Täuschungen sind mittlerweile anscheinend die
Regel – nicht die Ausnahme – bei grafischen
Darstellungen in den Printmedien. Hier werden
die Schülerinnen und Schüler zusätzlich zu Tricks
mit den Manipulationen der Achsen besonders
auf die Täuschung durch die Vermischung der
Dimensionen aufmerksam gemacht. In der Grafik
zum CO2-Ausstoß sollen eindimensionale Größen
dargestellt werden, die Formen sind aber räumliche Gebilde. Die Menschen setzen dies intuitiv
durch den Vergleich der Volumina um und gewinnen einen falschen Eindruck. Die unterschiedlich
großen Kinderwagen zeigen dies noch etwas
drastischer.
Die Aufgabe für die Lernenden, eine Werbegrafik zu erstellen, wird vor diesem Hintergrund zu
einer Aufgabe mit offenem Ausgang. Wie sollen
die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe „richtig“ lösen?
Üben • Anwenden • Nachdenken
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 10; 14
Operative Übungen: A 7; 8; 11; 12
Kumulative Aufgaben: A 9
Komplexe Aufgaben: A 13
Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5; 6
Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 15; 16
2 Die Teilaufgabe b) zeigt, wie Angebote durch­
schaubarer und damit vergleichbarer werden, wenn
sie von verwirrenden Konstruktionen, wie hier der
Prämienzahlung, befreit werden. Effektiv handelt
es sich um eine feste jährliche Verzinsung mit dem
Zinssatz 4,25 %.
6 Das Thema Sondertilgung ist ein realitätsbezogenes Beispiel. Die ersten beiden Teilaufgaben
bringen mit ihren Ergebnissen nicht die Erkenntnis,
wie sich die Sondertilgung wirklich auf den Kreditverlauf auswirkt. Erst Teilaufgabe c) zeigt, dass die
Sonderzahlung eine deutliche Verkürzung der Kreditlaufzeit und auch eine wichtige Verringerung der
Kosten erbringt.
7 Die sprachliche Umsetzung von mathematischen Inhalten ist nicht erst seit den Bildungsstandards eine zu übende Anforderung im Mathematikunterricht. Bei Diagrammen bietet sich eine
beschreibende Interpretation geradezu an. Nach
der Angabe des Sachthemas und der Nennung der
im Diagramm in Relation gebrachten Größen Benzinverbrauch und Zeitverlauf in Jahren, sollte auf
die Skalierung der Hochachse hingewiesen werden.
Wie häufig handelt es sich um einen Ausschnitt
der Achse, wodurch der Graph gedehnt wird und
steiler erscheint. Der schwankende, aber während
der ersten ungefähr sieben Jahre im Mittel eher auf
konstanter Höhe verlaufende Graph, erfährt einen
jähen Abfall um ca. 25 % des Verbrauchs, beginnend
kurz vor der Jahrtausendwende. Die Angaben lassen
sich präzisieren, wenn die Grafik näher untersucht
wird, wesentlich mehr lässt sich kaum herauslesen.
An dieser Stelle hängt der Fortgang davon ab, ob
die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse über einen Kontext haben.
8 Ebenso wie vorangehende Aufgabe erwartet
auch diese eine Übersetzung zwischen Sprache und
mathematischer Ausdrucksform, nur wird dieses
Mal zur sprachlich-mathematischen Vorgabe eine
nichtverbale Form gefordert, ein Diagramm. Die
Pressenotiz berichtet von zwei kurzen Zeitreihen,
dem Absatz der Zigaretten in Deutschland und dem
Anteil der Raucher unter den Jugendlichen, die sich
auf denselben Zeitraum beziehen. Die Schülerinnen
und Schüler werden dies erkennen und die horizontale Achse entsprechend skalieren. Da der Artikel
über zwei thematisch zusammenhängende, aber in
der Qualität verschiedene Merkmale berichtet, wird
die vertikale Achse zwei Skalierungen tragen. Problematisch wird für die Schülerinnen und Schüler
die Entscheidung sein, welche Intervalle sie jeweils
wählen sollen. Die Positionierung der kurzen Graphen und die Steilheit des Verlaufs vermitteln, wie
4 Sachrechnen K 47
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sie aus dem Lehrtext wissen, unterschiedliche Eindrücke, die nicht durch die Zahlenwerte begründet
werden. Dafür sind sie selbst als Ersteller der Grafik
verantwortlich.
14 Der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe liegt
etwas über den Übungsaufgaben der Lerneinheiten
5 und 6. Der Tipp hilft über die erste Schwelle hinweg, eine große Anzahl von Daten auf Kennwerte
untersuchen zu können. Die Boxplots zu zeichnen,
ist dann keine Schwierigkeit mehr. In der weiteren
Aufgabenstellung ist eine sprachliche Falle versteckt. Mit den Boxplots ist die standardmäßige
Interpretation verbunden, dass die Daten, die im
Kernbereich liegen, mindestens 50 % aller Daten
umfassen. Der Kernbereich umfasst die Tage mit 2
bis 6 Einsätzen und stimmt nicht mit dem vorgegebenen Bereich der Aufgabe mit 6 bis 8 Einsätzen
pro Tag überein. Trotzdem ist die Aussage im Aufgabentext richtig, wie man durch Addition der Häufigkeiten überprüfen kann. 152 Rettungseinsätze sind
mehr als die Hälfte der insgesamt 300 Vorkommnisse. Die beiden Aussagen widersprechen sich
nicht. Die Angabe des Kernbereichs hat hauptsächlich den Zweck, die mittlere Lage einer Verteilung
zu beschreiben.
15 Entscheidend ist, wie die 120 Personen ausgewählt wurden, ob sie als repräsentativ für die Einwohner der Stadt gelten. Sonst ist das Ergebnis der
Befragung wertlos.
16 Das vorgeschlagene Streitgespräch eignet sich
für ein kleines Unterrichtsprojekt. Die Anleitungen, insbesondere die Tipps, lassen schnell eine interpretationsfähige Liste entstehen. Dort reichen Untersuchungen, mit welchen Verspätungen 90 %, 95 %
oder 99 % der Bahnreisenden höchstens rechnen
müssen. Darüber hinaus sind viele weitere Argumentationspunkte für beide Parteien zu finden.
Bei den Diagrammen kann es spannend werden,
welche zurückhaltenden oder aber auch provozierenden Schaubilder die Schülerinnen und Schüler
erstellen werden. Wenn Protokoll geschrieben wird,
lässt sich in einer Rückschau jedes Argument auf
seine Stichhaltigkeit überprüfen. Vielleicht sollten
die Schülerinnen und Schüler nach der Reflexionsphase in eine zweite Diskussionsrunde gehen?
K 48 4 Sachrechnen
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Schülerbuchseite 120 – 141
5 Zufall
Kommentare zum Kapitel
Der im achten Schuljahr begonnene systematische
Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird mit
diesem Kapitel fortgeführt. Dabei wird zunächst
auf Bekanntes zurückgegriffen: die Ereignisse und
deren Wahrscheinlichkeit. Ausgehend von diesen
Begriffen werden zusammengesetzte Ereignisse
und zweistufige Zufallsversuche betrachtet. Dabei
steht das Baumdiagramm mit der Summen- und
Produktregel im Vordergrund. Vertiefend werden im
Anstoß auf Seite 138 im Schülerbuch auch mehrstufige Zufallsversuche behandelt.
Da als mathematisches Handwerkszeug lediglich
die Addition und Multiplikation von Brüchen erwartet wird und das Zeichnen der Baumdiagramme
anschaulich sofort verständlich ist, ist das Thema
Wahrscheinlichkeitsrechnung gerade bei schwächeren Schülerinnen und Schüler oft beliebt. Die
Ermittlung der Wahrscheinlichkeit zweistufiger Zufallsversuche mittels Baumdiagrammen wird nach
kurzer Übung schnell beherrscht. Lediglich bei der
Unterscheidung zwischen Zufallsversuchen mit und
ohne Zurücklegen können sich Probleme ergeben.
Auch das Zeichnen komplexer Baumdiagramme
bereitet den Schülerinnen und Schülern erfahrungsgemäß Probleme, da sie den benötigten Platz oft
falsch einschätzen. Deshalb wurde auch dem Zeichnen verkürzter Baumdiagramme eine Methodenseite (Schülerbuch Seite 137) gewidmet.
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Der Schwerpunkt des Kapitels liegt auf der Behandlung zweistufiger Zufallsversuche. Ein zweiter
Aspekt sind die Vierfeldertafeln, die eine natürliche
Verbindung zwischen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten bilden. Anhand von Vierfeldertafeln
lässt sich auch leicht vermitteln, dass es zu jedem
zweistufigen Baumdiagramm – vorausgesetzt es
handelt sich um „Ziehen mit Zurücklegen“ – eine
Umkehrung gibt, indem die erste und zweite Stufe
vertauscht werden.
Bezug zum Lehrplan
Leitidee Daten und Zufall: Die Schülerinnen und
Schüler können
– Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufalls­
experimenten bestimmen (Baumdiagramm, Pfadregeln)
– Statistische Daten aus Quellen herauslesen, darstellen und interpretieren (Vierfeldertafeln)
Auftaktseite: Stein – Schere – Papier
Das Kapitel 5 Zufall wird mit einer Fragestellung
eröffnet und greift auf das Vorwissen (relative Häufigkeit – geschätzte Wahrscheinlichkeit) zurück. In
dem Spiel „Stein – Schere – Papier“ gibt es drei
mögliche gleich wahrscheinliche Ergebnisse (Sieg,
Niederlage, Unentschieden). Die Lösung des Problems erfolgt schrittweise mithilfe verschiedener
Darstellungsebenen.
Enaktives Vorgehen: Die Schülerinnen und Schüler
überprüfen durch ihr partnerschaftliches Spiel ihre
Vermutungen.
Symbolisierung des Sachverhalts: durch Bruch- oder
Prozentangabe.
Verbalisieren des Sachverhalts: Die relative Häufigkeit bestätigt die Schätzung.
Anschließend wird das Spiel mithilfe des klassischen Urnenmodells der Wahrscheinlichkeitsrechnung simuliert. Dabei wird sukzessive, ausgehend
von zwei Urnen auf das endgültige und auch richtige Modell mit einer Urne (Fall D) – Ziehen mit
Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihen- folge – hingeführt. Abschließend wird untersucht,
mit welchen anderen Zufallsgeräten der Zufallsversuch simuliert werden könnte.
Da das Urnenmodell eine zentrale Rolle bei der
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit mehrstufiger
Zufallsversuche spielt, erfolgen die Einstiege der ersten drei Lerneinheiten über ein ­Urnenmodell.
1 Ereignisse
Exkurs
Kombinatorik
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit mehrstufiger Zufallsversuche mithilfe von Baumdiagrammen stößt schnell an ihre Grenzen, da die Baumdiagramme meist explosionsartig anwachsen.
Deshalb bedient man sich in diesen Fällen zur
Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Kombinatorik.
Intention der Lerneinheit
Diese Lerneinheit stellt eine Wiederholung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung aus Schnittpunkt,
Schülerbuch 9 dar. Alle Begriffe wie mögliches
Ergebnis, günstiges Ergebnis, Ereignis und die Berechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit sind
bereits bekannt.
5 Zufall K 49
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Einstiegsaufgabe
Um eine hinreichende Begründung für die Wahl
des richtigen Bechers zu geben, müssen die Schülerinnen und Schüler die ihnen bekannten Begriffe
mögliche Ergebnisse, günstige Ergebnisse benutzen
und damit die Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit) bestimmen. Der Einstieg führt unmittelbar auf die zu wiederholenden Inhalte.
Um handlungsorientiert zu arbeiten, ist es möglich,
zwei durchsichtige Becher mit Kugeln, wie im Schülerbuch abgebildet, vorzubereiten. Die Schülerinnen
und Schüler erhalten Karten, auf denen die zu
untersuchenden Ereignisse beschrieben sind. Das
< Serviceblatt „Ereignisse“, Seite S 43, enthält neben den im Schülerbuch abgebildeten Ereignissen
weitere Ereignisse. Die Schülerinnen und Schüler
sollten mindestens zwei Ereignisse erhalten und die
Aufgabe in Gruppen- oder Partnerarbeit lösen.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Hinweis: Statt Ergebnis findet man in der Literatur auch die Begriffe Ausgang, Ausfall oder Elementarereignis.
– Im Unterricht ist sauber zwischen Ergebnis und
Ereignis zu unterscheiden. Die phonetische und
optische Ähnlichkeit dieser beiden Worte führt
oft zu Verwechslungen.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 4; 10; 11
Operative Übungen: A 3; 5; 7 a), b); 8
Kumulative Aufgaben: A 6; 9
Komplexe Aufgaben: A 7 c)
Anwendungsaufgaben: A 12
1, 2 und 4 Die Aufgaben greifen die gewonnenen
Erkenntnisse der Einstiegsaufgabe auf und sichern
sowohl den Umgang mit den Begriffen als auch die
Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Es gilt stets, die Anzahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse auszuzählen und den Quotienten
zu bilden.
3 Wird die Wahrscheinlichkeit in Prozent angegeben, ist es nicht möglich, auf die Anzahl der möglichen bzw. günstigen Ergebnisse zu schließen. Die
Prozentangabe liefert lediglich ein Verhältnis dieser
beiden Werte. 10 % kann heißen „ein günstiges
Ergebnis bei 10 möglichen“ oder „zwei günstige Ergebnisse bei 20 möglichen“ usw. Durch das Färben
des Glücksrades wird dieses Problem umgangen.
K 50 5 Zufall
10 % von 360° sind 36°. Dennoch könnte bei dieser
Aufgabe im Anschluss auf die geschilderte Problematik eingegangen werden und darauf hingewiesen werden, dass es z.B. auch möglich ist, zwei
Felder mit 18° Winkel usw. zu wählen.
6 Es soll in Teilaufgabe b) deutlich werden, dass
die Wahrscheinlichkeit keine sicheren Aussagen für
ein Ereignis erlaubt. Die Wahrscheinlichkeit gibt nur
an, womit auf lange Sicht zu rechnen ist. Obwohl
die Abweichung der absoluten Häufigkeit von dem
zu erwartenden Wert immer größer werden kann,
kommt die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit immer näher.
9 Die drei angegebenen Ereignisse sind stochastisch unabhängig und bilden zusammen das sichere
Ereignis. Dies sollen die Schülerinnen und Schüler
erkennen und mit ihren Worten beschreiben.
10 und 11 Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Begriffe sicheres Ereignis und unmögliches
Ereignis anhand von Beispielen.
12 Es liegt eine komplexe Spielsituation vor, bei
der die Schwierigkeit im Finden der möglichen und
der günstigen Ergebnisse liegt.
In Teilaufgabe b) hat Nadine vier Möglichkeiten,
sich zu positionieren. In zwei Fällen ändert sich die
Gewinnchance für Ulli nicht, in einem Fall nimmt sie
zu, in einem Fall nimmt sie ab.
2 Zusammengesetzte Ereignisse
Intention der Lerneinheit
Die Summenregel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (Summe der Wahrscheinlichkeit aller zugehörigen Ergebnisse) wird auf die
Zusammenfassung mehrerer Ereignisse übertragen.
Dieser Inhalt der Lerneinheit ist den Schülerinnen
und Schülern deshalb sofort einsichtig. Ebenso ist
die Einführung des Gegenereignisses und die Bestimmung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit eine
Anwendung der Summenregel.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Eine Übung zu diesen Inhalten bietet auch das < Serviceblatt „Tandembogen – Zusammengesetzte Ereignisse“, Seite S 44.
Spielerisch aufgegriffen wird das Thema auf dem
< Serviceblatt „Welches Ereignis passt?“, Seite S 45.
Für eine Strategieentwicklung ist folgende Überlegung sinnvoll: Tritt ein Ereignis ein, auf das mehrere Karten passen (Etwa „Zahl kleiner als 4“ und
„Zahl kleiner als 7“, wenn eine 2 geworfen wird),
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Schülerbuchseite 124
so sollte man die Karte nehmen, die das unwahrscheinlichere Ergebnis beschreibt (hier „Zahl kleiner
als 4“). Die andere Karte kann mit größerer Wahrscheinlichkeit wieder eingesetzt werden.
Klar herausgearbeitet werden muss die Tatsache,
dass die Ereignisse, die zusammengesetzt werden,
sprachlich über „oder“ verbunden sein müssen.
Die möglichen Ergebnisse müssen also aus dem
ersten oder zweiten Ereignis stammen. Man beachte dabei, dass dieses „oder“ im Allgemeinen das
„einschließende oder“ und nicht das ausschließende
„entweder oder“ bedeutet. Bei unvereinbaren Ereignissen (siehe Exkurs „Vereinbare und unvereinbare
Ereignisse“ ) liegt automatisch das ausschließende
„entweder oder“ vor.
Die eigentliche Schwierigkeit für die Schülerinnen
und Schüler liegt im Textverständnis. Die Begriffe
mindestens, höchstens, genau, nichts, keine, wenigstens und etwas spielen in der Beschreibung der zusammengesetzten Ereignisse eine große Rolle und
müssen von den Schülerinnen und Schülern in ihrer
mathematischen Bedeutung verstanden sein.
Die Unterscheidung zwischen „stochastisch vereinbare und unvereinbare Ereignisse” erfolgt in den
Aufgaben zunächst nicht, um die Schülerinnen und
Schüler nicht zu verwirren und zu überfordern. In allen Aufgaben werden die einfach zu handhabenden
unvereinbaren Ereignisse betrachtet. Erst der Infokasten Vorsicht bei zusammengesetzten Ereignissen!
(Schülerbuch Seite 126) greift dieses bedeutende
Thema auf.
Exkurs Vereinbare und unvereinbare Ereignisse
Ereignisse heißen stochastisch miteinander vereinbar, wenn sie mindestens ein mögliches Ergebnis gemeinsam haben. Ist dies nicht der Fall,
heißen die Ereignisse stochastisch unvereinbar.
Man sagt dann auch: „Die Ereignisse schließen
sich gegenseitig aus“.
Im Falle stochastischer Vereinbarkeit dürfen die
Ereignisse nicht einfach addiert werden, da sonst
die gemeinsamen Ergebnisse doppelt gezählt
würden. So würde bei einfacher Addition gelten:
P (eine Zahl größer 2 werfen oder eine gerade
Zahl) = P (eine Zahl größer 2 werfen) + P (eine
gerade Zahl werfen) = ​ _23 ​ + ​ _21 ​ = ​ _67 ​ > 1. Das kann offensichtlich nicht sein. Die Wahrscheinlichkeit für
die Ergebnisse die beides erfüllen (eine Vier oder
eine Sechs würfeln), muss subtrahiert werden:
Man erhält ​ _56 ​, denn lediglich das Ergebnis „eine
Eins würfeln“ passt nicht.
Exkurs
Ereignisalgebra
Werden die möglichen Ergebnisse und die zugehörigen Ereignisse auf Mengen zurückgeführt,
spricht man von der Ereignisalgebra, da man
dann wie mit Mengen rechnen kann.
– Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs
bilden den Ergebnisraum S.
– Jedes Ereignis E ist eine Teilmenge von S.
– Ein mögliches Ergebnis ist eine einelementige
Teilmenge von S, das so genannte Elementarereignis.
– Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge ø.
– Das sichere Ereignis ist der Ergebnisraum S.
– Das Gegenereignis E’ ist die Ergänzungsmenge
zu E. Es gilt: E ± E’ = S und E ° E’ = ø.
– Zusammengesetztes Ereignis E: E = E1 ± E2
– vereinbare Ereignisse: E = E1 ° E2 ≠ ø
P (E) = P (E1) + P (E2) – P (E1 ° E2)
– unvereinbare Ereignisse: E = E1 ° E2 = ø P (E) = P (E1) + P (E2)
Einstiegsaufgabe
Im Einstieg werden die Kenntnisse aus Schnittpunkt
8 (mögliche Ergebnisse, Ereignisse und sicheres Ereignis) sowie aus der Lerneinheit 1 Ereignisse (Gegenereignis) aufgegriffen und auf zusammengesetzte
Ereignisse übertragen. Im vorletzten Impuls wird
das Problem der vereinbaren und unvereinbaren
Ereignisse deutlich.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 7; 10
Operative Übungen: A 3; 4; 5; 6
Kumulative Aufgaben: A 5; Infokasten Vorsicht bei
zusammengesetzten Ereignissen!
Komplexe Aufgaben: A 8; 9
Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 8; 9
5 Zufall K 51
Schülerbuchseite 125 – 127
1 und 2 Einleitende Übungen zu zusammengesetzten Ereignissen. Dabei soll insbesondere deutlich
werden, dass die günstigen Ergebnisse entweder
aus dem einen oder dem anderen Ereignis stammen. Dies ist wichtig mit Blick auf vereinbare und
unvereinbare Ereignisse (siehe Exkurs Vereinbare
und unvereinbare Ereignisse, Seite K 51).
3 Übungen zum Textverständnis (wenigstens,
etwas, nichts). Erfahrungsgemäß bereitet Schülerinnen und Schülern die richtige mathematische Interpretation dieser Worte große Verständnisschwierigkeiten. Das Textverständnis muss diesbezüglich
geschult werden.
5 Umstellen der Summenregel. Aus P (Gewinn) = P (freie Auswahl) + P (sonstiger Gewinn) folgt P (sonstiger Gewinn) = P (Gewinn) – P (freie Auswahl).
6 Umkehraufgabe. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist zu bestimmen. Dies geschieht ähnlich
dem Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als
zwei Variablen rückwärts.
Aus P (Trostpreis oder Gutschein) und P (Trostpreis) kann auf P (Gutschein) = 50 % – 35 % = 15 % geschlossen werden.
Analog dazu folgt P (MP3-Player) = 5 % und P (Fahrrad) = 5 %.
8 Komplexe Umkehraufgabe. In Teilaufgabe a) ist
die Anzahl der möglichen Ergebnisse zu bestimmen.
In Teilaufgabe b) müssen so viele Kugeln hinzugefügt werden, dass die 15 schwarzen Kugeln 60 %
der Gesamtheit darstellen. Insgesamt müssen also
25 Kugeln vorhanden sein. Somit sind noch fünf Kugeln hinzuzufügen. Dabei ist deren Farbe unerheblich, sie dürfen nur nicht schwarz sein.
9 Es gilt, geeignete Lösungsstrategien zu finden.
Dabei steht die Kompetenz des mathematischen Argumentierens im Vordergrund.
Durch die Angabe in Prozent ergeben sich beliebig
viele Lösungen. Den Schülerinnen und Schülern stehen folgende Lösungsstrategien zur Verfügung:
– Lösen durch Versuch und Irrtum,
– Lösen durch ein Gleichungssystem mit drei Variablen.
1. Möglichkeit
I. P (Gelb) + P (Rot) = 0,4
II. P (Gelb) + P (Blau) = 0,85
III.P (Gelb) + P (Rot) + P (Blau) = 1
2. Möglichkeit
I. P (Gelb) + P (Rot) = 0,4
II. P (Gelb) + P (Blau) = 0,85
Daraus folgt: 2 · P (Gelb) + P (Rot) + P (Blau) = 1,25.
Daraus folgt: P (Gelb) = 0,25.
10 Das Gegenereignis richtig zu formulieren, stellt
eine große Herausforderung für die Schülerinnen
und Schüler dar.
Vorsicht bei zusammengesetzten Ereignissen!
In diesem Informationskasten wird die
Problema­tik stochastisch vereinbarer und unvereinbarerer Ereignisse schülergerecht vorgestellt
(vgl. die ­Exkurse Vereinbare und unvereinbare Ereignisse, und Ereignisalgebra, Seite K 51).
Vergleicht man die abgebildete Grafik mit der
Behauptung von Leo, wird sofort deutlich, dass
die Wahrscheinlichkeit der den beiden Ereignissen gemeinsamen Ergebnisse von der nach Summenregel gebildeten Summe abgezogen werden
muss.
In den nachfolgenden Aufgaben werden teils
vereinbare, teils unvereinbare Ereignisse betrachtet.
3 Zweistufige Zufallsversuche
Intention der Lerneinheit
Ein großes Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind mehrstufige Zufallsversuche. Um in
dieses komplexe Thema behutsam einzusteigen,
wird mit zweistufigen Zufallsversuchen begonnen,
die aufgrund ihrer geringen Komplexität überschaubar sind. Da die Kombinatorik den Schülerinnen
und Schülern nicht bekannt ist, müssen andere
Wege gefunden werden, die Wahrscheinlichkeiten
bei zweistufigen Zufallsversuchen zu bestimmen.
Das anschaulichste Mittel dazu ist das Baumdiagramm.
Im Infokasten „Ziehen mit und ohne Zurücklegen“
(Schülerbuchseite 129) wird die Thematik des Ziehens ohne Zurücklegen angesprochen.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Erfahrungsgemäß fällt das ordentliche Zeichnen
von Baumdiagrammen den Schülerinnen und
Schülern schwer. Sie schätzen häufig den benötigten Platz für das Diagramm falsch ein und haben dann auch Schwierigkeiten, die Äste ordentlich zu beschriften. Diese Schwierigkeit muss im
Unterricht vorgestellt und bewusst gemacht wer-
K 52 5 Zufall
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DO01742602_K05_049_056.indd 27.07.2010 09:29:06 Seite: 53 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 127 – 129
den. Dabei sollte auch darauf hingewiesen werden, dass Baumdiagramme nicht nur von links
nach rechts, sondern auch von oben nach unten
gezeichnet werden können. Im Schülerbuch ist
dies auf Seite 137 vorgeführt. Im Unterricht sollte
das Zeichnen von Baumdiagrammen hinreichend
geübt werden, damit die Lernenden ein Gefühl
für den Platzbedarf solcher Baumdiagramme
entwickeln.
– Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, dass das geordnete Paar zwar aus zwei Elementen besteht,
jedoch für den zweistufigen Zufallsversuch ein
Ergebnis darstellt. Schülerinnen und Schüler unterliegen schnell der Versuchung, das geordnete
Paar als ein Ereignis mit zwei Ergebnissen anzusehen.
– Die Produktregel wird häufig auch als Pfadregel
bezeichnet. In der Praxis hat sich jedoch herausgestellt, dass sich der Begriff Produktregel besser
von dem Begriff Summenregel abhebt als der
Begriff Pfadregel.
– Das < Serviceblatt „Baumdiagramme – Teste
dein Wissen“, Seite S 46, bietet die Möglichkeit,
im Selbsttest den Kenntnisstand zu überprüfen.
Einstiegsaufgabe
Die Aufgabe führt den zweistufigen Zufallversuch
ein und macht deutlich, dass die Ergebnisse eines
zweistufigen Zufallsversuchs aus geordneten Paaren bestehen. Im letzten Spiegelstrich wird die
Summenregel vorbereitet. Außerdem wird bereits
ein Blick auf das Ziehen ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge geworfen. Inwieweit dies weiter problematisiert wird, liegt bei der Lehrperson.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 9
Operative Übungen: A 3; 5; Infokasten Ziehen mit
und ohne Zurücklegen; 11; 12
Kumulative Aufgaben: A 6; 7; Methodenkasten Tabelle statt Baum; 10
Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 8
1 bis 4 Alle Lösungen sollen mithilfe von Baum-
und somit in jeder Verzweigung in der Summe das
sichere Ereignis abgebildet wird.
5 Umkehraufgabe. Die Erkenntnisse der Aufgaben
1 bis 4 werden genutzt, insbesondere auch die Tatsache, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten
aller möglichen Äste einer Verzweigung immer 1 ist.
Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Anhand der Baumdiagramme wird der Unterschied zwischen „Ziehen mit Zurücklegen “ und
„Ziehen ohne Zurücklegen“ sofort klar. Obwohl es
gleiche Ergebnisse gibt, unterscheiden sich deren Wahrscheinlichkeiten.
Mithilfe der nachfolgenden Aufgabe erkennen
die Schülerinnen und Schüler, dass sich bei einer
großen Anzahl von Kugeln, aus denen relativ
wenige gezogen werden, die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen ohne Zurücklegen den Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen mit Zurücklegen
annähern. Da beim Ziehen mit Zurücklegen die
Wahrscheinlichkeiten an den Ästen von Stufe zu
Stufe gleich bleiben, ist dieser Fall mithilfe eines
Baumdiagramms leichter zu bestimmen. Bei einer großen Anzahl von möglichen Ergebnissen
pro Stufe und wenigen Stufen wird deshalb die
Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurück- legen oft über die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen mit Zurücklegen angenähert.
7 Bei dieser Aufgabe ist die Reihenfolge zu berücksichtigen. Es wird nochmals der Unterschied
zwischen dem Ziehen mit und ohne Zurücklegen
deutlich. Insbesondere in Teilaufgabe b) kann deutlich gemacht werden, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen einige Ergebnisse unter Umständen nicht
mehr möglich sind.
8 Der Aufgabenteil a) entspricht den vorangehenden Aufgaben. Die Teile b) und c) fordern zum
kreativen Experimentieren heraus, entweder abstrakt oder durch Demonstration mit geeigneten
Gegenständen. Gruppengespräche, Vorträge, Wettbewerbe, viele Unterrichtsformen bieten sich an.
Auch nicht optimale Lösungsvorschläge gehören in
die Dokumentation.
diagrammen gefunden werden. Die gesuchten
Wahrscheinlichkeiten sind mithilfe der Produkt- und
Summenregel zu finden. Es sollte noch herausgearbeitet werden, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Äste einer Verzweigung
immer 1 ist. Dies ist sofort klar, da bei jeder Verzweigung alle möglichen Ergebnisse vorkommen
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Tabelle statt Baum
Die Tabelle fasst unter den Vorgaben „zweistufiger Versuch“ und „alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich“ die möglichen Pfade übersichtlich
geordnet zusammen. Jeder Pfad wird als Paar
(1. Stufe, 2. Stufe) in ein Tabellenfeld eingetragen. Auch die Ergebnisse komplexer Ereignisse
lassen sich so leichter markieren und auszählen.
Eine besondere Bedeutung nimmt häufig die
Hauptdiagonale der Tabelle ein. Die Wahrscheinlichkeiten für die sofortige Wiederholung eines
eingetretenen Ergebnisses weichen von den
Wahrscheinlichkeiten gemischter Ergebnisse ab.
Bei der zweiten Aufgabenstellung wurde bewusst nach dem Würfeln mit Dodekaeder und
herkömmlichem Würfel gefragt. Wird der Dodekaeder (12seitiger Würfel) durch die Augensumme zweier sechsseitiger Würfel ersetzt, ändern
sich die Wahrscheinlichkeiten! Beim Dodekaeder
ist jede Zahl gleich wahrscheinlich, bei zwei
Sechserwürfeln ist P (1) = 0, die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 2 bis 12 binominal verteilt:
1
P (2) = P (12) = ​ _
36  ​
2
P (3) = P (11) = ​ _
36  ​
großen Anzahlen. Zu einer solchen Reflexion wird
in c) aufgefordert. Die Aufgabenteile d), e) und f)
variieren die Fragestellung für eine unterschiedliche
Verteilung der Farben.
Auto oder Ziege?
Das Auto-Ziege-Entscheidungsproblem ist das
wohl bekannteste strittige Wahrscheinlichkeitsproblem. Die vielen von Experten angebotenen
wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen
überzeugen selten. Deshalb wird hier ausdrücklich auf einen Erklärungsversuch verzichtet.
Durch Simulation (und Nutzung der statistischen
Wahrscheinlichkeit) wird das Problem zur Entscheidung geführt. Das Ergebnis überzeugt.
Neben der Simulation von Zufallszahlen (siehe
Schnittpunkt Schülerbuch 8, Seite 112) wird
damit zum Kapitelabschluss das für die Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtige Thema Simulation noch einmal zum Thema gemacht, und das
an einer für Simulationen typischen Situation:
für eine wahrscheinlichkeitstheoretisch komplexe, schlecht zu überblickende Situation wird
durch Simulation empirisch-statistisches Wissen
beschafft.
3
P (4) = P (10) = ​ _
36  ​
4
P (5) = P (9) = ​ _
36  ​
5
P (6) = P (8) = ​ _
36  ​
6
P (7) = ​ _
36  ​
Es besteht die Möglichkeit, zwei Schülergruppen
zu bilden und diese Ergebnisse in Experimenten
anzunähern. Das Berechnen der Wahrscheinlichkeit für „Die Augensumme zweier Würfel ist
durch die Augenzahl eines dritten teilbar“ ist
jedoch zu komplex.
9 bis 11 Das gleichzeitige Ziehen von zwei Kugeln
oder Losen wird aufgelöst in eine zeitliche Abfolge
und damit in ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Das ist bei Wahrscheinlichkeitsproblemen meist
möglich, aber nicht immer. Diese Problematik sollte
hier jedoch nicht diskutiert werden.
12 Die Aufgabe erschließt sich leichter, wenn der
Kasten „Ziehen mit und ohne Zurücklegen“ vorher
bearbeitet wurde. Obwohl in den Teilaufgaben
a) und b) die Anzahl der roten und grünen Topflappen gleich ist, ergeben sich unterschiedliche
Wahrscheinlichkeiten, ein Paar zu ziehen. Die
Schülerinnen und Schüler können erkennen, dass
sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer
Farbe ohne Zurücklegen bei kleinen Anzahlen von
Topflappen von Zug zu Zug stärker ändert als bei
K 54 5 Zufall
4 Vierfeldertafeln
Intention der Lerneinheit
Vierfeldertafeln bilden eine Schnittstelle zwischen
den Themenfeldern „Daten“ und „Zufall“. Sowohl
Wahrscheinlichkeiten zweistufiger Zufallsversuche
mit je zwei Ausgängen (etwa das zweimalige Werfen einer Münze) als auch Häufigkeiten von Datenerhebungen mit zwei Merkmalen in je zwei Ausprägungen können übersichtlich in Vierfeldertafeln
dargestellt werden. Die Lerneinheit steht daher am
Abschluss dieser beiden Themen und bildet so eine
Klammer, die deren inhaltliche Nähe aufzeigen hilft.
Die Äquivalenz von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln soll herausgestellt werden.
Einstiegsaufgabe
Die dargestellte Tabelle enthält Schülerzahlen,
sortiert nach männlich/weiblich und blond/dunkelhaarig. Sie wird nicht erklärt, die Schülerinnen und
Schüler können sich die Bedeutung jedoch leicht
erschließen, wenn sie sie in Beziehung zum Plakat
und zum Aufgabentext setzen.
Man sollte die Lernenden zunächst ohne weitere
Erklärungen experimentieren lassen und dann die
Ergebnisse und Fragen sammeln.
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Es muss klargestellt werden, dass für die korrekte
Beantwortung der ersten Frage die Zeilensummen
gebildet werden müssen. Die zweite Aufgabenstellung fragt implizit nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit. („Wie wahrscheinlich ist eine weibliche Gewinnerin unter der Bedingung, dass blond
5
70
_
gewinnt?“ Die Antwort lautet ​ _
 ​ = ​ 8 ​ , da die
(70 +  
42) 
dunkelhaarigen Teilnehmer von vornherein ausgeschlossen werden können.) Dieses Thema ist nicht
Teil des Lehrstoffes und sollte daher nicht explizit
angesprochen werden. Anhand der vorgegebenen
Daten können die Lernenden die Frage jedoch eigenständig erarbeiten und korrekt beantworten.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Häufig sind in den Zeitungen oder Online-Medien
Meldungen zu finden, die sich anhand einer Vierfeldertafel auswerten oder prüfen lassen. Insbesondere wenn es um Unterschiede zwischen Ost- und
Westdeutschland, zwischen Männern und Frauen
oder zwischen der so genannten Ersten und Dritten
Welt geht, ergeben sich entsprechende Datenlagen.
Daher kann die Lerneinheit genutzt werden, um die
Schülerinnen und Schüler in Projektarbeit solche
Meldungen sammeln, auswerten und präsentieren
zu lassen.
Hier bietet sich ein Rückbezug auf Kapitel 4,
Lerneinheit 6 Daten beurteilen an: Auch bei schriftlicher Darstellung werden oft verfälschende oder
tendenziöse Redensarten verwendet, etwa: „Während fast ein Drittel der jüngeren Teilnehmer …
waren es bei den älteren nur etwas über 30 %.“
Sind in den gefundenen Meldungen alle benötigten
Zahlen genannt oder können erschlossen bzw.
geschätzt werden, bietet sich die Vierfeldertafel
als Auswertungswerkzeug an. Eine anschließende
Darstellung in Baumdiagrammen, Säulen- oder
Kreisdiagrammen ist denkbar, sie kann dann auch
als Diskussionsgrundlage dienen.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 3
Kumulative Aufgaben: A 2; 4; 6; 7
Komplexe Aufgaben: Kasten Vierfeldertafeln und
Baumdiagramme
Anwendungsaufgaben: A 2; 5
2 Die Aufgabe enthält alle benötigten Angaben
zur Erstellung einer Vierfeldertafel. Jedoch wird die
Verteilung zwischen Älteren und Jüngeren nicht in
absoluten Zahlen angegeben, sondern es wird ge-
sagt, dass es jeweils gleich viele Besucher waren.
Die Hauptschwierigkeit besteht daher im sorgfältigen Lesen des Aufgabentextes und der inhaltlichen Interpretation.
3 Das Umrechnen von absoluten Häufigkeiten in
Prozentsätze und umgekehrt ist ein typischer Vorgang beim Arbeiten mit Vierfeldertafeln. Es sollte
daher möglichst häufig geübt werden. Zu beachten
ist dabei, dass immer die Summe aller vier Felder
100% ergeben muss und nicht etwa die Spaltenoder Zeilensummen. Dies muss den Lernenden klar
vermittelt werden, da es eine der häufigsten Fehlerquellen darstellt und dem Verständnis der Thematik
wesentlich entgegensteht.
4 Mögliche Darstellung als zweistufiges Zufallsexperiment:
Zunächst wird zufällig eine Maschine ausgewählt,
und zwar Maschine A mit 75% Wahrscheinlichkeit,
Maschine B mit 25% Wahrscheinlichkeit.
In der zweiten Stufe werden die angegebenen Pro­
zentzahlen (4% bei Maschine A, 10% bei Maschine
B) verwendet, um die falsche bzw. korrekte Abfüllung der Ware anzugeben.
6 Das Thema Massenscreening schafft es immer wieder in die Medien, etwa 2009/2010, als es
um das Für und Wider von Brustkrebs-Screenings
ging. Die Problematik, dass bei extrem seltenen
Krankheiten die Wahrscheinlichkeit einer falschen
Positivdiagnose sehr hoch ist, wird denjenigen
schmerzlich bewusst sein, die dies schon einmal im
näheren Umfeld oder an sich selbst erfahren haben.
Die Frage, ob und wie diese schlimmen, letztendlich
vielleicht unnötigen Momente der Sorge gegen die
Gefahren einer unerkannten Krankheit aufgewogen
werden können, kann zu erhitzten Diskussionen
führen.
Was mit dieser Thematik jedoch bewusst gemacht
werden sollte: Eine durch noch so große Zahlen
bestätigte Wahrscheinlichkeit lässt niemals verbindliche Aussagen über Einzelfälle zu und muss daher
immer kritisch geprüft, sollte jedoch nicht ignoriert
werden.
7 Eine Recherche im Internet ergibt, dass ca. 14%
aller Sportler Fußball spielen. Wäre der Anteil bei
30%, so könnte man sagen, dass sich „durchschnittlich viele“ Sportunfälle auf dem Fußballfeld ereignen. Der Anteil der Unfälle beim Fußball liegt also
deutlich über dem Durchschnitt und somit kann
man von einer unfallträchtigen oder „gefährlichen“
Sportart reden. Es ist allerdings nichts darüber gesagt, wie sich die restlichen 70% der Sportunfälle
auf alle anderen Sportarten verteilen. Denkbar ist
5 Zufall K 55
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beispielsweise, dass unfallarme Sportarten (Schachspielen, Schwimmen) kaum in den Unfallstatistiken
auftauchen, dafür aber andere so genannte Risikosportarten wie Mountainbiking, Skispringen oder
Inlineskaten ein deutlich höheres Unfallrisiko bergen als Fußball.
Wichtig ist bei dieser Aufgabe weniger eine vermeintliche Exaktheit in den Daten, als dass die
Schülerinnen und Schüler sich bewusst machen,
welche Aussagen sie aufgrund der ihnen bekannten
Datenlage rechtfertigen können und welche nicht.
Üben • Anwenden • Nachdenken
Der folgenden Klassifikation liegt der exemplarische Kommentar: Aufgaben die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Serviceband 9 zugrunde.
Grundaufgaben: A 2; 4; 5; 6; 16
Operative Übungen: A 1; 3; 7; 9; 10; 12; 13; 15
Kumulative Aufgaben: Methodenkasten Verkürzte
Baumdiagramme; A 11; 14
Komplexe Aufgaben: A 8; Kasten Mehrstufiger Zufallsversuch; A 17; 20
Anwendungsaufgaben: A 19
Problemstellungen – offene Aufgaben: A 18; 21
2 und 3 Die Aufgaben fordern die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und üben damit die Umsetzung der Definition der Wahrscheinlichkeit. In Aufgabe 3 wird der umgekehrte Weg erwartet. Zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit und
einem beschriebenen Zufallsgerät sollen passende
Ereignisse gefunden werden.
4 Die Aufgabe ist rechnerisch einfach: Eine von
fünf Kugeln ist rot, der Versuch ist einstufig. Die Herausforderung besteht darin, dies zu erkennen.
5 Das Erkennen der Gesamtheiten der Ergebnisse
bei Zufallsexperimenten und der günstigen Ereignisse wird erneut eingeübt.
7 Es wird das Konzept des sicheren Ereignisses
thematisiert. Schüler, die das erkennen, müssen in
Teilaufgabe a) nur zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen und erhalten die dritte unter Verwendung
des Gegenereignisses durch eine simple Subtrak­
tion.
K 56 5 Zufall
8 Durch die Umkehrung der Aufgabenstellung –
die Wahrscheinlichkeiten sind vorgegeben, gesucht
ist eine passende Zusammenstellung der Kugeln – sowie die Frage nach Variationen wird das Verständnis vertieft. Die Aufgabe entspricht in ihrer
Komplexität Anforderungsniveau II.
9 Durch die Aufgabe werden die Lernenden mit
der Tatsache konfrontiert, dass intuitive Erwartungen an Wahrscheinlichkeiten auch falsch sein
können – natürlich sinkt die Wahrscheinlichkeit
einer „6“ für den vierten Wurf nicht, da er von den
ersten Würfen unabhängig ist.
10 bis 12 Die Begriffe Gegenereignis, sicheres und
unmögliches Ereignis werden wiederholt.
Mehrstufiger Zufallsversuch
Zwei weitere Aufgaben zum dreistufigen Zufallsversuch, die mithilfe von Baumdiagrammen gelöst werden können, befinden sich auf dem < Service­blatt „Pralinendose und Ballwurfmaschine – so ein Zufall!“, Seite S 47.
Das < Serviceblatt „Zufallsversuche – Spielereien“, Seite S 48, behandelt Spielsituationen, die sich mit mehrstufigen Zufallsversuchen simulieren lassen.
15 Teilaufgabe a) wiederholt den zweistufigen
Zufallsversuch mit Zurücklegen. Teilaufgabe b)
fragt nach den gleichen Ereignissen, aber diesmal
werden die Kugeln nicht zurückgelegt. Die Baumstruktur bleibt gleich, jedoch ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Eine reizvolle Aufgabe für stärkere
Schülerinnen und Schüler, weil sie verdeutlicht, wie
wichtig es ist, sich die Struktur eines Experiments
jeweils klarzumachen.
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6 Trigonometrie
Kommentare zum Kapitel
Die Trigonometrie baut auf den Themengebieten
Ähn­lichkeit und Satz des Pythagoras aus der 9. Klassen­stufe auf und führt diese weiter. In der
Trigonometrie rücken zunehmend arithmetische
und algebraische Aspekte der Geometrie ins Zen­
trum – so werden viele geometrische Situationen
mithilfe von Gleichungsansätzen und teilweise auch
mit Variablen gelöst. Dabei ist darauf zu achten,
dass die anschauliche Grundlage nicht verloren
geht – die Rückbindung an vorhandene oder zu er­
stellende Skizzen ist dabei immer wieder hilfreich.
Da in der Trigonometrie Lösungen oft auf verschie­
denen Wegen erreicht werden können, sollte die
Chance genutzt werden, Schülerinnen und Schüler
die Auswahl ihres Lösungsweges reflektieren,
darstellen und begründen zu lassen. Dies leistet
einen Beitrag beim Aufbau der prozessorientierten
Kompetenzen „mathematisch argumentieren“ und
„Probleme mathematisch lösen“, wobei in der Tri­
gonometrie alle drei Anforderungsbereiche erreicht
werden können: Die Wiedergabe und Anwendung
trigonometrischer Funktionen in bekannten bzw.
abgegrenzten Kontexten (Anforderungsbereich I),
das Verknüpfen von Kenntnissen, Fertigkeiten und
Fähigkeiten aus verschiedenen mathematischen
Gebieten (Anforderungsbereich II) oder das Lösen
komplexer Problemstellungen mit anschließender
Reflexion, Schlussfolgerung bzw. Wertung (Anforde­
rungsbereich III). Punktuell werden im Hinblick auf
die trigonometrischen Funktionen auch Aspekte der
Leitidee funktionaler Zusammenhang berührt.
Exkurs
Trigonometrie
Die (ebene) Trigonometrie ist das Teilgebiet der
Geometrie, das sich mit Dreiecken beschäftigt.
Die Ursprünge der Trigonometrie liegen in der
Lösung von Architekturproblemen (z. B. die in­
haltliche Verwendung der Tangensfunktion bei
der Angabe einer Flächenneigung durch die Ba­
bylonier um 2000 v. Chr.) oder in der Sehnenrech­
nung der Griechen (wobei hier noch die Idee der
rechtwinkligen Dreiecke fehlt). Die europäische
Geschichte der Trigonometrie beginnt mit der
zunehmenden Beschäftigung mit der Astronomie
gegen Ende des Mittelalters. Diese erforderte
Kenntnisse der ebenen und sphärischen Geome­
trie, die aus griechischen, arabischen und indi­
rekt auch aus indischen Quellen übernommen
wurden. Die Vorteile, die die Anwendung der Tri­
gonometrie in astronomischen (und nautischen)
Berechnungen erbrachte, ließen sie in der Re­
naissance an Bedeutung gewinnen. So erschien
1533 das erste eigenständige Lehrbuch der Tri­
gonometrie von Regiomontanus (Johann Müller
aus Königsberg in Franken). Bis Kopernikus war
die Trigonometrie nur als Bestandteil der Astro­
nomie aufgefasst worden. Die heutige Darstel­
lung und Schreibweise der Trigonometrie wurde
schließlich von Leonhard Euler (1707–1783) ein­
geführt.
Intention und Schwerpunkt des Kapitels
Schwerpunkte des Kapitels sind Kenntnis der trigo- nometrischen Beziehungen am rechtwinkligen
Drei­eck und deren Anwendung im Sinne von ma­
thematischen Regeln. Sinus, Kosinus und Tangens
werden in Lerneinheit 1 zunächst auf Grundlage
der Ähnlichkeit anschaulich eingeführt und mit
grundlegenden und operativen Übungen geläufig
gemacht. Die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke
in Lerneinheit 2 wird in Lerneinheit 3 erweitert, in
der durch die Einführung der besonderen trigo­
nometrischen Werte Berechnungen an Dreiecken
mit Variablen möglich werden. Bei der Berechnung
allgemeiner Dreiecke in Lerneinheit 4 kommt die
strategische Zerlegung rechtwinkliger Dreiecke zum
Tragen, was in Lerneinheit 5 durch den Sinus- und
Kosinussatz formalisiert wird. Lerneinheit 6 vertieft
die gelernten Zusammenhänge durch zunehmend
komplexere Aufgaben in Ebene und Raum. Die
Behandlung der Trigonometrie am Einheitskreis
(Lerneinheit 7) führt direkt zu den trigonome­
trischen Funktionen und ihren Eigenschaften in den
Lerneinheiten 8 und 9.
Bezug zum Lehrplan
Leitidee Zahl: Die Schülerinnen und Schüler können
– trigonometrische Funktionen zeichnen und Eigenschaften und Extremwerte ablesen.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Der Kapitelaufbau ist – bedingt durch seinen
systematischen Aufbau – hierarchisch und sollte
in der vorgegebenen Reihenfolge behandelt wer­
den. Lerneinheit 3 Besondere Werte kann auch
nach den Lerneinheiten 4, 5 oder 6 behandelt
werden, da diese die besonderen Werte nicht
voraussetzen. Der unterrichtliche Einsatz der Ser­
viceblätter, die sich auf das Programm GEONExT
beziehen (< Serviceblätter „Trigonometrie mit
GEONExT“, Seite S 49, „Trigonometrie am Einheits­
kreis mit GEONExT (1) und (2)“, Seiten S 53 und
6 Trigonometrie K 57
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:46:54 Seite: 58 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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Schülerbuchseite 142 – 179
S 54, „Schaubild der Sinusfunktion mit GEONExT“,
Seite S 55 und „Grundstücksvermessung“, Seite
S 57), kann prinzipiell als Einzelarbeit erfolgen;
bewährt hat sich aber auch der Einsatz in Part­
nerarbeit, bei dem eine Schülerin bzw. ein Schü­
ler die Anleitung vorliest, während der bzw. die
andere die Anweisung im Programm umsetzt.
– Bei der Lösung von Aufgaben in ebenen und
räumlichen Kontexten stellt sich die Frage nach
dem Umgang mit Zwischenergebnissen. Da die
Anzahl der Speicherplätze der verwendeten
Taschenrechner in der Regel begrenzt ist und
für die teilweise hohe Anzahl zu speichernder
Zwischenergebnisse nicht ausreicht, empfiehlt
es sich, mit einer Nachkommaziffer mehr zu ar­
beiten, als im Endergebnis benötigt wird. Vgl. hierzu auch den Exemplarischen Kommentar
Trigonometrie und Taschenrechner, Seite K 60.
Auftaktseite: Treppen
Exkurs
Treppen
Treppen werden seit jeher in den unterschied­
lichsten Formen und architektonischen Gestal­tun­
gen verwendet. Die Sicherheit, die Bequemlich­
keit und die Funktionstüchtigkeit einer Trep­pe
kann durch so genannte Treppenformeln be­
schrieben werden. Die wichtigste dieser Formeln
– die Schrittmaßregel 60 cm ≤ 2 s + a ≤ 66 cm (als Maß für einen Schritt beim Treppensteigen),
bei der s die Stufenhöhe und a den Auftritt
kennzeichnet – stammt im Original von François
Blondel (1617–1686), der als Erster die Stufen­
maße unter dem Kriterium der Bequemlichkeit
erforschte. Weitere Treppenformeln sind die
ebenfalls von Blondel entwickelte Sicherheits­
regel (45 ≤ a + s ≤ 47) und die Bequemlich­
keitsregel (a – s = 12). Alle drei Regeln werden
gleichzeitig nur durch das physiologisch günstige
Steigungsverhältnis 17/29 erfüllt. Weiterhin
lassen sich die Treppenmaße auch noch durch
Grenzwerte beschreiben, die durch Deutsche
Industrienormen (DIN) festgelegt sind, die
­allerdings von Zeit zu Zeit an Veränderungen der durchschnittlichen Schrittlänge angepasst
werden.
Die Beschäftigung mit der Thematik „Treppen“
stellt einen anschaulichen Einstieg in die Trigono­
metrie dar. Der Einstieg ist alltagsnah und ermög­
licht handelnde Zugänge. Der Variantenreichtum
der möglichen Treppen (und insbesondere auch
die Unterscheidung für die Messung geeigneter
K 58 6 Trigonometrie
und ungeeigneter Treppen) sowie die bewusste
Verwendung des nicht mathematisch belegten
Begriffs „Steilheit“ ermöglichen eine sukzessive
Begriffsbildung bei den Lernenden. Mathematisch
verwertbarer Hintergrund der alltagsnahen Thema­
tik ist der Quotient aus Stufenhöhe s und Auftritt
a bzw. aus Treppenhöhe h und Treppenlänge l, der
die Steigung der Treppe beschreibt. Der Begriff der
„Steigung“ wird zunächst bewusst durch den Begriff
der „Steilheit“ ersetzt, um zuerst ein inhaltliches
Verständnis der zugrunde liegenden Thematik zu
ermöglichen und diese nicht vorschnell mit einem
durch Vorwissen beladenen Begriff zu versehen. Die
Verknüpfung mit dem bekannten Begriff der Stei­
gung erfolgt im Schülerbuch unter Hinzunahme der
entsprechenden algebraischen Inhalte auf Seite 149.
Die beiden Quotienten, aus denen sich jeweils
der gleiche Wert für die Steilheit einer Treppe be­
stimmen lässt, sind durch die zugrunde liegenden
ähnlichen Dreiecke begründet. Die aus Klasse 9 be­
kannte Ähnlichkeit, auf der die Trigonometrie auf­
baut, kann an dieser Stelle bewusst im Sinne des
Spiralprinzips und des kumulativen Lernens wieder
aufgegriffen und durch folgende Skizze visualisiert
werden:
h
·k
s
a
ø
·k
Die Seitenlängen der beiden ähnlichen Dreiecke
sind jeweils um den Faktor k vergrößert. Daraus
lässt sich auch die Konstanz der Seitenverhältnisse
s
_
folgern. Aus k = ​ _hs  ​ und k = ​ _al  ​ wird _​ hs  ​ = ​ _al  
​ ​ a ​ = ​ _hl  ​ gefolgert, oder direkt durch Anwendung des zwei­
ten Strahlensatzes gewonnen. Beide Quotienten
eignen sich zur praktischen Bestimmung der Steil­
heit einer Treppe. Allerdings ist bei der Bestimmung
mittels der Gesamtlänge der Treppe darauf zu ach­
ten, dass die Länge des Auftritts mit der Anzahl der
Stufen multipliziert wird. Verwendet man stattdes­
sen die Anzahl der Auftritte, sollte darauf geachtet
werden, dass nur der unterste oder nur der oberste
Auftritt mitgezählt wird.
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Schülerbuchseite 142 – 144
Die dritte Möglichkeit der Steilheitsbestimmung
wird in der dritten Frage durch die Rampe ange­
regt: Hierbei soll nun der Winkel bestimmt werden,
um erstmalig die Verknüpfung von Winkelmaß und
Seitenverhältnis zu leisten. Die Messung kann prak­
tisch erfolgen, indem ein Brett oder ein Lineal so
auf die Treppe gelegt wird, dass die Steigung nach­
empfunden wird. Der Winkel kann dann mit einem
Geodreieck abgelesen werden.
Die Gegenüberstellung von Seitenverhältnis und
Winkel führt zu der Erkenntnis, dass beide Werte
geeignet sind, die Steilheit einer Treppe anzugeben,
und dass beide voneinander abhängen. Bereits die
Auftaktthematik ermöglicht sowohl das Zusammen­
spiel aller Darstellungsebenen (enaktiv, ikonisch
und symbolisch – wobei der Abstraktionsgrad der
symbolischen Repräsentationsebene noch nicht
zu hoch sein darf, also eher anschaulich mit der
Thematik umgegangen werden sollte) als auch die
Verknüpfung der mathematischen Themen: Winkel­
messung, Verhältnisbestimmung und Ähnlichkeit
und bildet so eine adäquate Grundlage für die Ein­
führung der Trigonometrie.
„Bewegung dokumentieren“
Der Zugang auf der rechten Seite stellt den Zusam­
menhang zwischen der Natur und der Eigenschaft
der Periodizität der trigonometrischen Figuren her.
Die Hauptaufgabe liegt hierbei im Verständnis der
Entstehung des Gesamtbildes.
Messen oder rechnen?
Die Aufgabe stellt den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis her. Die Seitenverhält­
nisse bzw. die dadurch ausgedrückten Steilheiten
der Hypotenusen in den rechtwinkligen Dreiecken
lassen qualitative Rückschlüsse auf die Größe der
beteiligten Winkel zu: Je größer das Seitenverhält­
nis bzw. die Steilheit, desto größer ist auch der ent­
sprechende Winkel.
1 Sinus. Kosinus. Tangens.
Intention der Lerneinheit
– Die Abhängigkeit der Seitenverhältnisse im
rechtwinkligen Dreieck allein vom Winkel bzw.
die Konstanz der Seitenverhältnisse in ähnlichen
rechtwinkligen Dreiecken erfassen.
– Die Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens als Be­
zeichnungen der Seitenverhältnisse in rechtwink­
ligen Dreiecken kennen lernen.
– Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Drei­
ecken bestimmen bzw. berechnen können.
– Die Taschenrechner-Eingabefolge zur Berech­
nung von Winkeln kennen lernen.
– Ikonische und symbolische Darstellungen mitei­
nander verknüpfen können.
– Gleichwertige Seitenverhältnisse zur Bestim­
mung von Sinus, Kosinus und Tangens eines
Winkels in zerlegten rechtwinkligen Dreiecken
finden.
– Erste Einblicke in trigonometrische Gesetzmäßig­
keiten (zum Beispiel: sin a = cos b) erhalten.
Einstiegsaufgabe
Über den zweiten Strahlensatz können wertgleiche
Seitenverhältnisse erstellt werden, die lediglich
vom angegebenen Winkel (36°) abhängig sind. Die
Aufgabe bietet dadurch den direkten Zugang zum
Tangens.
Alternativer Einstieg
Mit dem < Serviceblatt „Trigonometrie mit
Geonext“, Seite S 49, ist ein dynamischer Einstieg
in die Trigonometrie möglich, bei dem ebenfalls die
Konstanz der Seitenverhältnisse an ähnlichen recht­
winkligen Dreiecken handelnd erfahren werden
kann. Daraus lassen sich die Definitionen von Sinus,
Kosinus und Tangens ableiten. Das Serviceblatt
kann aber auch ergänzend zur Einstiegsaufgabe
eingesetzt werden.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Zu Beginn der Lerneinheit sollte darauf geachtet
werden, dass die zu lernenden bzw. die zu wie­
derholenden Begriffe (Hypotenuse, Ankathete,
Gegenkathete, Sinus, Kosinus, Tangens) mög­
lichst anschaulich mithilfe der Seitenverhältnisse
eingeführt und gesichert werden. Aus diesem
Grund ist der anschauliche Einstieg über die Ein­
stiegsaufgabe bzw. die Auftaktseite hilfreich und
motivierend. Im weiteren Verlauf des Unterrichts
sollte dieser grundlegende Zusammenhang der
Seitenverhältnisse immer wieder thematisiert
werden und nicht zu schnell zu einer rein forma­
len Notation allein mit den Seitenbezeichnungen
übergegangen werden. Eine zunehmende Va­
6 Trigonometrie K 59
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Schülerbuchseite 142 – 144
riation der Lage der Dreiecke und der Bezeich­
nungen der Seiten sorgt für eine wachsende
Geläufigkeit und die Beispielunabhängigkeit der
entsprechenden Regeln. Die Geläufigkeit der
zugrunde liegenden Begriffe und Regeln kann
zusätzlich durch das entsprechende < Service­
blatt „Tandembogen – Trigonometrie“, Seite S 50,
gefördert werden.
– Aufgrund der für Schülerinnen und Schüler nicht
unbedingt naheliegenden Syntax bereitet die
Taschenrechnereingabe im weiteren Verlauf der
Trigonometrie manchmal Schwierigkeiten – ins­
besondere das Drücken des Gleichheitszeichens,
bevor ein Rechenergebnis weiter verwendet
werden kann. Hier ist es hilfreich, wenn bei­
spielhafte Rechnungen mit den konkreten Ta­
schenrechnereingaben exemplarisch notiert und
festgehalten werden. Vergleiche hierzu auch den
Exemplarischen Kommentar: Trigonometrie und
Taschenrechner, Seite K 60.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
­fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 5
Operative Übungen: A 4; 6; 7; Randspalte
1 Die Grundaufgabe trainiert die Bestimmung der
trigonometrischen Funktionswerte über die Berech­
nung der entsprechenden Seitenverhältnisse. Die
Gleichheit von sin a und cos b bzw. von cos a und
sin b ist bereits beobachtbar, wird aber hier noch
nicht thematisiert.
3 Bei dieser Aufgabe werden trigonometrische
Berechnungen unter der Leitidee funk­tionaler Zusammenhang betrachtet. Durch Variation der Daten
können folgende neue Erkenntnisse gewonnen
werden:
– Es besteht kein linearer Zusammenhang zwi­
schen a und sin a, cos a bzw. tan a.
– Im vorgegebenen Intervall sind die Werte von
sin a und cos a genau gegenläufig.
– Der Zusammenhang sin a = cos b kann hier für b = 90° – a aufgrund der Winkelsumme im recht­
winkligen Dreieck entdeckt werden. Diese Be­
ziehungen, die hier lediglich an exemplarischen
Beispielen entdeckt werden, können später am
Einheitskreis und mithilfe der Schaubilder der
trigonometrischen Funktionen bestätigt bzw. vertieft werden.
– Die Werte von sin a und cos b bewegen sich – im Gegensatz zu den Tangenswerten – in einem
K 60 6 Trigonometrie
bestimmten Intervall (zwischen 0 und 1). Diese
Beobachtung kann ggf. durch Erweiterung oder
Verfeinerung des Intervalls noch vertieft werden.
– Die Tangenswerte steigen bei der Annäherung
an 90° sehr stark an.
Diese Beobachtungen, die erst beim Überschreiten
des betrachteten Intervalls [0°, 90°] ihren vollen
Sinn ergeben, können an dieser Stelle als erste
fragmentarische Erfahrungen mit den trigono­
metrischen Funktionen stehen bleiben. Wie in­
tensiv hier bereits funktionale Zusammenhänge
thematisiert werden, bleibt der Lehrerin bzw. dem
Lehrer überlassen. Allerdings sollte der nicht­lineare
­Zusammenhang zwischen Winkel und Sinus (bzw.
Kosinus und Tangens) deutlich herausgestellt wer­
den, um der Anwendung falscher Muster (z. B.:
sin 60° = 2 · sin 30°) vorzubeugen.
6, 7 und Randspalte
Bei diesen operativen Aufgaben kommt der Aspekt
der Assoziativität zum Tragen (vgl. hierzu den Ex­
emplarischen Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Schnittpunkt ­Serviceband 9, Seite
K 5). Alternative Wege zur gleichen Lösung sollten
bewusst beschritten und reflektiert werden.
Exemplarischer Kommentar
Trigonometrie und Taschenrechner
Der Einsatz des Taschenrechners spielt in der
Trigonometrie eine große Rolle, bei der folgende
Aspekte zu berücksichtigen sind:
–Eingabesyntax und Schülerschwierigkeiten: Insbesondere der Fall, bei dem der Winkel aus
dem Seitenverhältnis berechnet wird, kann
Probleme aufwerfen, da von den Schülerinnen
und Schülern oftmals nicht erkannt wird, dass
hier letztlich eine Gleichung gelöst wird. Da­
her sollte die genaue Tastenfolge bei der Be­
rechnung mit dem Taschenrechner im Unter­
richt thematisiert und anhand eines Beispiels
exemplarisch festgehalten werden.
–Genauigkeit von Zwischenergebnissen: Idealerweise erfolgt die weitere Verarbeitung
von Zwischenergebnissen anhand gespei­
cherter Zwischenwerte. Da allerdings die im
weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit zuneh­
mende Anzahl benötigter Zwischenergebnisse
die begrenzte Anzahl der Speicherplätze
bei den üblichen Schülertaschenrechnern
schnell übersteigt, wird bald eine zusätzliche
Strategie nötig. Diese erfordert, dass voraus­
schauend erkannt wird, welche Werte weiter
verwendet werden und daher gespeichert
werden müssen. Zusätzlich empfiehlt es sich,
beispielsweise mit Bleistift hinter den schrift-
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 145 – 146
lich notierten gerundeten Zwischenwerten
die Speicherbelegung für die Weiterverwen­
dung des exakten Wertes zu notieren. Da die
Ansprüche an die Schülerinnen und Schüler
insbesondere bei langwierigen Übungsaufga­
ben und auch in Überprüfungen diesbezüglich
recht hoch sind, empfiehlt es sich, in Zwi­
schenergebnissen mit einer Nachkommaziffer
mehr zu arbeiten, als im Endergebnis. Verglei­
che hierzu den Exemplarischen Kommentar
Sinnvoll Runden, Schnittpunkt, Serviceband 9,
Seite K 19.
Randspalte
Der Nachweis der Gleichheit von e und b kann auf
drei Wegen erbracht werden:
– Logisches Schließen: Der Winkel a ist beiden be­
trachteten Dreiecken gemeinsam. Da beide Drei­
ecke zusätzlich einen rechten Winkel besitzen,
müssen e und b gleich groß sein.
– Argumentation über die Ähnlichkeit der beiden
betrachteten Dreiecke
– formale Anwendung der Winkelsumme (e = 180° – 90° – a = 90° – a und analog b = 90° – a)
Exkurs
Aristarch von Samos
Aristarch von Samos (320–250 v. Chr.), der auf der
Insel Samos geboren wurde, gelang es, die rela­
tiven Entfernungen der Sonne und des Mondes
von der Erde zu bestimmen – dies findet man
in seiner in einigen griechischen Handschriften
überlieferten Abhandlung „Über die Größen
und Entfernungen der Sonne und des Mondes“.
Aristarch vertrat bereits im 3. Jahrhundert vor
Christus das heliozentrische Weltbild, das damals
noch im Widerspruch zur Mehrheitsmeinung der
Fachleute stand. Aristarch beschreibt in seinem
Werk einige überraschende Beobachtungen,
Hypothesen und Schlussfolgerungen, von denen
einige, die zum vertieften Verständnis der Ein­
stiegsaufgabe dienen, an dieser Stelle erwähnt
werden sollen:
–Da die Sonne größer ist als der Mond, ist der
Kreis, der den beleuchteten vom unbeleuch­
teten Teil des Mondes trennt, kein Großkreis:
Mond und Kreis haben keinen gemeinsamen
Mittelpunkt (s. Abbildung). Aufgrund der gro­
ßen Entfernung zwischen Sonne und Mond
sind die Randstrahlen aber nahezu parallel,
sodass die Abweichung gering ist.
2 Rechtwinklige Dreiecke berechnen
Intention der Lerneinheit
– Fehlende Seiten und Winkel in rechtwinkligen
Dreiecken berechnen.
– Trigonometrische Beziehungen, den Satz des
Pythagoras und die Winkelsumme im Dreieck
zielgerichtet bei Berechnungen anwenden und
kombinieren.
– Trigonometrische Beziehungen zur Lösung von
­Anwendungs- und Modellierungsaufgaben ver­
wenden.
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe thematisiert den historischen
Ansatz, mit dem Aristarch von Samos die Entfer­
nung der Sonne von der Erde bestimmt hat. Die
Einstiegsaufgabe macht auf anschauliche Weise
deutlich, wie trigonometrische Beziehungen zur Be­
rechnung rechtwinkliger Dreiecke verwendet wer­
den, wenn wichtige Größen unbekannt oder nicht
zugänglich sind. Zugleich leistet die Einstiegsaufga­
be einen Einblick in die Geschichte der Trigonome­
trie (vgl. hierzu auch den nebenstehenden Exkurs).
Sonne
Mond
–Die von Aristarch beschriebene Konstellation
ermöglicht die Feststellung des rechten Win­
kels beim Mond. Dies ist aus der Tatsache zu
folgern, dass die Sonnenstrahlen senkrecht
auf der Schnittebene durch den Mond stehen
und dass diese Ebene bei Halbmond genau
auf den Beobachter weist (s. Abbildung). M
S
3°
90°
87°
E
–Der von Aristarch mit einer Größe von 87°
(oder wie er es beschreibt „um ein Dreißigstel
eines Viertelkreises kleiner als ein Viertel­
kreis“) gemessene Winkel weicht vom heute
bekannten Wert von 89,51° zwar auf den er­
sten Blick nur geringfügig ab, führt aber bei
der Bestimmung der gesuchten Entfernung zu
einer Abweichung um den Faktor 20.
6 Trigonometrie K 61
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:46:56 Seite: 62 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 146 – 148
K 62 6 Trigonometrie
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4
Operative Übungen: A 5; 8; 9
Kumulative Aufgaben: A 6; 10; 11; 12; 13
Anwendungsaufgaben: A 7; 14; 15; 16; 17; 18
1 bis 4 Bei allen Teilaufgaben dieser Grundaufga­
ben sind jeweils drei Rechenschritte nötig. Prinzipi­
ell können alle Berechnungen mithilfe der trigono­
metrischen Beziehungen erfolgen, allerdings kann
die Berechnung des dritten Winkels auch über die
Winkelsumme, die Berechnung der dritten Dreiecks­
seite auch über den Satz des Pythagoras erfolgen.
Bei den Aufgaben 3 und 4 empfiehlt sich die Anfer­
tigung einer Skizze bzw. die Betrachtung der Rand­
skizze im Schülerbuch.
5 Soll diese operative (kompositorische) Aufgabe
auf dem kürzesten Weg (mit jeweils vier Rechen­
schritten) gelöst werden, so erfordert sie den fle­
xiblen und zielgerichteten Einsatz von Sinus und
Kosinus sowie des Satzes des Pythagoras:
a)
b)
54,3°
54,3°
cos
sin
x
42,9°
Pyth
sin
x
42,9°
Pyth
Pyth
m
2,5 cm
cos
m
7,0 c
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Bei den trigonometrischen Berechnungen in
Klassenstufe 10 sollte grundsätzlich ein variabler
und zielgerichteter Einsatz der den Schülerinnen
und Schülern geläufigen mathematischen Werk­
zeuge (Trigonometrische Beziehungen, Satz des
Pytha­goras, Winkelbeziehungen, Symmetrieeigen­
schaften, …) angestrebt werden.
Auch wenn zu Beginn der Unterrichtseinheit der
Schwerpunkt auf den neu gelernten trigonome­
trischen Beziehungen liegt, sollten geeignete kom­
positorische Aufgaben (z. B. Aufgaben 5 bis 7) dazu
genutzt werden, die Beweglichkeit des mathema­
tischen Denkens zu schulen (vgl. hierzu den Exem­
plarischen Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Schnittpunkt, Serviceband 9, Seite K 5).
Grundsätzlich sollten immer wieder exemplarisch
andere Lösungswege und -möglichkeiten themati­
siert werden, auch wenn die Aufgabe bereits gelöst
wurde. Die nachträgliche Betrachtung und Reflexion
des Lösungswegs und der zugrunde liegenden Stra­
tegie fördert die Problemlösefähigkeit der Schüle­
rinnen und Schüler.
Die sich möglicherweise durch den Lehrtext auf­
werfende Frage, warum ausgerechnet Dreiecke mit
diesen Angaben vollständig berechenbar sind, also
welche Dreiecke eindeutig bestimmt sind, lässt sich
bei Bedarf mit einem Rückgriff auf die Kongruenz­
sätze beantworten. Da jeweils der rechte Winkel ge­
geben ist, kommen die Kongruenzsätze WSW, SWS
oder SSW zum Tragen. Andere Dreiecke (mit mehr
oder weniger Angaben) sind entweder unter- oder
überbestimmt.
Mit dem Übergang von Grundaufgaben zu opera­
tiven Übungen und Anwendungsaufgaben kommt
der Identifikation rechtwinkliger Dreiecke und
Teildreiecke eine größere Bedeutung zu (vgl. hierzu
die folgende Lerneinheit). Es empfiehlt sich, eine
geeignete (Teil-)Skizze anzufertigen, bei der die ge­
gebenen Größen farbig markiert werden. Bei Aufga­
ben, bei denen Größen als Zwischenschritte berech­
net werden müssen, ist es sinnvoll, diese ebenfalls
mit einer (ggf. anderen) Farbe zu markieren.
Aufgabenkommentare
5,7 cm
Für vertiefte Informationen und unterricht­liche
Anregungen vergleiche Jahnke, H. N.: Sonne,
Mond, Erde In: mathematik lehren, Heft 91, Sei­
ten 20–22 und 47–48, Erhard Friedrich Verlag,
Seelze.
2,8 c
2,8 c
m
Pyth
2,5 cm
6 Bei gründlicher Analyse der Ausgangsfigur oder
bei Rückgriff auf die Randspalte von Seite 145 erge­
ben sich folgende Beziehungen, die die Lösung der
Aufgabe vereinfachen:
a = c1; b = c2; c = q + p; die Dreiecke ABC, ADC und DBC sind ähnlich.
Bei Aufgaben diesen Typs sollte der Blick für die
Teildreiecke und das gesamte Dreieck geschärft
werden: In welchem Dreieck wird gerade gerech­
net? Welche Größen gelten für mehrere Dreiecke?
Welche Größen stehen miteinander in Beziehung
(Winkelsumme, Ergänzungswinkel, Teilstrecken, …)?
Kumulativ können aber auch der Kathetensatz, der
Höhensatz und der Satz des Pythagoras, wie auch
die Winkelsumme im Dreieck verwendet werden.
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 148 – 149
8 Die Lösung der Aufgabe kann in sieben Schritten ­erfolgen:
1. Berechnung von b mit der Winkelsumme im
Dreieck ABC
2. Berechnung von a mit cos b
3. Berechnung von e mit dem Satz des Pythagoras
oder einer trigonometrischen Beziehung
4. Berechnung von b mit sin a
5. Berechnung von f mit cos a
6. Berechnung von d mit sin a
7. Berechnung von c = g + f
Der zur Lösung der Aufgabe nicht zwingend erfor­
derliche Rückgriff auf die Ähnlichkeit der Dreiecke
ermöglicht ein schnelles Angeben aller Winkel und
damit die Verwendung weiterer trigonometrischer
Beziehungen in den Teildreiecken.
9 Die Lösung dieser etwas komplexeren opera­
tiven Aufgabe erfordert zunächst die Erkenntnis,
dass der Winkel a im Dreieck BCE bei B wieder auf­
tritt. Anschließend können die gesuchten Strecken
in drei Teilschritten berechnet werden:
1. Berechnung von a
im Dreieck BCE
_
2. Berechnung von ​BF​ im
 
Dreieck BCF
_
3. Berechnung von ​AE​ im
 
Dreieck ABE
Zur Orientierung der Schülerinnen und Schüler kann
die explizite Bezeichnung der Teildreiecke, in denen
gerechnet wird, hilfreich sein.
10 Durch die Verwendung von Variablen wird diese
Aufgabe (wie auch Aufgabe 11) kumulativ, da zur
Lösung der Umgang mit Gleichungen erforderlich
ist. Die Schwierigkeiten, die der formale Umgang
mit dem Ausdruck tan 27,9° in der Gleichung ver­
ursacht, können umgangen werden, indem der
Ausdruck frühzeitig berechnet und als Dezimalzahl
weiter verwendet wird. Allerdings führt das frühzei­
tige Verwenden von konkreten Zahlenwerten in der
Gleichung zu Ungenauigkeiten im Endergebnis.
11 a) Zur Lösung dieser kumulativen Aufgabe kön­
nen für jedes vorhandene Dreieck nach Ergänzung
der fehlenden Winkel zwei Gleichungen aufgestellt
werden:
y
y
Dreieck ABC: sin 35° = ​ _x ​ oder cos 55° = ​ _x ​
y
y
Dreieck BDC: sin 55° = ​ _
 ​ oder cos 35° = ​ _
 ​
y + 1 
y + 1 
y+1
x
​ oder tan 55° = ​ _
 
 ​
Dreieck ABD: tan 35° = ​ _
x   
y + 1 
Mithilfe einer Gleichung aus dem Dreieck BDC kann
y berechnet werden und x im Anschluss durch Ein­
setzen in eine weitere Gleichung bestimmt werden.
Alternativ können Gleichungen aus verschiedenen
Dreiecken paarweise kombiniert und mit den ent­
sprechenden Verfahren als lineares Gleichungssy­
stem gelöst werden. Die Lösung von Teilaufgabe b)
erfolgt analog.
Vorsicht Steigung!
Das Schaufenster greift den Inhalt der Auftakt­
seite auf und klärt den Begriff der Steigung
präzise. Die Steigung kann aufgrund der beiden
Definitionen einerseits als Winkelangabe und an­
dererseits als Zahlenwert (durch die Berechnung
des Verhältnisses von Höhendifferenz zum ho­
rizontal gemessenen Weg) angegeben werden.
Die alltägliche Angabe als Prozentwert erhält
man durch Multiplikation des Quotienten mit
100. Die folgenden Aufgaben ermöglichen eine
vertiefte Behandlung des Begriffes der Steigung
und der zugrunde liegenden mathematischen
Inhalte:
 Die durch die Prozentzahl angegebene Stei­
gung stimmt mit der durch das schwarze Dreieck
dargestellten Steigung nicht überein – bzw. die
symbolisierte Steigung wird trotz variabler Pro­
zentangaben nicht angepasst. Außerdem wird
– bedingt durch die Form des Verkehrsschildes – nur ein Teil des Steigungsdreiecks gezeigt, bei
dem der rechte Winkel anders platziert ist. Dies
sollte zur Vermeidung von Missverständnissen
thematisiert werden. Hierbei ist auf die genaue
Definition der Steigung und die Verwendung der
korrekten Skizze zu achten.
 Die hier vorgenommene Variation der gleich­
bedeutenden Steigungsangaben je nach zugrun­
de liegender Definition ist für die Flexibilität des
Definitionsgebrauchs und der Überführbarkeit
einer Darstellung in eine andere gleichwertige
Darstellung bedeutsam.
 In dieser Aufgabe werden funktionale Aspekte
des Tangens erforscht (vgl. hierzu auch Aufgabe
3 auf Seite 145 im Schülerbuch).
 Die Abgrenzung der Tangensfunktion von
proportionalen Funktionen ist bedeutsam, da für
kleine Winkel der Schluss auf eine proportionale
Funktion aufgrund von Rundungseffekten zu­
nächst naheliegt (vgl. hierzu die in Aufgabe 3 auf
Seite 145 berechneten Tangens­werte für 10° und
20°).
 Bei der Steigungsermittlung anhand einer
Landkarte ist eine geeignete Modellierung vorzu­
nehmen. Die Frage, ob die gegebene Kurvenstre­
cke durch eine direkte Verbindung der beiden
Punkte angenähert werden darf, kann mithilfe
einer Vergleichsmessung (z. B. auf großen Kopien)
überprüft und für diesen konkreten Fall bejaht
6 Trigonometrie K 63
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 149 – 150
werden. Wird die Grafik aus dem Buch zugrunde
gelegt, so ist der Einfluss der Messungenauigkeit
größer als der einer Modellierung durch einen
geradlinigen Streckenzug. Für die Teilstrecken
_
ergeben
sich
folgende
Messwerte: ​   5,7 cm; ​
AB​ =
_
_
BC​ =
  4,1 cm; CA​ =
​   2,2 cm. Der vorgegebene Maß­
stab erlaubt die Umwandlung von cm in km ohne
Umrechnung (1 cm entspricht 1 km). Die durch­
schnittliche Steigung der Rundfahrt lässt sich un­
mittelbar ohne Berechnung mit 0 % angeben, da
Start und Ziel auf der gleichen Höhe liegen. Beim
Versuch, dies mit einer Rechnung zu bestimmen,
muss das gewichtete Mittel der Steigung gebil­
det werden (Gefälle sind hierbei mit negativen
Zahlen anzugeben): 5,7 · 12,5 % – 4,1 · 9,5 % –
2,2 · 14,6 % = 0,2 %. Die Abweichung vom erwar­
teten Wert 0 % ist auf Mess­ungenauigkeiten und
gerundete Angaben zurückzuführen und bedarf
einer entsprechenden Interpretation.
12 und 13 Die beiden kumulativen Aufgaben ver­
knüpfen die Trigonometrie mit linearen Funktionen
und leisten somit einen spezifischen Beitrag zum
Erwerb der beiden komplementären inhaltsbezo­
genen Kompetenzen:
– geometrische Zusammenhänge mit algebrai­
schen Methoden untersuchen
– algebraische Probleme geometrisch umsetzen,
interpretieren und anschaulich lösen.
Die Angabe der Steigung kann auf zwei Wegen
­erfolgen:
1. Formal mithilfe der Zwei-Punkte-Form:
y –y
2
1
m = ​ _
 ​ = tan a
x2 – x1 
y
P2 (x2 | y2)
y2 – y1
P1 (x1 | y1)
a
x2 – x1
x
a
O
An dieser Stelle kann durch Rückgriff auf Seite 11
im Schülerbuch eine entsprechende Wiederho­
lung stattfinden.
2. Durch direktes Ablesen der Strecke anhand eines
geeigneten Steigungsdreiecks und Bildung des
Quotienten (vgl. Tipp auf der Randspalte).
Die für Schülerinnen und Schüler neuen negativen
Winkelangaben lassen sich mit der nachfolgenden
Skizze erklären. Dabei kann bei vertiefter Betrach­
tung zusätzlich ein weiterer Einblick in die Periodizi­
tät der Tangensfunktion gewonnen werden.
K 64 6 Trigonometrie
pos. Winkel: a + 180°
neg. Winkel: a
14 Diese Aufgabe mit Modellierungscharakter
sollte mithilfe einer Skizze gelöst werden. Die Anga­
be der gefahrenen Kilometer (also der Hypotenuse
im entsprechenden Dreieck) erfordert entweder
die Berechnung über den Sinus des Steigungswin­
kels oder die Ermittlung der horizontalen Strecke
(4856,7 m) mit dem Satz des Pythagoras. Der Fehler,
die Hypotenusenangabe zur Berechnung des Win­
kels mit der Steigungsdefinition über den Tangens
zu verwenden, kann nur erkannt werden, wenn von
den Schülerinnen und Schülern bei der Angabe des
gerundeten Winkelergebnisses mehr als eine Nach­
kommastelle gefordert wird. Teilaufgabe b) macht
ggf. auf den Fehler aufmerksam, während Teilauf­
gabe c) die Reflexion der zugrunde gelegten Model­
lierung anregt.
Randspalte
Die Randspalte thematisiert einen nicht seltenen
Verständnisfehler. Die einer Steigungsangabe von
100 % zugrunde liegende Steigung kann formal
über die Definition der Steigung (100 % = 1 aus
m = 1 folgt a = 45°) oder durch Veranschaulichung
mit einem (hier gleichschenklig-rechtwinkligen)
Steigungsdreieck gewonnen werden. Die Erweite­
rung der Fragestellung auf die (unendlich große)
Steigung einer senkrecht nach oben verlaufenden
Klippe kann wiederum einen vertieften Einblick in
die Tangensfunktion ermöglichen. Hierbei empfiehlt
sich die Annäherung an tan 90° in immer kleineren
Teilschritten.
15 Die Berechnung der Flussbreite erfolgt mithilfe
von tan 25° und liefert für den Rhein an der abge­
bildeten Stelle eine Breite von 56 m. Die Übertra­
gung derselben Strategie auf den Amazonas ist
problematisch, da der gleiche Peilungswinkel eine
Kathetenlänge von über 10 km entlang eines mög­
lichst geraden (!) Uferstücks erfordern würde, wäh­
rend eine vergleichbare Kathetenlänge von 120 m
am Amazonas zu einem Peilungswinkel von 88,6°
führen würde. Dies hätte zur Folge, dass bereits
Abweichungen von einigen Zehntelgrad zu Schwan­
kungen und Abweichungen um bis zu 100 % bei der
Flussbreite führen können, da bereits kleinste Win­
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 150 – 151
keländerungen nahe 90° bei der Tangensfunktion
zu großen Änderungen führen (vgl. hierzu auch die
Einstiegsaufgabe in die Lerneinheit). Im Hinblick
auf diese Problematik bietet die Aufgabe wiederum
die Möglichkeit, zu einem vertieften Verständnis
der Tangensfunktion zu gelangen. In Teilaufgabe
b) ist nicht näher spezifiziert, ob mit 4800 km die
tatsächliche Länge des Amazonas (also die Hypote­
nuse des Steigungsdreiecks) oder seine horizontal
gemessene Länge gemeint ist – allerdings wirkt
sich dies im Ergebnis nicht aus. Der errechnete
Winkel von 0,0013° ist nicht vorstellbar und bedarf
der Veranschaulichung des entsprechenden Gefälles
(2,2 mm) bezogen auf 100 m.
16 Bei dieser Anwendungsaufgabe können in
Teilaufgabe b) unterschiedlich komplexe Model­
lierungen zur Anwendung kommen, bei denen
zunächst der Sachverhalt anhand einer Skizze dar­
gestellt werden sollte:
50
y
20°
x
160 – x
20°
20°
e
20°
50 m
50 + y
1. Formal kann die Aufgabe gelöst werden, indem
zwei Gleichungen für tan 20° aufgestellt werden:
Anmerkung: Bei der Bugwelle handelt es sich nicht
um ein mit dem Mach’schen Kegel bei Flugzeugen
vergleichbares Phänomen. Der Öffnungswinkel des
Mach’schen Kegels eines Flugzeugs ist abhängig
von seiner Geschwindigkeit, außerdem addieren
sich die zu verschiedenen Zeiten ausgesandten Wel­
lenfronten auf der Begrenzungslinie des Kegels. Der
Öffnungswinkel der Einhüllenden (Bugwelle) eines
Schiffes beträgt unabhängig von dessen Geschwin­
digkeit immer ca. 2 · 20° – der Grund hierfür ist das
Zusammenspiel von Interferenz und Dispersion. Die
einzelnen Wellenfronten sind nicht phasengleich,
was auf der Abbildung im Schülerbuch gut zu er­
kennen ist. (Quelle: Meschede, D.: Gerthsen Physik,
Seite 197 ff., Springer, Berlin 2006)
18 Die Modellierungsaufgabe erfordert das all­
gemeine Bestimmen von Zusammenhängen zur
Ermittlung der Teilhöhe e (bis zum Befestigungs­
punkt des Seils) und der Seillänge s. Hinzu kommt
in Teilaufgabe c) das Abschätzen der Teilhöhe e im
Vergleich zur Resthöhe des Turms oberhalb des
Befestigungspunktes (etwa 2 : 1). Teilaufgabe d)
regt die Reflexion der zugrunde liegenden Model­
lierung an – wenn der Mast und die Befestigung
des Seils am Turm und am Boden nicht genau in
der fotografierten Bildebene liegen, bleibt nur die
Modellierung anhand von Vergleichsgegenständen
bekannter Größe.
3 Besondere Werte
160 – x
tan 20° = ​ _xy ​ und tan 20° = ​ _
​
50 + y  
Um die Komplexität der durch die Gleichungen
kumulativen Aufgabenstellung zu reduzieren,
sollte der Tangens von 20° zu Beginn berechnet
und das Gleichungssystem mit dem gerundeten
Wert gelöst werden.
2. Vereinfacht wird die Aufgabe, wenn zum Lö­
sungsansatz das graue Teildreieck herangezogen
wird, und daran die Strecke e (e = 50 m · tan 20° = 18,2 m) berechnet wird. Die Entfernung der Fahrtlinie zum linken Ufer
ist aufgrund der Symmetrie der entsprechenden
­Figur mit der Hälfte der verbleibenden Flussbrei­
te anzugeben (70,9 m).
3. Ein enaktiver Zugang ist durch eine Erweiterung
von Teilaufgabe c) möglich – zur maßstäblichen
Konstruktion des Flusses auf einem Blatt Papier
kann eine Auflagefolie mit dem Schiff und seiner
Bugwelle im gleichen Maßstab erstellt werden.
Durch Verschieben der Auflagefolie bis zum Er­
reichen der in der Aufgabe beschriebenen Kon­
stellation kann das Ergebnis mit ausreichender
Genauigkeit handelnd gefunden werden.
Intention der Lerneinheit
– geometrische Zusammenhänge mit algebrai­
schen Methoden untersuchen
– besondere trigonometrische Werte an speziellen
Dreiecken kennen lernen und diese als Vereinfa­
chung in wiederkehrenden Berechnungen und
Situationen verwenden
– besondere Dreiecke erkennen und die gelernten
Gesetzmäßigkeiten begründet und vorteilhaft
anwenden
Einstiegsaufgabe
Die Behandlung der Einstiegsaufgabe liefert im grü­
nen Dreieck die Beziehungen sin a = ​ _21 ​ = cos b __
1 
_
sowie sin b = ​ 2 ​​√  3 ​ =
  cos a und
__ im gelben Dreieck
1 
_
die Beziehungen sin a = ​ 2 ​​√  3 ​ =
  cos b sowie sin b = ​ _21 ​ = cos a.
Die Erweiterung der Fragestellung nach den zu­
grunde liegenden Winkeln liefert durch deren Be­
rechnung aus den Sinus- bzw. Kosinuswerten die
Identifikation des „halben gleichseitigen Dreiecks“.
6 Trigonometrie K 65
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 151 – 152
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische
Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern,
Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, ­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1
Operative Übungen: A 2; 3; 4
Kumulative Aufgaben: A 5; 6
Problemstellungen – offene Aufgaben: A 7
2 Die operative Aufgabe dient der Automatisie­
rung der Lösungsstrategie und können auf den
drei oben beschriebenen Wegen gelöst werden. Die
Berechnung von e bei gegebenem Umfang bzw.
Flächeninhalt greift den Umgang mit Gleichungen
und Äquivalenzumformungen auf.
3 Bei dieser operativen Aufgabe ist die Zerlegung
der Flächen nicht gegeben bzw. die geschickte Zer­
legung in besondere Dreiecke zunächst zu finden.
Die entsprechenden Zerlegungen sollten begründet
erfolgen. Dazu ist jeweils über die durch die Zerle­
gung entstehenden Winkel oder über die Seitenlän­
gen und Seitenverhältnisse zu argumentieren, aber
auch Symmetrieaspekte und die Winkelsumme –
z. B. bei Teilaufgabe c) – sind zur Begründung ­nötig.
K 66 6 Trigonometrie
a)
120°
b
a
30°
b)
30°
c
e
105°
d
c)
e
60°
e
e
75°
__
e·√3
150°
d)
120°
__
e·√ 2
135°
d
a
c
60°
__
e·√ 2
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Die Verwendung der besonderen Werte kann auf
drei Arten geschehen: formal, indem in die auf­
gestellte Gleichung für die entsprechenden tri­
gonometrischen Funktionswerte (wie z. B. sin 45°)
die besonderen Werte eingesetzt werden;
anschaulich durch Identifikation und direkten
Schluss auf zu berechnende Seiten in zu bearbei­
tenden Dreiecken (Hier ist besonders beim „hal­
ben gleichseitigen Dreieck“ Vorsicht geboten.)
oder dynamisch im Sinne der Merkhilfe durch
Multiplikation oder Division der gegebenen Sei­
ten mit den entsprechenden Faktoren. Durch
die vorteilhafte direkte Angabe der fehlenden
Größen in den besonderen Dreiecken und durch
entsprechende Übungen tritt die formale Anwen­
dung der besonderen Werte in den Hintergrund.
– Der in dieser Lerneinheit bedeutsame Umgang
mit Wurzeln (z. B. Verwendung von Wurzeln in
Gleichungen bzw. Rationalmachen des Nenners
durch Erweitern) muss ggf. an einem Beispiel
erläutert werden (vgl. Randhinweis auf Seite 151
im Schülerbuch).
– Zur Vermeidung einer Übergeneralisierung bei
der Verwendung der besonderen Werte können
Gegenbeispiele (Aufgaben, denen keine beson­
deren Dreiecke zugrunde liegen) zum Einsatz
kommen.
30°
105°
150°
b
e
Durch den Einsatz einer abgewandelten Aufgabe
(z. B. Änderung eines Winkels um 5° oder einer
gegebenen Seitenlänge) kann im Unterricht die
Übergeneralisierung durch unbegründete Zerlegung
thematisiert und vermieden werden.
4 Die Zerlegung der Vierecke in „halbe gleichsei­
tige Dreiecke“ und „halbe Quadrate“ ist durch die
Diagonale e jeweils vorgegeben und muss somit
lediglich erkannt und genutzt werden.
6 Zur Lösung der kumulativen Aufgabe ist die
Identifikation des („halben“) gleichseitigen Dreiecks
aufgrund zusätzlicher Informationen (regelmäßiges
Sechseck bzw. Kreis) notwendig.
s
r
s
s
s
Wird zur Bearbeitung dieser Aufgabe eine Formel­
sammlung herangezogen, sollte berücksichtigt wer­
den, dass die in Formelsammlungen verwendete
Darstellung mit dem Umkreis des regelmäßigen
Sechsecks und der (nur) dort gültigen Gleichheit
von Radius und Sechsecksseite zu Fehlern beim
Lösen der Aufgabe führen kann – dem sollte ggf.
entgegengewirkt werden.
7 Die komplexe offene Aufgabe erfordert den
flexiblen Einsatz von Kenntnissen der Trigonometrie
und Lösungsstrategien. Durch die Frage nach dem
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 152 – 153
Anteil wird die Aufgabe kumulativ. Die Aufgabe
erfordert zunächst die Bezeichnung der Quadrat­
seite und die Bestimmung des Flächeninhalts des
Quadrates. Anschließend sollte die Figur eingehend
analysiert werden. Die Raute entsteht durch Über­
lappung der beiden kongruenten gleichseitigen
Dreiecke. Die beiden kongruenten Restdreiecke sind
gleichschenklig und aufgrund der Winkelgrößen
jeweils in zwei „halbe gleichseitige Dreiecke“ zu
zerlegen. Die Bestimmung der fehlenden Größen
eines dieser Dreiecke ist der grundlegende Schritt
für zwei mögliche Lösungswege:
– trigonometrische Beziehungen, den Satz des
Pythagoras und die Winkelsumme im Dreieck
zielgerichtet bei Berechnungen anwenden und
kombinieren
– Flächeninhalte von allgemeinen Dreiecken mit­
hilfe trigonometrischer Beziehungen berechnen
– trigonometrische Beziehungen zur Lösung von
­Anwendungs- und Modellierungsaufgaben ver­
wenden
– Rechenwege übersichtlich darstellen
4 Allgemeine Dreiecke berechnen
Einstiegsaufgabe
Die Berechnung des Abstandes zum abgebildeten
Schloss kann auf unterschiedlichen Wegen gesche­
hen. Die Verwendung der Formulierung „günstige
Stellen“ kann zu einer vertieften Reflexion der ge­
wählten Strategien führen:
– Der erste Fall führt, da ein rechtwinkliges Drei­
eck gewählt wurde, zu einer Berechnung der
fehlenden Kathete über den Tangens des gemes­
senen Winkels a. Die verwendete Strategie (Ver­
wendung eines rechtwinkligen Dreiecks) stellt
einen Rückgriff auf die in der vorangehenden
Lerneinheit erworbenen Inhalte dar.
– Im zweiten Fall wird das gegebene Dreieck in
zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Dies ist un­
problematisch, da es sich um ein gleichschenk­
liges Dreieck handelt und somit durch die Zerle­
gung keine Informationen verloren gehen. Der
a
Abstand kann mit tan ​ _2 ​ bestimmt werden.
– Der dritte Fall zeigt ein beliebiges Dreieck, bei
dem sich die Lösung auf den ersten Blick nicht
sofort erschließt, da nur der Winkel a und die
Seite a des Dreiecks gegeben sind. Der Winkel c’
ist der Wechselwinkel zu c und mit der Winkel­
summe kann dann auch b bestimmt werden. Für
die Berechnung der Höhe ha muss eine weitere
Seite des Dreiecks berechnet werden. Dazu wird
das Dreieck z. B. durch die Höhe hb in zwei recht­
winklige Dreiecke zerlegt. Mit dem Sinus wird
dann zunächst die Höhe hb, dann die Seite c
berechnet. Der Abstand ha kann dann wiede­rum
mittels Sinus leicht errechnet werden. Der Re­
chenweg erscheint umständlich und bietet einen
Denkanstoß, ob es nicht auch einfacher gelingen
könnte, und arbeitet somit schon auf die Einfüh­
rung des Sinus- und Kosinussatzes auf Seite 155
des Schülerbuches hin.
Intention der Lerneinheit
– fehlende Seiten und Winkel in allgemeinen Drei­
ecken berechnen
– allgemeine Dreiecke unter Berücksichtigung der
gegebenen Größen sinnvoll in rechtwinklige
Dreiecke zerlegen
Tipps und Anregungen für den Unterricht
Mit zunehmend komplexer und umfangreicher
werdenden Aufgaben nimmt die Notwendigkeit der
Vorausplanung, der strategischen Überlegungen
und der nachvollziehbaren Darstellung zu. Hierbei
spielen folgende Überlegungen eine Rolle:
60°
60°
60°
a
6
__
_·√ 3
a
s
60°
a
2
_
a
3
__
_·√ 3
60°
30°
60°
60°
a
1. Direkte Berechnung des Flächeninhalts der
­Raute: Die Raute wird in zwei gleichseitige Drei­
ecke zerlegt und die benötigte Seitenlänge eines
dieser gleichseitigen Dreiecke durch
Differenz__
__
33
bildung 2​ s = a – 2 · ​ _6a ​​√  3 ​ =
  a ​2 1 – ​ _
3   ​  ​  ​ bestimmt.
2.Verwendung der Differenz der Flächeninhalte
der abgebildeten Teilfiguren: Die Summe der Flä­
cheninhalte__der beiden gleichseitigen Dreiecke ​
2 jeweils ​ _a42   ​​√  3 ​ 
 3​ und der beiden Randdreiecke
__
a2  
_
​2 jeweils ​ 12 ​​√  3 ​  3​ ergibt nach Abzug der Quadrat 
 
​√  3 ​ 
fläche (a2) genau den Flächeninhalt der Raute
  __
  1 3​ ≈ 0,155 a2 und somit ca. 15,5 %
mit a2 ​2 _​ 23 ​​√  3 ​ –
der ­Quadratfläche.
Randspalte
Die sich ergebenden Winkelwerte sind exakt. Ein
Nachweis ist im Unterricht weder angebracht noch
für die Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar.
6 Trigonometrie K 67
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Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 153
– Bei trigonometrischen Berechnungen gibt es
oftmals mehrere Möglichkeiten, wie eine Aufga­
be gelöst werden kann. Neben der Reihenfolge
einiger Teilschritte können auch die zur Lösung
gewählten mathematischen Werkzeuge (Trigo­
nometrische Beziehungen, Winkelbeziehungen,
Satz des Pythagoras, …) variiert werden. Dies
er­fordert zunächst eine Durchdringung der Auf­
gabe und die grundsätzliche Vorausplanung
des Lösungsweges unter Berücksichtigung ge­
gebener und gesuchter Größen (vgl. hierzu die
beschriebenen Strategien im nachfolgenden Ex­
emplarischen Kommentar).
– Die Thematik der Flächeninhaltsberechnung bei
rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken wird
in den < Serviceblättern „Flächenberechnung
beim Dreieck“, Seite S 51, und „Flächenberech­
nung im Koordinatensystem“, Seite S 52, explizit
thematisiert und vertieft.
Exemplarischer Kommentar
Problemlösen in der Geometrie
Komplexere Aufgaben bzw. Problemstellungen,
die mithilfe trigonometrischer Beziehungen zu
lösen sind, erfordern in der Regel mehrschrit­
tige Lösungswege, bei denen zielgerichtet vor­
gegangen und das mathematische Repertoire
geschickt eingesetzt werden muss. Im Unterricht
kann der Aufbau der prozessbezogenen Kompe­
tenz Problemlösen gezielt verfolgt werden. Im
Folgenden werden einige hilfreiche Aspekte für
den Geometrieunterricht der 10. Klasse aufge­
führt:
1.Gezielter Rückgriff auf bekannte mathema­
tische Inhalte (Wissensstruktur)
Zum Lösen von Aufgaben und Problemen in der
Tri­gonometrie kommt immer wieder das bereits
gelernte mathematische Repertoire zum Einsatz – schwerpunktmäßig sind dies:
–Eigenschaften von Strecken, Geraden und
Winkeln
– Parallelität
– Orthogonalität
–spezielle Winkel an sich schneidenden Gera­
den bzw. Strecken und deren Beziehungen
untereinander (Scheitelwinkel, Nebenwin­
kel, Stufenwinkel, Wechselwinkel)
– Eigenschaften geometrischer Figuren
–Eigenschaften besonderer Dreiecke und
Vierecke (Symmetrien, Winkelsumme, Win­
kel- und Seitenbeziehungen, …)
–Eigenschaften besonderer Linien (Höhen,
Diagonalen)
–Formeln
K 68 6 Trigonometrie
– Kongruenzsätze
–Identifikation kongruenter Figuren und Teil­
figuren
–Berücksichtigung der Kongruenzsätze bei
der Frage nach der Berechenbarkeit von
Drei­ecken
–Ähnlichkeit und Strahlensätze
– Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz
Der Einsatz dieser mathematischen Begriffe und
Regeln sollte an geeigneten Stellen im Unter­
richt thematisiert werden, um die Verwendung in
zukünftigen Situationen zu erleichtern.
2.Aufbau eines heuristischen Repertoires
­(heuristische Struktur)
Problemlösen kann gelernt werden – von großer
Bedeutung beim Aufbau einer heuristischen Denk­
struktur sind dabei heuristische Strategien, Prin­
zipien und Hilfsmittel, die anhand folgender Fra­
gen vor und während des Problemlöseprozesses
reflektiert werden können (nach Bruder, R.: „Lernen, geeignete Fragen zu stellen“, In:
­mathematik lehren, Sammelband Standards
2007, Seite 8, Erhard Friedrich Verlag, Seelze):
–Worum geht es in der Aufgabe? (eigene Pro­
blembeschreibung)
–Wie lässt sich das Problem in meiner eigenen
Sprache formulieren?
–Wie kann ich mithilfe bekannter Begriffe das
Problem verständlicher oder sogar einfacher
formulieren?
–Wie lässt sich das Problem veranschaulichen
oder anders darstellen? (heuristische Hilfsmit­
tel: informative Figur, Tabelle, Gleichung)
–Habe ich ähnliche Probleme bereits gelöst?
Wie? (Analogieprinzip)
–In welche Teilprobleme lässt sich das Problem
zerlegen? (Zerlegungsprinzip)
–Auf welche bereits gelösten Probleme kann
ich Teile des Problems zurückführen? (Rück­
führungsprinzip)
–Lässt sich die Problemstellung spezifizieren?
(Reduktionsprinzip)
–Um welchen Aufgabentyp handelt es sich?
Was lässt sich aus den gegebenen Angaben
folgern? (Vorwärtsarbeiten)
–Was wird benötigt, um das Gesuchte ableiten
zu können? (Rückwärtsarbeiten)
– Wie sieht mein weiteres Vorgehen aus?
Auch die Reflexion nach der Problemlösung un­
terstützt den Aufbau der Problemlösestruktur – hier sind folgende Fragestellungen geeignet:
– Was habe ich Neues gelernt?
– Welche Wissenslücken habe ich erkannt?
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Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 153 – 154
–Welche Lösungsstrategien haben mir weiter­
geholfen?
–Welche neuen Vorgehensweisen konnte man
an dem gelösten Problem erkennen?
–Welcher Lösungsweg eignete sich am besten
für das Problem?
Aufgabenkommentare
3. Beachtung strategischer Hilfen
Für die Lösung geometrischer Probleme lassen
sich folgende Hilfen geben (vgl. hierzu auch:
[http://www.mathe-online.at/mathint/trig/i.html)]:
–Betrachtung der Skizze – ggf. Anfertigen einer
Skizze oder Teilskizze und möglichst sinnvolle
Bezeichnung aller wichtigen Größen
–Können Dreiecke gefunden werden, in denen
die Verwendung der trigonometrischen Bezie­
hungen oder des Satzes des Pythagoras mög­
lich ist?
–Bevor mit der Rechnung begonnen wird,
sollte überlegt werden, mit welcher Strategie
das Ziel erreicht werden soll (es gibt oft meh­
rere Möglichkeiten).
–Führt ein Umweg zum Ziel (z. B. eine Zerle­
gung oder eine Ergänzung)?
–Wenn eine Zerlegung nötig ist, sollte so
zerlegt werden, dass keine wichtigen Infor­
mationen verloren gehen (vgl. Schülerbuch,
Seite 154, Randspalte).
–Zu beachten ist, dass die Bezeichnungen von
Winkeln und Strecken in Anwendungsaufga­
ben von der gewohnten Bezeichnung abwei­
chen können.
–Die zu einer Berechnung verwendete Bezie­
hung sollte zuerst mit den entsprechenden
Symbolen bzw. Variablen aufgeschrieben wer­
den, bevor Zahlenwerte eingesetzt werden – das erleichtert eine eventuelle Fehlersuche.
Die Verwendung einer tabellarischen Dar­
stellung wird empfohlen (vgl. Schülerbuch,
Seite 153).
–Zwischenergebnisse sollten nicht zu grob
gerundet werden. Hier empfiehlt sich die Ver­
wendung des Taschenrechnerspeichers.
–Hilft die Arbeit mit einer DGS oder mit einer
Tabellenkalkulation bei der systematischen
Untersuchung des Problems weiter?
Für manche Schülerinnen und Schüler kann es
eine Hilfe sein, ein Problemlöseheft zu führen,
in dem exemplarisch einzelne strategische und
inhaltsorientierte Hilfen sowie Erfahrungen mit
der Heuristik festgehalten werden.
Vergleiche auch den Exemplarischen Kommentar:
Problemorientierter Mathematikunterricht,
­Schnittpunkt Serviceband 7, Seite K 44.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4
Operative Übungen: A 5
Anwendungsaufgaben: A 6; 7; 8
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
1 bis 3 Die Grundaufgaben erfordern ein Zerlegen
des gegebenen Dreiecks in zwei rechtwinklige
Dreiecke – dieses Zerlegen geschieht mithilfe der
vorher erlernten Strategie (vgl. Tipp am Rand). Eine
exemplarische Reflexion des Lösungswegs im Hin­
blick auf die zugrunde liegende Strategie und die
Abgrenzung zu falschen Lösungswegen (aufgrund
ungünstiger Zerlegungen) ist hilfreich im Hinblick
auf die folgenden zum Teil operativen Übungen.
4 Durch die Angabe zweier Winkel wird die
Grundaufgabe in Teilaufgabe c) operativ und dient
der Regelabgrenzung: Der Flächeninhalt berechnet
sich aus zwei Seitenlängen und dem eingeschlos­
senen Winkel.
5 Zur Lösung dieser operativen Aufgabe ist eine
Skizze hilfreich. Bei Teilaufgabe 5 a) – d) kommen
jeweils zwei mögliche Zerlegungen in Frage, die
Konstellation bei Teilaufgabe e) erlaubt nur eine
mögliche Zerlegung.
7 Die Anwendungsaufgabe kann kumulativ durch
Rückgriff auf die Symmetrie des gleichschenkligen
Dreiecks anschaulich gelöst werden. Alternativ kann
die Aufgabe durch Verwendung der Flächeninhalts­
formel gelöst werden, bei der das halbe Produkt
der beiden gleich langen Dreiecksseiten mit dem
Sinus des innen liegenden Winkels multipliziert
wird.
8 Bei dieser Modellierungsaufgabe erfolgt die
Berechnung der benötigten Farbmenge, indem der
Flächeninhalt der Giebelwand bestimmt und an­
schließend durch 5 m2 geteilt wird. Die Bestimmung
des Preises sollte nach dem Aufrunden auf den
nächsten vollen Liter erfolgen.
6 Trigonometrie K 69
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Schülerbuchseite 155 – 158
5 Sinus- und Kosinussatz*
Intention der Lerneinheit
Auch wenn der Lehrplan die Verwendung des Si­
nus- und Kosinussatzes nicht mehr explizit vorsieht,
bieten beide dennoch einen nicht unerheb­lichen
Rechenvorteil bei der Berechnung allgemeiner Dreiecke.
– Sinus- und Kosinussatz als Hilfsmittel zur Berech­
nung fehlender Seiten und Winkel in allgemeinen Dreiecken nutzen können.
– Sinus- und Kosinussatz, Winkelbeziehungen so­
wie die Winkelsumme im Dreieck zielgerichtet
bei den Berechnungen anwenden und kombinie­
ren können.
– Sinus- und Kosinussatz zur Lösung von Anwen­
dungs- und Modellierungsaufgaben verwenden.
– Rechenwege übersichtlich darstellen können.
– Auf sinnvolle Genauigkeit achten.
Einstiegsaufgabe
Die Berechnung der Entfernung zwischen Achter­
mann und Brocken kann, wie in der Lerneinheit 4
erlernt, durch Zerlegung des Dreiecks in zwei recht­
winklige Dreiecke mit den Winkeln a und b und der
Höhe hc als Grundkante erfolgen. Dabei ist darauf
zu achten, dass die Lernenden beide Berechnungs­
möglichkeiten notieren, um so auf den Zusammen­
hang im Sinussatz zu stoßen.
Der Beweis des Kosinussatzes ist ungleich kompli­
zierter und erfordert mehr Hilfen durch die Lehrper­
son. Auch hier wird das Dreieck mithilfe der Höhe
in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. Es gibt je­
doch nicht wie beim Sinussatz nur eine Unbekann­
te, nämlich hc , sondern auch noch eine zweite, den
Winkel a. Die Höhe hc wird ebenfalls mithilfe des
Satzes des Pythagoras durch b und x ausgedrückt,
um so eine Unbekannte zu eliminieren. Die Unbe­
kannte x wird erst in einem neuen Schritt mithilfe
des Kosinus dargestellt und in die entsprechende
Gleichung eingesetzt.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 5
Operative Übungen: A 3; 4; 7; 8
Kumulative Aufgaben: A 9; 11; 12
Anwendungsaufgaben: A 6; 10; 13; 14
1 Diese Grundaufgabe lässt sich mit wenigen
Umformungsschritten lösen. Die Berechnung des
fehlenden Winkels kann mithilfe der Winkelsumme
K 70 6 Trigonometrie
im Dreieck, aber auch, wenn auch ungleich kompli­
zierter, mit dem Sinussatz erfolgen.
3 Die Aufgabe ist mithilfe des Sinussatzes und
der Winkelsumme im Dreieck leicht zu lösen. Es
empfiehlt sich, beim Ansatz darauf zu achten, dass
möglichst wenig selbst errechnete Werte benutzt
werden, da es sonst zu geringen Abweichungen im
Ergebnis kommen kann.
4 Mithilfe des Sinussatzes lässt sich leicht der
fehlende Teilwinkel a in Punkt A berechnen. Den
Winkel b erhält man mittels der_
Winkelsumme im
Dreieck. Die Länge der Strecke ​AC​ kann
 
wahlwei­
se mit ­Sinus- oder Kosinussatz bestimmt werden.
Auch der Winkel d im Punkt D ist einfach über die
Winkelsumme zu errechnen. Die verbleibenden
Strecken lassen sich dann erst mit Sinussatz und
anschließend mit dem Sinus- oder Kosinussatz be­
rechnen. Bei der Nutzung des Kosinussatzes sollte
darauf geachtet werden, dass er so aufgestellt wird,
dass möglichst wenig, besser keine Umformungen
nötig sind.
6 Die Seitenkanten des Dreiecks sind schnell
mithilfe des Sinussatzes berechnet, auch die Giebel­
höhe ist einfach mit Sinus, Kosinus oder Tangens zu
bestimmen.
Im letzten Teil der Aufgabe wird ein zur Berechnung
von Flächen- und Rauminhalten in Häusern durch­
aus realistisches Szenario beschrieben. Zur ­Lösung
kann die Differenz des Gesamtvolumens und der
beiden abgetrennten kleinen Dreiecksprismen
bestimmt werden oder der nutzbare Raum selbst
als Prisma aufgefasst werden, bei dem zunächst
die aus Rechteck und Dreieck zusammengesetzte
Grundfläche bestimmt wird.
7 Bei dieser operativen Übung ist es nötig, sich die
fehlenden Winkel mithilfe der Winkelbeziehungen
und der Winkelsumme im Dreieck zu verschaffen.
11 Die erste Teilaufgabe ist wieder einfach mit der
Winkelsumme im Dreieck und dem Sinussatz zu
lösen. Für Teilaufgabe b) gibt es mehrere Lösungs­
möglichkeiten. Entweder man nutzt nur das Dreieck
BCL oder das Dreieck ACL. Die Berechnung im Drei­
eck ACL ist jedoch deutlich aufwändiger, da außer
den fehlenden
Winkeln auch noch die Länge der
_
Strecke ​AL​ berechnet
 
werden muss.
12 Diese Anwendungsaufgabe erfordert zunächst
die Berechnung einer Höhe und der beiden feh­
lenden Dreieckseiten in der Grundfläche des
Dreiecksprismas. Bei der Berechnung des Flächen­
inhaltes bleibt die Bodenfläche des Gewächshauses
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Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 158 – 159
14 Zur Überlegung der Lösungsstrategie ist es
sinnvoll zu schauen, welche Strecken nötig sind, um
h zu berechnen. Dabei wird schnell deutlich, dass
lediglich die Strecke von B zum Lotfußpunkt von h
berechnet werden muss. An dieser Stelle wird noch
einmal in Erinnerung gebracht, dass man die trigo­
nometrischen Beziehungen, hier den Tangens, im
rechtwinkligen Dreieck anwendet. Sicher führt hier
auch die Anwendung des Sinussatzes zum Ziel. Sie
ist jedoch aufwändiger.
C
AC = 4,07
unberücksichtigt – dies muss beim möglichen Ein­
satz der Mantelformel des Prismas berücksichtigt
werden.
¼BAC = 82,67° a
A
AB = 31,91
 Das Einsetzen von a = 90° in die entspre­
chende Formel führt dazu, dass der Ausdruck
sin a bzw. sin (180° – a) gerade 1 wird und somit
zur Berechnung des Flächeninhalts die bekannte
Formel für rechtwinklige Dreiecke entsteht, bei
der das halbe Produkt der beiden Katheten ge­
bildet wird.
sin 147° = ???
Das Schaufenster thematisiert die in dieser Lern­
einheit gelernten Flächeninhaltsformeln und
ermöglicht zusätzlich vertiefte Einblicke in die Si­
nusfunktion unter dem Aspekt des funktionalen
Zusammenhangs.
 Die erste Aufgabe dient zunächst dazu, die
aufgrund die Zeichnung nicht offensichtliche
Gleichheit der Flächeninhalte zu erkennen.
 Die nähere Untersuchung dieses für Schüle­
rinnen und Schüler überraschenden Phänomens
führt im Anschluss zur Entdeckung, dass sich die beiden Winkel a1 und a2 jeweils zu 180° er­
gänzen und damit zum Zusammenhang sin a = sin (180° – a). Dieser Zusammenhang
kann an einer späteren Stelle im Unterricht an­
schaulich anhand des Schaubilds der Sinusfunk­
tion oder anhand des Einheitskreises gezeigt
werden (vgl. Schülerbuch Seiten 165 – 172).
 Bei den Übungen zur Flächeninhaltsberech­
nung stumpfwinkliger Dreiecke können beide
Formeln angewandt werden.
 Diese Aufgabe führt über eine sukzessive
Annäherung zu einer Grenzwertbetrachtung für
sin 90°. Die schrittweise Annäherung an den
Grenzfall wird mit dem Taschenrechner und
anhand eines rechtwinkligen Dreiecks nachvoll­
zogen. Bei der Betrachtung des Dreiecks führt
die Annäherung des Winkels a an 90° zu einem
gegen 0° strebenden Winkel b und zu den Seiten
a und c, die im Grenzfall parallel und gleich lang
sind. Somit lässt sich sin 90° über ​ a_c ​ ¥ 1 auch an­
schaulich zeigen. Dies kann auch mit einer DGS
eindrucksvoll gezeigt werden:
6 Trigonometrie in Ebene und Raum
Intention der Lerneinheit
– Seiten, Winkel, Flächeninhalt und Umfang von
Vierecken und anderen Vielecken berechnen
– Vierecke und andere Vielecke durch geschicktes
Zerlegen oder Ergänzen mithilfe trigonome­
trischer Beziehungen berechnen
– trigonometrische Beziehungen und Zerlegungs- bzw. Ergänzungsstrategien zur Lösung von
­Anwendungs- und Modellierungsaufgaben
­verwenden
– trigonometrische Beziehungen zur Berechnung
fehlender Größen in räumlichen Figuren an­
wenden
– rechtwinklige Dreiecke in räumlichen Figuren
erkennen und zur Berechnung von Strecken und
Winkeln verwenden
– Training der räumlichen Vorstellung
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe führt die der Lerneinheit
zugrunde liegenden Zerlegungs- bzw. Ergänzungs­
strategien ein. Das Ziel, durch die Zerlegung bzw.
Ergänzung berechenbare Figuren zu erhalten, steht
zunächst noch nicht im Vordergrund, obwohl dies
durch die Festlegung auf rechtwinklige Dreiecke
bereits nahe liegt. Die sich ergebenden Berech­
nungsvorteile können aber im Anschluss an die
Einstiegsaufgabe reflektiert werden und somit den
Übergang zum Lehrtext schaffen.
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Die Berechnung von Vierecken und anderen
Vielecken erfordert neben dem Einsatz der
verfügbaren mathematischen Werkzeuge auch
zunehmend den vorausschauenden Einsatz
6 Trigonometrie K 71
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–
–
–
–
–
–
strategischer Elemente wie die vorteilhafte Zer­
legung oder Ergänzung – auch hier empfiehlt es
sich, an geeigneten Stellen die Verwendung der
Strategien vor bzw. nach dem Lösen von Auf­
gaben explizit zu thematisieren (vgl. hierzu den
Exemplarischen Kommentar: Problemlösen in der
Geometrie, ­Seite K 68).
Auch das bewusste Abgrenzen vorteilhafter Zer­
legungen und Ergänzungen von unvorteilhaften
hilft den Schülerinnen und Schülern, diese Stra­
tegien auch in neuen Aufgaben zunehmend
sicherer einzusetzen. Durch unvorteilhafte Zerle­
gungen entstehen keine rechtwinkligen Dreiecke
bzw. die Dreiecke enthalten nicht genügend be­
kannte Winkel oder Strecken, weil z. B. bekannte
Größen zerlegt werden.
Um die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit
der zunehmend länger werdenden Rechenwege
sicherzustellen, wird auch hier die Verwendung
von Skizzen und Farben sowie die tabellarische Darstellung der Rechenschritte empfohlen
(vgl. hierzu die Tipps und Anregungen für den
Unterricht von Lerneinheit 4 Allgemeine Dreiecke
berechnen, Seiten K 67 – K 69).
Für alle Schrägbilder im Schülerbuch gelten fol­
gende Festlegungen: Körperkanten sind schwarz
gezeichnet, auch wenn sie zu Stützdreiecken
gehören. Zur Verbesserung des Raumeindrucks
werden Seiten unterbrochen, wenn sie von wei­
ter vorne liegenden Seiten gekreuzt werden.
Körperkanten werden gestrichelt, wenn sie nicht
sichtbar sind. Rot bzw. blau dargestellte Seiten
von Stützdreiecken werden nie gestrichelt.
Die in dieser Lerneinheit grundlegend wichtige
Fähigkeit der räumlichen Vorstellung wird beson­
ders in den Komponenten Veranschaulichung,
räumliche Beziehung und räumliche Orientierung
gefordert (vgl. hierzu den Exemplarischen Kom­
mentar: Komponenten der Raumvorstellung, Seite
K 68 und K 69, Schnittpunkt Serviceband 9). Der
Aufbau der benötigten Raumvorstellung kann an
geeigneten Stellen im Unterricht durch die enak­
tive Arbeit mit Realmodellen unterstützt werden,
z. B. um rechte Winkel real zu entdecken und mit­
hilfe des Geodreiecks zu messen.
Das bewusste Identifizieren rechtwinkliger Drei­
ecke und das Begründen mit der erkannten geo­
metrischen Konfiguration („Warum muss dieser
Winkel ein rechter Winkel sein?“) kann wiederum
den Aufbau der prozessbezogenen Kompetenzen
argumentieren und kommunizieren unterstützen.
Die kumulativen Aufgaben von Schülerbuchseite
164 dienen der Vernetzung von Stereometrie
und Trigonometrie. Hierin werden die trigonome­
trischen Berechnungen in Teildreiecken einge­
bettet.
K 72 6 Trigonometrie
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­
rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 11; 23; 26
Operative Übungen: A 2; 3; 4; 12; 13; 14; 15; 16; 17;
23; 26
Kumulative Aufgaben: A 19; 20; 21; 22; 25
Anwendungsaufgaben: A 5; 6; 7; 8; 9; 10; 18; 24
1 Die Grundaufgabe lässt sich mit wenigen Zer­
legungs- bzw. Ergänzungsschritten lösen. Durch
das Thematisieren und Beschreiten alternativer Lö­
sungswege (andere Zerlegungen) wird die Aufgabe
operativ, aber meistens auch aufwändiger.
3 und 4 Diese Aufgaben dienen dazu, die Berech­
nung von Figuren durch Ergänzung zu üben. Da
dies bei Aufgabe 3 durch den Tipp nahegelegt wird,
ist diese als Vorstufe für Aufgabe 4 bedeutsam, da
hier dann die Ergänzung schnell gefunden wird. Die
Berechnung des Flächeninhalts erfolgt, indem die
ergänzten rechtwinkligen Dreiecke vom entstan­
denen Rechteck abgezogen werden.
5 Diese Anwendungsaufgabe wird mithilfe einer
Modellierung gelöst, die im Anschluss (in der Phase
der Bewertung; vgl. hierzu den Modellierungskreis­
lauf auf Seite 42 im Schülerbuch und den Exempla­
rischen Kommentar: Die Kompetenz Mathematisch
modellieren, Seite K 8) kritisch hinterfragt werden
kann. Die vorzunehmende Modellierung verschiebt
das Viereck AGPD so, dass der Weg praktisch ver­
nachlässigt wird. Das dadurch entstehende Viereck
ABCD lässt sich durch Ergänzung berechnen. Diese
Modellierung enthält allerdings einen kleinen Feh­
ler, da die Breite des Waldweges vernachlässigt
wird – da die beiden Ränder des Weges nicht gleich
lang sind, kommt es durch die Verschiebung beim
Viereck ABCD
nicht zu einem geschlossenen Stre­
_
ckenzug ​AB​ . Vergleiche hierzu die Abbildung mit
überdeutlicher Darstellung des Fehlers:
Aufgrund der, bezogen auf die Dimensionen des ge­
samten Waldstückes, verhältnismäßig klein anzuset­
zenden Breite des Waldweges, ist der Fehler zwar
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:05 Seite: 73 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 161 – 162
Diese Zerlegung erfordert zur Bestimmung der
waagerechten Mittellinie die Symmetriebetrach­
tung im gleichschenkligen Dreieck aus der oberen
Zerlegung oder die teilweise Berechnung wie in der
folgenden Zerlegung:
2
D
19,4
112,5°
18.1.
112,5°
90,0°
C
m
90,0°
27,0 m
18.1.
m
E 90,0°
68,1 m
B
7 Folgende Zerlegungen sind zur Lösung der ope­
112,5°
m
135,0°
18.1.
13,0 m
112,5°
19,4
m
112,5°
90,0°
m
29,8
29,8
m
29,8
Durch den Vergleich verschiedener Zerlegungen
werden unterschiedliche Strategien für die Schüle­
rinnen und Schüler erkennbar. Abweichungen der
Ergebnisse durch Runden der Zwischenergebnisse
sind möglich.
berechnen, indem zunächst jeweils die fehlende Ka­
thete in den beiden ergänzten Dreiecken berechnet
wird. Anschließend kann der Inhalt der Trapezfläche
direkt oder durch Subtraktion der beiden Dreiecks­
flächeninhalte vom Flächeninhalt des gesamten
Rechtecks bestimmt werden (s. Abbildung). Der
Inhalt der Dammfläche kann durch Ergänzung zu
einem Rechteck oder zu einem Trapez bestimmt
werden. Durch die Berechnung und den Vergleich
der Volumina der beiden Trapezprismen wird die
Aufgabe kumulativ.
m
135,0°
18.1.
13,0 m
112,5°
19,4
m
Diese Zerlegung ermöglicht die Berechnung allein
mit dem Satz des Pythagoras und Symmetrie­
überlegungen ohne Verwendung trigonometrischer
Beziehungen.
90,0°
90,0°
10 Die Querschnittsfläche des Einschnitts lässt sich
19,4
m
rativen Anwendungsaufgabe denkbar:
29,8
m
135,0°
A
90,0°
29,8
112,5°
19,4
90,0°
m
29,8
Auch die Ergänzung des gesamten Grundstückes zu
einem Rechteck durch vier rechtwinklige Dreiecke
ist denkbar:
m
19,8
G
110,7°
m
19,4
4,7 m
m
m F
29,8
13,0 m
H
90,0°
135,0°
m
19,4
net werden, indem man das rechtwinklige Dreieck
DGF abtrennt. Die in diesem Dreieck berechenbaren
­Seiten
dienen
der Berechnung der Grenzlänge _
_
_
​   AD​ + ​
EF​ = ​
  FG​ und
 
des Flächeninhalts
des Grund­
_
stückes als Trapez mit Höhe ​DG​ . Grundstück 42.2.
kann durch das rechtwinklige Dreieck FCH zu einem
Trapez ergänzt werden, wobei der Scheitelwinkel µ
die Berechenbarkeit
des Dreiecks sicherstellt.
Die
_
_
zur Trapezhöhe ​
EH​ fehlende
 
Strecke ​
FH​ sowie
 
die
_
Seitenlänge ​HC​ werden
 
im Dreieck FCH
berechnet,
_
_
_
die Grund­seite ​EB​ des
 
Trapezes aus AB​ – ​
​   AE​ .
m
6 Das Grundstück 42.1. kann vollständig berech­
13,0 m
zu vernachlässigen, sollte aber nicht übergangen
werden. Modellierungen durch Annäherungen sind
erlaubt, sollten aber bewusst wahrgenommen wer­
den und nicht unreflektiert als „mathematisch kor­
rekte Strategie“ übernommen werden.
19,4
m
112,5°
90,0°
m
29,8
6 Trigonometrie K 73
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:05 Seite: 74 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 161 – 164
12 Bei dieser Aufgabe können die Seiten des Drei­
15 und 16 Diese Aufgaben erfordern ein erhöhtes
ecks unmittelbar oder durch Herleitung mit einer
__
√ 2 ​ Würfelkante a, einer Flächendiagonalen a · ​
 
__
und einer Raumdiagonalen a · ​√3 ​ angegeben
 
werden. Der erste Winkel wird mithilfe einer trigo­
nometrischen Beziehung berechnet, der zweite mit­
hilfe der Winkelsumme. In Teilaufgabe b) wird die
Aufgabe operativ: Bei Veränderung von a ändern
sich zwar die Längen der Dreieckseiten, die Seiten­
verhältnisse (ausgedrückt durch die trigonometri­
schen Beziehungen) und damit auch die Winkel
bleiben aber konstant, da die konkreten Werte für a
jeweils gekürzt werden. Es entstehen ähnliche Drei­
ecke. Die offene Teilaufgabe c) erfordert eine Ab­
zählstrategie. Bezieht man sich auf die Kanten des
Würfels, so ergeben sich zwei kongruente Dreiecke
pro Würfelkante, bezogen auf die Würfelflächen
sind es jeweils vier. Es ergeben sich also 24 kongru­
ente Drei­ecke.
Maß an räumlichem Vorstellungsvermögen und
­bauen ähnlich wie Aufgaben 12 und 13 aufeinander
auf. Vor der Berechnung der geforderten Größen
sollte eine eingehende Analyse der Figur erfolgen:
Wo liegen rechte Winkel? (in Aufgabe 15 (1) bei C
und in Aufgabe 16 (1) bei A); Können Symmetrien
genutzt werden? (Die Dreiecke in Aufgabe 15 (2)
und 16 (2) sind gleichschenklig.); Welche Strecken
müssen berechnet werden und welche Hilfsdreiecke
werden dazu benötigt?
13 Diese operative Aufgabe überträgt die in Auf­
gabe 12 zu bearbeitenden Inhalte auf den Quader.
Der Wegfall der einheitlichen Kantenlänge erfordert
die gesonderte Berechnung zweier Dreieckseiten.
Die Strategie zur Bestimmung der in Teilaufgabe b)
gefragten Anzahl der kongruenten Dreiecke kann
sich nun nur auf Kanten gleicher Länge (c) bezie­
hen, daher ergeben sich pro Kante zwei und damit
insgesamt acht kongruente Dreiecke. Die beiden
Dreiecke in Teilaufgabe c) sind rechtwinklig, da je­
weils in E bzw. A die Diagonale der Ebene auf deren
Lot trifft.
H
G
F
E
D
C
17 Die Berechnung der Dreieckseiten erfolgt je­
weils mit dem Satz des Pythagoras. Die Winkel
müssen mit dem Kosinussatz berechnet werden.
Der dritte Winkel kann mithilfe der Winkelsumme
bestimmt werden.
18 Diese Aufgabe ist kumulativ mit früheren Inhal­
ten der Geometrie – es erfolgt ein Rückgriff auf die
spezifischen Eigenschaften von Quadrat und Raute,
die zur Begründung herangezogen werden. Die Auf­
gabe ist geeignet, die prozessbezogene Kompetenz
argumentieren zu fördern, wenn der Schwerpunkt
der Aufgabe stärker auf der qualitativen Argumenta­
tion als auf der Berechnung einzelner Strecken liegt.
a) Die vier Seiten der Vierecks EICJ sind gleich lang,
da ihrer Berechnung jeweils kongruente rechtwink­
lige Dreiecke ​2 mit den Seiten der Länge a und ​ _2a ​ 3​ zugrunde liegen – es handelt sich also um eine
Raute. Das Viereck ist allerdings kein Quadrat, da
die Längengleichheit der Diagonalen nicht gegeben
ist: eine Rautendiagonale
ist die Raumdiagonale
__
des Würfels (a ​√3 ​ ), die andere ist__eine Flächendia­
gonale des Schnittquadrates (a ​√2 ​ ).
b) Da es sich um eine Raute handelt, muss der Win­
kel nicht berechnet werden – er beträgt 90°.
c
c) Der Winkel ​ _2 ​ kann auch ohne die Seitenlänge der
Raute bestimmt werden, indem nur auf die halben
_
​ 
IJ​
Diagonalen zurückgegriffen wird: A
B
Dreieck
BHE ist zusätzlich gleichschenklig, da _
_
​   EH​ =
EB​ = ​
  10 cm, weshalb die beiden 45°-Winkel un­
mittelbar angegeben werden können.
14, 19 und 20 Diese Aufgaben stellen einen Rück­
griff auf bereits behandelte Inhalte (vgl. Schnitt­
punkt 9, Kapitel 6 Pyramide. Kegel. Kugel, Lernein­
heit 2 und 3) dar. Alle wesentlichen Schnittdreiecke
der quadratischen Pyramide werden wiederholt. Die
neuen Lerninhalte werden kumulativ eingebettet.
K 74 6 Trigonometrie
_
​ 2 ​
c
_
tan ​ _2 ​ = ​ _
​ ​    
EC​
_
​ 2  ​
_
​ 
IJ​
_
​ 2 ​
c
_  
​ sin ​ _2 ​ = ​ _
​  
IC​
Alternativ kann der Winkel auch mit bestimmt ­werden.
d) Auch die Bestimmung des Flächeninhalts kann
allein unter
Verwendung
der Diagonalen erfolgen:
__
_ _
a2  
1
_
_
A = ​ 2 ​ · ​IJ​  · ​EC​ = ​ 
  2  ​​√
  6 ​ 
22 Die nötige Anschauung für die Bearbeitung die­
ser Aufgabe liefert die Skizzierung der achtseitigen
Grundfläche. Die Lage der Schnittlinien für einen
Diagonalschnitt (oder auch andere Schnitte) lassen
sich aufzeigen. Die Herausarbeitung des gleich­
schenkligen Teildreiecks mit dem Mittelpunktswinkel 360°
a = ​ _
 ​ (für n = 8) sollte angestrebt werden.
n   
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Yellow
Schülerbuchseite 164 – 166
a
Die Figur kann zu Demonstrationszwecken im
Unterricht durch den Lehrer bzw. die Lehrerin
oder als Einzel- bzw. Partnerarbeit durch die
Schülerinnen und Schüler selbst erstellt werden.
Das < Serviceblatt „Trigonometrie am Einheits­
kreis mit Geonext (2) – Aufgaben“, Seite S 54,
bietet Anregungen zur Exploration der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis.
7 Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Aufgabenkommentare
Intention der Lerneinheit
– Die trigonometrischen Werte für Winkel größer
90° kennen.
– Die Vorzeichen der trigonometrischen Funktions­
werte in Abhängigkeit von der Winkelgröße er­
kennen.
– Die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus erkennen.
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-­ rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4
Operative Übungen: A 5; 6; 9
Komplexe Aufgaben: A 7; 8
Anwendungsaufgaben: A 10
Einstiegsaufgabe
Die Kolbenbewegung der Dampfmaschine stellt
auf anschauliche Weise eine Situation dar, die sich
leicht auf den Einheitskreis übertragen lässt. Aus
der Skizze wird deutlich, dass zu jeder Position des
Drehzapfens ein bestimmter Winkel gehört. Der Zu­
sammenhang zwischen Winkel a am Punkt D1 und
dem Winkel a an Punkt D2 ist deutlich als 180° – a zu erkennen. Somit bietet dieses Einstiegsbeispiel
eine gute Möglichkeit zur Erweiterung der Defini­
tion von Sinus und Kosinus für Winkelwerte größer
90°.
1 und 2 Diese beiden Grundaufgaben sind einfach
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Die Einführung der Sinus- und Kosinuswerte
am Einheitskreis ist notwendig, um die trigono­
metrischen Funktionen für Winkel größer 90°
verwenden zu können. Dabei ist es wichtig, noch
einmal darauf hinzuweisen, dass diese Werte
bislang nur für Winkelwerte bis 90° definiert
sind. Durch die Erweiterung am Einheitskreis
wird diese Beschränkung aufgehoben.
– Zur Verdeutlichung ist es sinnvoll, einige Werte
zeichnerisch am Einheitskreis bestimmen zu las­
sen. Es empfiehlt sich ein relativ großer Radius
von 1 dm.
– Besonders eindrücklich ist die Beobachtung der
Zusammenhänge mithilfe einer dynamischen Fi­
gur. Eine schrittweise Anleitung zur Erstellung der
im Schülerbuch auf Seite 165 abgebildeten Figur
mit dem Programm Geonext findet sich auf
dem < Serviceblatt „Trigonometrie am Ein­heits­
kreis mit Geonext (1) – Anleitung“, Seite S 53.
zu lösen, wobei hier die Sorgfalt und Genauigkeit
der Zeichnung über die mögliche Genauigkeit des
Mess­ergebnisses entscheidet.
5 Diese operative Übung ist im Prinzip die Um­
kehrung der Grundaufgabe 3.
6 Nur zu wenigen Winkelwerten gehören über­
sichtliche Sinus- und Kosinuswerte. Diese beson­
deren Werte lassen sich einfach am Einheitskreis
begründen. Ihre Kenntnis hilft dabei, Ergebnisse
abzuschätzen und zu beurteilen.
8 Diese komplexe Aufgabe vertieft das Verständ­
nis für die Symmetrieeigenschaften von Sinus und
Kosinus. Ohne ein solches Verständnis ist die Lösung
der Teilaufgaben b) und c) nicht möglich.
9 Diese operative Übung fördert besonders die
Kompetenz des mathematischen Argumentierens.
Dazu muss das Verständnis der Zusammenhänge
von Winkelgröße und zugehörigen Sinus- und Ko­
sinuswerten und die Lage in den jeweiligen Qua­
dranten bereits gefestigt sein.
10 Mit Benutzung des Taschenrechners beinhaltet
diese Sachaufgabe keine größeren Schwierigkeiten.
Allerdings ist es bei Teilaufgabe b) sinnvoll, zum
besseren Verständnis mithilfe des Einheitskreises
begründen zu lassen.
6 Trigonometrie K 75
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:07 Seite: 76 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 167
8 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
2
Intention der Lerneinheit
– Einen vertieften Einblick in den funktionalen
Charakter der trigonometrischen Beziehungen
erhalten.
– Charakteristische Eigenschaften der Graphen der
Sinusfunktion und der Kosinusfunktion benen­
nen können, z. B. deren Phasenverschiebung.
1
Einstiegsaufgabe
Die Einstiegsaufgabe bietet einen experimentellen
Zugang zur Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion,
der mit einfachsten Mitteln im Unterricht durchge­
führt werden kann. Durch die Drehbewegung des
Zylinders entsteht der Eindruck einer permanenten
Schwingung. Die sichtbare Kurve ähnelt den Gra­
phen der trigonometrischen Funktionen.
Alternativer Einstieg
Alternativ kann mit einer Stimmgabel, einem star­
ren Drahtstück als Verlängerung und einer berußten
Glasplatte auf dem Tageslichtprojektor ein ein­
faches Experiment durchgeführt werden, mit dem
man zeigen kann, dass sich Schwingungen in der
Akustik mit Sinusfunktionen beschreiben lassen:
y 0
K 76 6 Trigonometrie
60°
120°
180°
240°
300°
360°
420°
–1
–2
x
Wird hingegen der Winkel 45° (oder 90°) einer
Längeneinheit zugeordnet, wird das Schaubild
entsprechend „verzerrt“. Im Unterricht sollte die
übliche Skalierung verwendet werden (vgl. hierzu
auch die Darstellung und Erläuterung im Schüler­
buch, Seite 167).
Skalierung mit 45° š 1 LE:
2
1
y 0
Sinusfunktion
45°
90°
135° 180°
225° 270° 315° 360° 405°
–1
–2
Tipps und Anregungen für den Unterricht
– Hinweis zur Skalierung der Achsen: Die Skalierung der Achsen hat Einfluss auf die
Darstellung der trigonometrischen Funktionen
im Schaubild. Das „Erscheinungsbild“ der ent­
sprechenden Schaubilder hängt davon ab, wel­
chem Winkel auf der x-Achse die auf der y-Achse
verwendete Längeneinheit zugeordnet wird. Die
üblicherweise verwendete Skalierung, bei der
der Winkel 60° genau einer Längeneinheit ent­
spricht, verleiht dem Schaubildern der jeweiligen
Winkelfunktion ihr bekanntes Aussehen. Am Bei­
spiel der Sinusfunktion:
Sinusfunktion
x
– Zur Verdeutlichung des Nutzens der Sinusfunkti­
on und Kosinusfunktion sollte darauf hingewie­
sen werden, dass diese zur Beschreibung von
Schwingungen aus der Natur und Technik ver­
wendet werden, z. B. Schallwellen, mechanische
Wellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wel­
len.
– Wichtig ist auch die Verknüpfung der Sinus- bzw.
Kosinuswerte aus der vorhergehenden Lernein­
heit mit ihrer grafischen Darstellung als Kurve
(Graph). Erst so kann der funktionale Charakter
verinnerlicht werden.
– Die Behandlung der trigonometrischen Funkti­
onen kann als Chance wahrgenom­men werden,
auch Aspekte der Leitidee funk­tionaler Zusammenhang zu vertiefen und damit in besonde­
rem Maße kumulatives Lernen zu ermöglichen.
Entsprechende Anregungen hierzu liefern die
< Serviceblätter „Schaubild der Sinusfunktion
mit GEONExT“, Seite S 55, sowie „Sinus- und Kosi­
nusfunktion mit MS-Excel“, Seite S 56.
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:08 Seite: 77 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 168 – 169
Aufgabenkommentare
9 Eigenschaften der Winkelfunktionen
Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla­rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2
Operative Übungen: A 6; 7; 8; 9; Kasten DGS und
Sinusfunktion
Komplexe Aufgaben: Kasten Die Tangensfunktion
Kumulative Aufgaben: A 3; 4; 5
Intention der Lerneinheit
– Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosi­
nus) auch für Winkel > 360° anwenden können.
– Sinus und Kosinus für a > 360° als Wieder­
holung der Winkel 0° bis 360° erkennen.
– Sinus und Kosinus als Möglichkeit zur funktio­
nalen Darstellung periodischer Vorgänge erken­
nen.
– Nullstellen und Extremwerte kennen, ablesen
und in allgemeiner Schreibweise notieren.
3, 4, 6 und 7 Diese kumulativen Aufgaben schaf­
fen eine Verbindung zu den Sinus- und Kosinus­
werten am Einheitskreis. Durch die Kenntnisse über
­deren grafische Darstellung wird der Zusammen­
hang zwischen Winkelgröße und zugehörigen Funk­
tionswerten vertieft.
9 Die bisherige Kenntnis über die Sinusfunktion
und Kosinusfunktion werden in dieser Übung erwei­
tert und vertieft. Der funktionale Zusammenhang
wird noch deutlicher.
Die Tangensfunktion
Mithilfe der Tangensfunktion kann ein weiterer
Zusammenhang von Sinus- und Kosinusfunktion
hergestellt werden.
Das Schaubild der Tangensfunktion liefert eine
anschauliche Erklärung, warum sich Messfehler
im Bereich von 90° viel stärker auswirken als in
anderen Bereichen (vgl. Aufgabe 15 in Lernein­
heit 2 Rechtwinklige Dreiecke berechnen, Schüler­
buchseite 150 und Aufgabe 13 in Üben • Anwenden • Nachdenken, Schülerbuchseite 176).
Der Begriff der Polstelle kann mit der Tangens­
funktion erstmals eingeführt werden. Die Be­
weisführung, warum die Tangensfunktion an
der Stelle a = 90° nicht definiert ist, ist für die
Lernenden leicht nachvollziehbar und bietet eine
gute Vorbereitung für die Sekundarstufe II.
Einstiegsaufgabe
In der Einstiegsaufgabe wird auf anschauliche Weise verdeutlicht, dass sich Winkel über 360° auch
durch Winkel zwischen 0° und 360° darstellen las­
sen. So gehört z. B. zum Zeitpunkt 45 Minuten eine
1,5-fache Drehung, also 540°. Gleichzeitig ist deut­
lich, dass das Rad nach einer vollen noch eine halbe
Drehung vollführt hat. Zu einer halben Drehung
gehört der Winkel 180°. Es ist daher offensichtlich,
dass sich so a = 540° und auch a = 180° darstel­
len lässt.
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 2; 3
Operative Übungen: A 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13
4 Bei dieser Aufgabe muss besonders sorgfältig
vorgegangen werden: Es entstehen die negative
Sinus- und Kosinuskurve. Bei Verständnisschwierig­
keiten kann in einem ersten Auftrag die Sinuskurve
nach rechts, die Kosinuskurve nach links verschoben
werden, das vereinfacht die Lösung.
Auch bietet es sich an, zunächst eine Wertetabelle
anzulegen.
Mit leistungsstarken Schülerinnen und Schü­
lern kann sogar auf die allgemeinere Funktion sin (a) = a · sin a bzw. cos a = a · cos a und den
­damit verknüpften Begriff der Amplitude (vgl. The­
menkasten Die Funktion f (x) = a · sin (b x) Schüler­
buchseite 172) eingegangen werden.
6 bis 8 Die bisherigen Kenntnisse über die Sinus- und Kosinusfunktion werden in dieser Übung erwei­
tert und vertieft. Der funktionale Zusammenhang
wird noch deutlicher.
6 Trigonometrie K 77
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:08 Seite: 78 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 169 – 171
9 bis 13 In diesen Aufgaben tritt der funktionale
2 Die Anfertigung einer Skizze wird empfohlen. Aspekt der Trigonometrie in den Vordergrund. Dar­
stellungsformen und Eigenschaften von Funktionen
werden grundlegend wiederholt, vertieft und erwei­
tert. Gleichzeitig wird das Thema Kurvendiskussion
für die Sekundarstufe II vorbereitet, wodurch ein et­
waiger Übergang für die Lernenden erleichtert wird.
Beide Teilaufgaben können nach folgendem
­Schema konstruiert werden:
1. Dreieckseite c als Halbgerade mit Punkt A
2. Winkel a
3. Dreieckseite b mit der Länge 8,2 cm
4. Kreis um C mit r = a = 5,3 cm
Bei Teilaufgabe a) ergeben sich 2 Lösungen
(2 Schnittpunkte), bei Teilaufgabe b) keine Lösung
(kein Schnittpunkt).
Die Funktion f (x) = a · sin (b x)
Mit diesem Kasten wird der funktionale Aspekt,
der sich wie ein roter Faden durch die linearen
Funktionen (y = m x + b), die quadratischen Funk­
tionen (y = a x2 + b x + c), die Potenzfunktionen (y = a x b) und die Exponentialfunktion (y = c a x)
zog, für die Sekundarstufe I vervollständigt.
Das Variieren der Parameter a und b ist die
Lernenden aus den vorgenannten Unterrichts­
einheiten bereits geläufig, sodass es ihnen keine
besonderen Schwierigkeiten bereitet, die Ampli­
tude und die Periodenlänge anhand des Schau­
bildes bzw. der Funktionsgleichung abzuleiten.
Fächerübergreifend bietet es sich auch an, mit­
hilfe eines Oszillographen die Sinusfunktion
visuell darzustellen. Durch das Verändern der
Lautstärke ändert sich dabei die Amplitude und
durch das Verändern der Tonhöhe die Perioden­
länge.
Üben • Anwenden • Nachdenken
Aufgabenkommentare
Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis
fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9,
­zugrunde.
Grundaufgaben: A 1; 5
Operative Übungen: A 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 24; 25
Kumulative Aufgaben: A 14; 20; 21; 23; 26
Komplexe Aufgaben: A 16; 22
Anwendungsaufgaben: A 11; 12; 13; 15; 17; 18; 19
Problemstellungen – offene Aufgaben: Kasten Ein günstiger Kauf?
K 78 6 Trigonometrie
3 Die operative Aufgabe ist eine Umkehraufgabe
zur trigonometrischen Flächeninhaltsformel (vgl.
Schülerbuch, Seite 154) und erfordert die gezielte
Auswahl der benötigten Formel unter Berücksichti­
gung der gegebenen und gesuchten Größen.
4 Die Angabe eines zweiten Dreiecks mit den (ab­
gesehen vom Winkel) gleichen Werten kann unter
Berücksichtigung des in Teilaufgabe a) mit der
Formel A = ​ _21 ​ b c · sin a berechneten Flächeninhalts
auf die Frage reduziert werden: Für welchen Winkel
a2 gilt: sin a2 = sin a? Diese operative Aufgaben­
stellung kann auf unterschiedlichen Wegen gelöst
werden:
– formal, durch den Rückgriff auf den bereits be­
kannten Zusammenhang sin a = sin (180° – a)
– enaktiv, mithilfe einer Zeichnung, bei der aus den
Angaben Dreiecke mit gleicher Grundseite und
Höhe (zur Sicherstellung des gleichen Flächen­
inhalts) konstruiert werden. Da durch Spiegelung
entstandene kongruente Dreiecke keinen Beitrag
zur Lösung liefern, ergibt sich auch hier der o. g.
Zusammenhang:
– Je nachdem, wie intensiv die Zusammenhänge
aus den Lerneinheiten 7 und 8 im Schülerbuch
thematisiert wurden, sollte auch eine Argumen­
tation mithilfe des Schaubilds der Sinusfunktion
oder mithilfe des Einheitskreises erfolgen.
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:09 Seite: 79 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
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Schülerbuchseite 174 – 176
Ein günstiger Kauf?
Die Lösung der Problemstellung erfordert das
Einzeichnen der außen liegenden Höhe, die
senkrecht auf der unbemaßten Seite steht. Eine
andere Zerlegung ist nicht sinnvoll, da sonst die
gegebenen Informationen nicht genutzt werden
können (vgl. hierzu den Kommentar zu Lernein­
heit 4 Allgemeine Dreiecke berechnen, Seite K 67
bis K 69). Der Flächeninhalt des Grundstücks wird
aus der Differenz der beiden durch die Höhe
gegebenen rechtwinkligen Dreiecke bestimmt.
Alternativ können die Winkel der Dreiecke be­
stimmt werden und die Formel A = ​ _21 ​ a b · sin c (mit c = 34,8°) angewandt wer­
den. Vergleiche zur Thematik der Flächeninhalts­
berechnung auch die beiden < Serviceblätter
„Flächenberechnung beim Dreieck“, Seite S 51,
und „Flächenberechnung im Koordinatensystem“,
Seite S 52.
Grundstücke vermessen
Die Thematik der Grundstücksvermessung be­
rührt einen Bereich des Schüleralltags, da dies
sicher schon einmal von etlichen Schülerinnen
und Schülern beobachtet wurde. Die Winkel­
messung mit einem Theodoliten geschieht mit
großer Genauigkeit. Als Peileinrichtung dient ein
Fernrohr mit Fadenkreuz, und die Winkelmesser
(zur Bestimmung des Differenzwinkels aus zwei
Peilungen) werden mit Lupen bzw. Mikroskopen
abgelesen. Die Messungenauigkeit liegt hier im
Bereich von Hundertstelgrad. Der Themenkasten liefert die zur Durchdringung der Thematik not­
wendigen mathematischen Hintergründe. Unter­
richtspraktische Anregungen zum Messen im Ge­lände finden sich in Altemüller, Wolf: Feldmessen
– Handbuch für den Lehrer, Stuttgart, 2002 und
im Internet. Als Ergänzung zur Vorgehensweise
des Themenkastens ist auch die Erstellung ent­
sprechender dynamischer Figuren mithilfe einer
DGS oder ein explorativer Zugang möglich, wie
ihn das < Serviceblatt „Grundstücksvermessung
mit GEONExT“, Seite S 57, anbietet.
Massenschwerpunkts von der Standebene (Kraft­
angriffshöhe) sowie der für die Bestimmung des
Kippmoments bedeutsame Radius der Auflageflä­
che auf dem Boden werden – wie auch die weitere
Geometrie des Stuhles – vernachlässigt. Für die
Modellierung wird somit der Kosinus des Winkels
zwischen den Stuhlbeinen als relevantes Merkmal
identifiziert.
a
h
Beinlänge ø
Kipplinie a
Idealerweise wählt man eine Modellierung, bei der
eine große Zahl eine hohe Standfestigkeit bezeich­
net (und umgekehrt). Eine Erhöhung der Anzahl der
Stuhlbeine (n) führt zu einer Verringerung des Win­
360°
kels a = ​ _
​ – deshalb ist am sinnvollsten der Kosi­
2 n  
nus zu verwenden, da er im gegebenen Intervall für
kleinere Winkel den größeren Zahlenwert liefert. Da
der Kosinus das Verhältnis zwischen Dreieckshöhe
und Beinlänge darstellt, kann dies im Rahmen des
Modells interpretiert und hinterfragt werden. Es
ergeben sich folgende Werte:
Anzahl Stuhlbeine (n)
Winkel a
Kosinuswert
3
60°
0,5
4
45°
0,71
5
36°
0,81
6
30°
0,87
Zu berücksichtigen ist, dass sich der Kosinuswert
bei einer Verlängerung (oder Verkürzung) der Stuhl­
beine (was die Standfestigkeit des Stuhles durch­
aus beeinflusst) nicht ändert, da sich Winkel und
Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken nicht
ändern.
Anmerkung: Die Sicherheitsanforderungen für Büro­
arbeitsstühle im Hinblick auf die Standsicherheit
sind in der DIN EN 1335-2:2002-08 geregelt.
12 Die Anwendungsaufgabe ermöglicht einen ver­
tieften Einblick in die Sinusfunktion.
11 Die Modellierungsaufgabe thematisiert die
13 Die Aufgabe thematisiert einen grundlegenden
Standfestigkeit von Drehstühlen. Maßgeblich für
die Standsicherheit ist das Kippen über die Kipp­
linien – den Verbindungsgeraden der Endpunkte
benachbarter Beine. Die physikalisch-räumliche
Situation des Kippens über die Standlinie wird
durch die Modellierung auf eine rein mathematischebene Situation begrenzt – der für die Stabilität
eines Stuhls durchaus relevante Abstand des
und wesentlichen mathematischen Aspekt von
Anwendungsaufgaben: Messfehler bzw. Mess­
ungenauigkeiten. Die Betrachtung der Auswirkun­
gen des Rechnens mit einer oberen und einer
unteren Schranke für gemessene Werte führt zu
folgenden Erkenntnissen:
– Längenfehler fallen nicht so stark ins Gewicht
wie Winkelfehler.
6 Trigonometrie K 79
DO01742602_K06_057_081.indd 27.07.2010 09:47:11 Seite: 80 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 176 – 178
Die Deichsohle setzt sich aus drei Teilstücken, der Deichsohlenlänge zur Böschung s, der Deich­kronen­breite und der Deichsohlenlänge der
Böschung l, zusammen.
20 Die kumulative Aufgabe erfordert das ge­
schickte Zerlegen der Figur und die Nutzung der
symme­trischen Teilfiguren:
D
d
d
A
a2
a1
C
B
f
F
14 und 21 Die Schnittbetrachtungen von Paral­
K 80 6 Trigonometrie
l
a1
a2
f1
e
cm
=
99 E
cm
a = 228,9 cm
19 cm
9,4
=1
29
95
,3
cm
41,8°
b=2
13
2,9
cm
cm f =
3
0,4
c1
cm
s
A
20
,8
45
und der Böschungslänge l stellen kein größeres
Pro­blem dar. Erst die Berechnung der Böschungs­
länge s erfordert ein gedankliches Verschieben der
Deich­höhe. Man erhält dann folgendes Dreieck.
Jetzt kann s ohne größere Schwierigkeiten berech­
net werden.
d1
49,6° d2 f
2 =
c2
=1
19 Die Berechnungen des Böschungswinkels a
C
c = 279,6 cm
D
h1
Lösungswege an. Beim ersten
Ansatz berechnet
_
man die Länge der Strecke ​BF​ unter
 
Zuhilfenahme
des Dreiecks
ABF
und
anschließend
die
Länge der
_
Strecke ​BE​ mittels
 
des Dreiecks ABE. Beim_zweiten
Ansatz wird zuerst die Länge der Strecke ​AF​ mithil­
 
fe des Dreiecks ABF berechnet. Danach kann man
leicht die fehlenden Winkel des Dreiecks AFE und
somit auch die Brückenlänge berechnen.
Anwendungsaufgabe nicht zur Verfügung stehen,
wird die Anwendungsaufgabe zu einer komplexen
Problemstellung, mit aufwändiger Lösung.
Es empfiehlt sich die Anfertigung einer Skizze und
die sukzessive farbige Markierung der gegebenen
und berechneten Größen.
=
18 Hier bieten sich ähnlich wie bei Aufgabe 17 zwei
22 Falls Kosinus- und Sinussatz zur Lösung dieser
2
die bei genauer Betrachtung gleich sind. Man be­
rechnet die Entfernung Annasand – Möwenland
und Bertaoog – Möwenland am Winkel a. Alternativ
kann man dies auch am Winkel b tun. Anschließend
wird die Entfernung Annasand – Bertaoog mit dem
Kosinussatz errechnet. Bei dieser Berechnung ist es
sinnvoll, eine Teilskizze zur Hilfe zu stellen.
Im Drachen und im Trapez entstehen durch die Zer­
legung jeweils zwei „halbe gleichseitige Dreiecke“,
sodass sich wesentliche Größen auch ohne Rech­
nung schnell angeben lassen. Lediglich der obere
Teil des Drachens muss trigonometrisch und die
rote Linie mit dem Satz des Pythagoras berechnet
werden.
h
17 Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege,
E
d = 174,6 cm
lel- und Diagonalschnitt bei der quadratischen
Pyramide stellen bezüglich der Raumvorstellung be­
sondere Anforderungen an die Lernenden. Obwohl
die Stereometrie bereits im Jahrgang 9 behandelt
wurde, sollte hier zur Unterstützung mit Modellen
oder sonstigen Anschauungsmaterialien gearbeitet
werden.
h
– Bei Winkeln nahe 90° fallen kleine ­Winkelfehler
bereits sehr stark ins Gewicht (Einblicke in die­
sen Hintergrund kann eine exemplarische Be­
trachtung des Schaubildes der Tangensfunk­tion
liefern – vgl. hierzu auch den Kommentar zu Auf­
gabe 15 in Lern­einheit 2 Rechtwinklige Dreiecke
berechnen, Seite K 64).
– Die Berechnung der Masthöhe in Aufgabenteil c) durch Multiplikation zweier fehlerbehafteter
Werte mithilfe einer oberen und einer unteren
Schranke zeigt die Schwankung des Ergebnisses
um ca. 17 m (ca. 10 %). Vertiefende Informationen
zum Umgang mit Messungenauigkeiten, zur An­
zahl der verlässlichen Ziffern im Ergebnis sowie
dem sinnvollen Runden bietet der Exemplarische
Kommentar: Sinnvoll Runden, Schnittpunkt,
­Serviceband 9, Seite K 19.
b1
b2
B
23 Die kumulative Aufgabe verknüpft die Trigo­
nometrie mit linearen Funktionen und baut auf
den Aufgaben 12 und 13 auf Schülerbuchseite 149
auf. Die rein algebraische Lösung mithilfe von
linearen Gleichungssystemen setzt ein hohes Vor­
stellungsvermögen voraus. Eine Skizze kann hier
unterstützend eingesetzt werden. Die Aufgabe lässt
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Cyan
Magenta
Yellow
Schülerbuchseite 178
sich auch zeichnerisch lösen, indem die Geraden
gezeichnet werden und die wesentlichen Informa­
tionen der Zeichnung entnommen bzw. durch die
entsprechenden Ergänzungen leicht berechnet wer­
den können:
10
y
C
B
8
6
4
2
O
x
A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24 und 25 Der funktionale Aspekt der Trigonome­
trie wird hier vertieft, die Eigenschaften der Funkti­
onen werden für die Oberstufe vorbereitet und der
Einfluss der Parameter a und b bei der Funktion
f (x) = a · sin (b x) wird ein weiteres Mal geübt (vgl.
Themenkasten Die Funktion f(x) = a · sin (b x) von
Schülerbuchseite 172).
26 Zur Lösung der kumulativen Aufgabe müssen
die Dreieckseiten in verschiedenen Flächen berech­
net werden, wobei jeweils die Spezifika der Fläche
berücksichtigt werden müssen:
__
_
1. Bestimmung der Strecke BC​ =
​   5 ​√3 ​  aus der
zweifachen Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
der Deck­fläche
__
_
2. Bestimmung der Strecke AC​ =
​   5 ​√2 ​  (Diagonale
eines Mantelquadrates) _
__
3. Bestimmung der Strecke AB​ =
​   5 ​√5 ​  mit dem
Satz des Pythagoras in der entsprechenden
Schnittfläche.
Der Nachweis der für die Berechnung des Flächen­
inhaltes wesentlichen Rechtwinkligkeit erfolgt
rechnerisch (mit dem Satz
des Pythagoras) oder
_
­argumentativ (Strecke ​BC​ ist
 
das Lot auf das vor­
dere Mantelquadrat).
6 Trigonometrie K 81
DO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
Cyan
Magenta
Yellow
Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und
die Durchführung Ihres Unterrichts!
Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert:
– Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinweise,
Schnittpunkt Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung.
Mathematik
10
– Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen rund 80 passgenau auf
das Schülerbuch abgestim­mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen
und die ent­sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen­
zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des
Schülerbuches kumulierend aufgreifen.
– Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs­
hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches.
Schnittpunkt
Mathematik
Serviceband
Serviceband
ISBN 978-3-12- 742602 -1
Rheinland-Pfalz
10