Übungsblatt 7

Dr. Christian Werge
Steffen Hintze
Grundwissen Schulmathematik
WS 13/14
Übungsblatt 7
Abgabe am 10.12.2013
Zahlentheorie
Aufgabe 1
Gegeben ist die auf N × N definierte Äquivalenzrelation R1 = {(a, b); (c, d) | a + d = b + c}
(vgl. Vorlesung). Durch [(a, b)] ⊕ [(c, d)] = [(a + c, b + d)] ist eine Addition und durch
[(a, b)] [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] eine Multiplikation auf Z definiert (vgl. Vorlesung).
Zeigen Sie, dass Folgendes gilt:
(a) [(a, b)] ⊕ [(a, a)] = [(a, b)] (d.h. [(a, a)] ist das Nullelement ist).
(b) [(a, b)] [(a + 1, a)] = [(a, b)] (d.h. [(a + 1, a)] ist das Einselement ist).
(4 Punkte)
Aufgabe 2
Überprüfen Sie die Relation R2 = {(a, b) | a, b ∈ N und 2 | ab} auf Reflexivität, Symmetrie
und Transitivität.
(4 Punkte)
Geometrie
Aufgabe 3
Berechnen Sie die Größe der mit x bezeichneten Stücke. Wiederum sind die Eigenschaften
der Figur der Zeichnung entnehmbar, der kleine Ring markiert durch seinen Mittelpunkt
jeweils den Mittelpunkt eines der Kreise.
(a) ABCD sei das in Abbildung 1 gegebene Rechteck.
(3 Punkte)
(b) Es gelte |AB| = 35cm, |BC| = 2cm, siehe Abbildung 2.
(3 Punkte)
Aufgabe 4
Beweisen Sie Satz 2.24 aus der Vorlesung (Umkehrung des Höhensatzes):
„Wenn eine Seite eines Dreiecks 4ABC durch die zugehörige Höhe in zwei Abschnitte
p und q zerlegt wird und h2 = p · q gilt, dann ist das Dreieck 4ABC rechtwinklig und p
und q sind seine Hypotenusenabschnitte.“
(4 Punkte)
Dr. Christian Werge
Steffen Hintze
Grundwissen Schulmathematik
WS 13/14
Abbildung 1: Eigenmann 54
Abbildung 2: Eigenmann 72